• Author / Uploaded
• jonandermartin

Citation preview

908261 _ 0001-0003.qxd

11/9/07

13:00

Página 1

Matematika 1

DBH

Irakaslearentzako baliabideak

ERANTZUNAK

DBHko lehen mailarako Matematika 1 Erantzunak Zubia / Santillanaren Hezkuntza-argitalpenetarako Sailean Joseba Santxo Uriarteren eta Enric Juan Redalen zuzendaritzapean sortu, taxutu eta gauzaturiko talde-lana da. Proiektu honetan egile-talde honek esku hartu du: Ana María Gaztelu Augusto González EDIZIOA Pilar García Rafael Nevado Carlos Pérez PROIEKTU-ZUZENDARITZA Domingo Sánchez Figueroa Ainhoa Basterretxea Llona

Zubia Santillana

908261 _ 0001-0003.qxd

27/7/07

08:37

Página 2

Aurkezpena Sailaren izenak (Jakintzaren Etxea) planteamendu jakin bati erantzuten dio: ikasleek eguneroko bizitzan moldatzeko beharrezko ezagutzak lortzea helburu duten Matematikako proiektu bat aurkezteko planteamenduari. Irakaskuntzaren derrigorrezko etapan, matematika-jakintzak, errealitatea interpretatzen eta deskribatzen ez ezik, hartan jarduten lagundu behar die ikasleei. Ildo horretan, eta kontuan izanda Matematika, maila hauetan, prozedurazko irakasgai hutsa dela, ikaslearen liburuan egindako ariketa eta problema guztiak ebatzita daude material honetan. Gure helburua ez da ebatzitako ariketak tresna hutsa izatea, proposamen didaktikoa baizik, ikasleei liburuan aurkezten diren kontzeptu eta prozedura guztiak bereganatzen laguntzeko.

5

Zenbaki osoak

Zenbaki gorriak Fu Chang ziur zegoen idazteko, literaturarako, poesiarako eta matematikarako zuen balioa aintzat hartuko zuela batzordeak. Tang dinastian (618-907) funtzionario izatea oso zaila zen, baina merezi zuen, ekonomikoki eta sozialki mesede egingo baitzion. –Oniritzia ematen dutenean –pentsatu zuen Fuk–, funtzionario inperiala izango naiz.

ZENBAKI OSOAK

ADIERAZTEA

BALIO ABSOLUTUA

Mandaringaiak zeta brodatuzko arropa ederrez jantzita ikusten zuen bere burua, fin-fin apaindutako palankin batean morroiek garraiatzen zutela.

AURKAKO ZENBAKIA

ZENBAKIAK ALDERATZEA

Bi herensugeen arteko eskaileran barrena, epaimahaia zegoen barrutira iritsi zen, emaitzen berri jakiteko. Jakintsuetan zaharrenak esan zion: –Ditugun zorrak eta kantitateak bereizteko kolore gorria eta beltza erabiltzeko modua berrikuntza bat da, eta sari gisa postua merezi duzu.

ERAGIKETAK ZENBAKI OSOEKIN

Gaur egun, inor ez da gogoratzen Fu Changez; hala ere, bankuko zorrei zenbaki gorriak esaten zaie, zenbaki negatiboak esan ordez. BATUKETA

KENKETA

BIDERKETA

ZATIKETA

100 €-ko zorra daukazu, eta ondoren, 110 € sartu dituzu. Nola adieraziko zenituzke egoera horiek?

ERAGIKETA KONBINATUAK

ERAGIKETEN HIERARKIA

Zorra

= -100 €

Sartu

= +110 €

Saldoa = +10 €

ERANTZUNAK

Zenbaki arruntak

1

107

106

a) Hirugarren egunean 3 = 27 mezu bidaliko ditu, eta laugarrenean, 34 = 81 mezu. 3

134 GGG

Zenbaki palindromoak dira ezkerretik eskuinera eta eskuinetik ezkerrera berdin irakurtzen direnak; adibidez, 15.951. 100etik 1.000ra arteko zenbat zenbaki arrunt dira palindromoak?

b) Mezua 37 = 2.187 lagunek jaso dezakete gehienez.

100 eta 110 artean bada zenbaki palindromo bat: 101; 110 eta 120artean: 111…; hau da, hamarreko oso bakoitzean palindromo bat dago. Beraz, 100 eta 1.000 artean 900 : 10 = 90 hamarreko daudenez, 90 palindromo daude.

c) Amaiak 2 mezu bidali izan balitu eta prozesu horri jarraitu izan balitzaio (lagun bakoitzak 2 mezu bidaltzea), astebetean 27 = 128 mezu bidaliko lirateke. 4 balira, emaitza hau izango litzateke: 47 = 16.384. Eta 5 balira: 57 = 78.125.

Beste modu batean: 100 eta 1.000 artean egoteagatik, palindromoak hiru zifrakoak dira. Beraz, aba formakoak dira; a 1etik 9ra arteko zifra bat da, eta b, 0tik 9ra artekoa. Konbinazioak 9 ⋅ 10 = 90 zenbaki palindromo dira. 135

Erreparatu berreketei. Zein da 72.006 berreketaren emaitzaren azken zenbakia?

GGG 71 = 7

75 = 16.807

72 = 49

76 = 117.649

73 = 343

77 = 823.543

74 = 2.401

78 = 5.764.801

2.006 = 4 ⋅ 501 + 2. 74⋅x+2 formako berreketen azken zenbakia 9 da. Beraz, 72.006-ren azken zenbakia 9 da.

138 GGG

Hona hemen nire institutuari buruzko zenbait datu. bi talde daude: • DBHko lehen zikloan,

bestea. 31 ikaslekoa bata, eta 29koa

erdiak (30) • Ziklo horretako ikasleen

hartzen futbol-txapelketa batean parte ari dira.

erdiak baino • Ziklo horretako ikasleen

136 GGG

daude bi gutxiago neskak dira: 27 neska taldeen artean.

Erreparatu batuketari: 1 + 10 + 102 + 103 + 104 + … + 102.006 + 102.007 Esango al duzu zer batura duten zenbaki horren zifrek?

dute izena • 9 neskak soilik eman

futbol-txapelketan parte hartzeko.

Zenbakiak 2.007 1eko izango ditu. Beraz, batura 2.007 da.

Zenbat mutil ez dira ari txapelketan parte hartzen? 60 − 27 = 33 mutil daude. Futbolean jokatzen duten mutilak: 30 − 9 = 21. Futbolean jokatzen ez duten mutilak: 33 − 21 = 12. (60 − 27) − (30 − 9) = 12

EGUNEROKOAN 137

Amaiak mezu hau jaso du telefonoz.

GGG Ez hautsi ZORIONAREN katea. Bidali mezu hau hiru laguni, eta zoriona nagusi izango da zure bizitzan.

139 GGG

Ez du ezer ere sinetsi, baina beste zerbait bururatu zaio... Amaia talde ekologista bateko kidea da, eta talde horretan, kanpaina bat egin nahi dute, jendea itsas hondoen andeatzeaz ohartarazteko. Amaiak hiru laguni bidaliko die mezu hau. Haietako bakoitzak, hurrengo egunean, beste hiru laguni bidaliko die mezua. Hala, katea ez da hautsiko. Informa a) Zenbat mezu bidaliko dituzte denen artean hirugarren egunean? Eta laugarren egunean? b) Hitzaldia astebete barru bada, eta lagun guztiek mezu guztiak bidaltzen badituzte, zenbat lagunek jasoko dute, gehienez, Amaiaren mezua? c) Zer gertatuko litzateke Amaiak mezua 2 laguni soilik bidaliz gero? Eta 4ri bidaliz gero? Eta 5i?

32

2

ziohitzaldia. Ostirala 13:00 h. Bihar, . bidali mezu hau hiru laguni.

ZAIN DITZAG UN ITSASOAK

Etxeberriko kiroldegiko zuzendaritza-batzordeak hockey-zelaian publizitatea jartzea erabaki du. Hockey-zelaiak 800 m2-ko azalera du, eta inguruan, publizitate-hesiak daude. Publizitatearen truke urtean 400 €/m kobratuko dituztela erabaki dute. Zuzendaritza-batzordeko kideek jakin nahi dute zenbat diru jasoko duten urtean publizitatearen truke, baina ez dakite zer neurritakoak diren, zehatz-mehatz, zelaiaren aldeak. Batzordeko kide bati kopuru hori kalkulatzeko modu bat bururatu zaio. Izan ere, hockey-zelaia bi karratu berdinez osatuta dago. Zenbat diru jasoko dute urtean publizitatearen truke? Zelaiko karratu bakoitzaren azalera 400 m2-koa da; beraz, karratuaren aldea: 800 : 2 = 400 = 20 m . Hauek dira hockey-zelaiaren neurriak: 40 × 20 m. Zelaiaren perimetroa: 40 ⋅ 2 + 20 ⋅ 2 = 120 m. Publizitatearen truke jasoko duten diru kopurua: 120 ⋅ 400 = 48.000 €.

33

908261 _ 0001-0003.qxd

27/7/07

08:37

Página 3

Aurkibidea 0. unitatea Berrikusketa

4-9

1. unitatea Zenbaki arruntak

10-33

2. unitatea Zatigarritasuna

34-57

3. unitatea Zatikiak

58-85

4. unitatea Zenbaki hamartarrak

86-105

5. unitatea Zenbaki osoak

106-131

6. unitatea Aljebra: hastapenak

132-159

7. unitatea Sistema Metriko Hamartarra

160-183

8. unitatea Zenbakizko proportzionaltasuna 184-207 9. unitatea Angeluak eta zuzenak

208-231

10. unitatea Poligonoak eta zirkunferentzia 232-261 11. unitatea Perimetroak eta azalerak

262-291

12. unitatea Poliedroak eta biraketa-gorputzak

292-313

13. unitatea Funtzioak eta grafikoak

314-339

14. unitatea Probabilitatea

340-359

3

908261 _ 0004-0009.qxd

0

11/9/07

11:29

Página 4

Berrikusketa ZENBAKIAK

001

Adierazi zer balio duen 5 zifrak zenbaki hauetako bakoitzean. a) 15.890.900 b) 54.786.008 c) 509.123.780

002

d) 64.320.510 e) 163.145.900 f) 986.403.005

a) 5 milioiko.

d) 5 ehuneko.

b) 5 hamar milioiko.

e) 5 milako.

c) 5 ehun milioiko.

f) 5 bateko.

Idatzi bost zenbaki, ehun milioikoen zifra 7 dutenak; eta beste bost zenbaki, ehun milakoen zifra 9 dutenak. Ehun milioikoen zifra 7:

003

Ehun milakoen zifra 9:

1.763.254.123

8.956.321

789.456.123

12.963.852

741.852.963

987.654

753.863.963

123.985.641

25.745.896.325

14.987.258

Idatzi. • 20.000tik gorako bost zenbaki, milakoen zifra 8 dutenak. Ordenatu txikienetik handienera, ikur egokia erabiliz. • 100.000tik beherako bost zenbaki, hamar milakoen zifra 3 dutenak. Ordenatu handienetik txikienera, ikur egokia erabiliz. • 29.000tik 29.100era arteko bost zenbaki, kontuan izanik zenbaki bakoitzak hamarrekoen zifra eta batekoen zifra berdinak izan behar dituela. • 28.123 < 48.574 < 78.369 < 98.254 < 128.951 • 39.874 < 38.741 < 34.258 < 32.963 < 30.584 • 29.011; 29.022; 29.033; 29.044; 29.055

004

Esan nola irakurtzen diren abakoetan adierazitako zenbakiak. a)

b)

HM

M

E

H

B

HM

M

E

a) Hogeita zortzi mila ehun eta hirurogeita zazpi. b) Berrogeita sei mila bostehun eta hamahiru.

4

H

B

908261 _ 0004-0009.qxd

11/9/07

11:29

Página 5

ERANTZUNAK

005

Kalkulatu. a) 31 b) 12 c) 17

- 20 + 15 - 4 + 7 - 8 - 5 + 14 - 9 - 5 + 24

a) 22 006

b) 20

d) 45 + 7 - 54 - 4 + 25 e) 59 + 45 - 76 - 12 + 51 f) 123 + 12 -17 - 23 - 9 + 12 c) 27

d) 19

f) 98

d) (89 + 23 - 76) - (41 + 12 - 32) e) 345 - (90 - 76 - 8 + 43) f) 567 - (23 + 65 - 12 - 45)

a) 37 − 15 = 22

d) 36 − 21 = 15

b) 123 − 80 = 43

e) 345 − 49 = 296

c) 1 − 14 = −13

f) 567 − 31 = 536

Egin eragiketak eta, gero, lotu emaitza bera duten adierazpenak. Idatzi eragiketa bakoitzaren emaitza haren ondoan. a) b) c) d)

008

e) 67

Egin parentesiak dituzten eragiketa hauek.

a) (34 + 12 - 9) - (34 - 19) b) 123 - (67 + 34 - 21) c) (9 + 78 - 54 - 32) - (9 + 5)

007

0

24 34 34 24

− + + −

8 + 18 − 6 = 28 78 − 12 − 17 = 83 78 + 7 − 65 − 12 = 42 8 − 18 + 6 = 4

ii) iv) iii) i)

(24 (34 (34 (24

+ + + +

18) − (8 + 6) = 28 78) − (12 + 17) = 83 78 + 7) − (65 + 12) = 42 6) − (8 + 18) = 4

Problema hau ebazteko, erabili zenbaki arrunten batuketak eta kenketak. Biltegi batean, 800 kutxa zeuden. Atzo, 125 saldu zituzten, eta gaur, berriz, 85. Horren ondoren, beste 90 kutxa ekarri dituzte. Zenbat kutxa daude orain biltegian? 800 − 125 − 85 + 90 = 680 kutxa

009

Idatzi zer zatiki adierazten duten irudi bakoitzean margotutako zatiek. a)

d)

b)

e)

c)

f)

a)

5 6

b)

1 4

c)

1 6

d)

12 7

e)

5 3

f)

5 2

5

908261 _ 0004-0009.qxd

11/9/07

11:29

Página 6

Berrikusketa 010

Adierazi grafikoki zatiki hauek. a)

5 3

b)

a)

011

7 4

c)

b)

6 5

c)

d)

7 6

d)

Eman zatiki hauek. • Bat baino gehiago balio duten bost zatiki, zenbakitzailea 10 dutenak. • Bat baino gutxiago balio duten bost zatiki, izendatzailea 10 dutenak. •

012

10 10 10 10 10 , , , , 5 6 7 8 9

•

5 6 7 8 9 , , , , 10 10 10 10 10

Adierazi esaldi bakoitza zuzena ala okerra den eta eman arrazoiak. • Koldok bost pizza-laurden jan ditu; hots, pizza bat baino gehiago jan du. • Martak irudi baten hiru zortziren margotu ditu; hau da, irudi bat baino gehiago margotu du. • Amaiak babarrunak erein ditu baratzearen bederatzi zazpirenetan. • Ikastetxe bateko ikasleen zortzi herenak neskak dira. • Informatikako gelako ikasleen herenek hamar urte baino gehiago dituzte. • Zuzena, zenbakitzailea (5) handiagoa delako izendatzailea (4) baino. • Okerra, zenbakitzailea (3) txikiagoa delako izendatzailea (8) baino. • Okerra,

9 > 1; ezin du baratzearen azalera baino gehiago erein. 7

• Okerra,

8 > 1; nesken kopuruak ezin du izan ikasleena baino handiagoa. 3

1 • Zuzena, < 1; gerta daiteke ikasleen herenak hamar urte baino gehiago 3 izatea.

013

Osatu taula. Zenbakiak 1,098 0,008 12,076 54,003

6

Zati osoa Hamarrekoak Batekoak 1 0 1 2 5 4

Zati hamartarra Hamarrenak Ehunenak Milarenak 8 0 9 0 0 8 0 7 6 0 0 3

908261 _ 0004-0009.qxd

27/7/07

09:25

Página 7

ERANTZUNAK

014

Idatzi nola irakurtzen diren zenbaki hamartar hauek. a) 12,6 d) 9,06 g) 0,007 j) 12,067 b) 0,9 e) 3,023 h) 7,056 k) 3,08 c) 123,12 f) 2,345 i) 543,005 l) 2,4

0

m) 3,004 n) 2,03 ñ) 3,124

a) 12 bateko 6 hamarren.

i)

543 bateko 5 milaren.

b) 9 hamarren.

j)

12 bateko 67 milaren.

c) 123 bateko 12 ehunen.

k) 3 bateko 8 ehunen.

d) 9 bateko 6 ehunen.

l)

e) 3 bateko 23 milaren.

m) 3 bateko 4 milaren.

f) 2 bateko 345 milaren.

n) 2 bateko 3 ehunen.

g) 7 milaren.

ñ) 3 bateko 124 milaren.

2 bateko 4 hamarren.

h) 7 bateko 56 milaren. 015

Osatu taula. E 1

3

H

B Hamarre. Ehunenak

Milarenak

Deskonposizioa

Irakurri 134 bateko 96 milaren 46 bateko 5 milaren 1 bateko 1 milaren 308 bateko 109 milaren 8 bateko 166 milaren 85 ehunen 95 bateko 378 milaren

3

4

0

9

6

100 + 30 + 4 + + 0,09 + 0,006

4

6

0

0

5

40 + 6 + 0,005

1

0

0

1

1 + 0,001

8

1

0

9

8

1

6

6

0

8

5

5

3

7

8

0

9

6

4

0

9

300 + 8 + 0,1 + + 0,009 8 + 0,1 + 0,06 + + 0,006 0,8 + 0,05 90 + 5 + 0,3 + + 0,07 + 0,008 0,9 + 0,06 + + 0,004

964 milaren

GEOMETRIA 016

Adierazi angelu hauek letraz eta neurtu garraiagailuz. Gero, erantzun galderei.

• Handienak 120° ditu. • Txikienak 30° ditu.

• Zenbat gradu ditu angelurik handienak? • Eta angelurik txikienak? • Zein dira angelu zuzena baino handiagoak? • Zein dira angelu zorrotzak? Eta angelu kamutsak? • 100°-ko eta 120°-ko angeluak. • Zorrot.: 30° eta 40°. Kam.: 100° eta 120°.

7

908261 _ 0004-0009.qxd

11/9/07

11:29

Página 8

Berrikusketa 017

Marraztu angelu hauek garraiagailuaz. a) 45° b) 90° c) 120° a)

b)

c)

160°

120°

Marraztu. a) 80°-tik gorako angelu zorrotz bat. b) 100°-tik beherako angelu kamuts bat. a) 85°

b) 95°

95°

85°

019

d)

90°

45°

018

d) 160°

Marraztu poligono bat, 1, 2, 3, 4 eta 5 cm-ko zuzenkiak erabiliz. Gero, adierazi poligonoa letraz. Horren ondoren, egin lerro poligonal bat, zuzenki berberak erabiliz. Pentagonoa

1c m

3 cm

4

m 4c

2 cm

5 cm

2 cm 1 cm

cm m 3c

5 cm

Marraztu elementu hauek poligonoetan: erpinak, diagonalak, aldeak eta angeluak. Adierazi poligonoak letraz. Erpinak

F F

Aldeak

F

Aldeak F

Angeluak

F F

Diagonalak

Aldeak

Angeluak

Diagonalak

F

Irakurri eta erantzun. a) Anek 5 erpineko poligono bat marraztu nahi du. Izan al ditzake 6 alde? b) Iñigok 4 angeluko poligono bat marraztu du. Izan al ditzake 5 alde? a) Ez, 5 izan ditzake soilik. b) Ez, 4 izan ditzake soilik.

8

Erpinak

F

F F

021

Angeluak

F

Aldeak

Diagonalak

F

F

Erpinak

F

Diagonalak

F

Erpinak

F

020

Angeluak

908261 _ 0004-0009.qxd

11/9/07

11:29

Página 9

ERANTZUNAK

022

0

Zenbat karratu ditu irudiak? Kalkulatu irudiaren azalera.

Azalera 21 laukikoa da.

GRAFIKOAK 023

Ikasle batzuei galdetu zaie zer kirol duten gustukoen. Taulan, haien erantzunak adierazi dira. Kirolak Ikasle kopurua

Futbola 15

Adierazi datu horiek barra-grafiko baten bidez.

Eskubaloia 12

Saskibaloia Atletismoa Boleibola 6 15 4

15 12

024

Boleibola

Atletismoa

Saskibaloia

Eskubaloia

Futbola

6 4

Karmelek lagunei galdetu die zer postre duten gustukoen, eta erantzunak taula batean idatzi ditu. Osatu taula, adierazi datuak grafikoki eta erantzun. Postreak Zenbaketak Fruta Jogurta Budina Tarta Izozkia

a) b) c) d)

3 5 52 3 55

Guztizko kopuruak 3

5 7 3

10 7 5 3

10 Fruta

Jogurta

Budina

Tarta

Izozkia

Zein postre aukeratu dute gehienek? Eta gutxienek? Zenbat lagunek aukeratu dute budina? Zenbat gehiago dira izozkia aukeratu dutenak tarta aukeratu dutenak baino? a) b) c) d)

Gehienek izozkia aukeratu dute. Gutxien aukeratutakoak fruta eta tarta dira. Zazpi lagunek aukeratu dute budina. 10 − 3 = 7 gehiago dira.

9

908261 _ 0010-0033.qxd

1

30/7/07

16:10

Página 10

Zenbaki arruntak ZENBAKISISTEMA

ZENBAKI ARRUNTAK

ERAGIKETAK

BATUKETA

KENKETA

BIDERKETA

ZATIKETA

HURBILKETAK ETA ERROREAK

10

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 11

Lau lauak Srinivasa Ramanujan XX. mendeko indiar matematikari bat izan zen; zenbakien adiskidea izena eman zitzaion. Berezko trebetasuna zuen zenbakien arteko loturak eta zenbakien propietateak bilatzeko, eta horregatik, zientzialarien onespena lortu zuen. Umetan, Madrasko tren-geltokian zain zegoela jolas bat asmatu omen zuen, anai-arrebak entretenitzeko.Tren bat zuten aurrean; lau bagoi eta makina bat zituen trenak. Bagoi bakoitzean, 4 zenbakia zegoen idatzita, eta tren-makinan, 1 zenbakia. Srinivasak papera eta arkatza hartu, eta hauxe marraztu zuen, anai-arrebek ikus zezaten: 4

–

4

+

4

:

4

= 1

Anaia zaharrenak arkatza hartu eta honela hitz egin zien, marrazkia egiten zuen bitartean: -Eta tren makinak 2 zenbakia izango balu... 4

:

4

+

4

:

4

= 2

Ba al dakizu lau lauen arteko zer eragiketa egin behar diren 9ra arteko hurrengo zenbakiak lortzeko?

4–4+4:4=1 4:4+4:4=2 (4 + 4 + 4) : 4 = 3 (4 – 4) : 4 + 4 = 4 (4 · 4 + 4) : 4 = 5 4 + (4 + 4) : 4 = 6 4 + 4 – (4 : 4) = 7 [(4 + 4) · 4] : 4 = 8 4+4+4:4=9

11

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 12

Zenbaki arruntak ARIKETAK 001

Irakurri adierazpen hauek. a) 4 < 7 b) 9 > 3 a) 4 txikiagoa da 7 baino. b) 9 handiagoa da 3 baino.

002

d) 11 > 6

c) 12 txikiagoa da 15 baino. d) 11 handiagoa da 6 baino.

Aztertu adierazpen hauek zuzenak diren ala ez. a) 18 < 11 b) 14 > 13 a) Ez da zuzena.

003

c) 12 < 15

b) Zuzena da.

Ordenatu txikitik handira: 104, 97, 87, 218, 198. 87 < 97 < 104 < 198 < 218

004

n zenbaki arrunta bada, zer balio izan ditzake n-k? a) n < 7 b) 12 < n a) n → 1, 2, 3, 4, 5 edo 6

005

Adierazi biderketa gisa. a) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 a) 6 ⋅ 6 = 36

006

b) 11 + 11 + 11 + 11 + 11 b) 11 ⋅ 5 = 55

Aplikatu banatze-propietatea. a) 7 ⋅ (4 + 10) b) 18 ⋅ (7 − 2) a) 7 ⋅ 4 + 7 ⋅ 10 = 98

007

b) n → 12 baino handiagoa den edozein.

b) 18 ⋅ 7 − 18 ⋅ 2 = 90

Aitorrek 5 kutxa margo erosi ditu. Kutxa bakoitzean 18 margo badaude, zenbat margo erosi ditu guztira? 18 ⋅ 5 = 90 erosi ditu guztira.

008

Erreparatu adibideari eta aplikatu. 34 ⋅ 9 = 34 ⋅ (10 − 1) = 340 − 34 = 306 a) 12 ⋅ 999 b) 31 ⋅ 15 a) 12 ⋅ (1.000 − 1) = 12.000 − 12 = 11.988 b) (30 + 1) ⋅ 15 = 450 + 15 = 465

009

Kalkulatu 6.712 : 23 zatiketaren zatidura eta hondarra. Egin proba. Zatidura 291 eta hondarra 19. Zatikizuna = zatitzailea ⋅ zatidura + hondarra → 6.712 = 23 ⋅ 291 + 19

010

Kalkulatu zatiketa zehatz baten zatikizuna, jakinda zatidura 13 eta zatzitzailea 6 direla.

Zatikizuna = 13 ⋅ 6 = 78

12

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 13

ERANTZUNAK

011

1

Zatiketa baten zatikizuna eta zatitzailea 10ez biderkatzen baditugu: a) Zer gertatuko zaio zatidurari? b) Eta hondarrari? Eman zenbait adibide eta arau orokorra. a) Zatidura ez da aldatuko. b) Hondarra zenbaki horrez biderkatuta geratuko da. 18 : 4 ⎯⎯ → Zatidura 4 eta hondarra 2. 180 : 40 → Zatidura 4 eta hondarra 20. Araua: Zatiketa baten bi gaiak zenbaki beraz biderkatzean edo zatitzean, zatidura ez da aldatuko, baina hondarra zenbaki horrez biderkatuta edo zatituta geratuko da.

012

Idatzi eta kalkulatu. a) Zazpi ber hiru.

b) Lau ber bost.

a) 7 = 343

b) 45 = 1.024

3

013

Adierazi berreketa hauen berrekizuna eta berretzailea. Idatzi nola irakurtzen diren. a) 36 a) b) c) d)

014

b) 132 Berrekizuna: 3 Berrekizuna: 13 Berrekizuna: 5 Berrekizuna: 4

Berretzailea: 6 Berretzailea: 2 Berretzailea: 4 Berretzailea: 5

a) 11 = 1.331

b) 65 = 7.776

Idatzi, ahal bada, berreketa gisa. a) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 a) 74

b) 5 ⋅ 5 ⋅ 4 b) 52 ⋅ 4

c) 5 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 3 c) 52 ⋅ 32

d) 1 ⋅ 4 ⋅ 4

d) 42

Adierazi berreketa bakar banaren bidez. a) 74 ⋅ 75 a) 79

017

Irakurketa: 3 ber sei. Irakurketa: 13 ber bi. Irakurketa: 5 ber lau. Irakurketa: 4 ber bost.

b) 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6

3

016

d) 45

Idatzi berreketa gisa eta kalkulatu balioa a) 11 ⋅ 11 ⋅ 11

015

c) 54

b) 53 ⋅ 53 b) 56

c) 93 ⋅ 95 ⋅ 94 c) 912

d) 42 ⋅ 43 ⋅ 44

d) 49

Kalkulatu zer balio duten berreketen biderketa hauek. a) 104 ⋅ 105

b) 103 ⋅ 10 ⋅ 102

a) 109 = 1.000.000.000

b) 106 = 1.000.000

13

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 14

Zenbaki arruntak 018

Kalkulatu zenbat lauza egongo diren karratu formako gela batean, jakinda ilara bakoitzean 14 lauza daudela. 14 ⋅ 14 = 142 = 196 lauza

019

Idatzi falta diren berretzaileak. a) 67 ⋅ 6
= 69 a) 67 ⋅ 62 = 69

020

a) 7 = 343 3

a) 15

a) 32 ⋅ 33 = 35

a) 78 : 73 = 75

a) 212

a) 310 ⋅ 38 = 318

b) 140 b) 1

b) (56 ⋅ 52) : 57 b) 58 : 57 = 5

b) 86 : 8
= 83 b) 86 : 83 = 83

c) (14 ⋅ 16)5

b) (63)5 b) 615

d) 93

b) (53)4 : (52)3 b) 512 : 56 = 56

Adierazi berreketen biderketa edo zatiketa gisa. a) 64 ⋅ 65 = 69

b) (14 ⋅ 5)7 : (14 ⋅ 5)4 b) 707 : 704 = 703

Kalkulatu letren balioak, berdintzak zuzenak izan daitezen. a) (35)n = 325 a) (35)5 = 325

14

d) (216 : 24)3

c) 2245

a) (3 ⋅ 2)4 ⋅ (3 ⋅ 2)5

027

d) 12

Adierazi berreketa bakar banaren bidez. a) (32)5 ⋅ (34)2

026

c) 9 = 81

Kalkulatu. a) (24)3

025

b) 20 = 1

d) 127 : 126

2

Idatzi falta diren berretzaileak. a) 7
: 73 = 75

024

c) 97 : 95

0

Kalkulatu. a) (34 : 32) ⋅ 33

023

b) 206 : 206

Kalkulatu zer balio duten berreketa hauek. a) 151

022

b) 52 ⋅ 53 ⋅ 57 = 512

Kalkulatu berreketen zatiketa hauen emaitzak. a) 78 : 75

021

b) 52 ⋅ 5
⋅ 57 = 512

b) (12n)6 = 1218

c) (83)n = 86

b) (123)6 = 1218

c) (83)2 = 86

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 15

ERANTZUNAK

028

Aztertu erro koadro hauek behar bezala kalkulatu diren ala ez. a)

225 = 15

c)

1.000 = 100

b)

255 = 16

d)

40.000 = 200

a) b) c) d) 029

Ongi; izan ere, 15 = 225. Gaizki; izan ere, 162 = 256. Gaizki; izan ere, 1002 = 10.000. Ongi; izan ere, 2002 = 40.000. 2

Kalkulatu kalkulagailuaren bidez. a)

289

b)

a) 17 030

d)

c) 125

135.424 d) 368

Aztertu zenbaki hauen erro koadroak zehatzak diren ala ez. b) 34

c) 95

b) Ez da zehatza.

d) 78

c) Ez da zehatza.

d) Ez da zehatza.

Aztertu erro oso hauek behar bezala kalkulatu diren ala ez. a)

37 ≈ 7

d)

20 ≈ 5

g)

50 ≈ 7

b)

18 ≈ 4

e)

30 ≈ 5

h)

60 ≈ 8

c)

92 ≈ 8

f)

40 ≈ 7

i)

23 ≈ 8

a) Gaizki; izan ere, 37 ≈ 6. b) Ongi.

f) Gaizki; izan ere, 40 ≈ 6. g) Ongi.

c) Gaizki; izan ere, 92 ≈ 9.

h) Gaizki; izan ere, 60 ≈ 7.

d) Gaizki; izan ere, 20 ≈ 4. e) Ongi.

i) Gaizki; izan ere, 23 ≈ 4.

Kalkulatu erro koadro osoak eta hondarrak a) 103

034

15.625

400 = 20 cm

a) Ez da zehatza.

033

c)

Kalkulatu 400 cm2-ko azalera duen karratuaren aldea.

a) 51

032

10.000 b) 100

Aldea = 031

1

b) 119

c) 87

d) 77

e) 66

f) 55

a)

103 ≈ 10 ; hondarra 3

d)

77 ≈ 8; hondarra 13

b)

119 ≈ 10 ; hondarra 19

e)

66 ≈ 8; hondarra 2

c)

87 ≈ 9; hondarra 6

f)

55 ≈ 7; hondarra 6

Osatu:

23 =
eta hondarra = 7. 23 = 4 eta hondarra = 7

15

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 16

Zenbaki arruntak 035

Osa al daiteke karratu bat 32 botoi erabiliz? Zergatik? Ezin da, 32ren erro koadroa ez baita zehatza.

036

Idatzi erro osoa 5 duten zenbaki guztiak. Zenbat dira? Zenbat zenbakik dute 6 erro osoa? Eta 7 erro osoa? Erro osoa 5 dute 25etik 36ra arteko zenbaki guztiek. Erro osoa 6 dute 36tik 49ra arteko zenbaki guztiek, eta erro osoa 7 dute 49tik 64ra arteko zenbaki guztiek.

037

Kalkulatu. a) 63 − 5 ⋅ (33 − 2)

h) (52 − 1) : 144

b) 32 + (23 − 2) ⋅ 5

i)

c) 23 ⋅ ( 25 − 3)

j) 52 +

d) ( 81 − 3) : 2

k) 4 − 25 : 5

e) 52 + 122 : 23

l) 32 ⋅ 42 : 62

f) (12 +

9) :

038

81 : 3

2

25

g) ( 9 − 4 ) ⋅ ( 9 + a) b) c) d) e) f) g)

16 ⋅ (23 − 1)

4)

m)

81 : ( 16 + 5)

n)

196 : (22 + 3)

63 − 5 ⋅ 25 = 216 − 125 = 91 32 + 6 ⋅ 5 = 39 8 ⋅ (5 − 3) = 8 ⋅ 2 = 16 (9 − 3) : 2 = 6 : 2 = 3 25 + 144 : 8 = 25 + 18 = 43 (12 + 3) : 5 = 3 (3 − 2) ⋅ (3 + 2) = 9 − 4 = 5

h) i) j) k) l) m) n)

24 : 12 = 2 4 ⋅ 7 = 28 25 + 9 : 3 = 28 16 − 1 = 15 9 ⋅ 16 : 36 = 144 : 36 = 4 9 : (4 + 5) = 1 14 : 7 = 2

Adierazi zer oker egin diren eragiketa hauek ebaztean eta zuzendu okerak. 4 ⋅ 4 + 12 : (6 − 22) = 2 ⋅ 4 + 12 : (6 − 4) = 2 ⋅ 16 : 2 = 2 ⋅ 8 = 16 Lehenengo okerra hau da: 4 + 12 batuketa egitea, biderketak eta zatiketak baino lehenago; izan ere, azken horiek lehentasuna dute. Bigarren okerra: 2 ⋅ 16 : 2; eragiketak ezkerretik eskuinera egin behar dira. 4 ⋅ 4 + 12 : (6 − 22) = 2 ⋅ 4 + 12 : (6 − 4) = 2 ⋅ 4 + 12 : 2 = 8 + 6 = 14

039

Osatu. a) (
+ 7)2 = 256

c) (
− 49 )2 = 9

b) ( 25 −
) = 16

d) (
+

2

16

81 )2 = 144

a)

256 = 16 →
= 9

c)

9 = 3 →
= 10

b)

16 = 4 →
= 1

d)

144 = 12 →
= 3

908261 _ 0010-0033.qxd

11/9/07

12:10

Página 17

ERANTZUNAK

040

Eten hamarrekoetan. a) 12.349

b) 435.677

a) 12.340 041

b) 435.670

Eten milakoetan. a) 7.427 b) 39.457 a) 7.000

042

1

c) 100.023 d) 1.037.804 b) 39.000

c) 100.000

d) 1.037.000

Idatzi bi zenbaki, etendura bidez hurbilduta 9.300 ematen dutenak. Adibideak: 9.345 eta 9.398.

043

Zenbaki bat eteten badugu, zer izango da, gutxiagozko hurbilketa ala gehiagozkoa? Gutxiagozko hurbilketa.

044

Biribildu hamar milakoetan zenbaki hauek. a) 24.760

b) 56.822

a) 20.000 045

Kalkulatu zer errore egiten den 112.377 zenbakia milakoetara biribiltzean. Biribilketa: 112.000

046

b) 60.000

Errorea: 112.377 − 112.000 = 377

5.675 biribildu eta 5.680 lortu dugu. Gutxiagozko ala gehiagozko hurbilketa da? Gehiegizko hurbilketa.

047

15.723 zenbakiaren hurbilketa egin eta 16.000 lortu dugu. Zer egin dugu, biribildu ala eten? Milakoetara biribildu dugu.

ARIKETAK 048

Zenbat triangelu daude irudian?

●

5 triangelu daude.

17

908261 _ 0010-0033.qxd

11/9/07

12:10

Página 18

Zenbaki arruntak 049 ●

Idatzi zenbaki hauetako bakoitzaren aurreko zenbakia eta ondorengoa. a) 999 b) 7.099 a) b) c) d) e) f) g) h)

050 ●

c) 1.116 d) 15.306.989

●

Adierazi matematikoki. a) 53 zenbakia 71 baino txikiagoa da. b) 1.053 txikiagoa da 1.503 baino.

●

c) 32 zenbakia 14 baino handiagoa da. d) 2.098 handiagoa da 1.864 baino.

c) 32 > 14 d) 2.098 > 1.864

Osatu adierazpen bakoitza, dagokion ikurra idatziz. a) 231
301 b) 457
449 a) 231 < 301

052

g) 1.899.900 h) 4.010.009

998 < 999 < 1.000 7.098 < 7.099 < 7.100 1.115 < 1.116 < 1.117 15.306.988 < 15.306.989 < 15.306.990 899.998 < 899.999 < 900.000 39.908 < 39.909 < 39.910 1.899.899 < 1.899.900 < 1.899.901 4.010.008 < 4.010.009 < 4.010.010

a) 53 < 71 b) 1.053 < 1.503 051

e) 899.999 f) 39.909

c) 1.730
564 d) 791
900 b) 457 > 449

c) 1.730 > 564

d) 791 < 900

Ordenatu ibai hauek, luzera handiena duenetik txikiena duenera. Ebro: 910 km. Urola: 57 km.

Bidasoa: 69 km. Aturri: 335 km.

Ebro: 910 km > Aturri: 335 km > Bidasoa: 69 km > Urola: 57 km 053 ●

Ordenatu zenbakiak, txikienetik handienera. a) 53.025, 45.422, 33.452, 25.242, 33.542 b) 897, 987, 879, 978, 789, 798 c) 4.532, 4.352, 4.235, 4.325, 5.234, 5.432, 5.324, 5.423, 4.253, 5.342, 4.523, 5.243 a) 25.242 < 33.452 < 33.542 < 45.422 < 53.025 b) 789 < 798 < 879 < 897 < 978 < 987 c) 4.235 < 4.253 < 4.325 < 4.352 < 4.523 < 4.532 < 5.234 < < 5.243 < 5.324 < 5.342 < 5.423 < 5.432

054 ●

18

Eman bi zenbaki, 1.488 baino handiagoak eta 1.502 baino txikiagoak. Adibideak: 1.489, 1.490.

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 19

ERANTZUNAK

055 ●

056 ●●

1

Zenbat zenbaki daude 20.681etik 21.007ra? 325 zenbaki daude. Ba al dago zenbaki arruntik 9tik 10era? Ez dago zenbaki arruntik.

057

Egin eragiketa hauek.

●

a) 9 ⋅ (15 + 4 − 7) b) 12 + 4 ⋅ (3 + 19)

c) 55 − 3 ⋅ (27 − 9) d) 33 + 6 ⋅ 5 + 21

a) 9 ⋅ (15 + 4 − 7) = 9 ⋅ (19 − 7) = 9 ⋅ 12 = 108 b) 12 + 4 ⋅ (3 + 19) = 12 + 4 ⋅ 22 = 12 + 88 = 100 c) 55 − 3 ⋅ (27 − 9) = 55 − 3 ⋅ 18 = 55 − 54 = 1 d) 33 + 6 ⋅ 5 + 21 = 33 + 30 + 21 = 63 + 21 = 84 058 ●

Kalkulatu. a) 15 + (12 + 6) : 3 b) 31 − (13 + 8) : 7

c) 4 + 15 : 5 + 17 d) 42 − (3 + (32 : 4) : 2)

a) 15 + (12 + 6) : 3 = 15 + 18 : 3 = 15 + 6 = 21 b) 31 − (13 + 8) : 7 = 31 − 21 : 7 = 31 − 3 = 28 c) 4 + 15 : 5 + 17 = 4 + 3 + 17 = 24 d) 42 − (3 + (32 : 4) : 2) = 42 − (3 + 8 : 2) = 42 − (3 + 4) = 42 − 7 = 35 059 ●

Egin eragiketa hauek. a) 8 ⋅ 3 + 36 : 9 + 5 b) 144 : (24 : 6) + 4 ⋅ 7

c) 48 − 5 ⋅ 7 + 9 ⋅ 3 − 19 d) 14 − 21 : 7 + 105 : 5

a) 8 ⋅ 3 + 36 : 9 + 5 = 24 + 4 + 5 = 33 b) 144 : (24 : 6) + 4 ⋅ 7 = 144 : 4 + 4 ⋅ 7 = 36 + 28 = 64 c) 48 − 5 ⋅ 7 + 9 ⋅ 3 − 19 = 48 − 35 + 27 − 19 = 75 − 54 = 21 d) 14 − 21 : 7 + 105 : 5 = 14 − 3 + 21 = 35 − 3 = 32 060 ●

Kalkulatu. a) 42 ⋅ 3 − 124 : 4 − (180 : 9) : 5 b) (241 − 100 + 44) : 5 + 20 ⋅ 7

c) 7 + 8 ⋅ (17 − 5) − 28 : 2 d) (12 + 3 ⋅ 5) : 9 + 8

a) 42 ⋅ 3 − 124 : 4 − (180 : 9) : 5 = 42 ⋅ 3 − 124 : 4 − 20 : 5 = = 126 − 31 − 4 = 126 − 35 = 91 b) (241 − 100 + 44) : 5 + 20 ⋅ 7 = (285 − 100) : 5 + 20 ⋅ 7 = = 185 : 5 + 140 = 37 + 140 = 177 c) 7 + 8 ⋅ (17 − 5) − 28 : 2 = 7 + 8 ⋅ 12 − 28 : 2 = 7 + 96 − 14 = = 103 − 14 = 89 d) (12 + 3 ⋅ 5) : 9 + 8 = (12 + 15) : 9 + 8 = 27 : 9 + 8 = 3 + 8 = 11

19

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 20

Zenbaki arruntak 061

Aurkitu zer zenbaki falta diren.

●●

a) b) c) d) e)

1.234 +
= 6.070 9.987 +
= 11.394 976 −
= 648 25.894.301 −
= 17.285.943 634.120.789 −
= 254.002.891

f) g) h) i)

11.111.111 +
= 20.099.875 3 ⋅ 5 + 3 ⋅
= 60 13 ⋅ 40 − 13 ⋅
= 260 15 ⋅
+ 7 + 15 ⋅ 6 = 142

a)
= 6.070 − 1.234 = 4.836 b)
= 11.394 − 9.987 = 1.407 c)
= 976 + 648 = 1.624 d)
= 25.894.301 − 17.285.943 = 8.608.358 e)
= 634.120.789 − 254.002.891 = 380.117.898 f)
= 20.099.875 − 11.111.111 = 8.988.764 g) 15 + 3 ⋅
= 60 →
=

45 = 15 3

260 = 20 13 142 − 97 45 = =3 i) 15 ⋅
+ 7 + 90 = 142 →
= 15 15 h) 520 − 13 ⋅
= 260 →
=

062

Osatu taula.

●

063 ●

064

Zatikizuna 173 267 1.329

Zatitzailea 3 4 9

Zatidura 57 66 147

Hondarra 2 3 6

Kalkulatu 6.712 : 23 zatiketaren zatidura eta hondarra. Egin zatiketaren proba. 6712 211 042 19

23 291

zk = zt ⋅ zd + h 6.712 = 23 ⋅ 291 + 19 6.712 = 6.693 + 19 6.712 = 6.712

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA ZATIKETA BATEN GAI BAT, JAKINDA ZEIN DIREN GAINERAKO GAIAK? Zatiketarik egin gabe, kalkulatu 453 : 23 zatiketaren hondarra, zatidura 19 bada. LEHENA.

Zatiketaren proban, gai bakoitzaren balioa jarri behar da. zk = zt ⋅ zd + h 453 = 23 ⋅ 19 + h → 453 = 437 + h

BIGARRENA.

Hondarra izango da gehi 437 egitean 453 ematen duen zenbakia.

h = 453 − 437 = 16. Zatiketaren hondarra 16 da.

20

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 21

ERANTZUNAK

065 ●●

1

Zatiketa baten zatikizuna 1.512 da; zatitzailea, 8; eta zatidura, 189. Kalkulatu zatiketa horren hondarra, zatiketarik egin gabe.

zk = 1.512 zt = 8 zd = 189 zk = zt ⋅ zd + h → 1.512 = 8 ⋅ 189 + h → 1.512 = 1.512 + h → → 1.512 − 1.512 = h → 0 = h Hondarra 0 da. 066

Zatiketarik egin gabe, esan zatiki hauek zehatzak diren ala ez.

●●

a) zk = 6.099 b) zk = 986

zt = 19 zt = 17

zd = 321 h = ? zd = 58 h = ?

a) 6.099 = 19 ⋅ 321 → Zehatza da. b) 986 = 17 ⋅ 58 → Zehatza da. 067 ●

Esan zein diren berrekizunak eta berretzaileak. a) 28 b) 312

Berrekizuna =
Berrekizuna =


Berretzailea =
Berretzailea =


a) Berrekizuna: 2. Berretzailea: 8. 068 ●

Adierazi berreketa gisa. a) Hamaika ber bost.

b) Bederatzi ber lau.

5

b) 94

a) 11 069 ●

Esan nola irakurtzen diren berreketa hauek. a) 123

c) 212 c) 21 ber bi.

b) 7 ber lau.

d) 14 ber bost.

d) 145

Kalkulatu berreketa hauek. 8

b) 74

a) 2

a) 256 071

b) 74

a) 12 ber 3.

070 ●

b) Berrekizuna: 3. Berretzailea: 12.

b) 2.401

c) 93

d) 131

c) 729

d) 13

Osatu taula.

● 9 11

072

Osatu.

●●

a)
= 81 4

a) 34 = 81

b) 5
= 1 b) 50 = 1

Berbidura 81 121

Kuboa 729 1.331

Ber lau 6.561 14.641

c)
5 = 32 c) 25 = 32

21

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 22

Zenbaki arruntak 073 ●

Adierazi berreketa bakar banaren bidez. a) 72 ⋅ 73 a) 75

074

Osatu.

●●

a) 92 ⋅ 9
= 96 b) 2
⋅ 23 = 29

b) 114 ⋅ 84 b) 884

c) 403

●

d) 46

c) 55 ⋅ 53 = 58 d) 32 ⋅ 39 = 311

Adierazi berreketa bakar banaren bidez. a) 32 ⋅ 34 ⋅ 33 b) 54 ⋅ 5 ⋅ 56 a) 39

076

Osatu.

●●

a) 74 ⋅ 7
⋅ 7 = 77 b) 5
⋅ 5 ⋅ 53 = 58

c) 63 ⋅ 62 ⋅ 65 d) 43 ⋅ 53 ⋅ 63 b) 511

c) 610

d) 1203

c) 13 ⋅ 136 ⋅ 13
= 139 d) 83 ⋅ 85 ⋅ 8
= 812

a) 74 ⋅ 72 ⋅ 7 = 77 b) 54 ⋅ 5 ⋅ 53 = 58 077

d) 45 ⋅ 4

c) 5
⋅ 53 = 58 d) 3
⋅ 39 = 311

a) 92 ⋅ 94 = 96 b) 26 ⋅ 23 = 29 075

c) 83 ⋅ 53

c) 13 ⋅ 136 ⋅ 132 = 139 d) 83 ⋅ 85 ⋅ 84 = 812

EGIN HONELA NOLA IDAZTEN DA BERREKETA BAT BERREKIZUN BEREKO BERREKETEN BIDERKETA GISA? Idatzi 79 berreketa berrekizun bereko bi berreketaren biderketa gisa. LEHENA.

Berretzailea bi zenbakiren batuketa gisa idatzi behar da. 9=8+1 9=7+2 9 = 6 + 3…

BIGARRENA. Berreketa berrekizun bereko berreketen biderketa gisa idatzi behar da, berretzaileak batuketetako batugaiak izanik.

Hona hemen ebazpen bat: 79 = 78 ⋅ 71 = 78 ⋅ 7. 79 = 76 ⋅ 73… Eta beste bat: 79 = 77 ⋅ 72

078

Idatzi berreketa bakoitza berrekizun bereko bi berreketaren biderketa gisa.

●●

a) 85 a) 83 ⋅ 82

079 ●

b) 44 ⋅ 42

c) 1413 c) 149 ⋅ 144

d) 39 d) 35 ⋅ 34

Adierazi berreketa bakar banaren bidez. a) 68 : 63 a) 65

22

b) 46

b) 215 : 27 b) 28

c) 65 : 35 c) 25

d) 46 : 26 d) 26

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 23

ERANTZUNAK

080 ●

Adierazi berreketa bakar banaren bidez. a) (27 : 24) : 22 b) (79 : 73) : 74

c) 115 : (116 : 113) d) 43 : (45 : 42)

a) 23 : 22 = 2 b) 76 : 74 = 72 081

Osatu.

●●

a)
7 : 53 = 54 b) 12
: 126 = 129

c) 115 : 113 = 112 d) 43 : 43 = 1

c) 95 : 9
= 93 d) 38 : 3
= 32

a) 57 : 53 = 54 b) 1215 : 126 = 129

082

1

c) 95 : 92 = 93 d) 38 : 36 = 32

EGIN HONELA NOLA IDAZTEN DA BERREKETA BAT BERREKIZUN BEREKO BERREKETEN ZATIKETA GISA? Idatzi 79 berreketa berrekizun bereko bi berreketaren zatiketa gisa. Berretzailea bi zenbakiren kenketa gisa idatzi behar da. 9 = 11 − 2 9 = 15 − 6 9 = 20 − 11… Kasu honetan ere ebazpen bat baino gehiago daude. LEHENA.

BIGARRENA. Berreketa berrekizun bereko berreketen zatiketa gisa idatzi behar da, berretzaileak kenketako gaiak izanik.

Ebazpen bat: 79 = 711 : 72. Beste batzuk: 79 = 715 : 76

79 = 720 : 711…

083

Idatzi berreketa bakoitza berrekizun bereko bi berreketaren zatiketa gisa.

●●

a) 410 a) 413 : 43

084 ●

b) 79 b) 715 : 76

c) 53 c) 55 : 52

d) 126 d) 1213 : 127

Adierazi berreketa bakar banaren bidez. a) (54)2 b) (73)3 a) 58 b) 79

085

Osatu.

●●

a) (32)
= 36 b) (45)
= 425 a) (32)3 = 36 b) (45)5 = 425

c) (65)2 d) (82)6 c) 610 d) 812

e) (50)3 f) (41)3 e) 50 = 1 f) 43

c) (11
)3 = 1112 d) (15
)2 = 1518 c) (114)3 = 1112 d) (159)2 = 1518

23

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 24

Zenbaki arruntak 086

EGIN HONELA NOLA ADIERAZTEN DA BERREKETA BAT BESTE BERREKETA BATEN BERREKETA GISA? Idatzi 1718 berreketa baten berreketa gisa. LEHENA.

Berretzailea bi zenbakiaren biderketa gisa idatzi behar da. 18 = 9 ⋅ 2

18 = 3 ⋅ 6…

Berreketa berrekizun bereko beste berreketa baten bidez eman behar da, berretzaileak biderketa horien biderkagaiak izanik.

BIGARRENA.

Ebazpen bat: 1718 = (179)2. Beste bat: 1718 = (173)6…

087

Idatzi berreketa baten berreketa gisa.

●●

a) 49

b) 58

c) 126

a) (43)3 b) (52)4

088

d) 3012

c) (123)2 d) (304)3

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DIRA BERREKETEN ERAGIKETA KONBINATUAK? Kalkulatu 43 ⋅ (49 : (42)3) : 45. Berreketen arteko eragiketak egiteko, beste edozein eragiketa egiteko aplikatzen den hierarkia bera aplikatu behar da. LEHENA.

Parentesien arteko eragiketak egin behar dira. 43 ⋅ (49 : (42)3) : 45 = 43 ⋅ (49 : 42⋅3) : 45 = 43 ⋅ (49 : 46) : 45 = = 43 ⋅ 49−6 : 45 = 43 ⋅ 43 : 45

BIGARRENA.

Biderketak eta zatiketak egin behar dira, ezkerretik eskuinera. 43 ⋅ 43 : 45 = 43+3 : 45 = 46 : 45 = 46−5 = 41 = 4

089

Kalkulatu.

●●

a) (35 ⋅ 32) : 33 b) 43 ⋅ (47 : 44) a) 37 : 33 = 34 b) 43 ⋅ 43 = 46

090

Kalkulatu.

●●

a) (35)2 ⋅ (32)4 b) (73)3 ⋅ (72)4 a) 310 ⋅ 38 = 318 b) 79 ⋅ 78 = 717

24

c) (85 : 83) ⋅ 82 d) 75 : (72 ⋅ 72) c) 82 ⋅ 82 = 84 d) 75 : 74 = 7

c) (95)3 ⋅ (94)3 d) (116)2 ⋅ (113)4 c) 915 ⋅ 912 = 927 d) 1112 ⋅ 1112 = 1124

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 25

ERANTZUNAK

091

Adierazi berreketa bakar banaren bidez.

●●

a) (62)5 : (63)3

b) (87)2 : (83)4

a) 610 : 69 = 61 b) 814 : 812 = 82

c) (108)3 : (104)5

1

d) (29)2 : (23)5

c) 1024 : 1020 = 104 d) 218 : 215 = 23

092

Kalkulatu adierazpen hauek.

●●

a) 39 : [(32)5 : 37] ⋅ 33

b) (72)3 ⋅ (75 : 72) : (72)4

a) 39 : (310 : 37) ⋅ 33 = 39 : 33 ⋅ 33 = 36 ⋅ 33 = 39 b) 76 ⋅ 73 : 78 = 79 : 78 = 7 093 ●

Osatu. a) 352 = 1.225; beraz, 1.225 =
b)

9.025 = 95; beraz, 952 =
a)

094 ●

1.225 = 35

Kalkulatu zenbaki hauetako bakoitzaren erro koadroa. a) 64

b) 100

a) 8 095 ●

●

097

c) 169

b) 10

c) 13

d) 196 d) 14

Osatu. a)


=5 a)

096

b) 952 = 9.025

25 = 5

b)


=9 b)


= 15

c)

81 = 9

c)

d)

225 = 15


= 20 d)

400 = 20

Kalkulatu erro koadro osoak eta hondarrak. a) 83

b) 52

c) 12

d) 131

a)

83 ≈ 9; hondarra 2

c)

12 ≈ 3 ; hondarra 3

b)

52 ≈ 7; hondarra 3

d)

131 ≈ 11; hondarra 10

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA ERROKETA BATEN ERROKIZUNA, ERRO OSOA ETA HONDARRA JAKINDA? Zenbaki baten erro osoa 5 da, eta hondarra, 10. Kalkulatu errokizuna. Erro osoen hondarra ematen duen formulan, gai bakoitzaren balioa jarri behar da. 2 HONDARRA = ERROKIZUNA − (ERRO OSOA) 2 10 = ERROKIZUNA − 5 10 = ERROKIZUNA − 25

LEHENA.

Zenbaki bat aurkitu behar da, zenbakia ken 25 eginda 10 emango duena. ERROKIZUNA = 10 + 25 = 35 35 zenbakiaren erro osoa 5 da, eta hondarra, 10.

BIGARRENA.

25

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 26

Zenbaki arruntak 098

Kasu hauetako bakoitzean, kalkulatu errokizuna.

●●

a) Erro osoa = 11, hondarra = 12 b) Erro osoa = 15, hondarra = 5 a) Errokizuna = 112 + 12 = 133 b) Errokizuna = 152 + 5 = 230

099

Kalkulatu hondarrak.

●●

a) Erro osoa = 12, errokizuna = 149 b) Erro osoa = 22, errokizuna = 500 a) 149 − 122 = 5

b) 500 − 222 = 16

100

Egin eragiketa konbinatu hauek.

●●

a)

49 + 3 ⋅ (12 − 7)

b) 7 + 9 − 18 : 3

c) 8 ⋅ (12 − 5) + 25 d) 3 + 4 ⋅ ( 36 − 4)

a) 7 + 3 ⋅ 5 = 7 + 15 = 22

c) 8 ⋅ 7 + 5 = 56 + 5 = 61

b) 7 + 3 − 6 = 4

d) 3 + 4 ⋅ 2 = 3 + 8 = 11

101

Kalkulatu.

●●

a) 52 ⋅ (3 + 28 : 4)

d) 24 ⋅ (5 +

36 : 3)

2

64 : 2

2

b) 3 :

9 −2

e) 4 : 2 +

c) 3 ⋅

4 −4

f) ( 81 : 3) ⋅ 23 − (42 + 3)

4 3

3

a) 25 ⋅ (3 + 7) = 250

d) 16 ⋅ (5 + 2) = 16 ⋅ 7 = 112

b) 34 : 3 − 22 = 33 − 22 = 27 − 4 = 23

e) 16 : 8 + 8 : 2 = 2 + 4 = 6

c) 27 ⋅ 2 − 16 = 38

f) (9 : 3) ⋅ 8 − 19 = 3 ⋅ 8 − 19 = 5

102

Egin eragiketa hauek.

●●

a) 24 − 23 + 22 − 2 b)

2

e) 72 : ( 36 + 1) − 22

100 : 5 + 33 : 3

c) 7 ⋅ (5 + 3) − 52 ⋅

f) (32 − 25 ) : (42 − 12) 4

d) 12 − 18 : 2 + 4 ⋅ 121

g) 25 : [( 81 − 32) + 42] h) 5 ⋅ 43 − (102 : 52) + 100

a) 16 − 8 + 4 − 2 = 10 b) 10 : 5 + 27 : 3 = 2 + 9 = 11 c) 7 ⋅ 8 − 25 ⋅ 2 = 56 − 50 = 6 d) 12 − 9 + 4 ⋅ 11 = 3 + 44 = 47 e) 49 : (6 + 1) − 4 = 49 : 7 − 4 = 7 − 4 = 3 f) (9 − 5) : (16 − 12) = 4 : 4 = 1 g) 32 : (0 + 16) = 2 h) 5 ⋅ 64 − 4 + 10 = 326

26

908261 _ 0010-0033.qxd

11/9/07

12:10

Página 27

ERANTZUNAK

103 ●

Hurbildu ehunekoetara eta hamar milakoetara zenbaki hauek, etendura bidez. a) 18.935

b) 35.781

c) 761.012

a) Ehunekoak → 18.900

104 ●

●

106 ●

107 ●

d) 1.999.999

Hamar milakoak → 10.000

b) Ehunekoak → 35.700

Hamar milakoak → 30.000

c) Ehunekoak → 761.000

Hamar milakoak → 760.000

d) Ehunekoak → 1.999.900

Hamar milakoak → 1.990.000

Hurbildu milakoetara eta hamarrekoetara zenbaki hauek, biribiltze bidez. a) 1.204

b) 3.999.999

a) Milakoak → 1.000

105

1

c) 98.621

d) 777.777

Hamarrekoak → 1.200

b) Milakoak → 4.000.000

Hamarrekoak → 4.000.000

c) Milakoak → 99.000

Hamarrekoak → 98.620

d) Milakoak → 778.000

Hamarrekoak → 777.780

Osatu biribiltzeen taula hau. 345 8.999 62.000 125.589 2.326.001

Hamarrekoetara 350 9.000 62.000 125.590 2.326.000

Ehunekoetara 300 9.000 62.000 125.600 2.326.000

345 8.999 62.000 125.589 2.326.001

Hamarrekoetan 340 8.990 62.000 125.580 2.326.000

Ehunekoetan 300 8.900 62.000 125.500 2.326.000

Osatu etenduren taula hau.

Egin eragiketak eta hurbildu emaitzak milakoetara, etendura bidez eta biribiltze bidez. a) 6.070 − 1.234 b) 365.079 + 89.301 c) 37.213 − 15.842 a) 4.836

d) 101.145 + 14.402 e) 12.763 − 10.841 f) 24.073 − 391

Biribiltzea: 5.000

Etendura: 4.000

b) 454.380

Biribiltzea: 454.000

Etendura: 454.000

c) 21.371

Biribiltzea: 21.000

Etendura: 21.000

d) 115.547

Biribiltzea: 116.000

Etendura: 115.000

e) 1.922

Biribiltzea: 2.000

Etendura: 1.000

f) 23.682

Biribiltzea: 24.000

Etendura: 23.000

27

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 28

Zenbaki arruntak 108 ●

109 ●

110 ●●

Hurbildu 678 zenbakia hamarrekoetara, etendura bidez. Zer errore egin duzu? Etendura: 670

Errorea: 678 − 670 = 8

Hurbildu 1.384 zenbakia ehunekoetara, biribiltze bidez. Zer errore egin duzu? Biribiltzea: 1.400

Errorea: 1.400 − 1.384 = 16

Idatzi hiru zenbaki, ehunekoetara biribilduz eta ehunekoetan etenez zenbaki bera ematen dutenak. Adibideak: 1.232, 345.438, 404.

111 ●●

Saskibaloi-partida batean, Jonek, Gorkak eta Aitorrek lortu dute puntu gehien. Jonek 19 puntu lortu ditu; Gorkak, Jonek baino 5 puntu gehiago; eta Aitorrek Gorkak baino 7 puntu gutxiago. Zenbat puntu lortu dituzte hiruren artean? 19 + (19 + 5) + (19 + 5 − 7) = 19 + 24 + 17 = 60 puntu lortu dituzte.

112 ●●

Hilean 56 € gehiago irabaziko banitu, 420 € gasta nitzake etxeko alokairuan; 102 €, haurren ikastetxetan; 60 € mantenuan; eta 96 € gastu orokorretan. Hala ere, 32 € aurreratuko nituzke. Zenbat diru irabatzen dut hilean? 420 + 102 + 60 + 96 + 32 − 56 = 654 € irabazten dut.

113 ●●

Astero, Koldok 6 € jaso eta 4 € gastatzen ditu. Zenbat asteren buruan aurreratuko ditu 18 €? 18 = 9 asteren buruan 6−4

114 ●●

Kepak 79 € ditu, aulkiak erosteko. Aulkiek 7na € balio dutela jakinik, zenbat aulki eros ditzake? Zenbat diru geratuko zaio gastatu gabe? 79 : 7 = 11 aulki eros ditzake eta 2 € geratuko zaio gastatu gabe.

115 ●●

Auto batek 9 ¬ gasolina erretzen ditu orduan; eta hegazkin batek, berriz 7 aldiz gehiago. Zenbat litro erreko dituzte bien artean 4 orduan? Ordu betean: 4 orduan:

116 ●●

9 + 9 ⋅ 7 = 72 litro 72 ⋅ 4 = 288 litro

Litroko botila bat oliok 3 € balio du. 6 litroko suilak 12 € balio badu, zenbat diru aurreratuko dugu olioa suiletan erosiz gero? Suileko litro bat oliok 2 € balio du; hau da, 1 € aurreratuko dugu litroko.

117 ●●●

Auto bat 110 km/h-ko abiaduran doa, eta beste bat, 97 km/h-koan. 9 orduan, zenbat kilometro gehiago egingo ditu lehenak bigarrenak baino? 110 − 97 = 13 km-ko abantaila dago ordubetean; beraz, 9 orduan, 13 ⋅ 9 = 117 km-koa.

28

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 29

ERANTZUNAK

118 ●●●

1

Josuk 11 urte ditu, arrebak baino 4 urte gutxiago. Bien artean, amak baino 19 urte gutxiago dituzte. Zenbat urte ditu amak? Josuk 11 urte ditu. Arrebak: 11 + 4 = 15 urte. Amak: 11 + 15 + 19 = 45 urte.

119 ●●

720 € hiru lagunen artean banatu behar dituzte, eta batek 280 € jasoko ditu. Zenbat jasoko dute beste biek, gainerakoa zati berdinetan banatzen bada? 720 − 280 = 220 € jasoko du bakoitzak. 2

120 ●●

Gazte batzuei garia ereiten erakutsi diete. Lehen egunean, 125 kilo erein zituzten, eta bigarren egunean, lehen egunean baino bi aldiz kilo gehiago. a) Zenbat kilo erein zituzten bigarren egunean? b) Eta bi egunen artean? a) 2 ⋅ 125 = 250 kg erein zituzten bigarren egunean. b) 125 + 250 = 375 kg erein zituzten bi egunen artean.

121 ●●

Xabierrek eta Anek freskagarriak erosi dituzte festa baterako: laranjazko 12 botila, limoizko 12, eta kolazko 12; 2 litrokoak guztiak. a) Zenbat litro erosi dituzte guztira? b) 2 litroko botila bakoitzak 2 € balio badu, zenbat diru gastatu dute? a) 12 ⋅ 2 + 12 ⋅ 2 + 12 ⋅ 2 = 72 litro erosi dituzte. b) (12 + 12 + 12) ⋅ 2 = 72 € gastatu dituzte.

122 ●●●

Mintegi batean, 1.752 pinu dituzte landatuta, basoak berritzeko. a) Pinuak 12ko multzotan saltzen dituzte, 4 €-an multzoa. Zenbat diru jasoko dute? b) Zenbat pinu gehiago beharko lituzkete 600 € lortzeko? a) (1.752 : 12) ⋅ 4 = 584 € b) (600 − 584) : 4 ⋅ 12 = 48 pinu

123 ●●●

Herrialde batean, lagun bakoitzak, urtero, 14 kg beira birziklatzen ditu, batez beste. a) Herrialdeak 40 milioi biztanle baditu, zenbat kilo beira birziklatuko dituzte urtean? b) 680.000.000.000 kg birziklatzeko, zenbat kilo gehiago birziklatu beharko lituzke bakoitzak? a) 40.000.000 ⋅ 14 = 560.000.000 kg b) (680.000.000.000) : 40.000.000 = 17.000 kg

29

908261 _ 0010-0033.qxd

11/9/07

12:10

Página 30

Zenbaki arruntak 124

EGIN HONELA NOLA BANATZEN DIRA ZENBAIT ELEMENTU KOPURU DESBERDINETAKO MULTZOTAN? 27 gozoki 4, 5 edo 6ko poltsatan banatu nahi ditugu, gozokirik sobera gera ez dadin. Zenbat poltsa beharko ditugu, gutxienez? LEHENA. Poltsarik handienetan (6ko poltsetan) zenbat gozoki sartzen diren kalkulatuko dugu.

27 3

6 4

6ko poltsa erabiliz gero, 3 geratuko dira sobera. 3 gozokiko poltsarik ez dugunez, 6ko 3 poltsa erabiliko ditugu (3 ⋅ 6 = 18), eta hauek geratuko zaizkigu poltsatan sartzeko: 27 − 18 = 9. Banatzeko dauden gozoki horietatik (9), hurrengo poltsarik handienetan (5ekoetan) zenbat sartzen diren kalkulatuko dugu.

BIGARRENA.

9 4

5 1

5eko poltsa bat erabiliko dugu, eta 4 geratuko zaizkigu banatzeko. 4ko poltsak ditugunez, halako bat erabiliko dugu. 5 poltsa beharko ditugu, gutxienez: 6 gozokiko hiru, 5eko bat eta 4ko beste bat.

125 ●●●

320 kg laranja dauzkagu eta 12 kg, 5 kg edo 3 kg-ko poltsatan banatu nahi ditugu. Zenbat poltsa beharko ditugu, gutxienez? Lehendabizi, 320 : 12 = 26 poltsa erabili eta 8 kg geratuko zaizkigu sobera; gero, 8 : 5 = 1 poltsa erabili eta 3 kg sobera; eta azkenik, 3 : 3 = 1 poltsa. Guztira, 12 kg-ko 26 poltsa, 5 kg-ko bat eta 3 kg-ko bat erabilko ditugu.

126 ●●●

31 ikasle taldetan banatu nahi dira. Talde bakoitzak gutxienez 3 ikasle eta gehienez 5 izan beharko ditu. Zenbat talde egin daitezke, gutxienez? Eta gehienez? 31 : 6 → zd = 5; h = 1. Ezin da talderik egin ikasle batekin. 31 : 5 → zd = 5; h = 6; 6 : 3 = 2 Gutxienez, 5 ikasleko 5 talde eta 3 ikasleko 2 talde egin daitezke. 31 : 3 → zd = 9; h = 4; 4 : 4 = 1 Gehienez, 3 ikasleko 9 talde eta 4 ikasleko bat egin daitezke.

127 ●●

Maiderrek jakin nahi du zenbat mertxika dauden biltegian. Horretarako, 5na kutxako 5 pila egin ditu, eta kutxa bakoitzean, 5na mertxikako 5 ilara. Zenbat mertxika daude guztira biltegian? 54 = 625 mertxika

30

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 31

ERANTZUNAK

128 ●●

1

Xake-taula 8 ilaraz osatutako karratua da, eta ilara bakoitzean, 8 lauki daude. Zenbat lauki ditu guztira xake-taulak? 82 = 64 lauki

129 ●●

Koldok edalontziz betetako lau kutxa karratu jaso ditu gaur. Kutxa bakoitzak lau ilara ditu, eta ilara bakoitzean, lau edalontzi daude. Zenbat edalontzi jaso ditu guztira Koldok? 43 = 64 edalontzi jaso ditu.

130 ●●

Kalkulatu zenbat lauza behar dituen Iñigok karratu formako horma bat estaltzeko, jakinda lehen ilaran 5 lauza jarri dituela.? 52 = 25 lauza

●●●

16 cm2-ko argazki bat lau aldiz handitu nahi dugu; argazkia karratu itxurakoa da. Zenbatekoa izango da argazki handiaren aldea? 16 ⋅ 4 = 64 cm2;

132 ●●●

189

64 = 8 cm luze da argazkiaren aldea.

1etik 2.006ra arteko zenbaki guztiak ilaran idatzi eta beste bat osatu dugu. Zer zifra egongo da 2.006. lekuan? 1.000 zenbakira arte: – 1 zifrako 9 zenbaki ⎯→ 9 ⎪⎫⎪ 9 + 180 = 189 ⎬ – 2 zifrako 90 zenbaki → 180 ⎪⎪⎭

67

131

5 34 2 1

1516 101112131 4 9 8

189. lekutik aurrera hasten dira 3 zifrako zenbakiak. 3 zifrako zenbakiak: 2.006 − 189 = 1.817. 1.817 : 3 zatiketaren zatidura 605 da, eta hondarra, 2. Beraz, 3 zifrako 605 zenbaki behar ditugu eta ondorengo zenbakiko hamarrekoen zifrak hartuko du 2.006. lekua. 3 zifrako azken zenbaki osoa hau da: 99 + 605 = 704. Beraz, 705 zenbakiaren hamarrekoen zifra 0 da. 133 ●●●

Zenbaki baten hasieran 3 eta bukaeran 2 idatziz gero, lortutako zenbakia hasierakoa baino 37.328 unitate handiagoa da. Zein da zenbakia? Zenbakiak 3 zifrakoa izan behar du, 2koa balitz aldea 3.000koa bailitzateke, gutxi gorabehera; eta 5ekoa balitz, 300.000 ingurukoa. Beraz, zenbakia abc da eta 3abc2 − abc = 37.328. 2 ken batekoak berdin 8 izan behar du; beraz, batekoak 4 izango dira, eta bururakoa, 1. 4 (zd) ken hamarrekoak gehi 1 berdin 2 izan behar du; beraz, hamarrekoak: 1. 1 (zd) ken ehunekoak 3 izan behar du, ehunekoak 8 izanik, eta bururakoa, 1. Zenbakia 814 da. -38.142 − 814 = 37.328-

31

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 32

Zenbaki arruntak 134 ●●●

Zenbaki palindromoak dira ezkerretik eskuinera eta eskuinetik ezkerrera berdin irakurtzen direnak; adibidez, 15.951. 100etik 1.000ra arteko zenbat zenbaki arrunt dira palindromoak? 100 eta 110 artean bada zenbaki palindromo bat: 101; 110 eta 120artean: 111…; hau da, hamarreko oso bakoitzean palindromo bat dago. Beraz, 100 eta 1.000 artean 900 : 10 = 90 hamarreko daudenez, 90 palindromo daude. Beste modu batean: 100 eta 1.000 artean egoteagatik, palindromoak hiru zifrakoak dira. Beraz, aba formakoak dira; a 1etik 9ra arteko zifra bat da, eta b, 0tik 9ra artekoa. Konbinazioak 9 ⋅ 10 = 90 zenbaki palindromo dira.

135

Erreparatu berreketei. Zein da 72.006 berreketaren emaitzaren azken zenbakia?

●●● 71 = 7

136 ●●●

75 = 16.807

7 = 49

76 = 117.649

73 = 343

77 = 823.543

74 = 2.401

78 = 5.764.801

2

2.006 = 4 ⋅ 501 + 2. 74⋅x+2 formako berreketen azken zenbakia 9 da. Beraz, 72.006-ren azken zenbakia 9 da.

Erreparatu batuketari: 1 + 10 + 102 + 103 + 104 + … + 102.006 + 102.007 Esango al duzu zer batura duten zenbaki horren zifrek? Zenbakiak 2.007 1eko izango ditu. Beraz, batura 2.007 da.

EGUNEROKOAN 137

Amaiak mezu hau jaso du telefonoz.

●●● Ez hautsi ZORIONAREN katea. Bidali mezu hau hiru laguni, eta zoriona nagusi izango da zure bizitzan.

Ez du ezer ere sinetsi, baina beste zerbait bururatu zaio... Amaia talde ekologista bateko kidea da, eta talde horretan, kanpaina bat egin nahi dute, jendea itsas hondoen andeatzeaz ohartarazteko. Amaiak hiru laguni bidaliko die mezu hau. Haietako bakoitzak, hurrengo egunean, beste hiru laguni bidaliko die mezua. Hala, katea ez da hautsiko. Inf a) Zenbat mezu bidaliko dituzte denen artean hirugarren egunean? Eta laugarren egunean? b) Hitzaldia astebete barru bada, eta lagun guztiek mezu guztiak bidaltzen badituzte, zenbat lagunek jasoko dute, gehienez, Amaiaren mezua? c) Zer gertatuko litzateke Amaiak mezua 2 laguni soilik bidaliz gero? Eta 4ri bidaliz gero? Eta 5i?

32

ormaziohitzaldia. Os tirala. 13:00 h. Biha r, bidali mezu hau hiru laguni. ZAIN DITZAG UN ITSASOAK

908261 _ 0010-0033.qxd

30/7/07

16:10

Página 33

ERANTZUNAK

1

a) Hirugarren egunean 33 = 27 mezu bidaliko ditu, eta laugarrenean, 34 = 81 mezu. b) Mezua 37 = 2.187 lagunek jaso dezakete gehienez. c) Amaiak 2 mezu bidali izan balitu eta prozesu horri jarraitu izan balitzaio (lagun bakoitzak 2 mezu bidaltzea), astebetean 27 = 128 mezu bidaliko lirateke. 4 balira, emaitza hau izango litzateke: 47 = 16.384. Eta 5 balira: 57 = 78.125. 138 ●●●

Hona hemen nire institutuari buruzko zenbait datu. bi talde daude: • DBHko lehen zikloan,

bestea. 31 ikaslekoa bata, eta 29koa erdiak (30) • Ziklo horretako ikasleen e hartzen futbol-txapelketa batean part ari dira. erdiak baino • Ziklo horretako ikasleen a daude bi gutxiago neskak dira: 27 nesk taldeen artean. dute izena • 9 neskak soilik eman zeko. futbol-txapelketan parte hart

Zenbat mutil ez dira ari txapelketan parte hartzen? 60 − 27 = 33 mutil daude. Futbolean jokatzen duten mutilak: 30 − 9 = 21. Futbolean jokatzen ez duten mutilak: 33 − 21 = 12. (60 − 27) − (30 − 9) = 12 139 ●●●

Etxeberriko kiroldegiko zuzendaritza-batzordeak hockey-zelaian publizitatea jartzea erabaki du. Hockey-zelaiak 800 m2-ko azalera du, eta inguruan, publizitate-hesiak daude. Publizitatearen truke urtean 400 €/m kobratuko dituztela erabaki dute. Zuzendaritza-batzordeko kideek jakin nahi dute zenbat diru jasoko duten urtean publizitatearen truke, baina ez dakite zer neurritakoak diren, zehatz-mehatz, zelaiaren aldeak. Batzordeko kide bati kopuru hori kalkulatzeko modu bat bururatu zaio. Izan ere, hockey-zelaia bi karratu berdinez osatuta dago. Zenbat diru jasoko dute urtean publizitatearen truke? Zelaiko karratu bakoitzaren azalera 400 m2-koa da; beraz, karratuaren aldea: 800 : 2 = 400 = 20 m . Hauek dira hockey-zelaiaren neurriak: 40 × 20 m. Zelaiaren perimetroa: 40 ⋅ 2 + 20 ⋅ 2 = 120 m. Publizitatearen truke jasoko duten diru kopurua: 120 ⋅ 400 = 48.000 €.

33

908261 _ 0034-0057.qxd

2

30/7/07

16:13

Página 34

Zatigarritasuna ZATIGARRITASUNA

MULTIPLOA

ZATITZAILEA

PROPIETATEAK

2REN, 3REN ETA 5EN ZATIGARRITASUN-IRIZPIDEAK

ZENBAKI LEHENA

ZENBAKI KONPOSATUA

ZENBAKI BATEN FAKTORIZAZIOA

ZATITZAILE KOMUNETAN HANDIENA

MULTIPLO KOMUNETAN TXIKIENA

PROBLEMAK

34

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 35

Ostegunaren ondoren... beste ostegun bat 1582ko Gabonetan, Gregorio XIII.a bere onetik aterata zegoen jesuita bati kasu egiten ari zen. –Berorren santutasunari arren eskatzen diot –interpelatu zuen Christopher Clavius jesuitak– egutegi-aldaketa justifikatzeko baimena eman diezadala. Egutegiari 10 egun ostea leporatu digute! Gregorio XIII.ak burua altxatu eta erantzun zion: –Hori ez da heretikoen eta ezjakinen eraso bat baino. Jakintsuen Batzordeak zehaztu zuen urtearen iraupenari buruzko kalkuluak okerrak zirela eta gure egutegian 10 eguneko atzerapena zegoela. Aita Santuak hizketan jarraitu zuen: –1582ko urriaren 4aren hurrengo eguna urriaren 15a izan zen, baina ez genizkion 10 egun ostu egutegiari, baizik eta aurreko egutegiak hartu zituenak eskuratu ditugu. Horrela jarraituz gero, azkenerako Gabonak udan ospatuko genituzke. Claviusek buruz esan zuen: 1. Bisurteak 4z zatigarriak dira. 2. 00 amaitutakoak ez dira bisurteak, 400ez zatigarriak direnak izan ezik. Zenbat bisurte egon dira 1701etik 2008ra bitartean?

1701en ondorengo lehen bisurtea 1704. urtea izan zen. 1704tik 2008ra arte 304 urte pasatu dira, eta horietatik: 304 : 4 = 76 urte bisustuak izan dira. Baina, 1800. eta 1900. urteak kendu behar dira, ez baitira bisustuak. Beraz, 74 bisurte egon dira.

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 36

Zatigarritasuna ARIKETAK 001

Aztertu zatigarritasun-erlaziorik dagoen zenbaki pare hauen artean. a) 500 eta 20 b) 350 eta 23

c) 252 eta 18 d) 79 eta 3

e) 770 eta 14 f) 117 eta 12

a) 500 20z zatigarria da.

002

d) 79 ez da 3z zatigarria.

b) 350 ez da 23z zatigarria.

e) 770 14z zatigarria da.

c) 252 ez da 18z zatigarria.

f) 117 ez da 12z zatigarria.

Zenbaki bat beste batez zatigarria bada, zenbatekoa da zatiketaren hondarra? Hondarra zero da.

003

Zenbaki hauetakoren batez zatigarria al da 144? a) 2 b) 3

c) 6 d) 8

e) 10 f) 144

144 2z, 3z, 6z, 8z eta 144z zatigarria da. 004

Zatiketa batean, zatikizuna 196 da; zatitzailea, 16; eta zatidura, 12. 16z zatigarria al da 196? Erantzun zatiketa egin gabe. 16 ⋅ 12 = 192 ⫽ 196; beraz, ez da zatigarria.

005

5en multiploa al da 35? Arrazoitu erantzuna. Bai, 35 : 5 zatiketa zehatza baita.

006

6ren multiploa al da 48? Arrazoitu erantzuna. Bai, 48 : 6 zatiketa zehatza baita.

007

Osatu 8ren lehen hamar multiploak. 8, 16,
, 32,
,
,
,
,
, 80 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80

008

18 zenbakia 9ren multiploa bada, 9ren multiploa al da 18 · 4? 9 · 4ren multiploa al da 18? Aztertu. 18 = 9 ⋅ 2 denez, 18 ⋅ 4 = 9 ⋅ 2 ⋅ 4 = 9 ⋅ 8; beraz, 18 ⋅ 4 9ren multiploa da. 18 ez da 9 ⋅ 4ren multiploa, 18 : 36 ez baita zatiketa zehatza.

009

Aurkitu 27,tik 339ra arteko zenbaki bat, 34ren multiploa. 34 ⋅ 10 = 340, 339 baino handiagoa da; beraz, 34 ⋅ (10 − 1) = 34 ⋅ 9 = 306 34ren multiploa da eta 273ren eta 339ren artean dago.

36

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 37

ERANTZUNAK

010

Zenbaki huetako zein dira 36ren zatitzaileak? 2 7 12 36 15 20

1

4

40

2

9

36ren zatitzaileak hauek dira: 2, 12, 36, 1, 4 eta 9. 011

Kalkulatu zenbaki hauen zatitzaile guztiak: a) 30 b) 27 c) 45

d) 55 e) 100 f) 89

g) 90 h) 79 i) 110

a) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 eta 30

f) 1 eta 89

b) 1, 3, 9 eta 27

g) 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 eta 90

c) 1, 3, 5, 9, 15 eta 45

h) 1 eta 79

d) 1, 5, 11 eta 55

i) 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55 eta 110

e) 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 eta 100 012

Adierazi zuzenak diren esaldi hauek. a) 3ren zatitzailea da 12.

b) 3ren multiploa da 12.

a) Okerra, 3 : 12 ez delako zatiketa zehatza. b) Zuzena, 3ren multiploa da: 12 = 3 ⋅ 4. 013

45 zenbakia 9ren multiploa bada, zein esaldi dira zuzenak? a) 9ren zatitzailea da 45. b) 9z zatigarria da 45.

014

c) 45en zatitzailea da 9. d) 45en multiploa da 9.

a) Okerra.

c) Zuzena.

b) Zuzena.

d) Okerra.

Zenbaki lehena al da 71? Zergatik? Lehena da, zatitzaile bakarrak zenbakia bera eta bata direlako.

015

Kalkulatu 70etik 100era arteko zenbaki lehen guztiak. 71, 73, 79, 83, 89 eta 97

016

Deskonposatu 8, 20, 45, 70 eta 100 zenbakiak: a) Bi biderkagaitan. b) Hiru biderkagaitan. c) Lau biderkagaitan. a) 8 = 2 ⋅ 4; 20 = 4 ⋅ 5; 45 = 5 ⋅ 9; 70 = 7 ⋅ 10; 100 = 10 ⋅ 10 b) 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2; 20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5; 45 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5; 70 = 7 ⋅ 2 ⋅ 5; 100 = 4 ⋅ 5 ⋅ 5 c) 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1; 20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 1; 45 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 1; 70 = 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 1; 100 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5

37

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 38

Zatigarritasuna 017

Aplikatu dakizkizun zatigarritasun-irizpideak zenbaki hauei: 33, 5.025, 616, 900, 1.100, 812 eta 3.322ri. 33 3z eta 11z zatigarria da. 5.025 3z eta 5ez zatigarria da. 616 2z zatigarria da. 900 2z, 3z, 5ez eta 10ez zatigarria da. 1.100 2z, 5ez eta 10ez zatigarria da. 812 2z zatigarria da. 3.322 2z eta 11z zatigarria da.

018

Osatu zenbaki hauek, 3z zatigarriak izan daitezen. a) 45


b)
78

c) 6
2

a) Hauek izan daitezke: 450, 453, 456, 459. b) Hauek izan daitezke: 378, 678, 978. c) Hauek izan daitezke: 612, 642, 672. 019

Zenbaki hauetako bat lehena da. Aurkitu, zatigarritasun-irizpideak aplikatuz. a) 1.420

b) 501

c) 785

d) 853

Zenbaki lehena 853 da. 020

230, 455, 496, 520, 2.080, 2.100 eta 2.745 zenbakietatik: a) Zein dira 2ren multiploak? Eta 3renak? b) Zein dira 5en multiploak? Eta 7renak? a) 2ren multiploak: 230, 496, 520, 2.080 eta 2.100. 3ren multiploak: 2.100 eta 2.745. b) 5en multiploak: 230, 455, 520, 2.080, 2.100 eta 2.745. 7ren multiploak: 455 eta 2.100.

021

9z zatigarria den edozein zenbaki 3z zatigarria ere bada. 3z zatigarria den zenbaki bat 9z zatigarria al da? Eman adibide bat. 3z zatigarria den zenbaki batek ez du zertan izan 9z zatigarria. Esate baterako, 12 3z zatigarria da, baina 9z zatigarria ez.

022

Jakinik 6 = 2 ⋅ 3 dela, 6z zatigarriak al dira zenbaki hauek? a) 824

b) 1.206

c) 182

a) 824 ez da 6z zatigarria, ez delako 3z zatigarria. b) 1.206 6z zatigarria da, 2z eta 3z zatigarria delako. c) 182 ez da 6z zatigarria, ez delako 3z zatigarria.

38

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 39

ERANTZUNAK

023

Deskonposatu biderkagai lehenetan zenbaki hauek. a) 36 b) 100

c) 24 d) 98

a) 36 = 22 ⋅ 32

e) 180 f) 120 d) 98 = 2 ⋅ 72

b) 100 = 2 ⋅ 5

e) 180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5

c) 24 = 23 ⋅ 3

f) 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5

2

024

2

2

Deskonposatu biderkagai lehenetan eta idatzi nolakoak diren zenbaki hauek. a) 13 b) 61

c) 29 d) 97

a) 13 = 1 ⋅ 13

c) 29 = 1 ⋅ 29

b) 61 = 1 ⋅ 61

d) 97 = 1 ⋅ 97

Guztiak zenbaki lehenak dira. 025

Adierazi zer zenbaki diren: a) 2 ⋅ 32 ⋅ 5 3

a) 360 026

b) 2 ⋅ 52 ⋅ 7

c) 32 ⋅ 72 ⋅ 11

b) 350

c) 4.851

Zenbaki bat biderkagai lehenetan deskonposatuta 2 ⋅ 3 ⋅ 5 da. Zer faktorizazio izango du 6z biderkatuz gero? Eta 10ez biderkatuz gero? Eta 15ez? 6z biderkatuko dugu: 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5. 10ez biderkatuko dugu: 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 22 ⋅ 3 ⋅ 52. 15ez biderkatuko dugu: 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 ⋅ 32 ⋅ 52.

027

Kalkulatu zenbaki pare bakoitzaren zatitzaile komunetan handiena. a) 42 eta 21 b) 24 eta 102

c) 13 eta 90 d) 12 eta 35

e) 60 eta 24 f) 72 eta 11

a) 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7, 21 = 3 ⋅ 7; z.k.h. (42, 21) = 3 ⋅ 7 = 21 b) 24 = 23 ⋅ 3, 102 = 2 ⋅ 3 ⋅ 17; z.k.h. (24, 102) = 2 ⋅ 3 = 6 c) 13 = 13, 90 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5; z.k.h. (13, 90) = 1 d) 12 = 22 ⋅ 3, 35 = 5 ⋅ 7; z.k.h. (12, 35) = 1 e) 60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5, 24 = 23 ⋅ 3; z.k.h. (60, 24) = 22 ⋅ 3 = 12 f) 72 = 23 ⋅ 32, 11 = 11; z.k.h. (72, 11) = 1 028

Kalkulatu 18ren, 30en eta 54ren z.k.h. 18 = 2 ⋅ 32, 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5, 54 = 2 ⋅ 33; z.k.h. (18, 30, 54) = 2 ⋅ 3 = 6

39

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 40

Zatigarritasuna 029

Kalkulatu x, jakinik z.k.h. (x, 28) = 14. Ebazpen bakarra al du? z.k.h. (x, 28) = 14 → 14 = 7 ⋅ 2 denez eta 28 = 7 ⋅ 22, x = 7 ⋅ 2 ⋅ n; n bikoitia ez den edozein zenbaki arrunt izango da, bestela zatitzaile komunetan handiena 28 litzateke. Beraz, infinitu ebazpen daude.

030

Lortu m.k.t. (12, 18), bi zenbakien multiploak kalkulatuz. 12ren multiploak: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, … 18ren multiploak: 18, 36, 54, 72, … m.k.t. (12, 18) = 36

031

Kalkulatu zenbaki pare hauen multiplo komunetan txikiena. a) 5 eta 12

b) 6 eta 14

a) 5 = 5, 12 = 2 ⋅ 3; m.k.t. (5, 12) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 2

b) 6 = 2 ⋅ 3, 14 = 2 ⋅ 7; m.k.t. (6, 14) = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42 032

Kalkulatu 15en, 25en eta 9ren m.k.t. 15 = 3 ⋅ 5, 25 = 52, 9 = 32; m.k.t. (15, 25, 9) = 32 ⋅ 52 = 225

033

Zer balio hartuko ditu x-k m.k.t. (x, 8) = 40 bada? Ebazpen bakarra al du? 40 = 23 ⋅ 5, 8 = 23. x-k har ditzakeen balioak: 2n ⋅ 5; n 0ren eta 3ren arteko edozein zenbakia oso izango da. Beraz, x 5, 10, 20 edo 40 izan daiteke.

ARIKETAK 034 ●

035 ●

036 ●

037

7z zatigarria al da 1.547 zenbakia? Bai, 1.547 : 7 = 221 zatiketa zehatza delako. 9z zatigarria al da 3.726 zenbakia? Bai, 3.726 : 9 = 414 zatiketa zehatza delako. 10ez zatigarria al da 4.580 zenbakia? Bai, 4.580 : 10 = 458 zatiketa zehatza delako. Aztertu badagoen zatigarritasun-erlaziorik zenbaki pare hauetan.

●

a) 476 eta 16 b) 182 eta 19 c) 147 eta 17

40

d) 288 eta 24 e) 322 eta 18 f) 133 eta 19

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 41

ERANTZUNAK

a) 476 : 16 → zd = 29; b) 182 : 19 → zd = 9; c) 147 : 17 → zd = 8; d) 288 : 24 → zd = 12; e) 322 : 18 → zd = 17; f) 133 : 19 → zd = 7; 038 ●

2

h = 12. Ez dago zatigarritasun-erlaziorik. h = 11. Ez dago zatigarritasun-erlaziorik. h = 11. Ez dago zatigarritasun-erlaziorik. h = 0. Badago zatigarritasun-erlazioa. h = 16. Ez dago zatigarritasun-erlaziorik. h = 0. Badago zatigarritasun-erlazioa.

Zatiketa baten zatikizuna 214 da; zatitzailea, 21; eta zatidura 10. 21ez zatigarria al da 214? 21 ⋅ 10 = 210 ⫽ 214; beraz, 214 ez da 21ez zatigarria.

039 ●

186 zenbakia 31z zatigarria da. Aztertu 31z zatigarriak diren 2 ⋅ 186 eta 3 ⋅ 186. 2 ⋅ 186 = 372; 372 : 31 = 12 (zatiketa zehatza) 3 ⋅ 186 = 558; 558 : 31 = 18 (zatiketa zehatza) 31z ere zatigarriak dira.

040 ●

Aurkitu, kalkulagailua erabiliz, 11ren lehen hamar multiploak eta 12ren lehen zortzi multiploak. 11ren multiploak: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 eta 110. 12ren multiploak: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 eta 96.

041 ●

042 ●

Adierazi zuzenak ala okerrak diren esaldi hauek eta eman arrazoia. a) 35en multiploa da 35. b) 6ren multiploa da 59.

c) 8ren multiploa da 56. d) 9ren multiploa da 72.

a) Zuzena; 35 = 5 ⋅ 7 delako.

c) Zuzena; 56 = 7 ⋅ 8 delako.

b) Okerra.

d) Zuzena; 72 = 8 ⋅ 9 delako.

Zein da 4ren multiploen segida? Eta 5en multiploena? a) 1, 4, 9, 16, 25, … b) 5, 10, 15, 20, … c) 8, 10, 12, 14, 16, …

d) 4, 8, 16, 24, 32, 40, … e) 1, 5, 10, 20, 30, … f) 20, 40, 60, 80, …

4ren multiploak: d) eta f) segidak. 5en multiploak: b) eta f) segidak. 043 ●

044 ●

Idatzi 50 baino txikiagoak diren 4ren multiploak. 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44 eta 48 Zein dira 5en eta 8ren multiplo komuna, 50 baino txikiagoak? 5en multiploak, 50 baino txikiagoak: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 eta 45. 8ren multiploak, 50 baino txikiagoak: 8, 16, 24, 32, 40 eta 48. 50 baino txikiagoa den 5en eta 8ren multiploa bakarra 40 da.

41

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 42

Zatigarritasuna 045

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA ZENBAKI BATEN MULTIPLO BAT, JAKINIK BESTE BIREN ARTEAN DAGOELA? Aurkitu 26ren multiplo bat, jakinik 660ren eta 700en artean dagoela. Bi zenbakietatik txikiena, 660, zati zenbakia, 26, egin behar da. Izan ere, zenbaki horren multiploa aurkitu nahi dugu.

LEHENA.

660

26

10

25

BIGARRENA. Zatidurari bat gehitu behar zaio, eta zenbakiaz biderkatu behar da, kontuan hartuta zenbaki horren multiploa aurki nahi dugula.

MULTIPLOA = (25 + 1) ⋅ 26 = 676 Lortutako zenbakiak eskatutakoa betetzen du: 676 zenbakia 26ren multiploa da, eta 660ren eta 700en artean dago.

046 ●

047 ●

048 ●

049 ●

050 ●●

Zehaztu 29 zenbakiaren multiplo bat, 235tik 289ra artekoa. 235 : 29 → Zatidura = 8; (8 + 1) ⋅ 29 = 261 da bilatzen ari ginen multiploa. Kalkulatu 11ren multiploak, 40tik 100era artekoak. 11ren multiploak: 44, 55, 66, 77, 88 eta 99. Kalkulatu 7 zenbakiaren lau multiplo, 60tik 110era artekoak. 7ren multiploak: 63, 70, 77, 84, 91, 98 eta 105. Idatzi 32 zenbakiaren lehen multiploa, 2.000 baino handiagoa. 2.000 : 32 → Zatidura = 62; (62 + 1) ⋅ 32 = 2.016 da 2.000 baino handiagoa den lehen multiploa. 100etik 200era arteko zenbaki bat 5en multiploa da; haren zifren batura 6 da. Zer zenbaki da? 100etik 200era arteko 5en multiploak, zifren batura 6 dela, 105 eta 150 dira.

051

Idatzi 9ren zenbait multiplo.

●●

a) 3ren multiploak al dira guztiak? b) Eta 3ren multiplo guztiak 9ren multiploak al dira? Eman arrazoiak. a) 9ren multiploak: 9, 18, 27, 36, 45… Guztiak 3ren multiploak dira. b) 3ren multiplo guztiak ez dira nahitaez 9ren multiploak; esate baterako, 3 eta 6 3ren multiploak dira, baina ez 9renak.

42

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 43

ERANTZUNAK

052

2

15en multiplo guztiak 3ren multiploak al dira? Eman arrazoiak.

●●

Bai, 15en multiplo guztiak 3ren multiploak dira, 15 = 3 ⋅ 5 baita.

053

Aurkitu hiru zifrako zenbakirik handiena eta txikiena, hauen multiploak direnak:

●●

a) 2 eta 3 b) 2 eta 5

c) 3 eta 5 d) 3 eta 7

a) Multiplo txikiena 102 eta handiena 996. b) Multiplo txikiena 100 eta handiena 990. c) Multiplo txikiena 105 eta handiena 990. d) Multiplo txikiena 105 eta handiena 987.

054 ●

Adierazi zuzenak ala okerrak diren esaldi hauek eta eman arrazoiak. a) b) c) d)

48ren zatitzailea da 12. 3ren zatitzailea da 15. 720ren zatitzailea da 9. 777ren zatitzailea da 44.

e) f) g) h)

44ren zatitzailea da 44 10en zatitzailea da 100. 123ren zatitzailea da 123. 17ren zatitzailea da 1.

a) Zuzena, 48 : 12 = 4 zatiketa zehatza delako. b) Okerra, 15 3ren multiploa da. c) Zuzena, 720 : 9 = 80 zatiketa zehatza delako. d) Zuzena, 777 : 7 = 111 zatiketa zehatza delako. e) Zuzena, 44 : 44 = 1 zatiketa zehatza delako. f) Okerra, 100 10en multiploa da. g) Zuzena, 123 : 123 = 1 zatiketa zehatza delako. h) Zuzena, 17 : 1 = 17 zatiketa zehatza delako. 055 ●

Osatu 24, 16, 36 eta 54ren zatitzailelak. Zt Zt Zt Zt

(24) (16) (36) (54)

= {1, 2,
, 4,
, 8,
,
} = {1, 2,
,
, 16} = {1, 2,
, 4,
,
,
,
, 36} = {1, 2,
,
,
,
,
, 54}

Zt (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Zt (16) = {1, 2, 4, 8, 16} Zt (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Zt (54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} 056 ●

Aurkitu 42ren zatitzaile guztiak. Zenbat zatitzaile ditu 42k? Zt (42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}. 8 zatitzaile ditu.

43

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 44

Zatigarritasuna 057 ●

Aurkitu zenbaki hauen zatitzaile guztiak: a) 28

b) 64

c) 54

d) 96

a) Zt (28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28} b) Zt (64) = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} c) Zt (54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} d) Zt (96) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96} 058 ●

63 zenbakia 9ren multiploa bada, zein esaldi dira zuzenak? a) b) c) d)

9ren zatitzailea da 63. 9z zatigarria da 63. 63ren zatitzailea da 9. 63ren multiploa da 9. a) Okerra

059 ●

●

a) b) c) d)

●

●

a) b) c) d)

c) Zuzena

d) Zuzena

5ez zatigarria da 57. 5 ez da 57ren zatitzailea. 5en multiploa da 57. 57 ez da 5ez zatigarria. b) Zuzena

c) Okerra

d) Zuzena

175 = 5 ⋅ 35 bada, zein esaldi dira zuzenak? a) b) c) d)

5ez zatigarria da 175. 35ez zatigarria da175. 35en multiploa da 175. 175en zatitzailea da 5. b) Zuzena

c) Zuzena

d) Zuzena

104 = 4 ⋅ 26 erlazioa emanda, zein esaldi dira zuzenak? a) 4z zatigarria da 104. b) 4ren multiploa da 104. a) Zuzena

44

b) Zuzena

57 : 5 zatiketa egitean, ikusten da ez dela zehatza. Esan zuzenak ala okerrak diren.

a) Zuzena 062

d) Okerra

7ren multiploa da 28. 28ren multiploa da 4. 4ren multiploa da 28. 28ren zatitzailea da 7.

a) Okerra 061

c) Zuzena

28 zenbakia 4z zatigarria bada, zein esaldi dira zuzenak?

a) Zuzena 060

b) Zuzena

b) Zuzena

c) 104ren zatitzailea da 26. d) 26z zatigarria da 104. c) Zuzena

d) Zuzena

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 45

ERANTZUNAK

063 ●●

064 ●●

2

a zenbakia 4z zatigarria da. Kalkulatu a, zatiketaren zatidura 23 bada a = 29 ⋅ 4 = 116 a zenbakia ez da 5ez zatigarria. Kalkulatu a, zatiketaren zatidura 38 bada, eta hondarra, 9. a = 38 ⋅ 5 + 9 = 199

065

Osatu taula hau.

●

066 ●

Zenbakiak 33 61 79 72 39

Zatitzaileak 1, 3, 11, 33 1, 61 1, 79 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 1, 3, 13, 39

Zenbaki hauetatik zein dira lehenak? Eta konposatuak? a) 46

b) 31

a) Konposatua 067 ●

068 ●

Lehena/Konposatua Konposatua Lehena Lehena Konposatua Konposatua

b) Lehena

c) 17 c) Lehena

d) 43 d) Lehena

Idatzi zenbaki lehenak, 30 baino handiagoak eta 100 baino txikiagoak direnak. 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 eta 97 Bi zifrako zenbaki bat 3z zatigarria da. Esan al daiteke lehena dela? Eman adibide bat. Ez da lehena, baduelako zatitzaile bat gutxienez, 3. Esate baterako, 21.

069

Idatzi zenbaki hauek bi zenbaki lehenen batuketa gisa.

●●

a) 12 a) 7 + 5

070

b) 20 b) 13 + 7

c) 36 c) 19 + 17

d) 52 d) 47 + 5

EGIN HONELA NOLA JAKIN DAITEKE BI ZENBAKI ELKARREKIKO LEHENAK DIREN? Aztertu elkarrekiko lehenak diren 8 eta 15 zenbakiak. Bi zenbaki elkarrekiko lehenak dira zatitzaile komun bakarra 1 bada. LEHENA. Bien zatitzaileak kalkulatu behar dira. Zt (8) = {1, 2, 4 eta 8} Zt (15) = {1, 3, 5 eta 15} Bi zatitzaile segidak alderatzen dira. Zatitzaile komun bakarra 1 zenbakia da; beraz, 8 eta 15 elkarrekiko lehenak dira.

BIGARRENA.

45

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 46

Zatigarritasuna 071

Kalkulatu zein zenbaki pare diren elkarrekiko lehenak.

●●

a) 24 eta 26 b) 25 eta 27

c) 13 eta 39 d) 35 eta 91

e) 18 eta 63 f) 77 eta 105

a) Zt (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Zt (26) = {1, 2, 13, 26} Ez dira lehenak elkarrekiko. b) Zt (25) = {1, 5, 25} Zt (27) = {1, 3, 9, 27} Lehenak dira elkarrekiko.

e) Zt (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Zt (63) = {1, 3, 7, 9, 21, 63} Ez dira lehenak elkarrekiko.

c) Zt (13) = {1, 13} Zt (39) = {1, 3, 13, 39} Ez dira lehenak elkarrekiko.

f) Zt (77) = {1, 7, 11, 77} Zt (105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105} Ez dira lehenak elkarrekiko.

d) Zt (35) = {1, 5, 7, 35} Zt (91) = {1, 7, 13, 91} Ez dira lehenak elkarrekiko. 072 ●

Kalkulatu zein zenbaki diren 2z, 3z, 5ez, 10ez eta 11z zatigarriak. a) 258

b) 1.176

a) 2z eta 3z zatigarria. b) 2z eta 3z zatigarria. 073 ●

c) 2.420

d) 55.030

c) 2z, 5ez, 10ez eta 11z zatigarria. d) 2z, 5ez eta 10ez zatigarria.

Kalkulatu zein den 3.456ri batu beharreko zenbakirik txikiena, 11ren multiplo bat lortzeko Zifra bikoitien batura 3 + 5 = 8 da, eta bakoitiena, 4 + 6 = 10; aldea 2 da, eta beraz, 9 batu behar da 11 izateko. 3.456 + 9 = 3.465, 11z zatigarria da.

074 ●

075

6.345 zenbakia ez da 11z zatigarria. Aldatu zifrak lekuz 11z zatigarria izateko. 3.465, 3.564, 4.356, 4.653, 5.346, 5.643, 6.435 eta 6.534 EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA ZIFRA BAT, ZENBAKI BAT BESTE BATEZ ZATIGARRIA IZATEKO? Zer balio izan behar du a-k 3a2 zenbakia 3ren multiploa izan dadin? Zatigarritasun-irizpidea aplikatu behar da. Kasu honetan, zenbakiaren zifren baturak 3ren multiploa izan behar du. 3+a+2=5+a 5 + a baturak 3ren multiploa izan behar du. LEHENA.

BIGARRENA. a-ren

zenbait baliorekin proba egin behar da, zatigarritasun-irizidea bete dadin. a-k har ditzakeen balioak: • a = 1, 5 + 1 = 6 baita. • a = 4, 5 + 4 = 9 baita. • a = 7, 5 + 7 = 12 baita.

46

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 47

ERANTZUNAK

076 ●●

077

Zer balio izan behar du a-k, 3a2 zenbakia 2ren multiploa izan dadin? Edozein balio izan dezake, zenbakiaren azken zifra 2 baita, eta beraz, 2ren multiploa da. Zer balio izan behar du a-k, 3a2 zenbakia 5en multiploa izan dadin?

●●

3a2 zenbakiak ezin du 5en multiploa izan, azken zifra 2 baita.

078

Zer balio izan behar du a-k, 3a2 zenbakia 7ren multiploa izan dadin?

●●

2

a-k 2 edo 9 izan behar du.

079

Osatu zenbaki hauek, baldintzak betetzeko:

●●

a) 35
2z zatigarria izan dadin. b)
31 3z zatigarria izan dadin. c) 84
5ez zatigarria izan dadin. a) Azken zifrak edozein zenbaki bikoiti izan behar du: 0, 2, 4, 6 edo 8. b) Lehen zifra 2 + 3 ⋅ n izan daiteke, hau da, 2, 5 edo 8. c) Azken zifra hau izan daiteke: 0 edo 5.

080

Kalkulatu zenbateko izan behar duen n-k:

●●

a) n 05 3z eta 5ez zatigarria izan dadin. b) 5n 8 2z eta 3z zatigarria izan dadin. c) n 30 2z, 3z eta 5ez zatigarri izan dadin. a) n-ren balioa hau izan daiteke: 1, 4 edo 7. b) n-ren balioa hau izan daiteke: 2, 5 edo 8. c) n-ren balioa hau izan daiteke: 3, 6 edo 9.

081

EGIN HONELA ZEIN DIRA ZENBAKI KONPOSATU BATZUEN ZATIGARRITASUN-IRIZPIDEAK? 8.085 zenbakia 15ez zatigarria al da? LEHENA.

15 biderkagai lehenen bi biderketa gisa adierazi behar da. 15 = 3 ⋅ 5

Zenbaki batek 3z eta 5ez zatigarria izan behar du, 15ez zatigarria izateko. BIGARRENA.

Zenbakia bere biderkagai lehenz zatigarria den aztertu behar da. 8 + 0 + 8 + 5 = 21 → 3ren multiploa

5ez ere zatigarria da, azken zifra 5 duelako. 8.085 zenbakia 3z eta 5ez zatigarria da, eta beraz, 15ez zatigarria.

47

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 48

Zatigarritasuna 082

15ez zatigarria al da 4.920 zenbakia?

●

083

4.920 3z eta 5ez zatigarria da; beraz, 15ez zatigarria da. Zatiketa egin gabe, adierazi zein zenbaki den 6z zatigarria.

●●

824

413

1.206

3.714

6 = 2 ⋅ 3; beraz, zenbaki bat 6z zatigarria da 2z eta 3z zatigarria bada. 6z zatigarriak: 1.206 eta 3.714. 084 ●●●

Zatiketarik egin gabe, adierazi zenbaki hauetatik zein diren 6z eta 9z zatigarriak. a) 7.200

b) 2.100

c) 1.089

a) 6z zatigarria da, 2z (azken zifra zero 0 da) eta 3z zatigarria delako (7 + 2 + 0 + 0 = 9); eta 9z zatigarria da, zifren batura 9 delako, eta 9 9ren multiploa da. b) 6z zatigarria da, 2z (azken zifra 0 da) eta 3z zatigarria delako (2 + 1 + 0 + 0 = 3); eta ez da 9z zatigarria, zifren batura 3 delako, eta 3 ez da 9ren multiploa. c) Ez da 6z zatigarria ez delako 2z zatigarria (azken zifra 9 da); eta 9z zatigarria da, zifren batura 18 delako, 9ren multiploa. 085 ●

Deskonposatu zenbaki hauek biderkagai lehenetan. a) b) c) d) e)

56 100 187 151 155

f) g) h) i) j)

77 98 47 99 79

a) 56 = 23 ⋅ 7

●

●

f) 77 = 7 ⋅ 11

k) 138 = 2 ⋅ 3 ⋅ 23

g) 98 = 2 ⋅ 7

l) 102 = 2 ⋅ 3 ⋅ 17

c) 187 = 11 ⋅ 17

h) 47 = 47 ⋅ 1

m) 325 = 52 ⋅ 13

d) 151 = 151 ⋅ 1

i) 99 = 32 ⋅ 11

n) 226 = 2 ⋅ 113

e) 155 = 5 ⋅ 31

j) 79 = 79 ⋅ 1

ñ) 402 = 2 ⋅ 3 ⋅ 67

2

2

Zer zenbakirenak dira biderkagai lehenen deskonposizio hauek? a) 23 ⋅ 3 ⋅ 5 b) 2 ⋅ 32 ⋅ 7 a) 120

087

138 102 325 226 402

b) 100 = 2 ⋅ 5 2

086

k) l) m) n) ñ)

c) 23 ⋅ 52 ⋅ 7 d) 32 ⋅ 5 ⋅ 72 b) 126

c) 1. 400

d) 2.205

Zein da zenbaki lehen baten biderkagai lehenen deskonposizioa? Eman adibide bat. Zenbakiaren beraren eta bataren biderketa. Adibidea: 13 = 13 ⋅ 1.

48

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 49

ERANTZUNAK

088

2

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA BIDERKETA BATEN FAKTORIZAZIOA? Kalkulatu biderketa honen faktorizazioa. 120 ⋅ 10 LEHENA.

Bi zenbakiak biderkagai lehenen biderketa gisa adierazi behar dira. 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 10 = 2 ⋅ 5

BIGARRENA.

Bi faktorizazioen biderketa egin behar da. (23 ⋅ 3 ⋅ 5) ⋅ (2 ⋅ 5) = 24 ⋅ 3 ⋅ 52

Biderketaren faktorizazioa 24 ⋅ 3 ⋅ 52.

089 ●

Zenbaki baten faktorizazioa 22 ⋅ 3 ⋅ 5 da. Zenbaki hori 6z biderkatzen badugu, zein da haren faktorizazioa? Eta 8z biderkatzen badugu? 6z biderkatuko dugu: 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 3 = 23 ⋅ 32 ⋅ 5. 8z biderkatuko dugu: 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 23 = 25 ⋅ 3 ⋅ 5.

090 ●●

8ren faktorizazioa 23da. Kalkulatu zenbaki hauetako bakoitzaren faktorizazioa, zatiketarik egin gabe. a) 16 b) 32

c) 24 d) 4

a) 2 ⋅ 8 = 24

091 ●●

e) 40 f) 56 d) 8 : 2 = 23 : 2 = 22

b) 2 ⋅ 16 = 2 ⋅ 24 = 25

e) 23 ⋅ 5

c) 3 ⋅ 8 = 3 ⋅ 2

f) 23 ⋅ 7

3

10 zenbakia biderkagai lehenetan deskonposatuta 2 ⋅ 5 da; 100, 22 ⋅ 52… Zein da 100.000ren deskonposizioa? 100.000 = 100 ⋅ 100 ⋅ 10 = 22 ⋅ 52 ⋅ 22 ⋅ 52 ⋅ 2 ⋅ 5 = 25 ⋅ 55

092 ●

Kalkulatu zenbaki pare bakoitzaren zatitzaile komunetan handiena. a) 16 eta 24 b) 45 eta 72 c) 12 eta 36

d) 18 eta 27 e) 28 eta 49 f) 18 eta 28

a) 16 = 24, 24

= 23 ⋅ 3; z.k.h. (16, 24) = 23 = 8

b) 45 = 32 ⋅ 5, 72 = 23 ⋅ 32; z.k.h. (45, 72) = 32 = 9 c) 12 = 22 ⋅ 3, 36 = 22 ⋅ 32; z.k.h. (12, 36) = 22 ⋅ 3 = 12 d) 18 = 2 ⋅ 32, 27 = 33; z.k.h. (18, 27) = 32 = 9 e) 28 = 22 ⋅ 7, 49 = 72; z.k.h. (28, 49) = 7 f) 18 = 2 ⋅ 32, 28 = 22 ⋅ 7; z.k.h. (18, 28) = 2

49

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 50

Zatigarritasuna 093 ●

Kalkulatu zenbaki pare bakoitzaren zatitzaile komunetan handiena. a) 4 eta 15 b) 9 eta 13

c) 3 eta 17 d) 12 eta 7

e) 21 eta 2 f) 18 eta 47

a) z.k.h. (4, 15) = 1

d) z.k.h. (12, 7) = 1

b) z.k.h. (9, 13) = 1

e) z.k.h. (21, 2) = 1

c) z.k.h. (3, 17) = 1

f) z.k.h. (18, 47) = 1

094

Kalkulatu zenbaki multzo bakoitzaren zatitzaile komunetan handiena.

●●

a) 8, 12 eta 18 b) 16, 20 eta 28

c) 8, 20 eta 28 d) 45, 54 eta 81

e) 75, 90 eta 105 f) 40, 45 eta 55

a) z.k.h. (8, 12, 18) = 2 b) z.k.h. (16, 20, 28) = 22 = 4 c) z.k.h. (8, 20, 28) = 22 = 4 d) z.k.h. (45, 54, 81) = 32 = 9 e) z.k.h. (75, 90, 105) = 3 ⋅ 5 = 15 f) z.k.h. (40, 45, 55) = 5 095 ●

Kalkulatu multiplo komunetan txikiena: a) 12 eta 24

b) 16 eta 18

c) 27 eta 54

d) 21 eta 49

a) m.k.t. (12, 24) = 2 ⋅ 3 = 24 3

b) m.k.t. (16, 18) = 24 ⋅ 32 = 144 c) m.k.t. (27, 54) = 2 ⋅ 33 = 54 d) m.k.t. (21, 49) = 3 ⋅ 72 = 147 096 ●

Kalkulatu multiplo komunetan txikiena: a) 5 eta 12

b) 7 eta 14

c) 12 eta 25

a) m.k.t. (5, 12) = 5 ⋅ 2 ⋅ 3 = 60 2

b) m.k.t. (7, 14) = 2 ⋅ 7 = 14 c) m.k.t. (12, 25) = 22 ⋅ 3 ⋅ 52 = 300 d) m.k.t. (8, 15) = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120 097

Kalkulatu multiplo komunetan txikiena:

●●

a) 12, 15 eta 18 b) 10, 20 eta 30

c) 6, 30 eta 42 d) 9, 14 eta 21

a) m.k.t. (12, 15, 18) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180 b) m.k.t. (10, 20, 30) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 c) m.k.t. (6, 30, 42) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210 d) m.k.t. (9, 14, 21) = 2 ⋅ 32 ⋅ 7 = 126

50

d) 8 eta 15

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 51

ERANTZUNAK

098 ●

2

Ibon kromo-bilduma bat egiten ari da. Kromoak 5naka saltzen dira. Eros al ditzake 15 kromo? Eta 17? Bai, eros ditzake 15 kromo, 15 5en multiploa delako. Ezin ditu 17 kromo erosi, 17 ez delako 5en multiploa.

099 ●●

Naroak 180 kromoko albuma dauka. Kromoak 5eko zorrotan saltzen dituzte. Kromo bakar bat ere errepikatzen ez bada, zenbat zorro erosi behar ditu gutxienez? 180 : 5 = 36. Gutxienez 36 zorro erosi behar ditu.

100 ●●

Koldok oporretako 49 argazki itsatsi nahi ditu, 3 argazkiko ilaratan. Zenbat ilara oso beteko ditu? Argazkirik geratuko al zaio sobera? Eman arrazoiak. 49 : 3 → Zatidura = 16; hondarra = 1. 16 ilara oso bete eta argazki bat sobera.

101 ●●

Naiarak jostailuzko 24 auto ditu, eta ilaran jarri nahi ditu, ilara bakoitzean auto kopuru bera egon dadin. Zenbat modutan jar ditzake autoak ilaretan? 24k dituen zatitzaile adina modutan. 24ren zatitzaileak: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 eta 24. 24 autoko 1 ilara egin dezake, 12 autoko 2 ilara, 8 autoko 3 ilara, etab.

102 ●●●

Amaiak 3naka zenbatu ditu bere 24 autoak; eta Albertok, berriz, 4naka. Bat etorriko al dira zenbakiren batean? Zertan dira berdinak bi zenbaki horiek? Amaia: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24. Alberto: 4, 8, 12, 16, 20, 24. 12 eta 24 zenbakietan datoz bat, 3ren eta 4ren multiplo komunetan, alegia. Egiteko beste modu bat: m.k.t. (3, 4) = 12. 12 zenbakitik behin bat egingo dute.

103 ●●

Aitorrek animalia-denda batean egiten du lan. 8 kanario dadude, eta kaiolatan jarri nahi dituzte, kaiola bakoitzean kanario kopuru bera egon eta bat ere sobera geratu gabe. Zenbat modutan jar ditzakete kanarioak kaioletan? 8k dituen zatitzaile adina modutan. 8ren zatitzaileak: 1, 2, 4 eta 8. Horiek dira taldekatzeko aukerak.

104 ●●

Maialenek 15 anana ditu eta saskitan banatu nahi ditu, bakoitzean anana kopuru bera sartu eta bat ere sobera geratu gabe. Zenbat modutan bana ditzake ananak? 15ek dituen zatitzaile adina modutan. 15en zatitzaileak: 1, 3, 5 eta 15. Horiek dira taldekatzeko aukerak.

105 ●●

Maiak 45 pastel egin ditu eta kutxatan gorde nahi ditu. Zenbat modutan gorde ditzake bat ere sobera gera ez dadin? 45ek dituen zatitzaile adina modutan. 45en zatitzaileak: 1, 3, 5, 9, 15 eta 45. Horiek dira taldekatzeko aukerak.

51

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 52

Zatigarritasuna 106 ●●

Patxik zurezko 20 xafla ditu eta pilak egin nahi ditu, bakoitzean xafla kopuru bera jarri eta bakar bat ere sobera geratu gabe. Zenbat xafla jar ditzake pila bakoitzean? 20k dituen zatitzaile adina modutan. 20ren zatitzaileak: 1, 2, 4, 5, 10 eta 20. Horiek dira taldekatzeko aukerak.

107 ●●

Anek 7 loreontzi geranio ditu eta taldetan jarri nahi ditu, bakoitzean kopuru bera jarri eta bakar bat ere sobera geratu gabe. Zenbat loreontzi jar ditzake talde bakoitzean? 7ren zatitzaileak 1 eta 7 dira. Beraz, 7 loreontziko 1 ilara egin dezake edo loreontzi bateko 7 ilara.

108

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA PROBLEMAK z.k.h. ERABILIZ?

Zurik sobera ez geratzeko, karratuen aldeak 48ren eta 32ren zatitzailea izan behar du. Ahalik handienak izan behar dutenez, aldearen luzerak 48ren eta 32ren zatitzaile komunen arteko handiena izan behar du; hau da, zatitzaile komunetan handiena.

48 cm

Arotz batek 48 cm luze eta 32 cm zabal den ohol bat ahalik handienak diren karratu berdinetan ebaki du, zurik sobera geratu gabe. Nola egin du?

32 cm

Zenbakiak faktorizatu egin behar dira. 32 = 25 48 = 24 ⋅ 3 BIGARRENA. z.k.h. kalkulatu behar da. z.k.h. (48, 32) = 24 = 16 Ohola 16 cm-ko aldeko karratutan ebaki du. LEHENA.

109 ●●

140 m zabal eta 200 m luze den nabe laukizuzen bat ahalik eta azalera handieneko konpartimentu karratutan banatu nahi dugu. Zer luzera izan behar du konpartimentu bakoitzaren aldeak? z.k.h. (140, 200) = 22 ⋅ 5 = 20 Konpartimentu bakoitzaren aldeak 20 m-koa izan behar du.

110 ●●

12 m luze eta 10 m zabal den ikasgela laukizuzen batean, lauza karratuak jarri behar dituzte, ahalik eta handienak. a) Zer neurri izango du lauza bakoitzak? b) Zenbat lauza jarriko dituzte? a) z.k.h. (12, 10) = 2. Lauzaren aldeak 2 m-koa izan behar du. b) Ikasgelaren azalera: 12 ⋅ 10 = 120 m2. Lauzaren azalera: 4 m2. 120 : 4 = 30 lauza jarriko dituzte.

52

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 53

ERANTZUNAK

111 ●●

2

Laidak 8 bola hori, 16 zuri, 16 gorri eta 10 urdin ditu. Bolatxoekin ahalik eta lepoko gehien egin nahi ditu, bolatxorik sobera geratu gabe. a) Zenbat lepoko berdin egin ditzake? b) Kolore bakoitzeko zenbat bolatxo izango dituzte lepokoek? a) z.k.h. (8, 16, 10) = 2. 2 lepoko berdin egin ditzake. b) Lepoko bakoitzak 8 : 2 = 4 bola hori, 16 : 2 = 8 zuri, 16 : 2 = 8 gorri eta 10 : 2 = 5 urdin izango ditu.

112 ●●●

Europako 40 zigilu eta Asiako 56 ditu Jonek. Ahalik eta sorta berdin gutxien egin nahi ditu, Europako eta Asiako zigiluak nahasi gabe, eta bat ere sobera geratu gabe. Zenbat sorta egingo ditu? Zenbat zigilu izango ditu sorta bakoitzak? z.k.h. (40, 56) = 8. Europako zigiluen 40 : 8 = 5 sorta eta Asiako zigiluen 56 : 8 = 7 sorta egin ditzake. Guztira, 8 zigiluko 7 + 5 = 12 sorta egingo ditu.

113

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA PROBLEMAK m.k.t. ERABILIZ? Helikoptero batek elikagaiak garraiatzen ditu mendi-aterpe batera, 10 egunetik behin; eta beste batek, 8 egunetik behin. Gaur biak joan badira, zenbat egun barru joango dira biak berriro ere?

10 egun

←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ 8 egun

←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Iragan beharreko egun kopuruak 10en eta 8ren multiploa izan behar du. Gainera bien multiplo komunen arteko txikiena izango da; 10en eta 8ren multiplo komunetan txikiena. LEHENA.

Zenbakiak faktorizatu egin behar dira. 10 = 2 ⋅ 5 8 = 23

m.k.t. kalkulatu behar da. m.k.t. (10, 8) = 23 ⋅ 5 = 40 40 egun barru joango dira biak, berriro ere. BIGARRENA.

114 ●●

Ane eta Jon gurasoak bisitatzera joaten dira. Ane 5 egunetik behin joaten da, eta Jon,6 egunetik behin. Gabon-egunean biak joan baziren: a) Noiz joango dira biak berriro ere? b) Zenbat bisita egin zituen bakoitzak biak batera joan aurretik? a) m.k.t. (5, 6) = 30. 30 egunetik behin joango dira biak, urtarrilaren 23an. b) Lehen aldiz biak joango direnean, Ane 30 : 5 = 6 aldiz egongo da aurrez, eta Jon, 30 : 6 = 5 aldiz.

53

908261 _ 0034-0057.qxd

11/9/07

12:36

Página 54

Zatigarritasuna 115 ●●

Gabonetako zuhaitz batean, bonbila gorriak, berdeak eta horiak daude. Gorriak 15 segundotik behin pizten dira; berdeak, 18tik behin; eta horiak, 10 segundotik behin. a) Zenbat segundotik behin pizten dira hiru motetako bonbillak batera? b) Ordubetean, zenbat aldiz pizten dira denak batera? a) m.k.t. (15, 18, 10) = 90. 90 segundotik behin. b) 1 ordu = 3.600 segundo; 3.600 : 90 = 40 aldiz pizten dira denak batera ordubetean.

116 ●●●

Anderrek txanpon-bilduma bat du, eta 6naka, 8naka eta 10naka bil ditzake; bakar bat ere sobera geratu gabe. Zenbat txanpon ditu bildumak gutxienez? m.k.t. (6, 8, 10) = 120 txanpon izan behar ditu bildumak gutxienez.

117 ●●●

Eiderrek kutxa bat gozoki du. Zenbat gozoki dituen asmatzen badu, oparitu egingo dizkiola esan dio lagun bati. Arrasto hauek eman dizkio. «Kutxan 60 gozoki baino gutxiago daude. 9ren artean banatuta, ez da bat ere geratzen sobera; baina 11ren artean banatuta, 1 falta zait». Zenbat gozoki daude kutxan? 60 baino txikiagoak diren 9ren multiploak: 9, 18, 27, 36, 45, 54. 11ren artean banatzean bat falta bazaio, batekoen zifra hamarrekoen zifra baino bat txikiagoa da. Multiploen artean baldintza hori 54k betetzen du. Beraz, 54 gozoki daude.

118 ●●●

2z zatigarria al da 27 ⋅ 5, zenbakia? Eta 5ez? Eta 25ez? Eta 80z? Eta 6z? Zenbakia 2z zatigarria da, 27 biderkagaia duenez; 5ez ere bai, 5 biderkagaia duenez; baita 80z ere, 24 ⋅ 5 baita. z.k.h. (27 ⋅ 5, 80) = 24 ⋅ 5 = 80. Ez da 25ez zatigarria, 25 = 52, z.k.h. (27 ⋅ 5, 25) = 5 baita eta ez 25. Ez da 6z zatigarria, 6 = 2 ⋅ 3, z.k.h. (27 ⋅ 5, 6) = 2 baita eta ez 6.

119 ●●●

Zenbaki bat 3z eta 4z zatigarria bada, 3 ⋅ 4 = 12z ere zatigarria da. Baina 6z eta 4z zatigarria bada, 6 ⋅ 4 = 24z ere zatigarria al da? Bi zenbakiz zatigarria bada, bien m.k.t.-z ere zatigarria da; kasu honetan, m.k.t. (6, 4) = 12 da, baina ezin da ziurtatu beste multiplo batez zatigarria denik. Esate baterako, 60 6ren eta 4ren multiploa da, baina ez 24rena.

120 ●●●

54

Zenbaki bat 3z zatigarria ez bada, izan al daiteke 3z zatigarria haren bikoitza? 3z zatigarria ez bada, deskonposizioan ez da ageri 3 zenbakia. Bikoitza hartuz gero, deskonposizioa 2z biderkatuta egongo da, eta beraz, ez du 3rik izango. Beraz, ez da 3z zatigarria izango.

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 55

ERANTZUNAK

121 ●●●

122 ●●●

2

Zenbaki bat bikoitia bada, 6z zatigarria al da zenbaki horren hirukoitza Bai, zenbaki bikoita bada 2 ⋅ n formakoa izango baita. Zenbaki horren hirukoitza 3 ⋅ 2 ⋅ n = 6 ⋅ n formakoa izango da, eta 6 ⋅ n 6z zatigarria da. Arrazoitu 2, 3, 5 eta 11ren zatigarritasun-irizpideak nola eratu diren. a) Zer-nolakoa (bikoitia ala bakoitia) da edozein zenbakiren bikoitzaren azken zifra? Zein da 2z zatitzeko irizpidea? b) Zein da 5ez zatitzeko irizpidea? Eman arrazoiak. c) Aztertu 3z zatitzeko irizpidea. GOGORATU

}

Cz zatigarria da A A + B Cz zatigarria da B Cz zatigarria da 342 = 3 . 100 + 4 . 10 + 2 = = 3 . (99 + 1) + 4 . (9 + 1) + 2 = = (3 . 99 + 4 . 9) + (3 + 4 + 2) 99 eta 9 zenbakiak 3z zatigarriak direnez, lehen parentesiko zenbakia 3z zatigarria da. Beraz, 3z zatigarraia da 342, soilik bigarren parentesiko zenbakia 3z zatigarria bada; baina zein da bigarren parentesiko zenbakia? d) Ikertu 11z zatitzeko irizpidea. 11ren multiploa da 10 + 1 11ren multiploa da 100 − 1 11ren multiploa das 1.000 + 1 Arrazoiketa horri jarraituz, frogatu 11z zatitzeko irizpidea. a) Zenbaki baten azken zifra bikoitia ala bakoitia izan, zenbakiaren bikoitzaren azken zifra bikoitia da; eta azken zifra 0 bada, 0 izango da. Beraz, 2z zatigarria izateko irizpidea hau da: azken zifra 0 edo bikoitia izatea. b) Azken zifra bikoitia edo 0 duen zenbaki bat 5ez biderkatzean, emaitzareniiiiii azken zifra 0 da. Azken zifra bakoitia duen zenbakia 5ez biderkatzean, emaitzaren azken zifra 5 da. Zenbaki bat 5en multiploa da, azken zifra 0 edo 5 bada. c) Bigarren parentesiko zenbakia hasierako zenbakiaren zifren batura da. d) Esate baterako, 4.235 zenbakia hartuko dugu. 4.235 = 4 ⋅ 1.000 + 2 ⋅ 100 + 3 ⋅ 10 + 5 = = 4 ⋅ (1.000 + 1 − 1) + 2 ⋅ (100 − 1 + 1) + 3 ⋅ (10 + 1 − 1) + 5 = = 4 ⋅ (1.000 + 1) + 2 ⋅ (100 − 1) + 3 ⋅ (10 + 1) + (5 − 4 + 2 − 3) Lehen parentesian, batugai guztiak 11ren multiploak direnez, bigarrenak ere 11ren multiploa izan behar du. Bigarren parentesian, posizio bakoitietako zifren eta posizio bikoitietakoen kendurak ageri dira; 0 edo 11ren multiploa izango da.

55

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 56

Zatigarritasuna EGUNEROKOAN 123 ●●●

Anek eta Danelek ezkondu egin behar dute, eta oturuntza prestatzen ari dira. Oturuntzan, 212 lagun izango dira guztira, ezkonberriak barne; eta oturuntza egin behar duten jatetxekoek esan dietenez, 18, 12 eta 8 lagunentzako mahaiak daude aukeran. Baina badira zenbait murrizketa: •

18 lagunentzako mahai bakoitzeko, 12 lagunentzako 2 mahai jar daitezke gehienez.

•

12 lagunentzako mahai bakoitzeko, 8 lagunentzako 4 mahai jar daitezke gehienez.

•

Hiru mahai motak jarri behar dira: 18, 12 eta 8 lagunentzako mahaiak.

•

Mahai guztiek beteta egon behar dute.

•

Ezkonberrien mahaian, ezkonberriak eta haien gurasoak eseriko dira.

Gonbidatu-zerrenda aztertu ondoren, 18 lagunentzako 3 mahai hartzea erabaki dute: emaztegaiaren familiakoentzat, senargaiaren familoiakoentzat eta bien lagunentzat. Gainerako gonbidatuentzat 12 eta 8 lagunentzako mahaiak erabiliko dituzte. Zenbat aukera dituzte? 212 gonbidatuetatik, ezkonberrien mahaian 6 lagun sartzen dira, emaztegaiaren familiakoen, senargaiaren familiakoen eta bien lagunen 3 mahaietan, 18na lagunentzakoak, 54 lagun, eta 212 − 6 − 54 = 152 lagun kokatzea falta da. 152 : 12 eginda, zatidura 12 da, eta hondarra, 8. Beraz, 12 laguneko 12 mahaitan eta 8 laguneko mahai batean banatuko dira. m.k.t. (12, 8) = 24 denez, 12 laguneko 2 mahairen ordez 8 laguneko 3 mahai har daitezke. Hona hemen ebazpen posibleak: 12ko mahaiak 12 10 8 6 4

8ko mahaiak 1 4 7 10 13

Ebazpena Baliogabea Baliogabea Baliogabea Baliogarria Baliogarria

Banaketako hurrengo aukeran, 12ko 3 eta 8ko 16, 12ko mahai bakoitzeko 8 laguneko 4 mahairen muga gainditu egiten da, eta lehen hiru kasuetan ezinezkoa da, 12 laguneko gehienezko mahai kopurua 6 baita; beraz, ebazpen baliogarriak taulako azken bi ilaretakoak dira.

56

908261 _ 0034-0057.qxd

30/7/07

16:13

Página 57

ERANTZUNAK

124 ●●●

2

Errigoitiko inauterietan, bizilagunek herriko kaleetatik desfilatzen dute, mozorrotuta. Aurten, 156 lagunek eman dute izena. Udalaren erabakiz, konpartsa bakarra egongo da, ilaratan antolatuta. Ilara guztietan, parte-hartzaile kopurua bera izango da. Desfilean igarotzen diren kaleen neurria dela-eta, 10 ilara baino gehiago ez osatzeko erabakia hartu da. Gainera, ilara bakoitzean, 60 lagun egongo dira, gehienez. Zenbat modutan egin daiteke desfilea? Ilara bakoitzean gehienez 60 lagun joan daitezkeenez, gutxienez 3 ilara egongo dira (156 : 3 = 52). Gehienez 10 ilara egon daitezkeenez, 3tik 10era arteko 156ren zatitzaileak bilatuko ditugu, 3 eta 10 barne; hauek dira: 3, 4 eta 6. Honela egin dezakete desfilea: 52 laguneko 3 ilara. 39 laguneko 4 ilara. 26 laguneko 6 ilara.

125 ●●●

Herri batean, udal-hauteskundeetarako bi hautesleku eratu izan dituzte beti; baina, oraingoan, beste bat jarri behar izan dute, azken urteotan biztanleriak gora egin duelako. Oraingo honetan, 1.218 hautesle daude eta 400 inguru aukeratu behar dira hautesleku bakoitzerako Hauteskunde-batzordeko presidenteak ideia bat izan du. Zerrendan, 6ren edo 8ren multiploak diren posizioetako biztanleek lehen hautesklekuan emango dute botoa. Gainerako biztanleetatik, lehen 400ek bigarrenenan emango dute botoa; eta gainerakoek, hirugarrenean.

Behar bezala egin al du kalkulua presidenteak? 6ren multiploak → 1.218 : 6 = 203 8ren multiploak → 1.218 : 8 ⫽ 152 6ren eta 8ren multiploak m.k.t. (6, 8) = 24ren multiploak dira, 1.218 : 24 = 50. Lehen hauteslekuan, 203 + 152 − 50 = 305 lagunek emango dute botoa, 400ek baino gutxiagok. Zenbaketa gaizki eginda dago.

57

908261 _ 0058-0085.qxd

3

27/7/07

09:22

Página 58

Zatikiak ZATIKIAK

ZATIKI PROPIOAK ETA INPROPIOAK

ZATIKI BALIOKIDEAK

ZATIKI LABURTEZINA

ERAGIKETAK ZATIKIEKIN

BATUKETAK

KENKETA

BIDERKETA

ZATIKETA

58

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 59

Jainkozko proportzioa eta giza proportzioa Da Vinci aretoan sartu zen eta han zegoen Luca Pacioli, haren liburuko irudiak ikusten. –Zure lana itzela iruditzen zait, Leonardo –esan zuen fraideak marrazki geometrikoak ordenatzen ari zela. –Eskerrik asko, aita Pacioli –erantzun zuen Da Vincik, eta pixka bat makurtu zen–. Zure lanak, Jainkozko proportzioak, merezi zuen. –Asmatu nuen liburuko irudiak zure esku uztean, zuk erakutsitako Vitruvioren gizonaren zirriborroa ikusi nuenetik banekielako proportzioen gaia izugarri atsegingo zitzaizula –nabarmendu zuen Paciolik. –Vitruviok bere itunean jasotako giza proportzioak gaur egungo artearen edertasun-arauei egokitzen zaizkie –azaldu zuen Da Vincik–. Ba al dakizu ukondotik eskuaren muturrerako distantzia gizakiaren altueraren bostena dela, ukondotik besaperako distantzia zortzirena, eta eskuaren luzera hamarrena dela? Fraideak, eskuari begiratuz, esan zuen: –Nire eskua 17 cm luze bada, zer altuera dut? Zer neurri du nire besoak?

Altuera kalkulatzeko, proportzioetako bat erabiliko dugu: 1 17 cm = altueraren 10 altuera = 170 cm Besoentzat, beste biak erabiliko ditugu: 1 1 • 170 cm = 34 cm altueraren = 5 5 1 1 altueraren = • 170 cm = 21,25 cm 8 8 Besoa = 34 + 21,25 = 55,25 cm

59

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 60

Zatikiak ARIKETAK 001

Adierazi zein den zatiki bakoitzaren zenbakitzailea eta izendatzailea. a)

9 4

b) a)

002

c)

← Zenbakitzailea

9 4

b)

← Izendatzailea

6 11

1 22

← Zenbakitzailea ← Izendatzailea

c)

1 ←Zenbakitzailea 22 ← Izendatzailea

d)

13 6

Idatzi zatiki gisa. a) b) c) d)

Zazpi bederatziren. Bi hamarren. Hamar hamabiren. Hamahiru seiren. a)

003

6 11

7 9

b)

2 10

c)

10 12

Adierazi zein den zenbakitzailea eta zein izendatzailea, zatikia idatzi gabe. a) Hamaika laurden.

b) Hamar hamahiruren.

a) Zenbakitzailea 11, izendatzailea 4. b) zenbakitzailea 10, izendatzailea 13. 004

Adierazi zatiki bidez. a) Tarta baten erdia. b) Ordu-laurdena. c) Jokalarien herenak. a)

005

1 2

b)

1 4

c)

1 3

1 Esan zer adierazten duen zatikiak batekoaren zati gisa eta bi zenbakiren 3 zatiketa gisa. Batekoaren zati gisa, batekoa hiru zati egin eta bat hartzen dela adierazten du, eta zatiketa gisa, 1 zati 3 egitean lortzen den balioa dela.

006

Kalkulatu. a) 60ren

2 5

b) 36ren

1 3

c) 72ren

2 = (2 ⋅ 60) : 5 = 120 : 5 = 24 5 1 b) 36ren = (1 ⋅ 36) : 3 = 12 3 5 c) 72ren = (5 ⋅ 72) : 9 = 360 : 9 = 40 9 a) 60ren

60

5 9

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 61

ERANTZUNAK

007

Adierazi zatiki hauek grafikoki. a)

1 5

b) a)

008

4 6

d)

c)

2 3 d)

3 12

Marokoarrak →

4 12

Nigeriarrak →

5 12

Adierazi propioak, inpropioak eta batekoaren berdinak diren. 17 35

b)

43 42

c)

5 5

d)

13 18

a) Batekoa baino txikiagoa.

c) Batekoaren berdina.

b) Batekoa baino handiagoa.

d) Batekoa baino txikiagoa.

Adierazi zatikiak grafikoki eta esan batekoa baino txikiagoak, handiagoak ala berdinak diren. a)

011

c)

Iratik euskara erakusten die etorkinei. 12 ikasle ditu: 3 errumaniar, 4 marokoar; eta gainerakoak, nigeriarrak. Adierazi, zatiki bidez, nazionalitate bakoitzeko ikasleak zer zati diren.

a)

010

7 8 b)

Errumaniarrak →

009

3

7 5

b)

4 7

c)

16 16

d)

9 3

a) Batekoa baino handiagoa.

c) Batekoaren berdina.

b) Batekoa baino txikiagoa.

d) Batekoa baino handiagoa.

Idatzi zatiki hauek zenbaki arrunten eta zatiki propioen batuketa gisa. a)

17 3

b)

43 5

c)

68 13

d)

a) 5 +

2 3

c) 5 +

b) 8 +

3 5

d) 12 +

134 11

3 13 2 11

61

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 62

Zatikiak 012

Nola adierazten da grafikoki 1 +

4 ? Adierazi zatiki bakar baten bidez. 5

Batekoa hartu, bigarren batekoa 5 zati egin eta 4 hartuko ditugu. 1+

013

4 9 = 5 5

Aztertu baliokideak diren zatiki pare hauek. a)

3 15 eta 4 20

b)

6 4 eta 8 10

a) 3 ⋅ 20 = 4 ⋅ 15 = 60. Baliokideak dira. b) 6 ⋅ 10 ⫽ 8 ⋅ 4. Ez dira baliokideak. 014

Osatu, baliokideak izateko. a)

4 6 = 6 x a)

015

9 x = 15 5

4 6 36 = → x = =9 6 x 4

b)

9 x 45 = → x = =3 15 5 15

Osatu zatiki hauek, baliokideak izateko. a)

016

b)

x 15 = 4 6

b)

8 6 = x 9

a)

x 15 60 = = 10 → x = 4 6 6

b)

8 6 72 = = 12 ⎯→ x = x 9 6

Zatiki baten zenbakitzailea eta izendatzailea zenbaki beraz biderkatu, eta ondoren, beste batez zatitzen baditugu, lortutako zatikia hasierakoaren baliokidea al da? Bai, baliokidea da, zatiki baten zenbakitzailea eta izendatzailea zenbaki beraz biderkatzean edo zatitzean, lortutako zatikia hasierako zatikiaren baliokidea da.

017

Lortu hiruna zatiki baliokide, anplifikazio bidez≤. a)

11 2 a) Adibideak:

62

b)

9 7

22 33 44 = = . 4 6 8

b) Adibideak:

18 27 36 = = . 14 21 28

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 63

ERANTZUNAK

018

Lortu bina zatiki baliokide, sinplifikazio bidez. a)

125 75 a)

019

b)

48 60

125 25 5 = = 75 15 3

b)

48 24 12 = = 60 30 15

Laburtezinak al dira zatiki hauek? Ez badira, kalkulatu zatiki laburtezinak. a)

020

3

40 60

b)

72 90

a) Ez da laburtezina:

40 20 10 2 = = = . 60 30 15 3

b) Ez da laburtezina:

72 36 12 4 = = = . 90 45 15 5

Lor al daiteke laburtezin baten zatiki baliokiderik. Aztertu, zenbait adibideren bidez. 1 Bai; esate baterako zatiki laburtezina da eta horren zatiki baliokide 3 2 bat da. 6

021

Alderatu zatiki hauek. a)

5 4 eta 6 6 a)

022

Osatu:

Osatu:

b)

3 3 < 7 5


1 4 < < . 5 5 5 edo

1 3 4 < < 5 5 5

3 3 3 > > .
4 7

3 3 3 > > 4 5 7

024

3 3 eta 7 5

5 4 > 6 6

1 2 4 < < 5 5 5

023

b)

edo

3 3 3 > > 4 6 7

a 3 izateko? < 7 7 a-k 3 baino txikiagoa izan behar du.

Zer baldintza bete behar du a-k

63

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 64

Zatikiak 025

Adierazi izendatzaile berberaz. a)

2 1 5 , , 3 4 6 a)

026

8 3 10 , , 12 12 12

5 3 eta 6 4 a)

b)

7 3 5 , , 18 10 12

7 63 12 3 = > = 4 36 36 9

b)

3 4 9 , , 2 3 8

7 70 3 54 5 75 3 7 5 = , = , = → < < 18 180 10 180 12 180 10 18 12

b)

3 36 4 32 9 27 9 4 3 = , = , = → < < 2 24 3 24 8 24 8 3 2

3 7 9 dela? < < 5 10 4 3 12 7 14 9 45 = < = < = . 5 20 10 20 4 20

Kalkulatu. 4 5 − 3 6 a)

b)

9 1 + 8 3

4 5 8 5 3 − = − = 3 6 6 6 6

b)

Egin eragiketa hauek. a)

3 13 1 + − 8 8 8 a)

b) 2 +

4 3 − 5 5

3 13 1 3 + 13 − 1 15 + − = = 8 8 8 8 8

b) 2 +

64

b)

a)

Egia al da

a)

030

16 2 15 , , 20 20 20

7 3 eta 4 9

5 10 9 3 = > = 6 12 12 4

Bai, egia da; izan ere,

029

b)

Ordenatu, txikienetik handienera. a)

028

4 1 3 , , 5 10 4

Alderatu zatiki hauek. a)

027

b)

4 3 10 + 4 − 3 11 − = = 5 5 5 5

9 1 27 8 35 + = + = 8 3 24 24 24

908261 _ 0058-0085.qxd

11/9/07

12:13

Página 65

ERANTZUNAK

031

3

2 3 litro esne hartzen ditu, eta Jonek litro. 8 4 a) Zenbat esne hartzen dute bien artean? b) Nork hartzen du gehien? Zenbat? Gosaltzeko, Anek

2 3 1 3 1+ 3 4 + = + = = = 1 litro hartzen dute. 8 4 4 4 4 4 3 1 2 3 1 2 1 > = ; − = = b) litro gehiago hartzen du Jonek. 4 4 8 4 4 4 2 a)

032

Kalkulatu falta den zatikia. a)

7 + 5 a)

033

11 − 9

=

7 9 b)

11 4 7 − = 9 9 9

b)

b)

28 7 = 60 15

b)

105 35 = 6 2

b)

12 =3 4

4 7 ⋅ 5 12

33 11 = 72 24

Kalkulatu eta sinplifikatu a) 10 ⋅ a)

4 5

b) 15 ⋅

7 6

40 =8 5

Kalkulatu eta sinplifikatu. a)

6 2 en 5 3 a)

036

b)

7 4 11 + = 5 5 5

3 11 ⋅ 8 9 a)

035

11 5

Kalkulatu eta sinplifikatu. a)

034

=

b) 12ren

1 4

12 4 = 15 5

Kalkulatu eta sinplifikatu. a)

4 5 9 ⋅ ⋅ 3 6 7

b)

10 8 6 ⋅ ⋅ 3 5 7

180 90 30 10 = = = 126 63 21 7 480 160 32 = = b) 105 35 7 a)

c) 3 ⋅

7 5 ⋅ 4 6

d)

2 6 ⋅ ⋅4 3 7

105 35 = 24 8 48 16 = d) 21 7 c)

65

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 66

Zatikiak 037

Kalkulatu falta den zatikia. a)

3 ⋅ 4 a)

038

5 15 = 2 2

⋅

b) 3 ⋅

5 15 = 2 2

b)

15 4

10 7

b)

c) 7 4 15

c)

d) 1 7

1 14 d) 14

Egin zatiketak. a)

9 3 : 10 4 a)

b)

36 6 = 30 5

b)

15 :6 4

15 5 = 24 8

Osatu. a)

4 5 8 : = 3
15 a)

041

b)

3 5 15 ⋅ = 4 7 28

7 10 a)

040

15 28

Kalkulatu alderantzizko zatikiak. a)

039

=

b)
:

4 5 8 : = 3 2 15

b) 2 :

9 14 = 7 9

9 14 = 7 9

Kalkulatu zatikiak, alderantzizkoak hauek badira: a)

3 11 a)

b)

19 9

11 3

b)

c) 6 9 19

c)

d) 10 1 6

d)

1 10

ARIKETAK 042 ●

Zatiki bakoitzean, adierazi zein den zenbakitzailea, eta zein, izendatzailea. a)

3 8

b) 3 8 7 b) 2 a)

66

7 2

← Zenbakitzailea ← Izendatzailea ← Zenbakitzailea ← Izendatzailea

c) 9 2 6 d) 5 c)

9 2

← Zenbakitzailea ← Izendatzailea ← Zenbakitzailea ← Izendatzailea

d)

6 5

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 67

ERANTZUNAK

043 ●

Irakurri zatiki hauek. a)

5 9

b)

5 6

c)

a) Bost bederatziren. b) Bost seiren. 044 ●

045 ●

a) b) c) d)

●

8 3

e) f) g) h)

12 bosten. 5 seiren. 27 zortziren. 15 zazpiren.

a)

8 7

c)

24 35

e)

12 5

g)

27 8

b)

11 3

d)

5 28

f)

5 6

h)

15 7

Zenbaki arrunt guztiak zatiki gisa idatz badaitezke, nola idatziko zenituzke zenbaki hauek? b) 10 9 1

b)

c) 23 10 1

c)

d) 14 23 1

d)

14 1

d)

2 1 = 4 2

Idatzi zatiki gisa irudi bakoitzean margotuta ageri den zatia. a)

c)

b)

d)

a)

047

d)

c) Lau zazpiren. d) Zortzi hiruren.

8 zati 7. 11 zati 7. 24 zati 35. 5 zati 28.

a)

●

4 7

Idatzi zatiki gisa

a) 9

046

3

1 2

b)

6 1 = 12 2

c)

1 4

Adierazi zatiki hauek grafikoki. a)

3 5

b) a)

1 3 b)

c)

4 9 c)

d)

3 4 d)

67

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 68

Zatikiak 048 ●

Kalkulatu. a) 50en

1 2

b) 96ren

2 3

c) 100en

c) (3 ⋅ 100) : 2 = 150

b) (2 ⋅ 96) : 3 = 64

d) (3 ⋅ 4) : 4 = 3

Idatzi zer zatiki adierazten duen esaldi bakoitza.

●●

a) 15 minutu orduko. b) 7 hil urtean.

●

d) 4ren

a) 50 : 2 = 25

049

050

3 2

3 4

c) 3 arrautza dozenako. d) Alfabetoko 13 letra.

a)

15 5 1 = = ordu 60 20 4

c)

3 1 = dozena 12 4

b)

7 urte 12

d)

13 alfabeto 29

Zatiki hauek emanda, adierazi batekoa baino handiagoak, txikiagoak ala berdinak diren. a)

8 3

b)

5 6

c)

1 1

d)

7 2

Batekoa baino handiagoak: a) eta d). Batekoaren berdinak: c). Batekoa baino txikiagoak: b). 051 ●

Adierazi zatiki hauek zenbaki arrunten eta zatiki propioen batuketa gisa. a)

17 3

b)

a) 5 +

052

43 5

2 3

b) 8 +

c) 3 5

68 13 c) 5 +

d) 3 13

134 11 d) 12 +

2 11

NOLA ADIERAZTEN DIRA ZATIKIAK ZENBAKIZKO ZUZENEAN? 4 11 Adierazi zatiki hauek: a) b) 5 6 • Zatikia propioa bada. 0tik 10era arteko zuzenkian, izendatzaileak adierazten duten adina zati egin ehar dira: 5. LEHENA.

BIGARRENA.

Zenbakitzaileak adierazten duen adina zati hartu behar dira: 4.

a) 0

68

4 5

1

908261 _ 0058-0085.qxd

11/9/07

12:13

Página 69

ERANTZUNAK

3

• Zatikia inpropioa bada. LEHENA. Zatikia zenbaki arrunt baten eta zatiki propio baten batuketa gisa adierazi behar da. 11 6 11 5 → = 1+ 6 6 5 1

Zatikia zatiduraren eta hurrengo zenbakiaren artean dago; kasu honetan, 5 1en eta 2ren artean. Tarte horretan adierazi behar da lortutako zatikia: . 6 b) F

BIGARRENA.

1

2

11 5 = 1+ 6 6

Adierazi zenbakizko zuzenean. b)

0

054

1 7

5 7

5 7 1

A

10 7

B

0

A=

●

8 7

8 7

d)

10 7

2

Adierazi zer zatiki den puntu bakoitza.

●●

055

c)

F

1 7

F

a)

F

●●

F

053

C

D

1

2 6

B=

2

5 6

C=

7 6

D=

11 6

Adierazi baliokideak diren zatiki pare hauek. a)

13 52 eta 7 21

b)

3 8 eta 4 11

c)

15 105 eta 6 36

a) 13 ⋅ 21 ⫽ 7 ⋅ 52. Ez dira baliokideak. b) 3 ⋅ 11 ⫽ 4 ⋅ 8. Ez dira baliokideak. c) 15 ⋅ 36 ⫽ 6 ⋅ 105. Ez dira baliokideak. 056 ●●

Osatu zatiki hauek, baliokideak izateko ikurra. 2 4 , 3 3 3 4 , b) 17 18

7 4 , 27 17 9 9 , d) 23 17

a)

c)

8 , 14 5 , f) 34 e)

2 4 < 3 3 3 54 68 4 = < = b) 17 306 306 18 7 119 108 4 = > = c) 27 459 459 17

●

9 16 7 18

9 9 < 23 17 8 64 63 9 = > = e) 14 112 112 16 5 45 119 7 = < = f) 34 306 306 18

a)

064

3

d)

Ordenatu, txikienetik handienera. 3 , 7 3 b) , 7 3 , c) 8 a)

a) b) c) d) e) f)

4 1 , , 7 7 3 3 , , 2 5 5 7 , 12 6

6 7 3 4

26 101 , , 33 108 33 108 , , e) 26 101 8 12 6 , , f) 3 5 7

d)

3 2 2 3

1 3 4 6 < < < 7 7 7 7 3 3 3 3 < < < 7 5 4 2 3 9 5 10 7 28 = < = < = 8 24 12 24 6 24 26 936 101 1.111 3 1.782 = < = < = 33 1.188 108 1.188 2 1.188 33 108 2 > > , d) ataleko zatikien alderantzizkoak baitira. 26 101 3 6 90 12 252 8 280 = < = < = 7 105 5 105 3 105

71

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 72

Zatikiak 065

EGIN HONELA NOLA ALDERATZEN DIRA ZENBAKIAK ETA ZATIKIAK? 3 txikiagoa al da LEHENA.

7 baino? 2

Zenbakia emandako zatikiaren izendatzaile bereko zatiki gisa adierazi be-

har da. 3= BIGARRENA.

3⋅2 6 = 2 2

Zatikiak alderatu egin behar dira. 6 7 7 < →3< 2 2 2

066 ●

Arrazoitu erantzuna. a) 4 handiagoa al da a) 4 =

067 ●●

14 baino? 3

b) 5 handiagoa al da

12 14 < . Ez da handiagoa. 3 3

b) 5 =

19 baino? 4

20 19 > . Handiagoa da. 4 4

Ordenatu zatiki hauek. a)

3 4 5 6 7 , , , , 2 3 4 5 6

b)

2 3 4 5 6 , , , , 3 4 5 6 7

Zer ikusten duzu? ⎛ ⎜⎜Erreparatu: ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎝

3 =1+ 2 2 = 1− 3

1 ; 2 1 ; 3

4 =1+ 3 3 = 1− 4

1 ⎞⎟ …⎟ 3 ⎟⎟ ⎟ 1 ⎟⎟ …⎟⎟ 4 ⎠

7 6 5 4 3 2 3 4 5 6 < < < < < < < < b) 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 Zenbakitzaileen arteko aldea konstantea bada, zatikia inpropioa bada, zenbakitzaile txikieneko zatikia da handiena, eta propioa bada, zenbakitzaile handienekoa. a)

068 ●

Kalkulatu eragiketa hauen emaitzak eta sinplifikatu. 4 5 8 + + 9 9 9 7 5 3 − + b) 8 8 8 a)

72

4 2 5 + + 15 15 15 9 5 3 + + d) 12 12 12

a)

17 9

c)

b)

5 8

c)

11 15

d)

17 12

908261 _ 0058-0085.qxd

11/9/07

12:13

Página 73

ERANTZUNAK

069 ●

Egin eragiketa hauek eta sinplifikatu. 3 5 2 + − 4 6 3 7 3 5 − + b) 12 8 6 a)

2 7 1 + − 5 30 3 4 1 1 − − d) 9 4 12 c)

9 + 10 − 8 11 = 12 12 14 − 9 + 20 25 = b) 24 24 a)

070

3

12 + 7 − 10 9 3 = = 30 30 10 16 − 9 − 3 4 1 = = d) 36 36 9 c)

EGIN HONELA NOLA EGITEN DIRA ZENBAKIEN ETA ZATIKIEN ERAGIKETAK? 4 1 +2− . 3 6 Zenbakia zatiki gisa adierazi behar da, 1 izendatzailea jarriz.

Kalkulatu: LEHENA.

BIGARREN.

Eragiketa egin behar da.

F

4 1 4 2 1 8 12 1 19 +2− = + − = + − = 3 6 3 1 6 6 6 6 6 m. k. t. (1, 3, 6) = 6

071 ●

Ebatzi eta sinplifikatu ematitzak. 2 1 +4− 3 9 5 7 + −2 b) 16 4 a)

1 5 − 4 8 11 7 5 − − +3 d) 5 10 4 c) 3 −

6 + 36 − 1 41 = 9 9 5 + 28 − 32 1 = b) 16 16 a)

072 ●●

24 − 2 − 5 17 = 8 8 44 − 14 − 25 + 60 65 13 = = d) 20 20 4 c)

Kalkulatu eta sinplifikatu. 2 3 + 7 7 37 11 − b) 18 8 6 6 + c) 8 7 11 11 − d) 6 8 a)

2 3 + 3 27 37 14 − f) 18 9 2 3 9 + + g) 7 7 7 25 7 4 − − h) 6 6 18

e)

1 2 + 5 35 4 37 − j) 5 − 9 45 2 7 + k) 1 + 9 30 14 17 − l) 4 − 9 27

i) 3 +

73

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 74

Zatikiak

073 ●

a)

5 7

g)

14 =2 7

b)

148 − 99 49 = 72 72

h)

75 − 21 − 4 50 25 = = 18 18 9

c)

42 + 48 90 45 = = 56 56 28

i)

105 + 7 + 2 114 = 35 35

d)

88 − 66 22 11 = = 48 48 24

j)

225 − 20 − 37 168 56 = = 45 45 15

e)

18 + 3 21 7 = = 27 27 9

k)

90 + 20 + 21 131 = 90 90

f)

37 − 28 9 1 = = 18 18 2

l)

108 − 42 − 17 49 = 27 27

Egin biderketa hauek. a)

2 7 ⋅ 3 5 a)

074 ●

●

a) 4 ⋅

3 5

●

74

b)

c)

6 3 = 10 5

4 6 ⋅ 7 8 c)

d)

24 3 = 56 7

3 4 ⋅ 5 9 d)

12 4 = 45 15

b) 5 ⋅ 12 5

b)

6 7

c) 2 ⋅

30 7

c)

9 4

5 6

d) 8 ⋅

18 9 = 4 2

d)

40 20 = 6 3

Ebatzi. a)

1 3 5 ⋅ ⋅ 4 5 6 a)

076

14 15

6 1 ⋅ 5 2

Kalkulatu.

a)

075

b)

b)

15 1 = 120 8

7 4 9 ⋅ ⋅ 12 5 2 b)

252 21 = 120 10

c)

9 7 5 ⋅ ⋅ 8 3 6 c)

315 35 = 144 16

d)

6 10 7 ⋅ ⋅ 5 3 2 d)

420 = 14 30

Kalkulatu eta sinplifikatu. 8 1 en 3 2 2 5 en b) 15 7 a)

12 3 en 5 4 4 1 en d) 3 6 c)

a)

1 8 8 4 ⋅ = = 2 3 6 3

c)

3 12 36 9 ⋅ = = 4 5 20 5

b)

5 2 10 2 ⋅ = = 7 15 105 21

d)

1 4 4 2 ⋅ = = 6 3 18 9

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 75

ERANTZUNAK

077

3

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA ZENBAKI BATEN ZATI BAT? Kalkulatu. a) 84ren laurdena. b) 64ren laurdenaren erdia. LEHENA.

Kalkulatu beharreko zenbakiaren zatia zatiki gisa idatzi behar da. 1 2 1 Herena ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 3 1 Laurdena ⎯ ⎯ ⎯ → 4 1 Bostena ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → … 5

Erdia ⎯⎯⎯⎯ →

BIGARRENA.

Zatia adierazten duten zatikia zenbakiaz biderkatu behar da.

1 = 4 1 b) 64ren en 4 a) 84ren

1 ⋅ 84 = 4 1 1 = ⋅ 2 2

84 = 21 4 1 64 ⋅ 64 = =8 4 8

078

Kalkulatu.

●●

a) 240ren seirena. b) 540ren erdiaren erdia. 240 = 40 6 1 1 ⋅ ⋅ 540 = 135 b) 2 2 a)

079

c) 175ren bostena. d) 800en bostenaren erdia. 175 = 35 5 1 1 ⋅ ⋅ 800 = 80 d) 2 5 c)

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA ZENBAKI BAT, ZATI BAT JAKINIK? Kalkulatu zenbaki bat, jakinik haren bostena 9 dela. LEHENA.

Zenbaki ezezagunari a esan eta eragiketa adierazi behar da. a -ren

BIGARRENA.

1 1 a a =9→ ⋅ =9→ =9 5 5 1 5

Zati 5 eginda 9 ematen duen zenbakia aurkitu behar da.

a = 9 → a = 45 5 Bilatzen ari garen zenbakia 45 da.

75

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 76

Zatikiak 080

Kalkulatu zenbaki bat, jakinik haren seirena 7 dela.

●●

081

1 ⋅ a = 7 → a = 6 ⋅ 7 = 42 6 Kalkulatu zenbaki bat, jakinik haren laurdenaren erdia 15 dela.

●●

082

1 1 ⋅ ⋅ a = 15 → a = 2 ⋅ 4 ⋅ 15 = 120 2 4 Kalkulatu zenbaki bat, jakinik haren laurdenaren erdia ken haren laurdena 4 dela.

●●●

083 ●

084

⎛1 ⎞ ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ ⋅ a = 4 → 1 ⋅ a = 4 → a = 4 · 4 = 16 ⎟ ⎜⎝ 2 4 ⎟⎠ 1 4 Idatzi zatiki bakoitzaren alderantzizkoa. a)

●

086 ●

76

b)

6 5

c)

a)

3 7

c)

4 9

b)

5 6

d)

7 8

9 4

d)

Kalkulatu zatiki bat, jakinik haren alderantzizko zatikia

●●

085

7 3

8 7

3 dela. 7

7 3 Egin zatiketa hauek. a)

3 2 : 5 3

b)

7 9 : 4 2

c)

a)

9 10

c)

15 24

b)

14 36

d)

12 72

5 4 : 6 3

d)

4 8 : 9 3

d)

3 :6 4

Ebatzi. a) 4 :

2 5

b)

15 :5 4

c) 3 :

a)

20 = 10 2

c)

6 7

b)

15 3 = 20 4

d)

3 1 = 24 8

7 2

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 77

ERANTZUNAK

087

3

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA ZATIKIEN ERAGIKETA KONBINATUAK? Kalkulatu:

LEHENA.

3 7 ⎛⎜ 6 1 ⎞⎟ + ⋅ ⎜ : ⎟⎟ . 5 5 ⎝⎜ 5 7 ⎟⎠ Parentesi arteko eragiketak egin behar dira. 3 7 + 5 5

⎛6 1⎞ 3 7 42 ⋅ ⎜⎜ : ⎟⎟⎟ = + ⋅ ⎜⎝ 5 7 ⎟⎠ 5 5 5

Biderketak eta zatiketak ebatzi behar dira, ezkerretik eskuinera; eta azkenik, batuketak eta kenketak, ordena berean. 3 7 42 3 7 ⋅ 42 3 294 309 + ⋅ = + = + = 5 5 5 5 5⋅5 5 25 25

BIGARRENA.

088

Kalkulatu.

●●

a)

⎛7 5 2⎞ − ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⎜ ⎝6 9 3 ⎟⎠

g)

8 ⎛⎜ 6 3 ⎞⎟ : ⎜ : ⎟⎟ 3 ⎜⎝ 7 2 ⎟⎠

b)

⎛ 3 7 1⎞ − ⎜⎜ + ⎟⎟⎟ ⎜ ⎝ 10 5 3 ⎟⎠

h)

5 ⎛⎜ 15 3 ⎞⎟ :⎜ : ⎟⎟ 3 ⎜⎝ 2 4 ⎟⎠

⎛ 5 3⎞ 2 + ⎟⎟⎟ − c) ⎜⎜⎜ ⎟ ⎝ 12 8⎠ 3

⎛3 1 ⎞⎟ 7 ⎟⎟ : i) ⎜⎜⎜ + ⎝5 10 ⎟⎠ 2

⎛ 11 ⎞ 2 − 2⎟⎟⎟ + d) ⎜⎜⎜ ⎟⎠ ⎝ 4 5

⎛9 2⎞ 3 j) ⎜⎜⎜ ⋅ ⎟⎟⎟ : ⎝ 5 3 ⎟⎠ 5

e)

3 ⎛⎜ 5 7 ⎞⎟ ⋅ ⎜ : ⎟⎟ 4 ⎜⎝ 6 2 ⎟⎠

⎛9 3⎞ 5 k) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ : ⎝4 8 ⎟⎠ 4

f)

6 ⎛⎜ 4 7 ⎞⎟ : ⎜ ⋅ ⎟⎟ 7 ⎜⎝ 5 2 ⎟⎠

⎛7 5⎞ 3 l) ⎜⎜⎜ : ⎟⎟⎟ : ⎝ 8 2 ⎟⎠ 2

a) b) c) d) e) f)

5 3 10 − 9 1 − = = 9 6 18 18 7 19 42 − 19 23 − = = 5 30 30 30 19 2 19 − 16 3 1 − = = = 24 3 24 24 8 3 2 15 + 8 23 + = = 4 5 20 20 3 10 30 5 ⋅ = = 4 42 168 28 6 28 60 15 : = = 7 10 196 49

g) h) i) j) k) l)

8 12 : 3 21 5 60 : 3 6 7 7 : 10 2 18 3 : 15 5 15 5 : 8 4 14 3 : 40 2

= = = = = =

168 14 = 36 3 30 1 = 180 6 14 1 = 70 5 90 =2 45 60 3 = 40 2 28 7 = 120 30

77

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 78

Zatikiak 089 ●●●

Kalkulatu eta sinplifikatu emaitzak. ⎛ 25 7⎞ 4 18 − ⎟⎟⎟ − ⋅ a) 12 − ⎜⎜⎜ ⎟ ⎝ 6 6 ⎠ 18 4 ⎛3 2 4⎞ 9 4 + ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ −6 ⋅ ⎜ ⎝6 16 8 ⎟⎠ 5 8

⎛2 1⎞ 5 7 − f) 4 − ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ ⋅ ⎝7 5 ⎟⎠ 3 24

c)

7 17 7 2 ⋅ +6− + 5⋅ 17 57 4 8

g)

d)

2 32 4 5 ⋅ ⋅ + 45 ⋅ 32 4 2 7

h) 5 ⋅

⎛3 19 1⎞ 2 4 − ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ : ⎜ ⎝4 5 7 ⎟⎠ 6 9 4 ⎛⎜ 37 4⎞ ⋅⎜ − ⎟⎟⎟ + 7 ⎜ 9 ⎝ 47 8 ⎟⎠

18 72 − = 12 − 3 − 1 = 8 6 72

b)

2 0 9 24 2 −46 −23 + ⋅ − = −3 = = 24 5 8 16 16 16 8

c)

7 7 5 7 1 14 + 684 − 57 641 +6− + = +6− = = 4 2 114 114 57 4 57

d) 1 + e)

g)

h)

45 ⋅ 5 7 + 225 232 = = 7 7 7

5 2 3 50 + 24 − 15 + 240 299 + − +4= = 60 6 5 12 60

f) 4 −

●●

1 2 2 3 : + − +4 3 5 5 12

b)

a) 12 −

090

e)

17 5 7 17 7 672 − 136 − 49 487 ⋅ − = 4− − = = 24 35 3 21 24 168 168

19 17 1 4 19 17 4 19 153 19 51 − ⋅ : = − : = − = − = 5 28 3 9 5 84 9 5 336 5 112 2.128 − 255 1.873 = = 560 560 359 20 296 − 188 20 27 540 6.462 = ⋅ +7= ⋅ +7= +7= 47 9 376 9 94 846 846

1 1 Peruk egunaren telebista ikusten pasatu du; jolasean; 3 4 5 eta ikasten. 12 Zertan eman du denbora gehien? m.k.t. (3, 4, 12) = 12 1 4 1 3 5 = , = , 3 12 4 12 12 1 1 5 < < . Ikasten eman du denbora gehien. 4 3 12

78

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 79

ERANTZUNAK

091 ●●

3

3 1. A ikasgelan, matematika-azterketa ikasleen ek gainditu dute. 4 2 1. B, ikasgelan, berriz, ek. Zein ikasgelatan gainditu dute gutxiagok, 3 bakoitzean 24 ikasle badaude? 24ren

3 = 18 4

24ren

2 = 16 3

1. B ikasgelan gainditu dute gutxiagok. 2 Festa baterako edari hauek erosi behar ditugu: laranja-freskagarri, 3 2 ●● 1 limoi-freskagarri eta zuku. 5 15 Zen edari da ugariena?

092

m.k.t. (3, 5, 15) = 15 2 10 1 3 2 = , = , 3 15 5 15 15 2 1 2 < < . Laranja-freskagarria da ugariena. 15 5 3

093 ●●

1 7 Parkean zuhaitzak landatu dituzte: makalak dira, , altzifreak; 3 15 1 eta arteak. 5 Zein zuhaitz mota landatu da gehien? m.k.t. (3, 15, 5) = 15 1 5 7 1 3 = , , = 3 15 15 5 15 1 1 7 < < . Altzifreak landatu dituzte gehien. 5 3 15

094 ●●

Kultura-astean, DBHko 1. mailako ikasleek parte hartu dute antolatu diren 2 ekintzetan. Honela, hain zuzen: ek, kirol-lehiaketetan; 1 45 ek, jolas didaktikoetan; eta ek eskulanetan. 3 15 a) Zein jardueratan hartu dute parte ikasle gehienek? b) Zein jardueratan hartu dute parte ikasle gutxienek? m.k.t. (5, 3, 15) = 15 2 6 1 5 4 = , = , 5 15 3 15 15

4 1 2 < < 15 3 5

a) Kirol-lehiaketetan hartu dute parte ikasle gehienek. b) Eskulanetan hartu dute parte ikasle gutxienek.

79

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 80

Zatikiak 095 ●●

Maiak hiru seiren zatikiari sei izendatzailea duen zatiki bat batu dio, eta batura batekoa baino txikiagoa da. Zer zatikiren batuketa egin du Maiak? 3
6 + < =1 6 6 6

096

Maiak

1 2 edo zatikiak batu ahal izan ditu. 6 6

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA GUZTIZKOAREN ZATI BAT? Festa batean, koloretako bonbillen laurdenak bakarrik zebiltzan. Bonbillen zer zati erre zen? LEHENA.

Zenbaki bidez adierazi behar dira guztizkoa eta zatia. GUZTIZKOA: ZATIA:

BIGARRENA.

Bonbilla guztiak ⎯⎯⎯⎯ → 1

Zebiltzan bonbillak ⎯⎯⎯⎯→

1 4

Kenketa egin, beste zatia lortzeko. 1−

1 4 1 4 −1 3 = − = = 4 4 4 4 4

Bonbilla guztien hiru laurden erre ziren.

097 ●●

Ane horma margotzen ari da. Dagoeneko seirena margotu badu, zer zatiki geratzen zaio margotzeko? 1−

098 ●●

1 5 = . Bost seiren geratzen zaio margotzeko. 6 6

Saskibaloi-partida batean, Andonik puntuen seirenak lortu ditu; Iñigok, erdiak; eta Jonek, gainerako puntuak. a) Zer zatiki lortu du Jonek? b) Nork lortu ditu puntu gehien? ⎛1 1⎞ 2 1 = a) 1 − ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ = 1 − puntu lortu ditu Jonek. ⎝6 2 ⎟⎠ 3 3 b)

099 ●●

1 2 1 3 1 < = < = . Iñigok lortu ditu puntu gehien. 6 6 3 6 2

3 1 1 edariak dira; , patata frijituak; , fruitu lehorrak; eta 8 6 3 gainerakoak, ogitartekoak. Zer zatiki dira ogitartekoak? Askari batean,

⎛3 1 1⎞ 3 1 21 1 − ⎜⎜ + + ⎟⎟⎟ = 1 − = = dira ogitartekoak. ⎜⎝ 8 6 3 ⎟⎠ 24 8 24

80

908261 _ 0058-0085.qxd

11/9/07

12:13

Página 81

ERANTZUNAK

100 ●●

3

Iratiren herrian, lur-sailen hiru laurdenetan, garia dago ereinda; bostenetan, artoa; eta gainerakotan, ez dago ezer ereinda. a) Zer zatiki osatzen dute ereindako lur-sailek? b) Zer zatiki osatzen dute erein gabeko lur-sailek? ⎛3 19 1⎞ a) ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ = lur-sail ereinda daude. ⎟ ⎝4 20 5⎠ b) 1 −

101 ●●

19 1 = lur-sail erein gabe daude. 20 20

2 2 ekarri du, eta Albertok, . 9 3 a) Zenbat janari ekarri dute bien artean? b) Zenbat janari ekarri dute gainerakoek? Txango batean, Aitziberrek janariaren

c) Ekarritako janariaren

3 jan badituzte, zer zati geratu da sobera? 5

2 2 8 + = janari ekarri dute bien artean. 9 3 9 8 1 = b) 1 − janari ekarri dute gainerakoek. 9 9 3 2 = c) 1 − geratu da sobera. 5 5 a)

102 ●●

2 3 DBHko 1. mailako ikasgela batean, 25 ikasle daude: mutilak dira; eta , 5 5 neskak. Zenbat mutil eta neska daude? 2 3 = 10 25en = 15 5 5 10 mutil eta 15 neska daude.

25en

103 ●●

Peruk 63 puxtarri ditu. Hiru zazpiren berdeak dira; bi bederatziren, gorriak: eta gainerakoak, urdinak. Kolore bakoitzeko zenbat puxtarri ditu? 3 = 27 berde 7 63 − 27 − 14 = 22 urdin

63ren

104 ●●●

63ren

2 = 14 gorri 9

1 egin du; 3 2 bigarrenean, ; eta gainerakoa hirugarren egunerako utzi du. 5 Zenbat kilometro egin behar ditu egunero? Txirrindulari batek 105km egin behar ditu. Lehen egunean

1 2 = 35 km egin du; bigarrenean, de 105 = 42 km, 3 5 eta hirugarrenean, 105 − 35 − 42 = 28 km.

Lehen egunean 105en

81

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 82

Zatikiak 105 ●●

3 Koldok 96 posta-txarteleko bilduma du. Posta-txartelen paisaienak dira; 8 5 monumentuenak; eta gainerakoak, itsasontzienak. 12 a)Posta-txartelen zer zati da itsasontziena? b) Mota bakoitzeko zenbat posta-txartel ditu? ⎛3 5 ⎞⎟ 19 5 ⎟⎟ = 1 − = a) 1 − ⎜⎜⎜ + itsasontzienak dira. ⎟ ⎝8 12 ⎠ 24 24 3 = 36 paisaienak dira. 8 5 96ren = 40 monumentuenak dira. 12

b) 96ren

96 − (36 + 40) = 20 itsasontzienak.

106 ●●●

2 egin ditugu, eta arratsaldean, 5km. 3 Zenbat kilometro egin ditugu guztira? Gaur goizean, bidearen

Arratsaldean, bidearen 1 −

2 1 = = 5 km; 3 ⋅ 5 = 15. 3 3

Guztira 15 km egin ditugu.

107 ●●●

108 ●●●

1, 2, 3 eta 4 zenbakiak erabiliz, osatu baliokideak ez diren zatiki guztiak. 1 1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 , , , , , , , , , , 1 2 3 4 1 3 1 2 4 1 3

Aurkitu bi zatiki hauen artean dagoen zatiki bat:

3 5 eta . 8 12

m.k.t. (8, 12) = 24 3 18 19 20 5 = < < = 8 48 48 48 12

109 ●●●

Egin biderketa hau:. ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ ⋅ … ⋅ ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ ⎟⎠⎟ ⎟⎟⎠ ⎜⎝ ⎟ ⎟⎟⎠ ⎜⎝ ⎟ ⎜⎝ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ 2 3 4 98 ⎠ ⎝ 99 ⎟⎠ 3 4 5 99 100 1 ⋅ ⋅ ⋅…⋅ ⋅ = ⋅ 100 = 50 2 2 3 4 98 99

82

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 83

ERANTZUNAK

110 ●●●

2 46 Bi zatikiren artean zati berdinak egiten dira. Zatikiak eta badira 3 15 zer zatiki da A? 2 3

46 − 15 12 en 5 A= 111

3

A

46 15

2 46 − 10 36 12 = = = bi muturren arteko espazioa da. 3 15 15 5 4 12 4 8 2 = ⋅ = da eta laugarren zatiaren arteko espazioa. 6 5 6 5 3

2 8 34 + = 3 5 15

Zer zatiki da?

●●● Izendatzaileari eta zenbakitzaileari 12 batzen badiet, zatiki berria hasierakoaren bikoitza da

Zatikiak

Arrasto bat: zenbakitzailea 3 da.

3 da; x ezezaguna da. x

3 + 12 3 15 6 = 2⋅ → = → 15x = 6x + 72 → 9x = 72 → x = 8 x + 12 x x + 12 x 3 Zatikia hau da: . 8 112 ●●●

Pitagorasek lagunen artean banatu zuen triangelu-bilduma: • Arkimedesi triangeluen erdiak eman zizkion. • Talesi, laurdenak. • Euklidesi, bostenak. • Eta zuri, gainerako zazpiak. Zenbat triangelu zituen Pitagorasek? ⎛1 1 1⎞ 19 1 + ⎟⎟⎟ = 1 − = Guztizkoaren 1 − ⎜⎜⎜ + = 7 triangelu ⎝2 4 5 ⎟⎠ 20 20 Beraz, Pitagorasek 20 ⋅ 7 = 140 triangelu zituen.

EGUNEROKOAN 113 ●●●

Aurreko Gabonetan, Herriluze herriko biztanleak kexu ziren, kaleetako argiak zirela-eta. Horregatik, Kale Nagusiko zuhaitzetan koloretako argiak jartzea erabaki du alkateak.

83

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 84

Zatikiak Planoa ikusita, Herriluzeko alkateak udal-bando hau argitaratu du: 12 m

12 m

12 m

Kale Nagusia Luzera: 408 m 12 m

12 m

HERRILUZEko Udala

Udalbatza Gabonetako argiak Kale Nagusiko zuhaitz bakoitzean, koloretako 25 bonbilla jarriko direla jakinarazten da. Bonbilla horiek erostez gain, beste 100 bonbilla erosteko aurrekontua ere eskatuko da, erretako edo hondatutako bonbillak aldatzeko.

12 m

Herriluzeko burdindegian, eskaintza hau dago: GABON-ESKAINTZA Koloretako bonbillen kutxa bat: 345 bonbilla

Bonbilla hauek merkeagoak dira, ez baitute kalitate-kontrolik pasatu. Normalean, 15 bonbillatik bat erreta dago... Horregatik, komeni da bonbilla gehiago erostea.

40 €

Egin txosten bat eta adierazi zenbat bonbilla behar diren, zenbat kutxa erosi behar diren eta prezioa. 408 = 34 espazio daude zuhaitzen artean, kalearen alde banatan. 12 Beraz, 35 daude alde bakoitzean; guztira, 70 zuhaitz. Behar diren bonbillak: 70 ⋅ 25 + 100 = 1.850. Kutxa bakoitzean: ⎛ 1 1 ⎞⎟ 14 ⎟⎟ ⋅ 345 = = ⎜⎜1 − ⋅ 345 = 322 bonbilla daude, ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 15 15 15 behar bezala funtzionatzen dutenak.

1 − 345en

1.850 240 = 7+ . 8 kutxa bonbilla behar dira; 322 322 8 ⋅ 40 = 320 € balioko dute. 114 ●●●

Guagua auto-fabrikan, fabrikazio-makina batzuk jarri dituzte, autoak launaka esmaltatzeko. Makina horiek 22 kg pintura behar dituzte, lau auto esmaltatzeko. Kilo bat pinturak 11 € balio du. Fabrikak komertzializatu berri dituen autoen hiru modeloen prototipoak egin dituzte. Auto horiek esmaltatzeko behar den pintura kargatu dute makinan. Zenbat balio du pintura horrek? 3 33 = litro pintura behar dira; 4 2 33 363 ⋅ 11 = = 181, 50 €. prezioa: 2 2

22ren

84

908261 _ 0058-0085.qxd

27/7/07

09:22

Página 85

ERANTZUNAK

115 ●●●

3

Hona hemen sukaldeko errezetak egiteko erabiltzen diren zenbait baliokidetasun.

BALIOKIDETASUNAK SUKALDEAN 1 koilaratxokada

=

2 koilarakada =

1 koilarakada 3 1 basokada 8

5 basokada

= 1 litro

1 kilo

= 4 basokada

Urtebetetze-tarta bat egiteko, osagai hauek behar direla esan digute.

URTEBETETZE-TARTA 6 basokada irin 5 basokada azukre e 5 basokada eta erdi esn re Basokada-erdi liko 1 koilarakada legamia 5 koilaratxokada banilla

Idatzi errezeta kilogramotan eta litrotan. 1 basokada =

1 1 kg = 4 5

¬

1 1 1 1 1 1 ⋅ basokada = ⋅ ⋅ = kg = 2 8 2 8 4 64 1 1 1 1 = ⋅ ⋅ = 80 2 8 5

1 koilarakada =

¬

1 1 1 1 koilarakada = ⋅ = kg = 3 3 64 192 1 1 1 = ⋅ = 3 80 240

1 koilaratxokada =

¬

Errezeta kilogramotan eta litrotan: 6⋅

1 3 = kg irin 4 2

1 5 = kg azukre 4 4 ⎛ ⎞ ⎜⎜5 + 1 ⎟⎟ ⋅ 1 = 11 ⋅ 1 = 11 ⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 5 2 5 10

1 1 1 ⋅ = 2 5 10

1 kg legamia 64

5⋅

¬

¬ likore

¬ esne

5⋅

1 5 = kg banilla 192 192

85

908261 _ 0086-0105.qxd

4

30/7/07

16:15

Página 86

Zenbaki hamartarrak ZENBAKI HAMARTARRAK

HAMARTAR ZEHATZAK

HAMARTAR PERIODIKOAK

SOILAK

HAMARTAR EZ-ZEHATZAK ETA EZ-PERIODIKOAK

MISTOAK

ERAGIKETAK ZENBAKI HAMARTARREKIN

BATUKETA

KENKETA

BIDERKETA

BIRIBILTZEA ETA ETENDURA

86

ZATIKETA

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 87

Kontabilitate-problemak Neguko goiz hura bereziki argia zen, eta hori ez zen ohikoa Eskozian. Leihoaren ondoan, gizon heldu bat bere bizitza oroitzen ari zen buruz, eguzki-izpiek ferekatzen zuten artean. Bere burua egongelan ikusi zuen, unibertsitatera joan behar zuenean, eta aholkua gogoratu zuen. –Ohoratu zure familia eta zure izena, John Napier, izan bedi zuzentasunaren eta zintzotasunaren adierazgarri–. Hura izan zen amari entzundako azken esaldia eta hura ikusi zuen azken aldia. Taula batzuekin jolasean ari ziren bi haurrek eten zuten haren gogoeten haria: berak asmatutako taulak ziren eta biderketak egiteko erabiltzen zituzten. Haurrei begiratu ondoren, kontabilitate-liburuak berrikusteko eginkizunari ekin zion, egunero bezala. Han ageri ziren gastu guztiak. John Napierrek zabaldu zuen komaren erabilera hamartarren bereizle gisa.

Zenbat gastatu zuten Napierren etxean bi egun horietan?

Egun bakoitzean gastatutakoaren batuketa egingo dugu: 24,92 + 18,44 43,36

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 88

Zenbaki hamartarrak ARIKETAK 001

Idatzi zifraz. a) Hogeita hamazazpi milaren. b) Bederatzi bateko eta lau hamarren. c) Lau bateko eta hirurehun milaren. a) 0,037

002

b) 9,4

c) 4,300

Idatzi nola irakurtzen diren zenbaki hauek. a) 1,033

b) 0,09

c) 21,0021

a) Bateko bat eta hogeita hamahiru milaren. b) Bederatzi ehunen. c) Hogeita bat bateko eta hogeita bat hamar milaren. 003

Adierazi zati osoa eta zati hamartarra. a) 112,45

b) 0,25

c) 42,1

a) Zati osoa: 112 Zati hamartarra: 45 004

b) Zati osoa: 0 Zati hamartarra: 25

c) Zati osoa: 42 Zati hamartarra: 1

Deskonposatu unitatetan zenbaki hauek. a) 5,439

b) 17,903

c) 0,88

a) 5 bateko, 4 hamarren, 3 ehunen eta 9 milaren. b) 1 hamarreko, 7 bateko, 9 hamarren, 0 ehunen eta 3 milaren. c) 0 bateko, 8 hamarren eta 8 ehunen. 005

Idatzi dagokion baliokidetasuna, kasu bakoitzean. a) 34 ehunen =
milaren b) 9 bateko =
ehunen a) 34 ehunen = 340 milaren b) 9 bateko = 900 ehunen

006

Zenbaki batek 30 hamarren eta 95 ehunen ditu. Zer zenbaki da? 30 hamarren = 300 ehunen 300 ehunen + 95 ehunen = 395 ehunen = = 3 bateko 95 ehunen = 3,95

007

Adierazi zenbakizko zuzenean zenbaki hauek: 2,3; 2,34; 2,37; 2,32. 2,3

88

2,32

2,34

2,37

2,4

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 89

ERANTZUNAK

008

Idatzi kasu bakoitzean dagokion ikurra. a) 3,2


3,08

b) 0,086

a) 3,2 > 3,08 009

4


0,087

b) 0,086 < 0,087

Ordenatu handienetik txikienera: 8,5; 8,67; 8,07; 8,45. 8,67 > 8,5 > 8,45 > 8,07

010

Idatzi 7,25etik 7,26ra arteko lau zenbaki. Zenbakiak: 7,251; 7,2501; 7,25012; 7,25073.

011

Idatzi zer motatako zenbaki hamartarrak adierazten dituzten zatiki hauek. 7 20 100 b) 75 a)

10 13 4 d) 625 c)

5 16 25 f) 60 e)

a) 0,35. Hamartar zehatza. b) 1,333… Hamartar periodiko soila. c) 0,769230769230… Hamartar periodiko soila. d) 0,0064. Hamartar zehatza. e) 0,3125. Hamartar zehatza. f) 0,4166666666… Hamartar periodiko mistoa. 012

Idatzi 3,11223344… zenbaki hamartarraren hurrengo zifrak. Zer motatako zenbaki hamartarra da? Zenbaki hamartar ez-zehatz eta ez-periodikoa da: 3,112233445566778899…

013

Aurkitu zenbaki hamartar zehatzak diren hiru zatiki eta zenbaki hamartar periodikoak diren beste hiru. 1 3 4 ; ; . 5 4 10 1 4 2 ; . Hamartar periodikoak: ; 6 3 7 Hamartar zehatzak:

014

Idatzi zatiki gisa. a) 4,25

b) 0,375

425 17 = 100 4 375 3 = b) 0, 375 = 1.000 8 a) 4, 25 =

c) 9,6

d) 24,3

96 48 = 10 5 243 d) 24, 3 = 10 c) 9, 6 =

89

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 90

Zenbaki hamartarrak 015

Idatzi zenbaki hamartar gisa. a)

39 100

b)

3 6

a) 0,39 016

c)

b) 0,5

77 10

d)

c) 7,7

9 12 d) 0,75

Idatzi zatiki gisa. a) 3 bateko eta 8 ehunen. b) 12 bateko eta 14 milaren. a) 3, 08 =

017

b) 12, 014 =


10

= 39,1

a)

b)

391 10

b)


100

Biribildu 13,444 eta 13,447 ehunenetara. 13,447 → 13,45

Biribildu hamarrenetara. a) 5,93

b) 5,96

a) 5,9 020

021

= 15, 61

1.561 100

13,444 → 13,44 019

12.014 6.007 = 1.000 500

Osatu. a)

018

308 77 = 100 25

c) 0,964

b) 6




d) 0,934

c) 1

d) 0,9




Eten eta biribildu 13,4 eta 13,47 ehunenetara. Etendura: 13,44

Biribiltzea: 13,44

Etendura: 13,47

Biribiltzea: 13,48




Zenbat da 12,9 edozein unitate hamartarretara biribilduta? Biribiltzea 13 da beti, zifra hamartar guztiak 9 direlako.

022

Kalkulatu. a) 32,98 + 45,006 b) 7 + 8,003 c) 3,456 − 0,098

90

d) 0,56 − 0,249 e) 8,42 − 5,3 + 0,77 f) 4,001 + 2,11 − 0,723

a) 77,986

d) 0,311

b) 15,003

e) 3,12 + 0,77 = 3,89

c) 3,358

f) 6,111 − 0,723 = 5,388

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 91

ERANTZUNAK

023

4

Osatu. a) 34,56 +
= 89,7 b)
+ 0,32 = 2,345 a) 34,56 + 55,14 = 89,7

024

b) 2,025 + 0,32 = 2,345

Osatu. a) 435,07 −


= 83,99

b)

a) 435,07 − 351,08 = 83,99 025

13,45 + 9,95 30 − 0,9 25 − 0,99 23,045 + 0,055 a) → ii)

i) ii) iii) iv) b) → iv)

23,1 23,4 24,01 29,1 c) → iii)

d) → i)

Kalkulatu. a) 42,6 ⋅ 5,9 b) 24,8 ⋅ 0,05 a) 251,34

027

b) 2,075 − 0,39 = 1,685

Lotu eragiketa bakoitza dagokion emaitzarekin, eragiketarik egin gabe. a) b) c) d)

026


− 0,39 = 1,685

c) 765,3 ⋅ 3,8 d) 6,54 ⋅ 0,7 b) 1,24

c) 2.908,14

d) 4,578

Andonik 2,35 m-ko lau zatitan ebaki du soka bat. Zenbat metro zituen guztira sokak? 2,35 ⋅ 4 = 9,4 m zituen sokak.

028

Anek 3,8na kg laranja dituzten hiru poltsa ekarri ditu. Zenbat kilo laranja erosi ditu? 3 ⋅ 3,8 = 11,4 kg erosi ditu.

029

Jakinik 364 ⋅ 123 = 44.772 dela, adierazi biderketa hauen emaitzak. a) 36,4 ⋅ 12,3 b) 364 ⋅ 1,23

030

c) 0,364 ⋅ 12,3 d) 36,4 ⋅ 0,123

a) Bi zifra hamartar: 447,72.

c) Lau zifra hamartar: 4,4772.

b) Bi zifra hamartar: 447,72.

d) Lau zifra hamartar: 4,4772.

Kalkulatu. a) 42,6 ⋅ 10 b) 24,8 ⋅ 1.000 a) 426

c) 765,3 ⋅ 100 d) 6,543 ⋅ 10.000 b) 24.800

c) 76.530

d) 65.430

91

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 92

Zenbaki hamartarrak 031

Kalkulatu. a) 57,12 ⋅ 0,1 b) 123,77 ⋅ 0,001 a) 5,712

032

c) 649,2 ⋅ 0,01 d) 44,9 ⋅ 0,0001 b) 0,12377

c) 6,492

d) 0,00449

Ebatzi. a) (40,7 − 15,8) ⋅ 10 b) (33,85 + 7,3) ⋅ 0,1 a) (40,7 − 15,8) ⋅ 10 = 24,9 ⋅ 10 = 249 b) (33,85 + 7,3) ⋅ 0,1 = 41,15 ⋅ 0,1 = 4,115

033

Egin eragiketa hauek. a) b) c) d)

15,63 − 0,1 ⋅ (5,6 − 4,1) (23,92 + 8,75) ⋅ 100 − 69,7 (105,29 − 3,48) ⋅ 100 + 6,5 ⋅ 0,1 (10 ⋅ 1,3 − 2) ⋅ 0,1 + 6,3 a) 15,63 − 0,1 ⋅ 1,5 = 15,63 − 0,15 = 15,48 b) 32,67 ⋅ 100 − 69,7 = 3.197,3 c) 101,81 ⋅ 100 + 0,65 = 10.181 + 0,65 = 10.181,65 d) (13 − 2) ⋅ 0,1 + 6,3 = 1,1 + 6,3 = 7,4

034

Asmatu zer zenbakiz biderkatu behar den 30,721 zenbakia, zenbaki hauek lortzeko: a) 30,721 b) 0,30721 c) 307.210

035

d) 3,0721 e) 0,030721 f) 30.721

a) 1

c) 10.000

e) 0,001

b) 0,01

d) 0,1

f) 1.000

Kalkulatu. a) 42,6 : 3 b) 399,5 : 17 c) 23,4 : 9

036

d) 910 : 2,8 e) 850 : 0,34 f) 2.015 : 0,62

a) 14,2

c) 2,6

e) 2.500

b) 23,5

d) 325

f) 3.250

Saioak 3 € ordaindu ditu 1,7 kg sagar. Zenbat balio du kilo bat sagarrek? 3 : 1,7 = 1,76 € = 1,80 € balio du kilo batek.

92

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 93

ERANTZUNAK

037

4

200 g urdaiazpiko erosi eta 1,70 € ordaindu ditut. Aurreko astean, 8,35 € balio zuen kiloak. Gora egin al du prezioak aste honetan? 1,70 : 0,2 = 8,50 € balio du kiloak aste honetan; beraz, aurreko astean baino garestiagoa dago. 8,50 − 8,35 = 0,15 € igo da.

038

Jakinik 32,96 : 8 = 4,12, kalkulatu. a) 3,296 : 8

b) 329,6 : 8

a) 0,412 039

c) 16,32 : 0,34 d) 19,8 : 1,65 c) 1.632 : 34 = 48

b) 1.910 : 382 = 5

d) 1.980 : 165 = 12

Kalkulatu zatidura, hiru zifra hamartar dituela. b) 11 : 0,17

c) 9,75 : 1,4

d) 8,7 : 7,8

a) 170 : 94 = 1,808

c) 975 : 140 = 6,964

b) 1.100 : 17 = 64,705

d) 87 : 78 = 1,115

Ebatzi. c) 3,85 : 0,01 d) 46,97 : 10

e) 1,8 : 100 f) 61,2 : 0,1

a) 9,268

c) 385

e) 0,018

b) 0,0324

d) 4,697

f) 612

Osatu zatikizunak, koma ezabatu ondoren. a) b) c) d)

→
: 235 = 7 16,45 : 2,35 = 7 ⎯ 3,24 : 1,2 = 2,7 ⎯ →
: 12 = 2,7 19,8 : 1,65 = 12 →
: 165 = 12 0,9 : 0,45 = 2 ⎯⎯→
: 45 = 2 a) 1.645

043

d) 0,0412

a) 1.296 : 36 = 36

a) 9.268 : 1.000 b) 3,24 : 100

042

c) 412

Kalkulatu.

a) 17 : 9,4

041

d) 0,3296 : 8

b) 41,2

a) 129,6 : 3,6 b) 19,1 : 3,82

040

c) 3.296 : 8

b) 32,4

c) 1.980

d) 90

Biderkatu zenbait zenbaki hamartar 100ez. Zatitu zenbaki hamartar horiek 0,01ez. Emaitza berak lortu al dituzu? Zure ustez, gauza bera gertatzen al da beste zenbaki batzuekin? Adibidez: 45,6789 ⋅ 100 = 4.567,89 45,6789 : 0,01 = 4.567,89 Emaitza bera da. Beti gertatzen da, biderkatutako zenbakia zatitutakoaren alderantzizkoa bada (100en alderantzizkoa 1 : 100 = 0,01 da).

93

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 94

Zenbaki hamartarrak ARIKETAK 044

Deskonposatu unitatetan zenbaki hamartar hauek.

●

Zati osoa H 4 3 2

E 43,897 135,903 29,876

045 ●

1

B 3 5 9

h 8 9 8

Zati hamartarra e m 9 7 0 3 7 6

Idatzi nola irakurtzen diren zenbaki hauek. a) 6,125

b) 1,014

c) 34,046

d) 0,019

a) Sei bateko eta ehun eta hogeita bost milaren. b) Bateko bat eta hamalau milaren. c) Hogeita hamalau bateko eta berrogeita sei milaren. d) Hemeretzi milaren. 046 ●

047 ●

Osatu. a) b) c) d)

3 bateko
hamarren dira. 12 hamarreko
ehunen dira. 5 bateko
milaren dira. 8 hamarreko
hamar milaren dira. a) 30 hamarren

c) 5.000 milaren

b) 12.000 ehunen

d) 800.000 hamar milaren

Idatzi bakoitzari dagokion zenbaki hamartarra. a) 2 E 7 H 9 B 3 hm b) 1 H 2 B 4 m a) 279,0003

048 ●

●

94

c) 7,04

d) 809,0006

Idatzi zifraz. a) b) c) d)

Bederatzi hamarren. Lau bateko eta hamabost ehunen. Bederatzi bateko eta ehun eta zortzi milaren Bi bateko eta mila hamar milaren. a) 0,9

049

b) 12,004

c) 7 B 4 e d) 8 E 9 B 6 hm

b) 4,15

c) 9,108

d) 2,1000

Idatzi zenbaki hauek baino ehunen bat txikiagoak diren zenbakiak. a) 0,99 b) 1,4

c) 0,01 d) 5,98

e) 4,9 f) 1,099

a) 0,98

c) 0

e) 4,89

b) 1,39

d) 5,97

f) 1,089

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 95

ERANTZUNAK

050

4

Adierazi zenbakizko zuzenean zenbaki hauek 9,3; 12,12 eta 4,133.

● 9

12,1

9,3

12,12

4,13

051 ●

10

12,2

4,133

4,14

Zer zenbaki dago adierazita kasu bakoitzean? a) 3

4

9,71

9,72

b) a) 3,2

052 ●

053 ●

054 ●

055

b) 9,718

Idatzi < edo > ikurra, kasu bakoitzean dagokiona. a) 0,231 b) 0,710


0,235
0,83

c) 3,87 d) 5,12


3,85
3,12

a) 0,231 < 0,235

c) 3,87 > 3,85

b) 0,71 < 0,83

d) 5,12 > 3,12

Ordenatu, txikitik handira: 5,23; 5,203; 5,233; 5,2. 5,2 < 5,203 < 5,23 < 5,233 Ordenatu, handitik txikira: 9,05; 9,45; 9,53; 9,07. 9,53 > 9,45 > 9,07 > 9,05

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA BI ZENBAKI HAMARTARREN ARTEKO ZENBAKI HAMARTAR BAT? Kalkulatu 7,3tik 7,32ra arteko hiru zenbaki. LEHENA. Bi zenbaki hamartarrak zifra hamartarren kopuru bera dutela idatzi behar dira. Horretarako, beharrezkoa bada, zeroak gehitu behar dira. 7,3 → 7,30 7,32 → 7,32 BIGARRENA. Zenbaki txikienari (kasu honetan, 7,30i) 0 ez diren zifra hamartarrak gehitu behar zaizkio. 7,30 < 7,301 < 7,302 < 7,303 < … < 7,32

95

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 96

Zenbaki hamartarrak 056

Aurkitu zenbaki hauen arteko hiruna zenbaki:

●●

a) 1,2 eta 1,4 b) 2,14 eta 2,16 a) 1,21; 1,22; 1,3

c) 7,25 eta 7,26 d) 0,01 eta 0,001 c) 7,251; 7,252; 7,253

b) 2,141; 2,142; 2,15 057 ●

d) 0,0011; 0,003; 0,002

Idatzi zatiki laburtezin gisa zenbaki hamartar hauek. a) 5,67 b) 0,06

c) 6,333 d) 0,045

e) 23,9 f) 15,2

a)

567 100

c)

6.333 1.000

e)

239 10

b)

6 3 = 100 50

d)

45 9 = 1.000 200

f)

152 76 = 10 5

d)

11 10.000

058

Idatzi zatiki gisa. Sinplifikatu ahal den kasu guztietan.

●●

a) 7 hamarren. b) 13 ehunen. a)

059 ●●

c) 4 milaren. d) 11 hamar milaren.

7 10

b)

13 100

c)

Osatu. a) 9,6 =

96




b) 12,389 =

12.389

96 a) 9,6 = 10 b) 12,389 =

060 ●

061 ●

96

4 1 = 1.000 250

c) 1,23 =




123




d) 0,331 =

123 c) 1,23 = 100 12.389 1.000

d) 0,331 =

331 1.000

Sailkatu zenbaki hamartar hauek. a) 5,7777… b) 78,923333…

c) 132 d) 3,47

a) Periodiko soila.

c) Osoa, hamartar zehatza.

b) Periodiko mistoa.

d) Hamartar zehatza.

Adierazi zatiki hauek zenbaki hamartar gisa eta esan zer motatakoak diren. a)

28 4

b)

3 20

c)

2 9

d)

a) 7. Zehatza.

c) 0,2222… Periodiko soila.

b) 0,15. Zehatza.

d) 1,16666… Periodiko mistoa.

7 6

331




908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 97

ERANTZUNAK

062 ●

4

Idatzi. a) Bi zenbaki hamartar zehatz. b) Bi zenbaki hamartar periodikoki soil. c) Bi zenbaki hamartar periodiko misto. a) 2,3 eta 1,27 b) 3,4444444…; 12,36363636… c) 2,35555555…; 65,1254545454…

063 ●

Adierazi zein zenbaki diren periediko soilak eta zein periodiko mistoak, eta bakoitzaren zati osoa eta periodoa. a)

2 9

c)

26 180

e)

1 198

b)

8 11

d)

29 900

f)

100 36

a) 0,22222… Periodiko soila. Zati osoa 0 eta periodoa 2. b) 0,727272… Periodiko soila. Zati osoa 0 eta periodoa 72. c) 0,14444… Periodiko mistoa. Zati osoa 0 eta periodoa 4. d) 0,032222… Periodiko mistoa. Zati osoa 0 eta periodoa 2. e) 0,0050505… Periodiko mistoa. Zati osoa 0 eta periodoa 05. f) 2,77777… Periodiko soila. Zati osoa 2 eta periodoa 7. 064

Idatzi ezaugarri hauek dituzten zenbaki hamartarrak.

●●

a) b) c) d) e)

Zati Zati Zati Zati Zati

osoa osoa osoa osoa osoa

26 eta periodoa 5. 8 eta periodoa 96. 5 eta zati hamartarra 209. 0, zati hamartar ez-periodikoa 4 eta periodoa 387. 1, zati hamartar ez-periodikoa 0 eta periodoa 3.

a) 26,555555…

d) 0,4387387387…

b) 8,96969696…

e) 1,033333333…

c) 5,209 065

Adierazi zenbaki hamartar hauetatik zein diren ez-zehatzak eta ez-periodikoak.

●●

a) 5,232233222333… b) 5,2233344444… c) 5,2345345345…

d) 5,232425 e) 5,223223223… f) 0,10120123…

a) Ez-zehatza eta ez-periodikoa. d) Zehatza eta ez-periodikoa. b) Ez-zehatza eta ez-periodikoa. e) Periodiko soila. c) Periodiko mistoa.

f) Ez-zehatza eta ez-periodikoa.

97

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 98

Zenbaki hamartarrak 066 ●

Hurbildu zenbaki hamartar hauek hamarrenetara, biribiltze eta etendura bidez. a) 3,466 a) b) c) d)

067 ●

Biribiltzea: 3,5 Biribiltzea: 0,7 Biribiltzea: 54,6 Biribiltzea: 6,3

a) b) c) d)

●

c) 3,415

d) 7,823

Etendura: 2,47 Etendura: 3,46 Etendura: 3,41 Etendura: 7,82

Hurbildu zenbaki hamartar hauek batekoetara, biribiltze eta etendura bidez.

a) b) c) d)

●●

d) 6,319

Etendura: 3,4 Etendura: 0,6 Etendura: 54,6 Etendura: 6,3

b) 3,467

Biribiltzea: 2,48 Biribiltzea: 3,47 Biribiltzea: 3,42 Biribiltzea: 7,82

a) 23,456

069

c) 54,632

Hurbildu zenbaki hamartar hauek ehunenetara, biribiltze eta etendura bidez. a) 2,476

068

b) 0,679

b) 0,92

Biribiltzea: 23 Biribiltzea: 1 Biribiltzea: 13 Biribiltzea: 9

c) 12,97

d) 9,356

Etendura: 23 Etendura: 0 Etendura: 12 Etendura: 9

3,8
2 zenbaki hamartarrari ehunenen zifra ezabatu zaio, baina badakigu zenbaki hori hamarrenetara hurbilduta 3,9 dela. Zer zenbaki izan daitezke ehunenen zifra? Hurbilketa biribiltze bidezkoa bada, ehunenen zifrak 5 edo handiagoa izan behar du; eta etendura bidezkoa bada, ez du ebazpenik.

070 3,
56 zenbaki hamartarrari hamarrenen zifra ezabatu zaio, baina ●● badakigu zenbaki hori batekoetara hurbilduta 3 dela. Zer zenbaki izan daitezke hamarrenen zifra? Hurbilketa biribiltze bidezkoa bada, hamarrenen zifrak 5 baino txikiagoa izan behar du; eta etendura bidezkoa bada, edozein digitu izan daiteke. 071 ●●

2,068 zenbakia hamarrenetara hurbiltzen badugu, biribiltze eta etendura bidez, emaitza bera lortzen al da? Zergatik? Emaitza bera lortzen da, hamarrenen zifra 0 delako, 5 baino txikiagoa.

98

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 99

ERANTZUNAK

072 ●

Kalkulatu. a) 32,35 − 0,89 b) 81,002 − 45,09 a) 31,46

073 ●

4

c) 87,65 − 9,47 d) 4 − 2,956 b) 35,912

c) 78,18

d) 1,044

Egin eragiketak. a) 4,53 + 0,089 + 3,4 b) 7,8 + 0,067 + 2,09 + 0,7 a) 8,019

074

Osatu.

●●

a) 3,313 +
= 6,348 b)
+ 1,47 = 5,8921

c) 123 + 23,09 − 45,7 − 0,28 d) 78,098 − 43,68 − 0,008

b) 10,657

c) 100,11

d) 34,41

c) 4,56 −
= 0,936 d)
− 2,431 = 1,003

a) 3,313 + 3,035 = 6,348

c) 4,56 − 3,624 = 0,936

b) 4,4221 + 1,47 = 5,8921

d) 3,434 − 2,431 = 1,003

075

Ebatzi.

●●

a) b) c) d) e)

Batu 4 ehunen 4,157 zenbakiari. Kendu 3 hamarren 1,892 zenbakiari. Batu 7 milaren 5,794 zenbakiari. Kendu 23 ehunen 3,299 zenbakiari. Batu 3 milaren 1,777 zenbakiari. a) 4,157 + 0,04 = 4,197

d) 3,299 − 0,23 = 3,069

b) 1,892 − 0,3 = 1,592

e) 1,777 + 0,003 = 1,780

c) 5,794 + 0,007 = 5,801 076 ●

Kalkulatu. a) b) c) d)

3,45 ⋅ 0,018 8,956 ⋅ 14 3,4 ⋅ 0,92 123,4 ⋅ 76

e) f) g) h)

0,35 ⋅ 10 1,4 ⋅ 100 0,045 ⋅ 1.000 0,65 ⋅ 10.000

a) 0,0621

g) 45

b) 125,384

h) 6.500

c) 3,128

i) 0,378

d) 9.378,4

j) 7,942

e) 3,5

k) 0,02485

f) 140

l) 0,0056

i) j) k) l)

3,78 ⋅ 0,1 794,2 ⋅ 0,01 24,85 ⋅ 0,001 56 ⋅ 0,0001

99

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 100

Zenbaki hamartarrak 077 ●

078

Ebatzi. a) 5 : 0,06

e) 7,24 : 1,1

i) 1.296 : 10.000

b) 8 : 1,125

f) 8,37 : 4,203

j) 55,2 : 0,1

c) 17,93 : 7

g) 30 : 10

k) 202,2 : 0,01

d) 7 : 25

h) 636 : 100

l) 138,24 : 0,0001

a) 83,3333333…

e) 6,581818181…

i) 0,1296

b) 7,1111111…

f) 1,99143468950

j) 552

c) 2,5614285714285714…

g) 3

k) 20.220

d) 0,28

h) 6,36

l) 1.382.400

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA ZENBAKI HAMARTARREN ERAGIKETA KONBINATUAK Kalkulatu 4,56 : 2 + 3 ⋅ (7,92 − 5,65). LEHENA.

Parentesi arteko eragiketak egin behar dira. 4,56 : 2 + 3 ⋅ (7,92 − 5,65) = 4,56 : 2 + 3 ⋅ 2,27

Biderketak eta zatiketak ebatzi behar dira, ezkerretik eskuinera; eta azkenik, batuketak eta kenketak, ordena berean.

BIGARRENA.

4,56 : 2 + 3 ⋅ 2,27 = 2,28 + 6,81 = 9,09

079 ●●

Errespetatu eragiketen hierarkia eta egin eragiketak. a) 134,5 : 2,5 + 12,125 b) 2,75 ⋅ (4,605 − 3,5) + 1,37 c) 5,7 + 6,225 : 7,5 − 0,39 d) (4,987 + 0,875) : 1,5 + 3,094 e) 12,3 : 8,2 ⋅ 2,5 − 3,29 f) 9,6 ⋅ 2,4 − 8,5 ⋅ 1,27 g) 0,05 + (11,3 − 3,2) : 0,09 h) 44,4 : 0,002 ⋅ 1,7 − 2,9 ⋅ 3,1 a) 53,8 + 12,125 = 65,925 b) 2,75 ⋅ 1,105 + 1,37 = 3,03875 + 1,37 = 4,40875 c) 5,7 + 0,83 − 0,39 = 6,53 − 0,39 = 6,14 d) 5,862 : 1,5 + 3,094 = 3,908 + 3,094 = 7,002 e) 1,5 ⋅ 2,5 − 3,29 = 3,75 − 3,29 = 0,46 f) 23,04 − 10,795 = 12,245 g) 0,05 + 8,1 : 0,09 = 0,05 + 90 = 90,05 h) 22.200 ⋅ 1,7 − 8,99 = 37.740 − 8,99 = 37.731,01

100

908261 _ 0086-0105.qxd

11/9/07

11:06

Página 101

ERANTZUNAK

080 ●

081 ●●

4

Herri batean, lau autobus-linea daude. Erreparatu taulari eta begiratu zer distantzia egiten duen bakoitzak. Zeinek egiten du distantzia luzeena? Eta motzena? 1. linea

2. linea

3. linea

4. linea

8,409 km

8,5 km

8,45 km

9,05 km

Distantzia luzeena → 4. linea Distantzia motzena → 1. linea

Bi zenbaki hamartarren batura 52,63 da. Jakinik batugai bat 28,557 dela, kalkulatu beste batugaia. 52,63 − 28,557 = 24,073

082 ●●

Egun batean, goizeko 8etan, tenperatura 10,5 °C-koa zen, eta eguerdiko 12etan, 17,3 °C-koa. Zenbat gradurena izan zen aldea? 17,3 − 10,5 = 6,8 gradurena.

083 ●●

Hiru lagunen garaieren batura 5 m da. Mirenen garaiera 1,61 m-koa da, eta Koldorena, 1,67 m-koa. Kalkulatu Albertoren garaiera. 5 − (1,61 + 1,67) = 5 − 3,28 = 1,72 m.

084 ●●

Igogailu batean, 12,745na kg-ko 5 poltsa sartu dituzte. 65 kg eta 85,7 kg-ko pisua duten bi pertsona sartu dira. Igogailuaren gehieneko karga 350 kg-koa da. Igo al daiteke 86,7 kg-ko pisua duen beste pertsona bat? 5 ⋅ 12,745 + 65 + 85,7 = 63,725 + 65 + 85,7 = 214,425 kg-ko zama dago, azken pertsona sartu aurretik. 214,425 + 86,7 = 301,125 kg-ko (< 350 kg) pisua guztien artean. Beraz, igo daiteke 86,7 kg-ko pisua duen beste pertsona bat.

085 ●●

Josu erosketak egitera joan da, 1,5 kg-ko pisua duen otarre bat hartuta. 3,4na kg-ko bi poltsa laranja erosi ditu. Zenbat kilogramoko pisua du guztira erosketak? 1,5 + 2 ⋅ 3,4 = 1,5 + 6,8 = 8,3 kg-ko pisua du.

086 ●●

Freskagarri-fabrika batean, 4.138,2 litro laranja-zuku prestatu eta 0,33 litroko pototan ontziratzen dituzte. Zenbat poto beharko dituzte? 4.138,2 : 0,33 = 413.820 : 33 = 12.540 poto.

087 ●●

Anderrek 3,22 m-ko listoi bat 0,23 m-ko zatitan ebaki du. Zenbat zati lortu ditu? 3,22 : 0,23 = 322 : 23 = 14 zati lortu ditu.

088 ●●

Loreak 43,5 kg pasta egin ditu. 0,250 kg-ko kutxatan paketatu nahi ditu. Zenbat kutxa beharko ditu? 43,5 : 0,250 = 4.350 : 25 = 174 kutxa beharko ditu.

101

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 102

Zenbaki hamartarrak 089 ●●

7,2 km luze den ibai batean «Arrantza-barrutia» dioten txartelak jarri dituzte 0,16 km-tik behin. Zenbat txartel jarri dituzte? 7,2 : 0,16 = 720 : 16 = 45 45 txartel jarri dituzte.

090

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DIRA ZENBAKI HAMARTARREN ZATIKIAK? Jatorri askotako 24,88 kg kafe-nahaste daukagu. Nahastearen hiru laurden Afrikakoak badira, Afrikako zenbat kafe daukagu? LEHENA.

Zatikiaren zenbakitzaileaz biderkatu behar da, 3 ⋅ 24,88 = 74,64.

Emaitza izendatzaileaz zatitu behar da, 74,64 : 4 = 18,66. Nahastean, 18,66 kg Afrikako kafe dauzkagu. BIGARRENA.

091 ●●

500 g-ko poto bat marmeladaren pisuaren erdia frutarena da. a) Zer pisu du frutak kilogramotan? b) Zenbat poto behar dira frutaren guztizko pisua 6,75 kg-koa izan dadin? a) 500en

1 hau da: 500 ⋅ 0,5 = 250 g fruta = 0,25 kg 2

b) 6,75 : 0,25 = 675 : 25 = 27 poto behar dira.

092 ●●

Alkandora batek 20,95 € balio du. Merkealdia dela-eta bosteneko beherapena egiten dute, eta esku-dirutan ordaintzeagatik, hogeirenekoa. Zer prezio du azkenean? Merkealdiagatik:

1 ⋅ 20,95 = 0,2 ⋅ 20,95 = 4,19 €. 5

Esku-dirutan ordaintzeagatik:

1 · 20,95 = 0,05 · 20,95 = 1,0475 €. 20

20,95 − 4,19 − 1,0475 = 15,7125. Beraz, azken prezioa 15,71 €.

093 ●●

Miren bankura joan da, 45,50 € dolarretan aldatzera. Euroko 0,96 dolar eman dizkiote. Zenbat dolar eman dizkiote? 45,50 ⋅ 0,96 = 43,68 dolar

094 ●●●

Elenek 45 litro gasolina bota dizkio autoari; eta Jonek, Elenek baino 9,8 litro gutxiago. Litro bat gasolinak 0,68 € balio badu, zenbat ordaindu behar du Jonek? (45 − 9,8) ⋅ 0,68 = 35,2 ⋅ 0,68 = 23,936. Jonek 23,94 € ordaindu behar du.

102

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 103

ERANTZUNAK

095 ●●●

4

Albertok 3 poto tomate eta 1,05 € balio duen freskagarri bat erosi ditu. 5 € eman ditu ordaintzeko, eta 1,40 € itzuli dizkiote. Zenbat balio du poto bat tomatek? Guztira ordaindu duena: 5 − 1,40 = 3,60 €. Guztira ordaindutakoa ken freskagarria: 3,60 − 1,05 = 2,55 €. 2,55 : 3 = 0,85 € balio du poto bakoitzak.

096

Osatu taula.

●●●

5,04

−

×

= 8,4

097 ●●

=

2,7

+

: 0,6

2,34

+

2,1

=

1,26

= −

=

4,44

=

3,96

3,1 eta 3,2 zenbakiak aintzat hartuz, idatz al daitezke bien arteko 100 zenbaki? Eta 1.000 zenbaki? Eta 1.000.000? Nola egingo zenuke? Bi zenbaki hamartarren artean infinitu zenbaki daude. 3,1 eta 3,2ren arteko 100 zenbaki lortzeko, tartearen zabalera (3,2 − 3,1 = 0,1) zati 100 (0,1 : 100 = 0,001) egin behar da. Lortutako zenbakia (0,001) tartearen beheko muturrari batu behar zaio, behin eta berriz; kasu honetan, 3,1i. 3,1 + 0,001 = 3,101; 3,101 + 0,001 = 3,102; 3,102 + 0,001 = 3,103… Antzeko prozesuari jarraitu behar zaio emandako bi zenbaki hamartarren arteko 1.000 edo 1.000.000 zenbaki lortzeko.

098 ●●●

Kalkulagaiuan, ezin baduzu ⋅ tekla erabili zenbaki hamartarrak sartzeko, zer egin beharko duzu zenbaki hauek pantailan agertzeko? a) 0,9

b) 2,02

c) 0,007

Hau idatzi behar da kalkulagailuan: 9 202 a) b) 10 100 099 ●●●

c)

7 1.000

Ezin baduzu 0 zenbakiaren tekla erabili, zer egin dezakezu pantailan 0,1; 1,04; 100,3 eta 30,07 zenbakiak agertzeko? 0,1 → 3,2 − 3,1 1,04 →

104 52 26 = = 100 50 25

100,3 → 37,14 + 63,16 30,07 → 18,42 + 11,65

103

908261 _ 0086-0105.qxd

30/7/07

16:15

Página 104

Zenbaki hamartarrak 100 ●●●

Erreparatu zenbaki hamartar hauei. Adierazi nola eratzen diren eta kalkulatu 100. lekuko zifra. a) 2,34343434… b) 5,2034034034034…

c) 0,1234567891011121314…

a) Zati osoa 2 da eta periodoa 34. Periodoa 2 zifrakoa denez, 100. lekuan dagoen zifra periodoaren bigarren zifra da; izan ere, 100 : 2 zatiketaren hondarra 0 da. Zifra 4 da. b) Zati osoa 5 da, zati ez-periodikoa 2 eta periodoa 034. Zati hamartarreko lehenengo zifra ez denez periodokoa, 99 zifra bete behar dira periodoarekin. Periodoa 3 zifrakoa denez eta 99 : 3 zatiketaren emaitza 0 denez, 100. lekuan dagoen zifra periodoaren azken zifra da. Zifra 4 da. c) Zati osoa 0 da eta zati hamartarra zenbaki arrunten segida da (1, 2, 3, 4, 5…). Lehenengo 9 hamartarrak lehenengo 9 zenbakiak dira, eta ondorengoak, 2 zifrako zenbakiak. (100 − 9 ) : 2 zatiketaren zatidura 45 eta hondarra 1 direnez, 100. zifra hamartarrera arte 2 zifrako lehenengo 45 zenbaki arruntak egongo dira (10etik 54ra arte); eta 46. lekuan, 2 zifrako zenbakiaren hamarrekoen zifra egongo da, 55 zenbakiarena alegia. Beraz, 100. lekuko zifra 5 da.

EGUNEROKOAN 101 ●●●

ARGIBILI ASEGURUAK enpresako zuzendariak Paris, Berlin, Londres eta Pragako sukurtsalak bisitatu behar ditu.

Aldaketa-taulan, datu hauek ageri dira.

▼

Gastuen aurreikuspena aintzat hartuz, hauek beharko dituela erabaki du:

▼

a) Zenbat euro behar ditu guztira? b) Azken bidaian, 1.000 libera eraman eta soilik 641,50 gastatu zituen; eta sobera geratu zitzaion dirua Londreseko banku batean aldatu zuen, baldintza hauetan:

▼

Europan zehar bidaiatzen duen aldiro arazo bera izaten du: euroak eraman behar ditu Frantziako eta Alemaniako dirua delako; baina Ingalaterrarako libera esterlinak behar ditu, eta Txekiar Errepublikako, txekiar koroak. 10 libera esterlina 1 euro ..............

14,52 euro 28,73 koroa

AURREIKUSPENA 650 libera esterlina 18.100 txekiar koroa 2.000 euro 1 libera ... 40,79 koroa

Zenbat koroa eman zizkioten? Zenbat koroa emango zizkioten Euskadiko banku batean, diru kopuru beraren truk? 650 ⋅ 14,52 = 943, 80 10 18.100 txekiar koroa = 18.100 : 28,73 = 630 €

a) 650 libera esterlina =

2.000 + 943,80 + 630 = 3.573,80 € behar ditu guztira.

104

908261 _ 0086-0105.qxd

11/9/07

11:06

Página 105

ERANTZUNAK

4

b) 1.000 − 641,50 = 358,50 libera geratu zitzaizkion sobera. 358,50 ⋅ 40,79 = 14.623,215 koroa Londreseko banku batean. 358,50 ⋅ 14,52 ⋅ 28,73 = 14.955,17166 koroa Euskadiko banku batean. 10 102 ●●●

Enekok etxetik 18 km-ra egiten du lan. Normalean, autoz joaten da, baina garraio publikoa erabiliz gero zenbat diru aurreztuko lukeen jakin nahi du. Horretarako, datu hauek bildu ditu.

Autoak 8 litro behar ditu 100 km-ko Gasolina litroaren prezioa: 1,10 € Hileko abonua: 41,20 €

Eneko astelehenetik ostiralera joaten da lanera, eta egunean bi bidaia egiten ditu. Hil batek batez beste 21 lanegun dituela aintzat hartuz, kalkulatu zenbat diru aurreztuko lukeen lanera joateko garraio publikoa erabiliko balu. Bi bidaia egunean, 2 ⋅ 18 = 36 km egunean: 36 ⋅ 21 = 756 km hilean 1 km egiteko, autoak 0,08 ¬ behar ditu: 756 ⋅ 0,08 = 60,48 ¬ 60,48 ⋅ 1,10 = 66,528 → 66,53 € hilean Hileko abonuak 41,20 € balio du: 66,53 − 41,20 = 25,33 € aurreztuko luke hilean, garraio publikoa erabilita. 103 ●●●

Supermerkatu bateko arduraduna bankura joan da 300 € txanponetan aldatzera. Ondoren, txanponak supermerkatuko kutxetan banatu behar ditu. Beraz, garrantzitsua da mota bakoitzeko txanponen kopurua ia-ia bera izatea.

Mesedez, 300 € aldatu nahi ditut 1, 2, 5, 10, 20 eta 50 zentimoko eta 1 eta 2 €-ko txanponetan. Mota bakoitzeko txanponen kopurua bera izatea nahi dut, eta 300 €-tik sobera geratzen denaren ordez emadazu ahalik eta txanpon kopuru txikiena.

Mota bakoitzeko zenbat txanpon emango dizkiote? Mota bakoitzeko txanponen balioa: 0,01 + 0,02 + 0,5 + 0,1 + 0,2 + 0,5 + 1 + 2 = 3,88 € 300 : 3,88 = 77 txanpon mota bakoitzetik 300 − 77 ⋅ 3,88 = 1,24 € geratuko zaio sobera; honela aldatuko du: 1 €-ko txanpon bat, 20 zentimoko bat eta 2 zentimoko 2.

105

908261 _ 0106-0131.qxd

5

30/7/07

16:19

Página 106

Zenbaki osoak ZENBAKI OSOAK

ADIERAZTEA

BALIO ABSOLUTUA

AURKAKO ZENBAKIA

ZENBAKIAK ALDERATZEA

ERAGIKETAK ZENBAKI OSOEKIN

BATUKETA

KENKETA

BIDERKETA

ERAGIKETA KONBINATUAK

ERAGIKETEN HIERARKIA

106

ZATIKETA

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 107

Zenbaki gorriak Fu Chang ziur zegoen idazteko, literaturarako, poesiarako eta matematikarako zuen balioa aintzat hartuko zuela batzordeak. Tang dinastian (618-907) funtzionario izatea oso zaila zen, baina merezi zuen, ekonomikoki eta sozialki mesede egingo baitzion. –Oniritzia ematen dutenean –pentsatu zuen Fuk–, funtzionario inperiala izango naiz. Mandaringaiak zeta brodatuzko arropa ederrez jantzita ikusten zuen bere burua, fin-fin apaindutako palankin batean morroiek garraiatzen zutela. Bi herensugeen arteko eskaileran barrena, epaimahaia zegoen barrutira iritsi zen, emaitzen berri jakiteko. Jakintsuetan zaharrenak esan zion: –Ditugun zorrak eta kantitateak bereizteko kolore gorria eta beltza erabiltzeko modua berrikuntza bat da, eta sari gisa postua merezi duzu. Gaur egun, inor ez da gogoratzen Fu Changez; hala ere, bankuko zorrei zenbaki gorriak esaten zaie, zenbaki negatiboak esan ordez. 100 €-ko zorra daukazu, eta ondoren, 110 € sartu dituzu. Nola adieraziko zenituzke egoera horiek?

Zorra

= -100 €

Sartu

= +110 €

Saldoa = +10 €

107

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 108

Zenbaki osoak ARIKETAK 001

Adierazi zenbaki bidez. a) Lau euro zor dizkiot lagun bati. b) Zero azpiko bost graduan gaude. c) Ez zait ezer gertatzen. a) −4 €

002

b) −5 °C

c) 0

Idatzi falta diren zenbakiak. a) −9




−7




−5





−3





0




+2

b)

−2









0

+6

a) −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

0

b) −3 −2 −1

003

0

+1 +2 +3 +4 +5 +6

Zenbat zenbaki oso daude − 4tik +3ra bitartean? Idatzi. 6 zenbaki oso daude: −3, −2, −1, 0, +1, +2.

004

Zenbat zenbaki oso daude −12tik −8ra bitartean? 3 zenbaki oso daude: −11, −10, −9.

005

Zenbaki oso hauetatik: −7, + 8, +3, −10, + 6, + 4, −2 a) Zein dago 0tik urrunen? b) Eta hurbilen? a) −10 dago 0tik urrunen. b) −2 dago hurbilen.

006

007

Kalkulatu. a) ⏐+7⏐

b) ⏐−1⏐

a) 7

b) 1

c) 22

d) ⏐− 41⏐ d) 41

Idatzi bakoitzaren aurkakoa. a) +3 a) −3

108

c) ⏐+22⏐

b) −11 b) +11

c) −9 c) +9

d) +24 d) −24

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 109

ERANTZUNAK

008

5

Egiaztatu grafikoki − 8 eta + 8 aurkako zenbaki osoak direla. Biak zerotik distantzia berera daudela hautematen da.

−8

009

+8

0

Zenbaki baten aurkakoa 5 da. Zein da zenbaki hori? −5 da.

010

Bi zenbakitatik 0ra arteko distantzia 13 batekokoa da. Kalkulatu zenbakiak. Zenbakiak +13 eta −13 dira.

011

Zein da 0ren balio absolutua? Eta aurkakoa? 0ren balio absolutua 0 da, eta aurkakoa, zenbakia bera.

012

Zein da zenbaki oso baten aurkakoaren aurkakoa? Zenbaki oso baten aurkakoaren aurkakoa zenbakia bera da.

013

Egiaztatu grafikoki. a) − 4 < −1

b) +9 > +4 > +1 F

F

a) −4

−1

0

014

F

F

0

F

b) +1

+4

+9

Ordenatu, txikienetik handienera. − 6, +5, +7, 0, −11, −4, +9, +13, −16 −16 < −11 < −6 < −4 < 0 < +5 < +7 < +9 < +13

015

Ordenatu, handienetik txikienera. −11, +11, −3, +9, −2, +7, +17, 0, −1 +17 > +11 > +9 > +7 > 0 > −1 > −2 > −3 > −11

016

Idatzi desberdintzak betetzen dituzten zenbakiak. a)
< − 4 <
b) +13 >
> +6 >


c) −7 <
<
<
< 3 d) 3 <
<
<
< 7

a) −7 < −4 < 0

c) −7 < −5 < −3 < 1 < 3

b) +13 > +10 > +6 > −1

d) 3 < 4 < 5 < 6 < 7

109

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 110

Zenbaki osoak 017

Ordenatu, txikienetik handienera. +3, ⏐−6⏐, ⏐+2⏐, −9, −5, ⏐−1⏐, +4 −9 < −5 < ⏐−1⏐ < ⏐+2⏐ < +3 < +4 < ⏐−6⏐

018

Kalkulatu. a) (+4) + (+12) b) (+4) + (−12)

019

a) 4 + 12 = 16

c) −4 −12 = −16

b) 4 − 12 = −8

d) −4 + 12 = 8

Ebatzi. a) b) c) d)

020

c) (−4) + (−12) d) (−4) + (+12)

(+5) − (−6) (+5) − (+6) (−5) − (−6) (−5) − (+6)

e) f) g) h)

a) 5 + 6 = 11

e) −3 − 9 = −12

b) 5 − 6 = −1

f) −3 + 9 = 6

c) −5 + 6 = 1

g) 3 − 9 = −6

d) −5 − 6 = −11

h) 3 + 9 = 12

Kasu bakoitzean, adierazi zer zeinu izango duen emaitzak, eragiketarik egin gabe. a) (+7) + (+5) b) (−7) + (+5) a) Positiboa.

021

(−3) − (+9) (−3) − (−9) (+3) − (+9) (+3) − (−9)

c) (−7) + (−5) d) (+7) + (−5) b) Negatiboa.

c) Negatiboa.

d) Positiboa.

Zenbaki oso baten eta aurkakoaren batuketa eginez, zer emaitza lortzen da? Eta kenketa eginez? Idatzi kasu bakoitzaren adibide bat. Zenbaki baten eta aurkakoaren batura zero da: −3 + (+3) = 0. Zenbaki baten eta aurkakoaren kendura zenbakiaren bikoitza da: (+3) − (−3) = 3 + 3 = 6 (−3) − (+3) = −3 − 3 = −6

022

Idatzi modu laburtuan eta kalkulatu. a) b) c) d) e)

(−5) + (+8) − (−13) − (+9) (+23) − (−14) − (+35) + (−53) (−1) + (+5) + (+2) − (−12) (+3) − (+11) + (−6) + (+12) (−22) − (+11) − (−4) − (−1) a) −5 + 8 + 13 − 9 = 7

d) 3 − 11− 6 + 12 = −2

b) 23 + 14 − 35 − 53 = −51

e) −22 − 11 + 4 + 1 = −27

c) −1 + 5 + 2 + 12 = 18

110

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 111

ERANTZUNAK

023

Kalkulatu. a) −5 − 8 − 4 + 15 − 18

b) 10 + 12 − 11 + 9

a) −35 + 15 = −20 024

5

b) 31 − 11 = 20

Deskribatu zenbaki osoen batuketa eta kenketa konbinatuak erabiltzen diren benetako egoera bat. Banku-kontu bateko mugimenduetan, diru-sarrerak adierazteko zenbaki oso positiboak erabiltzen dira, eta gastuak adierazteko, zenbaki oso negatiboak.

025

Kalkulatu. a) b) c) d) e)

8 + (4 − 7) −4 − (5 − 7) + (4 + 5) −(−1 − 2 − 3) − (5 − 5 + 4 + 6 + 8) 3 + (−1 + 2 − 9) − (5 − 5) − 4 + 5 (−1 − 9) − (5 − 4 + 6 + 8) + (8 − 7) a) 8 + (−3) = 5 b) −4 − (−2) + 9 = 7 c) −(−6) − (+18) = 6 − 18 = −12 d) 3 + (−8) − 0 − 4 + 5 = 3 − 8 − 4 + 5 = −4 e) −10 −15 + 1 = −25 + 1 = −24

026

Ebatzi. a) (+3) − [(−9) − (+8) − (+7) + (−4)] + (−7) b) (−5) − (+8) − [(+7) − (+4) + (−2)] − (+3) a) 3 − (−9 − 8 − 7 − 4) − 7 = 3 + 9 + 8 + 7 + 4 − 7 = 24 b) −5 − 8 − (7 − 4 − 2) − 3 = −5 − 8 − 7 + 4 + 2 − 3 = −17

027

Kalkulatu: −[−(−6 + 4)]. −[−(−2)] = −(+2) = −2

028

Kalkulatu. a) (+17) ⋅ (+5) b) (+21) ⋅ (−8) a) +85

029

c) (−13) ⋅ (+9) d) (−14) ⋅ (−7) b) −168

c) −117

d) +98

Ebatzi, banatze-propietatea erabiliz. a) −3 ⋅ [7 + (−2)]

b) −4 ⋅ [(−9) − 3)]

a) −3 ⋅ 7 + (−3) ⋅ (−2) = −21 + (+6) = −15 b) −4 ⋅ (−9) − (−4) ⋅ 3 = 36 − (−12) = 36 + 12 = 48

111

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 112

Zenbaki osoak 030

Osatu. 7 ⋅ (
+ 3) = 7 ⋅ (−2) +
⋅ 3 7 ⋅ (−2 + 3) = 7 ⋅ (−2) + 7 ⋅ 3

031

Osatu. a) (+24) ⋅ (
) = −48 b) (−16) ⋅ (
) = −64

032

c) (
) ⋅ (−25) = +75 d) (
) ⋅ (+11) = +55

a) (+24) ⋅ (−2) = −48

c) (−3) ⋅ (−25) = +75

b) (−16) ⋅ (+4) = −64

d) (+5) ⋅ (+11) = +55

Ebatzi zatiketa hauek. a) (+35) : (+5) b) (+24) : (−6) a) +7

033

c) (−45) : (+9) d) (−42) : (−7) b) −4

c) −5

d) +6

Kalkulatu: [(−4) ⋅ (+5) + (−6) ⋅ (−4)] : (6 − 4). [(−20) + (+24)] : 2 = (−20 + 24) : 2 = 4 : 2 = 2

034

Kalkulatu: [(−4) ⋅ (−3)] − [(+10) : (−2)]. 12 − (−5) = 17

035

Osatu. a) (−48) :
= 12

b)
: (−4) = −25

a) (−48) : (−4) = 12

b) 100 : (−4) = −25

ARIKETAK 036 ●

Erabili zenbaki osoak esaldi hauen zenbakizko balioa adierazteko. a) b) c) d) e) f)

112

Hegazkina 2.700 m-ko altueran ari da hegan. Koldok bigarren sotoan egiten du lan. Miren beheko solairuan dago. Zero azpiko 4 graduan gaude. K.a. 540. urtean gertatu zen. Amari 15 euro zor dizkiot. a) +2.700

c) 0

e) −540

b) −2

d) −4

f) −15

908261 _ 0106-0131.qxd

11/9/07

11:13

Página 113

ERANTZUNAK

037 ●

Asmatu zenbaki hauei buruzko egoerak. a)

+3

b)

-3

c)

+15

d)

5

-330

a) Nire sakelako telefonoaren saldoa 3 €-koa da. b) Zero azpiko 3 graduan gaude. c) Nire lehengusina 15. solairuan bizi da. d) 330 € zor ditut. 038

Osatu zuzen hau.

●

-3

−4

1

2

F

0

−3 −2

F

-3, 5, -2, 7, -6 F

F

F

1,

−6

●●

0

Adierazi zenbaki oso hauek zenbakizko zuzenean.

●

040

−1

F

039

−2

+1

+5

+7

Esan zer zenbaki dagokion zenbakizko zuzenean adierazitako puntu bakoitzari. A

B

C

D

a) 0

A

B

1

D

C

b) 0

041 ●

1

a) A → −5

B → −3

C → +2

D → +5

b) A → −6

B → −4

C → −1

D → +3

Idatzi tarte hauetako zenbaki oso guztiak. a) b) c) d)

-4 baino handiagoak eta +2 baino txikiagoak. +3 baino txikiagoak eta -5 baino handiagoak. +1 baino txikiagoak eta -2 baino handiagoak. -5 baino handiagoak eta +6 baino txikiagoak. a) −3, −2, −1, 0, +1 b) −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2 c) −1, 0 d) −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5

042 ●

Idatzi

-10etik +5era arteko zenbaki oso guztiak

−9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, + 2, +3, +4

113

908261 _ 0106-0131.qxd

11/9/07

11:13

Página 114

Zenbaki osoak 043

Zenbat zenbaki oso daude

●

044

5 zenbaki oso daude: −2, −1, 0, +1, +2. Zenbat zenbaki oso daude

●●

045 ●

046 ●

●

048 ●

-256tik 123ra artean?

256 + 123 − 2 = 377 zenbaki, zeroaz gain. Guztira, 378 zenbaki. Zenbaki hauetatik, zein dira zenbaki osoak? 7 -5 45 32,12 -1.403 2 Zenbaki osoak: −5, 45 eta −1.403. Kalkulatu zenbaki hauen balio absolutuak. a)

-3

b)

a) 3 047

-3tik 3ra artean?

Kalkulatu.

a) ⏐+3⏐ b) ⏐-3⏐

-22

c) 15

b) 22

c) ⏐-7⏐ d) ⏐-4⏐

d) 21

c) 15

d) 21

e) ⏐+5⏐ f) ⏐-9⏐

a) 3

c) 7

e) 5

b) 3

d) 4

f) 9

Zer balio izan dezake a-k kasu bakoitzean? a) ⏐a⏐

=3

b) ⏐a⏐

= 12

a) a +3 edo −3 izan daiteke. b) a +12 edo −12 izan daiteke. 049 ●●

050 ●

051 ●

Izan al daiteke ⏐x⏐

=-2? Eman arrazoiak.

Ez, edozein zenbakiren balio absolutua positiboa edo zero baita. Idatzi hauen aurkakoak: aur (−3) = +3

-3, 7, -12 eta 5.

aur (7) = −7

aur (−12) = +12

aur (5) = −5

Adierazi zenbat zenbaki oso dauden zenbaki pare hauen artean: a) +5 eta haren aurkakoa. c) -3ren aurkakoa eta +2. b) -7 eta haren aurkakoa. d) -4ren aurkakoa eta +5ren aurkakoa. a) 9 zenbaki daude: −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4. b) 13 zenbaki daude: −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6. c) Bat ere ez. d) 8 zenbaki daude: −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3.

114

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 115

ERANTZUNAK

052 ●

053 ●

054 ●

055

5

Kasu bakoitzean, idatzi < edo > ikurra. a) −7
−12

c) −3
0

b) −2
2

d) −5
−3

a) −7 > −12

c) −3 < 0

b) −2 < 2

d) −5 < −3

Idatzi zenbaki bakoitzaren aurreko eta ondorengo zenbakia. a)
< 3 <


c)
< 12 <


b)
< −3 <


d)
< −8 <


a) 2 < 3 < 4

c) 11 < 12 < 13

b) −4 < −3 < −2

d) −9 < −8 < −7

Kalkulatu, kasu bakoitzean, bi zenbakien arteko zenbaki oso bat. a) −3 <
< 0

c) −8 <
< −5

b) 7 <
< 10

d) −4 <
< 1

a) −3 < −1 < 0

c) −8 < −6 < −5

b) 7 < 8 < 10

d) −4 < −2 < 1

Osatu.

●

−8 <
<
<
<
< −3 −8 < −7 < −6 < −5 < −4 < −3

056 ●

Ordenatu, txikienetik handienera, zenbaki hauek. −4

0

−6

7

−11

21

−3

−7

12

9

−11 < −7 < −4 < −3 < 0 < 7 < 9 < 12 < 21 057 ●

Idatzi tarte hauetako bina zenbaki oso. a) +4 baino txikiagoak eta −2 baino handiagoak. b) −3 baino txikiagoak. c) −5 baino handiagoak. d) −3 baino handiagoak eta 1 baino txikiagoak. a) −1 eta 0

058 ●

b) −6 eta −8

c) −4 eta 0

d) −2 eta 0

Egin batuketa hauek. a) (+12) + (+5)

c) (−14) + (+2)

b) (−21) + (−11)

d) (+32) + (−17)

a) 12 + 5 = 17

c) −14 + 2 = −12

b) −21 − 11 = −32

d) 32 − 17 = 15

115

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 116

Zenbaki osoak 059 ●

Osatu taula. Erreparatu azken bi zutabeei: trukakorra al da batuketa? a −5 −8 −6 +4

a+b −2 −10 +1 +13

b +3 −2 +7 +9

b+a −2 −10 +1 +13

Zenbaki osoen batuketa trukakorra da. 060 ●

061 ●

062 ●

Kalkulatu. a) 15 − (+4)

c) 9 − (−7)

b) 17 − (−3)

d) 21 − (+9)

a) 15 − 4 = 11

c) 9 + 7 = 16

b) 17 + 3 = 20

d) 21 − 9 = 12

Ebatzi. a) −4 − (+7)

c) −19 − (+8)

b) −21 − (−13)

d) −11 − (−6)

a) −4 − 7 = −11

c) −19 − 8 = −27

b) −21 + 13 = −8

d) −11 + 6 = −5

Osatu taula. Erreparatu azken bi zutabeei: trukakorra al da kenketa? a −5 −8 −6 +4

b −3 −2 +7 +9

Zenbaki osoen kenketa ez da trukakorra. 063 ●

Egin ariketak. a) (+7) + (+5) + (−4) + (−4) b) (−8) + (+13) + (+21) + (−7) c) (+4) + (−9) + (+17) + (−6) d) (−16) + (+30) + (+5) + (−12) a) 7 + 5 − 4 − 4 = 4 b) −8 + 13 + 21 − 7 = 19 c) 4 − 9 + 17 − 6 = 6 d) −16 + 30 + 5 − 12 = 7

116

a−b −2 −6 −13 −5

b−a +2 +6 +13 +5

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 117

ERANTZUNAK

064 ●

5

Kalkulatu. a) (− 8) + [(−5) + (+7)] b) (+6) + [(+11) + (−2) + (+5)] c) (−9) + [(− 8) + (+5)] + (+4) d) [(+12) + (− 4)] + (−7) a) −8 + (−5 + 7) = −8 + 2 = −6 b) 6 + (11 − 2 + 5) = 6 + 11 − 2 + 5 = 20 c) −9 + (−8 + 5) + 4 = −9 − 8 + 5 + 4 = −8 d) (12 − 4) − 7 = 12 − 4 − 7 = 1

065 ●●

Osatu karratu magikoak, jakinik zenbakien batura bera dela horizontalean, bertikalean eta diagonalean.

-8 -1 -3 -4

0 -5 066 ●

067 ●

068 ●

-2

-5 2

Zer zenbaki oso batu behar zaio −3 zenbakiari emaitza 0 izan dadin? +3 batu behar zaio, −3 + 3 = 0 delako. Kalkulatu. a) −7 − (−12) − (+3)

e) +9 − [(−5) − (+7)]

b) +34 − (+11) − (+13)

f) −7 − [(−3) − (−9)]

c) −9 − (−6) − (+12)

g) −11 − [(+6) − (+4)]

d) −5 − (+11) − (−20)

h) +8 − [(+5) − (−9)]

a) −7 + 12 − 3 = 2

e) 9 − (−5 − 7) = 9 + 5 + 7 = 21

b) 34 − 11 − 13 = 10

f) −7 − (−3 + 9) = −7 − 6 = −13

c) −9 + 6 − 12 = −15

g) −11 − (6 − 4) = −11 − 6 + 4 = −13

d) −5 − 11 + 20 = 4

h) 8 − (5 + 9) = 8 − 5 − 9 = −6

Egin eragiketak. a) (+8) − (+9) + (−7)

c) (+9) + (−13) − (−21)

b) (−12) − (−3) + (+5)

d) (−17) + (+5) − (+20)

a) 8 − 9 − 7 = −8

c) 9 − 13 + 21 = 17

b) −12 + 3 + 5 = −4

d) −17 + 5 − 20 = −32

117

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 118

Zenbaki osoak 069 ●

Kalkulatu. a) −3 + (−2) + 7 − (− 4) b) 9 − (+4) − (− 6) − (−2)

c) 5 − (−12) − (+9) + 8 d) −4 + (−7) − (+9) − (−5)

a) −3 − 2 + 7 + 4 = 6 b) 9 − 4 + 6 + 2 = 13 c) 5 + 12 − 9 + 8 = 16 d) −4 − 7 − 9 + 5 = −15 070 ●

Ebatzi. c) −14 − [− 6 + (−11)] d) [12 − (+5)] + [− 4 − (−6)]

a) [−3 + 7] − [9 − (−2)] b) [−5 − (−9) − (+4)] + (−2) a) 4 − (9 + 2) = 4 − 9 − 2 = −7

b) (−5 + 9 − 4) − 2 = −5 + 9 − 4 − 2 = −2 c) −14 − (−6 − 11) = −14 + 6 + 11 = 3 d) 12 − 5 + (−4 + 6) = 12 − 5 − 4 + 6 = 9 071 ●

Egin eragiketak. a) −5 − [3 + (−7) − (− 6)] b) 19 + [− 8 + (−5) + 3]

c) [−6 + (−8)] − [9 − (+4)] d) 6 + [3 − 5 + (−9) − (−2)]

a) −5 − (3 − 7 + 6) = −5 − 3 + 7 − 6 = −7 b) 19 + (−8 − 5 + 3) = 19 − 8 − 5 + 3 = 9 c) (−6 − 8) − (9 − 4) = −6 − 8 − 9 + 4 = −19 d) 6 + (3 − 5 − 9 + 2) = 6 + 3 − 5 − 9 + 2 = −3 072 ●

073 ●

118

Kalkulatu. a) b) c) d)

8−7+4−3−2 −7 − 5 + 3 − 9 − 1 + 11 −4 − 2 + 5 − 1 − 4 + 1 6 − 3 + 3 − 10 − 4 + 13

e) f) g) h)

−9 − 14 + 4 − 56 − 16 + 1 9 + 14 − 6 − 93 + 19 3+5−9−7−5−7 2−2−2−2+4−1

a) 12 − 12 = 0

e) 5 − 95 = −90

b) 14 − 22 = −8

f) 42 − 99 = −57

c) 6 − 11 = −5

g) 8 − 28 = −20

d) 22 − 17 = 5

h) 6 − 7 = −1

Egin eragiketa hauek. a) b) c) d)

6 + (− 4 + 2) − (−3 − 1) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9)

e) f) g) h)

10 − (8 − 7) + (−9 − 3) 7 − (4 + 3) + (−1 + 2) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7)

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 119

ERANTZUNAK

5

a) 6 + (−2) − (−4) = 6 −2 + 4 = 8 b) 7 − 1 + (−3) = 7 − 1 − 3 = 3 c) 3 + (−1) − (−11) = 3 − 1 + 11 = 13 d) −8 + 5 + (−16) = −8 + 5 − 16 = −19 e) 10 − 1 + (−12) = 10 − 1 − 12 = −3 f) 7 − 7 + 1 = 1 g) −1 − 0 = −1 h) 3 + (−4) − (−5) = 3 − 4 + 5 = 4 074

Osatu hutsuneak, berdintzak zuzenak izateko.

●●

a) b) c) d)

(−11) +
= +4 (+13) +
= +12
+ (−20) = −12
+ (+5) = −13

e) f) g) h)

(+3) −
= −7 (−15) −
= +9
− (+8) = +7
− (−4) = −11

a) −11 +
= +4 →
= 4 + 11 = 15 b) 13 +
= 12 ⎯→
= 12 − 13 = −1 →
= −12 + 20 = 8 c)
− 20 = −12 ⎯ d)
+ 5 = −13 ⎯→
= −13 − 5 = −18 ⎯ →
= 3 + 7 = 10 e) 3 −
= −7 ⎯ f) −15 −
= 9 ⎯→
= −9 − 15 = −24 g)
− 8 = 7 ⎯⎯⎯→
= 7 + 8 = 15 h)
+ 4 = −11 ⎯→
= −11 − 4 = −15 075

Erreparatu ebatzitako adibideari eta osatu taula.

●●

a) Zer hautematen da zutabeetan lortutako emaitzetan? b) Zure ustez, zergatik gertatzen da hori? a −5 −8 −6 +4 +5 −4 −3 +2

b +3 −2 +7 +5 +4 +7 +5 +2

a+b −2 −10 +1 +9 +9 +3 +2 +4

b+a −2 −10 +1 +9 +9 +3 +2 +4

a−b −8 −6 −13 −1 +1 −11 −8 0

b−a +8 +6 +13 +1 −1 +11 +8 0

a) Zenbaki osoen batuketak trukatze-propietatea betetzen du, batuketan biderkagaien ordena aldatzeak ez baitio emaitzari eragiten. Kenketak ez du betetzen, gaien ordena aldatuz gero aurkako emaitza lortzen baita. b) Kenketan hau betetzen delako: −(a − b) = −a − (−b) = −a + b = b − a.

119

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 120

Zenbaki osoak 076 ●

077 ●

Kalkulatu. a) (+4) ⋅ (−5) b) (+7) ⋅ (+6)

c) (−3) ⋅ (−8) d) (−9) ⋅ (+9)

a) −20

c) 24

b) 42

d) −81

Osatu taula. Erreparatu azken bi zutabeei: trukakorra al da biderketa? a −3 +5 −8 +9

b +6 −7 −4 +2

a⋅b −18 −35 +32 +18

b⋅a −18 −35 +32 +18

Zenbaki osoen biderketak trukatze-propietatea betetzen du. 078 ●

Egiaztatu elkartze-propietatea. a) (3 ⋅ 5) ⋅ 2 = 3 ⋅ (5 ⋅ 2) b) [(−2) ⋅ 5] ⋅ 9 = (−2) ⋅ [5 ⋅ 9] c) [(−3) ⋅ (−2)] ⋅ 4 = (−3) ⋅ [(−2) ⋅ 4] a) 15 ⋅ 2 = 3 ⋅ 10 → 30 = 30 b) −10 ⋅ 9 = −2 ⋅ 45 → −90 = −90 c) 6 ⋅ 4 = (−3) ⋅ (−8) → 24 = 24

079 ●

Kalkulatu, banatze-propietatea aplikatuz. a) 5 ⋅ (3 + 5) b) 2 ⋅ (6 + 7)

c) 7 ⋅ (2 + 4) d) 12 ⋅ (3 + 8)

a) 5 ⋅ 3 + 5 ⋅ 5 = 15 + 25 = 40 b) 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 7 = 12 + 14 = 26 c) 7 ⋅ 2 + 7 ⋅ 4 = 14 + 28 = 42 d) 12 ⋅ 3 + 12 ⋅ 8 = 36 + 96 = 132 080 ●

Aplikatu banatze-propietatea. a) (−5) ⋅ (7 + 8) b) (−2) ⋅ (6 + 3)

c) (−3) ⋅ (4 + 9) d) (−6) ⋅ [5 + (−2)]

a) (−5) ⋅ 7 + (−5) ⋅ 8 = −35 + (−40) = −75 b) (−2) ⋅ 6 + (−2) ⋅ 3 = −12 + (−6) = −18 c) (−3) ⋅ 4 + (−3) ⋅ 9 = −12 + (−27) = −39 d) (−6) ⋅ 5 + (−6) ⋅ (−2) = −30 + 12 = −18

120

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 121

ERANTZUNAK

081

5

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA BIDERKETA BATEKO BIDERKAGAI BAT, BESTE BIDERKAGAIA ETA EMAITZA JAKINIK?

Osatu: (+4) ⋅
= −36. LEHENA. Emaitzaren balio absolutua biderkagai ezagunaren balio absolutuaz zatitu behar da. 36 : 4 = 9 BIGARRENA. Lortutako zenbakiari + zeinua jarri behar zaio, zenbaki ezagunak zeinu berekoak badira; eta −zeinua, bestela. F

(+4) ⋅ (−9) = −36 Zeinu desberdina

082

Osatu.

●●

a) (− 4) ⋅
= +36 b)
⋅ (− 8) = − 48

c)
⋅ (+7) = −28 d) (+6) ⋅
= −36

a) (−4) ⋅ (−9) = +36 b) (+6) ⋅ (−8) = −48 c) (−4) ⋅ (+7) = −28 d) (+6) ⋅ (−6) = −36

083

EGIN HONELA NOLA BIDERKATZEN DIRA BATERA ZENBAIT ZENBAKI OSO? Ebatzi: (−7) ⋅ (−2) ⋅ (+10). LEHENA.

Emaitzaren zeinua kalkulatu behar da. (−) ⋅ (−) ⋅ (+) (+)

BIGARRENA.

⋅ (+) = +

Zenbakien balio absolutuen biderketa egin eta emaitzari zeinua jarri

behar zaio. (−7) ⋅ (−2) ⋅ (+10) = +(7 ⋅ 2 ⋅ 10) = +140

084 ●

Kalkulatu. a) (−2) ⋅ (−3) ⋅ (+5) b) (− 4) ⋅ (+3) ⋅ (−2) a) 30

c) (+7) ⋅ (−2) ⋅ (+3) d) (−9) ⋅ (−5) ⋅ (−2) b) 24

c) −42

d) −90

121

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 122

Zenbaki osoa 085 ●

Egin zatiketa hauek. a) b) c) d) e) f) g) h)

(+35) : (+5) (+45) : (−5) (− 42) : (+7) (−54) : (−9) (+105) : (−3) (+48) : (+12) (− 49) : (−7) (− 63) : (+3) a) b) c) d)

086 ●

7 −9 −6 6

−35 4 7 −21

Ebatzi. a) (+290) : (+10) b) (+1.500) : (−100) a) 29 b) −15

087

e) f) g) h)

c) (− 40) : (−10) d) (−70) : (−10) c) 4 d) 7

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA ZATIKETA BATEN ZATIKIZUNA, ZATITZAILEA ETA ZATIDURA JAKINIK? Osatu:
: (+9) = − 4. LEHENA.

Zatitzailearen eta zatiduraren balio absolutuen biderketa egin behar da. 9 ⋅ 4 = 36

F

BIGARRENA. Emaitzari + zeinua jarri behar zaio, zenbaki ezagunak zeinu berekoak badira; eta − zeinua, zeinu desberdinekoak badira. (−36) : (+9) = −4 Zeinu desberdina

088

Osatu.

●●

a)
: (− 4) = +12 b)
: (−5) = −18 c)
: (−7) = −1 a) (−48) : (−4) = +12 b) (+90) : (−5) = −18 c) (+7) : (−7) = −1

122

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 123

ERANTZUNAK

089

5

EGIN HONELA NOLA ZATITZEN DIRA ZENBAIT ZENBAKI OSO BATERA? Ebatzi: (− 8) : (−2) : (+4). LEHENA.

Eragiketaren emaitzaren zeinua kalkulatu behar da. (−) : (−) : (+) (+)

BIGARRENA.

: (+) = +

Zenbakien balio absolutuen zatiketa egin eta emaitzari zeinua jarri

behar zaio. (−8) : (−2) : (+4) = +(8 : 2 : 4) = +1

090

Kalkulatu.

●●

a) b) c) d)

(+35) : (−7) : (−5) (−21) : (−7) : (−1) (−10) : (−5) : (+2) (+32) : (− 8) : (−2) a) (−5) : (−5) = 1 b) (+3) : (−1) = −3

091

Kalkulatu.

●●

a) b) c) d)

c) (+2) : (+2) = 1 d) (−4) : (−2) = 2

(−12) : 3 − [13 + 6 − (−2)] 21 : 3 − 4 ⋅ (−3) 36 : (− 4) + 5 ⋅ (−2) (−3) ⋅ 2 − (4 − 10 : 2) a) b) c) d)

(−4) − (13 + 6 + 2) = −4 − 21 = −25 7 − (−12) = 7 + 12 = 19 −9 + (−10) = −9 − 10 = −19 −6 − (4 − 5) = −6 − (−1) = −6 + 1 = −5

092

Egin eragiketak.

●●

a) b) c) d)

(− 4) − (− 6) : (+3) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2) (−11) − (+3) ⋅ (− 4) : (− 6) − (−9) (−18) − [(+4) + (− 6)] : (+2) + (+5) a) b) c) d)

(−4) − (−2) = −4 + 2 = −2 (−1) − (−14) = −1 + 14 = 13 (−11) − (−12) : (−6) + 9 = (−11) − 2 + 9 = −11 − 2 + 9 = −4 (−18) − (−2) : (+2) + (+5) = (−18) − (−1) + 5 = −18 + 1 + 5 = −12

123

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:19

Página 124

Zenbaki osoak 093

Ebatzi.

●●

a) b) c) d) e)

8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 (−12) ⋅ 7 : 3 9 − 12 : 4 100 − 22 ⋅ 5 (−26) : 2 − 6 : 3 + 4 a) b) c) d) e)

094

Osatu.

●●

a) b) c) d) e)

(− 6) ⋅ [(−1) +
] = −18 8 ⋅ [4 −
] = 32 [
⋅ (− 6)] + 1 = − 41 3 − [
⋅ 5] = 18 1 + [3 :
] = −2 a) b) c) d) e)

095 ●

22 − 17 = 5 −84 : 3 = −28 9−3=6 100 − 110 = −10 (−13) − 2 + 4 = −11

(−6) ⋅ [(−1) + (+4)] = (−6) ⋅ (+3) = −18 8 ⋅ [4 − 0] = 8 ⋅ 4 = 32 [(+7) ⋅ (−6)] + 1 = −41 3 − [(−3) ⋅ 5] = 3 − (−15) = 3 + 15 = 18 1 + [3 : (−1)] = 1 + (−3) = −2

Zenbat metro daude 8.500 m-ko altueran hegan ari den hegazkin baten eta itsas mailatik behera 350 m-ra dagoen itsaspeko baten artean? 8.500 − (−350) = 8.500 + 350 = 8.850 m daude.

096 ●

Hozkailuko izozkailuak −12 °C-ko tenperatura adierazten zuen, eta ondoren, 5 gradu igo da. Zer tenperatura adierazten du orain? −12 + 5 = −7 °C

097 ●

Auto baten tenperatura-adierazlearen arabera, barruko tenperatura 16 °C-koa da, eta kanpokoa, −3 °C-koa. Zer tenperatura-alde dago kanpoko eta barruko tenperaturen artean? 16 − (−3) = 16 + 3 = 19 19 °C-ko aldea dago.

124

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:20

Página 125

ERANTZUNAK

098 ●●

5

Hiri batean, goizeko seietan, termometroak -10 °C adierazten zuen, eta 12etan, 4 °C. Zenbatekoa da tenperatura-aldakuntza gradutan? 5 − (−3) = 5 + 3 = 8 Tenperatura-aldakuntza 14 °C-koa izan da.

099 ●

Sarak hirugarren sotoan utzi du autoa eta bosgarren solairura igo da. Zenbat solairu igo ditu Sarak? 5 − (−3) = 5 + 3 = 8 Sarak 8 solairu igo ditu.

100 ●●

Mirenek eraikin bateko 15. solairuan egiten du lan, eta autoa 19 solairu beherago utzi du. Zenbatgarren solairuan utzi du autoa? 15 − 19 = −4 Laugarren sotoan utzi du autoa.

101 ●●

Nerea 3. solairuan bizi da. 4 solairu jaitsi ditu, trastelekura joateko. Ondoren, 6 solairu igo ditu, lagun bat bisitatzeko. Zenbatgarren solairuan bizi da laguna? 3 − 4 + 6 = −1 + 6 = 5 Laguna bosgarren solairuan bizi da.

102 ●●

Tales Miletokoa K.a. 624. urtean jaio eta 78 urte bizi izan zen. Zer urtetan hil zen? −624 + 78 = −546 K.a. 546. urtean hil zen.

103 ●●

Euklides, geometra ospetsua, 60 urte bizi eta K.a. 265ean hil zen. Zer urtetan jaio zen? −265 − 60 = −325 K.a. 325. urtean jaio zen.

104

Hiri batean, tenperatura maximoa 9 °C-koa izan zen, eta minimoa, −4 °C-koa.

●●

a) Zer tenperatura-aldakuntza (tenperatura-bitartea) izan zen gradutan? b) Izan al zitekeen tenperatura 5 °C-koa eguneko uneren batean? Zergatik? c) Eta −7 °C? Zergatik? a) 9 − (−4) = 13 °C-koa izan zen. b) Bai, maximoaren (9°) eta minimoaren (−4°) arteko edozein balio har dezake: −4 < 5 < 9. c) Ez, −7 °C tenperatura minimoa baino txikiagoa delako: −7 < −4.

125

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:20

Página 126

Zenbaki osoak 105 ●●

Biologia-laborategi batean, aztertzen ari dira zer erresistentzia duen mikroorganismo jakin batek tenperatura-aldaketarekiko. Lagin bat zero azpiko 3 °C-an daukate. Tenperatura 40 °C, igo dute; ondoren, 50 °C jaitsi; eta azkenik, 12 °C igo. Zer tenperatura du orain laginak? −3 + 40 − 50 + 12 = −53 + 52 = −1 Zero azpiko 1 °C-ko tenperatura du.

106 ●●●

Peruk eta Loreak aurrezki-libreta bat dute, eta bertan sartzen dizkiete laneko nominak. Ordainagiri guztiak ere han dituzte helbideratuta. Hona hemen azken oharrak. a) b) c) d) e)

Zer saldo dute argiaren ordainagiria ordaindu aurretik? Eta Peruren nomina sartu ondoren? Zenbatekoa izan da gasaren ordainagiria? Eta saldoa, hipoteka ordaindu ondoren? Zenbatekoa da Lorearen nomina? Mugimendua −120 1.500 −300 −1.470 800

Saldoa 200 1.700 1.400 −70 730

Kontzeptua Argiaren ordain. Peruren nomina Gasaren ordain. Hipoteka Lorearen nomina

a) 200 − (−120) = 200 + 120 = 320 € b) 200 + 1.500 = 1.700 € c) 1.400 − 1.700 = −300. Gasaren ordainagiria 300 €-koa izan da. d) 1.400 − 1.470 = −70 € e) 730 − (−70) = 730 + 70 = 800 €-koa da. 107 ●●●

Hotz-ganbera baten barruan, tenperatura 4 °C jaits daiteke orduko. a) Zenbat ordu beharko dira tenperatura 20 °C jaisteko? b) Eta 15 °C jaisteko? c) Hotz-ganberaren hasierako tenperatura 1 °C-koa bada, zer tenperatura izango du 3 ordu barru? d) Eta 7 ordu barru? e) Hasierako tenperatura 10 °C-koa bada, zenbat ordu beharko dira 0 °C lortzeko? a) (−20) : (−4) = 5 ordu beharko dira. b) (−15) : (−4) = 3,75; 3 ordu eta 45 minutu. c) 1 + 4 ⋅ (−3) = 1 − 12 = −11; zero azpiko 11 gradu. d) 1 + 4 ⋅ (−7) = 1 − 21 = −20; zero azpiko 20 gradu. e) (−10) : (−4) = 2,5; 2 ordu eta 30 minutu beharko dira.

126

908261 _ 0106-0131.qxd

11/9/07

11:13

Página 127

ERANTZUNAK

108 ●●●

5

Enpresa batek 12.000 € galdu zituen lehen urtean; bigarren urtean, lehen urteko bikoitza; eta hirugarrenean, aurreko bi urteetan galdutakoaren hirukoitza irabazi zuen. Laugarren urtean, 10.000 €-ko irabaziak izan zituen, eta bosgarrenean, aurreko urteetako galera guztien erdia galdu zuen. Zein da enpresaren azken saldoa? 1. urtea:

−12.000 €

2. urtea: 2 ⋅ (−12.000) =

−24.000 €

3. urtea: 3 ⋅ 36.000 =

108.000 € 10.000 €

4. urtea:

1 = −18.000 € 2 Azken saldoa: −12.000 + (−24.000) + 108.000 + 10.000 + (−18.000) = = 64.000 € 5. urtea: [−12.000 + (−24.000)]ren

109 ●●●

Lur azpiko meatze baten egitura galeria horizontalek osatzen dute. Bi galeriaren arteko distantzia bertikala 10 m-koa da; esate baterako, 2. galeria 20 m-ko sakoneran dago. a) 50 m-ko sakoneran bagaude, zenbatgarren galerian gaude? b) Aitor 3. galerian dago, 20 m egin ditu gora; eta ondoren, 80 m behera. Zenbatgarren galerian dago orain? c) 30 m igo ondoren, 7. galerian dago Irati. Zenbatgarren galerian zegoen? a) (−50) : (−10) = 5. 5. galerian gaude. b) 3 ⋅ (−10) + 20 + (−80) = −90; (−90) : (−10) = 9. 9. galerian dago. c) 7 ⋅ (−10) + 30 = −40; (−40) : (−10) = 4. 4. galerian zegoen.

110 ●●●

200 g ur ditugu, tenperatura jakin batean. Tenperatura 22 °C igo dugu, eta ondoren, 37 °C jaitsi. Ura izotz bihurtu da eta zero azpiko 4 °C-ko tenperatura du. Zer tenperatura zuen urak hasieran? Adierazitako eragiketen alderantzizkoak egingo ditugu: (−4) + 37 − 22 = 11. Uraren tenperatura 11 °C-koa zen.

111 ●●●

Adierazi propietateak beti betetzen diren, batzuetan ala inoiz ez. Bi zenbaki osoren batura beste zenbaki oso bat da.

Beti betetzen da.

Zenbaki oso baten aurkakoa zenbakia baino txikiagoa da.

Jatorrizko zenbakia positiboa bada betetzen da.

Bi zenbaki osoren zatidura beste zenbaki oso bat da.

Zatikizuna zatitzailearen multiploa bada betetzen da.

Zenbaki oso baten bikoitza zenbakia baino handiago da.

Zenbakia positiboa bada betetzen da.

Ondoz ondoko hiru zenbaki osoren batura erdiko zenbakiaren hirukoitza da.

Beti betetzen da.

127

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:20

Página 128

Zenbaki osoak 112 ●●

Jarri taulan −6tik +2ra arteko zenbaki osoak (bi horiek barne), karratu magikoa osatzeko.

-5

0

2

-2 -6

-3 -4 113 ●●

-1

1

Eman bi zenbaki osoren adibide bat, bien baturaren balio absolutua eta zenbakien balio absolutuen batura berdina izateko. Hori gertatzen al da zenbaki osoen edozein parerekin? ⏐+3 + 4⏐ = ⏐+3⏐ + ⏐+4⏐ ⏐+7⏐ 7

= =

3

+ 7

4

⏐−3 − 4⏐ = ⏐−3⏐ + ⏐−4⏐ ⏐−7⏐

7

= =

3

+ 7

4

Propietate hau bete dadin, zenbakiek zeinu bera izan behar dute 114 ●●●

Lortu −8tik 0ra arteko zenbaki osoak. Erabili 1, 2 eta 3 zenbakiak, errepikatu gabe, +, −, ×, : ikur aritmetikoak eta parentesiak. Zenbait aukera daude:

115 ●●●

116 ●●●

−8 = −2 ⋅ (3 + 1) −7 = −(3 ⋅ 2 + 1) −6 = −3 − 2 − 1 −5 = −(3 ⋅ 2) + 1 −4 = −2 − 3 + 1 −3 = 3 ⋅ (1 − 2) −2 = −3 + 2 − 1 −1 = −3 + 2 ⋅ 1 0=3−2−1

−8 = (−3 − 1) ⋅ 2 −7 = −1 − 2 ⋅ 3 −6 = −1 − 2 − 3 −5 = 1 − 3 ⋅ 2 −4 = (1 − 3) ⋅ 2

Kalkulatu: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + … − 10.000. Eragiketak binaka eginez, hau lortzen da: (1 − 2) + (3 − 4) + (5 − 6) + … + (9.999 − 10.000) = = −1 − 1 − 1 − 1 − 1 − … − 1 = (−1) ⋅ 5.000 = −5.000 Erreparatu batuketa honi. 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 = 5.050 Idatzi − zeinu batzuk + zeinuen ordez, emaitza 2.007 izan dadin. Zenbaki baten zeinua aldatzen dugun bakoitzean, baturari zenbakiaren balioaren bikoitza kendu behar zaio (behin batuketa ez egiteagatik, eta beste behin, kenketa egitean). 7 zenbakiaren kasuan: 5.050 − 2 ⋅ 7 = 5.036. Beraz, zenbaki bati zeinua aldatzen diogun bakoitzean, zenbaki bikoiti bat kendu behar dugu (zenbaki baten bikoitza) eta ezingo da inoiz 2.007 zenbakia lortu, 5.050 − bikoitia = bikoitia delako.

128

908261 _ 0106-0131.qxd

11/9/07

11:13

Página 129

ERANTZUNAK

5

117

2.006 zenbaki osoren biderkadura 1 da. Izan al daiteke zenbaki horien batura 0?

●●●

Zenbaki osoen biderkadura 1 izateko, zenbaki oso guztiek 1 edo −1 izan behar dute, eta −1 zenbakien kopuruak bikoitia izan behar du. Batura 0 izateko, 1 eta −1 zenbakien kopuruak bera izan behar du. Beraz, 2.006 : 2 = 1.003 zenbaki bakoitia denez, biderkadura ez da inoiz 1 izango.

118 ●●●

Piramide honetan, lauki bakoitzeko zenbakia lauki horren azpiko bi laukietako zenbakien batura da. Osatu.

-25 -1 6 4 -5

7

-17 -11 -8

2

EGUNEROKOAN 119 ●●●

Golfean, zuloa osatzeko behar den kolpe kopuruari parea esaten zaio. Hona hemen zenbait adibide.

230 m-tik behera → 3 kolpe 230 eta 430 m artean → 4 kolpe 430 m-tik gora → 5 kolpe Zelai bakoitzak pare jakin bat du (behar den kolpe kopurua), zulo kopuruaren eta distantzien arabera. Jokalari baten puntuazioa lortzeko, aski da haren kolpe kopurua eta zelaiko kolpe kopurua alderatzea.

Esaterako -4 puntuazioak adierazten du parea baino 4 kolpe gutxiago behar izan direla, eta +3 puntuazioak, parea baino 3 kolpe gehiago behar izan direla. Puntuazio onena lortzen duenak irabazten du txapelketa. a) 72ko parea duen zelai batean, lau lagun ari dira golfean. Osatu taula eta ordenatu jokalariak, puntuazioaren arabera. b) Gehitu Jokin, Irati eta Ane taulari, eta osatu, kontuan hartuz: Jokinek Anek baino 2 puntu gutxiago dituela. Iratik Jokinek baino 8 puntu gehiago dituela. Anek irabazleak baino 5 puntu gehiago dituela.

129

908261 _ 0106-0131.qxd

11/9/07

11:13

Página 130

Zenbaki osoak a)

Jokalaria Jon Miren Elene Andoni

Kolpe kopurua 69 68 72 77

Puntuazioa −3 4 0 +5

-

1. Miren, 2. Jon, 3. Elene eta 4. Andoni. Irabazlea Miren izan da −4rekin. b)

120

Jokalaria Irati Jokin Ane

Puntuazioa −4 + 5 = +1 +1 − 2 = −1 −1 + 8 = +7

Hautaketa-proba batean, test moduko 100 galderari erantzun behar zaie.

●●●

Erantzuna Zuzena Zurian Okerra

Puntuak 4 -1 -3

Proba gainditzeko, gutxienez 100 puntu lortu behar dira. Zenbat galderari erantzun behar zaie zuzen gutxienez, azterketa gainditzeko? Eta zenbat huts egin daitezke gehienez? Galdera baten erantzuna ez badakigu ziur, hobeto da ez erantzutea. Galdera guztiak zurian utziz gero, −100 puntu lortzen dira. Zurian utzi ordez ondo erantzundako galdera bakoitzeko 4 puntu batzen dira eta ez da 1 kentzen; beraz, aldea 5 puntukoa da. [100 − (−100)] : 5 = 200 : 5 = 40. Gutxienez 40 galderari erantzun behar zaie zuzen, gainerakoak zurian utziz gero. Galdera guztiei gaizki erantzunez gero, puntu hauek lortuko ditugu: 100 ⋅ (−3) = −300 puntu. Okerra izan beharrean egoki erantzundako galdera bakoitzeko 4 puntu batzen dira eta ez dira 3 kentzen; beraz, aldea 4 − (−3) = 7 puntukoa da. [100 − (−300)] : 7 = 400 : 7 = 57,14. 58 erantzun zuzen beharko genituzke; beraz, azterketa gainditzeko, erantzun okerren gehieneko kopurua hau da: 100 − 58 = 42.

130

908261 _ 0106-0131.qxd

30/7/07

16:20

Página 131

ERANTZUNAK

121 ●●●

5

Laborategi bateko hotz-ganberaren tenperatura 4 °C igo daiteke ordubetean, edo 5 °C jaitsi. Arazoa da nahi dugun tenperatura programatu ondoren, ordubete beharko dela tenperatura hori lortzeko. Laborategi horretan, denbora-tarte batez tenperatura jakin batean hoztu beharreko substantziekin egiten da lan. Esate baterako, 1. substantziak 10 minutu egon behar du 3 °C-ko tenperatura konstantean. Gaur substantzia hauek hoztuko dira. Substantzia 1. substantzia 2. substantzia 3. substantzia 4. substantzia

Denbora 10 minutu 25 minutu 30 minutu 05 minutu

Tenperatura 3 °C −9 °C −7 °C 5 °C

Hotz-ganbera 0 °C-an badago, zein da behar den gutxieneko denbora? Ganberak tenperatura jaitsi azkarrago egiten duenez handitu baino, azkarragoa da tenperatura igotzea, prozesuari ekiteko. Lortu beharreko tenperaturak zenbakizko zuzenean idatziko ditugu; problema hau izango da: tenperatura bakoitza lortzeko hotz-ganberaren ahalik eta programazio (tenperatura-jauzi) gutxien egitea. 10 min 1h

−9

−7 1h

10 min

0 1h

1h

5 min

1h

3

5

1h

30 min

Tenperatura guztiak lortzeko, gutxienez 6 jauzi egin behar ditugu; beraz, 6 ordu gehi substantzia bakoitzaren denbora behar da: 10 + 25 + 30 + 5 = 70 min = 1 h eta 10 min Minimoa hau izango da: 6 h + 1 h eta 10 min = 7 h eta 10 min.

131

908261 _ 0132-0159.qxd

6

30/7/07

16:22

Página 132

Aljebra: hastapenak

ZENBAKIZKO HIZKUNTZA

HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA

ADIERAZPEN ALJEBRAIKOA

MONOMIOAK

BERDINTZA ALJEBRAIKOA

IDENTITATEA

EKUAZIOA

LEHEN MAILAKO EKUAZIOAK EBAZTEA

EKUAZIOEN PROBLEMAK EBAZTEA

132

908261 _ 0132-0159.qxd

11/9/07

11:10

Página 133

Ezkutua Gotorlekura joateko bidean gora zaldi bikain bat zihoan; eta haren gainean, zaldun bat, armadura eta guzti. Zaintzaileak gelditzeko agindu behar zion, nor zen esan zezan; baina zaintzako sarjentuak geldiarazi eta ezezagunari pasatzen utzi zion, erreberentzia egin ondoren. –Zertan habil, ergel hori? –esan zuen sarjentuak zaintzaileari aurre eginda–. Agian ez dakizu nor den, baina ezkutuko sinboloek argi eta garbi adierazten dute: bezanteak eta gurutzeak esan nahi dute gurutzadetan parte hartu duela eta inoiz ez dutela garaitu; eta zetroak, errege-odola duela. Beraz, aurrerantzean behar bezala begiratu. –Hurrengoan kontu handiagoz ibiliko naiz. Heraldika sinboloen zientzia da –erantzun zuen soldaduak, lasaituta, estualdia pasatu ondoren. –Duela ez asko sendagile judu batekin hitz egin nuen; sendagileak irakurritako eskuizkribu batean ageri zenez, matematikaren eta sinboloen laguntzaz zenbait egoera konpon daitezke –azaldu zuen sarjentuak–. Uste dut aljebra deitu ziola, eta esan zidanaren arabera, kopuru ezezagunak sinboloz edo letraz ordezkatu eta eragiketak egin behar dira. Une hartan, alarma-hotsa entzun zen eta jende pila bat sartu zen gazteluan. Taldeko buruak berriak jakinarazi zituen: –Hiru esploratzaile etsai atzeman ditugu; diotenez, taldearen erdia infanteria da, eta gainerakoak, esploratzaileak eta zalditeria; atzemandakoak esploratzaileen laurdenak dira eta laurogei zaldun daude. Zenbat gizonek osatzen dute taldea?

Taldeko gizon kopurua identifikatzeko, x erabiliko dugu. Ea zer dioten datuek: 1 3= esploratzaile → 12 esploratzaile daude. 4 x Zalditeria → 2 Badakigunez 80 zaldun daudela, ekuazio hau plantea eta ebatz dezakegu: x + 12 + 80 = x → x + 24 + 160 = 2 x 2 x = 184 Taldea 184 gizonek osatzen dute.

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 134

Aljebra: hastapenak ARIKETAK 001

Adierazi zenbakizko hizkuntzan. a) Bosten bikoitza. b) Laurogeita zazpiren herena. c) Zortziren erdia gehi hiru. a) 2 ⋅ 5 = 10

002

b)

87 = 29 3

c)

8+3 11 = 2 2

Adierazi hizkuntza aljebraikoan. a) Zenbaki baten bikoitza. b) Zenbaki baten herena. c) Zenbaki baten hirukoitza ken bere berbidura. a) 2 ⋅ x

003

b)

x 3

c) 3 ⋅ x − x 2

Adierazi laukizuzen honen perimetroa eta azalera, adierazpen aljebraiko baten bidez. Perimetroa = 2 ⋅ (a + 2 ⋅ a) = 2 ⋅ 3a = 6a a

Azalera = 2a ⋅ a = 2a 2

2a

004

Oilategi batean, x oilo daude. Zenbat hanka daude guztira? Hanka kopurua: 2 ⋅ x

005

Ukuilu batean, n behi daude. Zenbat hanka daude guztira? Hanka kopurua: 4 ⋅ n

006

Kalkulatu adierazpen aljebraiko hauen zenbakizko balioak, x = 2 eta y = −1 badira. a) 3 ⋅ x − 5 ⋅ y

b) x 2 + (3 − y ) ⋅ 2

a) 3 ⋅ 2 − 5 ⋅ (−1) = 6 + 5 = 11 b) 22 + (3 − (−1)) ⋅ 2 = 4 + 8 = 12 007

Kalkulatu x ⋅ (x + 1) ⋅ (x − 1) + 3 adierazpen aljebraikoaren zenbakizko balioak: a) x = 1 bada

b) x = −1 bada

c) x = 3 bada

a) 1 ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 − 1) + 3 = 1 ⋅ 2 ⋅ 0 + 3 = 3 b) −1 ⋅ [(−1) + 1] ⋅ [(−1) − 1] + 3 = −1 ⋅ 0 ⋅ (−2) + 3 = 3 c) 3 ⋅ (3 + 1) ⋅ (3 − 1) + 3 = 3 ⋅ 4 ⋅ 2 + 3 = 27

134

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 135

ERANTZUNAK

008

6

a ⋅ (b + c ) Kalkulatu adierazpen honen zenbakizko balioa : a = 3, b = 4 eta (c − a ) ⋅ a c = 5 badira. 3 ⋅ (4 + 5) 3⋅9 9 = = (5 − 3) ⋅ 3 2⋅3 2

009

Kalkulatu x-ren balioa, 2x − 4 adierazpenaren zenbakizko balioa 0 izan dadin. 2x − 4 = 0 → 2x = 4 → x = 2

010

Adierazi monomio bakoitzaren koefizientea, letrazko zatia eta maila. a) 2x 3

b) −3x 2y

a) b) c) d)

011

a) 4x

c) 2x 2 − x 2 d) xy 2 + 3x 2y b) ab

c) x 2

d) xy 2 + 3x 2y

b) 10a

c) 14a 2b 3

d) 0

Kalkulatu. a) 5x − 7x + a a) −2x + a

b) − 4x + 3a − x + 2a b) −5x + 5a

Adierazi identitatea ala ekuazioa den. a) x + 3 = 9 a) Ekuazioa

015

Maila 3 3 4 2

x+x+x 5a − 4a + 10a − a 6a 2b 3 + 9a 2b 3 − a 2b 3 −2x 2 + x 2 + x 2 a) 3x

014

5 xy 7

Egin. a) b) c) d)

013

Koefizientea Letrazko zatia 2 x3 −3 x 2y 6 ac 3 −5/7 xy

d) −

Kalkulatu. a) x + 3x b) 8ab − 7ab

012

c) 6ac 3

b) x ⋅ x = x 2 b) Identitatea

Aztertu x = −1 balioak 3 − x = −24 ekuazioa betetzen duen. 3 − (−1) = 3 + 1 = 4 ⫽ −24. Ez du ekuazioa betetzen.

135

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 136

Aljebra: hastapenak 016

Berdintza aljebraiko hauetan: a) (a + b) ⋅ (a − b) = a 2 − b 2 b) (a + b) ⋅ (a − b) = a 2 + b 2 idatzi bi zenbaki oso a-ren eta b-ren ordez. Beti betetzen al dira berdintzak? Identitateak ala ekuazioak dira? a) (3 + 4) ⋅ (3 − 4) = 7 ⋅ (−1) = −7 = 32 − 42 = 9 − 16 = −7 Identitatea da, beti betetzen da. b) (3 + 4) ⋅ (3 − 4) = 7 ⋅ (−1) = −7 ⫽ 32 + 42 = 9 + 16 = 25 Ekuazioa da, b = 0 bada soilik betetzen da.

017

Adierazi zein diren ekuazio bakoitzaren atalak, gaiak, maila eta ezezagunak. a) x + 5 = 8 b) 2xy − 3 = x + 1 c) x 2 − 4 = −x 3 + 6 a) b) c) d) e) f)

018

d) 5ab − 10 = 0 e) 4a 2b + 4 = 2a 2 − 8 f) −4 + 2xyz = −3z + 1

Atalak x+5 8 2xy − 3 x+1 x2 − 4 −x 3 + 6 5ab − 10 0 4a 2b + 4 2a 2 − 8 −4 + 2xyz −3z + 1

Gaiak x;5;8 2xy ; −3 ; x ; 1 x 2 ; −4 ; −x 3 ; 6 5ab ; −10 ; 0 4a 2b ; 4 ; 2a 2 ; −8 −4 ; 2xyz ; −3z ; 1

Maila 1 2 3 2 3 3

Ezezagunak x x;y x a;b a;b x;y;z

Adierazi zein ekuazioren ebazpena den x = 2. a) x + 3 = 4

b) x + 7 = 9

a) 2 + 3 = 5 ⫽ 4 → Ez da ebazpena. b) 2 + 7 = 9 → Ebazpena da. 019

Idatzi ezezagun bakarreko bi ekuazio, ebazpena x = 3 dutenak. Adibidez: 2x + 14 = 20 eta x 2 − 4 + x = 8.

020

Aldatu lekuz gaiak eta kalkulatu ezezagunaren balioa, kasu bakoitzean.

a) x = 12 − 7, x = 5

x =6 4 c) x = 6 ⋅ 4, x = 24

b) x = 11 + 3, x = 14

d) x =

a) x + 7 = 12

021

b) x − 3 = 11

24 ,x=8 3

Kalkulatu ezezagunaren balioa, kasu bakoitzean. a) 10 = x − 3

b) 35 = 5x

a) x = 10 + 3, x = 13

136

c)

b) x =

35 ,x=7 5

d) 3x = 24

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 137

ERANTZUNAK

022

6

Idatzi x + 2 = 3 ekuazioaren baliokide bat. 2x + 4 = 6

023

Ebatzi ekuazio hauek. a) x + 4 = 15 b) x − 8 = 9 c) 2x + 3 = 7 d) 5x − 3 = 17

e) f) g) h)

8x 2x 3x 5x

+ 3 = 11 −5=x+1 − 4 = 2x + 2 =x+4

a) x = 15 − 4 → x = 11 b) x = 9 + 8 → x = 17

024

11 − 3 →x=1 8 f) 2x − x = 1 + 5 → x = 6 e) x =

c) x =

7−3 →x=2 2

g) 3x − 2x = 2 + 4 → x = 6

d) x =

17 + 3 →x=4 5

h) 5x − x = 4 → 4x = 4 → x = 1

Lortu ekuazio bakoitzaren ebazpena. a) −2x + 4 = x + 1 b) x − 8 = 2x − 6

c) 8x − 2 = 10x d) 2x − 1 = x − 1

a) 4 − 1 = x + 2x → 3 = 3x → x = 1 b) −8 + 6 = 2x − x → x = −2 c) −2 = 10x − 8x → x = −1 d) 2x −x = −1 + 1 → x = 0 025

Ebatzi. x = 4 2 x − 1 = −2 b) 3 a)

x − 2 = x − 10 5 x = 4 d) 6 − 2 c)

e) 10 − f)

x = 14 − x 3

x + 3x = 2x − 5 4

a) x = 8 b) x − 3 = −6 → x = −3 c) x − 10 = 5x − 50 → −4x = −40 → x = 10 d) 12 − x = 8 → 12 − 8 = x → x = 4 e) 30 − x = 42 − 3x → 2x = 12 → x = 6 f) x + 12x = 8x − 20 → 5x = −20 → x = −4

026

1 Idatzi ebazpen hau duen ekuazio bat: x = − . 2 Adibidez: 2x + 1 = 0.

137

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 138

Aljebra: hastapenak 027

Kalkulatu ekuazio bakoitzaren ebazpena. a) b) c) d)

2(x − 5) = 3(x + 1) − 3 2(x − 3) = 4x + 14 5(x + 3) = 4(x − 2) x + 4 = 3(x + 12)

e) f) g) h)

5(x 5(x 2(x 3(x

− 2) = 3(x − 1) + 1 − 1) − 6x = 3x − 9 − 1) + (x + 3) = 5(x + 1) + 1) − 4(x − 1) + 1 = 0

a) 2x − 10 = 3x + 3 − 3 → −x = −10 → x = 10 b) 2x − 6 = 4x + 14 → −2x = 20 → x = −10 c) 5x + 15 = 4x − 8 → x = −23 d) x + 4 = 3x + 36 → −2x = 32 → x = −16 e) 5x − 10 = 3x − 3 + 1 → 2x = 8 → x = 4 f) 5x − 5 − 6x = 3x − 9 → −4x = −4 → x = 1 g) 2x − 2 + x + 3 = 5x + 5 → −2x = 4 → x = −2 h) 3x + 3 − 4x + 4 + 1 = 0 → −x = −8 → x = 8

028

Ebatzi ekuazioak. a) b) c) d) e)

x + 3(x − 8) = 3(x − 6) x − 9 = 15 + 2(x + 3) x − (2x + 5) = 3(x − 1) −3(4 − x) = x − 2(1 + x) 2(1 − 3x) = x − 5 a) x + 3x − 24 = 3x − 18 → x = 6 b) x − 9 = 15 + 2x + 6 → −x = 30 → x = −30 −1 c) x − 2x − 5 = 3x − 3 → −4x = 2 → x = 2 5 d) −12 + 3x = x − 2 − 2x → 4x = 10 → x = 2 e) 2 − 6x = x − 5 → −7x = −7 → x = 1

029

Ebatzi: 4( x − 2) = 4x − 8 =

030

x − 1. 2

x −1 → 8x −16 = x − 2 → 7x = 14 → x = 2 2

Ebatzi ekuazio hauek. 2x + 7 = 9 3 x −5 2x − 6 = b) 3 2 a)

138

x −1 x −2 x −3 = + 2 3 4 6−x 4 −x x +6 − = d) 4 2 12 c)

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 139

ERANTZUNAK

6

a) 2x + 7 = 27 → 2x = 20 → x = 10 b) 2x −10 = 6x − 18 → −4x = −8 → x = 2 c) m.k.t. (2, 3, 4) = 12 6(x − 1) = 4(x − 2) + 3(x − 3) → 6x − 6 = 4x − 8 + 3x − 9 → → −x = −11 → x = 11 d) m.k.t. (4, 2, 12) = 12 3(6 − x) − 6(4 − x) = x + 6 → 18 − 3x − 24 + 6x = x + 6 → → 4x = 12 → x = 3 031

Kalkulatu ekuazio bakoitzaren ebazpena. a) −

x 2x +5= −5 3 4

b)

x x x x + + = 30 − 2 3 4 6

a) m.k.t. (3, 4) = 12 −4x + 60 = 6x − 60 → −10x = −120 → x = 12 b) m.k.t. (2, 3, 4, 6) = 12 6x + 4x + 3x = 360 − 2x → 15x = 360 → x = 24 032

Adierazi izendatzaileak dituen ekuazio bat, ebazpena x = 0 duena. Adibidez:

033

x x + = 0. 3 4

Kutxa bat sagarren pisua kutxa bat laranjarena baino 3 kg gehiagokoa da. 2 kutxa sagarren eta 4 kutxa laranjaren pisua 42 kg-koa izan da. Zer pisu du kutxa bat laranjak? Kutxa bat laranjaren pisua: x Kutxa bat sagarren pisua: x + 3 2(x + 3) + 4x = 42 → 2x + 6 + 4x = 42 → 6x = 36 → x = 6 Kutxa bat laranjaren pisua 6 kg-koa da.

034

Zenbaki baten eta haren aurrekoaren batura 63 da. Zer zenbaki dira? Zenbakia: x Zenbakiaren aurrekoa: x − 1

x + (x − 1) = 63 → 2x −1 = 63 → 2x = 64 → x = 32 Zenbakiak 32 eta 31 dira. 035

Laukizuzen baten perimetroa 56 cm-koa da. Zer luzera dute aldeek, luzera zabaleraren hirukoitza bada? Laukizuzenaren zabalera: x Laukizuzenaren luzera: 3x 3x + 3x + x + x = 56 → 8x = 56 → x = 7 Laukizuzenaren zabalera 7 cm-koa da, eta luzera, 21 cm-koa.

139

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 140

Aljebra: hastapenak ARIKETAK 036 ●

Lotu enuntziatu bakoitza dagokion adierazpen aljebraikoarekin. a) b) c) d)

Triangelu aldeberdin baten perimetroa. Zenbaki baten hirukoitza gehi 2 bateko. Bi zenbakiren baturaren bikoitza. Zenbaki baten eta ondorengoaren biderkadura. a) → 3) b) → 1)

037 ●

038 ●●

1) 2) 3) 4)

3a + 2 x (x + 1) 3x 2(x + y)

c) → 4) d) → 2)

Idatzi adierazpen hauek hizkuntza aljebraikoan. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

Zenbaki baten berbidura. Zenbaki bat ken hiru. Zenbaki baten bikoitza gehi hiru. Zenbaki baten erdia ken bost. Zenbaki baten hirukoitza gehi zenbaki beraren bikoitza. Zenbaki baten eta hiruren kenduraren laurdena. Zenbaki baten bostena ken zenbaki beraren hirukoitza. Bi zenbakiren batura. Bi zenbakiren baturaren hirukoitza. Zenbaki baten seirena gehi sei. x −5 2

a) x 2

d)

b) x − 3

e) 3x + 2x

c) 2x + 3

f)

g)

x − 3x 5

i) 3(x + y)

h) x + y

j)

x −3 4

x +6 6

x edozein zenbaki dela kontuan hartuz, adierazi hizkuntza arruntean adierazpen aljebraiko hauek. a) x − 2

c) 2x

b) x + 5

d)

x 2

e) x 3 − 5

g) 2x + 2x 2 + 2x 3

f) 3x − x 4

h)

x

a) Zenbaki bat ken bi. b) Zenbaki bat gehi bost. c) Zenbaki baten bikoitza. d) Zenbaki baten erdia. e) Zenbaki baten kuboa ken bost. f) Zenbaki baten hirukoitza ken zenbaki hori ber lau. g) Zenbaki baten bikoitza, gehi zenbaki horren berbiduraren bikoitza gehi zenbaki horren kuboaren bikoitza. h) Zenbaki baten erro koadroa.

140

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 141

ERANTZUNAK

039

Asmatu adierazpen aljebraiko hauetarako esaldiak.

●●

a) a + b b) 3(a + b) x c) 4 d) 3x − 1 e) x + 5 f) x 3 − 4

6

g) m + 2 h) 2(x − y) x +2 i) 3 j) 2x + 7 k) x − 8 l) x 2 + 2x

a) Bi zenbakiren batura. b) Bi zenbakiren baturaren hirukoitza. c) Zenbaki baten laurdena. d) Zenbaki baten hirukoitza ken bat. e) Zenbaki bat gehi bost. f) Zenbaki baten kuboa ken lau. g) Zenbaki bat gehi bi. h) Bi zenbakiren kenduraren bikoitza. i) Zenbaki baten herena gehi bi. j) Zenbaki baten bikoitza gehi zazpi. k) Zenbaki bat ken zortzi. l) Zenbaki baten berbidura gehi zenbaki horren bikoitza. 040 ●

041 ●

Lortu 6x − 3ren zenbakizko balioa, x hauetarako: a) x = 1

b) x = 2

c) x = −1

a) 6 ⋅ 1 − 3 = 3

c) 6 ⋅ (−1) − 3 = −9

b) 6 ⋅ 2 − 3 = 9

d) 6 ⋅ (−3) − 3 = −21

d) x = −3

Kalkulatu 7x − 4 adierazpen aljebraikoaren zenbakizko balioa, balio hauetarako: x = −2, x = 1, x = −3.

x = −2 → 7 ⋅ (−2) − 4 = −18 x=1→7⋅1−4=3 x = −3 → 7 ⋅ (−3) − 4 = −25 042 ●

Kalkulatu adierazpen aljebraiko bakoitzaren zenbakizko balioa, a = 3 bada. a) 2a − 5 b) 3a 2 + 2a − 1

c) a (a − 1)(a + 2) d) (−a − 2)(−2a)

a) 2 ⋅ 3 − 5 = 1 b) 3 ⋅ 32 + 2 ⋅ 3 − 1 = 32 c) 3 ⋅ (3 − 1) ⋅ (3 + 2) = 30 d) (−3 − 2) ⋅ ((−2) ⋅ 3) = 30

141

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 142

Aljebra: hastapenak 043 ●

Kalkulatu adierazpen aljebraiko bakoitzaren zenbakizko balioa, a = 4 eta b = 2 badira. a) (a + b)(a − b) b) 3a + 2b + 1

044

c) 4a + 2b − ab d) (a − 1)2 + (b + 1)2

a) (4 + 2)(4 − 2) = 6 ⋅ 2 = 12

c) 16 + 4 − 8 = 12

b) 12 + 4 + 1 = 17

d) 32 + 32 = 18

Kalkulatu adierazpen aljebraiko bakoitzaren balioa, adierazitako balioetarako.

●

3x − 4 3 − 4 = −1 3⋅2−4=2 3 ⋅ (−1) − 4 = −7 0 − 4 = −4 3 ⋅ (−2) − 4 = −10 3 ⋅ (−4) − 4 = −16 21 − 4 = 17 3 ⋅ (−5) − 4 = −19

x-ren balioa x=1 x=2 x = −1 x=0 x = −2 x = −4 x=7 x = −5

a eta b-ren balioak a=0 b=1 a=0 b=2 a = −1 b = −2 a=2 b=3 a = −2 b = −3 a=0 b=0 a = −1 b=2

045 ●

046 ●

●

Adierazpen aljebraikoa 6x 3 −4x xy −2a 2b

Koefizientea 6 −4 1 −2

(a + b)2 12 = 1 22 = 4 (−3)2 = 9 52 = 25 (−5)2 = 25 02 = 0 12 = 1

Letrazko zatia x3 x xy a 2b

Maila 3 1 2 3

Kalkulatu adierazpen aljebraiko bakoitzaren maila. a) 4x 3 b) −2y 2

c) −3xy 3 d) 2a 2b b) 2

c) 4

d) 3

Ordenatu monomioak mailaren arabera, handienetik txikienera. 3a 4, 7ab, 52xy 2, 3x 2y 3, 5 3x 2y 3, 3a4, 52xy 2, 7ab, 5

142

5a − 2b 0 − 2 = −2 0 − 4 = −4 −5 + 4 = −1 10 − 6 = 4 −10 + 6 = −4 0−0=0 −5 − 4 = −9

Osatu taula hau.

a) 3 047

x2 + 1 1 +1=2 22 + 1 = 5 (−1)2 + 1 = 2 0+1=1 (−2)2 + 1 = 5 (−4)2 + 1 = 17 72 + 1 = 50 (−5)2 + 1 = 26 2

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 143

ERANTZUNAK

048 ●●

Idatzi monomio bana: 1 a) koefizientea eta xy letrazko zatia dituena. 5 b) −1 koefizientea duena eta 3. mailakoa. a)

049 ●●

1 xy 5

b) −x 3

Idatzi letrazko zati eta maila bera izanik, hiru monomio pare desberdin. Nolakoak dira elkarren artean monomio pareak? −2 2 x , −9x 2 7

1 2 x , −6x 2 2 Antzeko monomioak dira. 3x 2, −4x 2

050 ●

6

Adierazi zein monomio pare diren antzekoak eta idatzi haien aurkakoak. a) 2x 3 y 2x b) 3x y −2x c) 12a 2 y −3a 2 d) a 3 y 3a a) Ez dira antzekoak. Aurkakoak: −2x 3, −2x. b) Antzekoak. Aurkakoak: −3x, 2x. c) Antzekoak. Aurkakoak: −12a 2, 3a 2. d) Ez dira antzekoak. Aurkakoak: −a 3, −3a.

051 ●

Idatzi monomio hauetako bakoitzaren antzeko bi monomio. b) −5x 2

a) 12a

a) −2a y 34a

052 ●

c) 13y 3 b) 2x 2 y −8x 2

c) −2y 3 y

1 3 y 7

Egin monomioen batuketa eta kenketa. a) 2x + 3x

f) 7a + 5a + 3a

b) − 4ab + 2ab

g) 5x 4 − 2x 2 − 3x 2

c) 17x 2 − 4x 2

h) 2xy + 4xy − 8xy

d) −5x 2y 2z − (−x 2y 2z)

i) 2x 2 − 4x 2 + 5x 2

e) 4a 2b + 6ab 2

j) 2xy − 2x + 2y

a) 5x

f) 15a

b) −2ab c) 13x

2

g) 0 h) −2xy

d) −4x 2y 2z

i) 3x 2

e) 4a 2b + 6ab 2

j) 2xy − 2x + 2y

143

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 144

Aljebra: hastapenak 053 ●

Egin monomio hauen batuketak eta kenketak. a) 3x 2 eta −9x 2 b) 4x eta 12x

c) 4x eta 3x 2 d) −36x 3 eta 45x 3

e) 12ab eta −8ab f) 12x eta −4

Emaitza beste monomio bat al da? a) Batura: −6x 2

Kendura: 12x 2

b) Batura: 16x

Kendura: −8x

c) Batura: 4x + 3x 2

Kendura: 4x − 3x 2

d) Batura: 9x

3

Kendura: −81x 3

e) Batura: 4ab

Kendura: 20ab

f) Batura: 12x − 4

Kendura: 12x + 4

Emaitza monomio bat da, letrazko zati bera badute. Hori gertatzen da atal hauetan: a), b), d) eta e).

054

EGIN HONELA NOLA JAKITEN DA BERDINTZA ALJEBRAIKOAK IDENTITATEAK ALA EKUAZIOAK DIREN? Adierazi ekuazioak ala identitateak diren adierazpen hauek. a) x + 5 = 2x

b) 2x − x = x

LEHENA. Edozein balio aukeratzen da, aldagaietarako. Berdintza betetzen ez bada, ekuazioa da.

x=1

a) x + 5 = 2x ⎯⎯→ 1 + 5 ⫽ 2 ⋅ 1. Ekuazioa da. x=1

b) 2x − x = x ⎯⎯→ 2 ⋅ 1 − 1 = 1 Berdintza betetzen bada, aldagaien beste balio batzuk aukeratzen jarraitzen da. Balio guztietarako betetzen bada, identitatea da. BIGARRENA.

x=2

b) 2x − x = x ⎯⎯→ 2 ⋅ 2 − 2 = 2 → 4 − 2 = 2 x=3

2x − x = x ⎯⎯→ 2 ⋅ 3 − 3 = 3 → 6 − 3 = 3 … Berdintza x-ren edozein baliotarako betetzen da; identitatea da.

055 ●

Adierazi zein berdintza diren identitateak, eta zein, ekuazioak. a) b) c) d)

6x + 1 = 7 2a + 3a = 5a 12x + 6x 2 = 6x (2 + x) 15x + 8x = 23x a) Ekuazioa

144

e) f) g) h)

2x + 8x = 10x 9ab 2 − 5a 2b = ab (9b − 5a) 6x = 7 + 5x (x + 7)(x − 7) = x 2 − 49

e) Identitatea

b) Identitatea

f) Identitatea

c) Identitatea

g) Ekuazioa

d) Identitatea

h) Identitatea

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 145

ERANTZUNAK

056

6

Osatu taula hau.

● Ekuazioa 7+s=2 18 = 2t 5x = 1 + x 0=8−y 10r = 3

057 ●

Lehen atala 7+s 18 5x 0 10r

Bigarren atala 2 2t 1+x 8−y 3

Gaiak 7;s;2 18 ; 2t 5x ; 1 ; x 0;8;y 10r ; 3

Ezezaguna s t x y r

Aztertu berdintza hauek betetzen diren, emandako balioetarako. x +5 + 1 = 6, x = 5 bada i) a) 4x − 7 = 2, x = 3 bada 2 b) 10 − x = 13, x = −3 bada x x + = 5, x = 6 bada j) c) 15 + x = 11, x = −4 bada 3 2 d) 3(x − 2) = 6, x = 4 bada x +8 + 2( x − 1) = 3, x = 1bada k) e) (8 − x) 4 = 8, x = 2 bada 3 x f) (9 − x)(6x + 2) = 16, x = 8 bada = 35, x = 15 bada l) 2x + 3 x = 16, x = 8 bada g) 2 m) x 2 + 1 = 7, x = 3 bada x + 5 = 8, x = 9 bada h) 3 a) 12 − 7 ⫽ 2. Okerra.

h) 3 + 5 = 8. Zuzena.

b) 10 + 3 = 13. Zuzena.

i)

5 + 1 = 6. Zuzena.

c) 15 − 4 = 11. Zuzena.

j)

2 + 3 = 5. Zuzena.

d) 3(4 − 2) = 6. Zuzena.

k) 3 + 0 = 3. Zuzena.

e) (8 − 2) 4 ⫽ 8. Okerra.

l)

f) (9 − 8)(48 + 2) ⫽ 16. Okerra.

m) 9 + 1 ⫽ 7. Okerra.

30 + 5. = 35. Zuzena.

g) 4 ⫽ 16. Okerra.

058 ●

Adierazi zein ekuaziok duten x = −2 ebazpena. a) x + 2 = 0 b) 2x + 4 = −8 c) 3x − 1 = 5 d) 5x + 8 = −2 a) −2 + 2 = 0. Bai. b) −4 + 4 ⫽ 8. Ez. c) −6 − 1 ⫽ 5. Ez. d) −10 + 8 = −2. Bai.

145

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 146

Aljebra: hastapenak 059 ●

Adierazi x-ren balioa ekuazioaren ebazpena den, eta ez bada, zeuk kalkulatu. a) b) c) d)

2x − 5 = 7; x = 5 3x − 6 = 2x − 5; x = 3 x + 1 + 5 = 2x + 2; x = 4 3(x + 2) − 5 = 4x + (x − 1); x = 1 a) Ez da ebazpena. Ebazpena: 2x = 12 → x = 6 b) Ez da ebazpena. Ebazpena: 3x − 2x = −5 + 6 → x = 1 c) Ebazpena. d) Ez da ebazpena. Ebazpena: 3x + 6 − 5 = 4x + x − 1 → −2x = −2 → x = 1

060 ●●

Idatzi ezezagun bakarreko lehen mailako hiru ekuazioa, x = 2 ebazpena dutenak. 2x + 2 = 6; 3x − 4 = 2; −x + 12 = 10

061

Esan, eragiketarik egin gabe, x-ren zer baliotarako betetzen diren berdintza hauek.

●●

a) b) c) d)

062 ●

146

x+3=4 2x = 16 6−x=1 9x = 36 x = 5 e) 5 f) 4 = −x

7−x=5 4x − 3 = 1 4+x=6 2x + 1 = 5 x = 9 k) 27 l) 9 = 3x

g) h) i) j)

a) x = 1

d) x = 4

g) x = 2

j) x = 2

b) x = 8

e) x = 25

h) x = 1

k) x = 243

c) x = 5

f) x = −4

i) x = 2

l) x = 3

Kalkulatu ezezagunaren balioa, berdintzak zuzenak izan daitezen. a) b) c) d) e)

x+3=7 9 + x = 12 x−5=9 7 + x = 18 x−3=7

f) g) h) i) j)

x+5=6 15 + x = 9 x − 3 = −5 x − 10 = 9 2 + x = 15

a) x = 4

d) x = 11

g) x = −6

i) x = 19

b) x = 3

e) x = 10

h) x = −2

j) x = 13

c) x = 14

f) x = 1

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 147

ERANTZUNAK

063 ●

Ebatzi ekuazio hauek. a) b) c) d) e)

4x = 16 −7x = 49 −5x = −125 27x = −81 −5x = −25 a) x = 4

064 ●

6

f) g) h) i) j)

2x = −238 −3x = 36 −9x = 81 0,2x = −90 0,6x = −36

f) x = −119

b) x = −7

g) x = −12

c) x = 25

h) x = −9

d) x = −3

i) x = −450

e) x = 5

j) x = −60

Kalkulatu ekuazio bakoitzaren ebazpena. a) b) c) d) e)

4x = 5 + 3x 6x = 12 + 4x x − 8 = 3x 20 + 6x = 8 10 − 3x = −2x

f) g) h) i) j)

6 + 2x = x 14x + 6x = 40 30 + 8x = −7x x + 5 = −4x 10x + 3 = 8x + 1

a) x = 5

d) x = −2

g) x = 2

i) x = −1

b) x = 6

e) x = 10

h) x = −2

j) x = −1

c) x = −4

f) x = −6

065

Ekuazioak behar bezala ebatzi al dira? Bestela, zeuk ebatzi.

●●

a) 3x − 1 = 0 =0 3x x =0

d) 4x = 10 x = 10 − 4 x=6

b) 2x + 3 = 5 = −2 2x x = −1

e) 4x + 2 = 6 4x =6+2 x =1

c) 7x = 8 x=8−7 x=2

f) 2x + 1 = 8 2x =8+1 x = 4,5

a) 3x = 1 1 x = 3 b) 2x = 2 x =1

c) x =

8 7

e) 4x = 6 − 2 4x = 4 x =1

d) x =

10 5 = 4 2

f) 2x = 7 7 x = 2

147

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 148

Aljebra: hastapenak 066 ●

Ebatzi ekuazio hauek. a) 25 − 2x = 3x − 35

i) 100 − 3x = 5x − 28

b) 4x + 17 = 3x + 24

j) 10x − 17 = 4x + 85

c) 7x − 3 = 21x − 9

k) 3x + 1 = 7x − 11

d) 1 + 8x = −64x + 46

l) 11x − 100 = 2x − 1

e) 5x − 11 = 15x − 33

m) 25 − 2x = 3x − 80

f) 2x + 17 = 3x + 2

n) 19 + 8x = 12x + 14

g) 70 − 3x = 14 + x

ñ) 21y − 3 = 10y + 195

h) 60 − 5x = x − 12

o) 2 − 6y = 36y − 5

a) 60 = 5x → x = 12 b) x = 24 − 17 → x = 7 c) 6 = 14x → x =

6 3 = 14 7

d) 72x = 45 → x =

45 5 = 72 8

e) 22 = 10x → x =

22 11 = 10 5

f) x = 15 g) 56 = 4x → x =

56 = 14 4

h) 72 = 6x → x =

72 = 12 6

i)

128 = 8x → x =

128 = 16 8

j)

6x = 102 → x =

102 = 17 6

k) 12 = 4x → x = l)

9x = 99 → x =

12 =3 4 99 = 11 9

m) 105 = 5x → x = n) 5 = 4x → x =

105 = 21 5

5 4

ñ) 11y = 198 → y = o) 7 = 42y → y =

148

198 = 18 11

7 1 = 42 6

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 149

ERANTZUNAK

067

6

Ebatzi ekuazio hau. 3(x − 2) = x + 10

●●

3x − 6 = x + 10 → 2x = 16 → x = 8 068

Ebatzi ekuazio hau. 38 + 7(x − 3) = 9(x + 1)

●●

38 + 7x − 21 = 9x + 9 → 8 = 2x → x = 4 069

Kalkulatu ekuazio bakoitzaren ebazpena.

●●

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)

5(x − 8) = 3(x − 6) 2(x + 5) = 9x + 31 −1(x + 3) = 2(6 + x) −5(6 − 5x) = 5x − 10 16 + 5x = x − 3(4 + x) −3(6 − 6x) − 3 = x − 4 −6x = 3(5x + 8) − 3 (x + 28) + 15 = 2(x + 15) (2x + 1) = 8 − (3x + 3) 2(x − 7) = 6(x + 1) 2(x − 5) = 5(x − 4) 6(x − 4) = 3(x − 3) 3(x − 3) − 4(x − 5) = 6 6(x − 3) + 5(x + 4) = 15 a) 5x − 40 = 3x − 18 → 2x = 22 → x = 11 b) 2x + 10 = 9x + 31 → −7x = 21 → x = −3 c) −x − 3 = 12 + 2x → −15 = 3x → x = −5 d) −30 + 25x = 5x − 10 → 20x = 20 → x = 1 e) 16 + 5x = x − 12 − 3x → 7x = −28 → x = −4 f) −18 + 18x − 3 = x − 4 → 17x = 17 → x = 1 g) −6x = 15x + 24 − 3 → −21 = 21x → x = −1 h) x + 43 = 2x + 30 → x = 13 i) j)

4 5 2x − 14 = 6x + 6 → −20 = 4x → x = −5

2x + 1 = 8 − 3x − 3 → 5x = 4 → x =

k) 2x − 10 = 5x − 20 → 10 = 3x → x = l)

10 3

6x − 24 = 3x − 9 → 3x = 15 → x = 5

m) 3x − 9 − 4x + 20 = 6 → −x = −5 → x = 5 n) 6x − 18 + 5x + 20 = 15 → 11x = 13 → x =

13 11

149

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 150

Aljebra: hastapenak 070

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA IZENDATZAILE BAKARREKO EKUAZIOAK? Ebatzi ekuazio hauek. a)

4x = 8 3

a)

LEHENA.

b)

5x −3 = 7 3

Izendatzailea ezabatu behar da, beste atalera biderkatzen pasatuz.

4x = 8 → 4 x = 8 ⋅ 3 → 4 x = 24 3 BIGARRENA. x bakandu behar da. 24 4 x = 24 → x = → x =6 4 b)

x duten gaiak lehen atalean utzi behar dira, eta zenbakiak, bigarrenean.

LEHENA.

5x 5x 5x −3 = 7 → = 7+3 → = 10 3 3 3 BIGARRENA.Izendatzailea ezabatu eta x bakandu behar da. 5x = 10 → 5 x = 3 ⋅ 10 → 5 x = 30 → 3 30 → x = → x =6 5 071 ●●

Kalkulatu ekuazio bakoitzaren ebazpena. 2x = 4 3 6x −2 = 4 b) 7 a)

a) b) c) d) 072 ●●

2x = 12 → x = 6 6x = 28 + 14 → 6x = 42 → x = 7 4x = 18 − 6 → 4x = 12 → x = 3 −8x = 48 → x = −6

Ebatzi. 6x + 4 = 4 7 3x − 5 = 2 b) 2 a)

a) b) c) d)

150

4x +2= 6 3 −8 x = 16 d) 3

c)

16 − x =1 7 4+x = 5 d) 3

c)

6x + 4 = 28 → 6x = 24 → x = 4 3x − 5 = 4 → 3x = 9 → x = 3 16 − x = 7 → x = 9 4 + x = 15 → x = 11

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 151

ERANTZUNAK

073 ●●

6

Kalkulatu ekuazio bakoitzaren ebazpena. a) 10 + b)

2x = 8+4 7

c) 4 x − 38 =

x + 2x = 1 + 2x 3

d)

a)

2x = 2 → 2x = 14 → x = 2 7

b)

x + 2x − 2x = 1 → x = 3 3

3x + 2 5

2x = 24 3

c) 20x − 190 = 3x + 2 → 17x = 192 → x =

192 17

d) 2x = 72 → x = 36 074

Zein da ekuazioaren ebazpena?

●

a) 5

b) 3

x −3 3( x − 4 ) 4( x − 5) − = 2 3 5 c) −3 d) −1

Ebazpena hau da: x = 5. 5−3 3(5 − 4) 4(5 − 5) − = 2 3 5 2 3 0 − = 2 3 5 0=0 075 ●●

Ebatzi eta sinplifikatu ahalik gehiena. a) 4 x + b)

1 3x − 4 = 2 2

4x + 4 x +6 = 3 2

c) 3( x − 2) −

2x = 4( x + 3) 2

d) 3( x + 1) −

6( x − 2) = 5 3

e)

3( x − 1) 10( x + 1) 1 + = 2x + 3 5 4

f)

2( x + 1) 3( x − 1) 8( x + 2) + + = 5x − 1 2 3 4

g)

2( x − 3) 2( x + 2) − −5 = x +1 5 7

151

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 152

Aljebra: hastapenak a) 8x + 1 = 3x − 4 → 5x = −5 → x = −1 b) m.k.t. (3, 2) = 6 2(4x + 4) = 3(x + 6) → 8x + 8 = 3x + 18 → 5x = 10 → x = 2 c) 3x − 6 − x = 4x + 12 → −2x = 18 → x = −9 d) 3(x + 1) − 2(x − 2) = 5 → 3x + 3 − 2x + 4 = 5 → x = −2 e) (x − 1) + 2(x + 1) = 2x + → x =

1 1 1 → 3x − 1 = 2x + → x = 1+ → 4 4 4

5 4

f) (x + 1) + (x − 1) + 2(x + 2) = 5x + 1 → x + 1 + x − 1 + 2x + 4 = = 5x + 1 → −x = −3 → x = 3 g) m.k.t. (5, 7) = 35 14(x − 3) − 10(x + 2) − 35 ⋅ 5 = 35(x + 1) 14x − 42 − 10x − 20 − 175 = 35x + 35 → −31x = 272 → x =

076

Ebatzi eta adierazi zein ekuazio diren baliokideak.

●●

a) x + 3 = 5

−272 31

b) 3(x − 2) + 2(x + 1) = 6 c)

2x − 1 3 6x − 1 2 − = − 3 4 12 3

d) x +

x x + = 4 2 3

e) 2(x + 5) + 3(x − 2) = 24 f)

2( x − 3) x +1 x −5 x −2 + − − = 3 2 4 6 3 a) x = 2 b) 3x − 6 + 2x + 2 = 6 → 5x = 10 → x = 2 c) m.k.t. (3, 4, 12) = 12 8x − 4 − 9 = 6x − 1 − 8 → 2x = 4 → x = 2 d) m.k.t. (2, 3) = 6 6x + 3x + 2x = 24 → 11x = 24 → x =

24 11

e) 2x + 10 + 3x − 6 = 24 → 5x = 20 → x = 4 f) m.k.t. (2, 4, 6, 3) = 12 12(x − 3) + 3(x + 1) − 2(x − 5) − 4(x − 2) = 36 → 51 → 12x − 36 + 3x + 3 − 2x + 10 − 4x + 8 = 36 → 9x = 51 → x = 9 a), b) eta c) baliokideak dira.

152

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 153

ERANTZUNAK

077 ●

078 ●

Adierazi enuntziatu hauek hizkuntza aljebraikoan. a) b) c) d)

Edozein zenbaki. Bi zenbakiren batura. Bi zenbakiren baturaren bikoitza. Zenbaki baten bikoitza gehi beste zenbaki bat. a) x

c) 2(x + y)

b) x + y

d) 2x + y

Adierazi enuntziatu hauek hizkuntza aljebraikoan. a) b) c) d)

Kantitate Kantitate Kantitate Kantitate

baten baten baten baten

x +3 a) 4

b) 5x + 8

079 ●

laurdena gehi 3 bateko. boskoitza gehi 8 bateko. erdia gehi kantitate beraren erdiaren erdia. laurdena gehi kantitate beraren laurdenaren erdia. x x x x 2 + = + c) 2 2 2 4 x 4 x x x + = + d) 4 2 4 8

Jakinik laukizuzen baten oinarria x dela eta altuera y, osatu beheko taula. Azalera Perimetroa Azaleraren bikoitza Perimetroaren erdia

y x

080 ●

6

x⋅y 2(x + y) 2⋅x⋅y x+y

Osatu taula, jakinik Peruren adina Anderren adinaren bikoitza dela, Nahiak Peruk baino 6 urte gehiago dituela, eta Maiderrek Peruk baino 10 urte gutxiago. Nahia 26 2x + 6

Anderren adina 10 urtekoa balitz Anderren adina ez badakigu

Ander 10 x

Maider 10 2x − 10

081

Erantzun adierazpen aljebraiko banaren bidez.

●●

a) Aparkaleku batean, x bizikleta daude. Zenbat gurpil daude guztira? b) Behi-ukuilu batean, x hanka badaude, zenbat behi daude? c) Baserri batean, x oilasko eta y untxi daude. Zenbat hanka daude? a) 2x

b)

x 4

Peru 20 2x

c) 2x + 4y

153

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 154

Aljebra: hastapenak 082

2x + 3 adierazpen aljebraikoa emanda, asmatu enuntziatu bat.

●●

a) x laukizuzen baten altuera bada. b) x pertsona baten adina bada. a) Laukizuzen baten oinarria altueraren bikoitza gehi 3 bateko da. b) Jonen lehengusuak Jonen adinaren bikoitza gehi 3 urte ditu.

083 ●●

Jakinik x Andoniren gaur egungo adina dela, idatzi problema baten enuntziatu bana, ekuazio hauetarako. a) x + 8 = 25 b) 2x = 40

c) 2(x − 1) = 16 d) x + 40 = 65

a) Andonik, 8 urte barru, 25 urte izango ditu. b) Andoniren adinaren bikoitza 40 urte da. c) Duela urtebete, Andoniren adinaren bikoitza 16 urte zen. d) Andoniren eta Jonen, 40 urtekoa, adinaren batura 65 urte da. 084

Adierazi enuntziatu hauek ekuazio gisa eta kalkulatu ebazpenak.

●●

a) Zer zenbaki gehi 3 da 8? b) Zer zenbaki bider 5 da 60? c) Zer zenbaki zati 12 da 84? a) 3 + x = 8 → x = 5

085 ●●

b) 5 ⋅ x = 60 → x = 12

c)

x = 84 → x = 7 12

Idatzi adierazpen honi dagokion ekuazioa: «Zenbaki baten hirukoitza gehi bost hogeita sei da». Zer zenbaki da? 3x + 5 = 26 → 3x = 21 → x = 7

086 ●●

«Zenbaki baten bikoitza ken bost hamaika bada», idatzi ekuazioa eta ebatzi. 2x − 5 = 11 → 2x = 16 → x = 8

087 ●●

Zenbaki bati 7 batzen badiogu, 15 zenbakia lortuko dugu. Idatzi ekuazioa eta kalkulatu zenbaki hori.

x + 7 = 15 → x = 8 088 ●●

089 ●●

154

Zenbaki baten eta hurrengoaren batura hogeita hiru da. Zer zenbaki dira?

x + (x + 1) = 23 → 2x = 22 → x = 11. Zenbakiak 11 eta 12 dira. Zenbaki baten eta haren bikoitzaren batura hamabi da. Zer zenbaki da?

x + 2x = 12 → 3x = 12 → x = 4

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 155

ERANTZUNAK

090 ●●

6

Zenbaki baten hirukoitza ken zenbaki bera egiten badugu, hamar lortzen da. Adierazi zer zenbaki den. 3x − x = 10 → 2x = 10 → x = 5

091 ●●

Gorkak Anek irakurri duen ipuin kopuruaren bikoitza eta beste bi ipuin irakurri ditu. Gorkak 12 ipuin irakurri baditu, zenbat ipuin irakurri ditu Anek? 2x + 2 = 12 → 2x = 10 → x = 5 Anek 5 ipuin irakurri ditu.

092 ●●

Sakela batean, diru kantitate jakin bat dut, eta bestean, bikoitza. Guztira 6 € ditut. Zenbat diru dut sakela bakoitzean?

x + 2x = 6 → 3x = 6 → x = 2 Sakela batean 2 € ditut, eta bestean, 4 €. 093 ●●

Baso batean, beste baso bateko zuhaitz kopuru bikoitza dago, eta bien artean 120.000 zuhaitz dituzte. Zenbat zuhaitz ditu baso bakoitzak?

x + 2x = 120.000 → 3x = 120.000 → x = 40.000 Baso batek 40.000 zuhaitz ditu, eta besteak, 80.0000. 094

Ikastetxe batean, DBHko 1. mailako bi gela daude, eta gela bakoitzean, 24ikasle.

●●

a) 1. A gelako neskak mutilen bikoitza badira, zenbat neska daude gela horretan? b) 1. B gelako neska kopurua mutilena gehi lau bada, zenbat mutil daude gela horretan? a) Mutilak: x Neskak: 2x x + 2x = 24 → 3x = 24 → x = 8 Gelan 16 neska daude. b) Mutilak: x x + x + 4 = 24 → 2x = 20 → x = 10 Gelan 10 mutil daude.

095 ●●●

Anek dio: «Nire adinaren erdia, gehi herena, gehi laurdena, gehi seirena une honetan dudan adina gehi 6 urte dira». Zenbat urte ditu Anek? Aneren adina: x x x x x + + + = x +6 2 3 4 6 m.k.t. (2, 3, 4, 6) = 12 6x + 4x + 3x + 2x = 12x + 72 → 3x = 72 → x = 24 Anek 24 urte ditu.

155

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 156

Aljebra: hastapenak 096 ●●●

Andonik 64 arkatz ditu, Saioak duen arktza kopuruaren bikoitza, hain zuzen ere; Saioak Keparen arkatz kopuruaren bikoitza du; eta Kepak, Eleneren bikoitza. Zenbat arkatz ditu bakoitzak? Andoni: 8x Saioa: 4x Kepa: 2x Elene: x 8x = 64 → x = 8 Andoni: 64 arkatz. Kepa: 16 arkatz.

097 ●●●

Saioa: 32 arkatz. Elene: 8 arkatz.

Baserri bateko oiloen eta untxien artean, 30 buru eta 90 hanka daude. Zenbat oilo eta untxi daude? Oiloak: x Untxiak: 30 − x 2x + 4(30 − x) = 90 → 2x + 120 − 4x = 90 → → −2x = −30 → x = 15 15 oilo eta 15 untxi daude.

098 ●●●

Ibonek diruaren erdia zineman gastatu du, eta bostena, askaltzen. Oraindik, 36 € geratzen zaizkio. Zenbat diru zuen etxetik ateratzean? Etxetik ateratzean zuen dirua: x ⎛x x⎞ x − ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟⎟ = 36 → 10x − 5x − 2x = 360 → ⎝2 5⎠ → 3x = 360 → x = 120 Etxetik ateratzean 120 € zituen.

099 ●●●

Urtebete barru, Jonek Aitziber lehengusinaren adinaren herena izango du, eta duela urtebete, Aitziberrek une hartan zuen adinaren laurdena zuen. Zer adin du gaur egun Aitziberrek? Jonen adina: x Jonen adina, urtebete barru: x + 1 Jonen adinia, duela urtebete: x − 1 Aitziberren adina, duela urtebete: 4(x − 1) Aitziberren adina, urtebete barru: 3(x + 1) Aitziberren adina: 3(x + 1) −1 eta 4(x − 1) + 1 3(x + 1) −1 = 4(x − 1) + 1 → 3x + 3 − 1 = 4x − 4 + 1 → −x = −5 → x = 5 Jonek 5 urte ditu, eta Aitziberrek, 17 urte.

156

908261 _ 0132-0159.qxd

11/9/07

11:10

Página 157

ERANTZUNAK

100 ●●

6

Irudiko balantza orekatuta dago. Zer objektu jarri behar da beheko balantza bakoitzaren eskuineko platertxoan, orekan egoteko?

a)

b)

Informazio hau baliagarria izango da: balantza hau orekatuta dago. Zenbat kubo jarri behar dira eskuineko platertxoan, balantza bakoitza orekatzeko?

c)

d)

a) Ezkerreko platertxoan kubo bat jarri da. Orekatuta egoteko, kubo bat jarri behar da eskuineko platertxoan. b) Goiko grafikoarekin bat dator, platertxoak aldatu eta piramidearen platertxoari zilindro bat jarriz gero. Zilindro bat jarri behar da. c) Lehenengo balantzaren arabera, zilindroa gehi kuboa piramidearen baliokidea da; beraz, bi piramide jarri behar dira ezkerreko platertxoan: 2 piramide = 6 kubo → → 1 piramide = 3 kubo. d) Goiko balantzan piramidearen ordez hiru kubo jarri eta platertxo bakoitzetik kubo bat ezabatuz gero, hau lortzen da: 1 zilindro = 2 kubo. 101 ●●●

Irudiko karratu magikoa (ilara, zutabe eta diagonal bakoitzeko zenbakien batura bera da) 1etik 9ra arteko zenbakiek osatzen dute. Ez dakigu zer zenbaki dagoen lauki bakoitzean, baina bai b > c dela. Kalkulatu letra bakoitzaren balioa. Bi hauekin hasiko gara: a + b + c eta a − b − c; handienarekin eta a−b−c=1 txikienarekin (9 eta 1), hurrenez hurren: a + b + c = 9 Bi adierazpenak batuz gero: 2 ⋅ a = 10, a = 5; 5 + b + c = 9 → b + c = 4. b > c denez eta zenbaki arruntak direnez, izan dezakegun ebazpen bakarra hau da: b = 3 eta c = 1.

a+b

a-b+c

a-c

8

3

4

a-b-c

a

a+b+c

1

5

9

a+c

a+b-c

a-b

6

7

2

157

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 158

Aljebra: hastapenak 102 ●●●

Kalkulatu

❀, ★eta 첒 ikurren balioak, datu hauek aintzat hartuz. ❀ + ★ + 첒 = 12 ❀ + ★ - 첒 = 12 ❀ - ★ - 첒 = 61

Lehen eta hirugarren berdintza batuta: 2 ❀ = 18 → ❀ = 9.

❀ bere balioaz ordezkatuz eta lehen bi berdintzak batuz: 2(9 + ★) = 24 → 9 + ★ = 12 → ★ = 3. Lehen bien kenketa eginda: 첒 = 0. EGUNEROKOAN 103 ●●●

Jarduera fisiko handiko kirolariei karbohidrato, lipido (koipeak) eta proteina askoko dieta gomendatzen zaie. Honda hemen adituen gomendioak:

Lipidoak (koipeak) halako bi karbohidrato hartzea

Adierazitako elikagaien kantitateak ( 100 g.-an ) Elikagaiak

Kcal

KarboKoipeak Proteinak hidratoak

Esnea eta esnekiak Gazta

38

0,5

29,5

28,2

Jogurta

62

6,3

3,5

3,8

Txerria

219

0,5

16,5

17,5

Txahala

190

0

12,0

19,0

Oilaskoa

200

0

15,0

18,0

160

0,8

12,0

12,0 18,0

Haragiak

Arrautzak Arrautzak Arrainak

Txirrindulari batek egunero 5.000 kcal inguru behar dituela kalkulatu da iritzira. Beheko elikagai-taula erabiliz, prestatu txirrindulari bati komeni zaion gosaria, bazkaria eta afaria. Problemaren ebazpena ez da ez bakarra ez zehatza. Hona hemen ebazpen bat:

Amuarraina

162

0

10,0

Mihi-arraina

100

0,5

2,5

19,0

Legatza

80

0

0,5

19,0

Ogia

261

51,5

0,8

8,0

Pasta

359

72,0

1,5

12,8 1,0

Irinak eta pastak

Fruituak Laranja

49

9,0

0,5

Banana

97

21,0

0,2

1,0

Meloia

56

12,5

0,1

0,8

Gosaria. 200 g gazta, 100 g jogurt, 2 arrautza, 100 g ogi, 1 laranja,

2 platano. Bazkaria. 100 g gazta, 300 g txerri-okel, 100 g ogi, 250 g pasta, 1 laranja,

2 platano. Afaria. 100 g gazta, 200 g oilasko-okel, 2 arrautza, 200 g amuarrain,

100 g ogi, 150 g pasta, 1 platano. Dagozkien kalorien batuketa eginda, emaitza hau lortuko dugu: 5.037 kcal, 578,5 g karbohidrato eta 279,4 g koipe. Koipe eta karbohidrato gramoen arteko erlazioa kalkulatzeko, zatiketa hau egin behar da: 578,5 : 279,4 = 2,07.

158

908261 _ 0132-0159.qxd

30/7/07

16:22

Página 159

ERANTZUNAK

104 ●●●

Mugitzen ari den gorputz baten batez besteko abiaduraren definizioa hau da: gorputzak egindako espazioa zati espazio hori egiten emandako denbora.

HARANGORRI

6

ETXEBERDE

90 km

TOKIHORI

⎧⎪v = abiadura ⎪ e v = → ⎪⎨e = egindako espazioa ⎪⎪ t ⎪⎩ t = erabilittako denbora HERRIURDIN

Erreparatu mapari eta erantzun. a) Garraiolari batek ordu eta erdi behar izan du Harangorritik Etxeberdera joateko. Batez besteko zer abiaduran joan da? b) Garraiolaria batez beste 90 km/h-an joan da, Etxeberdetik Herriurdinera. Herriurdinetik Tokihorira 60 km/h-an, batez beste; eta aurreko ibilbidearekin alderatuta, denbora bikoitza behar izan du. Etxeberdetik Tokihorira 2 ordu behar izan baditu, zer distantzia dago bi horietatik Herriurdinera? e 90 = = 60 km/h t 1, 5 b) Etxeberdetik 2 Herridurdinera x + 2x = 2 → 3x = 2 → x = h 3 arteko denbora → x Herriurdinetik Tokihorira arteko denbora → 2x a) v =

Etxeberdetik Herriurdinera arteko distantzia: Herridurdinetik Tokihorira arteko distantzia: 105 ●●●

e e 90 ⋅ 2 → 90 = →e = = 60 km 2 t 3 3 e e 60 ⋅ 4 v = → 60 = →e = = 80 km 4 t 3 3 v =

Bihar Aitorren urtebetetzea da. Lagunak elkartu eta Aitorrek nahi duen bideojokoa oparitzea erabaki dugu. Peru arduratu da erosteaz, eta 8,50 € eskatu dizkigu bakoitzari. Gaur goizean, dirua eman behar nionean hau esan dit: Azkenean, Anek eta Jonek ere parte hartuko dutenez, 6,80 € baino ez da jarri behar.

Oparia erosteko elkartutako lagun kopurua: x Hasierako lagun kopurua: x − 2 Prezioa: 8,5 ⋅ (x − 2) eta 6,8 ⋅ x 8,5 ⋅ (x − 2) = 6,8 ⋅ x → 8,5x − 17 = = 6,8x → 1,7x = 17 → x = 10 10 lagunek jarri dugu dirua bideo-jokoa erosteko.

Zenbat lagunek jarri dugu dirua bideo-jokoa erosteko?

159

908261 _ 0160-0183.qxd

7

30/7/07

16:24

Página 160

Sistema Metriko Hamartarra SISTEMA METRIKO HAMARTARRA

LUZERAUNITATEAK

EDUKIERAUNITATEAK

MASAUNITATEAK

EDUKIERAUNITATEAK

BOLUMENUNITATEAK

BOLUMEN-, EDUKIERA- ETA MASAUNITATEEN ARTEKO ERLAZIOA

160

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 161

Askatasuna, berdintasuna eta senidetasuna Hiru emakume zain zeuden, Flandesko manufakturak iragartzen dituen salmahai batean zapiak erosteko. Zaharrenak ehun berde lodi baten hiru kana eskatu zituen. Saltzaileak kana txikia hartu eta oihala mozten zuen bitartean, emakumea kexu zen: –Bi kana dituzu neurtzeko, luzea erosteko eta motza saltzeko. Lapur hutsa zara! Gazteenak esan zuen: –Zientzien Akademiak neurri berri bat asmatu duela entzun dut, eta dauden guztiak ordezkatuko omen ditu. Orduan, hirugarren emakumeak hitz egin zuen: –Nire aitak Akademian egiten du lan eta egia da; neurria metroa da, eta patroia izango den eredua egiten ari dira. Zaharrena saltzaileari zuzendu zitzaion: –François, zure iruzurrak amaitu dira. –Eta pieza ordaindu eta ibairantz abiatu ziren. Meridiano baten laurdena hamar milioi metro luze da. Neurri horren iritzirako kalkulua eta metro patroiaren eraikuntza 1799. urtean amaitu ziren. Luzera-kana bat 84 zentimetro luze bada, zenbat metro oihal erosi zituen emakumeak azokan?

3 kana oihal erosi zituen; hau da: 3 · 84 = 252 cm = 2,52 m

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 162

Sistema Metriko Hamartarra ARIKETAK 001

Adierazi magnitudeak diren ala ez. a) b) c) d) e) f)

Bidoi baten edukiera. Jatortasuna. Bi hiriren arteko distantzia. Maitasuna. Zuhaitz baten altuera. PC baten memoria-edukiera. a) Magnitudea da.

002

003

d) Ez da magnitudea.

b) Ez da magnitudea.

e) Magnitudea da.

c) Magnitudea da.

f) Magnitudea da.

Idatzi zer unitate erabiliko zenituzkeen aurreko ariketako magnitudeak neurtzeko. a) Litroak.

e) Metroak.

c) Kilometroak.

f) Megabyteak.

Erreparatu irudiari. Andoniren neurri-unitaea da; ; eta Keparena, Oihanarena, Zer neurri lortuko du bakoitzak?

.

Adierazi zer neurri lortuko duten, Andoniren eta Oihanaren neurri-unitateak hauek badira: Andoni: Oihana: Oihana: 48 : 2 = 24

Andoni: 48

Kepa: 48 : 4 = 12

Andoni: 48 : 10 = 4,8 Oihana: 48 : 12 = 4 004

Adierazi kilometrotan. a) 275 m b) 5 dam

005

e) 8.594,3 cm f) 15.365 mm

a) 0,275 km

c) 0,37 km

e) 0,085943 km

b) 0,05 km

d) 0,243 km

f) 0,015365 km

Adierazi hektometrotan. a) 0,85 dam b) 3,12 km

162

c) 3,7 hm d) 24,3 dam

c) 56 dam d) 325 m

e) 324,6 dm f) 27,6 cm

a) 0,085 hm

c) 5,6 hm

e) 0,3246 hm

b) 31,2 hm

d) 3,25 hm

f) 0,00276 hm

908261 _ 0160-0183.qxd

11/9/07

11:16

Página 163

ERANTZUNAK

006

7

Zein da handiena, 1,24 hm ala 0,42 km? 0,42 km = 4,2 hm. 0,42 km handiagoa da 1,24 hm baino.

007

Jakinik mikra (m) milimetroaren milarena dela, adierazi luzera hauek mikratan. a) 1 m

b) 1 cm

a) 1.000.000 µ 008

c) 1 dm

b) 10.000 µ

d) 1 mm

c) 100.000 µ

d) 1.000 µ

Pondevedratik Donostiara arteko distantzia 700 km eta 920 hm-koa da. Zenbat metro egin beharko ditugu hiri batetik bestera joateko? 700.000 m + 59.000 m = 759.000 m

009

Adierazi metrotan. a) 2,15 km 17,3 dam 8,5 m b) 3,75 m 52 dm 13,4 cm c) 5 dam 17,4 m 13,4 dm 1,65 cm a) 2.150 m + 173 m + 8,5 m = 2.331,5 m b) 3,75 m + 5,2 m + 0,134 m = 9,084 m c) 50 m + 17,4 m + 1,34 m + 0,0165 m = 68,7565 m

010

Adierazi modu konplexuan neurri hauek. a) 2.284 cm b) 0,045 km

011

c) 8.793 dam d) 13.274 hm

a) 2 dam 2 m 8 dm 4 cm

c) 87 km 9 hm 3 dam

b) 4 dam 5 m

d) 1.327 km 4 hm

Atletismo-lasterketako zirkuitua 3 km 4hm 2dam luze da. Zenbat metro luze da? 3.000 m + 400 m + 20 m = 3.420 m luze da.

012

Ekiñek oihala erosi du, inauterietarako jantziak egiteko. Kalkulatu zenbat metro oihal erosi dituen. Oihal gorria ⎯→ 0,02 hm 60 dm 4 cm Oihal zuria → 0,012 hm 5 dm Oihal berdea ⎯→ 0,9 dam 8 cm Oihal gorria ⎯⎯→ 2 m + 6 m + 0,04 m = 8,04 m Oihal zuria → 1,2 m + 0,5 m = 1,7 m Oihal berdea ⎯→ 9 m + 0,08 m = 9,08 m Guztira: 18,82 m.

163

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 164

Sistema Metriko Hamartarra 013

Egin eragiketa hauek eta adierazi emaitzak metrotan. a) b) c) d) e) f)

4.322 cm + 57 dm 34,78 dam − 3,57 dm 3 hm 2 m 5 cm + 67,34 dam 4 km 7 dam 8 dm − 3 dam 8 cm 12,432 cm · 5 5,146 m · 7 a) 43,22 m + 5,7 m = 48,92 m b) 347,8 m − 0,357 m = 347,443 m c) 302,05 m + 673,4 m = 975,45 m d) 4.070,8 m − 30,08 m = 4.040,72 m e) 62,16 cm = 0,6216 m f) 36,022 m

014

Lasterketa batean, Nereak 3 km 4 hm 2 dam egin ditu. Zenbat metro falta zaizkio 5.000 m egiteko? 3.000 + 400 + 20 = 3.420 m 5.000 − 3.420 = 1.580 m falta zaizkio.

015

Robot batek 25 cm-ko jauziak egiten ditu. Zenbat metro egingo ditu 12 jauzitan? 25 ⋅ 12 = 270 cm = 2,7 m egingo ditu 12 jauzitan.

016

Entziklopedia batek 16 liburuki ditu. Liburuki bakoitzak 4cm 8mm-ko lodiera du. Zer luzera izan beharko du entziklopedia jartzeko apalategiak? 4 cm 8 mm = 48 mm 16 ⋅ 48 = 768 mm = 0,768 m

017

Soka bat 27 cm 2 mm luze da. Zenbat zati lortuko dira 34 mm-ko zatiak eginez gero? 27 cm 2 mm = 272 mm 272 : 34 = 8 trozos

018

Adierazi litrotan. a) 7,5 kl b) 593 cl a) 7.500 ¬ b) 5,93 ¬

164

c) 0,4 dal d) 6.300 ml c) 4 ¬

d) 6,3 ¬

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 165

ERANTZUNAK

019

7

Adierazi litrotan. a) b) c) d)

1,2 kl 4,6 hl 25 dl 0,27 hl 1,9 dl 16 cl 1 kl 0,4 dal 3,5 dl 12 ml 4,6 hl 12,3 dal 1,23 dl 0,14 cl a) 1.200 ¬ + 460 ¬ + 2,5 ¬ = 1.662,5 ¬

b) 27 ¬ + 0,19 ¬ + 0,16 ¬ = 27,35 ¬

c) 1.000 ¬ + 4 ¬ + 0,35 ¬ + 0,012 ¬ = 1.004,362

d) 460 ¬ + 123 ¬ + 0,123 ¬ + 0,0014 ¬ = 583,1244 ¬

020

Barrika baten edukiera 30hl 5 dal 500 ¬-koa da. Zenbateko edukiera du litrotan? 3.000 ¬ + 50 ¬ + 500 ¬ = 3.550 ¬

021

Andel baten edukiera 3 kl 50 dal 5.000 ¬-koa da. Zenbateko edukiera du dekalitrotan? 300 dal + 50 dal + 500 dal = 850 dal

022

Poto baten edukiera 40 cl-koa da. Zenbat poto behar dira litro bateko ontzi bat betetzeko? 1 ¬ = 100 cl

100 : 40 = 2,5 poto

2 poto eta erdi behar dira. 023

Adierazi g-tan eta ordenatu txikienetik handienera. 31 dg

1,02 kg

8,34 cg

0,4 t

0,09 q

0,08340 g < 3,1 g < 1.020 g < 9.000 g < 400.000 g 024

Egin eragiketa hauek. a) 123 hg 35 g + 3,2 kg 15,8 dag b) 30 t 20 q − 250 dag 120 kg 200 hg a) Gramotan adieraziko dugu: (12.300 g + 35 g) + (3.200 g + 158 g) = 12.335 g + 3.358 g = 15.693 g b) Kilogramotan adieraziko dugu: (30.000 kg + 2.000 kg) − (2,5 kg + 120 kg + 20 kg) = = 32.000 kg − 142,5 kg = 31.857,5 kg

025

Kamioi batek 8,5 t-ko zama darama eta bi deskarga egin ditu: lehena 1 q 20 kg-koa, eta bigarrena, 2 t 500 kg-koa. a) Zer zama geratu da kamioian? b) Hurrengo geldialdian, 1.750 kg-ko deskarga egin eta 28,3 q-ko zama hartu du. Zer zama du orain kamioiak?

165

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 166

Sistema Metriko Hamartarra a) 8,5 t = 8.500 kg 1 q 20 kg + 2 t 500 kg = 2.620 kg 8.500 − 2.620 = 5.880 kg geratu dira kamioian. b) 5.880 kg − 1.750 kg + 2.830 kg = 6.960 kg-ko zama du orain kamioiak. 026

Adierazi m2-tan unitate hauek. a) b) c) d) e)

32 dam2 3,6 dam2 1,0005 km2 1,16 hm2 12,165 hm2

f) g) h) i) j)

3,007 dam2 0,008 km2 0,00001 km2 0,0035 hm2 56 dm2

a) 3.200 m2

f) 300,7 m2

b) 360 m2

g) 8.000 m2 2

027

c) 1.000.500 m

h) 10 m2

d) 11.600 m2

i) 35 m2

e) 121.650 m2

j) 0,56 m2

Adierazi 17,02 dam2 metro, dezimetro, zentimetro eta milimetro koadrotan. 17,02 dam2 = 1.702 m2 = 170.200 dm2 = 17.020.000 cm2 = = 1.702.000.000 mm2

028

Metro koadro bat zetak 11,45 € balio du. Zenbat balio du zentimetro koadro batek? Eta dezimetro koadro batek? 1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 11,45 : 10.000 = 0,001145 € balio du 1 cm2-ek. 11,45 : 100 = 0,1145 € balio du 1 dm2-ek.

029

Adierazi m2-tan: 2 km2, 17 hm2 eta 2,75 dam2. 2.000.000 m2 + 170.000 m2 + 275 m2 = 2.170.275 m2

030

Adierazi dm2-tan: 45,37 dam2, 23,4 m2 eta 945 cm2. 453.700 dm2 + 2.340 dm2 + 9,45 dm2 = 456.049,45 dm2

031

Adierazi hm2-tan 1,23 km2 eta 69,45 dam2. 123 hm2 + 0,6945 hm2 = 123,6945 hm2

032

Zenbat dam2 dira 6 hektarea? Zenbat hektarea dira 2 km2? 6 ha = 6 hm2 = 600 dam2 2 km2 = 200 ha

166

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 167

ERANTZUNAK

033

7

Opari baterako kutxa bat estali nahi dut. Kutxaren azalera 0,0005 dm2 325 dm2-koa bada, zenbat m2 paper behar dut? 0,05 m2 + 3,25 m2 = 3,30 m2 paper behar dut.

034

Lur-sail batek 3,12 hm2 14,6 m2 193,8 dm2-ko azalera du. Zenbat falta zaio 5 ha-koa izateko? 5 ha = 50.000 m2

3,12 hm2 = 31.200 m2

193,8 dm2 = 1,938 m2

31.200 m2 + 14,6 m2 + 1,938 m2 = 31.216,538 m2 50.000 m2 − 31.216,538 m2 = 18.783,462 m2 5 ha-koa izateko 18.783,462 m2 falta zaizkio. 035

Adierazi metro kubotan. a) 83 dam3 b) 231 hm3

c) 1.233,33 cm3 d) 123,44 mm3

a) 83.000 m3

c) 0,00123333 m3 3

b) 231.000.000 m 036

d) 0,00000012344 m

f) 0,000034 m3

c) 25.418,75 dm3 d) 812,75 km

a) 0,018 hm3

c) 0,02541875 hm3 3

d) 812.750 hm3

b) 0,043215 hm

Adierazi metro kubotan. a) 2,3 dam3 b) 0,5 hm3 c) 0,004 km3

d) 496 cm3 e) 196 mm3 f) 43 dm3

a) 2.300 m3

d) 0,000496 m3 3

038

e) 49.000.000 m3 3

Adierazi hektometro kubotan. a) 18 dam3 b) 43.215 m3

037

e) 0,049 km3 f) 0,034 dm3

b) 500.000 m

e) 0,000000196 m3

c) 4.000.000 m3

f) 0,043 m3

Kalkulatu. a) 17 hm3 + 340 dm3 b) 87,23 m3 − 1.435,48 mm3 c) 1 km3 + 100 hm3 + 1 m3 a) 17.000.000.000 dm3 + 340 dm3 = 17.000.000.340 dm3 b) 87.230.000.000 mm3 − 1.435,48 mm3 = 87.279.998.564,52 mm3 c) 1.000.000.000 m3 + 100.000.000 m3 + 1 m3 = 1.100.000.001 m3

167

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 168

Sistema Metriko Hamartarra 039

Idatzi unitate egokiak. a) b) c) d)

18 dam2 = 0,0018
= 180.000
0,42 hm2 = 420.000
= 42.000.000
12,5 dm3 = 0,0125
= 12.500
427,68 m3 = 0,42768
= 427.680.000
a) b) c) d)

040

18 dam2 = 0,0018 km2 = 180.000 dm2 0,42 hm2 = 420.000 dm2 = 42.000.000 cm2 12,5 dm3 = 0,0125 m3 = 12.500 cm3 427,68 m3 = 0,42768 dam3 = 427.680.000 cm3

Poto baten bolumena 30 dm3 5 cm3 500 mm3-koa da. Zer bolumen du mm3-tan? 30.000.000 mm3 + 5.000 mm3 + 500 mm3 = 30.005.500 mm3

041

Ontzi batek 3 dm3 50 cm3 5.000 mm3-ko bolumena du. Zer bolumen du m3-tan? 0,003 m3 + 0,00005 m3 + 0,000005 m3 = 0,003055 m3

042

Kalkulatu 3 cm-ko ertza duen kuboaren bolumena. Adierazi emaitza m3-tan. Bolumena = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27 cm3 = 0,000027 m3

043

Kubo bakoitzak 1 cm3 hartzen badu, kalkulatu irudiaren bolumena. 4 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 + 3 = 17 cm3

044

Adierazi objektu bakoitzaren espazioa neurtzeko bolumen-unitate egokia: a) Xiringa bat. a) cm3-tan.

045

Adierazi litrotan bolumen hauek. a) 1.000 cm3 a) 1 ¬

046

b) Igerileku bat. b) m3-tan.

b) 1,4 dm3

b) 1,4 ¬

c) 0,04 m3 c) 40 ¬

d) 1.000 ¬

Adierazi metro kubotan edukiera-neurri hauek. a) 809,09 b) 12 ml

¬

c) 64,2 kl d) 0,008 dal

e) 1.409,2 cl f) 0,82 hl

a) 0,80909 m3 b) 12 ml = 0,012 ¬ = 0,000012 m3 c) 64,200 m3

168

d) 1 m3

d) 0,08 ¬ = 0,00008 m3 e) 14,092 ¬ = 0,014092 m3 f) 82 ¬ = 0,082 m3

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 169

ERANTZUNAK

047

7

Zenbat dezimetro kubo dira 1,2 kl 49 hl 54,6 ¬? 1.200 dm3 + 4.900 dm3 + 54,6 dm3 = 6.154,6 dm3

048

Edukiera- eta bolumen-neurrien arteko loturak aintzat hartuz, adierazi. a) b) c) d)

4,25 dm3 cl-tan 15 hl 48 dal 5 ¬ dm3-tan 8 hm3 12 dam3 7 m3 hl-tan 12.567 kl en cm3-tan a) 4,25 ¬ = 425 cl

b) 1.985 ¬ = 1.985 dm3 c) 8.000.000 m3 + 12.000 m3 + 7 m3 = 8.012.007 m3 = 8.012.007 kl = = 80.120.070 hl d) 12.567.000.000 ml = 12.567.000.000 cm3 049

Lantegi bateko biltegiaren bolumena 6 m3 15 dm3 500 cm3-koa da. Zer edukiera du litrotan? 6.000 ¬ + 15 ¬ + 0,5 ¬ = 6.015,5 ¬

050

051

Adierazi kilogramotan ur destilatuaren bolumen eta edukiera hauek. a) 255 ¬ b) 2.000 cm3

c) 20 dm3 d) 3,5 kl

a) 255 kg

c) 20 kg

b) 2 kg

d) 3,5 kg

Adierazi cm3-tan ur destilatuaren masa hauek. a) 0,5 kg b) 13 cl

c) 0,015 hl d) 43 g

a) 500 cm3 052

b) 130 cm3

c) 1.500 cm3

d) 43 cm3

Adierazi litrotan 2 hg 500 dag 2.000 g ur destilatu. 0,2 kg + 5 kg + 2 kg = 7,2 kg = 7,2 ¬

053

Urtegi batean, 95 hm3 ur daude. Kalkulatu. a) Edukiera m3-tan. b) Edukiera litrotan. c) Ur destilatua balitz, zenbatekoa litzateke masa tonatan eta kilogramotan? a) 95.000.000 m3

b) 95.000.000.000 ¬ c) 95.000.000.000 kg = 95.000.000 t

169

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 170

Sistema Metriko Hamartarra ARIKETAK 054 ●

055 ●

Adierazi kilometrotan. a) 3.500 m b) 450 m c) 12.450 m a) 3,5 km

d) 9,759 km

b) 0,45 km

e) 0,000755 km

c) 12,450 km

f) 2 km

Idatzi zentimetrotan. a) 3 m 5 dm b) 0,3 m 0,4 dm c) 6 m 8 dm a) 350 cm

056 ●

057 ●

058 ●

170

d) 9.759 m e) 755 mm f) 200 dam

d) 0,6 m 0,3 dm e) 7 m 4 dm f) 0,7 m 0,2 dm d) 63 cm

b) 34 cm

e) 740 cm

c) 680 cm

f) 72 cm

Adierazi metrotan. a) 4 km 3 hm b) 0,5 km 2 hm c) 8 km 6 hm

d) 0,3 km 6 hm e) 9 km 5 hm f) 0,4 km 4 hm

a) 4.300 m

d) 900 m

b) 700 m

e) 9.500 m

c) 8.600 m

f) 800 m

Adierazi dekametrotan. a) 32,5 m b) 2.389 mm c) 2,34 hm

d) 137,6 cm e) 0,003 km f) 398 dm

a) 3,25 dam

d) 0,1376 dam

b) 0,2389 dam

e) 0,3 dam

c) 23,4 dam

f) 3,98 dam

Adierazi dezimetrotan. a) 0,34 m b) 325 mm c) 2,4 cm

d) 0,00003 km e) 38,2 dam f) 0,27 hm

a) 3,4 dm

d) 0,3 dm

b) 3,25 dm

e) 3.820 dm

c) 0,24 dm

f) 270 dm

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 171

ERANTZUNAK

059

7

Osatu baliokidetasun-taula hau.

● km 13,5 0,072 0,45 4,13 1,2345

060 ●

hm 135 0,72 4,5 41,3 12,345

dam 1.350 7,2 45 413 123,45

m 13.500 72 450 4.130 1.234,5

dm 135.000 720 4.500 41.300 12.345

Idatzi unitate egokiak, berdintza hauek osatzeko. a) b) c) d)

425 dm = 42,5 m = 4,25
72,4 m = 724
= 0,724
512,4 dam = 5,124
= 5.124
13,18 hm = 1.318
= 131,8
a) 425 dm = 42,5 m = 4,25 dam b) 72,4 m = 724 dm = 0,724 hm c) 512,4 dam = 5,124 km = 5.124 m d) 13,18 hm = 1.318 m = 131,8 dam

061 ●

Adierazi metrotan luzera-neurri hauek. a) 3 km 5 dam 7 dm b) 8 hm 9 m 16 cm

c) 14 dam 8 m 2 dm d) 5 km 19 dam 12 m 8 mm

a) 3.000 m + 50 m + 0,7 m = 3.050,7 m b) 800 m + 9 m + 0,16 m = 809,16 m c) 140 m + 8 m + 0,2 m = 148,2 m d) 5.000 m + 190 m + 12 m + 0,008 m = 5.202,008 m 062 ●

Adierazi zentimetrotan. a) 3 m 8 dm 5 cm b) 8 hm 16 mm

c) 24 dam 18 m 2 mm d) 0,5 km 12 m

a) 300 cm + 80 cm + 5 cm = 385 cm b) 80.000 cm + 1,6 cm = 80.001,6 cm c) 24.000 cm + 1.800 cm + 0,2 cm = 25.800,2 cm d) 50.000 cm + 1.200 cm = 51.200 cm 063 ●

Adierazi modu konplexuan. a) 245,2 dam b) 87,002 m

c) 1.458,025 cm d) 0,3402 km

a) 2 km 4 hm 5 dam 2 m

c) 1 dam 4 m 5 dm 8 cm 0,25 mm

b) 8 dam 7 m 2 mm

d) 3 hm 4 dam 2 dm

171

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 172

Sistema Metriko Hamartarra 064

Kalkulatu.

●●

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

342 dam + 17 m 76,69 m + 23 cm 92,4598 hm + 0,025 km 3 hm 4 dam 21 dm + 34 dam 7 m 9 cm 25,34 m − 146 cm 8,02 km − 1.324,2 m 35 dam 23 dm 9 mm − 36,75 m 17 dam ⋅ 3 32,24 cm ⋅ 12 a) 3.420 m + 17 m = 3.437 m b) 7.669 cm + 23 cm = 7.692 cm c) 924.598 cm + 2.500 cm = 927.098 cm d) 34.210 cm + 34.709 cm = 68.919 cm e) 2.534 cm − 146 cm = 2.388 cm f) 80.200 dm − 13.242 dm = 66.958 dm g) 352.309 mm − 36.750 mm = 315.559 mm h) 51 dam i) 386,88 cm

065 ●

Adierazi litrotan. a) 4,25 kl 3,27 hl 4,81 dl b) 13,4 dal 21,5 ¬ 7,25 dl c) 43 hl 13 dal 15 ¬

a) 4.250 ¬ + 327 ¬ + 0,481 ¬ = 4.577,481 ¬ b) 134 ¬ + 21,5 ¬ + 0,725 ¬ = 156,225 ¬ c) 4.300 ¬ + 130 ¬ + 15 ¬ = 4.445 ¬

066 ●

Idatzi unitate egokiak, berdintza hauek osatzeko. a) 45,18 dal = 0,4518
= 451,8
b) 542,37 hl = 54,237
= 54.237
c) 125,42 ¬ = 0,12542
= 125.420
a) 45,18 dal = 0,4518 kl = 451,8 ¬

b) 542,37 hl = 54,237 kl = 54.237 ¬

c) 125,42 ¬ = 0,12542 kl = 125.420 ml 067 ●

172

Adierazi kilogramotan. a) 18.372 g b) 17,42 t

c) 0,32 t 1,5 q 17 kg d) 82,5 hg 3,25 dag 16 g

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 173

ERANTZUNAK

7

a) 18,372 kg b) 17.420 kg c) 320 kg + 150 kg + 17 kg = 487 kg d) 8,25 kg + 0,0325 kg + 0,016 kg = 8,2985 kg 068 ●

Idatzi unitate egokiak, berdintza hauek osatzeko. a) 5.025 g = 50,25
= 5,025
b) 18 hg = 1,8
= 1.800
c) 542,5 kg = 5,425
= 542.500
d) 12,5 q = 1,25
= 12.500
= 125.000
a) 5.025 g = 50,25 hg = 5,025 kg b) 18 hg = 1,8 kg = 1.800 g c) 542,5 kg = 5,425 q = 542.500 g d) 12,5 q = 1,25 t = 12.500 hg = 125.000 dag

069

Kalkulatu gramotan.

●●

a) 12,5 kg 38 dg + 4,82 dag 15,2 cg b) 3,25 hg 17,2 dag − 1,25 hg 12,5 mg c) 3,25 t 4,83 q + 31,8 kg 15,6 dg d) 42,8 t 17,5 q − 32,4 t 27,8 kg e) 32 dag 8 g 25 dg − 145 dg f) (25 hg 10 dag 16 cg) ⋅ 20 a) 12.503,8 g + 48,352 g = 12.551,352 g b) 497 g − 125,0125 g = 371,9875 g c) 3.733.000 g + 31.801,56 g = 3.764.801,56 g d) 44.550.000 g − 32.427.800 g = 12.122.200 g e) 330,5 g − 14,5 g = 316 g f) 2.600,16 g ⋅ 20 = 52.003,2 g

070

EGIN HONELA NOLA ZATITZEN DIRA NEURRI KONPLEXUAK? Adierazi gramotan. 8 kg 15 dag 10 g : 50 LEHENA.

Neurri konplexua modu sinplean adierazi behar da. 8 kg 15 dag 10 g = 8 ⋅ 1.000 + 15 ⋅ 10 + 10 = 8.160 g

BIGARRENA.

Neurri sinplea zatikizun gisa hartu behar da. 8.160 : 50 = 163,2 g

173

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 174

Sistema Metriko Hamartarra 071

Egin eragiketa hauek.

●●

a) b) c) d) e)

12 hl 5,8 dal + 28,3 hl 15 ¬ 20.000 dal − 1.000 ¬ 25.000 dl 15 kl 28 hl 7 dal + 23,5 hl 17 dal (32,5 hl 45 dal 17,5 dl) ⋅ 200 (4,75 kl 12,8 hl 135 dal) : 25 a) 1.258 ¬ + 2.845 ¬ = 4.103 ¬

b) 200.000 ¬ − 3.500 ¬ = 196.500 ¬ c) 17.870 ¬ + 2.520 ¬ = 20.390 ¬ d) 3.701,75 ¬ ⋅ 200 = 740.350 ¬ e) 7.380 ¬ : 25 = 295,2 ¬ 072

Idatzi neurri egokia, kasu bakoitzean, berdintzak osatzeko.

●●

a) b) c) d)

16 hm 8 dam 5 cm +
= 3 km 9 hm 6 mm 85 dal 25 cl 32 ml −
= 3,2 dal 4 dl
⋅ 3 = 12 hg 6 dag 9 g 27 cg 25 km 15 m 40 cm :
= 0,5 km 3 dm 8 mm a) 1.680,05 m +
= 3.900,006 m →
= 2.219,956 m b) 850,282 ¬ −
= 320,4 ¬ →
= 529,882 ¬

c)
⋅ 3 = 1.269,27 g →
= 423,09 g

d) 25.015,4 m :
= 500,308 m →
= 50 073 ●

074 ●

075 ●

174

Adierazi metro koadrotan. a) 3,6 dam2 b) 3,63 dam2

c) 9,4 km2 d) 9,45 km2

a) 360 m2

c) 9.400.000 m2

b) 363 m2

d) 9.450.000 m2

Idatzi hektometro koadrotan. a) 5,1 km2 b) 35,78 km2

c) 8.976 m2 d) 125.763 dm2

a) 510 hm2

c) 0,8976 hm2

b) 3.578 hm2

d) 0,125763 hm2

Adierazi zentimetro koadrotan. a) 4,3 dm2 b) 34,79 m2

c) 223 mm2 d) 4 mm2

a) 430 cm2

c) 2,23 cm2

b) 347.900 cm2

d) 0,04 cm2

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 175

ERANTZUNAK

076 ●

7

Adierazi metro koadrotan. a) 18 km2

b) 5,5 hm2 13,8 dam2 15,8 m2

a) 18.000.000 m2 b) 55.000 m2 + 1.380 m2 + 15,8 m2 = 56.395,8 m2 077 ●

Adierazi dezimetro koadrotan. a) 18 m2 b) 45 dam2

c) 14 hm2 32 dam2 38 m2 d) 12,5 dam2 32,8 m2 19,8 dm2

a) 1.800 dm2 b) 450.000 dm2 c) 14.000.000 dm2 + 320.000 dm2 + 3.800 dm2 = 14.323.800 dm2 d) 125.000 dm2 + 3.280 dm2 + 19,8 dm2 = 128.299,8 dm2 078 ●

079 ●

Idatzi modu konplexuan. a) 4.321,5 m2 b) 34.587,52 dam2

c) 9.823,152 m2 d) 1.234,56 dm2

a) 43 dam2 21 m2 50 dm2

c) 98 dam2 23 m2 15 dm2 20 cm2

b) 3 km2 45 hm2 87 dam2 52 m2

d) 12 m2 34 dm2 56 cm2

Adierazi areatan. a) 18 ha 15 a 19 ca b) 3,25 ha 4,15 a 6,2 ca

c) 0,15 ha 0,18 a 52,3 ca d) 12,5 ha 4,78 a 32,6 ca

a) 1.800 a + 15 a + 0,19 a = 1.815,19 a b) 325 a + 4,15 a + 0,062 a = 329,212 a c) 15 a + 0,18 a + 0,523 a = 15,703 a d) 1.250 a + 4,78 a + 0,326 a = 1.255,106 a

080

EGIN HONELA NOLA ADIERAZTEN DA ERAGIKETA BATEN EMAITZA UNITATE JAKIN BATEAN? Adierazi m2-tan 48 hm2 + 2,5 dam2 + 20.000 cm2 LEHENA.

Unitateak m2-tan adierazi behar dira. 48 hm2 = 48 ⋅ 10.000 = 480.000 m2 2,5 dam2 = 2,5 ⋅ 100 = 250 m2 20.000 cm2 = 20.000 : 10.000 = 2 m2

BIGARRENA.

Emaitzekin eragiketak egin behar dira. 480.000 + 250 + 2 = 480.252 m2

175

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 176

Sistema Metriko Hamartarra 081

Adierazi metro koadrotan.

●●

6 hm2 + 12 dam2 + 55 dm2 60.000 m2 + 1.200 m2 + 0,55 m2 = 61.200,55 m2

082

Adierazi batuketa hauek hm2-tan.

●●

a) b) c) d) e) f)

0,0075 km2 + 7.000 m2 0,5 km2 + 45 dam2 7.879 m2 + 87.622 dm2 676 dm2 + 78 m2 + 654 cm2 47 km2 + 0,56 hm2 + 125 dam2 1.389.456 cm2 + 123 m2 a) 0,75 hm2 + 0,7 hm2 = 1,45 hm2 b) 50 hm2 + 0,45 hm2 = 50,45 hm2 c) 0,7879 hm2 + 0,087622 hm2 = 0,875522 hm2 d) 0,000676 hm2 + 0,0078 hm2 + 0,00000654 hm2 = 0,00848254 hm2 e) 4.700 hm2 + 0,56 hm2 + 1,25 hm2 = 4.701,81 hm2 f) 0,01389456 hm2 + 0,0123 hm2 = 0,02619456 hm2

083 ●

Adierazi dezimetro kubotan. a) 0,18 hm3

b) 17 dam3 82 m3 3

a) 180.000.000 dm

b) 17.000.000 dm3 + 82.000 dm3 = 17.082.000 dm3 084 ●

Idatzi hektometro kubotan. a) 18 dam3 b) 43.215 m3

c) 25.418,75 dm3 d) 812,75 km3

a) 0,08 hm3 b) 0,043215 hm3 c) 0,00002541875 hm3 d) 812.750 hm3 085 ●

Adierazi modu konplexuan. a) 4.275,34 dm3 b) 142.260,52 cm3

c) 1.000,475 dam3 d) 328.274,29 m3

a) 4 m3 275 dm3 340 cm3 b) 142 dm3 260 cm3 52 mm3 c) 1 hm3 475 m3 d) 328 dam3 274 m3 290 dm3

176

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 177

ERANTZUNAK

086 ●

7

Idatzi unitate egokiak, berdintzak osatzeko. a) b) c) d)

18 dam3 = 0,018
= 180.000
0,42 hm3 = 420.000
= 42.000.000
12,5 dm3 = 0,0125
= 12.500
427,68 m3 = 0,42768
= 427.680.000
a) 18 dam3 = 0,018 hm3 = 18.000 m3 b) 0,42 hm3 = 420.000 m3 = 420.000.000 dm3 c) 12,5 dm3 = 0,0125 m3 = 12.500 cm3 d) 427,68 m3 = 0,42768 dam3 = 427.680.000 cm3

087 ●

Egin eragiketa hauek eta adierazi emaitza m3-tan. a) b) c) d) e) f)

1 hm3 2 dam3 3 m3 + 45 hm3 18 dam3 34.256 dam3 − 8 hm3 15 dam3 135 dam3 458 m3 − 75.000 m3 125 m3 67 dm3 89 cm3 + 16 m3 45 dm3 9 cm3 (4 hm3 15 dam3 7 m3) ⋅ 50 (123 hm3 456 dam3) : 100 a) 1.002.003 m3 + 45.018.000 m3 = 46.020.003 m3 b) 34.256.000 m3 − 8.015.000 m3 = 26.241.000 m3 c) 135.458 m3 − 75.000 m3 = 60.458 m3 d) 125,067089 m3 + 16,045009 m3 = 141,112098 m3 e) 4.015.007 m3 ⋅ 50 = 200.750.350 m3 f) 123.456.000 m3 : 100 = 1.234.560 m3

088 ●

Edukiera- eta bolumen-neurrien arteko lotura aintzat hartuz, adierazi. a) b) c) d)

18,5 dam3 en ¬-tan 4 hl 5 dal 8 ¬ cm3-tan 94 hm3 6 dam3 3 dm3 dal-tan 125.000 hl en dm3-tan

a) 18.500.000 dm3 = 18.500.000 ¬ b) 458.000 ml = 458.000 cm3

c) 94.006.000.003 dm3 = 94.006.000.003 ¬ = 9.400.600.000,3 dal d) 12.500.000 ¬ = 12.500.000 dm3

089 ●

090 ●

20 oineko sakoneran sartu gara. Zenbat metro dira? 0,3048 ⋅ 20 = 6,096 m Kostatik 300 itsas miliara gaude. Zenbat kilometro dira? 1.852 ⋅ 300 = 555.600 m = 555,6 km

177

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 178

Sistema Metriko Hamartarra 091 ●●

Bi soineko egin nahi ditut, neurri hauek dituen oihal zati bat erabiliz: 8 m 14 dm 80 cm. Zer oihal kantitate erabili behar dut soineko bakoitzerako? 8 m 14 dm 80 cm = 800 cm + 140 cm + 80 cm = 1.020 cm 1.020 : 2 = 510 cm = 5,10 m erabili behar dut soineko bakoitzerako.

092 ●●

8 km 2,5 hm 20 dam 50 m luze den errepide baten bi aldeetan, zuhaitzak daude 10 m-tik behin. Zenbat zuhaitz daude guztira? 8 km 2,5 hm 20 dam 50 m = 8.000 m + 250 m + 200 m + 50 m = 8.500 m 8.500 : 10 = 850 tarte daude alde bakoitzeko zuhaitzen artean; beraz, 851 zuhaitz daude, alde bakoitzean. 851 ⋅ 2 = 1.702 zuhaitz daude guztira.

093 ●●

Erreparatu jolas-parkearen planoari, eta idatzi bertan ageri diren distantzia guztiak metrotan.

0,94 hm 5 dam

0,6 km 4 dam

3 hm 1,2 dam 5 m

a) Zenbat dekametro daude noriaren eta errusiar mendiaren artean? b) Zenbat kilometro daude 42 dam 53 dm autotxokeen eta errusiar 0,57 km 1,2 hm 3 dam mendiaren artean? c) Zenbat kilometro daude errusiar mendiaren eta zaldiko-maldikoaren artean, autotxokeetatik pasatuz gero? d) Zenbat metro daude autotxokeen eta noriaren artean, zaldiko-maldikotik eta itsasontzitik pasatuz gero? e) Atrakzio guztietatik pasatuz gero, zenbat dam-ko ibilbidea egingo dugu? 0,94 hm 5 dam = 144 m 0,6 km 4 dam = 640 m 42 dam 53 dm = 425,3 m a) b) c) d) e)

0,57 km 1,2 hm 3 dam = 720 m = 72 dam 0,6 km 4 dam = 640 m = 0,640 km 144 m + 640 m = 784 m = 0,784 km 144 m + 317 m + 425,3 m = 886,3 m 144 m + 640 m + 720 m + 425,3 m + 317 m = 2.246,3 m = 224,63 dam

094

Nire herriko udaletxeko dorreak 20 m eta 35 dm-ko altuera du.

●●

a) Zenbat zentimetroko altueran dago punturik garaiena? b) Zenbat metroko altueran? c) Zenbat dezimetroko altueran? a) 20 m 35 dm = 2.350 cm b) 2.350 cm = 23,50 m c) 2.350 cm = 235 dm

178

0,57 km 1,2 hm 3 dam = 720 m 3 hm 1,2 dam 5 m = 317 m

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 179

ERANTZUNAK

095 ●●

7

Karratu formako lur-sail bat hesitu nahi dugu, aldea 2 dam 50 cm luze izanik. Zenbat metro alanbre-hesi erosi behar dugu? Metro bat alanbre-hesik 12,50 € balio badu, zenbat balio du lur-saila hesitzeak? 2 dam 50 cm = 20,5 m 20,5 ⋅ 4 = 82 m alanbre-hesi erosi behar dugu. 82 ⋅ 12,50 = 1.025 € balio du lur-saila hesitzeak.

096 ●●

20 m luze den plastiko-biribilki bat ogitartekoak biltzeko erabiltzen da. Ogitarteko bat biltzeko, 20 cm plastiko behar dira. Zenbat ogitarteko bil ditzakegu daukagun plastiko kantitatea erabiliz? 20 m = 2.000 cm 2.000 : 20 = 100 ogitarteko bil ditzakegu.

097 ●●

750 gramo irinekin bizkotxo bat egin nahi dugu. Zenbat bizkotxo egin ditzakegu kintal bat irinekin? 1 q = 100 kg = 100.000 g 100.000 : 750 = 133,333… 133 bizkotxo, gutxi gorabehera.

098 ●●

Kamioi batek 4 tona eta 3 kintaleko zama darama. Adierazi zama hori kilogramotan. 4 t + 3 q = 4.000 kg + 300 kg = 4.300 kg

099 ●●

Tren batek 18 tona eta 15 kintaleko zama duen bagoi bat darama. Adierazi zama hori kilogramotan. 18 t + 15 q = 18.000 kg + 1.500 kg = 19.500 kg

100 ●●

101 ●●

Hektolitro bateko edukiera duen upel bat ardo badaukagu, litroko zenbat botila bete ditzakegu? 1 hl = 100 ¬. Litroko 100 botila bete ditzakegu. Litro eta erdiko zenbat botila behar dira 2,6 kl 8,9 hl 56 dal-ko andel bat? 2,6 kl 8,9 hl 56 dal = 4.050 ¬ 4.050 : 1,5 = 2.700 botila behar dira.

102 ●●

100 ml-ko ontzi bat koloniaren prezioa 18,60 €-koa da. Zenbat balio du litro erdik? 1,5 litro = 1.500 ml 1,5 litro eta 1.500 : 100 = 15 ontzi kolonia baliokideak dira. Litro eta erdiren prezioa: 15 ⋅ 18,50 = 277,50 €.

179

908261 _ 0160-0183.qxd

11/9/07

11:16

Página 180

Sistema Metriko Hamartarra 103 ●●

Erreparatu lau lur-sailen azalerak ageri diren irudi honi. D lur-saila 93.820 m2

C lur-saila 375 dam2 A lur-saila 15 hm2

B lur-saila 0,5 km2

a) b) c) d)

Zenbat hektareakoa da lur-sail bakoitza? Zenbat hektarea ditu guztira finka osoak? Lur-sail handienean, garia erein dugu. Zenbat area gari erein ditugu? Lur-sail txikienean, ekilorea erein dugu. Zenbat area ekilore erein ditugu? e) Zenbat area gari gehiago erein ditugu ekilore baino? f) A lur-saila saldu dugu, 300 €/m2-an. Zenbat diru irabazi dugu? g) Eta C lur-saila salduz gero, 650 €/m2-an, zenbat irabaziko dugu? a) A lur-saila: 15 ha C lur-saila: 3,75 ha B lur-saila: 50 ha D lur-saila: 9,382 ha b) 15 ha + 50 ha + 3,75 ha + 9,382 ha = 78,1332 ha c) B lur-saila: 50 ha = 5.000 a gari erein ditugu. d) C lur-saila: 3,75 ha = 375 a ekilore erein ditugu. e) 5.000 − 375 = 4.625 a gari gehiago ekilore baino. f) 15 ha = 150.000 m2 150.000 ⋅ 300 = 45.000.000 € g) 3,75 ha = 37.500 m2 37.500 ⋅ 650 = 24.375.000 € 104 ●●

Pospolo-kutxa baten bolumena 40 cm3-koa da. Zenbat pospolo-kutxa sartzen dira 1,8 dm3-ko bolumena duen beste kutxa batean? 1,8 dm3 = 1.800 cm3 1.800 : 40 = 45 pospolo-kutxa

105 ●●

25.628 xaboi ale egin dira. Ale bakoitzaren bolumena 750 cm3-koa da. Zenbat m3 xaboi egin dira? 25.628 ⋅ 750 = 19.221.000 cm3 = 19,221 m3

106 ●●

1 dm3 merkuriok 13,6 kiloko pisua du. Zer pisu du 375 cm3 merkuriok? 375 cm3

= 0,375 dm

3

0,375 ⋅ 13,6 = 5,1 kg-koa.

180

908261 _ 0160-0183.qxd

11/9/07

11:16

Página 181

ERANTZUNAK

107 ●●●

7

Adierazi m-tan liburu baten barruko orrien batez besteko lodiera. Horretarako, neurtu liburuaren orrien lodiera eta zatitu orri kopuruaz. Liburuaren lodiera 2,4 cm-koa bada eta orrialde kopurua 296koa: 24 mm : 148 = 0,16 mm = 160 µ izango da batez besteko lodiera.

108 ●●●

21 esne-botila ditugu, 1 litroko edukierakoak: • 7 beteta daude. • 3 erdiraino beteta daude. • 2k litro-laurden bat dute.

• 6k 100 ml dituzte. • Eta gainerakoak hutsik daude.

Esnea botila batetik beste batera pasatu gabe, nola bana daiteke hiru pertsonaren artean, guztiek botila eta esne kantitate bera izan dezaten? Esne kantitate osoa hau da: 7 ⋅ 1.000 ml + 3 ⋅ 500 ml + 2 ⋅ 250 ml + 6 ⋅ 100 ml = 9.600 ml Pertsona bakoitzari 3.200 ml esne eta 7 botila egokitzen zaizkio. Banaketa bat hau izan daiteke: Lehenengo pertsona: 3 bete; 2 100 ml-ko; 2 huts. Bigarren pertsona: 2 bete; 2 500 ml-ko; 2 100 ml-ko; huts bat. Hirugarren pertsona: 2 bete; 1 500 ml-ko; 2 250 ml-ko; 2 100 ml-ko. 109 ●●●

Anek, Idurrek eta Igonek 7 barratxo dituzte, 1, 2, 3, 4, 5, 6 eta 7 dm-koak, hurrenez hurren.

Nire hiru barratxoen luzera 10 dm-koa da, motzena aukeratu dudan arren.

Denok daukagu barratxo bat baino gehiago.

Idurre, nire barratxoen guztizko luzera zure barratxoen luzeraren bikoitza da.

Nork dauka 4 dm-ko barratxoa? Anek aukeratu ahal izan dituenak: Ane Gainerakoak

1, 2, 7 3, 4, 5, 6

1, 3, 6 2, 4, 5, 7

1, 4, 5 2, 3, 6, 7

Gainerako luzeren artean begiratu eta bi luzera bilatu behar ditugu, beste bien bikoitza direnak. Kasu batek bakarrik balio digu: 2, 4, 5, 7; izan ere, 5 + 7 batura 2 + 4 baturaren bikoitza da. Beraz, Igonek 5 cm eta 7 cm-ko barratxoak ditu, eta Idurrek, 2 cm eta 4 cm-koak.

181

908261 _ 0160-0183.qxd

11/9/07

11:16

Página 182

Sistema Metriko Hamartarra EGUNEROKOAN 110

Hona hemen edukiontzi baten neurriak:

●●● Edukiontzi motza Edukiontzi luzea

Luzera 5.898 mm 12.035 mm

Zabalera 2.358 mm 2.330 mm

Elementuak

Taula honetan, edukiontzietan garraiatzen diren salgaien pisuak ageri dira.

Altuera 2.395 mm 2.370 mm

3 1 dm -en pisua

Zura Azukrea Papera Beira-zuntza Beruna Arbela Marmola

0,84 kg 1,61 kg 0,90 kg 0,17 kg 11,34 kg 2,65 kg 2,69 kg

a) Zer pisu du edukiontzi motz bat paperek? Eta edukiontzi motz bat beira-zuntzek? b) Zenbat tonako pisua du edukiontzi luze bat azukrek? Eta edukiontzi luze bat marmolek? c) Salgai hauek nahas badaitezke edukiontzietan: • 2,5 m luze, 0,4 m zabal eta 0,2 m altu diren 1.500 zurezko habe. • 3,5 m luze, 1,5 m zabal eta 4 cm lodi diren marmolezko 8.500 xafla. • 56 tona arbel. • 92 tona berun.

Zenbat edukontzi beharko dira gutxienez? a) Edukiontzi motz baten bolumena: 5,898 ⋅ 2,358 ⋅ 2,395 = 33,30842418 m3 = 33.308,42418 dm3 33.308,42418 ⋅ 0,90 = 29.977,581762 kg-ko pisua paperez beteta. 33.308,42418 ⋅ 0,17 = 5.662,4321106 kg-ko pisua beira-zuntzez beteta. b) Edukiontzi luze baten bolumena: 12,035 ⋅ 2,330 ⋅ 2,370 = 66,4584735 m3 = 66.458,735 dm3 66.458,735 ⋅ 1,61 = 106.998,142335 kg = 106,998142335 t-ko pisua azukrez beteta. 66.458,735 ⋅ 2,69 = 178.773,293715 kg = 178,773293715 t-ko pisua marmolez beteta. c) Zurezko habeak: 2,5 m ⋅ 0,4 m ⋅ 0,2 m = 0,2 m3 1.500 ⋅ 0,2 m3 = 300 m3 Marmolezko xaflak: 3,5 m ⋅ 1,5 m ⋅ 0,04 m = 0,21 m3 8.500 ⋅ 0,21 m3 = 1.785 m3

182

908261 _ 0160-0183.qxd

30/7/07

16:24

Página 183

ERANTZUNAK

7

Arbela: 56.000 : 2,65 = 21.132,075 dm3 = 21,132075 m3 Beruna: 92.000 : 11,34 = 8.112,875 dm3 = 8,112875 m3 Guztira: 300 m3 + 1.785 m3 + 21,132075 m3 + 8,112875 m3 = = 2.114,24495 m3 2.114,24495 m3 : 66,4584735 m3 = 31,81. Beraz, 32 edukiontzi beharko dira. 111 ●●●

Unibertsoan, distantziak izugarri handiak izaten dira. Horregatik, zientzialariek luzera-unitate berezi bat erabiltzen dute: argi-urtea. Argi-urtea argiak urtebetean egiten duen distantzia da. (Argiak 300.000 km egiten ditu segundo batean.) Zeruan ikusten ditugun izar guztiak gure galaxiakoak dira: Esne Bidea. Galaxia horren diametroa 100.000 argi-urte ingurukoa da. Abiadura handiena lortzen duen espazio-ontzia Pegasus izenekoa da: 11.000 km/hko abiadura gainditzen du. Zenbat denbora beharko luke galaxia zeharkatzeko? Argi-urtea = 300.000 ⋅ 3.600 ⋅ 24 ⋅ 365 = 9.460.800.000.000 km Galaxiaren diametroa: 100.000 ⋅ 9.460.800.000.000 = = 946.080.000.000.000.000 km

t=

112

946.080.000.000.000.000 = 86.007.272.727.272,73 ordu = 11.000 = 3.583.636.363.636,36 egun = 9.818.181.818,18 urte

Herriederren kezkatuta daude, ur-eskasia dela eta.

●●●

23 cm

Etxe bakoitzean, hilabetez honelako adreilu bat jarriko bagenu komuneko tangan, hiriko lorategiak urte osoan ureztatzeko adina ur aurreztuko genuke.

11

cm

5 cm

Lorategiak urtebetez ureztatzeko behar den ura: 6.500 m 3. Biztanle kopurua: 11.873.

Zure ustez, zuzena al da adierazpen hori? Adreiluaren bolumena: 23 ⋅ 11 ⋅ 5 = 1.265 cm3 = 0,001265 m3. Ur kantitate hori aurrezteko komuneko tanga hustu beharreko aldi kopurua: 6.500 : 0,001265 = 5.138.340 aldiz. Biztanle bakoitzak tanga hustu beharreko kopurua: 5.138.340 : 11.873 = 433 aldiz hilabetean; hau da, 433 : 30 = 14,43 aldiz egunean. Beraz, zaila da iritzira kalkulatutakoa betetzea.

183

908261 _ 0184-0207.qxd

8

26/7/07

13:45

Página 184

Zenbakizko proportzionaltasuna ZENBAKIZKO PROPORTZIONALTASUNA

ARRAZOIA ETA PROPORTZIOA

MAGNITUDE ZUZENKI PROPORTZIONALAK

MAGNITUDE ALDERANTZIZ PROPORTZIONALAK

EHUNEKOAK

EHUNEKOEN PROBLEMAK

184

908261 _ 0184-0207.qxd

11/9/07

11:16

Página 185

Almirantearen zatia 1492ko apirilaren 17an, Santa Fen (Granada), historiako balentriarik handienetako bat hasi zen. Elisabet Gaztelakoak eta Fernando Aragoikoak –Errege-erregina Katolikoek–, eta Kristobal Kolon izeneko itsasgizon ezezagun batek akordio bat egin zuten. Joan Kolomak irakurri zuen: –Eta garbi ateratakoaren hamarrena zuretzat izango da, eta gainerakoa, berorien gorentasunentzat… Une horretan, Kolonen imajinazioa bizkortu egin zen; begiak altxatu eta berekiko pentsatu zuen: –Lehen urratsa eginda dago; patuak nahi badu Espainiako Handi izango naiz. Hori izan zen Amerikaren aurkikuntzaren hasiera. Kolon itzultzean, Bartzelonara joan zen, errege-erreginak zain baitzituen han. Besteak beste, salgai batzuk, kolore biziko papagaiak eta Amerikako urrearen lehen erakusgaiak eraman zituen. Urrearen bere zatia, 400 gramo inguru, Bartzelonako katedralari eman zion. Zenbat urre eraman zuen Bartzelonara lehen bidaian? Irabazien zer proportzio zen Kolonentzat?

Koloni zegokion proportzioa % 10 ekoa zen. Kolonek Amerikatik zenbat urre ekarri zuen kalkulatzeko, proportzio hau erabiliko dugu: 400 10 = x 100

10 x = 40.000 → x = 4.000 Kolonek 4 kilo urre ekarri zituen.

908261 _ 0184-0207.qxd

11/9/07

11:16

Página 186

Zenbakizko proportzionaltasuna ARIKETAK 001

Adierazi arrazoi bidez. a) Testeko 55 galderetatik 36 asmatu ditut. b) 68 arrautza genituen eta 12 hautsi dira. c) Ontzi batean, 7 tomate eta 3 marrubi daude. a)

002

36 55

b)

12 68

c)

7 3

Ikastetxeko jangelan, 8 ikasleko 3 ogi jartzen dituzte. Gaur 124 ikasle egon gara jangelan, eta 50 ogi jarri dituzte. Eutsi al diote proportzioari? 3 ogi 50 ogi = → 3 ⋅ 124 ⫽ 8 ⋅ 50 . Beraz, ez diote eutsi 8 ikasle 124 ikasle proportzioari.

003

Adierazi zein arrazoik osatzen duten proportzioa. 2 8 6 9 ; ; ; 1 2 3 5 10 50 30 20 ; ; ; b) 2 10 8 5 a)

a)

004

2 6 eta 1 3

10 50 eta 2 10

Horma bat egiteko, 3.379 adreilu eta 62 zaku zementu behar dira. Zenbatekoa da adreiluaren eta zementuaren arteko arrazoia? Arrazoia:

005

b)

3.379 . 62

Aztertu ea proportzioak diren berdintza hauek, eta ahal bada, kalkulatu proportzionaltasun-konstantea. a)

5 6 = 15 18

b)

4 8 = 6 18

c)

5 20 = 7 28

a) 5 ⋅ 18 = 15 ⋅ 6 → Proportzioa da. Proportzionaltasun-konstantea: 0,3333… b) 4 ⋅ 18 ⫽ 6 ⋅ 8 ⎯→ Ez da proportzioa. c) 5 ⋅ 28 = 7 ⋅ 20 → Proportzioa da. Proportzionaltasun-konstantea: 0,714285714285… 006

Aztertu ea proportzioa osatzen duten zenbaki multzo hauek. a) 5, 10, 3 eta 6 b) 5, 9, 15 eta 8

186

c) 8, 12, 4 eta 6 d) 10, 4, 6 eta 5

908261 _ 0184-0207.qxd

11/9/07

11:16

Página 187

ERANTZUNAK

007

a)

5 3 = . Proportzioa da. 10 6

c)

8 4 = . Proportzioa da. 12 6

b)

5 15 . Ez da proportzioa. ⫽ 9 8

d)

10 6 ⫽ . Ez da proportzioa. 4 5

Kalkulatu a-ren balioa, berdintzak proportzioak izan daitezen. a)

a 4 = 18 6

c)

11 33 = a 21

b)

36 45 = 48 a

d)

7 a = 14 4 72 = 12 6

a) a ⋅ 6 = 18 ⋅ 4 → a =

b) 36 ⋅ a = 48 ⋅ 45 → a =

2.160 = 60 36

c) 11 ⋅ 21 = a ⋅ 33 → a =

231 =7 33

d) 7 ⋅ 4 = 14 ⋅ a → a =

008

8

28 =2 14

Urbanizazio batean, bost zuhaitz landatu dituzte bi etxetik behin. Guztira 45 zuhaitz landatu dituzte. Osatu dagokion proportzioa eta kalkulatu zenbat etxe dauden urbanizazio horretan. 2 x 90 = → x = = 18 etxe daude guztira. 5 45 5

009

Aztertu ea A eta B magnitudeak zuzenki proportzionalak diren. A magnitudea B magnitudea

2 8

6 24

8 32

10 40

2 6 8 10 = = = = 0, 25 8 24 32 40

A eta B magnitudeak zuzenki proportzionalak dira. 010

Osatu taula, jakinik A eta B zuzenki proportzionalak direla. A magnitudea B magnitudea

2 a = → a = 10 10 50

2 10

4 20

10 50

12 60

2 b = → b = 12 10 60

80 400

2 80 = → c = 400 10 c

187

908261 _ 0184-0207.qxd

11/9/07

11:16

Página 188

Zenbakizko proportzionaltasuna 011

200 orrialdeko liburu batek 16,50 € balio du, eta 350 orrialdeko beste batek, 32 €. 40 orrialdeko libreta batek 2,50 € balio du, eta 100 orrialdeko beste batek, 6,25 €. Arrazoitu zer kasutan diren zuzenki proportzionalak orrialde kopurua eta prezioa. Liburu: 200 350 → 200 ⋅ 32 ⫽ 16,50 ⋅ 350 → 6.400 ⫽ 5.775 → Ez dira. ⫽ 16, 50 32 Libreta: 40 100 = → 40 ⋅ 6,25 = 2,50 ⋅ 100 → 250 = 250 → Proportzionalak. 2, 50 6, 25

012

13 urte badituzu eta 1,63 m altu bazara, altuera bikoitza izango al duzu 26rekin? Adina eta altuera ez dira magnitude zuzenki proportzionalak; beraz, 26 urterekin ez da altuera bikoitza izango.

013

Egiaztatu A eta B alderantziz proporzionalak direla. A magnitudea B magnitudea

12 4

24 2

6 8

12 ⋅ 4 = 24 ⋅ 2 = 6 ⋅ 8 = 48; beraz, alderantziz proportzionalak dira. 014

Zer balio izan beharko du x-k A eta B alderantziz proportzionalak izateko? A magnitudea B magnitudea

17 5

5 x

17 ⋅ 5 = 5 ⋅ x → x = 17 015

Osatu taula, bi magnitudeak alderantziz proportzionalak izateko. A magnitudea B magnitudea

1 72

3 24

6 12

9 8

12 6

18 4

1 ⋅ 72 = 9 ⋅ x ⎯→ x = 8; 1 ⋅ 72 = 12 ⋅ x → x = 6; 1 ⋅ 72 = 4 ⋅ x → x = 18 016

Andel bat gasek 24 egun irauten du, egunean 4 orduz erabiliz gero. Zenbat iraungo luke egunean 6 orduz erabiliz gero? 4 6 96 = → 4 ⋅ 24 ⫽ 6 ⋅ x → 96 = 6 ⋅ x → x = = 16 egun 24 x 6

017

Idatzi ehuneko gisa eta zatiki gisa. a) Ehuneko hiru. b) Ehuneko hamabost. a) % 3 =

188

3 100

c) Ehuneko hirurogeita hamar. d) Ehuneko laurogeita hamazortzi. b) % 15 =

15 100

c) % 70 =

70 100

d) % 98 =

98 100

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 189

ERANTZUNAK

018

Adierazi kopuru hauek ehuneko gisa eta zenbaki hamartar gisa. a) % 17 b) % 92

c) % 31 d) % 43

17 = 0,17 100 92 = 0, 92 b) 100

65 = 0, 65 100 15 = 0,15 f) 100

c)

Adierazi zenbaki hamartar hauek ehuneko gisa. a) 0,37 b) 0,2 c) 1,8 37 = % 37 100 2 20 = = % 20 b) 10 100 a)

020

e) % 65 f) % 15 31 = 0, 31 100 43 = 0, 43 d) 100

a)

019

8

e)

d) 0,05

18 180 = = % 180 10 100 5 = %5 d) 100 c)

Kontzesionario bateko autoen %20 ibilgailu industrialak dira; %35, lur orotako ibilgailuak; eta gainerakoak, turismoak. Kalkulatu turismoen ehunekoa. % 100 − (% 20 + % 35) = % 100 − % 55 = % 45 Ibilgailuen % 45 turismoak dira.

021

Kalkulatu. a) 3.200en % 65 b) 60ren % 60

c) 1.000ren % 75 d) 200en % 5,5

a) 2.080 022

b) 36

c) 750

d) 11

Konponketa batek 600 € balio du, BEZik gabe. Zenbat balio du %16ko BEZ barne? 600 €-ren % 16 = 96 €. Prezioa BEZ barne: 600 + 96 = 696 €.

023

Galtza bakero batzuek 50 € balio dute, baina %12ko beherapena egiten didate. Zenbat ordaindu behar dut? 50 €-ren % 12 = 6 €

024

50 − 6 = 44 € ordaindu behar dut.

Adierazi arrazoi bakoitzari dagokion ehunekoa. a)

1 2

b)

3 4

1 50 = = % 50 2 100 3 75 = = % 75 b) 4 100 a)

c)

1 5

d)

1 10

1 20 = = % 20 5 100 1 10 = = % 10 d) 10 100

c)

189

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 190

Zenbakizko proportzionaltasuna 025

Kalkulatu buruz eta adierazi nola egin duzun. a) 400en % 10 b) 300en % 20

c) 100en % 15 d) 600en % 70

Kantitateari bi zero ezabatu eta ehunekoaz biderkatuko dugu. a) 10 ⋅ 4 = 40 026

b) 20 ⋅ 3 = 60

c) 15 ⋅ 1 = 15

d) 70 ⋅ 6 = 420

1.500 kg oliba zapalduz, pisu horren %36 lortu dugu oliotan. Kalkulatu zenbat olio lortu dugun. 1.500en % 36= 540 litro olio

027

Gelan 30 bagara, eta gaur, gripea dela-eta, ikasleen % 20 etorri ez bada, zenbat etorri gara? Zenbat ez dira etorri? 30en % 20 = 6 ikasle ez dira etorri; beraz, 30 − 6 = 24 ikasle etorri dira.

028

Hiria hornitzen duten urtegiek 400 km3-ko edukiera dute guztira, eta beren edukieraren % 27an daude. Zenbat km3 ur dituzte? 400en % 27 = 108 km3 ur dituzte.

029

14.000 biztanleko herri batean, % 80 hamazortzi urtetik gorakoak dira. Asmatu zenbat diren adin nagusikoak. 14.000ren % 80 = 11.200 biztanle adin nagusikoak dira.

030

500 emakumeri inkesta eginda, 370ek diote futbola gustuko dutela. Adierazi kopuru hori ehuneko gisa. 370 x = → x = % 74 500 100

031

Igonek salmenten diruaren %12 eskuratzen du. Zenbat saldu beharko du 4.800 € eskuratzeko? 4.800 12 = → 12x = 480.000 → x = 40.000 € x 100

032

Jonek 26.000 € irabazi eta 5.200 € ordaintzen ditu zergatan, urtean. Zer ehuneko ordaintzen du?

x=

033

5.200 x 5.200 ⋅ 100 = → x = = % 20 ordaintzen du zergatan. 26.000 100 26.000

Sofa batek 350 € balio du, baina % 20ko beherapena du. Kalkulatu prezioa. 350en % 20 = 70; 350 − 70 = 280 €.

190

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 191

ERANTZUNAK

8

ARIKETAK 034 ●●

Hona hemen nire gelaren neurriak: 6 m luze, 3 m zabal eta 2 m altu. Kalkulatu: a) Luzeraren eta zabaleraren arteko arrazoia. b) Luzeraren eta altueraren arteko arrazoia. a)

035 ●●

6 =2 3

b)

6 =3 2

Mirenek 10 jaurtiketa libretik 6 saskiratzen ditu. Kalkulatu jaurtiketen eta saskiratzeen arteko arrazoia. Saskiratzeen eta jaurtiketen arteko arrazoiaren berdina al da? Aztertu zer erlazio dagoen bien artean. 10 5 = 6 3 6 3 = Saskiratzeak/jaurtiketak arrazoia: 10 5 Jaurtiketak/saskiratzeak arrazoia:

Ez da arrazoi bera, alderantzizko arrazoiak dira. 036

Idatzi bi zenbaki, haien arrazoia 3 izanik.

●●

Adibideak: 6 eta 2, 12 eta 4, 18 eta 6…; 037 ●

6 12 18 = = = 3. 2 4 6

Arrazoi pare hauetatik, adierazi zeinek osatzen duten proportzioa. a)

16 20 eta 4 5

4 80 eta 5 100

b)

c)

1 7 eta 30 21

d)

3 6 eta 17 34

a) Proportzioa osatzen dute; izan ere: 16 ⋅ 5 = 4 ⋅ 20. b) Proportzioa osatzen dute; izan ere: 4 ⋅ 100 = 5 ⋅ 80. c) Ez dute proportzioa osatzen; izan ere: 1 ⋅ 21 ⫽ 30 ⋅ 7. d) Proportzioa osatzen dute; izan ere: 3 ⋅ 34 = 17 ⋅ 6. 038

Aurkitu falta den gaia

●

x=

039 ●

50 x = proportzioa izateko. 150 6

50 ⋅ 6 =2 150

Kalkulatu x-ren balioa. a)

x 4 = 2 8

b)

18 x = 15 25

2⋅4 =1 8 18 ⋅ 25 = 30 b) x = 15 a) x =

c)

6 10 = x 5

d)

9 10 = 27 x

6⋅5 =3 10 27 ⋅ 10 = 30 d) x = 9 c) x =

191

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 192

Zenbakizko proportzionaltasuna 040

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DIRA PROPORTZIOEN ERDIAK EDO MUTURRAK, BERDINAK BADIRA? Kalkulatu x-ren balioa LEHENA.

4 x proportzioan. = x 9

Proportzioen oinarrizko propietatea aplikatu behar da. x 4 = → x ⋅ x = 4 ⋅ 9 → x 2 = 36 x 9

BIGARRENA.

Berbidura 36 duen zenbakia bilatu behar da. x 2 = 36 → x =

Beraz, proportzioa hau da:

041 ●

4 6 = . 6 9

Kalkulatu x-ren balioa, proportzio bakoitzean. a)

8 x = x 50

b)

25 x = x 9

c)

a) x 2 = 400 → x = 20 b) x 2 = 225 → x = 15 042 ●●

a)

8 x = 4 3

b)

6 4 = 12 x

24 =6 4 48 =8 b) x = 6

●

15 x = x 60

144 x = x 4

c) x 2 = 900 → x = 30 d) x 2 = 576 → x = 24

c)

4 x = x 9

d) x =

6 30

= = =
15 90 0, 75 6 30


b) = = = =
70 35 105 0, 7 6 30


c) = = = =
77 33 42 0, 22 a)




75

d)

c) x 2 = 36 → x = 6

Osatu. =

30 6 36 30 0, 30 = = = = 75 15 90 75 0, 75 12 6 18 30 0,12 = = = = b) 70 35 105 175 0, 7 14 6 7, 6363… 30 0, 04 = = = = c) 77 33 42 165 0, 22 a)

192

d)

Kalkulatu buruz proportzio bakoitzaren gai ezezaguna.

a) x =

043

36 = 6

70 = 10 7

5 7 = x 14

908261 _ 0184-0207.qxd

11/9/07

11:16

Página 193

ERANTZUNAK

044 ●

045 ●●

046 ●●

047 ●●

048 ●●

Egin zenbait proportzio, zenbaki hauek erabiliz: 3, 4, 9 eta 12. 3 9 = 4 12

3 4 = 9 12

4 12 = 3 9

9 12 = 3 4

3 bada, kalkulatu: 8 a) a, b = 24 bada b) b, a = −15 bada c) b, a = 1,5 bada d) a, b = −16 bada

Bi zenbakiren (a eta b) arrazoia

a)

a 3 24 ⋅ 3 = →a= =9 24 8 8

c)

1, 5 3 1, 5 ⋅ 8 = →b = =4 b 8 3

b)

−15 3 −15 ⋅ 8 = →b = = −40 b 8 3

d)

a 3 −16 ⋅ 3 = →a= = −6 −16 8 8

Aztertu ea 2 eta 3 zuzenki proportzionalak diren 8rekiko eta 12rekiko, hurrenez hurren. 2 8 = → 2 ⋅ 12 = 8 ⋅ 3 . Proportzionalak dira. 3 12

a eta b zenbakiak 2 rekiko eta 3rekiko zuzenki proportzionalak direla esatea a 2 = esatea da. Aurkitu 5 eta 7rekiko zuzenki proportzionalak diren bi zenbaki. b 3 a 5 = → a = 5n; b = 7n → a = 10 eta b = 14 b 7 Osatu arrazoi bat datu hauekin: «5 litro oliok 15,25 € balio dute». Idatzi arrazoi hori duten proportzioak, datu hauek erabiliz, eta kalkulatu proportzionaltasunkonstantea. a) 20 litro

c) 76,25 €

b) 25 litro

Arrazoia:

d) 61 €

15,25 ; proportzionaltasun-konstantea: 3,05. 5

15,25 61 = 5 20 15,25 76,25 = b) 5 25

15,25 91, 5 = 5 30 15,25 122 = d) 5 40

a)

049

8

c)

Bi salgunetan (A eta B) sagarrak saltzen dituzte. Prezioak taula hauetan ageri dira.

● 1 kg

A salgunea 2 kg

3 kg

1 kg

B salgunea 2 kg

3 kg

0,53 €

1,06 €

1,59 €

0,60 €

1€

1,50 €

Zein salgunetan dira magnitude zuzenki proportzionalak pisua eta prezioa? 1 2 3 = = A salgunea: . Zuzenki proportzionalak dira. 0,53 1,06 1,59

B salgunea:

1 2 3 . Ez dira zuzenki proportzionalak. ⫽ ⫽ 0,60 1 1,50

193

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 194

Zenbakizko proportzionaltasuna 050 ●●

Magnitude pare hauen artean, adierazi zein diren zuzenki proportzionalak. a) b) c) d)

Karratu baten aldearen luzera eta karratuaren perimetroa. Andel bateko iturri kopurua eta andela betetzeko behar den denbora. Ardi kopurua eta jaten duten pentsua. Motozikleta baten abiadura eta distantzia bat egiten emandako denbora. a) Zuzenki proportzionalak dira. b) Ez dira zuzenki proportzionalak. c) Zuzenki proportzionalak dira. d) Ez dira zuzenki proportzionalak.

051

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DIRA BI MAGNITUDE ZUZENKI PROPORTZIONALEN BALIO EZEZAGUNAK?

Taulan, zenbait pintura kantitate eta bakoitzaren prezioa ageri dira. Osatu falta diren balioak. Pintura (kg) Prezioa (€) LEHENA.

1 8

2 16

3 a

b 48

Bi magnitudeak zuzenki proportzionalak direla egiaztatu behar da. 1 2 = = 0,125 → zuzenki proportzionalak 8 16

BIGARRENA.

Proportzioak ezarri eta balio ezezagunak kalkulatu behar dira. 8⋅3 1 3 = 24 € = → 1 ⋅ a = 8 ⋅ 3 ⎯→ a = 1 8 a 1 b 1 ⋅ 48 = → 1 ⋅ 48 = 8 ⋅ b → b = = 6 kg 8 48 8

052 ●

194

Osatu taulak, kontuan hartuz bi magnitudeak zuzenki proportzionalak direla. A magnitudea B magnitudea

6 12

2 4

12 24

14 28

26 52

7,5 15

A magnitudea B magnitudea

7 14

21 42

8 16

42 84

105 210

10 20

A magnitudea B magnitudea

0,2 0,3

0,5 0,75

1,4 2,1

1 1,5

10 15

0,1 0,15

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 195

ERANTZUNAK

053

8

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DIRA BI MAGNITUDE ALDERANTZIZ PROPORTZIONALEN BALIO EZEZAGUNAK?

Taulan, distantzia bat egiten emandako denbora eta abiadura ageri dira. Abiadura (km/h) Denbora (min) LEHENA.

●

055

2 12

4 a

b 8

Bi magnitudeak alderantziz proportzionalak direla egiaztatu behar da. 1 ⋅ 24 = 2 ⋅ 12 = 24 → alderantziz proportzionalak

BIGARRENA.

054

1 24

Alderantzizko proportzionaltasuneko erlazioa aplikatu behar zaie datuei. 1 ⋅ 24 = 4 ⋅ a → a =

1 ⋅ 24 = 6 min 4

1 ⋅ 24 = b ⋅ 8 → b =

1 ⋅ 24 = 3 km/h 8

Osatu taula hauek eta egiaztatu bi magnitudeak alderantziz proportzionalak direla. A B

6 90

2 270

5 108

30 18

10 54

A B

9 50

45 10

10 45

15 30

25 18

A B

2 150

10 30

6 50

15 20

4 75

Salgune batean, bi mertxika motaren prezioei buruzko taula hauek daude.

●● kg €

A MOTA 1 2 0,9 1,8

5 4,5

kg €

B MOTA 1 2 0,95 1,85

5 4,25

a) Zein taulatan dira magnitude zuzenki proportzionalak pisua eta prezioa? b) Salgune honetan, zenbat balio dute A motako 12 kg mertxikak? c) Kalkula al daiteke zenbat balio duten B motako 12 kg mertxikak? 1 2 5 = = . Zuzenki proportzionalak dira. 0,9 1,8 4,5 1 2 5 B mota: . Ez dira zuzenki proportzionalak. ⫽ ⫽ 0,95 1,85 4,25

a) A mota:

b) A motako 12 kiloren prezioa: 12 ⋅ 0,9 = 10,80 €. c) Ezin da kalkulatu, magnitudeak ez direlako proportzionalak eta ez dietelako logika nabarmen bati jarraitzen.

195

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 196

Zenbakizko proportzionaltasuna 056 ●●

Taulan, espazio-neurriak eta haiek egiteko behar diren denborak ageri dira. Espazioa (m) Denbora (s)

120 9

30 2,25

60 a

b 6

a) Magnitude zuzenki proportzionalak al dira? b) Kalkulatu espazioaren eta denboraren arteko proportzionaltasun-konstantea. c) Kalkulatu falta diren balioak. 120 30 120 60 60 ⋅ 9 = = →a= = 4,5 . Proportzionalak. c) 9 2,25 9 a 120 120 120 b 120 ⋅ 6 = 13,333… = = 80 b) ⎯→ b = 9 9 6 9 a)

057 ●●

Putzu bateko ura ateratzeko, 210 aldiz erabili behar da 15 ¬-ko edukiera duen ontzia. 25 ¬-ko ontzia erabiliz gero, zenbat aldiz sartu beharko da ontzia putzuan, ur kantitate bera ateratzeko? Magnitude alderantziz proportzionalak dira. 210 ⋅ 15 = x ⋅ 25 → x =

058 ●●

210 ⋅ 15 = 126 aldiz 25

Auto batek 6 behar ditu ibilbide bat egiteko, 90 km/h-ko abiaduran. Zenbat denbora beharko du ibilbide hori egiteko, abiadura 60 km/h-koa bada? Magnitude alderantziz proportzionalak dira. 90 ⋅ 6 = 60 ⋅ x → x =

059 ●●

540 = 9 ordu behar ditu ibilbide hori egiteko. 60

Enekok familiakoei laguntzen die dendan, Gabonetan. Bost egunez lan egiteagatik 160 euro ematen dizkiote. Zenbat diru emango diote 17 egunez aritzeagatik? Magnitude zuzenki proportzionalak dira. 5 17 160 ⋅ 17 = → x = = 544 € emango dizkiote 17 egunengatik. 160 x 5

060 ●●

500 g-ko ontzi bat lekatan 2,5 g koipe daude guztira, eta 400 g-ko beste ontzi batean, 2,1 g. a) Proportzioan al daude datu horiek? b) Proportzioan ez badaude, zeinek du koipe gehien, proportzioan? 500 400 → 500 ⋅ 2,1 ⫽ 2,5 ⋅ 400. Ez daude proportzioan. ⫽ 2,5 2,1 2,5 2,1 = 0,005 < = 0,00525 b) 500 400 Proportzioan, koipe gehiago du bigarren ontziak. a)

196

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 197

ERANTZUNAK

061 ●●

8

Harategian, saltxitxek 5,25 €/kg balio dute. 0,5 kg-ko saltxitxa-paketeak ere badaude, 2,10 €-an. Zein saltxitxa dira merkeenak? 5,25 2,10 = 5,25 €/kg > = 4,20 €/kg 1 0,5 Kilo-erdiko saltxitxa-paketeak dira merkeenak.

062 ●●

Egunean 3 orduko kontsumoa eginez gero, andel bat gasek 20 egun irauten du. Zenbat iraungo luke egunean 6 orduz erabiliz gero? Magnitude alderantziz proportzionalak dira. 3 ⋅ 20 3 ⋅ 20 = 6 ⋅ x → x = = 10 ordu 6

063 ●●

Abeltzain batek 20 behi 60 egunez elikatzeko adina lasto-bola ditu. Beste 10 behi erosi baditu, zenbat egunerako elikagaia du? Magnitude alderantziz proportzionalak dira. 1.200 = 40 egunerako 20 ⋅ 60 = 30 ⋅ x → x = 30

064

Zuku-botila batean taula hau ageri da.

●●

Batez besteko balioa

100 ml

Karbohidratoak (g) 10,6 Kilokaloriak

43

Proteinak (g)

0,2

a) Zenbat kilokaloria izango ditu litroko botila batek? Eta zenbat proteina? b) Zenbat karbohidrato izango ditu litro-erdi bat zukuk? a) Kilokaloriak = 10 ⋅ 43 = 430; proteinak = 0,2 ⋅ 10 = 2 g. b) Karbohidratoak: 5 ⋅ 10,6 = 53 g. 065 ●●

Pastel bat egiteko behar diren osagaiak eta pastelaren neurria zuzenki proportzionalak dira. 4 lagunentzako pastel bat egiteko, 2 arrautza, 6 koilarakada azukre eta litro-laurden bat esne behar dira, besteak beste. Kalkulatu zer osagai behar diren 2,6 eta 8 lagunentzako pastela egiteko. 4 2 6 8

lagun lagun lagun lagun

Arrautzak 2 1 3 4

Azukrea 6 3 9 12

Esnea 250 cl 125 cl 375 cl 500 cl

197

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 198

Zenbakizko proportzionaltasuna 066 ●

067 ●

Adierazi ehuneko hauek zatiki gisa eta zenbaki hamartar gisa. a) % 25

b) % 110

●

25 1 = = 0,25 100 4

c)

37 = 0,37 100

b)

110 11 = = 11 , 100 10

d)

16 4 = = 0,16 100 25

Idatzi zenbaki hamartar hauek ehuneko gisa. a) 0,34 b) 0,45

c) 0,723 d) 1,23 b) % 45

a)

3 8

b)

●

c) 2,2 =

220 → %220 100

●

11 5

d)

7 4

Kalkulatu zenbaki hauen % 22. a) 144 b) 236

c) 1.256 d) 5.006 b) 51,92

c) 276,32

d) 1.101,32

Kalkulatu buruz. a) 40ren % 10 b) 500en % 20

c) 2.000ren % 50 d) 40ren % 30 b) 100

c) 1.000

d) 12

Kalkulatu buruz. a) 30en % 15 b) 60ren % 40 a) 4,5

198

c)

175 → % 175 100

a) 4 071

d) % 123

375 37,5 = → %37,5 1.000 100

250 → %250 100

a) 31,68 070

5 2

b) 2,5 =

d) 1,75 =

●

c) % 72,3

Adierazi ehuneko gisa zatiki hauek.

a) 0,375 =

069

d) % 16

a)

a) % 34 068

c) % 37

c) 200en % 60 d) 8.000ren % 25 b) 24

c) 120

d) 2.000

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 199

ERANTZUNAK

072

8

EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA EHUNEKOAK KALKULAGAILUA ERABILIZ? Kalkulatu 310en %12 kalkulagailua erabiliz. LEHENA.

Ehunekoa idatzi eta zati 100 egin behar da. 12

BIGARRENA.

÷

100

=

0.12

=

37,2

Emaitza kopuruaz biderkatu

behar da. 0,12

×

310

BESTE METODO BAT

Kalkulagailuaren tekla espezifikoak erabiliz. 12

073 ●

074 ●

%

310

=

37,2

Kalkulatu ehuneko hauek kalkulagailua erabiliz. a) 30en % 51 b) 100en % 76

c) 60ren % 21 d) 951ren % 8

a) 15,3

c) 12,6

b) 76

d) 76,08

450 €-an erositako objektu bat 423 €-an saltzea zenbateko galera da, ehunekotan? 450 − 423 x 27 ⋅ 100 = → x = = % 6ko galera 450 100 450

075 ●

324 etxe –herri bateko etxebizitza guztien %25– bi logelakoak badira, zenbat etxebizitza daude herrian? 25 324 324 ⋅ 100 = → x = = 1.296 etxe 100 x 25

076 ●

644 euroko txeke bat sartzeagatik % 2ko komisioa kobratu didate. Zenbat ordaindu diot bankuari? 644ren % 2 =

077 ●

2 ⋅ 644 = 12,88 € ordaindu diot. 100

Giza gorputzaren % 60 ura da. Zer ur kantitate du 75 kg-ko pertsona batek? 75en % 60 =

60 ⋅ 75 = 45 litro ur 100

199

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 200

Zenbakizko proportzionaltasuna 078 ●

25 metroko luzerako burdinazko habe bat % 1,5 dilatatu da, beroaren eraginez. Zer luzera du dilatatu ondoren? 1,5 ⋅ 25 = 0,375 m 100 25 + 0,375 = 25,375 m-ko luzera du. 25en % 1,5 =

079 ●●

Zenbat ordaindu beharko ditu jatetxe bateko jabeak 492 edalontzi, dozena 3,25 €-an erosi badu, eta eskura ordainduta % 8ko beherapena egiten badiote? 492 : 12 = 41 dozena → 41 ⋅ 3,25 = 133,25 € beherapenik gabe 133,25 ⋅ 8 = 10,66 €-ko beherapena 100 133,25 − 10,66 = 122,59 € ordaindu beharko du. 133,25en % 8 =

080 ●

Dado trukatu bat 30 aldiz jaurtitzean, 5 zenbakia 12 aldiz atera da. 5 zenbakiaren aldeko apustua egin badut, zer asmatze-ehuneko izan dut? atera da

30 aldiz jaurtitzean ⎯⎯⎯⎯→ 12 aldiz 100 etik

aterako da

⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x

12 x 1.200 = → 30 ⋅ x = 100 ⋅ 12 → x = = 40; % 40ko asmatzea 30 100 30 081 ●●

Higiezinen agente batek saldutako finkaren balioaren %2 eskuratzen du: herena erosleak ematen dio, eta gainerakoa, saltzaileak. Etxebizitza bat 150.000 euroan saldu berri badu: a) Zenbatekoa da haren komisioa? b) Zenbat ordainduko dio saltzaileak? c) Eta erosleak? 2 ⋅ 150.000 = 3.000 € 100 2 b) 3.000ren = 2.000 € ordainduko dio saltzaileak. 3 c) 3.000 − 2.000 = 1.000 € ordainduko dio erosleak. a) 150.000ren % 2 =

082 ●●

Txerri batek zenbat haragi duen kalkulatzeko, haren pisuaren %40 eta %15 kendu behar zaio; erraien eta hezurren pisua eta koipearena, hurrenez hurren. Txerri baten pisua 184 kg-koa bada, zenbat haragi du? Erraiak: 184ren % 40 =

40 ⋅ 184 = 73, 6 kg 100

15 ⋅ 184 = 27, 6 kg 100 184 − (73,6 + 27,6) = 82,8 kg haragi Koipea: 184ren % 15 =

200

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 201

ERANTZUNAK

083 ●●

8

Musika-CD batek 16 € balio du, baina hiru erosiz gero, % 10eko beherapena egiten dute. Zenbat balio dute 6 musika-CDk, beherapena aintzat hartuz? 16 ⋅ 6 = 96

96ren % 10 = 9,60 €-ko beherapena CDko.

6 CD-k balio dutena: 96 − 9,6 = 86,40 €. 084 ●●

5 ikasletik hiruk gripea izan dute. Adierazi datu hori ehuneko gisa. 3 3 ⋅ 20 60 = = = 0, 6 → Ikasleen % 60k gripea izan du. 5 ⋅ 20 5 100

085 ●●

Herrialde bateko zazpi milioi biztanletatik lau atzerrira joaten dira oporretara, urtean behin. Herrialde horretan, gutxi gorabehera, 45 miloi pertsona bizi badira, zenbat biztanle joaten dira atzerrira, gutxi gorabehera? atzerrira joaten dira

7 biztanletik ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 4 joango dira

45.000.000tik ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x 4 x = → 7 ⋅ x = 45.000.000 ⋅ 4 → 7 45.000.000 180.000.000 → x = ≈ 25.714.286 biztanle joango dira atzerrira. 7

086

EGIN HONELA NOLA BANATZEN DA GUZTIZKO BAT EHUNEKOTAN? Barraskilo bati erreparatu diogu hiru orduz. Lehen orduan, 30 cm egin ditu; bigarrenean, 10 cm; eta hirugarrenean, 40 cm. Adierazi ordu bakoitzean egindako ibilbidea, ehuneko gisa. Guztizkoa kalkulatu behar da. 30 + 10 + 40 = 80 cm BIGARRENA. Guztizkoa eta zatiak (ordu bakoitzean egindako distantzia) hartuz, ehunekoak kalkulatu behar dira. LEHENA.

Lehen orduan: 80 cm-tik ⎯→ 30 cm egin ditu 100 cm-tik ⎯ → x cm egin ditu 80 30 100 ⋅ 30 %37,5 = → x = = 37, 5 % 100 x 80 Bigarren orduan: 80 10 100 ⋅ 10 = → x = = 12, 5 % 100 x 80

%12,5

Hirugarren orduan: % 100 − (% 37,5 + % 12,5 ) = % 50 .

201

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 202

Zenbakizko proportzionaltasuna 087 ●●

Auto-fabrika batean, hiru motatako autoak egin dituzte; hiru modelo, hain zuzen ere. Lehen modelotik 1.225 ale egin dituzte; bigarrenetik, 820; eta hirugarrenetik, 1.024. Kalkulatu modelo bakoitzari dagokion ehunekoa. Auto kopurua: 1.225 + 820 + 1.024 = 3.069 lehen modeloa

3.069 autotik ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1.225 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x 100etik ⎯⎯ 3.069 1.225 = → 3.069 ⋅ x = 100 ⋅ 1.225 → 100 x 122.500 → x = = 39,9 ; % 39,9 lehen modeloa 3.069 bigarren modeloa

3.069 autotik ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 820 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x 100etik ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3.069 820 = → 3.069 ⋅ x = 100 ⋅ 820 → 100 x 82.000 → x = = 26, 7 ; % 26,7 bigarren modeloa 3.069 Hirugarren modeloa: 100 − (39,9 + 26,7) = % 33,4 088 ●●

1.100 ikasleko ikastetxe batean, datu hauek jaso dira: 350 ilehoriak dira; 200, begiurdinak; eta 750, futbolzaleak. Adierazi kopuru horiek ehuneko gisa. ilehoriak dira

1.100 ikasletik ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 350 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯→ x 100etik ⎯⎯⎯ 1.100 350 = → 1.100 ⋅ x = 100 ⋅ 350 → 100 x 35.000 → x = = 31, 81; % 31,81 ilehoriak dira. 1.100 begiurdinak dira

1.100 ikasletik ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 200 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯→ x 100etik ⎯⎯⎯ 1.100 200 = → 1.100 ⋅ x = 100 ⋅ 200 → 100 x 20.000 → x = = 18,18 ; % 18,18 begiurdinak dira. 1.100 futbolzaleak dira

1.100 ikasletik ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 750 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯→ x 100etik ⎯⎯⎯⎯ 1.100 750 = → 1.100 ⋅ x = 100 ⋅ 750 → 100 x 75.000 → x = = 68,18 ; % 68,18 futbolzaleak dira. 1.100

202

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 203

ERANTZUNAK

089 ●

8

Ikasgela bateko ikasleen % 24k oso ongi edo bikain atera du, matematikaazterketan. Ikasgelan 25 ikasle badaude, kalkulatu zenbatek atera duten oso ongi baino kalifikazio txikiagoa. 25en % 24 = 6 ikaslek oso ongi edo bikain atera dute. 25 − 6 = 19 ikaslek oso ongi baino kalifikazio txikiagoa atera dute.

090 ●

Postontzian, lagunen zenbait eskutiz eta bankukoak nituen. Guztira 40 eskutitz bazeuden eta % 25 bankukoak baziren, kalkulatu lagunen zenbat eskutiz zeuden. 40ren % 25 =

091 ●

25 ⋅ 40 = 10 bankukoak ziren eta 40 − 10 = 30 lagunenak. 100

Dieta mediterraneoan, egunero jaten denaren % 55 gluzidoak dira; % 30, lipidoak; eta % 15, proteinak. Egunero 2.500 kaloria kontsumitzen badira, kalkulatu kalorien zer ehuneko diren gluzidoak, lipidoak eta proteinak. 55 ⋅ 2.500 = 1.375 kaloria 100 30 ⋅ 2.500 Lipidoak: 2.500en % 30 = = 750 kaloria 100 15 ⋅ 2.500 Proteinak: 2.500en % 15 = = 375 kaloria 100 Gluzidoak: 2.500en % 55 =

092 ●●

Eskolan, txango bat egitea erabaki dugu. Ikasgelako ikasleen % 20k Zientzia Museora joan nahi du, eta % 60k, planetariora. 15 ikaslek planetariora joatea erabaki badute, zenbat ikaslek aukeratu dute beste txangoa? Zenbat ikasle daude ikasgelan?

x ikasgelako ikasle kopurua bada: 60 ⋅ x 1.500 = 15 → x = = 25 ikasle daude ikasgelan. 100 60 25en % 20 = 5 ikaslek Zientzia Museora joatea erabaki dute.

x-ren % 60 = 15 →

093 ●

Eskulangile batek oihalezko pieza bat egin zuen lau egunean: lehen egunean, 6,25 m egin zituen; bigarrenean, 5,70 m; hirugarrenean, 7 m; eta laugarrenean, 8,05 m. Zer luzera zuen piezak? Kalkulatu zer ehuneko egin zuen egunero. 6,25 + 5,70 + 7 + 8,05 = 27 m Lehen eguna:

27 6, 25 6, 25 ⋅ 100 = → x = = % 23,14 100 x 27

Bigarren eguna:

27 5, 70 5, 70 ⋅ 100 = → x = = % 21,11 100 x 27

27 7 7 ⋅ 100 = → x = = % 25, 92 100 x 27 Laugarren eguna: % 100 − (23,14 + 21,11 + 25,92) = % 29,83 Hirugarren eguna:

203

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 204

Zenbakizko proportzionaltasuna 094

EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA HASIERAKO PREZIOA, PREZIO BEHERATUA JAKINIK? % 10eko beherapena zuen bufanda bat erosi dut, 12,60 €-an. Zer prezio zuen beherapena egin aurretik? LEHENA.

Datuak hiruko erregela gisa jarri behar dira. ⎯→ 90 100etik ⎯⎯ preziotik ⎯⎯ → 12,60

BIGARRENA.

Proportzioan falta den kantitatea kalkulatu behar da. Prezioa =

095 ●●

100 ⋅ 12,60 = 14 € 90

Auto baten salmenta-prezioa, %16ko BEZa barne, 15.442 €-koa da. Zer prezio du BEZik gabe?

x autoaren prezioa bada, prezioa BEZ barne: x-ren % 116. x-ren % 116 = 15.442 →

096 ●●●

116 ⋅ x = 15.442 → x = 13.312,07 € BEZ barne 100

Andonik bi alkandora erosi ditu, 72,50 €-an. Ordaintzean, %12ko beherapena egin badiote, eta bi alkandorek prezio bera bazuten, zenbat balio zuen alkandora bakoitzak beherapena egin aurretik?

x alkandoren prezioa bada: 88 ⋅ x 7.250 = 72, 50 → x = = 82,38 € 100 88 Alkandoren prezioa, beherapena egin aurretik: 82,38 : 2 = 41,19 €.

x-ren % 88 = 72,50 € →

097 ●●●

Ikastetxe batean egindako estatistika baten arabera, 3 ikasletik 2k txantxarra dute. Hiriko 36.000 pertsonari egin bazaie inkesta, zenbatek dute txantxarra? Zure ustez, fidagarria al da kalkulu hori? txantxarra dutenak

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 3 ikasletik ⎯ 36.000 pertsonatik ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x 3 2 = → 3 ⋅ x = 36.000 ⋅ 2 → 36.000 x 72.000 → x = = 24.000 pertsonak dute txantxarra.. 3 Emaitza ez da fidagarria, ikastetxeko laginak ez dituelako ordezkatzen hiri osoko adin guztietako biztanleak.

204

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 205

ERANTZUNAK

098 ●●●

8

Angurriaren antzeko fruitu batek 2 kg-ko pisua du, eta % 98 ura da. Egun batez eguzkitan uzten badugu, uraren zati bat lurrundu, eta ur kantitatea pisuaren %95 izango da. Zer pisu du orain fruituak? 98 ⋅ 2 = 1, 96 kg ura da. 100 Lurrundutako ura: x Fruituaren prezioa:

2 − x kg ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ % 100

Uraren pisua:

1,96 − x kg ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ % 95

2−x 100 = → 196 − 100 x = 190 − 95 x → 6 = 5 x → 1, 96 − x 95 6 → x = = 1, 2 kg-ko galera 5 Fruituak orain duen pisua: 2 − 1,2 = 0,8 kg. 099

Frogatu proportzioen propietate hau, hiru adibideren bidez.

●●● Proportzio baten aurrekarien batura zati atzekariaren batura proportzionaltasun-konstantearen berdina da. a a a+c Baldin = =k → =k b b b+d

1 3 1+ 3 4 = = 0, 25 → = = 0,25 4 12 4 + 12 16 2 6 2+6 8 = = 0, 4 → = = 0,4 5 15 5 + 15 20 3 15 3 + 15 18 = = 0,75 → = = 0,75 4 20 4 + 20 24 100 ●●●

Adierazi zein problema ebatz daitezkeen hiruko erregela honen bidez. 60 8 = 150 x a) Nekazari batek 60 oilo ditu. 8 oilo saldu eta 150 erosi baditu, zenbat oilo ditu? b) Biltegi batean 8 egunerako janaria dago, 150 lagunentzat. 60 lagunentzat balitz, zenbat egunerako janaria legoke? c) 60 m2-ko horma bat margotzeko, 8 kilo pintura erabili dira. Zenbat kilo behar dira 150 m2-ko horma bat margotzeko? a) Ez dago proportziorik, batuketak eta kenketak soilik. Ez du balio. b) Proportzioa alderatnzizkoa da. Ez du balio. c) Bai, proportzio zuzena da magnitude horietarako.

205

908261 _ 0184-0207.qxd

11/9/07

11:16

Página 206

Zenbakizko proportzionaltasuna 101 ●●●

Ikaslea Aitor Mikel Imanol Saioa Txomin

Luzera batzuk neurtzean, taulan ageri diren erroreak egin dituzte zenbait ikaslek. Zure ustez, nork egin du errorerik handiena?

Neurria 18,5 m 5m 12 m 10,8 m 3m

Errorea 90 cm 13 cm 16 cm 80 cm 10 cm

Hauek dira arrazoiak: Aitor: Mikel:

90 = 0,0486486… 1.850

Saioa:

13 = 0,025 500

Imanol:

80 = 0,074074… 1.080

Txomin:

10 = 0,033333… 300

16 = 0, 013333… 1.200

Saioak egin du errorerik handiena.

EGUNEROKOAN 102 ●●●

Ikastetxeko jangelarako erosketak hilean behin egiten dira. Ikastetxetik hurbil dauden supermerkatuetan eskaintzak dauden arren, erosketak egiten dituztenek ez diete jaramonik egiten. Zuzendaritza-kontseiluak askoz gehiago kontrolatu nahi ditu jangelako gastuak; horregatik, zukuen eskaintzak aztertzen ari dira. Erosi bat n eta erama beste bat an erdi prezio

ESKAINTZA % 30eko beherapena

3x2

6x5

2 botila zuku erosita beste bat opari.

5 botila zuku erosita, beste bat opari.

Eskaintza horiek botila mota berberari eta prezio berbera dutenei buruzkoak dira. Hilean, 240 botila zuku erosten badira, zein da, zure ustez, eskaintzarik onena? Hauek dira proportzioak: Botila bat erosi eta bigarrena % 30eko beherapenaren eskaintza erdi prezioan. aukeratuko dugu. 1,5 70 = 0,75 = 0,7 2 100 3 × 2 eskaintza aukeratuko dugu. 6 × 5 eskaintza aukeratuko dugu. 2 5 = 0,666… = 0,8333… 3 6 Eskaintzarik onena 3 × 2 da, % 66,666 soilik ordaintzen delako.

206

908261 _ 0184-0207.qxd

26/7/07

13:45

Página 207

ERANTZUNAK

103 ●●●

TUNNING CARS konpontze-lantegiak irabazi handiak izan ditu, aurreko urtekoekin alderatuta, urteko kontabilitatea ixtean. Zenbat diru emango dio bakoitzari?

x izango da bakoitzak jaso beharreko kantitatea, eta 2x, Anderrek jasoko duena.

8

Gabonsaria emango dizuet... Zuen artean 6.000 € banatzea pentsatu dut: Anderri zuetako bakoitzaren bikoitza emango diot, ikastuna denez lauretatik gutxien irabazten duena baita. Arazoa da ez dakidala nola banatu...

x + x + x + 2x = 6.000 → → 5x = 6.000 → 6.000 = 1.200 →x= 5 Bakoitzak 1.200 € jasoko du, eta Anderrek, 2.400 €.

104 ●●●

Lasa Makinak enpresa makinak erosten ditu, gero eraikuntza-enpresei saltzeko, prezioa %20 goratuta. Arazoa hau da: bezeroek beherapena eskatzen dute beti, eta enpresak ez du irabazirik galdu nahi. Bezeroaren aurrean beherapena egin ahal izateko, irabaziak txikitu gabe, gerenteak, Jokin Aurrek, idea bat izan du: Makinen prezioari % 25 gehituko diogu. Hala, bezeroa erostera etortzen denean, %5eko beherapena egingo diogu eta gure irabaziak betiko berberak izango dira.

Zure ustez, zuzena al da hori? Lehen aukeraren arabera, makina batek x balio badu, prezio hau izango du:

x+

20 ⋅ x = 1,20x 100

Bigarrenaren arabera, makina batek x balio badu, prezio hau izango du: Prezioa, % 25 gehituta: x +

25 ⋅ x 125 x = = 1,25 x 100 100

Azken prezioa: 125 x − 100

125 x 12.500 x − 625 x 11.875 x 100 = = = 11875 , x 100 10.000 10.000

5⋅

Ez da zuzena, bigarren aukerarekin lehenengoarekin baino gutxiago irabaziko du.

207

908261 _ 0208-0231.qxd

9

26/7/07

13:49

Página 208

Angeluak eta zuzenak

ZUZENAK, ZUZENERDIAK ETA ZUZENKIAK

ANGELUAK

BI ANGELUREN KOKAPEN ERLATIBOAK

ANGELUEN SAILKAPENA

BI ZUZENEN KOKAPEN ERLATIBOAK

ERAGIKETAK ANGELUEKIN

BATUKETA

KENKETA

SISTEMA HIRUROGEITARRA

ANGELUAK NEURTZEKO UNITATEAK

DENBORA NEURTZEKO UNITATEAK

ERAGIKETAK SISTEMA HIRUROGEITARREAN

BATUKETA

208

KENKETA

ZENBAKI BATEZ BIDERKATZEA

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 209

Ikur baten sorrera Maria Tudor tronuaz jabetu zenetik, Robert Recorde ikaratuta bizi zen: salatu eta kartzelan sar zezaketen, edo are okerrago, sutan erre. Robert Recordek kargu garrantzitsuak izan zituen, Eduardo, Mariaren nebaordea, errege zenean. Artean kargu ona zuen, baina bere etsaiak oso boteretsuak zirela sumatzen zuen. Beraren azken sorkuntzan (Asmamena zorrozteko harria) lanean ari ziren inprimategiko ateak zabaltzean amaitu ziren beraren irudipenak. Liburua inprimatzen ari zen langileak agurtu zuen: –Egun on, Recorde jauna. Zure lana ez dago amaituta oraindik. Gainera, zerbait galdetu nahi dizut. –Galdetu –esan zion Recordek. –Eskuizkribuan aurkitu dudan ikur baterako ez daukat molderik –esan zuen inprimatzaileak, = ikurra seinalatzen zuen artean. –Arrazoi duzu, ikur hori ekuazio baten bi atalen arteko berdintza adierazteko asmatu dut –erantzun zuen Recordek, inprimatzailearen harridura ikusita–. Ikur hori aukeratu nuen luzera bereko bi marra paraleloak berdin-berdinak direlako. 1557. urtea zen eta lehen aldiz erabili zen = ikurra. Hala ere, bi mende geroago bihurtu zen ezagun, zuzenkiak laburtuta. Noiz dira paraleloak bi zuzen? Eta elkarzutak?

Bi zuzen paraleloak dira, ez badute puntu komunik. Bi zuzen elkarzutak dira, elkar ebakitzean 90°-ko angelua osatzen badute.

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 210

Angeluak eta zuzenak ARIKETAK 001

Marraztu puntu bat koadernoan eta puntua barne duten hiru lerro zuzen.

A

002

Marraztu zuzen bat koadernoan, kokatu puntu bat zuzen horretan eta izendatu lortutako bi zuzenerdiak. r

s A

003

Marraztu 5 cm-ko luzerako zuzenki bat eta izendatu muturren bidez. A

004

B

Marraztu zuzen bat, markatu hiru puntu, eta esan zenbat zuzenerdi eta zuzenki osatu diren. Markatu zenbait kolorez eta izendatu. A

B

C

Sei zuzenerdi daude, puntu bakoitzetik bi zuzenerdi sortzen baitira. Hiru zuzenki osatzen dira: AB, BC eta AC. 005

Zenbat zuzen marraz ditzakezu, hiru puntu hauetako bitatik pasatzen direnak? a)

b) a) Bat bakarrik, puntuak lerrokatuta baitaude. b) Hiru zuzen.

006

210

Aztertu adierazitako zuzen bakoitzaren kokapen erlatiboa. a) Trenbideak. b) Biribilgune batean bat egiten duten hiru kale. c) Eskailera baten mailen ertzak. d) Leiho baten luzera eta zabalera. e) Bizikletaren gurpil baten erradioak. f) Lera batek elurretan utzitako arrastoak.

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 211

ERANTZUNAK

a) Paraleloak.

007

9

d) Elkarzutak.

b) Ebakitzaileak.

e) Ebakitzaileak.

c) Paraleloak.

f) Paraleloak.

Sailkatu zuzen hauek. t

r

s

u

a) r eta s b) r eta t

008

c) u eta t d) r eta u

a) Zuzen elkarzutak.

c) Zuzen ebakitzaileak.

b) Zuzen ebakitzaileak.

d) Zuzen paraleloak.

Zuzen jakin baten zenbat zuzen zut marraz daitezke? Eta zenbat zuzen paralelo? Zuzen jakin baten infinitu zuzen zut eta infinitu zuzen paralelo marraz daitezke.

009

Adierazi gimnasta hauen hankek osatzen dituzten angleuen izenak.

Angelu nulua. 010

Angelu zuzena.

Angelu laua.

Adierazi zein diren angelu zorrotzak, zuzenak eta kamutsak, irudi honetan. E

F

D G C A

B

Zuzenki guztiek elkar ebakitzen duten puntuari O esango diogu. Angelu zorrotzak: COD ; DOE ; EOF ; FOG ; AOB ; BOC . Angelu zuzenak: COE ; EOG ; GOA ; AOC . Angelu kamutsak: beste guztiak; esate baterako, COF ; DOF ; DOG ; EOB ; FOD .

211

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 212

Angeluak eta zuzenak 011

Gelako izkinek angeluak osatzen dituzte. Zer motatakoak dira? Eman angelu motei buruzko beste adibide bat. Ikasgelako izkinek angelu zuzenak osatzen dituzte. Bizikleta baten ondoz ondoko bi erradiok angelu zorrotza osatzen dute. Hamabiak eta hogeian, bi erloju-orratzek angelu zorrotza osatzen dute.

012

Erreparatu irudiari. O$ C$

D$

A$ E$

a) Adierazi zein angelu diren erpinez aurkakoak. b) Adierazi zein angelu diren auzokideak. a) Erpinez aurkakoak: A$ eta C$. b) Angelu auzokideak: A$ eta O$ ; C$ eta O$. 013

Erreparatu angelu hauei eta erantzun. A$

B$

Auzokideak al dira A$ eta B$? Betegarriak al dira? A$ eta B$ auzokideak eta betegarriak dira. 014

Nolakoak izan behar dute bi angelu auzokideren aldeek berdina izateko?

B$

015

Aldeek elkarzutak izan behar dute. A$

Batu angelu hauek. Erregela eta konpasa erabil ditzakezu, zure koadernoan marrazteko.

A$

B$

212

A$

B$

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 213

ERANTZUNAK

016

9

Batu angelu hauek zure koadernoan.

A$

C$

B$

B$ C$ A$

017

Marraztu bi angelu betegarri.

A$

018

B$

Marraztu angelu hauek zure koadernoan eta egin adierazitako eragiketak.

A$

$ -B

b) 2 ◊ A$

a)

b)

A$ − B$ F

A$

c) 2 ◊ (A$

$) -B c)

F

2 ⋅ A$ B$

2 ⋅ (A$ − B$ )

F

a) A$

B$

A$

Marraztu angelu hauek zure koadernoan eta kalkulatu A$

A$

B$

$+ -B

C$.

C$

B$

C$

A$ −B$ + C$

F

F

019

A$

213

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 214

Angeluak eta zuzenak 020

Marraztu A$ eta B$, angeluak A$

- B$ angelu zuzena izan dadin.

A$

021

B$

Marraztu angelu hauek, garraiagailua erabiliz. a) 30°

b) 45°

c) 160°

a)

d) 180°

c)

160°

30°

b)

d)

180°

45°

022

Adierazi minututan. a) 90° b) 45°

c) 150°

d) 75°

e) 280°

f) 140°

Zenbat segundo dira? a) 90° = 5.400' = 324.000" b) 45° = 2.700' = 162.000" c) 150° = 9.000' = 540.000" 023

Neurtu angelu hauek, garraiagailua erabiliz. a)

b)

120° 024

60°

b) 5° eta 25'

a) 750"

d)

120°

60°

b) 18.025"

c) 10° eta 20" c) 36.020"

Adierazi segundotan. a) 12 h a) 43.200 s

214

c)

Adierazi segundotan. a) 12' eta 30"

025

d) 75° = 4.050' = 270.000" e) 280° = 16.800' = 1.008.000" f) 140° = 8.400' = 504.000"

b) 24 min b) 1.440 s

c) 2,25 h c) 8.100 s

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 215

ERANTZUNAK

026

Adierazi ordutan. a) 300 min

b) 14.400 s

a) 5 h 027

9

c) 375 min

b) 4 h

c) 6,25 h

Zenbat ordu dira 4 egun? Eta hilabete-erdi? Eta egun baten herena? Lau egun: 24 ⋅ 4 = 96 ordu. Hilabete-erdi: 15 ⋅ 24 = 360 ordu. Egun baten herena: 24 : 3 = 8 ordu.

028

Adierazi segundotan. a) 2 h 3 min 40 s b) 3 h 15 min 25 s c) 2,5 h 42 s a) 7.420 s

029

b) 11.725 s

c) 9.042 s

Taxi bat geldirik egon zen 2.710 s; eta beste bat, 1.506 s. Zenbat minutu eta segundo gehiago egon zen geldirik lehen taxia bigarrena baino? 2.710 s − 1.506 s = 1.204 s = 20 min 4 s gehiago egon zen geldirik lehen taxia bigarrena baino.

030

Egin eragiketa hau eta sinplifikatu. 32° 39' 48" 34' 33"

+ 45°

77° 73' 81" 81" = 1' 21"

74' = 1° 14'

78° 14' 21" 031

Egin batuketa hau. 32° 41' 40" 18'

+ 15°

47° 59' 40" 032

Kalkulatu batura. (30° 40')

+ (15'

18")

+ (38°

45")

30° 40' 18" 15' 18" + 38° 15' 45" 68° 55' 63" 63" = 1' 3"

68° 56' 03"

215

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 216

Angeluak eta zuzenak 033

Fotokopiagailua 8 h 15 min 12 s egon zen martxan astelehenean; 3 h 40 min, asteartean; eta 8 h 1 min 40 s, asteazkenean. Zenbat denbora egon zen martxan, guztira? 8 h 15 min 12 s 3 h 40 min 12 s + 8 h 15 min 40 s 19 h 70 min 52 s

70 min = 1 h 10 min

20 h 10 min 52 s 034

Egin eragiketa hau. 62° 39' 48" 34' 33"

- 45°

17° 55' 15" 035

Egin kenketa hau.

-

1° = 60'

69° 72' 40" 70° 12' 40" ⎯⎯⎯⎯→ 15° 18' 33" − 15° 18' 18" 54° 54' 40"

036

Kalkulatu eta sinplifikatu. (45° 30' 49")

- (12' 57") - (56")

1' = 60" 45° 30' 49" ⎯⎯⎯⎯→ 45° 29' 109" − 12' 57" − 12' 57"

45° 17'

52"

1' = 60"

−

45° 16' 112" 45° 17' 52" ⎯⎯⎯⎯→ 12° 56" − 12° 57' 156" 45° 16' 156"

037

Mikel Internetekin konektatuta egon da 8 h 25 min-tik 10 h 15 min 12 s-ra arte. Adierazi zenbat denbora egon den guztira Internetekin konektatuta. 1 h = 60 min

9 h 75 min 12 s 10 h 15 min 12 s ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − 08 h 25 min 40 s − 8 h 25 min 40 s 1 h 50 min 12 s

ARIKETAK 038 ●

Marraztu lerro zuzen bat koadernoan, eta markatu zuzenerdi bat gorriz eta 2 cm-ko luzerako zuzenki bat berdez. 2 cm

216

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 217

9

ERANTZUNAK

039

Erreparatu irudiari. Egin behean ageri diren ariketak.

● A

F

B

E

C

D

a) Adierazi zein diren zuzenerdiak. b) Esan zuzenkien izenak. c) Zein zuzenkiren muturra da D puntua

G

a) Zortzi zuzenerdi daude. b) 11 zuzenki daude. c) Zuzenki hauena: CD , DE , BD y AD . eta Erreparatu planoari eta erantzun.

a) b) c) d) e) 041

Ibaizabal kalea

Demagun kaleak lerro zuzenak direla: a) Zein kale dira Bidasoa kalearen paraleloak? b) Zein kale dira Bidasoa kalearen zutak? c) Zein dira ebakitzaileak Bidasoa kalearekiko? d) Nolakoak dira Ibaizabal eta Lea elkarrekiko? e) Nolakoak dira Lea eta Urumea elkarrekiko?

lea

a ka

Deb

Bidasoa kalea

Lea kalea

Oria kalea

●

Urola kalea

040

Urumea kalea

Oria kalea eta Urola kalea. Urumea kalea. Deba kalea, Lea kalea eta Ibaizabal kalea. Paraleloak dira. Ebakitzaileak dira.

Marraztu m zuzena koadernoan eta markatu P puntua.

●

•P

m

Marraztu hiru zuzen: m zuzenaren zuzen paralelo bat, ebakitzaile bat eta zuzen zut bat, denak ere P puntutik igarotzen direnak. Sailkatu marraztutako zuzenak, binaka. t s P m

r

– s eta t zuzenak elkarzutak dira. – r eta t zuzenak ebakitzaileak dira. – r eta s zuzenak ebakitzaileak dira.

217

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 218

Angeluak eta zuzenak 042 ●●

Zenbat puntu behar dira, gutxienez, zuzen bat mugatzeko? Eta gehienez? Gutxienez bi puntu behar dira, eta gehienez, infinitu; izan ere, zuzen bat infinitu puntu dira, lerrokatuta.

043

EGIN HONELA NOLA MARRAZTEN DA ZUZENKI BATEN ERDIBITZAILEA? Marraztu 8 cm luze den AB zuzenkia eta egin haren erdibitzailea, eskuaira erabiliz. Zuzenki baten erdibitzailea zuzenkiaren erdiko puntutik igaro eta harekiko zuta den zuzena da. Hona hemen erdibizailea egiteko urratsak. s LEHENA.

Zuzenkiaren erdiko puntua adierazi: M.

Eskuaira erabiliz, puntu horretatik igarotzen den zuzen zuta marraztu behar da. BIGARRENA.

A

044 ●●

s zuzena AB zuzenkiaren erdibitzailea da.

B

M

Marraztu bi zuzenki, AB eta CD, elkarren paraleloak, 8 cm eta 10 cm-koak, eta marraztu erdibitzaileak, eskuaira erabiliz. Nolakoak dira erdibitzaileak elkarrekiko?

A

B

C

D

Bi zuzenkien erdibitzaileak paraleloak dira. 045 ●

Idatzi letra hauek koadernoan, eta adierazi kolore gorriz angelu zorrotzak, urdinez zuzenak eta horiz kamutsak.

Zuzena

F

F

Kamutsa F

F

Zorrotza

F

Erpin bakoitzean bi angelu daude: bata barrukoa eta bestea kanpokoa. Irudia bezala sailkatuko ditugu.

218

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 219

ERANTZUNAK

046 ●

047

9

Adierazi zuzenak ala okerrak diren. a) b) c) d) e) f)

Bi angelu auzokide ondoz ondoko angeluak dira beti. Ondoz ondoko bi angelu auzokideak dira beti. Bi angelu osagarri angelu zorrotzak dira beti. Bi angelu osagarri angelu kamutsak dira beti. Alde elkarzutak dituzten bi angelu berdinak dira. Erpinez aurkako bi angelu berdinak dira. a) Zuzena.

c) Zuzena.

e) Zuzena.

b) Okerra.

d) Okerra.

f) Zuzena.

Erreparatu irudiari eta adierazi.

●

K$ J$

L$ I$ $ D

A$

C$

$ G

$ H

$ B

F$

E$

a) Erpinez aurkako angeluak. b) Angelu auzokideak. $ eta B $, H$ eta F$, E$ eta G $, L$ eta J$, K$ eta I$ a) A$ eta C$, D $ $ $ $ $ $ $ $, H$ eta G $, H$ eta E$, F$ eta G $, F$ eta E$, L$ eta I$, L$ b) A eta D, A eta B, C eta D, C eta B $ $ $ $ $ eta K, J eta I, J eta K

Plaza Txikia

bi

de

sia

gu Na

de

le

a

a

a

rb ide

a

rb ide bi

de

a

San Joan plaza

et o

to or

8. e

et

6.

a

bi

a

30

de

rea

or

ze Lu

30

2.

bi

kto

et

Ka

et

or

31 0. or

0.

30

et

1.

Et et

Do

30

.e

30

e

3.

in

g

30 9

bid or

31 1

.e

ea

to

to

rb

31

2.

ide

a

et

m

id orb

30

Loreder parkea

Fle

rb ide a

or

et

bid

or

ea

bid

ea

Erreparatu hiri bateko gune baten plano honi eta marraztu angelu hauek:

3.

●

31

048

a) Etorbide Luzeak eta 309. etorbideak osatua. b) Etorbide Luzeak eta 310. etorbideak osatua. c) Etorbide Luzeak eta 302. etorbideak osatua. Nolakoak dira 309. eta 310. etorbideak elkarrekiko? Eta 302. eta 309. etorbideak?

219

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 220

Angeluak eta zuzenak 31 0.a

a), b) eta c) ea

30 9.a

Luz ea

Luz a uze

L

30

2.a

309. eta 310. etorbidea paraleloak dira. 302. eta 309. etorbidea elkarzutak dira. 049 ●

Irudiko angelua emanda, kopiatu koadernoan eta marraztu angelu auzokideak eta erpinez aurkako angelua. A$ ea

kid

o uz

A$

A

Erpinez aurkakoa

050

a

ide

ok

z Au

Marraztu koadernoan bi angelu hauek.

●● B$

A$

Erabili konpasa eragiketak adierazteko. b) B$ - A$ c) 3 ◊ A$ a) A$ + B$ a)

A$ + B$

d) 2 ◊ B$

c) 3 ⋅ A$

b)

d) B$ − A$

220

2 ⋅ B$

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 221

ERANTZUNAK

051 ●●

9

$ angeluak. Lehenak angelu zuzena baino txikiagoa izan Marraztu koadernoan A$ eta B behar du, eta bigarrenak, angelu laua baino txikiagoa eta zuzena baino handiagoa. Marraztu angelu hauek. a) A$ + B$ b) B$ - A$ c) 3 ◊ A$ d) 2 ◊ B$ Esate baterako, angelu hauek.

A$

a)

B$

c)

A$ + B$

3 ⋅ A$

b)

d) B$ − A$

052 ●

Adierazi minututan. a) 3° a) 180'

053 ●

●

b) 10° b) 600'

c) 5° c) 300'

d) 20° d) 1.200'

Adierazi segundotan angelu hauek. a) 12' a) 720"

054

2 ⋅ B$

b) 20' b) 1.200"

c) 1° 15' c) 4.500"

d) 10° 10' d) 36.600"

Adierazi ordutan. a) 120 min b) 180 min

c) 240 min d) 360 min

e) 420 min f) 600 min

a) 2 h

c) 4 h

e) 7 h

b) 3 h

d) 6 h

f) 10 h

221

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 222

Angeluak eta zuzenak 055 ●

056 ●

Adierazi segundotan. a) 35° 54' 55" b) 65° 53' 12"

c) 18° 23' 4" d) 4 h 27 min 56 s

e) 7 h 33 min 49 s f) 11 h 3 min 2 s

a) 129.295"

c) 66.184"

e) 27.229 s

b) 237.192"

d) 16.076 s

f) 39.782 s

Garraiagailuaren laguntzaz, marraztu angelu hauek: A$ = 45°, B$ = 120° eta C$ = 135°. Ondoren, marraztu eta neurtu angelu hauek. a) A$ + C$ b) C$ - A$ c) 3 ◊ B$ d) 8 ◊ C$

45°

120°

a)

135°

c)

360°

135° 45°

b)

d) 1.080° 90°

057

EGIN HONELA NOLA EGITEN DA ANGELU BATEN ERDIKARIA? Marraztu angelu honen erdikaria. Angelu baten erdikaria erpinetik pasatzen den eta angelua bi zati berdinetan banatzen duen zuzena da. Zentrotzat O erpina eta edonolako irekidura hartuta, arku bat marraztu behar da.

O

LEHENA.

O

B

BIGARRENA. Neurri bereko bi arku marraztu behar dira. Arku baten zentroa A izango da, eta bestearena, B.

O A

Arkuek P puntuan ebakiko dute elkar. O eta P puntuetatik igarotzen den zuzena angeluaren erdikaria da. HIRUGARRENA.

O

222

P

B

A

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 223

ERANTZUNAK

058 ●●

9

Marraztu 60°-ko angelua, garraiagailua erabiliz. Marraztu angelu auzokidea. Zer neurri du? Marraztu bi angeluren erdikariak. Zer angelu osatzen dituzte?

120°

60°

Erdikariek 90°-ko angelua osatzen dute. 059 ●

Egin angeluen batuketa hauek. a) 23° 45' 10" b) 21° 45' 19" a)

+ 54° 7' 32" + 54° 7' 42"

c) 23° 45' 10" + 54° 37' 52" d) 132° 54' 38" + 32° 57' 12" c)

23° 45' 10" + 54° 07' 32" 77° 52' 42"

23° 45' 10" + 54° 37' 52" 78° 82' 62"

62" = 1' 2"

83' = 1° 23'

79° 23' 02" b)

d)

21° 45' 19" + 54° 07' 42" 75° 52' 61"

111' = 1° 51'

75° 53' 01"

●

166° 51' 50"

Egin angeluen kenketa hauek. a) 63° 25' 10" b) 63° 25' 10" c) 63° 25' 10" a)

54' 38" 57' 12"

165° 111' 50" 61" = 1' 1"

060

132° + 32°

- 32° 7' 2" - 30° 17' 42" - 36° 45' 42"

d) 93° 5' 7" - 30° 17' 42" e) 8° 2" - 7° 42' 23"

63° 25' 10" − 32° 07' 02" 31° 18' 08"

b)

1' = 60"

63° 25' 10" ⎯⎯⎯⎯→ 63° 24' 70" − 30° 17' 42" − 30° 17' 42" 33° 07' 28"

c)

1' = 60"

1° = 60'

62° 84' 70" 63° 25' 10" ⎯⎯⎯⎯→ 63° 24' 70" ⎯⎯⎯⎯→ − 36° 45' 42" − 36° 45' 42" − 36° 45' 42" 26° 39' 28"

223

908261 _ 0208-0231.qxd

11/9/07

11:23

Página 224

Angeluak eta zuzenak d)

1' = 60"

1° = 60'

1° = 60'

1' = 60"

92° 64' 67" 93° 05' 07" ⎯⎯⎯⎯→ 93° 04' 67" ⎯⎯⎯⎯→ − 30° 17' 42" − 30° 17' 42" − 30° 17' 42" 62° 47' 25"

e)

7° 59' 62" 8° 02' 02" ⎯⎯⎯⎯→ 7° 60' 02" ⎯⎯⎯⎯→ − 07° 42' 23" − 07° 42' 23" − 07° 42' 23" 0° 17' 39"

061

EGIN HONELA NOLA EGITEN DIRA ANGELU-NEURRI KONPLEXUEN BIDERKETAK?

A$ = 50° 25' 35" angelua emanda, kalkulatu 4 ◊ A$ angeluaren balioa. LEHENA.

Graduak, minutuak eta segundoak 4z biderkatu behar dira.

4 ⋅ A$ = 4 ⋅ (50° 25' 35") = 200° 100' 140" Soberako segundo eta minutuak minutu eta gradutan adierazi behar dira, hurrenez hurren.

BIGARRENA.

F

140" = 2' 20"

200° 100' 140" = 200° 102' 20" = 201° 42' 20" F

Beraz, 4 ⋅ A$ = 201° 42' 20".

062 ●

Kalkulatu A$

102' = 1° 42'

22° 44' 33"angeluaren bikoitza, hirukoitza eta laukoitza. Bikoitza: 2 ⋅ A$ = 44° 88' 66" = 45° 29' 6" =

Hirukoitza: 3 ⋅ A$ = 66° 132' 99" = 68° 13' 39" Laukoitza: 4 ⋅ A$ = 88° 176' 132" = 90° 58' 12" 063 ●

064 ●●

224

Kalkulatu angelu hauetako bakoitzaren angelu osagarria eta betegarria. a) 45° b) 15°

c) 75° d) 12°

a) Osagarria: 90° − 45° = 45°.

Betegarria: 180° − 45° = 135°.

b) Osagarria: 90° − 15° = 75°.

Betegarria: 180° − 15° = 165°.

c) Osagarria: 90° − 75° = 15°.

Betegarria: 180° − 75° = 105°.

d) Osagarria: 90° − 12° = 78°.

Betegarria: 180° − 12° = 168°.

A$ = 20° 20' 20" eta B$ = 40° 40' 40", angeluak emanda, kalkulatu angelu hauen balioak. a) A$ + B$ d) A$ + B$-ren osagarria. b) B$ - A$ e) B$ - A$-ren betegarria. $ c) 3 ◊ A f) 3 ◊ A$-ren betegarria.

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 225

ERANTZUNAK

a)

9

20° 20' 20" + 40° 40' 40" 60° 60' 60"

60" = 1'

61' = 1° 1'

61° 01' 02" b)

40° 40' 40" − 20° 20' 20" 20° 20' 20"

c) 3 ⋅ (20° 20' 20") = 61° 1' d) A$ + B$ = 61° 1' 1° = 60'

→ 89° 60' 90° 20' ⎯⎯⎯⎯ − 61° 01' − 61° 01' 28° 59' e) B$ − A$ = 20° 20' 20" 1° = 60'

1° = 60'

→ → 179° 59' 60" 180° 20' 20" ⎯⎯⎯⎯ 179° 60' 20" ⎯⎯⎯⎯ − 120° 20' 20" − 120° 20' 20" − 120° 20' 20" 159° 39' 40" f) 3 ⋅ A$ = 61° 1' 1° = 60'

→ 179° 60' 180° 20' ⎯⎯⎯⎯ − 161° 01' − 161° 01' 118° 59' 065 ●

Neurtu A$ angelua, garraiagailua erabiliz. Zenbatekoa da B$ angelua? B$

A$ = 60° B$ = 180° − 60° = 120° 066

Kalkulatu X$ angeluaren neurria irudi bakoitzean.

●●

a)

A$

1° = 60'

90° 20' − 21° 32'

X$

⎯⎯⎯⎯ →

89° 60' − 21° 32' 68° 28'

21° 32' 1° = 60'

b)

180° 20' − 120° 15' X$

⎯⎯⎯⎯ →

179° 60' − 120° 15'

120° 15'

59° 45'

225

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 226

Angeluak eta zuzenak 067 ●●

A$ = 25° 12' 45" eta B$ = 18° 25' 51" emanda, kalkulatu angelu hauek. a) A$-ren osagarria. b) B$-ren betegarria. a)

1° = 60'

1° = 60'

90° 20' 20" ⎯⎯⎯⎯→ 89° 60' 20" ⎯⎯⎯⎯→ 89° 59' 60" − 25° 12' 45" − 25° 12' 45" − 25° 12' 45" 64° 47' 15"

b)

1° = 60'

1° = 60'

→ → 179° 59' 60" 180° 20' 20" ⎯⎯⎯⎯ 179° 60' 20" ⎯⎯⎯⎯ − 118° 25' 51" − 118° 25' 51" − 118° 25' 51" 161° 34' 09"

068 ●●

Zer neurri izan behar du angelu batek betegarriaren berdina izateko? Eta osagarriaren berdina izateko? Angelu batek neurri hau izan behar du, betegarriaren berdina izateko: 180° : 2 = 90°; osagarriaren berdina izateko: 90° : 2 = 45°.

069 ●●

Nola neur daiteke irudiko A$ angelua garraiagailua erabiliz?

A$ B$

B$ angelua neurtuko dugu garraiagailua erabiliz, eta 360°-ri neurri hori kenduko diogu. B$ angelua 60°-koa denez, A$ angelua: 360° − 60° = 300°. 070 ●●

Erloju bat 3 minutu eta 30 segundo aurreratzen da egunean. Zenbat aurreratuko da astebetean? 210 s = 3 min 30 s

(3 min 30 s) ⋅ 7 = 21 min 210 s ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 24 min 30 s Astebetean 24 min 30 s aurreratuko da.

071 ●●

17 h 45 min-an iritsi behar zuen trena 17 h 30 min-an iritsi da. Zenbat minutu aurreratu da? 17 h 45 min − 17 h 30 min = 15 min aurreratu da.

072 ●●

Jonek 3 ordu eta laurden egin du lan goizez; eta 2 ordu eta erdi, arratsaldez. Zenbat minutu gehiago egin du lan goizez arratsaldez baino? 1 h = 60 min

3 h 15 min ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 h 75 min − 2 h 30 min − 2 h 30 min 45 min Goizez 45 minutu gehiago egin du lan arratsaldez baino.

226

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 227

ERANTZUNAK

073 ●●

9

Tren bat 20 h 30 min-an atera da; ordubete geroago, lehen geltokian geratu da; 22 h 36 min-an bigarren geltokian geratu da, eta 23 h 50 min-an iritsi da helmugara. a) Zenbat iraun du bidaiak? b) Zenbat denbora pasatu da lehen geldialditik bigarrenera arte? a) Iraupena: 23 h 50 min − 20 h 30 min = 3 h 20 min. b) Lehen geltokitik 20 h 30 min + 1 h = 21 h 30 min-an atera da; 22 h 36 min − 21 h 30 min = 1 h 6 min. Lehen geldialditik bigarrenera 1 h 6 min pasatu da.

074 ●●

Hegazkin bat 12 h 35 min-an aireratu da, eta 15 h 25 min-an lurreratu. Zenbat iraun du hegaldiak? 1 h = 60 min

15 h 25 min ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 14 h 85 min − 12 h 35 min − 12 h 35 min 2 h 50 min Hegaldiak 2 h 50 min iraun du. 075

Amaia 8 h 10 min-an sartzen da ikastetxean, eta ordu biak eta bostean ateratzen da.

●●

a) b) c) d)

Zenbat denbora egoten da ikastetxean egunean? Eta astebetean? Eta hilabetean? Etxetik ikastetxera 17 minutuan joaten bada, zer ordutan atera behar du? Zer ordutan iristen da? a)

1 h = 60 min

13 h 65 min 14 h 25 min ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − 18 h 10 min − 18 h 10 min 5 h 55 min Egunean 5 h 55 min egoten da ikastetxean.

b) (5 h 55 min) ⋅ 5 irakastegun = 275 min = 4 h 35 min

= 25 h 275 min ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 29 h 35 min Astebetean 29 h 35 min egoten da ikastetxean. c) (29 h 35 min) ⋅ 4 aste = 140 min = 2 h 20 min

= 116 h 140 min ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 118 h 20 min d)

1 h = 60 min

7 h 70 min 8 h 10 min ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − 8 h 17 min − 8 h 17 min 7 h 53 min 7 h 53 min-an atera behar du etxetik. 14 h 5 min + 17 min = 14 h 22 min 14 h 22 min-an iristen da etxera.

227

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 228

Angeluak eta zuzenak 076

Atleta batek 3 h eta 45 min-ko entrenamendua egiten du egunero.

●●

a) Zenbat denbora ematen du entrenatzen hamabost egunean? b) Eta hilabetean? a) (3 h 45 min) ⋅ 15 = 675 min = 11 h 15 min

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 56 h 15 min hamabost egunean = 45 h 675 min ⎯⎯⎯⎯ b) (3 h 45 min) ⋅ 30 = 1.350 min = 22 h 30 min

= 90 h 1.350 min ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 112 h 30 min hilabetean 077 ●●

Aneren hegazkinak 15 h 40 min-an atera behar du. Hegaldia ordu eta laurden atzeratu bada, zer ordutan aireratuko da? 15 h 40 min + 1 h 15 min = 16 h 55 min-an aireratuko da.

078 ●●

Rally batean, auto batek 2 ordu behar izan ditu lehen zatian; eta 120 minutu, bigarrenean. Zein zatitan behar izan du denbora gehien? Zergatik? 120 min = 2 h; beraz, bi zatietan denbora bera behar izan du.

079 ●●

Iratiri 12 € ordaintzen diote lan-ordua. Aurreko hilean, 4 ostegunetan eta 3 ostiraletan egin zuen lan: ostegunetan 5 ordu, eta ostiraletan 3 ordu eta 30 minutu. Zenbat kobratu zuen? Osteguna: 4 ⋅ 5 = 20 h

Ostirala: (3 h 30 min) ⋅ 3 = 10 h 30 min

20 h + 10 h 30 min = 30 h 30 min = 30,5 h 30,5 ⋅ 12 = 366 € kobratu zuen guztira. 080 ●

Lasterketa batean, hauek izan dira lasterkariek erdiko puntuan egin dituzten denborak: 5 min 13 s, 1 min 48 s, 2 min 41 s eta 3 min 35 s. a) Zein izan da azkarrena? b) Eta motelena? c) Ordenatu azkarrenetik motelenera. a) Denbora gutxien behar izan duena izan da azkarrena, 1 min 48 s. b) Motelena, berriz, denbora gehien behar izan duena, 5 min 13 s. c) 1 min 48 s; 2 min 41 s; 3 min 35 s; 5 min 13 s

081 ●●●

Mirenek 8 km egin ditu, 1 h 30 min 12 s-an. Erritmo berari eutsi badio, zenbat denbora behar izan du kilometro bat egiteko? 1 h 30 min 12 s segundotan adieraziko ditugu: 1 h 30 min 12 s = 5.412 s; 5.412 : 8 = 676,5 s = 11 min 16,5 s Kilometro bat egiteko, 11 min 16,5 s behar izan ditu.

228

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 229

ERANTZUNAK

082 ●●●

9

Jon 2 h 25 min 32 s egon da Internetekin konektatuta, 4 web gune ikusten. Zenbat denbora eman du gune bakoitzean, guztietan denbora bera eman badu? 2 h 25 min 32 s = 8.732 s 8.732 s : 4 = 2.183 s = 36 min 23 s eman ditu web gune bakoitzean.

083 ●●●

Markatutako angelua 120°-koa bada, kalkulatu irudiko gainerako angeluen balioak. 120°

B$

C$

D$ F$

A$

E$ G$

A$ eta B$ angeluak berdinak dira, erpinez aurkakoak eta emandako angeluaren auzokideak direlako: A$ = B$ = 180° − 120° = 60°. C$ = 120° emandako angeluarekiko erpinez aurkakoa delako. D$ eta G$ angeluak berdinak dira, erpinez aurkakoak direlako, eta emandako angeluaren berdinak, aldeak paraleloak dituztelako: G$ = D$ = 120°. E$ eta F$ angeluak berdinak dira, erpinez aurkakoak direlako, eta A$ eta B$ angeluen berdinak, aldeak paraleloak dituztelako: E$ = F$ = 60°. 084

Marraki honetan, hiru angelu ageri dira. Kalkulatu X$-ren balioa.

●●● X$ + 20° 2X$ − 40°

085

X$

(X$ + 20°) + (2X$ − 40°) + X$ = 360° → → 4X$ − 20° = 360° → 4X$ = 380° → X$ = 95°

Kalkulatu X$, jakinik r eta s zuzenak paraleloak direla.

●●● 64° r

28°

X$

s

A$ = 28°; beraz, B$ = 180° − (64° + 28°) = 88°. B$ angeluaren auzokidea denez, X$ = 180° − 88° = 92°.

229

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 230

Angeluak eta zuzenak 086 ●●●

Zirkulu bat zazpi zatitan banatu nahi dugu (ez dute zertan berdinak izan), hiru zuzenkiren bidez. Nola egingo zenuke? Zuzenek ez dute ebakitzaileak izan behar puntu berean eta hiru ebakidura-puntuek zirkuluaren barruan egon behar dute. Zuzen batek plano bat ebakitzean bi zati lortzen dira. Lehen zuzenak bi zatitan banatuko du zirkulua. Bigarrenak, aurrekoa ebakitzen ez badu, hirutan banatuko du; hirugarrenak gehienez 3 ⋅ 2 = 6 zatitan banatuko du, eta zirkuluaren barruan ebaki behar du, bi zonak ebakitzeko; beraz, lau zati izango ditugu. Zazpi zati lortzeko, hirugarren zuzenak lau zatitatik hiru ebaki behar ditu; beraz, beste bi zuzenak zirkuluaren barruan eta puntu desberdinetan ebaki behar ditu.

087 ●●●

Marraztu A eta B muturrak dituen zuzenkia koadernoan eta irudikatu erdibitzailea. Ondoren, aukeratu erdibitzailearen edozein puntu, P, eta neurtu P puntutik A eta B muturretara bitarteko distantziak. Ondoren, aukeratu erdibitzailearen beste puntu bat, Q, eta egin gauza bera. Zer ondorio atera dituzu? P Q

A

Zuzenkiaren muturretatik erdibitzailearen puntu baterako distantzia bera da.

B

EGUNEROKOAN 088 ●●●

Prentsan, 1 Formulako Monakoko Sari Nagusiko emaitzak ageri dira; zehazki lehen sei sailkatuen denborak. Laterketa horretan, zirkuituari 78 bira eman behar zaizkio. Fernando Alonsok 1 h 43 min 43,116 s behar izan zituen; eta Juan Pablo Montoyak, bigarren sailkatuak, Alonsok baino 14,567 s gehiago. Zenbat denbora behar izan du gidari bakoitzak Sari Nagusiko 78 birak osatzeko? Batez beste, zenbat denbora behar izan du Alonsok bira bat egiteko? Hirugarren postutik zer distantziatara geratu da Fisichella? Eta Schumacher?

230

908261 _ 0208-0231.qxd

26/7/07

13:49

Página 231

ERANTZUNAK

1 2 3 4 5 6

Alonso Montoya Coulthard Barrichello M. Schumacher Fisichella

ESP COL GBR BRA GER ITA

9

1 h 43 min 43,116 s 1 h 43 min 57,683 s 1 h 44 min 35,414 s 1 h 44 min 36,453 s 1 h 44 min 36,946 s 1 h 44 min 45,215 s

Alonsok 6.223,116 s behar izan ditu. Batez besteko denbora birako: 6.223,116 s : 78 = 79,784 s = 1 min 19,784 s. Fisichella hirugarren postutik denbora honetara geratu da: 1 h 44 min 45,215 s − 1 h 44 min 35,414 s = 9,801 s Schumacher hirugarren postutik denbora honetara geratu da: 1 h 44 min 36,946 s − 1 h 44 min 35,414 s = 1,532 s. 089 ●●●

Autobide berriraren ibilbidea aztertu ondoren, Areatzako eta Bastidako alkateek bilera egin zuten teknikariekin, autobideko irteera non kokatu erabakitzeko. Kasua aztertu ondoren, teknikariek erabaki dute irteerak bi herrietatik distantzia berera egon behar duela. Ibilbidearen arabera, non jarri behar da autobideko irteera?

●

Bi herriak lerro zuzen baten bidez lotu eta zuzenki horren erdibitzailea marraztuko dugu. Irteera erdibitzailearen eta autobidearen ebakidura-puntuan egongo da. 090 ●●●

Telebistan, AB, AC eta AD alderdi politikoen hauteskunde-emaitzen berri eman dute, aulkien banaketarekiko proportzionalki zatitutako zirkuluerdiaren bidez.

AULKI KOPURUA

AB 120

AC 200 40 AD

Zuzenak al dira aurkeztutako datuak? 40 aulkiri 20°-ko angelua dagokie; 200 aulkiri 100°-ko angelua dagokie, eta 120 aulkiri, 60°-koa. Beraz, aurkeztutako datuak zuzenak dira.

231

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 232

Poligonoak eta zirkunferentzia

10

POLIGONOAK

AHURRAK

GANBILAK

ERREGULARRAK

TRIANGELUAK

ALDEBERDINA ISOSZELEA ESKALENOA

LAUKIAK

ZORROTZA ANGELUZUZENA KAMUTSA

PUNTU ETA ZUZEN NABARMENAK

ERDIBIDEKOAK BARIZENTROA

IRREGULARRAK

PARALELOGRAMOAK

TRAPEZIOAK

TRAPEZOIDEAK

KARRATUAK

ANGELUZUZENA

LAUKIZUZENAK

ISOSZELEA

ERRONBOAK

ESKALENOA

ERRONBOIDEAK

ALTUERAK ORTOZENTROA ERDIBITZAILEAK ZIRKUNZENTROA ERDIKARIAK INZENTROA

ZIRKUNFERENTZIA KOKAPEN ERLATIBOAK

PUNTU BAT ETA ZIRKUNFERENTZIA BAT

232

ZUZEN BAT ETA ZIRKUNFERENTZIA BAT

BI ZIRKUNFERENTZIA

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 233

Bazkalondoko istorioak Farkas Bolyai eta semea elkartzen ziren bakoitzean, Matematikari buruz hitz egitea gustatzen zitzaien, eta beti ateratzen zen Gaussen izena. –Janos –esaten zion semeari–, martxoaren 29ak jaieguna izan behar luke munduko matematikari guztientzat. Berriro ere heptadekagonoaren istorioa! Janosek irribarrez begiratu zion aitari. –Gaussek zorte handia du, zu bezalako lagunak izateagatik. Aitak, semeari jaramonik egin gabe, istorioa kontatzeari ekin zion: –Berak kontatu zidan, Göttingen inguruan egiten genituen ibilaldietako baten ondoren. Etenaldi bat egin eta ahopean jarraitu zuen: –29an, erregela eta konpasa soilik erabiliz 17 aldeko poligonoa egiteko modua aurkitu ondoren, Filosofia alde batera utzi eta Matematika ikasteko erabakia hartu zuen. Aurkikuntza hori oso garrantzitsua izan zen Gaussentzat; horregatik, bere hilobiak heptadekagono erregular bat du. Gai al zara hexagono erregularra egiteko? Eta triangelu aldeberdina egiteko? Hexagono erregularra egiteko, zirkunferentzia marraztu behar da, konpasaren bidez. Ondoren, konpasaren irekidura berarekin zirkunferentziaren puntu batean jarri eta 6 marka egingo dizkiogu, aldi bakoitzean aurreko marka jarrita. Zirkunferentziaren zentroa hexagonoaren erpin bakoitzarekin lotuz gero, sei triangelu aldeberdin lortuko ditugu.

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 234

Poligonoak eta zirkunferentzia ARIKETAK 001

Marraztu poligono hau koadernoan. Adierazi zein diren aldeak, erpinak, barruko angeluak eta diagonala. Zenbat diagonal ditu? 20 diagonal ditu.

n aldeko poligono baten diagonal kopurua n ⋅ (n − 3) hau da: . 2

002

Adierazi zein poligono diren erregularrak edo irregularrak, ahurrak edo ganbilak. a)

b)

a) Erregular ganbila 003

c)

b) Irregular ahurra

c) Irregular ahurra

Izan al ditzake poligono batek erpin gehiago alde baino? Poligono batek ezin dtu erpin gehiago izan alde baino; kopuru bera du.

004

Esan poligono hauen izenak. a)

b)

a) Eneagonoa 005

Marraztu oktogono bat eta eneagono bat, eta kalkulatu angeluen baturak.

180° ⋅ (8 − 2) = 1.080° 006

b) Endekagonoa

180° ⋅ (9 − 2) = 1.260°

Kalkulatu poligono ganbil baten alde kopurua, jakinik angeluen batura 1.260°-koa dela. 180° ⋅ (n − 2) = 1.260° → 180 ⋅ n − 360 = 1.260 → 180 ⋅ n = 1.620 → 1.620 →n= =9 180

234

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 235

ERANTZUNAK

007

10

Adierazi badagoen alde hauek dituen triangelurik: a) 15, 8 eta 20 cm b) 2, 4 eta 14 cm a) Bai, aldeen neurriek loturak betetzen dituztelako. 15 < 8 + 20 8 < 15 + 20 20 < 15 + 8 15 > 20 − 8 8 > 20 − 15 20 > 15 − 8 b) Ez; izan ere, 14 > 2 + 4.

008

Triangelu angeluzuzen batean, angelu bat 30°-koa da. Zenbatekoak dira beste biak? 180° − (90° + 30°) = 180° − 120° = 60° Beste bi angeluak 90° eta 60°-koak dira.

009

Triangelu isoszele kamuts baten angelu kamutsa 120°-koa da. Zenbatekoak dira triangelu isoszelearen beste angeluak? Angelu berdinen batura: 180° − 120° = 60°. Angelu bakoitzaren neurria: 60° : 2 = 30°.

010

Kalkulatu triangelu isoszele baten angelu kamutsaren neurria, jakinik angelu zorrotz bat 40°-koa dela. 180° − 2 ⋅ 40° = 100°-koa da angelu kamutsa.

011

Marraztu 3 triangelu: bat zorrotza, beste bat angeluzuzena eta hirugarrena kamutsa. a) Marraztu triangeluen erdibitzaileak eta adierazi zein den bakoitzaren zirkunzentroa. b) Egiaztatu, konpasa erabiliz, zirkunzentroa hiru erpinetatik distantzia berera dagoela. a)

b)

235

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 236

Poligonoak eta zirkunferentzia 012

Marraztu triangelu bat koadernoan. Kalkulatu barizentroa eta zirkunzentroa.

013

Triangelu angeluzuzen batean, marraztu erdibitzaileak eta adierazi non dagoen zirkunzentroa. Zer hautematen duzu?

Triangelu angeluzuzen batean, zirkunzentroa hipotenusaren erdiko puntuan dago.

014

Marraztu zenbait triangelu angeluzuzen, adierazi altuerak eta kalkulatu ortozentroa. Non dago?

Triangelu angeluzuzen batean, ortozentroa angelu zuzenaren erpinean dago.

015

Marraztu triangelu aldeberdin bat, eta haren erdibitzaileak, erdikariak, altuerak eta erdibidekoak. Zer hautematen duzu?

Triangelu aldeberdin batean, altuerak, erdikariak, erdibitzaileak eta erdibidekoak bat datoz.

236

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 237

ERANTZUNAK

016

10

Arrazoitu erantzunak. a) Egon al daiteke triangelu baten inzentroa triangeluaren kanpoaldean? b) Eta alde baten gainean? Marraztu triangelu zorrotz, angeluzuzen eta kamuts batzuk eta kalkulatu puntu hori, hala den aztertzeko. a) Ez, inzentroa zirkunferentzia inskribatuaren zentroa denez, triangeluaren barruan dago; beraz, haren zentroa ere bai. b) Ez, aurreko ataleko arrazoi beragatik.

017

Triangelu angeluzuzen baten katetoak 5 eta 12 cm luze dira. Zenbat luze da hipotenusa? Hipotenusa = 52 + 122 =

018

169 = 13 cm

Triangelu angeluzuzen baten kateto bat 7 cm-koa da, eta hipotenusa, 25 cm-koa. Zenbatekoa da beste katetoa? 25 cm 7 cm

Katetoa = 252 − 72 =

019

576 = 24 cm

Marraztu triangelu angeluzuzen bat, 8 cm eta 15 cm-ko katetoak dituena. Neurtu hipotenusa, erregelaren bidez; eta ondoren, aplikatu Pitagorasen teorema, emaitza egiaztatzeko. Hipotenusaren luzera 17 cm-koa dela egiaztatzen da, erregelaren bidez. Hipotenusa = 82 + 152 =

020

64 + 225 =

289 = 17 cm

Marraz al daiteke bi angelu zuzen dituen triangelurik? Zergatik? Ez, triangeluen angeluen batura 180°-koa da eta 90° + 90° = 180° denez, hirugarren angeluak 0°-koa izan beharko luke; eta hori ezinezkoa da.

237

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 238

Poligonoak eta zirkunferentzia 021

Sailkatu lauki hauek eta adierazi ahurrak ala ganbilak diren. a)

c)

b)

d)

e)

a) Trapezoide ahurra

d) Erronboide ganbila

b) Laukizuzen ganbila

e) Trapezio ganbila

c) Karratu ganbila 022

Kalkulatu zenbatekoa den C$ trapezio angeluzuzen honetan, jakinik B$ = 45° dela eta edozein laukiren angeluen batura 360°-koa dela. D

C

C$ angelua: 360° − (90° + 90° + 45°) = 135°. A

023

B

Triangelu angeluzuzen, isoszele eta eskaleno bana marraztuko dugu, eta oinarriarekiko paraleloa den zuzen batetik moztuko ditugu. Zer poligono lortuko ditugu?

Triangelu angeluzuzenean, triangelu angeluzuzen bat eta trapezio angeluzuzen bat lortuko dira; triangelu isoszelean, triangelu isoszele bat eta trapezio isoszele bat; eta triangealu eskalenoan, triangelu eskaleno bat eta trapezio eskaleno bat lortuko dira. 024

Kalkulatu 80°-ko angelu bat duen paralelogramoaren angeluen neurriak. Paralelogramo baten aurkako angeluak berdinak dira; beraz, aurkako angelua ere 80°-koa da, eta paralelogramo baten aldeen batura 360°-koa denez, hau lortzen da: 360° − (80° + 80°) = 200° 200° : 2 = 100° Paralelogramoaren angeluen neurriak: 80°, 80°, 100° eta 100°.

238

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 239

ERANTZUNAK

025

Kalkulatu 3 cm eta 4 cm-ko aldeak dituen laukizuzenaren diagonala. Diagonala = 32 + 42 =

026

10

25 = 5 cm

Lortu 50 cm-ko aldeko eta 28 cm-ko diagonal txikiko erronboaren diagonal handia. Diagonal handia = 2 ⋅ 502 − 142 = 2 ⋅ 2.304 = 2 ⋅ 48 = 96 cm

027

Adierazi 16 cm eta 30 cm-ko diagonalak dituen erronboaren aldeen luzera. Erronboaren aldea = 82 + 152 =

Kalkulatu 14 cm-ko diagonala duen karratuaren luzera.

14

cm

028

289 = 17 cm

l 2 + l 2 = 142 → 2 ⋅ l 2 = 196 → l 2 = 98 → l =

98 = 9, 9 cm

Karratuaren aldea 9,9 cm-koa da. Adierazi zirkunferentzia honen elementu bakoitzaren izena. Arkua Korda

Erradioa

F F

F

029

F

030

F

Zentroa

Diametroa

Marraztu 5 cm-ko erradioa duen zirkunferentzia.

5 cm

Kor

Arkua

da

Marraztu 4 cm-ko erradioa duen zirkunferentzia bat, eta adierazi diametro, erradio, arku eta korda bana. Zenbatekoa da diametroa?

a

Ze

ro nt

Erradioa 4 cm F

031

Diametroaren luzera: 2 ⋅ 4 = 8 cm. Diametroa

239

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 240

Poligonoak eta zirkunferentzia 032

Erreparatu gurpilari. Adierazi zirkunferentziaren zer elementu hautematen diren.

Elementu hauek hautematen dira: zirkunferentzia baten erradioa, diametroa eta zentroa, eta erradioen arteko arkuak.

033

Adierazi irudi honetako zuzen bakoitzaren kokapen erlatiboa zirkunferentziarekiko.

v

u O

s

r

Ebakitzaileak: r eta w. Ukitzaileak: u eta s. Kanpokoak: v eta t.

w t

034

Ondorioztatu r erradioko zirkunferentzia baten eta zirkunferentziaren zentrotik d distantziara dagoen zuzen baten arteko kokapen erlatiboak, kasu hauetan. a) r = 6 cm, d = 4 cm b) r = 6 cm, d = 6 cm a) Ebakitzailea

035

c) r = 4 cm, d = 6 cm d) r = 4 cm, d = 0 cm b) Ukitzailea

c) Kanpokoa

d) Ebakitzailea

Txanpon bat edo edalontzi bat erabiliz, marraztu zirkunferentzia bat koadernoan. Ba al dakizu zentroa adierazten?

Zentroa kalkulatzeko, bi korda eta haien erdibitzaileak marraztu behar dira; bien ebakidura-puntua zirkunferentziaren zentroa da.

036

Adierazi zirkunferentzien kokapen erlatiboa: bizikleta baten katearen txirrika eta erloju baten barruko makineria. a) b)

a) Kanpokoak

240

b) Kanpoko ukitzaileak

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 241

ERANTZUNAK

037

038

10

6 eta 3 cm-ko erradioak dituzten bi zirkunferentzia emanda, marraztu, koadernoan, izan ditzaketen kokapen guztiak.

Zentrokideak

Ebakitzaileak

Kanpokoak

Kanpoko ukitzaileak

Barrukoak

Barruko ukitzaileak

Bi zirkunferentzia ditugu: batak 3 cm-ko erradioa du, eta besteak, 4 cm-koa. Zirkunferentzia horien zentroen arteko distantzia 4 cm-koa da. a) Izan al daitezke kanpoko ukitzaileak? Eta barruko ukitzaileak? b) Zer kokapen erlatibo dute? a) Ezin dute kanpoko ukitzaileak izan, ez dutelako baldintza hau betetzen: d = r + r'. Barruko ukitzaileak ere ezin duten izan, ez dutelako baldintza hau betetzen: d = r − r'. b) Ebakitzaileak dira; izan ere: d < r + r' (4 cm < 6 cm + 3 cm).

039

Kalkulatu zenbatekoak diren heptagono erregular baten eta oktogono erregular baten barruko angeluak, eta haien erdiko angeluak.

A$ B$

Heptagonoa: Barruko angelu bakoitza: (180° ⋅ 5) : 7 = 128,57° = 128° 34' 17,112'' Erdiko angelua: 360° : 7 = 51,43° = 51° 25' 42,86'' Oktogonoa: Barruko angelu bakoitza: (180° ⋅ 6) : 8 = 135° Erdiko angelua: 360° : 8 = 45°

241

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 242

Poligonoak eta zirkunferentzia 040

Kalkulatu 9 eta 10 aldeko poligono erregularren barruko eta erdiko angeluak. Eneagonoa: Barruko angelu bakoitza: 180° ⋅ 7 : 9 = 140° Erdiko angelua: 360° : 9 = 40° Dekagonoa: Barruko angelu bakoitza: 180° ⋅ 8 : 10 = 144° Erdiko angelua: 360° : 10 = 36°

041

Zer geratzen zaie poligono erregular baten barruko eta erdiko angeluei, alde kopurua handitzen dugun heinean? Poligono erregularren alde kopurua handitzen den heinean, barruko angeluen neurria ere handitu egiten da eta erdiko angeluarena, berriz, txikitu.

ARIKETAK 042

Adierazi poligonoaren elementu bakoitzaren izena.

●

a) b) c) d) e) f) g) F

Adierazi erpinak. Zenbat alde ditu? Zenbat diagonal marraz daitezke? Zenbat angelu ditu? Zer izen du poligono horrek? Erregularra al da? Zergatik? Ahurra ala ganbila da?

A

a)

E

B

D

C

b) 6 alde. c) 9 diagonal. d) 6 angelu. e) Hexagonoa. f) Erregularra da, aldeak eta angeluak berdinak direlako. g) Ganbila da.

242

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 243

ERANTZUNAK

043 ●

044 ●

10

Adierazi poligono hauen izenak, alde kopurua aintzat hartuz. a)

c)

e)

b)

d)

f)

a) Hexagonoa

c) Laukia

e) Dodekagonoa

b) Laukia

d) Pentagonoa

f) Triangelua

Marraztu hiru poligono ganbil eta hiru poligono ahur. Poligono ganbilak

Poligono ahurrak

045

Marraztu koadernoan irudi hau.

●

a) b) c) d) e) f)

Zenbat alde ditu? Alde kopuruaren arabera, zer izen du? Marraztu diagonalak. Zenbat ditu? Adierazi angeluak. Zenbat ditu? Kalkulatu barruko angeluen batura. Kalkulatu zenbatekoa den angelu horietako bakoitza. Kalkula al daiteke?

a) 8 alde ditu. b) Oktogonoa. c) 20 diagonal. d) 8 angelu. e) 180° ⋅ (8 − 2) = 1.080° f) Ezin da kalkulatu, oktogonoa ez delako erregularra.

243

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 244

Poligonoak eta zirkunferentzia 046 ●

Kalkulatu poligono hauen barruko angeluen baturak. a) Heptagonoa

b) Dekagonoa

a) 180° ⋅ (7 − 2) = 900° b) 180° ⋅ (10 − 2) = 1.440° 047

c) Pentadekagonoa

d) Ikosagonoa

c) 180° ⋅ (15 − 2) = 2.340° d) 180° ⋅ (20 − 2) = 3.240°

Jakinik poligonoak erregularrak direla, osatu taula.

●●

Alde kopurua Angeluen batura

3 180°

Barruko angelua

60°

4 360° 360° = 90° 4

5 540°

6 720°

7 900°

108°

120°

128,57°

a) Zein poligonok izango du barruko angelurik txikiena? b) Eta barruko angelurik handiena? a) Barruko angelurik txikiena triangeluak du. b) Barruko angelurik handiena heptagonoak du; izan ere, zenbat eta alde gehiago izan poligonoak, orduan eta handiagoak dira barruko angeluak. 048

EGIN HONELA NOLA JAKITEN DA ZENBAT ALDEKOA DEN POLIGONO BAT, ANGELUEN BATURA JAKINIK? Zehaztu zer poligono den, jakinik haren angeluen batura 1.440°-koa dela. LEHENA.

Poligono baten angeluen batura kalkulatzeko formula aplikatu behar da. 180 ⋅ (n − 2) = 1.440

BIGARRENA.

n bakandu behar da.

1.440 → n − 2 = 8 → n = 8 + 2 = 10 alde 180 Angeluen batura 1.440°-koa duen poligonoa dekagonoa da. 180 ⋅ (n − 2) = 1.440 → n − 2 =

049

Kasu bakoitzean, kalkulatu zenbat aldeko poligonoa den, angeluen batura jakinik:

●●

a) 540°

b) 360°

c) 1.260°

d) 1.980°

a) 540° = 180° ⋅ (n − 2) → 540° = 180°n − 360° → 900° = 5 alde 180° b) 360° = 180° ⋅ (n − 2) → 360° = 180°n − 360° → 360° + 360° = 180°n → 720° = 4 alde →n= 180° c) 1.260° = 180° ⋅ (n − 2) → 1.260° = 180°n − 360° → 1.620° = 9 alde → 1.260° + 360° = 180°n → n = 180° d) 1.980° = 180° ⋅ (n − 2) → 1.980° = 180°n − 360° → 2.340 º = 13 alde → 1.980° + 360° = 180°n → n = 180 º → 540° + 360° = 180°n → n =

244

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 245

ERANTZUNAK

10

050

Kalkulatu 3, 4, 5 eta 6 aldeko poligonoen angeluen baturak.

●●

a) Zer alde dago poligono baten angeluen baturaren eta alde bat gutxiagoko poligonoaren angeluen baturaren artean? b) 15 aldeko poligono baten angeluen batura 2.340°-koa bada, zenbatekoa da 16 aldekorena? 3 alde = 180°

4 alde = 360°

5 alde = 540°

6 alde = 720°

a) Aldea 180°-koa da. b) 16 aldeko poligono baten angeluen batura hau da: 2.340° + 180° = 2.520°. 051 ●

Sailkatu triangelu hauek aldeen eta angeluen arabera. a)

b)

c)

d)

Zehaztu triangelu bakoitzaren angelu zorrotz, zuzen eta kamuts kopurua. a) Isoszele zorrotza. Hiru angeluak zorrotzak dira. b) Eskaleno angeluzuzena. Angelu zuzen bat eta bi zorrotz ditu. c) Isoszele kamutsa. Angelu kamuts bat eta bi zorrotz ditu. d) Eskaleno kamutsa. Angelu kamuts bat eta bi zorrotz ditu. 052 ●

Triangelu angeluzuzen batean, angelu bat 45°-koa da. Zenbatekoak dira beste biak? 180° − (45° + 90°) = 180° − 135° = 45°. 90° eta 45°-koak dira.

053 ●

Triangelu batean, bi angelu 20° eta 70°-koak dira, hurrenez hurren. Zenbatekoa da hirugarrena? Zer izen du triangeluak? 180° − (20° + 70°) = 90°-koa da hirugarrena. Triangelu angeluzuzena da.

054 ●●

Zenbatekoa da ABC triangeluaren C$ angelua, baldin A$ = 35° 32'30" eta B$ = 50° 50'? C

A

B

180° − (35° 32' 30'' + 50° 50') = 180° − 86° 22' 30'' = 93° 37' 30'' C$ angeluaren neurria: 93° 37' 30''.

245

908261 _ 0232-0261.qxd

27/7/07

09:33

Página 246

Angeluak eta zirkunferentzia 055 ●

Triangelu isoszele baten angelu desberdinak 50°-koa da. Zenbatekoak dira angelu berdinak? 180° − 50° = 130° 130° : 2 = 65°-koak dira angelu berdinak.

056

EGIN HONELA NOLA JAKITEN DA TRIANGELU BAT EGIN DAITEKEEN HIRU ZUZENKI JAKIN HARTUZ? Marraz al daiteke 5, 6 eta 16 cm-ko aldeak dituen triangelua? LEHENA.

Edozein alde beste bien batura baino txikiagoa den aztertu behar da.

a = 5 cm a