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Ejercicios: Teoría de Conteo Relaciones y Recurrencia

Yeny Lorena Paz. Cód. 1.058.789.340 Olveimar Gómez Pinto. Cód. 1.050.918.913 Fabio Gonzalo García C. Cód. 88.222.447 Jhon Sebastián Ardila Reyes. Cód. 1.100.954.692 Wilson Antonio Quintana Gamboa. Cód. 88.035.478

Tutor: Luis Gerardo Argoty Hidalgo Magister En Educación

Universidad Nacional Abierta Y A Distancia Unad Escuela De Ciencias De La Educación - Ecedu Licenciatura En Matemáticas Matemáticas Discretas - 204041a_611 Grupo: 204041_9 2019

Introducción El presente trabajo corresponde a la etapa 2 de la segunda unidad del curso de Matemáticas Discretas, mediante el cual se da a conocer el desarrollo de los ejercicios propuestos en la guía, fundamentales para la adquisición de aprendizajes significativos como resultado de un proceso de discusión, análisis y fundamentación sobre el tema de la Teoría Combinatoria y el de Recurrencia y Relaciones, siendo este el producto el resultado

de las participaciones

individuales y debates entre los miembros del grupo para la modificación y avances del proceso de enseñanza- aprendizaje.

ACTIVIDADES A DESARROLLAR EJERCICIO: TEORÍA DE CONTEO

1.

a. ¿Cuantos números de cuatro cifras se pueden obtener, si no debe empezar por cero y no se puede repetir ningún dígito? Para este ejercicio usamos el método de variación sin repetición: 𝒏 = 𝟗 𝒌 = 𝟒 𝑉𝑘𝑛 = 𝑉49 =

𝑉49 =

9! (9 − 4)!

9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5! 5!

𝑉49 = 9𝑥8𝑥7𝑥6 𝑉49 = 3024 Respuesta: a partir de los dígitos del 1 al 9, se pueden obtener 3.024 números de 4 cifras. b. Se tiene tres cajas en una hay pelotas verdes, en otra, amarillas y en la última, naranjas. Si cada caja contiene al menos 8 pelotas. ¿De cuantas maneras se pueden determinar 8 pelotas? Para este ejercicio usamos el método de combinación: 𝒏 = 𝟖 𝒌 = 𝟑

𝒏𝑪𝒌 = 𝟖𝑪𝟑 =

𝟖! (𝟖 − 𝟑)! 𝟑!

8𝐶3 =

8𝑥7𝑥6𝑥5! 5! 𝑥3!

8𝐶3 =

8𝑥7𝑥6 3𝑥2𝑥1

8𝐶3 =

336 6

8𝐶3 = 56 Respuesta: se pueden determinar 56 maneras de combinar las pelotas.

2.

a. ¿Cuántas placas se pueden obtener si deben utilizar cuatro letras distintas de 26 posibles y al final debe tener un número de tres dígitos sin repetir número?

Considerando 26 letras del abecedario Los dígitos del 0 al 9 Entonces 𝟐𝟔 × 𝟐𝟓 × 𝟐𝟒 × 𝟐𝟑 × 𝟗 × 𝟖 × 𝟕 = 𝟏𝟖𝟎𝟖𝟑𝟓𝟐𝟎𝟎 Respuesta: la cantidad de placas que se pueden obtener es de 180.835.200 b. Se tiene tres cajas en una hay pelotas verdes, en otra, amarillas y en la última, naranjas. Si cada caja contiene al menos 8 pelotas. ¿De cuantas maneras se pueden determinar 8 pelotas si se debe tener al menos una de cada color? Hay 3 tipos de pelotas únicamente y se quieren sacar 8, el número de posibles combinaciones está dado por

(𝑵 + 𝒏 − 𝟏)! 𝒏! (𝑵 − 𝟏)! Donde 𝑵 = 𝟑, el número de tipos de pelotas que hay. 𝒏 = 𝟖 la cantidad de pelotas que tomaremos, como se pueden sacar 8 pelotas del mismo color, no importa si hay más de 8 pelotas del mismo color. Así: (𝟑 + 𝟖 − 𝟏)! 𝟖! (𝟑 − 𝟏)! 𝟏𝟎! 𝟖! ∙ 𝟐! 𝟏𝟎 ∙ 𝟗 ∙ 𝟖 ! 𝟖! ∙ 𝟐 𝟏𝟎 ∙ 𝟗 = 𝟒𝟓 𝟐 Respuesta: la cantidad de maneras de determinar las 8 pelotas es de 45

3.

a. ¿De cuantas maneras se pueden pintar 12 puertas de tal manera que 3 de ellas sean verdes, 2 rosas, 2 amarillas y las restantes blancas?

Tipo De Combinatoria permutación ordinaria permutación con repetición variación ordinaria variación con

¿Se toman todos los elementos?

¿Importa el orden?

¿Se repiten elementos?

FORMULA

SI

SI

NO

𝑃𝑛 = 𝑛!

SI

SI

SI

NO

SI

NO

SI / NO

SI

SI

𝑃𝑛 𝑎!. 𝑏!. 𝑐! … 𝑉𝑚𝑛 = 𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 − 2) … (𝑚 − 𝑛 + 1) 𝑛 𝑉𝑅𝑚 = 𝑚𝑛 𝑃𝑅𝑛𝑎,𝑏,𝑐.. =

repetición combinación ordinaria combinación con repetición

NO

NO

NO

SI / NO

NO

SI

𝑉𝑚𝑛 𝑃𝑛 (𝑚 + 𝑛 − 1)! 𝑛 𝐶𝑅𝑚 = 𝑛! (𝑚 − 1)! 𝑛 𝐶𝑚 =

En el Ejercicio sabemos que: ¿Se toman todos los elementos?: SI Importa el Orden: SI Teniendo en cuenta lo anterior decimos que es una Combinatoria de Tipo Permutación con Repetición y utilizamos la Formula. 𝑷𝑹𝒂,𝒃,𝒄.. = 𝒏

3,2,2,5. 𝑃𝑅12 =

𝑷𝒏 𝒂!. 𝒃!. 𝒄! …

12! 12.11.10.9.8.7.6 3991689 = = 3! .2! .2! .5! 6.2.2 24 3,2,2,5. 𝑃𝑅12 = 𝟏𝟔𝟔𝟑𝟐𝟎

Respuesta: Las puertas se pueden pintar de 166320 maneras. b. ¿De cuantas formas pueden distribuirse 12 libros idénticos de matemáticas entre cuatro estudiantes? Solución Teniendo en cuenta que es una Combinación Generalizada utilizamos la fórmula que está dado por el siguiente teorema:

Si x es un conjunto que contiene elementos, entonces el número de selecciones de k elementos, no ordenadas, con repeticiones permitidas y tomando el conjunto de x es: (Becerra, 2014)

 n  k  1 (n  k  1)!  k    k !(n  1)! En nuestro caso 𝒏 = 𝟒 𝒚 𝒌 = 𝟏𝟐, por tanto se pueden distribuir de

 4  12  1 15  15!  455 formas distintas  4 1    3   3!12!    

4.

a. ¿Cuántos mensajes diferentes se pueden representar por una sucesión de tres líneas y dos puntos?

b. ¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación 𝒙 + 𝒙𝟏 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 = 𝟐𝟗 ? 𝟏

𝒙𝟏 + 𝒙𝟏 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 = 𝟐𝟗 ? M= 4 R= 29 CR(M,R) = C(M + R – 1, R ) 32!

CR(4,29) = C(4 + 29 – 1, 29) = (32, 29) = 29!(32−29)! = 4960

5.

a. ¿De cuantas maneras se pueden asignar 7 habitaciones, si se quiere que cuatro de ellas sean para un programador y las tres restantes para terminales de computadora?

Se trata de una Permutaciones con repetición. Utilizando la expresión: 𝑷𝑹𝒂,𝒃,𝒄 = 𝒏

𝒏! 𝒂! 𝒃! 𝒄!

𝒏 Es el número de permutaciones de los elementos. 𝒂, 𝒃, 𝒄 El número de veces que se repite cada elemento. Para este caso: 𝒏=𝟕 𝒂=𝟒 𝒃=𝟑 𝑷𝑹𝒂,𝒃,𝒄 = 𝒏

𝒏! 𝒂! 𝒃! 𝒄!

𝑃𝑅𝑛𝑎,𝑏,𝑐 =

7! 4! 3!

𝑃𝑅𝑛𝑎,𝑏,𝑐 =

7! 4! 3!

𝑃𝑅𝑛𝑎,𝑏,𝑐 =

5040 144

𝑃𝑅𝑛𝑎,𝑏,𝑐 = 35 Respuesta: Las 7 habitaciones se pueden asignar de 35 maneras. b. Una dulcería ofrece 20 tipos diferentes de dulces. Bajo el supuesto de que hay al menos una docena de cada tipo al ingresar a la dulcería. ¿De cuantas formas se puede elegir una docena de dulces? Solución:

Se trata de combinación con repeticiones. Puede ocurrir que hay dulces de: mora, piña, naranja, manzana, limón, uva, etc. Así, un cliente puede pedir 12 dulces de mora, ó 4 de manzana, 7 de limón y 1 de uva. También puede pedir una docena de dulces, uno de cada sabor. Utilizando la expresión: (𝒏 + 𝒎 − 𝟏)! 𝒏+𝒎−𝟏 𝑪𝑹𝒏,𝒎 = ( )= 𝒎 𝒎! (𝒏 − 𝟏)! 𝒏: Total de elementos 𝒎: El número de elementos en cada grupo. Por tanto, para este caso: 𝒏 = 20 𝒎 = 12 (𝒏 + 𝒎 − 𝟏)! 𝒏+𝒎−𝟏 𝑪𝑹𝒏,𝒎 = ( )= 𝒎 𝒎! (𝒏 − 𝟏)! (𝟐𝟎 + 𝟏𝟐 − 𝟏)! 𝟐𝟎 + 𝟏𝟐 − 𝟏 𝟑𝟏! 𝑪𝑹𝒏,𝒎 = ( )= = = 𝟏𝟒𝟏´𝟏𝟐𝟎. 𝟓𝟐𝟓 𝟏𝟐 𝟏𝟐! (𝟐𝟎 − 𝟏)! 𝟏𝟐! 𝟏𝟗! Respuesta: La docena de dulces se podrá elegir de 141´120.525 formas diferentes. EJERCICIO: RELACIONES Y RECURRENCIA: DESCRIPCIÓN DEL EJERCICIO: A continuación, encontrará los argumentos para el desarrollo del ejercicio:

1.

El número de bacterias de una colonia se duplica cada hora. Si an es el número total de bacterias en “n” horas. Halle una relación de recurrencia para encontrar el valor de 𝒂𝒏

Solución:

Si en “n” horas hay el doble de bacterias de las que había en la hora anterior, es decir en n-1, podemos obtener la siguiente ecuación: 𝒂𝒏 = 𝟐𝒂𝒏−𝟏 Supongamos que la colonia al inicio tenía 5 bacterias (𝑎1 = 5), entonces podemos obtener la siguiente relación de recurrencia. 𝒂𝟏 = 𝟓 𝒂𝟐 = 𝟐𝒂𝟏 = 𝟐(𝟓) = 𝟏𝟎 𝒂𝟑 = 𝟐𝒂𝟐 = 𝟐(𝟏𝟎) = 𝟐𝟎 𝒂𝟒 = 𝟐𝒂𝟑 = 𝟐(𝟐𝟎) = 𝟒𝟎 𝒂𝟓 = 𝟐𝒂𝟒 = 𝟐(𝟒𝟎) = 𝟖𝟎 𝒂𝟔 = 𝟐𝒂𝟓 = 𝟐(𝟖𝟎) = 𝟏𝟔𝟎

2.

Dada la relación de recurrencia 𝟑𝒂𝒏 − 𝟓𝒂𝒏−𝟏 + 𝟐𝒂𝒏−𝟐 = 𝟎 conocidos 𝒂𝟑 = 𝟏 y 𝒂𝟒 = 𝟒. Determine el valor de los términos 𝒂𝟓 y 𝒂𝟔 , y los términos 𝒂𝟐 , 𝒂𝟏 𝑦 𝒂𝟎 Despejamos 𝒂𝒏 𝟑𝒂𝒏 − 𝟓𝒂𝒏−𝟏 + 𝟐𝒂𝒏−𝟐 = 𝟎

𝒂𝒏 = [

𝟓𝒂𝒏−𝟏 − 𝟐𝒂𝒏−𝟐 ] 𝟑

Calculamos los términos 𝒂𝟓 y 𝒂𝟔

𝒂𝟓 = [

𝟓𝒂𝒏−𝟏 − 𝟐𝒂𝒏−𝟐 ] 𝟑

𝒂𝟓 = [

𝟓𝒂𝟓−𝟏 − 𝟐𝒂𝟓−𝟐 ] 𝟑

𝒂𝟓 = [

𝒂𝟓 = [

𝟓𝒂𝟒 − 𝟐𝒂𝟑 ] 𝟑

𝟓(𝟒) − 𝟐(𝟏) ] 𝟑

𝒂𝟓 = [

𝒂𝟓 = [

𝒂𝟔 = [

𝟐𝟎 − 𝟐 ] 𝟑

𝒂𝟓 = [

𝟏𝟖 ]=𝟔 𝟑

𝒂𝟓 = [

𝟓𝒂𝒏−𝟏 − 𝟐𝒂𝒏−𝟐 ] 𝟑

𝒂𝟓 = [

𝟓𝒂𝟓 − 𝟐𝒂𝟒 ] 𝟑

𝟓(𝟔) − 𝟐(𝟒) ] 𝟑

𝒂𝟓 = [

𝟓𝒂𝟔−𝟏 − 𝟐𝒂𝟔−𝟐 ] 𝟑

𝟑𝟎 − 𝟖 ] 𝟑

𝒂𝟓 = [

𝟐𝟐 ] 𝟑

Para calcular los términos 𝒂𝟐 , 𝒂𝟏 𝑦 𝒂𝟎 , despejamos 𝒂𝒏−𝟐 𝟑𝒂𝒏 − 𝟓𝒂𝒏−𝟏 + 𝟐𝒂𝒏−𝟐 = 𝟎

𝒂𝒏−𝟐 = [

−𝟑𝒂𝒏 − 𝟓𝒂𝒏−𝟏 ] 𝟐

Entonces

𝒂𝟐 = [

−𝟑𝒂𝟒 + 𝟓𝒂𝟑 ] 𝟐

−𝟑(𝟒) + 𝟓(𝟏) 𝒂𝟐 = [ ] 𝟐

𝒂𝟐 = [

−𝟏𝟐 + 𝟓 ] 𝟐

𝒂𝟐 = [

−𝟕 ] 𝟐

𝒂𝟏 = [

−𝟑𝒂𝟑 + 𝟓𝒂𝟐 ] 𝟐

−𝟕 −𝟑(𝟏) + 𝟓 ( 𝟐 ) 𝒂𝟏 = [ ] 𝟐

𝟑𝟓 −𝟑 + (− 𝟐 ) 𝒂𝟏 = [ ] 𝟐

𝒂𝟏 = [− 𝒂𝟎 = [

−𝟑𝒂𝟐 + 𝟓𝒂𝟏 ] 𝟐

𝟒𝟏 ] 𝟐

−𝟕 −𝟒𝟏 −𝟑 ( 𝟐 ) + 𝟓 ( 𝟐 ) 𝒂𝟎 = [ ] 𝟐

𝟐𝟏 −𝟐𝟎𝟓 + ( 𝟐 )] 𝒂𝟎 = [ 𝟐 𝟐

𝒂𝟎 = [

3.

−𝟏𝟖𝟒 ] 𝟐

Dada la relación de recurrencia lineal con coeficientes constantes: 𝟑𝒂𝒏 − 𝟓𝒂𝒏−𝟏 + 𝟐𝒂𝒏−𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟓.

Encuentre la ecuación característica asociada a la

relación de recurrencia Solución Realizamos los pasos para encontrar la ecuación característica: 

Hacemos 𝑓(𝑛) = 0, es decir 𝟑𝒂𝒏 − 𝟓𝒂𝒏−𝟏 + 𝟐𝒂𝒏−𝟐 = 𝟎



Obtenemos el orden de ecuación resultante que en este caso es 2 (segundo orden).



Sustituimos an por λ, conservando los signos y coeficientes:

3  5  2  0 

Construimos el polinomio característico de igual grado que el orden de la ecuación:

3 2  5  2  0 Esta es la ecuación característica asociada a la relación de recurrencia.

4.

Dada la relación de recurrencia lineal con coeficientes constantes: 𝟕𝒂𝒏−𝟏 − 𝟐𝒂𝒏−𝟐 = 𝒏𝟐 + 𝟑. Encuentre la ecuación característica asociada a la relación de recurrencia. 4an - 7an-1 + 2an-2 = n2 +3 4an- 7an-1 + 2an-2 = 0 4ƛ- 7 ƛ + 2 ƛ = 0 4ƛ-2 7 ƛ + 2 = 0

5.

Dada la relación de recurrencia lineal con coeficientes constantes: 𝟒𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 = 𝒏𝟐 + 𝟕. Encuentre la ecuación característica asociada a la relación de recurrencia.

Solución: Se trata de una relación de recurrencia lineal no homogénea y de segundo orden con coeficientes constantes; ya que entre la diferencia entre los términos de mayor y menor son dos grados. Dado: 𝟓𝒂𝒏 − 𝟒𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 = 𝒏𝟐 + 𝟕 Esta recurrencia tiene la forma:

𝒇𝒏 + 𝒇𝒏−𝟏 + 𝒇𝒏−𝟐 = 𝟎

Por tanto, la ecuación característica asociada a la relación de recurrencia es: 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝟎 Con: 𝒌 = 𝟐,

𝒂𝟎 = 𝟏,

𝒂𝟏 = −𝟒,

𝒂𝟐 = 𝟓

CONCLUSIONES En el desarrollo de éste trabajo pudimos profundizar en el conocimiento y aplicación de los conceptos estudiados para resolver diversos problemas, lo que enriqueció, no solo nuestro

conocimiento en el tema, sino el desarrollo del pensamiento matemático, fundamental e imprescindible para el desarrollo de un profesional.

BIBLIOGRAFIA

Teoría de conteo. 

Villalpando, B. J. F. (2014). Combinatoria. Matemáticas Discretas Aplicaciones y ejercicios. (pp. 144-162) México: Larousse – Grupo Editorial Patria.



Argoty Hidalgo, L. (23, 11,2018). Diferencia entre variación y combinación. [Vídeo]. Argoty Hidalgo, L. (31, 07,2017). Combinatoria. [Página Web].

Relaciones. 

Villalpando, B. J. F. (2014). Relaciones de recurrencia. Matemáticas discretas: aplicaciones y ejercicios. México, D.F., MX: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 5572).

Recurrencia. 

Villalpando, B. J. F. (2014). Relaciones de recurrencia. Matemáticas discretas: aplicaciones y ejercicios. México, D.F., MX: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 112136).