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• Jose Bazan Valle

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TECAMACHALCO Mecatrónica Área Automatización

SISTEMAS MECANICOS.

REPORTE DE INVESTIGACION.

Docente: Ing. Héctor Cervantes Ginez.

Alumno: José Bazán Valle.

Grado: 9°

Grupo: “A”

MOMENTO MÁXIMO. El punto de momento máximo que resiste una viga biapoyada está en el centro de su vano, por ser el punto más alejado de los apoyos. Por lo tanto, en ese punto de concentraran las mayores tensiones a flexión, las mayores deformaciones, y, por lo general, será punto en el que más sufrirá esa estructura.

Ejemplo. Calcular el esfuerzo cortante máximo, el momento flector máximo y la máxima deformación del siguiente supuesto, dejando este último valor en función de E I. 6T 4 T/m

B

A 2m

4m

Para resolver el problema utilizaremos la superposición de los siguientes casos simples:

4 T/m

[1] B

A 6m

+

6T

[2] A

B

C 2m

4m

De la situación [1] obtenemos en el Prontuario las expresiones que determinan el momento flector, el esfuerzo cortante y la ecuación de la elástica:

M

l−x

Q = q⋅ 2

y x=

6−x

= 4⋅ 2

(

=12 − 4⋅x

)

(

q⋅ x⋅ x3 − 2⋅l⋅x2 +l3 = 4⋅x⋅ x3 −2⋅6⋅ x2 + 63 24⋅E⋅I 24⋅E⋅I

)

x ⋅ x3 −12⋅ x2 + 216

(

y x=

)

6⋅E⋅I Del mismo modo, en el Prontuario obtenemos las expresiones del momento flector, esfuerzo cortante y deformada del supuesto [2]:

MAC

x

MCB

QAC =

x

P⋅b = 6⋅4 = 4T l 6

QCB

T

y AC = P6⋅l⋅⋅Eb⋅⋅Ix ⋅

1− bl22 − xl22

(

= 32⋅E⋅x⋅I ⋅ 20 − x2

)

yCB = P⋅l⋅a⋅(l − x ⋅

1− 6422 − 6x22

= 6⋅66⋅E⋅4⋅I⋅x ⋅

)

1− a22 −

l−x

2

)

= 6⋅6⋅2⋅(6 − x ⋅

1− 222 −

6−x

2

6⋅E⋅I

l

l

6⋅E⋅I

6

6

yCB 6⋅E⋅I

6

3⋅E⋅I

Obtención del momento flector máximo Sumamos las expresiones obtenidas en ambos casos, teniendo en cuenta la existencia de dos tramos, uno desde el apoyo dorsal hasta el punto de aplicación de la carga puntual (tramo AC) y otro desde este punto hasta el apoyo frontal (tramo CB).

MAC = M[1] +M[2]AC =12⋅ x −2⋅x2 + 4⋅x =16⋅x −2⋅x2

MCB = M[1] +M[2]CB =12⋅x − 2⋅x2 +12 −2⋅x =12 +10⋅x − 2⋅x2

Para determinar el máximo momento flector, derivamos ambas expresiones e igualamos a cero: M'AC =16 − 4⋅x = 0 → x = 4 M'CB =10 − 4⋅x = 0 → x = 2.5

El primer valor obtenido no tiene significado físico, pues el punto de abcisa x=4 no pertenece al intervalo AC. Por consiguiente, el máximo momento flector se da en la sección de la viga distante 2.5 m del apoyo dorsal.

El valor de este momento máximo es: Mx=2.5 =12 +10⋅2.5 −2⋅2.52 = 24.5 m⋅T

Obtención del esfuerzo cortante máximo Operamos de igual modo: QAC = Q[1] +Q[2]AC =12 − 4⋅x + 4 =16 − 4⋅x QCB = Q[1] +Q[2]CB =12 − 4⋅x −2 =10 − 4⋅x Se puede comprobar que ambas expresiones son dos rectas. Para estudiar donde se encuentra el esfuerzo cortante máximo, analizaremos las secciones donde existen cargas concentradas (apoyos y punto C).

A

C

B

QA = Qx=0 =16 − 4⋅0 =16T QB = Qx=6 =10 − 4⋅6 = −14T

QC = QACx=2 + QCBx=2 = (16 − 4⋅2)− (10 − 4⋅2)= 6T Por tanto, el esfuerzo cortante máximo se da en el apoyo A.

Obtención de la flecha. Para obtener la deformación máxima es preciso estudiar previamente la deformada, que habrá que analizarla por tramos:

(

)

⋅xE⋅I ⋅ x3 −12⋅x2 + 216 +

y AC = y[1] + y[2]AC =

(

64⋅E⋅x⋅I⋅ 20 − x2

)

6 y AC

yCB = y[1] + y[2]CB

=

6 x ⋅xE⋅I ⋅ x3 −12⋅x2 + 216 + (3 ⋅−E ⋅I)⋅ − 4 +12⋅x − x2

(

)

(

)

6

yCB

yCB Una vez obtenida la deformada, estudiamos la flecha:

y'AC = 0 →

Las raíces de este polinomio son: x=-2.28, x=2.84 y x=11.43. Todos estos valores no tienen significado físico, pues no pertenecen al intervalo AC.

y'CB = 0 →

Las raíces de este polinomio son: x=2.93, x=-3.77 y x=8.34. Por tanto, la deformación máxima se produce en la sección distante del apoyo A 2.93 m.

y x=2.93 =

1 ⋅(2.934 −10⋅2.933 −36⋅2.932 + 368⋅2.93 − 48) = 6⋅E⋅I

Teniendo en cuenta que las unidades son T y m.

90.56 E⋅I

MOMENTO FLECTOR. Es una fuerza del tipo “par”, que contribuye a equilibrar la rotación del solido en un eje perpendicular a su eje y fuera de su plano, y que produce sobre la viga en efecto de curvatura a largo de su eje. Ejemplo. Consideremos la viga de la figura que soporta una carga distribuida p (no uniforme).   

C y C1 dos puntos de la viga, separados Δx uno de otro. Sobre la izquierda actuan, el esfuerzo cortante Q y el momento flector M. Sobre la derecha actúan, el esfuerzo cortante Q+ΔQ y el momento flector M+ΔM.  Al pasar de la sección C a C1, el incremento ΔQ del esfuerzo cortante, proviene de la ff p. Δx ΔQ= - p. Δx  Dividiendo por Δx y aproximando la sección C1 hacia C, Δx→0 y podríamos escribirlo: dQ/dx = -p La carga especifica p es numéricamente, la derivada, respecto de x, del esfuerzo cortante  El incremento ΔM del momento flector, al pasar de C a C1, proviene de la ff Q y de la carga p.Δx  Δ M = Q. Δx- p.Δx.Δx/2 Dividiendo por Δx, y haciendo, Δx→0; resulta: dM/dx =Q  El esfuerzo de corte es la derivada del momento flector.  Como M=f(x) si Q = 0; significa que tenemos un máximo del Momentoflector.  Por lo tanto: El momento flector es máximo cuando el esfuerzo de corte es nulo, o pasa por cero.

MOMENTO DE INERCIA. El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. Ejemplo. Ecuaciones del momento de inercia Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa inercial es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación.

TIPOS DE CARGAS. Los elementos de una estructura deben de aguantar, además de su propio peso, otras fuerzas y cargas exteriores que actúan sobre ellos. Dependiendo de su posición dentro de la estructura y del tipo de fuerzas que actúan sobre ellos, los elementos o piezas de las estructuras soportan diferentes tipos de esfuerzos. Una fuerza sobre un objeto tiende a deformarlo, la deformación producida dependerá de la dirección, sentido y punto de aplicación donde esté colocada esa fuerza. Estas fuerzas tienen distintos orígenes: • Debidas a su propio peso (toda estructura debe soportarse a sí misma). • Debidas al peso, movimiento o vibraciones de los elementos que componen el conjunto del sistema técnico. Por ejemplo, el cuadro de una bicicleta no debe deformarse cuando una persona suba a ella o cuando coja baches mientras circula, etc. • Debidas a agentes externos al propio sistema técnico. Por ejemplo, un puente no debe caerse por el efecto del viento, el tejado de una casa no debería venirse abajo cuando se acumule nieve sobre él, etc. Normalmente, cuando construimos una estructura lo hacemos para que ésta no se deforme cuando está trabajando. Sin embargo, hay algunas estructuras que su trabajo lo ejercen deformándose y recuperando más tarde su forma original, pero esto es menos normal. Tracción A menudo se realizan una serie de pruebas a los materiales (fundamentalmente metales) para ver su comportamiento, a estas pruebas se les llama ensayos. A partir de estos, se puede determinar:  

Sus características para una posible utilización Los defectos de las piezas ya terminadas.

El ensayo de tracción es el más importante y el más empleado de todos. Se realiza con probetas de dimensiones normalizadas, que se someten a esfuerzos de tracción progresivamente crecientes, en dirección longitudinal, hasta producir su rotura. El ensayo de tracción permite estudiar el alargamiento de la probeta en función de la fuerza o carga actuante. La forma del diagrama depende del material a ensayar. En la imagen podemos ver un diagrama característico de un material dúctil y maleable, como el acero extra suave. Período 1. ALARGAMIENTOS ELÁSTICOS. Los alargamientos son pequeños y proporcionales a los esfuerzos. Cuando el esfuerzo cesa la probeta recupera su estado inicial. ZONA ELÁSTICA. Período 2. ALARGAMIENTOS PERMANENTES. Los alargamientos son grandes, cuando cesa la fuerza, la deformación permanece. ZONA PLÁSTICA.

Período 3. ALARGAMIENTOS LOCALIZADOS. Cuando la carga llega a cierto valor, el alargamiento se localiza en una zona concreta (hacia el centro de la probeta) llamada ZONA DE ESTRICCIÓN. Finaliza en rotura. Puntos y conceptos: 1. Límite de elasticidad (E). Es la máxima tensión que se puede producirse sin que haya deformación permanente. 2. Límite de proporcionalidad (P). Es la máxima tensión que se puede producir en la zona donde la tensión es una función lineal. Suele coincidir con el anterior. 3. Límite de fluencia (B), también llamado límite aparente de elasticidad. Es una medida arbitraria tomada por acuerdo internacional. Surge a partir del punto donde se produce una deformación de 0,2%. 4. Carga de rotura (R) o límite de rotura. Es la carga máxima por unidad de sección que resiste el material antes de romperse. 5. Rotura efectiva (U). Punto donde rompe la probeta. 6. Alargamiento de rotura. Es el alargamiento que sufre el material antes de romperse. 7. Estricción. Es la reducción de la sección que sufre la probeta en la zona de rotura. El alargamiento y la estricción se usan para ver el grado de ductibilidad de los materiales.

Tipos de esfuerzo (cuadro)