Solución del balotario de de Matemáticas Avanzadas Curso: Matemáticas Avanzadas Profesor: Raúl Castro Vidal Integrante
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Solución del balotario de de Matemáticas Avanzadas
Curso: Matemáticas Avanzadas Profesor: Raúl Castro Vidal
Integrantes: Chuquispuma Zamudio, Victor…092041A Garcia Quintana, Gustavo…………092615H Martinez Calzada, David…………..092608A Melgarejo Vargas, Pedro…………..092649J Saraya Espinoza, Eduardo………..092621H
2012
1. Considere un sistema LTI con respuesta al impulso: ( ) ()Y halle la representación en serie de Fourier de la salida y (t) para las siguientes entradas. a) ( ) ( ) b) ( ) ∑ ( ) ( ) SOLUCIÓN 1(a): Considerando la salida de un sistema LTI: ()
() (
∫
)
Tenemos: () ()
(
) ()
La salida del sistema LTI será: () Definimos (
∫
(
)
() (
)
) como: (
)
2
3
Entonces expresamos a y(t) de la siguiente manera: ()
∫
(
(
)
)
(
)
La segunda integral se anula, pues ( ()
(
(
)
)
)es cero:
∫
()
∫
( ∫
)
(
)
(
)
Recordando: ∫
(
)
(
(
)
(
))
∫
(
)
(
(
)
(
))
En el problema: ()
6
(
)
(
(
)
(
))7
(
)
()
46
(
(
(
) 6
(
)
)
( (
(
))7
)
(
))75
( ) ( )) es acotada para todo b, al multiplicar por una Ya que ( exponencial y aplicar el teorema de sándwich, este límite tiende a 0 cuando b→ . Por lo tanto: ()
([
(
(
(
)
∑(
)
(
)
(
))])
1(b): Tenemos: ()
()
)
()
La salida del sistema LTI será:
Definimos (
(
)
(
)
(
)
) ∑ (
)
(
)
(
)
(
)
()
∫ ∑(
()
∫(
)
)como: (
)
2
Para el problema tenemos que: ( ) Entonces la integral será: ()
∑( ()
()
3 (
) ∫
)
(
( ) ∫
(
()
∑(
)
)
(
(
)
∑(
(
) )
) ( ) ( )
) ∑(
)
( )
Sabemos también que: )
∑(
(
)
Por lo tanto: ()
(
(
)
)
(
)
2. si ( ) ( ), -π ≤ x ≤π ;α una constante no entera. Probar que a partir de si Serie de Fourier. (
)
SOLUCION Se trata de una función par, luego
y
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫ ( (
) )
(
)
(
)
( ( (
) ) )
Luego la representación quedará: ( ) (
∑ (
∑
(
)
) (
)
)
Reemplazando finalmente obtenemos: (
∑
(
)
(
)
)
3. Enunciar y demostrar el teorema de Parseval, comente la utilidad en la teoría de señales. SOLUCIÓN: Enunciamos la aplicación de la identidad de Parseval en las series de Fourier y en las Integrales de Fourier. Identidad de Parseval en las Series de Fourier: ∫ * ( )+ Donde
y
∑(
)
estan determinados por: ∫
( )
∫
( )
Una consecuencia importante es: ∫
( )
∫
( )
Se le conoce como el teorema de Riemann. Identidad de Parsaval para Integrales de Fourier: Si F[f(t)] = F(W) entonces: ∫ | ( )|
∫ | ( )|
A esto se le conoce como la Identidad de Parsaval para Integrales de Fourier y es susceptible de generalizaciones y le llamaremos β. Demostración de β: Si F[f(t)] = F(W) y con todo lo aprendido alrededor de Fourier (convolucion): , ( )∫
( ) ()
, ( )-
∫
∫ [()
() ]
(
)
, ( )( )y ( ) ()
(
∫ ( )(
)
(
)
Es decir: Luego si hacemos
() ∫
() ()
∫ () ()
∫
( ) , (
∫
) ( ) (
)-
) ∫
( ) ( )
Por convolución: ∫ | ( )| Por lo tanto: ∫ | ( )|
∫ | ( )|
Quedando demostrado el teorema de Parseval 4. Hallar la DFT de U = C (constante) ∑ Solución: ∑ Nos damos cuenta que tiene la forma de una serie geométrica: ∑ Entonces: ( Donde Sabemos: ( ) y Entonces queda:
) (
( )
)
5. Hallar la Transformada de Fourier del siguiente pulso triangular: () , () ( )- ( ), ( ) ( )Solución: () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ahora, tomando la Transformada de Fourier: , ( ), ( ),( ), ( ), ( ), ( )), ( Usando las siguientes propiedades: , ( )-
, ( )-
(
,(
)
)-
( )
Se tiene: , ( )-
(
)
( (
, ( )-
( )
( )
, ( )-
[
, ( )-
)
(
)
(
)
(
)
) ( )
(
)
( ) ]
[
]
(
[ [
) ]
]
6. Calcular la Transformada de Fourier mediante la propiedad de convolucion de la función: () () () Solución: Por convolucion: (
∫ ( )
∫ ( )
)
(
(
)
)
Donde: ( )
(
) (
∫ Para: ()
) ()
(
)
()
Verificando: , ( )-
, ( )- ,
( )-
Por propiedad: ,
( )-
Nos queda: , ( ), ( )Aplicando la Transformada Inversa, se tiene: (
)
(
() , ( ),
)
( )-
7. Una señal de onda cuadrada periódica en tiempo discreto mostrada en la figura. Evaluar la serie de Fourier de esta función.
Solución: Debido a la simetría de esta secuencia con respecto a n=0, es conveniente seleccionar un intervalo simétrico en el cual la sumatoria siguiente. (
∑
)
Considerando: ∑
.
/(
)
Separando se obtiene la ecuación: .
/
∑
.
/
Evaluamos la sumatoria, obteniendo una serie geométrica, la cual genera: .
/
.
(
/(
)
.
)
/
Ordenando: .
/
.
/
.
/(
)
(
.
/
.
/(
.
/
)
)
Se ha dado forma de función seno: (
[
)
0
]
1
Finalmente obtenemos: [
(
)
0
]
1
8. Se tiene la señal de tono ( ) ( ) con una frecuencia de muestreo ; hallar: a. Fn y F(nts) b. El número de muestras por periodo c. La tabulación y la amplitud de cada una de las muestras d. El factor “ ” en grados entre cada muestra Solución: a) (
)
(
)
Reemplazando: (
) (
( )
) .
/
b) Sabemos que:
c) Tabulando:
d) Calculamos el factor muestra:
Graficando:
para determinar la separación entre cada
9. Consideramos la señal periódica N=10. 2
( )
Solución: Por definición: ∑ , Reemplazando valores: ∑ , -
, ∑⏟
, ∑⏟
∑ Propiedad ∑
{
(
) (
)
(
)
10. Determinar la transformada inversa de ( ) la transformada inversa de
(
(
)(
)
, determinar
)
Solución: A pesar de que las fracciones parciales de la expresión anterior se podrían determinar de manera directa, el procedimiento que con mayor frecuencia conduce ( )⁄ a formas estándar es obtener las fracciones parciales de . ( ) ( Donde
)(
)
De esta forma: ( ) El primer termino tiene ( ), que es la transformada z de un escalón unitario muestreado o de una secuencia en tiempo discreto 1, 1, 1, 1,… . El segundo termino tiene la forma ( ) , que es la transformada z de . De esta forma, la trasformada inversa es: , , Entonces la secuencia en tiempo discreto esta dado por 0, 1, 1.5, 1.75, …
11.
()
⁄
8
⁄
⁄
⁄
Solución:
()
()
, ( )-
∑
[
]
∑
∑ .
/
.
/
, ( )-
(
∑
, ( )-
∑
)
.
(
/
) ()
. ⁄
/ ⁄
12. ( )
[
, ( )-
[
(
) (
)
) (
)
]
Solución ( ) ( )
(
) ( )
(
( )
[
(
(
]
)
)
]
( )
( ) ( )
[
(
(
∫ ∫
( )
( )
∫
( )
]
) ( )
∫
( ) (
)
(
)
(
)
( )
( )2
2 ( ) (
( )
)
)2 (
)
( ( )
) (
) ( )
13. Hallar la respuesta al impulso unitario del circuito RC que se muestra en la figura:
Solución: El sistema mostrado trata de un filtro pasabajos, donde su función de transferencia esta dado por: ( ) ( ) ( )
Donde: ( ) Entonces la salida está dado por:
( )
( )
( ) ( )
(
)
Recordar que: {
( )
}
Entonces aplicamos la transformada inversa: ( )
{
(
)}
( )
()
()
14. Considerar el sistema mecánico ilustrado en la figura, que consiste de un resorte. Una masa y un amortiguador, si el sistema se perturba por una fuerza ( ) Hallar el ( ) desplazamiento x(t) de la respuesta en estado estacionario.
Solución: La respuesta xs (t) y la función excitadora f(t) están relacionadas por la siguiente ecuación diferencial: ( )
( )
( )
( )
Donde m, B, k representan la masa, el coeficiente de amortiguamiento y la constante de resorte, respectivamente. La ecuación anterior se puede expresar en forma operacional como: ( )
( )
( ) ( )
Donde ( )
Dado que se pide la respuesta en estado estacionario, mediante notación fasorial, se obtiene: ( ) , ( ) Donde
15. Encuentre las representaciones en serie trigonométrica de Fourier para las señales mostradas a continuación
Solución: a.
( )
2
Como ( ) es impar (
)
0
1
( )
b.
( )
{
( (
∑
0
1
) )
Como ( ) es impar
( )
c.
( )
{
.
∑
(
)
/
Como ( ) par
(
( )
d.
( )
∑
)
(
)
{
(
(
)
)
(
)
( )
∑
(
)
(
)
16. Hallar la serie de Fourier de solo cosenos para la función: ( ) mediante la relación de Parseval, probar que:
∑
(
en ,
-y
)
Solución: Haciendo la extensión par de ( )
,
-
∫
∫
{
Aplicando Parserval:
∫
∫ ∑
∑ ∑
(
( )
(
)
)
17. Considere un sistema LTI con respuesta al impulso: ( ) ( ) Y halle la representación en serie de Fourier de la salida y(t) para las siguientes entradas ( ) e. ( ) ( ) f.
( )
∑
(
)
(
)
Solución: ( )
)
∑(
(
( ) La salida del sistema LTI será:
( )
( ) Definimos (
)
∑(
( )
(
)
(
)
(
)
∫ (
)
(
)
(
)
)
(
)
)
∫ ∑(
)
)como: (
)
2
Propiedades de la función delta de Direc ( ) (
( )
)
(
)
Entonces la integral será:
()
∑( ()
)
∫ (
∑(
)
()
) ( )
∫ (
∑( (
()
(
)
)
)
( )
(
) ∑(
)
Sabemos que:
∑( ()
) (
( )
(
) )
(
)
18.Desarrollar en serie de Fourier la siguiente función f(x) =x2 ; π