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• Lizet Valles

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Secuencias didácticas SEXTO GRADO

Educación Básica Primaria

Ciclo Escolar 2009 • 2010

La elaboración de Matemáticas 6. Secuencias didácticas. Sexto grado. Educación Básica. Primaria, estuvo a cargo de la Dirección General de Materiales Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica, Secretaría de Educación Pública. Secretaría de Educación Pública Alonso Lujambio Irazábal Subsecretaría de Educación Básica José Fernando González Sánchez Dirección General de Materiales Educativos María Edith Bernáldez Reyes

Coordinación general Hugo H. Balbuena Corro

Servicios editoriales Ícarus Ediciones

Equipo técnico-pedagógico nacional Irma Armas López, Jorge Antonio Castro Cosío, José Manuel Avilés, Manuel Lorenzo Alemán Rodríguez, Ricardo Enrique Eúan Velázquez, Luis Enrique Santiago Anza, Galterio Armando Pérez Rodríguez, Samuel Villareal Suárez, Javier Alfaro Cadena, Rafael Molina Pérez, Javier Barrientos Flores, Uriel Jiménez Herrera, Luis Enrique Rivera Martínez, Silvia Chávez Negrete, Víctor Manuel Cuadriello Lara, Camerino Díaz Zavala, Andrés Rivera Díaz, Baltazar Pérez Alfaro, Edith Eréndira Zavala Rodríguez, Maximino Cota Acosta, Gilberto Mora Olvera, Vicente Guzmán López, Jacobo Enrique Botello Treviño, Adriana Victoria Barenca Escobar, Gladis Emilia Ríos Pérez, José Federico Morales Mendieta, Gloria Patiño Frías, José de Jesús Macías Rodríguez, Arturo Gustavo García Molina, Misael García Ley, Teodoro Salazar López, Francisco Javier Mata Quilantán, Miguel Pluma Valencia, Eddier José Pérez Carrillo, Eric Ruiz Flores González, María de Jesús Valdivia Esquivel

Ilustración Sergio Salto

Coordinación técnico-pedagógica Mauricio Rosales Ávalos Teresa de Jesús Mezo Peniche Asesoría pedagógica Elena Saiz Martí Silvia García Peña

Primera edición, 2009 D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2009 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F. ISBN: en trámite Impreso en México Distribución gratuita-Prohibida su venta

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Cuidado de la edición Demetrio Garmendia Guerrero Juan Miguel García Fernández Joel Serrano Calzado Diseño Hilda Bustos Diagramación Rafael Gómez Sánchez Adriana Quintanar Olguín

Agradecimientos La Secretaría de Educación Pública agradece a los más de 18 mil maestros y maestras, a las autoridades educativas de todo el país, al Sindicato Nacional de Trabajadores de la Educación, a expertos académicos, a los coordinadores estatales de Asesoría y Seguimiento para la Articulación de la Educación Básica, a los coordinadores estatales de Asesoría y Seguimiento para la Reforma de la Educación Primaria, a la Sociedad Matemática Mexicana, así como a monitores, asesores y docentes de escuelas normales, por colaborar en la revisión de las diferentes versiones de los materiales de apoyo llevada a cabo durante las Jornadas Nacionales y Estatales de Exploración de Materiales Educativos y las Reuniones Regionales, realizadas entre los meses de mayo de 2008 y marzo de 2009. También se agradece el apoyo de las siguientes instituciones: Ministerio de Educación de la República de Cuba, Ministerio de Educación de Hong Kong, Ministerio de Educación de Singapur, Ministerio de Educación de Japón. Asimismo, la Secretaría de Educación Pública extiende su agradecimiento a todas aquellas personas e instituciones que de manera directa e indirecta contribuyeron a la realización de este libro de texto.

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Presentación Hoy como nunca antes, la educación pública en México enfrenta retos que cuestionan la viabilidad y pertinencia de su actuar, frente a la transformación de la sociedad actual y al imparable avance científico y tecnológico. La concepción misma de la escuela y su función deben evolucionar hacia un modelo que desarrolle las competencias necesarias para transitar con éxito por la vida. De cara a este escenario, la Secretaría de Educación Pública ha emprendido acciones para integrar los niveles de preescolar, primaria y secundaria, en un trayecto formativo consistente que articule los conocimientos específicos, las habilidades y las competencias que demanda la sociedad del siglo xxi, para lograr el perfil de egreso de la educación básica y favorecer una vinculación eficiente con la educación media. Teniendo como antecedentes las reformas de Preescolar y Secundaria, el desafío actual lo representa la Reforma de la Educación Primaria. Este proceso se ha iniciado con la elaboración de los nuevos planes y programas de estudio y sus correspondientes materiales educativos, así también se desarrollan estrategias de formación docente que acompañarán al colectivo docente en este arduo camino para reformar el currículo en su sentido más amplio. Al mismo tiempo, se impulsan acciones que consolidarán la gestión educativa. Este libro de texto, en su primera edición, es producto de una construcción colectiva, amplia y diversa donde participaron expertos, pedagogos, equipos editoriales y técnicos, directivos y docentes que han sido partícipes de la prueba piloto que se encuentra instalada en 5 mil escuelas en todo el país. Es importante destacar que se ha nutrido también de las aportaciones realizadas por más de 18 mil maestros que asistieron a las jornadas nacionales y estatales organizadas con el apoyo de las autoridades educativas de las 32 entidades federativas. Esta primera edición que se encuentra en proceso de generalización, se irá mejorando a partir del ciclo escolar 2009-2010 de manera colegiada a través de las aportaciones que especialistas, instituciones académicas de reconocido prestigio nacional e internacional, organismos no gubernamentales y los consejos consultivos realicen, pero fundamentalmente se espera que se consolide cada ciclo escolar, a partir de las experiencias que los maestros y alumnos logren con su uso en clase. Para tal motivo en el sitio internet de la Reforma Integral de la Educación Básica http://basica.sep.gob.mx/reformaintegral/ existirá un espacio abierto de manera permanente para recibir las sugerencias que permitan mejorar gradualmente su calidad y pertinencia.

Secretaría de Educación Pública

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Conoce tu libro Este material de apoyo para maestros se desarrolla en secuencias didácticas organizadas en planes de clase que abordan los contenidos de los programas de matemáticas. Aquéllas conforman cinco bloques, éstos inician con una tabla de contenidos y los aprendizajes que deberán lograr los alumnos. Los planes de clase están pensados para realizarse en una sesión de trabajo en el aula, pero algunos pueden requerir más tiempo. Están concebidos para organizar el estudio y como un recurso para que el profesor ayude a los alumnos. Cada plan contiene número, nombre del eje temático, tema, subtema, fecha, asunto abordado en la secuencia didáctica y datos generales. El plan contiene los siguientes aspectos para mejorar la práctica docente: Consigna. Conformada por el problema o actividad a plantear, que en todos los casos es un desafío intelectual para los alumnos; la forma de organizar al grupo y las reglas del juego (qué se puede hacer o usar y qué no). Intenciones didácticas. Responden a una pregunta general: ¿para qué se plantea el problema que hay en la consigna? Se desglosa en:

• ¿Qué tipo de recursos matemáticos se pretende que utilicen los alumnos?



• ¿Qué tipo de reflexiones se pretende que hagan?



• ¿Qué conocimiento previo se pretende que rechacen, amplíen o reestructuren?



• ¿Qué tipo de procedimiento se pretende que utilicen?

El problema que se plantea debe poner en juego el conocimiento que se pretende adquirir. Consideraciones previas. Comprenden lo que se puede anticipar en relación con el trabajo que realizarán los alumnos, información que es necesario considerar, sugerencias para organizar la puesta en común y lo que se debe destacar como resultado del trabajo realizado. Observaciones posteriores. Espacio para registrar después de la sesión aquello que sea relevante para mejorar la consigna, la actuación del profesor o algo que no se previó. Para garantizar una buena práctica docente, además de contar con las secuencias didácticas para desarrollar los programas, es necesario analizar cada uno de los planes de clase, apropiarse de ellos y, sobre todo, ayudar a los alumnos en el análisis de los resultados y de los procedimientos que se emplean. Sugerencias para un uso eficiente de los planes de clase: • Resolución del problema de la consigna. Es recomendable que el profesor resuelva los problemas antes de proponerlos a los alumnos, con el fin de construir los conocimientos esperados e identificar los procedimientos adecuados y posibles dificultades. • Análisis de los apartados “Conocimientos y habilidades” e “Intenciones didácticas”. Es necesario identificar y analizar el enunciado “Conocimientos y habilidades” y tener claridad de las intenciones didácticas del plan, es decir, cuál es la finalidad de plantear el problema o la actividad de la consigna. • Análisis y enriquecimiento de las consideraciones previas. Una vez resuelto el problema, el profesor tendrá elementos para analizar las consideraciones previas y enriquecerlas, de esta manera estará mejor preparado para responder ante las diversas situaciones dentro del aula.

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Índice Apartados

Bloque 1

Páginas

7

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico

1.1 1.2 1.3 1.4

8 16 20 28

Eje. Forma, espacio y medida

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

34 38 46 52 60

1.10 1.11

64 68

Bloque 2

74

Tabla de contenidos y Aprendizajes esperados

75

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico

2.1 2.2 2.3

76 80 84

Eje. Forma, espacio y medida

2.4 2.5 2.6

88 92 98

2.7 2.8 2.9 2.10

104 108 112 116

Eje. Manejo de la información

Páginas

6

Tabla de contenidos y Aprendizajes esperados

Eje. Manejo de la información

Apartados

Bloque 3

Eje. Manejo de la información

3.7 3.8 3.9

Bloque 4

152 158 162 166

Tabla de contenidos y Aprendizajes esperados

167

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico

4.1 4.2 4.3 4.4

168 176 182 186

Eje. Forma, espacio y medida

4.5 4.6

192 196

Eje. Manejo de la información

4.7 4.8

200 204

Bloque 5

208

Tabla de contenidos y Aprendizajes esperados

209

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico

5.1 5.2

210 216

Eje. Forma, espacio y medida

5.3 5.4

222 228

Eje. Manejo de la información

5.5 5.6 5.7 5.8

232 238 242 246

120

Tabla de contenidos y Aprendizajes esperados

121

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico

3.1 3.2 3.3 3.4

122 128 132 136

Eje. Forma, espacio y medida

3.5 3.6

140 146

Bibliografía

253

Manejo de la información

Forma, espacio y medida

Estimación y cálculo mental

Representación

Unidades Relaciones de proporcionalidad Tablas

Medida Análisis de la información Representación de la información

Líneas y ángulos

Ubicación espacial

Figuras

Números decimales Números naturales

Figuras planas

Números fraccionarios

Números naturales

SUBTEMA

Significado y uso de los números

TEMA

3 2 4

1.4. Realizar las operaciones con números naturales con diferentes recursos: mental, con algoritmo o con calculadora. 1.5. Clasificar cuadriláteros. 1.6. Trazar e identificar circunferencias y sus elementos: radio, diámetro y centro.

2

2

1.9. Analizar cómo varía el perímetro y el área de los polígonos, en función de la medida de los lados. 1.10. Calcular el por ciento de cantidades mediante diversos procedimientos (aplicando la correspondencia “por cada 100, n”, aplicando una fracción, usando como base el 10%).

3

4

1.8. Describir rutas, la más corta, la más larga, equivalentes, para ir de un lugar a otro. Calcular, de manera aproximada, la distancia de un punto a otro, con ayuda de un mapa.

1.11. Resolver problemas con base en la información dada en una tabla.

3

1.7. Identificar, definir y trazar rectas paralelas, secantes y perpendiculares en el plano. Identificar ángulos rectos, agudos y obtusos.

Distinguir puntos interiores a la circunferencia: definir círculo.

4

2

1.2. Utilizar fracciones para expresar el cociente de la división de una medida entera entre un número natural (2 pasteles entre 3; 5 metros entre 4, etc.) 1.3. Comparar, ordenar y encuadrar números decimales.

4

NÚM. DE PLANES

1.1. Leer, escribir y comparar números con diferente cantidad de cifras.

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES

Utiliza el cálculo mental, los algoritmos y la calculadora, para realizar operaciones con números naturales. Usa fracciones para expresar cocientes. Interpreta información en distintos portadores como tablas y gráficos y la usa para resolver problemas. Traza circunferencias y algunos de sus elementos (radio, diámetro, centro) y resuelve problemas que implican calcular su longitud. Conoce las características de los cuadriláteros. Traza y define rectas paralelas, perpendiculares y secantes, así como ángulos agudos, rectos y obtusos. Resuelve problemas que implican describir rutas y/o calcular la distancia de un punto a otro en mapas.

EJE

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Sentido numérico y pensamiento algebraico



Como resultado del estudio de este bloque de contenidos se espera que el alumno tenga disponibles los siguientes aprendizajes:

BLOQUE 1

SEXTO GRADO

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números naturales

Plan de clase (1/4)

Apartado 1.1 Conocimientos y habilidades Leer, escribir y comparar números con diferente cantidad de cifras.

En las tarjetas no se han incluido las palabras cuya escritura se modifica en la numeración oral, como el diez y el veinte, porque para formar números con una decena es inusual decir “diez y cinco”, “veinte y cuatro”, etcétera.

Intenciones didácticas Que los alumnos formen, comparen y ordenen números de seis cifras sin ceros intermedios.

Consideraciones previas Se organiza al grupo en equipos, juntan sus tarjetas, las mezclan y las ponen en el centro de una mesa con las palabras hacia abajo. Es importante que, mientras los alumnos juegan, haga un seguimiento al trabajo observando si comprendieron las instrucciones. Sobre todo, es importante que vea cómo forman los números y cómo los escriben con cifras en su cuaderno; si usted detecta errores puede preguntar a otros compañeros del mismo equipo: ¿qué opinas de cómo escribió el número tu compañero?, ¿consideras que escribió correctamente el número? Luego de haber tomado dos tarjetas de cada color y la tarjeta con la palabra mil, los alumnos podrán formar números como el siguiente: quinientos

setenta y

ocho

mil

trescientos

cuarenta y

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

seis

Y en su cuaderno: 578 346 Con las mismas tarjetas se pueden formar otros números: 548 376, 378 546, etc. Vale la pena que el maestro diga a los alumnos que se trata de formar el número mayor para ganar la ronda. Para cerrar la actividad puede pedir que se resuelvan algunos ejemplos frente al grupo, haciendo notar que la palabra mil divide al número en dos grupos de tres cifras, lo que facilita la lectura y escritura del número.

8

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna na El número mayor ga

o des tomará por turn ipos, cada uno de uste conteOrganizados en equ ta con la palabra mil, tarje una y r colo tas a dos tarjetas de cad ina 175. Con esas tarje l recortable de la pág su nidas en el materia tarán con cifras en ano lo y ero núm de un arán formarán el nombre ero escrito lo compar todos tengan su núm resen las tarjecuaderno. Cuando el número mayor. Reg ado form o a cinc hay n ado n haya form y ganará quie r hasta que cada quie tas y repitan lo anterio números.

El número mayor gan a

8

Eje temático: SN y PA

Apartado 1.1

Plan 1/4

175

Ciclo Escolar 2009-2010

9

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/4)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números naturales

Apartado 1.1 Conocimientos y habilidades Leer, escribir y comparar números con diferente cantidad de cifras.

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen el número de cifras de un número y la comparación de éstas del mismo orden, como criterios para ordenar números de más de seis dígitos.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas En la sesión anterior los alumnos compararon y ordenaron números con seis cifras, en esta sesión los alumnos tendrán que escribir cantidades hasta con 10 dígitos. Se espera que los estudiantes noten que uno de los criterios para comparar números enteros es que entre mayor sea su número de cifras mayor será el valor del número; por ejemplo: 44 900 000 > 8 500 000. No obstante, existen otros casos, por ejemplo, los números 44 900 000 y 42 500 000 tienen el mismo número de cifras, aquí se deben comparar las cifras de un mismo orden para determinar cuál cantidad es mayor (o menor). Como las decenas de millón son iguales (4), se comparan las unidades de millón (4 y 2) y con base en eso se determina que 44 900 000 > 42 500 000.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Puede pedir a los alumnos que comenten cómo comparar los números y en el cierre de la actividad que formalicen los dos criterios mencionados. 3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

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Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Los continentes en números Organizados en equ ipos ordenen de ma yor a menor los con tes, primero de acu tinenerdo con su medida de superficie y despué con el número de hab s itantes. Continente

Área (km2)

1º

Continente

Número de habitantes

1º

2º

2º

3º

3º

4º

4º

5º

5º

6º

6º

Comenten cómo lo hicieron y en qué se basaron para ordena números. Tomen acu r los erdos y prepárense para explicar su pro miento al grupo. cedi-

Eje temático: SN y PA

Apartado 1.1

Plan 2/4

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Ciclo Escolar 2009-2010

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Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (3/4)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números naturales

Apartado 1.1 Conocimientos y habilidades Leer, escribir y comparar números con diferente cantidad de cifras.

Intenciones didácticas Que los alumnos formen, comparen y ordenen números de seis cifras con ceros intermedios.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Mientras los equipos trabajan en la combinación de números, el maestro puede supervisar el trabajo cuidando que los nombres que se formen sean correctos; en total se pueden formar ocho números, siendo el mayor: ocho

cientos

dos

mil

dos

cientos

ocho

y el menor: mil

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Si los alumnos forman nombres incorrectos, como ocho mil cientos dos, puede preguntarles: ¿cómo se escribe de manera correcta ese número?, también puede recomendarles dividir los números de más de cuatro cifras en grupos de tres dígitos para facilitar su lectura y escritura. Una dificultad extra a la que se enfrentarán los alumnos es el uso de ceros intermedios, ya que los ocho números que se forman contienen ceros intermedios. Si detecta errores puede esperar a la confrontación grupal para que los alumnos revisen todos los números y validen los que hayan escrito de manera correcta. Se sugiere hacer énfasis en que el agrupamiento de tres cifras facilitará el proceso de revisión de los números propuestos.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

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Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

ceros! ¡Cuidado con los

pueos los números que ipos, encuentren tod l recorOrganizados en equ tarjetas de su materia tro cua las r bina en de den obtenerse al com su cuaderno en ord 173 y anótenlos en table de la página letras y cifras. con yor, ma a or men

¡Cuidado con los cero s!

10

Eje temático: SN y PA

Apartado 1.1

Plan 3/4

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Ciclo Escolar 2009-2010

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Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (4/4)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números naturales

Apartado 1.1 Conocimientos y habilidades Leer, escribir y comparar números con diferente cantidad de cifras.

Intenciones didácticas Que los alumnos formen números de seis o más cifras que se aproximen a otro sin que lo rebase.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Si los alumnos tienen dudas de cómo realizar el ejercicio, podrá ejemplificar con otro ejercicio para todo el grupo. Por ejemplo:

Número a aproximar

Cifras permitidas

Número menor que más se aproxima

12 890

4, 6, 7, 1, 1

11 764

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Las diferentes respuestas deben ocasionar una discusión en la que los alumnos intenten defender su posición explicando por qué consideran que su respuesta es la correcta.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

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Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Sin pasarse Formados en equipos , completen el cuadro dición de usar todas siguiente, con la con las cifras permitidas . Número al que se aproximará

Cifras permitidas

500 000

7, 9, 1, 6, 8, 3

1 146 003

6, 1, 5, 1, 3, 2, 9

426 679 034

1, 2, 1, 9, 6, 7, 5, 0, 8

10 000 009

9, 7, 8, 9, 8, 8, 9

89 099 459 549 945

Número menor que más se aproxima

9, 0,1, 7, 6 4, 4, 4, 5, 5, 5, 9, 9, 9

Una vez terminado el cuadro, confronten sus respuestas argum tando las razones de enlas mismas.

Eje temático: SN y PA

Apartado 1.1

Plan 4/4

11

Ciclo Escolar 2009-2010

15

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (1/2)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números fraccionarios

Apartado 1.2 Conocimientos y habilidades Utilizar fracciones para expresar el cociente de la división de una medida entera entre un número natural (2 pasteles entre 3; 5 metros entre 4, etc.).

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos usen números fraccionarios para expresar resultados en problemas de reparto.

Consideraciones previas En grados anteriores los alumnos resolvieron problemas de reparto utilizando diversos procedimientos; podrán seguir usando estos procedimientos y se espera que evolucionen hasta determinar que al repartir m unidades entre n personas, el resultado es la fracción m o una equivalente. n Es muy probable que en la confrontación de resultados los alumnos expongan varios procedimientos incluyendo el que se desea que usen (la anticipación de la fracción m  ). La n pregunta del inciso c) pretende que los alumnos se den cuenta de este hecho; de no ser así, usted puede introducirlo y cerrar la actividad con esta conclusión. Se sugiere plantear problemas similares para que los alumnos contesten de modo oral, por ejemplo: se reparten ocho pasteles entre cinco niños, ¿cuánto le toca a cada uno? Respuesta: 85  .

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

16

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

s? ¿A quién le toca má

Consigna

arlas. Las galletas se rep en las siguientes tab . una En equipos, complet ning re sob que itativa, sin ten de manera equ Cantidad de niños

Equipo

Cantidad de galletas

A

1

5

B

2

5

C

3

5

D

4

5

E

5

5

a) ¿En cuál

¿Cuánto le toca a cada niño?

a niño?

s galletas a cad equipo le tocaron má

b) ¿En cuál equipo

etas a cada niño?

le tocaron menos gall

a con la segunda y

a la cuarta column

c) ¿Cómo se relacion tercera?

Equipo

Cantidad de galletas

F

7

3

7

4

H

7

5

I

7

6

J

7

7

a) ¿En cuál equipo

etas a cada niño?

le tocaron más gall

etas a cada

le tocaron menos gall

b) ¿En cuál equipo niño?

a con la segunda y

a la cuarta column

c) ¿Cómo se relacion la tercera?

12

¿Cuánto le toca a cada niño?

Cantidad de niños

G

la

Eje temático: SN y PA

Apartado 1.2

Plan 1/2

Ciclo Escolar 2009-2010

17

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/2)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números fraccionarios

Apartado 1.2 Conocimientos y habilidades Utilizar fracciones para expresar el cociente de la división de una medida entera entre un número natural (2 pasteles entre 3; 5 metros entre 4, etc.).

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos usen números fraccionarios para expresar resultados en problemas de división.

Consideraciones previas Al igual que en la sesión anterior, es muy probable que en la confrontación de resultados los alumnos expongan varios procedimientos incluyendo el que se desea estudiar (la anticipación de la fracción m  ); la pregunta del n inciso c) pretende que los alumnos se den cuenta de este hecho, de no ser así, usted puede introducirlo y cerrar la actividad con esta conclusión. Se sugiere plantear otros problemas similares para que los alumnos contesten oralmente, por ejemplo: el robot X avanza 9 unidades al dar 7 pasos, ¿cuánto avanza al dar un paso? Respuesta: 97  .

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

18

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Pasos de robot En equipos, complet en las siguientes tab las. Cada robot ava dades que se señala, nza la cantidad de en función del núm uniero de pasos que se indica. Robot A

Avanza estas Al dar este ¿Cuánto avanza al unidades número de pasos dar un paso? 1 5

B

2

7

C

4

10

D

7

12

E

10

30

a) ¿Cuál robot avanza más en un paso? b) ¿Cuál robot avanza menos en un paso? c) ¿Cómo se relacion a la cuarta column a con la segunda y cera? la ter-

Robot F

Avanza estas Al dar este ¿Cuánto avanza al unidades número de pasos dar un paso? 5 2

G

3

3

H

8

12

I

9

15

J

6

10

a) ¿Cuál robot avanza b) ¿Cuál robot avanza

más en un paso? menos en un paso?

c) ¿Cómo se relacion a la cuarta column a con la segunda y tercera? la

Eje temático: SN y PA

Apartado 1.2

Plan 2/2

13

Ciclo Escolar 2009-2010

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Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (1/4) Apartado 1.3 Conocimientos y habilidades

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números decimales

decimales todas las cantidades que representan los cuadrados-unidad coloreadas, y que lean los números y los ordenen del menor al mayor.

Comparar, ordenar y encuadrar números decimales.

Observaciones posteriores Intenciones didácticas Que los alumnos comuniquen, mediante nú­ me­ros con punto decimal, cantidades repre­ sen­tadas en el cuadrado-unidad.

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Los alumnos han trabajado con números deci­males en grados anteriores, por lo que se es­pera que concluyan que si el cuadrado grande vale uno, entonces cada tira vale un décimo; cada cuadradito vale un centésimo, y cada rectangulito vale un milésimo. Los alumnos que puedan deducir esto podrán escribir mensajes numéricos, como 0.523 para colorear cinco tiras, dos cuadraditos y tres rectangulitos. Aunque también pueden proponer 3 5 2 expresiones como 10  , 100 y 1000  , lo cual le dará más riqueza a la confrontación de los resultados. Es importante enfatizar que en los mensajes no se pueden utilizar palabras ni dibujos. Si a nadie se le ocurre usar números con punto decimal o fracciones decimales para elaborar su mensaje, usted puede apoyarlos con intervenciones como: si el cuadrado grande vale uno, ¿cuánto vale una tira?, ¿cómo escribes esa cantidad?, ¿cuánto vale un cuadradito?, ¿cómo escribes esa cantidad?, ¿cuánto vale un rectangulito?, ¿cómo escribes esa cantidad?, ¿cómo escriben la cantidad total que colorearon? En la confrontación de resultados el docente puede comentar la eficacia del punto decimal para la elaboración de los mensajes y la importancia que tiene interpretarlos de la misma manera, tanto por parte de quien elaboró el mensaje como por parte de quien lo recibió. Para cerrar la actividad es conveniente que escriban con punto decimal y con fracciones

20

Matemáticas 6

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna eros Mensajes con núm

de su cuadrados-unidad ipos utilicen los dos la siguiente Organizados en equ ina 171 para realizar pág la de le rtab material reco actividad. unidad es 1 y que en r de cada cuadradoRecuerden que el valo tiras, los cuadraditos y los rectangulitos. r las ellos se van a marca rectangulito

cuadradito

tira

, sin que cuadrados-unidad sólo en uno de sus dradi1) Primero colorean quieran de tiras, cua que d tida can la , dejan en blannadie los observe cuadrado-unidad lo otro El s. ulito ang tos y rect co. cifras, la cantidad de n en un papel, usando no rearon. En el papel 2) Después, escribe colo que s ulito rectang tiras, cuadraditos y . ujos dib ni as abr pal pueden poner a otro equipo (el que ribieron lo entregan tidad de 3) El mensaje que esc coloree la misma can que a par r) feso pro ad. les indique su otro cuadrado-unid rectangulitos en el y s dito dra cua , tiras intercamque el con ipo , verifiquen si el equ d de tiras, cuadradi4) Cuando terminen reó la misma cantida biaron el mensaje colo error. tos y rectangulitos. en dónde estuvo el cantidad, analicen 5) Si no es la misma

14

Eje temático: SN y PA

Apartado 1.3

Mensajes con núm eros

Plan 1/4

171

Ciclo Escolar 2009-2010

21

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/4)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números decimales

Apartado 1.3 Conocimientos y habilidades Comparar, ordenar y encuadrar números decimales.

Intenciones didácticas Que los alumnos usen la recta numérica para encuadrar números decimales.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Lo primero que deben hacer los alumnos es determinar a qué números corresponden las marcas en cada una de las rectas. Sólo se pide de manera aproximada porque el propósito es que los alumnos sepan encuadrar los decimales; por ejemplo, el 4.56 está entre el 4 y el 5, pero como está marcado el 4.5 se espera que los alumnos lo coloquen entre el 4.5 y el 5. En la segunda recta numérica se tiene que encuadrar con un mayor grado de precisión, ya que todos los números están entre 2 y 3; pero los alumnos tendrán que determinar si están entre 2.1 y 2.2, o entre 2.25 y 2.40. Por ejemplo, para el caso de 2.752, los alumnos tendrán que ubicar el número entre el 2.7 y 2.8, pero como hay un punto entre éstos, tendrán que precisar que se ubica entre 2.75 y 2.8.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

22

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

¿Entre cuál y cuál? En equipos, sobre cad a recta numérica indi quen de manera aproximada dónde se encuentran los sigu ientes decimales: 1) 4.56 3.25 1.125 2.3 0.628 0 5

2)

2.41

2.37

2.025

2.752

2.849

2 3

Eje temático: SN y PA

Apartado 1.3

Plan 2/4

15

Ciclo Escolar 2009-2010

23

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (3/4)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números decimales

Apartado 1.3 Conocimientos y habilidades Comparar, ordenar y encuadrar números decimales.

Intenciones didácticas Que los alumnos se den cuenta de que el número de cifras de la parte decimal de un número escrito con punto decimal, no es criterio para determinar si el número es mayor o menor.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Se espera que en las jugadas haya casos en los que un número de tres cifras decimales sea menor que uno de una o dos cifras decimales, por ejemplo, que un alumno forme el 0.431 y otro el 0.6. La idea es que ellos mismos se den cuenta de que el número de cifras no es determinante para comparar los números que están a la derecha del punto decimal.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Si no se diera el caso, en el cierre de la actividad el maestro puede suponer algunos casos, por ejemplo, decirles que si a un alumno le salió 3, 2 y 1 y a otro le salió 5, ¿puede el alumno que le salió 5 formar un decimal mayor que el que forme el otro alumno? Si nota que algunos alumnos tienen dificultad en determinar quién ganó la jugada porque creen que 0.321 es mayor que 0.5, puede recurrir a los cuadrados unidad en donde los alumnos verán que 5 tiras (décimos) son mayores que 0.321 porque en este número sólo hay 3 tiras completas. 3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

24

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

s del punto? ¿Qué pasa despué

Consigna

la siguiente actividad. ejas lleven a cabo ignen quién es el juOrganizados en par abajo y un dado. Des de resla tab la rán Necesita en las columnas cor bres nom sus n riba Esc gador 1 y quién el 2. uno, pondientes. seguido a veces de un cero y un punto, acios que haya y Observen que hay dado según los esp el cen Lan s. an, salg acio dos o tres esp números que les ero posible con los lanzo formen el mayor núm si hay dos espacios plo: ejem Por s. acio esp sólo hay un anotándolos en los 1 y 4 escribo 0.41. Si salió me si ero o, núm dad dos veces el ré escribir ese vez el dado y sólo pod espacio, lanzaré una los en dicho espacio. anotado el número, dos jugadores hayan mayor Después de que los a escrito el número hay n quie da juga la compararán. Gana a. en la tercera column y anotará su nombre

Jugada

16

Primer jugador Nombre:

Segundo jugador Nombre:

1

0. ___ ___ ___

0. ___ ___

2

0. ___

0. ___ ___ ___

3

0. ___ ___ ___

0. ___

4

0. ___ ___

0. ___ ___ ___

5

0. ___

0. ___ ___

6

0. ___ ___

0. ___

Eje temático: SN y PA

Ganador de la jugada:

Apartado 1.3

Plan 3/4

Ciclo Escolar 2009-2010

25

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (4/4)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números decimales

Apartado 1.3 Conocimientos y habilidades Comparar, ordenar y encuadrar números decimales.

Intenciones didácticas Que los alumnos reafirmen su habilidad para comparar y ordenar números decimales.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Es posible que a algunos alumnos se les dificulte la lectura de los números por la forma en que están acomodados; si ése es el caso, puede sugerirles que los escriban y los ordenen por separado, ya sea en columna o en fila. También puede introducir, si es que en las confrontaciones grupales no ha surgido, una nueva manera de comparar decimales. Apoyándose en el cuadrado-unidad, haga notar a los alumnos que 0.5 = 0.50 = 0.500, etc., es decir, que podemos agregar ceros a la derecha de un número escrito con punto decimal y esto no altera el valor. Esta propiedad de los decimales está basada en la equivalencia de fracciones: 500 5 50 = 100 = 1000 , lo cual permite comparar 10 más fácilmente los decimales; por ejemplo, 0.5 es mayor que 0.125 porque 0.500 es mayor que 0.125 (500 milésimos es mayor que 125 milésimos). En esencia, lo que se hace es convertir ambas fracciones al mismo denominador para poder compararlas más fácilmente.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

26

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

La figura escondida Individualmente, des cubre la figura escond ida uniendo los núm un orden creciente (empezando por 0.00 eros. Debes seguir 1) y, al final, regresa rás a él. 0.001

0.123

0.5

0.317

0.2

0.62

Eje temático: SN y PA

Apartado 1.3

0.015

Plan 4/4

17

Ciclo Escolar 2009-2010

27

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (1/3)

Tema. E  stimación y cálculo mental Subtema. Números naturales

Apartado 1.4 Conocimientos y habilidades Realizar las operaciones con números naturales con diferentes recursos: mental, con algoritmo o con calculadora.

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos calculen mentalmente el resultado de operaciones con números naturales.

Consideraciones previas Se sugiere que proponga a sus alumnos cotidianamente ejercicios de cálculo mental. Es importante mencionar que en el cálculo mental se espera que los alumnos encuentren el resultado exacto, a diferencia de la estimación en la que el resultado es aproximado. También es importante aclarar a los alumnos que el cálculo mental no se refiere a realizar mentalmente el algoritmo convencional, sino que se debe hacer uso de otras estrategias. Por ejemplo, para sumar 319 + 181, se puede proceder de las siguiente manera: 100 + 300 = 400; 81 + 19 son 100; 400 y 100 dan 500.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

28

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

A ejercitar la mente

Consigna

ente:

al calcula mentalm

De manera individu 1. De los siguientes de mil: 320 181

seis números, elige 263

dos cuya suma sea

la mitad 257

182

319

e más al doble de mil: cuya suma se aproxim 1403 2. Escoge dos números 1500 1203 597 495 599 o

los den como resultad

eros que al multiplicar

3. Selecciona dos núm el triple de mil: 30

10

50

600

60

500

menor dir el mayor entre el , de los cuales al divi 4. Elige dos números parte de mil: ta quin la o ltad 5 se obtenga como resu 4 2 800 2000 500

18

Eje temático: SN y PA

Apartado 1.4

Plan 1/3

Ciclo Escolar 2009-2010

29

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/3)

Tema. E  stimación y cálculo mental Subtema. Números naturales

Apartado 1.4 Conocimientos y habilidades Realizar las operaciones con números naturales con diferentes recursos: mental, con algoritmo o con calculadora.

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos utilicen el recurso más adecuado, cálculo mental o algoritmo escrito, en la resolución de problemas.

Consideraciones previas Cuando los alumnos estén resolviendo los problemas observará si algunos están empleando el cálculo mental, de no ser así, podrá invitarlos a que lo hagan pues la consigna dice que lo deben hacer con al menos tres de los problemas. Recuérdeles que el cálculo no implica hacer mentalmente la operación siguiendo el mismo algoritmo escrito, sino que se trata de hallar otros procedimientos. Por ejemplo, para obtener la mitad de 48 630 000 no se hace la división de este número entre 2, sino que obtenemos la mitad de 48 que son 24 y de 630 que son 315, así el resultado es 24 315 000.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Dado que el cálculo mental es limitado, el alumno podrá usar algoritmos con lápiz y papel en aquellos problemas en que lo considere necesario. En esta actividad, la calculadora es útil para verificar los resultados. Se sugiere hacer una confrontación grupal de resultados y procedimientos en donde hagan énfasis en la identificación de aquellos problemas que pudieran resolverse con cálculo mental.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

30

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

¿Por escrito o menta l? Individualmente resu elvan los siguientes prob lemas, pero no los hag do las operaciones nec an todos escribienesarias; utilicen el cálc ulo mental en al men Cuando tengan los resultados, usen su calc os tres problemas. uladora para comprob 1. Si un barco mexican arlo s. o carga en promedio 542 mil barriles de petr embarque, ¿cuánto s barriles llevará en óleo crudo por 4 embarques?

Consigna

2. La zona de almace namiento de Ku Mal oob Zaap, en Campeche, tien e una capacidad de 2.2 millones de barriles de petróleo crudo. Si se llena una vez al mes, ¿cu ántos barriles son alm acenados al año? 3. Si el barril de petr óleo crudo se compra en 108 dólares, ¿cuánto se debe pagar en dóla res por la compra de 542 mil barriles? (estimarlo en cientos de millones).

cación Pública informa 6. La Secretaría de Edu ico 2008 en el nivel bás que la Prueba ENLACE per697 mil 296 alumnos se aplicó a 10 millones aria y prim 378 planteles de tenecientes a 121 mil ra de ertu cob una nta ese secundaria, lo que repr cantidad corresponde ¿Qué aplicación del 99%. es aplicados? men exá de l tota del al 1%

4. En México, una hec tárea de terreno pue de producir entre 2 y 12.6 toneladas de maíz, dependiendo del clim a y de la calidad del suelo. El promedio nac ional es de 7 toneladas por hectárea. Exp resen en kilogramos la producción prom edio de 50 hectáre as.

6. datos de la pregunta 7. Toma en cuenta los nivel las escuelas fue de Si la cuarta parte de l s escuelas de este nive secundaria, ¿cuánta on? luar se eva

5. Si la población infa ntil de India es de 48 630 000 y la mitad tiene prob lemas de desnutrició n, ¿cuántos niños con ese prob lema hay en la Indi a?

Apartado 1.4

Plan 2/3

19

en al nivel de

s planteles correspond

la pregunta 6, ¿cuánto 8. Según los datos de ? educación primaria

ricano 9. El continente ame territorial tiene una extensió2n el ande 42 500 000 km y 2 , ¿por km tártico 14 000 000 dracua s etro kilom cuántos el contidos es más grande no? nente america

: NASA. Huracán Catrina. Fuente

Eje temático: SN y PA

20

del sureste mexi10. En 2007, la zona por diversos cano fue afectada ucción de huracanes. La prod ladas por tone 2 a jo maíz se redu se perdió en hectárea. ¿Cuánto ción para com 70 hectáreas, en promedio? con la producción

Eje temático: SN y PA

Apartado 1.4

Ciclo Escolar 2009-2010

Plan 2/3

31

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (3/3)

Tema. E  stimación y cálculo mental Subtema. Números naturales

Apartado 1.4 Conocimientos y habilidades Realizar las operaciones con números naturales con diferentes recursos: mental, con algoritmo o con calculadora.

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos utilicen el recurso más adecuado, cálculo mental, algoritmo escrito o calculadora en la resolución de problemas.

Consideraciones previas Es importante que se percate de que los equipos de trabajo usen las estrategias propuestas. Al finalizar, se sugiere que oriente la reflexión sobre qué estrategia fue la más adecuada para la solución de cada problema. Se espera que los alumnos valoren que en algunos casos el cálculo mental es más adecuado que el escrito, incluso que es más apropiado que el uso de la calculadora.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

32

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

La Eurocopa 2008 En equipos de tres estudiantes resuelva n los siguientes pro cálculo mental, otro blemas. Uno utilizará hará operaciones con el lápiz y papel, y el terc ladora. Al final com enten cuál estrategia ero usará la calcuresulta más apropia ma. da para cada proble1. En 2008, en la Euro copa las selecciones de España y de Itali millones y 369 millone a se cotizaron en 376 s de euros, respecti vamente. ¿Cuántos den a la diferencia millones corresponentre esas seleccio nes? 2. Los árbitros cobraro n 10 000 euros por cad a partido, los jueces cuarto árbitro 4 000 asistentes 5 000, el y el quinto 3 000 euro s. ¿Cuánto costó el en ese evento? arbitraje de un partido 3. Por el simple hec ho de competir en la Eurocopa, cada 7.5 millones de euro país participante reci s. Cada triunfo se pre bió mió con un millón de con 500 000 euros, euros, y un empate mientras que cada encuentro perdido ción. Un equipo gan no obtuvo remuneraó cuatro partidos, emp ató dos y perdió tres obtuvo por su particip ; en total, ¿cuánto ación?

Eje temático: SN y PA

Apartado 1.4

Plan 3/3

21

Ciclo Escolar 2009-2010

33

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (1/2) Apartado 1.5

Tema. Figuras Subtema. Figuras planas

Los 16 cuadriláteros son:

Conocimientos y habilidades Clasificar cuadriláteros.

Intenciones didácticas Que los alumnos construyan cuadriláteros y describan algunas de sus características.

Consideraciones previas Previamente prepare un pliego de papel semejante al del material recortable de los alumnos, de tamaño suficiente para que todo el grupo lo trabaje. Es importante aclarar que cuando los alumnos hayan registrado las figuras, este pliego se ocupará en la sesión siguiente. Cuando los alumnos hayan terminado de trabajar en su hoja, pasarán al frente del grupo para registrar en el pliego de papel los cuadriláteros que encontraron. Cuando estén completos, pida a algunos alumnos que digan lo que saben de cada figura, incluyendo el nombre, por ejemplo: • Es un cuadrado. • Sus cuatro lados son iguales. • Tiene dos pares de lados paralelos. • Tiene lados perpendiculares. • Es simétrico. • Tiene cuatro ejes de simetría. • Sus ángulos son iguales. • Sus ángulos miden 90°. De algunas figuras no podrán enumerar muchas características, incluso tal vez no sepan su nombre. Si el maestro lo considera conveniente puede decirles los nombres de las figuras y alguna característica que los alumnos no identifiquen.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

34

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Cuadriláteros

equipos realicen la 169 y organizados en rtable de la página Utilicen el material reco s de tal manera que siguiente actividad. figura de cuatro lado puntos tracen una a y medida se conEn cada conjunto de figuras con igual form Dos tos. pun los de tro las todas! tren uén ¡enc sus vértices sean cua ras, figu sola. En total hay 16 sideran como una

Cuadriláteros

22

Eje temático: FEM

Apartado 1.5

Plan 1/2

169

Ciclo Escolar 2009-2010

35

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (2/2) Apartado 1.5 Conocimientos y habilidades Clasificar cuadriláteros.

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen la característica común de colecciones de cuadriláteros y que identifiquen los cuadriláteros que tienen cierta característica.

Consideraciones previas Previamente numere los cuadriláteros de la sesión anterior y pegue el pliego de papel al frente, por ejemplo:

Tema. Figuras Subtema. Figuras planas

El maestro puede proponer otras colecciones de cuadriláteros con alguna característica común, incluso puede proponer a los alumnos que mencionen otras colecciones. Para la consigna 2: el maestro puede mencionar características como: a) Tienen exactamente un eje de simetría (3, 9, 11 y 16). b) Tienen exactamente dos ejes de simetría (4). c) Tienen cuatro ejes de simetría (1, 2 y 13). d) Tienen sólo un par de lados paralelos (3, 7 y 8) Asimismo, puede pedir que los alumnos las mencionen.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Para la consigna 1: las colecciones que puede proponer son: a) 1, 2 y 13 (lo que tienen en común es que son cuadrados). b) 1, 2, 4, 5, 12 y 13 (tienen dos pares de lados opuestos paralelos). c) 3, 7 y 8 (tienen sólo un par de lados paralelos). d) 1, 2, 3, 4, 9, 11, 13 y 16 (tienen al menos un eje de simetría). e) 6, 11, 15 y 16 (tienen un ángulo mayor de 180°). f) 9, 10 y 14 (no tienen lados paralelos).

36

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna 1 Consigna 2

¿En qué se parecen? Observen el pliego de papel del profeso r, que contiene los cua anterior, él señalará driláteros de la sesión varias figuras y uste des dirán qué caract nen esos cuadrilátero erística en común ties. Ahora, el profesor nom brará una caracterís tica y ustedes dirán de los que están en cuáles cuadrilátero el papel del profeso s, r, tienen esa caract erística.

Eje temático: FEM

Apartado 1.5

Plan 2/2

23

Ciclo Escolar 2009-2010

37

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (1/4)

Apartado 1.6 Conocimientos y habilidades Trazar e identificar circunferencias y sus elementos: radio, diámetro y centro. Distinguir puntos interiores a la circunferencia: definir círculo.

Intenciones didácticas Que los alumnos conciban a la circunferencia como un conjunto de puntos que están a la misma distancia de otro punto al que se llama centro y que identifiquen esa distancia como el radio de la circunferencia.

Consideraciones previas Las tres actividades tienen el propósito de motivar en los alumnos la construcción del concepto de circunferencia, como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de otro punto al que se le llama centro. En el caso de la primera actividad, el centro es el compañero voluntario, mientras que en las otras dos actividades el centro es el punto rojo que marcaron en la hoja. Si la primera actividad no se puede realizar en el salón de clases, podrán hacerlo en el patio. Hay que llevar un metro o un listón que mida un metro y prestarlo a los alumnos que lo requieran; pronto, los estudiantes notarán que están formando una circunferencia, aunque es muy probable que le llamen círculo. Aclarar que forman una circunferencia y que el espacio que está dentro es el círculo. La segunda actividad requiere que los alumnos tengan una regla o escuadra graduada. A partir de esta actividad, algunos alumnos se darán cuenta de que lo solicitado es una circunferencia de 5 cm de radio con el centro en el punto rojo, por lo que, quizá, usen el compás. Cuando se indique el ALTO, se deberá pedir a los alumnos que digan cuántos puntos encontraron. Aquellos alumnos que usaron el compás podrán responder “muchos”, “muchísimos”, “no los puedo contar” e, incluso, “un número infinito”. La tercera actividad tiene el propósito de que los alumnos usen la cuerda como compás. Se recomienda que sea de hilo grueso y que no se estire; pueden utilizar el hilo cáñamo o algún estambre parecido. Es probable que algunos

38

Matemáticas 6

Tema. Figuras Subtema. Figuras planas

alumnos aún marquen de punto en punto; la estrategia óptima es que uno de los integrantes de la pareja sujete un extremo en el punto rojo y el otro, con el lápiz en el extremo opuesto, marque la circunferencia. La circunferencia contiene todos los puntos que es posible marcar. Al terminar las tres actividades, puede preguntar a los alumnos aspectos como los siguientes: ¿Qué se formaba en todos los casos? Si tuvieran que explicarle a alguien qué es una circunferencia, ¿cómo lo harían sin usar dibujos? Para finalizar, es conveniente que se formalice lo trabajado. Los alumnos identificarán la circunferencia, el centro y el radio en cada una de las actividades propuestas. Se les puede pedir que hagan un resumen en su cuaderno y que lo ilustren.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

La misma distancia n o del ará al centro del saló Un voluntario se par su compañero. de ro met un a án har

1.

patio; después, los

demás lo

Cortesía de la escuela

General Andrés Figuero

a.

Consigna

2.

¿Qué figu ia?ra forman todos los a un metro de distanc puntos que marcaron?

Eje temático: FEM

Apartado 1.6

Plan 1/4

General Andrés Figuero a.

24

los que se pararon

3.

Cortesía de la escuela

¿Qué figura forman

Organizados en par ejas, el profesor entr egará una hoja blan quen un punto rojo ca para que maren el den a 5 cm de distanc centro. Después, marcarán todos los pun tos que queia del punto rojo. Gan puntos cuando el pro a la pareja que logr e marcar más fesor diga ¡ALTO!

Seguirá el trabajo en parejas. Deberán volt ear la hoja blanca punto rojo en el cen y colocar otro tro. Se les entregará un pedazo de cuerda cm. Luego, deberán que mida 6 buscar la manera de usar la cuerda para puntos que estén a marcar muchos 6 cm de distancia del punto rojo. Gana quie puntos. n marque más

¿Encontraron alguna manera de marcar todos los puntos pos Expliquen cómo lo ibles? hicieron.

Eje temático: FEM

Apartado 1.6

Plan 1/4

25

Ciclo Escolar 2009-2010

39

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (2/4)

Tema. Figuras Subtema. Figuras planas

Apartado 1.6 Conocimientos y habilidades Trazar e identificar circunferencias y sus elementos: radio, diámetro y centro. Distinguir puntos interiores a la circunferencia: definir círculo.

Observaciones posteriores

Intenciones didácticas

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos conciban al círculo como la superficie que queda limitada por una circunferencia.

Consideraciones previas Mientras los alumnos trabajan, el profesor puede recorrer los diferentes equipos y apoyarlos en caso de que note que no han entendido lo que se tiene que hacer. Se espera que las experiencias de la sesión anterior sirvan de base para resolver este problema, ya que, en esencia, es un problema similar: encontrar todos los puntos que están a 3 cm del punto rojo (circunferencia) y después colorear de azul todos los puntos que quedan dentro (círculo).

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

En el momento de la confrontación debe centrar la atención en la distinción entre circunferencia y círculo. • La circunferencia es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de otro que se llama centro. • El círculo es la superficie interior de una circunferencia. Para reafirmar este conocimiento puede pedir que tracen circunferencias con las siguientes medidas y que después se remarquen de un color las circunferencias y coloreen de un tono diferente los círculos. a) Radio 5 cm b) Radio 3.5 cm c) Radio 4

40

1 2

cm

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

pueblo. ajo es de un ite a una apa de ab m uiente. El m o que trans di sig ra a de hagan lem prob ntímetro y una antena resuelvan el ro con un ce e se instaló En equipos lugar dond esenten cada kilómet el es jo ro El punto km. Repr áxima de 3 distancia m ica. lo que se ind

La antena

a e se escuch zona dond límite de la el jo nde se ro n la zona do quen co 1. Remar del límite de eda dentro qu e qu la radio. lo ro todo n de azul cla 2. Coloree ? radio. unferencia escucha la lo o una cic ¿es un círcu n con rojo, ro ca ar m 3. Lo que nferencia? o una circu s un círculo ¿e ul, az n co colorearon 4. Lo que

5.

s ntes amba

é son difere

cen y en qu

pare ¿En qué se ? geométricas

formas

FEM Eje temático:

Apartado 1.6

Plan 2/4

26

Ciclo Escolar 2009-2010

41

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (3/4)

Apartado 1.6 Conocimientos y habilidades

Tema. Figuras Subtema. Figuras planas

co­mo el conjunto de puntos que están a una distancia del centro menor que la medida del radio de la circunferencia.

Trazar e identificar circunferencias y sus elementos: radio, diámetro y centro. Distinguir puntos interiores a la circunferencia: definir círculo.

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen la relación entre las medidas del radio y el diámetro, así como la existente entre la medida del radio y la de cualquier segmento que une el centro con un punto interior del círculo.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas En muchas ocasiones, dibujar las figuras en papel puede provocar que los alumnos tengan ideas erróneas de un concepto. Por ejemplo, cuando se traza una circunferencia se confunde con un círculo. El uso de figuras de papel dará al alumno otra idea de lo que es círculo y lo que es circunferencia. La primera actividad introduce el término diámetro como un eje de simetría de un círculo (o de la circunferencia), al mismo tiempo que se identifica como el segmento que divide al círculo en dos partes iguales. Se espera, además, que el alumno llegue a la conclusión de que un círculo tiene un número infinito de diá­ me­tros y que todos miden lo mismo. La segunda actividad pretende que el alumno explore la manera de encontrar el centro en un círculo de papel; esto es relativamente sencillo pues lo único que tiene que hacer es doblar el círculo por dos de sus diámetros; el punto donde se cortan dos diámetros es el cen­tro del círculo. En esta actividad, el alumno también concluirá que la medida del radio es siempre la mitad de la del diámetro. En la sesión anterior, el alumno exploró el concepto de círculo como la superficie que queda limitada por la circunferencia. En la actividad tres de la presente sesión, se espera que el alum­no profundice en su conocimiento del círculo al concluir que se puede concebir

42

Matemáticas 6

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Relacio

nes con el radio

Organiz ados en tres círc equipo ulos de utilicen papel. una tap a para marcar y recort 1. Tom ar en un c írculo y y marqu dóblen en con lo por la m rojo la lín ita d. Lueg ea. o, desd óblenlo

Consigna

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rojo ulo. Marquen con

círc 3. Tomen el tercer

la circunferencia.

Tomen otro círc ulo tamente el centro . Busquen una trado e manera de la l centro de enc , respon circunferencia ontrar e .C dan las siguiente uando hayan xacencons pregun a) ¿Cuá ta s. nto mid e el rad io de la circunfe rencia? b) ¿Cuá nto mid e el diá metro d e la circ unferen c) ¿Cuá cia? l es la re lación e ntre rad io y diá metro?

unferencia. centro de la circ a) Encuentren el Eje temáti co: FEM e? mid o ánt Apartad io. ¿Cu o 1.6 b) Tracen un rad tro, pero dentro del cen del ia anc te dist ren dife a n . tos esté pun esos tos que de pun 5 uno en a rqu cad Ma a tro c) distancia del cen círculo. Midan la r es mayor que la en el inciso anterio que encontraron sucede esto? las de ia anc ¿Por qué creen que d) ¿Alguna dist io? rad del a medid

28

Eje temático: FEM

Apartado 1.6

Plan 3/4

27

Plan 3/4

Ciclo Escolar 2009-2010

43

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (4/4)

Apartado 1.6 Conocimientos y habilidades Trazar e identificar circunferencias y sus elementos: radio, diámetro y centro. Distinguir puntos interiores a la circunferencia: definir círculo.

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan problemas que estén relacionados con el trazo de circunferencias.

Consideraciones Previas En todos los casos se pretende que el alumno explore las propiedades de la circunferencia. Los últimos cuatro problemas están muy relacionados entre sí. En el problema 2, los alumnos hallarán el punto medio del segmento, siendo ese el centro de la circunferencia que se pide. En el problema 3 podrán trazar las dos diagonales del cuadrado y el punto donde se cortan es el centro de la circunferencia pedida. Este último problema tiene múltiples soluciones porque existe una infinidad de rectángulos cuyos vértices están sobre la circunferencia. Un posible procedimiento es el siguiente:

Tema. Figuras Subtema. Figuras planas

zar los diámetros necesitamos identificar el centro y ese es precisamente el problema que se desea resolver. Por tanto, no es válido. • Otro posible procedimiento es que calquen la circunferencia, la recorten y, con dobleces, encuentren dos diámetros y su punto de intersección; después podrán colocar encima el círculo recortado y marcar de alguna manera el centro en la circunferencia dibujada. • Si los alumnos son observadores, podrán darse cuenta de que para trazar un rectángulo no necesitan saber dónde está el centro pero, cuando ya lo tienen, pueden trazar sus diagonales donde el punto de intersección será el centro de la circunferencia. Esto lo pueden hacer porque en el ejercicio 3 trazaron un rectángulo. • Una estrategia muy común, pero difícil para los alumnos de sexto grado, es trazar dos segmentos que toquen dos puntos de la circunferencia (que no sean diámetros) y que, además, no sean paralelos. Después, a cada uno trazarle la mediatriz (perpendicular en el punto medio). Si nota que algún equipo no puede resolver este problema, apóyelos con intervenciones co­mo: en el ejercicio 2, ¿dónde colocaste el com­pás para trazar la circunferencia?; en el ejercicio 3, teniendo el rectángulo, ¿puedes hallar el centro de la circunferencia?, ¿cómo?, ¿te servirá esto para resolver el ejercicio 4?

Observaciones posteriores El primer segmento es cualquiera que toque dos puntos de la circunferencia (que no sea diámetro). Los segmentos que se trazan en la segunda figura deben ser perpendiculares al segmento que ya estaba trazado.

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Para el quinto problema pueden seguir diferentes procedimientos: • Como en la clase anterior concluyeron que el punto donde se cortan dos diámetros es el centro, es probable que algunos tracen dos diámetros y encuentren el centro. Este procedimiento es erróneo porque para tra-

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Matemáticas 6

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Fecha:

Consigna

4. Tracen

y compás Trazos con regla

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ngulo cu

os

a caso. En tod se indica en cad

trazar lo que n una manera de métricos. Por equipos busque instrumentos geo sus izar util en los trazos deb

iente figura. Cada

la sigu en su cuaderno 1. Reproduzcan 6 cm de diámetro.

yos vértice

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2. Tracen una circ

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5. Encuen

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siguiente

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3. Tracen una circ

Eje temático: FEM

Apartado 1.6

por los cuatro vér

Plan 4/4

do.

tices del cuadra

30

29 Eje temáti

co: FEM

Apartado

1.6

Plan 4/4

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

45

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (1/3)

Tema. Figuras Subtema. Líneas y ángulos

Apartado 1.7

les, si se dice que se cortan formando ángulos de 90°?

Conocimientos y habilidades

Si es necesario, habrá que orientarlos para que aprendan a dar la información necesaria y suficiente que permita definir un concepto.

Identificar, definir y trazar rectas paralelas, secantes y perpendiculares en el plano. Identificar ángulos rectos, agudos y obtusos.

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen y definan rectas paralelas y secantes; dentro de las secantes que identifiquen y definan el caso particular de las rectas perpendiculares.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Los alumnos han trabajado en grados anteriores con rectas paralelas y perpendiculares. Se trata ahora de que escriban sus definiciones. Es importante que los alumnos enuncien sus definiciones y en caso de ser incompletas, erróneas o que sobren datos, se les guíe con ejemplos o contraejemplos para que planteen definiciones correctas. Por ejemplo, para las rectas paralelas los alumnos pueden decir: Son rectas que no se cortan. Entonces, puede trazar las siguientes líneas y preguntar: ¿se cortan?, ¿son paralelas?

Es conveniente que se maneje con los alumnos la idea de que las rectas pueden prolongarse hacia ambos lados, en este caso, ¿al prolongar las rectas anteriores se cortarán? Para las rectas perpendiculares, los alumnos pueden decir: son rectas que se cortan y forman ángulos iguales de 90°. En este caso hay información de más; por tanto, se puede plantear: ¿será necesario decir que son igua-

46

Matemáticas 6

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna 1

Consigna 2

diculares Paralelas y perpen

antes. as paralelas y las sec ipos analicen las rect Organizados en equ de recta. tipo a cad a par ón cuaderno una definici

Escriban en su

s en equipo diculares. Organizado son secantes perpen de rectas. tipo Las siguientes rectas este a par ón una definici ban en su cuaderno

Eje temático: FEM

Apartado 1.7

Plan 1/3

escri-

31

Ciclo Escolar 2009-2010

47

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (2/3)

Tema. Figuras Subtema. Líneas y ángulos

Apartado 1.7 Conocimientos y habilidades Identificar, definir y trazar rectas paralelas, secantes y perpendiculares en el plano. Identificar ángulos rectos, agudos y obtusos.

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos tracen figuras en donde haya rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas a partir de las instrucciones redactadas por otros compañeros.

Consideraciones previas Se sugiere preparar al menos dos tipos de tarjetas en donde haya rectas paralelas, secantes no perpendiculares y perpendiculares, por ejemplo:

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Se espera que los alumnos del equipo emisor, al redactar las instrucciones, usen expresiones como “rectas paralelas”, “perpendiculares” y “secantes”. Los alumnos del equipo receptor, al recibir las instrucciones, usarán sus instrumentos geométricos para hacer los trazos que se indiquen. Mientras los alumnos trabajan en la elaboración de mensajes o en el trazo de las figuras, puede vigilar el trabajo y apoyarlos en caso necesario. Si observa que son muchos los alumnos que no pueden trazar rectas paralelas o perpendiculares puede hacer un alto en la actividad y recordarle el trazo al grupo en el pizarrón.

48

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Descripciones Organizados en par ejas soliciten a su pro fesor una tarjeta con figuras geométricas. Redacten las instrucc iones para que otra reja dibuje las misma pas figuras, del mismo tamaño y en las mis posiciones. Cuando mas terminen sus instrucc iones intercámbienl con otra pareja y rea as licen lo que está indi cado en ellas.

32

Eje temático: FEM

Apartado 1.7

Plan 2/3

Ciclo Escolar 2009-2010

49

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (3/3)

Tema. Figuras Subtema. Líneas y ángulos

Apartado 1.7 Conocimientos y habilidades Identificar, definir y trazar rectas paralelas, secantes y perpendiculares en el plano. Identificar ángulos rectos, agudos y obtusos.

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos identifiquen que las rectas secantes forman ángulos rectos o bien ángulos agudos y obtusos.

Consideraciones previas Es probable que los alumnos puedan identificar si los ángulos son mayores o menores que 90° o si son rectos sin necesidad de medir; no obstante, si observa que algunos alumnos no logran identificarlos invítelos a que usen el transportador para medirlos, e incluso si nota que no saben usarlo bien, puede hacer un alto en la actividad y, de manera grupal, recordar cómo se usa. Es importante que los alumnos se queden con la idea de que el ángulo obtuso mide más de 90° pero menos de 180°, algunos alumnos definen al ángulo obtuso como aquel que mide más de 90° pero se les debe aclarar que, por ejemplo, un ángulo de 200° no es obtuso.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Para reafirmar la actividad se puede poner una malla de líneas, como la siguiente, y pedir a los alumnos que identifiquen ángulos agudos, obtusos y rectos y los marquen con color.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

50

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna los Diferentes ángu

s tas secantes, tre parejas de rec ra las rectas uipos tracen 10 Pa eq n. en s sea do lo iza no Organ te que ndiculares y sie que cada pareja lares procuren que sean perpe mplo: son perpendicu las otras, por eje a tes secantes que no ren dife n ángulos de rectas forme

deíquenlos y consi ángulos, identif forman cuatro se e qu ven Obser
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EF
¡
. arán así: Sus trazos qued

33 Eje temático: FEM

Apartado 1.7

Plan 3/3

Ciclo Escolar 2009-2010

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Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (1/4)

Tema. Ubicación espacial Subtema. Representación

Apartado 1.8 Conocimientos y habilidades Describir rutas, la más corta, la más larga, equivalentes, para ir de un lugar a otro. Calcular, de manera aproximada, la distancia de un punto a otro, con ayuda de un mapa.

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos describan diferentes rutas en un mapa para ir de un lugar a otro e identifiquen la más corta.

Consideraciones previas Aquí se persiguen dos propósitos: que los alumnos desarrollen su habilidad para comunicar por escrito una ruta para ir de un lado a otro y además decidan cuál es la más corta. Si se cuenta con la escala a la que está hecho el mapa, el trabajo puede enriquecerse pidiéndoles que calculen la distancia real aproximada, siguiendo la ruta más corta y la más larga.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Como ejercicio de tarea se puede dar un mapa de la localidad y elegir otros lugares para que describan rutas. Otros mapas de las ciudades de México pueden hallarse en la siguiente página: http://www.travelbymexico.com/mapas/index.php

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

52

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

En busca de rutas El siguiente es un ma pa del centro de Gua najuato. Elijan sólo de estos lugares: Tea uno tro Principal, Teatro Juárez, Templo San Basílica de Guanaju Francisco, ato. En pareja describ an, sin mencionarla que se debe seguir , la ruta para ir de la Alhóndig a a un lugar elegido. Después darán sus indicaciones a otra pareja para que des dónde llegarán sigu cubran a iendo la ruta indicad a. Si no logran llegar, analicen si se cometió un error en la descrip interpretación. ción de la ruta o en su

Alhóndiga

34

Eje temático: FEM

Apartado 1.8

Plan 1/4

Ciclo Escolar 2009-2010

53

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (2/4)

Tema. Ubicación espacial Subtema. Representación

Apartado 1.8 Conocimientos y habilidades Describir rutas, la más corta, la más larga, equivalentes, para ir de un lugar a otro. Calcular, de manera aproximada, la distancia de un punto a otro, con ayuda de un mapa.

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos describan diferentes rutas en un mapa para ir de un lugar a otro e identifiquen aquellas en las que la distancia recorrida es la misma.

Consideraciones previas Se persiguen dos propósitos: que los alumnos desarrollen su habilidad para comunicar por escrito una ruta para ir de un lado a otro y, además, identifiquen rutas equivalentes en cuanto a la distancia que se recorre. Si se cuenta con la escala a la que está hecho el mapa, puede enriquecerse el trabajo pidiendo que calculen la distancia real aproximada de la ruta más corta y la más larga.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

En las descripciones de los alumnos es importante que se consideren detalles como las vueltas a la derecha, a la izquierda, calles por las que hay que caminar, el número de cuadras, etcétera.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

54

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Distancias iguales

centro de Puebla. senta un mapa del rentes en las que se A continuación se pre escrito tres rutas dife por an do crib des ipo En equ alo al punto marca Zóc del ir a par ia anc camine la misma dist con la letra A.

otros las que escogieron que describieron con mente, en Comparen las rutas decidan si, efectiva os tod e entr y po compañeros del gru misma distancia. todas se camina la

Eje temático: FEM

Apartado 1.8

Plan 2/4

35

Ciclo Escolar 2009-2010

55

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (3/4)

Apartado 1.8 Conocimientos y habilidades Describir rutas, la más corta, la más larga, equivalentes, para ir de un lugar a otro. Calcular, de manera aproximada, la distancia de un punto a otro, con ayuda de un mapa.

Tema. Ubicación espacial Subtema. Representación

tarea. Hay mapas similares de todos los estados de la República en la página del inegi: http://cuentame.inegi.gob.mx/default.aspx Ahí aparecen varios mapas de cada uno de los estados. Si usted decide cambiar de mapa debe cuidar que traiga indicada la escala de manera gráfica.

Intenciones didácticas Que los alumnos interpreten la escala gráfica de un mapa para calcular distancias reales.

Observaciones posteriores Consideraciones previas Para calcular las distancias pedidas, los alumnos tendrán que identificar la escala, que en este caso es gráfica, y aprender a interpretarla. Si a varios alumnos se les dificulta interpretar la escala se puede hacer un alto en la actividad y, de manera grupal, preguntar cómo se debe interpretar la escala para que se comente que el tamaño del segmento mayor en el mapa equivale a 20 kilómetros de distancia real, la mitad a 10 km y la cuarta parte a 5 km.

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión? Los procedimientos para calcular la distancia pueden ser variados. Es probable que los alumnos marquen el tamaño del segmento y lo superpongan varias veces en la distancia pedida para dar un resultado aproximado. Habrá quienes midan el segmento que equivale a 20 km (o a 10 km o a 5 km), luego midan la distancia pedida y calculen el doble, el triple, etc., o bien, se basen en el valor unitario: ¿cuántos kilómetros equivalen a un centímetro del mapa? Los resultados podrán tener un margen aceptable de error debido a la imprecisión de los instrumentos de medición o a la determinación de los puntos entre los que se calculará la distancia. Se puede usar el mapa de su estado y cambiar las distancias a calcular como un ejercicio de

56

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

¿Cuál es la distan cia real? En equipo, calculen la distancia real apr oximada entre los sigu tes cerros. Den su resp ienuesta en kilómetros. a) De La Calavera a El Mirador b) De El Picacho a Juan Grande c) De San Juan a La Calavera d) De Los Gallos a San Juan

Aguascalientes Relieve

Provincias Fisiográfica s Sierra Madre Occidental

Zacatecas

Mesa del Centro Eje Neovolcánico

cuentame.inegi.gob.mx Fuente: INEGI

Sierra Fría

Sierra de Asientos Cerro San Juan

Cerro El Mirador Sierra Madre Occidental

Mesa del Centro

Cerro La Calavera Cerro Juan Grande El Picacho

Nombre

Sierra El Laurel

Eje Neovolcánico Cerro Los Gallos 0

5

10

kilómetros

36

20

Jalisco

Sierra Fría Sierra El Laurel Cerro El Mirador Cerro La Calavera Sierra de Asientos Cerro San Juan Cerro Juan Grande El Picacho Cerro Los Gallos

Altitud (msnm) 3 050* 2 760* 2 700 2 660 2 650* 2 530 2 500 2 420 2 340

msnm: metros sobre el nivel del mar * Punto más slevado

Eje temático: FEM

Apartado 1.8

Plan 3/4

Ciclo Escolar 2009-2010

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Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (4/4)

Tema. Ubicación espacial Subtema. Representación

Apartado 1.8 Conocimientos y habilidades Describir rutas, la más corta, la más larga, equivalentes, para ir de un lugar a otro. Calcular, de manera aproximada, la distancia de un punto a otro, con ayuda de un mapa.

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos interpreten y usen la escala expresada como m:n en un mapa para calcular distancias reales.

Consideraciones previas Para calcular las distancias pedidas, los alumnos tendrán que identificar la escala, que en este caso es numérica, y aprender a interpretarla. Si a varios alumnos se les dificulta interpretar la escala, usted puede preguntar al grupo cómo interpretar la escala 1:1 000 000. Se espera que alguno de los alumnos sepa que esta escala indica que cada unidad del mapa en realidad son 1 000 000 unidades, por ejemplo, cada centímetro del mapa equivale a 1 000 000 centímetros (10 000 metros o 10 kilómetros). Es probable que para los alumnos sea difícil hacer esta conversión por lo que se les puede apoyar con preguntas como: ¿a cuántos centímetros equivale un metro?, ¿y 10 metros?, ¿1 000 metros?, ¿un kilómetro?, ¿10 kilómetros? Los procedimientos para calcular la distancia pueden ser variados. Es probable que los alumnos midan en centímetros las distancias pedidas y multipliquen por 1 000 000; de esta manera hallarán las distancias en centímetros, las cuales después tendrán que convertirlas a kilómetros. También es probable que antes de hacer cálculos, los alumnos determinen que un centímetro en el mapa equivale a 10 km de distancia real, después de medir las distancias a determinar podrán multiplicar esta medida por 10 y encontrar el resultado directamente en kilómetros. Se puede aprovechar que los resultados varían para comentar acerca de la imprecisión de los instrumentos de medición y a lo indeterminado de la exactitud de los lugares donde se ubican los cerros.

58

Matemáticas 6

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Distancias a escala

ulen 000, en equipo calc iente mapa es 1:1 000 Si la escala del sigu entre los cerros: ada, en kilómetros, oxim apr l rea ia anc la dist tera. a) Grande y La Oco . mún Alco y n Peó El b) illos. c) Espumilla y Volcanc ima. da y el Volcán de Col d) La Piedra Colora

Eje temático: FEM

Apartado 1.8

Plan 4/4

37

Ciclo Escolar 2009-2010

59

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (1/2)

Tema. Medida Subtema. Unidades

Apartado 1.9 Conocimientos y habilidades Analizar cómo varía el perímetro y el área de los polígonos, en función de la medida de los lados.

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos analicen que en los cuadrados y rectángulos trazados a escala el perímetro varía de manera proporcional respecto a la medida de los lados, pero el área no cambia de esa manera.

Consideraciones previas Si la escuela no cuenta con geoplanos, los alumnos pueden construir uno con una tabla cuadriculada de madera, de 10 cm por 10 cm, en la que en cada intersección de la cuadrícula se coloque un clavo; las figuras se forman con ligas. Si esto no fuera posible, puede hacerse uso del papel punteado del material recortable de la página 167 del Cuaderno de Trabajo para el Alumno.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Es importante observar si los alumnos saben cómo hallar el perímetro y el área de cuadrados y rectángulos. Si a la mayoría de los alumnos se le dificulta obtener estas medidas, será necesario iniciar una discusión colectiva para que entre todos recuerden cómo encontrarlas. En la confrontación de resultados los alumnos discutirán la manera en que cambian el perímetro y el área cuando se modifica la medida de los lados. En este caso en particular, se espera que los alumnos se den cuenta de que en los cuadrados o en los rectángulos a escala el perímetro varía proporcionalmente a los lados, pero el área no. Es decir, si los lados aumentan 5 veces su medida, el perímetro también aumenta 5 veces pero el área aumenta ¡25 veces!

60

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

El geoplano

Consigna

En equipos, formen con ligas en un geo plano cuadrados y las medidas que indi rectángulos de can utilicen el material reco las tablas de abajo. Si no cuentan con geoplanos, rtable de la pág. 167 . Por ejemplo, para medidas, las figuras las primeras quedarán de la sigu iente manera:

En cada caso, com

pleten las tablas ano tan

Aumento

Lado

Doble Triple Cuádruple Quíntuple

El geoplano

Base 2 4 6 8

do lo que se pide.

Perímetro

1 2 3

Doble Triple Cuádruple Quíntuple

Aumento

Cuadrado

Área

Rectángulo Altura 1 2

Perímetro

Área

5

Analicen la manera en que cambia el per ímetro y el área y com en cada equipo: enten sus hallazgos a) Si los lados aumenta n al doble, ¿el períme tro aumenta al dob ¿el área aumenta al le? doble? , , ¿cuántas veces aum . enta el área? b) Si los lados aumenta n al triple, ¿el períme tro aumenta al tripl ¿el área aumenta al e? triple? , , ¿cuántas veces aum . enta el área? c) Analicen los cas os en los que las med idas aumenten al cuá druple y al quíntup le.

38

Eje temático: FEM

Apartado 1.9

Plan 1/2

167

Ciclo Escolar 2009-2010

61

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (2/2)

Tema. Medida Subtema. Unidades

Apartado 1.9 Conocimientos y habilidades Analizar cómo varía el perímetro y el área de los polígonos, en función de la medida de los lados.

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos, con el apoyo de una tabla de valores, analicen la variación del perímetro y el área de rectángulos que no están a escala, a partir de la medida de sus lados.

Consideraciones previas Es probable que entre los alumnos haya confusión para distinguir entre largo y ancho, según la posición en que se encuentre el rectángulo, por lo que es necesario aclarar que el largo se refiere al lado mayor, sin importar la posición. En esta actividad se pretende que los alumnos se den cuenta de la relación que existe entre la variación de las medidas del perímetro y el área en los rectángulos cuando uno de los lados se mantiene igual y el otro disminuye a la mitad. Será interesante analizar con ellos algunos casos de estas variaciones durante la confrontación de resultados. Por ejemplo, entre el rectángulo inicial y el rectángulo 1 hubo disminución de lados, sin embargo:

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

• E  l perímetro no disminuye proporcionalmente porque un lado mide lo mismo y el otro se redujo a la mitad. • E  l área disminuye a la mitad porque una de las medidas se conserva igual y la otra se reduce a la mitad. Se puede pedir a los alumnos que analicen otros rectángulos en los que un lado permanezca igual y el otro disminuya a la mitad, tercera o cuarta parte y examinar lo que sucede con el área.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

62

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

¿Cómo cambian?

o base la siguiente

ipos y teniendo com

Organizados en equ la tabla:

imagen completen

lo 6 ángulo 5 Rectángu lo 3 Rectángulo 4 Rect Rectángulo Rectángulo 1 Rectángulo 2 Rectángu inicial Largo (cm)

30

20

Ancho (cm)

20

15

15

Perímetro Superficie

ercionales entre sí y det os lados son propor área cambia los rectángulos cuy con los lados y si el ente a) Identifiquen todos alm cion por varía pro minen si el perímetro acon los lados. proporcionalmente s lados son proporcion al rectángulo 1, ¿su rectángulo inicial y ulo inicial con respecto b) Con respecto al la base del rectáng ó inuy o ánt dism o ¿cu , ánt , ¿cu les? , ¿y la altura? . al rectángulo 1? , ¿y el área? tro? íme y cómo per el ó inuy dism 1 con respecto al 2 ulo áng rect del s así como para cambiaron los lado mo para el 3 y el 4, c) Analicen cómo mis lo an Hag a. áre y su cambia su perímetro s n cómo varían sus lado el 5 y el 6. en la tabla y analice eja de rectángulos a. áre al d) Elijan alguna par y cambio al perímetro y cómo afecta este

Eje temático: FEM

Apartado 1.9

Plan 2/2

39

Ciclo Escolar 2009-2010

63

Eje. Manejo de la información Plan de clase (1/2)

Tema. Análisis de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad

Apartado 1.10 Conocimientos y habilidades Calcular el por ciento de cantidades mediante diversos procedimientos (aplicando la correspondencia “por cada 100, n”, aplicando una fracción, usando como base el 10%).

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos calculen porcentajes aplicando la correspondencia “por cada 100, n”.

Consideraciones previas Se espera que los alumnos concluyan que 4% indica que “por cada 100, 4” y calculen el interés sin recurrir, de ninguna manera, a algoritmos de multiplicar la cantidad por 0.04. Para los primeros casos basta con calcular cuántas veces está contenido el 100 en esa cantidad para saber el interés por pagar. En el caso de $150 se espera que los alumnos noten que si por $100 se cobran $4, por $50 son $2 y por $150, $6. Un razonamiento similar se espera para $125. Mientras que para $2 650 y $1 625 los alumnos podrán hacer combinaciones entre otras cantidades cuyos intereses ya han calculado.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Se debe recordar que se trata de que los alumnos empleen procedimientos diversos en el cálculo de porcentajes y no algoritmos convencionales, aunque si algún alumno desea usarlos, no se le impedirá hacerlo; al contrario, será interesante preguntarle acerca de dicha equivalencia y saber cómo la obtuvo. Para enriquecer y reafirmar el trabajo se puede señalar que otras casas de préstamos cobran intereses del 6%, 8%, etc., y hacer tablas similares que el profesor o los mismos alumnos propongan, ya sea en clase o como tarea.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

64

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Préstamos con inte reses Una casa de préstam

os ofrece dinero cob

rando intereses. El anu

ncio dice:

En parejas y con bas e en la información anterior, calculen el gar por las siguient interés mensual a paes cantidades: Cantidad ($)

Interés ($)

100 200 500 1 000 1 500 2 500 10 000 50 000 150 2 650 125 1 625

40

Eje temático: MI

Apartado 1.10

Plan 1/2

Ciclo Escolar 2009-2010

65

Eje. Manejo de la información Plan de clase (2/2)

Apartado 1.10 Conocimientos y habilidades Calcular el por ciento de cantidades mediante diversos procedimientos (aplicando la correspondencia “por cada 100, n”, aplicando una fracción, usando como base el 10%).

Intenciones didácticas Que los alumnos calculen porcentajes tomando como base el cálculo del 10%.

Consideraciones previas Es importante resaltar que en la presentación de resultados se dé el tiempo suficiente a los equipos para que expliquen sus procedimientos, de esta manera se estará en posibilidades de analizar la diversidad de procedimientos. Cada vez que existan desacuerdos en algún procedimiento y resultado, puede fomentar la discusión para que sean los propios alumnos quienes descubran el error. Uno de los errores posibles consiste en anotar directamente el porcentaje en vez de la diferencia de éste y el precio original, por lo que es importante estar atentos al proceso que realicen los alumnos. En la primera consigna se espera que los alumnos noten que el 10% es la décima parte de la cantidad y, por lo tanto, para calcular el 10% sólo hay que dividir entre 10; mientras que si se da el descuento, la cantidad inicial se calcula multiplicando por 10 dicho descuento. Para los casos en los que se dan los precios ya con descuento, los alumnos tendrán que comprender que esta cantidad representa el 90% de la cantidad inicial por lo que la novena parte es el 10%. En la segunda consigna, puesto que ya se da el 10%, se espera que los alumnos puedan calcular el 5% (la mitad), el 20% (el doble), etc.; también se espera que porcentajes como el 15% se calculen sumando el 10% y el 5%.

66

Matemáticas 6

Tema. Análisis de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad Es importante mencionar que en estos momentos no se pretende, de ninguna manera, que los alumnos apliquen procedimientos estandarizados para el cálculo del porcentaje, por ejemplo, que para calcular el 15% multipliquen por 0.15. El propósito es que ellos construyan diversos procedimientos para el cálculo de porcentajes, basados en una comprensión de lo que significa tanto por ciento. El siguiente problema se puede dejar como ejercicio de tarea: En un mercado de artesanías se están vendiendo algunos artículos con atractivos descuentos. Con las cantidades que en ella se muestran, completa la siguiente tabla: Artículo Collar

Precio

Descuento

$80.00

10%

Rebozo

$100.00

Pulsera

$30.00

Camisa de manta

$90.00

Florero

$140.00

Mantel

$120.00

Cantidad por pagar $75.00

5% $18.00 40% $60.00

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Fecha:

cuento Mercancía con des

Consigna 1

iente problema. ipos, resuelvan el sigu mercado. Organizados en equ uno en su puesto del a cad ías, den artesan Completen Luis, Ana y Javier ven 10% de descuento. con cía can mer su toda Decidieron ofrecer la siguiente tabla:

Precio ($)

Luis

Ana

Javier

100

140

80

6

4

45

63

Descuento ($)

10

Precio rebajado ($)

90

Sarape

50

Precio ($) Descuento ($)

Aretes

Precio rebajado ($) Precio ($)

8

Descuento ($)

Blusa

Precio rebajado ($)

tabla a $13. Completen la un artículo es igual ulo: El 10% del precio de artíc mo mis el a par cuento porcentajes de des

Consigna 2

Descuento ($)

Porcentajes

5%

13

10 %

con los diferentes

o ($) Precio con descuent

117

15 % 20 % 25 % 30 %

65

50 % 75 %

Eje temático: MI

Apartado 1.10

Plan 2/2

41

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

67

Eje. Manejo de la información Plan de clase (1/3)

Tema. Representación de la información Subtema. Tablas

Apartado 1.11 Conocimientos y habilidades Resolver problemas con base en la información dada en una tabla.

Intenciones didácticas Que los alumnos extraigan de una tabla los datos implícitos en ella.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Es posible que inicialmente los alumnos ignoren la relación entre minutos y segundos, el profesor puede plantear preguntas de reflexión que les recuerden las equivalencias en el sistema sexagesimal, tal vez con preguntas como: ¿cuántos segundos tiene un minuto?, ¿medio minuto?, ¿un cuarto de minuto? Las preguntas sobre la velocidad de nado exigen establecer una relación entre la distancia y el tiempo. Para hacer las comparaciones que se indican, los alumnos tendrán que buscar un punto de referencia, por ejemplo: ¿cuánto nadó cada quien en 30 segundos?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

68

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Competencia de nat ación1

Organizados en par ejas resuelvan las pre guntas que se plan tabla se indica la dist tean. En la siguiente ancia y el tiempo que registraron cuatro nad adores. Distancia (m)

Amalia

Tiempo Minutos

100

Beto

50

Catalina

150

Darío

1 500

1. ¿Quién nadó una

Segundos

2

0

0

50

2

51

40

0

2. ¿Quién nadó men

distancia mayor? os tiempo?

3. ¿Quién nadó má

s rápido?

4. ¿Quién nadó má

s lento?

5. Si conserva la mis

ma velocidad, ¿qué

6. Si Amalia hubiera recorrido 50 m?

1. Actividad tomada

42

distancia recorrerá Am

alia en un minuto?

nadado a la velocida

del libro de texto gratu

d de Catalina, ¿en

ito Matemáticas. Sexto

cuánto tiempo hab

ría

grado. SEP,1995 Eje temático: MI

Apartado 1.11

Plan 1/3

Ciclo Escolar 2009-2010

69

Eje. Manejo de la información Plan de clase (2/3)

Tema. R  epresentación de la información Subtema. Tablas

Apartado 1.11 Conocimientos y habilidades Resolver problemas con base en la información dada en una tabla.

Intenciones didácticas Que los alumnos respondan preguntas relacionadas con la información contenida en una tabla.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas La idea es que los alumnos interpreten la información contenida en la tabla y realicen cálculos sencillos derivados de ella. Si nota que tienen problemas, puede hacer preguntas que los hagan fijarse en los datos: ¿en qué columna está marcado el tiempo?, ¿en qué columna está marcada la distancia?, ¿qué distancia recorre en una hora?, ¿en dos horas?, ¿en cuánto tiempo recorre 210 km?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

70

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Velocidad constante

La tabla muestra la siguientes preguntas. óvil ejas respondan las etros) de un autom kilóm en (d, ia Organizados en par anc (t, en horas) y la dist variación del tiempo te. d constan que va a una velocida Distancia Tiempo (kilómetros) (horas) 1

70

2

140

3

210

2 horas? rre el automóvil en 1. ¿Qué distancia reco 6 horas? en óvil rrerá el autom 2. ¿Qué distancia reco km? rrerá 80 3. ¿En qué tiempo reco en 4 horas? é distancia cubrirá reduce a la mitad, ¿qu se d cida velo la Si 4. 5. A una velocidad minutos?

Eje temático: MI

ancia se desplazará de 45 km/h, ¿qué dist

Apartado 1.11

Plan 2/3

en 45

43

Ciclo Escolar 2009-2010

71

Eje. Manejo de la información Plan de clase (3/3)

Tema. R  epresentación de la información Subtema. Tablas

Apartado 1.11 Conocimientos y habilidades Resolver problemas con base en la información dada en una tabla.

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan problemas rescatando información presentada en tablas y gráficas.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Para interpretar la información contenida en una gráfica es importante que los alumnos aprendan a leer y fijarse en diferentes detalles, por ejemplo: ¿en dónde está marcado el tiempo?, ¿qué unidades se utilizaron para el tiempo?, ¿en dónde está marcada la distancia?, ¿qué unidades se emplean para señalar la distancia?, ¿qué distancia recorrió Alejandro en los primeros 30 minutos?, ¿cómo lo sabes?, ¿en cuánto tiempo recorrió 40 kilómetros?, ¿cómo lo sabes?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Es común que los alumnos confundan la gráfica con la trayectoria que sigue un móvil, si nota que los alumnos creen que la línea de la gráfica es el camino que siguió Alejandro se les pedirá que respondan y reflexionen sobre la pregunta 5.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

72

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Ciclopista1 Organizados en par ejas analicen la grá fica, completen la tab guntas que aparece la y respondan las n más abajo. preAlejandro hizo un pas eo en bicicleta sob re un camino que tien en el que avanzó muy e un tramo de subida lento, otro en el que fue un poco más ráp un último tramo, de bajada, en el que ava ido por ser plano, y nzó mucho más ráp mos es qué tramo esta ido. Lo que no sabeba primero (subida, bajada o plano) y La gráfica siguiente cuál después. indica la distancia que Alejandro lleva minuto del trayecto ba recorrida en cad . a

50 40 30 20 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90 100 110 120

Analicen la gráfica y determinen en qué orden recorrió Alejand trayecto. ro los tres Tiempo en que se recorrió el tramo Distancia del tramo

Primer tramo minutos

Segundo tramo 45 minutos

20 kilómetros

1. ¿Cuántos kilómetro 2. ¿Cuánto tiempo

s recorrió en los tres

duró todo el trayecto ?

tramos del

Tercer tramo 45 minutos

kilómetros

kilómetros

tramos Alejandro?

3. ¿En qué tramo ava nzó más rápido? 4. ¿Dónde más lent o? 5. Dibuja en tu cua derno la forma del recorrido que hizo Alej

andro.

1. Actividad tomada

44

del libro de texto gratu

ito Matemáticas. Sexto

grado. SEP,1995 Eje temático: MI

Apartado 1.11

Plan 3/3

Ciclo Escolar 2009-2010

73

Manejo de la información

Forma, espacio y medida

Sentido numérico y pensamiento algebraico

EJE

SEXTO GRADO

Representación de la información

Análisis de la información

Medidas de tendencia central

Relaciones de proporcionalidad

Búsqueda y organización de la información

Estimación y cálculo

Cuerpos

Figuras

Medida

Multiplicación y división

Números fraccionarios

Significado y uso de las operaciones

Significado y uso de los números

2.10. Resolver problemas que involucren el uso de la media (promedio) y la mediana.

2

2

2

2.8. Resolver problemas de valor faltante que requieran aplicar dos o más factores constantes de proporcionalidad enteros o un factor no entero (fracción o porcentaje) 2.9. Resolver problemas de valor faltante con números enteros en los que se requiera determinar un factor constante de proporcionalidad entero o fraccionario.

2

3

2.6. Calcular el volumen de prismas rectos construidos con cubos. 2.7. Interpretar información contenida en distintos portadores.

3

2.5. Calcular superficies laterales y totales de prismas y pirámides.

2

2

2.3. Conocer y usar las relaciones entre los elementos de la división de números naturales. 2.4. Construir y armar desarrollos planos de prismas y pirámides.

2

2

NÚM. DE PLANES

2.2. Representar fracciones y decimales en la recta numérica.

2.1. Conocer y utilizar el valor de las cifras en función de sus posiciones en la escritura de un número natural o de un decimal.

5. Construye y calcula la superficie lateral y total de prismas y pirámides.



Números naturales y decimales

4. Resuelve problemas que involucran el uso de las medidas de tendencia central (media, mediana y moda).



CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES

3. Aplica el factor constante de proporcionalidad para resolver problemas de valor faltante.



SUBTEMA

2. Utiliza las propiedades de la división de números naturales, al resolver problemas.



TEMA

1. Lee, escribe y compara números naturales y decimales. Conoce el valor de sus cifras en función de su posición.



Como resultado del estudio de este bloque de contenidos se espera que el alumno tenga disponibles los siguientes aprendizajes:

BLOQUE 2

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (1/2)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. N  úmeros naturales y decimales

Apartado 2.1 Conocimientos y habilidades Conocer y utilizar el valor de las cifras en función de sus posiciones en la escritura de un número natural o de un decimal.

Observaciones posteriores

Intenciones didácticas

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos usen el valor posicional de las cifras para identificar, de entre varios números, aquellos que representan el mismo valor.

Consideraciones previas La frase “expresiones numéricas” abarca tanto a las que están formadas por varios números (8 +

9 10

+

1 ), 100

como a las que constan de un

solo número, como 2.05 Es muy importante que los alumnos expliquen por qué consideran correcto o incorrecto su resultado o el de algún compañero, sobre todo en los casos en que los resultados son diferentes. Una posible forma de convencer a los demás consiste en escribir todas las expresiones en notación decimal. Por ejemplo, en 2.05, 2.05, 2.05 y 20.5, que son expresiones de la primera tira, el último número no es equivalente a los tres anteriores.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Es importante que los alumnos se acostumbren a nombrar la parte decimal con la denominación correcta, por ejemplo, para 0.125, tendrán que decir 125 milésimos, en vez de cero punto ciento veinticinco. Si los alumnos no logran dar argumentos que convenzan a los demás, el maestro puede guiarlos para que tengan éxito en expresar sus ideas, incluso puede dar algunos ejemplos de cómo argumentar que dos números son iguales.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

76

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

¿Cuál es diferente?

En cada tira hay cuat ro expresiones numérica s,pero solamente tres en parejas, identifiqu son equivalentes.Reún en la expresión que anse no es equivalente en resultados con otra cada caso y compare pareja. Si sus respuesta n sus s son diferentes, aver igüen por qué.

2.05

2+

5

2 + 0.05

100

205 10

891

800 + 90 + 1

100

34.7

30 + 4 +

200 + 20 + 4 + 0.5

1+

48

2 100

+

5 1000

200 + 20 + 4 +

0.125

8+

7

9

30 + 4 +

100

5

1

+

10

7

347

10

10

200 + 240.5

10

1 10

+

2 100

+

8.91

100

200 +

5

10

125

1000

Eje temático: SN y PA

245

1000

Apartado 2.1

Plan 1/2

Ciclo Escolar 2009-2010

77

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/2)

Apartado 2.1 Conocimientos y habilidades Conocer y utilizar el valor de las cifras en función de sus posiciones en la escritura de un número natural o de un decimal.

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. N  úmeros naturales y decimales

Al término del juego se puede realizar una puesta en común. En esta actividad los alumnos que ganaron platicarán a sus compañeros cuáles parejas eligieron y cómo se dieron cuenta de que representaban el mismo número.

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen diferentes maneras de escribir un número natural o decimal.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas El maestro debe preparar con anticipación un juego de tarjetas, puede ser como el que se presenta u otro que se adapte a los conocimientos previos de su grupo. La intención es que los alumnos enriquezcan y consoliden sus conocimientos del valor posicional de las cifras naturales y decimales.

78

Aunque cada alumno debe tomar sólo dos tarjetas por turno, se sugiere que haya 4, 6 u 8 tarjetas que representen al mismo número, esto dará lugar a que el juego pueda desarrollarse varias veces. Así, cuando los equipos compartan resultados, el trabajo se enriquecerá con diferentes representaciones del mismo número; además, los números escritos en las tarjetas deben contener las mismas cifras para evitar que los alumnos elijan dos tarjetas sólo porque en ellas aparecen ciertas cifras.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Mientras los alumnos juegan, el maestro puede supervisar el trabajo para cerciorarse de que entendieron las instrucciones a fin de aclarar las dudas. Las intervenciones del profesor deben ser de apoyo, pero no para solucionar el problema. Por ejemplo, si un alumno toma las tarjetas de 25 y 2.50 por100 que erróneamente considera que 2.50 ocupa hasta el lugar de los centésimos, y piensa que su equivalente es 25 , el docente puede 100 intervenir con preguntas como las siguientes: ¿están de acuerdo todos?, ¿tú qué opinas?, ¿ 25 es menor o mayor que uno?, ¿2.50 es 100 mayor o menor que uno?, ¿podrán representar el mismo número?, etcétera.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Matemáticas 6

Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

entes Expresiones equival

anexa a la BENM. Luis Hidalgo Monroy, Cortesía de la escuela

Consigna

rial recortable de la len las tarjetas del mate tres integrantes. Mezc , cada uno tomará dos Formen equipos de hacia arriba. Por turno eros núm los con las vez que un jugador página 165 y colóquen equivalentes. Cada ero; sentan expresiones repre que n sentan al mismo núm crea repre que tarjetas si efectivamente dirán deci s todo entre el turno a otro tome sus dos tarjetas, no, las regresa y pasa a con sus tarjetas, si qued se dor juga el si es así, compañero. tarjetas. dor que tenga más Al final gana el juga

Eje temático: SN y PA

Apartado 2.1

Plan 2/2

49

Expresiones

equivalente

Ciclo Escolar 2009-2010

s 165

79

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números fraccionarios

Plan de clase (1/2)

Apartado 2.2 Conocimientos y habilidades Representar fracciones y decimales en la recta numérica.

Es necesario subrayar que los números se pueden representar de diferentes maneras y que la recta numérica es un recurso para ordenarlos.

Intenciones didácticas Que los alumnos reflexionen sobre la equivalencia y el orden entre expresiones fraccionarias y decimales.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas La representación de fracciones y decimales en la recta numérica no es una tarea sencilla, sin embargo, una vez que los alumnos han comprendido cómo hacerlo, la recta numérica se convierte en un recurso eficaz para resolver problemas sobre el orden y la equivalencia de números. Los alumnos pueden usar procedimientos diferentes al tratar de ubicar los números, pero tendrán que considerar el segmento de 5 km como unidad. Por ejemplo, quizá algunos alumnos decidan ubicar primero los kilómetros 1, 2, 3 y 4 para tomarlos como referencia. Después, para ubicar los lugares en los que van algunos competidores, se darán cuenta de que esas marcas facilitan la ubicación de algunos pero dificulta la de otros, como en el caso siguiente: Pedro, Don Manuel y Luis van en el kilómetro 4, pero para Don Joaquín 1 de cinco kilómetros no es lo mismo que 1 3

de un kilómetro.

3

Si el docente nota que algún alumno usa la hoja rayada para dividir un segmento en partes iguales, conviene detener la actividad y pedir al alumno que comparta con el grupo lo que está haciendo. Las fracciones serán fácilmente ubicadas cuando esto se haya comprendido. Es probable que los alumnos expresen como fracciones comunes los casos que presentan números decimales. De este modo, para ubicar en la recta numérica los casos de Mariano y Pedro, 0.8 se representará como 8 o 4 10 5 y 0.25 como 1 . 4

80

Matemáticas 6

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

¿Quién va en la pun ta?

Organizados en equi

pos resuelvan el sigui ente problema. En la feria de San Nico lás se lleva a cabo una carrera de 5 km. A los comenzada la carre 20 minutos de ra, los participantes llevan el avance que se indica a continua

ción:

t
%PO
+PBRVÓO
IB
SFD PSSJEP
carrera.

1 3

del total de la

t
1FESP
FTUVEJBOUF
E F
CBDIJMMFSBUP
UJFOF
VO
BWBODF
de 0.8 del total del reco rrido.

t
+VBOB
BNB
EF
DBT B
IB
BWBO[BEP
recorrido.

1 4

del

t
-VJTB
FOGFSNFSB
EF M
$FO corazón, ha recorrido

3 4

USP
EF
4BMVE
Z
BUMFUB
EF de carrera.




t
.BSÓB
NBFTUSB
EF
TFYUP
HSBEP
MMFWB
recorrido.

3 6

del

t
.BSJBOP
BMVNOP
E F
QSJNBSJB
MMFWB
BQFOB T

EF
avance.

t
%PO
.BOVFM
HBOBE

50

FSP
MMFWB


4 5

t
-VJT
MMFWB

LN
SFDP SSJEPT

de avance. Eje temático: SN y PA

Apartado 2.2

Plan 1/2

Representen sobre la recta

las distancias recorrida

s.

0 5 km Contesten las siguiente

s preguntas:

1. ¿Quiénes de los parti cipa

ntes han recorrido may or distancia?

2. ¿Quiénes han reco rrido 3. ¿Un competidor pued

e llevar

4. Si un corredor lleva 5. ¿Quién lleva más , el

5 5

.

menos? 6 4

. del recorrido? ¿Por qué? .

del recorrido, ¿qué signi

fica? .

competidor que ha

recorrido .

Eje temático: SN y PA

Apartado 2.2

Plan 1/2

3 5

o el que ha recorrido

0.65?

51

Ciclo Escolar 2009-2010

81

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/2)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números fraccionarios

Apartado 2.2 Conocimientos y habilidades Representar fracciones y decimales en la recta numérica.

Intenciones didácticas Que los alumnos usen adecuadamente la información que hay en una recta numérica para poder ubicar números fraccionarios o decimales.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas En los ejercicios más comunes sobre ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica generalmente se conoce la posición del cero (0) y de la unidad (1) o de varias unidades (1, 2, 3, etc.). Las actividades propuestas en este plan de clase son cognitivamente más exigentes porque, además de entender las convenciones para representar números en la recta, se requiere que los alumnos tengan un buen sentido numérico de las fracciones y los decimales.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

En las rectas donde se han ubicado dos números, los demás quedan determinados de manera única. En el inciso a), en cuya recta se señaló el cero y 3 , es probable que los 4 alumnos dividan el segmento de cero a 3 en 4 tres partes iguales. Posteriormente trasladen a la derecha de 3 la longitud correspondiente 4 a 1 , encontrándose de esta forma la unidad. 4

Solamente hay una respuesta. En cambio, en aquellas rectas donde se ubicó sólo un número, como en los incisos d) y e), los alumnos se darán cuenta de que las soluciones son múltiples; no obstante, una vez que se decidió dónde colocar otro número, por ejemplo el cero, los demás quedan determinados.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

82

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Rectas numéricas

éricas los puntos que

uen en las rectas num

Formen parejas y ubiq

se indican en cada

caso.

a)

3

0

4

uen la posición de 1

Marq

b)

Marquen la posición

1

3

5

5

de 0 y 1

c)

1

2

d)

4

Marquen la posición

de 0 y 1 1 2

Marquen la posición

52

Eje temático: SN y PA

de 0 y 1

Plan 2/2

Apartado 2.2

e)

0.25

Marquen la posición

de 0 y 1

f)

0 Marquen la posición

Eje temático: SN y PA

1.25

de 1 y 2

Apartado 2.2

Plan 2/2

Ciclo Escolar 2009-2010

53

83

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (1/2)

Subtema. Multiplicación y división

Apartado 2.3

obtengan las siguientes conclusiones:

Conocimientos y habilidades

• Si el dividendo se multiplica o divide por un número y el divisor no cambia, el cociente queda multiplicado o dividido por el mismo número.

Conocer y usar las relaciones entre los elementos de la división de números naturales.

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen la manera en que varía el cociente cuando el dividendo o el divisor varían.

Consideraciones previas Antes de llenar la tabla es conveniente asegurarse de que todos resolvieron correctamente la primera pregunta. Si después de llenar la tabla se encuentran errores, es recomendable aprovechar el momento de la confrontación para que se hagan las correcciones necesarias. Lo anterior es indispensable para continuar con la secuencia. También se debe subrayar que las respuestas se busquen mentalmente, “sin hacer divisiones” escritas. Es importante analizar casos que presenten las siguientes propiedades: si el dividendo aumenta y no se modifica el divisor, el cociente también aumenta, y si el dividendo queda fijo y se aumenta el divisor, el cociente disminuye. Con la participación de los alumnos se analiza cada renglón de la tabla, explicando cómo determinaron el cociente a partir de la modificación que sufrió el dividendo, el divisor o ambos. Se debe insistir en que no se vale hacer operaciones escritas ni con calculadora. Hay que hacer notar que en los tres primeros casos (después del primer renglón) sólo se modifica el dividendo, mientras que en los dos siguientes se modifica el divisor y en los dos últimos se modifican ambos. Se debe poner especial interés en el caso en que cambia el divisor mientras el dividendo no se altera, porque es el más complejo, ya que mientras el divisor aumenta el cociente disminuye en la misma proporción. En este último caso se trata una relación inversa que puede resultar complicada para los alumnos. Con el resultado del análisis se espera que los alumnos

84

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones

Matemáticas 6

• Si el divisor se multiplica o divide por un número y el dividendo no cambia, el cociente queda dividido en el primer caso y multiplicado en el segundo caso, por el mismo número. • Si el dividendo y el divisor se multiplican o dividen por el mismo número, el cociente no cambia. Es importante que los alumnos comparen las respuestas de las preguntas finales.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Cajas de chicles1

Comparen sus resultados con los que obtuvieron otros equipos. Comenten las formas que utilizaron para encontrar cada resultado.

Organizados en equipos resuelvan la siguiente situación. En una fábrica se empacaron 3 000 chicles en cajas de 12 piezas cada una. ¿Cuántas cajas . se obtuvieron? t
"IPSB
USBUFO
EF
VTBS
MB
SFTQVFTUB
BOUFSJPS
QBSB
BOPUBS
MPT
EBUPT
RVF
GBMUBO
FO
MB
TJHVJFOUF
tabla. No hagan divisiones escritas ni usen calculadora.

Dividendo

Divisor

Cociente

Número total de chicles

Número de chicles por caja

Número de cajas

3 000

12

1 500

12

300

12

6 000

12

3 000

24

3 000

6

6 000

24

1 500

6

En la tabla hay dos divisiones que tienen el mismo cociente que

3 000 12

, ¿cuáles son?

. t
&TDSJCBO
PUSB
EJWJTJØO
RVF
DVNQMB
DPO
MBT
DBSBDUFSÓTUJDBT
PCTFSWBEBT
FO
FM
DBTP
BOUFSJPS


. t
4JO
SFTPMWFS
MB
EJWJTJØO
RVF
QSPQVTJFSPO
{DØNP
QVFEFO
TBCFS
TJ
UJFOF
FM
NJTNP
DPDJFOUF
que 3 000 ? 12

. t
)BZ
WBSJBT
GPSNBT
EF
FODPOUSBS
EJWJTJPOFT
RVF
EBO
VO
NJTNP
DPDJFOUF
1SPQPOHBO
VOB
Z
escríbanla aquí.

.

1. Actividad tomada del libro de texto gratuito Matemáticas. Sexto grado. SEP,1995

54

Eje temático: SN y PA

Apartado 2.3

Plan 1/2

Eje temático: SN y PA

Apartado 2.3

Plan 1/2

Ciclo Escolar 2009-2010

55

85

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/2)

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones Subtema. Multiplicación y división

Apartado 2.3 Conocimientos y habilidades Conocer y usar las relaciones entre los elementos de la división de números naturales.

Intenciones didácticas Que los alumnos encuentren la relación D = c x d + r (dividendo es igual al cociente por el divisor más el residuo)

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Es posible que el uso de literales para representar los elementos de la división constituya una dificultad excesiva para el grupo. Queda a criterio del profesor si omite esta parte y deja que los alumnos escriban la relación entre estos elementos usando los nombres y no las letras. En los primeros dos ejercicios los alumnos harán las divisiones siguiendo el procedimiento que han trabajado: se hace la división entre el dividendo y divisor, poniendo el resultado en la columna del cociente y lo que sobra en la del residuo.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Los ejercicios tres y cuatro contienen la relación que los alumnos deben aplicar: al multiplicar el divisor por el cociente y sumar el residuo encuentran el dividendo. Los siguientes dos ejercicios (renglones 5 y 6) ponen en juego una relación interesante: el cociente puede fungir como divisor, de manera que para resolverlos hay que dividir el dividendo entre el cociente y con ello se encuentra el divisor, lo cual sirve para encontrar el residuo. Estos primeros seis ejercicios tienen una respuesta única. Los últimos cuatro ejercicios dan lugar a varias respuestas, por ello es importante mencionar que la tabla se completa correctamente con diferentes números. El maestro puede invitar a los alumnos a comprobar sus resultados cuando hayan calculado los cuatro números de un renglón. Así, harán la división y comprobarán que el cociente y el residuo son correctos. Recuerde, todo esto se hace mentalmente, no se permiten divisiones escritas ni utilizar la calculadora.

86

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

l Una relación especia

eros que faltan pos anoten los núm Organizados en equi uladora. tas y sin usar la calc hacer cuentas escri Dividendo 70 59

Divisor

. Respondan sin

en la siguiente tabla

Cociente

Residuo

8 6 7 9

5 2

3 4

9 45

10

85 3 4

10 7 0

100

0

200

uo. or, el cociente y el resid n el dividendo, el divis ndo la D para el en que se relaciona era abreviada utiliza Escriban la manera man de ión relac expresar esta el residuo. Si es posible, intenten cociente y la r para el divisor, la c para el dividendo, la d para

Cortesía de la escuela

Luis Hidalgo Monroy,

anexa a la BENM.

.

56

Eje temático: SN y PA

Apartado 2.3

Plan 2/2

Ciclo Escolar 2009-2010

87

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (1/2)

Apartado 2.4 Conocimientos y habilidades Construir y armar desarrollos planos de prismas y pirámides.

Intenciones didácticas Que los alumnos reflexionen sobre las características de una pirámide o un prisma, ante la necesidad de trazar el desarrollo plano, recortarlo y armarlo.

Consideraciones previas Para realizar esta actividad es importante que los equipos tengan juegos de geometría, cartulina, tijeras y pegamento, por lo que se sugiere pedirlo con anticipación. Se recomienda organizar al grupo en equipos de tres personas. El maestro armará o conseguirá cajas de diferentes tamaños en forma de prismas y pirámides (pueden ser cajas de medicinas, de regalos, de chocolates, etc.) en cantidad suficiente para entregar una a cada equipo. Resulta conveniente incluir un cubo. Los alumnos analizarán el cuerpo geométrico para observar cuántas caras lo forman, qué forma tienen y cuáles son las medidas que considerarán para armar un cuerpo igual. Es posible que algunos equipos decidan hacer las caras por separado y luego unirlas una por una para armar el cuerpo. También pueden tratar de identificar la disposición en la que deben trazar las caras para armar el cuerpo con una sola pieza. Al indicar a los alumnos que no desarmen el cuerpo geométrico se pretende realizar un análisis más profundo sobre la forma de las caras, sus medidas y la disposición de las mismas en un prisma o una pirámide. Es importante que los equipos muestren el cuerpo geométrico que sirvió como modelo y el que construyeron. En la confrontación grupal pueden platicar cómo lo hicieron, y si lograron o no el propósito. En el segundo caso conviene analizar cuál fue el error. Si el docente nota que los alumnos tienen dificultad para usar el juego de geometría y para trazar determinada figura, puede apoyarlos en

88

Matemáticas 6

Tema. Figuras Subtema. Cuerpos

este aspecto. Quizá convenga un repaso grupal de algunos trazos básicos, por ejemplo: líneas paralelas, líneas perpendiculares, rectángulos, etcétera. También es importante subrayar la eficacia de construir el cuerpo con una sola pieza de cartulina (patrón o desarrollo plano), así como analizar dónde deben ir las “pestañas”, para lo cual conviene realizar algún ejercicio de imaginación espacial a partir de un desarrollo plano propuesto. Esta actividad debe propiciar que los alumnos imaginen cuáles caras se pegan para formar una arista. Hay que considerar que las pestañas se van colocando alternadamente, de manera que en un lado sí se coloquen y en otro no, como se muestra abajo.

no

sí no

sí

Ya que los equipos tienen diferentes cuerpos geométricos, quizás no surjan diferentes desarrollos planos o patrones para armar el mismo cuerpo, por lo tanto, se sugiere que el maestro muestre a los alumnos varias opciones. El cubo es un ejemplo, ya que existen 11 patrones. Dos de ellos son:

Fecha:

Consigna

Cuerpos idénticos

Organicen equipos

para realizar la sigui

ente actividad.

Cortesía de la escuela

Luis Hidalgo Monroy,

anexa a la BENM.

"SNFO
DPO
MB
DBSUVMJOB
VO
DVFSQP
HFPNÏUSJDP
JHVBM
BM
RVF
MFT
EBSÈ
TV idéntico al modelo en
NBFTUSP
%FCF
TFS
forma y tamaño.

Eje temático: FEM

Apartado 2.4

Plan 1/2

57

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

89

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (2/2)

Apartado 2.4 Conocimientos y habilidades Construir y armar desarrollos planos de prismas y pirámides.

Intenciones didácticas Que los alumnos analicen cuál es la información necesaria para poder construir un cuerpo geométrico, sin tenerlo a la vista.

Consideraciones previas Se sugiere organizar al grupo en equipos. El maestro armará o conseguirá cajas en forma de prismas y pirámides diferentes (pueden ser cajas de medicinas, de regalos, de chocolates, etc.) en cantidad suficiente para entregar una a cada equipo. Pueden ser los cuerpos utilizados en la sesión anterior, incluyendo un cubo. También es importante que los equipos cuenten con juegos de geometría, cartulina, tijeras y pegamento, por lo que se sugiere pedirlo con anticipación. Los alumnos elaborarán sus mensajes con lo que consideren necesario para que otro equipo pueda armar un cuerpo idéntico al que tienen. Es muy probable que en los primeros mensajes no se incluya la información necesaria para armar el cuerpo geométrico idéntico, por ello se sugiere que la actividad se repita al menos otra ocasión. Es importante que los equipos muestren y analicen cómo escribieron sus mensajes, qué características de los cuerpos consideraron y los datos que incluyeron. Asimismo, se sugiere que se analicen algunos de los mensajes que no permitieron armar los cuerpos, para que se identifique si el error estuvo en la falta de información, en información errónea, en la interpretación del mensaje, en el trazado de las figuras, etcétera. Es probable que los alumnos dibujen la representación plana del cuerpo geométrico indicando las medidas; también es probable que algunos se animen a hacer el desarrollo plano (patrón), que redacten textos en los que describan la forma y número de caras

90

Matemáticas 6

Tema. Figuras Subtema. Cuerpos

con sus medidas o escriban el nombre del cuerpo con las dimensiones necesarias. El trabajo geométrico radica no sólo en la identificación de la información necesaria para que otro equipo pueda construir el cuerpo, sino también en la habilidad del equipo receptor para interpretar el mensaje y en la destreza que tenga para usar el juego de geometría. Si el docente nota problemas en esto último, es importante que apoye a los alumnos recordándoles cómo trazar un cuadrado, un triángulo, un hexágono con ciertas medidas, etc. Incluso, si lo considera necesario, puede detener la actividad y explicar a todo el grupo algunos trazos básicos. Se recomienda consultar los interactivos de Enciclomedia sobre el desarrollo plano de cuerpos geométricos.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

El cuerpo oculto

Cortesía de la escuela

Luis Hidalgo Monroy,

anexa a la BENM.

o. Organicen equipos un cuerpo geométric
FTDSJCBO
VO
maestro les entregará Ø
%FTQVÏT
FO
VOB
IPKB En esta actividad el saje O
FM
DVFSQP
RVF
MFT
UPD
WFB NÈT T
EF ustedes tienen. El men que VF
MP al Z
FWJUFO
R cuerpo idéntico un arme po equi tengan listo su mensaje mensaje para que otro en palabras. Cuando po. Al terminar, jos, medidas y texto cuer dibu un r ener arma cont e pued uno similar para po y ustedes recibirán icen si son iguales en lo darán a otro equi modelo original y anal geométricos con el comparen sus cuerpos en cuál fue. tifiqu iden , falla forma y tamaño. Si hubo

58

Eje temático: FEM

Apartado 2.4

Plan 2/2

Ciclo Escolar 2009-2010

91

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (1/3)

Apartado 2.5 Conocimientos y habilidades Calcular superficies laterales y totales de prismas y pirámides.

Intenciones didácticas Que los alumnos determinen cuáles son las medidas pertinentes para calcular el área total de un prisma o una pirámide a partir de su desarrollo plano.

Consideraciones previas Se sugiere organizar al grupo en equipos. El maestro armará o conseguirá cajas en forma de prismas y pirámides diferentes (cuyas bases sean cuadrados, rectángulos o triángulos) en cantidad suficiente para entregar una a cada equipo. Conviene incluir un cubo. También es importante que los equipos cuenten con juegos de geometría, cartulina, tijeras y pegamento, por lo que se recomienda pedirlo con anticipación.

Tema. Medida Subtema. Estimación y cálculo

Quizá los alumnos ya no tengan problemas en el cálculo del área de cuadrados y rectángulos. El caso de los triángulos que forman las caras laterales de las pirámides puede ser distinto, ya que la altura de los triángulos no coincide con la altura de la pirámide. Si el docente nota que los alumnos están midiendo mal la altura de los triángulos, puede auxiliarlos recordándoles que es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Es importante que a los equipos no les toque el mismo cuerpo geométrico con el que trabajaron en sesiones anteriores. No obstante que en el apartado 2.4 los alumnos se enfrentaron al problema de trazar desarrollos planos, es posible que aún sigan teniendo dificultades para hacerlo; si es así, el docente podrá guiarlos recordando lo visto en clases anteriores. En esta ocasión no se pretende armar el cuerpo geométrico, sino calcular la cantidad de cartulina que se utiliza para construirlo a partir del desarrollo plano. Si algunos alumnos incluyen las pestañas en este cálculo, conviene analizar cómo lo hicieron y determinar si el resultado es aceptable. En esta actividad cada equipo recibirá cuerpos geométricos diferentes (prismas y pirámides), por lo que no podrán comparar los resultados; sin embargo, podrán explicar los procedimientos que siguieron y los posibles errores cometidos.

92

Matemáticas 6

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

¿Qué cantidad de material se necesit

Cortesía de la escuela

Luis Hidalgo Monroy,

anexa a la BENM.

a? En esta actividad el maestro les entregará un cuerpo geométric USBDFO
FO
DBSUVMJOB
FM
E o. Organicen equipos FTBSSPMMP
QMBOP
EFM
DVF y SQP
RVF
MFT
UPRVF
% cantidad de cartulina FTQVÏT
DBMDVMFO
MB
que ocupa dicho desa rrollo.

Eje temático: FEM

Apartado 2.5

Plan 1/3

59

Ciclo Escolar 2009-2010

93

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (2/3)

Apartado 2.5 Conocimientos y habilidades Calcular superficies laterales y totales de prismas y pirámides.

Tema. Medida Subtema. Estimación y cálculo

perpendicular desde un vértice al lado opuesto. Además, en una pirámide puede mostrar cuál es la altura de los triángulos que forman las caras laterales y su diferencia con la altura del cuerpo geométrico.

Intenciones didácticas Que los alumnos determinen cuáles son las medidas pertinentes para calcular el área total de un prisma o una pirámide, sin trazar su desarrollo plano.

Altura de la pirámide

Consideraciones previas Se sugiere organizar al grupo en equipos. El maestro armará o conseguirá cajas en forma de prismas y pirámides iguales (cuyas bases sean cuadrados, rectángulos o triángulos) en cantidad suficiente para entregar una a cada equipo. En esta sesión no se pretende trazar un desarrollo plano, más bien se intenta que los alumnos calculen la cantidad de cartulina que se utilizó para construir un cuerpo geométrico. La sugerencia de que todos los equipos trabajen con el mismo cuerpo geométrico facilita la comparación de resultados para descubrir errores. Es importante tener presente que los resultados no necesariamente serán iguales, pero el tamaño de las diferencias puede indicar posibles errores. En la sesión anterior los alumnos calcularon áreas de prismas y pirámides a partir del patrón de estos cuerpos, de tal manera que este cálculo se reduce a obtener el área de figuras geométricas en un plano. La intención de esta sesión es diferente, porque calcularán el área de las figuras sin tenerlas en el plano, sino como caras de un cuerpo geométrico de tres dimensiones. Es probable que los alumnos ya no tengan problemas en el cálculo del área de cuadrados y rectángulos. El caso de los triángulos que forman las caras laterales de las pirámides puede ser distinto, ya que la altura de los triángulos no coincide con la altura de la pirámide. Si el docente nota que los alumnos están midiendo mal la altura de los triángulos, puede auxiliarlos recordándoles que es la

94

Matemáticas 6

Altura de uno de los triángulos de las caras laterales

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Medidas necesarias

Cortesía de la escuela

Luis Hidalgo Monroy,

anexa a la BENM.

o. Organicen equipos un cuerpo geométric el maestro les entregará . No se vale desarmar En esta actividad el calcular su área total que necesiten para idas med las n y tome cuerpo.

60

Eje temático: FEM

Apartado 2.5

Plan 2/3

Ciclo Escolar 2009-2010

95

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (3/3)

Tema. Medida Subtema. Estimación y cálculo

Apartado 2.5 Conocimientos y habilidades Calcular superficies laterales y totales de prismas y pirámides

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el cálculo de áreas laterales o totales de prismas y pirámides cuyas bases sean cuadrados, rectángulos o triángulos.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Se sugiere que en un primer momento los alumnos resuelvan individualmente los problemas, para que los comprendan y encuentren una solución a su ritmo. Cuando el profesor note que la mayoría de los alumnos ha terminado, puede organizarlos en grupos para comparar sus resultados. La intención es que se pongan de acuerdo en caso de haber distintos resultados.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

La diferencia con las actividades de las sesiones anteriores radica en que ya no se cuenta con un modelo concreto del cuerpo para calcular el área. No obstante, los alumnos que así lo deseen, podrán dibujar los desarrollos planos o trazar por separado las caras que forman al cuerpo.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

96

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Cajas de cartón Primero en forma indiv idual y luego organizad os en equipos, resue problemas. lvan

los siguientes 1. Un industrial fabri ca cajas cúbicas de 10 cm de arista. ¿Qu cartón ocupa para é cantidad mínima construir 100 cajas? de 2. Las siguientes caja s tienen la misma capa cidad pero una de cartón para ser cons ellas requiere menos truida. ¿Cuál de las dos necesita menos cartón? ¿Qué cantidad de cartó n se ahorraría el fabri cante al construir 100 cajas?

18 cm

12 cm

14 cm

14 cm

15 cm 10 cm

3. Carlos va a forra r los triángulos de la siguiente pirámide con cantidad de papel papel de colores, ¿qué requiere?

10 cm 6 cm 8 cm

Eje temático: FEM

Apartado 2.5

Plan 3/3

61

Ciclo Escolar 2009-2010

97

Eje. Forma, espacio y medida

Tema. Medida Subtema. Estimación y cálculo

Plan de clase (1/3)

Apartado 2.6 Conocimientos y habilidades Calcular el volumen de prismas rectos construidos con cubos.

Intenciones didácticas Que los alumnos relacionen el concepto de volumen con la cantidad de cubos que forman un cuerpo geométrico.

Se espera que los alumnos noten que se trata del mismo prisma, por ello es importante preguntarles si son iguales o diferentes. Otra actividad interesante, una vez que se ha completado la tabla en el pizarrón con las medidas de varios prismas, es cubrir (o borrar) alguno de los números y que los alumnos calculen el número borrado. En esta actividad también pueden omitirse dos números, situación que invitará a explorar las diferentes posibilidades para completarlos.

Consideraciones previas En esta actividad pueden usarse cubos de plástico o madera. Cada equipo deberá tener alrededor de 40 piezas. Si no se cuenta con cubos se sugiere formar equipos de cinco alumnos y con anticipación pedir a cada uno que arme con cartulina 8 cubos. Una medida adecuada para la construcción de los cubos y para su manejo es 3 cm de arista. La intención de esta actividad es que los alumnos relacionen la idea de volumen de un prisma con el número de cubos que lo forman. No importa el tamaño de estos cubos pues, por el momento, se tomarán como unidad arbitraria de medida. No obstante, se pide que los alumnos cuenten los cubos que tienen sus prismas en sus tres dimensiones (largo, ancho y altura). Tampoco es propósito de esta clase que lleguen a la fórmula largo x ancho x altura, aunque es probable que algunos alumnos lo noten y no tengan que contar el total de cubos para completar la última columna.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

El docente podrá hacer una tabla en el pizarrón y anotar los resultados de diferentes equipos. Una de las cuestiones a resaltar en la puesta en común es la equivalencia de prismas:

98

Prisma

Número de cubos (largo)

Número de cubos (ancho)

Número de cubos (altura)

Volumen: número total de cubos que forman el prisma

A

5

4

2

40

B

4

2

5

40

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Para contar cubos

en cubos que tienen. Pued as diferentes con los . pos construyan 5 prism pleten la siguiente tabla com Organizados en equi ente riorm s o sólo algunos. Poste usar todos los cubo Volumen: número Prisma

Número de cubos a lo largo

Número de cubos a lo ancho

Números de cubos de altura

total de cubos que forman el prisma

A B C D E

62

Eje temático: FEM

Apartado 2.6

Plan 1/3

Ciclo Escolar 2009-2010

99

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (2/3)

Tema. Medida Subtema. Estimación y cálculo

Apartado 2.6 Conocimientos y habilidades Calcular el volumen de prismas rectos construidos con cubos.

Intenciones didácticas Que los alumnos usen la relación entre el largo, el ancho y la altura de un prisma con el volumen del mismo.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas En la sesión anterior los alumnos tuvieron la oportunidad de calcular volúmenes contando cubos; en esta clase se avanza porque hay obstáculos para que puedan contar todos los cubos. También se predice lo que ocurre al variar alguna o algunas de las medidas de los prismas, siempre en el contexto de calcular los volúmenes mediante el conteo de cubos. Mientras las parejas trabajan, el docente puede observar lo que hacen y si nota que alguna pareja tiene problemas para contestar las preguntas, puede proporcionar algunos cubos para que los alumnos exploren lo que se les indica.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

100

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

¿Cómo cambia el volumen?

Organizados en pare

jas consideren los sigui

entes prismas para

a)

¿Cuál de ellos pudiera

b)

Si la altura de ambos

responder a las preg

untas.

tener un volumen equi

valente a 18 cubos?

equivale a 4 cubos,

.

¿cuál es la diferenci

a de sus volúmenes

?

c)

Si duplican el número de cubos a lo anch o de cada cuerpo, ¿en su volumen? cuán

d)

Si duplican el número de cubos a lo largo y a lo ancho, ¿en cuán volumen? to aumenta

. to se incrementa . su .

Eje temático: FEM

Apartado 2.6

Plan 2/3

63

Ciclo Escolar 2009-2010

101

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (3/3)

Tema. Medida Subtema. Estimación y cálculo

Apartado 2.6

resultados son correctos.

Conocimientos y habilidades

El segundo problema implica otro avance: las unidades cúbicas no tienen por qué estar completas y los alumnos podrán compensar las mitades de cubos para formar unidades. Se trata de una analogía que hace referencia al cálculo de áreas formadas por cuadrados y partes de cuadrados. El papel que juega la imaginación espacial es básico, ya que deben interpretar la representación plana del prisma triangular, por no contar con mitades de cubos.

Calcular el volumen de prismas rectos construidos con cubos.

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen la idea de volumen de un prisma como la cantidad de cubos que lo forman.

Consideraciones previas El primer problema representa un avance conceptual del alumno con referencia al volumen. Las razones son las siguientes: • En las primeras dos sesiones se calculó el volumen de cuerpos contando cubos. “Las medidas” de los prismas se determinaron según el número de cubos (largo, ancho y altura).

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

• En el inciso a) ya no se pide cuántos cubos se pondrán en cada dimensión. Se pregunta directamente las medidas de la caja. • El problema pretende que el alumno encuentre medidas lineales (centímetros), que al multiplicarlas den como resultado otra medida que él aún no ha trabajado (centímetros cúbicos). Lo anterior pudiera parecer trivial, debido a que estamos acostumbrados a calcular volúmenes de prismas rectangulares multiplicando el largo, el ancho y la altura, sin embargo no es sencillo entender por qué tres medidas lineales forman una medida cúbica. La cuestión, dicha de otra forma, es entender por qué la medida de tres segmentos, al multiplicarlas, da una medida de volumen. Por lo anterior, el docente debe permitir que los alumnos que así lo requieran, sigan dando las dimensiones de la caja en “número de chocolates o cubos”. Es probable que algunos imaginen los cubos de un centímetro acomodados de cierta forma y den la medida de la caja en centímetros lineales. Esto enriquecerá el momento de compartir los cálculos, ya que el maestro podrá comentar con los alumnos que ambos

102

Matemáticas 6

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

s Caja de chocolate

entes problemas. jas resuelvan los sigui Organizados en pare JEFO

DN
%FTFB

DÞCJDB
DVZBT
BSJTUBT
N PSNB
EF
G BUFT 
DIPDPM a rectangular. 
"OJUB
DPNQSB
 tenga forma de prism lo en una caja que rega para s lverlo envo

acar los

a)

al emp , de tal manera que las medidas de la caja ¿Cuáles pueden ser uno más? ni sobre lugar para chocolates no falte

b)

olates en una tal cantidad de choc ¿Es posible empacar para uno más? sobre o falte espacio

caja de forma cúbica,

sin que

FEJEBT
EF
MB
DBKB

ÈMFT
EFCFO
TFS
MBT
N

Ó
{DV t
4J
MB
SFTQVFTUB
FT
T

Ï


P
{QPS
RV t
4J
MB
SFTQVFTUB
FT
O 2.

¿Cuál es el volumen,

64

en cubos, del siguiente

prisma triangular?

Eje temático: FEM

Apartado 2.6

Plan 3/3

Ciclo Escolar 2009-2010

103

Eje. Manejo de la información Plan de clase (1/2)

Apartado 2.7 Conocimientos y habilidades Interpretar información contenida en distintos portadores.

Intenciones didácticas Que los alumnos analicen la información puesta en unas tablas a fin de obtener nueva información mediante algunos cálculos.

Consideraciones previas Las dos primeras preguntas propician que los alumnos exploren las tablas, por esta razón es muy probable que no tengan dificultad para contestarlas. Si así sucede y todos los resultados coinciden, no es necesario que expliquen cómo los obtuvieron. Sólo si los alumnos preguntan, hay que decirles que un microgramo es la milésima parte de un miligramo. En la tercera pregunta sí es muy probable que haya resultados diferentes y que algunos sean incorrectos. Por tanto, se recomienda dedicar tiempo suficiente para analizar lo que obtuvieron los equipos y cómo lo obtuvieron. En primer lugar, es necesario que quede claro el significado de los porcentajes que aparecen en las tablas. Algunos alumnos pensarán que, por ejemplo, en una porción de 250 ml de leche el 10.30% de los nutrientes son proteínas. Si así fuera, la suma de todos los porcentajes tendría que ser 100, pero en la otra tabla rápidamente se puede ver que la suma es más de 200%. La pregunta tres implica pensar que los 150 microgramos de vitamina A, que hay en 250 ml de leche, apenas representan el 15% de la cantidad que se recomienda consumir en un día. Dicho de otra manera, si la vitamina A que se requiere consumir en un día solamente se obtuviera de la leche, habría que consumir casi siete porciones de 250 ml. El análisis de la tercera pregunta servirá para entender mejor la cuarta. En ésta la respuesta implica un sí o un no, pero hay que argumentarla.

104

Matemáticas 6

Tema. Análisis de la información Subtema. B  úsqueda y organización de la información

Además de comparar los resultados y procedimientos de las cuatro primeras interrogantes, es importante que los alumnos planteen a sus compañeros la pregunta que inventaron. Los equipos que la propongan validarán si sus compañeros la respondieron bien. Cuando haya error, entre todos analizarán cuál es la falla.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

¿Leche o avena? Organicen equipos, lean la información de las tablas y contesten preguntas. las Las siguientes tablas contienen la informac ión nutrimental de una de leche y una de aven porción a.

Información nutrimen tal de la leche Por porción 250 ml Contenido energétic o Carbohidratos (Hidr atos de carbono) Proteínas Lípidos (Grasas)

601.75 kJ (142.0 kcal) 12.0 g 7.75 g

10.30

7.0 g

Calcio

275 mg

Sodio

34.37

125 mg

Vitamina A (equivale ntes de retinol) Vitamina D

150 µg

15.0

1.56 µg mendada para la Pobla

*% Ingesta Diaria Reco

ción Mexicana

1. ¿Qué cantidad adic ional de vitamina A brinda una porción en comparación con de avena una de leche? Expré sala en microgramos *%IDR (µg):

Avena (1porción) Vitamina A (416 µg) Vitamina B1 (0.6 mg) Vitamina B2 (0.5 mg)

41%

.

2. ¿Qu40% é cantidad adiciona l de calcio rinde una porción de leche en comparación con una de avena? Exprésala 29% en miligramos (mg):

Vitamina C (5 mg) Niacina (1.9 mg) Hierro (2.5 mg)

9%

.

9%

3. Según la tabla, una porción de leche prop orciona 150 microgra FRVJ16% WBMFO
BM

EF
MB
*OHF mos de vitamina A, que TUB
%JBSJB
3FDPNFOEBE 19% mienda cons se reco B
*%3 
FT
EFDJS
MB
DBO umir en un día. Ento UJEBE
RVF
nces, ¿cuántos micr reco mien da ogramos de vitamina consumir en un día? 32% A se

Calcio (153 mg) Fósforo (256 mg) Acido Fólico

Eje temático: MI

*%IDR

11% Magnesio 16% *% Ingesta Diaria Reco mendada para la Pobla ción Mexicana Apartado 2.7

Plan 1/2

.

65o ación es falsa verd

4. ¿La siguiente afirm

adera?

Si se toma una porc ión de leche y una de avena tanto en la mañ ¿se cubre la ingesta ana como en la noch diaria recomendad e, a de calcio? Argumenten su resp

uesta:

.

5. Inventen una preg

unta que se pueda

66

responder con la infor

mación que hay en

las tablas.

. Eje temático: MI

Apartado 2.7

Plan 1/2

Ciclo Escolar 2009-2010

105

Eje. Manejo de la información Plan de clase (2/2)

Tema. Análisis de la información Subtema. B  úsqueda y organización de la información

Apartado 2.7 Conocimientos y habilidades Interpretar información contenida en distintos portadores.

Intenciones didácticas Que los alumnos interpreten información matemática impresa en envases de diversos productos.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Con anticipación, el maestro solicitará a los alumnos un envase, caja o empaque que contenga algún tipo de información numérica. Además, hay que solicitar que inventen una pregunta con la información que contenga el objeto que encuentren. El maestro pedirá a los alumnos que pasen al frente y muestren a sus compañeros el envase que trajeron, que platiquen sobre la información numérica que contiene y que planteen la pregunta que inventaron. Se dará tiempo para que el resto del grupo conteste cada pregunta y si es necesario, se escribirá en el pizarrón la información. Algunos alumnos darán su respuesta y entre todos se validará. Es muy probable que el nivel de las preguntas planteadas por los alumnos varíe mucho, desde preguntas que sólo requieran identificar la información hasta aquellas que exijan hacer algún tipo de cálculo o inferencia. El trabajo puede enriquecerse si el docente propicia que el grupo invente otras preguntas con la información del envase del compañero en turno, o bien, si él mismo plantea preguntas interesantes. Este proceso se repetirá con varios alumnos, según lo permita el tiempo de clase.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

106

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

a en los envases
RVF
FODPOUSBTUF
FO Información numéric JOGPSNBDJØO
OVNÏSJDB


Cortesía de la escuela

Luis Hidalgo Monroy,

anexa a la BENM.

P
MB
SB
RVF
MB
SFTQPOEBO
BM
DPNFOUB
BOUF
FM
HSVQ %F
NBOFSB
JOEJWJEV VOUB
RVF
QSFQBSBTUF
QB FTQVÏT
QMBOUFB
MB
QSFH FM
FOWBTF
RVF
USBKJTUF
% tus compañeros.

Eje temático: MI

Apartado 2.7

Plan 2/2

67

Ciclo Escolar 2009-2010

107

Eje. Manejo de la información Plan de clase (1/2)

Tema. Análisis de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad

Apartado 2.8 Conocimientos y habilidades Resolver problemas de valor faltante que requieran aplicar dos o más factores constantes de proporcionalidad enteros o un factor no entero (fracción o porcentaje).

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos encuentren las relaciones multiplicativas entre las medidas de tres o más figuras hechas a escala.

Consideraciones previas Es probable que los alumnos obtengan las medidas de la figura B multiplicando por dos las medidas de la figura A. Para las medidas de la figura C, es probable que consideren el triple de las medidas de la figura B. Hasta esta parte el trabajo es similar a lo que se ha hecho anteriormente. Al dar respuesta a los incisos d), e), f) y g) el maestro debe decir a los alumnos que ese número recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Los incisos f) y g), propician que los alumnos pasen de las medidas de la figura A, a las medidas de la figuras C y D. Al contestar estos incisos se espera que los alumnos noten que multiplicar por 2 y luego por 3, equivale a multiplicar por 6. Y que multiplicar por 2, por 3 y luego por 2, equivale a multiplicar por 12. Es importante que al socializar los resultados se subraye lo anterior. Si el docente lo considera conveniente, puede añadir una columna en la tabla para la figura D o agregar otras columnas más (E, F, G, etc.) que el maestro o los alumnos propongan a partir de una figura de referencia. La intención es que los alumnos pregunten cuál es la relación de esta nueva figura con las medidas de otras a las que sirvió de referencia. El uso de papel cuadriculado tiene la intención de facilitar los trazos.

108

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Dibujos a escala Resuelvan en equipo lo que se indica a cont inuación. Si es nece cuadriculadas. sario

Consideren la siguiente

d)

¿Existe un mismo núm ero, que multiplicado por las medidas de resultado las medidas la figura A dé como de la figura B? ¿Cuál? .

e)

¿Existe un mismo núm ero, que multiplicado por las medidas de resultado las medidas la figura B dé como de la figura C? ¿Cuál? .

f)

¿Existe un mismo núm ero, que multiplicado por las medidas de resultado las medidas la figura A dé como de la figura C? ¿Cuál? .

utilicen hojas

Dibujos a escala figura a la que le llam aremos figura A.

H
-B
mHVSB
%
FT
V OB
DPQJB
B
FTDBMB
DVZ PT
MBEPT
NJEFO
EPT
WFD DVÈOUP
TF
EFCFO
N FT
MPT
EF
MB
mHVSB
$ VMUJQMJDBS
MBT
NFEJEBT
E 
{1PS
F
MB
mHVSB
"
QBSB
PCUFO FS
MBT
EF
MB
mHVSB
%
h)

a) b) c)

iento.

La figura B es una copi a a escala cuyos lado s miden dos veces los de la figura A. La figura C es una copi a a escala cuyos lado s miden tres veces los de la figura B. Completen la tabla.

Figura A

68

Expliquen su razonam

Altura de la pared

4

Altura de la puerta

3

Ancho de la puerta

2

Ancho de la ventana

3

Figura B

Eje temático: MI

. Figura C

Apartado 2.8

Plan 1/2

Eje temático: MI

Apartado 2.8

Plan 1/2

69

Ciclo Escolar 2009-2010

109

Eje. Manejo de la información Plan de clase (2/2)

Apartado 2.8 Conocimientos y habilidades Resolver problemas de valor faltante que requieran aplicar dos o más factores constantes de proporcionalidad enteros o un factor no entero (fracción o porcentaje).

Intenciones didácticas Completar tablas de proporcionalidad que impliquen el uso de una constante fraccionaria.

Consideraciones previas Se espera que los alumnos resuelvan sin dificultad las dos primeras preguntas. El problema pretende que los alumnos trabajen constantes de proporcionalidad fraccionaria de una manera implícita, debido a que aún no saben multiplicar por una fracción. De esta manera, al dar repuesta a la primera pregunta, se espera que contesten “dividir entre cinco” o “sacar la quinta parte”. Los alumnos han trabajado con números decimales y pueden usar la calculadora, por esta razón es probable que surja la respuesta “multiplicar por 0.2”. Una respuesta poco probable es “multiplicar por 1 ”, aunque obviamente, si surge, será intere5 sante trabajar con los alumnos la equivalencia de dividir entre cinco y multiplicar por un quinto o por 0.2. En la segunda pregunta, los alumnos pondrán en juego la idea de constante de proporcionalidad entera; la respuesta más probable es “multiplicar por cuatro”. En la pregunta del inciso c), que tiene mayor complejidad, de ninguna manera se espera que los alumnos respondan “multiplicar por 45 ”, debido a que aún no saben multiplicar por una fracción. No obstante, es muy probable que los alumnos contesten que deben “dividir entre cinco y el resultado multiplicarlo por 4”. Este tipo de respuesta prepara a los alumnos para que, más adelante, conciban a la multiplicación de fracciones como la aplicación de dos operaciones sucesivas: dividir y multiplicar. Por el momento, es conveniente que la multiplicación de fracciones se exprese como dos operaciones.

110

Matemáticas 6

Tema. Análisis de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad

La última pregunta se plantea para que los alumnos busquen un factor (fraccionario o decimal) que les permita pensar y resolver expresiones como 5 x ___ = 4. Si no determinan dicho factor no hay ningún problema, pues lo sabrán calcular más adelante.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

mna a

eros de la tercera colu

sabor Que no cambie el

obtener los núm tienen que hacer para b) ¿Qué operación nda columna? partir de los de la segu ente problema.

pos resuelvan el sigui

Organizados en equi

.


EF
KVHP
EF
OBSBOKB F
+VBO
VUJMJ[B
VO
WBTP
ndo que la F
OBSBOKBEB
MB
NBNÈ
E es que faltan, considera 1BSB
QSFQBSBS

WBTPT
E la tabla las cantidad en en Anot . agua y 4 vasos de sabor. debe tener el mismo naranjada siempre

Vasos de naranjada 5

mna a

eros de la tercera colu

obtener los núm tienen que hacer para c) ¿Qué operaciones era columna? partir de los de la prim

Vasos de agua

Vasos de jugo de naranja

4

1

.

10 4 30

la primera columna d) Traten de pasar de es esa operación?

28

a la tercera haciendo

una sola operación.

¿Cuál

40

eros de la segunda

obtener los núm tienen que hacer para a) ¿Qué operación era columna? partir de los de la prim

columna a

.

70

Eje temático: MI

Apartado 2.8

Plan 2/2

.

Eje temático: MI

Apartado 2.8

Plan 2/2

Ciclo Escolar 2009-2010

71

111

Eje. Manejo de la información Plan de clase (1/2)

Apartado 2.9 Conocimientos y habilidades Resolver problemas de valor faltante con números enteros en los que se requiera determinar un factor constante de proporcionalidad entero o fraccionario.

Intenciones didácticas Que los alumnos usen diferentes recursos para encontrar valores faltantes en tablas de proporcionalidad, tales como el valor unitario o las razones internas

Tema. Análisis de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad

nalizar la actividad, el maestro haga notar que al dividir el número de clavos entre el número de sillas siempre se obtiene el mismo valor. Este valor es la constante de proporcionalidad.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Algunas de las cantidades que faltan en la tabla son fáciles de calcular, siempre y cuando se parta del doble y triple de la cantidad de clavos para 3 sillas. Por ejemplo, el número de clavos para 6 sillas es el doble de clavos para 3 y el de 9 sillas es el triple. Otras cantidades forzarán al alumno a buscar otras estrategias, por ejemplo, para 7 sillas, los alumnos se verán obligados a calcular el valor unitario, es decir, el número de clavos que se necesitan para una silla. El valor unitario es útil para calcular cualquiera de los valores y, además, para responder la pregunta sobre la constante de proporcionalidad. Así, para obtener el número de clavos de cualquier valor basta con multiplicar la constante por el número de sillas. No obstante que los alumnos hayan calculado el valor unitario, es recomendable que al compartir sus resultados se trabajen otras estrategias, preferentemente surgidas en el grupo. Para enriquecer la actividad, el maestro puede plantear estrategias como la siguientes: el número de clavos para 16 sillas puede calcularse sumando el número de clavos para 7 y para 9 sillas; para 19 sillas se obtiene sumando el número de clavos para 3, 7 y 9 sillas. El número de clavos para 60 sillas es el doble del número de clavos para 30 sillas, 10 veces el de 6 sillas, o 20 veces el de 3 sillas. Estos procedimientos de resolución ponen en juego diferentes propiedades de las tablas de proporcionalidad. Es recomendable que, al fi-

112

Matemáticas 6

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Tabla de proporcio nalidad

En equipo anoten los datos que faltan en la tabla de abajo. En de clavos que se requ ella se especifica el iere para hacer 3 sillas número de madera. Núm. de sillas 3 6 7 9 16 19 25 30 60 100

¿Cuál es la constante

de proporcionalidad

Núm. de clavos 69

en la tabla anterior? .

72

Eje temático: MI

Apartado 2.9

Plan 1/2

Ciclo Escolar 2009-2010

113

Eje. Manejo de la información Plan de clase (2/2)

Apartado 2.9 Conocimientos y habilidades Resolver problemas de valor faltante con números enteros en los que se requiera determinar un factor constante de proporcionalidad entero o fraccionario.

Intenciones didácticas Que los alumnos empiecen a relacionar la división entre un número natural (n) con la multiplicación por el inverso multiplicativo de ese número natural 1n , al completar tablas de proporcionalidad directa en las que la constante es un número fraccionario.

Consideraciones previas En el caso de la casa de empeño A, que es el más sencillo, seguramente el procedimiento más generalizado será dividir entre 10 las cantidades prestadas, pero también puede ser 1 que algunos multipliquen por 10 o por 0.1. Si alguno de los equipos propone la multiplicación por 0.1, es importante comentar que este número es la constante de proporcionalidad. Es poco probable que surja el procedimien1 to para multiplicar por 10 (escrito como fracción), no obstante, si esto sucede, el maestro puede aprovechar la ocasión para indicar que 1 multiplicar por 10 equivale a multiplicar por 0.1 y también a dividir entre 10 (la décima parte).

Es importante que los alumnos interpreten que 10% significa 10 por cada 100 pesos que prestan, es decir, por 100 pesos se pagan 10 pe­sos de interés, por 200 pesos se pagan 20 pesos, etc. De esta manera se reafirma lo que es el porcentaje y, además, se facilita el cálcu-

114

Matemáticas 6

Tema. Análisis de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad

lo de los intereses que cobra la casa de empeño B. El factor de proporcionalidad de la casa de em9

peño B es una fracción ( 100 ), pero por el mo-

mento no se espera que los alumnos sepan mul9

tiplicar las cantidades prestadas por 100 , porque esto implica la multiplicación por fracciones que aún no han estudiado. En el apartado 2.8 los alumnos iniciaron el estudio de este tipo de constantes, interpretándolas como la aplicación sucesiva de dos operaciones, en este caso, dividir entre 100 la cantidad prestada y multiplicar el resultado por 9. Realmente se esperan otro tipo de interpretaciones y procedimientos, por ejem9

plo, que 100 significa que se pagan 9 pesos por cada 100 pesos que se prestan. Como todas las cantidades son múltiplos de 100, los alumnos pueden calcularlas aún cuando no sepan multiplicar fracciones. También es probable que usen el doble y triple de algunas cantidades; por ejemplo: si por 100 pesos se pagan 9 pesos, por 200 pesos se pagará el doble ($18), por 400 pesos el doble de 200 pesos (36) y por 800 pesos se puede pensar como 8 veces el interés de 100 pesos, cuatro veces el de 200 pesos o el doble de lo que se paga por 400 pesos. También puede suceder que usen sumas; así, el interés que se paga por 1 000 pesos es la suma del interés que se paga por 800 pesos, más el interés que se paga por 200 pesos. Si algún equipo llegara a interpretar

9 100

como 0.09 y, si al usar su calculadora, se diera cuenta que el interés se puede calcular multiplicando la cantidad prestada por 0.09, éste es un buen mo9

mento para indicar que 0.09 o 100 es la constan-

te de proporcionalidad, con lo cual se socializa este resultado.

Fecha:

Casas de empeño

Consigna

En equipos anoten las

n falta en la siguiente

cantidades que hace

tabla. tras

idad prestada, mien

A es el 10% de la cant una casa de empeño El interés que cobra 9 que presta. eño B cobra 100 de lo emp de casa la que

Cantidad prestada ($)

Casa de empeño B Intereses ($)

Casa de empeño A Intereses ($)

100 200 400 500 800 1000 1500 2000

Eje temático: MI

Apartado 2.9

73

Plan 2/2

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

115

Eje. Manejo de la información Plan de clase (1/2)

Apartado 2.10 Conocimientos y habilidades Resolver problemas que involucren el uso de la media (promedio) y la mediana

Intenciones didácticas Que los alumnos distingan entre la representatividad de la media y la mediana de un conjunto de datos.

Consideraciones previas En el inciso a se pide el cálculo de la media, que de acuerdo con el programa ya ha sido estudiada con anterioridad. Es probable que los alumnos la identifiquen más como “promedio”. Si el maestro nota que algunos alumnos no identifican cuál es la media, puede recordarles que es igual a lo que ellos conocen como promedio (por ejemplo, el de sus calificaciones). El inciso b introduce la idea de mediana. Tanto la media como la mediana pueden ser valores representativos de un conjunto de datos; ambos valores se llaman medidas de tendencia central. La idea es que los alumnos no sólo sepan cómo hallar la media y la mediana, sino también que identifiquen cuál de estos valores es más adecuado para representar a un conjunto de datos. En este caso, se espera que los alumnos noten que la mediana (28 años) es más representativa de las edades que tienen las personas que están en la reunión. Esto se debe a que los datos 70 y 82 años afectan a la media, (37 años) porque en este caso el número total de años (334) se distribuye equitativamente, pero no sucede lo mismo con la mediana. En general, los valores extremos muy alejados de la mayoría de los otros datos afectan a la media, dándole un valor que no es muy representativo del conjunto; en estos casos la mediana puede ser más útil. Al comentar los resultados se sugiere que el maestro mencione a los alumnos que en el inciso b calcularon la mediana y que, al igual que la media, es un valor que se usa para re-

116

Matemáticas 6

Tema. Representación de la información Subtema. M  edidas de tendencia central

presentar un conjunto de datos. Es importante mencionar que en ocasiones conviene usar la media y en otras la mediana, ya que entre las dos hay diferencias. Se sugiere afirmar lo que se ha estudiado calculando medias y medianas de datos como: pesos de alumnos, estaturas, edades, número de hermanos, etcétera.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

La edad más represe ntativa

Trabajen en equipos a)

para resolver lo que

En una reunión hay 70

29

se indica a continua

ción.

9 personas que tiene

n las siguientes edad

28

20

22

es en años:

82

29

27

27

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FT
MB
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E

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.

t
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Ordenen de menor a mayor las edades del problema anterior centro. y localicen

t
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FT
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WBMPS


. el valor del .

t
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MB
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B


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DPOTJEFS representativo de las BO
RVF
FT
NÈT
edades de las personas de la reunión?

.

74

t
"SHVNFOUFO
TV
SFT QVFT

UB


Eje temático: MI

Apartado 2.10

Plan 1/2

.

Eje temático: MI

Apartado 2.10

Plan 1/2

75

Ciclo Escolar 2009-2010

117

Eje. Manejo de la información Plan de clase (2/2)

Tema. Representación de la información Subtema. M  edidas de tendencia central

Apartado 2.10 Conocimientos y habilidades Resolver problemas que involucren el uso de la media (promedio) y la mediana.

Intenciones didácticas Que los alumnos analicen las características de la media y la mediana de un conjunto de datos.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Los alumnos deben saber calcular la media y la mediana de un conjunto de datos, así como identificar cuál de las dos medidas es más representativa, o si son igualmente representativas. También es importante que reconozcan sus características. Con las últimas preguntas se pretende que los alumnos comprendan que el valor de la media no siempre forma parte del conjunto de datos. Además, esta medida puede ser un número decimal que, en el ejemplo analizado, no tiene sentido como dato (no puede haber 4.36 hijos) pero sí lo tiene como medida representativa del conjunto, por ejemplo: en promedio, las 11 familias encuestadas tienen más de cuatro hijos aunque no llegan a cinco. Por otro lado, la mediana de este conjunto de datos sí forma parte de ellos (aunque no siempre es así) y sabemos que hay el mismo número de datos antes que la mediana y después de ella.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

118

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

familia Número de hijos por

lias. que se realizó a 11 fami tados de una encuesta se muestran los resul ajen en equipos para En la siguiente tabla hijos que tienen. Trab de ero núm el fue El tema de la encuesta la tabla. s que hay después de responder las pregunta

Familia

1

2

3

Núm. de hijos

2

4

4

4 1

5 10

6 5

7 2

8 3

9

10

11

2

3

12

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FT
MB
NF EJB
EF

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F ODVFTUBEP
B

GB . NJMJBT
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W cuántos serían BMPSFT
TFSÓBO
NB menores? ZPSFT
RV

F
MB
NFEJBOB
Z


76

Eje temático: MI

Apartado 2.10

.

Plan 2/2

Eje temático: MI

Apartado 2.10

Plan 2/2

77

Ciclo Escolar 2009-2010

119

4. Utiliza el primer cuadrante del plano cartesiano como sistema de referencia para ubicar puntos.

5. Resuelve problemas que implican conversiones del Sistema Internacional (SI) y el Sistema Inglés de medidas.





Manejo de la información

Forma, espacio y medida

Relaciones de proporcionalidad

Gráficos

Representación de la información

3.9. Analizar los efectos causados en los gráficos por un cambio de escala.

3.8. Establecer equivalencias entre distintas expresiones de un por ciento: n de cada 100, como una fracción, como decimal.

2

2

3

Análisis de la información y representación de la información

3.7. Resolver, mediante diferentes procedimientos, problemas que impliquen la noción de porcentaje: aplicar porcentajes, determinar el porcentaje que una cantidad representa en casos sencillos, (10%, 20%, 50%, 75%); aplicar porcentajes mayores que 100%.

Unidades

Medida

3

3

3.5. Representar gráficamente pares ordenados en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas.

Sistemas de referencia

Ubicación espacial

3.6. Establecer relaciones entre unidades del Sistema Internacional de Medidas (SI) y las unidades más comunes del Sistema Inglés.

2

3.4. Establecer el orden de magnitud de un cociente de números naturales.

Números naturales

2

2

3

Estimación y cálculo mental

3.3. Resolver problemas de conteo mediante procedimientos informales.

3.2. Comparar fracciones y decimales, identificar diferencias entre el orden de los decimales y el orden de los números naturales al analizar la propiedad de densidad.

3.1. Determinar múltiplos de números naturales.

Problemas multiplicativos

Números fraccionarios y decimales

Números naturales

NÚM. DE PLANES

Significado y uso de las operaciones

de los números

Significado y uso

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES

3. Analiza los cambios de escala y sus efectos en la interpretación de gráficos.



SUBTEMA

2. Calcula porcentajes y los identifica en distintas expresiones (n de cada 100, fracción, decimal).



TEMA

1. Determina por estimación, el orden de magnitud de un cociente.



Sentido numérico y pensamiento algebraico

EJE

SEXTO GRADO

Como resultado del estudio de este bloque de contenidos se espera que el alumno tenga disponibles los siguientes aprendizajes:

BLOQUE 3

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (1/3)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números naturales

Apartado 3.1 Conocimientos y habilidades Determinar múltiplos de números naturales.

Intenciones didácticas Que los alumnos determinen múltiplos de un número natural al multiplicar ese número por cualquier otro número natural.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas La noción de múltiplo se ha trabajado en años anteriores y se han determinado múltiplos por diversos procedimientos; ahora se trata de obtener múltiplos de un número cualquiera. Para lograr esto, se multiplica dicho número por cualquier otro número natural. Los problemas de la consigna pueden resolverse de diferentes maneras; los alumnos podrán escribir todos los números involucrados hasta encontrar la respuesta o bien contar oralmente de 3 en 3, de 5 en 5, etc., hasta poder contestar. Ante estas posibles estrategias, se sugiere cambiar los números que se dirán o los del intervalo de la trampa por otros más grandes, con la idea de que los estudiantes busquen otras alternativas. Algunas preguntas que pueden propiciar esta búsqueda para el problema 1 son:

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

• ¿Será indispensable escribir o decir toda la serie de números de 3 en 3? • ¿De qué manera se puede obtener cualquier elemento de la serie a partir del 3? La intención es que adviertan que los múltiplos de 3 se pueden obtener al multiplicar 3 por cualquier número natural y que utilicen este conocimiento para resolver el problema. El 28 no se dirá, porque no existe un número natural que al multiplicarlo por 3 se obtenga 28; el 28 no es múltiplo de 3.

122

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

¿De cuánto en cuá nto?

Organizados en equi 1. 2.

Si se empieza en el cero y se cuenta de 5 en 5, ¿se llegará al ¿y al 95? número 45?, ¿al 84?, ¿Cómo lo saben? Carmen y Paco jueg an en un tablero num erado de 1 en 1, que acaba en el 100; ella empieza en el 1 y utiliza una ficha verd e que representa un en 4 y él una ficha azul caballo que salta de que representa un caba 4 llo que salta de 3 en una trampa entre el 3. ¿Puede haber 20 y el 25 en la que ninguno de los dos caballos caiga en ella? ¿Por qué?

Cortesía de la escuela

de Experimentación

Pedagógica Manuel

M. Acosta.

3.

pos resuelvan los sigui entes problemas. Si se empieza en el cero y se cuenta de 3 en 3, ¿se nombrará al número 28? ¿Por qué?

80

Eje temático: SN y PA

Apartado 3.1

Plan 1/3

Ciclo Escolar 2009-2010

123

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/3)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números naturales

Apartado 3.1 Conocimientos y habilidades Determinar múltiplos de números naturales.

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen las características de los múltiplos de 2, 3, 5 y 10, mediante el análisis de la tabla pitagórica.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Es importante enfatizar en la puesta en común que para completar la tabla de manera directa se obtiene el producto correspondiente sin que se tenga que repetir la serie completa. También es conveniente interpretar la tabla como el registro de los 10 primeros múltiplos de los números que van del 1 al 10. La finalidad principal es que los estudiantes, a través del análisis de los 10 primeros múltiplos, identifiquen las características de algunos números como los siguientes:

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

• Los múltiplos de 2 terminan en 0 o cifra par. • La suma de las cifras de los múltiplos de 3, también es múltiplo de 3. • Los múltiplos de 5 terminan en 0 o 5. • Los múltiplos de 10 terminan en 0. Algunas preguntas para profundizar en el tema son las siguientes: • ¿Todos los números naturales son múltiplos de 1? • ¿Qué característica común tienen los múltiplos de 6 y 9? • ¿El 0 es múltiplo de todos los números naturales? • ¿La serie de los múltiplos de cualquier número es infinita?

124

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

nte Identifícalos fácilme

ente cuadro pos, analicen el sigui Organizados en equi se pide. y respondan lo que espacios en blanco 2

3

4

1

2

3

4

2

2

4

3

3

6

4

4

5

5

6

6

7

1

X 1

8 9

5

6

7

8

6

7

8

10

12

15

18

28

20

10

15

20

25

30

12

18

30

36

42

7

14

21

42

49

8

8

16

9

9

18

27

10

10

20

30

32

40

36

45 50

20 30

32

36

40

40

45 60 63

64

72

70 80

81

63 80

60

100

s los múltiplos de 2?

a)

todo común identifican en ¿Qué característica

b)

¿Qué característica

c)

5? inan los múltiplos de ¿Con qué cifras term 10? inan los múltiplos de ¿Con qué cifras term

s los múltiplos de 3?

de Experimentación

Pedagógica Manuel

M. Acosta.

todo común identifican en

Cortesía de la escuela

d)

10

48

48

completen los

10

27

21

16

9 18

16

12

28

de multiplicaciones,

Eje temático: SN y PA

Apartado 3.1

Plan 2/3

81

Ciclo Escolar 2009-2010

125

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (3/3)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números naturales

Apartado 3.1 Conocimientos y habilidades Determinar múltiplos de números naturales.

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen determinar múltiplos de números naturales.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Las actividades de la consigna están diseñadas para que los estudiantes apliquen sus conocimientos sobre la determinación de múltiplos de números naturales. Para la actividad 1 hay que tener presente que los números pueden colocarse de dos maneras, ambas correctas; por ejemplo, 28 es múltiplo de 4 porque 4 x 7 = 28 y 28 es múltiplo de 7 porque 7 x 4 = 28. Es importante insistir en que para la obtención de los múltiplos de un número a se debe privilegiar la multiplicación de a por cualquier número natural, lo cual es de interés fundamental en este apartado.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

126

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna 1

aprendido Apliquemos lo mas. siguientes proble

los de tal modo que ejas resuelvan de cada tarjeta Reunidos en par parte de abajo que están en la s ero núm los 1. Coloquen ras. s sean verdade las afirmacione

es múltiplo de

=

x

porque Colócalos bien

7

28

4

es múltiplo de

=

x

porque Colócalos bien

5

20

4

es múltiplo de

=

x

porque Colócalos bien

48

6

8

2. Subraye n

la opción

en la que

aparecen

A

27

82

9

40, 50, 60,

70, 80, 90,

5, 10, 15, 20

, 25, 30, 35

y PA Eje temático: SN

100, 110, 12

0, 130.

B

3

Apartado 3.1

Plan 3/3

ltiplos de 5.

, 40, 45, 50

, 60, 66, 70

.

C 5, 10, 15, 20

, 25, 30, 35

, 40, 45, 50

Pedagógica

Colócalos bien

=

meros mú

, 55, 60, 65

Cortesía de la escuela de Experime Manuel M. Acosta. ntación

es múltiplo de

x

porque

10, 20, 30,

los trece pri

.

D 5, 10, 15, 20

, 25, 30, 35

3. Tomand o

, 40, 45, 50

en cuenta

, 60, 70, 75

t
&M
OÞNF SP


.

las condici

ones que

EF
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VO
N ÞMUJQMP
EF
 


t
&M
OÞNF SP


Eje temátic

o: SN y PA

Apartado 3.1

Plan 3/3

83

Ciclo Escolar 2009-2010

127

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema. S  ignificado y uso de los números

Plan de clase (1/2)

Subtema. N  úmeros fraccionarios y decimales

Apartado 3.2 Conocimientos y habilidades Comparar fracciones y decimales, identificar diferencias entre el orden de los decimales y el orden de los números naturales, al analizar la propiedad de densidad.

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen comparar fracciones y decimales.

Consideraciones previas Anteriormente se han comparado fracciones y decimales de manera separada; ahora se trata de comparar, además de decimales con decimales y de fracciones con fracciones, decimales con fracciones. Una forma de comparar decimales con fracciones es convertir las fracciones en decimales y comparar las dos escrituras en notación decimal; si los estudiantes no reconocen estas 1 1 equivalencias usuales: 4 = 0.25 y 5 = 0.20 (dado que más adelante se estudia la conversión de decimales y fracciones, y viceversa), la comparación puede realizarse si se ubican los números en una recta numérica.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Para obtener la estatura de Teresa, los estudiantes tienen que buscar un número mayor que 1.4 y menor que 1.5; ejercicios semejantes se han trabajado y se trabajarán en el siguiente plan donde se analiza la propiedad de densidad de los decimales. La respuesta de la pregunta c) puede ser 1.41, 1.42, o 1.43 cm, hasta 1.49 cm.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

128

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

? ¿Quién es el más alto

. esten lo que se pide ente situación y cont estatura. Los su de ida med la o se les solicitó o grupo de sexto grad 1.4 m; Alicia, un metr A los alumnos de un ente manera: Daniel, 1 a la registraron de la sigui Sofía 1 5 m; y Teres io; únicos que la sabían med y o metr o, 1 Pedr m; Mauricio, 1.50 m; 1 4 con 30 cm; Fernando o menos 1.50 m. dijo que medía más pos analicen la sigui

Organizados en equi

de estatura? ¿Quién es el más bajo ? n lo mismo?, ¿quiénes pañeros se ¿Hay alumnos que mide pararse con sus com su estatura, pero al com nte tame exac o. ¿Cuánto mide? sabe c) Teresa no y más baja que Pedr iel Dan que alta más da cuenta de que es

a)

Cortesía de la escuela

de Experimentación

Pedagógica Manuel

M. Acosta.

b)

84

Eje temático: SN y PA

Apartado 3.2

Plan 1/2

Ciclo Escolar 2009-2010

129

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/2)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. N  úmeros fraccionarios y decimales

Apartado 3.2 Comparar fracciones y decimales, identificar diferencias entre el orden de los decimales y el orden de los números naturales al analizar la propiedad de densidad.

La finalidad de tratar de ubicar un natural entre dos na­turales consecutivos y un decimal entre dos de­cimales es que los estudiantes reflexionen sobre las diferencias en el orden de los naturales y en el orden de los números decimales; algunos aspectos que se sugiere discutir son las siguientes:

Intenciones didácticas

• Todos los naturales tienen un sucesor.

Que los alumnos identifiquen algunas diferencias entre el orden de los decimales y el orden de los números naturales a partir de la propiedad de densidad.

• Todos los naturales tienen un antecesor, a excepción del 1, si consideramos a los naturales como 1, 2, 3, …

Conocimientos y habilidades

Consideraciones previas Las actividades de este plan están diseñadas para que los estudiantes verifiquen que entre dos números decimales siempre es posible identificar otro número decimal, característica que no poseen los números naturales, ya que entre 4 y 5 no hay otro número natural. Es posible que los alumnos piensen que los números decimales de cada pareja son consecutivos y, por tanto, les cueste trabajo imaginarse que entre ellos haya otro número decimal. Ante esto, se les puede pedir que amplíen los segmentos de recta que los separa y que los subdividan en 10 partes iguales; se les puede preguntar lo siguiente: ¿cada división representa otro número decimal?, ¿cuál?

0

1

1.2

2

1.2 1.3

1.23

• Entre dos naturales consecutivos no es posible colocar otro número natural. • Los números decimales no tienen sucesor ni antecesor, por tanto, entre dos de ellos siempre es posible encontrar otro.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

1.3

1.24

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. 1.23

1.235 1.236

130

Matemáticas 6

1.24

Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

¿Cuál es el sucesor?

Organizado

s en parejas, realicen las siguientes ac 1. Represen tividades. ten en una rec ta numérica entre ellos un cada pareja tercer núme de números ro natural. naturales e a) 6 y 8 identifiquen

b) 4 y 5

2. Represen ten en una rec ta numérica entre ellos un cada pareja tercer núme de números ro decimal. decimales e a) 1.2 y 1.3 identifiquen

b) 1.23 y 1.2 4

3. Con base en las

actividades anteriores, res a) ¿Cuál es pondan las siguientes pre el sucesor de guntas. 6? ¿Todos los números na turales tienen un sucesor? ¿Por qu

é?

b) ¿Cuál es el sucesor de 1.2? ¿Todos ¿Por qué? los núme

ros decimale

Eje temático:

SN y PA

Apartado 3.2

s tienen un suc

esor?

Plan 2/2

85

Ciclo Escolar 2009-2010

131

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (1/2)

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones Subtema. Problemas multiplicativos

Apartado 3.3 Conocimientos y habilidades Resolver problemas de conteo mediante procedimientos informales.

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan problemas de con­ teo que impliquen un conjunto dado de elementos; que determinen subconjuntos con dos elementos, sin tomar en cuenta el orden, haciendo uso de procedimientos informales.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas El trabajo de este apartado consiste en que, dado un conjunto de elementos, se formen todos los subconjuntos posibles con un número determinado de elementos, sin tomar en cuenta el orden. Para el caso del problema de la consigna se tie­nen 4 elementos (sabores de helado) y se tra­ta de formar subconjuntos (helados con dos sabores).

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Es probable que algunos alumnos den de manera automática como respuesta 12, al relacionar cada sabor con los otros 3; en tal caso, se sugiere listar las diferentes formas o presen­tarlas en algún gráfico (como un diagrama de árbol) en donde se pueda apreciar que 6 formas de servir el helado son las mismas que las otras 6, y que un helado de fresa y vainilla es el mismo que uno de vainilla y fresa. Es importante subrayar que el orden no importa. Con la finalidad de seguir practicando el conteo en casos semejantes, se puede variar el número de sabores. Se tienen 6 sabores; determinar todas las formas diferentes para un helado de 2 sabores. Se tienen 8 sabores; determinar todas las formas diferentes para un helado de 2 sabores, etcétera.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

132

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

sabor lo quieres? Y tu helado, ¿de qué problema.

Cortesía de la escuela

de Experimentación

M. Acosta. Pedagógica Manuel

ente pos resuelvan el sigui Organizados en equi n y chocolate. res: fresa, vainilla, limó en los siguientes sabo sabores distintos. En una nevería se vend r un helado de dos as diferentes de servi form las s toda n Encuentre

86

Eje temático: SN y PA

Apartado 3.3

Plan 1/2

Ciclo Escolar 2009-2010

133

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones Subtema. Problemas multiplicativos

Plan de clase (2/2)

Apartado 3.3

de helados, encontrar todas las formas diferentes para un helado de tres sabores.

Conocimientos y habilidades Resolver problemas de conteo mediante procedimientos informales.

b) Si hay cinco tipos de flores, encontrar todos los arreglos diferentes que se pueden hacer con cuatro tipos de flores.

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan problemas de con­ teo que impliquen un conjunto dado de elementos; que determinen subconjuntos con más de dos elementos, sin tomar en cuenta el orden, haciendo uso de procedimientos informales.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas En el plan anterior, los subconjuntos determinados tenían dos elementos. Ahora, los subconjuntos pueden tener más de dos elementos, como el problema de la consigna, el cual tiene 3. Si los alumnos tienen problemas para determinar las 10 formas diferentes de integrar la comisión, se puede sugerir el siguiente conteo: A

B

C

D

E

Cada letra representa un alumno.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Se leen de manera consecutiva, de izquierda a derecha, y si es necesario se vuelve a empezar, hasta no repetir la misma comisión. ABC, BCD, CDE, DEA y EAB. La siguiente; ABC, se repite. Posteriormente, se hace lo mismo, pero saltando una letra, cuidando de no repetir la comisión. ACE, BDA, CEB, DAC, EBD. La siguiente, ACE, se repite. Un diagrama de árbol también es un recurso útil; en él aparecen todas las permutaciones posibles, donde el orden de los elementos sí es importante; posteriormente, se tendrán que eliminar los subconjuntos que se repitan. Otros problemas que pueden proponerse son los siguientes: a) Si se dispone de cuatro sabores diferentes

134

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

La comisión Organizados en equi

Cortesía de la escuela

de Experimentación

Pedagógica Manuel

M. Acosta.

pos resuelvan el sigui ente problema. De los 5 representantes de los grupos de sexto grado, se va a formar 3 alumnos que se entre una comisión de vistará con el director para solicitarle una Encuentren todas las fiesta de fin de curso. formas diferentes de integrar la comisión .

Eje temático: SN y PA

Apartado 3.3

Plan 2/2

87

Ciclo Escolar 2009-2010

135

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (1/2)

Tema. Estimación y cálculo mental Subtema. Números naturales

Apartado 3.4 Conocimientos y habilidades Establecer el orden de magnitud de un cociente de números naturales.

Intenciones didácticas Que los alumnos determinen el número de cifras del cociente de naturales y que estimen su valor, sin realizar el algoritmo.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas La intención de las actividades de este plan es doble: que los alumnos determinen el número de cifras del cociente de naturales y que estimen el resultado sin realizar el algoritmo convencional. Una herramienta útil para obtener el núme­ro de cifras de los cocientes es la multiplicación del divisor por potencias de 10; por ejemplo, el resultado de la división 17 625 ÷ 75 tiene 3 cifras, porque 75 x 100 = 7 500 y 75 x 1 000 = 75 000, así que el dividendo está entre 7 500 y 75 000.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Para estimar los cocientes, además de determinar el número de cifras, es necesario aplicar propiedades de las operaciones estudiadas en otros grados; por ejemplo, el resultado de la división 3 380 ÷ 65 tiene 2 cifras, pero además puede advertirse que 65 x 100 = 6 500; si 6 500 se reduce a la mitad, se obtiene 3 250, valor muy aproximado al dividendo; por tanto, el cociente es un valor muy cercano a 50, lo cual es resultado de reducir a la mitad también el factor 100.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

136

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

e el resultado? ¿Cuántas cifras tien

entes

tado de las sigui ero de cifras del resul pos, determinen el núm s. Organizados en equi menten sus resultado las operaciones. Argu divisiones, sin hacer resultado Número de cifras del

División 837 ÷ 93 = 10 500 ÷ 250 = 17 625 ÷ 75 = 328 320 ÷ 380 = 8 599 400 ÷ 950 =

nlos s divisiones; aproxíme tados de las siguiente s. ahora estimen los resul menten sus resultado Con el mismo equipo, ar las divisiones. Argu realiz sin ana, cerc a la decena más División

tado Estimación del resul

3 380 ÷ 65 = 3 026 ÷ 34 = 16 800 ÷ 150 = 213 280 ÷ 860 =

88

Eje temático: SN y PA

Apartado 3.4

Plan 1/2

Ciclo Escolar 2009-2010

137

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/2)

Tema. Estimación y cálculo mental Subtema. Números naturales

Apartado 3.4 Conocimientos y habilidades Establecer el orden de magnitud de un cociente de números naturales.

Intenciones didácticas Que los alumnos seleccionen el resultado exac­to de divisiones de naturales, haciendo uso de diversos procedimientos, sin realizar el algoritmo.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Ahora se trata de seleccionar el resultado exacto de divisiones sin realizar el algoritmo convencional. Los estudiantes podrán utilizar diversos procedimientos y conocimientos como: las propiedades de las operaciones (en especial de la multiplicación y división), las características de los múltiplos de un número, y saber determinar el número de cifras del cociente de números naturales. Por ejemplo, para seleccionar el resultado exacto de 12 462 ÷ 93, se puede proceder de la siguiente forma:

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

• 93 x 100 = 9 300 y 93 x 1 000 = 93 000; por tanto, el cociente debe tener 3 cifras, ya que el dividendo está entre 9 300 y 93 000. Entonces 84 queda descartado. • La cifra de las unidades del cociente debe ser 4, porque al multiplicarlo por el divisor, que termina en 3, se obtiene un número que termina en 2, tal como ocurre con el dividendo (12 462). Entonces, 125 queda descartado. • Si 93 x 100 = 9 300, entonces 93 x 50 = 4 650 y 93 x 150 = 13 950, resultado que sobrepasa al dividendo; por tanto, el cociente buscado debe ser menor que 150; así, 154 queda descartado. El resultado exacto es 134.

138

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

El resultado exacto sin hacer la operac

ión Organizados en pare jas seleccionen el resul tado exacto de las sigui llevarlas a cabo. Escri entes divisiones, sin ban sus razonamiento s. 1. 840 ÷ 20 = a) 10

b) 40

c) 42

d) 50

2. 1 015 ÷ 35 = a) 9

b) 10

c) 29

d) 30

3. 5 750 ÷ 125 = a) 45

b) 46

c) 47

d) 50

4. 9 984 ÷ 128 = a) 66

b) 78

c) 82

b) 125

c) 134

d) 108

5. 12 462 ÷ 93 = a) 84

d) 154

6. 12 420 ÷ 540 = a) 7

Eje temático: SN y PA

Apartado 3.4

b) 19

Plan 2/2

c) 23

d) 30

89

Ciclo Escolar 2009-2010

139

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (1/3)

Apartado 3.5 Conocimientos y habilidades Representar gráficamente pares ordenados en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas.

Tema. Ubicación espacial Subtema. Sistemas de referencia

Se puede hacer uso del croquis para señalar otros puntos (semáforos) y que los alumnos determinen las coordenadas; o viceversa, que el maestro o algún alumno determine el par ordenado y que los demás ubiquen los semáforos.

Intenciones didácticas Que los alumnos ubiquen puntos en un sistema de coordenadas cartesianas, representado en un croquis, haciendo uso de un par ordenado de números; asimismo, con las parejas de números ordenados, que ubiquen los puntos respectivos.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Es probable que la primera dificultad que tengan los alumnos sea relacionar la ubicación del semáforo 3 con el par ordenado (7, 2), y esa es la intención; algunas preguntas que los pueden orientar son: ¿a cuántas calles del eje vertical (avenida Vertical) se localiza? ¿A cuántas calles del eje horizontal (avenida Horizontal) se localiza? Se espera que los estudiantes adviertan que este semáforo se encuentra a 7 calles de la avenida vertical y a 2 calles de la avenida horizontal y que esos valores son el par de números ordenados. También es relevante que reflexionen sobre la importancia del orden de las coordenadas; para ello podría plantearse la siguiente pregunta: ¿(7, 2) y (2, 7) representan el mismo punto?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Para comprender mejor el funcionamiento del sistema cartesiano en un plano es importante subrayar los siguientes aspectos: • Los ejes que lo determinan son perpendiculares, en este caso representados por las avenidas Vertical y Horizontal. • Existe un punto de origen –representado por las coordenadas (0, 0)– y que corresponde a la intersección de los dos ejes. • Para ubicar un punto es necesario un par de valores (x, y): el primero representa la distancia al eje vertical y el segundo la distancia al eje horizontal. Éstos reciben los nombres de abscisa y ordenada, respectivamente.

140

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

áforos? ¿Dónde están los sem

n las preguntas. Los ente croquis y responda pos observen el sigui . Organizados en equi sentan un semáforo amarillo y rojo) repre e, (verd res colo de puntos

tres

1

4 A v. 5

V e r t i c a l

2

3

A v. H o r i z o n t a l

ada con la pareja de

áforo 3 está determin

Si la ubicación del sem (7, 2)... a)

s ordenados de los

¿Cuáles son los pare

números ordenados

otros semáforos?


VO
PUSP
NÈT
FO

 

FNÈGPSP
FO


Z C
6CJRVFO
VO
TFYUP
T

90

Eje temático: FEM

Apartado 3.5

Plan 1/3

Ciclo Escolar 2009-2010

141

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (2/3)

Apartado 3.5 Conocimientos y habilidades Representar gráficamente pares ordenados en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas.

Tema. Ubicación espacial Subtema. Sistemas de referencia

portamiento de las coordenadas (2, 7), (3, 6) y (4, 5) o (7, 6), (9, 7) y (11, 8), ya que también se ubican en la misma recta. Se sugiere no obligar a los alumnos a que utilicen el plano cartesiano; si no lo hacen, el esfuerzo intelectual es mayor. Sin embargo, podrían utilizarlo para verificar sus respuestas.

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen regularidades en las coordenadas de los puntos y las rectas que éstos determinan en el plano cartesiano.

Consideraciones previas Una vez que los estudiantes saben ubicar puntos en un plano cartesiano y determinar sus coordenadas, es importante que ahora busquen relaciones entre las regularidades de las coordenadas de los puntos y las rectas que éstos determinan en el plano. Algunas de ellas son:

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

• Si varios pares ordenados tienen la misma abscisa, ordenada o ambas, pertenecen a la misma recta. • Si el valor de la abscisa es 0 en varios pares ordenados, estos pertenecen al eje vertical. • Si el valor de la ordenada es 0 en varios pares ordenados, estos pertenecen al eje horizontal.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

• Si a varios pares ordenados que pertenecen a una paralela del eje horizontal se suma el mismo valor a las ordenadas, al representarlos y unirlos se obtiene otra paralela. • Si a varios pares ordenados que pertenecen a una paralela del eje vertical se suma el mismo valor a las abscisas, al representarlos y unirlos se obtiene otra paralela. Por el trabajo realizado, es posible que en la pregunta 5 los alumnos digan que los pares ordenados deben tener la misma abscisa o la misma ordenada, sin embargo, no son los únicos casos; también se les puede preguntar: ¿qué sucede si tienen la misma abscisa y la misma ordenada, por ejemplo (2, 2), (5, 5) y (8, 8)?; éstos también pertenecen a una recta, aunque no es paralela a ningún eje. Adicionalmente, puede discutirse el com-

142

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Regularidades en el plano

Organizados en pare jas contesten las sigui entes preguntas; si es cartesiano. necesario, utilicen el plano 1. ¿Dónde se ubican los

puntos (3, 0), (8, 0), (5, 0)?

2. ¿Qué característica s tendrán las coordena das de 5 puntos que vertical? se ubican

sobre el eje

3. ¿Qué característica s tienen las coordena das de los puntos que paralela al eje horiz se ubican sobre una ontal? 4. ¿Los puntos (5, 8), (5, 2), (5, 6) están sobr e una recta? Si se sum abscisas y se unen los a 1 a los valores de puntos en el plano, las ¿qué resulta? 5. Mencionen algunas características que deben tener los pare en una recta paralela s ordenados que se al eje horizontal. ubican Y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 Eje temático: FEM

Apartado 3.5

2

3 Plan 2/3

4

5

6

7

8

X 9

10

91

Ciclo Escolar 2009-2010

143

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (3/3)

Tema. Ubicación espacial Subtema. Sistemas de referencia

Apartado 3.5 Conocimientos y habilidades Representar gráficamente pares ordenados en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas.

Observaciones posteriores

Intenciones didácticas

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos manejen el sistema de coordenadas cartesianas en la ejecución de un juego.

Consideraciones previas Si los alumnos no entienden cómo jugar, el ma­estro puede hacer una demostración del juego. Para terminar la sesión, el maestro puede pedirles a los alumnos que expliquen cuál es la mejor estrategia para ganar. Esto debe originar una serie de argumentaciones que se analizarán en grupo. Otra actividad sugerida es realizar el juego Traza la figura geométrica con las siguientes reglas:

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

• El juego consiste en intentar reproducir en un plano cartesiano una figura geométrica idéntica al del equipo contrario. • Un equipo traza una figura geométrica en su plano cartesiano. Posteriormente, sin mostrarlo, le dicta al otro equipo los pares ordenados de los puntos de sus vértices. • El otro equipo intenta reproducir la figura con la información dada. • Se comparan las figuras y se da un punto al equipo si acertó en la reproducción. • Los equipos intercambian de rol. Se sugiere que en los planos cartesianos de ambos equipos se utilice la misma escala para que la verificación pueda hacerse superponiendo las figuras.

144

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Hunde al submarino

M. Acosta. Pedagógica Manuel

JOB

QBSB
KVHBS
FO
BM
SFDPSUBCMF
EF
MB
QÈH
TVCNBSJOPT
EFM
NBUFSJ siguientes reglas: 6UJMJDFO
FM
UBCMFSP
Z
MPT ”, de acuerdo con las arino subm al de parejas a “Hun uno ro los 3 submarinos: lo vea, ubica en su table que su contrincante • Cada jugador, sin 3 puntos de longitud. de dos y itud long o3 2 de 2 puntos de en el tablero, tocando ontal o verticalmente r puntos. pueden ubicar horiz los submarinos sin toca ar • Los submarinos se ubic itido perm itud. No es ados los puntos según su long os donde están ubic denadas de los punt hayan en adivinar las coor hunde hasta que se • El juego consiste irlos; un submarino se hund ado. para ubic rsario está puntos donde tres submarinos del adve o dos los de das exactas
DSFB
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nombrado las coordena BS
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Q nados. USJODBOUFT
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T está un submarino rival. SB
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MVH FSTBSJP
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WF[
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BEW tablero enemigo. s de su adversario. ero los tres submarino nte que hunda prim • Gana el participa

submarino

de Experimentación

Hunde al

Cortesía de la escuela

9

92

8 7 Eje temático: FEM

Apartado 3.5

6

Plan 3/3

5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

163

Ciclo Escolar 2009-2010

145

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (1/3)

Tema. Medida Subtema. Unidades

Apartado 3.6 Conocimientos y habilidades Establecer relaciones entre unidades del Sistema Internacional de Medidas (SI) y las unidades más comunes del Sistema Inglés.

Observaciones posteriores

Intenciones didácticas

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen hacer transformaciones entre unidades del Sistema Inglés (pulgada, pie y milla) y unidades del Sistema Internacional de Medidas.

Consideraciones previas Antes de que los alumnos resuelvan los problemas, si el profesor considera pertinente, puede comentar la historia y los lugares donde se utiliza el Sistema Inglés y el Sistema Internacional de Medidas. Si bien en cada problema se da la equivalencia entre las unidades del Sistema Inglés y las unidades del Sistema Internacional, en el caso del pie y de la milla no sucede esto. La equivalencia para el pie se da en centímetros y el resultado se pide en metros, y la equivalencia de la milla se da en metros aunque el resultado se pide en kilómetros; esto propicia que se hagan conversiones entre múltiplos y submúltiplos del metro.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

En el caso del velocímetro, si los alumnos no advierten que mph significa millas por hora, hay que señalarlo. Se sugiere solicitar a los estudiantes que busquen otras aplicaciones del pie, la pulgada y la milla, con el fin de plantear problemas que permitan interpretar esta información en unidades del Sistema Internacional de Medidas.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

146

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Pulgada, pie y mill a

Organizados en equi

pos resuelvan los sigui entes problemas: 1. Don Juan fue a una ferretería a comprar una manguera para observar varias, eligió regar su jardín. Desp una que tiene pega ués de da la siguiente etiqu eta.

¿Cuántos metros de longitud tiene la man guera que compró don Juan? Nota: 1 pie (ft) = 30.48 cm ¿Cuántos centímetros tiene de diámetro inter ior la manguera? Nota: 1 pulgada (in) = 2.54 cm

2. El siguiente dibujo repre

senta el velocímetro

del automóvil de don

Juan.

40 50 30 60 20

70

10

80

0

mph

90

¿Cuál es la velocidad máxima en kilómetros por hora del automóv il de don Juan? Nota: 1 milla (mi) = 1 609.34 m

Eje temático: FEM

Apartado 3.6

Plan 1/3

93

Ciclo Escolar 2009-2010

147

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (2/3)

Apartado 3.6 Conocimientos y habilidades Establecer relaciones entre unidades del Sistema Internacional de Medidas (SI) y las unidades más comunes del Sistema Inglés.

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen hacer transformaciones entre unidades del Sistema Inglés (libra, onza y galón) y unidades del Sistema Internacional de Medidas.

Consideraciones previas Para poder comparar los precios de las diversas presentaciones de las galletas o de los jugos es necesario transformar todos los contenidos a la misma unidad de medida. Una posibilidad es convertir todos los contenidos de las galletas en kilogramos y los de los jugos en litros. Hechas las transformaciones anteriores, existen varias formas de proceder para decidir el mejor precio según el contenido. Una forma es utilizar las nociones de una relación de pro­ porcionalidad al establecer problemas de valor faltante.

Tema. Medida Subtema. Unidades

con el uso de la onza tanto en las galletas como en los jugos. Sería conveniente comentar que, además de la onza para medir masa, existe la onza para calcular líquidos (fl.oz). Se sugiere solicitar a los estudiantes que busquen otras aplicaciones de la libra, la onza y el galón, con la finalidad de plantear otros problemas que permitan interpretar esta información en unidades del Sistema Internacional de Medidas.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Por ejemplo, con las presentaciones 1 y 2 de galletas: 1 kg

$48.00

1.250 kg

x

De donde, x = $60.00 Como la presentación 1 cuesta $62.90, entonces, de las presentaciones 1 y 2, la que más conviene es la 2. De la misma forma, se pueden comparar las presentaciones 2 y 3. También el valor unitario puede ser útil para realizar las comparaciones, es decir, se obtiene el precio de 1 kg en las tres presentaciones. Es posible que los alumnos se sorprendan

148

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

y galón uiente. blema sig Libra, onza uelvan el pro

r

na a seleccio Ayúdenles y mpleaños. parejas res do su precio fiesta de cu en s a ran un ido ide o . ns un nd ora Re iza ga, co tán organ su calculad más conven s y utilizar de Luis le es jugos que los recuadro Los padres lletas y de alencias en ción de ga ar las equiv la presenta ult ns co Pueden contenido. 1 libra (lb)

= 0.454 kg

) = 0.0283

1 onza (oz

kg

GALLETAS: s a $62.90 44.17 onza n 1: caja de .00 Presentació 48 $ a 1 kg 7.50 n 2: caja de onzas a $3 Presentació 1 libra, 10.46 de ja ca 3: n Presentació

ida (fl.oz)

1 onza líqu

= 29.57 ml

l) = 3.785 l

1 galón (ga

+6(04

zas c/u s de 6.76 on de 4 pieza n 1: paquete ció 0 nta 2.0 se Pre o a $1 za de 1 litr n 2: una pie a $47.10 Presentació de 1 galón una pieza 3: n ció Presenta

a $9.40

o: FEM

Eje temátic

Apartado 3.6

Plan 2/3

94

Ciclo Escolar 2009-2010

149

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (3/3)

Tema. Medida Subtema. Unidades

Apartado 3.6 Conocimientos y habilidades Establecer relaciones entre unidades del Sistema Internacional de Medidas (SI) y las unidades más comunes del Sistema Inglés.

Observaciones posteriores

Intenciones didácticas

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos calculen equivalencias entre divisas de diferentes países.

Consideraciones previas Es recomendable preguntar a los alumnos sobre algunas monedas extranjeras que conozcan o de las que hayan oído hablar; y que investiguen su equivalencia en pesos mexicanos a fin de plantear problemas que impliquen realizar conversiones entre las diferentes divisas. Es probable que la pregunta 3 resulte compleja, ya que se relacionan 2 monedas extranjeras: euros y dólares. Una posibilidad es convertir los 500 dólares en pesos mexicanos y después, éstos en euros. También puede establecerse que 1 euro equivale a 1.2576 dólares, al dividir 16.35 entre 13.00; posteriormente, se procede a encontrar el equivalente en euros de los 500 dólares.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Se sugiere actualizar el tipo de cambio de las monedas consideradas en la tabla.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

150

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Divisas Organizados en pare

jas resuelvan el prob lema siguiente El día 11 de noviembre de 2008, en la sección financiera de un diari nacional, apareció o de circulación una tabla con los prec ios de venta de varia Con base en ella, cont s monedas extranjera esten lo que se pide s. .

Monedas

Venta

Dólar

$ 13.00

Euro

$ 16.35

Yen

1. ¿Cuánto dinero se

2. ¿Cuántos yenes se

3. ¿A cuántos euros

Eje temático: FEM

$ 0.13

necesita para comprar

pueden comprar con

65 dólares?

200 pesos?

equivalen 500 dólares?

Apartado 3.6

Plan 3/3

95

Ciclo Escolar 2009-2010

151

Eje. Manejo de la información

Tema. A  nálisis de la información y representación de la información Subtema. R  elaciones de

Plan de clase (1/3)

proporcionalidad

Apartado 3.7 Conocimientos y habilidades Resolver, mediante diferentes procedimientos, problemas que impliquen la noción de por­ centaje: aplicar porcentajes, determinar el por­centaje que una cantidad representa en casos sencillos (10%, 20%, 50%, 75%); aplicar porcentajes mayores que 100%.

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan con distintos procedimientos problemas en los que se tiene que calcular el porcentaje de una cantidad.

Por último, se sugiere advertir que, en general, el precio de un artículo con un descuento del 25% se puede obtener directamente al calcular el 75%, en lugar de calcular el 25% y luego hacer la resta.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas La finalidad de este plan es que los alumnos calculen porcentajes menores que el 100% por medio de diferentes formas. Para calcular el 25% de 4 200, los estudiantes pueden realizar alguno de estos procedimientos: • A partir de que el 10% es 420 y que el 5% es 210, el resultado de 420 + 420 + 210 representa el 25%. • La mitad (2 100) es el 50% y la mitad de la mitad (1 050) es el 25%. • Multiplicar por

25 100

o bien por

1 4

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

.

• Si los alumnos multiplican por 0.25 para realizar el cálculo, se debe considerar este procedimiento como uno más y no como el único y obligatorio. Es muy probable que para resolver el problema de la consigna, los estudiantes primero apliquen el descuento del 25% y después al resultado le incrementen el 15% de IVA. Una pregunta interesante para que los estudiantes reflexionen es la siguiente: si hay un descuento de 25% y un aumento de 15%, ¿no se obtiene directamente el precio del refrigerador al descontar únicamente el 10%? También valdría la pena que pensaran si el or­ den del descuento y del incremento afecta el pre­cio final.

152

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

ón

Fecha:

Consigna

Tantos de cada cien

ente problema. pos resuelvan el sigui ue Organizados en equi s los artículos, aunq de descuento en todo 25% de n oció la prom refrigerador con un En un almacén está el precio final de un 15% de IVA. ¿Cuál es el ar pag que hay también 200.00? precio de lista de $4

96

Eje temático: MI

Apartado 3.7

Plan 1/3

Ciclo Escolar 2009-2010

153

Eje. Manejo de la información Plan de clase (2/3)

Apartado 3.7 Conocimientos y habilidades Resolver, mediante diferentes procedimientos, problemas que impliquen la noción de por­ centaje: aplicar porcentajes, determinar el por­centaje que una cantidad representa en casos sencillos (10%, 20%, 50%, 75%); aplicar porcentajes mayores que 100%.

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan a través de diferentes procedimientos problemas en los que se tiene que calcular el porcentaje que represen­ta una cantidad con respecto a otra.

Consideraciones previas Para este plan, y todos los que comprenda este apartado, son válidos los procedimientos comentados en el plan anterior, subrayando que la expresión decimal representa un primer acercamiento y no la única forma de realizar el cálculo. Ahora se trata de calcular qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra. Para resolver el problema de la consigna hay que averiguar qué tanto por ciento representa $90.00 (descuento) respecto de $450.00 (precio de lista). El problema involucra un dato que pudiera confundir a los alumnos: el dinero ahorrado. Por tanto, es necesario que el texto se interprete adecuadamente. Algunas posibles confusiones son las siguientes:

Tema. A  nálisis de la información y representación de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad

el tanto por ciento que representa el precio final ($360.00) respecto del precio de lista ($450.00). Los porcentajes son de uso común, por tanto, se sugiere solicitar a los alumnos que investiguen algunas aplicaciones y que inventen algunos problemas para proponerlos a todo el grupo. Con la finalidad de seguir calculando el porcentaje que representa una cantidad respecto a otra, se sugiere la siguiente actividad: En la tienda donde Pepe compró su reloj había otros artículos con descuento, pero la etiqueta sólo indica el precio de lista y el precio rebajado. Encuentra los porcentajes de cada descuento y regístralos en la tabla. Artículo

60% De $300.00 A $120.00

De $70.00 A $45.50 De $220.00 A $110.00

• El precio final del reloj ($360.00) se encuentra al restar $140.00 al ahorro total, es decir, a los $500.00, y no al precio de lista del reloj ($450.00). • El descuento ($90.00) se obtiene al restar el precio final ($360.00) al precio de lista ($450.00) y no al dinero ahorrado ($500.00). • El problema pide el tanto por ciento de descuento, es decir el tanto por ciento que representa $90.00 respecto de $450.00. Es muy probable que los estudiantes calculen

154

Matemáticas 6

Descuento

De $145.00 A $123.25

ón

Fecha:

Consigna

Ofertas y descuento s

Organizados en equi

pos resuelvan el sigui ente problema. Pepe logró ahorrar $500 .00 y con ese dinero decidió comprar un al pagarlo, se enteró reloj que costaba $450 que tenía un descuent .00; o. ¿Qué tanto por cien salir de la tienda aún to le descontaron, si tenía $140.00 de sus al ahorros?

Eje temático: MI

Apartado 3.7

Plan 2/3

97

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

155

Eje. Manejo de la información Plan de clase (3/3)

Tema. A  nálisis de la información y representación de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad

Apartado 3.7 Conocimientos y habilidades Resolver, mediante diferentes procedimientos, problemas que impliquen la noción de por­ centaje: aplicar porcentajes, determinar el por­centaje que una cantidad representa en casos sencillos (10%, 20%, 50%, 75%); aplicar porcentajes mayores que 100%.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan de distintas maneras problemas en los que se apliquen porcentajes mayores que 100%.

Consideraciones previas Para resolver el problema, es muy probable que los alumnos calculen primero el 15% de $240.00 y el resultado lo sumen a los $240.00; esto es correcto, sin embargo, se trata de obtener porcentajes mayores al 100%; por tanto, basta con obtener el 115% de $240.00. Si los estudiantes utilizan la primera forma, hay que invitarlos a pensar en otra en la que únicamente se realice un cálculo. En plenaria, analizar detalladamente la equivalencia de las dos formas y subrayar la rapidez del segundo.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Con la finalidad de practicar el cálculo de porcentajes mayores al 100%, se puede solicitar a los estudiantes que investiguen los precios de hace 5 o 10 años de productos de uso común y que calculen el tanto por ciento que han aumentado hasta la fecha.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

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Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Eje. Manejo de la información Plan de clase (1/2)

Tema. A  nálisis de la información y representación de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad

Apartado 3.8 Conocimientos y habilidades Establecer equivalencias entre distintas expresiones de un por ciento: n de cada 100, como una fracción, como decimal.

Observaciones posteriores

Intenciones didácticas

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos reconozcan expresiones equivalentes para representar un porcentaje mediante una fracción o un decimal.

Consideraciones previas La intención de este plan es que los alumnos adviertan que existen expresiones equivalentes que permiten obtener el mismo porcentaje (algunas en forma de fracción y otras en forma de decimal). En este grado, es importante hacer énfasis en la notación de fracción común para darle sentido a la expresión decimal, la cual se trabajará ampliamente en la secundaria. Para verificar la equivalencia de las expresiones utilizadas, será necesario aplicar las transformaciones requeridas, de fracción a decimal, o viceversa. Otra herramienta útil para comprobar esta equivalencia es la calculadora.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Es posible que en algunos cuadros se escriban operaciones diferentes y que éstas sean correctas; por ejemplo, en la segunda fila: 890 x 2 o 890 x 1 . Es importante señalar 10 5 que, en este caso, se trata de fracciones equivalentes, por lo que utilizar la fracción irreducible, 1 , facilita el cálculo. 5

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

158

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

ón

Fecha:

Consigna

Diferentes pero equ ivalentes

Organizados en equi

pos resuelvan el sigui ente problema. La tabla de abajo cont iene diferentes prec ios y descuentos de tiendas, así como algu una licuadora en varia nas operaciones equi s valentes para obtener Analícenla y compléte el respectivo descuent nla. Pueden hacer uso o. de su calculadora.

Precio: $800 Descuento: 25%

800 x

25

Descuento: $

100

Precio: $890 Descuento: 20%

890 x 0.20

Precio: $750 Descuento: 10%

Eje temático: MI

Apartado 3.8

750 x

Plan 1/2

1 10

Descuento: $

Descuento: $

99

Ciclo Escolar 2009-2010

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Eje. Manejo de la información Plan de clase (2/2)

Tema. A  nálisis de la información y representación de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad

Apartado 3.8 Conocimientos y habilidades Establecer equivalencias entre distintas expresiones de un por ciento: n de cada 100, como una fracción, como decimal.

Observaciones posteriores

Intenciones didácticas

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos representen adecuadamente con decimales porcentajes menores de 10% y mayores al 100%, y realicen los cálculos para resolver problemas.

Consideraciones previas Cuando utilizan la notación decimal, un error común de los alumnos para obtener porcen­ tajes menores al 10% es la ubicación del pun­to decimal. Por ejemplo, para calcular el 5%, si se multiplica por 0.5, se está calculando en realidad el 50% en lugar del 5%. Se sugiere discutir detalladamente esta situación y diferenciar claramente las expresiones utilizadas. Si los alumnos desconocen el significado del Índice Nacional de Precios al Consumidor, se sugiere que el profesor intervenga para ampliar y clarificar dicha información.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Es importante considerar que los resultados ob­te­nidos en una fecha serán necesarios pa­ ra obtener el de la siguiente fecha. Cuando se trata de obtener porcentajes mayores al 100%, es común que los alumnos agreguen únicamente un punto decimal tal y como lo hacen cuando son porcentajes menores que 100 y mayores que 10; por ejemplo, para calcular el 130%, pueden multiplicar por 0.130. Con la finalidad de contrarrestar este error común, se sugiere discutir ampliamente los procedimientos y resultados y plantear problemas como el siguiente: Si el litro de gasolina aumentara el 125% para el año 2020 con respecto al precio de 2008, ¿cuál sería el precio por litro?

160

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

ón

Fecha:

Consigna

olina El precio de la gas

ente problema. pos resuelvan el sigui ha Organizados en equi ), la gasolina Magna al Consumidor (INPC precio e Nacional de Precios Índic el 2003, el litro tenía un con rdo De acue y gradual. En julio de inua los cont n a entre form de Encu . tos a 2008 registrado incremen los aumentos de 2003 hacer ente tabla, se indican a centésimos. Pueden de $5.40; en la sigui las cantidades hast cada fecha; trunquen nuevos precios para uso de su calculadora.

Fecha 1º de julio de 2004 1º de julio de 2005 1º de julio de 2006 1º de julio de 2007 1º de julio de 2008

100

Aumento

Nuevo precio

6% 4% 7% 8% 5%

Eje temático: MI

Apartado 3.8

Plan 2/2

Ciclo Escolar 2009-2010

161

Eje. Manejo de la información Plan de clase (1/2)

Tema. R  epresentación de la información Subtema. G  ráficos Automóvil A

Apartado 3.9

500

Conocimientos y habilidades

450

Analizar los efectos causados en los gráficos por un cambio de escala.

400

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen los efectos que producen en una gráfica los cambios de escala en un eje.

Kilómetros

350

Una actividad similar que permite analizar detalladamente la forma de presentar información en una gráfica (en particular la escala utilizada en los ejes), es la siguiente: Las gráficas que se muestran a continuación representan el consumo de gasolina y los kilómetros recorridos por dos automóviles, ¿cuál de ellos tiene mayor rendimiento?

162

Matemáticas 6

250 200

Consideraciones previas

150 100 50

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Litros de gasolina Automóvil B 200 180 160 140

Kilómetros

Es muy probable que los alumnos contesten que el grupo A tiene mayor número de aprobados en Matemáticas, debido a que la altura de la barra del grupo A es más alta que la correspondiente al grupo B. Si esto ocurre, puede pregun­tarles, ¿cuántos aprobados en Matematicas hay en cada grupo? De este modo, advertirán que es el mismo número de aprobados, aunque visual­mente pareciera que no es así. Es importante discutir las razones que producen estos efectos visuales; en este caso, son las diferentes escalas utilizadas en los ejes verticales, ya que en una la división del eje representa 5 alumnos, y en la otra el mismo segmento representa 10 alumnos; por consecuencia, las barras son de diferente altura, aunque representan el mismo dato. En los dos grupos hay el mismo número de aprobados en Matemáticas, Español y Ciencias Naturales.

300

120 100 80 60 40 20

0

5

10

15

20

25

Litros de gasolina

30

35

40

Fecha:

Consigna

Efectos visuales

Las siguientes gráficas representan el número de aprobados en Espa (M) y Ciencias Natu ñol (E), Matemáticas rales (C.N.) en dos grup os diferentes, el A y el información de las gráfi B. Con base en la cas y organizados en equipos contesten lo que se pide. Grupo A

30

50

20 15

Alumnos

Alumnos

Grupo B

60

25

10 5

40 30 20 10

E

M

C.N.

E

M

C.N.

¿Qué grupo tiene may or número de aprobad

os en Matemáticas?

¿En alguna materia

el grupo B tiene más

aprobados?

Eje temático: MI

Apartado 3.9

Cortesía de la escuela

de Experimentación

Pedagógica Manuel

M. Acosta.

¿En cuál?

Plan 1/2

101

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

163

Eje. Manejo de la información Plan de clase (2/2)

Tema. R  epresentación de la información Subtema. G  ráficos

Apartado 3.9 Conocimientos y habilidades Analizar los efectos causados en los gráficos por un cambio de escala.

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen los efectos que producen en una gráfica los cambios de escala en los dos ejes.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Ahora las gráficas son muy parecidas, pues las rectas tienen la misma inclinación; por esta razón, los alumnos podrían contestar que los automóviles tienen el mismo rendimiento; sin embargo no es así, ya que las escalas en los dos ejes son diferentes; en la primera, cada división en el eje horizontal representa 5 litros de gasolina y en la segunda, 10; en la primera, cada división en el eje vertical representa 50 km, en la segunda, 80. Una pregunta adicional que puede reorientar esta respuesta sería: ¿cuántos kilómetros recorre cada automóvil con 20 litros de gasolina?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Con la finalidad de aprovechar aún más las gráficas, se pueden plantear otras preguntas, como por ejemplo, ¿cuántos kilómetros recorre cada automóvil por litro de gasolina?, ¿cuántos litros necesita el automóvil B para recorrer 200 kilómetros?, etcétera. Una actividad que permite profundizar en el tema es la siguiente: Si el rendimiento del automóvil A permanece constante, es decir, mantiene 10 km por litro: ¿Qué sucedería con la recta de la gráfica si los valores del eje vertical se duplican y los del eje horizontal disminuyen a la mitad? ¿Qué sucedería con la recta de la gráfica si los valores del eje vertical disminuyen a la mitad y los del eje horizontal se duplican? ¿Qué sucedería con la recta de la gráfica si los valores del eje vertical se duplican y los del eje horizontal también?

164

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

didor? ¿Cuál es el más ren

etros que recorren dos de gasolina y los kilóm representan los litros en equipos contesten Las siguientes gráficas gráficas organizados las de ión mac infor en la automóviles. Con base . Automóvil B lo que se pide Automóvil A

800

500

720

450

640

400

Kilómetros

560

Kilómetros

350 300 250

480 400 320

200

240

150

160

100

80

50 0

5

10

15 20 25 30 Litros de gasolina

35

40

0

10

20

30 40 50 60 Litros de gasolina

70

80

iles es más rendidor?

¿Cuál de los automóv

Cortesía de la escuela Manuel M. Acosta.

de Experimentación

Pedagógica

¿Por qué?

102

Eje temático: MI

Apartado 3.9

Plan 2/2

Ciclo Escolar 2009-2010

165

SEXTO GRADO

5. Traza polígonos regulares inscritos en circunferencias mediante el ángulo central.



Manejo de la información

Forma, espacio y medida

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Análisis de la información

Medida

Figuras

Significado y uso de las operaciones

Significado y uso de los números

3 2

4.4. Dividir un número fraccionario o decimal entre un número natural. 4.5. Trazar polígonos regulares inscritos en una circunferencia mediante el ángulo central.

Multiplicación y división

4.8. Resolver problemas que impliquen comparar razones del tipo “por cada n, m” mediante diversos procedimientos y en casos sencillos, expresando el valor de la razón mediante un número de veces, una fracción o un porcentaje.

4.7. Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria.

Nociones de probabilidad Relaciones de proporcionalidad

4.6. Calcular, mediante diversos procedimientos, la longitud de una circunferencia.

Estimación y cálculo

2

2

2

2

4.3. Resolver problemas de conteo que involucren permutaciones sin repetición.

Problemas multiplicativos

Figuras planas

3

3

4.2. Convertir fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximar algunas fracciones no decimales usando la notación decimal.

4.1. Determinar los divisores de un número.

NÚM. DE PLANES

Números fraccionarios

Números naturales

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES

4. Resuelve problemas que implican comparar razones.



SUBTEMA

3. Resuelve problemas de combinatoria que involucren permutaciones sin repetición.



TEMA

2. Divide números fraccionarios o decimales entre números naturales.



EJE

1. Ordena, encuadra, compara y convierte números fraccionarios y decimales.



Como resultado del estudio de este bloque de contenidos se espera que el alumno tenga disponibles los siguientes aprendizajes:

BLOQUE 4

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (1/3)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números naturales

Apartado 4.1 Conocimientos y habilidades Determinar los divisores de un número.

Intenciones didácticas Que los alumnos usen las nociones de múltiplo y de divisor a fin de hallar la estrategia ganadora.

Consideraciones previas El material por equipo es: 1) Una tira numérica marcada del 0 al 60; entre cada número debe haber 3 o 4 cm. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

2) 20 fichas

3) Tres piedras pequeñas

Se puede encargar a los alumnos que elaboren la tira numérica de tarea o, si se desea, que se pinte con un gis en el piso del patio de la escuela. Si se hace de cartoncillo, se sujetará en el piso con cinta adhesiva para evitar que se mueva o enrolle. Las fichas pueden ser frijoles, botones, habas, etc; conviene hacer equipos de 4 o 5 alumnos. Para asegurarse de que los niños hayan entendido las reglas del juego, el maestro mostrará el siguiente ejemplo.

168

Matemáticas 6

Fecha:

Supongamos que el cazador decide colocar las piedras en los números 14, 34 y 52.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Y un alumno del equipo decide saltar de 4 en 4:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Este alumno logró esquivar las dos primeras trampas, pero cayó en la trampa del 52; por tanto, deberá entregar su ficha al cazador. Otro alumno del equipo decide saltar de 9 en 9:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Este alumno no cayó en ninguna trampa, por tanto, se queda con su ficha. El juego iniciará cuando todos los alumnos hayan comprendido las reglas. El maestro podrá observar el trabajo y apoyar en caso de que haya dudas. Cuando el docente vea que algún alumno logra esquivar las trampas, puede preguntarle qué hizo para saber cuál estrategia le convenía. Si el maestro nota que algunos alumnos empiezan a usar la idea de múltiplo e intuitivamente la de divisor, elegirá a estos alumnos para que presenten sus estrategias en la puesta en común. Al finalizar, el maestro hará una puesta en común para que los alumnos expliquen que hicieron para poner las trampas (el cazador) o para evitarlas (las pulgas). Se espera que los alumnos hayan razonado que debían fijarse en que el tamaño de su brinco no fuera divisor de cualquiera de los números donde estaban las trampas. Durante esta puesta en común se sugiere hacer dos o tres juegos al frente del grupo en los que el maestro ponga las trampas y entre todos los alumnos traten de ganarle al maestro al elegir un tamaño del brinco adecuado. Si se considera conveniente, el juego puede repetirse en otras sesiones para que los alumnos poco a poco construyan estrategias ganadoras. Una posible estrategia ganadora para el que coloca las trampas es la siguiente: al cazador le conviene poner trampas en números que tengan varios divisores, por ejemplo, el 48, pues ahí caerán quienes elijan brincar de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, de 6 en 6 y de 8 en 8; las otras dos trampas las puede colocar en el 35 para detener a los que brinquen de 5 en 5 y de 7 en 7; y la tercera trampa en algún múltiplo de 9. En el bloque 3, los alumnos trabajaron con múltiplos de un número, por lo que cuentan con elementos suficientes para hallar dónde conviene poner las trampas, o bien, de cuántos en cuántos conviene brincar. El maestro puede manejar el término múltiplo, ya que conviene poner trampas en números que sean múltiplos de varios números. Ciclo Escolar 2009-2010

169

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (1/3)

También puede empezar a usar el término divisor en casos concretos. Por ejemplo, puede decir que conviene que el tamaño del brinco no sea un divisor de los números donde están las trampas y plantear a los alumnos: Si una trampa está en el número 20, ¿cuáles son los tamaños de brincos que no convienen?

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números naturales

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Cuando los alumnos respondan que 2, 4 y 5, el maestro puede decir que 2, 4 y 5 son divisores de 20 porque éste es múltiplo de esos números, y cuestionar: ¿Cómo sabemos que un número es múltiplo de otro? Lo anterior se puede hacer con otros ejemplos. No se espera que en esta clase todos los alumnos construyan la idea de divisor, ya que apenas es un primer acercamiento. Para jugar una versión electrónica de “La pulga y las trampas” se puede consultar la página: http://interactiva.matem.unam.mx/matechavos/coco/html/pulga/html/pulgas.html

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

170

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

La pulga y las tram pas

Vamos a jugar a “La pulga y las trampas” . Cada equipo tiene pequeñas y una tira 20 fichas, tres piedras de cartoncillo como la siguiente: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Instrucciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Cortesía de la escuela

General Andrés Figueroa

.

9.

Nombren a un caza dor. El cazador colocará las tres piedras en los números que prefiera, representarán las tram las cuales pas. Cada uno de los otros alumnos toma una ficha, la cual será la pulga. Cada alumno elige cómo va a saltar su pulga (la ficha). Por en 2, de 3 en 3 o, inclu ejemplo, puede salta so, de 9 en 9. r de 2 Una vez que se haya elegido cómo va a saltar la pulga, por turno hacer los saltos dicie s se empiezan a ndo en voz alta los núm eros por los que pasa su pulga. Si al hacer los saltos cae en una de las tram pas, le entregará su cae en ninguna tram ficha al cazador. Si no pa, se queda con su ficha. Cuando todos haya n pasado, correspon de el turno a otro niño y se repite el proceso representar al cazador anterior. El juego termina cuan do ya no hay más ficha s. El juego lo gana el alum no que al final se haya quedado con más ficha s.

106

Eje temático: SN y PA

Apartado 4.1

Plan 1/3

Ciclo Escolar 2009-2010

171

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/3)

Apartado 4.1 Conocimientos y habilidades Determinar los divisores de un número.

Intenciones didácticas Que los alumnos encuentren todos los divisores de un número dado al resolver problemas.

Consideraciones previas Es importante que los alumnos trabajen una misma idea o concepto en situaciones diferentes. En el juego de la sesión anterior, los alumnos manejaron intuitivamente la idea de divisor de un número conjuntamente con la idea de múltiplo. En esta sesión se plantean tres problemas en los que, dado un número, el alumno tiene que encontrar todos sus divisores. En estos problemas, la idea de divisor está presente porque se pide que las colecciones se separen en conjuntos iguales y que, además, no sobre nada (residuo cero). Durante la confrontación de resultados, los alumnos podrán discutir la pertinencia de incluir el número 1 y el número mayor de la colección (24, 36 y 60). Desde el punto de vista matemático, es necesario incluirlo ya que 1 es divisor de todos los números y todo número es divisor de sí mismo; meter una pelota en cada bolsa tiene algo de sentido pero, desde el punto de vista práctico, algunos alumnos pensarán que no tiene mucho sentido colocar todos los elementos de la colección en una sola bolsa; no obstante, el problema no dice que no pueda hacerse. Al término de la confrontación de resultados es importante que el docente formalice y dé nombre a lo que acaban de hacer. Por ejemplo, puede mencionar que al hallar los resultados del primer problema, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24,

172

Matemáticas 6

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números naturales

lo que hicieron fue encontrar todos los divisores de 24. Cada uno de estos números divide exactamente a 24; es decir, que si dividen 24 entre 2, el resultado es un número entero1 y el residuo es igual a cero. Lo mismo sucede si dividen 24 entre 3, 4, 6, 8, … Pero eso no sucede, por ejemplo, si dividen 24 entre 5, por eso 5 no es divisor de 24. Es importante que el maestro invite a los alumnos a expresar estas ideas con los resultados de los otros dos problemas. ¿Cuáles son los divisores de esos números? ¿Cómo sabemos que son divisores?

1 En este nivel los alumnos acostumbran llamar entero a un número natural. La definición de divisor implica a los números naturales (1, 2, 3,…) no a los enteros que incluyen a los negativos (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…). No obstante, en la primaria se acepta que los alumnos le llamen enteros a los números naturales.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna 1

Los juguetes

es problemas. elvan los siguient

Por equipos resu

haya el en cada bolsa sas. Quiere que de que puede a meterlas en bol ha dado cuenta 24 pelotas y va Se . pró una com ning ria re no sob a) Glo a bolsa? Anota de pelotas y que de meter en cad mismo número ántas pelotas pue as maneras. ¿Cu vari de erlo hac s respuestas. todas las posible ero de gan igual núm ntones que ten as de s y va a hacer mo hay varias maner tiene 36 canica una. Sabe que ning re Anota todas sob ? le b) Fernando nes los monto quiere que en no s, er má pon ade de s; canica as canicas pue ntones. ¿Cuánt hacer estos mo uestas. las posibles resp al número les tendrán igu de en sobres, los cua varias maneras las va a meter . Sabe que hay 60 estampas y posibles le sobre ninguna las c) María tiene as que tod ere ta qui ría no a sobre? Ano cad en ter de estampas. Ma me de as estampas pue hacerlo. ¿Cuánt respuestas.

Comparen sus

Eje temático: SN

resultados con

y PA

Apartado 4.1

eros.

ron sus compañ

los que obtuvie

Plan 2/3

107

Ciclo Escolar 2009-2010

173

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (3/3)

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números naturales

Apartado 4.1 Conocimientos y habilidades Determinar los divisores de un número.

Intenciones didácticas Que los alumnos encuentren recursos para verificar si un número es divisor de otro y para explicar por qué sí o por qué no lo es.

Es importante que el maestro, en la puesta en común, formalice lo que han trabajado en las sesiones anteriores y en ésta; además esto lo vinculará con el tema de múltiplos. Es decir, haga notar que si 18 es múltiplo de 3, entonces se dice que 3 es divisor de 18:

es divisor de

Consideraciones previas Estas tres actividades se trabajarán de manera grupal por lo que conviene que el maestro esté muy atento a que todos los alumnos participen; si nota que algunos no están entendiendo o se quedan rezagados haga que participen. En todos los casos se espera que el alumno note que está trabajando con múltiplos de 6, 4 y 3, respectivamente. Dado que las ideas de múltiplo y divisor están íntimamente relacionadas, el divisor surgirá cuando los alumnos tengan que dar respuesta a las preguntas que el maestro planteará; por ejemplo, ¿cómo saber si el número 1 532 aparecerá en la pantalla? Para esto, es probable que los alumnos realicen alguno de estos procedimientos: • Tecleen el signo de = muchas veces hasta ver si aparece o no; esta estrategia es poco eficiente.

3

18 es múltiplo de

La idea de divisor es más compleja que la de múltiplo, debido al pensamiento de reversibilidad que implica. Conviene que se den ejemplos y se pida a los alumnos otros más, siempre procurando que argumenten su respuesta. Por ejemplo, ¿4 es divisor de 20?, ¿cómo lo sabes? Quizá surjan respuestas como: • 4 es divisor de 20 porque 20 es múltiplo de 4.

• Busquen al tanteo un número natural que multiplicado por 3 sea igual a 1 532 (pueden usar su calculadora).

• 4 es divisor de 20 porque, al hacer la división 20 entre 4, el resultado es un número entero y el residuo es cero.

• Dividan 1 532 entre 3 y vean si el residuo es cero, (aquí ya aplican la idea de divisor).

• 4 es divisor de 20 porque existe un número entero (el 5) que, al multiplicarse por 4, nos da 20.

• Dividan 1 532 con la calculadora y observen si el resultado es un número entero o tiene decimales. Si es entero, entonces 1 532 es múltiplo de 3 (aquí también aplican la idea de divisor).

174

Matemáticas 6

Para afianzar la idea de divisor, la cual se formaliza en esta sesión, se sugiere que los alumnos den respuesta a la hoja de trabajo del anexo 1 de su cuaderno (pág. 159).

Fecha:

Consigna 1

Sigan jugan do “El pero a número ho venen profeso ra un comp oso”, añ r, conta rá de 4 ero, el que in marqu e ¡Alto dique en 4 h ! el asta q ue le

El número venenoso

número venenoso”. Vamos a jugar a “El lo. círcu y así un s emo Form a) uno, el que sigue dos, turno. El primero dice s de uno en uno por b) Después, contemo iplo de sucesivamente. da decir 6 o un múlt s ¿Su com , a quien le correspon pañero le plo, al niño que noso es el 6, por tanto dirá en s ¿Dirá c) El número vene alta el número. Por ejem algún Cortesía el 56?, dirá 7, el pero no dirá en voz , sigue ada que de la esc El mome palm ar. una habl ¿cómo 6 dará uela Ge nto el la palmada sin 6, dará s neral An y de ero iplo lo sab ¿Y núm múlt el 36?, ¿c drés Fig el 100? en? decir 12, que es ueroa da toque 6 sólo pensará spon ómo lo . corre , le n ¿c ómo lo ente. Pero a quie saben sivam s suce así y . sa ¿E 8, ? otro, l 1 468? ben? dará la palmada sólo que sino , ¿c ero, ómo lo tampoco dirá el núm s Dig sa ben? an un (indicará número ma como las siguientes encontraron yor qu stro hará preguntas ? e 1 000 jugado un rato, el mae que sí Una vez que hayan : va a d uladora) ecir su pueden usar la calc que, si lo requieren, comp añero. ¿Cóm o lo Todos n? sabe lo o tomen ¿cóm , 150? ero su núm el alta calcula s ¿Toca decir en voz dora y teclee n? sabe lo o ¿cóm n: s ¿Y 580?, ¿cómo lo saben? alta. ¿Cómo lo s ¿El 3 342?, a que decirse en voz teng no que 000 1 mayor que s Digan un número encontraron? 0+3= s ¿Qu ==== é núm = eros a parec s Si c en? ontinú an tec el 30?, le a ndo el ¿cómo Cortesía signo de la esc lo sab de igu

uela Ge en? neral An al (=), drés Fig ¿apare ueroa . cerá e s ¿Ap n arecerá la pan ta e lla de l 300?,

la calc ¿cómo uladora lo sab en? s ¿Y e l 1 532? , ¿cóm o lo sa

ben? s Dig an un núme encon traron? ro mayor qu e 2 000 que sí apare cerá e n la pa ntalla. ¿Cóm o lo

Consigna 2

General Andrés Figueroa

.

Consigna 3

Eje tem

Cortesía de la escuela

ático: SN

y PA

Apartad

o 4.1

Plan 3/

3

Eje temático: SN y PA

108

Apartado 4.1

Plan 3/3

109

El númer o veneno so Anexo 1

Divisores 1. Un gru po de alu mnos haz lo qu e se indica está jugando a “El núme : ro

Observaciones posteriores

a) Anota 5 números que no se b) Anota dirán en una palom voz alta: ita si el nú mero se dirá o no en

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Número

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

72 96 108 400 1546

2. Explica 3. Explica

¿Se dirá en voz alta?

¿No se dirá en voz alta ?

venenoso”

; si el nú

voz alta

y explica

¿Cómo

por qué

por qué

mero ve

nenoso

cómo lo

es 8,

sabes.

lo sabes?

3 es diviso

r de 75:

8 no es div

isor de 75

: 4. Anota todos los divisores de 18: 5. ¿De cu áles núme ros mayo res de 1 979 y me nores de 2 028 es 6. Comp divisor el leta la sig número uiente tab 25? la: ¿Es diviso

r?

5 4 6 8 10

De 20 sí

De 24

De 36 no

De 42

De 100

sí

sí

7. Adivin

anzas. no a) Adivin a, adivin ador, soy b) Adivin divisor de a, adivin 4 y de 6; ador, soy si no soy soy diviso un número el uno, ¿q r, ¿qué nú mayor qu ué núme mero soy e 10 y me ro soy? ? nor que 20; adem ás, de 24 y

de 48

161

Ciclo Escolar 2009-2010

175

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (1/3)

Apartado 4.2 Conocimientos y habilidades Convertir fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximar algunas fracciones no decimales usando la notación decimal.

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen la expresión con punto decimal de una fracción común sencilla (medios, cuartos y décimos).

Consideraciones previas En el bloque 2, los alumnos trabajaron números decimales escritos con punto decimal o como fracciones decimales cuyo denominador era 10, 100 o 1 000. Si se considera conveniente, antes de que resuelvan esta lección se les puede invitar a que jueguen nuevamente con las tarjetas que usaron en el apartado 2.1, plan de clase 2/2. Esta actividad es una primera aproximación a la conversión de fracciones comunes a números con punto decimal; por el momento, sólo se trabajan fracciones sencillas como medios, cuartos y décimos. Permita que trabajen en parejas y, cuando terminen, haga una confrontación de resultados. En la propaganda, la cantidad de jugo está escrita con números con punto decimal, mientras que en la tabla aparece como una fracción decimal. Para determinar el precio, los alumnos tendrán que identificar cuál es la fracción decimal que corresponde a los números con punto. Muchos de los espacios de la tabla quedarán vacíos porque no hay las mismas presentaciones en todos los jugos. Los números se eligieron de tal manera que los estudiantes observen que hay varias maneras de representar una fracción decimal cuando se usa su notación con punto decimal. Por ejemplo, para 1 encontrarán 0.5, 0.50 y 0.500. Es 2

importante que durante la confrontación de resultados se subraye este hecho; aunque parezca sencillo, las investigaciones reportan que para los alumnos no lo es. Los alumnos podrán seguir diferentes proce-

176

Matemáticas 6

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números fraccionarios

dimientos para completar la tabla, dependiendo de la fracción o el número con punto decimal que estén involucrados; en algunos casos será más fácil partir de la fracción hasta llegar al número con punto decimal y en otros, será más fácil proceder a la inversa. A manera de ejemplo, se presentan los siguientes casos: • Para 0.25 es muy probable que los alumnos identifiquen que se trata de 1 . 4

• Para 9 los alumnos podrán leer nueve 10 décimos y buscar el número que use punto decimal y se lea igual, 0.9. • Para 0.75 los alumnos podrán leer setenta y cinco centésimos, que con fracción se 75

expresa 100 , y razonar: un cuarto de 100 es 25, dos cuartos de 100 son 50, por tanto, tres cuartos de 100 son 75, la fracción equivalente es 3 . 4

Una estrategia experta para convertir una fracción a su expresión con punto decimal es dividir el numerador entre el denominador. Esta estrategia se trabajará en las próximas dos sesiones, pero si llega a surgir porque un alumno la sabe, se puede aprovechar para que se comente durante la confrontación de resultados. La pregunta 2 tiene el propósito de introducir al alumno a las fracciones que no son decimales. Se llaman fracciones decimales a aquellas que pueden ser escritas con denominadores 10, 100, 1 000, etc. Los cuartos, medios, quintos y décimos son ejemplos de fracciones decimales. Si una fracción no puede ser escrita de esta manera, se dice que no es una fracción decimal. Por ejemplo, no existe ninguna fracción equivalente a 1 cuyo denominador sea 10, 100, 1 000… en3 tonces, 1 no es una fracción decimal. En este 3 momento no se pretende que se dé a los alumnos la información anterior, sólo hay que confrontar los argumentos que den para comprobar que 1 no es 0.3. Algunos posibles argumentos 3 son los siguientes: • Si sumo tres veces 13 obtengo 1 y si sumo tres veces 0.3, obtengo 0.9, que es menor que uno, así que no son iguales.

Fecha:

•

1 3

es equivalente a

• 0.3 es

3 10

3 9

3 que es diferente a 10 (0.3).

y no existe ninguna fracción

equivalente a

1 3

que su denominador sea

10. • Si divido en la calculadora 1 entre 3 ( 13 ) se obtiene 0.33333… pero no 0.3, aunque son muy cercanos.

Consigna

Es muy difícil que los alumnos den el último argumento porque implica concebir a la fracción como una división; no obstante, es probable que alguno lo use; de ser así, se puede aprovechar la oportunidad para trabajar esta idea con los alumnos porque es el propósito de la siguiente sesión.

Los jugos Organizado s en parejas y de acuerdo la que se an con la siguie uncian jugos, nte informac hagan lo qu ión de una pro e se indica. paganda en El néctar

El néctar

Envase de 0.500 litros $9

Juguísimo

Envase de 0.50 litros

$12

Jugo feliz

Envase de 0.300 litros

$8

$5

Jugo feliz

Envase de 0.5 litros

$8

Frumex

Envase de 0.75 litros

$4

Envase de 0.3 litros

$12

Frumex

Envase de 0.25 litros

Jugo feliz

Envase de 0.750 litros

$5

Frumex

Observaciones posteriores

El néctar

Envase de 0.250 litros

Envase de 0.9 litros

$15

$25

Juguísimo

Juguísimo

Envase de 0.900 litros

Envase de 0.600 litros

$15

$10

1. Complete n la tabla an otando el co presentación sto que se ve , dejen vacío en el envase. el espacio. Si no existe esa

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

1 4

de litro

El néctar

3 10

de litro

1 2

de litro

6 10

de litro

3 4

de litro

Jugo feliz

9 10

de litro

Frumex Juguísimo

2. Juan dice que 0.3

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Argumenten

litros equivale

a

1 3

de litro. ¿Están

de acuerdo

su respuesta.

con él?

110 Eje temático:

SN y PA

Apartado 4.2

Plan 1/3

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

177

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/3)

Apartado 4.2 Conocimientos y habilidades Convertir fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximar algunas fracciones no decimales usando la notación decimal.

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen que al dividir el numerador entre el denominador es una manera de hallar la expresión con punto decimal de una fracción.

Consideraciones previas Existen diferentes procedimientos para convertir una fracción común a su equivalente en decimal; una muy eficaz consiste en dividir el numerador entre el denominador de la fracción. A pesar de su sencillez, conceptualmente es muy difícil que los alumnos la comprendan. En esta lección se pretende que los alumnos construyan esta noción con la situación de los listones. Los números se eligieron de tal manera que en algunos casos no requieren hacer la división; por ejemplo, si se tiene un metro de listón y se corta en dos partes iguales, cada parte medirá 12 . Es muy probable que algunos alumnos lo expresen con fracción y otros con punto decimal; esto se aprovechará en la con­fron­­ tación de resultados para afianzar lo visto en la se­sión anterior. Hay casos que no son tan sencillos para los alumnos. Por ejemplo, cortar 6 metros de listón en 5 partes iguales, no resulta tan obvio. Los alumnos podrán seguir diferentes procedimientos, por ejemplo: • Si fueran cinco metros entre cinco partes, cada parte sería de un metro. Entonces, el metro extra lo corto en 5 partes y da 1 para cada parte. El resultado es 1 15 5 metros. • Si fuera un metro y lo dividiera en cinco partes iguales, cada parte sería 15 . Como

178

Matemáticas 6

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números fraccionarios

son 6 metros, tengo que considerar 6 veces un quinto, esto da como resultado 65 . • Si coloco los seis metros juntos (uno al lado de otro) y lo corto en 5 partes iguales, esto equivale a dividir 6 entre 5, que da 1.2 metros. Estos procedimientos surgen también cuando el alumno hace repartos de galletas o chocolates. Es muy importante que en la confrontación de re­ sul­ta­dos se pida a los alumnos que traten de mostrar por qué 1 15 , 65 y 1.2 representan la misma cantidad de listón. Se espera que los alumnos noten que una mane­ra de encontrar la medida de cada parte de listón es dividiendo la longitud de la pieza entre el número de partes y que esta división puede expresarse como fracción ( 65 ) o mediante una expresión decimal (1.2). En el caso de que se expresen como fracción, los alumnos observarán que el numerador es la longitud de la pieza del listón y el denominador es el número de partes iguales en que se va a cortar la pieza. Es importante que al término de la confrontación se formalicen estas ideas y si se considera necesario, se pondrán más ejemplos en los que el número de partes sea 2, 4, 5, 8, 10, pues son algunos de los denominadores que generan fracciones decimales.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Fecha:

Consigna Los listones 1

; deben dar el

pleten la siguiente tabla

les. Com listón en partes igua Se dividirán piezas de que resulta en metros. tamaño de la parte

les Número de partes igua r en que se va a corta

Longitud de la pieza (m)

de Tamaño de cada una las partes (m)

2

1

4

1

2

3

4

5

5

2

5

4

5

6

5

8

4

10

5

Cortesía de la escuela

General Andrés Figueroa

.

10

Eje temático: SN y PA

Apartado 4.2

Plan 2/3

111

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

179

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema. S  ignificado y uso de los números Subtema. Números fraccionarios

Plan de clase (3/3)

Apartado 4.2 Conocimientos y habilidades Convertir fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximar algunas fracciones no decimales usando la notación decimal.

Intenciónes didácticas Que los alumnos expresen fracciones no decimales usando una aproximación expresada con punto decimal.

Consideraciones previas En la sesión anterior los alumnos construyeron algunas ideas que podrán usar para completar la tabla: • El tamaño de cada parte es una fracción en la que el numerador es la longitud de la pieza y el denominador es el número de partes. Así, en el primer renglón, la respuesta con fracción es 10 , o bien, 3 1 . 3

3

• El tamaño de cada parte puede obtenerse dividiendo la longitud de la pieza entre el número de partes; 10 entre 3 da como resultado 3.33333… En todos los casos de esta tabla, los estudiantes obtendrán fracciones que no son decimales y por tanto, su expresión con punto de­ cimal sólo puede aproximarse. No se trata de profundizar mucho en este sentido. Durante la confrontación de resultados, conviene que sólo se mencione que, al convertir una fracción en su expresión con punto decimal: • algunas fracciones tienen una parte decimal que se termina y se puede dar la expresión exacta, como las que se estudiaron en la sesión anterior. • Otras fracciones tienen una parte decimal que tiene muchos decimales y sólo se puede dar una expresión con punto decimal aproximada.

180

Matemáticas 6

Mientras los alumnos trabajan, se puede supervisar lo que están haciendo. En caso de que note que algunos alumnos no saben qué hacer, se les debe invitar a que recuerden lo que estudiaron en la sesión anterior. Se espe­ ra que los alumnos usen el procedimiento de di­vidir la longitud de la pieza entre el número de partes. Para abreviar el tiempo dedicado a las operaciones, se puede sugerir que usen la calculadora. Al utilizar este recurso, pensarán que el resultado es el que aparece en pantalla (un número decimal finito) y que está limitado al número de cifras que cabe en la pantalla de la calculadora; en estos momentos, los alumnos aún no saben que realmente el decimal es infinito, es decir, que no termina. Es muy probable que, por ejemplo, cuando dividan 1 entre 6, los niños escriban el resultado tal y como aparece en la calculadora: 0.1666666. Lo que sí notarán es que en todos estos casos la pantalla de la calculadora se llena, lo que no ocurrió en los casos de la tabla anterior. Aún así, no tienen por qué saber que este valor es sólo una aproximación al valor exacto. Para ayudar a los alumnos a descubrir que la notación con punto decimal que están escribiendo es sólo una aproximación, tal y como se hizo en la pregunta dos del plan de clase 1/3 de este mismo apartado, se puede pedir, por ejemplo, que si cada parte mide 0.1666666 metros y que son 6 partes, entonces al multiplicar en la calculadora estos dos números, debe dar el tamaño de la pieza, en este caso, un metro. Cuando los alumnos lo hagan, notarán que 0.166666 x 6 es igual a 0.999996, que es muy aproximado a 1, pero no es 1. Durante la confrontación de resultados, invite a los alumnos a que comprueben si la expresión con punto decimal, al multiplicarse por el número de partes, da como resultado el tamaño de la pieza. Al finalizar la confrontación de resultados, puede formalizar que, en algunos casos, sólo la respuesta con fracción es exacta, pero la expresión con punto decimal nada más es una aproximación.

Fecha:

Consigna Los listones 2 Se dividirán piezas de listón de diferente long itud en partes iguales. tabla (recuerden dar Completen la siguiente el tamaño de la pieza en metros):

Longitud de la pieza (m)

Número de partes igual es en que se va a corta r

10 10 1 1 5 5 2 2

Observaciones posteriores

112

Tamaño de cada una de las partes expre sada como fracción (m)

3

Tamaño de cada una de las partes expre sada como punto decim al (m)

6 3 6 7 9 3 6

Eje temático: SN y PA

Apartado 4.2

Plan 3/3

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

181

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico

Subtema. Problemas multiplicativos

Plan de clase (1/2)

Apartado 4.3 Conocimientos y habilidades Resolver problemas de conteo que involucren permutaciones sin repetición.

Intenciones didácticas Que los alumnos enumeren o determinen el número total de permutaciones, sin repetición, de un conjunto de 3 o 4 elementos.

Consideraciones previas En el bloque tres, los alumnos estudiaron problemas de conteo que involucran combinaciones. En este apartado también se estudian problemas de conteo, pero con arreglos que implican permutaciones. Las permutaciones son las distintas formas de ordenar los elementos de un conjunto. Por ejemplo, si se tienen las letras a, b y c podemos acomodarlas de diferentes maneras: abc

acb

bac

bca

cab

cba

Todas estas maneras de acomodar las tres letras son sólo una combinación porque están las mismas tres letras, sin que importe su orden; pero son seis permutaciones porque, aunque estén las mismas letras, aparecen en diferente orden. No se trata de que los alumnos identifiquen cuándo es combinación y cuándo permutación, ni que se aprendan estos nombres. El propósito es que puedan resolver problemas de conteo en los que no importa el orden (combinación) y en los que sí importa (permutación). El inciso a) del problema planteado implica que los alumnos formen permutaciones porque, aun­que siempre son las mismas tres personas, cada una podría ocupar diferente cargo. Por ejemplo, los siguientes arreglos son permutaciones diferentes: Presidente Secretario Tesorero Hortensia Manuel 1 Juan Juan Hortensia 2 Manuel El problema implica que numeren todos los po­si­bles casos. Entre los procedimientos que pue­­den surgir se tiene:

182

Matemáticas 6

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones

• Numerar de forma no sistemática diferentes comités. En este caso, los alumnos empiezan a proponer un presidente, un secretario y un tesorero; luego, proponen otra persona para presidente, secretario y tesorero y, así, forman comités pero no llevan un orden en la manera en que acomodan a las personas. Si observa que algún equipo usó este procedimiento, puede plantearles la siguiente pregunta: ¿están seguros de que han formado todos los comités posibles?, ¿cómo pueden saberlo? • Numerar de forma sistemática diferentes comités. Este procedimiento es similar al anterior pero sigue un orden. Por ejemplo, pueden proponer a Juan para presidente y analizan la manera en que pueden acomodarse las otras dos personas. Después hacen lo mismo con Hortensia, a quien proponen para presidente, y así sucesivamente. • Hacer un diagrama de árbol. Los alumnos han estudiado este recurso para representar y organizar información, por lo que es probable que lo usen.

Presidente

Secretario

Hortensia

Tesorero

Manuel

Juan Manuel Juan Hortensia Manuel Juan

Hortensia Manuel Juan Hortensia

Manuel Hortensia

Juan

En el inciso b) no se pide que se numeren todos los posibles comités, sino que se diga, incluyendo a doña Margarita, el número total de comités que se pueden formar. No obstante, es probable que los alumnos traten de numerar los casos; pronto notarán que son muchos más que en el inciso a). En el caso de que los alumnos tengan dificultad para resolver este inciso, puede orientar su reflexión con los siguientes planteamientos: ¿cuán-

Fecha:

tas personas pueden ocupar el puesto de presidente? Si doña Margarita fuera la presidente, ¿cuántos podrían ocupar el cargo de secretario? Ocupados el puesto de presidente y de secretario, ¿cuántos podrían ocupar el cargo de tesorero? Si se tienen ya ocupados los cargos de presidente, secretario y tesorero, ¿cuántos podrían ocupar el de vocal? La respuesta a la primera pregunta son 4 personas, a la segunda 3, a la tercera 2 y a la cuarta 1, por lo que el razonamiento para contestar la pregunta planteada es multiplicar 4 × 3 × 2 × 1 y el resultado es 24 formas diferentes. De ninguna manera se trata de dar la fórmula, sino de que los alumnos razonen y puedan llegar a encontrar un procedimiento eficiente. La fórmula de la permutación se analizará en estudios posteriores. Nota: el maestro puede apoyarse para profundizar sus conocimientos en la siguiente página:

Consigna

familia iedad de padres de Formación de la soc . ente

pos resuelvan lo sigui

Organizados en equi

res de familia de una

En la sociedad de pad

ir un comité formado

escuela se va a eleg

por:

s Un presidente s Un secretario

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sa baticoritaprivate/04permutaciones.htm

Observaciones posteriores

s Un tesorero estos puestos Los candidatos para y don Manuel.

son los siguientes: don

Juan, doña Hortensia

en que se puede

a)

as todas las posibles form mencionados, numera Con los candidatos eras son en total? man ntas ¿cuá ité, integrar el com

b)

riores se agregue el de los tres cargos ante quieren que además de los cargos. Si se Los padres de familia ía ocupar cualquiera , doña Margarita podr caso ité? este en com l; el ar voca de se puede form eras man tas cuán incluye el caso, ¿de

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión? Eje temático: SN y PA

Apartado 4.3

Plan de clase (1/2)

113

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

183

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/2)

Apartado 4.3 Conocimientos y habilidades Resolver problemas de conteo que involucren permutaciones sin repetición.

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones Subtema. Problemas multiplicativos

1. Anota todos los números diferentes de 3 cifras que puedes formar usando los números 2, 4, y 7. 2. ¿Cuántas banderas diferentes de 3 franjas puedes formar con los colores rojo, azul, verde y blanco?

Intenciones didácticas Que los alumnos determinen el número de permutaciones de un conjunto de 5 o más elementos.

Consideraciones previas A diferencia de los problemas del plan de clase anterior, en estos resulta poco eficiente tratar de numerar todas las maneras de permutar 6 elementos. La respuesta a la pregunta del inciso a) es 720 formas diferentes. Se espera que los alumnos noten este hecho y traten de resolver por medio de la multiplicación 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. El propósito principal es, por tanto, que los alumnos evolucionen en sus procedimientos hacia formas más eficientes. En el caso del inciso b), al tener una restricción (que Mariana sea abanderada), el número de permutaciones se simplifica considerablemente, ya que sólo quedan cinco lugares por ocupar y el total es 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Y en el caso del inciso c) el problema se reduce a acomodar cuatro elementos en cuatro lugares, es decir, 24. Los alumnos observarán en este problema que, si bien se puede resolver con un diagrama de árbol, en el caso de los dos primeros incisos resultan diagramas muy grandes, uno con 720 ramas y el otro con 120. Por otro lado, el problema no pide numerar todas las maneras diferentes en que se pueden colocar los alumnos en la escolta, sino dar el total de estas maneras. Para seguir trabajando combinaciones y permutaciones, puede plantear a los alumnos los siguientes problemas. En algunos no importa el orden de los acomodos (combinaciones) y en otros sí (permutaciones); en algunos se pide que se numeren todos los acomodos y en otros más que se diga el total de ellos.

184

Matemáticas 6

3. ¿Cuántos helados diferentes de dos bolas se pueden formar con los sabores chocolate, vainilla y fresa? 4. Paco va a acomodar sus canicas en cajas. Tiene canicas de color rojo, azul, amarillo, verde, blanco, negro, café y anaranjado. Como sólo tiene cuatro cajas ha decidido meter canicas de dos colores en cada caja. Numera todas las formas diferentes en que puede acomodar sus canicas en las cajas.

Fecha:

Consigna Haz la cuenta y dat e cuenta

Organizados en equi

pos resuelvan lo sigui

ente.

Al final del curso esco lar se organizará la escolta de una escu eligió a seis alumnos ela primaria; para ello, de quinto grado. se a)

¿De cuántas formas diferentes pueden colo carse los alumnos en la escolta? Si la abanderada es Mariana porque tuvo el promedio más alto, pueden colocarse en ¿de cuántas formas la escolta los demás integrantes sin cam biar dicha posición? c) Juan tiene un volum en de voz fuerte, por lo que se decide pone Mariana es la abander rlo de sargento. Si ada y Juan el sargento , ¿de cuántas maneras colocarse los otros cuat diferentes pueden ro integrantes?

Cortesía de la escuela

Saturnino Herrán.

b)

Observaciones posteriores

114

Eje temático: SN y PA

Apartado 4.3

Plan 2/2

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

185

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones Subtema. Multiplicación y división

Plan de clase (1/3)

Apartado 4.4

1 5

quintos, con

Conocimientos y habilidades Dividir un número fraccionario o decimal entre un número natural.

iguales los ocuparán

2 5

4 5

dañado, y dividir en dos partes restantes. Para cada puerta se

. 1

Intenciones didácticas

5

Que los alumnos encuentren un procedimiento para dividir una fracción entre un número natural, cuando el numerador de la fracción es múltiplo del natural.

1 5

Consideraciones previas

1

La división de fracciones es un tema de la educación secundaria; no obstante, los alum­nos tienen algunas herramientas para enfrentarse con problemas en los que se tiene que dividir una fracción común entre un número natural (1, 2, 3, 4,…). De ninguna manera se trata de que se les enseñe el algoritmo convencional (multiplicación en cruz o multiplicar por el recíproco), sino de que los alumnos pongan en juego conocimientos previos y lleguen al resultado del problema usando sus propios procedimientos.

5

En esta sesión, se trabaja el caso más sencillo, cuando el numerador de la fracción es múltiplo del divisor. Se espera que los alumnos se den cuenta de que, en este caso, basta con di­vi­dir el numerador de la fracción entre el di­vi­sor; por ejemplo, sultado

2 6

4 6

entre 2 da como re-

. Es probable que algunos alumnos

crean que para dividir 46 entre dos se divide tanto el numerador como el denominador; en el ejemplo anterior, erróneamente pensarán que 46 entre 2 da como resultado 23 . Para que se den cuenta de su error, puede solicitarles que representen gráficamente 46 y 23 , a fin de que noten que es la misma fracción. Los procedimientos que pueden surgir para resolver los problemas planteados son: • Representar la pieza de madera dividida en

186

Matemáticas 6

1 5

1 5

• Si un quinto está dañado, quedan cuatro quintos, cuatro quintos dividido entre dos da como resultado dos quintos. El profesor, al término de la confrontación de resultados, puede mostrar a los alumnos que la notación para indicar 45 entre 2 (en el caso del primer problema) es: 4 5

÷2=

2 5

También puede proponer que resuelvan otras divisiones similares recordando dos cosas importantes: • En esta sesión sólo se trabajarán casos en los que el numerador de la fracción es múltiplo del divisor. • No se trata de que los alumnos aprendan algoritmos mecánicos que no comprenden, sino de que resuelvan la división comprendiendo lo que hacen.

Fecha:

Consigna

tes Para dividir en par

entes problemas.

pos resuelvan los sigui

Organizados en equi 1.

el resto de la madera una quinta parte. Con de madera se dañó parte de la pieza Al trasladar una pieza igual tamaño. ¿Qué de tas puer 2 truir a cons en buen estado se van una de las puertas? cada en rá utiliza original se

2.

Observaciones posteriores

ron en partes iguales 6 lata de pintura se vacia Adriana”, 7 de una cada recipiente? En la ferretería “La tía pintura se vació en de parte é ¿Qu s. en 3 recipiente

Eje temático: SN y PA

Apartado 4.4

115

Plan 1/3

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

187

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/3)

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones Subtema. Multiplicación y división

Apartado 4.4 Conocimientos y habilidades Dividir un número fraccionario o decimal entre un número natural.

Intenciones didácticas Que los alumnos encuentren un procedimiento para dividir fracciones entre números naturales, en casos donde el numerador no es múltiplo del divisor.

Consideraciones previas Probablemente los alumnos se darán cuenta de que no pueden recurrir al procedimiento abordado en la clase anterior, porque ahora el numerador de la fracción no es múltiplo del divisor. Se espera entonces que usen sus conocimientos previos acerca de las fracciones para generar estrategias propias y lleguen al resultado. Por ejemplo, para el caso del primer problema pueden dar las siguientes respuestas correctas:

Puede plantearles: ¿cuánto es la mitad de 1 1 ¿y cuánto obtienes si sumas 10 más 20 ?

1 ?, 10

Otra manera de llegar al resultado a partir del dibujo es que los alumnos noten que si se di­ vi­de un décimo a la mitad, este pedazo es 1 6 del pastel y por tanto, se tendrían 20 para 20 repartir entre Raúl y Esperanza, por lo que a 3 cada uno le tocan 20 .

1 • Les toca de 10 y otro pedazo. Invítelos a que determinen el valor de ese otro pedazo. 3 • Les toca la mitad de 10 . En este caso, invítelos a que averigüen cuánto es la mitad de 3 . 10

• También, recordando lo estudiado en la clase anterior, pueden dividir 3 entre 2 y responder que les toca 1.5 . En este caso, 10 invítelos a que encuentren una fracción en la que tanto el numerador como el denominador sean números enteros. Las estrategias de resolución que pueden surgir son varias, por ejemplo: • Trabajar con dibujos. Pueden representar al pastel circular o rectangular (el problema no lo aclara). Al hacer el dibujo, los alumnos notarán que a cada uno le toca un décimo más la mitad de un décimo. Los alumnos pueden expresar así el resultado y está bien, no obstante, es interesante que les haga ver que pueden dar el resultado sin que esté expresado como una suma.

188

Matemáticas 6

• Otro procedimiento, sin usar dibujos, es en3 contrar una fracción equivalente a 10 pero cuyo numerador sea un múltiplo de 2 (porque se quiere dividir entre dos). Esa fracción pue­ 6 3 de ser 20 y al dividir entre 2 se obtiene 20 . Los procedimientos para los otros problemas pueden ser similares; en el caso del tercer problema es probable que los alumnos conviertan 3 de metro a 75 cm, es válido y lo interesante 4 sería que en la confrontación se demuestre la equivalencia de los resultados dados en centímetros o en metros. Con la práctica, se espera que los alumnos usen la estrategia consistente en encontrar fracciones equivalentes cuyo numerador sea múltiplo del divisor. Recuerde que en ningún caso se espera enseñar el algoritmo convencional para dividir una fracción entre un entero. Observe que

Fecha:

los procedimientos informales dan lugar a que el alumno ejercite su razonamiento y profundice en sus conocimientos sobre las fracciones. Al resolver varios ejemplos, los estudiantes notarán que dividir una fracción entre un número entero equivale a multiplicar su denominador por ese número, por ejemplo, 34 entre 8 da como resul3 tado 32 . Es decir, para que esta fracción sea 8 veces más pequeña, el denominador debe ser 8 veces mayor.

Consigna

Repartos equitativos

Organizados en equi

pos resuelvan los sigui

1.

Para terminar, se sugiere plantear otras divisiones de fracciones, como las que se trabajaron en la sesión anterior o como las que se trabajaron en esta sesión. 2.

entes problemas.

Cuando Raúl y Espe ranza llegaron a la fiesta quedaban 3 del past dividieron esa parte el, así que se 10 del pastel en partes iguales. ¿Qué parte tocó a cada uno? del pastel completo le

Cuatro amigos van a repartirse, por parte s iguales y sin que sobr pizza. ¿Qué parte de e nada, la pizza completa le tocará a cada uno?

5 8

de una

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión? 3.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

116

Paty tiene 3 de metr o de listón y lo va a 4 cortar para hacer 4 cantidad de listón ocup moños iguales, ¿qué ará para cada moñ o?

Eje temático: SN y PA

Apartado 4.4

Plan 2/3

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

189

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (3/3)

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones Subtema. Multiplicación y división

Apartado 4.4 Conocimientos y habilidades Dividir un número fraccionario o decimal, entre un número natural.

Intenciones didácticas Que los alumnos dividan números decimales entre números naturales en un contexto monetario.

Consideraciones previas No obstante que es la primera vez que los alumnos se enfrentan a problemas que implican dividir un decimal entre un natural, se espera que con lo que saben de números decimales y con su experiencia en el manejo del dinero, puedan calcular el costo de un boleto. Los procedimientos que pueden seguir son variados; a manera de ejemplo se presentan algunos: • Un boleto del Metro cuesta menos de $3 porque 3 x 4 = 12, se pasa. Si costara 2.90, el total sería 2.90 + 2.90 + 2.90 + 2.90 = 11.60, todavía se pasa. Si costara 2.70, el total sería 2.70 + 2.70 + 2.70 + 2.70 = 10.80. El costo de un boleto es 2.70.

los alumnos notarán que en la parte entera, toca de a 5 y sobran 2. Es muy probable que aquí se de­ten­gan porque ya no saben qué hacer ante la pre­sen­cia del punto. Usted puede apoyarlos con pre­gun­tas como: ¿qué cantidad de dinero es el 2 que les sobró?, y si juntan esa cantidad con el .4, ¿qué cantidad de dinero tienen?, ¿y si dividen ese 24 entre 6, ¿a cómo toca?, ¿el resultado es en pesos o décimos de peso?, y sin son décimos de peso, ¿no les convendría poner el punto después del 5 para indicar que empiezan a repartir décimos? Es difícil que los alumnos, por sí solos, construyan el algoritmo convencional para dividir un decimal entre un natural. Puede apoyarlos con intervenciones e, incluso, con una explicación al frente del grupo. Esta explicación tiene que ser posterior a que los alumnos hayan justificado sus propios procedimientos. También es importante que no sólo les diga: “se hace la división igual y se sube el punto”; esta explicación no tiene sentido para los alumnos porque no saben por qué lo tienen que hacer. En su lugar, es importante que ellos se den cuenta de que, en el momento de bajar la primera cifra decimal (décimos), la cifra del residuo también son décimos y por esa razón debe ponerse el punto en el resultado (cociente), para indicar que empiezan a dividirse los decimales.

• Si cada boleto del Metrobús costara $3, el total, sería $15, y si costara $4 el total, sería $20. Entonces, el boleto vale más de $3, pero menos de $4. La diferencia entre $17.50 y $15 es de $2.50 que, dividido en cinco partes, es $0.50. Un boleto de metrobús vale $3.50.

Se sugiere que el maestro plantee otros ejercicios para fortalecer los procedimientos empleados, por ejemplo:

• Para el caso de la pesera, si dividimos 26 entre 7, da como resultado 3 y sobran 5 que, junto con los otros 60 centavos da un total de $5.60. Este sobrante se divide en 7 partes iguales, cada parte es de 0.80. El boleto de la pesera cuesta $3.80.

c) 258.9 ÷ 10

Si algún equipo plantea la siguiente división para el caso del autobús:

6 32.40

190

Matemáticas 6

a) 10.5 ÷ 4 b) 350.45 ÷ 8 d) 57 689.6 ÷ 100 e) 674 567 ÷ 1 000

Fecha:

Consigna boleto? ¿Cuánto cuesta un

s que faltan en la cuar

dato pos encuentren los Organizados en equi uladora. No se vale usar calc

Tipo de transporte Metrobús

Pesera (viaje por 5 kilómetros) Autobús

Eje temático: SN y PA

10.80 26.60

7

32.40

6

Apartado 4.4

Costo de un boleto ($)

Costo total ($) 17.50

5 4

Metro

Observaciones posteriores

Número de boletos

.

ta columna de la tabla

117

Plan 3/3

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

191

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (1/2)

Tema. Figuras Subtema. Figuras planas

Apartado 4.5 Conocimientos y habilidades Trazar polígonos regulares inscritos en una circunferencia mediante el ángulo central.

Intenciones didácticas Que los alumnos construyan polígonos regulares en círculos de papel con dobleces.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Se trata de que los alumnos vinculen la idea de dividir un círculo en partes iguales para trazar polígonos regulares inscritos en él. En esta sesión lo harán doblando el círculo en las partes que sean necesarias, si a alguno de los alumnos se le ocurre usar el transportador para trazar los ángulos centrales esto es correcto. Analice este procedimiento con los alumnos en la confrontación, pues será el antecedente para la siguiente sesión. 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

192

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna papel Dobleces de

bleces para

uencia de do

serven la sec

círculo, ob A partir de un cuadrado.

trazar un

y la página 159 recortable de hexágono del material o regular, un tres círculos n un octágon Utilizando los ce tra os, uip en eq organizados uilátero. triángulo eq regular y un

Dobleces de papel

Eje temático:

FEM

Apartado 4.5

Plan 1/2

118

159

Ciclo Escolar 2009-2010

193

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (2/2)

Tema. Figuras Subtema. Figuras planas

Apartado 4.5 Conocimientos y habilidades Trazar polígonos regulares inscritos en una circunferencia mediante el ángulo central.

Intenciones didácticas Que los alumnos usen el trazo de ángulos centrales en una circunferencia para dividirla en partes iguales y a partir de esta división, tracen polígonos regulares.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Para calcular el valor del ángulo central se espera que los alumnos dividan 360° entre el número de lados del polígono por construir. El número de lados del polígono que se trazará determina el número de ángulos centrales necesarios. Si nota que a los alumnos no se les ocurre esto, puede apoyarlos invitándolos a que vean los polígonos que hicieron usando el papel doblado y recordándoles que una vuelta completa son 360°.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

194

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Polígonos inscritos En parejas, usando sus instrumentos geométricos, dibujen 5 circunferencias en su cuaderno y dentro de ellas tracen un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular, un hexágono regular y un decágono regular; los vértices deben estar sobre la circunferencia.

Eje temático: FEM

Apartado 4.5

Plan 2/2

119

Ciclo Escolar 2009-2010

195

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (1/2)

Tema. Medida Subtema. Estimación y cálculo

Apartado 4.6 Conocimientos y habilidades Calcular, mediante diversos procedimientos, la longitud de una circunferencia.

Intenciones didácticas Que los alumnos obtengan la medida de una circunferencia de una manera directa, utilizando una cuerda; que calculen de manera experimental el valor aproximado de pi (π) y que reconozcan al producto de π por la longitud del diámetro como un procedimiento más para calcular la longitud de la circunferencia.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Para realizar la actividad de la consigna es necesario que cada equipo cuente con 5 objetos circulares que tengan un diámetro mayor que 15 cm; pueden pedirse con anticipación a los alumnos o buscarlos en la escuela. Completando la tabla se pretende que los alumnos obtengan de manera directa la medida de la circunferencia, con la ayuda de un hilo o una cuerda; pero además, habrán de calcular el valor de pi para que lo reconozcan como una constante que resulta del cociente de la circunferencia entre el diámetro.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Con la última pregunta se pretende que conozcan una manera diferente para calcular la circunferencia (multiplicando la medida del diámetro por el valor de pi), ya que en cualquier círculo, la circunferencia es un poco más de tres veces la medida del diámetro. Se sugiere utilizar dos cifras decimales para pi, es decir, 3.14.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

196

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna El valor de

π

Organizados en equi

pos realicen la sigui ente actividad y desp ués contesten lo que se pide. Utilicen un hilo o una cuerda para medir la circu nferencia y el diámetro circulares que les prop de los objetos orcione o que les haya pedido su profesor; el cociente entre la posteriormente, obte circunferencia y el diám ngan etro. Registren sus dato Pueden auxiliarse de s en la siguiente tabla sus calculadora; utilic . en dos cifras decimale s para el cociente. Medida de la circunferencia

Objetos

Medida del diámetro

¿Qué pasa con la med

Cociente de la circu nferencia entre el diámetro

ida del diámetro cuan

¿Cómo son los resul

do la medida de la

circunferencia es may or?

tados de los cociente

s?

¿Cómo pueden obte ner la medida de la circunferencia cono diámetro? ciendo la med

ida del

120

Eje temático: FEM

Apartado 4.6

Plan 1/2

Ciclo Escolar 2009-2010

197

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (2/2)

Apartado 4.6 Conocimientos y habilidades Calcular, mediante diversos procedimientos, la longitud de una circunferencia.

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen encontrar el valor de alguna de las variables de la relación Circunferencia = π × diámetro.

Consideraciones previas En la sesión anterior ya advirtieron que multiplicando el valor aproximado de π por la longitud del diámetro, se puede obtener la medida de la circunferencia; ahora se trata de utilizar esta relación para obtener el valor del diámetro o la longitud de la circunferencia. Para el primer caso, se trata de calcular el valor de la circunferencia, utilizando el producto de π por la medida del diámetro. Se sugiere usar dos cifras decimales para el valor de π, es decir, 3.14 En el segundo caso, a diferencia del primero, se pide calcular el valor del diámetro, dado el valor de la circunferencia. Para obtener el resultado se parte de la misma relación (C = π × d); una vez sustituidos los valores conocidos se tiene: 70 = 3.14 × d Es probable que aún teniendo la expresión anterior, los alumnos no sepan cómo obtener el valor del diámetro; si es así, puede plantearse la siguiente situación. Dado que la circunferencia es 3.14 veces la medida del diámetro, en consecuencia, para obtener su valor, se multiplica la longitud del diámetro por 3.14; entonces, ¿qué parte representa el diámetro respecto a la circunferencia? ¿Qué operación debe hacerse para obtener el valor del diámetro, dado el valor de la circunferencia? La intención es que reflexionen y deduzcan que el diámetro es aproxi-

198

Matemáticas 6

Tema. Medida Subtema. Estimación y cálculo

madamente la tercera parte de la circunferencia; por consecuencia, el diámetro puede obtenerse dividiendo la medida de la circunferencia entre 3.14. Otra sugerencia es plantear una operación sencilla como 4 × 3 = 12 y preguntar, si se desconociera cualquiera de los dos factores, ¿qué operación permitiría calcular su valor? Los alumnos deben verificar sus respuestas y después aplicar la misma relación en 70 = 3.14 × d. La idea es que deduzcan que 4 = 12 y que 3 = 12 . 3 4

Para el tercer problema, además de calcular la longitud de la circunferencia de las llantas, hay que averiguar cuántas veces cabe esta longitud en 450 metros, distancia que separa las casas de Pancho y José. Es importante reconocer y analizar expresiones usuales en las que se utiliza la longitud del diámetro de un objeto, por ejemplo: • P  ara conectar el drenaje se necesita un tubo de PVC de 4 pulgadas. • D  ebo perforar con una broca de da. • E  n mi jardín hay una manguera de da.

3 4 1 2

de pulgade pulga-

• E  l grosor del tubo del pozo es de 12 pulgadas.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Fecha:

Consigna

función de La circunferencia en

π

en auxiliarse de su

entes problemas. Pued

pos resuelvan los sigui

Organizados en equi calculadora. a)

Si el diámetro de la circunferencia?

ida etros, ¿cuál es la med

Tierra es de 12 756 kilóm

de su

ae

b)

c)

pendenci eta de la Avenida Inde nferencia de la glori Si la medida de la circu su diámetro? metros, ¿cuánto mide Insurgentes es de 70

metros. Si vas en una una distancia de 450 s ho a la de José hay ntas vueltas darán ésta De la casa de Panc etro de 45.72 cm, ¿cuá diám un n tiene as bicicleta cuyas rued ? José de la a de Pancho para llegar de la casa

Eje temático: FEM

Apartado 4.6

Plan 2/2

121

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

199

Eje. Manejo de la información

Tema. Análisis de la información Subtema. Nociones de probabilidad

Plan de clase (1/2)

Apartado 4.7 Conocimientos y habilidades Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria.

Intenciones didácticas Que los alumnos comparen la probabilidad de dos o más eventos, con base en la determinación del espacio muestral.

Con la idea de que águila y sol son resultados equiprobables al lanzar una moneda, es posible que en el problema 2 contesten que los eventos enunciados tienen la misma probabilidad de ocurrir; sin embargo, al determinar todos los posibles resultados, se puede apreciar que para obtener el mismo resultado hay 2 casos (A, A, A y S, S, S) y para obtener diferentes resultados hay 6 casos. En un diagrama de árbol puede visualizarse lo anterior.

Consideraciones previas

Observaciones posteriores

Los problemas de la consigna exigen que los alumnos comparen las probabilidades de diferentes eventos de una experiencia aleatoria; para lograrlo, pueden determinar todos los posibles resultados de la experiencia (espacio muestral) y con base en ellos, responder lo que se pide; por ejemplo, para el problema 1 hay 4 posibles resultados (A, A; A, S; S, A y S, S), de los cuales en dos se obtiene el mismo resultado (A, A y S, S) y en dos, diferente resultado (A, S y S, A); por tanto, obtener el mismo resultado con las dos monedas o diferente resultado es igualmente probable. Es posible que los alumnos consideren a A, S y S, A como un solo resultado; en tal caso, se sugiere pedirles que muestren con diferentes instrumentos que efectivamente tienen la razón. Una herramienta que permite visualizar todos los posibles resultados es un diagrama de árbol o un arreglo rectangular, en los cuales puede apreciarse que A, S y S, A son resultados diferentes.

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Águila

Sol

Águila

(A, A)

(A, S)

Sol

(S, A)

(S, S)

A A Lanzamiento de dos monedas

S

S A S

200

Matemáticas 6

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

¿Qué es más probable?

Organizado

s en equipos

resuelvan los siguientes pro blemas. 1. Si se lanzan al mismo tiem po dos mone resultado en das, ¿qué es las dos o un más probable o diferente? , obtener

el mismo

2. Si se lanzan al mismo tiem po tres mone resultado en das, ¿qué es las tres o un más probable o diferente y , obtener el mis dos iguales? mo 3. Si se lanzan a) ¿Qué es

al mismo tiem po una mone da y un dado más probable : , obtener nú mero par y ág uila o núme

ro impar y sol

b) ¿Qué es

más probable , obtener nú

mero par y sol

o múltiplo de

?

3 y águila?

122 Eje temático:

MI

Apartado 4.7

Plan 1/2

Ciclo Escolar 2009-2010

201

Eje. Manejo de la información

Tema. Análisis de la información Subtema. Nociones de probabilidad

Plan de clase (2/2)

Apartado 4.7 Conocimientos y habilidades Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria.

Intenciones didácticas Que los alumnos tomen decisiones al participar en un juego de azar, con base en la determinación del espacio muestral.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Es importante prever que cada equipo cuente con dos dados y la tira de papel con los números del 1 al 12. El lanzamiento de los dados debe realizarse 20 veces en total, no importa quién lo haga, puede ser una misma persona o entre todos; la clave del juego consiste en identificar si los re­sul­tados (suma de los puntos de los dos da­ dos) tienen la misma posibilidad de obtenerse. Los 20 experimentos pueden orientar un posible comportamiento de los resultados, sin embargo, para poder afirmar que un determinado resultado es más probable y por consecuencia es conveniente seleccionarlo, se requiere buscar formas de sustentar dicha afirmación. Un arreglo rectangular o un diagrama de árbol son recursos que, si no surgen espontáneamente de los alumnos, pueden sugerirse para determinar el espacio muestral y, con base en él, tomar la decisión más conveniente. Cada casilla contiene los puntos de los dados y la suma de ellos.

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) 2 (2, 1) 3 (3, 1) 4 (4, 1) 5 (5, 1) 6 (6, 1) 7

2 (1, 2) 3 (2, 2) 4 (3, 2) 5 (4, 2) 6 (5, 2) 7 (6, 2) 8

3 (1, 3) 4 (2, 3) 5 (3, 3) 6 (4, 3) 7 (5, 3) 8 (6, 3) 9

4 (1, 4) 5 (2, 4) 6 (3, 4) 7 (4, 4) 8 (5, 4) 9 (6, 4) 10

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

5 (1, 5) 6 (2, 5) 7 (3, 5) 8 (4, 5) 9 (5, 5) 10 (6, 5) 11

Útil

Uso limitado

Pobre

6 (1, 6) 7 (2, 6) 8 (3, 6) 9 (4, 6) 10 (5, 6) 11 (6, 6) 12

En la tabla puede advertirse que existen 36 resultados, de los cuales en 1 se obtiene la suma de 2, en 2 se obtiene 3, en 3 se obtiene 4, etc. La suma que más se repite es 7 (6 veces), por tanto, es el resultado que tiene más posibilidades de salir.

202

Matemáticas 6

Fecha:

Consigna

e

pondan lo qu

ente res o escoges? go. Posteriorm ¿Qué númer siguiente jue rticipen en el uipos pa izados en eq

Organ se pide.

Reglas:

r de dados y

r con un pa

be conta da equipo de

Ca

1

3

2

4

6

5

pel como la

una tira de pa

7

8

9

10

siguiente.

11

12

en ros no pued tira. Los núme número de la ecciona un a los demás. del equipo sel mero distinto nú nte con una un gra er tira inte la ten Cada ultado en uno debe decir, cada y registra el res letar 20 repetirse, es a los puntos hasta comp experimento dos dados, sum el los ite za rep lan s nte nte Un participa más participa uno de los de rcas. marca. Cada tenga más ma entre todos. seleccionado lanzamientos ro me nte cuyo nú r el participa Será ganado ro convendría

núme el juego, ¿qué

seleccionar?

Cortesía de

roa. ral Andrés Figue la escuela Gene

Si se repitiera ¿Por qué?

Eje temático:

MI

Apartado 4.7

123

Plan 2/2

Ciclo Escolar 2009-2010

203

Eje. Manejo de la información Plan de clase (1/2)

Tema. Análisis de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad

Apartado 4.8 Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen comparar razones del tipo “por cada n, m” mediante diversos procedimientos y en casos sencillos, expresando el valor de la razón mediante un número de veces, una fracción o un porcentaje.

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen comparar razones expresadas en fracciones o porcentajes.

Consideraciones previas En quinto grado se trabajaron problemas sencillos de proporcionalidad que implican comparar razones. Ahora se trata de comparar razones expresadas con fracciones o con porcentajes. Si bien el problema de la consigna puede resolverse transformando las razones en otras equivalentes, pero con un término común (10 de cada 20, 15 de cada 20 y 14 de cada 20), también pueden utilizarse fracciones para representar las razones: 1 de cada 2 con 12 , 3 7 de cada 4 con 34 y 7 de cada 10 con 10 . Posteriormente, se comparan las fracciones 12 , 3 7 y 10 . Para lograrlo, pueden transformarse 4 en fracciones con el mismo denominador o en números decimales. 1 2 3 4 7 10

= = =

10 20 15 20 14 20

=

0.5

=

0.75

=

0.7

Al comparar las fracciones con el mismo denominador o los números decimales, se concluye que 34 es la fracción mayor y en conse­ cuencia, el grupo B tiene mayor preferencia por la música de banda. Otra expresión que puede utilizarse para representar las razones es el porcentaje: 1 de cada 2 representa el 50%, 3 de cada 4 el 75% y 7 de cada 10 el 70%, por tanto, el grupo B tiene la mayor preferencia por la música de banda con el 75%.

204

Matemáticas 6

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

¿Qué mús ica prefie res?

Organizad os

Cortesía de la

escuela Gen

eral Andrés

Figueroa.

en equipos resuelvan el siguiente problema. A los grupo s de sexto grado de un con el tipo a escuela de música primaria se preferida. A la seleccio les aplicó La música naron 1 de una encues de Banda cada 2 alu qué grupo ta relacion fue de las mnos, en el tiene mayo ada más elegid B, 3 de ca r preferencia as; en el gru da 4, y en este géne po el C, 7 de ro de músic cada 10. ¿E a? n

124 Eje temátic

o: MI

Apartado 4.8

Plan 1/2

Ciclo Escolar 2009-2010

205

Eje. Manejo de la información Plan de clase (2/2)

Tema. Análisis de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad

Apartado 4.8 Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen comparar razones del tipo “por cada n, m” mediante diversos procedimientos y en casos sencillos, expresando el valor de la razón mediante un número de veces, una fracción o un porcentaje.

Intenciones didácticas Resolver problemas que impliquen comparar razones expresadas con fracciones o en las que se transformen las razones en otras equivalentes pero con un término común.

Consideraciones previas Para resolver el problema es necesario compa­ rar las dos razones que se pueden establecer entre los datos:

o bien

250 g cuestan $25.00 50 g cuestan $5.00

o bien

400 g cuestan $32.00 50 g cuestan $4.00

Se confirma que el jamón que conviene comprar es el de la marca “El torito”. En el comercio a menudo es necesario comparar precios de un mismo producto en diferentes tiendas o con presentaciones diferentes. Otros problemas que se pueden proponer a los alumnos son los siguientes. 1. En la paletería “San Agustín”, la cubeta de 4 litros de nieve cuesta $140.00, y en la paletería “Santa Mónica”, litro y medio de la misma nieve cuesta $54.00. ¿En cuál paletería es más barata este tipo de nieve? 2. ¿En qué farmacia conviene comprar los medicamentos de las tablas siguientes?

250 g cuestan $25.00 400 g cuestan $32.00 Un posible procedimiento es comparar las fracciones que se forman al dividir el peso entre el precio, obteniéndose la cantidad de gramos por cada peso.

Farmacia A

250 25

= 10

Farmacia B

400 32

cada 10 gramos tienen un precio de $1.00.

= 12.5

cada 12.5 gramos tienen un precio de $1.00.

Otra forma de resolver el problema consiste en transformar las razones en otras equivalentes pero con un término común, el cual puede ser una cantidad común o una misma cantidad de dinero. Por los datos numéricos, se facilita obtener el precio de cantidades iguales, por ejemplo de 50 g o de 1 kg.

206

Matemáticas 6

Medicamento Alcohol (500 ml) Caja de 20 tabletas

Precio $12.00 $8.00

Medicamento Alcohol (350 ml) Caja de 24 tabletas

Precio $8.00 $10.00

Fecha:

Consigna ar? iene compr ma. ¿Cuál conv uiente proble uelvan el sig s en equipos

Organizado

res

de la misma s de jamón jamón den dos tipo gramos del s barato” ven n $25.00 y 400 “Todo es má a ga pa llam se se e” e qu qu mprar? co ón “San Ro e En la tienda jam en de nvi s co 250 gramo . ¿Cuál jamón calidad; por estan $32.00 “El torito”, cu de la marca

125

Observaciones posteriores

Eje temático:

MI

Apartado 4.8

Plan 2/2

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

207

6. Resuelve problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de capacidad.



Manejo de la información

Representación de la información

Análisis de la información

Medida

Significado y uso de las operaciones

5. Resuelve problemas que implican calcular el volumen de prismas mediante el conteo de unidades cúbicas.



Sentido numérico y pensamiento algebraico

4. Compara las probabilidades: teórica y frecuencial de un evento simple.



Tablas

Nociones de probabilidad

Relaciones de proporcionalidad

Unidades

Problemas multiplicativos

5.8. Organizar información seleccionando un modo de presentación adecuado.

5.7. Comparar la probabilidad teórica de un evento simple con su probabilidad frecuencial.

3

2

2

3

5.5. Resolver problemas que involucren constantes de proporcionalidad particulares; resolver problemas en que se requiera tener en cuenta unidades de medida diferentes. 5.6. Identificar las situaciones de proporcionalidad, mediante las propiedades de este tipo de relación.

2

3

5.3. Calcular el volumen de prismas mediante el conteo de las unidades que lo forman. 5.4. Relacionar el decímetro cúbico y el litro. Deducir otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos. Conocer e interpretar unidades culturalmente usuales para diferentes magnitudes.

3

3

NÚM. DE PLANES

5.2. Resolver problemas multiplicativos con valores fraccionarios o decimales mediante procedimientos no formales.

5.1. Resolver problemas que involucren la búsqueda de divisores o múltiplos comunes a varios números.

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES

3. Selecciona el modo adecuado de presentar información mediante diagramas y tablas.



SUBTEMA

2. Utiliza las propiedades de la proporcionalidad para resolver problemas con diferentes unidades de medida.



TEMA

1. Usa el divisor común o el múltiplo común, para resolver problemas.



EJE

Forma, espacio y medida

SEXTO GRADO

Como resultado del estudio de este bloque de contenidos se espera que el alumno tenga disponibles los siguientes aprendizajes:

BLOQUE 5

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (1/3)

Apartado 5.1

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones Subtema. Problemas multiplicativos

Conocimientos y habilidades

Con la finalidad de seguir trabajando con la noción de múltiplo común, se pueden proponer los siguientes problemas.

Resolver problemas que involucren la búsqueda de divisores o múltiplos comunes a varios números.

a) Encontrar los primeros diez múltiplos comunes de 7 y 10.

Intenciones didácticas

b) Encontrar el décimo múltiplo común de 5 y 9.

Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen obtener múltiplos comunes de dos o más números.

c)Encontrar todos los números que tienen como múltiplo común el 20.

Consideraciones previas Completar la tabla es importante porque los alumnos deben generar múltiplos de 6, 8 y 12; posteriormente podrán visualizar y relacionar múltiplos comunes de estos números. Así, para contestar la primer pregunta tendrán que identificar el primer múltiplo común de 6 y 12, el cual es el 12; para la segunda pregunta es necesario identificar los múltiplos comunes de 6, 8 y 12 después de transcurridas 72 horas, los cuales son tres: 24, 48 y 72. La respuesta a esta segunda pregunta es 4, considerando la toma inicial. Para la última pregunta se espera que los alumnos adviertan que de las 8 de la mañana del viernes a las 8 de la mañana del domingo transcurrieron 48 horas, así que hay una toma simultánea de los tres medicamentos; de la misma manera, después de 4 horas (12 horas) no hay ninguna toma, la más próxima es a las 2 de la tarde, el medicamento A.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Hay dos aspectos adicionales que vale la pena reflexionar a partir de las preguntas anteriores: • Si el tratamiento continuara indefinidamente, ¿existirá un momento en que dejen de coincidir la toma de los tres medicamentos?, ¿por qué? Se trata de advertir que la lista de múltiplos comunes a dos o más números es infinita. • ¿Existe un momento en que se tome el medicamento C, sin que se tome el medicamento A? ¿Por qué sucede esto? Aquí la intención es que identifiquen que todos los múltiplos de 12, también son múltiplos de 6.

210

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Los medicamentos

Organizados en equi

pos resuelvan el sigui

ente problema.

La señora Clara visitó al médico por una infec ción en la garganta consta de varios med ; el tratamiento que icamentos, según se le recetaron explica en la tabla. Medicamento A

Dosis

Tomar una tableta cada 6 horas Tomar una tableta cada 8 horas Tomar una cápsula cada 12 horas

B C

Si la primera toma de los tres medicamento s la hace al mismo tiem tabla en donde se regis po, completen la sigui tra el tiempo transcurri ente do a partir del inicio del tratamiento. Medicamento

A B C

2ª toma 6

Horas que han pasa do (después de la primera toma) 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª toma 9ª toma toma toma toma toma 12

3ª toma

16

10ª toma

24 36

Después de la primera toma, ¿cuántas hora s deben transcurrir para toma simultánea de que coincida la al menos dos medicam entos? Al cumplir tres días el tratamiento, ¿cuántas veces ha coincidido de los tres medicam la toma simultánea entos? Si el viernes a las 8:00 de la mañana la seño ra Clara comenzó a ¿qué medicamento ingerir los tres medicam s deberá tomar a las entos, 12 del día domingo ?

128

Eje temático: SN y PA

Apartado 5.1

Plan 1/3

Ciclo Escolar 2009-2010

211

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (2/3)

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones Subtema. Problemas multiplicativos

Apartado 5.1 Conocimientos y habilidades Resolver problemas que involucren la búsqueda de divisores o múltiplos comunes a varios números.

Observaciones posteriores

Intenciones didácticas

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen determinar divisores comunes de dos o tres números.

Consideraciones previas Ahora se trata de determinar divisores comunes de dos o más números. En el primer problema hay que obtener divisores comunes de 450 y 360; no es necesario obtener todos, sino aquellos que representen posibles medidas de losetas (10, 15, 30, 45), así como la mayor medida: 90. Por lo tanto, las losetas cuadradas pueden medir 10 x 10, 15 x 15, 30 x 30, 45 x 45 o la de mayor tamaño, 90 cm x 90 cm. En este problema hay que tener presente dos condiciones enunciadas en el texto: una, que las losetas deben ser cuadradas y la otra que de­ben utilizarse losetas enteras, es decir, no deben hacerse cortes.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

En el segundo problema la complejidad aumenta ya que hay que determinar divisores comunes de tres números, 150, 180 y 105. Igual que en el problema anterior, no se trata de numerar todos los divisores, sino de determinar solamente algunos. Lo importante es construir la noción de divisor común de varios números. En el caso del problema de los tambos, el profesor deberá tener cuidado de que los alumnos no sumen la cantidad de alcohol, aguarrás y cloro y que a este resultado le calculen sus divisores, ya que los líquidos no deben ser mezclados. Una pregunta interesante para reflexionar es la siguiente: ¿Habrá algún número que sea divisor común de dos o más números cualesquiera?

212

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Sin cortes

Consigna

Organizados en equi 1.

pos resuelvan los sigui entes problemas. Se quiere cubrir un piso rectangular de 450 cm de largo y 360 cm cuadradas de igual de ancho con losetas medida. No se vale hacer cortes, es deci tendrá que ser un núm r, el número de loset ero entero. as 450 cm

360 cm

a)

Escriban 3 medidas

b)

¿Cuál medida de loset as es la mayor?

que pueden tener las

losetas para cubrir todo

el piso.

2. En la ferrete ría tien alcoh en ol y el otro 18 dos tambo capac s de 20 0 litros id 0 litros de ag tambo ad para en uarrás. de ca vasar s. pacid Se ha tanto ad. Un decid el alco o con ido m hol co tiene 15 andar mo el hacer 0 litros aguarr ga d ás sin que so rrafones de e igual bren lit ros en los Eje temático: SN y PA

Apartado 5.1

Plan 2/3

129

a)

¿Es po sible q ue la c Escrib apacid an tre ad de s capa los ga cidad rrafon es dife es sea rentes entre Antes que p 10 y 20 de ma ueden litros? nd litros d tener e cloro ar a fabrica los ga r los g rrafon y quie capac es. arrafo ren qu idad. nes, lle e los tr ga a la es líqu idos se ferrete ría un an en vasad tercer a) Es os en tambo criban garrafo con 10 dos ca nes co 5 pacid n la m ades d isma iferente s que puede n tene r los g arrafo b) ¿C nes. uál se rá el d e mayo r capa cidad ? b)

130 Eje tem

ático: SN

y PA

Aparta

do 5.1

Plan 2/

3

Ciclo Escolar 2009-2010

213

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (3/3)

Apartado 5.1 Conocimientos y habilidades Resolver problemas que involucren la búsqueda de divisores o múltiplos comunes a varios números.

Intenciones didácticas Que los alumnos usen las nociones de múltiplo común y divisor común para validar algunas afirmaciones sobre sus regularidades.

Consideraciones previas En la primera situación es pertinente considerar que cuando se dice: “y que en ambos casos no sobra nada” se asume que las cantidades originales deben ser múltiplos de 6; por lo tanto, la cantidad de libretas original es 186 y la cantidad original de lápices de color es 222.

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones Subtema. Problemas multiplicativos

Una vez que los alumnos han averiguado que 14 y 15 únicamente tienen como divisor común al número 1, el profesor podrá comentar que a estos números se les llama primos relativos entre sí; otros ejemplos de este tipo de números son los siguientes: 21 y 34 o

125 y

81

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

En las afirmaciones de la tabla están involucradas las nociones de múltiplo común y divisor común, así como ciertas regularidades. En la primera afirmación podrían confundirse las nociones antes mencionadas, pues el 6 es divisor de 186 y 222 y no múltiplo. Por lo anterior, la afirmación es falsa.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Al tratarse de las regularidades se sugiere que los alumnos escriban los múltiplos o divisores involucrados para que puedan inferirlas, por ejemplo, “si un número es múltiplo de 2, también es múltiplo de 4” Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, … Fácilmente puede advertirse que todos los múltiplos de 4 también son múltiplos de 2, pero no es cierto que todos los múltiplos de 2 sean múltiplos de 6, así que la afirmación anterior es falsa, ya que se puede dar un contraejemplo: 6 es múltiplo de 2 y no es múltiplo de 4.

214

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna Paquete

s escola re

Organizad os 1.

n verd

nes.

acio s afirm

2.

guiente n las si discuta n. Lean y decisió su n e u expliq

so yan si Conclu

as y

s o fals

adera

a)

b) ?

¿Cuántas

ué ¿Por q VoF

¿Cuál es

s

por equip

os resuelv an los pr oblemas

siguientes . Al hacer paquetes de 6 libre escuela tas y paqu se percat etes de 6 aron que ambos ca lápices de había m sos no so ás paqu color, los bra nada 185 y 190; etes de lá maestros . Se sabe y la cant pices qu de una que la ca idad de e de libre ntidad or lápices en tas y que iginal de tre 220 y en libretas es 225. tá entre

la cantid

ad origina

l de libre

libretas ne

tas y de

cesitan co

mprar pa

Eje temátic

o: SN y PA

ón firmaci

A

múlel 6 es de s nterior, lema a des originale a el prob id n nt “E ) . a r” e las ca de colo tiplo d lápices y s mta libre de 2, ta últiplo o es m . númer 4” e un d i lo “S b) múltip bién es tamde 10, últiplo o es m . númer e 5” c) “Si un múltiplo d bién es n tambié 0 son s del 10 divisore d) “Los res del 50”. diviso isor mo div nen co sólo tie y el 14 ero 1”. 15 l “E m e) al nú común n s tiene os pare . númer lo os s ún al 2” f) “Tod divisor com como nen ares tie os imp . númer os los ún al 3” g) “Tod divisor com o com

Apartado

5.1

lápices de

ra iguala

color?

r los paqu

etes de lá pi

ces?

Plan 3/3

131

3

o 5.1

y PA ático: SN

Plan 3/

Apartad

Eje tem

132

Ciclo Escolar 2009-2010

215

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (1/3)

Apartado 5.2

Resolver problemas multiplicativos con valores fraccionarios o decimales mediante procedimientos no formales.

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen la multiplicación de una fracción o de un decimal por un número natural mediante procedimientos no formales.

Consideraciones previas Si bien la intención se centra en la multiplicación de fracciones o decimales por naturales, el hecho de considerar naturales en la tabla es con la finalidad de que los alumnos se den cuenta que tanto valores fraccionarios, decimales y enteros juegan la misma función: 1 vez 4 km, 5 veces 4 km, 45 veces 4 km, 1.25 veces 4 km, etcétera. En el caso de la multiplicación de una fracción por un número natural se podría seguir utilizando la expresión ba de m, antes de que ésta sea designada como multiplicación (los alumnos pueden calcular, por ejemplo 34 de 4, sin saber que se trata de multiplicaciones). 3 4

de 4 pueden utilizarse varios procedimientos, por ejemplo, obtener 14 de 4 dividiendo 4 entre 4 y después el resultado (1) multiplicarlo por 3, porque son tres cuartos. Para calcular los kilómetros que recorrió Silvio se pueden seguir varias estrategias. Una de ellas podría ser que dividieran los 4 km (longitud del circuito) entre 5, obteniendo 0.8 km u 800 m, luego sumar 4 veces el resultado para tener finalmente 3.2 km. En el caso de Éric el 2 significa dos ve-

216

Matemáticas 6

Subtema. Problemas multiplicativos

ces el circuito, es decir 8 km. Los

Conocimientos y habilidades

Para calcular el resultado

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones

ser calculados como

1 8

7 8

pudieran

del circuito ( 12 km o

500 m) sumado 7 veces, obteniéndose 3.5 km. El resultado final (11.5 km) se obtiene al sumar los 8 km de las dos vueltas y los 3.5 km que equivalen a los 78 de una vuelta. Cuando se trata de números decimales, una opción es transformarlos en fracciones y utilizar alguna estrategia comentada anteriormente, por ejemplo, para calcular 1.3 de 4 km, la parte deci3 mal se transforma en fracción: 0.3 = 10 3 Entonces 1.3 vueltas corresponde a 4 km + 10 de 4 km y esto equivale a 4 km + 1.2 km, obteniendo finalmente 5.2 km.

Fecha:

El equip o de cam inata

Organizad os

en pareja s resuelvan el siguient e problem a. El equipo de camina ta de la es el recorrid o de cada cuela da vueltas en compléten uno de los un circuito la escrib integrant iendo los es en un de 4 km. a tabla co recorridos El maestr o registra mo la de en kilómet abajo; an ros. alícenla y

Consigna

Nombre Vueltas

Rosa

1

Juan

Alma

2

5

Pedro 1 2

3 4

Silvio 4 5

Éric

2

Irma

7

Adriana

0.75

8

1.25

Luis

1.3

María

2.6

Eje temátic

o: SN y PA

Apartado

5.2

Plan 1/3

Cortesía

de la esc

uela Gen

eral And

rés Figueroa

.

km

Víctor

Observaciones posteriores

133

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

217

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones Subtema. Problemas multiplicativos

Plan de clase (2/3)

Apartado 5.2 Conocimientos y habilidades Resolver problemas multiplicativos con valores fraccionarios o decimales mediante procedimientos no formales.

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen la multiplicación de una fracción por otra fracción mediante procedimientos no formales.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Es necesario recordar que el estudio explícito y formal de la multiplicación por fracciones se hace hasta la secundaria; sin embargo, en este momento los alumnos pueden aplicar procedimientos no formales para resolver problemas multiplicativos con este tipo de números. Para resolver el problema de la consigna es necesario multiplicar 23 por 12 , lo cual puede interpretarse también como

2 3

de

1 2

. Una

forma de obtener este cálculo es a partir de gráficos o de dobleces de papel.

1 2

2 3

de

1 2

2 6



Cuando se trate de longitudes se puede utilizar una tira de papel, un listón, una agujeta o sus representaciones gráficas. Un problema adicional es el siguiente. En otra parte del rancho de don Luis hay un terreno de 56 de km de largo y 14 de km de ancho donde se cultiva durazno, ¿cuál es el área de este terreno?

218

Matemáticas 6

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

El rancho de don Luis

Organizado En el rancho

s en parejas

resuelvan el

de don Luis,

cerca de la

siguiente pro

blema.

Cortesía de

la escuela Gene

ral Andrés Figue roa.

casa principa largo y 2 de km de anch l, hay un terren 3 o, dedicado o que mide 1 a la siembra dueños. Nece 2 km de de hortaliza sitan saber el s para el co áre a del terreno nsumo de los necesarios. para comprar ¿Cuál es el áre las semillas a? y los fertilizan tes

134 Eje temático:

SN y PA

Apartado 5.2

Plan 2/3

Ciclo Escolar 2009-2010

219

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Plan de clase (3/3)

Tema. S  ignificado y uso de las operaciones Subtema. Problemas multiplicativos

Apartado 5.2 Conocimientos y habilidades Resolver problemas multiplicativos con valores fraccionarios o decimales mediante procedimientos no formales.

Observaciones posteriores

Intenciones didácticas

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen la multiplicación de un número decimal por otro decimal mediante procedimientos no formales.

Consideraciones previas El manejo de dinero es un buen contexto para trabajar las operaciones con números decimales, en este caso la multiplicación. Son muchos los procedimientos no formales que los alumnos pueden utilizar para multiplicar los números decimales involucrados en el problema de la consigna; por ejemplo, para multiplicar 5.60 x 15.5 descomponen 15.5 en 10 + 5 + 12 , entonces

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

5.60 x 15.5 = (5.60 x 10) + (5.60 x 5) + (5.60 x

1 2

), los cuales son productos que ya

han trabajado. Al multiplicar por 10 recorren a la derecha una cifra el punto, el segundo producto es la mitad del primero y el último es la mitad de 5.60 a saber: 2.80. Para encontrar el precio de la cinta azul se requiere multiplicar 4.75 y 8.80 o bien 4

3 4

x 8.80, lo cual puede interpretarse

como 4 34 veces 8.80. El resultado puede obtenerse así: 4 veces 8.80 (35.20) más 3 4

de 8.80 (6 + 0.60), obteniendo finalmen-

te 35.20 + 6.60 = 41.80. A Guadalupe le faltó $1.80 para comprar el encargo de su mamá.

220

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

La mercería Reunidos en equipos

resuelvan el siguiente

problema.

para co que necesitaba 15.5 m de encaje blan que mercería a comprar ó por todo el encaje Guadalupe fue a la ba $5.60, ¿cuánto pag si cada metro costa ura; cost de clase la necesitaba?

Cortesía de la escuela

General Andrés Figueroa

.

$8.80 á; si el metro costaba le encargó su mam o os de cinta azul que ¿Cuánto dinero le faltó También pidió 4.75 metr ¿podrá llevársela? 0, $40.0 dio le á y su mam sobró?

Eje temático: SN y PA

Apartado 5.2

Plan 3/3

135

Ciclo Escolar 2009-2010

221

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (1/3)

Tema. Medida Subtema. Unidades

Apartado 5.3 Conocimientos y habilidades Calcular el volumen de prismas mediante el conteo de las unidades que lo forman.

Intenciones didácticas Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el cálculo del volumen de algunos prismas mediante el conteo de las unidades cúbicas que los forman.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas La finalidad de que los alumnos practiquen el cálculo del volumen de cuerpos sólidos (en este caso prismas rectos con bases cuadradas y rectangulares) a través del conteo de unidades cúbicas, es la de proveerlos de experiencias previas para la construcción/deducción de la fórmula. Las preguntas implican obtener y comparar los vólumnes de los prismas. Si los alumnos no utilizan adecuadamente la noción de volumen, es conveniente promover una discusión para determinar que el volumen es la medida del espacio que ocupa un cuerpo, en este caso el del prisma.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Una forma de obtener el volumen de los prismas es mediante el conteo de las unidades cúbicas que los integran; para ello se pueden utilizar diversas estrategias: • C  ontar uno por uno todos los cubos que forman el cuerpo. • C  ontar los cubos de una fila o columna y sumar esta cantidad tantas veces como filas o columnas contenga el cuerpo. • C  ontar los cubos de la base o primer nivel y sumar esta cantidad tantas veces como niveles tenga el cuerpo.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Finalmente, el conteo permite construir la noción de volumen y darle sentido a la fórmula que más adelante se utilizará.

222

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Conteo de cubos

Con base en los sigui

entes dibujos, organizad

os en parejas, contesten

A 1. De los cuatro prism as,

B

C

¿cuáles tienen el mism

2. ¿Cuántos cubos se necesitan

lo que se pide.

D

o volumen?

para que el prisma C

tenga el mismo volum en

que el prisma B?

3. ¿Cuál es la diferenci a en unidades cúbi cas, del prisma con con el de menor volum mayor volumen en?

136

Eje temático: FEM

Apartado 5.3

comparado

Plan 1/3

Ciclo Escolar 2009-2010

223

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (2/3)

Tema. Medida Subtema. Unidades

Apartado 5.3 Conocimientos y habilidades Calcular el volumen de prismas mediante el conteo de las unidades que lo forman.

Intenciones didácticas Que los alumnos utilicen el conteo para calcular el volumen de prismas y deduzcan la relación: Volumen = largo × ancho × altura.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas La secuencia de las actividades tiene la finalidad de que, a partir del conteo, los alumnos adviertan que el volumen de un prisma puede obtenerse al multiplicar el largo, el ancho y la altura. Es posible que en el primer caso los alumnos cuenten los cubos que forman el prisma, pero en las siguientes, donde no aparecen todos los cubos, deben llevar a cabo una estrategia diferente; finalmente, se espera que identifiquen la fórmula convencional V = l × a × h, en la cual l × a también puede interpretarse como el área de la base.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

224

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

? ¿Cuál es la fórmula

cada prismas; consideren en de los siguientes pide. pos obtengan el volum contesten lo que se Organizados en equi medida. Posteriormente de ad unid o com cubo pequeño A

Volumen =

C B

Volumen =

Volumen =

¿Cuál será la manera

Eje temático: FEM

ner el volumen de un

más rápida de obte

Apartado 5.3

Plan 2/3

prisma?

137

Ciclo Escolar 2009-2010

225

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (3/3)

Tema. Medida Subtema. Unidades

Apartado 5.3 Conocimientos y habilidades Calcular el volumen de prismas mediante el conteo de las unidades que lo forman.

Intenciones didácticas Que los alumnos calculen el volumen de prismas, utilizando las medidas del largo y ancho de la base, multiplicadas por la altura.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Con este plan se pretende que los alumnos utilicen las medidas del largo y el ancho de la base así como de la altura para obtener el volumen de prismas, preferentemente multiplicando dichos valores; sin embargo, si no es así, se sugiere analizar los procedimientos utilizados y compararlos, destacando la economía de ellos. Si bien el problema no pide los valores de los volúmenes, se espera que los alumnos deduzcan que la pecera que necesita menor cantidad de agua es la que tiene menor volumen.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Una actividad complementaria consiste en pedir a los alumnos cajas en forma de prismas para calcular su volumen, lo cual implica tomar las medidas necesarias y realizar los cálculos.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

226

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Las peceras Por equipos resuelvan

el siguiente problema

.

Juan quiere colocar una pecera en la sala de su casa. El vendedor modelos: le prop

one los siguientes

A

B

25 cm

26 cm

25 cm 25 cm

¿Cuál de las dos pece

ras necesita menor

138

20 cm 30 cm

cantidad de agua?

Eje temático: FEM

Apartado 5.3

Plan 3/3

Ciclo Escolar 2009-2010

227

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (1/2)

Tema. Medida Subtema. Unidades

Apartado 5.4 Conocimientos y habilidades Relacionar el decímetro cúbico y el litro. Deducir otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos. Conocer e interpretar unidades culturalmente usuales para diferentes magnitudes.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Intenciones didácticas Que los alumnos establezcan la relación entre decímetro cúbico y litro y a partir de ella, deduzcan otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos (la que hay entre centímetro cúbico y mililitro, y entre metro cúbico y litro).

Consideraciones previas Es importante considerar que el decímetro cúbico que utilicen los alumnos tenga las caras lo más delgadas posibles, de tal manera que el volumen no varíe por este factor. En caso de no contar con el decímetro cúbico que se propone en la consigna, se puede utilizar un envase en forma de prisma, de leche o jugo, cuya capacidad sea de un litro; el alumno calculará su volumen y comprobará que el valor es aproximado a los 1 000 cm³ o, lo que es lo mismo, a un decímetro cúbico. Si utilizan el decímetro cúbico hueco, esta actividad puede realizarse para verificar que el volumen de un litro de agua equivale a un decímetro cúbico. Una vez que los alumnos obtienen de manera experimental que el decímetro cúbico tiene una capacidad de un litro, si continúan teniendo dificultades para deducir las equivalencias que se piden posteriormente, se pueden plantear preguntas como las siguientes: ¿Un cm³ es más grande o más pequeño que un dm³? ¿cuántas veces cabe un cm³ en un dm³?

228

Matemáticas 6

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

¿Cuánto le cabe?

acrílico u otro o de plástico, madera, decímetro cúbico huec cabe. En equipos utilicen un cantidad de agua le qué guen Inda . r agua donde puedan vacia

material

l

cidad de:

1dm³ tiene una capa

entes equivalencias.

las sigui obtenido, completen A partir del resultado vale a: 1 cm³ de agua equi 1 m³ de agua equivale

Eje temático: FEM

l

a:

Apartado 5.4

ml

Plan 1/2

139

Ciclo Escolar 2009-2010

229

Eje. Forma, espacio y medida Plan de clase (2/2)

Tema. Medida Subtema. Unidades

Apartado 5.4 Conocimientos y habilidades Relacionar el decímetro cúbico y el litro. Deducir otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos. Conocer e interpretar unidades culturalmente usuales para diferentes magnitudes.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Intenciones didácticas Que los alumnos conozcan e interpreten diferentes unidades de medida usuales.

Consideraciones previas En general, la intención de este plan es que los alumnos adviertan la existencia de otras unidades de medida usuales, como los barriles para el petróleo, los metros cúbicos por segundo para el caudal de agua, etcétera. Algunas probables dificultades, en las cuales hay que centrar la atención, son las siguientes:

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

• En el caso de la gráfica, para conocer la producción del año 2000, es muy importante que se fijen en la escala vertical pues cada valor representa miles de barriles diarios. • En el segundo caso, para conocer el caudal en litros actual, es necesario convertir metros cúbicos a litros. • Respecto a la representación de los siglos y los años correspondientes, se trata de que los alumnos identifiquen que las centenas de los años contienen una unidad menor que el siglo que corresponde, los años del siglo XVI contienen 15 centenas (los años 1547, 1568, etcétera).

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

230

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Situación 2: ntes. uales ones siguie medida us de las situaci cada una Unidades de rmación de info analicen la tas. En parejas n las pregun e, responda Posteriorment Situación 1:

GRÁFICA 1 O EN MÉXICO

PETRÓLE DUCCIÓN DE

PRO

2 500 2 000

Miles de bar

riles diarios

3 500 3 000

1 500 1 000 500 0 1970

¿Cuál fue la ¿Cuál es la

1975

producción unidad de

1980

de petróleo

medida de

2000

1995

1990

1985

que se o. La sequía as veces vist se redujo de ectáculo poc dal de agua sentan un esp que el cau años, por lo de Iguazú pre 20 tas en ara r cat Las a es la peo segundo, o en la zon está viviend cúbicos por altura 300 metros oria. tos tienen una caudal de manera not icos. Los sal poseen un metros cúb las cataratas 500 d, 1 y ida 300 ual En la act mal es de 1 nor del d las a tida n can era cuando la cataratas sup 70 metros. de África. mundo, las promedio de naturales del bezi, en el sur en el río Zam dia las maravillas a, me de tori ra Vic una altu s una las de Considerada saltos, con tamaño con más de 270 rivalizan en argentina de Niágara, y formadas por y la provincia de Paraná Iguazú, están ño río el sile bra por o ad Alimentadas an en el est , y se localiz de 70 metros Misiones.

2005

0?

en el año 200

o?

n de petróle

la producció

agua? caudal del medida del unidad de s? ¿Cuál es la actual en litro dal del agua cau el es ¿Cuál

141 Eje temático: Eje temático:

140

o que

les, hiz

lectua

inte ría de

FEM

Apartado 5.4

FEM

Apartado 5.4

Plan 2/2

Plan 2/2

el siglo

o s a min , nto. Lo ión 3: por un cimie a diosa Situac lsado Luces l Rena n como un , impu s. n e las e ió d tas de c d. c ro Lu lo las licida ionalis que exalta Ilustra e c El Sig fe d la ra la e s lo y to d l Sig rriente razón, a la rogreso vimien omo e las co s físico la o el p El mo iera c traron iencia fe en uman conoc encon o las c da su l ser h XVIII se , siend nto se pusieron to urar a a ie g p m se ro vi a ción e mo para toda Eu En est de la Ilustra medio ió por s único xtend eit. filósofo y se e r interés. ola el hrenh 1. in eránd ancia s y Fa yo d Fr a si n n n 178 m e o Frankl l c Celsiu rano e nació jamin aron e umur, neta U , y Ben ración e concentr e Réa la d st d p a l s Ilu id e jo La ctric s qu brió aba u le tr la e s s sc e le lo la ld ias a to de natura rsche o grac onocimien ía: He 5. ómetr lc ronom n 173 el term neros en e s Ast ntas e ventó io in p las pla n se : ro el ca fue ión de ). c 0 lta a 5 o s Físi 7 fic V inventó si (1 ni y la cla no, se rrayos Galva ta Ura laboró e e el para n o la tó e p n n l inve brió e les: Lin descu natura ue se ncias tas? n los q s Cie ños e s plan a la s e lo d n onden ficació corresp oró la clasi ños b é siglo n los a se ela ¿A qu idas e etro y m ó onten term nas c te n e y las c ntado come el siglo entre y a h n relació tes? ¿Qué n ondie corresp

2

do 5.4

Eje

M

: FE temático

Plan 2/

Aparta

142

Ciclo Escolar 2009-2010

231

Eje. Manejo de la información Plan de clase (1/3)

Apartado 5.5 Conocimientos y habilidades Resolver problemas que involucren constantes de proporcionalidad particulares; resolver problemas en que se requiera tener en cuenta unidades de medida diferentes.

Tema. Análisis de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad Un problema que se podría plantear a los alumnos para que realicen el proceso inverso a la actividad propuesta en este plan es el siguiente: De acuerdo con el croquis que aparece abajo obtengan las medidas reales de la casa (cada centímetro del croquis representa 3 metros del espacio real).

Intenciones didácticas Que los alumnos, a partir de la escala representada con unidades de medida diferentes, determinen la constante de proporcionalidad y la utilicen para realizar un dibujo a escala.

RECÁMARA

COCINA

COMEDOR

SALA

JARDÍN COCHERA

Consideraciones previas Se sugiere organizar al grupo en equipos, numerarlos y de acuerdo con el número de equipo asignar a cada uno un espacio para realizar las actividades de este plan; en la actividad 1 se dan algunas sugerencias de espacios, en caso de no contar con algunos de ellos, se puede recurrir a otros, considerando que sean de forma rectangular. Se trata de dibujar a escala la superficie que ocupan esos lugares. Hay que prever que los estudiantes lleven cartulina u otro papel e instrumentos de dibujo para realizar su croquis. Una vez que los alumnos tomen las medidas del largo y el ancho de los espacios, será necesario determinar la constante de proporcionalidad o el factor de escala a partir de la relación que se da en unidades diferentes (2 cm por cada metro). En el proceso de determinar el factor de escala, es necesario convertir a una unidad común, la cual pudiera ser en centímetros; así, cada 2 cm del dibujo representan 100 cm del espacio real y por lo tanto el factor de escala que permite obtener las medidas del croquis es como

1 50

, 0.02, etc.

2 100

Matemáticas 6

Comedor: Sala: Cochera: Cocina: Jardín:

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

o uno equivalente,

La idea de reunir en una tabla las medidas reales y las de los dibujos de todos los equipos es para que adviertan los alumnos que si se parte de una misma relación (2 cm representa 1 m), necesariamente los factores de escala son equivalentes o es el mismo y que al multiplicar las medidas reales por él, se obtienen las medidas del croquis.

232

Recámara:

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Mide tu escuela Organizados en equi

pos realicen las sigui

entes actividades.

1. De acuerdo con el número de equipo que les tocó, midan la long espacio escolar que itud de los lados del les corresponde, en función de la siguiente en sus cuadernos. lista y registren los dato s Equipo 1: una canc ha de basquetbol o voleibol. Equipo 2: el patio princ ipal o de formación. Equipo 3: un salón de clases. Equipo 4: la dirección de la escuela. Equipo 5: un jardín de la escuela. Equipo 6: la cooperati va escolar. 2. Después de habe r tomado las medidas, tracen en una cartu la superficie que ocup lina un croquis de a el espacio escolar que les tocó, considera representan 1 m. ndo que 2 cm 3. Intercambien su infor

mación con los otros

Espacio escolar

Largo real (cm)

Largo dibujo (cm)

1

equipos para completa

r la siguiente tabla.

Ancho real (cm)

Ancho dibujo (cm)

Constante de proporcionalidad

2 3 4 5 6

a)

b)

¿Cómo podemos sabe r que las medidas de los dibujos son proporcio originales? nales ¿Qué relación hay en en los dibujos?

Eje temático: MI

Apartado 5.5

las constantes de prop

orcionalidad que se

Plan 1/3

a las medidas

utilizaron

143

Ciclo Escolar 2009-2010

233

Eje. Manejo de la información Plan de clase (2/3)

Tema. Análisis de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad

Apartado 5.5 Conocimientos y habilidades Resolver problemas que involucren constantes de proporcionalidad particulares; resolver problemas en que se requiera tener en cuenta unidades de medida diferentes.

Intenciones didácticas

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Que los alumnos, a partir de las magnitudes distancia y tiempo, determinen la constante de proporcionalidad (velocidad) y la utilicen para encontrar valores faltantes.

Consideraciones previas En la pregunta 1 se espera que los alumnos determinen que en el caso de Pedro, éste se desplazaba 4 m por segundo; mientras que Juan lo hacía a 12 metros por cada segundo. Con la segunda pregunta se pretende que los alumnos adviertan que la velocidad de Pedro fue de 4 m/s, mientras que la de Juan fue de 12 m/s.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

La intención de la tercera pregunta es que los alumnos usen la velocidad (4 m/s y 12 m/s) como factores constantes de proporcionalidad para determinar las distancias recorridas; por ejemplo para el caso de Pedro (que cronometró 32 segundos): distancia = 4 m/s x 32 s = 128 m. Para la cuarta pregunta, en la que se pide el tiempo para un recorrido de 600 metros, sería interesante que los alumnos adviertan que la constante de proporcionalidad (la cual permite obtener el tiempo en función de la 1 distancia) es 14 para el caso de Pedro y 12 para Juan. Así, Juan llegaría en 50 segundos, 1 que es el resultado de 600 x 12 . Finalmente, en el momento de la puesta en común es importante destacar que la constan­ te de proporcionalidad, en la relación entre distancia y tiempo, se le llama velocidad.

234

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Carrera de bicicletas En parejas resuelvan

.

el siguiente problema

s En las siguientes tabla carreras de bicicleta. se pide. Pedro y Juan juegan y respondan lo que las ícen anal , rrida distancia reco

2 16 22

Tiempo (s) 0.5 4 5.5

¿Cuántos metros por

a)

y la

Juan

Pedro Distancia (m)

registraron el tiempo

Distancia (m)

Tiempo (s)

6

0.5

18

1.5

24

2

?

lazó cada uno de ellos

cada segundo se desp

, ¿a qué velocidad ndo es la velocidad ero de metros por segu Si la razón entre el núm ? iba cada uno de ellos s recorrerían Pedro y idad, ¿qué distancia tuviera la misma veloc c) Si cada quien man segundos? 170 y 32 5, en Juan

b)

d)

Si el recorrido completo

144

fuera de 600 metros,

¿en cuánto tiempo

Eje temático: MI

llegaría cada uno?

Apartado 5.5

Plan 2/3

Ciclo Escolar 2009-2010

235

Eje. Manejo de la información Plan de clase (3/3)

Tema. Análisis de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad

Apartado 5.5 Conocimientos y habilidades Resolver problemas que involucren constantes de proporcionalidad particulares; resolver problemas en que se requiera tener en cuenta unidades de medida diferentes.

Intenciones didácticas Que los alumnos, a partir de las magnitudes peso y volumen, determinen la constante de proporcionalidad (densidad) y la utilicen para encontrar valores faltantes.

Consideraciones previas En la primera situación se espera que los alumnos puedan determinar que existe una relación de proporcionalidad entre el peso y el volumen del agua. En el caso del inciso b, resulta conveniente que los alumnos concluyan que la constante de proporcionalidad es 1. La intención del inciso c, es que los alumnos respondan que la densidad del agua es 1 g por cm3 (1g/cm3). Para encontrar los valores faltantes en d y e se requiere que los estudiantes recuerden algunas equivalencias analizadas (1 dm3 es igual a 1 000 cm3 y que 1 dm3 es equivalente a un litro). Con respecto a la segunda situación, se espera que los alumnos identifiquen que la densidad de la plata es 10.5 g/cm3 y que la utilicen para encontrar los valores faltantes de la tabla.

Azúcar Volumen (cm ) 1 5 12 50 130 700 3

Peso (g) 8

Con

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Finalmente, en el momento de la puesta en común, es importante destacar que la constante de proporcionalidad en la relación entre el peso y el volumen de una misma sustancia se le llama densidad. Una actividad complementaria, relacionada con el factor constante de proporcionalidad y la noción de densidad, es la siguiente. Completen la tabla relacionada con la densidad del azúcar.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

236

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

¿Qué tan pesado es?

Consigna

En parejas resuelvan 1.

los siguientes problema

s.

Diego desea saber si existe una relación de proporcionalidad entre del agua. Para ello, el peso y el volumen determina el peso de diferentes cantidades báscula electrónica de agua con una y sus respectivos volúm enes con un matraz, de laboratorio que sirve que es un instrumen , entre otras cosas, para to medir volúmenes de líquidos.

Los resultados que obtu

vo fueron: Agua

Peso (g)

5

10

50

100

Volumen de agua (cm3 )

1 000

5

10

50

100

1 000

De acuerdo con la infor

mación contenida en

a) b) c)

d) e)

la tabla:

¿Existe una relación de proporcionalidad entre el peso y la cant ¿Por qué? idad de agua? En caso de que haya s contestado de man era afirmativa la preg la constante de prop unta anterior, ¿cuál orcionalidad? es Si la densidad de una sustancia representa el peso en gramos de sustancia, ¿cuál es la 1 cm3 de esa densidad del agua?

Eje temático: MI

Apartado 5.5

Plan 3/3

2.

¿Cuál es el pe so de 2 dm3 de agua? ¿Cuál es el pe so de 100 litro s de agua? La siguiente tabla muest ra la relació y complétenla n entre el pe . so y el vol

umen de la

a)

b)

Volumen (cm3 )

¿Cuál es la

52.5 1

densidad de

¿Cuál es má

enla

Plata

Peso (g)

145

plata, analíc

105

5

10

28

52

120

480

la plata?

s densa, el ag

ua o la plata?

¿Por qué?

146 Eje temático:

MI

Apartado 5.5

Plan 3/3

Ciclo Escolar 2009-2010

237

Eje. Manejo de la información Plan de clase (1/2)

Tema. Análisis de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad

Apartado 5.6 Conocimientos y habilidades Identificar las situaciones de proporcionalidad, mediante las propiedades de este tipo de relación.

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen las propiedades de una relación de proporcionalidad.

Consideraciones previas Aunque la mayoría de las propiedades ya se analizaron en diferentes momentos, ahora se trata de que a partir de una relación de proporcionalidad los alumnos identifiquen su cumplimiento; una vez que lo hayan hecho valdría la pena que el profesor o los mismos alumnos propusieran otras relaciones de proporcionalidad para verificar su generalización. Finalmente, cuando los alumnos hayan comprendido las propiedades analizadas, el profesor puede formalizarlas y relacionarlas con algún nombre usual. Propiedades de una relación de proporcionalidad: a) Conservación de los factores internos. Cuando una magnitud crece al doble, al triple, etc., la otra, la que le corresponde, también crece al doble, al triple, etcétera. b) Aditividad. A la suma de dos cantidades cualesquiera en una misma columna le corresponde la suma de sus correspondientes cantidades en la otra columna.

En el inciso a es posible que los alumnos esperen que las parejas de números sean consecutivos, en los que uno sea el doble, triple, etc., del otro; sin embargo, esto no ocurre en la tabla, salvo en los las dos últimas filas aunque no es necesario que los valores sean consecutivos para que se cumpla la propiedad; pueden tomarse el 5 y el 20 de la primera columna y verificar que se cumple la misma relación con el 10 y 40 de la segunda columna. Para el caso del inciso b pudiera ser que los alumnos tomen valores de la primera columna cuyas sumas también pertenezcan a la tabla, como por ejemplo el 8 y el 12 cuyo resultado es el 20 y hagan lo mismo con los valores correspondientes de la segunda columna; sin embargo, pudiera ser que la suma de los valores seleccionados no aparezcan en la tabla; no obstante los valores obtenidos conservan la misma relación de proporcionalidad y por lo tanto sirven para verificar la propiedad estudiada.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

c) Valor unitario. El valor que se desprende de cualquier par de valores correspondientes es siempre el mismo. d) Factor constante de proporcionalidad. Existe un número entero o fraccionario que al multiplicarse por cualquier valor del primer conjunto se obtiene el valor correspondiente del segundo conjunto. e) Productos cruzados. Los productos cruzados entre dos pares de cantidades correspondientes son iguales.

238

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Puntos por tareas

reciben iene el puntaje que ente tabla, la cual cont o, realicen y pos analicen la sigui base en su contenid Organizados en equi tareas realizadas. Con de ero núm el n los alumnos segú pide. contesten lo que se Tareas 3 5 8 9 12 15 20 25 50

Puntos 6 10 16 18 24 30 40 50 100

e, el que uno sea el dobl jas de valores en las mna, era columna las pare tes de la segunda colu Localicen en la prim con los correspondien nlas páre com y triple, etc., del otro ¿qué observan?

a)

tado; ahora hagan mna y anoten el resul n en esquiera de una colu , ¿los resultados está Sumen dos valores cual tes de la otra columna dien spon Verifiquen lo corre res lo mismo con los valo la tabla? los demás valores de que n orció prop a la mism conclusión. res y lleguen a una anterior con otros valo

b)

era, spondientes de la prim mna entre sus corre con de la segunda colu ¿Sucederá lo mismo Dividan dos valores n? nidos? lusió obte s conc tado su es l resul los ¿cómo son Verifíquenlo. ¿Cuá jas de la tabla? todas las demás pare

c)

de proporcionalidad?

De ser así, ¿cuál es?

d)

tante ¿Existe un factor cons

e)

en cruz. ¿Cómo son dientes y multipliquen de valores correspon con cualquier Tomen dos parejas ¿Sucederá lo mismo vieron? obtu lusión obtienen? que conc res é valo ¿Qu los tes? dien spon par de valores corre

Eje temático: MI

Apartado 5.6

Plan 1/2

147

Ciclo Escolar 2009-2010

239

Eje. Manejo de la información Plan de clase (2/2)

Tema. Análisis de la información Subtema. R  elaciones de proporcionalidad Tabla 2

Apartado 5.6 Conocimientos y habilidades Identificar las situaciones de proporcionalidad, mediante las propiedades de este tipo de relación.

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen relaciones de proporcionalidad mediante la aplicación de las propiedades de este tipo de relación.

Consideraciones previas Con este segundo plan de clase se pretende que los alumnos demuestren el nivel de dominio alcanzado en la comprensión y aplicación de las propiedades de una relación de proporcionalidad; es decir, que apliquen las cinco propiedades en cada tabla y con ello determinen cuáles representan una relación de proporcionalidad y cuáles no. No obstante que una relación de proporcionalidad cumple con todas las propiedades estudiadas, para determinar si una situación es de este tipo basta verificar que se cumple al menos una de ellas. Con la finalidad de consolidar el conocimiento de las propiedades, se puede proponer la siguiente actividad. Determinen qué tablas corresponden a una re­ la­ción de proporcionalidad, argumenten su res­puesta escribiendo tres ejemplos de diferentes propiedades que se cumplen.

m 2 4 5 6 7

n 7 14 17.5 21 24.5 Tabla 3

p 12 48 36 32 60

En ciertos problemas o tablas es más fácil y rápido aplicar algunas propiedades que otras; por ejemplo, en la tabla 1 la propiedad de los productos cruzados es útil para verificar si existe proporcionalidad (3  12 ≠ 5  8); si se aplican otras propiedades resultará más complejo y se llevaría más tiempo. De ahí la importancia de que los alumnos conozcan y tengan presentes todas las propiedades.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Tabla 1 a 3 5 6 8 12

b 8 12 14 18 26

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

240

q 3 12 9 8 15

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Proporcionales o no proporcionales

Organizados en equi pos analicen las sigui entes situaciones y regis (P) o una (x) el cum tren en la tabla con plimiento o no de las una propiedades que se enuncian. Tabla A Número de brochas compradas 1

Tabla B

Costo

Edad del hijo en años

$11.50

2

$23.00

3

$34.50

4

$46.00

5

$57.50

Edad de la mamá en años

1

25

5

29

8

32

15

39

20

Tabla C Medida del lado de Valor del área del un cuadrado (cm) cuadrado (cm2) 3 9 6 36 9 81 12 144 15 225

44

Tabla D Medida del lado de Valor del perímetro un cuadrado (cm) del cuadrado (cm) 3 12 6 24 9 36 12 48 15 60

Propiedades Conservación de los factores internos. Al doble le corresponde el doble, al triple le corresponde el triple , etc. Aditividad. A la suma de dos cantidades cuale columna, le correspon squiera en una de la suma de sus equiv alentes en la otra columna.

Tabla A

Tabla B

Tabla C

Tabla D

Valor unitario. El valor unitario que se desp rende de cualquier par de valores corre spondientes es siem pre el mismo. Factor constante de proporcionalidad. Existe un número entero o fraccionario que, al multiplicarse por cualquier valor de la primera magnitud , arroja el valor corre spondiente de la segunda magnitud. Productos cruzados. Al multiplicar en cruz dos pares de cantidades correspondient es se obtiene el mism o resultado.

¿Qué tablas correspon

den a una relación

148

de proporcionalidad?

Eje temático: MI

Apartado 5.6

Plan 2/2

Ciclo Escolar 2009-2010

241

Eje. Manejo de la información

Tema. Análisis de la información Subtema. Nociones de probabilidad

Plan de clase (1/2)

número muy cercano a 500.

Apartado 5.7 Conocimientos y habilidades Comparar la probabilidad teórica de un evento simple con su probabilidad frecuencial.

Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen la relación entre la probabilidad teórica y la frecuencial de un evento al realizar un experimento con dos posibles resultados.

Consideraciones previas Para realizar las actividades de la consigna hay que prever que cada pareja cuente con una moneda. En la actividad 1 se trata de que los alumnos encuentren la probabilidad teórica de obtener águila en un volado. Los resultados posibles de un volado son dos (águila y sol) y la probabilidad de obtener águila es 1 de 2, lo cual también puede escribirse como 1 .

Como puede advertirse, el resultado utilizado en todas las actividades fue águila; de modo que una pregunta interesante, si es que no la plantean los alumnos, sería: ¿qué sucede con la probabilidad frecuencial de obtener sol?, ¿es la misma que en el caso del águila? Dado que la probabilidad teórica de obtener águila o sol es la misma ( 1 ), sus 2 probabilidades frecuenciales tienen el mismo comportamiento: cada vez más se aproximarán a 1 , conforme se repita un mayor número de ve2 ces el experimento.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2

En la actividad 2 se trata de obtener la probabilidad frecuencial de que caiga águila al lanzar 20 veces la moneda; es decir, echar 20 volados y ver cuántas veces cayó águila. La probabilidad frecuencial puede escribirse como el cociente del número de veces que cayó águila entre 20, por ejemplo, si caen 8 águilas, la probabilidad frecuencial se escribe con 8 . Además de obtener la probabilidad

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

20

frecuencial, en la pregunta c se pretende que los alumnos comparen ambas y que adviertan, aunque de manera incipiente, en este momento, cierto acercamiento de la probabilidad frecuencial respecto a la teórica. La actividad tres es muy semejante a la anterior, con la importante diferencia de que ahora se contabilizan los resultados de todas las parejas del grupo. Resulta evidente que la probabilidad fre­­cuen­­cial sea más cercana a la probabi­li­dad teó­rica y que los alumnos puedan advertir que en la medida en que aumentan los experimentos, la probabilidad frecuencial cada vez se aproxima más a la teórica. Así la respuesta a la pregunta d tendría que ser un

242

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Águila o sol

entes actividades.

jas realicen las sigui

Organizados en pare

ecir el resultado moneda al aire y pred ¿Y de que consiste en lanzar una la? El juego de los volados ad de que caiga águi abilid prob la es l (águila o sol). ¿Cuá sol? a caig

1.

s una Ahora lancen 20 vece

2.

Tiradas

8

7

6

5

4

3

2

1

moneda y registren 9

sus resultados en la

siguiente tabla.

20 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14

Total

Sol Águila

ron? ¿Cuántas águilas caye volados. las entre el total de del número de águi ad de caer Escriban el cociente bieron y la probabilid escri que ente coci rvan entre el idad 1? c) ¿Qué relación obse r el volado en la activ hace sin n viero águila que obtu

a)

b)

trar los resultados n una tabla para regis a de su maestro, haga la siguiente tabla. En el pizarrón, con ayud ién los resultados en grupo. Escriban tamb del jas pare las s de toda

3.

Tiradas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

20 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14

Total

Sol Águila

ron en total? ¿Cuántas águilas caye de volados. águilas entre el total ente del número de coci el ban Escri ja y en el grupo, b) que obtuvieron en pare rvan entre el cociente obse ión 1 sin hacer el volado? relac é idad c) ¿Qu n en la activ biero escri que ad respecto a la probabilid se obtenga águila? ntas veces creen que eda 1 000 veces, ¿cuá d) Si lanzaran la mon ¿Por qué?

a)

Eje temático: MI

Apartado 5.7

Plan 1/2

149

Ciclo Escolar 2009-2010

243

Eje. Manejo de la información Plan de clase (2/2)

Tema. Análisis de la información Subtema. Nociones de probabilidad

Apartado 5.7 Conocimientos y habilidades Comparar la probabilidad teórica de un evento simple con su probabilidad frecuencial.

Intenciones didácticas Que los alumnos verifiquen la relación entre la probabilidad teórica y la frecuencial de un evento al realizar un experimento con seis posibles resultados.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Para llevar a cabo las actividades de la consigna hay que prever que cada equipo cuente con un dado. A diferencia del plan anterior, en este experimento hay 6 posibles resultados en tanto que en el otro eran únicamente 2. Se trata de comprobar que la probabilidad frecuencial de un evento se aproxima cada vez más a la probabilidad teórica siempre y cuando se realice más veces el experimento.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Para el primer problema, en donde se trata de predecir lo que ocurrirá en 60 lanzamientos de un dado, el único referente que tienen los niños es la probabilidad teórica; es decir, que cada uno de los 6 posibles resultados tienen 1 de 6 o 16 de probabilidad de aparecer. Por lo anterior, todos tienen la misma probabilidad de ganar, así que la probabilidad frecuenx cial puede ser cualquier cociente 60 , el cual 1 será cercano a 6 . Una vez que realicen el experimento 60 veces, se espera que puedan identificar que las probabilidades frecuenciales de cada resultado se aproximan a 16 y que concluyan que en 600 lanzamientos se acercarán aún más.

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

244

Matemáticas 6

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

? va el balón des: ntes activida ¿Quién se lle licen las siguie s en equipos

Organizado

rea

os y dijo que tos por equip equipo conocimien concurso de mbros de ese un mie lizó los rea és do spu por un balón. De ra de sexto gra uipo formado s. Ganó el eq dría de regalo 1. La maest ten ello ob tre r en do na premio el ar gn el equipo ga asi de gir la forma y Luis. deberían ele que fuera nuel, Rodrigo ica, Lulú, Ma niela propuso se el balón, Da Daniela, Verón mero y luego que se llevará o mn elegiría un nú alu al nar ro que haya . Cada quien me do nú el da Para seleccio do un ecciona iento de sel zam ya lan ha e el qu mediante alumno es el dado; el ¿Por qué? lanzaría 60 vec nador. ? es, sería el ga go o Verónica salido más vec ganar, Rodri sibilidades de po s má e tien a) ¿Quién ¿Por qué? ganadora? niela resulte d de que Da da bili ba pro la b) ¿Cuál es

a)

b)

Frecuencia

Marcas

roa. ral Andrés Figue la escuela Gene

Nombre Daniela Verónica Lulú Manuel Rodrigo Luis

o

Núm. elegid 1 2 3 4 5 6

60

dos de su con los resulta De acuerdo ría el balón? ¿quién gana experimento, probabilidad la es l ¿Cuá balón? el se lleve el de que Manu ra 600 ento se repitie Si el experim roximaría é valor se ap veces, ¿a qu ncial de ue frec d da la probabili el? nador Manu que resulte ga

Cortesía de

2.

Tiren un dado le ganador. tener un posib ias. ento para ob de frecuenc erim la exp tab el n nte uie Ahora realice dos en la sig en sus resulta istr reg y es vec

Eje temático:

MI

Apartado 5.7

Plan 2/2

150

Ciclo Escolar 2009-2010

245

Eje. Manejo de la información

Tema. R  epresentación de la información Subtema. Tablas

Plan de clase (1/3)

El segundo problema consiste en ampliar la tabla anterior para agregar la información que se ofrece, así como averiguar la información faltante a fin de completarla.

Apartado 5.8 Conocimientos y habilidades Organizar información seleccionando modo de presentación adecuado.

un

Después de incorporar la información sugerida en las actividades de este plan, la tabla queda como a continuación se muestra.

Intenciones didácticas Que los alumnos analicen la información contenida en una tabla y la completen; asimismo, que realicen la adecuación necesaria de la misma para organizar e incorporar nueva información.

Alumno Luis Antonio

Consideraciones previas Para resolver la actividad que se propone, los alumnos deben conocer algunos términos que se presentan en la consigna y que quizá no son muy familiares para ellos, por ejemplo: kilocalorías, que es la unidad que se utiliza para medir la cantidad de energía que aportan los alimentos. Si esto sucede, se puede fomentar la investigación de los alumnos con las orientaciones y precisiones del profesor. Los alumnos ya realizaron actividades en donde se requiere resolver una situación problemática a partir de la información contenida en una tabla. Aquí se pretende, en primer término, plantear al alumno una actividad en la que se requiere completar la información que aparece en la tabla considerando los datos que se encuentran en la misma y en el texto previo. Es posible que algunos alumnos piensen que falta información para poder encontrar los datos que se piden, por lo que es importante que se planteen algunas preguntas que les permitan deducir por sí mismos la estrategia para encontrar la información requerida, por ejemplo: ¿cómo podemos conocer las kilocalorías que producen 40 g de proteínas?, ¿cómo podemos saber cuántos gramos de grasas se consumieron si se generan 200 kilocalorías? La finalidad es que adviertan que la cantidad de nutrientes en una unidad de medida puede obtenerse a partir de la otra; por ejemplo, si se sabe que 1 gramo de proteínas produce 4 kilocalorías y si se tienen 40 gramos de proteínas, éstos producen 160 kilocalorías.

246

Matemáticas 6

Esteban

Nutrientes

Unidad de medida

Proteínas

Grasas

Carbohidratos

gramos kilocalorías gramos kilocalorías gramos kilocalorías

40 160 50 200 55 220

50 450 45 405 60 540

60 240 70 280 45 180

Total 150 850 165 885 160 940

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

al mas. o nutricion r la energía nte proble Un estudi ra conoce n los siguie de la su grupo pa os resuelva en información os en equip un estudio mpleten la Organizad ica realizó (medidos calorías). Co ucación Fís a comida edida en kilo idos en un fesor de Ed (m ten os ob ren que un s mn 1. El pro nte os. Conside de sus alu de nutrie d os mn ías y un da alu s nti alg de a la ca 9 kilocalor dos de su e se registr sa produce ducidas en tabla dond mo de gra calorías pro lorías, 1 gra s) y las kilo ca mo kilo 4 gra en lorías. produce proteínas ce 4 kiloca gramo de ratos produ Total de carbohid Nutrientes un gramo ratos Alumno Luis

Unidad de medida

gramos kilocalorías gramos kilocalorías

Proteínas

Carbohid

Grasas

40

450 45

150

280

200

de la Cortesías

eral Andrés escuela Gen

Figueroa.

s de s 55 gramo s alimento s obtuvo en umió en su tos nutriente e día cons nas que os. Con es l grupo, es rat lum de co hid o o s rbo mn ca es otro alu los renglone dad y algunos de grasas agregando ber la canti 2. Esteban s sa ior mo ra ter pa gra an la ta 60 fal proteínas, plíen la tab uen la que calorías. Am ión y busq kilo ac 0 . 94 orm al inf an tot esta r Esteb incorporen tenidas po necesiten; calorías ob trientes y kilo mos? total de nu ntes en gra d de nutrie yor cantida umió la ma ns co s os s alumn los nutriente l de los tre lorías con a) ¿Cuá d de kiloca yor cantida ma la o r obtuv ió la mayo s alumnos e consum l de los tre b) ¿Cuá ías fue el qu s? de kilocalor consumido qué? r cantidad or yo ¿P ma la tuvo s? mno que ob s en gramo c) ¿El alu de nutriente cantidad Antonio

o: MI

Eje temátic

Apartado 5.8

151

Plan 1/3

Ciclo Escolar 2009-2010

247

Eje. Manejo de la información

Tema. R  epresentación de la información Subtema. Tablas

Plan de clase (2/3)

Apartado 5.8 Conocimientos y habilidades Organizar información seleccionando modo de presentación adecuado.

un

Observaciones posteriores

Intenciones didácticas Que los alumnos representen en una tabla la información contenida en un texto.

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

Consideraciones previas Para construir la tabla solicitada, se sugiere que el maestro invite a los alumnos a leer las veces que sea necesario el texto con la información, ya que son bastantes datos los que contiene y es necesario analizarlos y organizarlos; también se necesita imaginar y discutir cuáles serán las características de la tabla que construirán, cuántas filas y columnas debe tener y cuáles serán los títulos de las mismas. Cuando se discutan los trabajos de los diferentes equipos, es importante verificar que en las tablas que construyeron se puedan apreciar los juegos jugados, ganados, perdidos y empatados de cada equipo, así como los goles anotados, recibidos y los puntos obtenidos.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Una posible forma de representación de la información es la siguiente: EQUIPO

JJ

JG

JE

JP

GF

GC

Puntos

Alemania

3

1

1

1

4

3

4

Túnez

3

0

1

2

4

7

1

España

3

0

3

0

4

4

3

Brasil

3

2

1

0

6

4

7

En donde: JJ = Juegos jugados JG = Juegos ganados JE = Juegos empatados JP = Juegos perdidos GF = Goles a favor o anotados GC = Goles en contra o recibidos

248

Matemáticas 6

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Fecha:

Consigna

Estadísticas de futb ol

En equipos lean la sigui ente información y en el espacio en blanco mediante una tabla de abajo represénte . Posteriormente, cont nla esten lo que se pide . En un torneo de futbo l infantil, el Grupo II estuv o formado por los equi Túnez, España y Brasi pos de Alemania, l. Estos equipos juga ron 3 partidos entre grupo. Alemania ganó sí para definir al gana un juego, empató otro dor del y perdió el tercero, anot le anotaron 3. Túnez ó 4 goles en total y empató un juego y perdió 2, anotó 4 gole empató los tres encu s y le anotaron 7. Espa entros que sostuvo, ña anotó 4 goles y recib ganó dos partidos y ió la misma cantidad empató uno anotando . Brasil 6 goles y recibiendo 4. Por cada juego gana do se asignan 3 punt os al equipo triunfado los equipos que emp r y 0 puntos al perdedor atan se les asigna un ;a punto.

a)

¿Qué equipo obtuvo más puntos? ¿Qué equipo metió más goles? c) ¿Qué equipo fue el más goleado? d) ¿Qué equipo no ganó ningún partido? e) Si a la siguiente fase del torneo pasa ron los dos equipos ¿qué equipos calificaro que obtuvieron más n? puntos, b)

152

Eje temático: MI

Apartado 5.8

Plan 2/3

Ciclo Escolar 2009-2010

249

Eje. Manejo de la información

Tema. R  epresentación de la información Subtema. Tablas

Plan de clase (3/3)

TABLA

Apartado 5.8 Participantes

Conocimientos y habilidades Organizar información seleccionando modo de presentación adecuado.

un

Roberto Alejandro David

Intenciones didácticas

Gaby

Que los alumnos presenten la información de un texto en un diagrama o en una tabla.

Martha Arturo Lupita

Consideraciones previas

José Luis

En esta actividad los alumnos tendrán la posibilidad de seleccionar un diagrama o una tabla para representar la información que aparece en el texto; por lo anterior, es importante que tengan claridad entre una y otra forma de representación. Si los alumnos tienen dificultad para utilizar un diagrama, se sugiere promover una investigación respecto a su uso. Por las características de la información del texto, el diagrama puede ser la manera más adecuada para representarla con claridad; sin embargo, si algún equipo decide construir una tabla, esto permitirá discutir en la confrontación, cuál de las dos formas permite apreciar con mayor claridad el desarrollo del torneo. Inclusive, si algún equipo encuentra una manera diferente de representación, valdría la pena discutirla. Posibles representaciones del texto

Diagrama Roberto

Ganador Ronda 1

Ganador Ronda 2

Ganador del torneo

Alejandro Gaby Gaby Gaby Arturo José Luis José Luis

Como una actividad adicional, se recomienda presentar el siguiente texto a los alumnos y pedirles que representen la información de la manera que crean más conveniente. “En la evolución de la Tierra se han observado grandes cambios en los climas que han generado seres vivos muy distintos de una época a otra. Estos cambios, desde la formación de la Tierra, se dividen en dos grandes etapas llamadas eones: Precámbrico (en el que no hay vida), los primeros 4 000 millones de años de la Tierra, y Fanerozoico (en el que sí hay vida), los últimos 600 millones de años. El eón Fanerozoico se divide en tres eras: Paleozoica (vida antigua), Mesozoica (vida intermedia) y Cenozoica (vida moderna)”.* Una posible representación del texto anterior, que puede ser motivo de discusión y enriquecimiento por parte de los alumnos, es el siguiente diagrama.

Alejandro

Alejandro Gaby David Gaby Gaby

Gaby

Martha Arturo Arturo

José Luis

Lupita José Luis José Luis

250

Matemáticas 6

*Tomado de: Ciencias Naturales. Sexto grado. Articulación Básica, Fase experimental. Bloques 1 y 2

Fecha:

Precámbrico (no hay vida)

Primeros 4 000 millones de años

Formación de la Tierra (eones)

Consigna Paleozoica (vida antigua) El Torneo de ajedrez

Fanerozoico (si hay vida)

Mezozoica (vida intermedia)

Últimos 600 millones de años

Cenozoica (vida moderna)

Organizados en equipos analicen la informació n del siguiente texto y represéntela en una tabla o diagrama, según crean conveniente en el espacio en blanco de abajo. En la escuela “Narciso Mendoza” el maestro de sexto grado organizó un torneo de ajedrez. Se inscribieron ocho alumnos y después de realizar el sorteo para iniciar la competencia, las parejas participantes en la primera ronda quedaron de la siguiente manera: Roberto compitió contra Alejandro, David contra Gaby, Martha contra Arturo y Lupita contra José Luis. Los ganadores de la primera ronda fueron Alejandro, Gaby, Arturo y José Luis quienes se enfrentaron en la segunda ronda de la siguiente manera: Alejandro contra Gaby y Arturo contra José Luis. En la ronda final se enfrentaron Gaby y José Luis por ser los ganadores de la segunda ronda. La ronda final estuvo muy disputada pero al final Gaby le ganó a José Luis.

Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión? Eje temático: MI

Apartado 5.8

Plan 3/3

153

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Ciclo Escolar 2009-2010

251

BIBLIOGRAFÍA Y PÁGINAS WEB CONSULTADAS Artigue, M., “Tecnología y enseñanza de las matemáticas: el desarrollo de una aproximación instrumental”, ponencia presentada en el XII Comité Interamericano de Educación Matemática, Querétaro, México, 2007. Batanero, C., “Significado y comprensión de las medidas de posición central”, en Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada, España, núm. 25, 2000, pp. 41-58. Batanero, C. y J. Godino, “Análisis de datos y su didáctica”, documento de trabajo para la asignatura de libre configuración. Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada, 2001. Block, D., I. Fuenlabrada y H. Balbuena, Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir, México, sep (Libros del Rincón) 1994. Broitman, C. “Enseñar a resolver problemas en los primeros grados”, en En la escuela, Buenos Aires, Ediciones Novedades Educativas, año III, núm. 25, 1998, pp. 4-9. Brousseau, G., “Educación y didáctica de las matemáticas”, en Educación Matemática, . México, Grupo Editorial Iberoamérica, vol. 12 (1), 2000, pp. 5-37. Casanova, Ma. A., La evaluación educativa. Escuela básica. México, 1998, sep (Biblioteca del Normalista). Chamorro, M. del C., “Aproximación a la medida de magnitudes en la enseñanza Primaria”, en UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, núm. 3, Barcelona, Graó Educación, 1995, pp. 31-53. Chamorro, M. del C., et. al., Didáctica de las matemáticas, Madrid, Pearson Educación, 2003. Chevallard, Y., M. Bosch y J. Gascón (1997), Estudiar matemáticas. El eslabón entre la enseñanza y el aprendizaje, Madrid, Horzori, 1997. Fuenlabrada, I., D. Block, H. Balbuena y A. Carvajal, Juega y aprende matemáticas. Propuesta para divertirse en el aula. México, 1994, sep (Libros del rincón). Itzcovich, H. Iniciación al estudio didáctico de la geometría. Buenos Aires, Libros del Zorzal, 2005. Llinares, S. y V. Sánchez, Las fracciones: diferentes interpretaciones. Madrid, Síntesis, 1988. Ciclo Escolar 2009-2010

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254

Matemáticas 6

Matemáticas 6. Secuencias didácticas. Sexto grado. Educación Básica. Primaria se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos en los talleres de , con domicilio en , en el mes de de 2009. El tiraje fue de ejemplares.

13/5/09

12:55:10

Matemáticas

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Matemáticas Secuencias didácticas