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Sistemas de Ecuaciones no Lineales Ing. Marvin Hernández C.

Agenda Introduccion Sistemas de Ecuaciones no lineales Iteración Punto Fijo Newton Raphson Ejemplos Matlab Conclusiones

Introduccion Se pretende que al final de la exposición el estudiante pueda reconocer los sistemas de ecuaciones no lineales y pueda resolverlos por medio de adaptaciones a los métodos Newton-Raphson e Iteración de Punto Fijo

Sistema de Ecuaciones no Lineales f1 ( x1 , x2 ..........., xn )  0 f 2 ( x1 , x2 ..........., xn )  0 . . . f n ( x1 , x2 ..........., xn )  0

La solución de este sistema consta de valores xi que simultáneamente hacen que todas las ecuaciones sean iguales a cero

Iteración de Punto Fijo Con el método iteración de punto fijo determine las raíces de la ecuación u ( x, y )  x 2  xy  10  0

v( x, y )  y  3xy 2  57  0

Observe que un par correcto de raíces es x = 2 y y = 3. Inicie el cálculo con el valor inicial x = 1.5 y y = 3.5

Iteración punto fijo Solución

x i 1

10  (2.21429) 2 x  0.20910  24.37516 y  57  3(0.20910)(24.37516) 2  429.709

10  x i2  yi

y i 1  57  3 x i y i2

x  10  xy y

57  y 3x

x  10  1.5(3.5)  2.17945 y

57  3.5  2.86051 3(2.17945)

10  (1.5) 2 x  2.21429 3.5

x  10  2.17945(2.86051)  1.94053

y  57  3(2.21429 )(3.5) 2  24 .37516

y

57  2.86051  3.04955 3(1.94053)

Newton-Raphson

xi 1 xi 1

u i u u u  y i 1 i  u i  xi i  y i i x y x y vi v v v  y i 1 i  vi  xi i  y i i x y x y

ui x i 1  x i 

y i 1  y i 

u i x vi u i x

v i y v i y u i x v i y

u i  vi y u i v i  y x v i  ui x u v  i i y x

Ejemplos Matlab

Conclusiones Una seria desventaja de la iteración es que la convergencia depende de la manera en que se formula la ecuación El método Newton Raphson para dos ecuaciones se puede generalizar para resolver n ecuaciones simultáneas.