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• Juan T Krejer

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Integración Por Descomposición en Fracciones Simples o Parciales: Una función F( x ) =

f (x) en la que f ( x ) y g( x ) son polinomios recibe el nombre de fracción G( x )

racional. Si el grado de f ( x ) es menor que el de g( x ) , F( x ) recibe el nombre de función propia; en el caso contrario, F( x ) se denomina impropia. Toda fracción racional impropia se puede expresar (al menos teóricamente) como suma de un x3 x polinomio y una fracción propia. Por ejemplo: 2 = x− 2 x +1 x +1 Toda fracción racional propia se puede expresar (al menos teóricamente) como suma de fracciones n simples cuyos denominadores se de la forma ( ax + b ) n y (ax 2 + bx + c ) , siendo n un número entero y positivo. Atendiendo a la naturaleza de los factores del denominador, se pueden considerar cuatro casos: Caso I. Factores Lineales Distintos: P( x ) A B dx = dx + dx ( ax + b )( cx + d) ( ax + b ) ( cx + d)

∫

∫

∫

Caso II. Factores Lineales Iguales: P( x ) A B C dx = dx + dx + ... + dx + n m n n −1 ( ax + b ) ( cx + d) ( ax + b ) ( ax + b ) ( cx + d) m Caso III. Factores Cuadráticos Distintos: P( x ) Ax + B Cx + D dx = + 2 2 2 ax + bx + c dx + ex + f ax + bx + c dx 2 + ex + f

∫

∫

∫(

)(

∫

∫

∫

)

D

∫ ( cx + d)

m −1

dx

∫

Caso IV. Factores Cuadráticos Iguales:

∫ (ax

P( x ) 2

+ bx + c

) (dx n

2

+ ex + f

)

m

dx =

∫ (ax

∫ (dx

Ejemplo: 1.- Hallar la siguiente integral:

∫x

Ax + B 2

+ bx + c Ex + F

2

+ ex + f

)

)

m

n

dx +

dx +

∫ (ax

∫ (dx

Cx + D 2

2

+ bx + c Gx + H + ex + f

)

)

n −1

m −1

dx + ... + dx

dx −4

2

Se factoriza y se aplica la forma correspondiente a la descomposición en fracciones simples:

∫x

dx = −4

2

dx

A

B

∫ ( x − 2)( x + 2) = ∫ ( x − 2) dx + ∫ ( x + 2) dx

Una vez obtenidas las fracciones simples se hallan los valores correspondientes a A y B.

1

=

A

+

B

( x − 2)( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) 1 = A ( x + 2 ) + B( x − 2 ) 1 = Ax + 2A + Bx − 2B

1 = x( A + B ) + ( 2A − 2B )

A +B = 0 2 A − 2B = 1

x :  TI :

A +B = 0 A = −B

B =−

∫

1 1 A= 4 4

dx = ( x − 2)( x + 2)

∫

1 4 dx + ( x − 2)

( − 14) dx = 1

∫ ( x + 2)

dx 1 − 4 ( x − 2) 4

∫

∫

dx ( x + 2)

Se resuelve cada una de las integrales por medio de cambio de variable: dx

∫ ( x −2) Aplicando el Cambio de Variable: u = x − 2   du = dx

Realizando el cambio y devolviendo el cambio: dx du ∫ ( x − 2) = ∫ u = Ln u = Ln x − 2 dx

∫ ( x + 2) Aplicando el Cambio de Variable: u = x + 2   du = dx

Realizando el cambio y devolviendo el cambio: dx du ∫ ( x + 2) = ∫ u = Ln u = Ln x + 2 Sustituyendo en la integral principal los resultados obtenidos tenemos: 1 dx 1 dx 1 1 1 − ∫ = Ln x − 2 − Ln x + 2 = (Ln x − 2 − Ln x + 2 ) = ∫ 4 ( x − 2 ) 4 ( x + 2) 4 4 4

Ejercicios a Realizar:

1 x −2 Ln +c 4 x +2

1. 4.

∫x

∫x

dx −4

2.

2

3

( 3x + 5)

dx

− x2 − x + 1 3x 3 + 5x dx 7. ∫ 2 x −x −2 dx 10. ∫ 3 x −x 3x 2 + 5x dx 13. ∫ 3 2 x + x − x −1 dx 16. ∫ 2 x −16 3x + 8 dx 19. ∫ 3 x − 4x 2 + 4x 2x 2 + 3 dx 22. ∫ 3 x − 2x 2 + x

∫x

( x + 1) 3

2

dx

+ x − 6x x − 4x 2 + x + 1 dx 5. ∫ 3 2 x + x − 4x − 4 3x + 5 dx 8. ∫ 3 2 x − x − x +1 2x +1 11. ∫ ( x 2 + 1)x dx 2x − 1 dx 14. ∫ 3 2 x + x − 2x x +2 dx 17. ∫ 2 x − 2x − 15 x+8 dx 20. ∫ 6 x − 2x 4 + x 2 1 dx 23. ∫ 3 x − 2x 2 + x 4

3.

∫x

2

dx + 7x + 6

x2 + x + 3 ∫ x 3 + 3x 2 − 4 dx 2x 2 − 3 x + 2 dx 9. ∫ x3 + x 5x 3 + 2 dx 12. ∫ 3 x − 5x 2 + 4x x +1 dx 15. ∫ 2 x − 9 x + 14 2x 2 − 3 x + 1 dx 18. ∫ 3 x − 6x 2 + 8x x dx 21. ∫ 2 x − 4x + 4 x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 + 6 dx 24. ∫ 3 x − 6 x 2 + 12 x − 8

6.