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SOLVER Y TORA

Presentado por: Briceño Calderón, Karen Milena Cayao Coronel, José Elden Pinto Quispe, Deymi Jehes Ramos Burga, Hugo Enrique Villar Zamora, Raúl Augusto Vásquez Zelada, Jhenifer Jhoana

Ing. Franklin Montoya Toroverero SOFTWARE MINEROS Cajamarca, diciembre de 2017

Solver y Tora

Softwares mineros

Índice general 1. Introducción ...................................................................................................................5 2. Objetivos........................................................................................................................6 3. Solver en Excel 2016 .....................................................................................................7 3.1. Conceptos generales .............................................................................................. 7 3.2. Activación de Solver ............................................................................................. 7 3.3. Funcionamiento y uso de Solver ........................................................................... 9 3.3.1. Funcionamiento .............................................................................................. 9 3.3.2. Uso de Solver ................................................................................................. 9 3.3.3. Función objetivo ........................................................................................... 10 3.3.4. Variables ....................................................................................................... 11 3.3.5. Restricciones................................................................................................. 11 3.4. Mensajes .............................................................................................................. 12 3.5. Posibles soluciones de Solver .............................................................................. 12 3.6. Ejemplo para explicar funcionamiento de Solver................................................ 13 3.7. Ejercicio de aplicación en minería usando Solver ............................................... 22 3.7.1. Solución. ....................................................................................................... 23 3.7.2. Utilización de Solver. ................................................................................... 27 4. Tora..............................................................................................................................37 4.1. Definición ............................................................................................................ 37 4.2. Ventajas ............................................................................................................... 37 4.3. Funcionamiento TORA (versión 1.00) ................................................................ 38 4.3.1. Método Gráfico ............................................................................................ 46 4.3.2. Método simplex ............................................................................................ 47 4.4. Ejercicio de aplicación en minería usando TORA .............................................. 49 5. Conclusiones................................................................................................................60 6. Referencias bibliográficas ...........................................................................................61

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Índice de figuras Figura 1.

Opciones de Excel – opción Complementos. ........................................................ 8

Figura 2.

Complementos de Excel 2106................................................................................ 8

Figura 3.

Ventana principal de Excel 2016 en la pestaña Datos. .......................................... 9

Figura 4.

Parámetros de Solver ........................................................................................... 10

Figura 5.

Plantilla en Excel para solucionar el ejercicio. .................................................... 14

Figura 6.

Plantilla modelo en Excel para solucionar cualquier. Los signos encerrados con azul son los signos de las restricciones. ............................................................... 14

Figura 7.

Variables de decisión. .......................................................................................... 15

Figura 8.

Función objetivo. ................................................................................................. 15

Figura 9.

Restricción 1. ....................................................................................................... 16

Figura 10.

Hoja de cálculo completa. .................................................................................... 16

Figura 11.

Elección de la celda objetivo en Parámetros de Solver. ....................................... 17

Figura 12.

Elección de las celdas de variables de decisión en Parámetros de Solver. .......... 17

Figura 13.

Agregar celdas de restricciones en Parámetros de Solver. ................................... 18

Figura 14.

Parámetros de Solver lleno. Muestra la restricción de No Negatividad para las variables de decisión. ........................................................................................... 18

Figura 15.

Resultados de Solver, marcamos las opciones de informes para su revisión detallada. .............................................................................................................. 19

Figura 16.

Guardar escenario para su revisión posterior en el Administrador de escenarios. 19

Figura 17.

Administrador de escenarios ................................................................................ 19

Figura 18.

Resultados de Solver. El resultado es de 16 Tm de concentrado de Pb y 24 de Zn con un beneficio máximo de 1 360 000 Dólares. ................................................. 20

Figura 19.

Informe de respuestas........................................................................................... 20

Figura 20.

Ubicación del complemento SOLVER. ............................................................... 27

Figura 21.

Selección de la celda a maximizar. ...................................................................... 28

Figura 22.

Selección de las variables a solucionar. ............................................................... 29

Figura 23.

Selección de las restricciones. .............................................................................. 30

Figura 24.

Selección del método Simplex L P para la solución. ........................................... 31

Figura 25.

Finalizar con “Aceptar” ....................................................................................... 32

Figura 26.

Aceptar la solución dada por SOLVER ............................................................... 33

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Figura 27.

Pantalla inicial del Software Tora ........................................................................ 38

Figura 28.

Menú Principal - Tora .......................................................................................... 39

Figura 29.

Ventana Desplegable – Menú Principal ............................................................... 39

Figura 30.

Ventana de modos de ingreso de datos ................................................................ 40

Figura 31.

Modo de Ingreso de Datos ................................................................................... 40

Figura 32.

Ventana de ingreso de número de variables y restricciones ................................. 41

Figura 33.

Ventana de ingreso de la Función Objetivo y las restricciones............................ 42

Figura 34.

Ventana con datos ya ingresados ......................................................................... 43

Figura 35.

Ventana emergente para guardar el problema ...................................................... 44

Figura 36.

Menú desplegable para seleccionar el método de solución del problema ............ 44

Figura 37.

Ventana para introducir el número de enteros y decimales.................................. 45

Figura 38.

Ventana principal del Método Gráfico ................................................................. 46

Figura 39.

Solución del problema – Método Gráfico ............................................................ 47

Figura 40.

Ventana desplegable para elegir las opciones del método simplex...................... 47

Figura 41.

Ventana que muestra la solución final del problema ........................................... 48

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Índice de tablas Tabla 1.

Mineral limpio (M1) en STOCK ................................................................. 22

Tabla 2.

Mineral limpio (M1) en Banco..................................................................... 23

Tabla 3.

Mineral en STOCK ...................................................................................... 24

Tabla 4.

Mineral en Banco. ........................................................................................ 24

Tabla 5.

Restricciones ................................................................................................ 25

Tabla 6.

Solución del mineral de stock ...................................................................... 34

Tabla 7.

Solución del mineral de bancos. ................................................................... 35

Tabla 8.

Solución de las restricciones. ....................................................................... 36

Tabla 9.

Mineral Limpio (M1) en Stock – noviembre de 2010 ................................. 49

Tabla 10.

Mineral Limpio en Banco – noviembre de 2010 ...................................... 49

Tabla 11.

Mineral Limpio (M1) en Stock – noviembre de 2010 .............................. 51

Tabla 12.

Mineral Limpio en Banco – noviembre de 2010 ...................................... 51

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1. Introducción Debido a que la computadora es un pilar en la evolución de las técnicas de investigación de operaciones, tanto por su potencial de cálculo como por la rapidez y exactitud, puede decirse que es imprescindible el uso de la misma para efectuar procesos de IO en problemas que, aunque revistan sencillez, involucran tal número de variables que dificultarían el resolverlos manualmente. El presente trabajo busca aportar la idea de la necesidad de utilizar y desarrollar software en la enseñanza de la minería. El eje temático del trabajo es el funcionamiento del software TORA y el complemento SOLVER en Excel 2016, en la solución de problemas de programación lineal en minería.

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2. Objetivos Objetivo general Investigar acerca del software de programación lineal Tora y el complemento Solver en Excel 2016. Objetivo especifico 

Estudiar el software Tora, sus ventajas, funcionamiento y aplicaciones.



Estudiar el complemento Solver en Excel 2106.



Desarrollar un caso práctico en minería utilizando Solver y el software Tora.



Analizar los resultados obtenidos por ambas herramientas.

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3. Solver en Excel 2016 3.1. Conceptos generales El Solver es una herramienta de Microsoft Excel que, entre otras funcionalidades, sirve para resolver problemas de programación lineal utilizando el método Simplex. Solver es una herramienta para resolver y optimizar ecuaciones mediante el uso de métodos numéricos. Antes de utilizar el Solver se debe tener claro cuál es problema que se desea resolver. Es decir, cuál es la función objetivo y cuáles son las restricciones. Luego, se deben ingresar los datos del problema en el modelo del Solver. Cabe aclarar que llamamos “modelo” a la planilla (u hoja de cálculo) de Excel que utilizamos para ingresar los datos del problema. Por otro lado, se debe recordar que los elementos de un Modelo de Programación Lineal son: los Parámetros y las Variables. Las variables son aquellas sobre las que se pueden tomar decisiones y los parámetros son las constantes del modelo (coeficientes de la función objetivo, coeficientes de las restricciones, lado derecho de las restricciones). Entonces, al resolver el problema se busca hallar los valores de las variables de manera que maximice (o minimice) la función objetivo, sujeta a las restricciones dadas. 3.2. Activación de Solver El complemento Solver es un programa de Microsoft Office Excel complemento que está disponible cuando instala Microsoft Office o Excel. Sin embargo, para usar el complemento Solver, primero debe cargarlo en Excel. El siguiente procedimiento aplica a: Excel 2016, Excel 2013y Excel 2010. En la pestaña Datos. Si aparece la opción Solver, ya está. Si no aparece, continua con el procedimiento. 

Paso 1: Hacer clic en la pestaña Archivo.



Paso 2: Luego clic en Opciones.



Paso 3: Hacer clic en Complementos.

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Figura 1.



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Opciones de Excel – opción Complementos.

Paso 4: clic en la pestaña administrar, buscar Complementos de Excel y clic en la opción ir.



Paso 5: Se abre la ventana Complementos, y clic en la opción Solver.

Figura 2.

Complementos de Excel 2106.

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

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Paso 6: La opción Solver, se encuentra en la pestaña Datos.

Figura 3.

Ventana principal de Excel 2016 en la pestaña Datos.

Notas: 

Si el complemento Solver no se enumera en el cuadro Complementos disponibles, haga clic en Examinar para encontrarlo.



Si se le indica que el complemento Solver no está instalado actualmente en su equipo, haga clic en Sí para instalarlo.

3.3. Funcionamiento y uso de Solver 3.3.1. Funcionamiento 

Busca el valor óptimo para una celda, denominada celda objetivo en donde se escribe la fórmula de la función objetivo f (x1, x2, ..., xn).



Cambia los valores de un grupo de celdas, denominadas celdas cambiantes, y que estén relacionadas, directa o indirectamente, con la fórmula de la celda objetivo. En estas celdas se encuentran los valores de las variables controlables x1, x2, ..., xn.



Se puede agregar restricciones escribiendo una fórmula gj (x1, x2, ..., xn) en una celda, y especificando que la celda deberá ser mayor o igual, igual, o menor o igual que otra celda. También puede especificar que los valores sean enteros.



Solver ajustará los valores de las celdas cambiantes para generar el resultado especificado en la fórmula de la celda objetivo.

3.3.2. Uso de Solver 

Seleccione la cinta de opción Solver del menú Herramientas. aparecerá el cuadro de diálogo.

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

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Hay que dar a Solver tres datos: celda objetivo (función objetivo), las celdas cambiantes (las variables de decisión) y las restricciones.

Figura 4.

Parámetros de Solver

3.3.3. Función objetivo 

En el cuadro de diálogo Celda objetivo se indica el objetivo que debe alcanzar Solver.



Se puede introducir escribiendo las coordenadas de la celda, escribiendo un nombre que se la haya asignado a la celda o pulsando en la celda con el ratón. Si asigna un nombre a la celda, Solver lo usará para los informes. Si no les pone nombre a las celdas, Solver construirá los informes basándose en los textos de cabecera de las filas y columnas más cercanas. En aras de la claridad, se recomienda darles nombre a todas las celdas importantes del modelo antes de comenzar con Solver.

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

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Sí se desea minimizar, se selecciona Mín. Si el objetivo es maximizar, se selecciona Máx. También hay ocasiones en las que la celda objetivo tiene que igualar un valor particular, en cuyo caso se selecciona Igual a y se introduce la cifra (o referencia de la celda) en el cuadro adyacente.



No es necesario especificar un objetivo. Si se deja en blanco el cuadro Celda objetivo, se puede obtener una solución que cumpla con las condiciones, pero no sea necesariamente óptima. Para ello, pulsa el botón opciones y selecciona la opción Mostrar resultado de iteraciones.

3.3.4. Variables 

Las variables del problema se ubican en las celdas cambiantes. Estas celdas se encuentran siempre en un rango especifico.



Esta información se puede introducir escribiendo las coordenadas de las celdas, escribiendo su nombre o seleccionándolas en la hoja.



Si las variables no están en celdas adyacentes, se pueden separar las celdas (o rangos) con punto y coma.



Hay que especificar al menos una celda variable. Si no es así, Solver no podrá hacer nada.

3.3.5. Restricciones 

Pulsa el botón Agregar en el cuadro de diálogo Parámetros de Solver y complete el cuadro de diálogo Agregar restricción.



Cada restricción se compone de tres elementos: una referencia de celda (lado izquierdo de la restricción), un operador de comparación y un valor de restricción (lado derecho de la restricción).



Después de introducir una restricción, se puede pulsar el botón Aceptar para volver al cuadro de diálogo Parámetros de Solver o pulsar Agregar para especificar otra restricción.

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3.4. Mensajes Si Solver no puede encontrar la solución óptima de un problema, presenta un mensaje en el cuadro de diálogo Resultados el cual informa del problema. Los mensajes más frecuentes cuando no se puede alcanzar el objetivo son los siguientes: 

Solver no ha encontrado una solución válida. Solver no ha podido encontrar una solución que satisfaga todas las restricciones. Puede ocurrir si la región de factibilidad es vacía



Se ha cumplido el número máximo de iteraciones. ¿Desea continuar de todos modos? Para evitar que la computadora se meta en un círculo sin fin cuando un problema es irresoluble, Solver está diseñado para que se detenga y presente este mensaje cuando ha realizado el número por omisión de iteraciones y no ha llegado a una solución.



Se ha cumplido el límite máximo de tiempo. ¿Desea continuar de todos modos? Este mensaje es similar al del límite de iteraciones. Solver está diseñado para detenerse después de un cierto período de tiempo.

3.5. Posibles soluciones de Solver 

Solución Óptima Única: Para el ejemplo Solver señala que ha encontrado una solución y da la posibilidad de seleccionar alguno de los tres informes (Respuestas, Sensibilidad y Límites). A continuación, se selecciona el Informe Respuestas y la opción Utilizar la solución de Solver, y se hace clic en Aceptar. Si se mira el modelo, el Solver completó las celdas de las variables de decisión con sus valores en el óptimo y la celda correspondiente a la función objetivo con el valor de la misma también en el óptimo, esto es: x1 = 16; x2= 24; Max (z) =1360000.



Solución No Acotada: En esta situación el cuadro de Resultados del Solver es el siguiente: El Solver identifica que los valores no convergen (no están acotados), no permitiendo seleccionar ningún informe.



No Existe Solución Factible: Para este caso se tiene el siguiente cuadro de Resultados del Solver: Solver no ha encontrado solución válida (factible) y tampoco permite seleccionar ningún informe.

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3.6. Ejemplo para explicar funcionamiento de Solver Una mina polimetálica en el centro del Perú produce Pb y Zn. Se desea encontrar la producción diaria que maximice las ganancias de la mina sabiendo que: 

La planta puede procesar máximo 40 Tn / día, que la demanda máxima de concentrado de Pb es de 20 Tn/día,



La diferencia entre el procesamiento de ambos concentrados no debe ser mayor a 8 puesto que se está minando las vetas de forma paralela.



Cabe resaltar que la producción de Zn es mayor.



El precio de los concentrados de Pb y Zn es de 25000 y 40000 dólares por tonelada respectivamente.

x1= Tn/día producidas de concentrado de Pb. Precio: $5000/Tn x2= Tn/día producidas de concentrado de Zn. Precio: $4000/Tn Función objetivo: Máx. Z= 25000x1 + 40000x2 (Utilidad diaria) Restricciones: x1+x2≤ 40 x2- x1 ≤ 8 x1 ≤ 20 x1, x2 ≥ 0 Solución 

Definimos la plantilla en Excel Para el ejercicio, el modelo presentado puede usarse de base para cualquier ejercicio. En este caso, tenemos 2 variables y 3 restricciones; si se tuviera más variables y más restricciones, solamente se agregarían columnas para las variables y filas para las restricciones.

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Figura 5.

Plantilla en Excel para solucionar el ejercicio.

Figura 6.

Plantilla modelo en Excel para solucionar cualquier. Los signos encerrados con azul son los signos de las restricciones.



Variables de decisión: Son las variables involucradas en el ejercicio (x1 y x2). En las celdas señaladas de amarillo (C5 y D5) en la siguiente figura, el Solver devolverá el valor de las variables de decisión. Por ello, no es necesario ingresar ningún valor en estas celdas.

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Figura 7.



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Variables de decisión.

Función objetivo: La idea es representar la función objetivo en la celda señalada pintada de rojo (C13,). Para ello, se ingresa los coeficientes de la función objetivo (25000 y 40000) en la línea señalada como coeficientes, como se indica en la siguiente figura: Se ingresa la fórmula que representa a la función objetivo en la celda correspondiente a Max (Z). En el ejemplo, la función objetivo es: Máx. Z= 25000x1 + 40000x2 y la fórmula que la representa es: (C5 * C12) + (D5* D12)

Figura 8.



Función objetivo.

Restricciones: La idea es la misma que para la función objetivo: representar las restricciones en las celdas marcadas.



Analizando la primera restricción:



Ingresar los coeficientes de la 1° restricción en la línea que corresponde a la misma.



En el ejemplo, R 1 es: x1 + x2 y la fórmula que la representa es: (C7 * D7) + (F7 * G7) la cual será ingresada en la celda de color verde (E7).



Ingresar el signo de la restricción, es decir, (=, =) y en el lado derecho la restricción. En el ejemplo es