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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES

CALCULO II

FACULTAD DE INGENIERIA

PRACTICA TERCER PARCIAL MAT 102 ̶ GRUPO F Primera parte 2

2

1. Calcular la integral ∬𝑅 (4𝑥 + 𝑦)𝑒16𝑥 −𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 donde R es la región limitada por el cuadrilátero de vértices: (0,0), (1/2,2), (1,0), (1/2,-2) Respuesta :

𝒆𝟏𝟔 −𝟏𝟕 𝟒

2. Utilizando coordenadas polares calcular el área de la región

Respuesta:

𝑨 = 𝟗𝝅

𝝅

𝑨 = 𝟑𝟐

𝑨=𝝅

3. Hallar el área de la región R que está acotada por las curvas

𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2 𝑅: { 𝑦 ≥ 6 − 3𝑥 } 𝑥=0 Respuesta: 𝑨 = 𝟏𝟓/𝟐 4. Hallar el área de la superficie del paraboloide 𝑧 = 1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 que se encuentra sobre el circulo unitario como se muestra en la figura

Respuesta:

𝝅

𝑨 = (𝟓√𝟓 − 𝟏) 𝟔

5. Hallar el área de la superficie S correspondiente a la porción del hemisferio 𝑓(𝑥, 𝑦) = √25 − 𝑥 2 − 𝑦 2 que se encuentra sobre la región R limitada o acotada por el círculo 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 9 Respuesta: 𝑨 = 𝟏𝟎𝝅 6. Calcular la integral

𝐼 = ∬ √1 − 𝑥 2 /16 − 𝑦 2 /9 𝑑𝐴 ;

𝑅: 9𝑥 2 + 16𝑦 2 ≤ 144

𝑅

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Respuesta: 𝑰 = 𝟖𝝅 7. Hallar el volumen de la región sólida R acotada superiormente por el paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 e inferiormente por el plano 𝑧 = 1 − 𝑦 Respuesta: 𝑽 = 𝝅/𝟑𝟐 8. Hallar el volumen de la región sólida Q que corta en la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 el cilindro 𝑟 = 2𝑠𝑒𝑛(𝜃) Respuesta:

𝑽=

𝟏𝟔 𝟗

(𝟑𝝅 − 𝟒)

9. Hallar el volumen del solido Respuesta: 𝑽 = (𝟐𝒂𝟑 /𝟗)(𝟑𝝅 − 𝟒)

Respuesta:

𝑽 = 𝝅/𝟏𝟔

10. Hallar el volumen de la región sólida Q limitada o acotada inferiormente por la hoja superior del cono 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 y superiormente por la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 9 Respuesta: 𝑽 = 𝟗𝝅(𝟐 − √𝟐) 11. Hallar el centro de gravedad de un sólido cónico de radio “a”, altura “h”, vértice en el origen y densidad constante 𝟑 (𝒙 ̅, 𝒚 ̅, 𝒛̅) = (𝟎, 𝟎, 𝒉) Respuesta: 𝟒

12. Calcular la masa de la lámina de densidad superficial igual a 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥+2𝑦 , sabiendo que la forma geométrica de la lámina está dada por |𝑥| + |𝑦| ≤ 1 Respuesta:

𝟐

𝒎 = 𝟑 (𝒆𝟐 − 𝒆 − 𝒆−𝟏 + 𝟏)

13. Hallar el momento de inercia con respecto al eje de simetría del sólido Q limitado o acotado por el paraboloide 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 y el plano 𝑧 = 4 7. La densidad en cada punto es proporcional a la distancia entre el punto y el eje z Respuesta:

𝑰𝒛 =

𝟓𝟏𝟐 𝟑𝟐

𝝅𝒌

14. Encontrar el volumen del solido Q que se encuentra sobre el plano XY que queda debajo 4−𝑥 2 −𝑦 2

de la gráfica de la función: 𝑧 = (𝑥 2 +𝑦 2)3/2 , es interior al cilindro: (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 = 1 y exterior al cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1. Además calcular la inercia respecto al eje z, siendo la densidad constante. Respuesta:

𝟓𝝅

𝑽 = 𝟐 ( 𝟑 − √𝟑 − 𝟐 𝐥𝐧(𝟐 + √𝟑))

𝟐

𝑰𝒛 = 𝟗 𝝆(𝟐𝟕√𝟑 − 𝟏𝟏𝝅)

15. Calcular el volumen, la masa del solido de densidad 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √4𝑥 2 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 limitado por: 4𝑥 2 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 ≤ 𝟒 ; 4𝑥 2 + 𝒚𝟐 ≥ 𝒛𝟐 ; 𝒛 ≥ 𝟎 Respuesta:

𝑽=

𝟒𝝅 𝟑

√𝟐

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𝒎 = 𝟐𝝅√𝟐

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Formulas Centro de masa y momentos de inercia En el plano (x,y)

𝒎: 𝒎𝒂𝒔𝒂 𝝆(𝒙, 𝒚): 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑴𝒙: 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙 𝑴𝒚: 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒚 ̅, 𝒚 ̅ ∶ 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒔𝒂 𝒙 𝑰𝒙: 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 ó 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙 𝑰𝒚: 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 ó 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒚 𝑰𝒐: 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒛 ó 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂

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En el espacio (x,y,z)

𝒎: 𝒎𝒂𝒔𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒐 𝝆(𝒙, 𝒚, 𝒛): 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒐 𝑴𝒚𝒛: 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒚𝒛 𝑴𝒙𝒛: 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒙𝒛 𝑴𝒙𝒚: 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒙𝒚 ̅, 𝒚 ̅ , 𝒛̅ ∶ 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒔𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒐 𝒙 𝑰𝒙: 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 ó 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙 𝑰𝒚: 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 ó 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒚 𝑰𝒛: 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 ó 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆

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