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• Lalo Toño Peres Lopes

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Instituto Tecnológico de La Paz Departamento de Metal-Mecánica Ingeniería Electromecánica

Trabajo realizado para la materia Análisis de circuitos eléctricos de corriente directa

Investigación: analogías de primer orden

Alumno:

Oscar Ivan Cortez Arias

Docente:

Ing. Diego García Molleda

Fecha de entrega: 06 / Mayo / 2014

Análisis de circuitos eléctricos de corriente directa Analogías de primer orden

Introducción Los circuitos de primer orden son circuitos que contienen solamente un componente que almacena energía (puede ser un condensador o inductor), y que además pueden describirse usando solamente una ecuación diferencial de primer orden. Los dos posibles tipos de circuitos primer orden: 1- Circuito RC (Resistor y Condensador) 2- Circuito RL (Resistor e Inductor) Uno de los parámetros importantes el análisis transitorio de estos circuitos es la constante del tiempo, porque nos indica que tan rápido responderá el circuito ante los cambios Ecuación básica de los circuitos de primer orden El circuito de primer orden los cambios se darán cerrar o abrir uno o varios inspectores, entonces vamos a considerar es tiempos, primero tiempo justamente antes de darse el cambio y le vamos a llamar t=0-, el tiempo cuando se da al cambio, lo vamos a llamar t=0, y el tiempo justamente después de haberse dado el cambio, que lo vamos a llamar t=0+. A éstos le llamamos condiciones iniciales del circuito Una de las características dice que el voltaje en el capacitador no puede cambiar instantáneamente. Esto quiere decir que: vc(t=0-) = vc(t=0) = vc(t=0+) Para el caso del inductor, es la corriente que no puede cambiar instantáneamente, lo que quiere decir que: i1(t=0-) = i1(t=0) =i1(t=0+) Otra de las características dice que el capacitores de estado estable, se comporta como un circuito abierto de CD, lo que quiere decir que el voltaje del capacitor puede ser 0 o tomar un valor constante.

Contenido - Respuesta de Entrada Cero para el voltaje de la capacitancia. Para el circuito RC de la Figura encontrar:

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Análisis de circuitos eléctricos de corriente directa Analogías de primer orden a. La ecuación diferencial del voltaje en la capacitancia. b. La solución de la ecuación diferencial si Vc(t0) = Vc0

Solución Ecuaciones que describen el circuito

Con las anteriores ecuaciones se puede encontrar una ecuación diferencial para Vc(t):

Otra manera de encontrar la ecuación diferencial es haciendo que el voltaje de entrada sea cero, de manera que tenemos:

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Haciendo una comparación de la ecuación diferencial encontrada con la forma general de la ecuación diferencial

, se puede ver que

De tal forma que la solución para el voltaje del condensador es:

La gráfica muestra la forma de la respuesta. Al variar a constante de tiempo (τ = RC) de este circuito vemos como podemos tener respuestas más rápidas o más lentas. En general se considera que luego de un tiempo igual a 5τ la respuesta se encuentra en estado estable. Como era de esperarse la energía almacenada en la capacitancia se disipa en la resistencia, de manera que a largo plazo la capacitancia se descarga y su voltaje vale cero.

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- Respuesta de Estado Cero y Completa para el voltaje de la capacitancia. Para el circuito de la Figura encontrar el voltaje en la capacitancia para si el voltaje de entrada es una señal DC que vale cero antes de t o y después de to vale VDC. a. con condiciones iniciales nulas. b. con voltaje en la capacitancia Vco en to.

Solución Ya sabemos que la ecuación diferencial para el voltaje de la capacitancia en este circuito es:

De tal forma que la solución para el voltaje del condensador es:

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La gráfica muestra la respuesta en el tiempo. Como se puede ver en estado estable el voltaje de la capacitancia tiende a ser igual que el voltaje de entrada de la fuente VDC.

Ya sabemos que la ecuación diferencial para el voltaje de la capacitancia en este circuito es:

Haciendo una comparación con la siguiente ecuación diferencial se puede ver que:

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De tal forma que la solución para el voltaje del condensador es:

Recordando que τ = RC podemos escribir esta ecuación como:

Aquí podemos distinguir dos partes: la respuesta natural y la respuesta forzada. Esta solución de la ecuación diferencial de entrada completa se muestra en la grafica. Como se aprecia el voltaje arranca en Vco en to y busca de manera exponencial el valor de estado estable que es VDC

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Si factorizamos las dos exponenciales la expresión toma la siguiente forma: (𝑡−𝑡0) τ

vc(t ≥ t0) = VDC + (VC0 – VDC) 𝑒 −

En esta nueva forma no podemos distinguir entre la respuesta natural y la forzada. Si calculamos el límite cuando el tiempo tiende a infinito (el estado estable), tenemos:.

De manera que podemos reescribir la solución como:

Ahora vamos a resolverlo por el método de coeficientes indeterminados para t>to. Primero miramos la forma de la solución particular. Como el voltaje de entrada es una constante asumimos que vCp (t) = K y reemplazamos en la ecuación diferencial:

De manera que la solución particular es:

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La ecuación homogénea tiene como ecuación característica Con raíz de

de manera que la solución homogénea será:

La solución completa queda:

Ahora calculamos la condición inicial:

Reemplazando K en la solución completa tenemos:

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