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PRUEBA DE HIPOTESIS

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Sesión N°3

 Sesión N°3: Prueba de Hipótesis – Elementos para elaborar una prueba de Hipótesis – Errores Tipo I y Tipo II – Pasos de una prueba de hipótesis – Empleo del valor p en las prueba de Hipótesis. – Pruebas de Dos muestras.

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Introducción En estadística hay dos formas para realizar inferencias acerca de los parámetros de una población. La primera consiste en estimar los valores de los parámetros, y la segunda, en plantear hipótesis acerca de su comportamiento para poder tomar alguna decisión con respecto a éste.

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Interpretando En la estadística, igual que en la vida, nada es tan cierto como la presencia de la incertidumbre. Sin embargo, el hecho de que no estemos 100% seguros de algo, no es razón para que no lleguemos a algunas conclusiones que probablemente sean ciertas. Por ejemplo: Si una moneda lanzada al aire cayera cara 20 veces seguidas, podríamos equivocarnos al decir que está desequilibrada, pero seríamos sabios si evitáramos apostar con su dueño. Page  4

Elementos para elaborar una prueba de hipótesis

Prueba de hipótesis, es una prueba estadística que se utiliza para decidir si cierta propiedad supuesta para una población es confirmada por la observación de una muestra. El procedimiento estadístico de decisión consiste en formular una hipótesis acerca de la población, en elegir la prueba estadística adecuada para contrastar dicha hipótesis y en aplicar la prueba sobre la muestra observada.

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La hipótesis Nula y Alternativa La hipótesis Nula: Expresada Ho (“H subcero). La hipótesis nula es una afirmación acerca del valor de un parámetro poblacional y se postula para ser probada según la evidencia numérica. Una hipótesis nula se rechaza o no se rechaza). La hipótesis nula es la afirmación de que “todo sigue igual, no ocurre nada extraño” que prácticamente lo invita a desafiar su veracidad. En la filosofía de una prueba de hipótesis, se supone que la hipótesis nula es verdadera a menos que tengamos una evidencia estadística abrumadora de lo contrario. Page  6

La hipótesis Nula y Alternativa  La hipótesis alternativa, H1 (“H subuno”), es la afirmación que se sustenta si la hipótesis nula es falsa. Para una prueba especifica, las hipótesis nula y alternativa incluyen todos los valores posibles de un parámetro de la población, de modo que una de las dos tiene que ser falsa.  Existen tres opciones posibles para plantear las hipótesis nula y alternativa que se utilizarán en una prueba específica. Descritas en términos de la media de la población (μ) (que se desconoce), pueden ser las siguientes:

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(μ es $50, o no lo es) (μ no es más de $ 50, o es más) (μ es cuando menos $ 50, o es menos) Page  8

Prueba direccional y prueba no direccional

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Errores en las pruebas de hipótesis  En el sistema judicial, a veces las personas culpables salen libres, y las personas inocente son condenadas. En el proceso de control industrial, en ocasiones se aceptan lotes defectuosos, y otras veces, se rechazan lotes buenos. Cuando rechazamos una hipótesis nula, existe la posibilidad de que hayamos cometido en error; es decir, de que hayamos rechazamos una afirmación verdadera.

El rechazo de una hipótesis nula que es verdadera se conoce como error tipo I, y nuestra probabilidad de cometer tal error se representa mediante la letra griega alfa (α) Page  11

 Por otra parte, podemos cometer el error de no rechazar una hipótesis nula que es falsa; éste es un error tipo II. La probabilidad de cometerlo se representa mediante la letra griega beta (β).  Por su puesto que si no rechazamos una hipótesis nula que es verdadera o si rechazamos una hipótesis nula que es falsa estamos actuando de manera correcta. La probabilidad de rechazar una hipótesis nula que es falsa se llama potencia de la prueba.

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La hipótesis Nula (Ho) en realidad es

La prueba de hipótesis dice

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VERDADERA

FALSA

“No rechazar Ho”

Decisión correcta

Decisión incorrecta (error de tipo II). La probabilidad de cometer este error es β

“Rechazar Ho”

Decisión incorrecta (error de tipo I). La probabilidad de cometer este error es α, el nivel de significancia

Decisión correcta. La probabilidad (1-β) es la potencia de la prueba.

Prueba de Hipótesis: Procedimientos básicos •Formular

las hipótesis nula y alternativa.

Seleccionar el nivel de significancia. Seleccionar el estadístico de prueba y calcular su valor. Identificar los valores críticos para el estadístico de prueba y establecer la regla de decisión. Comparar los valores calculados y críticos y llegar a una conclusión acerca de la hipótesis nula. Tomar la decisión de negocios correspondientes. Page  14

Prueba para la media, con desviación estándar poblacional conocida

 En ocasiones se desconoce la media poblacional, pero experiencias anteriores nos han proporcionado un valor confiable para la desviación estándar poblacional. Si bien esta situación es más probable en la industria, a veces se aplica a los empleados, los consumidores y otras entidades no mecánicas. En cada uno de los casos siguientes, se conoce la desviación estándar poblacional, y existe una razón para efectuar una prueba de hipótesis en la cual la media muestral observada se compara con el valor de la media poblacional de la hipótesis.

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Estadístico de la prueba, prueba Z para la media muestral:

El símbolo μo es el valor de μ supuesto para efectuar la prueba de hipótesis. Page  16

 Cuando una soldadora robot está ajustada, la media del tiempo necesario para efectuar su tarea es de 1.3250 minutos. Experiencia anteriores han demostrado que la desviación estándar del tiempo del ciclo es de 0.0396 minutos. Una media de tiempo de operación incorrecta puede afectar la eficiencia de otras actividades a lo largo de la línea de producción. Para una muestra aleatoria reciente de 80 trabajos, la media del tiempo del ciclo para la soldadora fue de 1.3229 minutos. ¿Parece que la máquina necesita un ajuste?

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Solución (parte 1)

Formular las hipótesis nula y alternativas.

Ho: μ = 1.3250 minutos. La máquina está ajustada H1: μ ≠ 1.3250 minutos. La máquina está desajustada. En esta prueba, nos preocupa que la máquina pueda funcionar a una velocidad media demasiado rápido o demasiada lenta.

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Solución (parte 2)

Resultados de la Prueba:

Seleccionar el estadístico de la prueba y calcular su valor

 Se conoce la desviación estándar de la población (σ) y el tamaño de la muestra es grande, de modo que la distribución normal es adecuada y el estadístico de la prueba será Z, que se calcula como:

Conclusión: no rechazar H0 Page  19

No rechazar H0

Rechazar H0

Rechazar H0

Área = 0.025 Área = 0.025

Z = -1.96

μ0 = 1.3250 minutos

Estadístico de la Prueba z = -0.47

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Z = +1.96X

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Para una muestra aleatoria reciente de 80 trabajos

la media del tiempo del ciclo para la soldadora fue de 1.3229 minutos

Experiencia anteriores han demostrado que la desviación estándar del tiempo del ciclo es de 0.0396 minutos. la media del tiempo necesario para efectuar su tarea es de 1.3250 minutos

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Z de una muestra * NOTA * No se pueden crear gráficas con datos resumidos.

Prueba de mu = 1.325 vs. no = 1.325 La desviación estándar supuesta = 0.0396

Media del Error N Media estándar IC de 95% Z P 80 1.32290 0.00443 (1.31422, 1.33158) -0.47 0.635

No se rechaza la hipótesis nula

P-value > 0.05  No existe diferencias significativas, por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula. P-value ≤ 0.05  Existe diferencias significativas, por lo tanto se rechaza la hipótesis nula

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 Se encontró que los focos en un almacén industrial tienen una duración media de 1030.0 horas, con una desviación estándar de 90.0 horas. Un representante de Phillips, una compañía que fabrica un dispositivo diseñado para aumentar la duración de los focos, se comunicó con el gerente del almacén, a quien le preocupa que la duración promedio de los focos equipados por Phillips podría no ser mayor que el valor histórico experimental de 1030 horas. En una prueba posterior, el gerente selecciona 40 focos equipados con el dispositivo y encuentra que su duración media es de 1061.6 horas. ¿En realidad funciona el dispositivo de Phillips?

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Solución: (Parte 1)

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Solución: (parte 2) Valor calculado del estadístico de prueba: • Se conoce la desviación estándar de la población (σ) y el tamaño de la muestra es grande, de modo que la distribución normal es adecuada y el estadístico de la prueba será Z, que se calcula como:

Regla de decisión: • Rechazar H0 si z > +1.645

Conclusión: Rechazar H0

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No rechazar H0

Rechazar H0 Área = 0.05

μ0 = 1030 horas Z = +1.645

X

Estadístico de la Prueba z = 2.22

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2

1

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Z de una muestra * NOTA * No se pueden crear gráficas con datos resumidos.

Prueba de mu = 1030 vs. > 1030 La desviación estándar supuesta = 90

Media del Error 95% Límite N Media estándar inferior Z P 40 1061.6 14.2 1038.2 2.22 0.013

Se rechaza la hipótesis nula

P-value > 0.05  No existe diferencias significativas, por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula. P-value ≤ 0.05  Existe diferencias significativas, por Page  31 lo tanto se rechaza la hipótesis nula

Prueba para la proporción En ocasiones, necesitamos comparar la proporción de una muestra, p, con un valor supuesto en una hipótesis para la proporción de la población, π. •Una destacada candidata para la municipalidad de Lima declara que el 65% de los electores de la ciudad pretende votar por ella en la elección venidera. En un muestreo independiente, sólo 40% de 120 electores dice que votará por la candidata.

Un propietario de un taller de reparación de automóviles afirma que no más de 5% de sus clientes está insatisfecho con su trabajo. Sin embargo, una encuesta de 150 clientes revela que 20% no está satisfecho con el trabajo realizado.

Cuando una máquina funciona en forma correcta, sólo 3% de las unidades producidas están defectuosas. En una muestra de 400 unidades, 4.5% están defectuosas. Page  32

Estadístico de la prueba, prueba z para la proporción muestral:

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Prueba de dos colas para la proporción Esta técnica es adecuada cuando la hipótesis nula se refiere a una proporción y es no direccional. Para mostrar cómo se efectúa, considere la situación siguiente.

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Ejemplo: Pruebas de Dos Colas.  El director de servicios de carreras de la Universidad de Sydney declaró que 70% de los estudiantes universitarios de último año entra al mercado laboral en un puesto directamente relacionado con su área de estudio. En una muestra formada por 200 graduados de la generación del año anterior, 66% obtuvo empleos relacionados con su área de estudios. 1).- Formular las hipótesis nula y alternativa La afirmación del director es no direccional y conduce a las hipótesis nula y alternativas de: H0: π = 0.70 La proporción de graduados que consiguen empleos en su área de estudios es de 0.70. H1: π ≠ 0.70 La proporción es un valor diferente de 0.70. Page  35

2).- Seleccionar el nivel de significancia.  Para esta prueba, se utilizará un nivel de significancia de 0.05. La suma de las áreas de las dos colas será 0.05 3).- Seleccionar el estadístico de la prueba y calcular su valor.  El estadístico de la prueba será z, el número de unidades de error estándar entre la proporción poblacional de la hipótesis, π0 = 0.70, y la proporción muestral, p = 0.66. El error estándar de la proporción muestral es.

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 Y el valor calculado de z es:

4).- Identificar los valores críticos para el estadístico de la prueba y plantear la regla de decisión. • Dado que esta prueba es de dos colas y el nivel de significancia seleccionado es de 0.05, los valores críticos serán z = -1.96 y z = +1.96. La regla de decisión se plantea como “Rechazar H0 si la z calculada es • < -1.96 o > +1.96, de lo contrario, no rechazar”.

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5).- Comparar los valores calculado y crítico y llegar a una conclusión para la hipótesis nula.  El valor calculado del estadístico de la prueba, Z = -1.23, cae entre los dos valores críticos, lo cual lo coloca en la región de no rechazo de la distribución. La hipótesis nula no se rechaza. 6).- Tomar la decisión correspondiente.  No rechazar la hipótesis nula nos hace concluir que la proporción de graduados que entran al mercado laboral en puestos relacionados con su área de estudios puede ser igual al valor declarado de 0.70. Si el director de servicios de carrera afirma esto ante los estudiantes o sus padres, el análisis sugiere que su aseveración no será cuestionada. Page  38

No rechazar H0

Rechazar H0

Rechazar H0

Área = 0.025 Área = 0.025

Z = -1.96

Z = +1.96 X μ0 = 1.3250 minutos

Estadístico de la Prueba z = -1.23

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Prueba e IC para una proporción Prueba de p = 0.7 vs. p no = 0.7

Muestra X N Muestra p IC de 95% Valor Z Valor P 1 132 200 0.660000 (0.594349, 0.725651) -1.23 0.217 P-value > 0.05  No existe diferencias significativas, por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula. P-value ≤ 0.05  Existe diferencias significativas, por lo tanto se rechaza la hipótesis nula No se rechaza la hipótesis nula Page  42

Prueba de una cola de una proporción  Las pruebas direccionales para una proporción son similares al caso anterior, pero sólo tienen un área de rechazo de la hipótesis nula en una cola. Considere el siguiente caso real.

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Ejemplo: Prueba de una Cola  En una decisión administrativa, la U.S. Administración de Veteranos cerró las unidades de cirugía cardiaca en varios de sus hospitales que realizaban de 150 operaciones al año o tenían tasas de mortalidad superiores a 5.0%. En una de las unidades quirúrgicas cerradas, se habían efectuado 100 operaciones durante el año anterior, con una tasa de mortalidad de 7.0%.

 ¿La tasa de mortalidad de este hospital fue significativamente mayor que el valor límite de 5.0%? Considere que el desempeño del hospital representa una muestra de la población de operaciones que pudieron realizarse si hubieran tenido pacientes.

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Valor calculado del estadístico de prueba:

• Y el valor calculado de z es:

Regla de decisión:

• Rechazar H0 si al probar z > + 2.33 • Conclusión: No rechazar H0 Page  46

No rechazar H0

Rechazar H0 Área = 0.01

π0 = 0.05

Z = +2.33

X

Estadístico de la Prueba z = 0.92

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Prueba e IC para una proporción Prueba de p = 0.05 vs. p > 0.05

95% Límite Muestra X N Muestra p inferior Valor Z Valor P 1 7 100 0.070000 0.028032 0.92 0.179 Uso de la aproximación normal.

P-value > 0.05  No existe diferencias significativas, por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula. P-value ≤ 0.05  Existe diferencias significativas, por lo tanto se rechaza la hipótesis nula Page  50

No se rechaza la hipótesis nula