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UNIVERSIDAD SANTO TOMAS ´ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS ´ AREA DE MATEMATICAS ´ CALCULO VECTORIAL QUIZ IV Nombre: Nombre: Fecha:

C´odigo: C´odigo: Grupo:

Lea cuidadosamente toda la prueba antes de comenzar a resolver. La prueba tiene una duraci´ on de 50 Minutos Para las preguntas de selecci´ on u ´nica. Seleccione la respuesta correcta marc´ andola con esfero. Si la respuesta seleccionada es correcta y es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 1,25. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO es sustentada completamente con procesos que lleven a ella el valor es de 0,625. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO es sustentada el valor es de 0. Si la respuesta seleccionada es incorrecta y tiene un proceso adecuado el valor es de 0,625. Si la respuesta seleccionada es incorrecta el valor es 0. El valor de cada enunciado aparece en negrilla y encerrado por [ ]. No se permite el intercambio de objetos. 1. [1.25] Los valores m´ aximo y m´ınimo absolutos de la funci´on f (x, y) =

(x2

 en la regi´ on R = (x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1 son: a) 34 , 0

b)

10 9 ,0

4xy + 1) (y 2 + 1)

c) 38 , 0

d) 98 , 0

2. [1.25] Un comedero de secciones transversales en forma de trapecio se forma doblando los extremos de una l´ amina de aluminio de 30 pulgadas de ancho. El ´ angulo θ y la longitud lateral x que m´ aximizan el ´area de la seccion transversal son:

x θ

x θ 30 − 2x

a) 45o , 8

b) 60o , 10

c) 50o , 9

d) 30o , 8

3. [1.25] El maximo de la funci´on f (x, y, z) = z sujeto a la restricciones x2 + y 2 + z 2 = 36 y 2x + y − z = 2 es:   √ √ √ a) 5+15265 , 5− 5 265 , 1− 3 265   √ √ √ b) 10+215 265 , 5+15265 , −1+3 265   √ √ √ c) 5−215 265 , 5+ 5 265 , 1− 3 265   √ √ √ d) 10−215 265 , 5−15265 , −1+5 265 4. [1.25] Un semic´ırculo est´a sobre un rect´angulo. Si el ´area es fija y el per´ımetro es un m´ınimo utilice multiplicadores de Lagrange para verificar que la longitud del rect´angulo es el doble de su altura.

h l

1. Sea f (x, y) =

(x2

4xy y 4x = 2 2 2 + 1) (y + 1) (x + 1) (y + 1)

y

Derivando parcialmente con respecto a x y a y
4y 1 − x2 fx (x, y) = =0 (x2 + 1)2 (y 2 + 1)
4x 1 − y 2 =0 fy (x, y) = (x2 + 1) (y 2 + 1)2

x2 + y 2 = 1

1 R

1

x



Asi 4y 1 − x2 = 0 y 4x 1 − y 2 = 0

a) Si y = 0 entonces x = 0
b) Si 1 − x2 = 0 entonces x = ±1 y y = ±1

Obtenemos el punto cr´ıtico (0, 0), descartamos los puntos (±1, ±1) por que no estan en R. Ahora encontremos los puntos cr´ıticos en las fronteras Para la frontera x = 0 con 0 ≤ y ≤ 1 tenemos la funci´on lineal f1 (y) = 0, la cual no posee m´ aximos ni m´ınimos.

2.

Para la frontera y = 0 con 0 ≤ x ≤ 1 tenemos la funci´on lineal f2 (x) = 0, la cual no posee m´ aximos ni m´ınimos. √ √ 1−x2 la cual posee m´ aximo en el Para la frontera y = 1 − x2 con 0 ≤ x ≤ 1. tenemos la funci´on f3 (x) = 4x 2+x2 −x4   punto cr´ıtico √12 , √12 .   As´ı el valor m´ aximo absoluto en R es f √12 , √12 = 89 y el m´ınimo absoluto en R es f (0, 0) = 0.

θ x

h

sin θ = hx =⇒ h = x sin θ cos θ = wx =⇒ w = x cos θ

w Tenemos (30 − 2x + 30 − 2x + 2x cos θ) x sin θ 2 = (30 − 2x + x cos θ) x sin θ

A(x, θ) =

Derivando parcialmente con respecto a x y θ Ax (x, θ) = sin θ (30 − 4x + 2x cos θ) = 0


Aθ (x, θ) = (30 − 2x)x cos θ + x2 2 cos2 θ − 1 = 0

De donde a) sin θ = 0 =⇒ θ = 0 ´ o θ = π, lo cual no puede suceder. b) (30 − 4x + 2x cos θ) = 0 =⇒ cos θ = 2x−15 x Reemplazando en Aθ (x, θ) tenemos
(30 − 2x)x cos θ + x2 2 cos2 θ − 1 = 0 !   2  2x − 15 2x − 15 −1 =0 + x2 2 (30 − 2x)x x x 30(2x − 15) − 2x(2x − 15) + 2(2x − 15)2 − x2 = 0 3x2 − 30x = 0

x = 10

entonces cos θ =

1 2

=⇒ θ =

π 3

3. Sea f (x, y, z) = z, g(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 = 36, y, h(x, y, z) = 2x + y − z = 2 ∇f (x, y, z) = λ∇g(x, y, z) + µ∇h(x, y, z)

(0, 0, 1) = (2λx + 2µ, 2λy + µ, 2λz − µ)

Tenemos el sistema 0 = 2λx + 2µ 0 = 2λy + µ 1 = 2λz − µ As´ı x = 2y, reemplazando en 2x + y − z = 2 =⇒ z = 4y + y − 2 = 5y − 2, ahora reemplazando x y z en x2 + y 2 + z 2 = 36 tenemos (2y)2 + y 2 + (5y − 2)2 = 36 30y 2 − 20y − 32 = 0

15y 2 − 10y − 16 = 0 y=

Por tanto



 √ √ √ 10+2 265 5+ 265 −1+ 265 , , 15 15 3

4. Sea P (h, l) = 2h + l +

lπ 2,

y,A(h, l) = hl +

πl2 8

5+

√

265

15

=A

∇P (h, l) = λ∇A(h, l)    lπ π (2, 1 + ) = λl, λ h + 2 4 Tenemos el sistema 2 = λl   π lπ 1+ =λ h+ 2 4 Solucionando l = 2h