• Author / Uploaded
• Leonardo

Citation preview

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TALLER PRIMER CORTE - OSCILACIONES Y ONDAS 2019-I PROFESORES: JESÚS DAVID RAMÍREZ NIÑO

Movimiento Arm´ onico Simple

4. Cuando el desplazamiento de un M.A.S es x = A/2 , ¿qu´e fracci´on de la energ´ıa total es energ´ıa cin´etica y que fracci´on es energ´ıa potencial? ¿En cu´ al posici´ on la energ´ıa del sistema es mitad energ´ıa cin´etica y mitad energ´ıa potencial?

1. Un oscilador consiste en un bloque atado a un resorte (k = 400N/m). En cierto tiempo, la posici´on, la velocidad y la aceleraci´ on del bloque son: x = 0,1m, v = −13,6m/s y a = −123m/s2 . Calcular:

5. Un anillo de radio a porta una carga total positiva Q distribuida uniformemente. Suponga que coloca una carga negativa −q en el centro del anillo y la desplaza ligeramente una distancia x a a lo largo del eje x. Demuestre que la carga electrica presenta un movimiento ke qQ . arm´onico simple con frecuencia angular ω 2 = − ma3 6. Demuestre que las relaciones generales entre los dos valores iniciales de la posici´on inicial x0 y de velocidad inicial v0 y la amplitud A y el ´angulo de fase inicial φ son: r    v 2 ωx0 0 ; φ = tan−1 A = x20 + ω v0

a. La frecuencia de oscilaci´ on . b. La masa del Bloque . c. La amplitud del Movimiento 2. Dos part´ıculas id´enticas, cada una de ellas con un carga +q, est´ an fijas en el espacio y separadas por una distancia d. Una tercera carga puntual −Q tiene libertad de movimiento y en un principio est´ a en reposo en la bisectriz perpendicular de ambas cargas fijas, a una distancia x del punto medio entre las dos cargas fijas.

Sistema masa-resorte 7. Un bloque de masa m y carga +Q est´a conectado a un resorte que tiene una constante k. El bloque se encuentra en una pista horizontal aislada libre de fricci´ on, y el sistema est´a dentro de un campo el´ectrico uniforme de magnitud E, dirigido como se muestra en la figura. Si el bloque se libera del reposo cuando el resorte no est´a estirado (en x = 0): AYUDA: V = Ed, Ue = QV

Demuestre que si x es peque˜ na en comparaci´on con d, el movimiento de −Q ser´ a arm´onico simple a lo largo de la bisectriz perpendicular. ¿Cu´al es la cantidad m´axima que se estirar´ a el resorte? ¿Cu´al es la posici´on de equilibrio del bloque? Demuestre que el movimiento del bloque es un movimiento arm´onico simple, y determine su periodo.

Determine el periodo de dicho movimiento. ¿Qu´e tan r´ apido se mover´ a la carga −Q cuando llegue al punto medio entre las dos cargas fijas, si fue liberada inicialmente a una distancia a del punto medio que es mucho menor que d? 3. ¿Cu´ al es la fase inicial del movimiento arm´onico cuya funci´ on de velocidad esta dada por la figura, si la funci´ on de posici´ on x (t) tiene la forma x (t) = A cos (ωt + φ)? En la escala vertical vs = 4cm/s

8. Un oscilador arm´onico simple consiste en un bloque de masa m=2kg atado a un resorte con constante el´ astica de 100N/m. Cuando t = 1s, la posici´on y velocidad del bloque es x = 0,129m y v = 3,415m/s. Hallar a. La amplitud de oscilaci´on b. La posici´on y velocidad del bloque en t=0. 9. Una saltadora de bungee de 65,00kg salta de un puente con una cuerda ligera amarrada a ella y al puente. La longitud no estirada de la cuerda es de 11,0m. La saltadora alcanza el fondo de su movimiento 36,0m abajo del puente antes de rebotar de regreso. Su movimiento se puede separar en una ca´ıda libre de 11,0m y una secci´on de 25,0m de oscilaci´on arm´onica simple. 1

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TALLER PRIMER CORTE - OSCILACIONES Y ONDAS 2019-I PROFESORES: JESÚS DAVID RAMÍREZ NIÑO

a. ¿Durante que intervalo de tiempo est´ a en ca´ıda libre?

1208,5N/m. (Suponga que el resorte no afecta la colisi´on). Despu´es de la colisi´on, el bloque 2 oscila en M.A.S con un per´ıodo de 0,14s, y el bloque 1 se desliza fuera del extremo opuesto de la superficie elevada, aterrizando a una distancia d de la base de la misma superficie despu´es de caer altura h = 4,90m.

b. Use el principio de conservaci´ on de la energ´ıa para hallar la constante de resorte de la cuerda bungee. c. ¿Cu´ al es la ubicaci´ on del punto de equilibrio donde la fuerza del resorte equilibra la fuerza gravitacional ejercida sobre la saltadora? Este punto se considera como el origen de la descripci´on matem´ atica de la oscilaci´ on arm´ onica simple. d. ¿Cu´ al es la frecuencia angular de la oscilaci´on? e. ¿Qu´e intervalo de tiempo se requiere para que la cuerda se estire 25,0m? f. ¿Cu´ al es el intervalo de tiempo total para todo el salto de 36,0m?

a. ¿Cual es el valor de la masa m2 ?

10. Un bloque est´ a en una superficie horizontal (una mesa de agitaci´ on) que se mueve hacia adelante y hacia atr´ as horizontalmente con un M.A.S de frecuencia de 2,0 Hz. El coeficiente de fricci´ on est´ atica entre el bloque y la superficie es de 0.50. ¿cual seria la amplitud del M.A.S si el bloque no se desliza a lo largo de la superficie?

b. ¿Demuestre que la velocidad de la masa m1 desm1 − m2 pu´es del choque es: Vf 1 = −Vi1 m1 + m2 c. ¿ Cual es el valor de d?

15. Dos part´ıculas oscilan en un movimiento arm´ onico simple a lo largo de un segmento de l´ınea recta com´ un de longitud A. Cada part´ıcula tiene un per´ıodo de 1,5s, pero difieren en fase en π/6rad.

11. Un objeto de masa 2kg est´ a sujeto sobre un muelle vertical que est´ a anclado en el suelo. La longitud del muelle sin deformar es de 8cm y la posici´ on de equilibrio del objeto sobre el muelle est´ a a 5 cm desde el nivel del suelo. Cuando el objeto est´ a en su posici´on de equilibrio, se le da un impulso hacia abajo con un martillo, de tal manera que la velocidad inicial es de 0, 3m/s.

a. ¿A qu´e distancia est´an (en t´erminos de A) 0, 50s despu´es de que la part´ıcula retrasada abandone un extremo del trayecto? b. ¿Se est´an moviendo? en la misma direcci´ on, uno hacia el otro, o alejados uno del otro?

a. ¿A qu´e m´ axima altura, respecto al nivel del suelo, se elevar´ a el objeto? b. ¿Cu´ anto tiempo tardar´ a el objeto en alcanzar la m´ axima altura por primera vez?

16. Si el Angulo de fase de un sistema masa resorte en MAS es π/6 y la posici´on del bloque esta dada por la ecuaci´on x(t) = xm cos(ωt + φ), que porcentaje de energ´ıa cin´etica y energ´ıa potencial hay en el momento t = 0?. Repita los c´alculos cuando el angulo de fase es de: π/3, π/2, π/8, π/4

c. ¿Volver´ a el muelle a estar sin compresi´on? d. ¿Qu´e velocidad inicial m´ınima debe darse al objeto para que el muelle no tenga compresi´on en un instante dado? 12. Considere una partidla en M.A.S, con amplitud A y frecuencia angular ω, en t = 0 su posici´ on es x = A ¿Cual es la velocidad que lleva esta part´ıcula cuando se encuentra a la mitad de su recorrido?

P´ endulo Simple

13. Dos part´ıculas ejecutan un movimiento arm´onico simple con igual amplitud y frecuencia a lo largo de l´ıneas paralelas cercanas. cada una de ella pasa frente a la otra, movi´endose en direcciones opuestas cada vez que su desplazamiento es la mitad de su amplitud. ¿Cu´al es su diferencia de fase?

17. Un p´endulo de frecuencia angular ω cuelga de una pared inclinada. Suponga que este p´endulo se libera en un angulo inicial de 10◦ y que rebota en la pared El´ asticamente cuando alcanza un angulo de 5◦ .

14. La Figura muestra el bloque 1 de una masa de 0,2kg que se desliza hacia la derecha sobre una superficie elevada sin fricci´ on a una velocidad de 8m/s. El bloque sufre una colisi´ on el´ astica con el bloque estacionario 2, que est´ a unido a un resorte de resorte constante

b. Cuanto tiempo tardara el recorrido para ir de 5◦ hasta −5◦

a. Calcule el periodo de este p´endulo

c. Cuanto tiempo tardara el recorrido para ir de 0◦ hasta −5◦ 2

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TALLER PRIMER CORTE - OSCILACIONES Y ONDAS 2019-I PROFESORES: JESÚS DAVID RAMÍREZ NIÑO

22. Una maquina de pin ball utiliza como lanzador un resorte que se comprime 6cm para lanzar una esfera por una rampa a 15. Suponga que la esfera tiene masa m = 25g y radio r = 1cm y rueda desliz´andose cuando sale del mecanismo lanzador. Si tiene una rapidez de 3ms, ¿cual ser´a la constante del resorte que se utiliza como lanzador?. 23. Un p´endulo de longitud L y masa M tiene un resorte con constante de fuerza k conectado a ´el a una distancia h bajo su punto de suspensi´on. Encuentre la frecuencia de vibraci´on del sistema para peque˜ nos valores de la amplitud. Suponga que la barra de suspensi´on vertical de longitud L es r´ıgida, pero ignore su masa.

18. Una manzana pesa 1,00N . Si la colgamos del extremo de un resorte largo con constante de fuerza de 1,50N/m y masa despreciable, rebota verticalmente en MAS. Si detenemos el rebote y dejamos que la manzana oscile de lado a lado con un ´ angulo peque˜ no, la frecuencia de este p´endulo simple es la mitad de la del rebote. (Puesto que el ´ angulo es peque˜ no, las oscilaciones de lado a lado no alteran apreciablemente la longitud del resorte.) ¿Qu´e longitud tiene el resorte no estirado (sin la manzana)? 19. Un p´endulo simple tiene una masa de 0,250kg y una longitud de 1,00m. Se desplaza a trav´es de un ´angulo de 15,0◦ y luego se libera. ¿Cu´ ales son: a. b. c. d.

la velocidad tangencial m´ axima la aceleraci´ on angular m´ axima la fuerza restauradora m´ axima? Resuelva el problema con principios m´as generales: Fuerza tangencia y conservaci´ on de la energ´ıa y compare los resultados con los obtenidos bajo el modelo de p´endulo simple.

24. Una placa cuadrada de 3kg de masa y cuyo lado tiene una longitud d = 6cm y se monta en un eje a trav´es de su centro. Un resorte (k = 1200N/m) se conecta de la esquina superior del cubo a una pared r´ıgida. Inicialmente el resorte est´a en posici´on de reposo. Si el cubo se gira 3o y se suelta, ¿cu´al es el per´ıodo del M.A.S resultante?

20. Suponga que un p´endulo simple consiste de una esfera peque˜ na de 60g atado a una cuerda de masa despreciable. Si el angulo entre la cuerda y la vertical esta dado por θ(t) = (0,08rad) cos(4,43rad/st + φ). Cual es la longitud del p´endulo y su energ´ıa cin´etica m´axima?

P´ endulo Compuesto 21. Una barra larga y delgada de masa M y longitud L oscila alrededor de su centro sobre un cilindro de radio R. Demuestre que para ´ angulos√peque˜ nos se presenta un M.A.S. con periodo T = πL 3gR

25. Un v´astago largo y uniforme de masa de 0, 6kg est´ a libre para girar en un plano horizontal alrededor de un eje vertical a trav´es de su centro. Un resorte con constante de fuerza k = 1850N/m est´a conectado horizontalmente entre un extremo de la varilla y una pared fija. Cuando la varilla est´a en equilibrio, es paralela a la pared. ¿Cu´al es el per´ıodo de la oscilaci´ on peque˜ na 3

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TALLER PRIMER CORTE - OSCILACIONES Y ONDAS 2019-I PROFESORES: JESÚS DAVID RAMÍREZ NIÑO

b. Si ahora se separa el p´endulo 10◦ de la posici´ on de equilibrio y se suelta, empez´andose en ese momento a contar el tiempo. Escr´ıbase la ecuaci´ on del M.A.S.

¿Qu´e ocurre cuando la varilla se gira ligeramente y se suelta?

30. Un p´endulo f´ısico consiste en una varilla sin masa de longitud 2L gira alrededor de un eje que pasa por su centro. Una masa m1 est´a unido en el extremo inferior de la varilla, y una masa m2 m´as peque˜ no en el extremo superior ¿Cu´al es el per´ıodo de este p´endulo? 26. Una bola peque˜ na de masa M est´ a unida al extremo de una barra uniforme de igual masa M y longitud L que est´ a articulada en la parte superior.

31. Un p´endulo consta de un disco uniforme de 10, 3cm de radio y 488g de masa unido a una barra de 52, 4cm de longitud que tiene una masa de 272g, seg´ un figura.

Calcule el periodo de oscilaci´ on para peque˜ nos desplazamientos desde el equilibrio y determine este periodo para L = 2,00m. 27. Un p´endulo f´ısico en forma de objeto plano se mueve en movimiento arm´ onico simple con una frecuencia de 0,450Hz. El p´endulo tiene una masa de 2,20kg y el eje se ubica a 0,350m del centro de masa. Determine el momento de inercia del p´endulo en torno al punto de giro. 28. La pierna humana se puede comparar con un p´endulo f´ısico, con un periodo de oscilaci´ on natural, para el cual caminar es m´ as f´ acil. Considere la pierna como dos varillas unidas r´ıgidamente entre s´ı en la rodilla; el eje para la pierna es la articulaci´ on en la cadera. La longitud de cada varilla es aproximadamente la misma: 55cm. La varilla superior tiene una masa de 7,0kg y la varilla inferior tiene una masa de 4kg. Calcule el pe?riodo de oscilaci´ on natural del sistema.

a. Calcule la inercia rotatoria del p´endulo respecto al pivote. b. ¿Cu´al es la distancia entre el pivote y el centro de masa del p´endulo? c. Calcule el per´ıodo de oscilaci´on para ´ angulos peque˜ nos. 32. Un cilindro s´olido est´a unido a un resorte horizontal sin masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo largo de una superficie horizontal, como se ve en la figura. N La constante de fuerza k del resorte es de 2, 94 cm . Si el sistema parte del reposo desde una posici´ on en que el resorte est´a estirado 23, 9cm, halle:

29. Un p´endulo est´ a formado por una varilla de 200g de masa y 40cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500g y 5cm de radio y la inferior de 400g y 4cm de radio que no rotan, equidistantes 8cm de los extremos de la barra. El p´endulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de la esfera superior.

a. La energ´ıa cin´etica de traslaci´on y, b. La energ´ıa cin´etica de rotaci´on del cilindro al pasar por la posici´on de equilibrio.

a. H´ allese el periodo. 4

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TALLER PRIMER CORTE - OSCILACIONES Y ONDAS 2019-I PROFESORES: JESÚS DAVID RAMÍREZ NIÑO

33. Una llave inglesa de 1,80kg tiene su pivote a 0,250m de su centro de masa y puede oscilar como p´endulo f´ısico. El periodo para oscilaciones de ´ angulo peque˜ no es de 0,940 s.

varilla est´a sujeto al interior de la campana, de modo que puede oscilar libremente sobre el mismo eje de la campana. ¿Qu´e longitud L debe tener la varilla para que la campana suene en silencio, es decir, para que el periodo de oscilaci´on de la campana sea igual a la del badajo?

a. ¿Qu´e momento de inercia tiene la llave con respecto a un eje que pasa por el pivote?

a. Determine el periodo en t´erminos de r

b. Si la llave inicialmente se desplaza 0,400rad de la posici´ on de equilibrio, ¿qu´e rapidez angular tiene al pasar por dicha posici´ on?

b. Para qu´e valores de r el periodo de la placa sera m´ınimo? 37. Una maquina de pin ball utiliza como lanzador un resorte que se comprime 6cm para lanzar una esfera por una rampa a 15. Suponga que la esfera tiene masa m = 25g y radio r = 1cm y rueda desliz´andose cuando sale del mecanismo lanzador. Si tiene una rapidez de 3ms, ¿cual ser´a la constante del resorte que se utiliza como lanzador?.

34. Un objeto cuadrado de masa m se construye con cuatro varas uniformes id´enticas, cada una con longitud L, unidas entre s´ı. Este objeto se cuelga de su esquina superior en un gancho. Si se gira ligeramente a la izquierda y luego se suelta, ¿con qu´e frecuencia oscilar´a de un lado a otro?

P´ endulos de Torsi´ on 38. Una vara de un metro cuelga de su centro de un alambre delgado. Se gira y oscila con un periodo de 5s. la vara se recorta a una longitud de 70cm. Esta pieza de nuevo se equilibra en su centro y se pone a oscilar. ¿Con qu´e periodo oscilar´a ahora?

35. Dos varillas delgadas id´enticas, cada una con masa m y longitud L, se unen en ´ angulo recto para formar un objeto en forma de L, el cual se balancea sobre la c´ uspide de un tri´ angulo agudo. Si el objeto en forma de L e desv´ıa un poco, oscila. Calcule la frecuencia de oscilaci´ on.

39. Un disco de aluminio de 12,5cm de di´ametro y 375g de masa est´a montado sobre un eje vertical con muy baja fricci´on. Un extremo de un resorte plano en espiral est´ a unido al disco a una distancia r = 2cm desde el centro del disco; y el otro extremo, a la base del aparato. El disco se pone en oscilaci´on rotatoria con frecuencia de 0,331Hz. ¿Cu´al es la constante de torsi´on del resorte K

36. Una campana grande de 34kg cuelga de una viga de madera, de modo que puede oscilar con fricci´on despreciable. Su centro de masa est´ a 0,6m bajo el pivote, y su momento de inercia con respecto a un eje en el pivote es de 18kg · m2 . El badajo es una masa de 1,8kg que cuelga del extremo de una varilla delgada de longitud L y masa despreciable. El otro extremo de la

40. Un disco met´alico delgado con masa de 2,00 × 10−3 kg y radio de 2,20cm se une en su centro a una fibra larga. Si se tuerce y suelta, el disco oscila con un periodo de 1,00s. Calcule la constante de torsi´on de la fibra. 5

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TALLER PRIMER CORTE - OSCILACIONES Y ONDAS 2019-I PROFESORES: JESÚS DAVID RAMÍREZ NIÑO

representa mediante el coeficiente de amortiguamiento N ·s b = 3,00 . m a. Calcule la frecuencia de la oscilaci´ on amortiguada. b. ¿En qu´e porcentaje disminuye la amplitud de la oscilaci´on en cada ciclo?.

41. Un p´endulo de torsi´ on consiste en una varilla de masa 100g y 30cm de longitud, la varilla pasa por el centro de dos esferas iguales de 150g y 5cm de radio, situadas sim´etricamente de modo que el centro de las esferas dista 10cm del eje de giro.

c. Encuentre el intervalo de tiempo que transcurre mientras la energ´ıa del sistema cae a 5,00 %¸ de su valor inicial.

a. Sabiendo que el periodo de la oscilaci´ on vale 2,4s, calcular la constante K de torsi´ on del muelle.

44. La masa de un oscilador amortifuado es 375g, la consN y b = 0,100 Nm·s . tante de resorte es 100 m

b. Si en el instante inicial t = 0 el p´endulo se desplaon de equilibrio y se suelta. za θ0 = π6 de la posici´ Escribir la ecuaci´ on del M.A.S.

a. ¿Durante qu´e intervalo de tiempo la amplitud cae a la mitad de su valor inicial?. b. ¿Cuanto tiempo tomara para que la energ´ıa derezca a la mitad de su valor inicial?.

c. Calcular la velocidad angular de rotaci´on cuando pasa por la posici´ on de equilibrio.

c. De acuerdo a los dos valores anteriores, cual decae mas rapido la amplitud o la energ´ıa? ¿por qu´e? 45. Un p´endulo de longitud 1, 50m se establece balance´andose con una amplitud inicial de 10◦ . Despu´es de 12min, la fricci´on ha reducido la amplitud a 4◦ . ¿Cu´ al es el valor de Q para este p´endulo? 46. Cuando un columpio en movimiento no se ”bombea”la amplitud angular de oscilaci´on disminuye debido al aire y otra fricci´on. Para el movimiento de un columpio de 3m de longitud en el cual la amplitud de oscilaci´ on decrece de 12◦ a 10◦ despu´es de 5 ciclos completos. ¿Cu´al es el Q del sistema? Si el jinete y el asiento son tratados como una masa puntual con m = 25kg, cual es la energ´ıa mec´anica promedio que se disipa? 42. Un p´endulo de Torsi´ on consiste en una barra met´alica de Longitud L = 70cm y masa 6kg, que esta sujeta en su punto centro por un alambre con constante de torsi´ on K = 250N · m, a los lados de esta barra se ubican dos discos uniformes de masa m1 = 2kg y m2 = 4kg con radios r1 = 15cm y r2 = 25cm, como lo muestra la figura. Calcule el Periodo de oscilaci´on de este P´endulo.

47. El p´endulo de un reloj de pared tiene una longitud de 0,994m y una masa de 1, 2kg. Si el p´endulo se pone en movimiento, la fricci´on del aire reduce su amplitud de oscilaci´on por un factor de 2 en 13, 0min. ¿Cu´ al es el valor de Q para este p´endulo? 48. Un p´endulo simple tiene un periodo de 2s y un amplitud de 2◦ , despu´es de 10 oscilaciones completas su amplitud ha sido reducida a 1, 5◦ encontrar: a. la constante de amortiguamiento γ. b. En el caso del oscilador amortiguado, la cantidad τ = 1/2γ se denomina tiempo de relajaci´ on. verifique que este tiempo tiene las unidades correspondientes en le sistema internacional. b. ¿En cu´anto ha variado la amplitud del oscilador despu´es de un tiempo τ ? c. Expresar como una funci´on de τ , el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial.

Oscilaciones Amortiguadas 43. Un objeto de 10,6kg oscila en el extremo de un resorte vertical que tiene una constante de resorte de 2,05 × 104 N/m. El efecto de la resistencia del aire se

d. ¿Cu´ales son los valores de la amplitud despu´es de tiempos iguales a 2τ , 3τ . establezca una relaci´ on. 6

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TALLER PRIMER CORTE - OSCILACIONES Y ONDAS 2019-I PROFESORES: JESÚS DAVID RAMÍREZ NIÑO

49. Un oscilador arm´ onico amortiguado, cuya frecuencia angular natural es ω0 = 15 rad ametro de s y cuyo par´ amortiguamiento es γ = 9s−1 , se encuentra inicialmente en reposo en la posici´ on de equilibrio. En el instante t = 0 recibe un impulso que lo pone en movimiento con una velocidad inicial v0 = 60 cm s . Para este sistema se pide:

c. Tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energ´ıa del oscilador. ¿Cu´ al ser´ a entonces la amplitud de las oscilaciones? 52. Utilizando un rayo de electrones, los ingenieros est´ an intentando fabricar osciladores nano-electromec´ anicos (N EM S) con frecuencias de hasta 100GHz. Si la masa de tal oscilador es 1, 0×10−18 g y tiene una amplitud m´ınima de 0, 10nm que solo puede ser detectada aplicando una fuerza arm´onica de 1, 0 × 10−10 N , ¿cu´ al debe ser el factor de calidad Q m´ınimo de tal oscilador? AYUDA: obtener una ecuaci´on combinando factor de calidad y amplitud de resonancia.

a. Expresar la elongaci´ on del oscilador en funci´on del tiempo. b. Calcular el m´ aximo desplazamiento que experimenta el oscilador a partir de su posici´ on de equilibrio. c. Calcular el tiempo que deber´ a transcurrir para que la amplitud de las oscilaciones amortiguadas se reduzca a un 0, 1 %¸ del valor m´ aximo anteriormente calculado.

Oscilaciones Forzadas 53. Un sistema masa resorte amortiguado-forzado consta de una masa de 2kg atada a un resorte cuya constante el´astica es de 200N/m. En el instante t = 2s la posici´on de la masa es de 10cm, su velocidad es de −3m/s y su aceleraci´on es de 2m/s2 y es impulsado por una fuerza sinusoidal F (t) = F0 sin(ωt) cuyo valor m´ aximo es de 10N . lo cual resulta en un movimiento con una Frecuencia angular final de 5rad/s. Hallar:

50. Una masa de m = 0, 5Kg, unida a un muelle de constante el´ astica k = 250N/m, oscila con una amplitud inicial A0 = 6cm. Para este sistema se pide: a. Hallar el periodo y la energ´ıa del oscilador en el instante inicial. b. Determinar el valor del par´ ametro de amortiguamiento del oscilador sabiendo que la energ´ıa se disipa a raz´ on de un 1, 0 %¸ en cada ciclo.

a. El valor del par´ametro de amortiguamiento γ b. La amplitud forzada de oscilaci´on. c. El factor de calidad del sistema forzado

51. Un cuerpo de masa m = 2kg descansa sobre un tablero horizontal y est´ a unido al extremo libre de un N muelle de constante el´ astica k = 200 . En un insm tante dado, las oscilaciones presentan una amplitud A0 = 30cm; pero debido a un rozamiento de tipo viscoso (F r = −bν), dicha amplitud se reduce a la mitad cuando han transcurrido t1 = 25s. Con estos datos, determinar:

54. Un objeto de 2kg oscila sobre un muelle de constanN con una constante de amortiguamiento te k = 400 m Kg b = 2 s . Est´a impulsado por una fuerza sinusoidal de valor m´aximo 10N y frecuencia angular ω = 10 Rad s . Calcular la amplitud de las oscilaciones y la frecuencia y amplitud de resonancia. 55. Un objeto de masa 1, 5kg situado sobre un muelle de N constante de fuerza 600 m pierde el 3 %¸ de su energ´ıa en cada ciclo. El sistema viene impulsado por una fuerza sinusoidal con un valor m´aximo de F0 = 0, 5N . ¿Cu´al es el valor de Q para este sistema y el valor de la frecuencia angular de resonancia y amplitud de resonancia? ¿Cu´al es la amplitud de oscilaci´ on si la frecuencia impulsora es 19 rad s ?

a. Valor del par´ ametro de amortiguamiento γ, del coeficiente de amortiguamiento b, del tiempo de relajaci´ on de la energ´ıa τ y del factor de calidad Q. b. La frecuencia y el periodo de las oscilaciones amortiguadas y no amortiguadas.

7