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• Roberto Madero del Castillo

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TRILCE

Capítulo

8

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UNA VARIABLE

*

DEFINICIÓN: Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una variable; las cuales se verifican para todo valor de la variable en que la razón trigonométrica que interviene se encuentra definida.

*

CLASIFICACIÓN: I. I. T. RECÍPROCAS:

1 ;  x  R  {n ; n  Z} Senx   CosxSecx  1  Secx  1 ;  x  R  (2n  1)  ; n  Z Cosx 2   SenxCscx  1  Cscx 

TanxCotx  1  Cotx 

1 ;  x  R   n ; n  Z   Tanx 2 

II. I. T. POR DIVISIÓN:

  Tanx  Senx ;  x  R  (2n  1)  ; n  Z  Cosx 2  

Cotx  Cosx ;  x  R  {n ; n  Z} Senx

III. I. T. PITÁGORAS:

Sen 2x  1  Cos 2x  Sen 2x  Cos 2x  1 ; x  R  Cos 2x  1  Sen 2x 2 2    Sec x  Tan x  1 Sec 2x  Tan 2x  1 ; x  R  (2n  1)  ; n  Z   2   Tan 2x  Sec 2x  1  Csc 2x  Cot 2x  1  Csc 2x  Cot 2x  1 ; x  R  n ; n  Z  Cot 2x  Csc 2x  1

83

Trigonometría

IV. I. T. AUXILIARES:

  1. Tanx  Cotx  SecxCscx ; x  R   n ; n  Z  2  2. Sec 2x  Csc 2x  Sec 2xCsc 2x ; x  R   n ; n  Z   2  3. Sen 4 x  Cos 4 x  1  2Sen 2xCos 2 x ; x  R 4. Sen6 x  Cos 6 x  1  3Sen 2xCos 2 x ; x  R 5. (1  Senx  Cosx )2  2(1  Senx)(1Cosx) ; x  R 6. Si : aSenx  bCosx  c  c  a 2  b 2 Entonces : Senx  a  Cosx  b c c 7. Si :   Secx  Tanx  n  Secx  Tanx  1 ; x  R  (2n  1)  ; n  Z  n 2   8. Si : Cscx  Cotx  m  Cscx  Cotx  1 ; x  R  n ; n  Z m

84

TRILCE

EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Reducir:

Sen 4 x  Cos 4 x  1 10. Simplificar: E  Sen 6 x  Cos 6  1

E = (1+Cosx)(Cscx-Ctgx) a) 1 d) Secx

b) Senx e) Cscx

c) Cosx a) 5/3 d) 3/4

Senx  Cosx  Tgx 02. Simplificar: E  Cscx Secx Ctgx

a) 1 d) Secx

b) Sec 2x e) Cscx

b) -1 e) 1/3

c) 2/3

4 4 6 6 11. Reducir: E  3(Sen x  Cos x)  2(Sen x  Cos x)

a) 0 d) 2

c) Csc 2x

b) 1 e) -2

c) -1

12. Eliminar "x" a partir de: Senx = m, Cosx = n 2

03. Simplificar: E  a) 1 d) -2

(Senx  Cosx )  1 Senx.Cosx

b) -1 e) 0

04. Determinar "k" en:

c) 2

Cosx  Cosx  2 1  Senx 1  Senx k

a) Cos 2x

b) SenxCosx c) Senx

d) Cosx

e) Sen 2x

a) m 2  n2  1

2 2 b) m  n  5

c) m 2  n 2  3 e) N.A.

2 2 d) m  n  7

13. Si: Senx+Cosx = m Calcular: E = (1+Senx)(1+Cosx)

a)

1  m2 2

d)

(1  m)2 e) 1+m 2

05. Reducir: E  [Tgx (Ctgx  1)  Ctgx (1  Tgx )]Senx a) 1 d) Tgx

b) Ctgx e) Secx

06. Simplificar: E 

b) 2Secx

d) 2Sec 2x

e) 2Csc 2x

07. Simplificar: E  a) Secx d) Ctgx

08. Simplificar: E  a) Senx d) Tgx 09. Reducir: E  a) 1 d) Secx

a) 3 d)

c) 2Cscx

b) Cosx e) Ctgx

(1  m)2 2

15

e)

c)

11

17

b) Senx e) Cscx

c) Cosx

16. Determinar "x" para que la igualdad:

1 1 1 1    Cos 2 Tan 2 Cot 2 x Sea una identidad (x  IC)

a) Sen 2 d) Secx

b) Cos 2 e) Cscx

c) Tan 2

c) 1 17. Reducir: E 

Secx.Cscx  Ctgx Senx b) Senx e) Cscx

b) 9

a) 1 d) Secx

c) Cscx

1  2SenxCosx  Senx Senx

c)

15. Reducir: E = (Tgx+Ctgx)Cosx

1  Tgx Secx  Tgx

b) Cosx e) 2Tgx

1  m2 2

14. Si: Tgx+Ctgx = 3 Calcular: E = Secx+Cscx

c) Cosx

1 1  1  Cosx 1  Cosx

a) 2

b)

a) Senx d) Tgx

Cosx  Tgx 1  Senx b) Cscx e) Ctgx

c) Secx

c) Cosx

85

Trigonometría

18. Si la igualdad es una identidad Calcular: M+N

Cscx  Ctgx Cscx  Ctgx   M  4 Ctg N x Cscx  Ctgx Cscx  Ctgx a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

1  Senx  A 1  Senx Cscx  1 a) Sen 2x

b) Cos 2x

2 d) Ctg x

e) Sec 2x

2 c) Tg x

a) 1

b) Sen2xCos 2x

c) Sen 2x

d) Cos 2x

2 2 b) a  b  3

c) a 2  b 2  4

d) a 2  b 2  4

e) a 2  b 2  8

7 6

Calcular :

C = Senx Cosx

1 6 1 e) 9 b)

a) 1 b) Tan 2x d) SenxCosx

1 3 2 d) 9 a)

2 2 a) a  b  3

21. Si: Senx  Cosx 

26. Simplificar: C = (Secx Cscx - Cotx) (Secx Cscx - Tanx)

c)

1 14

b) 12 e) 36

2 a) n(m  1)  2

2 b) m(n  1)  2

2 c) n(m  1)  1

2 2 d) n (m  1)  4

2 2 e) n (m  1)  2

29. Demostrar las siguientes igualdades: 1.1 Senx Cotx + Cosx Tanx = Senx + Cosx

(1  Cos 2x)  1

c) 16

C  SenxTanx  Cosx CosxCotx  Senx b) Tanx

d) Tan 2x

e) Cot 2x

C

c) Cotx

2

2

1.4  Senx  Cosx    Senx  Cosx   1  Tanx  1   Cotx  1  3 1.5 Senx  Sen x  Cotx Cosx  Cos 3x

30. Reducir: W  3 Secx  Cosx Cscx  Senx

Cotx 2 d) Tanx a)

b) Secx

c) Cscx

e) Senx

Sen 4 x  Cos 4 x Senx  Cosx

a) 1 b) Senx d) Senx + Cosx

c) Cosx e) Senx - Cosx

31. Si: Sen 2a  Cos 2a  1 2 Entonces : Tana + Cota es:

a)

86

1 9

1.3 (Sec 2x  1)(1  Sen2x)  (Csc 2x  1)

a) 1

24. Reducir:

c)

1.2 Sen2xCotx  Cos 2xTanx  2SenxCosx

C  Sec 2x  Csc 2x

23. Simplificar:

2 3 4 e) 9 b)

28. Eliminar "x" de: Senx + Cosx = m ; Tanx + Cotx = n

22. Si: Tanx  Cotx  3 2 Calcular:

a) 9 d) 18

c) Cot 2x e) Secx Cscx

7 27. Si: Sen 4 x  Cos 4 x  9 Calcular: C  Sen6 x  Cos 6x

20. Eliminar "x" a partir de: Tgx + Ctgx = a Tgx - Ctgx = b

1 7 1 d) 12

C  (1  Tan2x)Cos 4 x  (1  Cot 2x)Sen4 x

e) 2

19. Hallar A en la siguiente identidad:

a)

25. Simplificar:

10 3

b)

4 3 3

c)

13 2 10

TRILCE

d)

3 3 4

e)

a) 13 d) 16

2 10 13

32. Si:

(1  Senx  Cosx)2  A(1  Senx)(1  Cosx) Calcular: "A" a) 1 d)  2

b) 2 e) 4

d)

E  SenCos , es: 1 4 3 d) 4

1 8 1 e) 2 b)

b) 2 3

2 3 3

c)

a) SenxCosx c) - 3SenxCosx e) 3

Tann x  Cot n x

E

a) 2 d) 16

e)

Tan nx Cot n x

b) 4 e) 32

c) 8

42. Si: Senx  Cosy = 0,5 Hallar : P  Cos 2x  Cos 2y  Cosy

5 4 3 d) 2 a)

d)  3

Tanx  Cotx

Siendo "n" potencia de 2; entonces el valor de E 2 es :

  2  , es : Tan  1   Tan   Cot    b) 1

y n n  Tan x  Cot x

3 3 2

 35. Si: Sen   Cos 4 Entonces el valor de:

a)  1

b) 3SenxCosx d) - 3

41. Si: Tanx + Cotx = 2

3 3

e)

3 8

C  (Sen6 x  Cos6 x  1)(Tanx  Cotx)

e)  2

a) 3 3

c)

40. Reducir:

c)  2

5 34. Si: Sena  Csca  2 Calcular : E = Cota + Cosa

d)

1  2Cos 2  1 Sen  Cos 2 Entonces el valor de:

39. Si:

a)

b) 2

2

c) 22

c)  1

33. Hallar el valor numérico de la expresión: T = (Tan35º + Tan55º) (Sen35º + Sen55º + 1) (Cos35º + Cos55º - 1) a) 1

b) 14 e) 15

c)

3

3 3

3 4 1 e) 4 b)

c)

1 2

43. Calcular: Tan

36. Calcular:

Cos 2 A  Sen 2B Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios a)  1

1 b)  2

1 d) 2

e) 1

ab ; a  b Si: aCos 4   bSen 4   ab a)

c) 0

a b

a d)  b

b)

b a

a c)  b

e) ab

44. Dado:

1  2 Tanx 

2 2 4 4 37. Si: f (Tan x  Cot x)  Sec x  Csc x Calcular: f (2) + f (3)

a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 22

38. Si: Sec 2x  Csc 2x  7 Calcular: 2

2Secy

1  2 Tany  2 Secx Calcular: E = Secx + Secy

2

2

a)

2 2

b)

2 1

d)

2 3

e)

2 1

c)

3 2 2

2

C  (Sec x  Tan x)(Csc x  Cot x)

87

Trigonometría

45. El valor de "E" en la identidad:

Sen 3  ECos 2  Sen

  ;      , es : 2 2  a) Sen 2

b) Cos 2

d) Cos 

e) Sen

b)

2

d) 2

e)

5

c) Sen  Cos 

c)

3

n 47. Si: Tana  m Entonces: n (2Cosa + Seca) - 2mSena Es igual a: a) mCosa d) nSeca

b) mSeca e) nCosa

c) mn

a2  2

d)  a

b)  a 2  2 c) e)  a

n2 n 1 n2 e) n 1 b)

c)

n 1 n2

2Secx

2 3

b)  2 Secx d)

b)

5

e)

3 3

2Cosx

51. Si: P, Q y R son constantes que satisfacen la relación: 1 1 P  QTanR x   1  Senx Cscx  1 Calcular: P . Q . R

c) 

3 3

53. Calcular el mínimo valor de:

E  Sec 4 x  Csc 4 x a) 6 d) 10

b) 4 e) 12

c) 8

54. Hallar: y = Senx Cosx Si:Tanx - Senx = 1 a)  1  2

2 1

b) 1  2 e)

c) 1  2

2

55. Sabiendo que  es un ángulo agudo el cual satisface la ecuación: Ctg   Csc  5 Determine el valor de la expresión : 24 Tg   26 Sen 

b) 20 5 e) 13

c) 15

56. Siendo: Tanx  Cotx  2 Calcular:

C  Sen 4 x  Tan 2 x  Cos 4 xCot 2x 5 3

7 3 4 e) 3 b)

c) 2

57. Siendo: Senx + Cosx = n Hallar: C  Secx  Tanx  1  Cscx  Cotx  1 Secx  Tanx  1 Cscx  Cotx  1

e)  2Cosx

88

3

d) 3

3 K  1  Cosx  1  Cosx ;   x  2 1  Senx 1  Senx

c)

d)

a)

50. Simplificar la expresión:

a)  2

a)

a) 10 5 d) 12

3 3 Hallar: C  Sen x  Cos x (Senx  Cosx )3

n 1 n2 n2 d) n 1

Calcular: C  Sen  Cos

a

49. Si: Sec 2x  nTanx

a)

c) 4

   7 y Sen 4   Cos 4   4 2 9

d)

48. Si : a 2  Cos 2x  Sec 2x  2 Encontrar el valor de: C = Senx Tanx + 2Cosx a)

b) 2 e) 12

52. Si:

46. Hallar el valor de "B" sabiendo que: TanA  Sen  Cos Sen  Cos BSenA  Sen - Cos a) 1

a)  6 d) 8

a)

2 n 1

b)

2 n 1

d)

2 n2  1

e)

1 n 1

c)

2 n2  1

TRILCE

58. Siendo: Tanx + Cotx = 3 Calcular:

13 a) 27 25 d) 27

7

60. Sabiendo que:

S  Sen x  Cos x Senx  Cosx 19 b) 27 31 e) 27

Senx  Cosx  n ; x  IVC

7

Reducir:

C  1  Senx  1  Cosx 1  Senx 1  Cosx

29 c) 27 1 n 1 2 d) n 1 a)

59. Siendo:

Tanx  Cotx  2

1 n 1 2 e) 2 n 1 b)

c)

2 n 1

Calcular:

C

Sec 5x  Csc 5 x Secx  Cscx

a) 3(5  6 )

b) 6(5  6 )

c) 6(3  6 )

d) 3(3  6 )

e) 5(3  6 )

89

Trigonometría

Claves 01.

b

31.

b

02.

b

32.

b

03.

c

33.

b

04.

d

34.

b

05.

e

35.

c

06.

e

36.

e

07.

a

37.

d

08.

e

38.

e

09.

d

39.

c

10.

c

40.

c

41.

b

11.

90

12.

ba

42.

b

13.

c

43.

e

14.

d

44.

c

15.

e

45.

e

16.

a

46.

b

17.

c

47.

d

18.

d

48.

e

19.

d

49.

c

20.

c

50.

b

21.

d

51.

c

22.

d

52.

e

23.

b

53.

c

24.

d

54.

d

25.

a

55.

b

26.

a

56.

b

27.

b

57.

b

28.

a

58.

c

29.

-

59.

b

30.

d

60.

d