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• Josué Clímaco

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Sistemas de Primer Orden Modelado y simulación de sistemas dinámicos M. en C. Josue Román Martínez Mireles

Los sistemas de primer orden continuos son aquellos que responden a una ecuación diferencial de primer orden dc (t )  a0 c (t )  b0 r (t ) dt La función de transferencia es: b0 C (s)  R ( s ) s  a0 reacomodando términos también se puede escribir como: C (s) K  R ( s ) s  1 b0 donde K  , es la ganancia en estado estable, a0 1  a0 , es la constante de tiempo del sistema. 1 el valor s   a0   se denomina polo. 

M. en C. Josue Martínez

Sistemas de Primer Orden

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Sistemas de Primer Orden Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada impulso La salida en Laplace es R(s)  1

Utilizando transformada inversa de Laplace 1  1  c (t )  b0L   s  a  0

M. en C. Josue Martínez

b0 C (s)  R( s) s  a0

Se obtiene la salida en función del tiempo c (t )  b0 e  a0t

se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de 

3

t 0

c (t ) b0



0.367879 b0

2 0.135335 b0 3 0.049787 b0 4

0.018315 b0

M. en C. Josue Martínez

Sistemas de Primer Orden

respuesta al impulso

b0

0.367879 b0



t

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Sistemas de Primer Orden Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada escalón de magnitud A La salida en Laplace es A R(s)  s

Utilizando transformada inversa de Laplace  1 1  c (t )  Ab0L   s ( s  a )  0 

M. en C. Josue Martínez

b0 C (s)  R( s) s  a0

Se obtiene la salida en función del tiempo c(t )  AK (1  e a0t )

Ahora se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de 

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Sistemas de Primer Orden t 0 

c (t ) 0 0.632120 AK

4 0.981684 AK

M. en C. Josue Martínez

2 0.864664 AK 3 0.950212 AK respuesta al escalón

AK 0.981684 AK 0.632120 AK

6



4

t

Sistemas de Primer Orden Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada rampa de magnitud A

b0 C (s)  R( s) s  a0

A R(s)  2 s

Utilizando transformada inversa de Laplace c(t )  Ab0L

1 

 1  2   s ( s  a0 ) 

r (t )  At

M. en C. Josue Martínez

La salida en Laplace es

Se obtiene la salida en función del tiempo c(t )  AK (t   )  AK e a0t

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Sistemas de Primer Orden

En otras palabras siempre que la ganancia en estado estable (K) del sistema no sea igual a uno, existirá un error en estado estable infinito.

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Nota: Es importante aclarar que la entrada es de pendiente A, mientras que la salida presenta  seg. pendiente AK desfasada

respuesta a la rampa

AK  AKt



error en estado estable

c (t )  AK (t   )  AK  e



t

 a0 t

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Sistemas de Primer Orden Un circuito RL tiene la siguiente función de transferencia. 1 I (s) L  V (s) s  R L

Determinar la corriente

i (t )

cuando se aplica una entrada escalón de 1volt Desarrollo: No se necesita usar fracciones parciales o transformada inversa, basta normalizar la función de transferencia para visualizar la respuesta:

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Ejercicio:

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Sistemas de Primer Orden I (s) R  V (s) L s  1 R

entonces directamente se obtiene la ecuación: R  t 1 i (t )  (1  e L ) R

Ganancia en estado estable

1 K R L

R



Constante de tiempo M. en C. Josue Martínez

1

1 R

L R

2

L R

3

L R

4

L R

t

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Sistemas de Primer Orden Una cautín se conecta a una alimentación de voltaje monofásica 127 volts. Alcanzar una temperatura estable de 325°C y tarde 130 segundos en alcanzar un 98% de ese valor. Determine la función de transferencia de primer orden que represente mejor esta respuesta. Desarrollo: Se define la ganancia en estado estable: Temperatur a en estado estable 325 K   2.559 Voltaje de entrada 127

Se determina la constante de tiempo: Usando el criterio del 2% de error, se determina el tiempo que tarda la salida en alcanzar un 98% de su valor, se divide entre 4 y 130 se obtiene la constante de tiempo.   32.5 4

M. en C. Josue Martínez

Ejercicio:

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Sistemas de Primer Orden por último se sustituye en la forma: K s  1

La función de transferencia que relaciona la temperatura con el voltaje es T (s) 2.559  V ( s ) 32.5 s  1

M. en C. Josue Martínez

G (s) 

T (s) 0.078738  V ( s ) s  0.30769 12