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• Hernán L. Zanga

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A



U NIVERSIDAD P UBLICA E L A LTO FACULTAD

DE

C IENCIAS F INANCIERAS

Y

A DMINISTRATIVA

D OCENTE : HLZ

V ERANO 2018-2019

Ape. Pat:

Ape. Mat: C.I.:

Derivadas

1

-

Nombres:

Calificación sobre 35 pts.

Apli a ión

de

la

derivada

-

Integrales

Hallar la derivada de la función f ( x) y calcular el límite A. a) (7 pts). f ( x) =

1

sin( x) − x x→0 x3

b) (7 pts). A = l´ım

1 x+ x+1

p

SOLUCIÓN.- Inciso a). Primero expresamos la función f ( x) en forma q . f ( x) =

= =

Por tanto f ( x) =

1 x + x +1 1 1 x2 + x+1 x+1

x2

x+1 +x+1

(copia) (sumando x +

1 x+1 )

(extremos y medios)

x+1 , x2 + x+1

ahora derivando está función:  ′ x+1 ′ f ( x) = x2 + x + 1 ( x + 1) ′ ( x2 + x + 1) − ( x + 1)( x2 + x + 1) ′ = ( x 2 + x + 1) 2 ( x2 + x + 1) − ( x + 1)(2x + 1) = ( x 2 + x + 1) 2 2 −x − 2x = 2 ( x + x + 1) 2

Por tanto la solución del problema es: f ′ ( x) =

(derivando) (regla del cociente) (regla de derivación) (algebra)

−x 2 −2x ( x 2 + x +1)2

SOLUCIÓN.- Inciso b). sin( x) − x x3 (sin( x) − x) ′ = l´ım x→0 ( x3 ) ′ cos( x) − 1 = l´ım x→0 3x2

A = l´ım

x→0

( 00 indeterminada) (regla de L’ Hopital) ( 00 indeterminada)

(cos( x) − 1) ′ x→0 (3x2 ) ′ − sin( x) = l´ım x→0 6x (− sin( x)) ′ = l´ım x→0 (6x) ′ − cos( x) = l´ım x→0 6 1 =− 6

A = l´ım

(regla de L’ Hopital) ( 00 indeterminada) (regla de L’ Hopital) (evaluando el limite)

Por lo tanto la respuesta es: A = − 16 2

(7 pts). Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva: y3 − xy2 + cos( xy) = 2 en el punto (0, 1). SOLUCIÓN.- Para encontrar la ecuación de la recta tangente, necesitamos hallar la pendiente y ′ que pasa por el punto (0,1). Aplicando la derivada implicita en la ecuación y3 − xy2 + cos( xy) = 2 tenemos:

(y3 − xy2 + cos( xy)) ′ = (2) ′

(derivando ambos lados)

3y2 y ′ − (y2 + x2yy ′ ) − sin( xy)(y + xy ′ ) = 0

(propiedades de derivadas)

(3y2 − 2xy − x sin( xy))y ′ = y2 + y sin( xy) y′ = Por tanto la pendiente es y ′ = y = 1) se tiene:

3y2

(Algebra)

y2 + y sin( xy) − 2xy − x sin( xy)

y2 + y sin( xy) . Evaluando el punto (0,1) en la pendiente (haciendo x = 0 y 3y2 − 2xy − x sin( xy) 12 + 1 · sin(0 · 1) 3 · 12 − 2 · 0 · 1 − 0 · sin(0 · 1) 1 = 3

y′ =

Luego la formula de la ecuación de la recta tangente esta dado por y − y0 = y ′ ( x − x0 ). Así, nuestra ecuación de la recta tangente con pendiente y ′ = 3

1 3

y que pasa por el punto (0,1) es: y − 1 = 13 x

(7 pts). La compañía XYZ fabrica sillas de mimbre. Con sus actuales máquinas, tiene una producción máxima anual de 500 unidades. Si fabrica x sillas, puede establecer un precio de p( x) = 200 − 0,15x dólares cada una y tendrá un costo total anual de C ( x) = 4000 + 6x − 0,001x2 dólares. La compañía tiene la oportunidad de comprar una nueva máquina. Con la nueva máquina, la compañía puede fabricar hasta 750 sillas por año. Entonces, la función de costo sería C ( x) =



4000 + 6x − 0,001x2 , si 0 ≤ x ≤ 500; 6000 + 6x − 0,003x2 , si 500 < x ≤ 750.

¿Qué nivel de producción maximizará la utilidad total anual bajo estas circunstancias? ´ de sillas • precio de un producto = x · p( x), es decir SOLUCIÓN.- El ingreso esta definido por I ( x) = numero I ( x) = x(200 − 0,15x) = 200x − 0,15x2 . Entonces la función utilidad es dado por:

Utilidad = Ingreso − Costo

(definición)

U ( x ) = x · p( x ) − C ( x ) (I ( x) = x · p( x))   200x − 0,15x2 , si 0 ≤ x ≤ 500; 4000 + 6x − 0,001x2 , si 0 ≤ x ≤ 500; U ( x) = − (definición) 200x − 0,15x2 , si 500 < x ≤ 750. 6000 + 6x − 0,003x2 , si 500 < x ≤ 750.  −4000 + 194x − 0,149x2 , si 0 ≤ x ≤ 500; U ( x) = −6000 + 194x − 0,147x2 , si 500 < x ≤ 750. Se observa que esta función utilidad esta definido en dos pedazos de intervalos: Para encontrar los puntos criticos analizamos en cada intervalo: En el intervalo [0, 500] (0 ≤ x ≤ 500): Los puntos fronteras son: 0 y 500. El punto estacionario se encuentra haciendo

dU dx

= 0: 194 − 0,298x = 0

( dU dx = 194 − 0,298x)

x = 651 se observa que x = 651 no es un punto estacionario, porque 651 no pertenece al intervalo [0, 500] y ademas los puntos singulares no existen. En el intervalo (500, 750] (500 < x ≤ 500): Sólo hay un punto frontera 750. El punto estacionario se encuentra haciendo

dU dx

= 0: 194 − 0,294x = 0

( dU dx = 194 − 0,294x)

x = 659,86 el punto x = 659,86 es un punto estacionario, porque pertence al intervalo (500, 750]. Como x es el número de sillas, entonces hacemos el redondeo a 660 sillas, es decir x = 660. Ademas los puntos singulares para este intervalo no exiten. En conclusión existen cuatro puntos criticos: 0, 500, 660 y 750. Ahora para saber que punto critico proporciona la máxima ganancia, determinaremos los valores correspondientes: Para el punto critico x = 0, su valor correspondiente es U (0) = −4000 Para el punto critico x = 500, su valor correspondiente es U (500) = 55750 Para el punto critico x = 660, su valor correspondiente es U (660) = 58006,8 (máximo) Para el punto critico x = 750, su valor correspondiente es U (750) = 56812,5 Concluimos que un nivel de producción de 660 unidades de sillas, proporciona la máxima ganancia de: 58006.8 dólares .

4

dI −1 = q , donde I es el dq e +1 ingreso total recibido cuando se producen y venden q unidades. Encuentre la función de demanda y expresela en la (7 pts). La función de ingreso marginal para el producto de un fabricante tiene la forma

forma p = f (q). (Sugerencia: Reescriba dI/dq al multiplicar tanto el numerador como el denominador por e−q ) SOLUCIÓN.- Para resolver este problema tenemos que hallar el ingreso I de la ecuación

dI −1 = q . Procedemos dq e +1

de la siguiente manera: dI −1 = q dq e +1 dI −1 e−q = q · −q dq e +1 e dI −e−q = dq 1 + e−q −e−q dq dI = 1 + e−q Z Z −e−q dI = dq 1 + e−q

(copia de la ecuación) (sugerencia) (algebra)

(integrando)

I = ln(1 + e−q ) + C

(Propiedades de integración)

Suponiendo que no se ha vendido ninguna unidad q = 0, entonces no hay ingreso I = 0, así obtenmos que la constante C = 0, De donde la función ingreso es dado por I = ln(1 + e−q ). Ademas sabemos que la función de la demanda es definido por p = f (q) = qI . Luego sustituyendo la función ingreso en la función demanda, tenemos nuestra respuesta: f (q) =

ln( 1+ e−q ) q