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• Daniel Antonio Vanegas Cano

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UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matem´ aticas

TALLER Profesores: H. Fabi´ an Ram´ırez y S. Carolina Garc´ıa MATRICES, DETERMINANTES Y ESPACIOS VECTORIALES ´ OBSERVACION: “N.A” significa “Ninguna de las Anteriores”.       1 0 0 1 1 1 2 −1 0 1. Sean A =  1 1 2 , B = 1 2 2 , C = −1 0 1 −1 1 3 1 2 1 0 1 1 • Simplifique y calcule X = 4A−1 (AB −1 C + AC)(2B −1 C)−1   0 −1 2 • Encuentre Y tal que AY = 1 2 0. 0 1 0

2. Dadas las matrices A, B, C y D, identifique las expresiones matriciales que est´ an bien definidas y calc´ ulelas.         3 5 1 −2 1 1/3 0 2 −1 2 −2   0 −2 A= B= C= D= 5 0 −3 2 −3 −1 4 −3 −1 −1 1 (a) 2(A − B) + 3A + 2B

(d) 3[−5(A + 2B − D)] − 2[ 12 (A + 2B − D)]

(c) −2(ACB + DCB)

(f) (AT D)−1 − C −1

(e) AT B + AT D + C T D

(b) −3(A + B − C) − 2D

(g) Calcule la componente (1, 2) de BC, la segunda fila de BC y la tercera columna de BC. 3. Dadas las matrices invertibles A y B y el vector b    √ 1/3 2 1 −1 A= 5 B= 0 1 −3 0 0 3 −7

 0 0 −1 −1/2 2 3



 2 b= 1  −5

−1  b calcule [AB + 3A]T 12 B T AT   1 −1 1 2 1, determine si tiene inversa. En caso afirmativo, exprese la matriz A como un 4. Sean A =  0 −1 1 1 producto de matrices elementales. 5. Demuestre (a) Si A es invertible y AB = AC, entonces B = C.

(b) AAT es una matriz sim´etrica para cualquier matriz A.

(c) Si la matriz A es invertible y AB = O, entonces B = O. ´ 6. Las siguientes proposiciones son FALSAS justifique el POR QUE. (a) Si las columnas de una matriz forman un conjunto de vectores l.i., la matriz es invertible.

(b) La suma de dos matrices invertibles es una matriz invertible. 1

(c) Si la soluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales homog´eneo es u ´nica, la matriz de coeficientes del sistema es invertible.

(d) Si la suma de dos matrices es invertible, cada una de las matrices es invertible.

(e) El producto de dos matrices cuadradas siempre es invertible.

(f) Si el sistema Ax = b tiene soluci´ on u ´nica, la matriz A es invertible.

(g) Para concluir que una matriz es invertible, es necesario calcular su inversa.

(h) Si la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales es invertible, el sistema tiene soluci´ on u ´nica.

(i) Si el producto de dos matrices es invertible, cada una de las matrices es invertible. ´ 7. Las siguientes proposiciones son VERDADERAS justifique el POR QUE. (a) Cualquier m´ ultiplo diferente de cero de una matriz invertible es invertible.

(b) Si una matriz es invertible, cualquier forma escalonada equivalente tambi´en es invertible.

(c) Si la forma escalonada equivalente de una matriz es invertible, la matriz tambi´en es invertible.

(d) Si la matriz A es invertible, el sistema Ax = b tiene soluci´ on u ´nica.

(e) Si la suma de las columnas de una matriz es igual al vector 0, la matriz no es invertible.

(f) Si el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones, la matriz A no es invertible.

(g) Si el sistema Ax = b tiene soluci´ on u ´nica y A es cuadrada, la matriz A es invertible.

2

(h) Si la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales es invertible, el sistema es inconsistente. DEF: Decimos que una matriz A es idempotente, si y s´ olo si, A2 = A y decimos que una matriz A es nilpotente, k si y solo si, existe un k ∈ N tal que A = O. 8. Demuestre porque son VERDADERAS las siguientes proposiciones (a) Ninguna matriz nilpotente es invertible.

(b) La matriz id´entica es una matriz idempotente.

(c) Una matriz triangular con los elementos de la diagonal iguales a cero es una matriz nilpotente.

(d) Si A4 = O, la matriz A es nilpotente.

(e) Si A4 = O, la matriz A2 es nilpotente.

(f) Si A4 = A2 , la matriz A2 es idempotente.

(g) Si A es idempotente, A2 tambi´en es idempotente. 9. Demuestre porque son FALSAS las siguientes proposiciones (a) Toda matriz idempotente es invertible.

(b) Si A4 = A2 , la matriz A es idempotente. DEF: Decimos que una matriz A cuadrada es ortogonal, si y solo si, las columnas de A son vectores unitarios y ortogonales entre si. 10. Demuestre porque son VERDADERAS las siguientes proposiciones (a) Si A es una matriz ortogonal, entonces AT A = I.

(b) Toda matriz ortogonal es invertible.

(c) Si A es una matriz ortogonal, entonces AAT = I.

(d) Si A es una matriz ortogonal, entonces AT tambi´en es ortogonal.

3

(e) La matriz id´entica es ortogonal.

(f) La inversa de una matriz ortogonal es su transpuesta.

(g) Si A es una matriz ortogonal, la soluci´ on del sistema de ecuaciones lineales Ax = b es x = AT b. 11. Demuestre que si A es una matriz sim´etrica e invertible, entonces A−1 es sim´etrica. 12. Sea una matriz n × n tal que A4 = O. Verifique que (I − A)−1 = I + A + A2 + A3 .

13. Pruebe que: Si Ak = O, para alg´ un k ∈ Z y AB = B, entonces B = O.

14. Sean A y B dos matrices cuadradas sim´etricas de orden n. Pruebe que: AB es sim´etrica si y s´ olo si A y B conmutan 15. Para cualquier matriz m × n. Muestre que AT A y AAT est´ an siempre definidas y adem´ as son sim´etricas

16. Si A es invertible, pruebe que AT es invertible y adem´ as (AT )−1 = (A−1 )T   2 3 −2 17. Si p(t) = t3 − 6t2 − 5t − 12 y A =  0 5 4 , se verifica que p(A) = A3 − 6A2 − 5A − 12I es igual a la 1 0 −1 matriz nula? 18. Pruebe que si A es idempotente entonces (AB − ABA)2 = O para todo B. 19. Simplifique la expresi´ on:

1 1 B(B −1 AT C + B −1 C)( AT C)−1 3 6

20. Pruebe que si la matriz An×n satisface A2 − 2A + I = O, entonces A es  0 21. Halle los valores de a para los cuales se tiene que tr(A) = 0 si A =  a 0

invertible. Halle A−1 .   1 0 a 1 0 0 1   1 −a 0  0 −a 0 0 −a

3 22. Al escalonar  la matriz A,  se aplicaron las operaciones elementales F2 + 2 F1 → F2 , F3 + F2 → F3 , y se obtuvo 2 −4 0 la matriz 0 −7 7  0 0 12

(a) Existe det A? 23. Si A y B son matrices 5 × 5 tales que det A = −3 y det B = 1/2, calcule, de ser posible, (a) det(A−1 ).

(d) det(A + B).

(g) det[(3A)−1 ].

(b) det(2B).

(e) det(A2 ).

(h) det[Adj(A)].

T

(c) det(AB).

(i) det[(2B)−1 A(Adj(A))B 2 ]

(f) det(A ).

24. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales F2 + 2F1 → F2 , F3 − 52 F1 → F3 y  −2 4 4  0 11 6  F → F y se obtuvo la matriz F3 + 10 3 11 2 0 0 −17/11 (a) Calcule det A.

(c) Calcule det Adj(A).

−1

(b) Existe A

25. Demuestre que 26. Simplifique 

? 

λ 0

n  n 1 λ = 0 λ

nλn−1 λn



T  1 1  1 −1 −1 −1 T −1 T −1 −1 A − 2B(2B) + (A + B)(A + B ) + B (A ) − A(BA ) = 2 2 2 4

27. Por qu´e son FALSAS las siguientes proposiciones (a) Una matriz ortogonal sim´etrica es una matriz idempotente.

(b) El determinante de 3A es 3 veces el determinante de A.

(c) Si el determinante de la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es cero, el sistema es inconsistente.

(d) Si el determinante del producto de dos matrices es cero, una de las matrices es cero.

(e) Toda matriz es el producto de matrices elementales.

(f) Si dos matrices tienen dos filas iguales, sus determinantes tambi´en son iguales.

(g) Al pre-multiplicar una matriz por una matriz elemental, el determinante de la matriz no cambia.

(h) Si el determinante del producto de dos matrices es cero, el determinante de una de las matrices es cero.

(i) Si la soluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales homog´eneo cuadrado es u ´nica, el determinante de la matriz de coeficientes del sistema puede ser cero.

(j) Toda matriz cuadrada A 6= O es el producto de matrices elementales. 28. Porque son VERDADERAS las siguientes proposiciones (a) Si las columnas de una matriz cuadrada son l.i., el determinante de la matriz es diferente de cero.

(b) Si la matriz A es invertible, la matriz A4 tambi´en es invertible.

(c) Si la matriz A es invertible, su matriz adjunta tambi´en es invertible.

(d) Si la suma de las columnas de una matriz es igual al vector 0, su determinante es cero.

5

(e) Si el determinante de una matriz es cero, una columna es combinaci´on lineal de las otras.

(f) Toda matriz elemental es invertible. 29. Para cada una de las siguientes afirmaciones, d´e una demostraci´ on o en su lugar un contraejemplo. (a) Si A y B son ortogonales entonces, A + B es ortogonal.

(b) Si A y B son ortogonales entonces, AB es ortogonal.

(c) Si A y AB son ortogonales entonces B es ortogonal.

(d) Si A es ortogonal entonces A−1 tambien es ortogonal. 5 30. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones  elementales F1 ↔F3 , F2 + 2F1 → F2 , F3 − 2 F1 → F3 , −2 4 4  0 11 6  5F2 → F2 y F3 + 10 11 F2 → F3 y se obtuvo la matriz 0 0 −17/11

(a) Calcule det A. −1

(b) Existe A

(c) Calcule el det U

?

(d) Calcule det Adj(A).

31. Demuestre que si A no es invertible, entonces Adj(A) tampoco es invertible. 32. Calcular la inversa, siempre que exista, de las matrices: Ayuda: Recuerden a su amigo Jordan          1 0 2 4 6 1 1 1 2 −1 0 0 1 0 A =  4 5 6  , B =  2 2 2  , C =  −1 0 1  , D =  1 0 0  , E =  0 1 3 1 −2 1 2 1 0 1 1 0 0 1 0 0   1 0 1 33. ¿Es posible expresar la matriz A =  1 2 −1  como un producto de matrices elementales? 0 2 −2 34. Encuentre la inversa del producto 

1 0  0 1 0 −c

 1 0 0  0 1 −b

35. Calcular los determinantes de las siguientes matrices:

 0 0 1 1 0   −a 0 1 0

0 1 0

 0 0 . − 31

 0 0  1

      1 2 −1 1 0 1 0 1 2 −1 0 1 1 1  3 0  1 0 0 0  1 2 2 −1   A= , B =  2 2 2  , C =  −1 0 1  , D =   0 0 1 0  , E =  1 −1 2 1 3 5 1 2 1 0 1 1 1 0 3 −2 1 0 3 0 a1 a2 a3 36. Si |A| = b1 b2 b3 = −4, calcule los determinantes de las matrices c1 c2 c3       a1 a2 a3 a1 a2 a3 a3 a2 a1 b2 b3  , y D =  b1 + 4c1 b2 + 4c2 b3 + 4c3  . B =  b3 b2 b1  , C =  b1 c1 c2 c3 2c1 2c2 2c3 c3 c2 c1   a1 a2 a3 37. Si  b1 b2 b3  y det A = 51 , calcule, de ser posible, el determinante de las siguientes matrices c1 c2 c3 





6



 . 



a1  b1 c1 − 2a1 a b c 38. Si d e f g h i

    a1 a1 a3 5a1 − a2 a2 a3   ,  b1 b3 5b1 − b2  b1 b2 b3 3c1 − 2a1 c1 c3 5c1 − c2 c2 − 2a2 c3 − 2a3 = 10, calcule d e f 4a − 7d 4b − 7e 4c − 7f 3a 3b 3c , g h i g h i d e f

a2 b2 3c2 − 2a2

 a3  b3 3c3 − 2a3

39. Sean |A| = 4, |B| = −2, |C| = 3 donde A, B, C son matrices 3 × 3. Determine −1   adjA A−1 BC T + (AB T C −1 )−1

40. Use propiedades de determinantes para probar que a+b a a a

a a+b a a

a a a+b a

a a a a+b

1+a a a a a

= b3 (4a+b)

b 1+b b b b

c c 1+c c c

41. Demuestre que si A y B son matrices n × n, tales que A = P −1 BP entonces

d d d 1+d d

e e e e 1+e

= 1+a+b+c+d+e

(a) det(A) = det(B)

(b) det(B − λI) = det(A − λI)

42. PREGUNTAS

(a) ¿Es cierto en general que |A + B| = |A| + |B|?

(b) Qu´e valores puede tener |A| si A es idempotente?

(c) Por qu´e el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus elementos de la diagonal principal?

(d) Si det A = 0 implica que A = O

(e) Sean A y B matrices n × n, si AB es invertible, ¿ser´ a BA invertible?

(f) Qu´e le pasa al determinante de una matriz si se multiplica la matriz por una constante α.

(g) Sean A y P matrices n × n, sup´ongase que P es invertible y A no lo es, ¿es posible calcular |P −1 AP |?

(h) Dado el sistema Ax = 0 y |A| = 0 ¿podemos decir que el sistema tiene infinitas soluciones? 7

(i) Sea el sistema Ax = b, b 6= 0 y |A| = 0 ¿podemos decir que el sistema tiene infinitas soluciones?

(j) 43. Si 



 α α−1 α+1 2 3  no tiene inversa. Para qu´e valores de α la matriz A =  1 2−α α+3 α+7 a1 a2 a3 b1 b2 b3 = 3, calcule los determinantes de las siguientes matrices c1 c2 c3

a1 + 2b1 − 3c1  b1 c1

a2 + 2b2 − 3c2 b2 c2

44. Evaluar

(a)



 a3 + 2b3 − 3c3 , b3 c3

λ−1 −1 −2 0 λ − 2 2 0 0 λ−3



a1  b1 2c1

(b)



 a3 b3  , 2c3

3a2 3b2 6c2

|λI3 − A|,

a1  c1 b1 + 4c1

donde

a2 c2 b2 + 4c2



−1 0 A =  −2 0 0 0

45. Muestre que si A y B son matrices tales que |AB| = 0 entonces |A| = 0 o |B| = 0. 2 a a 1 2 b 1 = (b − a)(c − a)(b − c). 46. Muestre que b c2 c 1   2 1 3 47. Sea A =  −1 2 0  . 3 −2 1

 1 −1  . 1

(a) Determine adjA. (b) Calcule |A|.

(c) Verifique que A(adjA) = (adjA)A = |A|I3 .

48. Determine todos los valores λ para los cuales (a)

λ−1 −4 0 λ−4

= 0.

(b)

|λI3 − A| = 0,

donde



−3 −1 3 A= 0 −2 −1

49. Muestre que si A, B y C son matrices tales que AB = AC y |A| = 6 0 entonces B = C. 50. Muestre que si A es no singular, entonces adjA es no singular y (adjA)−1 = 51. Si A es una matriz 3 × 3 tal que |A| = 2. Calcular: (a)

|3A|. 2 52. ¿Para qu´e valores de a ocurre que 0 0

1 A = adj(A−1 ). |A|

(b) |3A−1 |. a 1 0 0 −1 3 + 1 3a 1 a −2 a

53. Responder Verdadero o Falso, justificando cada respuesta. (a) det(AAT ) = det(A2 ).

(b) det(−A) = − det(A).

(c) Si AT = A−1 , entonces det(A) = 1. 8

(c) |(3A)−1 |. 1 0 = 14 ? 2

 −3 0 . −2

 a3 . c3 b3 + 4c3

(d) Si det(A) = 4, entonces el sistema Ax = 0 tiene s´ olo la soluci´ on trivial.

(e) Si det(A) = 0, entonces det(adjA) = 0.

(f) Si A, B y P son matrices tales que P es no singular (invertible) y B = P AP −1 entonces det(A) coincide con det(B).

(g) Si A4 = In , entonces det(A) = 1.

(h) Si A2 = A y A 6= In entonces det(A) = 0.

54. Al escalonar la matriz aumentada del sistema Ax = b aplicando las siguientes 4 operaciones elementales, en este orden: F2 − 5F1 → F2 , F3 − 3F1 → F3 , F3 ↔ F2 y F4 + 2F3 → F4 , se obtuvo   2 1 −5 2 1  0 −3 0 0 7   (U |c) =   0 0 λ 0 1  0 0 0 λ2 − λ λ (a) Para qu´e valores de λ el sistema original es inconsistente: λ =

(b) Para qu´e valores de λ el sistema original tiene infinitas soluciones: λ = (c) Para qu´e valores de λ el sistema original tiene soluci´ on u ´nica: λ = (d) Para λ = 1, det U = (e) Para λ = 2, det A = (f) Para λ = 1, el rango de [A|b] es (g) Para λ = 1, la dimensi´on del espacio nulo de A es: (h) Para λ = 0, una base B del espacio columna de [A|b] es: B =

n

o

 

(i) Para λ = 0, un vector v del espacio nulo de A diferente del vector cero es: v =  

(j) Para λ = 0, las columnas de A son linealmente independientes? SI 4

(k) Para λ = 2, las columnas de A generan a R ? SI

NO

NO

55. Si A, B y C son matrices invertibles de igual tama˜ no, entonces  −1  T 1 BAT C + BC C T AB T = 6 56. Sean A = [a1 Ax = b es

a2

a3

a4 ]

y

b tales que una forma escalonada de la matriz aumentada del sistema   4 1 −1 0 0   0 −2 −1 2 3  [U|c] =  2  0 0 β−1 0 β −1  3α 0 0 0 α2 − α

• Si β = 1 y α = 0, de un conjunto generador de Gen{a1 , a2 , a3 , a4 } con menos elementos.

• Si β = 2 y α = 3, dar el espacio columna de la matriz A. • Si β = 3 y α = 2, dar el espacio nulo de la matriz A.

57. Sea A una matriz tal que det A = 10. Al escalonar la matriz A, se aplicaron en su respectivo orden las operaciones elementales 21 F1 ↔ F1 , F3 − 2F2 → F3 , F4 + F2 → F4 , F3 ↔ F4 y F4 − F3 → F4 . El determinante de la matriz que resulta de aplicar dichas operaciones elementales a la matriz A es: 9

a. −20

b. 20

c. −10

d. 10

e. 5

f. −5

58. Sean A y B matrices de orden n que conmutan y tal que (B −A)−1 existe. Si la matriz X satisface la ecuaci´on (A + X)B − (B + X)A = B 2 − A2 , entonces X es igual a: a. B − A 

1 x 59. Sea A =  1 y 1 z a. x = y = z

b. A − B 

e. N.A

x2 y 2 . ¿Para qu´e valor de x, y y z, A−1 existe? z2

d. x 6= y 6= z 6= x

b. x 6= y 6= z c. x = y 6= z

d. B 2 − A2

c. B + A

e. N.A



2  0 60. Considere la matriz Q =   0 0 al vector:     1 1  1   0    b.  a.   1   1  0 0

1 1 0 0

0 3 5 0

  1  0   y el vector c =    2 −1 



 3 1  . La combinaci´on lineal Q−1 c es igual 0  0

 1  1   d.   0  0

 −1  −1   c.   −1  −1



 −1  −1   e.   0  0

61. Indique por qu´e si A es una matriz cuadrada tal que en cada fila y en cada columna uno y s´ olo un elemento es distinto de cero, entonces A es una matriz invertible.  62. Sean A, B y X matrices sim´etricas de orden 3 × 3 tales que det(2A + I) = 19 , det B = 3. Si ABXA + −1 T  1 T T B A = 3B −1 − X, entonces det X es: 3A 2 a. 1



b. −1

1 1 0  −1 α2 − 5 0 63. Sea A =   0 0 α−3 0 0 0

c. 6

d. −2/9



−1 −1  . ¿Para qu´e valor de 0  α √ a. α = 3 b. α = ±2 c. α = 5  −2 0  1/3 −1 √ 64. El elemento (2, 1) de la matriz inversa de A =   −1 5 2 0, 7 a. 6

b. −1/6

c. 1/6

e. N.A

α, A−1 existe? d. α = 0  0 0 0 0   es:  3 √ 0 2 1

e. N.A

d. −6 e. N.A  65. Sean u, v y w vectores de un espacio vectorial V . Pruebe que u, v, w es un conjunto linealmente indepen diente si y s´ olo si u − v, v − w, u + w es un conjunto linealmente independiente.

66. De las siguientes afirmaciones, se˜ nale DOS VERDADERAS.   (a) Si v1 , v2 , v3 , v4 es un conjunto de vectores l.d, entonces v1 , v2 , v3 es un conjunto de vectores l.d.   (b) Si v1 , v2 , v3 es un conjunto de vectores l.i, entonces v1 , v2 , v3 , v4 es un conjunto de vectores l.i.    (c) Si Gen v2 , v3 , v4 = Gen v1 , v2 , v3 , v4 , entonces v1 , v2 , v3 , v4 es un conjunto de vectores l.d.    (d) Si Gen v2 , v3 , v4 = Gen v1 , v2 , v3 , v4 , entonces v2 , v3 , v4 es un conjunto de vectores l.i.   (e) Si v1 , v2 , v3 es un conjunto de vectores l.i, entonces v1 − v2 , v2 − v3 , v1 + v3 es un conjunto de vectores l.i.   2 1 0 1  0 1 3 0  . Resuelva el sistema U −1 x = b, donde b = (b1 b2 b3 b4 )T . 67. Considere la matriz U =   0 0 5 2  0 0 0 −1 10

68. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales   2F1 → F1 , F3 − 2F2 → F3 , F4 + F2 → F4 , 2 0 0 0 1 1 0 0   F3 ↔ F4 y F4 − F3 → F4 , y se obtuvo la matriz  0 3 5 0 . 1 0 2 −1 • El determinante de A es: a. −20

b. 20

c. −10

d. 10

e. 5

f. −5

• El determinante de la matriz adjunta de A, det(AdjA), es   2 1 0 69. El elemento (3, 1) de la matriz inversa de A =  1 2 1  es: 1 1 0 a. 0

b. −1

c. 1

d. 2

e. N.A

70. De las siguientes afirmaciones, se˜ nale DOS VERDADERAS. (a) Las coordenadas de un vector de un plano en R5 , en una base del plano, es un vector de R2 . (b) Las coordenadas de un vector de un plano en R5 , en una base de R5 , es un vector de R2 . (c) Un conjunto de 5 vectores de un hiperplano en R5 que pasa por el origen puede ser l.i. (d) Si ν(A) = 0 y A es una matriz 7 × 4, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene soluci´ on u ´nica para todo vector b. (e) Si ρ(A) = 5 y A es una matriz 5 × 9, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene infinitas soluciones para todo vector b.     3 0 2 −5 71. Considere la matriz Q =  0 π 0  y el vector c =  0 . La combinacion lineal Q−1 c es igual al 0 0 2 −2 vector:         1 −1 −1 1 e. N.A a.  0  b.  0  c.  0  d.  0  1 1 −1 −1

72. Al escalonar una matriz A de orden n, se aplicaron en su respectivo orden las operaciones elementales 2F1 ↔ F1 , F3 − 2F2 → F3 , F4 + F2 → F4 , F3 ↔ F4 y F4 − F3 → F4 , y se obtuvo una matriz U de la forma U = 2In . • El determinante de A es: a. 2n

b. 2n−1

c. −2n

d. −2n−1

e. (−2)n−1

f. N.A

• El determinante de la matriz adjunta de A es: a. (2n )n−1

b. (2n−1 )n−1

c. (−2n )n−1

d. (−2n−1 )n−1

e. N.A

 73. Sea H = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ∈ P3 : a0 − 2a1 = 0 un subespacio vectorial de P3 . La dimensi´on de H es: a. 1

b. 2 

c. 3

d. 4



e. N.A

1 2 1 74. Considere la matriz A =  2 4 2  . Un vector del espacio nulo de la matriz A es: 3 6 3         −2 −1 −2 1 e. N.A d.  1  c.  0  b.  −1  a.  0  0 −1 0 1

11

75. Regla de Cramer Dado un sistema de ecuaciones lineales Ax = b de tama˜ no n × n, donde A es invertible. Entonces las componentes de la soluci´ on xT = (x1 , x2 , . . . , xn ) satisfacen det Ai det A donde Ai es la matriz que se obtiene de A reemplazando la columna i por el vector b.Resolver el sistema dado por la regla de Cramer, siempre que sea posible.  x + y + z − 2w = −4    2y + z + 3w = 4 (a) = 2x + y − z + 2w = 5    x−y+w = 4   2x + 3y + 7z = 2 −2x − 4z = 0 (b) =  x + 2y + 4z = 0        w1 w2 w3 1  1 z }| { z }| { z }| {  0 76. Sea B = 1 0  0  y B ′ = {(0 0 − 1)T , (0 3 1)T , (2 0 0)T } bases de R3 . Encuentre la matriz   −1 1 1 ′ cambio de base de B y B y use esto para calcular [u]B donde u = 2w1 + w2 − 2w3  77. Sea H = p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 : p(1) = 0 un subconjunto de P3 . Compruebe que H es un subespacio vectorial de P3 con las operaciones de suma y producto por escalar definidas en P3 . Adem´ as, determine una base B y la dimensi´on para H. xi =

78. Si V = P2 es el espacio de todos los polinomios de grado menor o igual a 2, n o (a) ¿Es H = p(x) = a + bx + cx2 ∈ P2 : a = −2 un subespacio vectorial de P2 ?

(b) ¿Es verdad que si B es un conjunto de 3 polinomios, entonces B genera a P2 ?

(c) ¿Es verdad que cualquier subconjunto de V con 2 o menos polinomios es linealmente independiente?

(d) ¿Es verdad que si B genera a P2 , entonces el n´ umero m´ınimo de elementos de B es 3?

79. Al escalonar una matriz A, se aplicaron en su respectivo orden las operaciones elementales F2 + F1 → F2 , F3 + F2 → F3 y se obtuvo la matriz   1 2 5 7 . U = 0 1 0 0 −2 • Encuentre la factorizaci´ on LU de la matriz A.

• Resuelva el sistema Ax = b, donde b = (6 1 − 9)T .   1 a b 80. Sea A =  1 a2 b2 . Utilice las propiedades de los determinantes para hallar el determinante de la 1 a 3 b3 matriz A. 12

81. Considere la matriz A del punto anterior. Si A es invertible, encontrar el elemento (2, 1) de la matriz A−1 . 82. Sea A una matriz tal que det U = 5. Al escalonar la matriz A, se aplicaron en su respectivo orden las operaciones elementales − 31 F1 ↔ F1 , F3 − 4F2 → F3 , F4 + F2 → F4 , F3 ↔ F4 y F4 − 3F3 → F4 . El determinante de la matriz A es: a. −15

b. 15

c. −

5 3

d.

5 3

e. 5

f. −5

 83. Sea H = p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ∈ P3 : a0 = a1 = a3 . Muestre que H es un subespacio de P3 y calcule su dimensi´on.  84. Considere el hiperplano H = (x y z w)T : x − z + w = 0 ⊂ R4 . • Encuentre una base ortonormal del hiperplano H.

• Encuentre la proyecci´ on ortogonal del vector v = (1 − 1 0 2)T sobre H.

85. Determine si los siguientes conjuntos, con las operaciones indicadas, son espacios vectoriales (reales). Para aquellos que no sean espacios vectoriales, enumerar los axiomas que no se cumplen. (a) El conjunto de los n´ umeros complejos con la suma (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i y el producto por escalar (a + bi) = (λa) + (λb)i. (b) El conjunto de los n´ umeros reales positivos (R+ ) con las operaciones x ⊕ y = xy y λ ⊙ x = xλ (c) El conjunto de vectores de R2 con la suma y producto escalar definidos como sigue           a1 a2 a1 + a2 a1 λa1 ⊕ = λ⊙ = b1 b2 b1 + b2 b1 b1

(d) En R2 con la suma y producto por escalar definidos respectivamente por:           x1 x2 x1 + x2 + 1 x λ + λx − 1 ⊕ = λ⊙ = y1 y2 y1 + y2 + 1 y λ + λy − 1 (e) En R2 con la suma y producto por escalar definidos respectivamente por:           x1 x x2 λx x1 + x2 λ⊙ ⊕ = = y1 y2 y1 + y2 + 1 y λ + λy − 1 86. Determine si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales (reales). Identifique el espacio vectorial al que pertenecen. (a) W = {A ∈ Mn×n : det(A) = 1}

(b) El conjunto de matrices sim´etricas 8 × 8.

(c) El conjunto de puntos del segundo cuadrante del plano cartesiano.

 (d) W = A ∈ M2×2 : A2 = A (e) W = {A ∈ Mn×n : tr(A) = 0}

(f) El conjunto de polinomios de grado 3.

 (g) W = (x y z)T : 2x − y + 5z = 10, x, y, z ∈ R 13

(h) El conjunto de puntos de la recta que pasa por P = (1 − 2 3)T y Q = (5 0 − 1)T .

(i) El conjunto de puntos del plano que pasa por P = (1 − 2 3 − 1)T , Q = (5 0 − 1 2)T y R = (3 4 − 7 0)T

(j) W = {x ∈ Rn : Ax = 0, An×m una matriz}

(k) El conjunto de n´ umeros racionales.

(l) W = {p(x) ∈ P4 : p(0) = 0}

 (m) W = A ∈ Mn×n : AT = A (n) El conjunto de matrices triangulares superiores 3 × 3

(o) El conjunto de funciones de R en R, derivables.

(p) {3n : n ∈ N}

(q) {x : x ∈ R, x > 0}

(r) El conjunto de polinomios de grado menor o igual a 4, tales que evaluados en cero dan 1.  87. Demuestre que W = a + bx + cx2 : a − b + c = 0 es un subespacio real de P2 (x)   −3 2 8 es un combinaci´on lineal de las matrices 88. Determine si la matriz A = −1 9 3     −1 0 4 0 1 −2 1 1 5 −2 3 −6 89. Demuestre que el polinomio p(x) = −2x2 + 2x + 6 pertenece al subespacio W = Gen{x2 + 1, 2x − 1, 3}. Se puede concluir que el conjunto {x2 + 1, 2x − 1, 3, −2x2 + 2x + 6} es l.d  90. ¿Es W = ax3 + bx2 + cx + d : a = b, c = b + 2d un subespacio vectorial de P3 (x)?. En caso afirmativo halle una base y la dimensi´on de W .  91. Para qu´e valores de x y y el vector (2 x 3 − y)T ∈ Gen (2 3 1 − 5)T , (0 2 − 1 3)T  92. Para qu´e valores de a los siguientes vectores forman una base de R3 , (a2 0 1)T , (0 a 2)T , (1 0 1)T 93. Sean W = {q(x) ∈ P4 : q(1) = 0} y U = {p(x) ∈ P4 : p(0) = 0} dos subespacios de P4 . Halle U ∩ W , una 14

base de U ∩ W y la dimensi´on U ∩ W         0    x  1 94. Sean W = Gen 2 , 1 y U = y  ∈ R3 : x − 2y + z = 0 dos subespacios de R3 . Halle U ∩ W ,     z 2 1 una base de U ∩ W y la dimensi´on U ∩ W   1 −1 2 3 95. Dada la matriz A = 0 1 4 3, halle una base y la dimensi´on del espacio fila de A, denotado por FA , 1 0 6 5 del espacio columna de A, denotado por CA y del espacio nulo de A, denotado por NA . 96. PREGUNTAS: (a) Sea V un espacio vectorial y W ⊂ V . Si 0V ∈ / W . ¿se puede concluir que W no es un subespacio vectorial de V .? Aplique su conclusi´on a W = {f : [0, 1] → R : f (0) = f (1) = 4}?

 (b) ¿El polinomio P (x) = 2x2 − 3x + 1 pertenece al subespacio W = c + bx + ax2 : a + 2b = 0 ?. (c) ¿Se puede concluir de manera inmediata que los siguientes vectores son l.d.?          −3 −1 8   1 2 ,  4  ,  1  , 5   1 1 0 3           2  1   1  1 (d) ¿Cuales de los siguientes conjuntos 2 ,  1  ,  1  , −2 son una base del subespacio     −2 −1 −1 1      x W = y  : 3x − y − 2z = 0 ?.   z  (e) ¿Es el conjunto (1 − 1 0)T , (0 0 1)T , (−1 − 1 0)T una base ortogonal de R3 ?  (f) ¿Es el conjunto x2 + 2x, x + 1, 5x2 + 10x linealmente independiente?  (g) ¿Es 3 la dimensi´on de W = 3x2 − x, 5x , x − 6x2 ? (h) Si {v1 , v2 } es l.i. y si u es un elemento tal que u ∈ / Gen{v1 , v2 }, entonces ¿se puede concluir que {v1 , v2 , u} es l.i?. D´e una interpretaci´ on geom´etrica en R3 .

              2  1 1  1  −1  1 (i) Sean B1 = 0 , 1 , 1 y B2 = −1 , 2 , 0 bases ordenadas de R3 . Si (−3 1 0)T     0 0 −1 1 0 0 3 son los coordenadas de un vector v ∈ R en la base B1 , ¿Se puede afirmar que (0 − 12 52 )T son los 15

coordenadas de v en la base B2 ? ¿A qu´e es igual v?

 (j) Si W = A ∈ M2×2 (R) : A = −AT es un subespacio vectorial de M2×2 (R), ¿es dim W = 2?

97. Encuentre el vector de coordenadas de u con respecto a la base B del espacio V , es decir, [u]B          −1 0  5  3 (a) Para V = R3 B = 2 ,  2  , 1 , u = 3   2 1 0 1 2 2 (b) Para V = P2 B = t + t, t − 1, t + 1 , u = 3t − t + 2           3 −1 0 1 1 0 0 0 1 1 u= , , , (c) Para V = M2×2 , B = 4 2 1 1 0 1 1 1 0 0

98. Determine una base y la dimensi´on de los subespacios W dados:  (a) W = (x y z)T : 3x − 5y + 2z = 0  (b) W = ax2 + bx + c : c = 2a − 3b      1 1 1 1 (c) W = X ∈ M2×2 : X=X 0 0 0 0  2 (d) W = (x + x + 1)p(x) : p(x) ∈ P2

99. Sea V = R3 . ¿C´ uales de los siguientes subconjuntos de R3 son subespacios de R3 ? o n 1 (a) W = (x y z)T : (x2 + y 2 + z 2 ) 2 = 1  (b) W = (x y z)T : y ≥ 0  (c) W = (x y z)T : 3x − 2y = 0  (d) W = (x y z)T : x + y − z = 2

100. Sea V el espacio de todas las funciones de R en R y sea W ⊂ V . Determine si W es un subespacio de V . (a) W = {f : f (7) = f (1)}

(b) W = {f : f (x) = −f (−x)} (c) W = {f : f (x) ≥ 0}

(d) W = {polinomios de grado ≤ 3 con coeficientes enteros} (e) W = {f : f (1) = 1 + f (2)}

101. Determinar si los siguientes conjuntos son subespacios del espacio vectorial de las matrices 2 × 2, M2×2  (a) W = A ∈ M2×2 : A = AT    a b : a=d (b) W = c d (c) W = {A ∈ M2×2 : |A| = 0}

102. ¿Para qu´e valores de λ el vector vT = (1 −2 λ)T es una combinaci´on de los vectores (3 0 −2)T y (2 −1 −5)T ?

103. Halle las condiciones sobre a, b y c tales que (a, b, c) pertenezca al subespacio generado por u1 = (2, 1, 0), u2 = (1, −1, 2) y u3 = (0, 3, −4). ¿uT1 , uT2 , uT3 genera a R3 ? ¿Por qu´e?  104. Sea W = a0 + a1 x + a2 x2 : 4a2 + a1 + a0 = 0 (a) Pruebe que W es un subespacio de P2 (x).

(b) Halle una base y la dimensi´on de W .

(c) Verifique que f (x) = x2 − 5x + 1 esta en W y halle las coordenadas de f respecto a la base hallada en el item (b) 105. Sea B = {v1 , v2 , v3 } una base del espacio vectorial V . Si u1 = v1 +v2 +3v3 , u2 = 2v2 +v3 y u3 = v1 +v2 +2v3 . ¿Podemos concluir que {u1 , u2 , u3 } es una base de V .?          1  1   −2  1 106. Sean W = Gen −1 , 2 y S = Gen  1  , 1 dos subespacios de R3     2 −1 3 1 (a) Halle una base y la dimensi´on de S y de W ,

16

(b) Halle S ∩ W y luego su base y su dimensi´on

107. Demuestre que los polinomios (1 − t)3 , (1 − t)2 , (1 − t) y 1 generan a P3 (t).

108. Cu´ales de las siguientes matrices tienen el mismo espacio fila 

1 −2 3 −4

 −1 5



1 2

−1 2 3 −1



 1 2 3

 −1 3 −1 10 −5 1

n o 109. Sea V = f : f tiene derivada de todo orden . Muestre que {f, g, h} ⊂ V es l.i, donde (a) f (t) = e2t ,

g(t) = t2 ,

h(t) = t

2t

(b) f (t) = e , g(t) = sin t, h(t) = t    a b : b = c, a = 3d , halle una base y dim W 110. Si W = c d

111. Mostrar que {ex , e2x , e3x , e4x } es linealmente independiente ¿Se puede afirmar lo mismo del conjunto {1, x, xex }? 112. Demuestre que la intersecci´ on de subespacios es un subespacio, pero la uni´ on de subespacios no.

113. W = {A ∈ M3×2 : a11 = a22 , a12 = 2a31 , a21 = 3a32 } un subespacio de M3×2 . Encuentre una base y la dimensi´on de W . Extienda esta base a una base de M3×2 .

114. Sean B = x2 } y B ′ bases del espacio vectorial P2 . Si la matriz de transici´on PB′ B de B ′ a B es {1 + x, 1 − x,  2 0 0  , , . PB′ B =  1 2 2  , entonces B ′ = −1 1 −3

115. Sea W = {(x y z w)T : x − 2y + z − w = 0} un subespacio de R4 . Encuentre una base ortonormal de W . Exprese v = (1 1 2 1)T ∈ W como combinaci´on lineal de la base ortonormal hallada.       4 −1 2 1 1 −2 es , , 116. Sea V el espacio vectorial de las matrices sim´etricas 2 × 2. Verifique −1 −5 1 3 −2 1   1 −4 una base de V . Halle las coordenadas de la matriz B = relativas a esta base. −4 7 117. Encuentre una base ortonormal en R4 que incluya los vectores v1 = (− √12 12 − 21 21 )T y v1 = ( 12 0 0 √12 )T n o 118. Demuestre que los polinomios 2x3 + x2 − x + 1, −x3 + 2x2 + 5x, 4x2 + 5x − 8, x3 + 2x2 − x + 1 son l.i.

119. Geom´etricamente, cuales son los subespacios de R2 ? de R3 ? de R4 ? (En Rn , para n ≥ 5, existen otros subespacios distintos a los de R4 ?) 120. En cada caso, determine si el vector v es combinaci´on lineal del conjunto de vectores S y en caso de serlo, encuentre los coeficientes de la combinaci´on lineal, diga adem´ as si la combinaci´on es u ´nica. Adicionalmente, halle el conjunto generado por S. ¿Existe un conjunto de vectores con menor n´ umero de ellos que genere el mismo conjunto?          −5 4  −1  2 v= 5  (a) S =  4  ,  3  , −2   0 −6 0 −5 n o (b) S = 1 − x + x2 , 2 + x2 , −1 + 2x , v = 3 − 2x + 2x2 . o n v = 3 − 2x + 2x2 − x3 . (c) S = 1 − x + x2 − x3 , 2 + x2 , 3 + x + x2 + x3 ,           3 4 1 0 2 0 −1 0 0 −2 (d) S = , , , v= 0 0 −3 0 0 −1 0 2 2 0

121. Verifique que para todo trio de vectores u, v y w de un espacio vectorial V , (a) Gen{u, v, w} = Gen{u, u + v, u + w}. (b) Si {u, v, w} es l.i., entonces {u − v, v − w, u + w} tambi´en es l.i.

122. Encuentre un conjunto generador, un conjunto l.d. y un conjunto l.i. de cada uno de los siguientes espacios vectoriales.  √ (a) C = a + bi : a, b ∈ R, i = −1 . (b) El hiperplano H : 3x − 2y + w = 0 de R4 .

17



1 −2 A = 0 1 0 −3  (d) S = Gen 3x − 2x2 , 2 + x, −4 + x − 2x2  (e) S = A ∈ M3×3 : A = AT  (f) S = A = (aij )3×3 : aij = 0, i 6= j n

o (c) NA = x ∈ R3 : Ax = 0 ,

 7 −2  9

123. Encuentre el subespacio m´as peque˜ no que contiene cada uno de los conjuntos de vectores dados.           0  2 −1 1 1              −1 0 −1 0 1 , , , ,  (a)    −1  1  2  2     −1   3 0 1 0 1 (b) {3x − 2x2 , 2 + x, 2x + 2x2 , x3 , −2x − 2x2 + 2x3 }         −2 2 −3 2 2 −1 1 −3 , , , (c) 2 0 1 0 3 0 2 0

124. Demuestre que si B = {v1 , v2 , . . . , vk } es una base del espacio vectorial V y A es la matriz [v1 v2 . . . vk ], entonces las columnas de AT A forman un conjunto l.i. y por tanto la matriz AT A es invertible. ´ las siguientes afirmaciones son FALSAS 125. Determine POR QUE (a) Si el determinante de una matriz 5 × 5 es 3, la matriz tiene m´aximo 3 columnas l.i.

(b) Si {u1 , u2 , u3 , u4 } es un conjunto de vectores l.d., {u1 , u2 , u3 } tambi´en es un conjunto de vectores l.d.

(c) Si {u1 , u2 , u3 , u4 } es un conjunto l.i., {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } tambi´en es un conjunto l.i.

(d) La uni´ on de dos subespacios vectoriales es un subespacio vectorial.

(e) Si Gen{u1 , u2 , u3 , u4 } = Gen{u1 , u2 , u4 }, entonces {u1 , u3 , u4 } es l.i.

(f) El conjunto de puntos dentro de un circulo alrededor del origen de radio 1 es un subespacio de R2 .

(g) El conjunto de matrices triangulares inferiores 5 × 5 con unos en la diagonal es un subespacio de M5×5 .

(h) El conjunto de matrices elementales 10 × 10 es un subespacio de M10×10 .

(i) El conjunto de polinomios de grado menor o igual a 5, con coeficientes enteros, es un subespacio de P5 .

(j) El conjunto de polinomios de grado igual a 3, es un subespacio de P3 . 18

´ las siguientes afirmaciones son VERDADERAS 126. Determine POR QUE (a) Si {u1 , u2 , u3 , u4 } es un conjunto de vectores l.i., {u1 , u2 , u3 } tambi´en es un conjunto de vectores l.i. (b) Si {u1 , u2 , u3 , u4 } es un conjunto l.d., {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } tambi´en es un conjunto l.d. (c) Un subconjunto finito diferente de {0} no puede ser un subespacio vectorial. (d) La intersecci´ on de dos subespacios vectoriales es un subespacio vectorial.

(e) Si Gen{u1 , u2 , u3 , u4 } = Gen{u1 , u3 , u4 }, entonces {u1 , u2 , u3 , u4 } es l.d. (f) El conjunto de matrices antisim´etricas 3 × 3 (A = −AT ) es un subespacio de M3×3 (g) El conjunto de matrices escalares 4 × 4 es un subespacio de M4×4 .

127. En cada caso, determine si el conjunto B forma una base del espacio vectorial V .              2  1 2 5   2  2 (a) −3 , −3 (c) 0 , −3 , −3 , 0 v = R3 v = R3     5 0 0 5 0 5        2 1  2 (d) B = 1 + x, 1 − x, x , V = P2 .  2  v = R3 (b) 0 , −3 , −3 (e) B = 1 + x, x2 , 1 − x3 , V = P3 .   5 0 0   (f) B = 1, 1 + x2 , V = a0 + a1 x + a2 x2 : a1 = 0}.   (g) B = 1 + x, x2 , V = a0 + a1 x + a2 x2 : a1 = 0}. 128. Encuentre una base del espacio vectorial dado y determine su dimensi´on. (a) H = {(x y z w)T : x + y + z + w = 0}.    a b (b) W = : a, b ∈ R −b −a n o (c) K = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ∈ P3 : a0 − 2a2 = 0 .

129. A partir del conjunto S, construya una base del espacio vectorial H que contenga o est´e contenida en S.  (a) S = (1 2 3 4)T , (1 3 5 7)T , (1 2 4 6)T H = R4 .  (b) S = 1 − x2 , 1 + x , H = P2 .  2 3 3 H = P3 . (c) S = 1 − x , 1 + x, 1 − x , 1 + x , x2 + x3 ,   T T (d) S = (2 3 − 2 − 3) , (1 2 3 − 6) , H = (x y z w)T : x + y + z + w = 0 . o n 130. Sea B = (1 2 0)T , (1 0 5)T , (0 1 1)T una base de R3 . Observe que, despu´es de resolver tres sistemas de ecuacioneslineales, encontramos que                      1 1 0 1 0 = 5 2 + 2 0 − 10 1 7 7 7 0 5 1 0

0 1 1 0 1  = 1 2  − 1 0  + 5 1  7 7 7 0 0 5 1

  0 1 1 0 1 1 2 0 = − 2 + 0 + 1 7 7 7 1 0 5 1

(a) Determine la matriz de transici´ on de la base B a la base usual de R3 .

(b) Determine la matriz de transici´ on de la base usual de R3 a la base B.

(c) Calcule el vector de coordenadas en la base B del vector v = (1 2 3)T . ¿Es necesaria una matriz de transici´on para hacer el c´alculo?. Justifique la respuesta.

(d) Calcule el vector u sabiendo que [u]B = (1 2 3)T . 19

131. Justifique que B y B ′ son bases de V , calcule el vector u cuyas coordenadas en una de las dos bases se dan y calcule las coordenadas del vector u en la otra base.               2 0  1 −2  1  1  1 [u]B =  1  B ′ =  0  , 1 ,  1  (a) V = R3 B =  2  , 1 ,  1      −2 −1 0 −1 −1 5 −1           −1 0 −1 1 −1 0 −1 1 0 B= , , , 1 0 1 0 1 1 1 1 1  (b) V = M2×2 [u]B′ =          −2 −1 0 −1 1 −1 0 −1 1 B′ = , , , −1 1 0 1 0 1 1 1 1   −3   (c) V = P2 B = 2 − x, 1 − x2 , 1 + x B ′ = 1 + x, 2 − x, 1 − x2 [u]B′ =  0  −2   0    1  (d) V = P3 B = 1, x, x2 , x3 B ′ = 1 + x, x + x2 , x2 + x3 , 1 − x3 [u]B′ =  −2 −1                3  0  x  2   −3  1 ′           y :x+y+z =0 −1 , 0 −1 , 2 , (e) V = B= B = [u]B = −1       z −1 −3 4 −2

132. Sean B y B ′ dos bases de R3 , y W un conjunto de vectores de R3 y A la la base B ′ , donde         1 −2  −1  1 W =  2  , 1 ,  1  A = −1   −1 5 −1 0

matriz de transici´on de la base B a 0 2 2

(a) Calcule la base B sabiendo que B ′ = W

 −2 0 −1

(b) Calcule la base B ′ , sabiendo que B = W .

133. Calcule el rango y la nulidad para cada una de las matrices dadas. 

−1 3 0 0

 5 2



2 0 −4

 −1 3 1 2 2 1



2 −1 0 1  −4 2 2 2

 3 2  1 −1

134. Verifique si los siguientes conjuntos son ortogonales y si son ortonormales               0 1  0 1   0  0 (a) S = −1 ,  0  , 0 (c) S = −1 ,  0  , 0     0 −1 0 0 −1 0     ! ( !)  1  1 √1 2    √2 3  (b) S = 2 , 1 √1  − √1  ,  (d) S =   3  2 −2  2   √1 0 3

135. Calcule la proyecci´ on de u en el subespacio H y la componente de uc ortogonal a H.             0  2 1 x  0       0 y  (a) u = −1 H = Gen −1 ,  0   H = Gen   : 2x − y + w = 0 (c) u =    2 z  −1 0 2            −1 w 1  x  (b) u = −1 H = Gen y  : x + y + z = 0   0 z

136. Dadas B = {1, x, x2 } y B ′ = {2 − 3x, x − 1, x2 + 1} dos bases de P2 , si [u]B′ = (−3 0 1)T , seleccione una afirmaci´on VERDADERA. (a) u = 9 − 5x + x2 .

(b) [u]B = −5 + 9x + x2 . (c) [u]B = (1 − 9 5)T .

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(d) [u]B = (1 9 5)T .

(e) [u]B = (−5 9 1)T .

137. Se˜ nale entre las siguientes afirmaciones, una FALSA. (a) Las coordenadas de un vector de un plano en R5 , respecto a una base del plano, es un vector de R2 . (b) Si [u]B ∈ R5 , entonces dim(Gen B) = 5.

(c) La dimensi´on del espacio de las matrices diagonales 2x2 es 4.

(d) Si S = {u1 , u2 , u3 , u4 } es un conjunto ortonormal del espacio vectorial V , entonces dimV ≥ 4

(e) La dimensi´on de un hiperplano en R5 es 4.  138. La dimensi´on de H = gen 1, x, x2 , x3 , 1 + 2x + 3x2 + 4x3 es: a) 2 b) 3 c) 4

d) 5

e) N.A.

139. De las siguientes afirmaciones, se˜ nale UNA VERDADERA.

(a) Si {v1 , v2 , v3 , v4 } es un conjunto de vectores l.d., entonces {v1 , v2 , v3 } tambi´en es un conjunto de vectores l.d. (b) Si Gen{v2 , v3 , v4 } = Gen{v1 , v2 , v3 , v4 }, entonces {v2 , v3 , v4 } es un conjunto de vectores l.d.

(c) Si Gen{v2 , v3 , v4 } = Gen{v1 , v2 , v3 , v4 }, entonces {v1 , v2 , v3 , v4 } es un conjunto de vectores l.i.

(d) Si {v1 , v2 , v3 } es un conjunto de vectores l.i., entonces {v1 , v2 , v3 , v4 } tambi´en es un conjunto de vectores l.i. (e) N.A.  140. Sea H = p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 : p(1) = 0 un subconjunto de P3 . Compruebe que H es un subespacio vectorial de P3 con las operaciones de suma y producto por escalar definidas en P3 . Adem´ as, determine una base B y la dimensi´on para H. ´ las siguientes afirmaciones son FALSAS 141. Determine POR QUE (a) Si el rango de una matriz A ∈ M7×9 es 7, su nulidad es cero

(b) Si el rango de una matriz A ∈ M17×9 es 9, el sistema Ax = b tiene soluci´ on u ´nica.

(c) La dimensi´on del espacio de los polinomios de grado menor o igual a 4, que evaluados en 1 es 0, es 3.

(d) La dimensi´on de Gen{u1 , u2 , u3 , u4 } es 4.

(e) Las coordenadas de una matriz 3 × 5 en una base de M3×5 es un vector de R8 .

(f) Las coordenadas de un vector de un hiperplano en R5 en una base de R5 es un vector de R4 .

(g) Un conjunto de 5 matrices 3 × 2 puede generar a M3×2

(h) Cualquier conjunto de 5 polinomios de grado menor o igual 3 genera a P3 .

21

(i) Un conjunto de 5 vectores de un hiperplano en R5 que pasa por el origen puede ser l.i.

(j) Cualquier conjunto de 5 matrices diagonales 6 × 6 es l.i..

(k) Si S = {p, q, r, t} ⊂ P3 , S puede ser un conjunto ortogonal.

(l) Para calcular la proyecci´ on ortogonal de un vector en un subespacio, se requiere una base ortogonal del subespacio.

(m) La proyecci´ on ortogonal de un vector sobre un subespacio es ortogonal al subespacio.

(n) Si η(A) = 0 y A es una matriz 7 × 4, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene soluci´ on u ´nica para todo vector b.

(o) Si el rango de una matriz 5 × 8 es 5, la nulidad de su transpuesta es 3.

(p) Una base del espacio columna de una matriz es la conformada por las columnas pivotales de una matriz escalonada equivalente. ´ las siguientes afirmaciones son VERDADERAS 142. Determine POR QUE (a) Si el rango de una matriz A ∈ M7×19 es 7, el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones.

(b) Si el rango de una matriz A ∈ M8×10 es 7, el sistema Ax = b puede no tener soluci´ on.

(c) Si la nulidad de una matriz A ∈ M7×9 es 7 su rango es 2.

(d) Si la nulidad de una matriz A ∈ M9×9 es 0 A es una matriz invertible.

(e) Si la nulidad de una matriz A ∈ M27×10 es 2 A el sistema Ax = 0 no tiene soluci´ on u ´nica.

(f) Si la nulidad de una matriz A ∈ M8×7 es 3, el sistema Ax = b es incosistente o tiene infinitas soluciones.

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(g) Si [u]B ∈ R5 , entonces dim(Gen B) = 5.

(h) Dadas P y Q, las matrices de transici´ on de B a B ′′ y de B ′ a B ′′ , respectivamente, la ecuaci´on P [u]B = ′ Q[u]B permite calcular las coordenadas del vector u en una base, conociendo las coordenadas del vector u en la otra base.

(i) La dimensi´on del espacio de las matrices diagonales 4 × 4 es 4.

(j) La dimensi´on de un hiperplano en R5 es 4.

(k) La dimensi´on de Gen{u1 , u2 , u3 , u4 }, cuando {u1 , u2 , u3 , u4 } es l.i., es 4.

(l) Las coordenadas de un vector de un plano en R5 en una base del plano es un vector de R2 .

(m) Si S = {A, B, C, D} ⊂ V es un conjunto ortonormal, entonces dim V ≥ 4.

(n) Es posible encontrar un conjunto ortogonal de 3 vectores de un hiperplano en R6 .

(o) La suma de la proyecci´ on ortogonal de un vector en un subespacio con la componente del vector ortogonal al subespacio es el vector.

(p) Una matriz A de tama˜ no 4 × 7 no puede tener una nulidad igual a cero.

(q) El rango de una matriz 5 × 8 no puede ser 6.

(r) Una base del espacio fila de una matriz es la conformada por las filas que tienen pivotes en una matriz escalonada equivalente.

(s) La dimensi´on del espacio fila de una matriz es igual al rango de la matriz.

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(t) Si ρ(A) = 5 y A es una matriz 5 × 9, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene infinitas soluciones para todo vector b. 143. Al escalonar la matriz A, se  aplicaron las operaciones elementales F2 −F1 → F2 , F3 +2F1 → F3 y F3 +3F2 → F3  1 0 1 2 y se obtuvo la matriz U = 0 −2 1 0, determine: 0 0 3 1   −1 • Si A es invertible. • Resolver el sistema Ax =  0  0

144. Dados los vectores u = (1 − 2 0 3)T , v = (−2 4 0 − 6)T , w = (−3 0 5 1)T y el subespacio H = Gen{u, v}, entre las siguientes afirmaciones, seleccione una que sea VERDADERA. • La proyecci´ on de u sobre H es v.

• La proyecci´ on de u sobre H es igual a la proyecci´ on de v sobre H.

• La proyecci´ on de w sobre H es 0. • La proyecci´ on de u sobre H es 0.

145. Sean B = {x − 1, 1 + x2 , 2 − 3x} y B ′ = {2 − 3x, x − 1, x2 + 1} bases de P2 . Si [u]B = (−2 5 0)T , seleccione una afirmaci´ on VERDADERA. (a) u = −2 + 5x.

(b) [u]B′ = 7 − 2x + 5x2 . (c) [u]B′ = (0 − 2 5)T .

(d) [u]B′ = (7 − 2 5)T . (e) N.A

146. Sean B = {1 + x, 2 1 PB ′ B =  1 2 0 1 ( 1 147. Sean B = 0

1 −x, x2 } y B ′ bases del espacio vectorial P2 . Si la matriz de transici´on PB′ B de B ′ a B es 1  3  , entonces B ′ = , , . 3 (       )       ) ′ 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 , , , yB = , , , 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 ′

bases del espacio vectorial M2x2 (R). La matriz de transici´on PB B′ de B a B es:    PB B ′ =  

  

 148. A partir del conjunto S = 1 − x2 , 1 + x , construya una base B del espacio vectorial P2 que contenga o este contenida en S.

149. De los siguientes conjuntos H, se˜ nale UNO que sea espacio vectorial (real), con las operaciones de suma y producto por escalar definidas en Rn , entre polinomios y entre matrices.    a −a 2 3 (a) H = {p(x) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x : p(1) = 0} (b) H = : a∈R 2a 5 5 2 (c) H = Hiperplano de R cuya ecuaci´ on es x + y + z + w − 3 = 0 (d) H = {ax + bx + c ∈ P2 : c + b = 1} (e) N.A

150. Sea B = {v1 , v2 , v3 } una base del espacio vectorial V y B ′ = {u1 , u2 , u3 } un subconjunto ortonormal de V . Entre las siguientes afirmaciones, se˜ nale una FALSA. (a) [u1 ]B′ = (1 0 0)T . (c) Si W es un subespacio de V , entonces dimW ≤ 3.

151. Se˜ nale entre las siguientes afirmaciones, una FALSA.

(b) Si A = [u1 u2 u3 ], entonces AT A = I. (d) {u2 , u3 } puede ser un conjunto l.d.

(a) Las coordenadas de un vector de un plano en R5 , respecto a una base del plano, es un vector de R2 . (b) Si [u]B ∈ R5 , entonces dim(Gen B) = 5.

(c) Si S = {u1 , u2 , u3 , u4 } es un conjunto ortonormal del espacio vectorial V , entonces dimV ≥ 4.

(d) El rango de una matriz 5 × 8 puede ser 6.

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(e) Para calcular la proyecci´ on ortogonal de un vector en un subespacio, NO se requiere de una base ortogonal del subespacio. 152. Sean B  = {1, 1 + x} y B ′ bases del espacio vectorial P1 . Si la matriz de transici´on PB B′ de B a B ′ es  1/3 1 PB B ′ = , entonces B ′ = , . 0 −1 153. Sean B = {x − 1, 1 + x2 , 2 − 3x} y B ′ = {2 − 3x, x − 1, x2 + 1} bases de P2 .

• Sea p(x) = 3 − 2x + 2x2 . Dar las coordenadas de p(x) en la base B y B ′ . • Si [p(x)]B = (−2 5 0)T , encontrar el polinomio p(x).

• Hallarla matriz de transici´ on de labase B ′ a la base B.     x 154. Para H = y  ∈ R : x − 2y + 2z = 0   z • Demuestre que es un subespacio vectorial de R3 .

• Halle una base B y la dimensi´on de H.

• Determine si v = (−6 2 5)T ∈ H, en caso afirmativo escriba v como combinaci´on lineal de los elementos de la base B.

155. Si det(A) =

3 5

y AB = O, entonces B =

  αx + y + z = 1 x + αy + z = 1 156. Para qu´e valores de α el sistema tiene soluci´ on u ´nica  x + y + αz = 1

157. A5×5 es antisim´etrica entonces det(A) =   a b c 4u 2a −p 158. Si p q r = 3 y si W =  4v 2b −q  entonces : det(3W −1 ) = u v w 4w 2c −r

159. Si A y B son matrices 3 × 3 tal que |2A−1 | = 6 y |AT (2B)−1 | = 18 entonces |A3 B T | =
160. Sea A ∈ Mn×n (R) y suponga que det(A) 6= 0. Calcule Adj Adj(A) en t´erminos de A.   4 1 0 161. Encuentre una matriz A tal que adj(A) = −4 −1 −6 es ¿A u ´nica? −2 1 0

162. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas (Justifique).       1 0 2 1 (a) Sean B = , y B ′ = {v1 , v2 } bases de R2 . Si la matriz de transici´on PBB′ = , 2 1 1 1     1 2 . y v2 = entonces v1 = 1 1   −1 ′ ′ entonces (b) Si B = {x + 1, x − 2} y B = {x − 5, x − 2} son bases de P1 y v ∈ P1 es tal que [v]B = 3   2 [v]B = −1 163. 164. 165. 166.

167.

(c) Si A es 4 × 4 y ρ(A) = 4, entonces Ax = b tiene exactamente 4 soluciones. o n 0 x : x ∈ R es un subespacio Determine si H = 0 x        0 0   1 Determine si K = 0 , 1 , 0 es un subespacio de R3 .   0 0 1  Determine si B = x2 + x + 1, x2 − 1, x + 2 es una base de P2            −1  2 0   2  1 Determine si Gen 1 , 1 , 0 = Gen 1 ,  0  .     0 1 1 0 0       2   −1 1 Sea  2  , 1 una base ordenada del subespacio vectorial H de R3 y sea [u]B = , entonces 0   1 3 25



u=

 

´ DE EJERCICIOS DE ALGEBRA ´ ESTA ES UNA I VERSION LINEAL QUE ESTOY DESARROLLANDO, ESPERO LES SIRVAN PARA PROFUNDIZAR LOS CONCEPTOS VISTO EN CLASE PD: Espero tener ejercicios m´as interesantes en una segunda versi´on, agradezco cualquier errata que encuentren.

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