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PROBLEMA DE APLICACIÓN PROBLEMA ÚNICO: Para el edificio aporticado de concreto armado de un piso mostrado en la figura, se pide realizar el análisis sísmico seudotridimensional usando el método de las rigideces. (Considerar g=9.80m/seg2) Aplicar los métodos de análisis siguientes: -

Análisis sísmico estático (fuerzas estáticas equivalentes).

-

Análisis sísmico dinámico (modal espectral).

Para ambos análisis se hará uso del código peruano de diseño sismorresistente. (N.T.E. E-030)

(0.30𝑥0.6) 𝑚2

𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠

∶

𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠

∶ (0.30𝑥0.3) 𝑚2

III - 34

ANÁLISIS MATRICIAL SEUDOTRIDIMENSIONAL

DATOS GENERALES: -

Ubicación

: Lima, Pueblo Libre

-

Uso

: Vivienda

-

Sistema estructural

: Aporticado

-

Suelo de cimentación

: Tipo s1 (suelo rígido)

DATOS DE DISEÑO: 𝑓 ′ 𝑐 = 210 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝐸𝑐 = 15000√𝑓 ′ 𝑐 = 217.371 𝑡𝑜𝑛/𝑐𝑚2

SOLUCION:

𝐊𝑳

1°) Rigidez lateral local de los elementos:

Por Wilbur: (Base Empotrada) −1

𝐾𝐿 =

48E h1

[

4h1 I

∑ ( c)

+

h 1

h1 + h2 I

1

h 1

12

∑ ( v) +

30x303 IC = = 67500 cm4 12 Iv =

30x603 = 540000 cm4 12

III - 35

I

∑ ( c)

]

h 1

IC ( ) = 192.857 cm3 h Iv ( ) = 900 cm3 L

−1

K𝐿 =

48x217.371 350

[

4x350 3x192.857

+

350 + 0 2x900 +

]

3x192.857 12

K 𝐿 = 11.426 ton/cm

−1

K𝐿 =

48x217.371 350

[

4x350 2x192.857

+

350 900 +

]

2x192.857 12

K 𝐿 = 7.443 ton/cm

2°) Centro de masas:

𝐂𝐌 (𝐗 𝟎 , 𝐘𝟎 ) X0 =

∑P. X ∑P

Y0 =

III - 36

∑P. Y ∑P

ANÁLISIS MATRICIAL SEUDOTRIDIMENSIONAL

X0 =

0. P1 + 6. P2 + 12. P3 + 0. P4 + 6. P5 + 12. P6 + 0. P7 + 6. P8 P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 + P7 + P8

Y0 =

0. P1 + 0. P2 + 0. P3 + 6. P4 + 6. P5 + 6. P6 + 12. P7 + 12. P8 P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 + P7 + P8

VALOR APRÓXIMADO: Centro geométrico del área en planta. X0 =

X0 =

∑A. X ∑A

;

(6x12)x3 + (6x6)x9 = 5m (6x12) + (6x6)

3°) Centro de rigidez:

XR =

Y0 =

Y0 =

∑A. Y ∑A

(6x12)x6 + (6x6)x3 = 5m (6x12) + (6x6)

𝐂𝐑(𝐗 𝐑 , 𝐘𝐑 )

∑K′𝑦 . X

YR =

∑K′𝑦

III - 37

∑K′𝑥 . 𝑌 ∑K′𝑥

XR =

YR =

K′ 𝐴 (0) + K′ 𝐵 (6) + K′ 𝐶 (12) K′ 𝐴 + K′ 𝐵 + K ′ 𝐶 K′ 1 (0) + K′ 2 (6) + K′ 3 (12) K′ 1 + K′ 2 + K ′ 3 ∴

= 5.211m

= 5.211m

CR ( 5.211 , 5.211 )

III - 38

ANÁLISIS MATRICIAL SEUDOTRIDIMENSIONAL

4°) Excentricidad:

𝐞

Excentricidad directa: ey = Y0 − YR = −0.211m

ex = X 0 − X R = −0.211m

Excentricidad accidental: eacc = ±0.05Dy = ±0.6m

eacc = ±0.05Dx = ±0.6m

Excentricidad real: Condición 1:

e = 1.5edir ± eacc

e1 = 1.5(−0.211) − 0.6 = −0.9165 m

Condición 2:

e1 = 1.5(−0.211) − 0.6 = −0.9165 m

e = edir ± eacc

e2 = −0.211 + 0.6 = 0.389 m 5°) Momentos torsores:

e2 = −0.211 + 0.6 = 0.389 m 𝐌𝐭

Dirección De Análisis: X

Dirección De Análisis: Y

III - 39

Condición 1: Mt1 = Fx . e1

Mt1 = Fy . e1

Mt2 = Fx . e2

Mt2 = Fy . e2

Condición 2:

I.

ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO 𝐕

6º) Cálculo del cortante basal: V=

ZUSC . PT R

⋯ (1)

Parámetros Sísmicos: Z = 0.4

(Lima)

U = 1.0

(Vivienda)

S = 1.0

(Suelo Rígido) ⇒ Tp = 0.40 seg

R = 6.0

(Sistema aporticado e irregular) T

C = 2.5 ( p),

C ≤ 2.5

T

Periodo fundamental de la estructura. hn = 3.50 m. T=

hn CT

C = 2.5 x (

CT = 35 T=

(Sistema Aporticado).

3.50 = 0.10 seg 35

0.4 ) = 10 > 2.5, 0.1

∴ 𝐶 = 2.5

Peso total del edificio: PT = 1

Ton x (6 x 6 x 3) = 108 ton m2

Reemplazando en (1): V=

0.4 x 1.0 x 2.5 x 1.0 x 108 = 0.167 (16.7%)PT 6 ∴ V = 18.04 ton.

III - 40

ANÁLISIS MATRICIAL SEUDOTRIDIMENSIONAL

Análisis en la dirección del sismo: X – X 7º) Cálculo del vector de fuerzas externas:

𝐅 ~

Para el sismo en X-X: CASO - 1:

F F ~ = ~directo

CASO - 2:

F F ~ = ~directo + Fcond.− 1

CASO - 3:

F F ~ = ~directo + Fcond.− 2 18.04

CASO 1:

F ~=

0 { 0 } (3 𝑥 1)

CASO 2: Mt1 = Fx . e1 Mt1 = 18.04 x (−91.65) Mt1 = −1653.366 ton − cm. 18.04 F ~=

0 {−1653.366} (3 𝑥 1)

CASO 3: Mt1 = Fx . e2 Mt1 = 18.04 x (38.9) Mt1 = 701.756 ton − cm. 18.04 F ~=

0 {701.756} (3 𝑥 1)

8º) Cálculo del vector desplazamiento:

𝐮 ~

𝐅 𝐤 𝐮 ~. ~= ~

III - 41

5.96087 x 10−1

cm

u −4 ~ = { −6.08960 x 10 } cm 2.88392 x 10−5 rad.

CASO 1:

cm

5.93444 x 10−1

u −3 ~ = { 2.03416 x 10 } cm −9.63338 x 10−5 rad.

CASO 2:

5.97209 x 10−1

cm

u −3 ~ = { −1.73081 x 10 } cm 8.19678 x 10−5 rad.

CASO 3:

cm u= { 2.03416 x 10−3 } cm ~ −9.63338 x 10−5 rad. 5.97209 x 10−1

∴

Se eligen los de mayor valor:

DESPLAZAMIENTO LATERAL:

∆u ≤ 7%o hi

NORMA: NTE - E030: Los desplazamientos obtenidos del análisis deberán ser corregidos por 3/4R. ∆u =

3 3 R ∗ u = x 6 x 5.97209 x 10−1 = 2.687 cm ≤ 7%o hi = 2.45 cm, 𝐍𝐎 𝐏𝐀𝐒𝐀! 4 4

Por lo que deberá reestructurarse (aumentar la rigidez en X-X) y recalcularse la estructura. 9º) Cálculo del desplazamiento de cada elemento:

𝛅𝐢

δi = u0 cosα + v0 senα + ri θ0 (α = 0°):

(α = 90°):

δi = u0 + ri θ0

δi = v0 + ri θ0

ELEMENTO

α

cosα

Senα

𝜹𝒊 (cm)

𝒓𝒊 (cm)

CASO 1

CASO 2

CASO 3

1

0°

1

0

500

0.610507

0.545277

0.638193

2

0°

1

0

-100

0.593203

0.603077

0.589012

III - 42

ANÁLISIS MATRICIAL SEUDOTRIDIMENSIONAL

3

0°

1

0

-700

0.575900

0.660878

0.539832

A

90°

0

1

-500

-0.015029

0.050201

-0.042715

B

90°

0

1

100

0.002275

-0.007599

0.006466

C

90°

0

1

700

0.019578

-0.065400

0.055647

10º) Cálculo de la fuerza cortante de cada elemento:

𝐕𝐢

𝐕𝐢 = 𝐊 𝐋𝐢 . 𝛅𝐢

𝛅𝐢 (cm)

𝐊 𝐋𝐢

𝐕𝐢 (ton)

ELEM. (ton/cm)

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 1

CASO 2

CASO 3

1

11.426

0.610507

0.545277

0.638193

6.976

6.230

7.292

2

11.426

0.593203

0.603077

0.589012

6.778

6.891

6.730

3

7.443

0.575900

0.660878

0.539832

4.286

4.919

4.018

A

11.426

-0.015029

0.050201

-0.042715

-0.172

0.574

-0.488

B

11.426

0.002275

-0.007599

0.006466

0.026

-0.087

0.074

C

7.443

0.019578

-0.065400

0.055647

0.146

-0.487

0.414

III - 43

Análisis en la dirección del sismo: Y – Y Se seguirá el mismo procedimiento y se obtendrán los mismos resultados que el de la dirección X-X.

II.

ANALISIS SÍSMICO DINÁMICO:

1º) Cálculo de la matriz de masas de la estructura: Para “n” pisos: M1

0

0

.

0

0

M2

0

.

0

M= 0 ~

0

M3

.

0

.

.

.

.

.

[0

0

0

.

Mn ]

mi

0

0

M𝑖 = [ 0 ~

mi

0]

0

0

Ji

Para el piso “i”:

III - 44

𝐌 ~

ANÁLISIS MATRICIAL SEUDOTRIDIMENSIONAL

Cálculo de m1 : Considerando el peso igual a 1 ton/m2 de área techada se tiene: w = (1 ton/𝑚2 )(6 ∗ 6) ∗ 3 = 108 ton m1 =

w 108 = = 0.11020408 ton. 𝑠𝑒𝑔2 /𝑐𝑚 g 980

Cálculo de J1 : (Momento polar de inercia) J′ = J̅ + m′ . d2 a2 + b2 J′ = ∑ m′i ∗ [ ] + ∑ m′i [(Xi − X 0 )2 + (Yi − Y0 )2 ] 12 Para el cálculo del momento polar de masas, es frecuente aproximarlo considerando

que

las

masas

de

cada

piso

están

aproximadamente

uniformemente distribuidas, y por consiguiente los momentos polares de inercia pueden determinarse a partir de las dimensiones del área de losa en planta, suponiendo que el radio de giro de las masas es el mismo que el de las áreas.

CM (X 0 , Y0 ) = (500 , 500) 𝑐𝑚

Área: A1

Área: A2

(X1 , Y1 ) = (300 , 600) cm m1′ =

(X 2 , Y2 ) = (900 , 300) cm

2 ∗ (0.1102040816) 3

m′2 =

m1′ = 0.073469387 ton. 𝑠𝑒𝑔2 /𝑐𝑚

1 ∗ (0.1102040816) 3

m′2 = 0.036734693 ton. 𝑠𝑒𝑔2 /𝑐𝑚

III - 45

a1 = 6m 600𝑐𝑚

a2 = 6m 600𝑐𝑚

b1 = 12m 120𝑐𝑚

b2 = 6m 600𝑐𝑚

J1′ = 14693.8774 ton. cm. seg 2 ∴

J2′ = 9551.0298 ton. cm. seg 2

J1 = J1′ + J2′ = 24244.89758 ton. cm. seg 2

Por lo tanto: 0.11020408

M=[ ~

0

0

0

0.11020408

0

0

0

]

24244.89758 (3 𝑥 3)

2º) Cálculo de la matriz de rigidez de la estructura: Piso j:

𝐤 ~

𝑃

k𝑗 = ∑ k 𝑖 ~ ~ 𝑖=1

p = Número total de elementos del piso “j” En donde para el elemento “i”: cos2 𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑠𝑒𝑛𝛼2

𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑟2

k (i) = 𝐾′𝐿 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛼 ~ [ 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝛼

] (3 𝑥 3)

𝑟𝑖𝑗 = (𝑥𝑖𝑗 − 𝑥𝐶𝑀𝑖 ). 𝑆𝑒𝑛𝛼 − (𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝐶𝑀𝑖 ). 𝐶𝑜𝑠𝛼 CM (x0 , y0 ) = (500 , 500) 𝑐𝑚 𝑲𝑳 (ton/cm)

(𝐱𝐢 , 𝐲𝐢) cm

α

𝐬𝐞𝐧α

𝐜𝐨𝐬α

𝐫𝐢 (cm)

Pórtico 1

11.426

(0,0)

00

0

1

500

Pórtico 2

11.426

(0,600)

00

0

1

-100

Pórtico 3

7.443

(0,1200)

00

0

1

-700

Pórtico A

11.426

(0,0)

900

1

0

-500

Pórtico B

11.426

(600,0)

900

1

0

100

Pórtico C

7.443

(1200,0)

900

1

0

700

Elemento

III - 46

ANÁLISIS MATRICIAL SEUDOTRIDIMENSIONAL

Elementos direccionados en X-X: (α = 00 )

(1)

k ~

1

0

500

= 11.426 [ 0

0

0

0

500

(2)

k ~

k ~

0

5713

0

0

0

250000

5713

0

2856500

11.426

0

−1142.6

0

0

0

−1142.6

0

114260

7.443

0

−5210.1

0

0

0

−5210.1

0

3647070

]=[

1

0

−100

= 11.426 [ 0

0

0

0

10000

−100

(3)

11.426

]=[

1

0

−700

= 7.443 [ 0

0

0

0

490000

−700

]=[

]

]

]

Elementos direccionados en Y-Y: (α = 900 )

(A)

k ~

0

0

= 11.426 [0

1

0

(B)

k ~

0

0

= 11.426 [0

1

k ~

0

= 7.443 [0

1

0

∴

0

k ~=[

0

0

−5713

2856500 0

11.426

1142.6 ]

0

1142.6

114260

0

0

0

700 ] = [0 490000

−5713 ]

0

100 ] = [0 10000

0

11.426

0

0

700

k k (i) ~ = ∑~

Ensamblando:

250000

100

0

0

−500 ] = [0

−500

0

(C)

0

5210.1 ]

7.443

0

5210.1

30.295

0

−639.7

0

30.295

639.7

−639.7

639.7

3647070

]

13235660 (3 𝑥 3)

3º) Cálculo de los periodos y formas de modo de vibración: De la ecuación dinámica:

k . ϕi = w2i . M . ϕi ~ ~ ~ ~

III - 47

Resolviendo: w1 = 16.546 rad/seg

, T1 = 0.380 seg

w2 = 16.580 rad/seg

2.1256386942 ϕ1 = {−2.1256432205}

,

, T2 = 0.279 seg

~

4.121741 x10−4 (3 𝑥 1)

2.1300344424 ϕ2 = {2.1300299253}

,

~

(3 𝑥 1)

0 −0.1367026874 w3 = 23.389 rad/seg

, T3 = 0.269seg

3

ϕ = { 0.1367026874 }

,

~

4º) Cálculo de los factores de participación modal:

6.4090486. 10−3 (3 𝑥 1) 𝐅𝐏𝐌𝐢

Recuérdense que al momento de desacoplar las ecuaciones de movimiento mediante la descomposición modal, estas ecuaciones se plantean por separado para cada dirección del sismo. Por consiguiente, se tomara en cuenta si el sismo es la dirección x en cuyo caso solo las ui contribuyen en el cálculo del FPMi y en el resto no contribuye, es decir vi = 0 y θi = 0 . O si el sismo es en la dirección y, sola las vi contribuyen y el resto no, esto es ui = 0 y θi = 0 .De igual forma para determinar el FPMi del efecto torsión solo θi contribuye el resto no. Para nuestro caso, como nuestro edificio es de un solo nivel

los factores de

participación modal serán: T

FPMi =

ϕi . m ~

~

T ϕi

~

ϕi .M ~.

~

i Las formas de modo ϕ han sido normalizadas de manera que el producto:

~

T

ϕi . M . ϕi = 1 ~

~

~

2

∑ mk . ϕi 𝑘 = 1.0 𝑛

∴

FPMi = ∑ mk . ϕi 𝑘 𝑘=1

III - 48

III - 49

3

2

1

MODO:i

4.1217 x 10

4

4.3794 x 10

1.1020 x 10−1 4

2

𝟐

−1

FPM3 =

SUMA=

6.4090 x 10−3

2.4245 x 104 1.0000

9.9588 x 10−1

2.0595 x 10−3

1.3670 x 10−1

1.1020 x 10−1

2

3

2.0595 x 10−3

−1.3670 x 10−1

1.1020 x 10−1

1.0000

4.6499 x 10

−15

5.0000 x 10−1

5.0000 x 10

1.0000

4.1189 x 10

−3

4.9794 x 10−1

4.9794 x 10−1

𝐦𝐤 𝛟𝐢𝐤

1

FPM2 =

SUMA=

2.4245 x 10

2.1300

1.1020 x 10

1

3

2.1300

−1

FPM1 =

SUMA=

−4

−10

−2.1256

1.1020 𝑥 10−1

2

2.4245 𝑥 10

2.1256

1.1020 x 10−1

1

3

𝛟𝐢𝐤

𝐦𝐤

k

−1.5065 x 10−2

−1.3670 x 10−1

2.3474 x 10−1

2.1300

2.3425 x 10−1

2.1256

𝐮𝐢

1.5065 x 10−2

1.3670 x 10−1

2.3474 x 10−1

2.1300

−2.3425 x 10−1

−2.1256

𝐯𝐢

−10

−4

1.5539 x 10 2

6.4090 x 10−3

1.0618 x 10−5

4.3794 x 10

9.9931

4.1217 x 10

𝛉𝐢

1

1

1

NIVEL

ANÁLISIS MATRICIAL SEUDOTRIDIMENSIONAL

FACTORES DE PARTICIPACIÓN MODAL DE LA ESTRUCTURA (FPMi )

5º) Cálculo de la aceleración espectral:

𝐒𝐚𝐢

NORMA: NTE E030 Sai =

ZUSC .g R

Parámetros Sísmicos: Z = 0.4 (Lima, Pueblo Libre) U = 1.0 (Vivienda) S = 1.0 (Suelo Rígido) → Tp = 0.40 seg R = 6.0 (Sistema aporticado e irregular) T

C = 2.5 ( p); T

C ≤ 2.5; Además: C/R ≥ 0.125

Para estructuras en general: Tomar:

R=R

: Para estructuras regulares

R=¾R

: Para estructuras irregulares.

T1 = 0.380 seg →

𝐶1 = 2.5

→

∴ Sa1 = 163.333 cm/seg 2

T2 = 0.319 seg →

𝐶2 = 2.5

→

∴ Sa2 = 163.333 cm/seg2

T3 = 0.269 seg →

𝐶3 = 2.5

→

∴ Sa3 = 163.333 cm/seg2

6º) Cálculo del vector desplazamiento:

𝒖 ~

Sa ui = FPMi . i . ∅i ~ wi 2 ~ Dirección del sismo: X-X MODO: 1 u1 = 2.3425 x 10−1 x

163.333 x (2.1256387) = 0.297 cm 16.5462

MODO: 2 u2 = 2.3424 10−1 x

163.333 x(2.1200344) = 0.297 cm 16.5802

MODO: 3 u3 = −1.5065 x 10−2 x

163.333 x (−0.1367026874) = 6.149 x 10−4 cm 23.3892

III - 50

ANÁLISIS MATRICIAL SEUDOTRIDIMENSIONAL

COMBINACIÓN MODAL: u = 0.25 ∑ ∣ u ∣ +0.75 √∑ ∣ u ∣2 ∑ ∣ u ∣ = 0.595 cm √∑ ∣ u ∣2 = 0.420 cm ∴ NORMA:

u = 0.464 cm ∆u ≤ 7%o hi

NTE - E030

Los desplazamientos obtenidos del análisis deberán ser corregidos por 3/4R. ∆u =

3 3 R. u = x 6 x 0.464 = 2.088 cm 4 4

≤

0.007 x 350 = 2.45 cm,

𝐎𝐊!

Dirección del sismo: Y – Y MODO: 1 v1 = −2.3425 x 10−1 x

163.333 x (−2.1256472205) = 0.297 cm 16.5462

MODO: 2 v 2 = 2.3474 x 10−1 x

163.333 x (2.130029925) = 0.297 cm 16.5802

MODO: 3 v 3 = 1.5065 x 10−2 x

163.333 x (0.1367026874) = 6.149 x 10−4 cm 23.3892

COMBINACIÓN MODAL: v = 0.25 ∑ ∣ v ∣ +0.75 √∑ ∣ v ∣2 ∑ ∣ v ∣ = 0.595 cm √∑ ∣ v ∣2 = 0.420 cm ∴ NORMA: ∆u =

v = 0.464 cm

NTE – E030

3 3 R ∗ v = x 6 x 0.464 = 2.088 cm 4 4

≤

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0.007 x 350 = 2.45 cm,

𝐎𝐊!

EFECTO DE TORSIÓN

MODO: 1 θ1 = 9.9931 x

163.333 x (4.121741 x 10−4 ) = 2.4648 x 10−3 rad. 16.5462

MODO: 2 θ2 = 1.0618 x 10−5 x

163.333 x (0) = 0 rad. 16.5302

MODO: 3 θ3 = 1.5539 x 102 x

163.333 x (6.4050486 x 10−3 ) = 2.9824 x 10−1 rad. 23.3892

COMBINACIÓN MODAL: θ = 0.25 ∑ ∣ θ ∣ +0.75 √∑ ∣ θ ∣2 ∑ ∣ θ ∣ = 3.007048 x 10−1 rad. √∑ ∣ θ ∣2 = 2.982501 x 10−1 rad. ∴ θ = 2.988638 x 10−1 rad. POR LO TANTO:

u ~=

0.464

cm

0.464

cm

{2.988638 x 10−1 } rad

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