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• Fredy Pariona

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6. En una etapa inicial del procesamiento mecánico de piezas de acero, se sabe que una herramienta sufre un deterioro gradual que se refleja en cierto diámetro de las piezas manufacturadas. Para predecir el tiempo de vida útil de la herramienta se tomaron datos de horas de uso y el diámetro promedio de cinco piezas producidas al final de la jornada. Los datos obtenidos para una herramienta se muestran a continuación:

Horas de uso Diámetro (mm) a) ¿En este problema cuál variable se considera independiente y cuál dependiente? b) Mediante un diagrama de dispersión analice la relación entre estas dos variables. ¿Qué tipo de relación observa y cuáles son algunos hechos especiales? c) Haga un análisis de regresión (ajuste una línea recta a estos datos, aplique pruebas de hipótesis y verifique residuos). d ) ¿La calidad del ajuste es satisfactoria? Argumente. e) Si el diámetro máximo tolerado es de 45, ¿cuántas horas de uso estima que tiene esa herramienta? f ) Señale el valor de la pendiente de la recta e interprételo en términos prácticos. g) Obtenga el error estándar de estimación y comente qué relación tiene éste con la calidad del ajuste.

Solución PLANTAMIENTO

a) Tenemos lo siguiente: VARIABLE INDEPENDIENTE  Diámetro b) Según el diagrama de dispersión

VARIABLE DEPENDIENTE  Horas de uso

 Según la gráfica los puntos de dispersión se ajustan a la normalidad de la línea, con intervalo de confianza y de predicción que se observa en esta gráfica. Para p-valor se rechaza la H O esto implica que por lo menos un término en el modelo contribuye de manera significativa al deterioro del acero.

c) Haciendo análisis de regresión

Prueba de hipótesis en la regresión lineal

H O=0 HA≠0 H A : Por lo general plantea que la pendiente es significativamente diferente de cero para y: deterioro gradual del acero

Para p-valor menores que 0.05, se rechaza la hipótesis nula para ambos parámetros por lo que se concluye que tanto las intersecciones son significativamente diferentes.

D).

Como R cuadrado =97.68% por lo tanto la calidad de modelo es buena, ya que está dentro del rango entre 70 -100%, es decir cuanto menor sea la calidad de modelo ósea menor del 70%. Tenemos un 97% de validez. e) Dian = 24,5993 + 0,0490825*x hora de uso Entonces Y DIAM. ES 45 45=24,5993 + 0,0490825*x hora de uso X horas = 425,64 horas Despejando la ecuación para tiempo, para un valor de diámetro de 45 es: 425.64 horas F)

Gráfico del Modelo Ajustado diamY = 24,5993 + 0,0490825*x hora de uso La pendiente es 0,0490825. Por cada variación de la las horas de uso g) El Error estándar. = 1,04577. Cuando más se ajusta es menor el error estándar. 7. En un proceso de extracción se estudia la relación entre tiempo de extracción y rendimiento. Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.

0

100

200 x hora de uso

300

400

a) ¿En este problema cuál variable se considera independiente y cuál dependiente? b) Mediante un diagrama de dispersión analice la relación entre estas dos variables. ¿Qué tipo de relación observa y cuáles son algunos hechos especiales? c) Haga un análisis de regresión (ajuste una línea recta a estos datos, aplique pruebas de hipótesis y verifique residuos). d ) ¿La calidad del ajuste es satisfactoria? Argumente. e) Destaque el valor de la pendiente de la recta e interprételo en términos prácticos. f ) Estime el rendimiento promedio que se espera a un tiempo de extracción de 25 minutos y obtenga un intervalo de confianza para esta estimación.

Prueba de hipótesis: H 0 : β 1=0 H A : β1≠ 0 Condición de rechazo: valor− p< α

; Si α=0.05

R e n d im ie n t o

a) la variable dependiente en este caso es el rendimiento y la independiente es el tiempo. b) En el gráfico de dispersión se observa una dispersión puntos se enuentras dispersas ya que los puntos en esta grafica tienen a alegarse del ajuste de la línea recta. c) Gráfico del Modelo Ajustado 88 84 80 76 72 68 64 8

10

12

14

16

18

20

Tiempo

 Dado que el p-valor (0,0164) en la tabla ANOVA es inferior a 0.05, entonces se dice que existe una relación estadísticamente significativa entre Rendimiento y Tiempo para un nivel de confianza del 95%. d) la calidad de ajuste es muy baja ya que a modelo lineal solo llega a 39,865 y a

Gráfico del Modelo Ajustado rendimiento Y = 57,9578  e) la pendiente es de + 1,19492*tiempo lo cual X indica que, en promedio, a cada

una múltiple llega 44 porciento.

88 84

incremento de una unidad en el tiempo (X) le corresponde un incremento de 1,19492 de rendimiento (Y).

f) el rendimiento a un tiempo se tiene Y = 57,9578 + 1,19492*tiempo X Y=57,95787+1,19492*25 MIN. Y= 87.83 ES EL RENDIMIENTO.

Ejercicio 8 pagina 333: En cierta empresa es usual pagar horas extra para cumplir con los tiempos de entrega. En este centro productivo un grupo de mejora de calidad trata de reducir la proporción de piezas malas, para ello deciden investigar la relación entre la cantidad de horas extra, X, y el porcentaje de artículos defectuosos, Y. En la siguiente tabla se muestran los datos obtenidos. Horas Defectos Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

extra 340 95 210 809 80 438 107 180 100 550 220 50 193 290 340 115 362 300 75 93 320 154

% 5 3 6 15 4 10 4 6 3 13 7 3 6 8 2 4 10 9 2 2 10 7

a) ¿De estas variables cuál se puede suponer independiente y cuál dependiente? b) Obtenga el diagrama de dispersión para estas variables. ¿Qué relación observa? c) Haga un análisis de regresión (ajuste una línea recta a estos datos, aplique pruebas de hipótesis y verifique residuos). d ) ¿La calidad del ajuste es satisfactoria?

e) El que dos variables estén relacionadas no necesariamente implica que haya una relación causa-efecto. Sin embargo, a pesar de esto, ¿puede concluir con seguridad que cuando se trabaja tiempo extra se incrementa el porcentaje de defectuosos, porque ocurren factores como calentamiento de equipo, cansancio de obreros, etc., y todo esto causa mayores problemas en la calidad de las piezas? Solución: a) ¿de estas variables cual se puede suponer independiente y cual dependiente? El variable independiente es horas extras o el tiempo (X), y el variable dependiente es el % de artículos defectuosos (Y). b) Obtenga el diagrama de dispersión para estas variables. ¿Qué relación observa? Del diagrama de dispersión podemos decir que si hay un ajusta con un R 2ajustado = 72% aunque esto es muy bajo pero esto, está encima de 70% de lo optimo c) Haga un análisis de regresión (ajuste una línea recta a estos datos, explique pruebas de hipótesis e verifique residuos) Por lo que su P-valor es inferior a la significancia predicha se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa indicando que si existe relación estadísticamente significativa entre el % de artículos defectuosos y las horas extra a 95% de nivel de confianza. De la gráfica de residuos concluimos que los datos no están bien

Gráfico de Residuos

Gráfico de Residuos 5,5 3,5 1,5 -0,5 -2,5 -4,5 0

200

400

600

800

horas extras

1000

Residuo estudentizado

Residuo estudentizado

aleatorizados por forma figura y los datos no están dispersos.

5,5 3,5 1,5 -0,5 -2,5 -4,5 0

4

8

12

16

% defectos predicho

d) ¿La calidad de ajuste es satisfactoria? La calidad de ajuste si es satisfactorio para un p-valor de 0.05 de nivel de significancia y al 95% de nivel de confianza nos da los coeficientes de determinación y correlación: Coeficiente de Correlación = 0,858344 R-cuadrado = 73% R-cuadrado (ajustado) = 72% Error estándar de est. = 1,91553 Error absoluto medio = 1,31568

e) El que dos variables están relacionados no necesariamente implica que haya una relación causa- efecto. Sin embargo, a pesar de esto, ¿puede concluir con seguridad que cuando se trata de tiempo extra se incrementa el porcentaje de defectuosos, porque ocurren factores como calentamiento de equipo, cansancio de obreros, etc., y todo esto causa mayores problemas en la calidad de las piezas? No puede concluir con seguridad porque todas las causas que están mencionas generan causas mayores problema problemas en la calidad de pizas Ejercicio09 a) se observa una relación cuando mayor eficiente es menor piezas defectuosas abra Gráfico de Residuos piezas de defectosos = 48,6839 - 0,511902*eficiencia

Rediduo Estudentizado

2

1

0

-1

-2

b) en la siguiente se observa que. Coeficiente de Correlación = -0,859744 R-cuadrada = 73,9161 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 72,4669 porciento En la cual no el r de ajuste no es lo adecuado pero está entre las condiciones de ser mayor a 70%. c) Comparación de Modelos Alternos Modelo Correlación R-Cuadrada Cuadrado-Y Inversa de X 0,8640 74,66% Inversa de X 0,8631 74,49% Logaritmo de X -0,8614 74,21% Cuadrado-Y Log-X -0,8613 74,19% Raíz Cuadrada deX -0,8606 74,06% Cuadrado-Y Raíz Cuadrada-X -0,8599 73,95% 1,5 Lineal 2 2,5 -0,8597 3 73,92% 3,5 predicho piezas de 73,71% defectosos Cuadrado de Y -0,8586 Cuadrado de X -0,8580 73,62% Cuadrado Doble -0,8558 73,23% Raíz Cuadrada-Y Inversa de X 0,8534 72,82% Raíz Cuadrada-Y Log-X -0,8523 72,64% Raíz Cuadrada Doble -0,8517 72,54% Raíz Cuadrada de Y -0,8511 72,44% Raíz Cuadrada-X Cuadrado-X -0,8500 72,24% Curva S 0,8376 70,16% Multiplicativa -0,8371 70,07% Logarítmico-Y Raíz Cuadrada-X -0,8368 70,02%

4

4,5

Ejercicio 10 pagina 334: En un proceso de manufactura se utiliza una herramienta de corte y se quiere investigar la relación entre la velocidad de corte (metros por minuto) y el tiempo de vida (horas) de la herramienta. Los datos obtenidos para esta investigación se muestran a continuación: Velocidad Vida 20 8.7 20 9.5 25 8.5 25 7.7 25 8.4 30 8 30 5.3 30 7.3 35 7.8 35 5.7 35 6.1 40 4.3 40 4.2 a) Mediante un diagrama de dispersión analice la relación entre estas dos variables. ¿Qué tipo de relación observa? b) Haga un análisis de regresión (ajuste una línea recta a estos datos, aplique pruebas de hipótesis y verifique residuos). c) ¿La calidad del ajuste es satisfactoria? Argumente. d ) Si normalmente la herramienta se opera a una velocidad de 30 metros por minuto, estime el tiempo medio de vida tanto de manera puntual como por intervalo. e) Señale el valor de la pendiente de la recta e interprételo en términos prácticos. f ) Obtenga el error estándar de estimación y comente qué relación tiene con la calidad del ajuste. Solución: a) Mediante un diagrama de dispersión analice la relación entre estas dos variables.

Gráfico de vida vs velocidad 10.2 9.2

vida

8.2 7.2 6.2 5.2 4.2 20

24

28 32 velocidad

36

40

¿Qué tipo de relación observa? La salida muestra los resultados de ajustar un modelo lineal para describir la relación entre vida y velocidad. La ecuación del modelo ajustado es Vida = 13.693 - 0.221818*velocidad El valor-P < 0.05, existe una relación estadísticamente significativa entre vida y velocidad con un nivel de confianza del 95.0%.

b) Haga un análisis de regresión (ajuste una línea recta a estos datos, aplique pruebas de hipótesis y verifique residuos). Gráfico de Residuos vida = 13.693 - 0.221818*velocidad

Rediduo Estudentizado

3.1 2.1 1.1 0.1 -0.9 -1.9 -2.9 20

24

28

32 velocidad

36

40

Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa indicando que hay un efecto de parámetros tanto el intercepto y ordenada. De la gráfica de residuos podemos concluir que los datos están bien aleatorizados. c) ¿La calidad del ajuste es satisfactoria? Argumente. La calidad de ajuste si es satisfactorio para un p-valor de 0.05 de nivel de significancia y al 95% de nivel de confianza nos da los coeficientes de determinación y correlación: Coeficiente de Correlación = 0,858344 R-cuadrado = 75.02% R-cuadrado (ajustado) = 72,75% Error estándar de est. = 3,53 Error absoluto medio = 2.33 d) Si normalmente la herramienta se opera a una velocidad de 30 metros por minuto, estime el tiempo medio de vida tanto de manera puntual como por intervalo. Velocidad= 53,8058 - 3,38224 x tiempo de vida 30m/min= 53,8058 - 3,224 x tiempo de vida Entonces el tiempo promedio de vida =7,0385 min. e) Señale el valor de la pendiente de la recta e interprételo en términos prácticos. Vida = 13.693 - 0.221818*velocidad La pendiente de la recta es: 0.221818 La pendiente de la recta es -3,224; es una pendiente muy baja por lo tanto indica que no tiene efecto f) Obtenga el error estándar de estimación y comente qué relación tiene con la calidad del ajuste. Error estándar del est. = 0.904984 El error estándar del estimado indica que la desviación estándar de los residuos es 0.904984

Significa que tiene poco error cometido tanto en la población y en la muestra. Ejercicio 12 pagina 334. Como parte del análisis del problema de ausentismo, se decide investigar la relación entre edad del empleado y días que faltó a laborar en el año. Los datos del último año se muestran en la siguiente tabla: Empleado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Edad 29 33 40 23 31 20 30 38 23 25 26 30 42 34 31 18 33 33 33 32

Faltas 6 5 0 8 6 9 5 6 8 6 7 5 2 5 6 11 6 4 5 5

Empleado 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Edad 25 38 22 30 24 39 35 20 32 25 36 30 20 38 39 34 35 27 40 31

Faltas 7 3 0 4 7 10 5 1 5 5 5 5 10 4 4 4 6 7 3 6

a) ¿En este problema cuál variable se puede ver como independiente y cuál como dependiente? b) Mediante un diagrama de dispersión analice la relación entre estas dos variables. c) ¿Qué tipo de relación observa y cuáles son algunos hechos especiales? d ) Haga un análisis de regresión (ajuste una línea recta a estos datos, aplique pruebas de hipótesis y verifique residuales). e) ¿La calidad del ajuste es satisfactoria? Argumente. Solución: a) ¿En este problema cuál variable se puede ver como independiente y cuál como dependiente?

El variable independiente es la edad del empleado(X), y el variable dependiente es los días que falto a laborar en el año (Y). b) Mediante un diagrama de dispersión analice la relación entre estas dos variables.

Gráfico de Residuos FALTAS = 10.3526 - 0.16185*EDAD

Rediduo Estudentizado

4

2

0

-2

-4 18

22

26

30 EDAD

34

38

42

¿Qué tipo de relación observa y cuáles son algunos hechos especiales?  Según la gráfica los puntos de dispersión se ajustan a la normalidad de la línea, con intervalo de confianza y de predicción que se observa en esta gráfica. Y están loa datos están aleatorizados  FALTAS = 10.3526 - 0.16185*EDAD: Puesto que el valor-P en la tabla ANOVA es menor que 0.05, existe una relación estadísticamente significativa entre FALTAS y EDAD con un nivel de confianza del 95.0%.

d) Haga un análisis de regresión (ajuste una línea recta a estos datos, aplique pruebas de hipótesis y verifique residuales.

Gráfico del Modelo Ajustado FALTAS = 10.3526 - 0.16185*EDAD 12 10

FALTAS

8 6 4 2 0 18

22

26

30 EDAD

34

38

42

Prueba de hipótesis en la regresión lineal H O=0 : R HA≠0 : A HA:

Por lo general plantea que la pendiente es significativamente diferente

de la edad del empleado para Y: días que falto a laborar en el año (X) Regresión Simple - FALTAS vs. EDAD Variable dependiente: FALTAS Variable independiente: EDAD Lineal: Y = a + b*X Coeficientes Mínimos

Estándar

Estadístico

Parámetro

Cuadrados Estimado

Error

T

Valor-P

Intercepto

10.3526

1.72286

6.00897

0.0000

Pendiente

-0.16185

0.0551431

-2.93509

0.0056

 Para intercepto: V-P< 0.05 entonces 0.0000