SUPERINTENSIVO
Semestral Intensivo TRIGONOMETRΓA SOLUCIONARIO PRΓCTICA DOMICILIARIA 01.- Piden: el valor de: ππ = (π π π π π π 2 π₯π₯ β 1)5
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Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA
SOLUCIONARIO PRΓCTICA DOMICILIARIA 01.- Piden: el valor de:
ππ = (π π π π π π 2 π₯π₯ β 1)5 + (ππππππ2 π₯π₯ β 1)5
si βΆ π π π π π π 2 π₯π₯ + ππππππ2 π₯π₯ = 5 ; π₯π₯ β πΌπΌπΌπΌπΌπΌπΌπΌ del dato:
π π π π π π 2 π₯π₯ + ππππππ2 π₯π₯ = 5 β π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π₯π₯ + ππππππ 2 π₯π₯ = 3 β¦ β¦ β¦ β¦ (1)
Elevando al cuadrado (1)
( π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π₯π₯ + ππππππ 2 π₯π₯ )2 = 32 β π‘π‘π‘π‘π‘π‘4 π₯π₯ + ππππππ 4 π₯π₯ = 7 β¦ β¦ β¦ β¦ . (2)
Elevando al cubo (1)
( π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π₯π₯ + ππππππ 2 π₯π₯ )3 = 33 β π‘π‘π‘π‘π‘π‘6 π₯π₯ + ππππππ 6 π₯π₯ = 18 β¦ β¦ β¦ β¦ . (3)
Multiplicando (2) y (3)
( π‘π‘π‘π‘π‘π‘4 π₯π₯ + ππππππ 4 π₯π₯ )( π‘π‘π‘π‘π‘π‘6 π₯π₯ + ππππππ 6 π₯π₯ ) = 18π₯π₯7 π‘π‘π‘π‘π‘π‘10 π₯π₯ + ππππππ 10 π₯π₯ = 123
Clave B
02.-Piden: el valor de: ππ =
ππ ππ + ππ ππ
si: ππππππππππ = ππππππππππ , ππππππππππ = ππππππππππ , ππππππππππ = ππππππππππ π¦π¦ ππ β ππ
Multiplicando las condiciones
ππ3 π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π = ππ3 ππππππππ π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ β ππ3 = ππ3 β (ππ β ππ)(ππ2 + ππππ + ππ2 ) = 0 ππππππππ: ππ β ππ β 0 β (ππ2 + ππππ + ππ2 ) = 0 β΄
03.- piden el valor de:
ππ ππ + = β1 ππ ππ
π π π π π π 4 π₯π₯ + ππππππ 4 π₯π₯ β (π π π π π π 6 π₯π₯+ππππππ 6 π₯π₯) ππ = οΏ½ οΏ½ ππππππ 2 π₯π₯
2
;
si ππππππππ2 π₯π₯ + π π π π π π 2 π₯π₯ = ππππππππ2 π₯π₯
1 β 2π π π π π π 2 π₯π₯. ππππππ 2 π₯π₯ β (1 β 3π π π π π π 2 π₯π₯. ππππππ 3 π₯π₯) ππ = οΏ½ οΏ½ ππππππ 2 π₯π₯ Simplificando
Clave A
2
PΓ‘gina 1
Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA ππ = π π π π π π 4 π₯π₯
Del dato βΆ π π π π π π 2 π₯π₯ = (ππ β ππ)π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π₯π₯ β π π π π π π 4 π₯π₯ = (ππ β ππ)β2
Clave C
04.- Piden el valor de:
π
π
= π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ+ π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π½π½. π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ. π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ. π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ. π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π½π½ + 1 + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π½π½ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ. π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π½π½
Condiciones:
ππ = (1 + π π π π π π π π )(1 + π π π π π π π π )(1 + π π π π π π π π ) ππ = (1 β π π π π π π π π )(1 β π π π π π π π π ) (1 β π π π π π π π π ) En R agrupando tΓ©rminos semejantes
π
π
= π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ(1+ π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π½π½) + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ. π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ. (1 + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π½π½) + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ(1+π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π½π½)+ 1+π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π½π½ π
π
= (1+π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π½π½ )( π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ. π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ + 1)
π
π
= (1+π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π½π½ )(π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ (1 + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ )1 + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ )
π
π
= (1+π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π½π½ )(1 + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ )(1 + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ ) = π π π π π π 2 πΌπΌ. π π π π π π 2 π½π½. π π π π π π 2 ππ multiplicando
ππ. ππ = (1 + π π π π π π π π )(1 β π π π π π π π π )(1 + π π π π π π π π )(1 β π π π π π π π π )(1 + π π π π π π π π ) (1 β π π π π π π π π )
ππ. ππ = ππππππ 2 πΌπΌ. ππππππ 2 π½π½. ππππππ 2 ππ
β΄ π π π π π π 2 πΌπΌ. π π π π π π 2 π½π½. π π π π π π 2 ππ = (ππ. ππ)β1 05.- Piden πΉπΉ (4)
π π π π : πΉπΉ ( π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ + ππππππ 2 ππ ) =
Clave E
π π π π π π 6 ππ + ππππππ6 ππ π π π π π π 4 ππ + ππππππ4 ππ
haciendo βΆ π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ + ππππππ 2 ππ = 4 β π π π π π π 2 ππ + ππππππ2 ππ = 6 β π π π π π π 2 ππ. ππππππ2 ππ = 6 1 β π π π π π π 4 ππππππππ 4 ππ = 6 πΉπΉ (4) =
(1 β 3π π π π π π 2 ππππππππ 2 ππ)π π π π π π 2 ππ. ππππππ2 ππ 1 β 2π π π π π π 2 ππππππππ 2 ππ
Reemplazando
PΓ‘gina 2
Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA 1 (1 β 3 οΏ½6οΏ½ 9 πΉπΉ (4) = οΏ½ οΏ½ 6 β πΉπΉ (4) = 1 2 (1 β 2 οΏ½6οΏ½ 06.- ππππππππππ: ππππππππππππππππ (1 β π π π π π π π π β ππππππππ)2 ππππ π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ ππππ ππ
ππππ:
Clave E
1 + π π π π π π π π + ππππππππ = ππ π π π π π π π π . ππππππππ
Elevando al cuadrado la condiciΓ³n
2(1 + π π π π π π π π ) (1 + ππππππππ) 2(1 + π π π π π π π π ) (1 + ππππππππ) = ππ2 β = ππ2 2 2 π π π π π π ππ. ππππππ ππ (1 + ππππππππ)(1 β ππππππππ)(1 + π π π π π π π π )(1 β π π π π π π π π )
2.2 = ππ2 β (1 β π π π π π π π π β ππππππππ)2 = 4ππβ2 2(1 β ππππππππ) (1 β π π π π π π π π ) 07.- Piden el valor de:
π π π π : π π π π π π π π β ππππππππ =
ππ =
1 2
ππππ ππππ ππππππππππππππππππ: π π π π π π π π = 1 β ππππππ 2 π₯π₯ =
Clave D
π π π π π π 2 π¦π¦ β ππππππ 2 π₯π₯ β ππππππππ π π π π π π 2 π₯π₯ β π π π π π π 2 π₯π₯ + π π π π π π 2 π¦π¦
ππππππππππππππππ ππππ ππππππππππππππππ 1 1 + ππππππππ οΏ½β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―οΏ½ π π π π π π 2 π₯π₯ = + ππππππππ + ππππππ 2 π¦π¦ 2 4
1 1 + ππππππππ + 1 β π π π π π π 2 π¦π¦ β π π π π π π 2 π¦π¦ β ππππππ 2 π₯π₯ β ππππππππ = 4 4
ππππ ππππ ππππππππππππππππππ π π π π π π π π β =
3 4
Remplazando en P
ππππππππππππππππ ππππ ππππππππππππππππ 1 = ππππππππ οΏ½β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―οΏ½ π π π π π π 2 π₯π₯ β π π π π π π π π + π π π π π π 2 π¦π¦ 2
1 π π π π π π 2 π¦π¦ β ππππππ 2 π₯π₯ β ππππππππ 1 ππ = = 4= 2 2 2 π π π π π π π₯π₯ β π π π π π π π₯π₯ + π π π π π π π¦π¦ 3 3 4
Clave C
PΓ‘gina 3
Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA 08.- Piden el valor de βΆ
2
οΏ½2βππ +ππ 2 οΏ½ βππ 2
βπ π π π π π π π β βππππππππ = ππ β¦ β¦ (1)
ππ
π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + ππππππππ = ππ β¦β¦β¦.(2)
ππππππππππππππππ ππππ ππππππππππππππππ (1) β π π π π π π π π + π π π π π π = ππ2 + 2βππ β¦ β¦ β¦ (β)
ππππππππππππππππ ππππ ππππππππππππππππ ( β) β π π π π π π 2 π₯π₯. ππππππ2 π₯π₯ + 2π π π π π π π π . ππππππππ = οΏ½2βππ+ππ2 οΏ½
2
2
οΏ½2βππ + ππ2 οΏ½ β ππ2 2 2 ππ + 2ππ = οΏ½2βππ+ππ οΏ½ β =2 ππ 2
Clave B
09.-ππππππππππ: ππππ π£π£π£π£π£π£π£π£π£π£ ππππ π π π π π π 2 ππ
ππππ. π π π π π π π π (12ππππππππ β 5π π π π π π π π ) + ππππππππ (12π π π π π π π π + 5ππππππππ) = 13π π π π π π (π₯π₯ + π¦π¦ + ππ ) β¦ (β)
En (*) 12(π π π π π π π π π π π π π π π π + ππππππππππππππππ) + 5(ππππππππππππππππ β π π π π π π π π π π π π π π π π ) = 13π π π π π π (π₯π₯ + π¦π¦ + ππ) 12π π π π π π (π₯π₯ + π¦π¦) + 5 cos(π₯π₯ + π¦π¦) = 13π π π π π π (π₯π₯ + π¦π¦ + ππ) π π π π ππππππππππππ βΆ π π π π π π π π =
13 β 12
ππ
β΄ π π π π π π 2 ππ =
169 144
Clave D
ππ
10.- ππππππππππ ππππ π£π£π£π£π£π£π£π£π£π£ ππππ ππ = 2π π π π π π οΏ½π₯π₯ β 4 οΏ½ + π π π π π π οΏ½2π₯π₯ β 4 οΏ½
ππππ (π π π π π π π π + π π π π π π 2π₯π₯ + π π π π π π 3π₯π₯ ) 2 + (ππππππππ + ππππππ2π₯π₯ + ππππππ3π₯π₯)2
2 2 3π₯π₯ 3π₯π₯ π π π π π π 2 π π π π π π 2 οΏ½ π₯π₯ . π π π π π π 2π₯π₯οΏ½ + οΏ½ π₯π₯ . ππππππ2π₯π₯οΏ½ = 2π π π π π π 2π₯π₯ + 4π π π π π π π π π π π π π π 2 π π π π π π 2
3π₯π₯ 2 π π π π π π 2 2 2 οΏ½ π₯π₯ οΏ½ [π π π π π π 2π₯π₯ + ππππππ 2π₯π₯ ] = 2π π π π π π 2π₯π₯ + 4π π π π π π π π π π π π π π 2
(2ππππππππ + 1) 2 = 2π π π π π π 2π₯π₯ + 4π π π π π π π π β 4ππππππ 2 π₯π₯ + 4ππππππππ + 1 = 2π π π π π π 2π₯π₯ + 4π π π π π π π π
3 + 2ππππππ2π₯π₯ + 4π π π π π π π π = 2π π π π π π 2π₯π₯ + 4π π π π ππππ β 3 = 2(π π π π π π 2π₯π₯ β ππππππ2π₯π₯ ) + 4(π π π π π π π π β ππππππππ) ππ
ππ
3=2β2π π π π π π οΏ½2π₯π₯ β 4 οΏ½ + 4β2π π π π π π οΏ½π₯π₯ β 4 οΏ½
PΓ‘gina 4
Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA
ππ ππ 3β2 β΄ 2π π π π π π οΏ½π₯π₯ β οΏ½ + π π π π π π οΏ½2π₯π₯ β οΏ½ = β¦ β¦ . . Clave C 4 4 4
11.- ππππππππππ ππππ π£π£π£π£π£π£π£π£π£π£ ππππ ππ = tan(πΌπΌ + π½π½ ) β 3β2
Del grafico: πΌπΌ = 450
45ππ
Q πΌπΌ
ππ + ππβ2
π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ = π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘. π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘. π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘
2
π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + 1 + β2 + 2 + β2 = π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ οΏ½1 + β2οΏ½ (2 + οΏ½2)
ππ
π½π½
R
45 ππ
P ππ r
r
π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ =
β΄ tan(πΌπΌ + π½π½ ) β 3β2 = 5
β
12.- Piden el Γ‘rea de la regiΓ³n sombreada.
2
πΌπΌ A
ππ
3ππππππππ
D
13.- ππππππππππ βΆ
9 4
ππππππ2ππ =
2 π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ 3
3 π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ 2
β 6π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ β 5π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + 6 = 0
3π π π π π π π π
β΄ ππ =
Clave D
2 1 + π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ 3 3 = π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ β 2 1 β π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ 2 3
C
3
1 β tan π½π½
π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄Γ‘π π tan(450 + πΌπΌ ) =
ππ 2ππππππππ 45ππ + πΌπΌ
S
1 + tanπ½π½
π·π·π·π·π·π· ππππΓ‘ππππππππ: π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ =
45ππ
2π π π π π π π π
οΏ½1 + β2οΏ½ 3
ππππππππππ π‘π‘π‘π‘π‘π‘ (πΌπΌ + π½π½ ) = tan(450 + π½π½) =
tan (πΌπΌ + π½π½ ) = 5 + 3β2
B
π½π½ + ππ + ππ = 1800
27 5
π’π’2
6(1 + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ ) = 5π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘
12 2π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ = = ππππππ2ππ β¦ . . (1) 5 1 + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ
Clave C
π π π π π π 2 π¦π¦βπ π π π π π 2 π₯π₯
π π π π π π π π .π π π π π π π π .ππππππππ .ππππππππ
π π π π . 10π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘. π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π₯π₯ = π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π¦π¦ PΓ‘gina 5
Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA ππππ ππππ ππππππππππππππππππ:
10
π π π π π π π π π π π π π π π π ππππππππ ππππππππ
= π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π₯π₯-π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π¦π¦ = (π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘) (π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ β π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘)
π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π (π₯π₯ β π¦π¦) π π π π π π (π₯π₯ + π¦π¦) = . ππππππππ ππππππππ πππππ π π π . π₯π₯π₯π₯π₯π₯π₯π₯ ππππππππ. π₯π₯π₯π₯π₯π₯π₯π₯
π π π π π π 2 π¦π¦ β π π π π π π 2 π₯π₯ 10 = π π π π π π π π . π π π π π π π π . ππππππππ. ππππππππ
14.- Piden: valor de
Clave E
4(ππππππ 4 πΌπΌ + ππππππ 4 ππ ) + ππππππ 4 2πΌπΌ ππ = 1 + 8ππππππ 2 πΌπΌπ π π π π π 2 ππ
Dato: tan(πΌπΌ + ππ ) + tan(πΌπΌ β ππ ) = 2
π π π π π π 2πΌπΌ =2 ππππππ (πΌπΌ + ππ )ππππππ(πΌπΌ β ππ )
1 β ππππππ 4 (2πΌπΌ ) = 4( ππππππ 4 πΌπΌ + ππππππ 4 ππ ) =1 1 + 8ππππππ 2 πΌπΌπ π π π π π 2 ππ
Clave A
15.- Piden: RelaciΓ³n entre a, b y c: Dato: ππ = ππππππππππ β ππππππππππ ; ππ > 0
ππππππππππ + ππππππππππ = ππ = οΏ½ππ 2 + ππ2 π π π π π π (π₯π₯ + ππ ) ππ β€ βππ 2 + ππ2
β β΄ ππ2 β ππ2 β€ ππ 2
16.-Piden: valor de E
Dato: π΄π΄ + π΅π΅ + πΆπΆ = 5ππ
πΈπΈ =
Clave B
π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ 1 + ππππππππ + ππππππππ + ππππππππ
π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π΄π΄ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π΅π΅ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 πΆπΆ =2 π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘
Sea: π
π
= (π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘)
π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π΄π΄ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 π΅π΅ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 πΆπΆ + 2π
π
= 2π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + 2π
π
(π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘)2 =
(π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ ) 2 =2 π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π
π
PΓ‘gina 6
Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA πΈπΈ =
β΄ π¬π¬ = ππ
(π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ ) 2 π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π
π
17.- Piden: el valor de βnβ
Clave A
8π π π π π π π π 22ππ+1 + 23ππ β1 = ππ+1 ππ ππ ππ ππ 2 + 22ππ β1 8π π π π π π ( 8 )ππππππ(8 )ππππππ(4 )ππππππ(4 ) 8π π π π π π π π 22ππ+1 + 23ππβ1 = 8 = ππ+1 2 + 22ππβ1 π π π π π π π π (2ππ )2 β 4(2ππ ) β 32 = 0
2ππ = 8 = 23 ππ 2ππ = β4
β΄ ππ = 3
ππ
2ππ
ππ
18.- Piden: ππ = π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 οΏ½2 οΏ½ β ππ+ππ π‘π‘π‘π‘π‘π‘ οΏ½2 οΏ½
Clave B
Dato: ππππππππππ + ππππππππππ = ππ
ππ ππ ππ ππ β 2πππ π π π π π 2 οΏ½ οΏ½ + 2ππππππππ οΏ½ οΏ½ ππππππ οΏ½ οΏ½ = ππ 2 2 2
ππ ππ ππ 2πππ π π π π π 2 οΏ½2 οΏ½ β 2ππππππππ οΏ½2 οΏ½ ππππππ οΏ½2 οΏ½ (ππ β ππ ) = ππ ππ 2 ππππππ οΏ½2 οΏ½ ππππππ 2 οΏ½2 οΏ½
ππ 2 ππ ππ β ππ (ππ + ππ )π‘π‘π‘π‘π‘π‘ οΏ½2 οΏ½ β 2ππππππππ οΏ½2 οΏ½ ππ 2ππ ππ ππ β ππ = β β΄ π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 οΏ½ οΏ½ β π‘π‘π‘π‘π‘π‘ οΏ½ οΏ½ = 2 ππ + ππ 2 ππ + ππ ππ + ππ ππ + ππ 19.- Piden: E min =??
Dato:
Clave B
πΈπΈ =
2 + 2cosβ‘ (ππ β ππ) π π π π π π 2ππ + π π π π π π 2ππ + 2π π π π π π β‘(ππ + ππ)
π π π π π π π π + π π π π π π π π = ππ β 2π π π π π π οΏ½
ππππππππ + ππππππππ = ππ β 2ππππππ οΏ½
Dividiendo (1) y (2)
ππ+ππ 2
οΏ½ ππππππ οΏ½
ππβππ 2
οΏ½ = ππ β¦ β¦ β¦ β¦ . (1)
ππ + ππ ππ β ππ οΏ½ ππππππ οΏ½ οΏ½ = ππ β¦ β¦ β¦ β¦ . (2) 2 2 PΓ‘gina 7
Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA π‘π‘π‘π‘π‘π‘ οΏ½
ππ + ππ ππ οΏ½= 2 ππ
ππ + ππ 1 + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 οΏ½ 2 οΏ½ 2 + 2cosβ‘ (ππ β ππ) πΈπΈ = = ππ + ππ 2π π π π π π (ππ + ππ) (1 + cosβ‘ (ππ β ππ) 2π‘π‘π‘π‘π‘π‘ οΏ½ 2 οΏ½ πΈπΈ =
1 ππ ππ οΏ½ + οΏ½, 2 ππ ππ
ππ ππ ππππππππ οΏ½ + οΏ½ β₯ 2 ππ ππ
β΄ πΈπΈππππππ = 1
20.- Piden: transformar a producto βMβ ππ =
Clave C
8(π‘π‘π‘π‘π‘π‘2πΌπΌ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2π½π½ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2ππ) π‘π‘π‘π‘π‘π‘4πΌπΌ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘4π½π½ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘4ππ
Dato: π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ = π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ se cumple βΆ Ξ± + Ξ² + ΞΈ = kΟ ; k β β€ 2πΌπΌ + 2π½π½ + 2ππ = 2kΟ
ππ = ππ 21.-
4πΌπΌ + 4π½π½ + 4ππ = 4kΟ
8(π‘π‘π‘π‘π‘π‘ π‘π‘π‘π‘π‘π‘2πΌπΌ. π‘π‘π‘π‘π‘π‘2π½π½. π‘π‘π‘π‘π‘π‘2ππππ ) )(1 β π‘π‘π‘π‘ )(1 β π‘π‘π‘π‘π‘π‘ β β΄ ππ ππ = (1 β π‘π‘π‘π‘π‘π‘2π‘π‘π‘π‘π‘π‘ 2πΌπΌπΌπΌ π‘π‘π‘π‘π‘π‘2ππ2π½π½πΌπΌ π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 2πΌπΌ ππ) π‘π‘π‘π‘π‘π‘4πΌπΌ. π‘π‘π‘π‘π‘π‘4π½π½. π‘π‘π‘π‘π‘π‘4ππππ π‘π‘π‘π‘π‘π‘ ππ
πΌπΌ
π½π½
Piden π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 2 .ππππππ 2 2 .ππππππ 2 2 β2 ππππππππ +ππππππππ
Del dato ππππππππ = 1+ππππππππ .ππππππππ Por proporciones Por degradaciΓ³n
Por lo tanto
1 + ππππππππ 1 + ππππππππ. ππππππππ + ππππππππ + ππππππππ = 1 β ππππππππ 1 + ππππππππ. ππππππππ β ππππππππ β ππππππππ ππππππ 2
ππ (1 + ππππππππ )(1 + ππππππππ) = 2 (1 β ππππππππ )(1 β ππππππππ)
ππππππ 2
ππ πΌπΌ π½π½ = ππππππ 2 . ππππππ 2 2 2 2
PΓ‘gina 8
Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA ππ
πΌπΌ
π½π½
π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 2 .ππππππ 2 2 .ππππππ 2 2 β2 = -1 22.-
Piden:
15ππ
4π π π π π π 2 17ππ 15ππ ππππππ βππππππ 2
2
Del dato: cscππ + ππππππ2ππ + ππππππ4ππ + ππππππ8ππ = ππ ππ
Sea :
cscππ = ππππππ 2 β ππππππππ
csc2ππ = ππππππππ β ππππππ2ππ
csc4ππ = ππππππ2ππ β ππππππ4ππ csc8ππ = ππππππ4ππ β ππππππ8ππ
Sumando:
ππ
Cscππ + ππππππ2ππ + ππππππ4ππ + ππππππ8ππ = ππππππ 2 β ππππππ8ππ
15ππ 15ππ π π π π π π 2 π π π π π π 2 π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ ππ ππ = οΏ½β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―οΏ½ = ππ β15ππ 17ππ 2 π π π π π π 2 . π π π π π π 8ππ cos οΏ½ 2 οΏ½ β cosβ‘ ( 2 )
Por lo tanto:
23.-
15ππ 4π π π π π π 2 = β2ππ 17ππ 15ππ ππππππ 2 β ππππππ 2
Piden: π‘π‘π‘π‘π‘π‘6 ππ β 21π‘π‘π‘π‘π‘π‘4 ππ+35π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ Del dato:
2(2π π π π π π 4ππππππππ4ππ) β(2π π π π π π 3ππππππππ3ππ ) π π π π π π 3ππ = 2ππππππ 2 4ππ ππππππ3ππ
π‘π‘π‘π‘π‘π‘4ππ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘3ππ = 0 β π π π π π π 7ππ = 0 ; 7ππ = πΎπΎπΎπΎ , πΎπΎ ππππ
π‘π‘π‘π‘π‘π‘2ππ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2ππ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘3ππ = π‘π‘π‘π‘π‘π‘2ππ. π‘π‘π‘π‘π‘π‘2ππ. π‘π‘π‘π‘π‘π‘3ππ 2π‘π‘π‘π‘π‘π‘2ππ = π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 2ππ β 1 π‘π‘π‘π‘π‘π‘3ππ
4π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘(1 β 3π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ) οΏ½2π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + (1 β π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ )οΏ½(2π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ β (1 β π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ )) = (1 β π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ ) 3π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ β π‘π‘π‘π‘π‘π‘3 ππ
PΓ‘gina 9
Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA
4 β 16π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ + 12π‘π‘π‘π‘π‘π‘4 ππ = 19π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ β 9π‘π‘π‘π‘π‘π‘4 ππ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘6 ππ β 3
Por lo tanto:
π‘π‘π‘π‘π‘π‘6 ππ β 21π‘π‘π‘π‘π‘π‘4 ππ+35π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 ππ = 7
24.Sea
ππ β2π π π π π π οΏ½π₯π₯ β 4 οΏ½ (π π π π π π 2π₯π₯ + (π π π π π π π π + ππππππππ )2 ) ππ = ππ cosβ‘ (3π₯π₯ β 4 ) ππ ββ2π π π π π π οΏ½π₯π₯ β 4 οΏ½ (2 cos(90Β° β 2π₯π₯ ) + 1) ππ = ππ cosβ‘ (4 β 3π₯π₯) ππ =
ββ2π π π π π π (135Β° β 3π₯π₯ ) ππ cosβ‘ (4 β 3π₯π₯)
Por reducciΓ³n al primer cuadrante ππ =
ββ2π π π π π π (45Β°+3π₯π₯ ) ππ 4
cos β‘ ( β3π₯π₯ )
Por lo tanto ππ = ββ2 25.-
Piden π΄π΄ = cos(π½π½ + ππ + πΌπΌ ) + cos(π½π½ β ππ β πΌπΌ ) + cos(π½π½ + ππ β πΌπΌ ) + cosβ‘ (π½π½ β ππ + πΌπΌ)
Dato ππ = cos ππ . cos πΌπΌ. cos π½π½
π΄π΄ = 2cos π½π½ . cos(ππ + πΌπΌ ) + 2cos π½π½ . cos(ππ β πΌπΌ )
Por lo tanto π΄π΄ = 4ππ
π΄π΄ = 4cos ππ . cos πΌπΌ cos π½π½
PΓ‘gina 10
Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA 26.-
Piden eliminar la variable angular ππ) π₯π₯ = 2ππππππ
3ππ
ππ
ππππππ 2 β π₯π₯ = ππππππππ + ππππππ2ππ
2
π₯π₯ = ππππππππ + 2ππππππ 2 ππ β 1 β¦ β¦ β¦ . . (1)
ππππ) π¦π¦ =
π π π π π π 2 ππ
1βππππππππ
β π¦π¦ = ππππππππ + 1; ππππππππ = π¦π¦ β 1
En (1) π₯π₯ = (π¦π¦ β 1) + 2(π¦π¦ β 1) 2 β 1 Por lo tanto π₯π₯ + 3π¦π¦ = 2π¦π¦ 2 27.-
Piden π‘π‘π‘π‘π‘π‘2π₯π₯ + ππππππ2π₯π₯ ; ππ, ππ > 0.
2π π π π π π 3π₯π₯. ππππππππ β π π π π π π 2π₯π₯ ππ ππ 3ππ = ; π₯π₯π₯π₯ β© ; βͺ ππππππ2π₯π₯ β 2π π π π π π 3π₯π₯. π π π π π π π π ππ 2 4 π‘π‘π‘π‘π‘π‘4π₯π₯ =
ππ ; ππππππππππππ βΆ 4π₯π₯π₯π₯ β©2ππ; 3ππβͺ ππ
ππ
π‘π‘π‘π‘ππ2π₯π₯ + ππππππ2π₯π₯ = 2ππππππ4π₯π₯ = 2 οΏ½π¦π¦ οΏ½ = Por lo tanto π‘π‘π‘π‘π‘π‘2π₯π₯ + ππππππ2π₯π₯ =
2βππ 2 +ππ 2
2βππ 2 +ππ 2
ππ
, r: radio vector. Y: ordenada.
ππ
π΄π΄+π΅π΅
28. Piden: ππ+ππ de:
Clave E
(2ππππππ2π₯π₯. ππππππ3π₯π₯ β ππππππππ )2 = π΄π΄ + π΅π΅ππππππ 2 (ππππ) οΏ½
β΄
2ππππππ2π₯π₯ 1 2 2π π π π π π π π . ππππππ2π₯π₯ β π π π π π π 3π₯π₯ 2 π π π π π π 3π₯π₯ β π π π π π π π π β π π π π π π 3π₯π₯ 2 β οΏ½ =οΏ½ οΏ½ =οΏ½ οΏ½ π π π π π π 3π₯π₯ π π π π π π π π π π π π π π 3π₯π₯. π π π π π π π π π π π π π π 3π₯π₯. π π π π π π π π
π΄π΄+π΅π΅
ππ+ππ
=> ππππππ2 π₯π₯ = 1 + ππππππ 2 π₯π₯ = π΄π΄ + π΅π΅ππππππ 2 (ππππ)
=
2 5
π΄π΄ = 1 ; π΅π΅ = 1 ; ππ = 2 ; ππ = 3
Clave (A) PΓ‘gina 11
Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA 29. Piden:
8ππππππ 5 ππ+3ππππππππ 5+ππππππ 3 ππ
Dato: ππππππ5ππ= 100-cosππ
Del dato transformando a producto ππππππ5ππ+ cosππ = 100
2cos3ππ. ππππππ2ππ= 100 ο (4ππππππ 3 ππ β 3ππππππππ )(2ππππππ 2 ππ β 1) = 50 8ππππππ 5 ππ + 3ππππππππ β 10ππππππ 3 ππ = 50 8ππππππ 5 ππ + 3ππππππππ = 10 5 + ππππππ 3 ππ
Clave (E)
30. Piden: Valor de:
πΈπΈ = ππππππ 2 (2π₯π₯ ) + ππ. ππ
Dato:
π π π π π π 7π₯π₯ ππ + 1 = π π π π π π 3π₯π₯ ππ β 1
Por proporciones en ambos datos: Transformandoβ¦
;
ππππππ7π₯π₯ ππ + 1 = ππππππ3π₯π₯ ππ β 1
ππππππ7π₯π₯ + ππππππ3π₯π₯ π π π π π π 7π₯π₯ + π π π π π π 3π₯π₯ = ππ ; = ππ ππππππ7π₯π₯ β ππππππ3π₯π₯ π π π π π π 7π₯π₯ β π π π π π π 3π₯π₯
2π π π π π π 5π₯π₯. ππππππ2π₯π₯ 2ππππππ5π₯π₯. ππππππ2π₯π₯ = ππ ; = ππ 2π π ππππ2π₯π₯. ππππππ5π₯π₯ β2π π π π π π 5π₯π₯. π π π π π π 2π₯π₯ π‘π‘π‘π‘π‘π‘5π₯π₯ = ππππππππ2π₯π₯ ; ππππππ5π₯π₯ = βππππππππ2π₯π₯
Multiplicando ambas igualdades.
1 = βππ. ππ. π‘π‘π‘π‘π‘π‘2 2π₯π₯ β ππππππππ ππππ + ππ. ππ = ππ
31.- Piden el minimo valor de
Reduciendo.
Clave (A) ππ
si πΌπΌ, π½π½ ππ β©0, 2 βͺ
4 + cos(πΌπΌ + π½π½ ) β cosβ‘ (πΌπΌ β π½π½) πΌπΌ + π½π½ πΌπΌ β π½π½ ππππππ2πΌπΌ + ππππππ2π½π½ 2π π π π ππ οΏ½ 2 οΏ½ . ππππ π π οΏ½ 2 οΏ½+ 2
PΓ‘gina 12
Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA
4 β 2 sen πΌπΌ π π π π π π π π 4 β 2 senπΌπΌ π π π π π π π π β sen πΌπΌ + π π π π π π π π + cos(πΌπΌ + π½π½). cos(πΌπΌ β π½π½) sen πΌπΌ + π π π π π π π π + cos 2 πΌπΌ β sen2 π½π½ 4β2 sen πΌπΌ π π π π π π π π
sen πΌπΌ +π π π π π π π π +1β(sen 2 πΌπΌ +sen 2 π½π½ )
De los datos
1 + sen2 πΌπΌ > 2π π π π π π π π
sumando
1 + sen2 Ξ² > 2π π π π π π π π
sen2 πΌπΌ + sen2 π½π½ > 2 sen πΌπΌ π π π π π π π π
2 + 2(sen2 πΌπΌ + sen2 π½π½ ) > 2(sen πΌπΌ + π π π π π π π π + sen πΌπΌ . π π π π π π π π ) 1 + sen2 πΌπΌ + sen2 π½π½ > sen πΌπΌ + π π π π π π π π + sen πΌπΌ . π π π π π π π π
2 + sen2 πΌπΌ + sen2 π½π½ > sen πΌπΌ + π π π π π π π π + 1 + sen πΌπΌ . π π π π π π π π
4 β 2sen πΌπΌ . π π π π π π π π >2 sen πΌπΌ + π π π π π π π π + 1 β (sen2 πΌπΌ + sen2 π½π½)
Por lo tanto el minimo valor entero es 3
Clave E
32. Piden: Γrea de la regiΓ³n sombreada Datos:
πΌπΌ + π½π½: Es agudo.
ππ = ππππππ2πΌπΌ + ππππππ2π½π½ + 2cosβ‘ (πΌπΌ + π½π½)
ππ = π π π π π π 2πΌπΌ + π π π π π π 2π½π½ + 2senβ‘ (πΌπΌ + π½π½) Y
A(a; b)
ΞΈrad (0; 0)
X
οΆ ππ = ππππππ2πΌπΌ + ππππππ2π½π½ + 2cosβ‘ (πΌπΌ + π½π½)
ππ = 2cosβ‘ (πΌπΌ + π½π½)[cos(πΌπΌ β π½π½ ) + 1]
οΆ ππ = π π π π π π 2πΌπΌ + π π π π π π 2π½π½ + 2senβ‘ (πΌπΌ + π½π½)
ππ = 2senβ‘ (πΌπΌ + π½π½)[cos(πΌπΌ β π½π½ ) + 1]
El area del sector circular =
S
ππ = π‘π‘π‘π‘π‘π‘β‘ (πΌπΌ + π½π½) ππ
ππ ππ = πΌπΌ + π½π½ = ππππππππππππ( ) ππ
PΓ‘gina 13
Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA ππ =
1 2 ππππ 2
ππππππππΓ‘π π ππ 2 = ππ2 + ππ2 β ππ 2 = 4[cos(πΌπΌ β π½π½ ) + 1]2 πΌπΌ β π½π½ β΄ ππ = 8(πΌπΌ β π½π½)cos 4 β‘ ( ) 2
33.- Piden: el valor de :
Dato: π π π π π π οΏ½
23ππ 2
Del dato: π π π π π π οΏ½
+ πποΏ½ = 20ππ 2
107ππ 2 ) ππ = 65ππ ( 5 β ππ) 1 + cot 2 β‘ 1 β tan2 β‘ (ππ β
4 5
π¦π¦ ππ β πΌπΌπΌπΌπΌπΌ ππ
4
ππ
+ ππ + 2 + πποΏ½ = 5 β π π π π π π οΏ½ππ + οΏ½ 2 + πποΏ½οΏ½ = βππππππππ = 16 1β 9 1 β cot 2 β‘ (ππ) β7 ππ = β ππ = β β΄ ππ = 2 16 (ππ) 25 1 + cot β‘ 1+ 9
4 5
34.- de la siguiente igualdad:
π π π π π π (9ππ β ππ ) cos(9ππ β ππ ) tan(ππ β 3ππ) 1 7ππ = ; ππ β β© , 4ππβͺ ππ ππ 2 2 ππππππ(11 2 + ππ)ππππππ(15 2 + ππ) βπ π π π π π (ππ ) cos(ππ ) tan(ππ ) 1 1 = β ππππππππ = ; ππ β πΌπΌπΌπΌπΌπΌ βπ π π π π π (ππ)π‘π‘π‘π‘π‘π‘(ππ) 2 2 ππ π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ ππππ ππππππππππ ππππ: 2ππππ β
ππ ; ππ β β€ 3
7ππ ππ < 2ππππ β < 4ππ β ππ = 2 2 3
35.- Piden M/N
β΄ ππ = 11
ππ 3
ππ = ππ2 π π π π π π (3π₯π₯3600 + 900 ) β ππππππππππ (3π₯π₯3600 β 600 ) β ππ2 cosβ‘ (3π₯π₯3600 + 1800 ) ππ = ππ2 π π π π π π (900 ) β ππππππππππ (600 ) β ππ2 cosβ‘ (1800 ) ππ = ππ2 β 2ππππ + ππ2
ππ = ππ2 π‘π‘π‘π‘π‘π‘(4π₯π₯3600 β 1350 ) β ππππππππππ(4π₯π₯3600 β 900 ) + ππ2 cotβ‘ (4π₯π₯3600 + 1350 ) ππ = ππ2 β ππππππππππ(900 ) + ππ2 cot(1350 )
PΓ‘gina 14
Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA ππ = (ππ2 β ππ2 )
ππ (ππ β ππ)2 ππ ππ β ππ = ββ΄ = ππ (ππ β ππ)(ππ + ππ) ππ ππ + ππ
36.- Piden simplifique πΈπΈ =
ππππ ππ ππππ ππππππ βΆ (n=2)
ππ ππ cos(ππππ) β π π π π π π (3ππ 2 β ππ)π π π π π π (5ππ 2 + ππ) π π π π π π [(ππ + 1) ππ + ππ ]
πΈπΈ =
ππ ππ cos(2ππ) β π π π π π π (9 2 β ππ)π π π π π π (25 2 + ππ)
πΈπΈ =
ππ ππ cos(ππ) β π π π π π π (3 2 β ππ)π π π π π π (5 2 + ππ)
π π π π π π [3ππ + ππ ]
ππππ ππ ππππ ππππππππππ βΆ (n=1)
π π π π π π [2ππ + ππ ]
37.- Piden el valor de :
=
β΄ πΈπΈ = βπ π π π π π π π
=
; ππ β β€+
1 β ππππππππ. ππππππππ = βπ π π π π π π π βπ π π π π π π π
β1 + ππππππππ. ππππππππ = βπ π π π π π ππ π π π π π π π π
1000
ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ = οΏ½ π‘π‘π‘π‘π‘π‘ οΏ½(2ππ + 1) οΏ½ = π‘π‘π‘π‘π‘π‘ 3 + π‘π‘π‘π‘π‘π‘5 + π‘π‘π‘π‘π‘π‘7 + π‘π‘π‘π‘π‘π‘9 + β― + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2001 4 4 4 4 4 4 ππ=1
ππ ππ ππ ππ ππ = tan οΏ½ππ β οΏ½ + tan οΏ½ππ + οΏ½ + tan οΏ½2ππ β οΏ½ + tan οΏ½2ππ β οΏ½ + β― + 4 4 4 4 ππ tanβ‘ ((2ππ β 250) + ) 4
38.- Piden el valor de πΉπΉ οΏ½
ππ = β1 + 1 β 1 + 1 β 1 + β― + 1 β 1 β΄ ππ = 0
ππ οΏ½ ; π π π π 44
πΉπΉ (π₯π₯ ) = π π π π π π 3π₯π₯. π π π π π π 5π₯π₯ + π π π π π π 5π₯π₯. π π π π π π 3π₯π₯ + π π π π π π 7π₯π₯. π π π π π π 5π₯π₯ + β― + π π π π π π 21π₯π₯π₯π₯π₯π₯π₯π₯19π₯π₯ Multiplicando por 2 a F
2πΉπΉ (π₯π₯ ) = 2π π π π π π 3π₯π₯. π π π π π π 5π₯π₯ + 2π π π π π π 5π₯π₯. π π π π π π 3π₯π₯ + 2π π π π π π 7π₯π₯. π π π π π π 5π₯π₯ + β― + 2π π π π π π 21π₯π₯π₯π₯π₯π₯π₯π₯19π₯π₯
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Semestral Intensivo
TRIGONOMETRΓA
2πΉπΉ (π₯π₯ ) = 10ππππππ2π₯π₯ β (ππππππ4π₯π₯ + ππππππ8π₯π₯ + ππππππ12π₯π₯ + β― + ππππππ40π₯π₯ )
40 π π π π π π 2 π₯π₯ ππ 2πΉπΉ (π₯π₯ ) = 10ππππππ2π₯π₯ β ππππππ22π₯π₯ β ππππππππππππππππππ ππππππππ π₯π₯ = 44 π π π π π π 2π₯π₯ 40 ππ ππ ππ π π π π π π 2 . 44 ππ πΉπΉ οΏ½ οΏ½ = 10ππππππ β ππππππ β ππ 44 22 2 π π π π π π 2 44 39.- Piden: el valor de
β΄ πΉπΉ οΏ½
ππ ππ οΏ½ = 5cosβ‘ 44 12
(2ππ π₯π₯) πΈπΈ = π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘. π π π π π π 2π₯π₯ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2π₯π₯. π π π π π π 4π₯π₯ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘4π₯π₯. π π π π π π 8π₯π₯ + β― + tanβ‘ (2ππβ1 π₯π₯)secβ‘
π π π π π π (2π₯π₯ β π₯π₯) π π π π π π (4π₯π₯ β 2π₯π₯) π π π π π π (8π₯π₯ β 4π₯π₯) π π π π π π (2ππ π₯π₯ β 2ππ β1 π₯π₯) πΈπΈ = + + + β―+ ππππππππ. ππππππ2π₯π₯ ππππππ2π₯π₯. ππππππ4π₯π₯ ππππππ4π₯π₯. ππππππ8π₯π₯ ππππππ2ππβ1 π₯π₯. ππππππ2ππ π₯π₯
πΈπΈ = π‘π‘π‘π‘π‘π‘2π₯π₯ β π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘4π₯π₯ β π‘π‘π‘π‘π‘π‘2π₯π₯ + π‘π‘π‘π‘π‘π‘8π₯π₯ β π‘π‘π‘π‘π‘π‘4π₯π₯ + β― + π‘π‘π‘π‘π‘π‘2ππ π₯π₯ β π‘π‘π‘π‘π‘π‘2ππ β1 π₯π₯
Simplificandoβ¦
β΄ πΈπΈ = π‘π‘π‘π‘π‘π‘2ππ π₯π₯ β π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘π‘ 40.- Piden el valor de:
π
π
= 4 csc 2(2ππ ) + 4sec 2 (2ππ)+ 42 sec 2 (4ππ ) + 43 sec 2 (8ππ ) + β― + 4ππβ1 sec 2 (2ππβ1 ππ)
β 4 (csc 2(2ππ ) + sec 2 (2ππ))
= 4 (csc 2(2ππ ) . sec2 (2ππ. )) =
42 csc 2(4ππ ) +42 sec 2(4ππ )
4.4
(2ππππππ 2ππ .π π π π π π 2ππ) 2
= 42 csc 2(4ππ )+42 sec 2(4ππ )
43 csc 2(8ππ ) +43 sec 2(8ππ ) β¦
4ππ β1 csc 2( 2ππβ1 ππ ) +4ππβ1 sec 2(2ππ β1 ππ ) π
π
= 4ππ csc 2(2ππ ππ )
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