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FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Funciones de ganancia: La subsidiaria en México de la compañía Thermo- Master fabrica un termómetro para interiores y exteriores. La gerencia estima que la ganancia (en dólares) que puede lograr la compañía por la fabricación y venta de x unidades de termómetro por semana es

Encuentre los intervalos donde la función de ganancia P es creciente y los intervalos donde p es decreciente Datos

Así cuando P(x) = 0 cuando x = 40000 ̀

x = 40000 Además (40000, (40000,

̀

para que x en el intervalo (0, 40000) y ̀ para x en el intervalo esto significa que la ganancia de P aumenta en (0, 40000) y disminuye en

2.- Velocidad promedio de un vehículo en una vía rápida: La velocidad promedio aproximado de un vehículo en un trecho de la ruta, entre las 6 AM y las 10 AM en un dia hábil común le da la función de

F(t) =

√

+50

(0≤x≤4) Donde F(t) se mide en millas por hora y t en horas con t = 0 correspondiente a las 6 AM. Determine el intervalo donde f es creciente, el intervalo donde f es decreciente e intérprete los resultados. Datos Ruta 134 entre las 6 AM y las 10 AM en un día hábil común da la función

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√ Donde F(x) se mide en millas de horas Con t = 0

6 AM

̀

(F (t)) = 10t^ (-3/2) = 10/∛t Al hacer F

= 0 se obtiene t = -1 como el único candidato para ser punto de inflexión de

3.- Costo promedio: El costo promedio en dólares de la producción de x discos de compactos en la compañía de discos Lincoln esta dado por:

̅̅̅ (x)=

(0≤x≤6000)

Muestre que ̅̅̅ (x) siempre es creciente en el intervalo (0,6000) Datos C= promedio en dólares X = producción de discos ̅̀ c ̅(x)= 4000/x^3 >0 ̅

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̅

̅

̅ ̅

̅ 4.- Contaminación del aire: De acuerdo con el distrito de Control de Calidad del Aire de la Costa Sur, el nivel de dióxido de nitrógeno, un gas oscuro que dificulta la respiración presente en la atmosfera del centro de Los Ángeles cierto día de mayo es aproximado por:

Donde A (t) se mide en un índice estándar de la contaminación y t se mide en horas, con t= 0 correspondiente a las 7 AM. ¿En qué momento del día aumenta la contaminación y en qué momento disminuye? Datos T= 0

7 AM

5.- Fondos proyectados para la seguridad social: Con base a los datos de administración de la seguridad social, el efectivo estimado en el fondo en 1995 estaba dado por:

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Donde A (t) se mide en miles de millones de dólares y t en décadas, con t= 0 corresponde al año 1995. Determine el intervalo donde A es creciente y el intervalo donde A es decreciente e intérprete los resultados. Sugerencia utilice la formula cuadrática. Datos Resolución con formula cuadrática √ ̀

̀

=

√

=

1=

2

-3,2 INTERVALO DECRECIENTE

= 0,47

INTERVALO CRECIENTE

6.- Incremento de servicios generales: Casi la mitad de las compañías dejan que otras empresas administren algunas de sus operaciones en red, practica llamada Web Hosting. Los servicios gerenciales (controlar los servicios tecnológicos de un cliente) es la parte con mayor crecimiento del Wed Hsting que las ventas por tales servicios crezcan de acuerdo a la función

Donde f (t) se mide en miles de millones de dólares y t se mide en años, con f = 0 correspondiente al año 1999 a. Halle el intervalo donde f es creciente y el intervalo donde f es decreciente

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̀

Asi ̀ (x) = 0 cuando x = -0,806 ademas f(x) < 0 para que x en el intervalo (- 0, 806,0) y f(x)> 0 en el intervalo (0, esto significa que la función de ganancia ̀ (x) aumenta en (0, y disminuye en (- 0, 806,0). b. ¿Qué dicen estos resultados acerca de las ventas de servicios gerenciales de 1999 a 2005? Datos De 1999 a 2005 hay 6 años

7.- Ingresos por teléfonos celulares: De acuerdo con el estudio realizado en 1997, los ingresos (en millones de dólares) en el mercado de teléfonos celulares en Estados Unidos durante los próximos 6 años están dados aproximadamente por la función de R (t) = (0≤x≤6) Donde t se mide en años, con t-0 correspondiente a 1997 a. Halle los intervalos donde R es creciente y el intervalo donde R es decreciente. Intervalo donde R crece y decrece en 6 años (R) (t) = 0,09168t^2-0,90714t+4,81111 (R (t)) =0,18336t – 0,90714 = 0

La función de

es creciente cuando (0, 4,95) y decreciente (4,95,

b. ¿Qué dicen estos resultados acerca de los ingresos en el mercado de teléfonos celulares en Estados Unidos durante los años en cuestión?

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.

R (6)=

R (6)= 50,84 NOS DICE DE QUE EN LOS 6 AÑOS LOS INGRESOS DE 50,84 MILLONES. 8.- Suscripciones de teléfonos celulares: De acuerdo con un estudio realizado en 1997 el número de suscriptores (en miles) en el mercado de teléfonos celulares en los Estados Unidos durante los próximos 6 años están dados aproximadamente por la función R (t) = 0,09444 (0≤x≤6) DATOS t = 6 años

reemplazando en R (t)

R (6)= R (6)= R (6)= 84,44 LOS SUSCRIPTORES SERAN DE 84,44 MIL EN EL MERCADO DE CELULARES DE EEUU 9.- Efecto de la publicidad sobre los ingresos de un hotel: Los ingresos anuales totales de R del Hotel Miramar se relacionan con la cantidad de dinero x que gasta el hotel en publicidad mediante la función: (0≤x≤400)

R (t) = 0,003

Donde R y x se mide en miles de dólares. a. Determine el intervalo donde la grafica de R es cóncava hacia arriba y el intervalo donde la grafica de R es cóncava hacia abajo. ¿Cual es el punto de inflexión de R?

a. Intervalos de R donde se cóncava hacia arriba y abajo en el punto de inflexión de R ̀ (x) =

-2,7x+2

= 0,018X-2,7= 0 = 0,018(X-150) UNIV. ZORAIDA MERY ARRADIA PLATA

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AL HACER = 0 SE TIENE X= 150 SE CONSTITUYE QUE R ES CONCAVO EN LOS INTERVALOS ( Y CONCAVO ARRIBA EN LOS INTERVALOS (150,

11950

PUNTO DE INFLEXION

150

b. ¿Sería más beneficioso para el hotel incrementar ligeramente sus presupuestos para publicidad cuando este es de $140000 que cuando sea $160000? Datos Cuando es $ 140000 y $160000 R (140000) = 0,003(140000 R (140000) = 000000000008, 21 R (160000) = 0,003(160000 R (160000)= 0000000000001,23 NO SERA BANEFICIOSO POR LOS RESULTADOS PORQUE EL BENEFICIO SERA EN DECIMALES. 10-Efecto de la publicidad sobre las ventas: Las ventas totales S de la corporación de instrumentos de precisión Canon se relacionan con la cantidad de dinero x que Canon gasta en publicitar sus productos mediante la función

Donde S y x se miden en miles de dólares. Determine el punto de inflexión de la función Sy analice su significado UNIV. ZORAIDA MERY ARRADIA PLATA

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Datos Función→ S y X en miles de dólares Punto de inflexión=?

Y

S función ⁄ ⁄

Para x = 100 Para x = 100

El punto (100,4600) es un punto de inflexión de la función S 11.-Predicción de ganancias: Como resultado el mayor costo de energía, la tasa de crecimiento de las ganancias de la compañía Venice;con cuatro años de antigüedad; ha comenzado a declinar. La gerencia de Venice, después de consultar a expertos en energía; decide implantar ciertas medidas de conservación de energía para reducir la cuenta de la misma. El director general indica que, de acuerdo a sus cálculos, la tasa de crecimiento de las ganancias de Venice deberá incrementarse de nuevo dentro de cuatro años. Si las ganancias de Verdee (en cientos de dólares) dentro de x años están dadas por la función

Determine si la predicción del director general es precisa Sugerencia =Encuentre el punto de inflexión de la función P y estudie la concavidad de P Datos

Punto de inflexión

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=3

-18x+40

=6x-18=0 6x=18

x=3

X=-3 en función

Punto de inflexión es cóncava hacia arriba en

de la función P

cóncava hacia abajo en

y

12.-Eficacia de un obrero: Un estudio de eficacia realizado por la compañía de aparatos eléctricos Elektre mostro que el numero de walkie-talkies Space Commanderensamblados por el trabajador promedio t horas después de iniciar su jornada de trabajo a las 8 A.M está dada por: N (t) =

-9 +40t

(0≤t≤4)

¿En qué momento del turno matutino trabaja el obrero en su máxima eficacia? Datos

Estará en su máxima capacidad a la cuarta hora de trabajo en las 12 del medio dia13.-Costo de producción de calculadoras: Una subsidiaria de Elektra fabrica una calculadora poun Programable. La gerencia determina que el costo diario C(x) de producción de estas calculadoras (en dólares) es C(x) = 0.0001

-0.08

+40x+500

Donde x representa el número de calculadoras producidas. Encuentre el punto de inflexión de la función C e intérprete los resultados. Datos

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Punto de inflexión=? C^'(x) = 0,0003x^2-0,16x+40 C^"(x)= 3⁄5000x -0,16=0 3⁄5000x=0,16

x=266,67

Punto 1 → -266,67 Punto 1 en C(x)

El punto de inflexión será (-266, 67, 11920,20) de la función C(x) 14.-Costo promedio de producción de videodiscos: El costo promedio por disco (en dólares) cubierto por la compañía grabadora Herald para imprimir x videodiscos esta dado por la función de costo promedio ̅ a. Halle la asíntota vertical de ̅ (x) b. ¿Cual es el valor limite del costo promedio? Datos a)

Asíntota vertical ̅ (x) Asíntota de x = -1 Asíntota de y = -1

b) Cual es el valor del límite de ̅ (x) =

-1=-1

15.-PIB de un país en desarrollo: él producto interno bruto (PIB) aproximado de un país en desarrollo de 1992 al 2000 lo determina la función

Donde G (t) se mide en miles de dólares y t=0 corresponde al año 1992 Grafique la función G (t) e intérprete los resultados

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Datos G (t) t=0 → año 1992 t= 8 años porque es la diferencia de 1992 a 2000 G (8) = -0,2

+2,4

+60

G (8)= 111,2 111,2 en G (t) = G (111,2) = -0,2

+2,4

+60

G (111,2) = -245270,33 Punto de inflexión (-245270, 33, 111,2) 16.-Eficiencia de un obrero: un estudio de eficacia mostro que el numero de teléfonos inalámbricos ensamblados por un trabajador promedio en Delphi Electronics t horas después del inicio de labores de las 8 A.M está dado por: N (t) =-

+3 +10t

(0≤t≤4)

Trace la grafica de la función N e intérprete los resultados. Datos

56

PUNTO DE INFLEXION

4

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Cuando será las 8 AM el nivel de producción será de cero unidades Cuando será las 12 AM del medio día el nivel de producción será de 56 unidades. 17.-Maximinación de ganancias: la cantidad mensual demandada del disco de Walter Serkin con la sonata claro de luna de Beethoven, producida por phonola,se relaciona con el precio del disco. La ecuación

Relaciona la demanda con el precio donde p se denota el precio unitario en dólares y x es el número de discos demandados. Él costo mensual por la impresión y empacado de x copias de este disco clásico esta dado por:

Dólares. ¿Cuántas copias mensual debe producir phonola para maximizar sus ganancias? Sugerencia: Los ingresos son R(x) = px y las ganancias son P(x) = R(x)-C(x) Datos (0≤t≤12000)

P= -0.00042x+6

Para ganancia P(x)=R(x)-C(x) P(x)=-0, 00042

+6x-

P(x)=- 0,00042

+6x-600-2x+0,00002

Función ganancia 18.-Maximinación de ganancias: Un fabricante de raquetas de tenis ha determinado que el costo total C(x) (en dólares) por la producción de x raquetas por día esta dado por C(x)=400+4x+0.0001 .Cada raqueta debe venderse a un precio de p dólares, donde p se relaciona con x mediante la ecuación de demanda p=10-0.0004x.Si es posible vender todas las raquetas fabricadas, ¿Cuál es el nivel diario de producción que rinde la ganancia máxima para el fabricante?

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Datos C(x)=400+4x+0.0001

.

P = dólares se relaciona con x P = 10-0.0004x (x) = R(x) – Ct(x) (x) =

x-

(x) = 10x-0,004 (x) = -0,005

-400-4x-0,001

+6x-400

→ (x) = -0,005

+6x-400

Producción que rinde la ganancia máxima →

(x)= -0,01x+6 = 0 x = 600

SOL.

19.-Maximinación de ganancias: La demanda semanal del televisor a color de 25 pulgadas de Pulsar está dada por la ecuación de demanda

Donde p denota el precio unitario al moyoreo, en dólares, y x la cantidad demandada. La función de costo total semanal relacionada con la fabricación de estos televisores está dada por

Donde C(x) denota el costo total por la producción de x televisores .Encuentre el nivel de producción que rinde la ganancia máxima para el fabricante. Sugerencia: Utilice la formula cuadrática Datos (Max) ganancia→ P=-0.05x+600

(0≤t≤12 000)

Costo total P(x)=R(x)-C(x) Ganancia R(x)=P(x)+C(x)

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NIVEL DE PRODUCCION DE

(x)

20.-Maximizacion de ganancias: Una división de Chapman Corporation fabrica un radiolocalizador. El costo fijo semanal de la división es de $20000 y el costo variable por producir x radio localizadores semanales es

Dólares .La compañía logra un ingreso de

Datos

R(x) = -0,02

+150x

Ingreso (x) =?

(x) = R(x)-Ct(x)

Ct = Cu+Cf

√ √

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= 40,99 = -40,66 21.- Minimización del costo promedio: Suponga que la función de costo total por la fabricación de cierto producto es C(x)=0,2( dolares donde x representa las unidades producidas. Encuentre el nivel de producción que minimizara el costo promedio. Datos ⁄

Costo total C promedio → C(x) =

̅

C(x) = Min ([ ̅

= ̅

]=

⁄

= [̅

+ ]

=

Sol.

22.- Minimización del costo de producción: El costo total mensual en dólares, por la fabricación de x unidades de la cámara modelo MÍ en la corporación de instrumentos de presicion Cannon esta dado por la función

a. De la función de costo promedio. ̅ b. Proporcione el nivel de producción que arroje el menor costo promedio de producción. c. Encuentre el nivel de producción en que el costo promedio es igual al costo marginal. d. Compare el resultado de la parte ©con el de la parte (b) Datos Costo total C(x)= 0.025 +80x+10000 A) C.Promedio=? ̅ C ̅(x)=0,025x+80+(10.000)/x

Sol.

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b) (Min) I(x) =? → ̅

⁄

d) Los resultados son diferentes porque en c) nos pide igualar ) ̅ (Min) ̅

=CMg y en b)

23.- Minimización de costos de producción: El costo total diario, en dólares, por la producción de x cajas de salsa picante Texa-Pep en Trappee and Sons Inc, esta dado por la función

Utilice esta función para responder las preguntas planteadas en el ejercicio numero 55. Datos (Min) C(x)

C(x) = 0,000002

(Min) C(x) =

=

+5x+400

+5 Sol.

24.- Tiempo optimo de venta: El valor presente de una propiedad adquirida por un inversionista esta dado por la función P (t) =

√⁄

(0≤t≤8)

Donde P (t) se mide en dólares y t es el tiempo en años desde el presente. Determine el presente tiempo óptimo (con base en el valor presente) para que el inversionista venda la propiedad. ¿Cuál es el valor presente optimo de la propiedad?.

Datos

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√⁄

P (t)=

(0≤t≤8)

Valor del presente óptimo de propiedad para establecer el valor máximo Pe[ √⁄

(t) = Al hacer ⁄

⁄

(⁄ )

]

(t) = 0 se tiene

- 0,09 = 0 =

[

] se calcula

→

⁄

= 0,09 →

⁄

=

t = 7,72 .

7,72 en p (t) = 600779 $ el edificio costara este valor dentro de 7,72 años 25.- Máxima producción de petróleo: Se ha estimando que la producción total de petróleo de cierto pozo petrolero esta dado por:

Miles de barriles t días después de iniciar su producción. ¿En qué año el pozo estará produciendo a su máxima capacidad? t (t) = ? (t) =

(t) = -0,1t = 0 t = 0,1 OBTENDRA SU MAXIMA CAPACIDAD EN EL PRIMER AÑO 26.- Maximización de ingresos: Suponga que la cantidad demandada semanalmente de cierto vestido se relaciona con el precio unitario p mediante la ecuación de la demanda p=√ Donde p esta en dólares y x se refiere a los vestidos fabricados. ¿Cuantos vestidos deben fabricarse y venderse por semana para maximizar sus ingresos? SUGERENCIA R(x)=p*x Datos

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P=√

Ecuación de la demanda x =? R(x) = p·x [

⁄

] =[

R

]

=

√

=√

R(x) = √ P(x) = 800⁄

⁄

=0

=800

Deben fabricarse → x = 86,18 unidades Sol. 27.- Maximización de ingresos: la cantidad mensual demandada del reloj de pulso Sicard se relaciona con el precio unitario mediante la ecuación (0≤t≤20)

P=

Donde p se mide en dólares y x en millares. ¿Cuántos relojes se deben vender para obtener el ingreso máximo? x =? x = millares de cantidad P = en dólares P(x)= 50 = 0,01

+1

49 = 0,01 4900 = x = 70 Sol 28.-Maximizacion del ingreso: El ingreso promedio se define como la función

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Demuestre que si la función de ingreso R(x) es cóncava hacia abajo [ ], entonces el nivel de ventas que produce el mayor ingreso promedio aparece cuando ̅ (x)= ̀ (x). (Max) P(x) =? ̅

Ingreso promedio R(x) es cóncava ̅ (x) =

(x)

R ̅(x) = (aR ̅(x))/ax = (0(0,01x^2+1)-50(0,02x))/〖 (0,01x^2+1) 〗^2 R ̅(x) = R^'(x) (

→

=-

)

Sol. 29.- PIB DE UN PAIS EN DESARROLLO: El producto interno bruto aproximado de un país en desarrollo de 1993 a 2001 se obtiene mediante la función

Donde G (t) se mide en miles de millones de dólares t= 0 corresponde al año 1993. Muestre que la tasa de crecimiento del PIB de ese país fue máxima en el año 1997. Para la concavidad es =

=

=

=

= =

(

(

)

)

( (

)

)

(

( )[( (

(

(

)

) )

]

)

)

0 ES CONCAVA HACIA ABAJO

SOL.

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30.- Superávit en seguro social: con base en los datos de la administración de la seguridad social, se puede obtener una aproximación del efectivo de los fondos para el retiroy discapacidad de seguro social mediante (0≤t≤6)

f (t)=

Donde f (t) se mide en millones de dólares y t se mide en años con t= 0 correspondiente a 1995.Muestre que el superávit de seguridad social tendrá su máximo nivel aproximado a la mitad del año 2018. Sugerencia: Muestre que t= 23,6811 (aproximadamente) en un punto crítico de ̀ (t) Datos F (t) =

(

̀ (t)=

t = 23,6811 punto crítico de ̀ (t)

SOLUCION

31.- Maximización de ganancias: Las ganancias mensuales de la agencia de viajes Odyssey (en miles de dólares) depende de la cantidad de x de dinero invertido en la publicidad cada mes, de acuerdo con la regla P(x)= Donde x también se mide en miles de dólares. ¿Cuál debe ser el presupuesto mensual en publicidad de Odyssey para maximizar las ganancias mensuales? X mide en miles de dorare Presupuesto para maximizar la ganancia ̀ (t)=

2x+8=0

2x=-8 X=-4 El presupuesto por mes será de 4 mil dólares para maximizar su ganancia mensual. 32.-Reservación de hoteles en línea: Se espera que la industria de reservaciones en línea cresca drásticamente. En un estudio realizado en 1999, los analistas proyectaron que el gasto por reservaciones en línea en los Estados Unidos es aproximadamente de

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Miles de millones de dólares, donde f se mide en años y t=0 corresponde a 1999 a. Muestre que f es creciente en el intervalo (0,6) F(0,6) es creciente porque se parte desde el punto de origen al punto 6 b. Muestre que la grafica de f es cóncava hacia arriba en (0,6)

F(t)

F(t) =

6 4 2

-6

-4

-2

2

4

6

t

c. ¿Qué dicen los resultados de la parte (a) y (b) acerca del crecimiento del gasto por reservaciones en línea durante los años en cuestión? En los 6 años crece porque transcurren 6 años 33.-Indice de cantidad ambiental: El departamento del interior de cierto país africano comenzó a registrar un índice de calidad ambiental para medir sus avances o retrocesos en la calidad ambiental de la vida salvaje .El índice durante los años 1984 a 1994 se aproxima mediante la función

a. Calculé (t) y muestre que

disminuye en el intervalo (0,10)

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̀

̀ ̀

̀ ̀

̀

b. Calcule

Solución

(t).Estudia la concavidad de la grafica de .

̀

̀ ̀

c. Trace la grafica de .

I(t) = 3 2 1

-3

-2

-1

1

2

3

t

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34.-Maximinación de ganancias: La demanda semanal de los videodiscos fabricados por la compañía grabadora Herald esta dad por: P=-0.0005

+60

Donde p denota el precio unitario en dólares y x la cantidad demandada. La función de costos totales por semana relacionada con la producción de estos discos está dada por:

Donde C(x) denota el costo total por la impresión de x discos. Halle el nivel de producción que genera la máxima ganancia para el fabricante. Sugerencia: Utilice la formula cuadrática

Datos P= -0,0005

XD

Ct = c(x) =

-0,0005 -0,0005 -0,0005

Max FORMULA CUADRATICA X= X= X=

√

√

x1 = -52,93 X2 = 53,07 UNIV. ZORAIDA MERY ARRADIA PLATA

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35.-Minimación de costo: El gasto total mensual (en dólares) en que incurre la compañía musical Carlota por la producción de x unidades de sus guitarras de la serie profesional esta dado por la función C(x)=-0.001

+100x+4000

a. Encuentre la función de costo promedio C . ̅ (X)= ̅ (X)=

̅ (X)= -0,001X+100+

solucion costo promedio

b. Determine el nivel de producción que genere el menor costo de producción promedio.

Para que sea el nivel de producción que genere el menor costo será reemplazado cero en la función ̅ (0)= -0,001(0)+100+ ̅ (0)= 100 sera el nivel de costo menor.

36.-Curvas de aprendizaje: El obrero promedio en Wakefield Avionics, Inc., puede ensamblar

Modelos de aeroplano controlados por radio, listos para volar, a t horas de comenzar su turno de trabajo, de las 8 A.M a las 12 del día. ¿En qué momento de su turno estará trabajando su máxima eficiencia? Datos N (0)= -2(0 N (0)= 0 N (4)= -2 N (4)= 72

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