Solucionario Primer Parcial
Cálculo II - MAT 102 Aux.: Gunnady R. Caro C. SOLUCIONARIO – EXAMEN PRIMER PARCIAL 1. El volumen de un tetraedro es de
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- Rodrigo Cabrera
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Cálculo II - MAT 102
Aux.: Gunnady R. Caro C.
SOLUCIONARIO – EXAMEN PRIMER PARCIAL 1. El volumen de un tetraedro es de 8 cm3; tres de sus vértices están en los puntos A(2,1,-1) B(3,0,1) y C(2,-1,3). Hallar las coordenadas del cuarto vértice D si se sabe que está en el eje OY. Solución: (
)
|⃗ ( ⃗
⃗⃗
⃗⃗ )|
⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
(
)
〈
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
(
)
〈
|⃗ (
|
(
|
)
(
⃗⃗ )|
)
〈
〉 〉 〉
|
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)
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2. El anclaje AC está soportado AC en A por una articulación esférica y por los cables BDC y CE. El cable BDC es continuo y pasa sobre una polea en D. Calcule la tensión de los cables y las componentes de reacciones x, y y z en A si el cajón tiene un peso de 100 N.
Solución: D. C. L.:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐵𝐷
𝐴𝑧
𝐴𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐶𝐷 𝐴𝑦
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐶𝐸 𝑊 Coordenadas:
A=(0, 0, 0) B=(6, 0, 0) C=(17, 0, 0) D=(0, -5, 8) E=(0, 5, 6)
Ahora vamos a representar las fuerzas en los cables como un vector unitario multiplicado por la magnitud de la tensión en cada cable: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
〈
⃗⃗⃗⃗⃗
〈
⃗⃗⃗⃗⃗
〈
〉 〉 〈
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
〉
〉 √
〈 〈
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
√
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
√
√
〈
〉 √
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
〈
〉 √
〉 〉
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Por equilibrio: 1. Sumatoria de Fuerzas igual a cero. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∑ 〈
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
〉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
〈
⃗⃗⃗⃗ 〉
√
〈
√
〉
〈
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
〉
〈
〉
2. Sumatoria de Momentos igual a cero.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
〈
〉
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ )
(
⃗⃗⃗ )
〈
〉
|
√
(
| √
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
〈
√
)
√
√
√
√
√
√
√
〉
√
√
|
|
(
√
√
√
√
)
√
(
√ )
√
√
√
√
√
√
√
√
√ (
√
√
√
)
(
√
√ )
√
)
Como el cable BDC es continuo entonces la tensión es la misma:
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reemplazando esto en las sumatorias de momentos: ( √
)
√ ( √
√
√ )
√
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene:
Una vez obtenidas las tensiones sustituimos en las ecuaciones de las sumatorias de fuerzas para hallar las reacciones en A:
√
√
√
√
√
√
√
√
√
〈 〉 〈 Un rayo luminoso parte del punto A(-3,8,5) y sigue la dirección de la recta , llega al espejo dado por el plano . Hallar la ecuación vectorial del rayo reflejado. Solución:
Z
A
Y
X
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〉
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Para tener una mejor idea del planteamiento que debemos hacer para solucionar el problema vamos a utilizar una vista de nuestro esquema: A
C
B
D Recta del rayo luminoso que pasa por A y en dirección de la recta . 〈
〉
〈
〉
Recta normal al plano y que pasa por el punto A. 〈 ⃗
〈
〉
⃗
〉
〈
〉 〈
〉
Recta del rayo reflejado (que pasa por el punto B). 〈 ⃗
〉
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Primero vamos a encontrar el punto (B) en el que se intersecta la recta del rayo luminoso y el plano P. 〈
〉
〈
〉
Reemplazando en la ecuación del plano:
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)
(
)
Sustituyendo en las ecuaciones paramétricas de nuestra recta obtenemos el punto de intersección: ( ) ( ) )
( (
)
Siguiendo el mismo procedimiento encontramos el punto (C) de intersección de la recta el plano: 〈
〉
〈
con
〉
Reemplazando en la ecuación del plano: (
)
(
(
)
(
)
)
Ahora hallamos el punto D, como la distancia de A a C es igual a la de C a D entonces el punto C es el punto medio entre A y D:
( (
)
(
)
(
)
(
)
)
Finalmente vamos a encontrar la recta del rayo reflejado: 〈 ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
〉 (
〈
) 〉
⃗ (
〈
)
〈
〉
〉
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4. Dados los planos ecuación de una recta que pasa por el punto A que es paralela a
y el punto A (2, 1, 4). Hallar la y que haga un ángulo de 30° con
Solución: Supongamos nuestro esquema como sigue: 𝐴 𝑛 ⃗⃗⃗⃗
L
𝐵
〈 ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
〉
⃗ (
〈
) 〉
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
〈
〉
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
〈
〉
Como el punto B está contenido dentro del plano entonces sus coordenadas ( deberán satisfacer con la ecuación de dicho plano:
)
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Si el plano de la recta. ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗
es paralelo a la recta, su vector normal deberá ser perpendicular al vector dirección
〈
〉 〈 ( )
〉
El ángulo formado entre la recta y la normal del plano formado entre la recta y el plano , esto es:
⃗⃗
( ) (
será igual al complemento del ángulo
⃗⃗⃗⃗⃗
‖⃗⃗ ‖‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ 〈
)
〉 〈 )
√(
(
(
)
)
( )
(
〉 )
(
√
)
( )
( )
{
( )
{
( )
⁄ en la primera ecuación de ( ):
reemplazando
( ) sustituyendo ( ) y ( ) en ( ): (
)
(
)(
( )
(
)( )
( )
{ ( )
)
( ) { {
( (
) )
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Entonces podemos encontrar 2 rectas que cumplan con las características indicadas con los planos, una de ellas será: 〈 ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
〉
⃗
〈 〈
〉 〉
〈
〈
〉
〉
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