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República bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular Para La Educación Universitaria Instituto Universitario de Educación Especializada IUNE

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SUCESOS ALEATORIOS

Integrantes: Joselin González Jose Ochoa Yenireth Sánchez

Santa Bárbara de Zulia, Septiembre del 2015

SUCESOS ALEATORIOS Llamamos Suceso de un experimento aleatorio (o simplemente Suceso Aleatorio) a cada uno de los subconjuntos del Espacio Muestral E. El Conjunto de todos los sucesos de un experimento aleatorio se denomina Espacio de Sucesos y se representa por la letra S. PROBABILIDAD El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte. Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos Clasificación de los sucesos Suceso elemental Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.

Suceso compuesto Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3. Suceso seguro Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. Suceso imposible Suceso imposible,

, es el que no tiene ningún elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7. Sucesos compatibles Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común. Sucesos incompatibles Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles. Sucesos independientes Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Al lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos dependientes Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Extraer

dos

cartas

de

una

baraja,

sin

reposición,

son

sucesos

dependientes. Suceso contrario El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por

.

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

LEYES DE PROBABILIDAD La probabilidad mide las posibilidades de que un evento ocurra. Expresado matemáticamente, es igual al número de formas que un evento específico puede ocurrir, dividido por el número total de posibles eventos. Por ejemplo,

si tienes una bolsa con tres canicas, una azul y dos verdes, la probabilidad de tomar una canica azul sin mirar es de 1/3. Hay sólo un resultado posible de que se seleccione la canica azul, pero hay tres posibles resultados en total, azul, verde, verde. Usando el mismo razonamiento, la probabilidad de tomar una canica verde es de 2/3. Ley de números grandes Puedes descubrir la probabilidad desconocida de un evento a través de la experimentación. Usando

el

ejemplo

anterior, supongamos que

no

conocemos la probabilidad de sacar una canica de cierto color, pero si sabemos que hay tres canicas en la bolsa. Haces una prueba y sacas una canica verde. Haces otra prueba y sacas otra canica verde. En este punto podrías asegurar que la bolsa solo contiene canicas verdes, pero basado en dos pruebas la predicción no es confiable. Es posible que la bolsa solo contenga canicas verdes o puede que las otras dos sean rojas y tu seleccionaste solo las verdes secuencialmente. Si realizas la misma prueba 100 veces, probablemente descubras que seleccionaste una canica verde alrededor del 66 por ciento de las veces. Esta frecuencia refleja la probabilidad correcta más acertadamente que el primer experimento. Esta es la ley de números grandes: cuanto más pruebas realizas, más preciso será que la frecuencia del resultado de un evento refleje su probabilidad real. Ley de sustracción La probabilidad sólo tiene rango entre 0 y 1. Una probabilidad de 0 significa que no hay posibles resultados para un evento. En nuestro ejemplo anterior, la probabilidad de sacar una canica roja es cero. Una probabilidad de 1 significa que el evento ocurrirá en cada una de las pruebas. La probabilidad de sacar una canica verde o azul es 1. No hay otros posibles resultados. En una bolsa que contiene una canica azul y dos verdes, la probabilidad de sacar una verde es de 2/3. Es un número aceptable, ya que 2/3 es mayor

que 0 pero menor que 1, es decir, está dentro del rango de valores aceptables de probabilidad. Conociendo esto, puedes aplicar la ley de sustracción, que señala que si conoces la probabilidad de un evento, puedes señalar acertadamente la probabilidad de que dicho evento no ocurra. Sabiendo que la probabilidad de sacar una canica verde es de 2/3, puedes restar ese valor a 1 y determinar correctamente la probabilidad de no sacar una canica verde: 1/3. Ley de multiplicación Si quieres encontrar la probabilidad de que dos eventos ocurran en pruebas secuenciales, se usa la ley de la multiplicación. Por ejemplo, en lugar del ejemplo anterior de la bolsa con las tres canicas, digamos que es una bolsa con cinco canicas. Hay una azul ,dos verdes y dos amarillas. Si quieres encontrar la probabilidad de sacar una canica azul y una verde, en cualquier orden (y sin devolver la primera canica a la bolsa), busca la probabilidad de sacar una azul y la probabilidad de sacar una verde. La probabilidad de sacar una canica azul de la bolsa de cinco es de 1/5. La probabilidad de sacar una canica verde de entre las restantes es de 2/4, o 1/2. Aplicar correctamente la ley de multiplicación implica multiplicar las dos probabilidades, 1/5 y 1/2, obteniendo 1/10. Esto expresa la probabilidad de que ambos eventos ocurran juntos. Ley de suma Aplicando lo que sabes de la ley de multiplicación, puedes determinar la probabilidad de que sólo uno de dos eventos ocurra. La ley de suma plantea que la probabilidad de que uno de dos eventos ocurra es igual a la suma de las probabilidades de que cada evento ocurra individualmente, menos la probabilidad de que ambos ocurran. En la bolsa de cinco canicas, digamos que quieres saber la probabilidad de sacar una canica azul o una verde. Suma la probabilidad de sacar una azul (1/5) a la probabilidad de sacar una

verde (2/5). La suma es 3/5. En el ejemplo anterior, expresando la ley de multiplicación, encontramos que la probabilidad de sacar una canica azul y una verde es de 1/10. Restando esto a la suma de 3/5 (o 6/10 para una sustracción más simple) nos da una probabilidad final de 1/2.

CALCULO DE PROBABILIDADES PARA DISTINTAS

CLASES DE

SUCESOS Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene. Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está contenido en el suceso b). P(A) = 1/6 = 0,166 P(B) = 3 / 6 = 0,50 Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b). b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos. P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6. Su probabilidad será por tanto: P(A L B) = 2 / 6 = 0,33 d) Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6. P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50 P (A L B) = 2 / 6 = 0,33 Por lo tanto: P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666 e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacío y por lo tanto no hay que restarle nada).

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a: P(A) = 2 / 6 = 0,333 P(B) = 1 / 6 = 0,166 Por lo tanto: P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50 f)

Sucesos

complementarios:

la

probabilidad

de

un

suceso

complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A) Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar. La probabilidad del suceso (A) es igual a : P(A) = 3 / 6 = 0,50 Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a: P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50 Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles": P(B) = 3 / 6 = 0,50 g) Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a 1. Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:

P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50 Por lo tanto:P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1

Distribución de probabilidad En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

CONSTRUCCION DE LA CURVAS NORMALES La curva normal puede utilizarse para describir distribuciones de puntajes, para interpretar la desviación estándar y para hacer un informe de probabilidades. Veremos que la curva normal es un ingrediente esencial en la toma de decisiones en estadística, por medio de la cual el investigador social generaliza sus resultados de muestras a poblaciones. La curva normal es un tipo de curva uniforme y simétrica cuya forma recuerda a muchos una campana y por tanto se le conoce como la “curva en forma de campana”. Tal vez el rasgo más sobresaliente de la curva normal es su simetría: si

doblamos la curva en su punto más alto al centro, crearíamos dos mitades iguales, cada una fiel imagen de la otra. Además, la curva normal es unimodal, ya que solo tiene un pico o punto de máxima frecuencia –aquel punto en la mitad de la curva en el cual coinciden la media, la mediana y la moda– (el alumno recordara que la media, la mediana y la moda ocurren en distintos puntos en una distribución sesgada).). EL ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL Para poder emplear la curva normal en la resolución de problemas, debemos familiarizarnos con el área bajo la curva normal: aquella área que está bajo la curva y la línea base y que contiene el 100 por ciento, o todos los casos, en una distribución normal dada.Podríamos encerrar una porción de esta área total dibujando una línea a partir de dos puntos cualesquiera en la línea base hasta la curva. Como veremos, una proporción una proporción del área total, bajo la curva normal, estará entre la media y cualquier distancia dada de X, medida de unidades DE. Esto es cierto a pesar de la media y la DE de la distribución en particular, y se aplica universalmente a todos los datos normales distribuidos.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso,

con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli. Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

APROXIMACIONES DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p). Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos. Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).

DISTRIBUCIÓN DE POISSON En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros". Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).