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• Junior Olivares Gomez

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Solución del balotario de de Matemáticas Avanzadas

Curso: Matemáticas Avanzadas Profesor: Raúl Castro Vidal

Integrantes:  Chuquispuma Zamudio, Victor…092041A  Garcia Quintana, Gustavo…………092615H  Martinez Calzada, David…………..092608A  Melgarejo Vargas, Pedro…………..092649J  Saraya Espinoza, Eduardo………..092621H

2012

1. Considere un sistema LTI con respuesta al impulso: ( ) ()Y halle la representación en serie de Fourier de la salida y (t) para las siguientes entradas. a) ( ) ( ) b) ( ) ∑ ( ) ( ) SOLUCIÓN 1(a): Considerando la salida de un sistema LTI: ()

() (

∫

)

Tenemos: () ()

(

) ()

La salida del sistema LTI será: () Definimos (

∫

(

)

() (

)

) como: (

)

2

3

Entonces expresamos a y(t) de la siguiente manera: ()

∫

(

(

)

)

(

)

La segunda integral se anula, pues ( ()

(

(

)

)

)es cero:

∫

()

∫

( ∫

)

(

)

(

)

Recordando: ∫

(

)

(

(

)

(

))

∫

(

)

(

(

)

(

))

En el problema: ()

6

(

)

(

(

)

(

))7

(

)

()

46

(

(

(

) 6

(

)

)

( (

(

))7

)

(

))75

( ) ( )) es acotada para todo b, al multiplicar por una Ya que ( exponencial y aplicar el teorema de sándwich, este límite tiende a 0 cuando b→ . Por lo tanto: ()

([

(

(

(

)

∑(

)

(

)

(

))])

1(b): Tenemos: ()

()

)

()

La salida del sistema LTI será:

Definimos (

(

)

(

)

(

)

) ∑ (

)

(

)

(

)

(

)

()

∫ ∑(

()

∫(

)

)como: (

)

2

Para el problema tenemos que: ( ) Entonces la integral será: ()

∑( ()

()

3 (

) ∫

)

(

( ) ∫

(

()

∑(

)

)

(

(

)

∑(

(

) )

) ( ) ( )

) ∑(

)

( )

Sabemos también que: )

∑(

(

)

Por lo tanto: ()

(

(

)

)

(

)

2. si ( ) ( ), -π ≤ x ≤π ;α una constante no entera. Probar que a partir de si Serie de Fourier. (

)

SOLUCION Se trata de una función par, luego

y

∫

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

∫

∫ ( (

) )

(

)

(

)

( ( (

) ) )

Luego la representación quedará: ( ) (

∑ (

∑

(

)

) (

)

)

Reemplazando finalmente obtenemos: (

∑

(

)

(

)

)

3. Enunciar y demostrar el teorema de Parseval, comente la utilidad en la teoría de señales. SOLUCIÓN: Enunciamos la aplicación de la identidad de Parseval en las series de Fourier y en las Integrales de Fourier. Identidad de Parseval en las Series de Fourier: ∫ * ( )+ Donde

y

∑(

)

estan determinados por: ∫

( )

∫

( )

Una consecuencia importante es: ∫

( )

∫

( )

Se le conoce como el teorema de Riemann. Identidad de Parsaval para Integrales de Fourier: Si F[f(t)] = F(W) entonces: ∫ | ( )|

∫ | ( )|

A esto se le conoce como la Identidad de Parsaval para Integrales de Fourier y es susceptible de generalizaciones y le llamaremos β. Demostración de β: Si F[f(t)] = F(W) y con todo lo aprendido alrededor de Fourier (convolucion): , ( )∫

( ) ()

, ( )-

∫

∫ [()

() ]

(

)

, ( )( )y ( ) ()

(

∫ ( )(

)

(

)

Es decir: Luego si hacemos

() ∫

() ()

∫ () ()

∫

( ) , (

∫

) ( ) (

)-

) ∫

( ) ( )

Por convolución: ∫ | ( )| Por lo tanto: ∫ | ( )|

∫ | ( )|

Quedando demostrado el teorema de Parseval 4. Hallar la DFT de U = C (constante) ∑ Solución: ∑ Nos damos cuenta que tiene la forma de una serie geométrica: ∑ Entonces: ( Donde Sabemos: ( ) y Entonces queda:

) (

( )

)

5. Hallar la Transformada de Fourier del siguiente pulso triangular: () , () ( )- ( ), ( ) ( )Solución: () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ahora, tomando la Transformada de Fourier: , ( ), ( ),( ), ( ), ( ), ( )), ( Usando las siguientes propiedades: , ( )-

, ( )-

(

,(

)

)-

( )

Se tiene: , ( )-

(

)

( (

, ( )-

( )

( )

, ( )-

[

, ( )-

)

(

)

(

)

(

)

) ( )

(

)

( ) ]

[

]

(

[ [

) ]

]

6. Calcular la Transformada de Fourier mediante la propiedad de convolucion de la función: () () () Solución: Por convolucion: (

∫ ( )

∫ ( )

)

(

(

)

)

Donde: ( )

(

) (

∫ Para: ()

) ()

(

)

()

Verificando: , ( )-

, ( )- ,

( )-

Por propiedad: ,

( )-

Nos queda: , ( ), ( )Aplicando la Transformada Inversa, se tiene: (

)

(

() , ( ),

)

( )-

7. Una señal de onda cuadrada periódica en tiempo discreto mostrada en la figura. Evaluar la serie de Fourier de esta función.

Solución: Debido a la simetría de esta secuencia con respecto a n=0, es conveniente seleccionar un intervalo simétrico en el cual la sumatoria siguiente. (

∑

)

Considerando: ∑

.

/(

)

Separando se obtiene la ecuación: .

/

∑

.

/

Evaluamos la sumatoria, obteniendo una serie geométrica, la cual genera: .

/

.

(

/(

)

.

)

/

Ordenando: .

/

.

/

.

/(

)

(

.

/

.

/(

.

/

)

)

Se ha dado forma de función seno: (

[

)

0

]

1

Finalmente obtenemos: [

(

)

0

]

1

8. Se tiene la señal de tono ( ) ( ) con una frecuencia de muestreo ; hallar: a. Fn y F(nts) b. El número de muestras por periodo c. La tabulación y la amplitud de cada una de las muestras d. El factor “ ” en grados entre cada muestra Solución: a) (

)

(

)

Reemplazando: (

) (

( )

) .

/

b) Sabemos que:

c) Tabulando:

d) Calculamos el factor muestra:

Graficando:

para determinar la separación entre cada

9. Consideramos la señal periódica N=10. 2

( )

Solución: Por definición: ∑ , Reemplazando valores: ∑ , -

, ∑⏟

, ∑⏟

∑ Propiedad ∑

{

(

) (

)

(

)

10. Determinar la transformada inversa de ( ) la transformada inversa de

(

(

)(

)

, determinar

)

Solución: A pesar de que las fracciones parciales de la expresión anterior se podrían determinar de manera directa, el procedimiento que con mayor frecuencia conduce ( )⁄ a formas estándar es obtener las fracciones parciales de . ( ) ( Donde

)(

)

De esta forma: ( ) El primer termino tiene ( ), que es la transformada z de un escalón unitario muestreado o de una secuencia en tiempo discreto 1, 1, 1, 1,… . El segundo termino tiene la forma ( ) , que es la transformada z de . De esta forma, la trasformada inversa es: , , Entonces la secuencia en tiempo discreto esta dado por 0, 1, 1.5, 1.75, …

11.

()

⁄

8

⁄

⁄

⁄

Solución:

()

()

, ( )-

∑

[

]

∑

∑ .

/

.

/

, ( )-

(

∑

, ( )-

∑

)

.

(

/

) ()

. ⁄

/ ⁄

12. ( )

[

, ( )-

[

(

) (

)

) (

)

]

Solución ( ) ( )

(

) ( )

(

( )

[

(

(

]

)

)

]

( )

( ) ( )

[

(

(

∫ ∫

( )

( )

∫

( )

]

) ( )

∫

( ) (

)

(

)

(

)

( )

( )2

2 ( ) (

( )

)

)2 (

)

( ( )

) (

) ( )

13. Hallar la respuesta al impulso unitario del circuito RC que se muestra en la figura:

Solución: El sistema mostrado trata de un filtro pasabajos, donde su función de transferencia esta dado por: ( ) ( ) ( )

Donde: ( ) Entonces la salida está dado por:

( )

( )

( ) ( )

(

)

Recordar que: {

( )

}

Entonces aplicamos la transformada inversa: ( )

{

(

)}

( )

()

()

14. Considerar el sistema mecánico ilustrado en la figura, que consiste de un resorte. Una masa y un amortiguador, si el sistema se perturba por una fuerza ( ) Hallar el ( ) desplazamiento x(t) de la respuesta en estado estacionario.

Solución: La respuesta xs (t) y la función excitadora f(t) están relacionadas por la siguiente ecuación diferencial: ( )

( )

( )

( )

Donde m, B, k representan la masa, el coeficiente de amortiguamiento y la constante de resorte, respectivamente. La ecuación anterior se puede expresar en forma operacional como: ( )

( )

( ) ( )

Donde ( )

Dado que se pide la respuesta en estado estacionario, mediante notación fasorial, se obtiene: ( ) , ( ) Donde

15. Encuentre las representaciones en serie trigonométrica de Fourier para las señales mostradas a continuación

Solución: a.

( )

2

Como ( ) es impar (

)

0

1

( )

b.

( )

{

( (

∑

0

1

) )

Como ( ) es impar

( )

c.

( )

{

.

∑

(

)

/

Como ( ) par

(

( )

d.

( )

∑

)

(

)

{

(

(

)

)

(

)

( )

∑

(

)

(

)

16. Hallar la serie de Fourier de solo cosenos para la función: ( ) mediante la relación de Parseval, probar que:

∑

(

en ,

-y

)

Solución: Haciendo la extensión par de ( )

,

-

∫

∫

{

Aplicando Parserval:

∫

∫ ∑

∑ ∑

(

( )

(

)

)

17. Considere un sistema LTI con respuesta al impulso: ( ) ( ) Y halle la representación en serie de Fourier de la salida y(t) para las siguientes entradas ( ) e. ( ) ( ) f.

( )

∑

(

)

(

)

Solución: ( )

)

∑(

(

( ) La salida del sistema LTI será:

( )

( ) Definimos (

)

∑(

( )

(

)

(

)

(

)

∫ (

)

(

)

(

)

)

(

)

)

∫ ∑(

)

)como: (

)

2

Propiedades de la función delta de Direc ( ) (

( )

)

(

)

Entonces la integral será:

()

∑( ()

)

∫ (

∑(

)

()

) ( )

∫ (

∑( (

()

(

)

)

)

( )

(

) ∑(

)

Sabemos que:

∑( ()

) (

( )

(

) )

(

)

18.Desarrollar en serie de Fourier la siguiente función f(x) =x2 ; π