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Procesos Aleatorios

Dr. Boris Ramos

Procesos Aleatorios 

Existen 2 tipos de modelos matemáticos acerca de fenómenos físicos:  Deterministicos  Estocásticos



Un modelo es “Deterministico” si no hay incertidumbre acerca de su comportamiento dependiente del tiempo en cualquier instante.



Un modelo es “Estocástico” puede ser descrito en términos probabilísticos, es la probabilidad de que un valor futuro se encuentre entre 2 limites específicos.

Procesos Aleatorios 

No es posible predecir el valor exacto de una señal aleatoria. Sin embargo, es posible describirla en parámetros estadísticos como: ◦ ◦

Potencia Promedio Densidad Espectral de Potencia.

PROPIEDADES ALEATORIOS

DE

LOS

PROCESOS

1. Son funciones del tiempo 2. No es posible definir con anticipación y exactitud las formas de la señal (experimentales) que se observaran en el futuro.

Procesos Aleatorios

Procesos Aleatorios 

El espacio muestral compuesto por varias funciones (aleatorias) de tiempo se denomina PROCESO ALEATORIO O ESTOCÁSTICO.

Procesos Aleatorios 

CONJUNTO DE FUNCIONES DE LA MUESTRA

Procesos Aleatorios 

A cada punto S del espacio muestral se le asigna una función de tiempo de acuerdo con la regla X t , s ; - T  t  T



Para un punto fijo Sj de la muestra, la función de tiempo t recibe el nombre de “función de la muestra” y se denota x t  como: X t, s j



  j

Una variable aleatoria se constituye por el conjunto de números que se observan para un tiempo fijo tk (dentro del intervalo de {información): X1 tk , X 2 tk ,...., X n tk }  {X1 tk , S1 , X 2 tk , S2 ,...., X n tk , Sn }

Procesos Aleatorios 

El grupo o familia de variables aleatorias {X(t, s)} constituyen un proceso aleatorio. También se puede suprimir la S y simplemente utilizar X(t) para denotar un proceso aleatorio.

DIFERENCIAS ENTRE VARIABLES ALEATORIAS

PROCESOS

Y

◦ Para una variable aleatoria el resultado de un experimento aleatorio se transforma en un numero. ◦ El resultado de un proceso aleatorio se transforma en una forma de onda que es una función del tiempo.

Procesos Aleatorios Procesos Estacionarios

Dr. Boris Ramos

Procesos Estacionarios 

Si un proceso aleatorio es dividido en varios intervalos de tiempo, y las distintas secciones de este exhiben en esencia las mismas propiedades estadísticas, este será ESTACIONARIO.



Un proceso aleatorio X(t) iniciado en t=- es estrictamente estacionario, si las Funciones de Distribución Conjuntas de cualquier conjunto de variables aleatorias obtenidas al observar el proceso aleatorio X(t), es invariante con respecto a la ubicación del origen t=0. Esto es: FX t1 ...... X tk    X 1 ,..... X k   FX t1...... X tk   X 1 ,..... X k  para todo , k, y todas la elecciones de los tiempos de observación t1,…….,tk

Procesos Estacionarios 

Se puede afirmar que 2 procesos aleatorios X(t) y Y(t) son en conjunto estrictamente estacionarios, si las Funciones de Distribución Conjuntas de los 2 conjuntos de variables aleatorias X(t1),…….X(tk) y Y(t1’),……..Y(tj’), son invariables con respecto al origen t=0, para todas las elecciones de los tiempos de observación t1,…..tk y t1’,…….tj’

Procesos Estacionarios Propiedades de los Procesos Estacionarios 

Dado:



Para k=1, tenemos que la Función Distribución de Primer Orden de un Proceso Aleatorio Estacionario es independiente del tiempo:

FX t1 ..... X tk    X 1 ,..... X k   FX t1..... X tk   X 1 ,..... X k 

FX t   X   FX t    X ; para todo t y  

Para k=2 y =-t1, tenemos que la Función Distribución de Segundo Orden de un Proceso Aleatorio Estacionario solo depende de la diferencia de tiempo entre la observación y no de los particulares.

FX t1 , X t2   X 1 , X 2   FX 0 , X t2 t1   X 1 , X 2 ; para todo t 1 y t 2

Procesos Estacionarios 

PROBABILIDAD DE UN EVENTO CONJUNTO

Procesos Estacionarios 

CONCEPTO DE ESTACIONARIEDAD

MEDIA, CORRELACION Y COVARIANZA  

Considere un proceso aleatorio estrictamente estacionario. La media del proceso X(t) se define como el valor esperado de la variable aleatoria obtenida al observar el proceso en algún tiempo t.  X t    X t

  



 X t    xf X t  x  dx 



Hemos visto que FX(t)(x)=FX(x) no es función del tiempo por lo que ƒX(t)(x) también es independiente del tiempo. Entonces la media de un proceso aleatorio estrictamente estacionario es una constante.  ; para todo t

 X t   X

MEDIA, CORRELACION Y COVARIANZA 

La función auto correlación del proceso X(t) es el valor esperado del producto de 2 variables aleatorias X (t1) y X (t2), obtenido al observar el proceso X (t) en los tiempos t1 y t2. De la siguiente manera: RX t1 , t 2   X t1 X t 2 

RX t1 , t 2  

 

 x x

1 2

f x t1 , x t2  ( x1 , x2 ) dx1dx2

  



Donde ƒX(t1), X(t2)(x1, x2) es la función densidad de probabilidad de segundo orden del proceso. Este depende de la diferencia de los tiempos t2 - t1

MEDIA, CORRELACION Y COVARIANZA 

La función auto correlación se puede reescribir de la siguiente manera:

RX t1 , t2   RX t2  t1 ; para todo t1 y t2 

La función auto covarianza de un proceso estrictamente estacionario se define:

C X t1 , t2    X t1    X  X t2    X   RX t2  t1    X2



Los procesos aleatorios que satisfacen las ecuaciones (X, Rx(t2-t1), Cx(t2-t1)) se conocen como procesos débilmente estacionarios o procesos estacionarios

FUNCIÓN DE AUTO CORRELACIÓN

FUNCIÓN DE AUTO CORRELACIÓN

FUNCIÓN DE CORRELACIÓN CRUZADA

Transmisión de un Proceso Aleatorio a través de un Filtro Lineal Invariante en el Tiempo



Y t    h 1 X t   1 d 1 



Se puede derivar lo siguiente:

Y t   Y t    x H 0

Transmisión de un Proceso Aleatorio a través de un Filtro Lineal Invariante en el Tiempo 

La función de auto correlación del proceso aleatorio a la salida:

RY t , u   Y t Y u 



Cuando la entrada X(t) es un proceso estacionario, el sistema es estable, y el valor cuadrático medio E[X2(t)] es finito se tiene:

RY   

 

  h h R    1

2

X

1

  2 d 1d 2





Puesto que RY(0) = E[Y2(t)] tenemos:



 

   h h

 Y 2 t  

1



2

RX  2  1 d 1d 2

Densidad Espectral de Potencia 

 

   h h

 Y 2 t  

1

2

RX  2   1 d 1d 2

  







 Y t    df H  f  2

 2





 R  exp j 2 X

f  d



La Densidad Espectral de Potencia o Espectro de Potencia del Proceso Estacionario X(t) se define como: 

S X  f    RX   exp j 2 f  d 



El valor cuadrático medio del proceso de salida es:



  H f 

 Y t   2





2

S X  f df

Densidad Espectral de Potencia de Un Filtro de Banda Angosta



Si f es mucho mas pequeño que fc y Sx(fc) (densidad espectral de potencia evaluada en f=fc) es una función continua tenemos:





 Y t   2f S X  f c  2

Relación Entre Densidades Espectrales de Potencia de Procesos Aleatorios de Entrada y Salida SY  f  



 R  exp j 2  Y

f  d



  



   h h R    1

2

X

1

  2  exp j 2  f  d 1d 2 d

 



Al hacer  - 1 + 2 = o y  = o + 1 - 2



Lo que nos da:

SY  f   H  f H *  f S X  f  SY  f   H  f  S X  f  2



La densidad espectral de potencia del proceso de salida es igual a la densidad espectral de potencia del proceso de entrada X(t) multiplicado por la magnitud de la respuesta en frecuencia del filtro al cuadrado.

Procesos Aleatorios Procesos Gaussiano (PG)

Dr. Boris Ramos

Proceso Gaussiano (PG) 

Definamos a Y como una funcional lineal del proceso aleatorio X(t) de la sgte. manera: T

Y   g t X t dt 0

Donde g(t) es una función que sirve para ponderar el proceso aleatorio X(t)  El proceso X(t) es Gaussiano si cada funcional lineal de X(t) (esto es Y) es una variable aleatoria Gaussiana.  Decimos que la variable aleatoria Y tiene una distribución Gaussiana, si su función densidad esta definida como:   y  Y 2  1 fY  y   exp  2 2 Y  2 Y  

Proceso Gaussiano (PG)

Proceso Gaussiano (PG)

Proceso Gaussiano (PG) Propiedad #1 

Si se aplica un proceso Gaussiano X(t) a un filtro lineal e invariante en el tiempo, entonces el proceso aleatorio Y(t) que se desarrolla a la salida también es Gaussiano.

Proceso Gaussiano (PG) Propiedad #2 

Consideremos el conjunto de variables aleatorias X(t1), X(t2), X(t3), ……., X(tn), obtenido al observar un proceso aleatorio X(t) en los tiempos t1, t2, t3, ……, tn.



Si el proceso X(t) es Gaussiano, entonces ese conjunto de variables aleatorias es Gaussiano conjuntamente para toda n, entonces su función densidad de probabilidad conjunta enésima está determinada al especificar completamente el conjunto de medias:

 X t   X ti ; i  1, 2, ...., n i

Y el conjunto de funciones de covarianza:

C X t k ti   X t k    X ti  X ti    X ti  ; k, i  1, 2, ...., n

Proceso Gaussiano (PG) Propiedad #3 

Si un proceso Gaussiano es estacionario, entonces el proceso también es estrictamente estacionario.

Proceso Gaussiano (PG) Propiedad #4 

Si las variables aleatorias obtenidas al observar un proceso Gaussiano X(t) en los tiempos t1, t2, …., tn, no están correlacionadas, esto es:





CovX tk X ti    X tk    X tk  X ti    X ti    0, para i  k

Entonces las variables aleatorias independientes estadísticamente.

son

Proceso Gaussiano (PG) Propiedad #4 

Entonces las funciones densidad de probabilidad de las variables aleatorias individuales del conjunto, pueden expresarse como:  xi   xi 2  f xi xi   exp 2 1 2  i  2  2  i  1