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• Filiberto Tlalpa Valdez

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Controlador PID Un controlador PID (proporcional integral y derivativo) es un sistema de control que mediante un elemento final de control (actuador), es capaz de mantener una variable o proceso en un punto deseado dentro del rango de medición del sensor que la mide. Es un modelo métodos de control más frecuentes y precisos dentro de la regulación automática. El controlador lee una señal externa que representa el valor que se desea alcanzar. Esta señal alcanza el nombre de punto de consigna (o punto de referencia), la cual es de la misma naturaleza y tiene el mismo rango de valores que la señal qu proporciona el sensor. Para hacer posible esta compatibilidad y que a su vez la señal pueda ser entendida, habrá que establecer algún tipo de interfaz. El controlador reta la señal de punto actual a la señal de punto de referencia, obteniendo asi la señal de error, que determina en cada instante la diferencia que hay entre el valor deseado y el valor medido. La señal de error es utilizada por cada una de las 3 componentes de un controlador PID para generar las 3 señales, que sumadas componen la señal que el controlador va a utilizar para gobernar el actuador. La señal resultante de la suma de estas tres señales, se llama variable manipula y no se aplica directamente sobre el actuador, sino que debe ser transformada para ser compatible con el actuador que usemos.

Las tres componentes de un controlador PID son: Acción proporcional, acción integral y acción derivativa. El peso de la influencia que cada una de estas partes tiene en la suma final viene dado por la constante proporcional, el tiempo integral y el tiempo derivativo respectivamente. Acción proporcional. Estabiliza la oscilación natural de la variable controlada. Elimina además el grado de inestabilidad introducido por las acciones integral y derivativa. Una ventaja de esta estrategia de control, es que solo requiere del cálculo de un parámetro (ganacia K) y además genera una respuesta bastante instantánea. Sin embargo, el controlador proporcional posee una característica indeseable, que se conoce como error en estado estacionario (OFFSET). ( )

̅

( )

( )

( )

Dónde: m(t) Salida de control e(t) Señal de error (diferencia entre el punto de ajuste y la variable controlada)

Kc Ganancia del controlador ̅ Valor de estado estacionario (salida del controlador cuando el error es cero) SP Punto de ajuste VP(t) Variable controlada Acción Integral. Proporciona una corrección o reajuste para compensar las variaciones de carga y mantener la variable controlada sobre el punto de consigna. Es una respuesta proporcional a la integral del error. Esta acción elimina el offset, pero se obtiene una mayor desviación del set point, la respuesta es más lenta y el periodo de oscilación es mayor que en el caso de la acción proporcional. En este tipo de control la salida m(t) del controlador , es proporcional a la integral del error e(t): ( )

∫ ( )

Donde: m(t) Es la señal de salida del controlador e(t) Es la señal de error Ki es la constante, llamada “Ganancia integral” Acción Derivativa. Anticipa el efecto de la proporcional con el fin de estabilizar más rápidamente la variable controlada después de cualquier cambio en el proceso. La acción derivativa de una respuesta proporcional a la derivada del error (velocidad de cambio del error). Añadiendo esta acción de control a las anteriores, se elimina el exceso de oscilaciones. No elimina el offset. Se manifiesta cuando hay un cambio en el valor absoluto del error, (si el error es constante, solamente actúan los modos proporcional e integral). En este tipo de control, la salida m(t) del controlador, es proporcional a la derivada del error e(t): ( ) Dónde: m(t) Es la señal de salida del controlador e(t) Es la señal de error Kd es una constante, llamada “Ganancia derivada”

( )

Acción de control proporcional integral derivativa: Esta acción combinada reúne las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales . La ecuación de un controlador con esta acción combina da se obtiene mediante: ( )

( )

∫ ( )

( )

7.4. Modificación de la señal de control para mejorar el comportamiento del sistema: Acciones básicas de control En cualquier sistema de control cuya estructura es la reflejada en la Figura 7.1 existe una señal de control que el controlador tendrá que generar a partir de la señal de error. En un primer paso el ingeniero de control tratará de solucionar el problema de diseño mediante la utilización de acciones de control sencillas. Pero, a menudo, no es suficiente la acción correctora utilizada y se hace necesaria la introducción de controladores complejos. En el Capítulo 10 se estudiarán más en detalle tanto las acciones básicas de control (acciones proporcional, derivativa e integral) como otras más complejas. 7.4.1. Acción proporcional En un principio, por simplicidad, se considera la acción de control más sencilla de todas: el Control Proporcional (P) (Figura 7.5 ), en el que el controlador es simplemente una ganancia que únicamente amplifica o atenúa la señal de error para generar la señal de control según la ecuación:

Figura 7.5: Diagrama de bloques de un control proporcional

siendo K la ganancia proporcional del controlador P y GK(s) la función de transferencia del bloque correspondiente, en este caso una constante. En el Apéndice 1. Operaciones básicas con

amplificadores operacionales se puede ver un circuito electrónico sencillo que permite implementar el subsistema Controlador Proporcional. Si las funciones de transferencia de la planta y realimentación se descomponen de la forma:

la función de transferencia del sistema en lazo cerrado con control P queda: (7.1 )

En la Figura 7.6 se presenta en la primera gráfica la salida de un sistema de control con control proporcional. Se pueden obtener de su estudio las siguientes conclusiones:  





El sistema presenta un rebose elevado, que se puede atribuir a que en el intervalo [0,t1] la señal de error es positiva y demasiado grande. En el intervalo [t1,t2] la señal de error es ya negativa. Por tanto, la señal de control también lo es, implicando una acción correctora del sistema a la tendencia original del mismo. De todas formas, es evidente que la acción no es del todo suficiente, pues no corrige el excesivo rebose. En el intervalo [t2,t3] la señal de error sigue siendo negativa y ya hace que la salida disminuya. Observando el “rebose” hacia abajo se puede deducir que la acción correctora ha sido excesiva. Apartir de t = t3 se repite el razonamiento anterior.

En definitiva se puede concluir que los factores que contribuyen al elevado rebose producido son:  

La señal de control en el intervalo [0,t1] es demasiado grande. En el intervalo [t2,t3] es inadecuada la señal de control negativa.

Por todo lo anterior una primera solución para reducir el rebose consistiría en disminuir la señal actuante en el intervalo [0,t1] y aumentarla en [t2,t3]. Observando la forma de la señal derivada del error (Figura 7.6) se deduce que si la señal de control tiene una componente proporcional a dicha señal, se puede conseguir el efecto deseado de reducir el rebose. En resumen, las características del control P son:  

Ante cambios bruscos en la señal de salida o referencia produce cambios también bruscos en la señal de control, que es la que recibe el sistema a controlar. Una señal de error grande produce una señal de control grande, que puede ser peligroso al ser la entrada al sistema.

 

Generalmente, valores elevados de la constante proporcional genera salidas oscilatorias. No corrige una señal de error no nula en el permanente.

7.4.2. Acción derivativa

Teniendo en cuenta las características de la señal de error y de su derivada estudiadas en la sección anterior, si a la acción de control del regulador proporcional se le añade una acción que derive la señal de error (Figura 7.7) se obtiene el controlador proporcional-derivativo (PD).

Figura 7.7: Diagrama de bloques de un sistema con control proporcional-derivativo (PD)

La ecuación que rige su funcionamiento del controlador PD es:

donde K es la ganancia de la acción proporcional, Td=Kd∕K la constante de tiempo de la acción derivativa, o constante derivativa, y GPD(s) la función de transferencia del bloque de control correspondiente. En el Apéndice 1. Operaciones básicas con amplificadores operacionales se pueden ver dos circuitos electrónicos que implementan el subsistema Controlador PD. La función de transferencia del sistema en lazo cerrado con control PD queda: (7.2) Se observa que, al igual que con el control P (7.1), no se modifica el orden del sistema en lazo cerrado1, pero en este caso sí el exceso polo-cero, dado que el control PD introduce un cero en lazo cerrado (s=-1∕Td).

Observando la forma de la señal de error y de su derivada de la Figura 7.6 se puede concluir que:  

En el intervalo [0,t1] la señal derivada del error es negativa y, por tanto, se reducirá la señal positiva debida únicamente a la señal de error. En el intervalo [t1,t2] tanto la señal de error como su derivada son negativa y, por tanto, la señal de control resultante será mayor que en el caso proporcional.

En consecuencia, el rebose resultante con la aplicación del control PD será inferior al del control P, aunque en contrapartida, generalmente, será a costa de una velocidad de respuesta inferior, esto es, de unos tiempos de subida, retardo y, muchas veces, de pico superiores. De todo el razonamiento anterior se puede concluir que la acción derivativa le da un carácter anticipativo al control. Cuando la salida del sistema presenta una pendiente pronunciada es de prever que el rebose será grande. El controlador lo detecta al calcular la derivada de la señal de error y actúa en consecuencia. Como inconveniente del control PD se observa que si la señal de error fuese constante (se trataría de un sistema con error estacionario no nulo en lazo cerrado), dado que el segundo término de la señal de control es proporcional a la derivada de la señal de error, la acción de control no se modificaría con respecto a la generada por un controlador P y, por lo tanto, el sistema no sería capaz de detectar el error y corregirlo mediante una acción correctora adecuada (al igual que ocurre con el control P). En este sentido, supongamos que un sistema como el de la Figura 7.5 presenta un error en el permanente como se observa en la Figura 7.8, que en definitiva quiere decir que no tiene ganancia

unitaria (GLC(0)≠ 1).

Señales de salida y error de un sistema con ganancia no unitaria en lazo cerrado

Es evidente que el sistema en lazo cerrado no es capaz de seguir a la referencia, o lo que es lo mismo, la señal de control no es adecuada para que la de salida sea la deseada. Observando la estructura del sistema en lazo cerrado (Figura 7.5) se puede deducir el siguiente razonamiento:

Si se aplica un control PD a este sistema, se observa que al ser constante la señal de error en el estacionario (t→∞) la señal de control permanece inalterable, esto es, el controlador no detecta el error:

Por tanto, es evidente que será necesario añadir algún tipo de acción nueva en la señal de control para que se detecte un error constante y el controlador lo corrija. En resumen, las características del control PD son:         

El valor de constante o tiempo derivativo determina la mayor o menor importancia de la acción derivativa del control. Ante cambios bruscos en la señal de salida o referencia produce cambios muy bruscos de amplitud en la señal de control, que es la que recibe el sistema a controlar. La acción derivativa se opone a las desviaciones respecto del valor de la señal de referencia. Es un tipo de control de anticipación. No corrige una señal de error no nula en el permanente. Mejora el amortiguamiento y reduce el rebose. Reduce, en general, el tiempo de establecimiento. No es recomendable para sistemas con pequeño amortiguamiento o inicialmente inestables. Si se implementa analógicamente ( Apéndice 1. Operaciones básicas con amplificadores operacionales), puede requerir un capacitor muy grande. Amplifica las señales de ruido de alta frecuencia.

7.4.3. Acción integral Si a la acción de control del regulador proporcional se le añade una acción que integre la señal de error se obtiene el controlador Proporcional-Integral (PI) (Figura 7.9). De esta forma se consigue evitar el problema que aparecía con el control PD dado que al integrar la señal de error, si ésta es constante la acción correctora aumenta hasta corregir el error. Así, se consigue aunar la regulación lo suficientemente rápida que proporciona el control Proporcional, con la precisión en el estacionario del control Integral. La ecuación dinámica y la función de transferencia del controlador PI es:

donde K es la ganancia de la acción proporcional, y Ti=K∕Ki la constante de tiempo de la acción integral o constante integral.

Figura 7.9: Diagrama de bloques del controlproporcional-integral (PI) En el Apéndice 1. Operaciones básicas con amplificadores operacionales se pueden ver dos circuitos electrónicos que implementan el subsistema Controlador PI. La función de transferencia del sistema en lazo cerrado con control PI es: (7.3) Se observa que, comparando con el control P (7.1), se modifica el orden del sistema (se aumenta en una unidad) y se introduce un cero (s=-1∕Ti) en la función de transferencia en lazo cerrado, quedando por ello inalterable el exceso polo-cero. Este aumento de orden es un inconveniente dado que, generalmente, supone un aumento de la inestabilidad (pudiendo, incluso, llegar a ser inestable el sistema en lazo cerrado). Finalmente, se pueden condensar las características de la acción proporcional-integral en el siguiente listado: 

Permite eliminar errores en régimen permanente mientras se mantenga la desviación de la señal de salida.



La acción integral tiene un efecto acumulativo y según pasa el tiempo y persiste la desviación va actualizándose. En los instantes iniciales es la acción proporcional la que actúa en mayor medida. El valor de la constante o tiempo integral determina la mayor o menor importancia de la acción de control integral. Valores pequeños de la constante Ti genera, habitualmente, salidas oscilatorias. Filtra el ruido de alta frecuencia. En el caso de implementarlo analógicamente ( Apéndice 1. Operaciones básicas con amplificadores operacionales), el problema de seleccionar una combinación adecuada de las constantes integral y proporcional para que el capacitor del controlador no sea excesivamente grande, es más complejo que en el caso del controlador PD.



 

Acción tacométrica En ocasiones es complejo el acceso a la derivada de la señal de error o, simplemente, no es apropiado su uso cuando se producen cambios bruscos en la señal de entrada (habitual, por otra

parte, cuando la referencia es la señal escalón). En estos casos, la utilización de la derivada para mejorar el amortiguamiento del sistema en lazo cerrado puede aplicarse a la señal de salida en vez de a la de error (Figura 7.10), obteniéndose un efecto similar al logrado con el controlador PD en la cadena directa (sección 7.4.2). Este tipo de estrategia se conoce como control tacométrico. La función de transferencia del sistema en lazo cerrado con control tacométrico es:

(7.4) Comparándola con la función de transferencia en lazo cerrado con control PD (7.2) se observa que son idénticas excepto en que el control PD introduce un cero (s=-1∕Td), lo que no hace el control tacométrico. Teniendo en cuenta lo estudiado en la sección referente al sistema de segundo orden con cero adicional del capítulo anterior, se llega a la conclusión de que el control tacométrico produce en la salida del sistema un rebose inferior (amortiguamiento mayor) que el control PD (por la presencia del cero adicional en el control PD), así como una velocidad de respuesta menor (mayores tiempo de subida, retardo y generalmente de pico).

Figura 7.10: Diagrama de bloques del control tacométrico

Control PID

Si se reúnen las tres acciones básicas de control, esto es, se genera la señal de control a partir de una combinación lineal de la señal de error, su derivada y su integral, se obtiene el controlador más general, el Proporcional-Integral-Derivativo (PID). Este tipo de controlador consigue la rapidez de respuesta causada por la acción proporcional, la reducción del rebose por la acción derivativa y la anulación del error estacionario por la parte integral. La ecuación diferencial y la función de transferencia del controlador PID es:

donde K es la ganancia proporcional, y Td=Kd∕K y Ti=K∕Ki las constantes de tiempo de la acción derivativa e integral, respectivamente. La función de transferencia en lazo cerrado con este controlador es:

En el Apéndice 1. Operaciones básicas con amplificadores operacionales se puede ver un ejemplo de circuito electrónico que implementa el Controlador PID. Las características del controlador PID son un compedio de las del PD y PI, y se pueden resumir en:   

Reune las ventajas y desventajas de los controladores PD y PI. El valor de las constantes de tiempo integral y derivativa determinan la importancia de las acciones integral y derivativa, respectivamente. Valores bajos de la constante de tiempo integral (Ti) dan lugar generalmente a salidas oscilatorias. El mismo efecto se produce con valores altos de la constante de tiempo derivativa (Td).

Sin embargo, se observa que los controladores PID estudiados (son ideales) dan lugar a ciertos problemas de estabilidad, sensibilidad, excesivo ancho de banda en algunos casos, etc. y, por ello, será necesario en muchos casos modificarlos, suavizando sus efectos ( Apéndice 2. Modificaciones al control PID).