Solucionario Examen Primer Parcial Matematica
UMSA MATEMATICA AUX: UNIV. CARLOS RENEN AIZA VERAMENDI SOLUCIONARIO PRIMER EXAMEN PARCIAL II/2013 1. Simplificar: So
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UMSA
MATEMATICA
AUX: UNIV. CARLOS RENEN AIZA VERAMENDI
SOLUCIONARIO PRIMER EXAMEN PARCIAL II/2013
1. Simplificar: Solución: Se sabe que: Entonces:
Realizando común denominador:
Trabajando el numerador:
Podemos realizar la siguiente agrupación en el numerador:
Ahora factoricemos términos semejantes:
Aplicando diferencia de cuadrados: Entonces:
Ahora factoricemos
:
[
]
Factorizando términos semejantes, entre términos de distinto signo:
Ahora factoricemos
:
Por lo tanto:
𝐸
𝑎𝑏𝑐 1
Respuesta.
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AUX: UNIV. CARLOS RENEN AIZA VERAMENDI
2. Un
coleccionista de arte compro dos dibujos a lápiz en 225 Bs. Pero se sorprendió que dichos dibujos eran muy conocidos y no puedo resistir el venderlos, obteniendo un beneficio del 40%. Cuanto pago por cada dibujo si el primero dejo un beneficio del 25% y el segundo dibujo un beneficio del 50%. Solución: El problema habla de dos dibujos entonces llamemos:
Es lógico pensar que la suma de los costos de los dibujos nos dará 225 Bs. Por lo tanto:
………………(1) Por otra parte el problema nos habla de beneficios, esto lo podemos interpretar de la siguiente forma: Si yo compro un objeto en 100 Bs y lo vendo en 140 Bs el beneficio será: Pero en el problema nos da en porcentaje, es decir:
Para el ejemplo:
En el problema nos dice que vendió los 2 dibujos y obtuvo un beneficio del 40%, es decir:
Dónde: De aquí podemos hallar
:
También dice el problema que el primer dibujo dejo un beneficio del 25% y el segundo dibujo dejo un beneficio del 50%, es decir:
Dónde: De aquí podemos hallar
; y
:
Ahora es lógico pensar que la suma de los beneficios de cada dibujo en Bs, nos dará el beneficio de la venta de los dos dibujos en Bs, es decir:
…………………(2) Multiplicando por 4 a la ecuación (2):
……………………(3) Restando la ecuación (1) a la ecuación (3):
Remplazando
en la ecuación (1):
Por lo tanto:
𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑗𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜
𝐵𝑠 𝑦 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 2
𝐵𝑠
Respuesta.
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3. Racionalizar
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y simplificar la siguiente expresión: √ √
[√
√
] √ [ √
]
Solución: Observado el problema podemos ver que tenemos raíces con índice 2 e índice 3, para eliminar estas raíces tenemos que realizar un cambio de variable, pero el cambio que debemos usar es una variable que debe estar elevada a un número múltiplo de 2 y 3, el más cercano es 6.
√
Sea el siguiente cambio de variable: Sacando la raíz cuadrada al C.V.:
√
√
Sacando la raíz cubica al C.V.:
√
√
También sabemos que:
√√
√
√
Remplazando todo lo hallado en la expresión:
[
]
[
]
Factorizando el denominador y aplicando la siguiente propiedad:
Por otro lado sabemos que: Remplazando en la expresión: (
)(
)
Realizando común denominador:
Se sabe por productos notable que: Remplazando en la expresión:
Factorizando
en el numerador:
Pero: Por lo tanto:
√
𝐸
√𝑦 3
Respuesta.
( )
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4. Resolver
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el siguiente sistema de ecuaciones:
, Solución: Observado el sistema de ecuaciones podemos ver que se trata de un sistema homogéneo, el cual se resuelve con los siguientes cambios de variable: Cualquiera de estos dos C.V. nos ayuda a resolver el sistema, usemos Obtenemos el nuevo sistema:
, Fatorizando
{ en el sistema, tenemos:
, Dividiendo la ecuación (1) entre la ecuación (2):
Operando:
Obtenemos dos valores de
:
Para:
Remplazando
en la ecuación (1) y en el C.V.:
( ( )
)
{ (
) (
(
)
(
) )
Para:
Remplazando
en la ecuación (1) y en el C.V.:
( ( )
)
{ (
)
(
)
Por lo tanto:
𝑥
𝑦 4
Respuesta.
.
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5. Simplificar
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la siguiente expresión algebraica:
(
Solución:
[(
)
(
) )(
)
]
Observado el problema podemos ver que tenemos raíces cuadradas, para eliminar estas raíces podemos realizar los siguientes cambios de variable:
Elevando al cuadrado a los C.V.: Remplazando en la expresión:
*
+
Aplicando productos notables y factorizando:
*
+
Recuerde que: Entonces obtenemos:
*
+
Factorizando y aplicando la siguiente propiedad:
*
+
( )
[ ]
Por lo tanto:
𝐿
Respuesta.
5
( )