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• Victor Licona

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SOLVER Solver es una herramienta para resolver problemas de optimización mediante el uso de métodos numéricos. Solver se puede utilizar para optimizar funciones de una o más variables, con o sin restricciones.

INSTALAR SOLVER Si es la primera vez que usa Solver, este no aparecerá en el menú por defecto de Excel, y tenemos que activarlo: Herramientas u Opciones > Complemento >Herramientas de Análisis > Ir > SOLVER (Marcas la casilla)> Aceptar >

Se abre una hoja de cálculo y en apartado superior, se busca la pestaña “Datos” y se verifica si se activó Solver, en la parte superior derecha en el apartado de Análisis.

EJERCICIOS Solución de Ecuaciones Cuadráticas de la forma: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 𝑥 2 + 3𝑥 − 7 = 0 Para desarrollar esta ecuación vamos a definir nuestra variable en este caso la celda B7 en la celda C7 vamos a escribir la fórmula, sustituyendo la celda C7 como el valor de X que aún no conocemos:

Ahora se dispone a calcular X, ubicados en la formula se selecciona Datos > Solver esta opción presenta los siguientes parámetros:

1. Establecer objetivo: aquí se selecciona la celda donde está la formula. 2. Para Max, Min, Valor de: Aquí se marca dependiendo del valor que queremos encontrar, un valor máximo, mínimo o un valor que nos de esta igualdad; como esta igualada a 0, marcamos el valor de: y ponemos 0. 3. cambiando las celdas de variables: aquí se selecciona la celda de la incógnita X. 4. Y damos en Resolver.

En este cuadro nos advierte que todo salió bien, le damos en aceptar y podemos visualizar nuestro resultado:

En este caso la solución es X = 1

MAXIMOS Y MINIMOS (CON RESTRICCIONES) Maximizar la siguiente función: 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2 Con las siguientes restricciones: 𝑥1 ≤ 4 2𝑥2 ≤ 12 3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18 𝑥1 ≥ 0 𝑥2 ≥ 0 Para representar los datos en Excel:

En esta región se definen las variables x1 y x2, aquí por lo pronto se introduce un valor de 1 o nada. En esta región se definen los coeficientes de x1 y x2. Y se representa la ecuación objetivo de Z. En esta región se introducen las restricciones. Solo se ponen los valores que están a la izquierda de nuestras restricciones.

Ahora se dispone a calcular Z, ubicados en la formula se selecciona Datos > Solver esta opción presenta los siguientes parámetros:

1. Establecer objetivo: aquí se selecciona la celda donde está la fórmula de la función objetivo Z. En este caso F8 2. Para Max, Min, Valor de: Aquí se marca dependiendo del valor que queremos encontrar, en este casi se marca Max. 3. Cambiando las celdas de variables: aquí se seleccionan las celdas de las incógnitas x1 y x2. En este caso E4 Y F4. 4. Sujeto a restricciones: Aquí se añaden las restricciones a las que estará sujeta la función objetivo. Se selecciona Agregar y aparecerá el siguiente cuadro:

Y se agregan las restricciones:

Se seleciona agregar cada ve que quieras agregar una restriccion, al culminar se selcciona aceptar, y quedara asi:

En esta región quedan definidas las restricciones con los valores que debe cumplir.

5. Se añaden las condiciones de no negatividad: 𝑥2 ≥ 0 𝑥1 ≥ 0

Y quedara así:

6.- Finalmente se selecciona Resolver, aparecerá lo siguiente:

7.- Se selecciona Aceptar y finalmente se obtiene el resultado:

Valores de X1 y X2 El máximo valor de Z

Minimizar la siguiente función: 𝑍 = 0.4𝑥1 + 0.5𝑥2 Con las siguientes restricciones: 0.3𝑥1 + 0.1𝑥2 ≤ 2.7 0.5𝑥1 + 0.5𝑥2 = 6 0.6𝑥1 + 0.4𝑥2 = 6 𝑥1 ≥ 0 𝑥2 ≥ 0 Para representar los datos en Excel:

En esta región se definen las variables x1 y x2, aquí por lo pronto se introduce un valor de 1 o nada. En esta región se definen los coeficientes de x1 y x2. Y se representa la ecuación objetivo de Z. En esta región se introducen las restricciones. Solo se ponen los valores que están a la izquierda de nuestras restricciones.

Ahora se dispone a calcular Z, ubicados en la formula se selecciona Datos > Solver esta opción presenta los siguientes parámetros:

1. Establecer objetivo: aquí se selecciona la celda donde está la fórmula de la función objetivo Z. En este caso F8 2. Para Max, Min, Valor de: Aquí se marca dependiendo del valor que queremos encontrar, en este casi se marca Min. 3. Cambiando las celdas de variables: aquí se seleccionan las celdas de las incógnitas x1 y x2. En este caso E4 Y F4. 4. Sujeto a restricciones: Aquí se añaden las restricciones a las que estará sujeta la función objetivo. Se selecciona Agregar y aparecerá el siguiente cuadro:

Y se agregan las restricciones:

Se seleciona agregar cada ve que quieras agregar una restriccion, al culminar se selcciona aceptar, y quedara asi:

En esta región quedan definidas las restricciones con los valores que debe cumplir.

5. Se añaden las condiciones de no negatividad: 𝑥2 ≥ 0 𝑥1 ≥ 0

Y quedara así:

6.- Finalmente se selecciona Resolver, aparecerá lo siguiente:

7.- Se selecciona Aceptar y finalmente se obtiene el resultado:

Valores de X1 y X2 El máximo valor de Z

BUSCAR OBJETIVO (GOAL SEEK) Si conoce el resultado que desea de una formula, pero no está seguro de que valor debe tener la incógnita de la fórmula para obtener dicho resultado, use la característica Buscar Objetivo. ENCONTRAR 1. Abres EXCEL 2. Seccionas la pestaña de Menú > Herramientas > Buscar Objetivo para EXCEL 2007,2010 y 2013; y Datos > Análisis de Hipótesis > Buscar Objetivo para versiones superiores.

EJERCICIOS Solución de Ecuación Lineal 3x + 15 = 12 Para desarrollar esta ecuación vamos a definir nuestra variable en este caso la celda B5 en la celda D5 vamos a escribir la fórmula, sustituyendo la celda B5 como el valor de X que aún no conocemos:

Ahora nos disponemos a calcular X, ubicados en la formula seleccionamos Datos > Análisis de Hipótesis > Buscar Objetivo, esta opción presenta los siguientes parámetros:

6. Definir celda: aquí se selecciona la celda donde está la formula. 7. Con el valor: Aquí se pone la igualdad en este caso 12 debido a que 3x + 15 = 12. 8. Cambiando la celda: Aquí se selección la celda de la incógnita X. 9. Y damos clip en aceptar. Y para este ejercicio el valor de X = -1

Solución de Ecuaciones Cuadráticas de la forma: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 𝑥 2 + 3𝑥 − 7 = 0 Para desarrollar esta ecuación vamos a definir nuestra variable en este caso la celda B7 en la celda C7 vamos a escribir la fórmula, sustituyendo la celda C7 como el valor de X que aún no conocemos

Ahora nos disponemos a calcular X, ubicados en la formula seleccionamos Datos > Análisis de Hipótesis > Buscar Objetivo, esta opción presenta los siguientes parámetros:

1. Definir celda: aquí se selecciona la celda donde está la formula. 2. Con el valor: Aquí se pone la igualdad en este caso 0 debido a que 𝑥 2 + 3𝑥 − 7 = 0 3. Cambiando la celda: Aquí se selección la celda de la incógnita X. 4. Y damos clip en aceptar. Y para este ejercicio el valor de X = 1

Solución de Ecuación Cubica de la forma: 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅 = 𝟎 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 3 = 0 Para desarrollar esta ecuación vamos a definir nuestra variable en este caso la celda B7 en la celda C7 vamos a escribir la fórmula, sustituyendo la celda B7 como el valor de X que aún no conocemos:

Ahora nos disponemos a calcular X, ubicados en la formula seleccionamos Datos > Análisis de Hipótesis > Buscar Objetivo, esta opción presenta los siguientes parámetros: 1. Definir celda: aquí se selecciona la celda donde está la formula. 2. Con el valor: Aquí se pone la igualdad en este caso 0 debido a que x^3 - 2x^2 + 3x-3 = 0). 3. Cambiando la celda: Aquí se selección la celda de la incógnita X. 4. Y damos clip en aceptar. Y para este ejercicio el valor de X = 1.39 Como sabemos una ecuación cubica tiene 3 raíces, esta sería la solución de una de sus raíces.

SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 = −𝟑 { 𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟑 𝟒𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟖 Se procede a pasar este sistema a excel: Matriz Original

Matriz Igualdad

Se introduce el coeficiente de cada ecuacion del sistema y su igualdad, respetando su singno. Se procede a calcular la inversa de la matriz:  Primero se selecciona el area en la que va a ir la matriz inversa, en este caso al ser una matriz 3x3, esta debe ser igual.  Despues de seleccionar el area se teclea =MINVER(Aquí va la matriz original de los valores de los coeficientes de X,Y y Z)  Antes de dar enter para solucionarlo se usa una opcion de Excel, la insercion matricial con las teclas Ctrl + Shift, simultaneamente y sin soltarlas apretamos Enter. Y obtenemos la siguiente matriz inversa:



Ahora se procede a multiplicar la matriz inversa con la matriz de igualdad:

x

Se selecciona el area donde se pondran los resultados, en este caso al multiplicar una matriz de 3x3 con una de 3x1, se seleciona un area de 3x1(se toma el numero de columnas de la primera y el numero de filas de el segundo), y se introduce =MMULT(Matriz Inversa, Matriz Igualdad) para obtener el producto, sin olvidar la opcion de insercion matricial con las teclas Ctrl + Shift, simultaneamente y sin soltarlas apretamos Enter. 

Se obtiene como resultado:

METODO DE NEWTON RAPHSON Este método es uno de los más utilizados para localizar raíces ya que en general es muy eficiente y siempre converge para una función polinomial. Se requiere que las funciones sean diferenciables, y, por tanto, continuas, para poder aplicar este método. Se debe partir de un valor inicial para la raíz: xi, este puede ser cualquier valor, el método convergirá a la raíz más cercana. Si se extiende una tangente desde el punto , el punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.

La fórmula de Newton-Raphson se deduce a partir de la fórmula de la pendiente de una recta. Pendiente de una recta:

Hay que determinar un número máximo de iteraciones Normalmente esto se hace considerando una “tolerancia”, esto es: El valor absoluto de la diferencia de la debe ser menor que la tolerancia o el resultado de alguna fórmula de error debe ser menor que la tolerancia dada. Una de las fórmulas de error más útiles es la del error relativo porcentual aproximado:

x 100 % El método de Newton-Raphson es convergente cuadráticamente, es decir, el error es aproximadamente al cuadrado del error anterior.

Esto significa que el número de cifras decimales correctas se duplica aproximadamente en cada interacción. Cuando el método de Newton-Raphson converge, se obtienen resultados en relativamente pocas interacciones, ya que para raíces no repetidas este método converge con orden 2 y el error Ei+1 es proporcional al cuadrado del resultado anterior Ei Supóngase que el error en una iteración es 10-n el error en la siguiente, (que es proporcional al cuadrado del error anterior) es entonces aproximadamente 10-2n, el que sigue será aproximadamente 10-4n etc. De esto puede afirmarse que de cada iteración duplica aproximadamente el número de dígitos correctos. Sin embargo, el método de Newton-Raphson algunas veces no converge, sino que oscila. Esto ocurre si no hay raíz real, si la raíz es un punto de inflexión o si el valor inicial está muy alejado de la raíz buscada y alguna otra parte de la función “atrapa” la iteración. PROBLEMA: Se desea calcular el factor de fricción de una tubería que conduce un gasto de q = 2 l/s, un diámetro de 4 in, PVC, resolver por newton Raphson. DATOS: Q = 2 L/s = 0002 m3/s Rugosidad Relativa = ϵ = 𝟏. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔 Viscosidad = = 𝟏 × 𝟏𝟎−𝟔 D = diámetro = 4 in Se procede a introducir estos valores en Excel:

A = πD^2/4

V = Q/A

Aquí se propone un f inicial

V = VD/(VISCOSIDAD)

Con estos datos se proceden a introducir las ecuaciones para iniciar el proceso:

1 𝑓=√ 𝑥

En este caso el valor de f = 0245

Aquí se calcula el nuevo X, y se va iternado , cuando el valor es aproximadamente igual al anterior, se detiene.