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2) Dadas las siguientes cinco observaciones de las variables X y Y

a) Trace, con estos datos, el diagrama de dispersión.

Diagrama de dispersion 25 20 15 10 5 0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

b) ¿Qué indica el diagrama de dispersión del inciso a) respecto a la relación entre las dos variables? Que cuando los valores del eje X aumentan, los valores del eje Y disminuyen en su mayoría, es decir que son inversamente proporcionales.

c) Trate de aproximar la relación entre X y Y trazando una línea recta a través de los puntos de los datos.

Aproximacion 25

20 15 10 5 0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

d) Con las ecuaciones (14.6) y (14.7) calcule b0 y b1, para obtener la ecuación de regresión estimada. 𝑥

Ʃ total

3 12 6 20 14 55

𝑦 55 40 55 10 15 175

𝑥2 9 144 36 400 196 785

𝑏1 =

𝑥∗𝑦 𝑥 − 𝑥̅ 165 -8 480 1 330 -5 200 9 210 3 1385 𝑦̅ = 35 𝑥̅ = 11

∑ 𝑥𝑖 ∗ ∑ 𝑦𝑖 𝑛 2 (∑ 𝑥𝑖) ∑ 𝑥𝑖 2 − 𝑛

∑(𝑥𝑖 − 𝑦𝑖) −

𝑏1 =

55 ∗ 175 5 (55)2 785 − 5

1385 −

𝑏1=-3

Para b0: 𝑏0 = 𝑦̅ − 𝑏1𝑥̅

(𝑥 − 𝑥̅ )2

64 1 25 81 9 180

𝑦 − 𝑦̅ 20 5 20 -25 -20 0

(𝑥 − 𝑥̅ )(𝑦 − 𝑦̅) -160 5 -100 -225 -60 -540

𝑏0 = 35 − (−3)11 𝑏0 =68 Con esto, tenemos que la ecuación de regresión estimada es: 𝑦̂ = 𝑏𝑜 + 𝑏1𝑥 𝑦̂ = 68 + (−3)𝑥

e) Use la ecuación de regresión estimada para predecir el valor de y cuando x = 4.

𝑦 = 68 + (−3)4 𝑦 = 56

RTA: Cuando X es igual a 4, el valor de Y es de 56

4) Los datos siguientes son estaturas y pesos de nadadoras.

a) Trace el diagrama de dispersión de estos datos usando la estatura como variable independiente.

PESO

VS

ESTATURA

140

120

PESO

100 80 60 40 20 0 61

62

63

64

65

66

67

68

69

ESTATURA

b) ¿Qué indica el diagrama de dispersión del inciso a) respecto a la relación entre las dos variables? El diagrama del inciso anterior podemos ver como a medida que la estatura de las personas aumenta, su peso aumenta, es decir que el peso es directamente proporcional a la estatura.

c) Trate de aproximar la relación entre estatura y peso trazando una línea recta a través de los puntos de los datos.

PESO

VS

ESTATURA

160 140 120

PESO

100 80 60 40

20 0 61

62

63

64

65

66

67

68

69

ESTATURA

d) Obtenga la ecuación de regresión estimada calculando b0 y b1 𝑏1 =

∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )(𝑦𝑖 − 𝑦̅) ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑏0 = 𝑦̅ − 𝑏1 𝑥̅

Hallamos la media de X y la media de Y para reemplazarlas en las formulas

𝑥̅ = 𝑦̅ =

68 + 64 + 62 + 65 + 66 = 65 5

132 + 108 + 102 + 115 + 128 = 117 5

Hallamos b1

𝑏1 =

(68 − 65)(132 − 117) + (64 − 65)(108 − 117) + (62 − 65)(102 − 117) + (65 − 65)(115 − 117) + (66 − 65)(128 − 117) (68 − 65)2 + (64 − 65)2 + (62 − 65)2 + (65 − 65)2 + (66 − 65)2

𝑏1 =

Reemplazamos b1 en la ecuación de b0

11 = 5.5 2

11 481 𝑏0 = 117 − ( ) (65) = − = −240.5 2 2

La ecuación de la regresión lineal es

𝑦̂ = 5.5 𝑥 − 240.5

Siendo X la estatura, es decir la variable independiente y Y el peso, es decir la variable dependiente

e) Si la estatura de una nadadora es 63 pulgadas, ¿cuál será su peso estimado? Para calcular el peso de la nadadora, reemplazamos la estatura en la ecuación de la regresión lineal en la X y la Y que nos dé, sería el peso estimado de la nadadora.

𝑦 = 5.5(63) − 240.5 𝑦 = 106

Rta: El peso estimado de la nadadora de 63 pulgadas de altura, seria 106

6) Wageweb realiza estudios sobre datos salariales y presenta resúmenes de éstos en su sitio de la Red. Basándose en datos salariales desde el 1 de octubre de 2002 Wageweb publicó que el salario anual promedio de los vicepresidentes de ventas era $142 111 con una gratificación anual promedio de $15 432 (Wageweb.com, 13 de mazo de 2003). Suponga que los datos siguientes sean una muestra de salarios y bonos anuales de 10 vicepresidentes de ventas. Los datos se dan en miles de dólares.

a) Trace un diagrama de dispersión con estos datos tomando como variable independiente los salarios.

GRATIFICACION

VS

SALARIO

30

GRATIFICACION

25 20

15 10 5 0 0

50

100 SALARIO

150

200

b) ¿Qué indica el diagrama de dispersión del inciso a) acerca de la relación entre salario y gratificación? El diagrama del inciso anterior, podemos ver como a medida que aumenta el salario de los vicepresidentes aumenta, su gratificación aumenta, es decir que la gratificación es directamente proporcional al salario.

c) Use el método de mínimos cuadrados para obtener la ecuación de regresión estimada.

𝑥̅ =

135 + 115 + 146 + 167 + 165 + 176 + 98 + 136 + 163 + 119 = 142 10 𝑦̅ =

𝒊

12 + 14 + 16 + 19 + 22 + 24 + 7 + 17 + 18 + 11 = 16 10

𝒙𝒊 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

̅ 𝒙𝒊 − 𝒙

𝒚𝒊 135 115 146 167 165 176 98 136 163 119

12 14 16 19 22 24 7 17 18 11

𝑏1 =

̅ 𝒚𝒊 − 𝒚

-7 -27 4 25 23 34 -44 -6 21 -23

-4 -2 0 3 6 8 -9 1 2 -5

̅)(𝒚𝒊 − 𝒚 ̅) (𝒙𝒊 − 𝒙 28 54 0 75 138 272 396 -6 42 115

∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )(𝑦𝑖 − 𝑦̅) ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑏0 = 𝑦̅ − 𝑏1 𝑥̅

Hallamos b1

𝑏1 =

28 + 54 + 0 + 75 + 138 + 272 + 396 − 6 + 42 + 115 49 + 729 + 16 + 625 + 529 + 1156 + 1936 + 36 + 441 + 529 𝑏1 =

Reemplazamos b1 en la ecuación de b0

1114 = 0.184 6046

(𝒙𝒊 − 𝒙 ̅)𝟐 49 729 16 625 529 1156 1936 36 441 529

𝑏0 = 16 − (0.184)(142) = −10.128

La ecuación de la regresión lineal es

𝑦̂ = 0.184 𝑥 − 10.128

d) Dé una interpretación de la ecuación de regresión estimada. Vemos en la ecuación de la regresión lineal que a pesar de que aumenta el salario, la gratificación no aumenta mucho, pero se mantiene la proporcionalidad

e) ¿Cuál será la gratificación de un vicepresidente que tenga un salario anual de $120 000? Para calcular la gratificación de un vicepresidente, reemplazamos el salario en la ecuación de la regresión lineal en la X y la Y que nos dé, sería la gratificación estimada del vicepresidente en miles de dólares.

𝑦 = 0.184(120) − 10.128 𝑦 = 11.952

RTA: La gratificación estimada para el vicepresidente con un salario de 120.000, sería de 11.952 dólares