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Quinto grado de secundaria

5

Razonamiento Lógico Matemático Guía para el maestro

MÁXIMO DE LA CRUZ SOLÓRZANO

Solucionario Quinto de secundaria Capítulo 1 Problemas modelo (página 6) 2. Los números 14 y 17, los escribimos así: 14 = 3 (4) + 2 ; Aquí x = 4 17 = 3 (5) + 2 ; Aquí x = 5 Luego: 14 + 17 = 3 (4) + 2 + 3 (5) + 2 = (42 - 1) + (52 - 1) = (16 – 1) + (25 – 1) = 15 + 24 = 39 4. Tenemos que hallar la Ley de Formación. Sea x = ax + b; a y b constantes: x = ax + b = a(ax + b) + b = a2x + ab + b

Tenemos: a2x + ab + b = 36x + 42 Igualamos coeficientes: a2 = 36 y ab + b = 42 a = 6 y 6b + b = 42 7b = 42 ; b = 6 Luego: x = 6x + 6 2 = 6 (2) + 6 = 18 6. Tenemos:

x =x+4 x =x+8

Luego: x = x + 4 = x + 8 Hacemos un cambio de variables x+4=a x=a–4 x+4=x+8 a = (a – 4) + 8 = a + 4 También tenemos: x+3=x–1 x+3+4=x–1 x+3=x–5 Hacemos un cambio de variable: x+3=b x=b–3 x+3=x–5 b = (b – 3) – 5 b = b – 8 8 =8–8=0

8. x2 – 2 = x Hacemos un cambio de variable: x2 – 2 = a

x2 = a + 2

x=

a+2

Por tanto: a=

a+2

Luego: 1. 2.

2 = 2+2 = 2 =2=2

4 =2

3. 2 = 2 = 2 En conclusión: 2 =2 10. x3 – 1 = x + 59 63 = x3 – 1 63 = 43 – 1 63 = 63 8y – 1 = 63 8y = 64 → y = 8 12. n =

n(n +1) 2

n(n +1) = 21 → n2 + n – 42 = 0 2 n = –7 y n = 6 n(n +1) =6→ 2

n2 + n – 12 = 0 n = –4 y n = 3

n(n +1) =3→ 2

n2 + n – 6 = 0 n = –3 y n = 2

→ 2x + 1 = 2 2x = 1 x=½ 14. x = ax + bx 1 = 2 = a1 + b1 = a + b 2 = 3 = a2 + b 2 Donde: a y b son constantes a + b = 2 ∧ a2 + b2 = 3 a+b=2 (a + b)2 = 22 a2 + 2ab + b2 = 4 Guía para el Maestro

131

a2 + b2 + 2ab = 4 3 + 2ab = 4 2ab = 1ab = ½ Sabemos que: (a + b)5 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) (a + b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 (a + b)5 = a5+b5+5ab(a3+b3)+10a2b2(a+b) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab (a + b) Luego: a5 + b5 = (a+b)5–5ab (a3+b3)–10 a2b2(a+b) 5 = (a+b)5–5ab ( (a + b)3 − 3ab(a + b) ) -10(ab)2(a+b)

M = ⎡⎣ (3−1 * 2−1) *(4−1 *1−1) −1 ⎤⎦

M = ⎡⎣(1 / 3 *1 / 2) *(1 / 4 *1−1) −1 ⎤⎦ M = ⎣⎡ (1 / 3 ⋅ 1 / 2) ⋅ (1 / 4 ⋅ 1−1) −1 ⎦⎤ M = ⎡⎣(1 / 6) ⋅ (1 / 4−1) ⎤⎦

{ k = {⎣⎡ (3 * 2) *(2 * 3) k = {⎡⎣ (3 * 3 ⎤⎦ * 4}

}

k = ⎣⎡(1−1 * 2) −1 *(2−1 * 3) −1 ⎦⎤ * 4 −1

132

−1

−1

k = {4 * 4}

}

⎦⎤ * 4

−1

M =3/2 Práctica Dirigida (página 9)

x3 − 1 =a 2

x = 3 2a + 1

⎛ x3 − 1 ⎞ 3 f⎜ ⎟ = x +1 ⎝ 2 ⎠

−1

f ( a ) = 3 (2 a + 1) 3 + 1

f (a) = 2a + 1+ 1 f (a) = 2a + 2 Entonces: f ( x) = 2 x + 2

−1

2m + 3 = m2 + 4 2 Hacemos un cambio de variables: 2m + 3 2b − 3 =b m= 2 2 •

−1

k = 2−1 k =2 −1

Hallamos el elemento neutro (e) a*e=a a*e=a e=1 Hallamos el elemento neutro (a-1) a * a-1 = e a . a-1 = 1 a-1 = 1/a 3-1 = 1/3; 2-1 = 1/2; 4-1 = ¼; 1-1 = 1

Aptos matemático 5

⎛ x3 − 1 ⎞ 3 Si f ⎜ ⎟ = x +1 ⎝ 2 ⎠

Hacemos un cambio de variables:

−1

17. M = ⎡⎣(3 −1 * 2−1) *(4 −1 *1−1) −1 ⎤⎦

−1

M = [ 2 / 3]

−1

−1

k = {[ (1* 1] * 4}

−1

−1

−1

1. •

16. Del problema anterior (15) tenemos: 1-1 = 3 ; 3-1 = 1 2-1 = 2 ; 4-1 = 4 Luego:

−1

M = [1 / 6 ⋅ 4]

5 = 25–5 (1/2) ( (2)3 − 3(1 / 2)(2) ) –10(1/2)2(2) 5 = 32 – 5/2(8 – 3) – 5 5 = 27 – 25/2 = 29/2

−1

Si

2m + 3 2

= m2 + 4 2

⎛ 2b − 3 ⎞ b=⎜ ⎟ +4 ⎝ 2 ⎠

b=

4b 2 − 12b + 9 +4 4

b = b 2 − 3b + 25 / 4 Entonces: m = m2 – 3m + 25/4 •

Si

a+3 = a+2

Hacemos un cambio de variables:

a+3 = c

a = c 2 − bc + 9

a+3 = a+2 c = c 2 − bc + 9 + 2

c = c 2 − bc + 11 Entonces: a = 22 – 6a + 11 x −1 =x 2 Hacemos un cambio de variables:

•

3

3

x −1 =d 2

3

x −1 =x 2

x = (2d + 1)3

d = (3d + 1)3 Entonces: x = (3x + 1)3

3 1 = x −1 x Hacemos un cambio de variables:

•

3 =e x −1

3+e x= e

3 1 = x −1 x

1 e= 3+e e

e=

e e+3

Entonces: x =

x x+3

2. • a * b = b * a + a + b Igualmente se cumple: b*a=a*b+b+a Sumando: b*a=a*b+b+a + a*b=b*a+a+b a * b + b * a = a * b + b * a + 2a + 2b a+b=0 Luego: a*b=b*a+a+b a * b = b * a (es conmutativa) Como se cumple que: a+b=0 a = –b

Por tanto el operador solo puede ser ejecutado para el número que es inverso aditivo, respectivamente: Ejm: x * –x = –x * x Esta operación cumple ciertas propiedades: Elemento Neutro a*b=b*a a * e = e * a ↔ e = –a Elemento Inverso a * a-1 = e ↔ a-1 = –a Luego: - a*e=a a * –a = a -1 - a + a = e a * –a = e = -a a * −a = a

a * −a = − a a=0 Luego: a + b = 0 ↔ a = 0 •

a * b = (a + b) a + b

Sea a * b = x, hallamos la ley: a + b = (a + b) a + b x = (a + b)

x 133

x=a+b x = (a + b)2 a + b = (a + b)2 • (b * a)2 = a (a * b), si a * b > 0 Se cumple también: (a * b)2 = b (b + a) x (b * a)2 = a (a + b) (a * b)2(b * a)2 = a x b (b * a)(a * b) (a * b) (b * a) = a x b

(b * a) =

ab ( a * b)

Luego: (b + a)2 = a (a * b) 2

⎛ ab ⎞ ⎜ ⎟ = a ( a * b) ⎝ ( a * b) ⎠ a 2b 2 = a ( a * b) ( a * b) 2 (a*b)3 = a2b2 Guía para el Maestro

La ley: a*b = 3

3

ab2 y a + b > 0

3a = 7; a =

ab2 > 0

7 5 (7 / 3) + 3(5 / 2) 3( ) * 2 ( ) = 2. 5 3 2

ab2 > 0 a>0 3

La ley será: a * b =

7*5=

ab2 , si a > 0

a * b2 = 2( b * a 2 ) − ab

•

•

De igual forma:

b * a 2 = a * b2 Entonces podemos reemplazar: a * b 2 = 2( a * b 2 ) − ab

10 * 3 =

2

a =m

b2 = n

a = m2

•

b = n2

m − n = m2 2

2a + 3b , hallar: 5

3*2 Igualamos: 3a = 3; a = 1 ∧ 2b = 2; b = 1 3 (1) – 2 (1) =

•

3(2) * 2(4) =

•

2(1) + 3(1) 5 = =1 5 5

3*2=1 6*8 Igualamos: 3a = 6; a = 2 ∧ 2b = 8; b = 4

6*8=

2 3 ∧ 2b = 3; a = 3 2

2 3 53 3( ) * 2( ) = 3 2 30

a * b = a2 b

•

2*3 Igualamos:

2 3 2(2 / 3) + 3(3 / 2) 3 ( ) * 2( ) = 5 3 2

a * b 2 = ab

3. Si 3a + 2b =

67 30

3a = 2; a =

Entonces la ley será: 134

10 * 3 Igualamos:

10 3 ∧ 2b = 3; b = 3 2 10 3 2(10 / 3) + 3(3 / 2) ) * 2( ) = 3( 5 3 2 10 3 67 ) + 2( ) = 3( 3 2 30

a * b 2 = 2( b * a 2 ) − ab 3 ( b * a 2 ) = 3( a * b 2 )

a * b = ab

73 30

3a = 10; a =

b * a 2 = 2( a * b 2 ) − ba

Sea:

7 5 ∧ 2b = 5; b = 3 2

16 5

7*5 Igualamos:

Aptos matemático 5

2(2) + 3(4) 16 = 5 5

2*3= •

53 30

1 1 * 3 2 Igualamos: 1 1 1 1 3a = ; a = ∧ 2b = ; b = 3 4 2 4 1 1 2(1 / 4) + 3(1 / 4) 3( ) * 2( ) = 4 4 5 3(

1 1 7 ) * 2( ) = 4 4 36

1 1 7 * = 3 2 36 4. a * b = a + b – 1 • Hallando el elemento neutro e e* a= a* e= a+ e– 1 = a;e= 1

•

Hallando el elemento inverso a * a-1 = e a * a-1 = a + a -1 – 1 = 1 a-1 = 2 – a

m Δn = m − n + 1 •

•

Hallando el elemento neutro mΔe = eΔm = m mΔe = m′e + 1 = m e=1 eΔm = e − m + 1 = e m=1 Hallando el elemento inverso

mΔm−1 = m−1Δm = e mΔm−1 = m − m−1 + 1 = e m – m-1 + 1 = 1 m-1 = m m-1 = 1 ( p + q) p,q = 2 • Hallando el elemento neutro ( p + e) p,e = e, p = =p 2 p + e = 2p e=p • Hallando el elemento inverso p, p −1 = p −1, p =

( p + p −1) =e 2

c-1 = –

2 –c 3

5. ab * 2ba = 2a + b Hallar: 81 * 128 Igualando: a=3 ab = 81 ∧ 2ba = 128 ab = 81 ∧ ba = 64 b=4 81 * 128 = 34 * 2.43 = 2(3) + 4 = 10 6. 2x – 5 = x2 - 1 • Hacemos cambio de variable 2x – 5 = a a+5 2x = a + 5; x = 2 2 2x – 5 = x – 1 2

⎛ a+5⎞ a=⎜ ⎟ −1 ⎝ 2 ⎠

a=

a 2 + 10a + 25 −1 4

3=

32 + 10 ⋅ 3 + 21 = 15 4

112 + 10 ⋅ 11+ 21 252 11 = = = 63 4 4 3 + 11 = 15 + 63 = 78

7.

p + p-1 = 2p p-1 = p

⎛ a + 1⎞ ⎛ a − 1⎞ 2 ⎜ ⎟*⎜ ⎟ = a + a +1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ •

1 3 Hallando el elemento neutro 1 c%e = e%c = c + e + = c 2

Hallar 8 * 7

c% d = c + d +

Igualando

•

Luego:

1 3 Hallando el elemento inverso

c%c−1 = c −1%c = c + c−1 +

1 =e 3

a +1 = 8 ; a = 15 2

a −1 =7 2

⎛ 15 + 1 ⎞ ⎛ 15 − 1 ⎞ 2 8 * 7 =⎜ ⎟*⎜ ⎟ = 15 + 15 + 1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

e=– •

1 1 =– 3 3

c + c-1 4 x

8 * 7 = 241

x = x2 − 2

8. •

Haciendo un cambio de variable:

x = a ; x = a2 x = x2 − 2 Guía para el Maestro

135

•

a = a4 − 2

Q = (3−1+2−1) −1+1−1

x = x4 − 2

Q = (−5+−4)−1+−3

x = 3x – 4

Q = (−5 + −4 + 1) −1+−3

x4 – 2 = 3x – 4 Hacemos un cambio de variable: x4 – 2 = a x4 = a + 2

Q = (−8)−1+−3

Q = 6+−3 Q = 6 + (−3) + 1

x = 4 a+2

Q=4

x4 – 2 = 3x – 4

x = 34 x + 2 − 4 14 = 3 14 + 2 − 4

Problemas propuestos 1 (página 11)

4

14 = 3x2 – 4 = 2

136

9. a * b = a – b, a-1 es el elemento inverso de a E = (2-1 * 4)-1 * (6-1 * 3)-1 Hallando el Elemento Neutro: a * a-1 = a-1 * a = e 2a = e = 2a-1 a-1 = a E = (2-1 * 4)-1 * (6-1 * 3)-1 E = (2 * 4)-1 * (6 * 3)-1 E = (2 – 4)-1 * (6 – 3)-1 E = (–2)-1 + (3)-1 E = (–2) * (3) E = –2 – 3 E = –5 10. a+b = a + b + 1 a-1 es el inverso de a

Q = ( 3 − 1 Δ 2 − 1 ) − 1 Δ 1− 1 •

•

Hallando el Elemento Inverso a * a-1 = a-1 * a = e

a + a −1 = a −1 + a = e a + a-1 + 1 = e Hallando el Elemento Neutro aΔe = eΔa = a a+e+1=a e = –1 Luego: a + a-1 + 1 = –1 a-1 = –2 – a 3-1 = –5, 2-1 = –4, 1-1 = –3, –8-1 = 6

Aptos matemático 5

1.

1 1 1 1 + + + ........ + 1 .3 3 .5 5 .7 69.71 2 1 1 1 e= + + + ......... + 5 5 .7 7 .9 69.71 3 1 1 e= + + ......... + . 7 79 69.71 4 1 1 e= + + ....... + 9 9.11 69.71 Entonces: e=

1 1 n n + = + 69 69.71 2n + 1 69.71 2n + 1 = 69 ; n = 34 m m e= = 2m + 1 71 2m + 1 = 71 2m = 70 ; m = 35 e=

e=

35 71

2. x # y = x + 2y z z ∇w = + 2 w Hallar “x” si:

(b # 7)∇x =

7 8

(b + 2.7)∇x =

7 8

7 8 20 7 20 9 +2= ; =− x 8 8 x −160 x= 9

20∇x =

3. a3 * b2 = 5a + 2b M = 27 * 16 Igualamos: a3 = 27 ; a = 3 b2 = 16 ; b = 4 Luego: M = 33 * 42 = 5(3) + 2(4) M = 15 + 8 = 23 4. Interceptando filas y columnas iguales podemos observar el elemento neutro: e =1 Luego: a * 2-1 = e a * 2-1 = 1 1 * 1-1 = 1 1-1 = 1 2 * 2-1 = 1 2-1 = 3 3-1 = 2 3 * 3-1 = 1 −1 M = ⎡( 2−1 * 3 ) * 2 ⎤ ⎥⎦ ⎣⎢

M = ⎡( 3 * 3 ) * 2 ⎤ ⎣ ⎦ −1

M = ⎡⎣2−1 * 2⎤⎦

−1

−1

−1

M = [ 3 * 2]

−1

M = 1−1 M =1

5. 3x + 7 = 5x + 2 Igualamos: 16 = 3x + 7 ; x = 3 22 = 3x + 7 ; x = 5 Luego: 16 + 22 = 5.3 + 2 + 5.5 + 2 16 + 22 = 17 + 27 = 44 6. 2x – 3 = x2 + 2 Igualamos: 7 = 2x – 3 ; x = 5 5 = 2x – 3 ; x = 4 Luego: 7 + 5 = 5 2 + 2 + 42 + 2 7 + 5 = 27 + 18 = 45 7. x + 4 = 2 x ; 4 = 2. Hallar –4 Por dato: 4 =0+4=20

2 =20 0 =1 0 = -4 + 4 = 2 –4 1 = 2 –4 –4 = ½ 8.

3 x 4* 4 y x = x 2 + y 2

Hallar 243 * 256 Igualamos: 3xy = 243 xy = 81 4yx = 256 yx = 64 xy = 81 x = 3 yx = 64 y = 4 Luego reemplazando:

243 + 256 = 3.34 * 4.43 = 32 + 42 = 5 243 * 256 = 5 9. Si: a # b = 4 (b # a) + b – 2a =

4(b # a ) = 4(4( a # b) + a − 2b) a # b = 4(b # a ) + b − 2a a # b = 16( a # b) + 2a − 7b 7b − 2a 15 7.4 − 2.8 4 = 8#4 = 15 5 a#b =

10. a * b = a + b – 2 a-1 es el inverso de a a * a-1 = a-1 * a = e a * a-1 = a + a-1 – 2 = e a-1 = 2 + e – a Hallando el elemento neutro: a*e=e*a=a a*e=a+e–2=a;e=2 Entonces: a-1 = 2 + 2 – a = 4 – a

M = (3−1 * 6)−1 *(2 * 4−1)−1 M = (1* 6)−1 *(2 * 0)−1 M = (5) −1 *(0)−1 M = −1* 4 M =1 Guía para el Maestro

137

11. Si se define 2a = a + a – 2 a–2=2a+5–a–2 Sea: a – 2 = m ; a = m + 2 a–2=2a+5–a–2 m=2m+7–m–4 a=2a+7–a–4 Luego: 2a = a + a – 2

44 Δ7 = 42 − 7 − 3 = 6} 16. 6x – 3 = 5x + 4 Hacemos un cambio de variable

2a = 2 a + 7 – a – 4 + a – 2

6x – 3 = a ; x =

2a = 2 a + 7 – 6

Luego: 6x – 3 = 5x + 4

Sea: 2a = 14 ; a = 7 2.7 = 2 7 + 7 – 6 14 = 2. 14 – 6 14 = 6 12. a = b ab ; ∀a, b ∈ \ + Si 600 = 14 Sea b =

7 6

7 600 7 6 6 7 600 = 700 6 7 14 = 700 ; 700 = 12 6 600

138

15. mm Δn = m2 − n − 3 Igualamos: 256 = 28 = (22)4 = 44 Luego:

=

2 ⎛ x − 1⎞ ⎛ x + 1⎞ x + 2 + = 14. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ k = (5 * 6) + (7 * 8) Igualamos: x −1 = 5 ; x = 11 2 x + 1 11 + 1 Luego: = =6 2 2 Igualamos: x −1 = 7 ; x = 15 2 x + 1 15 + 1 = =8 Luego: 2 2 ⎡⎛ 11−1⎞ ⎛ 11+1⎞⎤ ⎡⎛ 15 −1⎞ ⎛ 15 +1⎞⎤ k = ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎥ + ⎢⎜ ⎟+⎜ ⎟⎥ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ 112 + 2 152 + 2 123 227 350 k= + = + = 3 3 3 3 3

Aptos matemático 5

(a + 3) 6

5 a = (a + 3) + 4 6 5 3 = (3 + 3) + 4 = 9 6 5 15 = (15 + 3) + 4 = 19 6 3 + 15 = 9 + 19 = 28 17. n = 2n + 3 2

= 7 = 17 = 37 = 77

18. a * b = 2a + b

2 3 Entonces: [2 *(4 * 3)] * 2 a*b=

si a < b si a ≥ b

⎡ ⎛ 2 ⎞⎤ ⎢2 * ⎜ 3 ⎟ ⎥ * 2 ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎡2⎤ ⎢3 ⎥ *2 ⎣ ⎦

2⋅

2 10 +2= 3 3

19. 1 = 3, 2 = 7, 3 = 13, 4 = 21, 5 = 31 Veamos la sucesión: 3 ; 7 ; 13 ; 21 ; 31 +4 +6 +2

+8 +2

+10

+2

Debido a que existe una regla de correspondencia de segundo orden, entonces el operador será de segundo grado, es decir: x = ax2 + bx + c

Luego: 1 = a + b + c = 3 2 = 4a + 2a + c = 7 3a + a + b + b + c = 7 3a + b = 4 3 = 9a + 3b + c = 13 8a + 2b = 10 4a + b = 5 3a + b = 4

4a + b = 5 a =1 b =1 Como: a + b + c = 3 entonces c = 1 Por tanto podemos hallar la ley: x = x2 + x + 1 Verificamos: 4 = 42 + 4 + 1 = 21 5 = 52 + 5 + 1 = 31 Finalmente: 16 = 162 + 16 + 1 = 273

a+b 20. Si a∅b = a −b m,n = 2m + 3n P = (5∅3),(6∅2) ⎛5+3⎞ ⎛6+2⎞ P=⎜ ⎟,⎜ ⎟ ⎝5−3⎠ ⎝ 6−2⎠ P = 4,2

P = 2(4) + 3(2) = 14 a 2 − b2 c2 − a2 − c a 42 − 32 22 − 42 13 − = 432= 2 2 4

21. a b c =

22. (4 x y ) * (2 y x ) = ( x + y )2 + 2 256 * 162 xy = 64 ; x = 4 256 = 4xy yx = 81 ; y = 3 162 = 2yx Luego: (4.43) * (2.34) = (4 + 3)2 + 2 256 * 162 = 51 23. a * b = ab (a + b) ; a b = 2a + b Luego: 3 4 = 12 7 12 7 = 2(12)+ 7 = 31

24. a%b = (a + b)a , Hallar “c” si

c + (4%3) = 3%4 c + (4 + 3)4 = (3 + 4)3 c + 28 = 21 c = –7 25. 2 * 3 = 2 3*2=2 5 * 4 = 27 1*5=5 5 * 2 = 36 26. a%b = a2 − ab Hallar el valor de x en: ( x + 2)%( x − 1) = 4 x

Reemplazando y utilizando la ley: ( x + 2)%( x − 1) = ( x + 2)2 − ( x + 2)( x − 1) = 4 x

x2 + 4x + 4 – x2 – x + 2 = 4x x=6 27. 2x = x + x + 7

=2x+6 –x+4 Sea: x – 1 = a ; x = a + 1 x–1

=2x+6 –x+4 a=2a+7 –a+4 Sea: a = 7 7 = 2 14 – 7 + 3 … ( α ) Luego: x = 7 14 = 7 + 7 + 7 x–1

14 – 14 = 7

… (β )

Igualando: ( α ), ( β ): 2 14 – 4 = 14 – 14 14 = -10 28. a,b = a + b − 3 Si: a-1 es el elemento inverso: Hallamos el elemento neutro e: a,e = e,a = a a,e = a + e − 3 = a e=3 Hallamos el elemento inverso:

a,a −1 = a −1 ,a = e a,a −1 = a + a −1 − 3 = e Guía para el Maestro

139

a + a −1 = −3 = 3 a −1 = +6 − a Luego: 3-1 = 6 – 3 = 3, 2-1 = 6 – 2 = 4 P = ( 3 , 3 − 1 ) , ( 2 − 1 ,1)

P = (3,3),(4,1) P = 3,2 P=2 29. n + 1 = 2 n – 1 5 = 17 Sea: n + 1 = 5 ; n = 4 4=9 Sea: n + 1 = 4 n = 3 4=23 –1=9 3=5 Sea: n + 1 = 2 ; n = 1 2=21 –1=3 1=2 3 4 + 4 2 = 3(9)+4(2) = 35

140

30. Si: x – 1 = x + 1 x+1 =x–1 a =a–2 Sea: x – 1 = b b=x+1 b–2=x+1 b=x+3 x–1=x+3 Sea: x – 1 = n x = n + 1 x–1=x+3 n=n+4 5=5+4=9 5 + 2 = 9 + 2 = 11 = 11 + 4 = 15 31. x – 1 = x2 – 2 Hacemos un cambio de variable: x–1=n x=n+1 x – 1 = x2 – 2 n = (n + 1)2 – 2 Se cumple que: 2 2 + x =x+1 2 2 ⎡( 2 + 1) − 2⎤ + ( x + 1)2 − 2 = ( x + 2)2 − 2 ⎣ ⎦

Aptos matemático 5

14 + x2 + 2x + 1 – 2 = x2 +4x + 4 – 2 2x = 11 x = 5,5 32. x – 2 = x2 – 2 Hallar “m” = m – 2 = 79 Reemplazando de acuerdo a la ley m2 – 2 = 79 Sea: m2 = x x – 2 = x2 – 2 = 71 (m 2)2 = 81 m=3 33. Si m * n = 6 – 5 (n * m) Entonces: n * m = 6 – 5 (m * n) (m * n) – (n * m) = 5 (m * n) – 5 (n * m) 4 (n * m) = 4 (m * n) n*m=m*n Luego: m + n = 6 – 5 (m * n) m*n=1 k = 1*(2 *(3 × ...98 *(99 *100)).....))

k = 1* (2 *(3 *...98 *(1)...)) k = 1*(2 *(3 *.....98 *(1)....)) k =1 34. Si: a Δ b = a b

1/ 2

Si: ( xΔx) − 2 = 2

xΔx = 2−1/ 2 x x1/ 2 = 2−8 / 16 = (2−8 )1/ 16 −4

x x1/ 2 = (2−8 )1/ 24 = (2−8 )2

xx

1/ 2

= ( 2 −8 ) ( 2

− 8 1/ 2

)

x = 2-8 35. x = 1 + 1/x

E = log a 1 + log a 2 + .... + log a 99 E = log a 1 2 3... 99 3 4 5 100 E = log a 2. . . ..... 2 3 4 99

E = log a 100 = log 10 4 / 7 10 2 E=

7 2

Capítulo 2

M C + N = {1; 3; 5; 7; 8}+{1; 2; 3; 6; 7}

1)

M C + N = {2; 5; 6; 8}

Problemas modelo (página 14) 2. A = { x +2/x ∈ ` y 1 ≤ x ≤ 5}

N C + P = {2; 3; 4; 7; 9}

Hallamos el conjunto A:

M ∩ PC = {4; 6} = {M ∩ PC} = {12 ; ;3;5;7;8;9} C

Luego los elementos serán: 13 + 2 = 3 23 + 2 = 10 33 + 2 = 29 43 + 2 = 66

4)

5)

2

10.

∑= 0 A = {a + b + c; 2 d + e} 3

a3 + b + c = 2d + e = c + 2 = 14 = 2d − e 2d + e = 2d − e + 4 e=2 d =6 2d + e = 14 c + 2 = 14 c = 12

( x 2 − 4)( x 2 − 1) = 0

( x − 2)( x + 2)( x − 1)( x + 1) = 0 x = {−2; −1; −1; −2}

∑ = −2 − 1+ 1+ 2 = 0

a3 + b + c = 14 Como a < b < c

Q = { x ∈ ] / −12 < x + 6 < 20} R = { x ∈ ] / 10 < x 2 ≤ 400}

{

a3 + b = 2 G/N

a < b < 12 ∩ a3 + b = 2 Luego: c.d M = a3 + b + + e3 2

Q = { x ∈ ] / −18 < x < 14} n (Q) = 31

}

R = x ∈] / 10 ≤ x ≤ 20 ∨ −20 ≤ x ≤ − 10

a 3 + b 12.6 + + 23 2 2 M = 2 + 36 + 8 = 46

n (R) = 2.17 = 34

M=

n [ P ( R ) ] − n [ P (Q ) ]

234 − 231 = 231(23 − 1) = 7.231

12. n( A) = n( B) + 3

M = {2; 4; 6; 8}

n ⎡⎣ P ( A ) ⎤⎦ = n ⎡⎣ P ( B ) ⎤⎦ + 7

N = {1; 2; 3; 6; 7}

Sea: n(A) = 2 n = n (B) + 3n También:

P = {2; 3; 5; 7; 8} V = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

}

(B) = n - 3

n ⎡⎣ P ( A ) ⎤⎦ = n ⎡⎣ P ( B ) ⎤⎦ + 7

Hallar la suma de elementos en: C

}

+ N ) ∩ ( N C + P ) − ( M ∩ P C )C

Son conjuntos unitarios entre sí

x4 − 5 x2 + 4 = 0

{( M

C

B = {c + 2;14; 2d − e}

x4 − 5 x2 = −4

8.

{( M

{2} − {1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9}{∅}

unitario. Hallamos los valores de x:

6.

(M C +N ) ∩ ( N C +P) = {2; 5; 6; 8} ∩{2; 3; 4; 7; 9}

( M C + N ) ∩ ( N C + P ) = {2}

∑ = 3 + 10 + 29 + 66 = 180 M = { x − 5 x ; − 4} es un conjunto 4

M ∩ P C = {2; 4; 6; 7} ∩ {1; 4; 6; 9}

3)

Si: 1 ≤ x ≤ 5 ; x = {1, 2, 3, 4}

4.

N C + P = {4; 5; 8; 9}+{2; 3; 5; 7; 8}

2)

3

+ N ) ∩ ( N C + P ) − {M ∩ P C }

C

2n = 2n−3 + 7 2n − 2n−3 = 7 Guía para el Maestro

141

2n−3 (23 − 1) = 7

m = 2000

2 n−3 − 7/ = 7/

Podemos obtener “x”

2n−3 = 1 n − 3 = 0

n=3

x=

n( A) = 3 y n( B) = 0 ( A ∩ B) = A

Práctica dirigida (página 17)

Luego: n ⎡⎣ P ( A ∪ B ) ⎤⎦ = n ⎣⎡ P ( n ) ⎦⎤ El número de subconjuntos no vacíos de A ∪ B será:

1.

n⎡⎣P( A∪B)⎤⎦ −12n⎡⎣P( A)⎤⎦ −12 2n(A) −1= 23 −1=7

142

9 .2000 = 450 40

14. Física Datos: a + b + d = 10 ……. (1) a=7 ……. (2) b=3 ……. (3) b + c + d + e + f + g = 28 ……. (4) a+e=9 ……. (5) f=3 ……. (6) g=5 ……. (7) (2) + (4) = U= a + b + c + d+ e + f + g U = a + b + c + d + e + f + g = 7 + 28 U = 35

Solteros Casados Solteros Casados

M am 2/5m embarazadas b x no embarazadas

Tenemos: a + b = 3/8m En total en mujeres hay: a + b + 2/5m + x = m 3/8m + 2/5m + x = m n x = 9/40m También tenemos que: 2/5m = n Luego: m + h = 2800 m + 2/5 = 2800 Aptos matemático 5

B ⊂ A

(V)

A∈ B

(V)

A ⊂ B

(F)

A = C

(F)

A = A

(F)

B = C

(F)

C ⊂ B

(F)

B ⊂ C

(F)

A – B = ∅ (V) 2.

{2}

∉B

{3}

∉A

1∈ A

{1}

16. U = h + m = 2800 Esquema Lewis Carrol M

A = ∅ ; { B = ∅} y C = {0}

∉ A

{3; 4}

∈ C

3 ∈C 2 ∈ B

2∉A

3.

{2}

∈A

{5}

∈C

A B A C B C

⊂ ⊄ ⊂ ⊄ ⊄ ⊄

B A C A C B

A B C D D

⊂ ⊂ ⊄ ⊄ ⊄

D D D B C

4.

•

2

9 +7

Por extensión x−2 ⎧ ⎫ D = ⎨ x ∈ ] 14 =≤ < 7⎬ 3 ⎩ ⎭ x−2 4= 0 ab ba 14 11 ab ba 154 Ordenamos: ab + ba 154

ab ba 102 b 10b a 154 a b 14 Luego: a 2 b2

150

6.

a b a b

abc N

14 4 56

el complemento aritmético:

1000 N Dato: N 2 1000 N

466

3N 2000 466 3N 2466 N 822 cifras N 8.

8 2 2 12 n

62 1 61 1 60 4

134b 1222 1342 Hay dos posibles soluciones: a 0 1) b 1 2) b 0 a 11 Pero sabemos que ba ba11 esto en base a 11, a, b 11 b 1 a=0 Luego: a 3 2b 2 (R) Aptos matemático 5

4...... 1

2bc

0 , podemos deducir

2

...... 2 b, c

bbc

0 , podemos deducir:

b 0

......( 4)

b c......(3)

De (1) y (2) como

4 >2 =3 De (3) y (4) b 0 b 3n 32 n

a32 = 98 – 3.32 = 2 a31 = 98 – 3.31 = 5 a30 = 98 – 3.30 = 8 3 números

20.

4+1

27+1

256+1

3125+1

11+1 22+1

33+1

44+1

55+1

tn = nn+1

t7 = 77+1 t7 = 823543 + 1 t7 = 823544 Suma de cifras: 8+2+3+5+4+4 = 26 +5

+2

2

21.

+7 +2

an = an + bn + c n=1: a+b+c=3 n = 2 : 4a + 2b + c = 6 n = 3 : 9a + 3b + c = 11 (2) – (1) : 3a + b = 3 (3) – (2) : 5a + b = 5 a=1 b=0 c=2 an = n2 + 2 100 n2 + 2 10 n 2º término = n = 11 an = u2 + 2 = 123

… (1) … (2) … (3)

18. 6 ; 9 ; 27 ; 30 ; 90 ; x x3

23.

+2

14

-2

-2

6

+1 +1

+1

+3 +3

+3 +3

+3 +3

=6;

=5

G S

+5

+5

+1 12

+5

+9 32

+25 52

2

2 +4

+49 72

4 +16

2

6 +36

2

8 +64

a = 36 + 49 = 85 b = 58 + 64 = 122 b – a = 122 – 85 = 37 24. 5 ; 12 ; 19 ; 26 +7

+3

+7

+7

an = an + b n = 1: a + b = 5 n = 2: 2a + b = 12 a=7 b = -2

19. -680 ; -667 ; -654 ; … +13

an = an + b n = 1: a + b = -680 n = 2: 2a + b = -667 a = 13 b = -693 an = 13n – 693 13n – 693 > 0 n > 53.3 n 54 3º término = 56 a56 = 56 x 13 – 693 = 35

+1 +1 +1

1 ; 2 ; 2 ; 6 ; 11 ; 22 ; 36 ; 58 ; a ; b

x = 93 +13

+2

-2

an = an + b n = 1: a + b = 6 n = 2: 2a + b = 11 a=5 b=1 an = 5n + 1 a32 = 5 x 32 + 1 = 161

(5k + 8) = (2k + 2) (2bk + 2) 25k2 + 80k + by = 52k2 + 56k + 4 0 = 27k2 24k – 60

+3

+2

-2

A E C K E P ; ; ; ; ; ; B B H D N F

+5

2

x3

+2

-2

22. 6 ; 11 ; 16 ; 21 ; 26

17. 2k + 2; 5k +8 ; 2bk + 2

+3

+2

2

k=2

4 ; 6

1;

14/6 = 7/3

;

16. 3 ; 6 ; 11 ; 18 +3

3 ; 2

2 16 6 12 10 8 ; ; ; ; ; ; 18 4 14 8 10 12

15. 2 ; 5 ; 28 ; 257 ; 3126 1+1

2 16 3 ; ; ; 18 4 7

an = 7n – 2 an 1000 7n – 2 = 1000 n = 143; 14 n = 143 an = 999 an = 1006 n = 144 25.

3 7 11 15 19 ; ; ; ; 7 9 11 13 15 +2

+2

+2

+2

Guía para el Maestro

167

Capítulo 6

26. 5 ; 17 ; 37 ; 65 ; 101 ; x +12

+20

+28

+8

+8

+36

a

+8

+8

a = 36 + 8 = 42 x = 101 + 42 = 143 27. -2 ; 5 ; 24 ; 61 ; 122 +7 3

+19 3

2 –1

3

+37 3

3 –2

3

x2

4 –3

–3

2.

+61 3

3

–3

4.

x = 11

30. 4 ; 11 ; 24 ; 43 ; 68 +13 +19

+6

168

+6

6.

+25

31. 1 ; 3 ; 7 ; 14 ; 26 ; 45 ; 76 ; 126 +2 +5 +7

10

+12

+19

33. 2; 7; 9; 16; 25; 41 an = an-1 + an–2 a7 = 41 + 25 = 66

+12 +18 +24 +6

+6

12.

i 3

50

+4 +3

an = an-1 + 2n–2 a = 17 + 27 = 44 x = 71 + 44 = 115 Aptos matemático 5

k

k 1

3

1/ 3 1/ 32

i 3

1 3

81

i 1

1

117

1/ 3 1

i2

50

2

i 1

i 1

50

i2

i 1

10

4

i

10

2

i 1

i2

10

8

i 1

n

7 7i

1

2500 10

i

i 1

n

7i

i 1

49.7i

49.

7.7i

7 7

1

n

49

3k 13

3º

k 0

n

7 7

n

n

1

7 1

3k

13

3n

9

k 1 n

3k

12

k 1

3 3n 3 1 n=2

1

12

7i

7n

i 1

7.

7 1 196 / 3 7n 1 14.

n

1

i 1

i 1

n

835

2

7i

i

i 1

i 1 n

(i 1)2

i 1

50.51.101 49.50.99 6 6

i 1

+6

+7 +10 +17 +27 a

i 3

1 3

81

n

b

35. 3; 7; 10; 17; 27; 44; 71; x

10

k2

10.11.21 10.11 8. 10 6 2

a

a = 24 + 6 = 30 b = 60 + 30 = 90 x = 120 + 90 = 210

10 k 1

3

34. 0; 6; 24; 60; 120; x +6 +18 +36 +60

20 1240

10.11.21 10.11 440 6 2 8 cifras 440

+31 +50

32. B = 2 , E = 5 , C = 3 , A = 1 BECA

20.21 2

i 1

= 10.

i

i 1

k k 1

= 81. 8.

20

i

i 1

+6

an = an2 + bn + c n = 1: a + b + c = 4 … (1) n = 2: 4a + 2b + c = 11 … (2) n = 3: 9a + 3b + 1c = 11 … (3) (3) – (2) : 5a + b = 13 (2) – (1) : 3a + b = 7 a=3 b = -2 c=3 2 an = 3n - 2n + 3

20

6

i 1

=

29. S; O; L; R; A; … …; A; R; L; O; S C +7

6;1 3

5 –4

x2

20

= 6 .

3

28. 4 ; 8 ; 5 ; 10 ; 7 ; 14 ; x x2 –3

Problema modelo (página 46)

7

n i 1

7i

16.

15

2

n 2

n

15

3

i 1

n

2

3

i 1

15

15

n 7

i 1

15.16.31 15.16 3. 6 2

7.15

1

i 1

2.

3 3

5 = 13 1

2

i

4 .5. 9 6

2

i 1 3

985

5

i 1

1

3i

1

ai

n

3 1

k 1

5

ai

21 y

b

1

i

16 5

ai

8

40

b

i 1

2i

2

n n 1 2

i 1

n

n 4

i 1

i 1

5 i 1

x1

n

i 1

2

i

i 1

(V)

x1

i 4

5

=

i 1

3.

5

n 1 n 2

i 1

i 1

n

10

5

4.5.9 6

4.4.5 = 70 2

4.5 2

10

i

48

5.6 2

4

n

0

(F)

10

n(n 1) 2

2

n

(V)

2i 1

i 0

2.8.9 2

n

9

2

9

i

i 1

72

2 9 10 9 2

i

i 1

99

99

i

4

3

i i

2

5

2

100

2

i 1 5

8 n 1

72 (F)

n

n 1

2n

4

15

4

n 0

n 1

5 n

4

4

n

n 1

4

n

2.5

k

i 1

n 1

i 1

5.b 2

1

k 4

3.4 2

i2

3.16

8

i 1

4.5 2

3

8

5

k 1

i 1

15

1 0 2

n

i 20

n

(F)

1n 1 i 2i 0

n 1 1 n 2 2 4

5

x1

1

i

i 1

0

3

i

n 4 n 1 2 3

16

3 2

1

k 1

i 1

i 4

n n 1 2

i 1

(F)

1

3.4 2

3

k

4

3

k

k 1

k 1

4

i

3

2

2.

1 8.9 2 2

(V)

2 1 2 3 4 1

8

1 2

4

i

k2

50

bi

1 3 k 2k 4

4

k

k 4

i 1 n

i 1

2

Práctica dirigida (página 49) 1.

3

2

5 n

ai

3 4 .7 6

a – b = 12

4

i 1

3

k 1

5 = 13 (1+1092) = 14209

20.

n

bi

k 1

cifras 14209

30

5. b 3. 2

i 1 n

3

23 1 1 15 2 1

2i

i 0

18. 5 = 13 + 39 + 117 + … + 9477 5 = 1.13 + 3.13 + 9.13 + … + 729.13 5 = 13 (1 + 3 + 9 + …+729) 5 = 13 (3º + 3´+ 32 + …+ 36) 6

4

1

5 i 0

i2

5 i 0

i

5 i 1

i2

5

i

i 1

Guía para el Maestro

169

5. 6 .11 5. 6 2 6

100 100

70

70

5.

95

10

i 1 100

10 11

3

10

6.

95

i 5

i 1

2

2 2

i

30

8.

120 1

3 4

1

i i

9.

3

1 1 i 1i i

i

3

170

4.

9

4

5

5

5

3

i 1

5.6 3 2 2

7

1

i i

6

i

2k 1

n

i 2

1 i i

1

6.7 2

Aptos matemático 5

16

10

1 1

i2

4

10

2

i

i 1

10

1

i 10

6 . 7 . 13 6

2i 1

7 i 1

91

2 0

1

4

16

2i 1

i 1

3i

255

2i

8

i 1

4

4

3i

i 1

1

2i

i 1

2 2

4

1

329

2 1

Problemas propuestos 6 (página 51) 1

1.

12

12

k k 1

k 1

k2

k 1

12 13 25 6

12

k

k 1

12 13 2

572

cifras 14

112

100

i i

10

i 0

i

102

i 1

i 1

i 1

2.

33

15i 2 15i

5

15

i 1

1 12

33 i 1

i 2 15

33

i

i 1

33 34 62 33 34 15 6 2 = 179685 15

k 1 10

i2

3. 3

7 175

2

3

112

i 1

5

i 1

6

i 1

6 . 7 . 13 6

6

1

7

2

7.8 2

6.7 2 2

i

i 1

3.1

i 1

i 1

10

n

4i

i

255

6

i2

i 1

20

n 1

7 . 8 . 15 6

3i 2

i 1

5.5

n 1

6

5

5

i

10 i 1

i 1

1 162 10.

i 1

n

9 40

40

3i

7

3.6 4 4 5

2

2

i

3 10 11 21 10 11 4 2 10 6 2 = 955

120

3 1

i 1

i 1

1

3 34 1

3

i 1

10

10

6

1

6 . 7 . 13 6

7.

2 1

i

30

4

5

10 . 11 2 . 10 2

i i

910

910

i 1

3

10 10 95 4 10

6

i 1

1000 3

4

0

2

i 1

5.

10 100 . 10 1000

95

5i

9 22

i 1

i 5

i 1

3

10

1 2

cifras 36

5

33

1

i 1

5 33

3.

n

2k

4095

k 0

2k

4095

8.

k 1

1

2 2n

1

n 1

2

11

2048

11

9

n 1 11 9

1010

9

11

n 10

1

k 5 10

k 10

k 0

9.1010.

k

k 5

9.

k

10

5.

3i

5

3

i 1

3 . 14 . 15 2

6.

5

i

i 1

2

b

7

k

9

4096.

1

k 3

9

49

1

k 3

4

4

7

1

1 4

49

1 4

4

10.

k 3

n

8 10i

1

10i

i 1

72

2

1

k 1

10i

72 .

i 1

80 10n

1

1

k 3

4

k

7

0 1

5461

11.

n

10 10

3

1 7

7

1 1k

5

1

k 1

8

1

k

7 k 1k

1 1

1

k 1

1 3

k 3

1 3

º

79 280 3

27

i 0

3

1 3

i 1 1 1 3 3 3

1 3

i

i

171

1 1

1 3

4

8

n 1

10 1

2i

1560

i 1

2 10i

7

40

k

k 1k

cifras

n

5b

40

2

80

(1)

9

1 2k

27 1

1

i 1

n

27

27

cifras 16 7.

6

1

1 4

1 4 1

1 9 4

1 4

k

k

1 1 2 4 4

1

8

8

1 4

1

k 1

1 1 9 4 4

9

1

46

9

49

8 k

245

58

39

3

a

k 1 1 1 k 1 1k

7

k 3

k

4

9

k 3

2

k 1

k 0

i 1

5 . 14

5. 6 2

a.

b

15a 6b

b 1

k

14

5b

(2) – (1):

10 1 10

b

2

40..... 2

k 5

14

5. 6 2

ai

8

14

ak

k 1

15a 5b a 11

5

b

i 1

k

1010.10

b

b a.

k 5 11

ak

5

9 10k 10

k 5

5

4094

2 1

4.

n

2º

n .(n 1) 1560 2

n 1

n n 1

i 1

n

10i

1

12.

n

39.40

39 2i 1

625

i 1

n2 625 n 25 Guía para el Maestro

13. k = 5 + 10 + 15 + … + 60 k = 5.1 + 5.2 + 5.3 + … + 5.12 k = 5(1 + 2 + 3 + 4 + … + 12) 12.13 k 5. 2 k 390

18.

27 . 28 . 29 3

27 5i

1

16

i i

5i

63 93 ... 3i

3

108 .

5

5 5n

1

5 1

135 5n 1 16. E

1 2i

i i

1

i 1 n

i2

n

2i 1

i

i 1

n

2i 3

i 1

i2

16

i2

i 1 2

2

k 1

n n 1

6

2

22

2n

8

2k 1

3

k 1

1447 cifras 16 Aptos matemático 5

22 k 1

k

8

22

1

k 1

3

223587

2

8281

13 . 14

13

21. S

5 10 .... 5 . 28

S

5 1 2 3 ... 28

S

5.

S

28 . 29 2

2030

5 12 21 .... 437

1.5 2.6 3.7 .... 19.23 19

i i

19

4

i 1

3k

i

223587

m n 1

S

k 1 16

i3

91.2

22. S

n n 1 2n 1

8n3 3n 2 2

4k

2

i

i

2

3n 4

17.

n

i 1

n n 1

2

2i 3

i 1

n

m

m n 1

m

n

80 i 0

3m

2

i 1

172

27

m m 1

i

108 .

3

i 1

i 1

i

i2

i 1

i 1

i 1

n

80

3

80 . 81 . 161 3 . 80 . 81 18 3600 6 2

20. 33

27 . 4 . 5

16 . 17 . 33

80

S

m

n

n n 1 2n 1

19. S 1 x 4 2 x 5 3 x 6 ... 80 x 83

7308

5i

27 5 . 5i

8976

i 1

i 1 n

6

n n 1 2n 1

n

cifras 18 n

n n 1 2n 1

1496

i 1

14. E 2 6 12 20 ... 756 E 1.2 2.3 3.4 15.5 ... 27.28

15.

i2

12

cifras

E

n

i2

i 1

S

19 . 20 . 39 6

S

3230

cifras

8

4.

4

19

i

i 1

19 . 20 2

23. 1 3 5 ... +2

an n

n a an

3x

2

27. M 1 x 3 3 x 5 5 x 7 ... 53 x 55

961

+2

M 1x3 2x 4 35 ... 53x55

an b 1: a b 1 2 : 2a b 3 2 b 1 2n 1 n

Luego:

n n

24. G

2

2

4

961

2

G

2,1

G

4 12

G

2,2

22

2. 2

2

2,3

32

cifras

...

2.16

42 ... 162

28.

16

26

2

2

i

16

M

i 2i

i 1

M

i

i 1

32 . 33 . 65 6

2.

cifras 26. M

2

2

2

i

2

i 1 . i

2

2

22880

16

i2

i 1

i 1

i 1

20

16

22 23 24 ...

an an b n 1: a b 22 n 2 : 2a b 23 a 1 b 21 2n n 21 101

i

21

i 1

M

101 i 1

i

16

21

i 1

101 . 102 21 . 101 7272 2 cifras

18

1

2

i 16 i 1

2

2

i 2 3i 2 i 1 i 2

i 1 i

1 i 1 i

2

16

2

1

1 2

16

1 2

1 3

1 4

16

4 9

1 3

1 1 ... 4 18

148 9

1 1 x 1x 2 2 x 3 M

2

173

i 1 i

29. M

i 1

2

3

i 1

i 1

101

2

2

1

1

i 1

101 sumandos

M

3i

i 2 3i 3 i 1 i 2

16

4.26.27.53 6

2

2

i

i2 1

i 1

32

2.26.27 2

1 2

25. M 1 x 2 2 x 4 3 x 6 ... 32 x 64 32

i

i 1

27

1

i

5984

26

28.395

1

1

2

4.26.27.53 6

2.53.54 2

cifras

2

i2

i 1

2.53.54 2

26.27 2

i 1

16 . 17 . 33 6

4.

2

26

4

i

i 1

53.54.107 6

M

... 32

53

2

53.54.107 6

M

2

6

i2

i 1

2i 1

2i 2i 1

i 1

53

M

961 n 31 3 x 2 31 x 11 2

36

2

i i

i 1

i 1 2

53

M

2x 4 4x6 ...

1 1 3 x1 15 x16

15 16 Guía para el Maestro

Capítulo 7

30. M = 3x4 + 4x5 + 5x6 + … + 26x27 26

M

M

i i 1

31.

m

i 1

26.27.28 3

2.3.4 3

m

6544

19 m

12k

n 1k 1

6

Problemas modelo (página 54)

i i 1

i 1

cifras

m

2

12.

n(n 1)

2

n(m 1)(m 3

6

n 1

2)

2m m 1 m 2 32. 30 filas 5 = 30.2+29.4+28.6+…+1.30 30 n

5=

2i

n 1i 1

30

5

30.31.32 3

n. n 1

n 1

33. p = 1x20 + 2x19 + 3x18 + … + 20x1 Ordenando: 1 1 1

20

i

n n 1

1 2

2

n

20.21.22 3

p = 1540 cifras

34.

k

1 5 x10

k

1 1 52 1.2

1 ... 15 x 20

1 1 . 52 2.3

k

1 1 25 1.2

k

1 40 25 41

1 200 x 205

1 1 1 . ... 2 2 5 3.4 5 .40.41

1 2.3

Aptos matemático 5

4. 17 12 21

(32) (-24) (x)

33 25 12

Tenemos: 1º fila: 12 + 72 – 32 – 32 = 22 2º fila: 12 + 22 – 22 – 32 = –24 3º fila: x = 22 + 12 – 12 – 22 = 0 4 12 9

Tenemos: 1º fila: 2 x 3 + 4 x 4 = 22

8. 124 232 403

(35) (42) (x)

131 231 331

Tenemos: 1º fila: (1 + 2 + 4) x (1 + 3 + 1) = 35 2º fila: (2 + 3 + 2) x (2 + 3 + 4) = 42

10

1 10 x 25

1º fila: 3 x 16 + 9 = 57 2º fila: 3 x 14 + 13 = 55 3º fila: x = 3 x 12 + 10 = 46

3º fila: x = 12 x 3 + 9 x 4 = 72

3

n i 1

p

16 14 12

2º fila: 8 x 3 + 12 x 4 = 72

2 2

2.5 n

p

(57) (55) (x)

6. 2 (22) 8 (72) 12 (x)

= 9920 174

9 13 10

Tenemos:

n n 1

n 1

2.

1 1 1 3.4 40.41

8 205

3º fila: x = (4 + 0 + 3) x (3 + 3 + 1) = 49 12. 36 (6) 81 (3) 216 (x)

2 4 3

Tenemos: 1º Fila:

2

36

2º Fila:

4

81 3

3º Fila: x

3

6

216

6

14. 27 20 10

21 13 8

14 9 x

28.

Tenemos:

Tenemos:

27 28 1º Fila: 2 14 3 20 13 2º Fila: 2 9 3 10 8 3

3º Fila: x 16. 12 18 25

2

1º figura: 15 x 5 – 2 x (15 + 5) = 35 2º figura: 16 x 4 – 2 x (16 + 4) = 24 3º figura: x = 13 x 5 – 2x(13 + 5) = 29

7

30.

x 34 34

9 17 16

Tenemos: 1º figura: 21 + 36 = 14 + 50

Tenemos: 1º Columna: 18 + 25 = 43

4 x 3 = 12

2º Columna: 16 + 17 = 33

3x3=9

3º Columna: 34 + 34 = 68

6 x 8 = 48

20. 8 27 x

4 3 4

2º figura: 14 + 16 = 10 + 20 3º figura: 24 + 22 = 16 + 0 x = 30 32.

66 30 68

Tenemos: 1º figura: 1 + 0 + 1 + 2 + 1 + 3 = 8

Tenemos: 3 3

3

3 3

3

1º fila: (66 – 4 ) = 2 = 8

2º figura: 6 + 8 + 1 + 1 = 16 3º figura: 1 + 8 + 4 + 1 + 4 = 18

2º fila: (30 – 3 ) = 4 = 27 3º fila: (68 – 43)3 = 43 = 64 22. 27 33 42

17 20 21

34.

x 12 18

Tenemos: 1º figura: 8 x 3 + 7 x 5 = 59

Tenemos:

2º figura: 9 x 4 + 5 x 7 = 71

2º fila: (3+3) x (2+0) = 12

3º figura: x = 7 x 9 +6 x 8 = 111

3º fila: (4+2) x (2+1) = 18 1º fila x = (2 + 7) x (1 + 7) = 22 24. 18 14 16

72 61 x

36.

98 45 64

Tenemos:

Tenemos: 2

1º figura: 24 + 26 = 19 + 31

2

1º columna: [(1 + 8) – (1 + 4)] = 4 = 16 2

2

3º columna: [(9 + 8) – (4 + 5) ] = 8 = 64 2

2

2º columna: [(7 + 2) – (6 + 1)] = 2 = 4

2º figura: 32 + 18 = 26 + 24 3º figura: 42 + x = 18 + 16 x=8 Guía para el Maestro

175

Práctica dirigida (página 57) 1.

Una analogía numérica es un conjunto de números dispuestos en 2 o más filas de acuerdo a una misma relación operadora entre sus términos. Una distribución numérica es un ordenamiento de datos, que pueden darse a nivel de fila, columna o diagonales. Una distribución gráfica es una manera de representar distribuciones numéricas, se basa en distribuir los números que se van a relacionar, dentro de una o varias figuras.

176

3. (12 – 3) x 3 = 27 (18 – 4) x 5 = 70 16 3 5 2 = 5 (20 : 5) x 6 + 2 = 26 (30 : 3) – (48 : 12) = 6 (72 : 12) – 17 + 4 = –7 10 3 18 2 4 = 212 (2 x 19) – (2 + (4 : 4)) = 35 4. 17 (10) 13 1x7 + 1x3 = 10 24 (72) 48 24 + 48 = 72 48 (18) 24 4 + 8 + 2 + 4 = 18 16

(18)

14

32 (17) 23 32 + 23 = 17 50 (15) 25 (5 + 0) + (2 x 5) = 15 18 (10) 22 (18 + 22) : (22 – 18) = 10 5. 25 2 5

36 2 6

27 3 x

Aptos matemático 5

Tenemos: 1º columna:

2

25 = 5

2º columna:

2

36 = 6

3º columna: x = 6. 2 4 3

4 5 6

3

27 = 3

12 69 x

Tenemos: 1º fila: 23 + 4 = 12 2º fila: 43 + 5 = 69 3º fila x = 33 + 6 = 33 7. 4 5 2

7 4 10

3 9 x

Tenemos: 1º columna: 4 x 5 = 20 2º columna: 7 x 4 = 28 3º columna: 3 x 9 = 27 8. 54 40 36

(9) (11) (x)

2 + 0 = 20 2 + 8 = 10 x=2+7=9

36 18 12

Tenemos: 1º fila: (54 – 36) : 2 = 9 2º fila: (40 – 18) : 2 = 11 3º fila x = (36 – 12) : 2 = 12 9. 24 36 51

(18) (108) (x)

12 48 16

Tenemos: 1º fila: (2 + 4) x (1 + 2) = 18 2º fila: (3 + 6) x (4 + 8) = 108 3º fila: (5 + 1) x (1 + 6) = x = 42 10. 18 24 22

16 30 x

14 18 17

Tenemos: 1º columna (18 + 24) : 2 + 1 = 22 3º columna: (14 + 18) : 2 + 1 = 17 2º columna x = (16 + 30) : 2 + 1 = 24

Problemas propuestos 7 (página 59) 1. 14 31 12

(66) (106) (x)

24 13 17

Tenemos: 1º fila: 14 x 3 + 24 = 66 2º fila: 31 x 3 + 13 = 106 3º fila: x = 12 x 3 + 17 = 53 2. 45 17 23

(54) 13 (58) 22 (x) 54

Tenemos: 1º fila: 42 + 52 + 12 + 32 = 51 2º fila: 12 + 72 + 22 + 22 = 58 3º fila: x = 22 + 32 + 52 + 1 = 39 3. 45 35 15

(18) (12) (x)

18 10 8

1º fila: 45 : 5 + 18 : 2 = 18 2º fila: 35 : 5 + 10 : 2 = 12 3º fila: x = 15 : 5 + 8 : 2 = 7 (3) 16 (9) 20 (x) 32

Tenemos: 1º fila: 2 x 3 x 32 = 54 2º fila: 2 x 1 x 42 = 32 3º fila: x = 1 x 9 x 52 = 225 x = 225 8. 25 32 17

(59) 33 (25) 24 (x) 18

Tenemos: 1º fila: 25 + 33= 59 2º fila: 32 +24 = 25 3º fila: 17+ 18= 2 x=2 9. 27 8 1

(11) (6) (x)

64 16 9

1º fila:

3

27 + 64 = 11

2º fila:

3

8 + 16 = 6

3º fila:

3

1+ 3 = 4

x=4 10. 132 64 124

Tenemos: 1º fila: 21 : 3 – 16 : 4 = 3 2º fila: 43 : 3 – 20 : 4 = 9 3º fila x = 36 : 3 – 32 : 4 = 4 6. 9 11 13

(54) 3 (32) 4 (x) 5

Tenemos:

Tenemos:

4. 21 42 36

7. 23 21 19

(9) 3 (18) 9 (x) 6

213 61 200

Tenemos: 1º fila: (1 + 3 +2) x (2 + 1 + 3) = 36 2º fila: (6 + 4) x (6 + 1) = 70 3º fila: (1 + 214) x (8 + 0 + 0) = 14 x = 14 11. 224 304 288

Tenemos:

(36) (70) (x)

(20) (23) (x)

14 16 18

1º fila: 9 x 3 = 22

2+7=9

Tenemos:

2º fila: 11 x 9 = 99

9 + 9 = 18

1º fila: (2 + 0(2) + 4) + 14 = 20

3º fila: 13 x 6 = 78

7 + 8 = 15

2º fila: (3 + 0(0) + 4) + 16 = 23

x = 15

3º fila: (2 + 0(8) + 8) + 18 = 28 Guía para el Maestro

177

12. 16 8 6

(10) (4) (x)

14 10 4

6 4 6

7 3 x

Tenemos:

Tenemos:

1º fila: [16 + (1 x 4)] : 2 = 10 2º fila: [8 + (1 x 0)] : 2 = 4

1º columna: 5 + 7 – 4 = 8

3º fila: [6 + (0 x 4)] : 2 = 3 13. 374 829 794

(3) 425 (1) 918 (x) 855

Tenemos: 1º fila: (3 + 7 + 4) – (4 + 2 + 3) = 3 2º fila: (8 + 2 + 9) – (9 + 1 + 8) = 1 3º fila: (7 + 9 + 4) – (8 + 5 + 5) = 2 x=2 14. 3 4 5

(3) 27 (2) 16 (x) 32

Tenemos:

178

17. 5 7 8

2º columna: 6 + 4 – 4 = 6 3º columna: 7 + 3 – 4 = 6 x=6 18. 123 180 30

164 220 20

132 x 10

Tenemos: 1º columna: (1 + 2 + 3) x 30 = 180 2º columna: (1 + 6 + 4) x 20 = 220 3º columna: (1 + 3 + 2) x 10 = 60 x = 60 19. 19. 9 4 3 16 4

2 7 11 x

1º fila:

3

27 =3

2º fila:

4

16 = 2

1º fila:

9 +22= 7

3º fila:

5

32 = 2

2º fila:

4 +32= 11

x=2 15. 20 18 17

10 14 10

16 20 x

Tenemos: 1º columna: (20 + 18) :2 – 2 = 17 2º columna: (10 + 14) :2 – 2 = 10 3º columna: (16 + 20) : 2 – 2 = 16 16. 7 8 9

3 4 5

26 37 x

Tenemos: 1º columna: (7 + 8 + 3) : 2 = 9

Tenemos:

3º fila: x = 16 +42 = 20 20. 48 36 x

52 31 28

17 24 48

Tenemos: 2º columna: (5 + 2) x (3 + 1)= 28 3º columna: (1 + 7) x (2 + 4) = 48 1º columna: (4 + 8) x (3 + 6) = 108 21. 14 17 24

13 16 23

11 11 x

Tenemos:

2º columna; (3 + 4 + 3) : 2 = 5

1º fila: 14x13 = 182

1 + 8 + 2 = 11

3º columna: (26 + 27 + 3) : 2 = 33 x = 33

2º fila: 17x16 = 272

2 + 7 + 2 = 11

3º fila: 24x23 = 552

5 + 5 + 2 = 12

Aptos matemático 5

22. 8 9 8

2 2 3 9 x 32

27.

Tenemos:

Tenemos:

1º fila:

4

8.2 =2

1º figura: 17 x 24 = 41

4 x 1= 4

2º fila:

4

9.9 = 3

2º figura: 13 + 14 = 27

2 x 7 = 14

3º fila:

4

8.32 = 4

3º figura: 9 + 19 = 28

2 x 8 = 16

23. 79 34 72

71 18 x

18 23 21

28.

Tenemos:

Tenemos:

1º fila: 7 x 9 + 1 x 8 = 71

1º figura: 9 x 12 + 8 = 116

2º fila: 3 x 4 + 2 x 6 = 18

2º figura: 11 x 12 + 5 = 137

3º fila: x = 7 x 2 +2 x 1 =16

3º figura: 10 x 12 + 3 = 123 x = 123

24. Tenemos:

29.

1º figura: 3 x 11 + (2 + 4) = 39 2º figura: 4 x 13 + (1 + 3) = 56

179

Tenemos:

3º figura: 5 x 17 + (1 + 1) = 87 x = 87

1º figura: 72 + 32 + 42 = 74 7 + 4 = 11 ; 11 + 1 = 12 2º figura: 22 + 42 + 62 = 56

25.

5 + 6 = 11 ; 11 + 1 =12 3º figura: 32 + 42 + 52 = 50

Tenemos:

5+0= 5 ; 5+1=6

1º figura: (2x3+1x4+1x5-1): 2 = 7 2º figura: (4x2 ++2x5 +1x7 -1):2 =12 3º figura: (3x5 +1x6 +2x2 -1):2 = 13 26.

30. Tenemos: 1º figura: 32 x 4.1 = 36

Tenemos: 1º figura: 24 + 18 = 42 2º figura: 31 + 17 = 48

2º figura: 63 + 4.8 = 95 3º figura: 16 + 2.2 = 20

3º figura: 29 + 41 = 70 Guía para el Maestro

Capítulo 8 31.

Problemas modelo (página 57) Tenemos: 1º figura: (14 + 16 + 18) : 3 = 16 2º figura: (7 + 9 + 5) : 3 = 7 3º figura: (13 + 20 + 0) : 3 = 11 x = 11

2.

4

4. T=

Tenemos: 1º figura: 34 + 25 = 113 2º figura: 22 + 34 = 85 3º figura: 72 + 34 = 130 x = 130 6.

Tenemos: 1º figura: 2 x 3 x 4 + 10 = 34 2º figura: 5 x 6 x 3 + 11 = 101 3º figura: 2 x 6 x 5 + 4 = 64 x = 64

180

2

x=

32.

33.

x

xx = 2

n4

80n + 1 8n

4+ 2

+ 23n

10n

4+ 4

4

1

T

n4

T

n4

T

1 n 4 80n 4 1 8 80

T

x5

T

x5

T

x5

8

n4

80n

2.8 4

8.8

n4 1

1 n4

36 x 5 1 9 x 5 1 32 x 5

x

9x5

36 x 5 1 1 3.9 x 5

36 x 5 1 4.9 x 5 1

x5

3

1

4x 5.

T = 4c 34.

8. Tenemos: 1º figura: 4 x 14 – 4 x 2 = 48 2º figura: 3 x 13 – 6 x 3 = 21 3º figura: 5 x 17 – 5 x 2 = 75 x = 75

35. 17 16 42 14 12 16 4 10 x Tenemos: 1º columna: 17+14 = 31 2º columna: 16+12 = 28 3º columna: 42+16= 58 Aptos matemático 5

M

M

M

x

x

x

x x

x x

x x x

x x x

xx x

xx

x

Sea x-x = a

3+1= 4 2+8= 10 5+8= 13

M

x

M

x

x a

xa

a (x) a

x

1

9x 5 9x 5

1 1

4

10. Q

Q

8

Q

8

x

54

2

x 2

x .x

x5 4 1

x8

x5 / 8

x y . x y

1.

Sea x y = a

T

3 1

a a ...

14. x x

2 1 2

3 x

x3

5

1 2

x

a

2

2

2i 1

2.

25

25

a

a2

1 a

2

2

P

a

a

n

a3 n

a

aa

p

an

a a

a a .a a a

aa . aa

a .2

a

am

2.aa

R

F

m

r

np

p

F

b

a r .m

a

m

p

n

F

p

np

n

.b

p

181

n

m

1 n .m . p m n

Si : x

xx

a

a a .a a .a a a

2aa .aa

a

8

2

a

n

n

5

n

n

n

n

n ....

z

z n

z

n

z

1 z

n zz z n 2 ....

2 x

x

xn

n

2 x R

5m

... 2 x

1

x x x ...

2

a

a aa

F

F

ambn

n

;

a a2

n mp

a

x

1 2

4 a

1

V

bn

n

a

5

R

bn

a3

1 2

a2

4

np.r

n

Luego: x

P

2

3.9x

am

xx

a

5

1

F

an

p

2

a

20. P

n

S

2

1

amnp

x

2

x

4x

1

S

Sea: x

a

n

n

x

4

a

x5

9x

5

am.n.p

n2 25 n 5 Luego 2n 1 2x 1 18.

3

5

6n

p

i 1

x

5

36x

x5

1

np

1 3 5 ... 2 x 1 5 =3 5 1 3 5 .... 2 x 1

x

52

am

3 1 2

n

5

4.9x

np

3.5 33 .5 35 .....5 32 x 1 .243

5

36x

am

Por analogía: x = ½ (R) 16.

1

32 x

a b

a

5

1

2.3n

T = x2y7 3 x

9x

5

5

Práctica dirigida (página 65)

4 14

3

36x

x5

4 4

3

x5

8/4

4 14 3

3

12. T

x 5.

22.

x

x x2

9

4

x

1 2

2

2 Guía para el Maestro

3.

Problemas propuestos 8 (página 67)

333

333

444

4 44

8

1 3

50

10 25

4.

1 3

8

50

1 2

2.

7

5

x2 4 y 3

3

64

2

x 5 .y

3

x 30 7 x 30 ...

7

x 30 .a

20

3.

7

x .a a a6 x 30 a x5

6

x

6

3 .6 3.66.66.6

5.

6.

k

a

2

k

a

51

k

92

2. 2

2

.a

1

5

3

2

k

x 4 y 6 . 6 x12 y 18

T

12

10. F

2n

n

5

3 6

2

x

2.2n n 3

3 2

Aptos matemático 5

32

a

3 2

.a

1 9 2

6

3

4

10

6

81 2

8

12

x .x

232n

x

2

x

x4y 6

n 1

x 1

7.

x

18

4

3

3 1

3 1

34 3

3

2

3 3

4 2

xx

x 1

1

2

xx

32 3

1

9 2

2

R

x 2x

4 4

x4y z4 y

y

1 r p

rp

1 8 6

2

xx xx 4

30

x

p

3 1

3 1

31

1 2

r

R

3

P

P

65

p

r

3

4

z

x

9

r

33

x 2

x

r

x

xx

P

3 4

r

r

P

2n

3.2 2

p

3

2

6.

1)

130

27 x 3 3

3

3

x 36 b 7 a 5 R

3

2

1

1

r1

3

x 34

18

1

3

5.

2

x 2 .y 3 .x 2 .y 3 30

9

.a

2 2

x .x x6

8.

x

12

15

T

5 3

1 3

4.

2

4

7.

9.

1 3

2. 2

x 3 .x x

x8

8

3 .6 3.613

5

.a

64

27

12

5

rr

1

6)

2

87

65

p

x

9 1 2

27

r p

x 64

9

x

a

a

2

3

R

2

x

6n

62

x 2 4 x 18 2b 2 130 2a 4 36 a 2b 19

a

30

x

23

2

6n

35 186

x6 x6 3

3

2

6 (6

2b 2

2

7

182

3

n3

M

222

4

6n

6n (63

M

1 3

125 7

3

6n

10

2222 4

M

3

3

1 4

1 10

1.

1 2

1 4

6n

60

30

4

.z x

4

x 64 . y 16 .z 4 4

16

z 64 . y 16 .x 4

x 7

60

8.

9.

4

33

P

x

.x 68 23

6x

x 33

1

312 x 6 8 x 6 8 x x 39

2

1 99

1 99

27

3.100

n

P

x

10. P

1 y

16

P

x

x

y

1 8

0,5

13. R

5

x

1 16

9

4y 5x

2y

1 2

x

16

1 y

2

2

2

1 4

5

1 8

0,5

2

2

15.

5

2x x

1 2

Q

99

901

12. P

99

99

6

22

A

99

B

99

4

99.99 99....99 99 1000 factores

99

99

1000.99 99 99

22

99

99

99

.....

99

99 1000

1000

99.1000.99 99

99

1 100

99

99

B

99

B 99 B 1

1

A B

P

99

B

99

1

99

B

B 1

1

99

99

1

99

100

99

99

99 99 99 1

99

ax

6

1 a a2

a3

a9

x 2 x

99

100

99 99

99

k

6

23.53 .72 .34 53 .22.32.72

18

. 3

3x x

5 2

2

x y

3.3

34

500 67

18. k

6

a

P

99

1

De A: A

a3

P

17. k

5

1 a a2

23 53

k

1

99 99

16. P

4

ax ax

3

3.3 A B

5

ax ax

ax

99

99

A

,2

5

4

4 3 x 12 3x

3. 9 82

3

2 . 32

E

5

ax ax

103 x72 x34 53 x 422

14. E

y

0,0625 0,25

9

R

1

a x 3 a a x 3 a 2 .a x 2 a3 .a x 2 a3 .a x 6 a 2.a x 6 a.a x 6 a x 6

9

R

x

3

ax ax

9

300

16 4 y

0,125

0,5

11. Q

16

.16

16

Q

3n

A B

Luego: P

R

16 x y . 4x

1

99

1 n 300

3

P

3

99

1

A

1 99

100fact sec1 3 .3 ....3 n 3 n 3 n 3 .... 99 factores

P

99 99

5a

4 4 1

a 4

5

183

3

10

5 2

2

22 52

1 102

7.4n 1 11.4n

3

x 4 x

81

3 x 4n 1 4n 2 3 x 4n 1 4n

5a 5a

2x 4 x

1 10

2

2

10 2

1

2

3.4n 1 4.4n 3.4.4n 4n

1

28 11

5a 5a

3 3

5a 5a

2

5a 5a

2

1 51 52 53 1 5 5

2

5

3

1 1

55

3125

Guía para el Maestro

81

19. P

81

P

20. E

33

21.

243

33

2

5

5

1 56

56

33 aa

a aa 1 1

a3a

M

33.3

a3a

184

23.

200 x169

x x

24.

x

.

31 200 x169 0

2

81 2 81 2

M

M

2

2

a aa 1 1

2

1 2 2

2007

2

2

4

4

1

aa aa

aa

169 560 560 x 200

.

3a

aa

aa

a

28. T T

x

560 200

x

. 2

1 62007 1 6 2007

2008

1 62007 2007 2007 1 6 62007

6 8 3

4

1 82008 1 8 2008

1 82008 2008 2008 8 1 2008 8

17

Aptos matemático 5

2

2

x

2

10 x 2

10x

2

x

2

2

2

4

1

81 4

2009

2

2

3

T

102008

3

P

x 2y

42 x 1.6 x.4 4 xy

2

42 y.62 y.4

242 y 4

ab

1 m 2

b a

E

ab

x

.4

m n

a .m b

ab

x

2

x 2y

n

1 32009 2009 2009 3 1 2009 3

x

242 y.4x 4 4xy

x 2y

30. E

1 32009 1 3 2009

3

10x .... 10x

4 x 1.6 x.y

81 2 81 2

2

10 x 10 x . 10 x .... 10 x

10 . 10. .. 10 2008

P

1 2 2

2

2

2 2

x

1

1 n 2

m n 2 n m 2

1

2008

xy 2 y xy 2 y

1 24

ab

mn 2

9

2 1

2

2

2

2 2

3 2 4

2 1

T

29. P

2

2

2

1 162222 162222 1 162222

2

8

a

1 22

1

8

2 2

4444

1 162222 1 16 2222

1

391 360 169.500 560.200

2 1

16

2 2

4444

1 43333 43333 1 43333

6666

4

1 43333 1 4 3333

2

1

81

25. M

x

9

T

19683

200 169 169 x 560

6666

1 94444 94444 1 94444

8888

M

27

cifras

1 94444 1 9 4444

8888

27. T

1

39

M

T

a3a

M

a

M

1 4

1 33

3 a a

625

1 4

a a

22. aa

1 3

M

1 56

3327 3380

32

2

1 4

243

1 3

64

26.

1 81

64

1 56

60

1

2

1 2

1 2

1 625 4

1 5

243

64

1 2

81

64

4

81

1

2

1 2

1

2

2 1

4

m n 2

m

n

n

m

a 2 .b a 2 .b

2 2

2008

2 1 1 2

2

2

Capítulo 9

12.

Problemas modelo (página 70) 2.

x

3 x 8

x

640

5

986

3r

12c

69..... 1

12r

3c

1 39

2

69..... 2

m Ganan: 2x

x 18.

32 x

N

185

N

15

x 60 240 x

x 40 180 x

20400x

3 .12 18 2

x

8F

y 7f

7 f

3

8

8f

4

760

60x 2

b a

a2 ax

a2

240x 2 9600x

S / .340

a x b x

21 8

9

Luego: N

20.

12600 x

13500

180x 2 10800x

Luego se compran 10x = 180

f

1024

13500 x 13500

12

4

2.18 3.25 111

1024

900 x

24

2y

13 500 x 1

Pierden: y

4

25

16. 12.600

24...... 1

y

y

18

m2

15

De (1): 3y

8f

6x 8

2x 3y

6

3y

10. N

5 x 10

y

15 y ...... 2

x

2 3x

14. m . m

De (2): 2x

y

5 x 10

4r c 62 r c 17

Venden: y (15)

2y

2y ...... 2

3 . 18 4

23

8. Compras: x (10)

10 x

4

Luego:

, r

y

3x

2

x

S/. 15

2x

2 3

23

4c

r

De (1): 3c

c

x

4y...... 1

(2) en (1)

2200

x

1

5 x 10

3x

x 14 1000 6.

4 5

y

400

x 14 1 4

4.

x 2 4

b2

a b

b2 bx

a b x x Guía para el Maestro

Práctica dirigida (página 73) 1.

2 a b

2.

m

b

1 m 5 2

a

m 10

S

7.

2m 5

a

m2 25

2m m . 5 10

ab

a a 1 a 2 a 3 4a b m 2 4a m 4

a 32 6 32 2 8.

m 1 4 a 1 a 1 3 Ni a 2 2 m 3 m 1 Ni 1 4 2 4 2

5.b b

9.

186

3.

m 4

a a 1 a 4a 6 4m a 12m Mayor: a m 1 7

9 2 4m 2

3 4 a 7 m 6

x y José por mes ahorra: 12

m

n .... 1 3

q

1 a 2 :

3q 9

q

n

6. Crece 4 m (4 días) Crecimiento = h

h

4 4

h

16

x x

4 x

5 x

Aptos matemático 5

3b 4

m 3.... 2 n

3

3

280

7 x

10. xy

10x y

4. Efraín ahorra 1 año: S/. x José ahorra 1 año: S/. x – y

5.

3 4

a b

b

2 a 3 2

3.b 5

2

280

a b

Aumentado en 4:

1 4 2

38

11b 3b 5 2 5b 5 2 b 2 b 3 50

m 2

a

m 4

a 8

3

5a a 8 3 5a 3a 24 a 12

m 10

m 2

2a a

3x

4

a

120

x, y

10

6y 2y ...... 1

x

y

3...... 2

(1) a (2): y

11 11 11 11 J J 3 S / .3

12. g

160

7x 7y

x

11. J J J J

,

b

3

hh 22hh 22

11 25 2

p 96..... 1

Pg

S /.80

Pg

S /.65

x

6 ; 63

g.80

p.65

1 x 80

5.

6930..... 2

N T 4

N T 4,5

N

1 2

7.

T 1 1 T 4 2 9 18 T 5 3h 36m.h

g

2 a 1

4pm 5 p 3. VJ

VJ

4.

5 16

21

T

Obra / VJ

T

4 12. 3

Obra...... 1

12 VJ VJ / 3 VJ 16 dias

a, a 1

a 1 a 16 4 8 2a 2 128 a a 126

240 x 360

3 x 4 3 x 4

360, g 5 8

x

240 15

a

x

124

p

p 120 120

a d

2a

2 5

g

d .1 2

g

2 x 1 5

2 x 5

403 5

a.2

9.

3VC

VC 12

5 8

c

x, x 1

13 x 20

ph 16

pm ph

x

600

x 81

3pm

pm 5

2c 3

x 81

4 pm 1 .... 2

2c 3

g

c

8.

48

600

2 3 c

ph 1 3 pm.... 1

2n 186 1x 8 x 6

c g g c

921

928

n 93 Luego:

4,5

1

ph

330

N 2n n6 / U Le “preceden” 10n 2

4

N

2.

418

2n 2n 2 2n 4 2n 1 2n 3

N

V2

15.22

h

Problemas propuestos 9 (página 75)

15n

22

n

6.

3n.... 2

5 3n

15n 3n n

50

N

m

(2) en (1): h

96.80

80g 65 p 6930 15 p 750

1. V1

h n n

5m.. 1

h

2

80g 80p

p

418

1 d 160 2 88, d 32

R: 88 10. h . h

h2

6

6

h 24

h 24

h2 h 30 h 6

0 Guía para el Maestro

187

11. c f

i

180 2c ; d

2c i

15. a

1

c i 180 c 140 i 40 R: 40 1300

12.

Xa

136

8n

I 62

xa

n3 m..... 1

12

xn

2m n.... 2 m

De (i)

Se sabe: 17

n 5 De (1): 62 xa xa 13.

100 VM

88 VD

80 VD

156 VC

xn 2m

50

12

n.x

640

12 n 20 Luego: 20 . y

y D

15v

x g

v

De (1): 14g

x g

v

x g 14g x 14 Total: 14 . 3

4 5

Va 2 Vc 2

8 3

15c

22 .... 1 25

VC VD

13 .... 2 15

22 13 . 25 15

286 ..... 375

375

X

375 X 375

286 375

Va 2 Vc 2

1485

Va2 D.... 1

15 v

15 14g

Luego cambiaron 1080 – 660 = 420 peso

b c 96 b c a b c 5 c 6 c c 96 5 c 450 11 a 516 11

18. a

v c

42

3 Va 2 1485 8 1080 Vc 2 405

Va 2

c

Aptos matemático 5

72m

5 9 Va Va 1485 4 4 660 Vc 825

Va

400

c

32

Va

S /.20

14. 210g

Va vC

Va Vc

ny 400 n x y 400

9 4

152

89m

x 17.

a 4

VD VM

VC .T3 VC VM

De

3.5 3

x y

VC VM

VM .T3

3

3a 4

a 2

VCT2 24 180

1. 2

xa 3n

a 2

12 VDT1 100

VD .T2

xa xn n

Se sabe: 65

188

16. VM .T1

17

n

3 a 2

x

20 . a

65

X

32

a

240

a 2

a a

c

19. x

CM

z

2CW

x 2 114 10x 90 x 2 10x 24

x 3x

2

y 3x

4

2

5 6

x

2

5

195 80

x

S / .4480

3 1 1 2 a 1 a 4 6 5 8 3 3 a 1 a 5 4 4 0 5 7 a 60 9 1 10

116

c

2p 2g 4c

4 3 5 10

1

x

2c

2.116 2c c 32

296

24. pw

2Cw

CM

CW

V1

Tx

9

PW

PM CW PM

8.

Tx

36 dias

ba

5 L 7 5 L 6

bb

a b

5 .a 7

5 b 6

a

580..... 2

b

2.96

ob .... 2 Tx

V2 1 20

(1) y (2) en

1 Tx

9

1 Tx

N º bot ba N º bot bh

450... 1

(2) en (1)

a

450

280

Hay 280 botellas de 5/6L 10. VA

Pw

Ob .... 20 ob ... 1 Tx 9

5 5 a b b 7 42 b 300

296

c

2 PW

1 2

V1

22. a, a 1, a 2

2 p g

30

V1 V2

S / .25

18 . 240 160

23. p g

P4

V2Tx

21. 18 . S 160 S 240

4 a 5 4 a 5 21 20 a a

2.CW

1 2

4. Obra = V1 V2 .20

30

30 5

1 3

x

2

10

y

x

2.

15

2 x

30

Problemas modelo (página 78)

15 3 x

3x

P4

Capítulo 10

3x 20. Tendrás: 2

x

6

CW

0

12

x

12

PW

18

P4

x 2 114 10x 90

12

CW

2Cw

2CM

CM

42

4 C4

C4

108

7 8 TX

T , VB 2 6

TX

T 6

T T , VC 2 4 8

T 4

T 8

3 horas Guía para el Maestro

189

x

12. x

x

2

14. x

2 x

x

2 3x

2 x

2 x

4 4 S / .168

x x

a

x

x

3 14 6 28

a b S / .42

18.

9x

3x

2 3 7 999 ; ; ; 5 8 11 1000 7 9 1111 11 Impropias ; ; ; 5 2 1000 7 2 11 19 1001 Homogéneas ; ; ; 5 5 5 5 1 1 3 7 Heteogéneas ; ; ; 2 4 9 11 1 3 100 5 Equivalentes ; ; ; 2 6 200 10 2 11 23 5 Irreductibles ; ; ; 7 19 37 8 2 3 100 111 Reductibles ; ; ; 4 6 85 39 Propias

40

10

20.

x

9, 11, 13, 15, 17, 19

nx

6

2x 3 2 1 x x 1 3 4 2 x 1 2 1 x 2 5 5 x S / .300 x 1

1 3

S / .120

xox 185

o, a b a a b

xox 185

o, a b a a b

xox 185

1

1

185 x 1 101 Luego: 0,5459 o, aba a b 185 xox

Aptos matemático 5

1 1 7 9 111 ; ; ; ; 100 10 10 10 1000

2. Decimales

Si son irreductibles x P. S 28 6 X 20 190

10

x

1. F – V – V – F – F – F – V – V

5 7 20 28

x 28 x 28

4

Práctica dirigida (página 81)

2 3x

8 3x 8 5 8 9 x 64 1 1 3 3x 10 3 10 x

16.

8 2

5, b

3.

31 7 116

32

100

9 29

25 31 51 2 1 42 4 2 3 5 8 1 11 95 2 3 6 73 21 9 11 4 6 12 137 127 138 128 5 x3 x8 1 x8 x3 4 5 9 2 9 4 14 .2 3 4 1 .2 2 5 5 3 3

4. 0, 7000 = 0,7 4,125 > 0,1250 0,0125 < 0,125 -1,7 > -1,71 -0,008 < -0,0008 3 x 10-3 > 3 x 10-4

2

>

3

-1,725 < -1,275

10. T

0,45 > 0,54 5/105 0,999 5.

> 5/106

MG

ai 20

20

6.

>

208

a b c d 25 e f g h i j 35

a b c d

n 1

2n

i 21

5.

h 1 2

ei 100

10

24,5

2450

ai

i 21

3,22i 100

3,2. 24,5

20

1 a1

1 a2

1 b1

1 b2

1 a1

50 1 1 a2 a20

30

1 .... b30

30

10 9

18

1 ..... a20

M4

100

1 b1

54

1 b2

78,4 1 a1

5 9

1 a2 1 b1

1 ..... b30

1 a20 1 b2

.....

10

50 9

1 b30

5

9

Problemas propuestos 14 (página 115) 1.

60 i 21

6

ai 60

60

68,5

ai

60

ai

i 1

6

60

ai

i 1

i 21

ai

i 7

4110 ai 6

b.c 36 36 b 13 b

4110

ai

i 21

60

i 1

6

b c 13 b.c a 2

b 9 c 4 6; 4; 9

ai .....

i 7 6

26

ai

156.......

i

en 60

3954

i 7

3954 54

ai 7 54

60 i

2.

3.

4.

a b c d e 5

85,6

a b c d 6

e

a b c 3 3 abc a

19 30

bc

x

e4

43, e5

42

x

a b c

2

a

2

26

36 19

a b c 3

9 b 1

b

9

3

8

a

94

7.

15 i 21 6

R

19

ai 15 b 6

15

9

b

10

c

3 1 9

1 8

8,92

1 10 15

30

ai

450

b1

108

209

i 21 6

18

i 21

6

ai

bi / 21 26,57

R

i 21

a, b, c

z

a b c 3

108 19

3

6

a b c

abc 3 210 42a 210

a

5

3 1 b

1 c

1 a

19

x

R

108 19

36 19

44

46 45 44 43 42 x

b 1

8.

a 6 a b c

45, e3

i 21

a2

a3 a 19 a

46, e2

i 21

3 1 1 1 a b c 3abc ab bc ac

a2 19

6.

a b c d e 428

85,6 1,4

e1

x

a b 7 a b 14 2 3a 4b 24 3a 4b 48 2 3.14 b 48 b 6 a 8 a 4 R b 3

246

ei

i 1

246

73,2

6

41

46

ei

4110 156

ai

ei 1 6

6

5.

i 1

R

M4

630

abc

3abc ab bc ac

107

18

210

3.210 5 18.5 42

R Guía para el Maestro

9.

2ab a b

720 13

2b

3600

130 2

a b 2 15 i 21

25 i 21

ai 15

32

bi 25

40

25

30

15

1000

bi

37

ai 30

7

30

28

bi

2 ab

i 25

a b

2 a a 25

125

2 a a 25

150 2a

4a 2

22500

30

ai

i 1

R

i

ai

bi

7

i

30

2ab a b

28

32 5

a b

R

20

64

R

2 ab

13 12

a b ab

a b

16

mi

14

mi

224

i 1 19

hi / 33 17,15

i 1

b

a c d 3

34 3

a b d 3 a b c d 3 a b c d 4

38 3 14

MA 12

R

ai 1 a

16

bi 1 b

13

a

b i

169 ab 36

Aptos matemático 5

342

3 10 1

i

4ab 4ab 2 25 ab a b 36 a b 5 ab 6 a b 13 ab 6 3 a ab , b 2 ab 2 3 a 9 R b 4

hi

b c d 3

17.

b i 1

bi

48 4 2 i 1 b

21

18a

bi

13b

i 1

a i 1

a1

a b

16

18a 13b 16a 16b 2a 3b a b

4a 2

i 19

a

13 6 2

mi 1 14

19

c

a 4 b 16

13. a b

600a

16. a, b, c, d

64

ab

a 20 2

18

i 1

30

7.2 14

bi

8

hi 1 19

14

a a 25

R

19

15.

i 1

ab

100a

a 45

i 1

4

125 2

14

30

30

ab

i 1

i 1

60

210

bi

25

a b 2

i 1

i 1

12.

480

i 1

30

R

ai

25

15

ai

30

65

i 21

i 1

11.

14. a b

60

ab

10.

360 13

ab a b

3k 2k

5k

100%

2k

40%

R

R

ai 1 45

45

18.

i

ai 1 8

45

8

22

i 1 6

ai

i 1

ai 1 a

19.

63

bi 1 b

58

i b i

2

i

80 i 1

83,54

22.

R

26

2

b

2i

63a

b

B

40 MAh

40 3

40 MAm

x

80

MAh 2

x

3

MAm 2

3 2

40 MAh

MAn 2

1

2

1 2

MAn 2

40 MAm

MA 1m 2

MAh

2

MAm 2

11Rn 2

MAm 2

40 MAh

40 MAm

x

MAn 2

MAn 2

MAn 2

y

V

3

MAm 2 2

1

½ año más

x 2 1 2

y 2

26

30

R

780

ai

i 1

28 x

an 2

24 624 24 x

4

n

2 4a

n

3 9a 3b c

2 : 5a

2

1 : an

ann y

MAn 2

24...... 2 48...... 3

MH n

ai n

ai

211

24

b

3a + b = 16 a 4 b 4

0

4n 2 440

4n 4n 2

4n

n

10

10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 24 48 80 120 168 224 288 360

i2

x

8..... 1

2b c

3

n

MAn 2

bn c

1 a b c

c

24.

80 MAn 2

15,14

140

n

3

2

y

bi

39

an

R

20. h 40, m

840

16 24 32 8 8

14

42

bi

23. 8; 24; 48; 80; .....; 440

60

2k 3k 2k 14

3k

1280

i 1

ai

x

a b 63a 58b 60a 60b 3a 2b

k

60

a1

26 x 780 28 x

bi

i 1

60

i 1

58b

bi

a1

i 1

ai 1 26

i

80 i 1

26

i 1

ai

3k

14

ai

10,94

i 1

i 1

a b

bi 1 60

i 7

85,54 72,6 a

16

60

176

3267 176 37

ai 1 37

ai 1 80

80 i

21

45

ai

i 1

45 i

21.

3267

ai

i 1

8 i

45

72,6

44

1 440

R n

72

ai

72n

i 1

x

72

i 2v

n+1 72n + x = 72.7 (n+1) x = 72 Guía para el Maestro

Capítulo 15 Problemas modelo (página 118)

A

2. (2006 – 4) + J = 2006 -4 + 4 – A = A

A

A

2006 – A = Sea A = 19ab

2006 - 19ab = 1 + 9 + a + b 106 – 10a – b = 10 + 0 + b 96 = 110 + 2b a=8;b=4 D = 1984 2006 – 1984 = 22a 4. A = ab = x (a + b) 10 a + b = xa + xb (10 – x) a = (x – 1) b x 1 a

b

212

6.

y

10b a a b

y

10b b( x 1) /10 x 100 10 x x 1 . b b( x 1) /10 x 10 x x 1

11 x

E + 6 = 2(05+6) E = 205 + 6 … (1) E – 6 = 3 (05 – 6) E = 305 – 12 … (2) (1) = (2): 305 – 12 = 205 + 6 05 = 18 E = 42 E + 05 = 60

a 2 3 a 2 5

b 2 4 b 2 6

c 2 5 c 2 7

4a = 3b + 2 6a = 5b – 2 10b – 4 = 9b + 6 b = 10 a=8 c = 12

18. Tenían

Tiene

Tendré

Yo

2e – t

e

2e

Tú

(70 – e)/2

t

t–e=t-

70 e 2

70 – e = 2e e = 70/3

Tenían

Tiene

Tendré

Pepe

C

3Co

6Co – C

Coco

Co

C

3Co

Aptos matemático 5

14.

e + t = 50

8.

3Co – C2 C – Co 4Co = 2C C2 2Co 9Co – C = 77 Co = 71 C = 22

12. A+15 + A + 26 – A – H = 12 A + 14 = 29 H – A = 29 = R 2 + 9211

16. e + 12e + m = 232 m = 411 12 + (5) (6) Mayo – 11 = Junio

10 x 10b + 2 = 4(a + b)

99 9 x 9

10. J – N2 = 7 J = N2 + 7 = (N + 1)2 – 4 10 = 2N N=5 J = 25 + 7 = 32a

Tenían

Tiene

Tendré

Yo

2e – t

e

e0

Tú

e0/2

t

70 – e

e + t = 50 e – (2e – t) = t – e = t – e0/2 2e = e0 e0 – e = 70 – e – t 2 + 50 = 70 t = 30

e = 20

(t + 28) – (e + 28) = 10

Práctica dirigida (página 121) 1. e – 4 = ¼(e + 8) 4e – 16 = e + 8 e=8 e + x = 4(e -3) 8+x=4–5 x = 12

65 = a (b + a) a,b,c10 5.13 = a (b + a) a = 5, b = 4 1965 – A = 20 A = 1945 8. A = (1892 – A)2 A = 1849 1890 – 1849 = 410

2

2. e – x = 11 e + 3x2 = 47 4x2 = 36 x2 = 9 e = 20 20 = (1+ y) 10 4 = 1 ; 1 vez

9. (p – 6) = 4 (Pe – 6) p + 18 = 4Pe (p + 4) = 2(Pe + 4) p = 2Pe + 4

3. p – m = n (p – m) n = p p (n – 1) = mn p + x = np x = (n – 1) p ; x = m.n 4.

a b

3k 5k k=5 b = 25 a 5 b 5

3k

5k

2 a = 15 20 30

( )a( ) 2Pe + 4 + 18 = 4Pe Pe = 11 (Percy) p = 26 (Pedro) 10.

20

2 3

65 – 10a = ab – a 65 = ab + 92

Luis

E

24

Arturo

12

E

213

11. Antes

Hoy

Después

Yo

T

5/3to

5/3to + t

Tú

to

T

2t

5/3to + 3t = 102 t – to = 3/5to – t 2t = 8/3to 3t = 4to t = 4/3to 5/3to + 4to = 102

6. 4 + 30 = J

1965 A axb 7. 19ab A a b 10 (6 – a) + 5 - b = 2b – a – b

Hoy

24 – E = F – 12 E = 182

5. J + R = 100 4J/9 = R 13J/9 = 100 J = 69 3/13 3 .52 125 13 69 años y 12 meses 54+ J = 66 54 + 30 – H = 66 J = 39 H=9 J + 2 = 412

Antes

to = 18 5/3to = 30a 12.

R + 30 = M R + M = 28 + (32) 2R + 30 = 60 R = 15 J + 11 = R J = 4a Guía para el Maestro

Problema propuestos 15 (página 123) 1. M + 13 = 5 (M – 11) M + 13 = 5M – 55 4M = 68 2.

9. A + 6 = B C+9=A A + B + C = 30 B – 6 + B + A – 9 = 3B – 21 = 30 B = 17a

M = 17a

T – 3 = 1/3 (T + 11) 3T – 9 = T + 11 T = 10 T + x = 2(T - 3) 10 + x = 2 – 7 x = 4a

3.

11

ai

7

8. A = (1980 – A)2 A = 1936 1958 – 1936 = 22a

290 11.72 = 213

10.

t 5 e 5

11.

A B

4. C + 4 = n2

n=4 C + 20 = n + 8 + 20 = 4 + 28 = 32a 5.

A 19ab

3 1

C = 10

13. 1985

98 - ab = 10 + a + b 88 = 11a + 2b

a,b < 10,

2000 - 19ab = 20a 2A + 40 = 24

14.

H – A = 20 H – A + 8 = 20 + 8 = 28a 7. 1918

1928

1940

P

9ho

5h

x

H

ho

h

4h = 8ho h = 2ho

3e

Rocío

e

1999 x

h = 10

1940 – 1923 + 5h = 67a Aptos matemático 5

2e0 e0

4 6 t 6 4 3 t

1 5 1 2

54

t

24 … ( )

2y

t

6

( ) : ( ) = 5(t – 6) = 2(t + 24) 5t – 30 = 25 + 48 y = 10 t = 26

10 x 26 x

2 3

x

15. 4 = 6 – 8

h – ho = 5

2000

e = 15 3e + 1997 – 1985 – 45 + 12 = 572

6. A + A + 18 – H - A - 30 = H – A – 52

5h – 9ho = h – ho

Rita

2eo – 3e = e0 – e = 15 e0 = 2e

a=8,b=0

ho = 5

B C

5e 5

12. 4(3+x) = 30 + x 12 + 4x = 30 + x x = 62

1998 - 19ab = 10 + a + b 214

4 5

4t

A + B + C = 64 4/5 + B + B/3 54 B = 30 A = 24 24; 30; 10

i 1

C–8=n n2 – n – 12 = 0

5 4

6 – 4 = 3h – 12 6 + 8 = 3 (6 – 8) 6 = 16a

27a

…( )

16.

6 = 5 +3

21. A n B n

P = 45 G + P + 9 – 18 = 5 G + 55 = 69 G + 56 = 84 G = 14a Pasado

Presente

Futuro

Yo

e

2y

4y – e

Tú

y

E

2y

A B A B

20 n 6 17 n 5 20 3n 17 3n 22. L

6y – e = 5y e – 4 = 2y – e e = 3/2 4 6y – 3/2 4 = 54 y = 12 24 = 24a

3.37

2

n 26 23

R

R 14 L 4m 10 L 4n 12 , R 4m 3 R 4n 5 3R 42 12m 10R 40m 7R 28m 42....... 5R 70 20n 12R 48n 7R 28n 70........

L 6m 20 L 10n 19 , n 6n 13 n 10n 12 13R 182 78m 20n 120m 7R 182 42m.......

18. Presente

Futuro

Yo

4

25

35

Tú

t

4

25

12R 168 120n 19n 190n 7R 168 70n......

y = t + 10 25 – 4 = 4 – t 25 + t = 2y 25 + y – 10 = 2y y = 15a

: 28m

m

Antes

Hoy

Después

2/2

3e

(e +18)

e

3e

23. Antes

Hoy

Después

José

e

2e0

4eo – e

Pablo

eo

e

2eo

6e0 – e = 63 2e0 – e = e – e0 3e0 = 2e 4e – e = 63 e = 21 2e0 = 28 e + 2e0 = 49a

182 42n

2 4m 8 : 28n 70 168 70n

3R

L 28 L R 42

e + 18 = 2e e = 28 4e = 72a 20.

42

4n 4 L 8 10 n 8 3 R 14

19.

Maura

111

A = 20 ; B = 17

17.

Elsa

A2 B 2

b 5

42 84

10R 80

R

L n 28 L 3n 44 n 4 L 32a

R

24. h1 17

M h2 19 M h3 22 M 2002 :

M

4M

58

42

25 2002 25

1977...... R Guía para el Maestro

215

Práctica dirigida (página 129)

Capítulo 16

1.

Problemas modelo (página 126) 2. 7 + 1 = 8 Pero de los alumnos ninguno cumple el mismo día. 4. 5 negros 9 azules 24 blancas 21 amarillas 19 rojas 14 verdes 1 color 93 (R) 6. x + 1 + x + x = 0,01 x 300 x 1 301 8.

3.

10. a) Rojas + Impares negros + 1 par negro. 26 + 2.7 + 1 = 41 b) 13 tréboles + 13 corazones + 13 Diamantes + 5 espadas = 47 (R) 12. 14 rojas 15 negras 11 verdes 1 azul 41 (R)

0,5 R

n o : 13

4 13

R

20. n R : 3n

Q

C38 C320

14 285

P

Aptos matemático 5

8 3 01 R

4.

r

2.2

r

2.2.2

r

6

r

6.6

7 10

4 8

36

15 (1º color) azules 14 (2º color) verde 6 negros 6 amarillas 6 rojas 1 (3º color) 54 14+ azules 13 verdes 12 negras 11 amarillas 10 blancas 9 rojas 1 color completo 70

R

18. n 9 : 3

3 13 52

2 5

40 20 10 100

7 fresa

C23 C33 4 23 8 2 5 7 16. 52 52

2 5 1 5

10 30 100

9 nata

14.

40 100 20 100

10 1 100 10 40 20 3 100 5

1 lim on 17 R

216

2.

V–V F–V F–F–F–F–F–V–F

20

14 azules 13 verdes 12 negras 11 amarillas 10 blancas 9 rojas 2 colores completos 71

14 verdes 13 negras 12 amarillas 11 blacas 10 rojas 2 azules 62 15 azules 13 negras 12 amarillas 10 rojas 14 verdes 1 blanca 65 5. 4 rojas 3 azules 8 blancas 1 color completo 16 6. 9 amarillas 9 azules 9 verdes 1 color 28 7. Año 2008 (Bisiesto): 266 días 250 + x = 207 x = 17 8. Casos a favor11 1 10 2 9 3 8 4 7 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 10 1 n 10

C210

r

45

45 10 1 36 9. 10.

C120 C135 3 1

20 35

C

3 0

C 3

2

29.2 1 59

R

3. 32 rojas (1º color) 28 blancas (2º color) 22 negras 22 azules 21 amarillas 1 amarilla (3º color) 127 (R) 4. 17 negras 19 azules 22 verdes 15 blancas 1 color entero 74 (R) 5.

6 x 1 553 x 92 x 1 93

R

6.

6.5 1 31

7.

C114 C124

14 24

R

7 12

0,58

0,6

8. 11 zapatos 13 zapatos 2 zapatos 26 (R)

217

9. 1 negro 1 marrón 1 color 3 (R) 10. A = 30 T = 82 B = 18 No bl = 14 C = 20 A + C + No bl. + 4 = 68

4 7

11. n o

0,5

12. n (J): 2 n (negro): 26

Problemas propuestos 16 (página 131) 1. 9 rojas 6 azules 1 verde 16 (R)

2. Febrero 2012: 29 días

6

P2

P

13. P

o

8 52

n r

2 26 52

C38 C316

1 10

10 : 8

2 13

R

7 13

R

R

Guía para el Maestro

Capítulo 17

14. Casos a favor

1 8

2 7

3 6

4 5

5 4

6 3

7 2

8 1

2. Gráficos

8

n F

8 P212

P 15.

Problemas modelo (página 134)

2 33

5

R

1, 2, 3, 4, 5, 6 6 1 7

R

16. n (negro) = 26 52 26 1 27

17.

Certeza = 28 – 10 + 1 = 19 +3

+ 3 ,…

21 + 1 = 22

10

(R)

218

(R)

6 2

24.

25.

1 1 . 6 8

2.

2

3

180

R

2

x

3 x2 4

2

R

S1

3

2

2 4

S1 4

9 u2

13 54

1 6.6

2.A

S2

9 9 3

8

2

4 2

9

9 8

9 8

R

10. Gráfico 1 2

SN 5

R

1 36

1 48

Aptos matemático 5

R

S5 R

S5

ST

SN

6.

3 3 3 2

4

18 3

Sn 5

2 y 4 (1 caso) P

x

x2

32

5 36

23. P2

20

a

81 20 . 20 9

A

4 4

5

C18 C111 C138

81 a 2 20

8. Gráfico

5 3

22. P

20

S

3 5

C214 C228

R

6. Gráfico

R

2 6

5 6.6

10

a b

21 2 a 20

3a 2

S5

21. Casos a favor

n

25 u

3a

2+2+….+2 = 2.12 = 24

1 3

5

2

S5

+ 3 = 21

19. Enero, Febrero,…… Diciembre

2 20. 6

b

2a.a a.a 3a 3a 1 . 2 2 2 2 2 3a a 1 3a 3a a.3a 9a . . . . 2 2 2 2 2 2.2 10

(R)

24 + 1 = 25

10 a

S5

18. Lunes, Martes, Miércoles,… Domingo 3

5.a 5 a b 2 2 CDO

4. Gráfico

R

primos 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23

b.5 2 ABO

2

6

4

ST 3

2

27

SN

6.

18 3 27

6 9 3 3

u2

(3 3)2 2

62 3 4

18 3

27

12. Gráfico

R2

SNS R2 2

SNS SS

R

R

2R

R

R2

n2

2

Práctica dirigida (página 137)

3 2L

AS

A

A

1 A 2 4L2

3 A 4

2

102 2

50 u2

2

2

L2

A

AS

6L2

A

2 L2

AS

A

10

2

3

2

3

10

2 S1 S2 S3

L2

5.10 2

.52

S2

L2

SS

4

50 50 100 25

S1 S2

50

S3

25

25 4

ST

4 5.10 25 2 102 100

SS

100

50

100 1.

u2

7. Gráfico SS ST

S2

2

4

.102

S1

L2

219

150 25

4L2

AS

U2

2

S1

4L2 L2

625 u 2

17u 2 Gráfico

17

S2

2n 2 L 2

2

3 .4 4

502 4

S1 S2 S3

S3

L2

AS

SS

A

3 A 4 3

4L2

1 A 2

A

A

2

4 2

1 A 2

L2

2

L2

2

6. Gráfico

3. Gráficos

6L2

3

bL2

AABCD

AS

1. F – F – F – V – F – F

A

L2

2

AS 5.

A

AS

2 4. Gráfico

4

As = 4 2

AS

A 2

A

2 (2)2

As = (2)

1 A 2

AS

14. As = A + 2A 2

2L2

A

A

2

u2

2

T

1 A 2

R2

2

2 L2

A

R2 2

4

2

2

ST

R 2

2

1 A 2

A

2

2

SP SNS

SS

R 4

2

2

25 25

25 4

25 4 Guía para el Maestro

Problemas propuestos 17 (página 139)

8. Gráfico

Sg

4g

ST

18S

1. Gráfico

SS ST

SS

2 ST 9

SS

a.c

12

b.d

?

ak d

S

a.c

b.d

12

2b . 2h

SS

2 b.

SS ST 220

b1 24 u 2

SS

4bh

2h 2

2bh

2bh 4bh

OQ

oPR

oPB

PB

PQ

OSD

BOQ

BQ

5P

b a

1 .sec 45 2 AROC

SD

RC

L L 2

2

L

L a . 2 2

SS ST

b L . 2 2 2

L1 2 L2

Aptos matemático 5

1 2

2

4

32

64

4

3

S

4

2

14.14 1 . 3 2

R

2

45 R2

1. 3

6. Gráfico Pitágoras: 42

m ROC

Luego:

SS

2

1

PR

OR

4 2 2

5. Gráfico 60 S . .R 2 360

Por LAL

ASOD

2

4

2

2

R

4. Gráfico Por simetría

OS

Lome 5Q

2

4 2

4

S1 S2

OR

50

S

S

1 2

Por Thales:

m SOD

S

S

11. Gráfico

PO

6

3. Gráfico m COA 90 OD OB 2 OC 1 270 3 SO .12 360 4 2.2 90 S S S . .1 2 360

10. Gráficos

ST

60 360 R

2. Gráfico

Por Thales:

bk c

3

4 12 3 6

SS

9. Gráfico

2

4 3

L 2

52 4r 2 r2 r2 r r

98 3

R2 60 R2 R

2

62

45 1 3

33,3%

10 2r

100 40r 4r 2 40r 48 0 10r 12 0 10r 25 5 5

SS 12

2

13 13 4.6

2

5

38 10 3

13

2 R2 3

2

2

(R) R

7. Gráfico

14. Gráfico

62 3

S1

60 . .62 S1 300 30 . .62 S2 3 360

S2 S

25 6 3 3

6

9 3

6

9 3

S1 18

9

S

18

S

4 2.6 2

S

.12

6.6 2

9

S1 S2

12 2

R

6. 1 3 5 2n 1 2n 1

6.n

2

R

12. Gráfico 60º . 6 3 360º

45

S 9 13. d

2

5

27 3

4

3 3

2

252

90º . . 3 3 300º

2

4

S

S

6.

SS

S

2

2

3

4 S

122

AC.h2 2 24

S

S

S3

2

S

90º .16 360º 60º 42 3 42 360º 4 S3

4

2

3 3.9 2

2

4

3

ST

82

Sg

165

ST

385

60º 42 360º

4 r 3

4 3

R

64 64

32

19. Gráfico

1 2 6

20. Gráfico

SS

SS

ST

.42

22

R

S

42 3 4

4 3

3

165

SS

SS

6 3

4

18. Gráfico

SS

R

6 3

R

RC h1 h2 2

SADB S1 S2

90º .16 360º

Sg

L

144

R

3 4.4 3 S 2 S 4 3 4 3

i 1

S

8.6 2

S

n

6

SS

S1 S2

5

40 u 2

b.12 2

S

AC.h1 2

R

11. Gráfico

S

R

17. Gráfico

18

10. Gráfico

SS

SS

S1 S2

12 2 5

SS

R2 r 2

Sg

18

180º . .62 360º

22

9,75

2

16. Gráfico

90º .62 360º

18 9

90º . .122 360º

S

9.

9

9 2

b

15. Gráfico

R

45º .122 360º

3 b

2 b .3

SS

8. Gráfico S1

2 3

Tg

9 3

S

6 h1 h2 2 36 3.6 18 36

Guía para el Maestro

221

21. Gráfico

8. Gráfico

180º . 360º

3 2

2

9

3 6 sen

R

3

22. Gráfico SS 1 . a

82 b

b2

a2b2

64 a.L SS 64

h.k

SS

8 6k.h 2

24. Gráfico

ABC BE

S

AEP

a

3kh

24

R

R

14

17,5

Tg

x

602

802

20 37

2.60.80

16. a2

1 2

c2

R

6. Gráfico

sen L L 4 L 6 2p 6

0,6 3 5L 5 0,2 10

Aptos matemático 5

4

2

r

r2

1 r r 2

2

r2

4r

2

4

0,25

r2 8

r 4

22

b 2a b a 6 Tg b a 52

b2

2a 2

2 (R) R 2

24

h h 6

h 4 h

h2

h2

2h 2 h 12

b2 c 2 2bc cos A b2 c 2 a2 b cos A 2c

b2 a2 2ba cos c b2 a2 c 2 b cos c 2a

L

b2 a2 c 2 2a a b2 c 2 a2 c 2c

L

c a

31 12 6 4

4r

TgA

Es un triángulo rectángulo 90º (R)

x2

sen

2

14. Gráfico

2

4. Gráfico

3

12. Gráfico

2. Gráfico Como se cumple Pitágoras:

10,5

r2

71 3 2p 3r

Problemas modelo (página 142)

2

2

2

1 60 2 45 x 180 75º R

2

2

r

r

Capítulo 18

2

3

10. Gráfico cos 0,25 Ley de Cosenos:

r2

ACH EH 4 10.4 20 2

222

sen

6 3

x

h.13k 2

S

ABC

2 sen

23. Gráfico

A

3

1 a a

1a a2

6

2 2 2 3

a2 b2

2

2 6 sen 45

c 3c

1 3

a2 b 2 c 2 2a c 2 b2 a2 2c

R

18. Gráfico 4 sen

6.

6 sen 60

1 sen 2 sen cos

B cos tg 760º . sen 450º co tg 40º C Tg1125º . sec 720º 1

3 3 cos sen 2 2 3 Tg 2

1. V – F – F – V – F – V – V

senB

b

TanB0 b

a

sec C

c a

senC

c

cos A

cos B

0 c

cos C

b

cos B

c

csc B

a

csc C

a

7.

3 cos2 30 . Tg 60º

T

3 . 3 4 9 1 5 4 4 3.

T T

a

3

r

a a a b

r

b2

c 2 a2 2

11. k

a2

c2 2

b2

12. F

a2

b2 2

c2

sen x

20

3

a2 c 2 ac

b2 ac

20

x 4

1.

r2

3 4

1 3 3 1 3

a 2 . cos a. cos

28 8.3 3

b 2 cos b cos

223

6 7

a b

2 2 2 2 2

91 25 36 2.5.6 cos A 1 2

cos A

y

2

Problemas propuestos 18 (página 147)

c2 cos y

3

9 12

3 3 8 2 3

M

b

b2 2

x

2

sen3 60º Tg 3 30º sec 30º cot g 60º

10. M

a2

140º

2

cot A

bc cos A

90

1

.

12

r

ab cos C

5.

1

9. Gráfico

3. < ; = ; < ; > ; = ; = ; > ; = ; =

x

6

8. Gráfico ac 12 b2 25

b

ac cos B

6 sen 45º . co tg 30º

a c TgA TgC c a 25 tgB TgC 12

c cos tgB c

4.

1

AxBxC

Práctica dirigida (página 145)

2.

A Tg 40º cos90º Tg 40º

30 30

2. Gráfico x2

602

x

20 37

802

2.60.80

1 2

Guía para el Maestro

3.

b2

bc senA senB senC

a2 c2 2ac.cos B a2

cos B

c 2 b2 2ac

2x 1

cos B

2

x2 1

2

x2

x 1

2

8.

2 2x 1 x 2 1

2x 3

cos B

x2

2x 1

(x2

1) (2x 1)

2(2x 1) ( x

2

1 2

1)

4a2 a2 2a2

sen x

5.

b

2

c

2

a

2

a

2

c

2

a

G

2

b c 2

2

6. Ley de senos

b senB

c senC

senA senB senB senC

senB senC senB senC 7.

bc senA cot B

b2 c 2 a2 2 b

2

b2

2

c 2

c2 2

a

2

b

2

a

2

2

b c 2

Aptos matemático 5

r

r 1 sen 2 1

2

r2

1 cot C

cot B cot C

sen B C senB senC

11.

1

2

r2

1 2

r 1 2 r 1 2 r

4r r 2 2r r 1

2r

1

4r r2 2r (r 1) r2

3r

5 3r

15 u

a cos A

b cosB

c cosC

a senA

b senB

c senC

r

k senA k senC

3 2

cos

r

r 1 2 (r 1)

k

c a b c

k senC k senB

3

180º

cos

cos B senC cos C senB senB senC

a2

2

10. Gráfico r 1 sen

15

senA senB senB senC

2 3 . 3 2

A C B b 75º

2

2

a senA

2

b 1h

bk bk

45º

C

30º

x

ck

2 3 senC

senC

a2 b2 c 2 20 G bc cos A ac.cos B ab cos C G

224

3 2 sen 60º

3a2

a senx

1 2

1 k

9. Ley de senos

3a

3a sen60º

bk bk

b 1k

a

4. Gráfico

b2

ak

a

2 2x 1 x 2 1

cosB

b

a2sen 2 A a2 2 sen A a b c sen sen sen

4

→

cosA sen A cosB senB

tgB tgA

→

cosB senB cosC senC

tgB tgC

→ tgA tgB tgC

1 cos

→ 2tgA →

tgB tgC

2(tgB tgC) tgB tgC 1 tgB tgC

19. x

3 tgC tgA

→ cot x

12. Figura

(180

52 72 2.5.7cos → cos

76cos

16 19

4 5

x

x 9 0,8 x

36 3,2 25 x

20m

14. h 43 3m

c2 b2 cb

c2

b2

M

4

d 1 2a,sen18cos18

M

4(A

d = 1 + sen18 x = d – 1 = sen18

x

a 5,b

tg

a

cb

ac senB bc sen A 2 2

A) 0

sen2A sen2B sen A cos (A B) a.2sen(A B)cos (A B) sen A cos(A B)

40

3 b 4

2

C senC

2c

24. sec c + CAA = 7 →

3 .40 4

4 21k

b2

2bc sen A 2ac senB

Q2

c 1 2c 1

c 7 2c 1

2c 1 7 2c 1

x = 18 17. sen

23. Q

Q

20 29

2bc cos A c 2

M ( 2bc cosA)tgA (22cosB)tgB

1 d 1 2 sen18sen18 cos18 2

12

1 cot 1

cosA 1/ 2 A = 60

d 1 sen36

x

5 x cot 20

a2

M

→ c

1/ 4)

c 2 cb

1 sec18º 2 d 1 cos54a

5 12 c = 12

7

22. M (a2 b2 c2 )tgA (a2 b2 b2 )tgB

15. a

16. tg

3 4

21. (a b)(a b) c(c b)

a2 b2

13. Figura →

4 3

→ tg x .cot x 1

) 64

h/ 4 2/3

24(tg53 tg35) 24

20. tgx (cot

→ A = B = C = 60 Equilátero

12 32 2.1.3

4 h h

h 24 2h

→ tgB.tgC 3

tgB

1 2

18. sen30

tg

20 21

2 c + 1 = 49 2 c = 48 → c = 24 a

2c 1 7

Guía para el Maestro

225

Sudokus propuestos

2 6 7 8 1 3 5 1 7 8 9 6

en la página

3 9 2

Baja

Baja

Solución

4

D i f i c u lta d

D i f i c u lta d

9 3 6 4 2 9 1 5 6 8 2 9 4 3 5 2 7 9 4 6 3 5 1

3 5 9 6 4 1 7 4 5 7 9 6 9 5 2 3 7 8 3 4 6 6 7 8 5 1 3 2 7 1 6 8

179

Solución

9 5 6

2 9

6 3

8

Solución

1

en la página

3

4

6

4 5 6

2 7 5 6 9 8 6 1 5 7 8 3 1 2

Aptos matemático 5

D i f i c u lta d

D i f i c u lta d

1 5

7 9 A lta

A lta

3

5 7 5

1 8 1 4 2 3 9 9 5 6 1 8 5 7 4 8 1 4 5 9 Solución

5 2 4

1 9

3

179

9

8 3 4

179

4 D i f i c u lta d Media

D i f i c u lta d Media

226

1 4 3 7

9 2 5 3 4 8 1 7 7 4 8 9 6 4 9 2 6 3 6 4

en la página

9

7 3 6 5 1

en la página

179

1 5 2 3 2 5 8 9 4 6 1 7 2 3 2 9 3 2 5 7 8

Solución de sudokus propuestos

6 5 2 3 9 8 4 7 1

4 1 3 2 7 9 5 8 6

2 6 7 5 8 3 1 9 4

5 8 9 6 1 4 7 3 2

8 9 6 1 4 3 7 5 2

3 2 7 9 8 5 6 4 1

1 5 4 2 6 7 8 9 3

2 1 8 7 9 4 5 3 6

6 4 3 5 1 8 2 7 9

9 7 5 3 2 6 4 1 8

5 6 1 4 3 2 9 8 7

7 8 9 6 5 1 3 2 4

4 3 2 8 7 9 1 6 5

7 9 5 6 2 4 8 1 3

1 8 6 3 7 5 4 2 9

4 3 2 1 9 8 7 5 6

9 7 1 5 4 2 6 3 8

6 4 8 9 3 1 2 7 5

2 5 3 7 8 6 9 4 1

3 6 7 2 1 9 5 8 4

8 1 9 4 5 7 3 6 2

5 2 4 8 6 3 1 9 7

D i f i c u lta d

D i f i c u lta d

1 9 4 7 2 5 3 6 8

A lta

A lta

3 7 8 4 6 1 9 2 5

D i f i c u lta d Media

D i f i c u lta d Media

9 2 6 1 5 7 8 4 3

Baja

Baja

8 4 5 9 3 6 2 1 7

D i f i c u lta d

D i f i c u lta d

7 3 1 8 4 2 6 5 9

7 5 3 2 9 8 6 4 1

4 8 6 1 5 3 7 9 2

2 9 1 4 6 7 8 5 3

8 1 9 7 2 5 4 3 6

3 6 7 9 1 4 5 2 8

5 4 2 8 3 6 9 1 7

6 3 4 5 8 2 1 7 9

1 2 5 6 7 9 3 8 4

9 7 8 3 4 1 2 6 5

4 2 6 7 5 9 8 3 1

5 9 1 3 6 8 7 2 4

3 7 8 2 1 4 6 9 5

6 3 9 1 4 5 2 7 8

8 1 4 9 2 7 5 6 3

7 5 2 8 3 6 1 4 9

1 8 3 6 9 2 4 5 7

9 6 5 4 7 1 3 8 2

2 4 7 5 8 3 9 1 6

8 4 2 7 3 6 9 5 1

7 6 5 1 2 9 4 8 3

9 1 3 8 4 5 7 2 6

6 7 8 4 5 1 3 9 2

1 3 4 2 9 8 6 7 5

5 2 9 3 6 7 8 1 4

4 5 1 9 8 3 2 6 7

2 9 6 5 7 4 1 3 8

3 8 7 6 1 2 5 4 9

Guía para el Maestro

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