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• Sandra Milena Vargas Archila

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SOLUCIONARIO QUIZ 2 SEMANA 6 1. ÁNGULO ENTRE VECTORES a. El ángulo entre los vectores (-2, 3, 0) y (2, -3, 0) es: Para hallar el ángulo entre dos vectores, primero se calcula el coseno del ángulo entre ellos dos, esto es:

cosθ=

(−2,3, 0)∙ (2,−3, 0) u∙ v −4−9+0 −13 −13 = = = = =−1 ‖u‖‖v‖ √(−2)2+ 32+ 02 √22 +(−3)2 +02 √ 13 √ 13 √ 132 13

Teniendo que Cosθ=−1 , para hallar el valor del ángulo se debe calcular cos−1 (−1 )=θ , donde se obtiene que θ=180 º b. El ángulo entre los vectores (0, 2, -1) y (-1, 0, 4) es: Para hallar el ángulo entre dos vectores, primero se calcula el coseno del ángulo entre ellos dos, esto es:

cosθ=

(0,2,−1) ∙(−1,0, 4 ) u∙ v 0+0−4 −4 −4 = = = = 2 2 2 2 2 2 ‖u‖‖v‖ √ (0) +2 + (−1 ) √ (−1 ) +0 + 4 √ 5 √ 17 √ 5∗17 √ 85

Teniendo que −1

cos

( √−485 )=θ

Cosθ=

−4 , para hallar el valor del ángulo se debe calcular √ 85

, donde se obtiene que

θ=115.7 º

2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1 2 2 ( B A ) A es: 2 Para resolver este ejercicio se debe tener presente las propiedades de los determinantes que se encuentran en la lectura 3 página 3. En especial la número cinco en la que se menciona que si una fila de una matriz A se multiplica por un escalar, entonces el determinante de la matriz resultante será el determinante de la matriz A por escalar. Dado a que nuestras matrices son de 3x3, el resultado de las multiplicaciones 1 2 2 2 ( B2 A ) A también será una matriz de 3x3, por lo tanto al calcular 2 ( B A ) A las 1 tres filas se están multiplicando por el escalar , por lo tanto, el determinante 2 de la matriz resultante será:

a. Sean A, B matrices 3x3, tales que detA=2, detB=-2, entonces

det

(

1 ∗1 2 ∗1 2 2 2 2 1 1 1 1 det ( ( B2 A ) A )= det ( ( B 2 A ) A )= ( ( (−2 )2 ( 2 ) ) ∗2 )= ( 8 2∗2 ) = ( 128 )=16 2 8 8 8 8

)

Por lo tanto,

det

(

1 2 2 ( B A ) A =16 2

)

b. Sean A, B matrices 3x3, tales que detA=2, detB=-1, entonces −1 −1 det ( ( B2 A ) (−B ) A ) es: Para este ejercicio, además de las propiedades anteriores, se debe tener en cuenta 1 −1 que det A = det A Por lo tanto, 1 1 ∗1 ∗1 2 −1 (−1 )2∗2 det ( B A ) −1 1 2 det ( ( B A ) (−B ) A )= ∗det A= ∗2= ∗(−1 )∗2=−1 2 det (−B ) −(−1 ) −1 −1 2 Luego, det ( ( B A ) (−B ) A )=−1 3. DISTANCIA DE UN PUNTO AL PLANO a. Considerar Z=(3,4,5), P(1,1,1), Q=(1,2,3) y R=(0,1,0). La distancia de Z al plano que pasa por P, Q, y R es: Para hallar la distancia del punto al plano se necesita la siguiente información: - La ecuación del plano para lo cual es necesario hallar el vector normal del plano a partir del producto cruz entre dos vectores del plano, los cuales se terminan a partir de los puntos P, Q y R. ⃗ PQ=( 0, 1,2 ) ⃗ QR=(−1,−1,−3) i j k 1 2 −j 0 2 +k 0 1 =i (−1 )− j ( 2 ) + k (1) ⃗ ⃗ PQ × QR = 0 1 2 =i −1 −3 −1 −3 −1 −1 −1 −1 −3 Luego, el vector normal al plano es – i−2 j+ k=(−1,−2,1)

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La ecuación del plano sería

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−x−2 y + z=−2 , donde D=2

- Para hallar la distancia del punto Z al plano se emplea la fórmula

|n∙ Z+ D| |(−1,−2,1 ) ∙ ( 3, 4, 5 ) +2| |−3−8+ 5+2| |−4| 4 = = = = 2 2 2 ‖n‖ 6 6 √ √ √6 ( −1 ) + ( −2 ) +1 √

d (Z , π )=

b. Considerar Z=(2,-1,3), P(-1,0,-1), Q=(1,-2,2) y R=(0,1,-1). La distancia de Z al plano que pasa por P, Q, y R es: -

Ecuación del plano:

⃗ PQ=( 2,−2, 3 ) ⃗ QR=(−1, 3,−3) i j k −2 3 2 3 2 −2 ⃗ ⃗ PQ × QR = 2 −2 3 =i −j +k =i (−3 )− j (−3 ) +k ( 4) 3 −3 −1 −3 −1 3 −1 3 −3

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Luego, el vector normal al plano es La ecuación del plano sería

– 3 i+3 j+4 k=(−3,3, 4 )

−3 x +3 y +4 z =−1 , donde D=1

Para hallar la distancia del punto Z al plano se emplea la fórmula

|n∙ Z+ D| |(−3,3, 4 )∙(2,−1,3)+1| |−6−3+12+1| |4| 4 = = = = 2 2 2 ‖n‖ √ 34 √ 34 √ 34 √(−3 ) +3 + 4

d (Z , π )=

4 √ 34

Por lo tanto, la distancia de Z al plano es 4. PRODUCTO CRUZ Calcular i j 2 3 4 −5

|

el producto cruz entre los vectores (2, 3, 1) y (4, -5, 2) k 3 1 2 1 2 3 −j +k =i ( 6 +5 )− j ( 4−4 )+ k (−10−12 )=11 i+0 j−22 k=(11, 0,−22) 1 =i −5 2 4 2 4 −5 2

||

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5. ECUACIÓN DE LA RECTA a. La ecuación simétrica de la recta en 5) para t ∈ R es:

R3

que pasa por los puntos (1, -1, 2) y (7, 0,

Para hallar la ecuación de la recta se necesita hallar el vector paralelo a la recta, el cual se determina a partir de los puntos dados: (6, 1, 3), por lo tanto, al escoger el primer punto se obtiene que la ecuación simétrica de la recta es: x−1 y−(−1) z−2 = = 6 1 3 x−1 z −2 = y+1= 6 3 b. La recta que es paralela a 3 x+ 4 y=4 y que pasa por el punto (0,2) es: Para que dos rectas sean paralelas, deben tener la misma pendiente o el mismo vector paralelo. En este caso el vector paralelo son los coeficientes de las variables es decir (3, 4), para teniendo el vector la ecuación sería 3 x+ 4 y=? para hallar este valor, se hace uso de punto dado, donde la coordenada en x=0 y la coordenada en y=2 3 ( 0 ) +4 ( 2 )=? 8=? Por lo tanto la ecuación es 3x+4y=8, al despejar −3 x +8 −3 x 8 −3 4 y=8−3 x y= = + = x +2 4 4 4 4

y

de la ecuación, se tiene: