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• Raul Eduardo Pineros Revelo

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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN CIENCIAS SOCIALES ESPACIO DE FORMACIÓN: Pensamiento lógico – matemático. TALLER 1: Teoría de conjuntos. Un conjunto puede ser definido como una colección de objetos que tienen una característica común. Los objetos que conforman el conjunto reciben el nombre de elementos. Si un conjunto no posee elementos, es denominado conjunto vacío. Un conjunto se define por comprensión cuando se define el conjunto mediante una propiedad común a sus elementos, por ejemplo:

Pero si se hace un listado de los elementos que lo conforman, se dice que el conjunto ha sido definido por extensión. Todo conjunto se enmarca en un conjunto referencial que lo contiene que se denomina conjunto universal. Los conjuntos son nombrados usando letras mayúsculas y los elementos pertenecientes a un conjunto se denotan mediante letras minúsculas, de tal forma que si un elemento pertenece al conjunto , dicha relación de pertenencia se denota:

En caso que el elemento no pertenezca al conjunto, se denotaría

La forma más difundida para representar conjuntos de forma gráfica son los denominados Diagramas de Venn, los cuales están formados por circunferencias u óvalos que encierran los elementos de los conjuntos y por un rectángulo que contiene al conjunto universal. La forma en la que se relacionan las regiones encerradas por las curvas, permite establecer los elementos que pertenecen a los resultados de las operaciones entre los conjuntos. A continuación, serán usados estos diagramas para representar algunas relaciones que es posible establecer entre conjuntos. Para un par de conjuntos que serán denominados conjunto y conjunto , se dice que es subconjunto propio de (relación que se representa mediante la simbología ) si

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todo elemento del conjunto A, también es elemento del conjunto B y además los conjuntos y no son iguales. El diagrama de Venn anterior muestra esta relación. Para todo conjunto, vacío es un subconjunto. Si lo escribimos usando la simbología propia de las matemáticas, esto sería:

Dos conjuntos son iguales, si sus elementos son iguales. También es posible definir la igualdad de conjuntos mediante una relación de contenencia indicando que dos conjuntos son iguales si uno es subconjunto del otro, es decir:

El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto se denomina conjunto potencia. Si el cardinal de un conjunto (que no es otra cosa que la cantidad de elementos de un conjunto) es , el cardinal del conjunto potencia de un conjunto es . Por ejemplo, sea el conjunto potencia de se denomina

, el conjunto y es igual a:

Note como el cardinal del conjunto es 3 y el cardinal del conjunto potencia de es 8 que se obtuvo de la operación Operaciones entre conjuntos: Unión: es una operación entre dos conjuntos que da como resultado otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a un conjunto, al otro o a los dos simultáneamente. La unión de dos conjuntos cuyo diagrama de Venn se aprecia, se define de la siguiente forma:

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN CIENCIAS SOCIALES ESPACIO DE FORMACIÓN: Pensamiento lógico – matemático. TALLER 1: Teoría de conjuntos. Intersección: es una operación entre dos conjuntos que da como resultado otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a los dos conjuntos simultáneamente. El diagrama para la intersección de conjuntos, se aprecia al costado y la operación se define de la siguiente forma:

Si la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vació, al par de conjuntos se le llama conjuntos disyuntos. Complemento: el complemento de un conjunto, se define a partir de dicho conjunto y el conjunto universal; el complemento de un conjunto , es un conjunto que contiene los elementos del conjunto universal que no pertenecen al conjunto . Se define el complemento de de la siguiente forma:

diferencia simétrica de dos conjuntos puede ser definida de dos formas equivalentes:

Propiedades de las operaciones entre conjuntos: las operaciones entre conjuntos tienen entre otras, las siguientes propiedades: Leyes asociativas Leyes conmutativas Leyes distributivas Leyes de identidad Leyes de idempotencia Leyes de acotación Leyes de absorción Ley de involución

Diferencia: es una operación entre dos conjuntos que da como resultado otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen al conjunto , pero no pertenecen al conjunto . Es importante tener en cuenta que la diferencia entre conjuntos no es conmutativa, es decir, el orden de los conjuntos influye en el resultado. El diagrama que representa la operación se observa al costado, y la operación se define:

Diferencia simétrica: es una operación entre dos conjuntos que da como resultado otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen al conjunto y pertenecen al conjunto pero no a los dos simultáneamente. La

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Leyes de De Morgan para conjuntos

TRABAJO: 1.

Si determine si las siguientes expresiones son falsas o verdaderas. En el caso de las falsas explicar porque lo son:

2.

Expresar los siguientes conjuntos por extensión:

3.

Dado el conjunto conjunto potencia de

determine el

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN CIENCIAS SOCIALES ESPACIO DE FORMACIÓN: Pensamiento lógico – matemático. TALLER 1: Teoría de conjuntos. 4.

Si la cardinalidad de un conjunto potencia es 16, entonces ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto?

5.

Si la cardinalidad del conjunto es 5, la cardinalidad del conjunto es 3 y se sabe que tiene cardinalidad 2, entonces ¿Cuál es la cardinalidad de ?

6.

Para cada una de las siguientes expresiones, dibuje un diagrama de Venn y sombree en ellos la región que represente el conjunto indicado.

7.

Para los siguientes conjuntos:

las dos modalidades de transporte en un mismo día? 9.

Para los problemas 8 a 19, elaborar un diagrama de Venn en el que se presente la información además de las operaciones necesarias para ser desarrollados. Se encuesta un grupo de 80 personas que se desplazan desde su residencia hasta su lugar de trabajo empleando el servicio de transporte público y se les preguntó ¿qué tipo de transporte utilizó el día de hoy en el trayecto de ida y qué tipo de transporte utilizó en el trayecto de regreso? Se determinó que 60 de ellas usan transporte colectivo en su trayecto de ida y 50 transporte individual en su trayecto de regreso. ¿Cuántas personas usan Página

a) ¿Cuántos toman francés y música, pero no negocios? b) ¿Cuántos toman negocios, pero no francés ni música? c) ¿Cuántos no toman ninguna de las tres materias? 10. En una facultad de ciencias se han matriculado mil doscientos estudiantes. Quinientos ochenta y dos se matriculan en el curso de física, seiscientos veintisiete se matriculan en química, quinientos cuarenta y tres se matriculan en matemática básica, doscientos diecisiete se matriculan en física y química, trescientos siete se matriculan en física y matemática, doscientos cincuenta se matriculan en química y matemática y por último ciento veintidós estudiantes se matricularon en los tres cursos. Determinar:

Elaborar un diagrama de Venn y determinar:

8.

Se matricula un grupo de 191 estudiantes en una institución d educación superior, de los cuales 10 toman francés, negocios y música; 36 toman francés y negocios; 20 están en francés y música; 18 en negocios y música; 65 en francés; 76 en negocios y 63 toman música.

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a) ¿Cuántos estudiantes no tomaron ningún curso? b) ¿Cuántos estudian exactamente una materia? c) ¿Cuántos estudian máximo dos materias? d) ¿Cuántos estudian por lo menos una materia? e) ¿Cuántos estudian física y química, pero no matemática? 11. Se entrevistó a 3200 personas sobre el tipo de transporte que utilizan para desplazarse en el área metropolitana de una capital. 1950 personas respondieron que utilizan el metro, 400 utilizan motocicleta, 1500 utilizan bus, 800 utilizan bus y metro y ninguno de los que se transporta en motocicleta utiliza bus o metro. Determinar

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN CIENCIAS SOCIALES ESPACIO DE FORMACIÓN: Pensamiento lógico – matemático. TALLER 1: Teoría de conjuntos. a) El número de personas que sólo utiliza metro b) El número de personas que utiliza máximo dos medios de transporte 12. Al entrevistar a 200 personas con discapacidad se obtuvo los siguientes resultados: 60 personas con pérdida total de la voz, 90 personas con pérdida de la visión de los cuales 20 también tenían pérdida de la voz. De la población entrevistada 70 se dedicaban a conseguir su sustento como cantantes, de los cuales 30 pertenecen al grupo de personas con pérdida de la visión. Determine cuantos de los entrevistados que no son cantantes no tienen perdida de la visión ni de la voz. 13. En un evento de divulgación organizado por la universidad hay 6 abogados y 8 sociólogos. De los 6 abogados 3 son sociólogos y de los 8 sociólogos 3 son abogados. ¿Cuántos tienen una sola profesión? 14. Para un grupo de 50 estudiantes de primer semestre se logra establecer que: 30 aprueban matemáticas, 30 aprueban lenguaje, 35 aprueban epistemología. Adicionalmente se determina que 18 estudiantes aprueban matemática y lenguaje, 19 aprueban lenguaje y epistemología; 20 aprueban matemática y epistemología y por último 10 estudiantes aprueban los tres cursos. ¿Cuántos estudiantes no aprueban ninguno de los tres cursos? 15. De un grupo de 120 personas, beben,

del total no

del grupo no fuman y 72 personas no

fuman ni beben. a) ¿Cuántas personas fuman y beben? b) ¿Cuántas personas no fuman ni beben? 16. De un grupo de 100 estudiantes de la licenciatura en sociales, 49 no están tomando el curso de matemáticas y 53 no están cursando cultura política. Si 27 estudiantes no están cursando ninguno de los dos cursos

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¿Cuántos estudiantes están cursando sólo uno de los cursos? 17. En una población el 50% consume leche de manera frecuente y el 40% consume carne de res frecuentemente. Por otra parte, el 54% de la población sólo come carne o sólo consume leche. ¿Cuál es el porcentaje de la población que no toma leche ni consume carne? 18. 300 estudiantes ingresaron a una universidad en el último periodo académico. De ellos, 160 estudiantes se inscribieron en natación y 135 se inscribieron en gimnasia. Si 30 estudiantes de primer semestre, no pertenecen a ninguna de las dos disciplinas deportivas ¿Cuántos estudiantes se inscribieron en las dos disciplinas? 19. Se seleccionó una muestra al azar de 64 estudiantes de la licenciatura en sociales. Se observa que la cantidad de estudiantes que cursan sólo inglés en el instituto de lenguas es el triple de los que estudian inglés y francés simultáneamente. Los estudiantes que estudian solo francés son la mitad de los que estudian inglés y 4 estudiantes no cursan ni ingles ni francés. ¿Cuántos estudiantes cursan sólo inglés?