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• Luis Alberto Castro Alvarado

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LA INGENIERÍA DE CALIDAD DE TAGUCHI

LA INGENIERÍA DE CALIDAD DE TAGUCHI

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Diseño de Experimentos de Taguchi

Objetivos del curso - Que el alumno comprenda que es la ingeniería de calidad de Taguchi, su ámbito de aplicación y beneficios que acarrea en su área de trabajo. - Que el alumno comprenda a nivel de aplicación, las principales herramientas de la Ing. de calidad, como son: - La función de pérdida; - arreglos ortogonales; - análisis señal ruido; - características dinámicas; - datos por atributos; - diseño de tolerancias; - y análisis B vs C.

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CONTENIDO 1. Introducción

3

2. La función de pérdida

10

3. Arreglos ortogonales

16

4. Diseño de parámetros con análisis Señal/Ruido

71

5. Diseño de parámetros de características dinámicas 109

6. Datos por atributos

140

7. Diseño de tolerancias

148

8. Análisis B vs. C

168

9. Conclusiones

Bibliografía

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1. INTRODUCCIÓN Ante las crecientes presiones económicas y comerciales que enfrenta nuestro país, resulta imprescindible para nuestra planta industrial incrementar su competitividad. Esto se acentúa por dos aspectos: 1. Ante la contracción de nuestro mercado interno, resulta necesario para algunos sectores incursionar en mercados internacionales. 2. Debido a las políticas de apertura comercial en nuestro país, algunos sectores empiezan a librar una batalla con insumos y productos internacionales en nuestro propio país. Cada vez aumenta la posibilidad para un consumidor nacional, de adquirir productos fabricados en U.S.A, Japón, China, Taiwan, Corea, Brasil, etc. en mercados y submercados locales. Nuestros sectores de transformación y de servicios tiene, por lo tanto, la imperiosa necesidad de incrementar la competitividad de sus productos. Sin embargo, una serie de interrogantes que surge de inmediato son: ¿qué es un producto competitivo?, ¿cómo saber si nuestros productos son más competitivos?, ¿cómo se incrementa la competitividad?, ¿Qué técnicas se pueden utilizar en nuestros medios?. Con el objetivo de mejorar rápidamente su situación, ya que además no disponemos de mucho tiempo, algunos centros de producción se enfocan a contestar las últimas dos preguntas. Esto trae como consecuencia una búsqueda de técnicas provenientes de otros países. Algunas de estas técnicas son sumamente útiles en potencia y algunas otras son comercializadas rápidamente y ofrecidas como “fórmulas mágicas“ que resolverán todos los problemas. Es por lo tanto necesario, entender y evaluar cada una de estas metodologías, a fin de poder decidir objetivamente la posibilidad de éxito y maneras de aplicación en nuestro medio, así como, conocer sus requerimientos y alcances antes de poder implantarlas. Pero, ¿cómo sabemos que un producto es competitivo?, de acuerdo con varios autores, la competitividad de un producto se puede medir de acuerdo con tres dimensiones que son:

Calidad El producto en

Ingeniería

Precio

Seriedad en tiempos de entrega Servicio Longitud de tiempo de entrega o prontitud de respuesta Pág 4 de 171

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Quiere esto decir, que un producto competitivo será aquel que posee un alto nivel de calidad al cliente, los últimos avances de ingeniería, tenga un bajo precio al consumidor que sin embargo; deje utilidades y que se pueda entregar rápidamente al cliente en plazos preestablecidos. De todas estas dimensiones, la que parece haber sido explorada con más intensidad por países altamente productivos es el renglón de la calidad. De hecho, Japón considerado actualmente como el país con mayor potencial económico, ha usado como bandera la calidad de sus productos para incursionar en mercados mundiales. Bajo la idea de que “La calidad es primero y las utilidades consecuencia” han desarrollado una serie de metodologías que parecen ser aplicables en otros países. Una de estas metodologías se conoce como ingeniería de calidad, metodología de diseño experimental o metodologías Taguchi. Varias de las técnicas que incluye fueron desarrolladas por Genichi Taguchi y se han extendido a varias partes del mundo probando su aplicación y efectividad. En este material, se muestra un panorama general de esta metodología, tratando de mostrar su potencial de uso, así como, sus principales herramientas. Dicho de otra manera, la tecnología no es adaptada a nuestro medio. Cabe mencionar también que en ocasiones se conoce la causa que está originando un cierto problema, sin embargo, resulta demasiado costosa eliminarla directamente. Ante estas situaciones, la ingeniería de calidad pretende no remover la causa directamente, sino anular su efecto, mediante otros factores que sea más económico manejar. Pero para hacer esto, es necesario analizar el efecto de una gran cantidad de factores, algunos controlables y otros no, sobre el proceso de producción. Estos efectos además se deben de estudiar sobre el proceso real en un tiempo limitado, y ello es factible únicamente a través de una búsqueda sistemática, que a partir de pocas lecturas, nos permita obtener conclusiones consistentes y válidas. Esto es posible únicamente a través de técnicas de diseño experimental o diseño de experimentos. El diseño de experimentos se convierte por lo tanto, en una técnica imprescindible para obtener altos niveles de calidad y bajos costos en los productos.

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Diseño de tolerancias En esta última fase, lo que se pretende es fijar tolerancias a los insumos a fin de poder mejorar la calidad de los productos. Esta fase es la última a recurrir y se hace después de un diseño de parámetros. El imponer tolerancias más estrechas sobre los insumos, necesariamente incrementa los costos de los productos, por lo tanto, antes de tratar de controlar esa variabilidad en los insumos se debe de tratar de nulificar su efecto mediante diseño de parámetros. Pero si es necesario imponer tolerancias, esto no se debe hacer indiscriminadamente sobre los insumos, sino sobre aquellos que de veras afecten el proceso y que convenga desde el punto de vista económico de hacerlo. Para esto último, es útil también el diseño de experimentos. Podrá observar, que en muchas de las situaciones en nuestro medio, se efectúan las etapas uno y tres, esto es, el diseño del sistema y el diseño de tolerancias, pero no el diseño de parámetros. Después de adquirir la tecnología, se imponen una serie de tolerancias estrechas para lograr los resultados que se obtienen en el país donde se adquirió (no usar aditivos de Pemex, por ejemplo). Esto posiblemente se debe al desconocimiento de la importancia del diseño de parámetros y de las técnicas del diseño de experimentos. 1.1 ¿qué hace el diseño de experimentos, durante un diseño de parámetros u optimización del proceso?

Considere un proceso cualquiera. En este proceso se combinan una serie de insumos para cumplir con ciertas características Factores Xi

Respuestas Y1 Proceso

Y2 Y3

Suponga que la situación de alguna de las características, digamos Y1 se muestra en la figura siguiente:

LIE

LSE

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Evidentemente, el proceso está generando producto con características no satisfactorias. A fin de corregir la situación es necesario: 1. Centrar el proceso, modificando la media o promedio del mismo. 2. Reducir la variabilidad del proceso eliminando causas comunes de variación, dicho de otra manera, el proceso está en control estadístico. 3. De ser posible reducir el costo del proceso. Todos los factores x, que afectan este proceso, se pueden clasificar en cuatro grandes grupos:

Factores que afectan la media y/o la variabilidad. Factores de ruido Factores que afectan la media sin afectar la variabilidad

Factores que no afectan, ni la media ni la variabilidad

Los factores de ruido son aquellos que no podemos o deseamos controlar, en general, se consideran tres tipos: -

Ruido externo. Son los factores que están fuera del ámbito del producto, pero que afectan el proceso en el ámbito del cliente durante su uso. Ruido interno. Son los factores que originan deterioro, o que las características de calidad se degraden con el tiempo. Ruido de producto a producto. Son los factores que en el centro de producción ocasionan variación de un producto a otro.

Los factores que afectan la media y/o variabilidad, se utilizan para reducir la variabilidad. Los que afectan solamente a la media, se utilizan para reducir la variabilidad. Los que afectan solamente a la media, se utilizan para centrar el proceso, o bien para maximizar o minimizar la respuesta. Por último, los factores que no afectan ni la media ni variación se utilizarán para reducir el costo del proceso, esto es, se ubicarán a su nivel más económico. Recuerde , que el objetivo es fijar los factores que están en nuestro control, a un nivel tal que el producto sea robusto a los factores de ruido. El problema es, que de antemano no sabemos dónde se ubica cada factor: el diseño de experimentos es un grupo de herramientas que nos ayuda de una manera sistemática y eficiente, a ubicar cada factor y en un caso dado, como exactamente afecta a la variable de respuesta.

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1.2 Procedimiento general para un estudio de ingeniería de calidad Uno de los procedimientos que se pueden utilizar es el siguiente:

1. Identificar el problema y formar grupo de trabajo. Este es quizá el paso más importante, existe la posibilidad de que en este pase se termine el experimento. En primer lugar, se debe de identificar un problema que sea importante resolver para la empresa (no únicamente para el experimentador). Esto quiere decir, que si el problema se resuelve, pondría en una mejor posición al producto y permitiría a la empresa generar más utilidades. Si esta condición no se cumple, es recomendable olvidarse por lo pronto del problema y buscar otro. Una vez aprobado el problema, se debe definir por escrito cuál es el problema a resolver, qué tipo de solución se busca, cuál es la situación actual y sobre todo, quién sabe acerca del mismo o está directamente afectado, a fin de integrarlo dentro del grupo de trabajo. 2. Lluvia de ideas En esta fase, se pretende identificar como evaluar y/o cuantificar la característica que se desea mejorar. Asegurarse que realmente representa el problema que se quiere resolver. Una vez definida, se debe cuestionar si la puede medir de una manera confiable sino es posible, busque alternativas. Es posible que en un mismo problema existan dos o más características de interés, conviene sin embargo que usted, asigne prioridades y tome una como titular. La o las características seleccionadas son las variables de respuesta para todo el estudio (Y). En esta fase se deben identificar, el grupo de factores que potencialmente afecta la variable de respuesta (las X’s). Se puede ayudar con un diagrama causa-efecto en el que intervengan las personas que conocen el proceso; operadores, técnicos, ingenieros, etc. Una cosa importante es que busque en la literatura, en ocasiones el problema que pretende resolver ha sido tratado en otras partes y esto le puede orientes sobre que factores considerar. En un segundo paso, se debe seleccionar aquellos factores que se consideran con mayores posibilidades y que entrarán al primer experimento, se debe hacer un juicio y a falta de información, un pareto logístico puede ser de gran ayuda. Considere también, que existen factores que no se pueden controlar y no tiene caso que entren al experimento. Si aún así, quedan muchos factores candidatos, inicie con lo s que sea más sencillo y menos costoso manipular. Una vez seleccionados los factores, se deberán proponer los niveles a estudiar para cada factor. No sea demasiado conservador, considere dentro de que rangos varían generalmente los factores y trate de cubrir estos rangos. Es probable que Pág 8 de 171

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los resultados que obtenga se puedan interpolar sin embargo, será muy riesgoso extrapolar resultados. 1. Seleccionar el arreglo a usar. Arreglo interno Arreglo externo Tamaño de la muestra 2. Organizar el experimento Hojas de datos Quién hace qué 3. Correr el experimento Recolectar datos Analizar resultados. 4. Selecciona índice señal a ruido Hacer análisis Anova Encontrar para nominal es mejor Factores que reducen variabilidad Factores que ajustan la media Factores que reducen costo Encontrar para mayor es mejor o menor es mejor Factores que mejoran la media y/o la variabilidad Encontrar las mejores condiciones de operación

Predecir resultados esperados bajo las condiciones propuestas. 1. Hacer una corrida de comprobación Si los resultados no coinciden con lo esperado, identificar causas posibles Evaluar la ganancia que se obtiene con las nuevas condiciones. 2. Implementar las condiciones propuestas. Varios de los términos mencionados serán estudiados a lo largo del material. Aunque se ha hablado del concepto de la calidad, no se ha definido explícitamente en términos de ingeniería de calidad. Por otra parte necesitamos de alguna manera evaluar económicamente las posibles desviaciones del valor ideal de la variable de respuesta. Esto se analiza en el siguiente capítulo bajo el tema de la función de pérdida.

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2. LA FUNCIÓN DE PÉRDIDA 2.1 Introducción Como se mencionó anteriormente, las herramientas de ingeniería de calidad son una ayuda, para producir un producto a bajo costo y de alta calidad. Pero si bien, el costo lo podemos medir claramente, ¿qué acerca de la calidad?. Existen diferentes definiciones de lo que es la calidad; por ejemplo, adecuación al uso, cumplir con requisitos, etc.. estas definiciones sin embargo, poco ayudan para evaluar la calidad y orientar acciones. Ciertamente, existen algunos indicadores como los índices de habilidad del proceso, por ejemplo el Cp y Cpk. Se indica que es deseable que estos índices sean mayores a 1.00, pero, desde el punto de vista económico, ¿cuál es su valor óptimo?, ¿cuánto debería estar dispuesto a invertir para que el Cpk, varie de 1.00 a 1.20?. G. Taguchi ha propuesto una herramienta llamada función de pérdida, que pretende hacer algo a primera vista tan blasfemo como, evaluar monetariamente la calidad de un producto. De esta manera, es posible compara económicamente las mejoras en calidad, sobre todo para el cliente y el costo necesario para efectuarlas.

Para lograr lo anterior, G. Taguchi propone el siguiente enunciado: “LA CALIDAD DE UN PRODUCTO SE PUEDE MEDIR, MEDIANTE LA (MINIMA) PÉRDIDA QUE LE OCASIONA A LA SOCIEDAD, UN PRODUCTO DESDE EL MOMENTO DE SER EMBARCADO” En esta definición, se involucra a la sociedad entendida como el conjunto de clientes incluyendo al productor. Esto es, que los problemas de calidad deben ser vistos de una manera global para evitar que una parte se beneficie a costa de la otra. Por otra parte, ¿por qué le molesta a un cliente recibir un producto fuera de especificaciones?, supongamos que porque no lo puede utilizar, o bien, tiene que hacer algo antes de utilizarlo. Esto le implica un gasto en dinero, que no haría si el producto fuera aceptable. Si el producto no se puede utilizar, el consumidor deberá reprocesarlo, regresarlo y reclamar al productor, molestarse y buscar otro proveedor, detener su línea de producción, etc. y todo esto lleva implícito un gasto. De manera que. la adecuación al uso se puede medir de alguna manera, mediante el dinero gastado debido a que el producto no cumple con lo esperado. Si el producto cumple exactamente con lo esperado, entonces no se ocasiona costo de calidad alguno. Dicho de otra manera, no se ocasiona un costo adicional

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para el consumidor aparte de su precio. Por eso en la definición se aclara que es un costo después de embarcarlo. Este desembolso adicional que el consumidor tiene que gastar sin tener porque hacerlo es una pérdida para él y para la sociedad en general, de la cual forma parte, si el producto hubiese sido producido bien, nadie tendría porque hacer un costo adicional. De ahí el nombre de pérdida. Pero cómo es esta relación pérdida-desviación. Suponga que desea adquirir un cierto producto con un diámetro de 10 pulg. Dado que es imposible obtener siempre este diámetro, se asigna una cierta tolerancia de digamos  0.02 pulg. Tradicionalmente esto quiere decir que si usted recibe un producto con un diámetro entre 9.98 y 10.02 pulg. todo esta bien mientras el diámetro se encuentre en este intervalo, esta igualmente contento. Fuera de este rango el producto es completamente inaceptable. Taguchi considera esta visión incorrecta. Para el cliente un producto que mide 9.9799 pulg. no es muy diferente a uno que mida 9.9801 pulg. De hecho, un producto aceptable que mida 9.9801 es más parecido a uno defectuoso que al deseado de 10.0000 pulg. Lo anterior implica cosas como: no porque un producto está dentro de especificaciones, necesariamente es un buen producto para el cliente. puede incluso hacer una inspección 100% para que todo producto quede dentro de especificaciones, y no por eso su producto es considerado un buen producto por el cliente.

Por lo tanto, más que una pérdida súbita que se tenga cuando el producto sales de especificaciones, se tiene un continuo de pérdida tan pronto como el producto se desvía del valor idealmente deseado por el cliente. En seguida se discutirá este punto, con ejemplos más específicos para cliente.

como

El único valor aceptable de una característica de calidad, es el valor deseado por el cliente, llámelo en este caso “m”. El cliente realmente recibe un producto con una característica de calidad que llamaremos aquí ”y” . Esta característica “y”, no necesariamente coincide con “m” de manera que, se puede tener una desviación de (y-m), la cual puede ser positiva o negativa. Ya sea que y>m ó y= Total Df. Regla 2. El arreglo ortogonal seleccionado deberá poder acomodar las combinaciones de niveles de factores en el experimento. 3. Asignar factores a las columnas apropiadas usando las reglas siguientes: Regla 1. Asignar interacciones de acuerdo a la gráfica lineal y tabla de interacciones. Regla 2. Usar técnicas especiales, tales como niveles artificiales y construcción de columnas, cuando el arreglo ortogonal original no puede acomodar los niveles de los factores en el experimento. Regla 3. Mantener algunas columnas vacías is no pueden ser asignadas todas las columnas. Se puede usar la tabla siguiente como referencia: Arreglo ortogonal L4 L8 L9 L12 L16 L16’ L18 L25 L27 L32 L32’ L36 L36’ L50 L54 L64 L64’ L81

Número De exper. 4 8 9 12 16 16 18 25 27 32 32 36 36 50 54 64 64 81

Factores Máximos 3 7 4 11 15 5 8 6 13 31 10 23 16 12 26 63 21 40

Máximo 2 3 7

Número 3

De cols. 4

En niveles 5

4 11 15 5 1

7 6 13

31 1 11 3 1 1 63

9 12 13 11

21 40

Para ayudar en la asignación de factores a un arreglo, se han desarrollado gráficas lineales. Su aplicación se muestra mediante un ejemplo: NOTA: En los ejemplos que siguen, para denotar una interacción entre dos factores, A y B por ejemplo, se utiliza indistintamente la notación AB o AxB.

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Gráficas lineales En el apéndice se muestra un arreglo L8 junto con una matriz triangular y dos gráficas lineales. Estas se reproducen aquí para explicación.

L8

Col.1

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8

Columnas 1 2 3 4 5 6 7

Col.

Col.

Col.

Col. 2 3

Col. 4 5

Col. 6 7

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 2 1 1 2 2 1

1 (1)

Matriz o tabla de interacciones 2 3 3 2 (2) 1 (3)

1 1 2 2 2 2 1 1

1 2 1 2 2 1 2 1

4 5 6 7 (4)

5 4 7 6 1 (5)

1

6 7 4 5 2 1 ¡(1)

7 6 5 4 3 2 6 (7)

3

3 5 1 .7 2

1 2 2 1 2 1 1 2

6 (a)

2

5 6

4

4 (b)

7

La aplicación de gráficas lineales se muestra mediante una serie de ejemplos. Ejemplo 3.6: Supongamos que queremos analizar el efecto de cuatro factores A, B, C y D, además de las interacciones AxB, AxC y AxD.

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1) Como primer paso, seleccionamos un arreglo ortogonal tentativo. Esto depende del número de efectos totales a analizar. 4 factores + 3 interacciones= 7 efectos o columnas 2) Después de seleccionar un arreglo ortogonal tentativo, un L8 en este caso, el siguiente paso es desarrollar la gráfica lineal que deseamos, de acuerdo con las reglas mencionadas anteriormente: a) un efecto individual se representa con un punto. b) una interacción se representa mediante una línea que une los dos individuales.

efectos

En nuestro caso esto procede como sigue: Primero dibujamos cuatro puntos, uno para cada efecto. A.

C.

B.

D.

En seguida mostramos las interacciones que nos interesan, mediante líneas. Para nuestro caso tenemos (gráfica de la izquierda): AxB

3

A

B

AxC

1

2

AxD

5 6

C

D

7

4

3) Identificamos la gráfica mostrada en el apéndice que más se parece a la gráfica deseada, y vemos que esta es la gráfica (2), (dibujada a la derecha de la anterior). Por lo tanto, podremos asignar el factor A a la columna 1, el factor B a la columna 2, la interacción AxB a la columna 3, el factor D a la columna 4, la interacción AxD a la columna 5, el factor C a la columna 7 y la interacción AxC a la columna 6. Esto es: Exp. No. 1 2 3 4

Columna 1

Columna 2

Columna 3

Columna 4

Columna 5

Columna 6

Columna 7

A 1 1 1 1

B 1 1 2 2

AxB 1 1 2 2

D 1 2 1 2

AxD 1 2 1 2

AxC 1 2 2 1

C 1 2 2 1

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5 6 7 8

2 2 2 2

1 1 2 2

2 2 1 1

1 2 1 2

2 1 2 1

1 2 2 1

2 1 1 2

Supongamos que ahora queremos analizar un factor más, el factor E y creemos que la interacción AxC realmente no es relevante. La gráfica lineal que requerimos es: B AxB C

A

.E

AxD D Esta gráfica es parecida a la gráfica lineal (2) excepto por la interacción de AxC, por lo tanto, una asignación lógica es: Factor A a la columna 1, factor B a la columna 2, interacción AxB a la columna 3, el factor C a la columna 4, el factor D a la columna 7, la interacción AxD a la columna 6. Por último, a la columna 5 que de otra manera sería la interacción AxC, se le asigna el factor E. Observe que en este último caso, también se pudo utilizar la gráfica lineal (1). Si por alguna razón, la gráfica que deseamos, no puede quedar incluida en las gráficas lineales (1) ó (2) es necesario usar otro arreglo ortogonal de mayor tamaño. Ejemplo 3.5: Si deseamos analizar los factores A, B, C, D, E y F, además de la interacción AxB, una posible asignación es: Efecto

Columna 1

Columna 2

Columna 3

Columna 4

Columna 5

Columna 6

Columna 7

A

D

C

B

AxB

E

F

Ejemplos adicionales 3.6:

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a) En un experimento hay 7 factores, se consideran sólo los efectos principales. Los grados de libertad son Df = 1 + 7(“-1) = 8. El arreglo ortogonal seleccionado debe tener al menos 8 corridas experimentales, en este caso puede ser un L8. b) En un experimento hay un factor A de dos niveles y 6 factores de 3 niveles, B, C, D, E, F, G. Los grados de libertad son: Df = 1 + (2-1) +6(3-1) = 14. Por tanto se debe usar un arreglo ortogonal que la menos tenga 14 corridas experimentales. El L16 tiene experimentos pero no puede acomodar 6 columnas de tres niveles. El arreglo ortogonal L18 tiene una columna para un factor de dos niveles y 7 columnas de 3 niveles, por tanto es el arreglo a usar. La columna 8 se deja vacía. L18

Col.1

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Col.

Col.

Col.

Col. 2 3

Col. 4 5

Col. 6 7

B 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

D 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2

F 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 3 1 1 2 3 3 1 2

C 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

E 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 3 1 2 2 3 1

G 1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3

Col. 8 e 1 2 3 3 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 1

c) En un experimento hay 9 factores de dos niveles, A, B, C, D, E, F, G, H, I y las interacciones AB, AC, AD y AF se piensa que pueden presentarse. Los experimentos necesarios son al menos Df = 1 + 9(2-1) + 4(2-1)(2-1) = 14 El diseño L16 tiene 16 corridas experimentales y puede acomodar hasta 15 factores o sus interacciones en dos niveles. Usando la gráfica lineal para identificar las columnas de las cuatro interacciones se tiene: A(1)

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C(6)

7

13

3

9

B(2)

10

D(12)

G(11) 15

F(8)

I(14)

E(4)

H(5)

Las columnas 3, 7, 9 y 13 se dejan vacías para evitar confundir los efectos principales con las interacciones de dos factores. El arreglo queda como sigue:

L16

1

Exp. No. 1 2 ….

A

2 B

3

4

AB E

5 H

6 C

7

8

9

10 11 12 13 14 15

AC F AF e

G

D

AD I

E

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….

d) En un experimento hay 6 factores con 3 niveles A, B, C, D, E, F y las interacciones probables AB, AC, y BC. Los experimentos necesarios son: Df = 1 + 6(3-1) + 3(3-1)(3-1) = 25. El arreglo L27 tiene 27 corridas experimentales y puede acomodar 13 factores de 3 niveles. En base a su gráfica lineal se tiene: A(1) D(9) 3,4 B(2)

E(10)

F(12)

e(13)

6,7 C(5)

Las columnas 3, 4, 6, 7, 8, y 11 se dejan vacías para evitar confusión de efectos principales con las interacciones AB, AC, y BC.

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Técnicas especiales Algunas veces se requiere tener algunos factores con diferentes niveles en el mismo experimento, por ejemplo cuatro o más niveles, para esto se utilizan algunas técnicas especiales. Combinación de columnas Se pueden combinar varias columnas de bajo nivel en una columna de mayor nivel.

a) Creación de una columna de cuatro niveles usando columnas de dos niveles: Se requieren tres columnas de dos niveles para crear una columna de 8 niveles, como cada columna tiene un grado de libertad, y una de cuatro niveles tiene tres grados de libertad, se requieren tres columnas, que se forman con dos columnas y la columna de su interacción. Por ejemplo si se hay dos factores en un experimento A y B, con A un factor de cuatro niveles y B un factor de dos niveles. La interacción AB puede ser significativa. Calculando los grados de libertad se tiene: Df = 1 + (4-1) + (2-1) + (4-1)(2-1) = 8 Por lo que se puede utilizar el arreglo L8 como sigue:

L8

Col.1

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 2 2 2 2

Col.

Col.

Col.

Col. 2 3

Col. 4 5

Col. 6 7

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 2 1 1 2 2 1

1 1 2 2 2 2 1 1

1 2 1 2 2 1 2 1

Combinando las columnas 1, 2 y 3 se tiene:

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1 2 2 1 2 1 1 2

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A

1 3

AB(5)

2 B(4) AB(6)

7

L8

Col.1

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 2 2 2 2

L8 Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8

Col.

Nueva

Col. 2 B

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 3 3 4 4

Col. Col. nueva Col. 4 5

Col. 6 7

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 2 1 2 1

Col.

1 2 2 1 2 1 1 2

Calculando los grados de libertad de AB se tiene Df = (4-1)(2-1) = 3, por tanto se deben utilizar tres columnas; las columnas 5 y 6 están relacionadas con la interacción de AB; también su columna 3 al interaccionar con la columna 4 (AB) la interacción se presenta en la columna 7 de la gráfica lineal L8 siguiente:

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Columnas 1 2 3 4 5 6 7

1 (1)

Matriz o tabla de interacciones 2 3 3 2 (2) 1 (3)

4 5 6

7 (4)

5 4 7 6 1 (5)

6 7 4 5 2 1 ¡(1)

7 6 5 4 3 2 6 (7)

Y la gráfica lineal queda como sigue:

A

1 3 AB(5) 2

B(4) AB(6)

AB(7)

El arreglo ortogonal resultante es el siguiente:

L8

A

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 2 2 3 3 4 4

B 1 2 1 2 1 2 1 2

AB 1 2 1 2 2 1 2 1

AB

1 2 2 1 1 2 2 1

AB 1 2 2 1 2 1 1 2

Técnica de nivel artificial Se utiliza para asignar un factor con m niveles a una columna con n niveles, donde n > m. Se puede aplicar la técnica de nivel artificial para asignar un factor de 3 niveles a un arreglo ortogonal de 2 niveles.

Pág 50 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

Por ejemplo, si en un experimento hay 1 factor de 2 niveles A, y 3 factores de 3 niveles B, C, D. Los grados de libertad son los siguientes: Df = 1 + (2-1) + 3(3-1) = 8 El arreglo L8 no puede acomodar este diseño porque solo tiene columnas de 2 niveles, se requiere un arreglo mayor como el L9 que puede acomodar hasta 4 factores de tres niveles, de esta forma se puede utilizar una columna para el factor A en 2 niveles y los factores B, C, y D a otras 3 columnas como sigue: El arreglo L9 original es:

L9

Col.1

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A 1 1 1 2 2 2 3 3 3

Col. Col. 2 3 B C 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2

Col. 4

D 1 2 3 3 1 2 2 3 1

En este caso los 1’ indican que se asignó el nivel 1 en lugar del nivel 3 en la columna 1, también se pudo haber asignado el nivel 2. El nivel seleccionado a duplicarse debe ser el nivel del cual nos gustaría obtener más información. Y el arreglo modificado queda como:

L9

Col.1

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A 1 1 1 2 2 2 1’ 1’ 1’

Col. Col. 2 3

Col. 4

B 1 2 3 1 2 3 1 2 3

D 1 2 3 3 1 2 2 3 1

C 1 2 3 2 3 1 3 1 2

Pág 51 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

Por ejemplo en otro experimento se tiene un factor A en 3 niveles, 7 factores en 2 niveles B, C, D, E, F, G, H así como sus interacciones BC, DE y FG. Determinado los grados de libertad se tiene: Df = 1 + (3-1) + 7(2-1) + 3(2-1)(2-1) = 13 El arreglo L16 tiene 16 corridas experimentales y puede acomodar hasta 15 factores de 2 niveles. La columna A se formará tomando 3 columnas que se pueden ser seleccionar de sus correspondientes gráficas lineales. El arreglo original es:

L16 Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1

2

3

4

5

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

1 2 1

1 2 1

1 2 1

1 2 1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1 1 2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

2

2

2

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

1

1 2 1

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

1

2

2

2

1

1

2

1

1

1

1

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1 2 1

2

2

1 1 2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

2

2

1

2

2

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

1

2

1 2 1

2

2

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

1 1 2

2

2

1

2

6

Sus gráficas lineales son las siguientes: 1

3

2

B(4)

D(5)

F(7)

H(6)

BC(12)

DE(15)

FG(14)

13

C(8)

E(10)

G(9)

11

A

Pág 52 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

Las columnas 1, 2 y 3 se pueden combinar para formar la columna A y todos los demás factores e interacciones. Después se pude utilizar la técnica de la variable artificial para acomodar al factor A.

L16

1, 2, 3

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

A

B

D

6 H

7

8

9

10

11

12

13

14

15

F

C

1 1 1 1

1 1 2

1 1 2

G

E

e

BC

e

FG

DE

1 1 2

1 1 2

1 2 1

1 2 1

1 2 1

1 2 1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

1

1 2 1

2

2

1 1 2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

1

1

2

1

1

1

1

1

2

2

3

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1 2 1

2

3

1 1 2

2

1

2

2

1

2

1

3

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1’

2

2

1

2

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

1

2

1 2 1

2

1’

1 1 2

2

2

1

2

1

1

2

1’

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

2

3

1’

4

5

Método del factor compuesto Este método se usa cuando el número de factores excede al número de columnas en el arreglo ortogonal. Por ejemplo si se quieren 2 factores de 2 niveles A y B y 3 factores C, D y E en 3 niveles, y la dirección sólo permite 9 experimentos. Suponiendo que se ha seleccionado el arreglo L9, sólo 4 factores pueden asignados en el arreglo l9, de modo que estamos tratando de asignar estos factores de 2 niveles A y B en 1 columna de 3 niveles. Hay cuatro combinaciones para A y B: A1B1, A1B2, A2B1 y A2B2, dado que la columna tiene sólo 3 niveles, sólo se pueden seleccionar 3 combianciones tales como (AB)1 = A1B1, (AB)2 = A1B2 y (AB)3 = A2B1. El factor compuesto AB puede ser asignado a la columna de 3 niveles.

Pág 53 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

El arreglo original es:

L9 Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Col.1 Col. Col. Col. 3 2 4 A B C D 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 2 3 1 3 1 2

1 2 3 3 1 2 2 3 1

El arreglo modificado queda como:

L9

Col.1

Col. Col. Col. 3 2 4

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

AB

C

D

E

(AB)1 (AB)1 (AB)1 (AB)2 (AB)2 (AB)2 (AB)3 (AB)3 (AB)3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 2 3 1 3 1 2

1 2 3 3 1 2 2 3 1

Se pierde cierta ortogonalidad, los factores compuestos no son ortogonales entre sí, pero si lo son con los otros factores. Un ejemplo completo con una réplica se muestra a continuación: Ejemplo 3.7: Diseño experimental L8 completo: Se desea analizar un nuevo tipo de carburador. La variable de respuesta de interés es el porcentaje de hidrocarburos no quemados que arroja el motor. Cuatro diferentes factores y tres interacciones parecen afectar esta variable: Efecto A

Descripción Tensión del diafragma

Nivel bajo 1 Baja

Nivel alto 2 Alta

Pág 54 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

B C D AxC

Entrada para aire Apertura combustible Flujo de gasolina Interacción

AxB BxC

Interacción Interacción

Estrecha

Abierta

Pequeña Lento

Grande Rápido

para

Gráfica lineal que se desea es: A AxC

C

AxB

B

CxB

.D

Esta gráfica se ajusta a la gráfica lineal (1) del arreglo ortogonal L8, por lo que una asignación apropiada de efectos es:

L8

Col.1 A

Col. Col. 2 3 C AxC

Col. Col. 4 5 B AxB

Col. Col. 6 7 BxC D

Exp. No.

Tensión Apertura Entrada Flujo

Yi

1

1

1

1

1

1

1

1

Tipo I

5%

10 seg

3%

0.49

2

1

1

1

2

2

2

2

Tipo I

5%

10 seg

5%

0.42

3

1

2

2

1

1

2

2

Tipo I

10%

15 seg

3%

0.38

4

1

2

2

2

2

1

1

Tipo I

10%

15 seg

5%

0.3

5

2

1

2

1

2

1

2

Tipo II

5%

15 seg

3%

0.21

6

2

1

2

2

1

2

1

Tipo II

5%

15 seg

5%

0.24

7

2

2

1

1

2

2

1

Tipo II

10%

10 seg

3%

0.32

8

2

2

1

2

1

1

2

Tipo II

10%

10 seg

5%

0.28

Total = 71.6 El resultado se expresa en porcentaje de hidrocarburos sin quemar. Observe que al tomar las lecturas, (efectuar las pruebas), se ignoran las columnas donde se asignaron interacciones. El análisis utilizado ANOVA es: Nivel 1 Nivel 2

A C 36.2 36.9 35.4 34.7

AxC B AxB BxC D 42.5 36.8 35.4 36.3 35.5 29.1 34.8 36.2 35.3 36.1

La tabla ANOVA que resulta es:

Pág 55 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

Efecto A C AxC B AxB BxC D (e) Total

SS 0.0800* 0.6050 22.4450 0.5000 0.0800* 0.1250 0.0450* 0.2050 23.8800

G.l. 1 1 1 1 1 1 1 3 7

V 0.0800 0.6050 22.4450 0.5000 0.0800 0.1250 0.0450 0.0638

Fexp 8.85 328.46 7.32 1.83 -

El error aleatorio (e) se estima usando los efectos más pequeños marcados con *. Resulta significante la interacción AxC, el factor C y el factor B. Dado que el factor B resulta significante, pero no son significantes alguna de sus interacciones, su mejor nivel se puede decidir de manera independiente al igual que se realizó en secciones anteriores. Esto es, se obtienen los promedios: B1= B1 /4= 36.8/4= 9.20; B2 = B2/4=8.70

Como es un caso de menor es mejor, se selecciona el nivel 2. El factor C también resulta significante. Sin embargo, también lo es su interacción con el factor A. Cuando resulta significante la interacción de algún factor, no se puede analizar por separado, sino en conjunto con el factor con el que se interactua. En este caso, el factor C se debe analizar en conjunto con el factor A, aun cuando el factor C resultó además significante individualmente y el factor A no. Para analizar estos factores, se reproducen aquí las columnas de A y C: Nº 1 2 3 4 5 6 7 8

A 1 1 1 1 2 2 2 2

C 1 1 2 2 1 1 2 2

Yi 11.20 10.80 7.2 7.0 8.0 6.9 10.4 10.1

Siempre existirán entre dos columnas cuatro posibles combinaciones de números: 1 1; 1 2; 2 1; 2 2

Pág 56 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

Así la combinación 1 1 se presenta en los renglones Nº 1 y 2, lo que da un total de lecturas de 11.2 + 10.8= 22.00 con un promedio de 22.0/2= 11.00 La combinación 1 2, se presenta en los renglones Nº 3 y 4, con un total de 7.2 + 7.0= 14.2, con un promedio de 14.2/2= 7.10 La combinación 2 1 se presenta en los renglones Nº 5 y 6, con un total de 8.0 + 6.9= 14.9, con un promedio de 7.45 Por último la combinación 2 2, se presenta en los renglones Nº 7 y 8 con un total de 10.4 + 10.1= 20.5 y un promedio de 10.25 En resumen Combinación Total Promedio A1 C1 22.0 11.00 A1 C2 14.2 7.10 A2 C1 14.9 7.45 A2 C2 20.5 10.25

Como es un caso mejor, se selecciona el promedio menor, A1 C2 en este caso.

Graficando estos promedios se tiene que: 11.0 10.0 9.00 8.00 7.00 A1 A2 En resumen, las condiciones propuestas son: factor A a su nivel 1, factor C a su nivel 2, factor B a su nivel 2. El resto a su nivel más económico. El efecto respecto al promedio de cada factor o interacción es: EF

A1C2 = (A1C2 - Y) – (A1 – Y) - (C2 - Y) = (7.10 – 8.95) – (9.05 – 8.95) – (8.675 – 8.95)= -1.675

Observe que al efecto de la interacción, se le resta el efecto de los factores individuales que intervienen (hayan resultado significantes de manera individual o no). EF B2= B2 – Y= 8.70 – 8.95= -0.25

Pág 57 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

Una estimación del porcentaje de hidrocarburos sin quemar es igual a la suma de los efectos significantes, incluyendo los factores que intervienen en una interacción significante, hayan resultado significantes de manera individual o no. Yest = Y + EF A1 C2 + EF A1 + EF C2 + EF B2 = 8.95 + (-1.675) + (9.05 – 8.95) + (8.675 – 8.95) + (-0.25)= 6.85

Análisis de datos experimentales de Taguchi Hay muchas similaridades entre el análisis de experimentos de Taguchi y el método “clásico”En el método Taguchi lo siguiente es muy importante: 1. Análisis de varianza 2. Gráfica de efectos principales y gráfica de interacciones. 3. Optimización y predicción de la respuesta esperada. Análisis de varianza - ANOVA No hay diferencia real entre el ANOVA clásico y el de Taguchi. Primero se determinan las sumas de cuadrados (SS), después los cuadrados medios (MS) dividiendo los SS entre los grados de libertad correspondientes.. En Taguchi la prueba F no es tan importante como en el método clásico, algunas veces la importancia relativa de cada factor se determina por su porcentaje de contribución a la suma de cuadrados total. Para cada columna, la suma de cuadrados es: k k T2 2 SS   Tt  Nxn Nxn t 1

Donde: K = número de niveles Tt = Suma de respuestas en el nivel t N = Número total de corridas experimentales n = Número de réplicas Ejemplo 3.8: Uso de Minitab

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Diseño de Experimentos de Taguchi

Se estudia el efecto de varios factores en la porosidad: Factores

Bajo

Alto

A Temperatura del Molde

A1

A2

B Temperatura del químico

B1

B2

C Rendimiento

C1

C2

E Índice

D1

D2

G Tiempo de curado

G1

G2

Se deben considerar las interacciones AB y BD.

L8

Col.1

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8

A 1 1 1 1 2 2 2 2

Col.

Col.

Col.

Col. 2 3

Col. 4 5

Col. 6 7

Porosidad

B 1 1 2 2 1 1 2 2

D 1 2 1 2 1 2 1 2

BD 1 2 2 1 1 2 2 1

Y1

Y2

26

38

16

6

3

17

18

16

0

5

0

1

4

5

5

3

AxB 1 1 2 2 2 2 1 1

E 1 2 1 2 2 1 2 1

G 1 2 2 1 2 1 1 2

Entonces se determina SSA:

2 T2 2 2 SS A  (TA1  TA2 )  8x2 8x2 TA1 = 26 + 38 + 16 + 6 + 3 + 17 = 140

TA2 = 0 + 5 + 0 + 1 + 4 + 5 + 5 + 3 = 23

T = suma total = 163 SSA = 2/16 ( 140^2 + 23^2 ) – 163^2 / 16 = 27.56 De manera similar: SSB = 27.56 SSAB = 115.56 SSE = 33.06 SSBD = 217.56 SSG = 175.56

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Diseño de Experimentos de Taguchi

T2 SST   y  Nxn i 1 j 1 N

n

2 ij

SST = (26^2+38^2+….+5^2+3^2)-163^2/16 = 1730.44 De Minitab se tiene: General Linear Model: Y1 versus A, B, D, E, G Factor A B D E G

Type fixed fixed fixed fixed fixed

Levels 2 2 2 2 2

Values 1, 2 1, 2 1, 2 1, 2 1, 2

Analysis of Variance for Y1, using Adjusted SS for Tests Model Source A B D E G A*B B*D Error Total

DF 1 1 1 1 1 1 1 8 15

Reduced DF 1 1 1 1 1 1 0+ 9 15

Seq SS 855.56 27.56 68.06 33.06 175.56 115.56 0.00 455.06 1730.44

% de contribución 49.44% 1.59% 3.93% 1.91% 10.15% 6.68% 10.15% 13.72%

 Rank deficiency due to empty cells, unbalanced nesting, collinearity, or an undeclared covariate. No storage of results or further analysis will be done. S = 7.11073 R-Sq = 73.70% R-Sq(adj) = 56.17% En Taguchi normalmente se utilizan los porcentajes de las contribuciones de las sumas de cuadrados para evaluar la importancia relativa de cada efecto, como sigue: SST  SSA  SSB  SSAB  SSD  SSE  SSBD  SSG  SSerror

SSA SSB SSerror   ......   100% SST SST SST

Los efectos que tienen el porcentaje de contribución más alto se consideran que tienen más influencia en la respuesta, en este caso:

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Diseño de Experimentos de Taguchi

A BD G AB

con 49% con 12.57% con 10.15% con 6.68%.

Gráficas factoriales de efectos principales y de interacciones. Se calculan los promedios de las respuestas correspondientes a cada nivel o combinación de factores, se ilustra con el ejemplo: Para las gráficas de efectos principales e interacciones se calculan los promedios en cada nivel de cada factor:

26  38  16  6  3  17  18  16  17.5 8 0  5  0 1 4  5  5  3   2.875 8

YA1  YA2

Y así se calculan los promedios para los otros factores. Least Squares Means for Y1 Mean SE Mean A 1 2

17.500 2.875

1.926 1.926

11.500 8.875

1.926 1.926

12.875 7.500

1.926 1.926

12.250 8.125

1.926 1.926

11.625 8.750

1.926 1.926

13.875 6.500

1.926 1.926

13.500 6.875

1.926 1.926

B 1 2

AxB 1 2

D 1 2

E 1 2

BD 1 2

G 1 2

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Diseño de Experimentos de Taguchi

Main Effects Plot (data means) for Means A

B

D

15

Mean of Means

10

5 1

2

1

E

2

1

2

G

15

10

5 1

2

1

2

Para el caso de la interacción significativa BD se analiza la respuesta promedio en cada una de sus diferentes combinaciones:

26  38  0  5  17.25 4 16  6  0  1 YB1D 2   5.75 4 3  17  4  5 YB 2 D1   7.25 4 18  16  5  3 YB 2 D 2   10.5 4 YB1D1 

Obteniendo la siguiente gráfica de interacción:

Pág 62 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

Interaction Plot (data means) for Means 1

2

A 1 2

20

10

A

0 20

B

B 1 2

10

0

E 1 2

20

10

E

0 1

2

1

2

Optimización y predicción de la respuesta esperada La Optimización implica encontrar la combinación de los niveles de los factores significativos que proporcione la respuesta óptima, la cual depende del objetivo buscado:

 Menor es mejor (como en el ejemplo)  Mayor es mejor  Nominal es mejor De la gráfica anterior, se observa que A y G deben estar en nivel 2, B debe estar en 1 y D en nivel 2. La predicción de la respuesta de este problema es: yˆ  y A2  yG 2  y B1D 2  2T T  T /( Nn)

Yest = 2.875 + 6.875 + 5.75 – 3x10.188 + 10.188 = -4.873 Ejemplo 3.9: Experimentos con 3 niveles

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Diseño de Experimentos de Taguchi

Tres fertilizantes se aplican a la soya (N, P2O5) y K2O), la respuesta de interés es el rendimiento promedio en Kg. Por área, los factores son asignados como sigue: Factores A Nitrógeno B Ácido fosfórico C Potasa

1 0.5 0.03 0.04

Niveles 2 1 0.6 0.7

3 1.5 0.9 1

Se usa el arreglo L9 con un arreglo como el siguiente:

L9

Col.1

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A 1 1 1 2 2 2 3 3 3

Col. 3

Col. 2

B 1 2 3 1 2 3 1 2 3

e 1 2 3 2 3 1 3 1 2

Col. 4

Respuesta

C 1 2 3 3 1 2 2 3 1

Rendim.

Otra vez utilizando las fórmulas: k k T2 2 SS   Tt  Nxn Nxn t 1

T2 SST   y  Nxn i 1 j 1 N

n

2 ij

Se obtienen los resultados siguientes: SSA = 158 SSB = 2.667 SSC = 18.667 SST = 180 Los porcentajes de contribución de cada factor son:

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8

12 9 11 12 15 21 18 20

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A

con 87.78%

C

con 10.37%

B

con 1.48%

Para la obtención de las gráficas factoriales se estiman los promedios en los diferentes niveles de los factores como sigue:

8  12  9  9.67 3 11  12  15   12.67 3 21  18  20   19.67 3

Y A1  YA2 Y A3

Se sigue el mismo procedimiento para el caso de B y C. Response Table for Means Level

A

B

C

1 9.667 13.333 13.333 2 12.667 14.000 16.000 3 19.667 14.667 12.667 Delta Rank

10.000 1

1.333 3

3.333 2

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Main Effects Plot (data means) for Means A

20.0

B

17.5

Mean of Means

15.0 12.5 10.0 1

2

3

1

C

20.0 17.5 15.0 12.5 10.0 1

2

3

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2

3

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Problemas propuestos

1. ¿Puede acomodar en un arreglo L8 los efectos A, B, C, D, AxB y CxD? 2. Acomodar los siguientes efectos en un arreglo ortogonal: A, B, C, D, E, F, G, H, I, AxB, AxC, AxG, AxE, ExF .

3. Analizar el problema siguiente: Variable de respuesta, viscosidad, el mayor valor es deseado. Factores Nivel I Nivel II A Mezcla de hule crudo si no B Curado no 24 hrs. C Velocidad de prensado 50m/min 55 D Enfriamiento del tambor con agua sin agua E Secado con vapor envolvente si no Interacción ExD Interacción DxC

m/min

Arreglo ortogonal y resultados

L8

Col.1

Exp. No.

Col.

Col.

Col.

Col. 2 3

Col. 4 5

Col. 6 7

E

D

ExD

C

B

DxC

A

Yi

1

1

1

1

1

1

1

1

0.49

2

1

1

1

2

2

2

2

0.42

3

1

2

2

1

1

2

2

0.38

4

1

2

2

2

2

1

1

0.3

5

2

1

2

1

2

1

2

0.21

6

2

1

2

2

1

2

1

0.24

7

2

2

1

1

2

2

1

0.32

8

2

2

1

2

1

1

2

0.28

3.7 Algunos comentarios adicionales Hasta aquí se han considerado ejemplos para arreglos ortogonales L8, por su comodidad en cuanto al tamaño. A continuación se hacen algunos comentarios sobre otros arreglos.  El arreglo L12 es un caso especial. Se observa en el apéndice, que no se muestran gráficas lineales ni matriz de interacciones, esto es porque está diseñado Pág 67 de 171

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para analizar únicamente hasta once factores individuales sin interacciones. Con este arreglo no se pueden analizar interacciones. Las interacciones en un arreglo L12 se distribuyen de una manera uniforme en todas las columnas. La ventaja de esto es que le permite investigar 11 factores sin preocuparse por sus interacciones. El arreglo L12 en general tiene buena reproducibilidad de conclusiones. Algo similar se puede decir del arreglo L18

 Para un arreglo L16 existen una gran variedad de posibles gráficas lineales, en el apéndice se muestran las seis más utilizadas con tres variantes cada una.  Para un arreglo L32 se muestran en el apéndice 13 diferentes gráficas dentro de las varias posibles que existen.  En cualquier caso, se puede tratar de construir más gráficas de acuerdo con las necesidades que se tengan, respetando siempre la matriz de interacciones.  En los gráficos lineales que se anexan en el apéndice, se observa que los vértices se representan con diferentes símbolos, específicamente con o,  y . La razón y su significado es el siguiente: Taguchi sugiere que las pruebas o corridas se lleven a cabo en el orden indicado por los renglones del arreglo ortogonal, esto es, primero las condiciones indicadas por el renglón 1, seguidas de las del renglón 2 y así sucesivamente. Por otra parte, al ejecutar el experimento, no todos los factores tienen la misma flexibilidad de estar variando de nivel de una prueba a otra. Por otro lado, se sugiere que los factores con menor flexibilidad se asignen al grupo 1 del arreglo representados por el símbolo o, de la gráfica lineal. Estos factores tendrán menos cambios de nivel a lo largo de todo el experimento. De hecho, observe que el factor asignado a la columna 1 de cualquier arreglo, solo tiene un cambio de nivel, mientras que por ejemplo, un factor asignado a la columna Nº 15 de un arreglo L16 cambia 10 veces de nivel. Los factores que le siguen en inflexibilidad se deberán asignar sucesivamente a los símbolos ,

 y  en una gráfica lineal.

Habrá observado ya la complicación que agregan a los análisis la presencia de interacciones. Para lidiar con estas, la gente que sabe mucho de esto le hace las observaciones siguientes: Pág 68 de 171

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 Por lo general, existen pocas interacciones dentro de las múltiples posibles entre factores.  El efecto de las interacciones sobre la variable de respuesta, es por lo general menor que el efecto de los factores individuales solos.  Recuerde que algunos arreglos ortogonales, le permiten analizar un problema sin preocuparse por las interacciones. El L12 es un ejemplo de ellos.  Se sugiere que, en caso de dudas sobre las interacciones, siempre sea preferible incluir más factores, en lugar de interacciones. Si estas últimas no son muy fuertes, se pueden considerar como ruido.

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4. DISEÑO DE PARÁMETROS CON ANÁLISIS DE SEÑAL A RUIDO 4.1 Introducción Como recordará, en el capítulo I se comentó que el objetivo fundamental de la ingeniería de calidad, es diseñar productos y procesos robustos, esto es, que consistentemente realicen la función que deben hacer con poca variabilidad, a pesar del impacto de factores de ruido o no controlables. Se mencionó también, que de todos los factores que afectan un proceso, se pueden extraer dos grupos:  

Factores de ruido. Son aquellos que no podemos, queremos o deseamos controlar, y más bien deseamos que nuestros procesos y productos sean insensibles a su impacto. Factores de diseño. Son aquellos que si podemos controlar en nuestro proceso de producción, y deseamos encontrar a qué nivel operarlos, a fin de optimizar el producto o proceso, esto es, que los productos sean de alta calidad y bajo costo. Factores controlables x1 x2 x3 x4 ... xp

Entradas

Salida

Proceso

y

z1 z2 z3 z4 ... zq Factores incontrolables Figura 1. Modelo general de un proceso o sistema Fig. 1.1

Esto quiere decir que en lugar de tratar de eliminar un factor de ruido (variabilidad en la materia prima del proveedor, por ejemplo) deseamos identificar factores que controlamos (velocidad de alimentación, por ejemplo) y fijarlos a un nivel tal, que el impacto de los factores de ruido sean mínimos. Dentro de los factores de diseño a su vez, recuerde que estamos interesados en identificar diferentes tipos de factores. Un estudio en el cual se desarrolla un análisis de este tipo, se llama análisis señal ruido o diseño directo de productos. Pág 70 de 171

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El estudio procede como sigue: 1. Dentro de los factores a estudiar, separe los de ruido y los de diseño o control. 2. Dentro de los factores de diseño, identifique aquellos que afectan la variabilidad del proceso. Utilícelos para minimizar la variabilidad. 3. Dentro de los factores de diseño, identifique aquellos que afectan la media, sin afectar la variabilidad. Utilícelos para optimizar la media. 4. Identifique aquellos factores de diseño que no afectan ni media ni variabilidad. Utilícelos para reducir costos. Para ilustrar lo anterior, suponga que la temperatura afecta la variabilidad del proceso, y la presión afecta la media del proceso, pero sin afectar la variabilidad. Si inicialmente estamos en el nivel 1 de cada factor, la situación es: Temperatura a su nivel I Presión a su nivel I

LIE

m

LSE

Si la temperatura se fija a su nivel 2 afectando la variabilidad, obtenemos:

LIE

m

LSE

Si la presión, que afecta la media sin afectar la variabilida, la variamos a su nivel de dos, obtenemos:

LIE

m

LSE

Por lo tanto, podemos utilizar la presión, manteniendo la temperatura a su nivel II, para ajustar o sincronizar la media.

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4. 2 Índices señal ruido Una vez que podemos medir la característica de calidad que nos interesa, podemos evaluar su media y su variabilidad. La media la podemos evaluar directamente, usando una lectura o el promedio si son varias lecturas. Para medir la variabilidad de una característica de calidad, se requiere de varias lecturas, y se tienen diferentes opciones, el rango y la varianza son las medidas más populares. Sin embargo, es deseable tener una cantidad o expresión que de alguna manera, involucre media y variación, o que por lo menos, ayude a que nuestras conclusiones sean más confiables. Esta cantidad ya existe y se llama índice señal ruido, denotado como SN o SR de aquí en adelante. La forma de calcular el índice SN depende del tiempo de característica de que se trate. SIN EMBARGO, EL ÍNDICE SE DISEÑÓ DE TAL MANERA, QUE PRODUCTOS MÁS ROBUSTOS SIEMPRE TENGA UN MAYOR VALOR DEL ÍNDICE SN. En seguida se muestran los tres casos:

4.2.1 Caso nominal es mejor Suponga que se tienen “r” lecturas, y1,y2,y3,…yr, el índice SN a utilizar es: SN= 10 log Sm  Vm /r Vm donde Sm= (y1 + y2 + y3 +,…yr,)2/r Vm= y12  y22  y32 ...  yr 2   Sm/r  1

reconocerá a Vm como la varianza de los “r” datos. Sn estima el logaritmo de base 10 de la relación (media/desviación estándar)2. La función de pérdida para nominal es mejor es: L(Y )k (  T ) 2  k 2

 

1 n  yi n i 1

ˆ  s 2 

1 n  ( yi y ) 2 n  1 i 1

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Para un grupo de características dadas, y1, y2, …., yn, la relación señal a ruido S/N es:

 ˆ 2   y2   y   S / N 10 log 2   10 log 2   20 log  s  ˆ  s 

4.2.2 Caso menor es mejor La función de pérdida está dada por:

 

L(Y )  kE Y 2 Para un grupo de características dadas, y1, y2, …., yn, el estimador estadístico de

E(Y2) es: MSD 

1 n 2  yi n i 1

MSD = Mean squared deviation = Desviación cuadrática promedio con relación a la media. La relación señal a ruido correspondiente es: 1 n  S / N  10 log  yi2   n i 1 

Esta cantidad estima el logaritmo de base 10 de (media2 + varianza). Maximizar la relación S/N equivale a minimizar la función de pérdida.

4.2.3 Caso mayor es mejor

La función de pérdida está dada por:  1  L(Y )  kE 2  Y  Para un grupo de características dadas, y1, y2, …., yn, el estimador estadístico de E(1/Y2) es:

1 n 1 MSD   2 n i 1 yi La relación señal a ruido S/N correspondiente es:

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1 n 1  S / N  10 log  2   n i 1 yi  Esta cantidad funciona de una manera similar al caso anterior, pero con el inverso. Maximizar una cantidad es equivalente a minimizar la función de pérdida. El uso de logaritmos pretende hacer la respuesta más “lineal” y el signo negativo es para que siempre se maximize el índice SN. Se multiplica por 10 para obtener decibeles. Taguchi propone un procedimiento de optimización en dos pasos:

1. Ajustar los parámetros de diseño para maximizar la relación S/N. 2. Identificar otros parámetros de diseño que no afecten la relación S/N pero que si tengan efecto en la media de Y, E(Y), el cual es el parámetro de ajuste al a media, y utilizarlo para ajustar la media del proceso a su media meta de acuerdo a especificaciones.

4. 3 Diseño de parámetros con análisis señal a ruido En un experimento señal ruido, generalmente se incluye un grupo de factores de ruido, contra los que específicamente se desea hacer robusto el producto, y que se pueden controlar durante un experimento. Un diseño de experimentos para un análisis señal a ruido consiste de dos partes, un arreglo ortogonal o matriz de diseño o interno y un arreglo ortogonal o matriz de ruido o externo. Las columnas de una matriz de diseño representan parámetros de diseño. Las columnas de la matriz de ruido representan factores de ruido.

4.3.1 Caso nominal es mejor: Los pasos del diseño de parámetros es como sigue: 1. Seleccionar una característica de calidad de salida a ser optimizada. 2. Seleccionar factores de control y sus niveles, identificando sus posibles interacciones. 3. Seleccionar los factores de ruido y sus niveles; si son demasiados combinarlos en dos o tres factores combinados. 4. Seleccionar los arreglos interno y externo adecuados; asignar los factores de control al arreglo interno y los factores de ruido al arreglo externo. 5. Realizar los experimentos. Pág 74 de 171

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6. Realizar análisis estadístico con base en S/N para identificar los niveles de los factores de control óptimos Algunas veces ayuda realizar un estudio de la interacción entre factores de control y de ruido. 7. Realizar análisis estadístico con base en las medias para identificar los niveles de los factores de control óptimos que ajustan a la respuesta promedio en el nivel deseado. Si hay conflicto entre los niveles de los factores para maximizar la relación S/N y ajustar la media, dar prioridad a los que sirven para maximizar la relación S/N. 8. Predecir el desempeño de salida óptimo con base en una combinación óptima de niveles de factores de control y realiza un experimento confirmatorio. La metodología en detalle se muestra mediante el ejemplo siguiente: Ejemplo 4.1: Caso nominal es mejor Una característica de calidad importante para un cierto producto metálico es el terminado, que se mide según su planicidad en milésimas de pulgada (mmplg). Esta característica se piensa es afectada por los siguientes factores: Factor A B C D G H AxC AxD

Descripción Temperatura del horno Presión de prensado Velocidad de recocido Velocidad de alimentación ref. Tipo de modelo Templabilidad del material Interacción Interacción

Nivel 1 1500 ºF 200 psi 8 seg 80 gal/min chico 25 Rc

Nivel 2 1600 ºF 220 psi 12 seg 100gal/min grande 30 Rc

Los factores G y H son factores que no se pueden controlar durante el proceso, ya que el tipo de modelo depende del requerimiento específico del cliente y la templabilidad es una característica de la materia prima. Estos dos factores se consideran al menos inicialmente como factores de ruido. Por lo tanto, se consideran como factores de diseño a los factores A, B, C y D. De acuerdo con esto, lo que se desea saber es cuáles deben ser las condiciones de operación o niveles de los factores de diseño A, B, C y D, que lleven el producto a la característica objetivo y además con la mínima variabilidad, a pesar de las variaciones en los factores G y H. Arreglo interno Considere únicamente los factores de diseño, se desea detectar 6 efectos en total, y para ello, se requiere de un arreglo ortogonal L8. La gráfica lineal requerida es: Pág 75 de 171

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3 1 A

.2

B

5 A xC

4 C AxD

6 7

D

La columna correspondiente a la línea punteada se utilizará para cuantificar el error. Una posible asignación es:

Nº

1

A B 2

e 3

C 4

AxC 5

AxD 6

D 7

Este será el arreglo interno y consiste de 8 condiciones experimentales/renglones

Arreglo externo Considere ahora únicamente los factores de ruido G y H. Se requieren de dos columnas, de manera que un arreglo ortogonal L4 es suficiente. El arreglo, al que llamaremos arreglo externo es: G H Nº 1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 1 4 2 2 1 Observe que no se asigna efecto alguno a la columna 3, la cual queda libre.

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Arreglo total Los dos arreglos anteriores se “mezclan” o “combinan” en y como se muestra: 1 H 1 G 1 A B e C AxC AxD D Nº 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Y11 2 1 1 1 2 2 2 2 Y21 3 1 2 2 1 1 2 2 Y31 4 1 2 2 2 2 1 1 Y41 5 2 1 2 1 2 1 2 Y51 6 2 1 2 2 1 2 1 Y61 7 2 2 1 1 2 2 1 Y71 8 2 2 1 2 1 1 2 Y81

un solo arreglo total, tal 2 2 1

2 1 2

1 2 2

2 Y12 Y22 Y32 Y42 Y52 Y62 Y72 Y82

3 Y13 Y23 Y33 Y43 Y53 Y63 Y73 Y83

4 Y14 Y24 Y34 Y44 Y54 Y64 Y74 Y84

Observe que la matriz de ruido o arreglo externo se ha traspuesto o acostado, esto es, escrito sus renglones como columnas. Observe también que existen 8x4= 32 posibles lecturas, tomadas bajo diferentes condiciones todas ellas (valores de Yij ). En general, si el arreglo interno tiene M renglones y el externo tiene N renglones, entonces existen un total de MxN lecturas, que pueden ser tomadas bajo condiciones diferentes. Por eso se recomienda que el número de factores de ruido (valor de N) no sea mayor que 3. Pero, ¿cómo se toman exactamente cada una de las 32 lecturas? suponga que inicialmente, deseamos tomar las lecturas Y11, Y12, Y13, Y14 . Para esto, se fijan todos los factores de diseño de acuerdo con los niveles indicados por el renglón Nº 1 del arreglo interno, esto es, todos los factores de diseño a su nivel 1. Sin embargo, si bien las cuatro lecturas Y11, Y12, Y13, Y14 se toman a los mismos niveles de los factores de diseño, cada una se toma a diferentes niveles de los factores de ruido. En resumen se tiene: Todos los factores de diseño a su nivel 1 Temperatura 1500 ºF Presión de 200 Psi, 8 seg de tiempo de recorrido y velocidad de alimentación refrigerante 80 gal/min

Lectura Y11 Y12 Y13 Y14

Factores de ruido Modelo chico y 25 Rc Modelo chico y 30 Rc Modelo grande y 25 Rc Modelo grande y 30 Rc

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De acuerdo con esto, se toman las primeras cuatro lecturas. En seguida deseamos obtener las lecturas Y21 , Y22 , Y23 , Y24. Todas estas lectura se tomarán al mismo nivel de los factores de diseño y estos niveles serán indicados por el renglón Nº 2 del arreglo interno. Manteniendo estas condiciones, los factores de ruido se varían a sus cuatro combinaciones indicadas por el arreglo externo. De esta manera se van obteniendo todas las 32 lecturas. Se fijan los factores de diseño según un renglón del arreglo interno y se mantienen fijos mientras se varían los factores de ruido de acuerdo con el arreglo interno. Como ejemplo, la lectura Y73 , se obtendrá bajo las condiciones siguientes: factor A, 1600 ºF, 220 psi, factor C. 8 seg, factor D, 80 gal/min; factor G, tipo grande; y factor H, 25 Rc. Las 32 lecturas son las siguientes:

L8 Exp. 1 2 3 4 5 6 7 8

Col.1 A 1 1 1 1 2 2 2 2

Col. Col. 2 3 B e 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1

Col. Col. 4 5 C AxC 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1

Col. Col. 6 7 AxD D 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2

1 1

2 2

2 1

1 2

H

1 y1 1.1 1.2 2.0 2.1 1.0 1.2 1.6 1.5 11.7

1 y2 1.2 1.3 2.1 2.2 1.4 1.3 2.1 2.0 13.6

2 y3 1.3 1.2 2.2 2.1 1.2 1.5 2.4 2.3 14.2

2 y4 1.1 1.3 2.1 2.0 1.3 1.0 2.0 2.5 13.3

G Total 4.7 5.0 8.4 8.4 4.9 5.0 8.1 8.3 52.8

Suponga que por alguna razón para este ejemplo en particular, se tiene un valor deseado de m= 2 mmplg. Para obtener conclusiones a partir de un experimento señal a ruido se puede usar la tabla ANOVA, o bien, a través de gráficas. Inicialmente se muestra el análisis usando ANOVA.

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Análisis con el Índice S/N Para responder a la pregunta de a qué niveles fijar los factores de diseño, a fin de minimizar la variabilidad en la característica de respuesta, ignoramos el arreglo externo conservando las 32 lecturas, específicamente, el arreglo para análisis es:

L8

Col.1

Exp. 1 2 3 4 5 6 7 8

A 1 1 1 1 2 2 2 2

Col.

Col.

Col.

Col. 2 3

Col. 4 5

Col. 6 7

B 1 1 2 2 1 1 2 2

C 1 2 1 2 1 2 1 2

AxD 1 2 2 1 1 2 2 1

e 1 1 2 2 2 2 1 1

AxC 1 2 1 2 2 1 2 1

D 1 2 2 1 2 1 1 2 Total

y1 1.1 1.2 2.0 2.1 1.0 1.2 1.6 1.5 11.7

y2 1.2 1.3 2.1 2.2 1.4 1.3 2.1 2.0 13.6

y3 1.3 1.2 2.2 2.1 1.2 1.5 2.4 2.3 14.2

y4 1.1 1.3 2.1 2.0 1.3 1.0 2.0 2.5 13.3

Total 4.7 5.0 8.4 8.4 4.9 5.0 8.1 8.3 52.8

En Minitab se genera el arreglo:

Stat > DOE > Taguchi Create Taguchi Design > 2 leveles > 4 factors Factors A col. 1; B col. 2; C col. 4; D col. 7 To allow estimation of interactions AxC AxD OK --- modificar las columnas para C y D a que correspondan a las anteriores: L8 Exp. 1 2 3 4 5 6 7 8

A 1 1 1 1 2 2 2 2

B 1 2 2 1 1 2 2 1

C 1 2 1 2 1 2 1 2

D 1 2 2 1 2 1 1 2

y1 1.1 1.2 2 2.1 1 1.2 1.6 1.5

y2 1.2 1.3 2.1 2.2 1.4 1.3 2.1 2

y3 1.3 1.2 2.2 2.1 1.2 1.5 2.4 2.3

y4 1.1 1.3 2.1 2 1.3 1 2 2.5

Lo que observamos en esta última tabla es un arreglo L8 con 4 lecturas para cada condición o renglón. Estamos interesados en analizar la variabilidad de las 4 lecturas tomadas bajo cada condición. Para esto, nos ayudamos del índice S/N, o sea, la variabilidad de las cuatro lecturas que se tomaron bajo cada condición, la resumiremos en un Pág 79 de 171

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índice señal a ruido. Al hacerlo, en lugar de 32 lecturas individuales tendremos 8 valores del índice SN, uno para cada renglón o condición experimental. Como estamos en un caso de nominal es mejor, el índice apropiado es: SN= 10 log Sm  Vm  / r *Vm  ;





donde Sm=  Yi  / r y Vm=  Yi  Sm / r  1 2

2

En este caso en particular, r= 4, cada índice se calcula a partir de 4 lecturas individuales. Para la primera condición experimental o renglón Nº 1, se tienen las lecturas siguientes: 1.1, 1.2, 1.3, 1.1, con un total de 4.7 El cálculo del índice es:

Sm= (1.1+1.2+1.3+1.1)2/4= 5.5225 Vm= [ (1.12+1.22+1.32+1.12) – 5.5225 ]/ (4-1) =[ 5.55 – 5.5225] / 3 = 0.00916 SN= 10 log 5.5225  0.00916 /4 * 0.00916 = 21.7714 Para el renglón o condición experimental Nº 2 se tienen las lectural: 1.2, 1.3, 1.2, 1.3, con un total de 5.0 El cálculo del índice SN es:

Sm= (1.2 +1.3+1.2+1.3) 2/4= 6.2500 Vm= (1.22 + 1.32 + 1.22 + 1.32 – 6.2500)/3= 0.0033 SN= 10 log 6.2500  0.0033 /4 * 0.0033 = 26.7071 Los ocho índices son: Nº 1 2 3 4 5 6 7 8

Sm 5.5225 6.2500 17.6400 17.6400 6.0025 6.2500 16.4025 17.2225

Vm 0.00916 0.00333 0.00666 0.00666 0.02916 0.04333 0.10916 0.18916

Sn (dB) 21.771 26.707 28.203 28.203 17.092 15.539 15.718 13.524

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Nuestro arreglo es ahora: Nº 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 2 2 2 2

A B 2 1 1 2 2 1 1 2 2

e 3 1 1 2 2 2 2 1 1

C 4 1 2 1 2 1 2 1 2

AxC 5 1 2 1 2 2 1 2 1

AxD 6 1 2 2 1 1 2 2 1

D 7 1 2 2 1 2 1 1 2

SN dB 21.771 26.707 28.203 28.203 17.092 15.539 15.718 13.524

Para el factor A se tiene: A1

= Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 1 del factor A = 21.7714+26.7071+28.2036+28.2036= 104.8857

A2

= Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 2 del factor A =17.0927+15.5397+15.7186+13.5420= 61.8750

SSA = (A2 – A1)^2 /Número total de lecturas SN =(61.8750 – 107.8857)2/8= 231.2413, con 1 g.l.

La tabla ANOVA total es: Factor A B C AxC AxD D e

SS 231.2413 2.5751 0.1764 9.4284 3.8880 2.3047 16.0135

Gl 1 1 1 1 1 1 1

V 231.2413 2.5751 0.1764 9.4284 3.8880 2.3047 16.0135

Fexp 14.44 00.16 00.01 00.59 00.24 00.14

El factor A, temperatura del horno, es el factor que estadísticamente afecta el índice señal a ruido, y que por consiguiente “afecta la variabilidad. De acuerdo con los niveles del factor A, se tiene: A1 A2

= SN promedio= 104.8857/4= 26.22 = SN promedio= 61.8750/4= 15.47

Dado que siempre deseamos maximizar el índice señal a ruido, el factor A se fija en su nivel 1, esto es, la temperatura del horno se fija en 1500 ºF.

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Diseño de Experimentos de Taguchi

¿Qué hacer con el resto de los factores? antes de contestar esta pregunta, se deben identificar de entre los factores que NO AFECTARON el índice SN, cuáles afectan la media. Esto se muestra en lo que sigue. Análisis usando los promedios Después de identificar los factores que “afectan” la variabilidad, el siguiente paso es identificar qué factores, dentro de los que no afecta la variabilidad, afectan la media del proceso. Estos factores llamados factores de señal, nos permitirán “ajustar” la media del proceso hacia su valor nominal, sin incrementar la variabilidad del proceso. Para el análisis, se utilizan las 32 lecturas iniciales. Para ello se obtiene el promedio de cada renglón. A B e C AxC AxD D Nº 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 Total Promedio 1 1 1 1 1 1 1 1 1.1 1.2 1.3 1.1 4.7 1.175 2 1 1 1 2 2 2 2 1.2 1.3 1.2 1.3 5.0 1.250 3 1 2 2 1 1 2 2 2.0 2.1 2.2 2.1 8.4 2.100 4 1 2 2 2 2 1 1 2.1 2.2 2.1 2.0 8.4 2.100 5 2 1 2 1 2 1 2 1.0 1.4 1.2 1.3 4.9 1.225 6 2 1 2 2 1 2 1 1.2 1.3 1.5 1.0 5.0 1.250 7 2 2 1 1 2 2 1 1.6 2.1 2.4 2.0 8.1 2.025 8 2 2 1 2 1 1 2 1.5 2.0 2.3 2.5 8.3 2.075 Totales 13.200 Considerando únicamente los promedios, tendremos un arreglo L8 con una lectura. El análisis en base a los promedios es: A1

= Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 1 del factor A =1.175+1.250+2.100+2.100= 6.625

A2

= Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 2 del factor A = 1.225+1.250+2.075+2.025= 6.575

SSA = (A2 – A1) 2 /Número total de lecturas SN = (6.625 – 6.575)2/8= 0.0003

Similarmente para el factor B se tiene B1 = 1.175+1.250+1.225+1.250= 4.900 B2 = 2.100+2.100+2.025+2.075= 8.300 SSB = (B2 - B1 )2/8= (4.900-8.300) 2/8= 1.4450

Y así sucesivamente SSC = 0.0028 , SSAxC= 0.0000, SSAxD= 0.0003 SSD = 0.0013 , SSe= 0.0028

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La tabla ANOVA es: Efecto A B C AxC AxD D e Totales

SS 0.0003 1.4450 0.0028 0.0000 0.0003 0.0013 0.0028 1.4525

G.l. 1 1 1 1 1 1 1 8

V 0.0003 1.4450 0.0028 0.0000 0.0003 0.0013 0.0028

Fexp 0.11 513.75 1.00 0.00 0.11 0.44

Analysis of Variance for Means Source A B C D A*C A*D Residual Error Total

DF 1 1 1 1 1 1 1 7

Seq SS 0.00031 0.00031 0.00281 0.00281 1.44500 0.00000 0.00125 1.45250

Adj SS 0.00031 0.00031 0.00281 0.00281 1.44500 0.00000 0.00125

Adj MS 0.00031 0.00031 0.00281 0.00281 1.44500 0.00000 0.00125

F 0.25 0.25 2.25 2.25 1156.00 0.00

P 0.705 0.705 0.374 0.374 0.019 1.000

El factor B, presión de prensado, es el único factor significante. Mediante este factor se puede ajustar la media del proceso, y llevarla lo más cerca posible a su valor ideal de 2. También se debe hacer la observación, de que si el factor A hubiera resultado significante en este segundo análisis, no podríamos utilizarlo, ya que resultó significante en el análisis con el índice SN. En particular, la respuesta promedio para cada nivel del factor B es: B1 = 4.9/4= 1.225; B2= 8.3/4= 2.075 Si se desea aumentar la planicidad, se deberá incrementar la presión de prensado. Si se desea disminuir la planicidad, se deberá reducir la presión. Se puede interpolar para conocer el valor al que se debe fijar la presión. La respuesta promedio a 200 psi es de 1.225 y a 220 psi es 2.075

Y

2.0

1.5 1.0 200

B

220

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Análisis utilizando gráficas Como se mencionó anteriormente, una alternativa a la ANOVA son las gráficas de promedios, ya sea del índice SN o de las lecturas individuales. Por ejemplo, para el factor A encontramos el promedio a cada uno de sus niveles, tanto del índice señal a ruido como de las lecturas individuales. Para el índice señal a ruido se tiene: A1 A2

= (21.7714+26.7071+28.2036+28.2036)/4= 26.2214 = (17.0927+15.5397+15.7186+13.5240)/4= 15.4687

Para promedio de lecturas individuales se tiene: A1

= 6.625/4= 1.6562; A2= 6.575/4= 1.6437

En resumen, los promedios para todos los factores son: Nivel A1 A2 B1 B2 C1 C2 D1 D2 (AxC) (AxC) (AxD) (AxD)

SN promedio 26.22 15.47 20.38 21.41 20.71 20.99 20.31 21.38 19.76 21.93 20.15 21.54

Y promedio 1.6 1.6 1.2 2.0 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6

Response Table for Signal to Noise Ratios Nominal is best (10*Log(Ybar**2/s**2)) Level A B C D 1 26.22 20.17 19.45 20.71 2 15.50 21.56 22.27 21.01 Delta Rank

10.72 1

1.39 3

2.82 2

0.30 4

Response Table for Means Level A B C D 1 1.656 1.644 1.631 1.631 2 1.644 1.656 1.669 1.669 Delta 0.013 0.012 0.038 0.038 Rank 3 4 1.5 1.5

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Las gráficas de estos promedios se muestran más adelante, en estas gráficas, la importancia de cada efecto se observar según la inclinación de cada línea, de hecho, los efectos se encuentran graficados de acuerdo con su importancia. Las conclusiones que se obtienen son las mismas, esto es, el factor A es el que más afecta el índice señal a ruido, y lo hace mayor a su nivel A 1. El factor B es el que más afecta la respuesta promedio sin afectar el índice SN, la respuesta promedio aumenta al aumentar el factor B de su nivel 1 al 2. Main Effects Plot (data means) for SN ratios A

B

25.0

Mean of SN ratios

22.5 20.0 17.5 15.0 1

2

1

C

2 D

25.0 22.5 20.0 17.5 15.0 1

2

1

2

Signal-to-noise: Nominal is best (10*Log(Ybar**2/s**2))

Main Effects Plot (data means) for Means A

1.67

B

1.66

Mean of Means

1.65 1.64 1.63 1

2

1

C

1.67

2 D

1.66 1.65 1.64 1.63 1

2

1

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2

Diseño de Experimentos de Taguchi

Interaction Plot (data means) for SN ratios 1

2

A 1 2

25 A

20 15

C 1 2

25 C

20 15

D 1 2

25 D

20 15 1

2

1

2

Signal-to-noise: Nominal is best (10*Log(Ybar**2/s**2))

Interaction Plot (data means) for Means 1

2

A 1 2

2.0

A

1.6

1.2 2.0

C

C 1 2

1.6

1.2

D 1 2

2.0

D

1.6

1.2 1

2

1

2

Conclusiones generales del experimento De acuerdo con los resultados que se han obtenido de los análisis, las conclusiones generales son:

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a) El factor A afecta la variabilidad y se debe de fijar a su nivel 1. b) El factor B afecta la media del proceso, aumenta la media del proceso. c) El resto de los factores de diseño, (factores C y D), se fijarán al nivel en que sea más económico para el proceso, ya que no afectan sustancialmente ni la media, ni la variabilidad del proceso. En cuanto a la función de pérdida se tiene lo siguiente: Suponga que se incurre en un costo de $8,000. Cuando la desviación del valor objetivo es de 0.5 mmpl. Además suponga que el nivel 1 de todos los factores representa la situación actual. De acuerdo con estos datos la función de pérdida indica un valor de:





L(y)= k  2  d 2 ; donde K= 8000/.52= 32000 SI el proceso se encuentra actualmente con todos los factores a su nivel 1, esta situación está representada por las cuatro lecturas del renglón 1. Por lo tanto, Vm para el renglón 1 estima la varianza y es: Vm= 2 = 0.00916

La media estimada es (1.1+1.2+1.3+1.1)/4= 1.175 y; d2= (2.0-1.175)2= 0.680625 L(y)= 32000(0.00916+0.680625)= 22073.124/unidad Si se fijan el factor A a su nivel 1 y B a su nivel 2, se tienen dos renglones en el experimento bajo esta condición, (ignorando el resto de los factores que no afectan) que son el Nº3 y el Nº4. Los datos son: 2.0, 2.1, 2.2, 2.1, 2.1, 2.2, 2.1 y 2.0, por lo tanto se tendrá que para esta nueva condición: Y= 2.1 ; 2 = 0.005714 L(y)= 32000 ( 0.005714 + (2-2.1)2) = 502.85 $/unidad Por lo tanto, se tendrá un ahorro de 22073.12 – 502.85= $21,570.3 por cada unidad de producto. En caso de que no se tenga ningún renglón bajo las condiciones propuestas, recuerde que se puede estimar el valor tanto del promedio como del índice S/N tal y como se mostró en capítulos anteriores. Sin embargo, en cualquier caso, es recomendable el ejecutar una corrida de confirmación antes de aceptar la propuesta de una forma definitiva. Pág 87 de 171

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4.3.2 Caso de menor es mejor En esta sección se presentan ejemplos para el caso de una característica de menor es mejor. Al mismo tiempo, se considera el caso cuando en un experimento, no se pueden identificar explícitamente factores de ruido. Los pasos del diseño de parámetros es como sigue: 1. Seleccionar una característica de calidad de salida a ser optimizada. 2. Seleccionar factores de control y sus niveles, identificando sus posibles interacciones. 3. Seleccionar los factores de ruido y sus niveles; si son demasiados combinarlos en dos o tres factores combinados. 4. Seleccionar los arreglos interno y externo adecuados; asignar los factores de control al arreglo interno y los factores de ruido al arreglo externo. 5. Realizar los experimentos. 6. Realizar análisis estadístico con base en S/N para identificar los niveles de los factores de control óptimos Algunas veces ayuda realizar un estudio de la interacción entre factores de control y de ruido. 7. Realizar análisis estadístico con base en las medias para identificar los niveles de los factores de control óptimos que ajustan a la respuesta promedio en el nivel deseado. Si hay conflicto entre los niveles de los factores para maximizar la relación S/N y ajustar la media, dar prioridad a los que sirven para maximizar la relación S/N. 8. Predecir el desempeño de salida óptimo con base en una combinación óptima de niveles de factores de control y realiza un experimento confirmatorio. Ejemplo 4.2: Caso menor es mejor Se desea minimizar la presencia de un contaminante no deseado en un proceso de elaboración de alimento. Se considera que los factores siguientes afectan el proceso. Factores Nivel 1 Nivel 2 A Temperatura 120 ºC 140 ºC B Catalizador 0.5% 0.6% C Tipo de recipiente actual propuesto D Temperatura de precalentamiento 50 ºC 60 ºC E Agitación no si F Velocidad de alimentación 200 lt/min 210 lt/min G Presencia de elemento 1 4% 5% H Presencia de elemento 2 12% 15% I Presencia de elemento 3 1% 2% J Tiempo de reposo 10 min 15 min

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Se puede utilizar un arreglo L12 para el arreglo interno, dejando una columna varia para evaluar el error. Si bien, no se identifican explícitamente factores de ruido, para realizar variabilidad se deben tomar lecturas repetidas para cada condición del arreglo interno. Se espera que los factores de ruido actúen al momento de tomar las lecturas. El número de lecturas a tomar bajo cada condición, depende del costo y dificultad de tomar lecturas. Se recomienda entre dos y cuatro lecturas. En este ejemplo se toman cuatro lecturas bajo cada condición. La variable de respuesta se da en gramos/litro y los resultados son:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

B 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

CDEFG 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2

H 8 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1

I J K 9 10 11 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1

lecturas 0.38 0.30 0.28 0.27 0.03 0.00 0.10 0.02 0.37 0.23 0.26 0.15 0.19 0.26 0.36 0.24 0.07 0.16 0.30 0.13 0.08 0.09 0.12 0.24

0.37 0.25 0.33 0.30 0.02 0.06 0.20 0.19 0.18 0.14 0.15 0.12 0.23 0.31 0.15 0.22 0.17 0.13 0.30 0.25 0.20 0.10 0.16 0.10 Totales

SN 9.648 10.577 29.119 16.650 12.186 14.983 11.995 11.903 17.195 11.881 17.925 15.703 179.765

Prom. 0.3250 0.2950 0.0275 0.1275 0.2300 0.1700 0.2475 0.2425 0.1325 0.2450 0.1175 0.1550 2.3150

El índice SN se calculó según la fórmula para menor es mejor, por ejemplo, para los renglones 1 y 9 se tiene: SN

= - 10 log (0.382 + 0.302 + 0.372 + 0.252)/4) = - 10 log (0.10845) = 9.648

SN

= - 10 log (0.072 + 0.162 + 0.172 + 0.132)/4 = - 10 log (0.01908) = 17.195

a) se procede a identificar los factores que afectan el índice señal ruido, utilizando ANOVA en este caso (por supuesto, se pueden utilizar gráficas). Nivel 1 Nivel 2

A B C D E F G H 93.163 90.437 87.698 71.898 77.009 94.996 97.954 99.281 86.602 89.328 92.067 107.867 102.756 84.769 81.811 80.484

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Diseño de Experimentos de Taguchi

Nivel 1 Nivel 2

I 80.307 99.458

J e 82.260 97.505

81.710 98.055

La suma de cuadrados por ejemplo para el factor A es SSA = (A2 – A1) 2 /12= (86.602 – 93.163) 2/12= 3.5882 La tabla ANOVA es: Factor

SS

g.l.

A B C D E F G H I J e

3.5872 0.1025 1.5907 107.8141 55.2423 8.7160 21.7164 29.4439 30.5634 19.3675 22.2633

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

V

Fexp

3.5872 0.1025 1.5907 107.8141 55.2423 8.7160 21.7164 29.4439 30.5634 19.3675 22.2633

0.16 0.00 0.07 4.84 2.48 0.39 0.97 1.32 1.37 0.87

Unicamente, los factores D y E son significantes. Al nivel al cual maximizan el índice SN (recuerde que el índice SN siempre se maximiza, aunque la variable sea menor es mejor), es: D1 E1

D2 E2

= 71.898/6= 11.9830 = 77.009/6= 12.8348

= 107.867/6= 17.9778 = 102.756/6= 17.1260

Los factores D y E se fijan a su nivel 2, temperatura de 60 ºC y con agitación respectivamente.

b) S procede al análisis de señal utilizando como respuesta el promedio de las cuatro lecturas para cada renglón. Se tienen los siguientes totales A B Nivel 1 1.1750 1.2700 Nivel 2 1.1400 1.0450

Nivel 1 Nivel 2

F 1.1275 1.1875

G 1.0775 1.2375

C

D

E

1.1525 1.1625

1.4925 0.8225

1.4000 0.9150

H 1.0375 1.2775

I 1.2900 1.0250

J 1.2425 1.0725

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Nivel 1 Nivel 2

e 1.2600 1.0550

La tabla ANOVA es Efecto A B C D E F G H I J e

SS 0.0001 1 0.0042 0.0000 0.0374 0.0196 0.0003 0.0021 0.0048 0.0059 0.0024 0.0035

g.l.

V

0.0001 0.03 1 0.0042 1 0.0000 1 0.0374 1 0.0196 1 0.0003 1 0.0021 1 0.0048 1 0.0059 1 0.0024 1 0.0035

Fexp 1.20 0.00 10.68 5.59 0.09 0.61 1.37 1.67 0.68

Los factores significantes son otra vez D y E, que son los mismos que afectaron el índice señal ruido. Así que, no existen factores de señal que afecten la media sin afectar el índice SN y el resto de los factores se fijan a su nivel más económico. No es raro para el caso menor es mejor (y para mayor es mejor), que los factores que afectan el índice SN sean los mismos que afectan la media. Esto sucede porque el índice SN evalúa el logaritmo de (media 2 + varianza). Por esta razón, varios analistas efectúan el análisis señal ruido y omiten el análisis de señal, ya que esperan los mismos resultados. Ejemplo 4.3: Minimizar fuga de líquido Se desea minimizar la fuga de líquido que existe en una bomba centrifuga. Se considera que los factores que pueden afectar la fuga son:

Factores A Diseño de pieza frontal propuesto B Torque de tornillos frontales C Acabado cáscara D Tipo de empaque E Torque tornillo traseros F Método de apriete inicial G Diseño impulsor H Densidad del líquido

Nivel 1

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Nivel 2 actual

actual liso marca 1 actual frente actual baja

mayor rugoso marca 2 mayor atrás nuevo media alta

Diseño de Experimentos de Taguchi

El factor H se puede considerar como de ruido, ya que se desea que la fuga se elimine a pesar del líquido bombeado. Por lo tanto, se puede utilizar un arreglo L8 para el arreglo interno. Cuando se tiene un solo factor de ruido, no se requiere un arreglo ortogonal como arreglo externo, todo lo que hay que hacer es variar el factor a los niveles analizados. La variable de respuesta se da en mililitros, después de un cierto número de horas de funcionamiento.

Nº 1 2 3 4 5 6 7 8

Arreglo interno A B C D E 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1

F 1 2 2 1 1 2 2 1

G 1 2 2 1 2 1 1 2

Baja 12.2 10.3 10.5 12.0 13.0 12.1 14.0 12.0

H Media Alta 12.1 12.3 12.5 12.7 13.1 10.4 11.9 11.8 13.1 13.0 14.2 11.0 11.9 14.6 11.9 11.9 Totales

SN -21.7274 -21.4987 -21.1397

Prom 12.20 11.83 11.33

-21.9410

13.03

-21.5353 -174.2929

11.93 98.15

El índice SN se calcula según la fórmula para el caso menor es mejor. Por ejemplo, para los renglones 1 y 2 se tiene SN SN

= -10 log (Yi2/r) = -10 log (12.22 + 12.12 + 12.32)/3= -21.7274 = -10 log (Yi2/r) = -10 log (10.32 + 12.52 + 12.72)/3= -21.4987

Se procede al análisis ANOVA; para el índice señal ruido. La tabla de totales es: Nivel 1 Nivel 2

Nivel 1 Nivel 2

AB -85.8769 -88.4160

C -874683 -86.8246

F

G

D

E -87.8068 -86.4861

Pág 92 de 171

-86.3434 -87.9495

Diseño de Experimentos de Taguchi

La tabla ANOVA es:

Factor

SS

g.l.

v

Fexp

B C

0.0321

1 1

0.0321

E F

0.3224 0.0025

1 1

0.3224 0.0025

.0864 3

0.0288

A

D

G (e)

11.19

Las tres sumas de cuadrados más pequeñas son utilizadas para evaluar el error. Los factores significantes y los niveles propuestos son: Para efectuar el análisis de señal se sugiere utilizar gráficas, la tabla de promedios para cada factor es:

Nivel 1 Nivel 2

A B 11.8150 12.7225

C 12.3650 12.1725

D

E 12.5150 12.0225

F

G 12.2650 12.2725

12.5075 12.0300

Ejemplo 4.4: Disminución de la contaminación Optimización de un método de purificación para drenajes contaminados con metales. Las aguas residuales que contienen iones metálicos es muy riesgoso por su toxicidad y no biodegradable. Se propone utilizar óxidos de hierro hidratados con un pH adecuado para remover los metales dañinos. La característica de salida es la concentración remanente de metales en mg/L, con una respuesta menor es mejor. Los factores de control son los siguientes:

A B C D

Factores de control Contaminación de FeII Temperatura ºC Tiempo de añejamiento h pH

Nivel 1 2 25 1 8

Nivel 2 7 50 2 10

Nivel 3 15 75 3 12

El factor de ruido introducido artificialmente es permanganato de potasio.

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Diseño de Experimentos de Taguchi

N

Factores de ruido Conc. De KMnO4

Nivel 1 0.00375

Nivel 2 0.0375

Nivel 3 0.075

Se asume que no hay interacciones por lo que se puede utilizar un arreglo L9, realizando los experimentos se obtienen los datos siguientes con dos réplicas en cada nivel del factor de ruido:

L9

Col.1

Col.

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A

B

C

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 2 3 1 3 1 2

Col. 2 3

Col. 4 N1 D Rep. 1 1 2.24 2 1.75 3 5.32 3 0.37 1 7.2 2 39.17 2 0.57 3 3.88 1 15.42

N1 Rep. 2 0.59 5.07 0.65 0.32 0.49 27.05 1.26 7.85 25.52

N2 Rep. 1 5.29 1.05 0.4 0.34 0.48 46.54 0.61 22.74 35.27

N2 Rep. 2 1.75 0.41 1.07 0.68 0.44 25.77 0.7 36.33 48.61

1 n  S / N  10 log  yi2   n i 1 

Las sumas de cuadrados son las siguientes: Para el arreglo L9 con nueve respuestas Y1 a Y9 se tiene: La suma de cuadrados del factor A es:

A1 = Y1 + Y2 + Y3 A2 = Y4 + Y5 + Y6 A3 = Y7 + Y8 + Y9 A12  A22  A33  CF 3 (Y  Y  ....  Y9 ) 2 CF  1 2 9 La suma de cuadrados del factor B es: SSA 

B1 = Y1 + Y4 + Y7 B2 = Y4 + Y5 + Y8 B3 = Y3 + Y6 + Y9

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N3

N3

Rep. 1 155.04 0.38 0.51 4.31 0.8 138.08 0.91 92.8 67.56

Rep. 2 166.27 0.48 0.36 0.65 0.88 165.61 1.42 120.33 72.73

Y promedio 55.20 1.52 1.39 1.11 1.72 73.70 0.91 47.32 44.19

S/N -39.36 -7.05 -7.05 -5.19 -9.54 -39.34 0.28 -36.20 -33.79

Diseño de Experimentos de Taguchi

B12  B22  B33  CF 3 (Y  Y  ....  Y9 ) 2 CF  1 2 9 SSB 

De la misma forma se calculan las sumas de cuadrados para los factores C y D: La suma de cuadrados total es: SST = SSA + SSB + SSC + SSD Haciendo los cálculos en Minitab se obtiene: Taguchi Analysis: Rep. 1, Rep. 2, Rep. 1_1, Rep. 2_1, ... versus A, B, C, D Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D Estimated Model Coefficients for SN ratios

Term Coef Constant -19.6915 A A B B C C D D

1 2 1 2 1 2 1 2

1.8735 1.6687 4.9386 2.0970 -18.6078 4.3499 -7.8678 4.3221

S=* Analysis of Variance for SN ratios Source A B C D Residual Error Total

DF 2 2 2 2 0 8

Seq SS 56.52 234.86 1705.37 279.46 * 2276.21

Adj SS 56.52 234.86 1705.37 279.46 *

Adj MS 28.261 117.428 852.685 139.732 *

F * * * *

P * * * *

Linear Model Analysis: Means versus A, B, C, D Estimated Model Coefficients for Means

Term Coef Constant 25.2281 A A B B C C D

1 2 1 2 1 2 1

-5.8598 0.2819 -6.1548 -8.3748 33.5124 -9.6215 8.4707

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Porcentaje de contribución 2.49% 10.32% 74.91% 12.28%

Diseño de Experimentos de Taguchi D 2

0.1513

S=* Analysis of Variance for Means Source A B C D Residual Error Total

DF 2 2 2 2 0 8

Seq SS 196.59 957.39 5359.29 438.35 * 6951.62

Adj SS 196.59 957.39 5359.29 438.35 *

Adj MS 98.30 478.69 2679.65 219.17 *

F * * * *

Response Table for Signal to Noise Ratios Smaller is better Level 1 2 3 Delta Rank

A -17.818 -18.023 -23.234 5.416 4

B -14.753 -17.595 -26.727 11.974 3

C -38.299 -15.342 -5.434 32.866 1

D -27.559 -15.369 -16.146 12.190 2

Response Table for Means Level 1 2 3

A 19.368 25.510 30.806

B 19.073 16.853 39.758

C 58.741 15.607 1.337

D 33.699 25.379 16.606

Delta 11.438 22.904 57.403 17.093 Rank 4 2 1 3

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P * * * *

Diseño de Experimentos de Taguchi

Las gráficas factorials son las siguientes:

Main Effects Plot (data means) for SN ratios A

B

-10

Mean of SN ratios

-20 -30 -40 1

2 C

3

1

2 D

3

1

2

3

1

2

3

-10 -20 -30 -40

Signal-to-noise: Smaller is better

Los niveles seleccionados son A en 1, B en 1, C en 3 y D en 2

Main Effects Plot (data means) for Means A

60

B

45

Mean of Means

30 15 0 1

2 C

3

1

2 D

3

1

2

3

1

2

3

60 45 30 15 0

La respuesta estimada es: Predicted values S/N Ratio

Mean

5.70044 -10.5261

Factor levels for predictions

Pág 97 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

A B C D 1 1 3 2 4.3.3 Caso mayor es mejor Los pasos del diseño de parámetros es como sigue: 1. Seleccionar una característica de calidad de salida a ser optimizada. 2. Seleccionar factores de control y sus niveles, identificando sus posibles interacciones. 3. Seleccionar los factores de ruido y sus niveles; si son demasiados combinarlos en dos o tres factores combinados. 4. Seleccionar los arreglos interno y externo adecuados; asignar los factores de control al arreglo interno y los factores de ruido al arreglo externo. 5. Realizar los experimentos. 6. Realizar análisis estadístico con base en S/N para identificar los niveles de los factores de control óptimos Algunas veces ayuda realizar un estudio de la interacción entre factores de control y de ruido. 7. Realizar análisis estadístico con base en las medias para identificar los niveles de los factores de control óptimos que ajustan a la respuesta promedio en el nivel deseado. Si hay conflicto entre los niveles de los factores para maximizar la relación S/N y ajustar la media, dar prioridad a los que sirven para maximizar la relación S/N. Predecir el desempeño de salida óptimo con base en una combinación óptima de niveles de factores de control y realiza un experimento confirmatorio. A fin de ilustrar un caso señal ruido, para cuando la variable de respuesta del tipo mayor es mejor, considere el siguiente ejemplo: Ejemplo 4.5: Incremento en la resistencia a la tracción Se desea incrementar la resistencia a la tracción (en libras) de un cierto tipo de soldadura. Los factores que se creen afectan la variable de respuesta son: Factores Nivel 1 Nivel 2 A Tipo de electrodo I II B Marca de material I II C Voltaje 120 volts 130 volts D Rugosidad de superficie liso rugoso E Prelavado sin no AxB Interacción

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Diseño de Experimentos de Taguchi

No se identifican factores de ruido, de manera que los cinco factores y la interacción se pueden acomodar en un arreglo externo L8. Se toman tres lecturas bajo cada condición y los resultados son: Nº 1 2 3 4 5 6 7 8

A 1 1 1 1 2 2 2 2

B 1 1 2 2 1 1 2 2

AxB 1 1 2 2 2 2 1 1

C 1 2 1 2 1 2 1 2

D 1 2 1 2 2 1 2 1

E 1 2 2 1 1 2 2 1

e 1 2 2 1 2 1 1 2

Resultados 120 125 122 118 120 122 140 148 150 152 145 140 130 125 115 160 150 155 119 122 130 112 120 130 Totales

Indice SN 41.7472 41.5812 43.2754 43.2524 41.7574 43.7976 41.8271 41.5836 338.8519

Prom 122.33 120.00 146.00 145.67 123.33 155.00 123.67 120.67 1056.67

Para calcular el índice señal ruido, se utiliza la fórmula apropiada, por ejemplo para los renglones 1 y 5 se tiene: SN

SN

  = -10 log (1/ 120  1/ 125  1/ 122 ) / 3= 41.7472 =-10 log (1/ 130   1/ 125  1/ 115 ) / 3= 41.7874 = -10 log (1/ y1   1/ y2   1/ y3  ) / 3 2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

Se procede al análisis del índice SN utilizando ANOVA A B C AxB C D Nivel 1 169.8562 168.9134 166.7391 168.6371 170.4038 168.3706 Nivel 2 168.9957 169.9385 172.1128 170.2148 168.4481 170.4813 E e Nivel 1 168.3706 170.6243 Nivel 2 170.4813 168.2276 La tabla ANOVA es: Factor A B AxB C D E e

SS 0.0926 0.1314 3.6096 0.3111 0.4781 0.5569 0.7180

gl.

V

Fexp

1 1 1 1 1 1 1

0.0926 0.1314 3.6096 0.3111 0.4781 0.5569 0.7180

0.12 0.18 5.02 0.43 0.66 0.77

Pág 99 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

Unicamente la interacción AxB resulta significante. A fin de encontrar las mejores condiciones, máximo señal de ruido, se tiene: A1 B1 A1 B2 A2 B1 A2 B2

= 83.3284/2= 41.6642 = 86.5278/2= 43.2639 = 85.5850/2= 42.7925 = 83.4107/2= 41.7054

Las condiciones sugeridas son A a su nivel 1 y B a su nivel 2. Para efectuar el análisis de señal, se utilizan gráficas. La tabla de promedios es: A B AxB C D E e Nivel 1 133.50 130.16 121.67 128.83 136.00 128.00 136.67 Nivel 2 130.67 134.00 142.50 135.34 128.17 136.17 127.50 Dif. 2.83 3.84 20.83 6.51 7.83 8.17 9.17

140 130 120 AxB

AxB

e1

e2

E1

E2

D1

D2 C1 C2 B1

B2

A1

A2

Como se puede observar, la interacción AxB es nuevamente el único factor significante. Considere otro ejemplo; Se desea maximizar el peso promedio que se obtiene en la crianza de un cierto tipo de ave. Se considera que los siguientes factores afectan el precio final: Factor A B C D E F G H I M

Densidad en crianza Dosificación de agua Edad de inicio Forma de alimento Componente 1 de alimento Componente 2 de alimento Componente 3 de alimento Componente 4 de alimento Raza del ave Temperatura ambiente

Nivel 1

Nivel 2

20 Si 5 actual 3% 0.5% 10% 4% I baja

18 aves/m2 No 8 días propuesta 5% 0.7% 15% 2% II alta

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Diseño de Experimentos de Taguchi

Dado que no se desea invertir en aire acondicionado, se considera a la temperatura ambiente como factor de ruido. Esta se varía a sus dos niveles, analizando resultados en granjas con ubicación diferente. Se puede utilizar un L12 como arreglo interno lo que deja dos columnas para evaluar el error. Los resultados en Kilogramos son los siguientes:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

B 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

CDE 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2

FG 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2

H I 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2

e 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2

e 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1

1 1.2 1.5 2.1 2.4 1.9 2.5 3.1 3.2 3.0 2.5 2.4 2.1

2 1.3 1.7 2.3 2.0 1.5 2.9 1.5 3.5 2.8 2.4 1.9 2.8

Totales

SN 1.9173 4.0315 6.8215 6.7406

Prom. 1.25 2.20 2.20 1.70

8.5557 2.30 10.4748 2.35 9.2325 2.90 5.9880 7.5165

2.00 2.45

79.1030 27.10

Se procede al análisis de señal ruido, la tabla de totales y ANOVA es: AB

C D E F 35.4264 36.1462 33.8889 43.6766 42.9568 45.2141

Nivel 1 Nivel 2

32.4948 46.6082

Nivel 1 Nivel 2

H I 41.2738 35.1674 46.6082 43.9356

Fact A B

SS 16.5990 0.7061

gl. 1 1

Fexp 3.14 0.13

D E

3.8654 10.6883

1 1

0.73 2.02

C

e

e 37.2687 41.8343

Pág 101 de 171

G 36.1654 42.9376

Diseño de Experimentos de Taguchi

F G 3.8219 H I e

1

0.72

6.4068 10.5687

1 1

1.21

Resultan significantes los factores A y E, los cuales maximizan el índice de señal ruido a los niveles A2 y E2. A continuación se muestra la tabla de promedios para la señal a fin de elaborar las gráficas. A Nivel 1 1.9417 Nivel 2 2.5750 H Nivel 1 2.3250 Nivel 2 2.1917

A1

A2 e 1

F1

F2

H1

B C D E F G 2.2667 2.0667 2.1333 2.0500 2.1417 2.0833 2.2500 2.4500 2.3833 2.4667 2.3750 2.4333 I 2.1333 2.3833

e2 E 1

H2

e 2.4750 2.0417

E2

C1

C2

G1

e1

e2

B1

B2

e 2.2167 2.3000

G2

I1

I2

D1

D2

podrá corroborar que las conclusiones son similares a las que se obtuvieron con el índice SN. Ejemplo 4.6: Maximizar fuerza de retención Maximizar la fuerza de desacoplamiento entre un conector de elastómero a un tubo de nylon. Hay cuatro factores de control en el experimento. Pág 102 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

A B C D

Factores de control Interferencia Espesor conector de pared Profundidad de inserción % de adhesivo en conector

Nivel 1 Bajo Delgado Baja Bajo

Nivel 2 Media Media Media Medio

Nivel 1 24 72 25

Nivel 2 120 150 75

Nivel 3 Alta Gruesa Profunda Alto

Hay tres factores de ruido U V W

Factores de ruido Cond. Tiempo h Cond. Temp. ºF Cond. Humedad rel. %

Se usan dos factores de ruido combinados: N1 = U1, V1 y W2 ésta combinación debilita la conexión N2 = U2, V2 y W1 ésta combinación refuerza la conexión E usa el arreglo L9 siguiente:

L9

Col.1

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A 1 1 1 2 2 2 3 3 3

Col. 3 Col. 2

B 1 2 3 1 2 3 1 2 3

Col. 4

C 1 2 3 2 3 1 3 1 2

D 1 2 3 3 1 2 2 3 1

Lecturas en N1, N2 N1 9.5 16.2 6.7 17.4 18.6 16.3 19.1 15.6 19.9

N2 20 24.2 23.3 23.2 27.5 22.5 24.3 23.2 22.6

Y promedio 14.75 20.2 20 20.3 23.05 19.4 21070 19.4 21.25

S/N 21.68 25.59 19.19 25.88 26.76 25.42 26.54 25.25 26.49

La fórmula para la relación S/N es:

1 n 1  S / N  10 log  2   n i 1 yi  La tabla de ANOVA para las relaciones S/ N es Fuente A B C D Error Total

Df 2 2 2 2 0 8

Seq. SS 6.1128 2.7057 8.4751 1.2080 0 18.5016

Pág 103 de 171

% de contribución 32.7 14.9 45.5 6.9

Diseño de Experimentos de Taguchi

100

100

80

80

60

60

40

40

20

20

0 C1 Count Percent Cum %

C 46 45.5 45.5

A 33 32.7 78.2

B 15 14.9 93.1

D

Percent

Count

Pareto Chart of C1

0

7 6.9 100.0

Factor corrección

5841.87

17543.95

5847.98

74.11 77.61 77.58

17533.73

5844.58

2.71 SSB

14.6%

24.12 25.99 26.32

72.36 77.97 78.97

17551.04

5850.35

8.48 SSC

45.8%

24.98 25.85 25.60 25.48

74.94 77.56 76.80

17529.24

5843.08

1.21 SSD 18.50 SST

6.5%

Para las relaciones S!N Nivel Promedio A1 24.31 A2 26.02 A3 26.10

Suma 72.94 78.07 78.29

B1 B2 B3

24.70 25.87 25.86

C1 C2 C3 D1 D2 D3 Promedio

La salida de Minitab es la siguiente: Taguchi Analysis: N1, N2 versus A, B, C, D Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D Estimated Model Coefficients for SN ratios

Term Coef Constant 25.4774 A 1 A 2 B 1

-1.1647 0.5458 -0.7754

Pág 104 de 171

SS 6.11 SSA

33.0%

Diseño de Experimentos de Taguchi B C C D D

2 1 2 1 2

0.3926 -1.3588 0.5127 -0.4973 0.3747

S=* Analysis of Variance for SN ratios Source A B C D Residual Error Total

DF 2 2 2 2 0 8

Seq SS 6.1128 2.7057 8.4751 1.2080 * 18.5016

Adj SS 6.11277 2.70565 8.47514 1.20804 *

Adj MS 3.05639 1.35283 4.23757 0.60402 *

F * * * *

P * * * *

Linear Model Analysis: Means versus A, B, C, D Estimated Model Coefficients for Means

Term Coef Constant 20.0056 A A B B C C D D

1 2 1 2 1 2 1 2

-1.6889 0.9111 -1.0889 0.8778 -2.1556 0.5778 -0.3222 0.4278

S=* Analysis of Variance for Means Source A B C D Residual Error Total

DF 2 2 2 2 0 8

Seq SS 12.8622 6.0022 22.4089 0.8939 * 42.1672

Adj SS 12.8622 6.0022 22.4089 0.8939 *

Adj MS 6.4311 3.0011 11.2044 0.4469 *

F * * * *

Response Table for Signal to Noise Ratios Larger is better Level 1 2 3 Delta

A 24.31 26.02 26.10 1.78

B 24.70 25.87 25.86 1.17

C 24.12 25.99 26.32 2.20

D 24.98 25.85 25.60 0.87

Pág 105 de 171

P * * * *

Diseño de Experimentos de Taguchi Rank

2

3

1

4

Response Table for Means Level 1 2 3 Delta Rank

A 18.32 20.92 20.78 2.60 2

B 18.92 20.88 20.22 1.97 3

C 17.85 20.58 21.58 3.73 1

D 19.68 20.43 19.90 0.75 4

Las gráficas factoriales son las siguientes:

Main Effects Plot (data means) for SN ratios A

B

26.0

Mean of SN ratios

25.5 25.0 24.5 24.0 1

2 C

3

1

2 D

3

1

2

3

1

2

3

26.0 25.5 25.0 24.5 24.0

Signal-to-noise: Larger is better

Pág 106 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

Main Effects Plot (data means) for Means A

21

B

20

Mean of Means

19 18 17 1

2 C

3

1

2 D

3

1

2

3

1

2

3

21 20 19 18 17

La relación S/N estimada con la combinación de factores A3, B2, C3 es: S/N = A3 + C3 +B2 – 2T = 26.10 + 26.32 + 25.87 – 2x25.48 = 27.33 La fuerza estimada de desacoplamiento es: A3 + C3 + B2 – 2T = 20.78 + 21.58 + 20.88 – 2x20.0 = 23.24 Predicted values Predicted values S/N Ratio

Mean

27.7096 23.6667

Pág 107 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

5. DISEÑO DE PARÁMETROS PARA CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS Los diseños anteriores se denominan estático ya que identifican una meta fija (mayor es mejor, menor es mejor o nominal es mejor), reduciendo la variabilidad causada por los factores de ruido. 1. Relación S/N dinámica: Si se desea obtener calidad a lo largo del rango de operación del producto o proceso, es necesario optimizar el diseño de parámetros con la relación S/N dinámica referida a la relación entre entrada y salida o “función ideal” o transferencia de energía relacionada a un diseño. 2. Interacción: En un sistema de relación S/N dinámica, las interacciones entre factores de control (parámetros de diseño) es un indicador de inconsistencia y falta de reproducibilidad del diseño. Sin embargo la interacción entre los factores de ruido se puede utilizar para mejorar la robustez ante los factores de ruido. 3. Arreglos ortogonales: Taguchi sugiere utilizar los arreglos L12, L18 y L36 donde las interacciones de sus efectos principales están confundidos uniformemente en todas las columnas y los efectos de las interacciones pueden considerarse efectos de ruido. 4. Desarrollo de tecnologías robustas: Taguchi sugiere que el diseño de parámetros se realice en la fase cero del diseño del producto, reduciendo el despliegue de variabilidad en el ciclo de desarrollo y acortando el tiempo de ciclo. En lo referente a transformación de energía se tienen los siguientes aspectos:

    

Cambio de energía (vg. Eléctrica a mecánica). Variación de componentes de energía (vg. Amplificación de torque). Conectando energía con señales (conmutación de energía eléctrica). Canalización de energía (vg. Transferencia de potencia). Almacenamiento de energía (vg. Almacenamiento de energía cinética).

Para transformación de materiales se tiene:

Cambiando la materia (vg. Líquidos a gases). Variando dimensiones de materiales (vg. Rolado de lámina). Conectando materia con energía (vg. Movimiento de materiales). Conectando materiales con señales (vg. Cortando corriente o flujo). Conectando o separando materiales de diferente tipo (vg. Mezcla o separación de materiales).  Canalización de materiales ( vg. Extracción de carbón).  Almacenamiento de materiales (vg. Almacenar granos en un silo).     

Transformaciones de señales:

 Cambio de señales (vg. Analógicas a digitales).  Variar la magnitud de las señales (vg. Incremento de su amplitud). Pág 108 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

    

Conectando señales con energía (vg. Amplificando una medición). Conectando señales con materia (vg. Marcado de materiales). Transformando señales (vg. Filtraje). Canalizando señales (vg. Transferencia de datos). Almacenando señales ( vg. Bases de datos).

Taguchi sugiere una función ideal como la relación ideal de entrada salida de un diseño (vg. Se asume que no hay influencia de factores de ruido y los parámetros de diseño son fijos), en realción a la transformación de energía que a su vez se refiere a la función del producto. Taguchi lo ilustra con el ejemplo siguiente: En el caso de los frenos del automóvil la función ideal es que la fuerza ejercida por el pie como entrada sea proporcional al torque de frenado.

Y = torque de frenado Función ideal

M = fuerza del pie aplicada Función ideal de un freno. Sin embargo en el mundo real se tienen efectos de factores de ruido como temperatura y ambiente:

Y = torque de frenado Función ideal

M = fuerza del pie aplicada Función no robusta de un freno. Haciendo robusto el diseño es decir:

Pág 109 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

 Asegurando que el proceso de transformación de energía se realice en diferentes magnitudes de transformación.  Asegurando que el sistema de freno tiene excelente controlabilidad para este proceso de transformación, se tiene: Y = torque de frenado Función ideal

M = fuerza del pie aplicada Función robusta de un freno. Ejemplos de función ideal:

1. Proceso de oxidación de semiconductores a. Función principal: Oxidar una capa delgada de material. b. Transformación principal: Transformación del material (cambiando el material con una reacción química). c. Función ideal.

Y = Espesor De oxidación Función ideal

M = tiempo Función ideal de oxidación. d. Análisis: entre más tiempo opere el proceso, mayor transformación del material ocurrirá. La robustez de la función ideal es: (1) Diferentes niveles de transformación. Con diferentes ajustes de tiempo. (2) Controlabilidad: Se muestra como la repetibilidad similar a una línea recta. 2. Proceso de moldeo por inyección a. Función principal: Moldear partes de acuerdo a la forma del molde.

Pág 110 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

b. Transformación principal: Transformación del material. c. Función ideal. Y = Dimensión De las partes Función ideal

M = Dimensión del molde Función ideal de moldeo. d. Análisis: el proceso de moldeo transforma los gránulos de polímero en partes formadas, el molde es un “control” para la forma. Si cambia el molde en dimensiones, así cambia la magnitud de la transformación de materiales. La robustez de la función ideal es:

(1) Diferentes niveles de transformación. (2) Controlabilidad. De los ejemplos anteriores se desprenden algunas características comunes del as funciones ideales: 1. Una función ideal está relacionada directamente al proceso de transformación principal de la función principal del sistema técnico bajo estudio. A veces es imposible medir la transformación en forma directa, más bien se miden las cosas relacionadas directamente con esta transformación. 2. Si un proceso es robusto en el desarrollo de la función ideal: a. El proceso de transformación es repetible y robusto en diferentes niveles de transformación, aun con la presencia de factores de ruido. Por ejemplo para un proceso de transformación de energía, el proceso es robusto en diferentes niveles de enrgía, bajo, medio y alto. b. La controlabilidad del procese de transformación es robusto. Si se cambia la señal, el proceso de transformación responderá con alta precisión y alta repetibilidad, aun en la presencia de factores de ruido. Los pasos para identificar y definir la función ideal son los siguientes:

Pág 111 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

1. Identificar la función principal del sistema. 2. Identificar el tipo principal de transformación detrás de la función principal. 3. Identificar la “señal” de control para la transformación principal. 4. Identificar la entrada y salida medible, donde la entrada debe ser la señal de control misma o un aspecto relacionado, y la salida debe estar directamente relacionada a la magnitud de la transformación. 5. Identificar la relación lineal ideal entre salida y entrada. Taguchi sugiere para lograr robustez utilizar el método de diseño de parámetros para características dinámicas, que se discute a continuación.

Diseño de parámetros para características dinámicas El sistema de características dinámicas se denomina también diseño de señal respuesta como sigue:

Señal

Sistema

Respuesta de salida

Ruido Diagrama P con señal de entrada Ates de iniciar se debe contar con un sistema de medición adecuado que cumpla los siguientes requisitos: 1. Para la misma muestra, las mediciones deben ser repetibles, no importa quien esté haciendo las mediciones y cuantas veces se tome la muestra. 2. A partir de dos muestras diferentes, se deben detectar pequeñas diferencias en las características verdaderas por el sistema de medición, es decir es deseable que tenga una alta sensibilidad. 3. Un sistema de medición debe ser fácil de calibrar; idealmente debe existir una relación lineal entre el valor verdadero de la característica y el valor medido. La función ideal entre la señal y la respuesta de salida (vg. Un requerimiento funcional FR) se muestra a continuación:

Pág 112 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

Y = respuesta

Función ideal Pendiente , sensibilidad

M = Señal

Relación ideal señal – respuesta

Para el diseño de parámetros con características dinámicas, se utiliza el arreglo interno para factores de control y externo para factores de ruido, el factor de señal M es tratado como un factor experimental. M puede tener k niveles, M1, M2, …, Mk. En cada uno de los niveles del factor de señal, se asignan varias combinaciones de factores ruido N12, N2, …. Por tanto por cada combinación del arreglo interno, el factor de señal se varía k veces, en cada factor de señal M se varían las diferentes combinaciones de los factores de ruido N1, N2,… y bajo cada combinación de factor de ruido se mide un requerimiento funcional (FR) como Yij. Se espera que conforme el factor de señal se incremente, la respuesta también se incremente. El arreglo queda como sigue: Arreglo externo Arreglo interno Experimento No. 1 2 …. N2 Factores de control Exp.

A

B

1 2 ….

1 1 ….

1 2 ….

N1

2

2

…

F

….

1 2 ….

1

M1

….

Mk N3

N1

N2

…. N2

N3 …

y11 y21

y12 y22

….

….

YN1,1

YN2,2

…. …. …. …. …. …. …. …. …. ….

Pág 113 de 171

Factor de señal Factores de ruido S/N 

y1,N2 y2,N2

Respuesta de

….

salida Y

YN1,N2

        

Diseño de Experimentos de Taguchi

Y = respuesta

Función ideal Pendiente , sensibilidad

M1

M2

Mk

M = Factor de Señal

Dispersión típica para una corrida completa de Arreglo interno La tabla completa para cada una de las corridas experimentales del arreglo interno queda como: Arreglo interno Factores de señal Factores de ruido N1 N2 ….

M1 y11 y21 ….

M2 y12 y22 ….

Nm

ym1

ym2

…

….

Mk y1k y2k ….

ymk

La ecuación de regresión es: y   0  1M   Var ( )   2

Donde: k

ˆ1 

m

 M i 1 j 1 k

j

( yij  y...)

m ( M j  M ) 2 j 1

Pág 114 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

 0  y  ˆ1M ˆ 2  MSE 

k m 1 ( yij  ˆ0  ˆ1M j ) 2  mk  2 j 1 i1

En el caso de que y =0 cuando la señal M = 0 se tiene: y  1M   Var ( )   2 k

ˆ1 

m

 M i 1 j 1 k

j

m M j

yij 2

j 1

ˆ 2  MSE 

k m 1 ( yij 0  ˆ1M j ) 2  mk  2 j 1 i1

Los cálculos anteriores se pueden realizar con un paquete estadístico como Minitab. Taguchi sugiere utilizar la siguiente relación S/N:

2   2  S / N  10 log 12   10 log 1   ˆ   MSE  Donde 1 es el coeficiente de la regresión lineal para la pendiente y MSE es el error cuadrático medio para la regresión lineal. La relación S/N varía como sigue: Y = respuesta

Función ideal

M1

M2

Mk

M = Factor de Señal

a) Alta variación, baja relación S/N

Pág 115 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

Y = respuesta

Función ideal

M1 M2 Mk M = Factor de Señal b) Baja variación y linealidad, Alta relación S/N

Y = respuesta

Función ideal

M1 M2 Mk M = Factor de Señal c) No linealidad, Baja relación S/N Y = respuesta

Función ideal

M1 M2 Mk M = Factor de Señal d) Baja sensibilidad, baja relación S/N

Pág 116 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

Y = respuesta

Función ideal

M1 M2 Mk M = Factor de Señal e) Alta sensibilidad, Alta relación S/N El diseño de parámetros roibusto de Taguchi sigue los pasos siguientes de preparación y optimización: 1. Preparación. Usar un arreglo como el anterior, realizar los experimentos y colectar los datos. Para cada corrida del arreglo interno, determinar la relación señal a ruido S/N y la sensibilidad  como respuestas. 2. Analizar los resultados de los experimentos y utilizando la relación dinámica S/N como respuesta, encontrar la combinación de los factores de control para maximizar S/N. 3. Analizar ahora los resultados de los experimentos utilizando la sensibilidad  como respuesta, encontrar los factores que afecten a la sensibilidad, y que no afecten a la relación S/N, y usarlos para ajustar  al valor objetivo. A continuación se muestra un ejemplo aplicando lo anterior. Ejemplo 5.1 Mejora de Strain gage El “strain” o esfuerzo es la cantidad de deformación de un cuerpo debido a la aplicación de una fuerza. La unidad de medida es en Microstrain (e). La deformación se mide con un strain gauge, dispositivo que varía su resistencia en función de la fuerza aplicada, el cambio en resistencia es muy pequeño, del orden de micro ohms (), por tanto se requiere una alta reproducibilidad y repetibilidad en la medición. La salida está en milivolts y debe ser proporcional al cambio en resistencia. En el experimento M es el cambio en resistencia y el requerimiento funcional y es el voltaje de salida. Se seleccionan tres niveles del factor de señal M1 = 10 , M2 = 100  y M3 = 1000 . Ciertos factores de ruido pueden afectar la medición tales como la temperatura. Se utilizan dos niveles de factor de ruido

Pág 117 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

combinado N1 y N. Nueve factores corresponden al diseño de parámetros del gauge y sus niveles se listan a continuación: Factores control

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3

A Aleación hoja

Tipo I

Tipo 2

B Espesor hoja

5

C Tipo material

6 nylon Método I

10 6/6 nylon Método II

15 6/6 nylon v Método III

45/60

40/55

35/40

F Ancho línea interna

35

25

G Espesor acabado

9

3

H Dimensión Loop

50

70

80

I Espesor de muestra

10

25

40

D Método ens. E Ancho Externa

línea

Se utiliza el arreglo L18 para acomodar los factores de control, la asignación se muestra a continuación: Para asignar los factores F y G se usa el método de factores compuestos, el factor compuesto FG se define como: (FG)1 = F1G1 (FG)2 = F2G1 (FG)3 = F2G2 Como el Strain gauge es un sistema de medición, se requiere cero señal – cero salida, utilizando las ecuaciones con intersección en el origen. Con Minitab se pueden hacer regresiones simples de Y vs M para cada renglón con lo que se obtiene el valor de i y posteriormente el valor de cada S/N. Arreglo externo - factores control

L18

Arreglo interno - Factores control

Exp. No. A

B

C

D

E

FG

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

2

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2

M1 = 10

M2 = 100

M3 = 1000

I

N1

N2

N1

N2

N1

N2

1

1

10

10

249

258

2602

2608

Beta S/N 2.6 -12.97

2

2

9

9

249

256

2490

2501

2.5

-12.93

3

3

8

9

241

243

2420

2450

2.43

-15.10

3

3

10

11

260

2751

2.73

280

259 291

2710

12

-16.77 -14.59

260

265

H

2 3 2

3

3

1

1

11

1

1

2

2

9

10

1

3

2

3

9

9

3

2

1

3

1

8

9

1 3 1

3

2

1

2

9

3

2

2

1

10

1

3

3

2

16

Pág 118 de 171

9 11 16

229 272 270 267 240

231 276 275 279 251

2996 3011 3 2793 2800 2.79

-15.23

2400

2456

2.43

-19.04

2702

2738

2.72

2761

2799

2.78

-15.67 -15.90

2809

2903

2.85

-21.27

2616

2699

2.66

-21.10

Diseño de Experimentos de Taguchi

12 13 14 15 16 17 18

1 2 2 2 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2

3 1 2 3 1 2 3

2

2

2 3 1

3

3

1 2

1 1

1 3

3 2

8 16

1

2

1

3

12

2

3

2

1

10

2

3

1

2

9

3

1

1

2

2 3

3 1

11 13

9 17 13 11 10 12 14

241 291 259 250 298 190 241

2406

2499

2.45

3002

3100

3.05

-22.07 -20.66

2622

2699

2.66

-19.89

2699

2702

2.7

-14.51

299 198

3010

3052

3.03

2094

2100

2.1

-15.91 -15.14

258

2582

2632

2.61

-17.61

248 301 272 261

Cálculo de los coeficientes Beta:

ˆ1 

10 *10  10 *10  100 * 249  100 * 258  1000 * 2602  1000 * 2608  2.60 2(102  1002  10002 )

Esto mismo se puede obtener con Minitab: Stat > Regresión > Regresión Response Y = datos de primer renglón Predictors M = 10, 100, 100 correspondientes a los datos del primer renglón M

Y

10

10

10

10

100

249

100

258

1000

2602

1000

2608

Los resultados de la regresión son los siguientes:

Regression Analysis: Y versus M The regression equation is Y = 2.60 M Predictor Coef SE Coef T P Noconstant M 2.60415 0.00815 319.69 0.000 S = 11.5779 Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total

DF 1 5 6

SS 13700163 670 13700833

MS 13700163 134

F 102203.58

Donde Beta = 2.60 y MSE = 134 Sustituyendo en la fórmula de S/N se tiene: Pág 119 de 171

P 0.000

Diseño de Experimentos de Taguchi

 ˆ 2  S / N  10 log 1   MSE   2.60 2    12.97 S / N  10 log  134   

Similarmente se pueden calcular para todos los demás renglones, dando los valores indicados en la tabla. Para la corrida en Minitab:

Stat > DOE > Taguchi > Create Taguchi design Seleccionar Mixed level design Factors 8 Display available designs L18 Mixed 2 - 3 levels Designs L18 1 factor 2 levels, 7 factors 3 levels seleccionar Add a signal factor for dynamic characteristics Factors Signal factor name Resistance 10 100 1000 renombrar los factores F por FG, G por H y H por I El arreglo que se genera es el siguiente ya con datos acomodados:

Exp. No.

A

B

C

D

E

F

G

H

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Resis N1 10 10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

100

249

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1000

2602 2608

2

1

1

2

2

2

2

2

2

10

9

9 256

N2 10 258

2

1

1

2

2

2

2

2

2

100

249

2

1

1

2

2

2

2

2

2

1000

2490 2501

3

1

1

3

3

3

3

3

3

10

8

9

3

1

1

3

3

3

3

3

3

100

241

243

3

1

1

3

3

3

3

3

3

1000

2420 2450

4

1

2

1

1

2

2

3

3

10

10

11

4

1

2

1

1

2

2

3

3

100

260

259

4

1

2

1

1

2

2

3

3

1000

5

1

2

2

2

3

3

1

1

10

2710 2751 11 12

5

1

2

2

2

3

3

1

1

100

280

5

1

2

2

2

3

3

1

1

1000

6

1

2

3

3

1

1

2

2

10

2996 3011 9 10

6

1

2

3

3

1

1

2

2

100

260

Pág 120 de 171

291

265

Diseño de Experimentos de Taguchi

6

1

2

3

3

1

1

2

2

1000

7

1

3

1

2

1

3

2

3

10

2793 2800 9 9

7

1

3

1

2

1

3

2

3

100

229

7

1

3

1

2

1

3

2

3

1000

8

1

3

2

3

2

1

3

1

10

2400 2456 8 9

8

1

3

2

3

2

1

3

1

100

272

8

1

3

2

3

2

1

3

1

1000

9

1

3

3

1

3

2

1

2

10

2702 2738 9 9

9

1

3

3

1

3

2

1

2

100

270

9

1

3

3

1

3

2

1

2

1000

10

2

1

1

3

3

2

2

1

10

2761 2799 11 10

10

2

1

1

3

3

2

2

1

100

267

10

2

1

1

3

3

2

2

1

1000

11

2

1

2

1

1

3

3

2

10

2809 2903 16 16

11

2

1

2

1

1

3

3

2

100

240

11

2

1

2

1

1

3

3

2

1000

12

2

1

3

2

2

1

1

3

10

2616 2699 9 8

12

2

1

3

2

2

1

1

3

100

241

12

2

1

3

2

2

1

1

3

1000

13

2

2

1

2

3

1

3

2

10

2406 2499 17 16

13

2

2

1

2

3

1

3

2

100

291

13

2

2

1

2

3

1

3

2

1000

14

2

2

2

3

1

2

1

3

10

3002 3100 13 12

14

2

2

2

3

1

2

1

3

100

259

14

2

2

2

3

1

2

1

3

1000

15

2

2

3

1

2

3

2

1

10

2622 2699 11 10

15

2

2

3

1

2

3

2

1

100

250

15

2

2

3

1

2

3

2

1

1000

16

2

3

1

3

2

3

1

2

10

2699 2702 10 9

16

2

3

1

3

2

3

1

2

100

298

16

2

3

1

3

2

3

1

2

1000

17

2

3

2

1

3

1

2

3

10

3010 3052 12 11

17

2

3

2

1

3

1

2

3

100

190

17

2

3

2

1

3

1

2

3

1000

18

2

3

3

2

1

2

3

1

10

2094 2100 14 13

18

2

3

3

2

1

2

3

1

100

241

18

2

3

3

2

1

2

3

1

1000

2582 2632

Analizando los datos en Minitab, se tiene:

Stat > DOE > Taguchi > Analyze Taguchi design Seleccionar Response Data in N1 N2 Graphs: Signal to noise ratios Slopes Pág 121 de 171

231

276

275

279

251

248

301

272

261

299

198

258

Diseño de Experimentos de Taguchi

Options: Fit all lines through a fixed reference point Response reference value 0 Signal reference value 0 Analysis: Display response tables y Fit linear model for Signal to noise ratios Slopes

Store Signal to noise ratios Slopes Terms: Seleccionar los 8 factores OK Los resultados de Minitab son:

Taguchi Analysis: N1, N2 versus A, B, C, D, E, F, G, H Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D, E, F, G, H Estimated Model Coefficients for SN ratios Term Constant A 1 B 1 B 2 C 1 C 2 D 1 D 2 E 1 E 2 F 1 F 2 G 1 G 2 H 1 H 2 S = 5.213

Coef -17.0192 1.6665 -0.5552 0.0804 -0.7477 0.4668 0.9574 -0.8001 -0.6178 0.7071 0.0629 -0.3742 0.1309 0.6665 0.9186 0.0668

SE Coef 1.229 1.229 1.738 1.738 1.738 1.738 1.738 1.738 1.738 1.738 1.738 1.738 1.738 1.738 1.738 1.738

R-Sq = 62.9%

T -13.850 1.356 -0.319 0.046 -0.430 0.269 0.551 -0.460 -0.355 0.407 0.036 -0.215 0.075 0.384 0.529 0.038

P 0.005 0.308 0.780 0.967 0.709 0.813 0.637 0.690 0.756 0.724 0.974 0.849 0.947 0.738 0.650 0.973

R-Sq(adj) = 0.0%

Analysis of Variance for SN ratios Source A B C D E F G H Residual Error Total

DF 1 2 2 2 2 2 2 2 2 17

Seq SS 49.990 3.241 5.135 9.489 5.337 1.445 6.584 10.916 54.359 146.495

Adj SS 49.990 3.241 5.135 9.489 5.337 1.445 6.584 10.916 54.359

Adj MS 49.9900 1.6203 2.5675 4.7443 2.6687 0.7225 3.2918 5.4578 27.1795

F 1.84 0.06 0.09 0.17 0.10 0.03 0.12 0.20

P 0.308 0.944 0.914 0.851 0.911 0.974 0.892 0.833

Porc. de contribuciçon A 34.12 D

6.45

H I

4.51 7.42

Linear Model Analysis: Slopes versus A, B, C, D, E, F, G, H Estimated Model Coefficients for Slopes Term

Coef

SE Coef

T

P

Pág 122 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi Constant A 1 B 1 B 2 C 1 C 2 D 1 D 2 E 1 E 2 F 1 F 2 G 1 G 2 H 1 H 2

2.67159 -0.00650 -0.08881 0.15085 0.11084 -0.06683 -0.07792 0.00042 -0.04712 0.01610 -0.05220 0.01583 0.08310 -0.11065 0.07595 0.12928

S = 0.1384

0.03261 0.03261 0.04612 0.04612 0.04612 0.04612 0.04612 0.04612 0.04612 0.04612 0.04612 0.04612 0.04612 0.04612 0.04612 0.04612

81.920 -0.199 -1.926 3.271 2.403 -1.449 -1.689 0.009 -1.022 0.349 -1.132 0.343 1.802 -2.399 1.647 2.803

R-Sq = 96.1%

0.000 0.860 0.194 0.082 0.138 0.284 0.233 0.994 0.414 0.760 0.375 0.764 0.213 0.139 0.241 0.107

R-Sq(adj) = 66.9%

Analysis of Variance for Slopes Source A B C D E F G H Residual Error Total

DF 1 2 2 2 2 2 2 2 2 17

Seq SS 0.000761 0.206938 0.112135 0.072464 0.020653 0.025787 0.119449 0.387591 0.038288 0.984066

Adj SS 0.000761 0.206938 0.112135 0.072464 0.020653 0.025787 0.119449 0.387591 0.038288

Adj MS 0.000761 0.103469 0.056067 0.036232 0.010327 0.012893 0.059725 0.193796 0.019144

F 0.04 5.40 2.93 1.89 0.54 0.67 3.12 10.12

P 0.860 0.156 0.255 0.346 0.650 0.598 0.243 0.090

Response Table for Signal to Noise Ratios Dynamic Response Level

A

B

C

D

E

F

G

H

1 -15.35 -17.57 -17.77 -16.06 -17.64 -16.96 -16.89 -16.10 2 -18.69 -16.94 -16.55 -17.82 -16.31 -17.39 -16.35 -16.95 3 -16.54 -16.74 -17.18 -17.11 -16.71 -17.82 -18.00 Delta Rank

3.33 1

1.03 7

1.21 6

1.76 3

1.32 5

0.69 8

1.46 4

Response Table for Slopes Level

A

B

C

D

1 2.665 2.583 2.782 2.594 2 2.678 2.822 2.605 2.672 3 2.610 2.628 2.749 2.703 Delta 0.013 0.240 0.178 Rank 8 2 4 5

E

F

2.624 2.688 2.708 0.155 7

G

H

2.619 2.755 2.748 2.687 2.561 2.801 2.699 2.466 0.078 0.089 0.194 0.335 6 3 1

Pág 123 de 171

1.90 2

Diseño de Experimentos de Taguchi

Exp. No. 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13

SNRA2

SLOPE2

-12.96

2.60415

*

*

*

*

-12.93

2.49563

*

*

*

*

-15.1

2.43469

*

*

*

*

-16.77

2.72899

*

*

*

*

-14.59

3.00185

*

*

*

*

-15.23

2.79462

*

*

*

*

-19.04

2.42658

*

*

*

*

-15.67

2.72001

*

*

*

*

-15.89

2.77927

*

*

*

*

-21.27

2.85457

*

*

*

*

-21.1

2.65539

*

*

*

*

-22.09

2.45227

*

*

*

*

-20.66

3.04996

*

*

Pág 124 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

13 14 14 14 15 15 15 16 16 16 17 17 17 18 18 18

*

*

-19.89

2.66031

*

*

*

*

-14.51

2.6989

*

*

*

*

-15.91

3.03034

*

*

*

*

-15.14

2.09535

*

*

*

*

-17.61

2.60577

*

*

*

*

Las graficas factoriales son las siguientes:

Main Effects Plot (data means) for SN ratios A

B

C

-16 -17

Mean of SN ratios

-18 1

2

1

D

2

3

1

E

2

3

F

-16 -17 -18 1

2

3

1

G

2

3

1

H

-16 -17 -18 1

2

3

1

2

3

Dynamic Response: Signal reference 0 Response reference 0

Pág 125 de 171

2

3

Diseño de Experimentos de Taguchi

Main Effects Plot (data means) for Slopes A

2.85

B

C

2.70

Mean of Slopes

2.55 1

2

1

D

2.85

2

3

1

E

2

3

F

2.70 2.55 1

2

3

1

G

2.85

2

3

1

2

3

H

2.70 2.55 1

2

3

1

2

3

Dynamic Response: Signal reference 0 Response reference 0

La media de las S/N es – 17.020 La S/N pronosticada con los niveles que maximizan la relación S/N son:

S / N  A1  C2  D  E2  H 2  I 2  5T S/N = -16.31-16.35-16.1-5(-17.020) = -11.64

El factor B tiene efecto significativo en la sensibilidad pero no tiene efecto en el S/N por lo que se selecciona en su nivel alto para aumentar la sensibilidad (mayor resolución), por tanto para Beta se tiene:

ˆ  A1  B2  C2  D1  E2  H 2  I1  6T Beta = 2.66+2.82+2.61+2.60+2.69+2.75 – 6(2.67) = 2.76 Utilizando la Opción de Minitab:

Stat > DOE > Taguchi > Predict Taguchi Results Predict Slope Signal to noise ratio Terms A C D E G H Levels: Select levels from a list 1 2 1 2 2 1 OK Predicted values S/N Ratio

Slope

Pág 126 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi



11.6363 2.50174 Factor levels for predictions A C D E G H 1 2 1 2 2 1

Ejemplo 5.2: Mejora del sistema de sello de hule de puerta Se usa un hule para sellar la puerta de un automóvil, con dos características, esfuerzo para cerrar y ruido del aire ambiente que están en contradicción. La función ideal es como sigue: Y = Presión/carga Función ideal

M1 M2 Mk M = Factor de Señal Desplazamiento hacia adentro del hule Los factores de ruido son: N1 N2 Q1 Q2 Q3

Ambiente húmedo Ambiente seco Flujo lento de aire Flujo medio de aire Flujo alto de aire

Los factores de control son los siguientes: Factores control

de

A Material B Recubrimiento C Forma de esquina D Ventilación E Forma bulbo F Accesorios

Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

Nivel 4

Esponja baja

Esponja media

Esponja alta

Densa Densa baja media

Ninguno Radio pequeño

Tipo 1

Tipo 2

Radio grande

Plano

Ninguno Redondeado Cinta

Grande Cuadrado Pin

Pequeña Triangular Carrillera

El arreglo a usar es el L18 mostrado a continuación:

Pág 127 de 171

Nivel 5

Nivel 6 Densa alta

Diseño de Experimentos de Taguchi

L18

Factores de control

Exp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

A

B

C

D

E

F

1 1 1 2 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2

2

3

3

1

1

2

2

3 1 1

3

3

3

2

1

1

1

2

2

2

1

1

3 3 1

3

2

2

2

1

3

2

1

2

2

3

1

3 1 2

3

1

3

2

3

2

1

3

1

3

2

1

2

1

3 4 4 4 5 5 5 6 6 6

3

3

El arreglo externo y los datos obtenidos se muestran en la tabla siguiente:

L18 M1

M2

Exp. Q1 No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Q2

Q3

N1

N2

N1

N2

N1

N2

1.78

9.15

1.78

9.86

2.37

0

0

0

0

4.11

7.32

3.38

4.67

5.04

4.67

0

0.44

1.69

0

2.33

3.6

2.47

10.75

0 1.02 1.68 0 1.28

2.27 0 3.2 3.7 4.19

M3

Q1

Q3

Q1

Q2

Q3

N2

N1

N2

N1

N2

N1

N2

N1

N2

N1

N2

12.68 2.52

3.63

4.72

6.65

6.29

8.16

4.4

5.84

6.48

6.63

6.25

9.64

0

0

3.62

4.59

3.62

4.59

3.82

4.59

3.38

4.72

3.38

4.72

3.38

4.72

10.9

3.62

10.34 7.07

7.43

6.34

10.31 6.88

11.75 4.14

4.26

4.53

5.91

4.92

6.73

5.61

9.24

6.65

9.74

7.25

3.58

2.85

3.93

1.41

0

28.57 11.65 1.35 3.54 1.91 2.73 4.69 3.3

29.59

1.36

9.24 0.44

4.74

3.42

4.74

3.52

4.81

8.35

25.27

2.62 3.57 0 1.28 1.68 0 1.26

4.4 9.81 3.79 0 2.49 3.7 4.63

2.17 1.69 3.21

0.88 0.74 5.2

3.02

9.35

0

3.79

2.3 1.68 0 1.26

0.24 3.55 3.7 4.33

N1

Q2

10.68 26.53 11.17 2.65

0.96

4.13

2.08

1.15

2.34

2.62

4.25

6.6

11.72

0 4.35 6.06 1.37 9.38

10.36 0 20.15 2.56 12.16

3.42 6.6 0 6.72 8.13 3.66 9.81

12.68 8 11.71 0 0 7.51 21.17 8.29 6.25 5.26 13.41 9.29

Pág 128 de 171

4.43 2.67 4.83 12.92

13.51 0 0

6.22

21.17 5.96 5.97

4.61

13.83 12.51

5.79 8.77 13.06 9.78 13.95

3.52 8.13 0 8.11 6.54 6.66

10.49 7.25 4.07 4.29 3.85 4.9 4.68 3.44

10.86

28.69 8.46 6.84 1.34 9.47 8.38 12.84 6.69

30.62

4.61 3.85 4.5

9.47 11.23 14.22

10.37 8.7 11.74 15 13.77 14.53 14.91

Diseño de Experimentos de Taguchi

14 15 16 17 18

0 0 0 4.98 0

0 0 0 3.55 1.94

0 0.74 0 6.16 0

0 0 0 4.48 2.9

0

0

0

0

1.23

0

2.79

0 5.64 0

0 4.78 3.23

0

5

4.18

1.17

0.4

3.07

6.82

4.84

1.21

1.11 7.64 2.52

0 4.29 3.16 6.39 5.46

0.12

0

0.69

3.76

7.86

4.58

2.11 8.47 4.03

Las instrucciones en Minitab son las siguientes: Stat > DOE > Taguchi > Create Taguchi design

Number of factors 6 Design L18 1 column 6 levels, 5 columns 3 levels (display available designs Mixed 3 – 6 levels) Seleccionar: Add a signal factor for dynamic characteristics Factors Signal Factor Name M Levels 0.05 0.25 0.45 OK Los datos se arreglan como sigue: L18

Q1N1 Q1N2 Q2N1 Q2N2 Q3N1 Q3N2

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8

1.78

9.15

1.78

9.86

2.37

12.68

2.52

3.63

4.72

6.65

6.29

8.16

4.4

5.84

6.48

6.63

6.25

9.64

0

0

0

0

0

0

3.62

4.59

3.62

4.59

3.82

4.59

3.38

4.72

3.38

4.72

3.38

4.72

4.11

7.32

3.38

10.9

3.62

10.34

7.07

7.43

6.34

10.31

6.88

11.75

4.14

4.26

4.53

5.91

4.92

6.73

4.67

5.04

4.67

9.24

5.61

9.24

10.68

26.53

11.17

28.57

11.65

29.59

6.65

9.74

7.25

7.25

10.86

0

0.44

1.36

10.49 0.44

2.17

0.88

2.65

0.96

4.13

1.35

3.54

4.43

3.58

2.85

3.93

4.07

4.29

4.61

1.69

0

1.41

0

1.69

0.74

2.08

1.15

2.34

1.91

2.73

2.67

4.74

3.42

4.74

3.85

4.9

3.85

2.33

3.6

3.21

5.2

2.62

4.25

3.3

4.83

3.52

4.81

3.44

4.5

2.47

10.75

3.02

9.35

2.62 3.42 3.52 3.57

4.4 4.69 4.68 9.81

Pág 129 de 171

4.09 6.65 6.4

1.1 3.28 2.99

3.25 8.11 9.42 1.81 3.38

1.43 7.2 2.9 5.52 3.12

3.77

1.8

4.29

6.46

10.07

9.8 3.39

3.31

10.79

6.38

4.07

4.96

3.03

5.75

10.07

Diseño de Experimentos de Taguchi

8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 16 16 17 17 17 18 18 18

6.6

11.72

8.35

25.27

0 0 0 1.02 4.35 6.22 1.68 6.06 5.96 0 1.37 4.61 1.28 9.38 12.51 0 0 0.69 0 2.79 4.58 0 0.4 1.1 4.98 6.82 3.28 0 1.21 2.99

2.27 10.36 5.79 0 0 8.77 3.2 20.15 13.06 3.7 2.56 9.78 4.19 12.16 13.95 0 0 3.25 0 5 8.11 0 1.17 9.42 3.55 3.07 1.81 1.94 4.84 3.38

6.6

12.68

8

12.92

8.13

28.69 3.79

8.46

30.62

0

3.79

0

13.51

1.34

9.47

2.3

0.24

7.51

0

8.38

11.23

1.68

3.55

8.29

21.17

6.69

14.22

0 0 0 1.28 6.72 8.11 1.68 8.13 6.54

11.71 6.84 0 0 9.47 2.49 21.17 12.84

0

3.7

0

3.7

3.66

6.25

5.26

5.97

6.66

10.37 4.63

8.7

11.74

1.26

4.33

9.29

13.83

14.53

14.91

0

0

0.12

0

1.8

4.29

1.23

0

3.76

7.86

6.46

10.07

1.26 9.81 13.77 0 0 1.43 0.74 4.18 7.2

13.41 15 0 0 3.77 0 4.29 10.07

0

0

0

0

1.11

3.16

2.11

4.09

2.9

9.8 4.48

3.31

10.79

5.64

4.78

8.47

6.65

6.38

4.07

6.16 7.64 5.52

6.39 3.39

0

2.9

0

3.23

2.52

5.46

4.03

6.4

3.12

4.96

3.03

5.75

Y se cargan al arreglo que genera Minitab:

Pág 130 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

A

B

C

D

E

F

Desplazamiento Q1N1

Q1N2

Q2N1

Q2N2

Q3N1

Q3N2

SNRA4

SLOPE4 INT4

1

1

1

1

1

1

0.05

1.78

9.15

1.78

9.86

2.37

12.68

11.6134

17.15

0

1

1

1

1

1

1

0.25

2.52

3.63

4.72

6.65

6.29

8.16

*

*

*

1

1

1

1

1

1

0.45

4.4

5.84

6.48

6.63

6.25

9.64

*

*

*

1

2

2

2

2

2

0.05

0

0

0

0

0

0

19.4482

10.68

0

1

2

2

2

2

2

0.25

3.62

4.59

3.62

4.59

3.82

4.59

*

*

*

1

2

2

2

2

2

0.45

3.38

4.72

3.38

4.72

3.38

4.72

*

*

*

1

3

3

3

3

3

0.05

4.11

7.32

3.38

10.9

3.62

10.34

10.9069

17.54

0

1

3

3

3

3

3

0.25

7.07

7.43

6.34

10.31

6.88

11.75

*

*

*

1

3

3

3

3

3

0.45

4.14

4.26

4.53

5.91

4.92

6.73

*

*

*

2

1

1

2

2

3

0.05

4.67

5.04

4.67

9.24

5.61

9.24

10.8761

34.25

0

2

1

1

2

2

3

0.25

10.68

26.53

11.17

28.57

11.65

29.59

*

*

*

2

1

1

2

2

3

0.45

6.65

9.74

7.25

10.49

7.25

10.86

*

*

*

2

2

2

3

3

1

0.05

0

0.44

1.36

0.44

2.17

0.88

19.0392

9.363

0

2

2

2

3

3

1

0.25

2.65

0.96

4.13

1.35

3.54

4.43

*

*

*

2

2

2

3

3

1

0.45

3.58

2.85

3.93

4.07

4.29

4.61

*

*

*

2

3

3

1

1

2

0.05

1.69

0

1.41

0

1.69

0.74

22.5441

9.328

0

2

3

3

1

1

2

0.25

2.08

1.15

2.34

1.91

2.73

2.67

*

*

*

2

3

3

1

1

2

0.45

4.74

3.42

4.74

3.85

4.9

3.85

*

*

*

3

1

2

1

3

3

0.05

2.33

3.6

2.62

4.4

3.21

5.2

14.3089

11.13

0

3

1

2

1

3

3

0.25

2.62

4.25

3.42

4.69

3.3

4.83

*

*

*

3

1

2

1

3

3

0.45

3.52

4.81

3.52

4.68

3.44

4.5

*

*

*

3

2

3

2

1

1

0.05

2.47

10.75

3.57

9.81

3.02

9.35

15.2873

41.04

0

3

2

3

2

1

1

0.25

6.6

11.72

6.6

12.68

8

12.92

*

*

*

3

2

3

2

1

1

0.45

8.35

25.27

8.13

28.69

8.46

30.62

*

*

*

3

3

1

3

2

2

0.05

0

2.27

0

3.79

0

3.79

8.3326

12.42

0

3

3

1

3

2

2

0.25

0

10.36

0

11.71

0

13.51

*

*

*

3

3

1

3

2

2

0.45

0

5.79

0

6.84

1.34

9.47

*

*

*

4

1

3

3

2

1

0.05

1.02

0

1.28

0

2.3

0.24

17.4972

17.67

0

4

1

3

3

2

1

0.25

4.35

0

6.72

0

7.51

0

*

*

*

4

1

3

3

2

1

0.45

6.22

8.77

8.11

9.47

8.38

11.23

*

*

*

4

2

1

1

3

2

0.05

1.68

3.2

1.68

2.49

1.68

3.55

13.4993

30.31

0

4

2

1

1

3

2

0.25

6.06

20.15

8.13

21.17

8.29

21.17

*

*

*

4

2

1

1

3

2

0.45

5.96

13.06

6.54

12.84

6.69

14.22

*

*

*

4

3

2

2

1

3

0.05

0

3.7

0

3.7

0

3.7

18.7066

18.79

0

4

3

2

2

1

3

0.25

1.37

2.56

3.66

6.25

5.26

5.97

*

*

*

4

3

2

2

1

3

0.45

4.61

9.78

6.66

10.37

8.7

11.74

*

*

*

5

1

2

3

1

2

0.05

1.28

4.19

1.26

4.63

1.26

4.33

23.0203

34.84

0

5

1

2

3

1

2

0.25

9.38

12.16

9.81

13.41

9.29

13.83

*

*

*

5

1

2

3

1

2

0.45

12.51

13.95

13.77

15

14.53

14.91

*

*

*

5

2

3

1

2

3

0.05

0

0

0

0

0

0

12.0658

4.289

0

5

2

3

1

2

3

0.25

0

0

0

0

0.12

0

*

*

*

5

2

3

1

2

3

0.45

0.69

3.25

1.43

3.77

1.8

4.29

*

*

*

5

3

1

2

3

1

0.05

0

0

0.74

0

1.23

0

20.9356

17.44

0

5

3

1

2

3

1

0.25

2.79

5

4.18

4.29

3.76

7.86

*

*

*

5

3

1

2

3

1

0.45

4.58

8.11

7.2

10.07

6.46

10.07

*

*

*

6

1

3

2

3

2

0.05

0

0

0

0

0

0

13.6634

12.34

0

6

1

3

2

3

2

0.25

0.4

1.17

1.11

3.16

2.11

4.09

*

*

*

Pág 131 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

6

1

3

2

3

2

0.45

1.1

9.42

2.9

9.8

3.31

10.79

*

*

*

6

2

1

3

1

3

0.05

4.98

3.55

6.16

4.48

5.64

4.78

11.5932

13.86

0

6

2

1

3

1

3

0.25

6.82

3.07

7.64

6.39

8.47

6.65

*

*

*

6

2

1

3

1

3

0.45

3.28

1.81

5.52

3.39

6.38

4.07

*

*

*

6

3

2

1

2

1

0.05

0

1.94

0

2.9

0

3.23

15.1305

10.57

0

6

3

2

1

2

1

0.25

1.21

4.84

2.52

5.46

4.03

6.4

*

*

*

6

3

2

1

2

1

0.45

2.99

3.38

3.12

4.96

3.03

5.75

*

*

*

El análisis se realiza con las siguientes instrucciones de Minitab: Stat > Taguchi > Analyze Taguchi Design Response Data in: Q1N1 Q1N2 Q2N1 Q2N2 Q3N1 Q3N2

Graphs: Signal to noise ratios / Slopes Analysis: Signal to noise ratios / Slopes Terms: A B C D E F Analysis graphs: Normal plot of residues Options: Fit all lines trhough a fixed point 0 0 Storage: Signal to noise ratios / Slopes OK La tabla de resultados manual es:

L18

Factores de control

Exp. A 1 1 2 1

B C D

E

F

Sensibilidad S/N

1 1 1 2 2 2

1 2

1 2

17.25 10.61.

11.72 19.47

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

3

3

3

17.09

10.85

2

2

3

33.27

10.65

3

1

9.32

19.00

1

2

9.31

22.50

2

3 1 1

3

3

10.99

14.20

3

2

1

1

40.68

15.21

1

2

2

11.84

7.92

2

1

17.57

17.45

1

3 3 1

3

2

28.89

13.38

2

2

1

3

18.71

18.65

2

1

2

34.78

23.01

2

3

4.20

11.89

1

3 1 2

3

1

17.39

20.89

3

2

3

2

12.18

13.55

1

3

1

3

13.58

11.40

2

1

2

1

10.47

15.05

1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6

3 1 2 3

3

3

Pág 132 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

La salida de Minitab es la siguiente: Taguchi Analysis: Q1N1, Q1N2, Q2N1, Q2N2, Q3N1, Q3N2 versus A, B, C, D, E, F Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D, E, F Taguchi Analysis: Q1N1, Q1N2, Q2N1, Q2N2, Q3N1, Q3N2 versus A, B, C, D, E, F Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D, E, F Estimated Model Coefficients for SN ratios Term Constant A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 B 1 B 2 C 1 C 2 D 1 D 2 E 1 E 2 F 1 F 2 S = 4.896

Coef 15.4705 -1.4809 2.0160 -2.8275 1.0972 3.2034 -0.3073 -0.3150 -2.6621 2.8051 -0.6102 1.0157 1.6570 -1.5787 1.1134 1.2808

SE Coef 1.154 2.580 2.580 2.580 2.580 2.580 1.632 1.632 1.632 1.632 1.632 1.632 1.632 1.632 1.632 1.632

R-Sq = 85.2%

T 13.407 -0.574 0.781 -1.096 0.425 1.242 -0.188 -0.193 -1.631 1.719 -0.374 0.622 1.015 -0.967 0.682 0.785

P 0.006 0.624 0.516 0.387 0.712 0.340 0.868 0.865 0.244 0.228 0.744 0.597 0.417 0.435 0.565 0.515

R-Sq(adj) = 0.0%

Analysis of Variance for SN ratios Source A B C D E F Residual Error Total

DF 5 2 2 2 2 2 2 17

Seq SS 89.252 3.485 89.856 9.411 31.465 51.676 47.932 323.076

Adj SS 89.252 3.485 89.856 9.411 31.465 51.676 47.932

Adj MS 17.850 1.742 44.928 4.705 15.733 25.838 23.966

F 0.74 0.07 1.87 0.20 0.66 1.08

P 0.659 0.932 0.348 0.836 0.604 0.481

Linear Model Analysis: Slopes versus A, B, C, D, E, F Estimated Model Coefficients for Slopes Term Constant A 1 A 2 A 3 A 4

Coef 17.9453 -2.8211 -0.2966 3.5822 4.3130

SE Coef 5.081 11.361 11.361 11.361 11.361

T 3.532 -0.248 -0.026 0.315 0.380

P 0.072 0.827 0.982 0.782 0.741

Pág 133 de 171

Porc. De contribución 27.6 27.63 9.6 16.0

Diseño de Experimentos de Taguchi A B B C C D D E E F F

5 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0.9107 3.2861 0.3106 2.9605 -2.0493 -4.1487 4.4780 4.5558 -2.9629 0.9281 0.3744

S = 21.56

11.361 7.186 7.186 7.186 7.186 7.186 7.186 7.186 7.186 7.186 7.186

R-Sq = 48.5%

0.080 0.457 0.043 0.412 -0.285 -0.577 0.623 0.634 -0.412 0.129 0.052

0.943 0.692 0.969 0.720 0.802 0.622 0.597 0.591 0.720 0.909 0.963

R-Sq(adj) = 0.0%

Analysis of Variance for Slopes Source A B C D E F Residual Error Total

DF 5 2 2 2 2 2 2 17

Seq SS 218.00 142.99 82.77 224.24 192.43 16.19 929.39 1806.00

Adj SS 218.00 142.99 82.77 224.24 192.43 16.19 929.39

Adj MS 43.599 71.495 41.384 112.118 96.216 8.094 464.693

F 0.09 0.15 0.09 0.24 0.21 0.02

Response Table for Signal to Noise Ratios Dynamic Response Level 1 2 3 4 5 6 Delta Rank

A 13.99 17.49 12.64 16.57 18.67 13.46 6.03 1

B 15.16 15.16 16.09

C 12.81 18.28 15.33

D 14.86 16.49 15.06

E 17.13 13.89 15.39

F 16.58 16.75 13.08

0.94 6

5.47 2

1.63 5

3.24 4

3.68 3

Response Table for Slopes Level 1 2 3 4 5 6 Delta Rank

A 15.12 17.65 21.53 22.26 18.86 12.26 10.00 1

B 21.23 18.26 14.35

C 20.91 15.90 17.03

D 13.80 22.42 17.62

E 22.50 14.98 16.35

F 18.87 18.32 16.64

6.88 4

5.01 5

8.63 2

7.52 3

2.23 6

Las graficas factoriales se muestran a continuación:

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P 0.984 0.867 0.918 0.806 0.828 0.983

Diseño de Experimentos de Taguchi

Main Effects Plot (data means) for SN ratios A

B

C

18.0 16.5

Mean of SN ratios

15.0 13.5 12.0 1

2

3

4

5

6

1

2 E

3

1

2 F

3

1

2

3

1

2

3

D 18.0 16.5 15.0 13.5 12.0 1

2

3

Dynamic Response: Signal reference 0 Response reference 0

Main Effects Plot (data means) for Slopes A

24

B

C

21

Mean of Slopes

18 15 12 1

2

3

4

5

6

1

D

24

2

3

1

E

2

3

F

21 18 15 12 1

2

3

1

2

3

1

2

3

Dynamic Response: Signal reference 0 Response reference 0

La S/N estimada seleccionando los factores significativos que maximizan la respuesta S/N es la siguiente:  S / N  A5  B1  C2  D2  E1  F1  5T

S/N = 18.6+15.1+18.31+16.4+17.08+16.63-5(15.4) = 25.12 La Beta 1 estimada es: 

ˆ1  A5  B1  C2  D2  E1  F1  5T

Beta 1 = 18.79+21.04+15.81+22.16+22.4+18.8-5(17.69) = 30.55

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Diseño de Experimentos de Taguchi

Con la opción de Predicción de Minitab

Stat > DOE > Taguchi > Predict Taguchi Results Predict Slope Signal to noise ratio Terms A B C D E F Levels: Select levels from a list 5 1 2 2 1 OK Los resultados son los siguientes: Predicted values S/N Ratio

Slope

24.9579 30.0547 Factor levels for predictions A B C D E F 5 1 2 2 1 1 Calidad funcional y relación S/N dinámica La calidad funcional se expresa por la función ideal, relacionada directamente con el proceso de transformación principal ya sea de energía, material o señal. En la etapa de diseño de un producto/proceso, el objetivo más importante es asegurarse que el producto desarrolle su función principal correctamente y de manera consistente. Cuando se define una buena función ideal y se usa la relación dinámica S/N como la medición de robustez, junto con una adecuada selección de factores de ruido y parámetros de diseño en un diseño de parámetros robusto, se alcanzan diversos objetivos: 1. Una mayor relación S/N significa que el sistema sigue la función ideal con la mínima cantidad de variación, de esta manera se garantiza que el sistema tiene excelente controlabilidad. 2. La meta del diseño robusto de parámetros es hacer que el sistema realice su función principal consistentemente bajo la influencia de factores de ruido. Si se logra la robustez, se eliminarán muchos síntomas potenciales (factores de ruido) en las etapas posteriores de desarrollo. 3. En resumen enfocándose a la calidad funcional y usando S/N dinámica se asegura la calidad funcional y se reduce el tiempo de desarrollo. El uso de S/N dinámica como medición de la robustez derivada de la función lineal ideal, claramente penaliza: Pág 136 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

 La variación – es indeseable.  La no linealidad – que es una forma de complejidad desde el punto de vista del diseño axiomático (se prefiere el concepto más sencillo). La linealidad es una propiedad deseable de la señal. Cuando existen varias no linealidades en la relación señal / respuesta se puede complicar demasiado en un ambiente de producción masiva, las relaciones S/N se pueden tornar incontrolables o impredecibles.  Baja sensibilidad – una alta sensibilidad es una propiedad deseable. Si se requiere una sensibilidad objetivo, que no sea ni muy baja ni muy alta, se puede el procedimiento de optimización para ajustarla al objetivo. Las interacciones entre factores de control no son deseables, en el diseño robusto dinámico se sugieren los arreglos L12, L18 y L36, debido a que en esos arreglos las interacciones están confundidas uniformemente en todas las columnas, lo que equivale a tener ruido. Desde el punto de vista del diseño axiomático, las interacciones introducen complejidad, por lo que un diseño con interacciones no es una selección adecuada de diseño, ya que elimina la aditividad de los efectos lo que aumenta la complejidad.

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Diseño de Experimentos de Taguchi

6. DATOS POR ATRIBUTOS Los datos por atributos están en forma discontinua, con valores discretos tales como bueno o malo, o 0 y 1. Estos datos con dos clases producen menos discriminación que los datos por variables. Para mejorar la potencia de discriminación se pueden utilizar datos con más clases por ejemplo: Clase 1 2 3 4

Descripción Sin defecto Defecto ligero Defecto moderado Defecto severo

Entre mayor sea el número de clases mejora su habilidad para detectar corrimientos en la media o en la variabilidad. Tamaño de muestra Una regla general es captar un mínimo de 20 muestras de la clase con la menor frecuencia (defectos, defectivos, etc.) entre ocurrencias y no ocurrencias, entre menor sea la tasa de falla mayor será el tamaño de muestra. Métodos de análisis Se tienen varios casos como se muestra a continuación:

Dos clases

Más de dos clases

Ocurrencias y no Sólo las ocurrencias son ocurrencias conocidas conocidas Caso I Caso III ANOVA ANOVA Datos 0, 1 Frecuencia de % de ocurrencias ocurrencias Caso II Análisis acumulativo

Ejemplo 6.1: Fracturas en carcasas de transmisiones a) Pasa no pasa En tiempos recientes se han encontrado entre 10 y 15% de carcasas defectuosas, definitivamente algo ha cambiado en el proceso, el problema se detecta al maquinar las carcasas después de la fundición, en esta etapa del proceso el costo es más alto. Una solución contingente fue seleccionar al 100% estas caracasas con tinta penetrante, a un alto costo. Se pensó en hacer un experimento para identificar el problema, los factores que identificó el equipo de trabajo fueron los siguientes:

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Diseño de Experimentos de Taguchi

Factor A Temperatura B Tiempo C Tasa de enfriamiento

Nivel 1 Producción Producción Producción (ventilador) Producción (un ciclo)

D Limpieza con chorro de arena

Nivel 2 Más alta Menor tiempo Sin ventilador Más ciclos

Como se requieren 20 defectivos, a una tasa de defectos del 10%, se necesitan al menos 200 muestras. Los factores se asignaron a un diseño ortogonal L8 como sigue:

L8

Col.1

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8

A

Col. Col. 2 3

1 1 1 1 2 2 2 2

B 1 1 2 2 1 1 2 2

Col. Col. 4 5

AxB C 1 1 2 2 2 2 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2

e 1 2 1 2 2 1 2 1

Col. Col. 6 7

e 1 2 2 1 1 2 2 1

Carcasas

D 1 2 2 1 2 1 1 2

Total

Def

Buenas

4

20

1

23

1

23

2

22

4

20

4

20

0

24

0

24

16

176 = 192

No funciona con Minitab Los productos malos se codifican con un 1 y los buenos con 0. Por tanto para el primer experimento se tienen 4 unos y 20 ceros. SST = T – T^2/N SST = 1^2+1^2+………+0+0 – 16^2/ 192 = 16 – 16^2/192 = 14.667 SSA = (A1-A2)^2 / N = (8-8)^2/192 = 0 SSB = (B1-B2)^2 / N = (13-3)^2/192 = 0.521 SSAB=(AxB1-AxB2)/N= (5-11)^2/192=0.188 SSC = (C1-C2)^2 / N = (9-2)^2 / 192 = 0.021 SSD = (D1-D2)^2 / N =(10-6)^2 /192 = 0.083 SSea (9-7)^2/192 = 0.021 Columna 5 SSeb (10-6)^2/192=0.083 Columna 6

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Diseño de Experimentos de Taguchi

Se tienen dos fuentes de error: e1 a partir de las columnas restantes e1 = 0.021 + 0.083=0.104 e2 en base a las repeticiones en cada intento: e2 = SST – SSA – SSB – SSAB – SSC –SSD – Sse1 e2 = 13.75 con (N-1-7) gl = 184 gl. La tabla ANOVA se muestra a continuación: Fuente A B C D AxB e1 e2 T

SS 0.0 0.521 0.021 0.083 0.188 0.104 13.75 14.667

v 1 1 1 1 1 2 184 191

MS 0.0 0.521 0.021 0.083 0.188 0.052 0.075

F

SS

p

6.95

2.51

La interacción es significativa para una alfa del 15% y la gráfica de la interacción queda como: Los promedios de las respuestas para las diferentes combinaciones de los niveles A y B son: A1B1= 2.5 A1B2 = 1.5 A2B1= 4 A2B2 = 0 Defectos en carcasas 5 4 3

Nivel B1

2

Nivel B2

1 0

A1B2

A2B2

Nivel B1

2.5

4

Nivel B2

1.5

0

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Diseño de Experimentos de Taguchi

Como se puede observar la mejor condición se obtiene en A2B2 (tiempo corto, alta temperatura). Se hizo un experimento de comprobación resultando de 300 carcasas ninguna con defecto.

b) Defectos en varias categorías Si ahora se clasifican los defectos en varias categorías se tiene: Severidad Sin fracturas Fractura ligera Fractura moderada Fractura severa

No. de Clase 1 2 3 4

Paso 1. Crear una tabla de defectos por clase acumulativa: Experimento 1 2 3 4 5 6 7 8 Totales

Clase 1 20 23 23 22 20 20 24 24 176

Clase 2 2 0 0 0 4 2 0 0 8

Clase 3 1 0 1 2 0 2 0 0 6

Clase 4 1 1 0 0 0 0 0 0 2

Total 24 24 24 24 24 24 24 24 192

Experimento Clase acum. 1 1 20 2 23 3 23 4 22 5 20 6 20 7 24 8 24 Totales 176

Clase acum. 2 22 23 23 22 24 22 24 24 184

Clase acum. 3 23 23 24 24 24 24 24 24 190

Clase acum. 4 24 24 24 24 24 24 24 24 192

Total 24 24 24 24 24 24 24 24 192

Paso 2. Calcular un valor de ponderación para cada clase, que está en función de la frecuencia acumulada de ocurrencia en esa clase. La fórmula para la ponderación de la clase es:

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Diseño de Experimentos de Taguchi

W i

N2 Ti ( N  Ti )

Donde N es el número total de pruebas Ti son las ocurrencias acumuladas en la clase i Por tanto: W 1

N2 192 2   13.09 T1 ( N  T1 ) 176(196  176)

W 2

N2 192 2   25.04 T2 ( N  T2 ) 184(196  184)

N2 192 2 W 3   97.01 T3 ( N  T3 ) 190(196  190)

La suma de cuadrados para cada clase se multiplica por la ponderación de la clase para obtener una suma ponderada de cuadrados. Paso 3. Determinación de la suma total de cuadrados SST SST 

Clases

 SST W i

i 1

SSTi  Ti 

i

Ti 2 N

En este ejemplo SST = SST1*W1+SST2*W2+SST3*W3 Para la primera clase:

T12 176 2 SST1  T1   176   14.66 N 192

SST1*W1 = 14.66*13.09 = 191.98 T2 184 2 SST2  T2  2  184   7.666 N 192

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Diseño de Experimentos de Taguchi

SST2*W2 = 7.666*25.04 = 191.97

SST3  T3 

T32 190 2  190   1.979 N 192

SST3*W3 = 1.979*97.01 = 191.99 SST = SST1*W1+SST2*W2+SST3*W3= 575.94 Paso 4. Calcular las sumas de cuadrados para las columnas para cada clase:

SSAi 

SSA 

( A1i  A2i ) 2 N

Clases

 SSA W i 1

i

i

Del arreglo L8: SSA1 = (88-88)^2/192 = 0 SSA2 = (90-94)^2/192=0.0833 SSA3 = (94-96)^2/192=0.0208 SSA = 0.0(13.09) + 0.0833(25.4) + 0.0208(97.01) = 4.1 De esta misma forma se calculan las otras columnas. Los grados de libertad para cada columna es gl = gl A (3) = 3 Los grados de libertad totales son (N-1) (clases) = 191(3) = 573 La tabla ANOVA se muestra a continuación: Fuente A B C D AxB e1 e2 T

SS 4.1 93.36 0.79 3.18 5.0 1.88 551.69 576

v 3 3 3 3 3 6 552 573

MS 1.37 3.12 0.26 1.060 1.667 0.31 1

F 1.37 3.12

1.667

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SS

p

Diseño de Experimentos de Taguchi

El resultado es similar al del ejemplo con dos clases, el análisis acumulativo funciona mejor cuando la distribución de ocurrencia de defectos se distribuye en las diversas clases. Caso de datos por atributos: Solo las ocurrencias conocidas En esta situación la frecuencia de ocurrencias se puede tratar como con datos variables por medio de una ANOVA estándar. Por ejemplo: número de imperfecciones superficiales en las partes, etc. Transformación Omega para suma de porcentajes De los datos originales:

L8

Col.1

Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7 8

Col.

Col.

Col.

Col. 2 3

Col. 4 5

Col. 6 7

A

B

AxB

C

e

e

D

Clase 1 Clase 2 Clase 3 Clase 4

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 2 2 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 2 1 2 1

1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 2 1 2 1 1 2

20 23 23 22 20 20 24 24

2 0 0 0 4 2 0 0

1 0 1 2 0 2 0 0

Si consideramos la interacción AB como significativa se tiene: En el Nivel A1B1: Clase 1= 43/48 = 89.6% Clase 2 = 2/48 = 4.2% Clase 3 = 2.1% Clase 4 = 4.2% En el nivel A1B2: Clase 1 = 93.75% Clase 2=0% Clase 3=6.25% Clase 4=0% En el nivel A2B1: Clase 1=83.3% Clase 2=12.5% Clase 3=4.2% Clase 4=0% En el nivel A2B2: Clase 1 = 100% Clases 2,3,4 = 0% Esta es la combinación de niveles que se selecciona.

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1 1 0 0 0 0 0 0

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Si se hubiera seleccionado la combinación A1B2, se podrían sumar los porcentajes trasformando los valores con la transformación Omega (rel. S/N): 1  ( p)  10 log  1 p  Donde p es un porcentaje.

Para estimar los porcentajes se estima el porcentaje promedio en cada clase: Promedio de la clase 1 general = 176/192 = 91.66% = 0.9166  1  (0.9166)  10 log  1  10.41  0.9166  Para la clase 1 se tiene en A1B2 el 23/24=95.8% = 0.958  1  (0.958)  10 log  1  13.58  0.958  Para la clase 1 se tiene en A1B2 el 22/24=91.66% = 0.9166  1  (0.9166)  10 log  1  10.41  0.9166  La respuesta estimada es:

( )  ( A1B2)  ( A1B2)  (Y ) = 13.58+10.41 – 10.41= 13.58 Haciendo la operación inversa se tiene: 13.58 =- 10*log(1/p – 1) despejando a p se tiene: -1.358 = log(1/p -1) 10^(-1.358)=1/p – 1 1.04385 = 1/p p= 0.9579 = 95.79% Así sucesivamente para las otras clases en caso de que haya necesidad de sumar porcentajes.

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7. DISEÑO DE TOLERANCIAS Las tolerancias utilizadas inicialmente se trata de que sean lo más amplias posible por consideraciones de costo, después se optimiza el diseño del producto y del proceso a través de una combinación adecuada de parámetros de diseño (DPs). Después es necesario identificar los requerimientos funcionales (FRs) relacionados con el cliente que no se cubren con los métodos de optimización de diseño de parámetros. Estrechando las tolerancias y mejorando los materiales y otros parámetros, normalmente se requiere para alcanzar los objetivos de requerimientos funcionales FRs. Atributos y tolerancias del cliente (QFD)

Requerimientos funcionales (FRs) y tolerancias

Requerimientos de parámetros de diseño (DPs) y tolerancias

Variables del proceso de manufactura (PVs) y tolerancias

Proceso de desarrollo de tolerancias Tolerancia: es la desviación permisible de un valor especificado o estándar. Ejemplo: Dimensiones de paneles de automóvil Los paneles de los automóviles tales como puertas y toldos tienen muchos requerimientos funcionales, tales como proteger a los clientes, compartimientos de pasajeros, compartimiento del motor y proporcionar una vista agradable. La mayoría de sus requerimientos son dimensionales.

 Atributos y tolerancias del cliente: los requerimientos del cliente se expresan en términos vagos como “el coche debe parecer fresco, los paneles de la carrocería deben estar bien colocados”. Es muy fácil que el cliente esté insatisfecho si la puerta tiene variaciones moderadas en algunos mm. en sus dimensiones, puede ser que la puerta sea difícil de abrir o cerrar o muestre aberturas indeseables con la carrocería.  Tolerancias en los requerimientos funcionales (FRs): Después de analizar los requerimientos del cliente y ver “como trabajan los paneles” se pueden determinar tolerancias dimensionales para los paneles. Por ejemplo, las puertas deben abrir y cerrar fácilmente y deben ajustar bien en las otras partes. Por lo anterior se podría determinar que las dimensiones de los paneles se encuentren dentro de 2mm. De su valor nominal.  Tolerancias en parámetros de diseño (DPs): Los paneles de automóviles se fabrican soldando otras partes más pequeñas de metal; las partes de metal se fabrican en un proceso de estampado. Por tanto se deben establecer tolerancias para los subensambles de metal estampados. Pág 146 de 171

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 Tolerancias de variables del proceso (PVs): Las variables del proceso incluyen requerimientos en los dados, requerimientos en los mixtures y requerimientos del estampado. El proceso de establecimiento de tolerancias incluye establecer tolerancias en esos requerimientos. El proceso se puede esquematizar como sigue:

Requerimientos y

Tolerancias de bajo nivel (DPs, DVs) Txi  i ………..

Ty  o Y = f(x1, x2, x3, ….., xn) Requerimientos y Tolerancias de alto nivel (FRs) Se enfrentan tres mayores problemas en el diseño de tolerancias: 1. Controlar la variabilidad. 2. Cumplir con los requerimientos funcionales satisfactoriamente. 3. Mantener el costo del ciclo de diseño y desarrollo en bajo nivel. Los requerimientos funcionales deben satisfacerse con una variación mínima. Las tolerancias del cliente se definen como “los límites de tolerancia para los cuales el 50% de los clientes estarán insatisfechos si se exceden”. Las tolerancias amplias son menos costosas y hacen que la manufactura sea más sencilla. Si el diseño de parámetros es insuficiente para limitar la variación de las FRs, el diseño de tolerancias es esencial. Una técnica utilizada en las partes mecánicas son las Tolerancias y Dimensionado Geométrico (GDT). Se tienen dos métodos de diseño de tolerancias: el método tradicional y el método de Taguchi.

 Método tradicional: incluye el análisis de tolerancias del pero caso, análisis estadístico de tolerancias, y análisis de tolerancias basadas en el costo.

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 Método de Taguchi: incluye la relación entre la tolerancias del cliente y la tolerancia del proveedor, así como diseño de experimentos de tolerancia. Tolerancia del peor caso: análisis lineal La tolerancia del peor caso se expresa como: T  0  Min f ( x1, x2 ,...., xn )  T1 T 2...  Tn  1   2  ......  n T  0  Max f ( x1, x2 ,...., xn )  T1 T 2...  Tn  1   2  ......  n

Obviamente:  0  1   2  ......   n

Análisis de tolerancias: Si se determina la tolerancia de alto nivel con base en tolerancias de bajo nivel. Distribución de tolerancias: Si se determinan las tolerancias de bajo nivel a partir de una tolerancia de alto nivel. Ejemplo 7.1: Placas de metal Una pila de 10 placas de metal se unen como sigue: Espesor Xi

y = x1 + x2 + x3 + …..+ x10 Si cada placa de metal i, tiene espesor Ti = 0.1”, con tolerancia i = 0.002”, para i = 1 a 10, el límite de tolerancia para la pila es de o = 0.02”. En el caso de partir de una tolerancia de la pila de o = 0.01”, con el método de escalado proporcional si se multiplica por 0.5 la tolerancia de cada placa i = 0.001”, para i = 1 a 10, el límite de tolerancia para la pila es de o = 0.01”. Ejemplo 7.2: Tolerancia de un espacio de alivio Se trata de determinar la tolerancia de C, se asume que A tiene una dimensión de 2.000  0.001” y B, 1.000  0.0001”. Asumiendo que el espacio y = C – A – B debe estar entre 0.001 y 0.006”, se trata de determinar los límites de tolerancia para C, o sea Tc, ’c, c.

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C Y=C–A-B B A

Tolerancia del ensamble T-’c = 0.001= Min (C – A – B) = T-’c – 2.001 – 1.001 T-’c = 3.003 T+c = 0.006 = Max(C –B –A) = T+’c – 1.999 – 0.999 T+’c = 3.004 Se puede seleccionar T = 3.0035  0.0005 Ejemplo 7.3: Fuente de alimentación Una fuente de 100V, f hertz alimenta a una resistencia R en serie con una inductancia L con una corriente I en amperes y:

y

100 R 2  (2fL) 2

Si F = 50 Hz, Tr nominal = 9.5 ohms, r = 1 ohm, L = 0.01 H, L = 0.006 H. La tolerancia del cliente para el circuito es y = 10  1ª. Verificaremos si las tolerancias de los componentes son adecuadas:

 100 Max( y)  Max  R 2  (2fL ) 2  Max( y) 

    100

(9.5  1) 2  (2 * 3.14159 * 50 * (0.001  0.006)) 2

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 11.64

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 100 Min( y)  Min  R 2  (2fL ) 2  Min( y) 

    100

(9.5  1)  (2 * 3.14159 * 50 * (0.001  0.006)) 2 2

 8.59

  100  E ( y)  E  R 2  (2fL ) 2    100 E ( y)   9.99 2 (9.5)  (2 * 3.14159 * 50 * (0.001)) 2 En este caso no se cubre la tolerancia del cliente desde el punto de vista del peor caso. Tolerancia del peor caso: análisis no lineal En este caso de acuerdo a la expansión en serie de Taylor y a los autores Chase y Greenwood (1988) el límite de tolerancia es:

f f f 1   2  .......  n x1 x2 xn Del ejemplo anterior para la corriente y se tiene: 0 

f 100 R  2 R R  (2fL ) 2





3/ 2

Con R = 9.5 df/dR = 0.948

f 100(2f ) 2 L  3/ 2 R R 2  (2fL ) 2





Con L = 0.01, df/dL = 98.53 Y 0 

f f R   L  0.948 *1  98.53 * 0.006  1.54 R L

Muy cercano al cálculo anterior. Si se quiere reducir o a 1.0, se puede multiplicar en proporción p = 1/1.54 = 0.65 a la tolerancia de R y de L, quedando como:

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 R  0.65 *1  0.65  L  0.006 * 0.65  0.004

Tolerancia estadística La tolerancia del peor caso protege contra todo tipo de variaciones en los componentes asegurando que se cumpla la tolerancia de alto nivel, sin embargo puede dar tolerancias muy cerradas con costos altos. Con base en que al mismo tiempo se presente una tolerancia muy baja o muy alta en todos los componentes tiene una probabilidad muy baja, se utiliza la tolerancia estadística, basada en la distribución normal del comportamiento de los componentes y del producto de alto nivel (xi = N(i, 2i) para i = 1,…,n) que se asumen independientes. Si la ecuación de la función de transferencia entre los requerimientos de alto nivel y los parámetros de bajo nivel o variables x1, x2,…, xn, es una función lineal: y  f ( x1 , x2 ,....., xn )  a1 x1  a2 x2  ....  an xn

Se tiene la siguiente relación entre las varianzas del producto de alto nivel y las de los componentes o parámetros de bajo nivel:

Var ( y)   2  a12 12  a22 22  ......  an2 n2 Los pasos para determinar la tolerancia estadística son los siguientes: 1. Identificar la función de transferencia y = f(x) entre los requerimientos de alto nivel y y los parámetros de bajo nivel. 2. Para cada característica de bajo nivel Xi, i = 1 , …., n identificar i, Cp y i. Ya sea de datos históricos o experiencia.

Cp 

LSE  LIE 6

Si el proceso está centrado (la media del proceso es igual a la media especificada), se tiene:

Cp 

LSE  Ti Ti  LIE  i   3 3 3 i

 i  3Cp i para cada xi  0  3Cp 0 para alto nivel

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3. Determinar la varianza de alto nivel y con la ecuación anterior. 4, Utilizar la ecuación de [Cp = Delta cero/3 sigma ] para calcular el requerimiento de Cp de alto nivel (debe ser al menos 1.33). Si se cumple terminar, si no continuar. 5. Seleccionar el Cp deseable, por ejemplo Cp = 2, la varianza requerida es:



2 req

     0   3Cp 

2

Bajando esta varianza de alto nivel a los p componentes: n

2  req  p 2  ai2 i2 i 1

p

2  req n

a  i 1

2 i

2 i

La varianza y tolerancia de bajo nivel se determinan como sigue:

 inueva  p 1  i  3Cp inueva Ejemplo 7.4 – Ejemplo de placas revisado Una pila de 10 placas de metal se unen como sigue: Espesor Xi

y = x1 + x2 + x3 + …..+ x10 Si cada placa de metal i, tiene espesor Ti = 0.1”, con tolerancia i = 0.002”, para i = 1 a 10, el límite de tolerancia para la pila es de o = 0.02” con dimensión T = 1.0. Si se asume que el Cp requerido de alto nivel es de 2 y para componente de 1.33 se tiene:

i 

i 0.002   0.0005 3Cp 3 *1.33

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Y la varianza es: 10

 2    i2  10 * 0.00052  0.0000025 i 1

Y Sigma = 0.00158 Y para y se tiene: Cp 

0 0.02   4.21 3 3 * 0.00158

Este es un Cp muy alto aun si se reduce o a 0.01 todavía el Cp es 2.15. Este ejemplo muestra que las tolerancias con el método del pero caso sobrediseña las tolerancias. Tolerancia basada en el costo El objetivo de un diseño óptimo basado en tolerancias es encontrar una estrategia óptima que repercuta en un costo total mínimo (costo de reducción de la variabilidad + pérdidas de calidad). Los pasos para determinar la tolerancia estadística son los siguientes: 1. Identificar la función de transferencia y = f(x) entre los requerimientos de alto nivel y y los parámetros de bajo nivel. Si no se cuenta con la ecuación, se puede utilizar la simulación en computadora o un modelo empírico derivado de un DOE. 2. Para cada característica de bajo nivel Xi, i = 1 , …., n identificar i, Cp y i. Ya sea de datos históricos o experiencia. Cp 

LSE  LIE 6

Si el proceso está centrado (la media del proceso es igual a la media especificada), se tiene:

Cp 

LSE  Ti Ti  LIE  i   3 3 3 i

 i  3Cp i para cada xi  0  3Cp 0 para alto nivel

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3. Determinar la varianza de alto nivel 2y, se pueden utilizar las sensibilidades para sustituir las derivadas parciales. 4, Utilizar la ecuación de [Cp = Delta cero/3 sigma ] para calcular el requerimiento de Cp de alto nivel (debe ser al menos 1.33). Si se cumple terminar, si no continuar. 5. Seleccionar el Cp deseable, por ejemplo Cp = 2, la varianza requerida es:



2 req

     0   3Cp 

2

Para cada Xi calcular: pi 

Ci (f ) i2

Ci es la reducción en costo unitario (por unidad de cambioo en la tolerancia de Xi) f es el cambio incremental en el requerimiento de y para cada cambio unitario en Xi. Pi es un factor de escala para la reducción óptima de la tolerancia. Bajando la varianza de alto nivel a los p componentes:



2

 f  2   i  p  p  i 1  xi  n

2 req

p

2

2 i

2  req 2

 f  2   i p    x i 1 i   n

2 i

La varianza y tolerancia de bajo nivel se determinan como sigue:

 inueva  p 1  i  3C p ppi i Ejemplo 7.5: Circuito L-R revisado Una fuente de 100V, f hertz alimenta a una resistencia R en serie con una inductancia L con una corriente I en amperes y:

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100

y

R  (2fL) 2 2

Si F = 50 Hz, Tr nominal = 9.5 ohms, r = 1 ohm, L = 0.01 H, L = 0.006 H. Se asume que los Cps de R y L son 1.33. Se asume que la tolerancia del resistor R se puede reducir a 0.5 ohms a un costo adicional de $0.15 y que la tolerancia del inductor L se puede reducir a 0.003H a un costo de $0.20. La tolerancia del cliente para el circuito es y = 10  1ª y un Cp de 2 es deseable. La desviación estándar requerida es: 2



2 req

   1   0    0.1667 3* 2  3Cp 

La varianza de la corriente del circuito es:



2

 f  2  f  2  f  2   i     R     L  p  p   R   L  i 1  xi  n

2 req

2

2

2

2 i

R 

R 1   0.25 3C p 3 *1.33

L 

L 0.006   0.0015 3C p 3 *1.33

(100 R) 2  f     2  R  R  (2fL ) 2 2





3

 0.899

(100(2f ) 2 L) 2  f   9708.2    2 3  R  R  (2fL ) 2 2





Con R = 9.5 y L = 0.01 De esta forma:

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 f   f      R2     L2  0.899 * 0.252  9708.2 * 0.00152  0.078  R   L  2



2 req

2

  0.078  0.279 Dado que    req no se puede satisfacer al cliente con el Cp de 2. Ahora se calcula pR:

C R 0.15   0.316 2 (f ) R 0.474 CL 0.20 pL    0.678 2 (f ) L 0.295 pR 

Obtenido de: (f R ) 

f  R  0.948 * 0.5  0.474 A R

(f L ) 

f  L  98.53 * 0.003  0.295 A L

Por tanto reducir R es más efectivo en costo que reducir L, se tiene:

p

2  req 2

 f  2   i p   i 1  xi  n

2 i

p

0.1667 0.316 * 0.899 * 0.252  0.6782 * 9708.2 * 0.00152 2

Los nuevos límites de tolerancia para R y L son:

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 1.332

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 R  3C p ppR R  3 *1.33 *1.332 * 0.316 * 0.25  0.42  L  3C p ppL L  3 *1.33 *1.332 * 0.678 * 0.0015  0.0054 H

Función de pérdida de Taguchi y diseño de tolerancias para seguridad Taguchi desarrolló un método de diseño y asignación de tolerancias considerando costos. El componente más importante del costo es la pérdida de calidad debida a una desviación de los requerimientos del nivel ideal requerido. Caso Nominal es mejor Para el caso de Nominal es mejor la función de pérdida se muestra a continuación: Pérdida de calidad

T-o T-

T

T+

T+o

Función de pérdida, tolerancia del cliente y del productor La función de pérdida se puede expresar como: Ao ( y  T )2 0 o es la tolerancia del cliente, cuando se excede se incurre en un costo Ao Lo recomendable es que si el costo del productor de corregir un defecto o reparar el producto antes de su envío es A < Ao cuando la característica se desvía  de la meta se repare el producto y no se envíe al cliente. Así cuando y = T +  o y = T , la función de pérdida es: L( y ) 

L( y ) 

Ao 2  0

Si L(y) se pone igual al costo de reparación A, y se despeja el límite de tolerancia del productor  se tiene: 

  A 0  0  0 A0  A0 A

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Donde  es la raíz cuadrada de la pérdida de exceder el límite funcional entre la pérdida en la fábrica por exceder el estándar de fabricación. Siempre se prefiere corregir los defectos en la fábrica ya que si se envían al cliente, además de su insatisfacción y altos costos incurridos, se afecta la imagen, y se hace una mala publicidad de la empresa en lo relacionado a calidad. Ejemplo 7.6: TV color En un TV de color la tolerancia del cliente es de 7, si la densidad de color excede T+7 o es menor que T-7, 50% de los clientes estarán insatisfechos y pedirán el reemplazo de su TV a un costo de Ao = $98, si el TV se repara en la fábrica el costo es de $10, y la tolerancia del productor debe ser: 

  A 7 0  0  0   2.24 A0  A0 98 10 A

Es decir que la tolerancia del productor debe ser de T2.24 y el factor de seguridad  es de 3.13. Caso Menor es mejor En este caso la función de pérdida es la siguiente: A0 2 y 20 Si el costo interno de reparación es A en una tolerancia del productor , igualando a la función de pérdida se tiene: L( y ) 

A  L( y ) 



0 A0

A0 2  20   0



A

Ejemplo 7.7: Conteo de bacterias Se cuentan las bacterias en la carne, su límite inferior es de 8,000 para evitar enfemedades. Si el costo del tratamiento médico es de $500. Si se detecta que la carne tiene más bacterias de las normales, se descarta a un costo de $3.00. Se sugiere un límite de inspección en:

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

0 A0



0





8000  620 500 3

A

Por tanto la empacadora inspeccionará los paquetes de carne, si contiene más de 620 bacterias se descartará, el factor de seguridad es de 12.9. Caso Mayor es mejor En este caso la función de pérdida es la siguiente:

1 y2 Si el costo interno de reparación es A en una tolerancia del productor , igualando a la función de pérdida se tiene: L( y)  A0 20

A  L( y )  A0 20



A0

A

1 2

 0   0

Ejemplo 7.8: Resistencia de un cable Suponga un cable para colgar un equipo que le ejerce 5000 kgf. Si se rompe se incurre en un costo de $300,000. La resistencia del cable es proporcional a su área seccional en 150 kgf/mm2. Asumiendo que el costo del cable es proporcional a su área seccional en $60/mm2. Sea el área X, entonces A = 60x, y =150x. 150 x 

300000 5000 60 x

x  177 A  10,620 D  150  150 x  26,550

El factor de seguridad es :



300,000  5.31 10,620

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Determinación de tolerancias de bajo nivel a partir de las de alto nivel Dada la característica de alto nivel y y las características de bajo nivel x1, x2,…, xn, se tiene: Y = f(x1, x2, ….., xn) Linearizando la función de transferencia se tiene: y T 

f ( xi  Ti )  ai ( xi  Ti ) xi

La función de pérdida de Taguchi es aproximadamente: L( y ) 

A0 A ( y  T ) 2  20 [ai ( xi  T )]2 2 0 0

Asumiendo que cuando una característica de bajo nivel Xi excede su límite de tolerancia i la pérdida en calidad es:

Ai 

A0 [ai  i ]2 2 0

i 

A1  0 A0 ai

Ejemplo 7.9: Fuente de poder Las especificaciones de una fuente de poder son 9.5V1.5V. Si está fuera de especificaciones el costo de su reemplazo es de $2.00. Una resistencia es crítica, cada vez que cambia 1% su valor varia el voltaje de salida en 0.2V. Si el costo de reemplazo del resistor es de $0.15, ¿cuál debe ser el límite de tolerancia del resistor en porcentaje? i 

A1  0 0.15 1.5   2.05 A0 ai 2 0.2

De esta forma el límite de tolerancia del resistor debe ser aproximadamente igual a 2%. Asignación de tolerancias para parámetros múltiples Dada la función de transferencia y = f(x1, x2, …., xn) si se desea diseñar límites de tolerancia para todas las características de bajo nivel x1, x2, …, xn en el método Pág 160 de 171

Diseño de Experimentos de Taguchi

de Taguchi, simplemente se aplica la ecuación del problema anterior a todos los parámetros.

A1  0 ; A0 a1

1 

A2  0 A0 a2

2 

……..  n 

An  0 A0 an

Por lo tanto el cuadrado del rango de la salida y causada por la variación en x1, x2, …, xn es: 2  (a11 ) 2  (a2  2 ) 2  ....  (an  n ) 2 2

2

 A   A2   An     1  0     0   .....    0   A0   A0   A0  A  A2  ...  An 2  1 A0

2

2

n



A i 1

A0

n

0

Diseño de experimentos de tolerancia de Taguchi Dado un sistema con un requerimiento de alto nivel y relacionado con un grupo de características de bajo nivel Xi con una función de transferencia desconocida: Y = f(x1, x2, ….., xn) Una vez determinados los niveles de los factores en un diseño de experimentos de parámetros, Taguchi recomienda que los niveles de los factores se establezcan con las reglas siguientes:

 Factores de dos niveles o Primer nivel = valor objetivo Ti - i o Segundo nivel = = valor objetivo Ti + i  Factores de tres niveles o Primer nivel = valor objetivo Ti  3 / 2 i o Segundo nivel = valor objetivo Ti o Tercer nivel = valor objetivo Ti  3 / 2 i Fijando estas tolerancias en los experimentos de dos niveles, corresponden a los percentiles 15º Y 85º del rango de variación. Para el caso de tres niveles,

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Diseño de Experimentos de Taguchi

corresponden a los percentiles 10º, 50º y 90º. Claramente se encuentran en “extremos razonables” del rango de variación. El diseño de tolerancias es un arreglo experimental ortogonal normal en el cual el requerimiento funcional y es observado en cada corrida experimental. Si en: 2

 y  2   i Var ( y)      i 1  xi  n

2

Si hacemos xi   i se tiene: n

Var ( y )   2   (y) 2 i i 1

Esta ecuación indica que el cuadrado medio total MST en el DOE es un buen estimador de la varianza de (Y). El porcentaje de contribución de cada factor a la suma de cuadrados total SST puede ser usada para priorizar el esfuerzo de reducción de tolerancia. Si un factor tiene un gran porcentaje de contribución al SST y no es caro reducir su tolerancia, es un buen candidato para reducción de la variación.

Ejemplo 7.10: Diseño de experimentos de tolerancias para variables de proceso Un material compuesto se proceso en un proceso de curado, y la resistencia a la tensión del material es la característica de interés. Hay cuatro variables del proceso:

A – Temperatura de horneado B – Tiempo de horneado C – Cantidad de aditivo de fibra D – Tasa de agitación Después del diseño de parámetros, los valores nominales de estas variables de proceso se determinaron en:

A = 300ºF B = 30 min. C = 15% D = 300 rpm.

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Diseño de Experimentos de Taguchi

Estas variables de proceso no pueden ser controladas de manera precisa, en base a datos históricos se ha identificado la desviación estándar a largo plazo para cada factor como:

A = 10ºF B = 1.8 min. C = 1.6% D = 12rpm Como son tres niveles se utilize: Primer nivel = valor objetivo Ti  3 / 2 i

Segundo nivel = valor objetivo Ti Tercer nivel = valor objetivo Ti  3 / 2 i Se obtiene: Factores A ºF B min. C% D rpm

Nivel 1 288 27.8 13 285.4

Nivel 2 300 30 15 300

Nivel 3 312 32.2 17 314.6

Se usa un arreglo L9 quedando el arreglo y datos como sigue: Con Minitab:

Stat > DOE > Taguchi > Create Taguchi Design Seleccionar 3 level design Number of factors 4 OK

El arreglo y los resultados experimentales se muestran a continuación: Experimento 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Factores A 1 1 1 2 2 2 3 3 3

B 1 2 3 1 2 3 1 2 3

C 1 2 3 2 3 1 3 1 2

D 1 2 3 3 1 2 2 3 1

Analizando el diseño se obtiene: Con Minitab:

Stat > DOE > Factorial > Define Custom factorial design Factors A B C D o A-D Pág 163 de 171

Resistencia tensión 243 295 285 161 301 260 309 274 198

Diseño de Experimentos de Taguchi

Seleccionar General Full Factorial OK Se define el arreglo como sigue: Experimento 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A 1 1 1 2 2 2 3 3 3

B 1 2 3 1 2 3 1 2 3

C 1 2 3 2 3 1 3 1 2

D 1 2 3 3 1 2 2 3 1

Resistencia tensión 243 295 285 161 301 260 309 274 198

StdOrder 1 2 3 4 5 6 7 8 9

RunOrder 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Blocks 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Se analiza el diseño con Minitab:

Stat > DOE > Taguchi > Analize Taguchi Design Response data in Resistencia Tensión Analysis Display response tables y Fit linear model for Signal to noise ratios / Means Terms A B C D (pasar con >) Options seleccionar Smaller is better OK Los resultados parciales de ANOVA para medias son: Analysis of Variance for Means Source A B C D Residual Error Total

ˆ 2  MST 

DF 2 2 2 2 0 8

Seq SS 1716.2 4630.9 9681.6 4011.6 * 20040.2

Adj SS Adj MS F P Porcentaje de contribución 1716.22 858.11 * * 8.56% (0.0856) 4630.89 2315.44 * * 23.11% (0.2311) 9681.56 4840.78 * * 48.31% (0.4831) 4011.56 2005.78 * * 20.02% (0.2002) * * 100% 1.0 Grados de libertad totales = 9-1 = 8

SST  2505 8

ˆ  50 Claramente los factores C y B son los principales contribuyentes a la varianza. SI podemos reducir la desviación estándar de C y B al 50%, manteniendo la misma contribución de A y de D, la nueva varianza para y será:

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PtType 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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ˆ 2 nueva  2505(0.0856  0.2311* (0.5) 2  0.4831* (0.5) 2  0.2002  1163.2 ˆ nueva  1163.2  34.1

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8. ANÁLISIS B vs. C El análisis B vs. C es una prueba muy sencilla, que nos permite corroborar si un procedimiento alterno, llamado aquí B (de Better) es realmente mejor que el método actualmente utilizado, llamado aquí C (de Current). En caso de dos métodos nuevos o propuestos, aquel que usted crea superior llamelo B, y al restante C. El procedimiento es como sigue: 1. Seleccione un nivel de confianza bajo el cual hacer la prueba. Suponga que realmente los dos procedimientos B y C son iguales, al realizar una prueba estadística, aun así, existe la posibilidad de equivocarnos y concluir que B es mejor que C. A este error se le llama elegantemente error tipo I, error alfa, o simplemente riesgo. En muchas situaciones industriales, un moderado riesgo  de 0.10 o un importante riesgo  de 0.05 son adecuados. Unicamente si el costo de una mala decisión es muy elevado se usa un riesgo de 0.01. Finalmente, si la decisión pone en peligro la vida (reactores nucleares) y además a un costo muy elevado, se usa un riesgo  super crítico de 0.001. 2. Decidir un tamaño de muestra para prueba B y C. Después de seleccionar un riesgo . Por ejemplo, un riesgo  de 5%. Para este riesgo se tienen diferentes alternativas de tamaño de muestra para B y para C, tal y como se muestra en la tabla de la hoja siguiente. Por lo general, se selecciona un tamaño de 3, y 3 respectivamente. Observe que se presentan varias opciones en las cuales se tiene un gran número de C’s y por lo general pocas B’s. Esto se debe a que el proceso actual es C, y por lo tanto, es probable que sea mucho más económico realizar pruebas bajo esta condición. 3. Conducir las pruebas de una manera aleatoria. 4. Clasificar y ordenar los resultados de mejor a peor 5. Tomar una decisión. Si todos los resultados para el procedimiento B son mejores que los del C, se puede decir que efectivamente el procedimiento B es mejor que el C. SI existe algún traslape, no se puede concluir que B es mejor que C.

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Por ejemplo si se tienen tres pruebas de B y cuatro de C, el orden debe ser: B B B C C C C Mejor Peor Contador final B=3; contador final C=4 En este caso no hay traslapamiento y se puede concluir que el procedimiento B es mejor que el C. En algunos casos es deseable tomar muestras de mayor tamaño y permitir algún traslape en las lecturas. Cuando se desea hacer esto, se recomienda que se tome un tamaño de muestra de al menos 10 unidades para cada procedimiento. Lo que si se recomienda es que el tamaño de muestra sea igual para cada procedimiento. Entonces, se evalúa lo que se llama el contador final sin traslape. Por ejemplo, si el resultado es: B B B B C C B C B C C B C C C C C Observe que a la izquierda se tienen cuatro resultados de B sin empalme, y a la mera derecha se tienen 5 resultados sin empalme. El contador final es la suma de esas dos lecturas, esto es 4 + 5= 9. Dependiendo del riesgo, el contador final debe ser mayor que el número que se indica en la siguiente tabla: Error 

0.05 0.01 0.001

Mínimo número para el contador final

6 9 12

Si el contador final es mayor que el número indicado, se puede decir que el procedimiento B es mejor que el C. Aun cuando las pruebas B vs. C no indiquen diferencia entre B y C en términos de calidad, el proceso B puede ser seleccionado sobre el proceso C (o viceversa) si el proceso B es menos costoso que el proceso C.

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Tamaño de muestra de B vs. C según el riesgo  Número de pruebas Riesgo  Confianza 0.001 0.999

B’s 2

C’s (43)

5 6

8 6

2 3 4 5

13 7 5 4

0.95 importante

1

19

0.90 moderado

1

9

super crítico

0.01

0.10

16 10

0.99 crítico

0.05

3 4

2 3 4 2 3

5 3 3 3 2

Considere el ejemplo siguiente:

Ejemplo 8.1: Semiconductores

En la fabricación de un semiconductor, se corre una prueba B vs. C para ver si se pueden obtener mejores resultados con una atmósfera al alto oxígeno (B), en lugar del procedimiento actual (C). Se toma un riesgo  de 0.05 (5%), pero el tamaño de la muestra es doce Cs y doce Bs (porque se desea permitir traslape), los cuales son seleccionados y procesados en orden aleatorio. Se decide permitir traslapamiento en el contador final. Los resultados son: C 105.6, 102.5, 108.5, 114.6, 95.8, 88.3, 104.1, 100.5, 97.5, 114.9, 103.7, 100.1 B 101.2, 119.2, 108.6, 117.0, 109.4, 123.6, 117.2, 114.5, 123.2, 99.3, 110.4, 118.2 Los resultados se clasifican en orden descendente como sigue:

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B 123.6 114.5, B 123.2 B 119.2 B 118.2

B 117.2 B 117.0

Contador final B=6

…., C 100.0, B 99.3 Traslapamiento = 16

C 114.9, C114.6, Contador final C= 3

C 97.5 C 95.8 C 88.3

El contador final total = 6+3= 9. De la regla 6, 9.12, cuando = 0.05 el contador final debe de ser al menos 6. Por lo tanto se concluye que el proceso B es mejor que el proceso C con riesgo de 5%.

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9. CONCLUSIONES En este material se ha pretendido dar una idea muy general de lo que es la ingeniería de calidad. Se han mencionado sus conceptos generales y su potencial de aplicación. Se ha enfatizado la importancia que tiene el diseñar los productos y procesos de manera que desde esa etapa se asegure la calidad en el producto final, a pesar de la variabilidad en los insumos y condiciones ambientales de operación. El diseño experimental toma una posición importante bajo estas ideas. No es ya una herramienta meramente teórica, sino que es una herramienta práctica a utilizar en varias situaciones, para reducir costos y al mismo tiempo incrementar la calidad. Si bien las ideas se han estado aplicando ya de una manera intensiva en nuestro país, no son pocas las opiniones de autores que atacan estas nuevas ideas y metodologías. Esperamos que haya captado las ideas fundamentales, para que forme su propio criterio en cuanto al potencial de estas herramientas y metodologías estadísticas.

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BIBLIOGRAFÍA American Supplier Institute. Introduction to Quality Engineering, Course Manual, Cd, Juárez Chih., 1989. Bendell A., Disney and W.A. Pridmore, taguchi Methods applications in World Industry, IFS Publications, 1989. Taguchi G., Introduction to Quality Engineering, Asian Productivity Organization, 1986. Wo Yuin W. Hobbs Moore, Quality Engineering American Suppliers Institute, 1987.

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