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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA DEPARTAMENTO DE CONTROL LABORATORIO CONTROL II (#2 Transformada Z) TÍTULO

MUESTREO, RETENCIÓN Y MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN

ASIGNATURA

Control II

CARRERAS

INGENIERIA ELECTROMECANICA

1 OBJETIVOS 1. Verificar el funcionamiento del retenedor de orden cero funcionando como discretizador y reconstructor de una señal. 2. Conocer el ambiente de simulación SIMULINK y usarlo para establecer las diferencias entre comportamiento en tiempo continuo y tiempo discreto. 3. Establecer diferencias entre los distintos métodos de discretización 2

MARCO TEORICO

2.1 Sistemas en tiempo continuo y sistemas en tiempo discreto

En un sistema continuo (analógico) las señales vienen representadas por funciones continuas. En un sistema discreto (digital) sin embargo, se representan como secuencias discretas (figura 1). En el caso que nos ocupa, esas secuencias discretas son una serie de números que provienen de tomar los valores instantáneos de señales analógicas en instantes de tiempo concretos. Es lo que se denomina muestreo. Esos instantes suelen estar equi-espaciados por un tiempo T que se denomina periodo de muestreo. A cada uno de los valores se les denomina muestras y se identifican por su número de muestra k. Los sistemas de tiempo discreto, son sistemas dinámicos en los cuales una o más variables pueden variar únicamente en ciertos instantes. Estos instantes pueden especificar el momento en el cual se realiza una medición física o el tiempo en el cual se lee la memoria, del computador. A diferencia de los sistemas de tiempo continuo, cuyo comportamiento se describe o modela mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales, los sistemas de tiempo discreto se describen mediante un conjunto de ecuaciones de diferencias. El análisis de sistemas continuos lineales e invariantes en el tiempo se realiza utilizando la transformada de Laplace, mientras que para los sistemas discretos se utiliza la transformada z.

1

2.1.1 Muestreador El muestreador es el elemento fundamental en un sistema de control de tiempo discreto. Consiste simplemente en un interruptor que se cierra cada T segundos para admitir una señal de entrada. En la práctica, la duración del muestreo debe ser mucho menor que la constante de tiempo más significativa de la planta o proceso. La función del muestreador es convertir una señal continua en el tiempo (análogica) en un tren de pulsos en los instantes de muestreo 0; T; 2T; …. en donde T es el periodo de muestreo. Entre dos instantes de muestreo no se transmite información. La figura 2ª. muestra el diagrama en bloques de un muestreador y la figura 2b. representa la forma de la señal a la entrada y a la salida del muestreador. Teniendo en cuenta que la salida del muestreador es un tren de pulsos ponderado, es posible relacionar la señal continua x(t) con la salida del muestreador mediante la ecuación (2.1). ∞ ¿

x (t )= ∑ x ( kT ) ∂(t−kT )

(2.1)

k=−∞

2.1.2 Retenedores

En la práctica, la señal en forma muestreada no se debe aplicar directamente a la planta por lo tanto es necesario incluir, después del muestreador, un dispositivo que reconstruya la señal. Este dispositivo se conoce con el nombre de retenedor y su finalidad es convertir la señal muestreada en una señal continua de tal forma que sea igual o lo más aproximada posible a la señal aplicada al muestreador. El retenedor más elemental convierte la señal muestreada en una señal que es constante entre dos instantes de muestreo consecutivos, este tipo de retenedor se conoce como “retenedor de orden cero” y es comúnmente el más utilizado. La exactitud del retenedor de orden cero en la reconstrucción de la señal depende de la magnitud del periodo de muestreo. La figura 3a muestra un diagrama en bloques del conjunto muestreador-retenedor y la figura 3b da las formas de la señal de entrada y de salida en cada uno de estos dispositivos.

En general los circuitos de retención de orden superior reconstruirán la señal de manera más exacta que los retenedores de orden cero, pero con algunas desventajas. Un retenedor de primer orden con 2

interpolación reconstruye la señal original de manera mucho más exacta. Éste circuito de retención también genera una línea recta a la salida cuya pendiente es igual a aquella que une el valor la muestra anterior con el valor de la muestra actual y la proyección se hace desde el punto de la muestra actual. Por lo tanto la exactitud al reconstruir la señal original es mejor que para otros circuitos de retención, pero existe un periodo de muestreo de retardo, como se muestra en la figura 4. Desde el punto de vista de estabilidad de los sistemas de lazo cerrado dicho retardo no es deseable, y de este modo el retenedor de primer orden con interpolación no se emplea en aplicaciones de sistemas de control.

Figura 4: salida de un retenedor de primer orden con interpolación

2.1.3. Circuito muestreo y retención En la figura 5. se presenta un circuito analógico utilizado para labores de muestreo y retención, en donde: C es un capacitor de alta calidad con características de fuga y absorción dieléctricas bajas. S es un interruptor de estado sólido. A1 y A2 son amplificadores operacionales con impedancia de entrada alta e impedancia de salida baja. 2.2. Métodos de Discretización de Sistemas en Tiempo Continuo Para obtener un controlador digital a partir de un continuo es deseable que la respuesta transitoria (respuesta impulso, escalón, número polos y ceros, entre otros) y la respuesta en frecuencia (margen de fase, ganancia, etc.) de ambos sean próximas (no siempre factible simultáneamente). Además, las características del controlador digital dependerán del valor de T que afectará a la respuesta del sistema. Hay dos formas ó tipos de métodos: 1. Métodos basados en la aplicación de Métodos Numéricos. 2. Métodos basados en la aplicación de la transformada Z.

2.2.1. Métodos basados en la aplicación de Métodos Numéricos Son un método que transforman la ecuación diferencial que define al sistema continuo digital H(s), en una ecuación en diferencias que define H(z). Uno de estos métodos es el operador derivada: aproxima la derivada como una diferencia en adelanto o en atraso. Sea la ecuación diferencial que define un sistema de primer orden. Integral retrasada: aproxima el operador integral 1s por el sistema discreto obtenido sumando rectángulos, con la entrada retrasada. Ó la integral adelantada: aproxima el operador integral 1s por el sistema discreto obtenido sumando 3

rectángulos, con la entrada adelantada. Integral trapezoidal o Tustin: aproxima el operador integral 1s por el sistema discreto obtenido sumando trapecios. y(kT) = y[(k-1)T]+T¿ ¿ (2.2) C(z)≈ ¿

(2.3)

2.2.2. Métodos basados en la aplicación de la transformada Z Invariancia al impulso; Se trata de preservar la respuesta impulso, tal que definiendo las respuestas impulso continua y discreta gc (t) = L−1 {Gc ¿s)} gd (kT) = Z−1 {G c(z)} (2.4) Se cumple que: gd (kT) = T gc (t)l t=kT (2.5) G d (z) = TZ { gc (t)} = TGc (z)

(2.6)

Invariancia el escalón Dada una función de transferencia continua F(s) se llama discretización por F ( s) invariancia al escalón a la transformada z, Fd(z), tal que la inversa de Laplace de y la s Fd ( z ) z transformada z inversa de coinciden en los instantes de muestreo t = kT, donde T es el período z−1 de muestreo. Eso quiere decir que la respuesta de la función continua a un escalón es igual a la respuesta de la función discreta a un escalón, en los instantes de muestreo kT. Cabe resaltar que la discretización por invariancia al escalón es equivalente a discretizar con un muestreador y mantenedor de orden cero. Para calcular Fd(z) hacemos lo siguiente: Como por definición, (2.7) L−1 ¿ Entonces,

Fd ( z ) z F (s ) =Z [ L−1 ] z−1 s t =kt

( )

por lo tanto, Fd(z)=

z−1 Z¿ z

(2.8)

(2.9)

2.3. Uso del Matlab 2.3.1. Comando c2dm 4

[Nz,Dz] = c2dm(N,D,Ts,‘metodo’): Discretización de un modelo en tiempo continuo, cuya función de transferencia viene dada por los polinomios numerador y denominador. Como tercer parámetro se especifica el periodo de muestreo. El último parámetro proporciona una cadena de caracteres que indica el método con el que se va a hacer la discretización, las posibilidades son: ‘zoh’: Discretización utilizando retenedor de orden cero (ZOH). Es la opción por defecto. ‘foh’: Discretización utilizando retenedor de orden uno (FOH). ‘tustin’: Discretización mediante aproximación trapezoidal. ‘prewarp’: Discretización trapezoidal con prewarping. ‘matched’: Discretización mediante emparejamiento de polos y ceros 2.3.2. Bloque ZOH de Simulink El bloque de retenedor de orden cero tiene como parámetro de configuración el período de muestreo que el usuario especifique. El bloque acepta una entrada que puede ser un escalar o vectorial y genera una salida. Si la entrada es un vector, el bloque incluye todos los elementos del vector para el período de la misma muestra. Se especifica el tiempo entre las muestras con el parámetro Sample time, el cual con un valor de -1 hace que el bloque herede el tiempo de la muestra.

3 Trabajo previo 1. Dada la función de transferencia 3.10 discreticela manualmente por el método de invariancia al escalón (ZOH) con un periodo de muestreo de T = 0,1s. Utilice tabla de transformadas. 1 H(s) = (3.10) s +1 2. ¿En qué se diferencia un sistema en tiempo continuo de uno en tiempo discreto? 3. Describa de forma abreviada el funcionamiento del circuito de la figura 5. 4. De los métodos de discretización anteriormente mencionados, ¿Cuál es el más acertado para Usted? Explique por qué. 5. Para un sistema con M p = 0,1, k = 0,7 y t s = 8 s obtener la función de transferencia que describe la dinámica del modelo.

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PRACTICA

1. Verificar por comandos en MATLAB la función de transferencia obtenida en el primer ítem del trabajo previo. En un archivo de simulink implementar el sistema continuo, discretizar con retendor de orden cero (ZOH) y visualice su respuesta al escalón. 2. Para el sistema hallado en el ítem 5 del trabajo previo a través de un programa de Matlab discretizar con los periodos de muestreo T h = 0,01s, T h= 0,1s yT h= 1s aplicando los métodos de Tustin y ZOH. 3. Comparar la ubicación de los polos y los ceros de todos los modelos resultantes con pzmap. 4. Exportar los datos a simulink e implementar las funciones de transferencia (discretas y continua) con bloques y obtenga la respuesta al escalón visualizando todas las señales en un osciloscopio. 5. El siguiente modelo corresponde a un servomecanismo de posición, utilizado en la servodirección de un automóvil:

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0,72 s (0,13 s +1) Muestrear con T h = 0,2s y 0,5s con los métodos de Transformación Bilineal y ZOH, establecer las principales diferencias entre los modelos discretos resultantes en la ubicación de polos y las respuestas el escalón unitario. H(s) =

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PREGUNTAS DE ANALISIS

1. ¿Qué efectos tiene el discretizar una señal con un periodo de muestreo inapropiado al momento de reconstruir la misma? 2. ¿Qué observó en la distribución de polos y ceros de los modelos discretizados por ambos métodos? 3. ¿Tiene alguna incidencia el método de discretización? ¿Por qué?

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CONCLUSIONES

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