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• Ro Piek

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TRANSFORMADA Z

Algunos pares de transformadas z En la Tabla 1.1 se observan las transformadas z de las se˜ nales b´asicas.

Se˜ nal

Transformada z

ROC

δ (n)

1

Todo C

u (n)

1 1 − z −1

|z| > 1

−u (−n − 1)

1 1 − z −1

|z| < 1

δ (n − m)

z −m

αn u (n)

1 1 − αz −1

|z| > |α|

−αn u (−n − 1)

1 1 − αz −1

|z| < |α|

nαn u (n)

−nαn u (−n − 1)

αz −1 (1 − αz −1 )2 αz −1 (1 − αz −1 )2

Todo C excepto 0 (si m > 0) o´ ∞ (si m < 0)

|z| > |α|

|z| < |α|

[cos ω0 n] u (n)

1 − [cos ω0 ] z −1 1 − [2 cos ω0 ] z −1 + z −2

|z| > 1

[sen ω0 n] u (n)

[sen ω0 ] z −1 1 − [2 cos ω0 ] z −1 + z −2

|z| > 1

[r n cos ω0 n] u (n)

1 − [r cos ω0 ] z −1 1 − [2r cos ω0 ] z −1 + r 2 z −2

|z| > r

[r n sen ω0 n] u (n)

[rsen ω0 ] z −1 1 − [2r cos ω0 ] z −1 + r 2 z −2

|z| > r

Tabla 1.1: Pares b´asicos de transformadas z.

TRANSFORMADA Z

Propiedades de la transformada z Recu´erdese que la ROC resultante cuando combinamos varias transformadas z es, cuando menos, la intersecci´on entre las ROC de las transformadas individuales. En la Tabla 1.2 se observan las propiedades de la transformada z.

Propiedad

x (n) x1 (n) x2 (n)

Transformada z X (z) X1 (z) X2 (z)

R R1 R2

Linealidad

ax1 (n) + bx2 (n)

aX1 (z) + bX2 (z)

Al menos

Desplazamiento en tiempo

x (n − n0 )

z −n0 X (z)

R, o´ R ∪ {0}, o´ R − {0}

Escalamiento en el

ejω0 n x (n)

0 X e−jω  z

dominio de

z

Se˜ nal

z0n x (n) an x (n)

X X

z z0
a−1 z







ROC

R 1 ∩ R2

R z0 R |a| R = {w : w = |a| z, z ∈ R}  R−1 = w : w = z −1 , z ∈ R

Inversi´ on en el tiempo

x (−n)

X z −1

Conjugaci´ on

x (n)

X (z)

R

Convoluci´ on

x1 (n) ∗ x2 (n)

X1 (z) X2 (z)

Al menos

R 1 ∩ R2

Primera Diferencia

x (n) − x (n − 1)

Al menos

R ∩ {z : |z| > 0}

Acumulaci´ on

Pn

1 X (z) 1 − z −1

Al menos

R ∩ {z : |z| > 1}

Diferenciaci´ on en el

nx (n)

−z

dominio de

k=−∞ x (k)

z

Si


1 − z −1 X (z)

dX (z) dz

R

Teorema del valor inicial x (n) = 0 para n < 0, entonces x (0) = lim X (z) z→∞

Tabla 1.2: Propiedades de la transformada z.