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• Andres Felipe Camacho

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ESTADISTICA Y PROBABILIDAD (MA1040)

GRUPO 300

PROFESOR OSCAR ROMERO

VIRTUAL HORARIO DE LA CLASE: SÁBADO 16:00 – 20:00

TALLER 9-NOVIEMBRE-2019 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD: POISSON E HIPERGEOMÉTRICA

NOMBRE: LUZ ANYELA LOSADA CORTES

2019-II

5.39 Sea x una variable aleatoria de Poisson con media m _ 2. Calcule estas probabilidades: a. P(x _ 0) = 0.135335 b. P(x _ 1)= 0.27067 c. P(x 1) = 0.593994 d. P(x _ 5)= 0.036089 5.41 Poisson vs. binomial Sea x una variable aleatoria con n _ 20 y p _ .1. a. Calcule P(x _ 2) usando la tabla 1 del apéndice I para obtener la probabilidad binomial exacta. 0.677 b. Use la aproximación de Poisson para calcular P(x _ 2). 0.6767 c. Compare los resultados de los incisos a) y b). ¿Es precisa la aproximación? SI 5.43 Seguridad en un aeropuerto El mayor número de pequeños aviones de vuelos cortos en aeropuertos importantes ha aumentado la preocupación por la seguridad en el aire. Un aeropuerto de la región este ha registrado un promedio mensual de cinco accidentes que casi ocurren en aterrizajes y despegues en los últimos 5 años. a. Encuentre la probabilidad de que durante un mes determinado no haya accidentes que casi ocurren en aterrizajes y despegues en el aeropuerto. P(X=0) = 5⁰ (2,71828)⁻⁵/0! P(X=0) = 0,006738 b. Encuentre la probabilidad de que durante un mes determinado haya cinco accidentes que casi ocurren. P(X=5) = 5⁵ (2,71828)⁻⁵/5! P(X=5) = 0,175468

c. Encuentre la probabilidad de que haya al menos cinco accidentes que casi ocurren durante un mes particular. P (X≤5) = P(X=0) + P (X=1) + P (X = 2)+ P (X=3) + P(X=4)+ P(X 5.45 Propenso a accidentes Los padres preocupados porque sus hijos son “propensos a accidentes” pueden estar tranquilos, de acuerdo a un estudio realizado por el Departamento de Pediatría de la Universidad de California, San Francisco. Los niños que se lesionan dos o más veces tienden a sufrir estas lesiones durante un tiempo relativamente limitado, por lo general un año o menos. Si el número promedio de lesiones por año para niños en edad escolar es de dos, ¿cuáles son las probabilidades de estos eventos? a. Un niño sufrirá dos lesiones durante el año. K = 1/4 de año

P( X = 2) = 2∧1/4 * 2,71828∧-2 / 1/4! = 0,5 * 0,1353 /0,0416 = 0.271 b. Un niño sufrirá dos o más lesiones durante el año. P ( X ≥ 2) = P (X=2 ) + P (X=1) =0. 594 c. Un niño sufrirá a lo sumo una lesión durante el año. K = 1/4 de año

P( X = 1) = 2∧1/4 * 2,71828∧-2 / 1/4! = 0,5 * 0,1353 /0,0416= 0,0416 5.47 Bacterias en muestras de agua Si una gota de agua se pone en la platina y se examina bajo un microscopio, el número x de un tipo particular de bacteria presente se ha encontrado que tiene una distribución de probabilidad de Poisson. Suponga que la cantidad máxima permisible por espécimen de agua para este tipo de bacteria es cinco. Si la cantidad media para el suministro de agua de usted es de dos y usted prueba una sola muestra, ¿es probable que la cantidad exceda la cantidad máxima permisible? Explique. P(X=0)= μ⁰ / 0! ⋅ 1/e² = 1/e² P(X=1)= μ¹ / 1! ⋅ 1/e² = 2 ⋅ 1/e² P(X=2)= μ² / 2! ⋅ 1/e² = 2 ⋅ 1/e² P(X=3)= μ³ / 3! ⋅ 1/e² = 4/3 ⋅ 1/e²

P(X=4)= μ⁴ / 4! ⋅ 1/e² = ⅔ ⋅ 1/e² P(X=5)= μ⁵ / 5! ⋅ 1/e² = 4/15 ⋅ 1/e² P(X=0)+...+P(X=5) = (1 + 2 + 2 + 4/3 + ⅔ + 4/15) ⋅ 1/e² = 109/(15e²) ≈ 0,9834364 P(X>5) = 1 - P(X≤5) = 1 - 0,9834364 ≈ 0,0165636 ≈ P(x _ 5) _ .017; improbable.

5.51 Sea x una variable aleatoria hipergeométrica con N _ 15, n _ 3 y M _ 4. a. Calcule p(0), p(1), p(2) y p(3). p(0) _ .36; p(1) _ .48 p(2) _ .15; p(3) _ .01 c. m _ .8, s2 _ .50286 b. Construya el histograma de probabilidad para x. c. Use las fórmulas dadas en la sección 5.4 para calcular m _ E(x) y s 2. d. ¿Qué proporción de la población de mediciones cae en el intervalo (m 2s)? ¿En el intervalo (m 3s)? ¿Estos resultados concuerdan con los dados por el teorema de Chebyshev? 0.99; 0.99; sí 5.53 Chips de computadora defectuosos Una pieza de equipo electrónico contiene seis chips de computadora, dos de los cuales están defectuosos. Tres chips de computadora se seleccionan para inspeccionarlos y se registra el número de los defectuosos. Encuentre la distribución de probabilidad para x, el número de chips de computadora defectuosos. Compare sus resultados con las respuestas obtenidas en el ejercicio 4.90. x=0 --> Gates no se lleva ninguno defectuosos x=6 --> Gates no se lleva todos los defectuosos P(X=0) = C(6,0) * C(20-6,8-0) / C(20,8) = C(6,0) * C(14,8) / C(20,8) = 0.0238 P(X=6) = C(6,6) * C(20-6,8-6) / C(20,8) = C(6,6) * C(14,2) / C(20,8) = 0.0007 p(0) _ 0.0238;

p(1) _ 0.6; p(2) _ 0.2 5.55 Credenciales para enseñanza En el sur de California, un creciente número de personas que buscan una credencial para enseñanza están escogiendo internados pagados en los tradicionales programas estudiantiles para enseñanza. Un grupo de ocho candidatos para tres posiciones locales de enseñanza estaba formado por cinco candidatos, que se habían inscrito en internados pagados y tres candidatos que se habían inscrito en programas tradicionales estudiantiles para enseñanza. Supongamos que los ocho candidatos están igualmente califi cados para las posiciones. Represente con x el número de candidatos capacitados en un internado que son contratados para estas tres posiciones. a. ¿La x tiene una distribución binomial o una distribución hipergeométrica? Apoye su respuesta. Es una probabilidad hipergeometrica ya que se tiene una muestra de tamaño fijo cuando usted conoce el número total de elementos en la población de la cual proviene la muestra y los eventos se moldean a esta población. Cada elemento de la muestra tiene dos resultados posibles, en nuestro caso calificar o no a alguna de las tres posiciones posibles b. Encuentre la probabilidad de que tres candidatos capacitados en internado sean contratados para estas posiciones. N= 8 n= 5 k=3 x=3 P(X) = Ck,x* CN-k,n-x/ CN,n P(3) = C3,3 *C5,2/C8,5 P(3/5) = 1*10/56 = 0,1785 c. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tres contratados sea capacitado en internado? 0.01786 d. Encuentre P(x _ 1). N= 8

n= 3 k=3 x=3 P(3) = C3,3 *C5,0/C8,3 P(3/5) = 1*1/56 = 0,01785 0.2857