Sintonizacion de Un Controlador Pid
6. SINTONIZACION DE UN CONTROLADOR PID A continuación mostraremos el diagrama de bloques en simulink, el cual nos propo
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6. SINTONIZACION DE UN CONTROLADOR PID
A continuación mostraremos el diagrama de bloques en simulink, el cual nos proporciona una gráfica de reacción de nuestro sistema en lazo abierto, de la gráfica que podemos observar tomamos la siguiente información:
De nuestra grafica de reacción ∆Y=5, Tao = 0.63 * 5 = 3.15, K=5, L=0.09 Constante de proporcionalidad Integral Ti=2*L = 0.18 Derivativa Td=0.5*L= 0.045
El control PID obtenido es:
( )
Para obtener la curva de reaccion utilizamos el siguiente codigo en matlab: s= tf('s'); G=1000/ (s^3+50*s^2+600*s+1000); figure(1),step(5*G,0:0.1:10)
Curva de reaccion
El siguiente modelo de bloques en simulink representa el sistema PID con limitación de acción derivativa, en el cual podemos visualizar la señal del esfuerzo de control y la señal que obtenemos después de usar el control PID:
Y su curva de esfuerzo es:
La respuesta final del sistema es la siguiente controlado por el PID es:
PID con acción derivativa sobre la señal: De igual manera presentamos los bloques de nuestro sistema en simulink para el PID con acción derivativa sobre la señal:
Y su curva de esfuerzo es:
La respuesta final del sistema es la siguiente controlado por el PID es:
De las gráficas anteriores podemos concluir que los controladores PID con la acción derivativa son más sensibles al ruido, y que el PID con limitación de la acción derivativa puede evitar que se alcance al valor deseado debido a la acción de control.
7. Diseñar un controlador por realimentación de estado que incluya un observador. El control robusto por realimentación de estados con acción integral necesita gran cantidad de sensores e instrumentación para todos los estados de la planta. Por lo tanto una solución óptima es diseñar un observador de estados.
Los observadores de estado, son herramientas virtuales, que permiten estimar las variables o estados de un sistema en base a mediciones de las señales de salida y señales de control. Estos observadores permiten enviar información estimada acerca del valor que toman dichos estados, permitiendo conocer una aproximación del valor real, además cuentan con muy poco margen de diferencia o error. También se debe recordar que nuestro estados a observan son la corriente y la velocidad.
El diagrama de un observado es:
Lo primero que debemos hacer es comprobar si el sistema es observable, para esto utilizamos la siguiente matriz: Mo=[
] y calculamos su determinante. Si el determinante
es diferente de 0 el sistema es observable.
[
]
[
]
Al multiplicar la matriz C*A y C*A^2 obtenemos:
Y
Entonces nuestra matriz de observabilidad es:
[
]
Verificamos si la matriz Mo tiene n filas linealmente independientes, o que Mo sea invertible, lo hacemos por medio de su determinante en este caso el determinante de nuestra matriz de observabilidad es
(
)
. Esto indica que el sistema es
observable y que por lo tanto podremos diseñar un observador de estados.
Verificamos que el rango de la matriz de observabilidad del sistema sea igual a la dimensión del mismo, en este caso el rango es igual a 3, este cálculo se realizó en matlab con la función rank.
Para el cálculo de L utilizamos matlab donde ingresamos los siguientes parámetros: xita = 0.45, wn = 5.92. Estos valores los escogimos teniendo en cuenta que son aquellos con los que hemos venido trabajando. xita = 0.45; wn = 5.92; sigma = xita*wn; wd = wn*sqrt(1-xita^2); P = [-sigma + i*wd -sigma - i*wd -35];
Con este código podemos encontrar la ubicación deseada de los polos del observador, en este caso obtenemos:
Con el valor de los polos del observador podemos calcular el valor de L. L = place(A',C',P)'
[
]
Ahora procedemos es calcular el valor de de (
)
[
]
Los autovalores de la matriz (A - LC) los calculamos con la función eig en matlab. En nuestro caso tenemos el siguiente resultado: (
)
[
]
Podemos observar que todos los autovalores de la matriz (A - LC) tienen parte real negativa, entonces el error de estimación decrecería asintóticamente a cero.
Ordenamos el controlador:
En simulink modelamos la planta junto con el observador:
El bloque de la palnta contine:
Y el observador es:
Notemos que el observador de estado anterior es como el descrito en teoría puesto que posee por la entrada 1 la realimentación para corregir el error de estimación.
Ahora estudiaremos la comparación entre las señales de los estados reales y los estados observados, esto es el error de estimación del observador.