• Author / Uploaded
• Thomas Bustos Ortiz

Citation preview

Curso: Semestre: Profesores:

´s Bello Universidad Andre Facultad de Ingenier´ıa Ingenier´ıa Civil Industrial

ICI 2204 - M´etodos matem´ aticos 1-2018 Diego Beneventti - Samantha Reid Juan Carlos Vel´ asquez

Taller 5 Plazo: Domingo 3 de Junio, 23:59 Instrucciones:  S´ olo se permitir´ an grupos de m´ınimo 4 integrantes y m´aximo 5 integrantes, o de lo contrario existir´ a una penalizaci´ on en la nota.  El taller se entrega de manera virtual en el aula virtual en la secci´on ”Entrega de Trabajos” en el apartado ”Taller 5”.

Nombre Integrantes:

1.

Ejercicio 1 (20 puntos)

Considere la siguiente funci´ on: f (x) = 2x + ex arctan(x + 1) (a) (10 ptos.) Calcule la segunda derivada utilizando la f´ormula de tres puntos para x = 1,5 y h = 0,05. (b) (10 ptos.) Calcule la primera derivada utilizando el M´etodo de Extrapolaci´on de Richardson para x = 1,5 y h = 0,1.

Respuesta (a) f (xi + h) + f (xi − h) − 2f (xi ) h2 f (1,55) + f (1,45) − 2f (1,5) f 00 (1,5) = 0,052 [21,55 + e1,55 arctan(2,55)] + [21,45 + e1,45 arctan(2,45)] − 2[21,5 + e1,5 arctan(2,5)] f 00 (1,5) = 0,0025 8,56813 + 7,77651 − 2 ∗ 8,16294 f 00 (1,5) = = 7,504 0,0025 f 00 (xi ) =

(b) 4 1 D ≈ D(h2 ) − D(h1 ) 3 3 f (xi+2 ) − f (xi−2 ) D(h1 ) = 2h1 f (xi+1 ) − f (xi−1 ) D(h2 ) = 2h2 xi−2 = 1,4 xi−1 = 1,45

f (1,45) = 7,777

xi = 1,5

f (1,5) = 8,163

xi+1 = 1,55

f (1,55) = 8,568

xi+2 = 1,6 8,993 − 7,048 f (1,6) − f (1,4) = = 7,925 D(0,1) = 2 ∗ 0,1 0,2 f (1,55) − f (1,45) 8,568 − 7,777 D(0,05) = = = 7,91 2 ∗ 0,05 0,1 4 1 D = (7,91) − (7,925) = 7,905 3 3

2.

f (1,4) = 7,408

f (1,6) = 8,993

Ejercicio 2 (50 puntos)

Un campesino desea cubrir un campo de cultivo que posee una forma descrita por la curva: f (x) = e2x − sin(3x) Para esto, se debe calcular el ´ area encerrada por esta curva desde x = 0 hasta x = 3,141. Resuelva mediante: a) (5 ptos. c/u) Trapecio, Simpson 1/3 y Simpson 3/8. b) (5 ptos. c/u) Trapecio Compuesto, Simpson 1/3 Compuesto y Simpson 3/8 Compuesto, todos con n = 8. c) (8 ptos.) Resuelva mediante Romberg-Richardson con 3 subintervalos. d) (2 ptos. c/u) Considere el valor obtenido en (c) como exacto o verdadero, determine los errores obtenidos en (a) y (b).

Respuesta La integral tiene la siguiente forma: 3,141 Z

e2x − sin(3x)dx

0

(a)

 Trapecio: h [f (x0 ) + f (x1 )] 2   b−a = [f (0) + f (3,141)] 2   3,141 − 0 = [e0 − sin(0) + e2∗3,141 − sin(3 ∗ 3,141)] 2

I=

= 1,571 ∗ [1 + 534,856] = 841,562  Simpson 1/3: b−a 3,141 − 0 = = 1,571 2 2 h I = [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] 3 1,571 = [f (0) + 4f (1,571) + f (3,141)] 3 = 0,524 ∗ [1 + 4 ∗ (24,1501) + 534,856] = 331,196

h=

 Simpson 3/8: 3,141 − 0 b−a = = 1,047 3 3 3h I= [f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] 8 3 ∗ 1,047 = [f (0) + 3f (1,047) + 3f (2,094) + f (3,141)] 8 = 0,393 ∗ [1 + 3 ∗ 8,11673 + 3 ∗ 65,8921 + 534,856] = 297,564

h=

(b) Calculo de manera previa los 8 a trav´es del h: h=

b−a 3,141 − 0 = = 0,393 8 8

Y los puntos ser´ıan:

xa = x0 = 0 x1 = 0,393 x2 = 0,786 x3 = 1,179 x4 = 1,572 x5 = 1,965 x6 = 2,358 x7 = 2,751 xb = x8 = 3,141 Trapecio Compuesto: h [f (xa ) + 2 ∗ f (xa + h) + ... + f (xb )] 2 0,393 = [f (0) + 2 ∗ [f (0,393) + f (0,786) + f (1,179) + f (1,572) + ... + f (2,751)] + f (3,141)] 2 = 0,197 ∗ [1 + 2 ∗ {1,27038 + 4,11011 + 10,955 + 24,1965 + 51,2855 + 111,01 + 244,26} + 534,856]

I=

= 0,197 ∗ [1429,97] = 280,989  Simpson 1/3 Compuesto: h [f (x0 ) + 4 ∗ [f (x1 ) + f (x3 ) + f (x5 ) + f (x7 )] + 2 ∗ [f (x2 ) + f (x4 ) + f (x6 )] + f (x8 )] 3 0,393 = [1 + 4 ∗ {1,27038 + 10,955 + 51,2855 + 244,26} + 2 ∗ {4,11011 + 24,1965 + 111,01} + 534,856] 3 = 0,131 ∗ [2045,57] = 267,97

I=

 Simpson 3/8 Compuesto: 3h [f (x0 ) + 3 ∗ {f (x1 ) + f (x2 ) + f (x4 ) + f (x5 ) + f (x7 )} + 2 ∗ {f (x3 ) + f (x6 )} + f (x8 )] 8 = 0,147 ∗ [1 + 3 ∗ {1,27038 + 4,11011 + 24,1965 + 51,2855 + 244,26}+

I=

2 ∗ {10,955 + 111,01} + 534,856] = 0,147 ∗ [1755,15] = 258,666

(c) Como trabajamos con tres subintervalos, es necesario calcular hasta R4,4  Paso 1: Calcular R1,1 con trapecio simple, lo cual se realiza en un punto anterior, dando como resultado 841,562.  Paso 2: Calcular R2,1 , R3,1 y R4,1 : h1 = 3,141 h2 = 1,571 h3 = 0,785 h4 = 0,393 1

X 1 R2,1 = [R1,1 + h1 ∗ f (x0 + (2k − 1)h2 )] 2 k=1

= 0,5 ∗ [841,562 + 3,141 ∗ f (0 + (2 ∗ 1 − 1) ∗ 1,571)] = 0,5 ∗ [841,562 + 3,141 ∗ f (1,571)] = 0,5 ∗ [841,562 + 3,141 ∗ 24,1501] = 0,5 ∗ [917,417] = 458,709 2

X 1 f (x0 + (2k − 1)h3 )] R3,1 = [R2,1 + h2 ∗ 2 k=1

= 0,5 ∗ [458,709 + 1,571 ∗ {f (0 + (2 ∗ 1 − 1) ∗ 0,785) + f (0 + (2 ∗ 2 − 1) ∗ 0,785)}] = 0,5 ∗ [458,709 + 1,571 ∗ {f (0,785) + f (2,355)}] = 0,5 ∗ [458,709 + 1,571 ∗ {4,0987 + 110,348}] = 0,5 ∗ [638,505] = 319,253 4

X 1 R4,1 = [R3,1 + h3 ∗ f (x0 + (2k − 1)h4 )] 2 k=1

= 0,5 ∗ [319,253 + 0,785 ∗ {f (0 + (2 ∗ 1 − 1) ∗ 0,393) + f (0 + (2 ∗ 2 − 1) ∗ 0,393)+ f (0 + (2 ∗ 3 − 1) ∗ 0,393) + f (0 + (2 ∗ 4 − 1) ∗ 0,393)}] = 0,5 ∗ [319,253 + 0,785 ∗ {f (0,393) + f (1,179) + f (1,965) + f (2,751)}] = 0,5 ∗ [319,253 + 0,785 ∗ {1,27038 + 10,955 + 51,2855 + 244,26}] = 0,5 ∗ [560,853] = 280,427

 Paso 3: Se calculan las columnas R2,2 , R3,2 , R3,3 , R4,2 , R4,3 y R4,4 . Para esto se utiliza la f´ormula: Ri,j =

4j−1 Ri,j−1 − Ri−1,j−1 4j−1 − 1

R2,2 =

41 R2,1 − R1,1 4 ∗ 458,709 − 841,562 = = 331,091 1 4 −1 4−1

R3,2 =

41 R3,1 − R2,1 4 ∗ 319,253 − 458,709 = = 272,768 1 4 −1 4−1

R3,3 =

42 R3,2 − R2,2 16 ∗ 272,768 − 331,091 = = 268,88 2 4 −1 16 − 1

R4,2 =

41 R4,1 − R3,1 4 ∗ 280,427 − 319,253 = = 267,485 41 − 1 4−1

R4,3 =

42 R4,2 − R3,2 16 ∗ 267,485 − 272,768 = = 267,133 2 4 −1 16 − 1

R4,4 =

43 R4,3 − R3,3 64 ∗ 267,133 − 268,88 = = 267,105 3 4 −1 64 − 1

Por lo tanto, el resultado final es I = 267,105 (d)

 Trapecio: t =

267,105 − 841,562 ∗ 100 % = 251,068 % 267,105

t =

267,105 − 331,196 ∗ 100 % = 23,9947 % 267,105

t =

267,105 − 297,564 ∗ 100 % = 11,4034 % 267,105

t =

267,105 − 280,989 ∗ 100 % = 5,19796 % 267,105

 Simpson 1/3:

 Simpson 3/8:

 Trapecio Compuesto:

 Simpson 1/3 Compuesto: t =

267,105 − 267,97 ∗ 100 % = 0,323843 % 267,105

 Simpson 3/8 Compuesto: t =

267,105 − 258,666 ∗ 100 % = 3,15943 % 267,105

3.

Ejercicio 3 (50 puntos)

Calcule el valor de la siguiente integral, mediante los siguientes m´etodos: Z7

20 v −3/2

dv

1

(a) (5 ptos. c/u, excepto Trapecio que vale 4 ptos.) Trapecio, Simpson 1/3 y Simpson 3/8. (b) (5 ptos. c/u) Trapecio Compuesto, Simpson 1/3 Compuesto y Simpson 3/8 Compuesto, con n = 6. (c) (3 ptos. c/u) Cuadratura Gaussiana con 2, 3 y 4 puntos. (d) (2 ptos. c/u) Considere el valor obtenido en (c) como exacto (con 4 puntos), ¿cu´ales son los errores de los valores obtenidos en (a)?

Respuesta (a)

 Trapecio: h [f (x0 ) + f (x1 )] 2   b−a = [f (1) + f (7)] 2    7−1 20 20 = + 2 1−3/2 7−3/2 = 3 ∗ [20 + 370,41] = 1171,23

I=

 Simpson 1/3: b−a 7−1 = =3 2 2 h I = [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] 3 3 = [f (1) + 4f (4) + f (7)] 3     20 20 20 = 1 ∗ −3/2 + 4 ∗ 1 3−3/2 7−3/2 = 1 ∗ [20 + 4 ∗ 160 + 370,41] = 1030,41

h=

 Simpson 3/8: b−a 7−1 = =2 3 3 3h I= [f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] 8 3∗2 = [f (1) + 3f (3) + 3f (5) + f (7)] 8 = 0,75 ∗ [20 + 3 ∗ 103,9 + 3 ∗ 223,6 + 370,41] = 1029,68

h=

(b) Calculo de manera previa los 6 a trav´es del h: h=

b−a 7−1 = =1 8 6

Y los puntos ser´ıan:

xa = x0 = 1 x1 = 2 x2 = 3 x3 = 4 x4 = 5 x5 = 6 xb = x6 = 7  Trapecio Compuesto: h [f (xa ) + 2 ∗ f (xa + h) + ... + f (xb )] 2 1 = [f (1) + 2 ∗ [f (2) + f (3) + f (4) + f (5) + f (6)] + f (7)] 2 = 0,5 ∗ [20 + 2 ∗ {56,57 + 103,92 + 160 + 223,1 + 293,94} + 370,41]

I=

= 0,5 ∗ [2065,47] = 1032,74  Simpson 1/3 Compuesto: h [f (x0 ) + 4 ∗ [f (x1 ) + f (x3 ) + f (x5 )] + 2 ∗ [f (x2 ) + f (x4 )] + f (x6 )] 3 1 = [20 + 4 ∗ {56,57 + 160 + 293,94} + 2 ∗ {103,92 + 223,61} + 370,41] 3 = 0,333 ∗ [3087,51] = 1029,17

I=

 Simpson 3/8 Compuesto: 3h [f (x0 ) + 3 ∗ {f (x1 ) + f (x2 ) + f (x4 ) + f (x5 )} + 2 ∗ {f (x3 )} + f (x6 )] 8 3∗1 = [f (1) + 3 ∗ {f (2) + f (3) + f (5) + f (6)} + 2 ∗ {f (4)} + f (7)] 8 = 0,375 ∗ [20 + 3 ∗ {56,57 + 103,92 + 223,61 + 293,94} + 2 ∗ {160} + 370,41]

I=

= 0,375 ∗ [2744,53] = 1029,2

(c) Las cuadraturas Gaussianas presentan la forma:  I=

7−1 2

X n 1



7−1 1+7 wi f zi + 2 2



 Cuadratura Gaussiana con 2 puntos: I = (3)

2 X

wi f [3zi + 4]

1

= 3 ∗ [1 ∗ f (3 ∗ (−0,577350) + 4) + 1 ∗ f (3 ∗ (0,577350) + 4] = 3 ∗ [1 ∗ f (2,268) + 1 ∗ f (5,732)] = 3 ∗ [68,312 + 274,466] = 1029,23  Cuadratura Gaussiana con 3 puntos: I = (3)

3 X

wi f [3zi + 4]

1

= 3 ∗ [0,555556 ∗ f (3 ∗ (−0,774597) + 4) + 0,888889 ∗ f (3 ∗ (0) + 4 + 0,555556 ∗ f (3 ∗ (0,774597) + 4] = 3 ∗ [0,555556 ∗ f (1,67621) + 0,888889 ∗ f (4) + 0,555556 ∗ f (6,3238)] = 3 ∗ [0,555556 ∗ 43,4033 + 0,888889 ∗ 160 + 0,555556 ∗ 318,051] = 3 ∗ [343,03] = 1029,09  Cuadratura Gaussiana con 4 puntos: I = (3)

4 X

wi f [3zi + 4]

1

= 3 ∗ [0,347855 ∗ f (3 ∗ (−0,861136) + 4) + 0,652145 ∗ f (3 ∗ (−0,339981) + 4) + 0,652145 ∗ f (3 ∗ (0,339981) + 4) + 0,347855 ∗ f (3 ∗ (0,861136) + 4)] = 3 ∗ [0,347855 ∗ f (1,41659) + 0,652145 ∗ f (2,98) + 0,652145 ∗ f (5,01994) + 0,347855 ∗ f (6,58341)] = 3 ∗ [0,347855 ∗ 33,721 + 0,652145 ∗ 102,886 + 0,652145 ∗ 224,946 + 0,347855 ∗ 337,836] = 3 ∗ [343,042] = 1029,13

(d)

 Trapecio: t =

1029,13 − 1171,23 ∗ 100 % = 13,8078 % 1029,13

t =

1029,13 − 1030,41 ∗ 100 % = 0,124377 % 1029,13

t =

1029,13 − 1029,68 ∗ 100 % = 0,053443 % 1029,13

t =

1029,13 − 1032,74 ∗ 100 % = 0,350782 % 1029,13

 Simpson 1/3:

 Simpson 3/8:

 Trapecio Compuesto:

 Simpson 1/3 Compuesto: t =

1029,13 − 1029,17 ∗ 100 % = 0,003887 % 1029,13

 Simpson 3/8 Compuesto: t =

1029,13 − 1029,2 ∗ 100 % = 0,006802 % 1029,13