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• EduardoVaquero

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INTRODUCCION

Una población se puede definir como un conjunto de individuos de la misma especie interactuando en un área determinada y que tienen características cuantificables tales como la tasa de natalidad (nacimiento), tasa de mortalidad, velocidad en que se incrementa la población. El crecimiento poblacional o crecimiento demográfico es el cambio en la población en un cierto plazo, y puede ser cuantificado como el cambio en el número de individuos en una población usando "tiempo por unidad" para su medición. En la presente práctica se hizo una simulación del comportamiento que tiene una población siguiendo algunos patrones que identifican a distintas poblaciones.

OBJETIVOS 

Conocer los principales modelos de crecimiento de una población por medio de simulación.



Cuantificar como actúa la tasa intrínseca de crecimiento (r) y la capacidad de carga ambiental (K) en el crecimiento de una población.



Simular diferentes condiciones para el crecimiento de una población.

MATERIALES   

Un tablero de ajedrez, con una cuadricula de 8*8 cm Un vaso Una libra de frijoles

METODOLOGIA Se realizo la simulación para las siguientes formas de crecimiento: 

Crecimiento Explosivo Se utilizo una población inicial de 50 individuos y cada sobreviviente se multiplico por 3 Los frijoles que caen en cuadros de negro se mueren, y en cuadros blancos sobreviven.



Juego de la Permanencia Se utilizo una población inicial de 50 individuos y una C=2.



Juego de la extinción (decremento exponencial) Se utilizo una población inicial de 100 individuos, y los que sobreviven no se reproducen.

RESULTADOS CRECIMIENTO EXPLOSIVO No: 10 semillas, es el numero inicial de semillas que se utilizaron para iniciar el experimento. Cada individuo que caiga en un cuadro negro se tomara como muerto. Cada individuo que caiga en cuadro blanco se reproduce a una tasa siendo esta el valor de C=3. T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑=55

Nt inicial # muertos # sobrevivientes Nt+1 = S*C 10 4 6 18 18 10 8 24 24 12 12 36 36 21 15 45 45 20 25 75 75 42 33 99 99 52 47 141 141 67 74 222 222 127 95 285 285 171 114 342 ∑ = 955 ∑ = 526 ∑ = 429 ∑ = 1287

Nt+1 = S*C S = # de sobrevivientes C = 3 (tasa de reproducción) o tasa de crecimiento per-capita.

ANÁLISIS Obtener “r” teórica “r” teórica esperada = LnRo Ro teórica (tasa intrínseca de incremento) = 3 “r” esperada = LnRo = Ln(3) = 0.1098

T 10 REGRESION LINEAL T (x)

Nt inicial (y)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑=55

Ln Y

10 18 24 36 45 75 99 141 222 285 ∑=955

2.303 2.890 3.178 3.584 3.807 4.317 4.595 4.949 5.403 5.652 ∑=40.68

XLnY X2 2.303 1 5.781 4 9.534 9 14.334 16 19.033 25 25.905 36 32.166 49 39.590 64 48.624 81 56.525 100 ∑=253.79 ∑=385

Cuando se linealiza la ecuación exponencial, los siguientes valores serán: y(Nt) = Ln (y) xy = (X)Ln(y) Modelo a utilizar: Y = a * eb*x ------------- Nt = No*ert Donde: Y = valor estimado, variable dependiente a= punto en donde la recta corta el eje vertical. e = antilogaritmo base 10 b = coeficiente de regresión lineal, o pendiente de la recta X = variable independiente Al aplicar el logaritmo natural al modelo exponencial: ln(y) = ln (a) + bx

Para este experimento la pendiente o “b” es igual a rc o “r” calculada. b = ∑xy - ∑x*∑y n ∑x2 - (∑x)2 n

=

253.79 - 55*40.68 10 385 - (55)2 10

= 0.364

Al haber encontrado la “b” o “rc” obtenemos el valor de “t” calculada. tc = rc – re Sr

Donde: t = “t” calculada rc = “r” calculada mediante dispersión. re = “r” teórica esperada Sr = desviación estándar de “r” T

Ln Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55

X2

XLnY 2.303 2.890 3.178 3.584 3.807 4.317 4.595 4.949 5.403 5.652 40.68

SCy = ∑Y2 - (∑Y)2 = n

2.303 5.781 9.534 14.334 19.033 25.905 32.166 39.590 48.624 56.525 253.79

Y2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385

5.302 8.354 10.100 12.842 14.491 18.641 21.115 24.490 29.189 31.951 176.474

176.47 - (40.68)2 = 10.98 10

SCx = ∑X2 - (∑X)2 = 385 - (55)2 n 10

= 82.5

SC`y = [∑XY - (∑X*∑Y)/n]2 / SCx = [253.79 - (55*40.68)/10]2 / 82.5 = 10.94 Sr = √SCy-SC`y = 10.98 - 10.94 (SCx)(n-2) (82.5)*(8)

= 0.00778

tcalculada = 0.364 – 0.1098 = 32.673 0.00778 ** “t” teórica con 5% de error y 8 grados de libertad (n-2): “t” teórica = 2.306 t teórica < tc por lo cual decimos que el tamaño de la población no es constante, sino que tiende a aumentar conforme el tiempo debido a una tasa de reproducción mayor que la resistencia ambiental.

JUEGO DE LA PERMANENCIA Individuo que caiga en cuadro negro, muere. Individuo que caiga en cuadro blanco se reproduce con un valor de C = 2. Se inicia con 50 individuos (No). T

Nt inicial

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55

# muertos

50 56 60 52 56 66 56 48 36 30 510

# sobrevivientes Nt+1 = S*C

22 26 34 24 23 38 32 30 21 15 265

Obtener “r” teórica “r” teórica esperada = LnRo Ro teórica (tasa intrínseca de incremento) = 3 “r” esperada = LnRo = Ln(3) = 0.069 T 10 Se determino un valor de K = 66



Modelo a utilizar:

Logístico: Nt=No K/(1 + e-rt) Y = a* k/(1+e-bx)

28 30 26 28 33 28 24 18 15 15 245

56 60 52 56 66 56 48 36 30 30 490

T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55

Nt inicial Ln Y XLnY X2 50 3.912 3.912 56 4.025 8.051 60 4.094 12.283 52 3.951 15.805 56 4.025 20.127 66 4.190 25.138 56 4.025 28.177 48 3.871 30.970 36 3.584 32.252 30 3.401 34.012 510 39.08 210.73

b = ∑xy - ∑x*∑y n ∑x2 - (∑x)2 n

210.73 - 55*39.08 10 385 - (55)2 10

=

Y2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385

15.304 16.203 16.764 15.612 16.203 17.553 16.203 14.986 12.842 11.568 153.239

= -0.051

Ahora obtenemos el valor de “t” calculada. tc = rc – re Sr Donde: t = “t” calculada rc = “r” calculada mediante dispersión. re = “r” teórica esperada Sr = desviación estándar de “r”

SCy = ∑Y2 - (∑Y)2 = n

153.23 - (39.08)2 = 0.50 10

SCx = ∑X2 - (∑X)2 = 385 - (55)2 n 10

= 82.5

SC`y = [∑XY - (∑X*∑Y)/n]2 / SCx = [210.73 - (55*39.08)/10]2 / 82.5 = 0.214 Sr = √SCy-SC`y = 0.50 – 0.214 (SCx)(n-2) (82.5)*(8)

= 0.0208

tcalculada = -0.0510 – 0.0693 = -5.78 0.0208 **

“t” teórica con 5% de error y 8 grados de libertad (n-2):

“t” teórica = 2.306

EXTINCION Se inicia con 100 individuos, cada individuo que sobrevive se reproduce con una C = 1. T 1 2 3 4 5 6 7

# Nt+1 = Nt inicial # muertos sobrevivientes S*C 100 43 57 57 57 32 25 25 25 13 12 12 12 5 7 7 7 4 3 3 3 1 2 2 2 1 1 1

Obtener “r” teórica “r” teórica esperada = LnRo Ro teórica (tasa intrínseca de incremento) = 3 “r” esperada = LnRo = Ln(1) = 0 T 10

Modelo a utilizar: Y = a * eb*x ------------- Nt = No*ert Donde: Y = valor estimado, variable dependiente a= punto en donde la recta corta el eje vertical. e = antilogaritmo base 10 b = coeficiente de regresión lineal, o pendiente de la recta X = variable independiente Al aplicar el logaritmo natural al modelo exponencial:

ln(y) = ln (a) + bx T 1 2 3 4 5 6 7 28

Nt inicial Ln Y 100 57 25 12 7 3 2 206

XLnY 4.605 4.043 3.219 2.485 1.946 1.099 0.693 18.09

X2 4.605 8.086 9.657 9.940 9.730 6.592 4.852 53.46

Y2 1 4 9 16 25 36 49 140

21.208 16.346 10.361 6.175 3.787 1.207 0.480 59.564

Para este experimento la pendiente o “b” es igual a rc o “r” calculada. b = ∑xy - ∑x*∑y n ∑x2 - (∑x)2 n

53.46 - 28*18.09 7 140 - (28)2 7

=

= -0.675

Al haber encontrado la “b” o “rc” obtenemos el valor de “t” calculada. tc = rc – re Sr Donde: t = “t” calculada rc = “r” calculada mediante dispersión. re = “r” teórica esperada Sr = desviación estándar de “r” SCy = ∑Y2 - (∑Y)2 = n

59.46 - (18.09)2 = 12.81 7

SCx = ∑X2 - (∑X)2 = 140 - (28)2 n 7

= 28

SC`y = [∑XY - (∑X*∑Y)/n]2 / SCx = [53.46 - (28*18.09)/7]2 /28 = 12.75 Sr = √SCy-SC`y = 12.81 - 12.75 = 0.0207 (SCx)(n-2) (28)*(5) tcalculada = -0.675 - 0 = -32.60 0.0207 **

“t” teórica con 5% de error y 8 grados de libertad (n-2):

“t” teórica = 2.571

Capacidad de Carga (K)  

Si caen 2 frijoles en el mismo cuadro blanco, los organismos sobreviven, pero no se reproducen. Si caen 3 frijoles en el mismo cuadro blanco, los organismos mueren.

T

Nt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

M 2 4 8 14 26 38 36 48 54 55

S 0 0 0 0 3 16 9 15 18 18

Nt+1 = S+A

A 2 4 8 14 23 22 27 33 36 37

2 4 6 12 15 14 21 21 19 16

4 8 14 26 38 36 48 54 55 53 M = muertos (#

de frijoles que quedaron en grupos de tres o mas frijoles por cuadro blanco). S = Sobrevivientes (Nt – M) A = Nuevos individuos agregados (# de frijoles que quedaron en cuadros blancos, solos) Nt = S + A

DISCUSION DE RESULTADOS Según los resultados obtenidos, en el crecimiento exponencial la tasa de reproducción es alta (3) y sobrepasa los limites de la resistencia ambiental, tal y como se observa en la población de plagas. En el crecimiento del juego de la permanencia se logra observar que la tasa de reproducción no es tan alta, pero lo suficiente para mantener la población casi estable, tal y como nos muestra la comparación de “t” Student, que el valor de “tc” no se aleja por mucho de “t” de tabla. En el tercer experimento nos mostro como sucede en organismos en peligro de extinción, estos individuos poseen una tasa de reproducción baja, y asimismo la resistencia ambiental y la falta de alimento pueden provocar que una población reduzca su numero en un ritmo acelerado. En el cuarto experimento, se logra aprecia la carga ambiental y la capacidad de soportar un determinado numero de individuos, se tomo un valor de 3, ya que si 3 individuos ocupan un misma área, estos mueren. Esto sucede porque la cantidad de recursos no abastece los consumos para mantener a los 3 individuos.

El crecimiento de una población, depende de la tasa de natalidad La tasa intrínseca de crecimiento nos indica cuanto crece una población en un determinado tiempo. La natalidad y la mortalidad se dan en forma simultánea y su diferencia mostrará que la población crezca o disminuya.

BIBLIOGRAFIA MODELOS DE CRECIMIENTO http://www.unicamp.br/fea/ortega/eco/esp/esp-06.htm consultada el 19 de agosto de 2014