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• Carlos Cuya Prado

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1-El poste, plataforma solidaria y motor eléctrico pesan en conjunto 140 Kg. Y tiene el centro de gravedad de la combinación situado en G. La carga adicionada por el motor crea un par de reacción de 10 m.kp sobre el árbol del motor, según se indica en la Fig. 1, determinar las tensiones de los cables soportantes. Supóngase soportado el poste por una articulación de rotula en A.

Solución: 1=¿(−2.4,0,0) ⃗r ¿

2=¿ (0,0,2.4) r⃗ ¿

3=¿(0,0,1.2) ⃗r ¿ 4=¿ (0.6,−0.9,0) r⃗ ¿ 5=¿ (0,0.075,0) r⃗ ¿ ⃗ T 1 =μ T .T 1=

T1 (2.4,0,2.4) 3.39

⃗ T 2 =μ T .T 2=

T2 (−0.6,0 .9,1.2) 1.61

1

2



1ra Condición de equilibrio: Fi =¿ 0 ∑¿ ⃗ T 1 + T⃗ 2+ ⃗ R A +⃗ W =0



………… (I)

2da Condición de equilibrio

T1 y

T2

M i=0 ∑⃗ ⃗r 1 x ⃗ T 1 + r⃗ 2 x T⃗ 2+ ⃗r 5 x ⃗ W + (−10i )=0

……………. (II)

De (II):

T1 (−2.4,0,0) x (2.4,0,2 .4) 3.39

+

T2 (0,0,2.4) x (−0.6,0.9,1 .2) 1.61

+

140(0,0.075,0)x (0,0,−1) + (-10i) = 0

¿ T 1 ( 0 , 1. 69 , 0 ) +T 2 ¿ 0.67, -0.44, 0) -25.5i =0 En el eje x: 0.67

T 2 =25.5

T 2 =38.059 En el eje y: 1.69

T 1 =0.44 T 2

T 1 =9.908

2- Se tiene un anillo de radio R y fijo al suelo por medio del punto A. Un cuerpo de masa m, parte de B con una velocidad inicial de 160 cm/s y desliza sin rozamiento sobre el anillo y cae a una distancia “D” del punto de apoyo A. Hallar esta distancia (R=25cm). Además graficar velocidad inicial (desde el reposo hasta su velocidad) versus D. Resolver por dinámica.

Solución:

∑ FR

=m

v2 =m R

ac ⃗

mgcos θ−N =m

v2 R

2

v R N=0 → mgcos¿ θ=¿ m

Rgcos θ=v 2 … … … … (1) v

θ

∫ vdv =Rg∫ sin θdθ 1.6

0

v2 1.6 2 cos θ +Rg 2 - 2 =-Rg v 2=2.56+2 Rg ( 1−cos θ ) … … … … ..(2) θ 2.56 +2Rg (1- cos ¿=Rg cos θ ¿ cos θ=1.043 Como -1 ≤ cos θ ≤1 Llegamos a la conclusión que

θ

no existe y el cuerpo se desliza desde el

punto B desarrollando un movimiento parabólico. 1 2 0.5= 2 ( 9.81 ) t T=0.319 D= (1.6) (0.319)=0.5104m 3- Sea la curva: calcular para t= π /4

X= ln sect

Calcular: a) Vector unitario tangente. b) Curvatura c) Vector unitario normal

;

y=ln sent

;

z=t

d) Vector unitario binormal

a) Vector unitario Tangente(

v⃗ |⃗v|

ut =

=

ut ¿

(tan t , cot t ,1)

√ tant 2 +cot t 2+1 π

Reemplazando t= 4 ut =

(1,1,1) √3

b) Curvatura (ρ)

√3

3

ρ=

v⃗ |⃗v x ⃗a|

¿

¿ ¿ = ¿3 ¿ ¿

3 √3 |( csc t , sec t 2 ,−2 sec t csct )| 2

π

Reemplazando t= 4 ρ=

3 √3 3 √2 = 4 |(2,2,−4)|

c) Vector unitario Normal( u N ¿

d ut dt u N =ρ |v|

=

sec t (¿ ¿ 2 ,−csc t 2 , 0 ) 3 ¿ ¿ 3 √2 ¿ 4

π Reemplazando t= 4 uN

√6

= 12 (2,-2,0)

d) Vector unitario Binormal( uB ¿

uB =u N x ut

−√ 2 −√ 2 √ 2 √ 6 (1,−1,0) x (1,1,1) , , 6 6 3 ) = 6 = 3 √ ¿

[

][

]

4-En el cerro de la UNI se encuentra una piedra en A que tiene la siguiente coordenada (0, 100, 200)m, partiendo del reposo al cabo de 3 seg. choca con un obstáculo que se encuentra en B (30, 70, 170)m y sale despedido a esa velocidad y a 30° con el eje y para después describir un movimiento parabólico en el plano yz. Calcular el tiempo que empleara en llegar al suelo y la distancia 2 respecto al origen. Considerar g= 10m/ s .

Solución: v B=v A +10 ( 3 ) v B=30 m/s v B=(0,15 √ 3 , 15) ⃗

En el eje z: r f =⃗ ⃗ r 0 +⃗ v0 t +

a t2 2

t2 0=170+15t+ (-10) 2

t= 7.52 seg. Tiempo total= 7.52 + 3 =10.52 seg. ⃗ d f =⃗ df 0+ ∆ d y y

d f =70+ ( 7.52 ) 15 √ 3=265.375 m y

5- Una bolita sale rodando horizontalmente con velocidad

v 0 =3 m/s

los peldaños tiene alto a=18 cm y ancho b=32 cm. Encuentre el escalón en el cual la bolita cae por primera vez.

Solución:

-y=-

gt 2

2

0.18n=

gt 2

0.0366n=

2

t

2

x ≤ 0.32 n v x . t ≤ 0.32 n 3 t ≤ 0.32n

9

2

2

t ≤ 0.1024 n

9.0.0366n

2

≤ 0.1024 n

3.216 ≤ n n= 4 cae en el cuarto escalón por primera vez