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UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA FACULTAD DE INGENIERIA CIENCIAS Y ADMINISTRACION DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA TEMUCO

SISTEMAS DE POTENCIA I (Versión Preliminar, sólo uso interno)

SERGIO CARTER FUENTEALBA

MARZO 2005

i

INDICE INDICE PROPOSITO

I iv

CAPITULO 1: ALGUNOS ANTECEDENTES SOBRE LA ENERGIA ELECTRICA

1

1.1 1.2 1.2.1 1.3 1.4 1.4.1 1.4.2 1.5 1.5.1 1.5.2 1.6 1.7

LOS INICIOS DE LA GENERACION DE ENERGIA ELECTRICA SISTEMAS DE TRANSMISION EN CORRIENTE CONTINUA (HVDC) Algunas Ventajas y Desventajas de la Transmisión en HVDC LOS INICIOS EN CHILE CARACTERISTICAS GENERALES DE LOS SISTEMAS ELECTRICOS Fuentes de Energía Eléctrica Oferta de la Energía Eléctrica en Chile ASPECTOS BASICOS DE LAS LINEAS ELECTRICAS Objetivos y Clasificación de las Líneas Eléctricas Caracterización Topológica de los Sistemas Eléctricos CARACTERISTICAS DE ALGUNOS TIPOS DE CONDUCTORES UNIDADES DE MEDIDA DE LOS CONDUCTORES ELECTRICOS

1 3 4 5 14 14 24 25 25 26 28 28

CAPITULO 2: CALCULO DE LOS PARAMETROS DE LAS LINEAS ELECTRICAS

30

2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.3.1 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4

30 31 31 33 39 39 41 44 45 46 47

DEFINICION CONCEPTUAL DE LOS PARAMETROS CALCULO DEL PARAMETRO RESISTENCIA Resistencia Ohmica (de C.C.) Resistencia Efectiva (de C.A.) CALCULO DEL PARAMETRO INDUCTANCIA Y DE LA REACTANCIA INDUCTIVA Caso de un Sólo Conductor FLUJO ENLAZADO POR UN SISTEMA MULTICONDUCTOR Línea Monofásica de Dos Conductores: Línea Trifásica de Disposición Equilátera Línea Trifásica con Transposiciones Concepto de Distancia Media Geométrica Cálculo de Inductancias y Reactancias Inductivas Empleando los Conceptos de RMG y DMG Línea Monofásica Multifilar Línea Trifásica en Doble Circuito con Transposiciones Línea Trifásica en Circuito Simple con un Haz de dos Conductores Tres Conductores por Fase Cuatro Conductores por Fase Uso de Tablas para el Cálculo de la Reactancia Inductiva CALCULO DE CAPACIDADES Y REACTANCIAS CAPACITIVAS Cálculo de Capacidades de Líneas sin Considerar el Efecto de Tierra Línea Monofásica Línea Trifásica de Disposición Equilátera Línea Trifásica con Transposiciones Uso de Tablas Cálculo de la Capacidad y Reactancia Capacitiva de Líneas Trifásicas en Doble Circuito Conductores Fasciculados Cálculo de Capacidades de Líneas Considerando el Efecto de Tierra Línea Monofásica Línea Trifásica con Transposiciones PROBLEMAS PROPUESTOS

2.4.5 2.4.5.1 2.4.6 2.4.7 2.4.8 2.4.9 2.4.10 2.5 2.5.1 2.5.1.1 2.5.1.2 2.5.1.3 2.5.1.4 2.5.1.5 2.5.1.6 2.5.2 2.5.2.1 2.5.2.2 2.6

48 48 51 55 56 56 57 61 62 63 64 66 67 67 68 71 72 74 75

CAPITULO 3: LINEAS EN REGIMEN PERMANENTE EQUILIBRADO

79

3.1 3.2 3.2.1

79 79 80 80 81 82 82

a) b) c) d)

CONSIDERACIONES PRELIMINARES CIRCUITOS EQUIVALENTES Línea Corta Relaciones Tensión, Corriente, Potencia Regulación de Tensión Rendimiento Capacidad de Transmisión de la Línea

ii 3.2.2

3.2.3

3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.5

Línea de Mediana Longitud - Circuito Equivalente Nominal a) Relaciones Tensión, Corriente, Potencia b) Regulación de Tensión Línea de Gran Longitud - Relaciones Tensión, Corriente - Impedancia Característica (Impedancia Natural o Impedancia de Onda): - Constante de Propagación - Régimen de Carga Natural - Efecto Ferranti - Longitud de Onda - Circuito Equivalente Exacto - Cálculo de las Funciones Hiperbólicas Complejas LAS LINEAS CONSIDERADAS COMO CUADRIPOLOS Interconexión de Cuadripolos (Cuadripolos Equivalentes - Dos Líneas en Serie (Cascada - Dos Líneas en Paralelo (Doble Circuito) Cuadripolos Simples - Línea Corta - Carga Constante Ecuaciones de Potencia en Términos de los Parámetros ABCD DIAGRAMAS DE CIRCULO Diagrama de Círculo del Extremo Receptor Diagrama de Círculo del Extremo Transmisor Diagrama de Círculo Generalizado PROBLEMAS PROPUESTOS

84 84 85 85 86 87 88 88 89 91 91 91 92 97 99 99 100 101 101 102 102 106 106 108 110 111

CAPITULO 4: LINEAS EN REGIMEN PERMANENTE DESEQUILIBRADO

114

4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 4.3.1

114 115 115 115 116 117 120 123

4.3.2 4.3.3 4.4

CONSIDERACIONES GENERALES ANALISIS EMPLEANDO CANTIDADES DE FASE Impedancias Propias y Mutuas de un Sistema Multiconductor Línea Trifásica con Neutro Aislado Línea Trifásica con Neutro Físico Línea Trifásica con Retorno por Tierra ANALISIS EMPLEANDO CANTIDADES DE SECUENCIA Impedancias de Secuencia Impedancia de Secuencia Cero de una Línea Trifásica en Doble Circuito, Transpuesta y con Retorno por Tierra Impedancia de Secuencia Cero de Líneas con Cable de Guardia PROBLEMAS PROPUESTOS

125 126 131

CAPITULO 5: TRANSFORMADORES

134

5.1 5.2 5.2.1 5.2.1.1 5.2.1.2 5.2.2 5.2.2.1 5.2.2.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.4.1 5.4

134 134 134 135 136 138 138 138 141 141 144 145 147 147 151

CONSIDERACIONES PRELIMINARES EL SISTEMA EN POR UNIDAD . Circuitos Monofásicos Redes con Transformador Caso General Circuitos Trifásicos Pérdidas de Potencia Banco de Transformadores CIRCUITOS EQUIVALENTES Transformador Trifásico de Dos Enrollados Transformador Trifásico de Tres Enrollados Autotransformador Transformadores con Cambio de Derivaciones Circuito Equivalente en (pu) de un Transformador con Cambio de Derivaciones PROBLEMAS PROPUESTOS

CAPITULO 6: CARGAS

155

6.1 6.2

155 155

CLASIFICACION Y CARACTERISTICAS GENERALES PROBLEMAS PRINCIPALES Y MODELOS DE REPRESENTACION

iii 6.2.1 6.2.2 6.3 6.3.1 6.3.2 6.4

Representación Mediante una Impedancia o Admitancia Constante Representación como Potencia Compleja Constante DEPENDENCIA DEL CONSUMO RESPECTO A LAS VARIACIONES DE TENSION Y FRECUENCIA. Consumo Constituido por una Impedancia Estática Consumos Mixtos PROBLEMAS PROPUESTOS

BIBLIOGRAFIA

155 156 156 156 157 157 158

iv PROPOSITO.

Durante varios años el Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de La Frontera, me encomendó que impartiera el primero de una secuencia de dos cursos de Sistemas de Potencia. Después, por diversas razones, dejé de dictar esta asignatura por un tiempo prologado, hasta que hace un par de años nuevamente he recibido el especial encargo de impartirla. Ello me llevó a buscar, dentro de los materiales académicos que almaceno desde siempre, los apuntes que había preparado antaño para ese curso y que han sido puestos al día en lo pertinente. Esta situación, me condujo a reescribir esas notas y prepararlas en forma ordenada para mis actuales estudiantes, de modo que dispongan de un material que les facilite la comprensión de las materias propias del curso. Dentro de los antecedentes que he empleado para editar estas notas, tienen un lugar destacado los Profesores Hernán Sanhueza H., de la Universidad de Santiago de Chile y Walter Brokering C. de la Pontificia Universidad Católica de Chile, fundamentalmente a partir de apuntes que ellos han editado a través de sus instituciones. Asimismo, he sostenido una fuerte interacción con mi colega y amigo Manuel Villarroel M. en el análisis de problemas que pudieran resultar de mayor interés para el curso. También he usado material de ENDESA, proveniente de publicaciones realizadas por esa Empresa y algunos antecedentes de otras empresas del área y de la Comisión Nacional de Energía, dados a conocer en una conferencia dictada en el XII Congreso Chileno de Ingeniería Eléctrica, Temuco, 1997. En cuanto al texto propiamente tal, se ha dividido en tres secciones: La primera de ellas, relativa a aspectos históricos del desarrollo de la generación de electricidad, desde sus inicios hasta la actualidad, con especiales consideraciones al caso chileno, se revisan las diversas posibilidades de generación de energía, hidráulica, térmica (convencional y nuclear), eólica y solar. La segunda sección, que abarca los capítulos 2, 3 y 4, está dedicada a un estudio profundo de las líneas de transmisión, cálculo de sus parámetros, sus modelos de representación y las condiciones de operación, con alcances específicos al diseño y configuración de las líneas. La última sección está dedicada a transformadores y cargas, con énfasis en el empleo del sistema en por unidad . En cada uno de los capítulos, se han incluido algunos problemas resueltos, que deben servir de guía a los estudiantes y al término de cada uno de ellos, se proponen algunos problemas adicionales para ejercitar los conceptos revisados anteriormente. Esta versión preliminar está destinada solamente al uso interno de los estudiantes de la Universidad de La Frontera y toda sugerencia o corrección de errores que se deben haber deslizado en el texto, serán, por supuesto, muy bien venidas. Quiero dejar constancia del apoyo brindado en la digitación del manuscrito, por la Sra. Myriam Alarcón O. secretaria del Departamento de Ingeniería Eléctrica.

Sergio E. Carter Fuentealba

TEMUCO, MARZO DE 2005

1 CAPITULO 1: ALGUNOS ANTECEDENTES SOBRE LA ENERGIA ELECTRICA. 1.1. LOS INICIOS DE LA GENERACION DE ENERGIA ELECTRICA. Los sistemas de generación de Energía Eléctrica, originados a partir del descubrimiento de Michael Faraday el 28 de octubre de 1831, sobre el fenómeno de la Inducción Electromagnética con un generador elemental, desencadenó, primero lentamente y después con gran dinamismo, el uso creciente de la energía eléctrica, que en nuestros días se ha convertido en la fuente de energía utilizada preferentemente en todas las aplicaciones más comunes, como por ejemplo iluminación, calefacción y fuerza motriz. Después de la invención del generador eléctrico de Corriente Continua (CC), más conocido como dínamo, debido a Gramme en 1870, surgió la idea de emplear esta energía para reemplazar la antigua iluminación a gas, que solamente existía en algunas ciudades de importancia y sirviendo únicamente a algunas calles principales. En Inglaterra, St. George Lane Fox y Tomás Alva Edison en Estados Unidos, propusieron planes para el suministro de energía eléctrica para iluminación a varios usuarios en forma simultánea y coordinada. Así, en forma casi coincidente, en Londres y Nueva York, en enero y septiembre de 1882 comenzaron a operar las centrales térmicas de Holborn y de la Calle Pearl, suministrando un servicio muy limitado en extensión. Esta última central tenía 4 calderas con una potencia de 250 HP, que suministraban vapor a un grupo de 6 dínamos. La distribución ideada por Edison, era subterránea, con conductores de cobre aislados que operaban a una tensión de 110 Volts. La baja tensión del sistema, limitaba en forma severa el área de servicio atendida por la Central y, como consecuencia de esta restricción, las centrales proliferaron en las grandes ciudades. Inicialmente la energía eléctrica se utilizaba en iluminación por medio de lámparas incandescentes de filamento de carbón; y, como otro hito destacado, en 1884 se empezaron a utilizar motores de corriente continua. Los primeros sistemas fueron de dos hilos y el aumento de la carga condujo a desarrollar el sistema de tres hilos. La figura 1.1, siguiente muestra en a) un sistema de dos hilos y la b) un sistema de tres hilos.

E E

+

C1

-

C1

C2

C1

C

-

C2

E a)

+

-

2

+ b)

Figura 1.1: Sistemas de Distribución en CC; a): Sistema de dos Hilos; b): Sistema de tres Hilos. Por otra parte, la baja tensión limitaba la distancia de transmisión de la energía con una regulación de tensión aceptable. Por tanto, para transmitir mayores bloques de energía a un costo razonable, fue necesario disminuir las pérdidas por efecto Joule, así como los costos de los equipos y/o elementos del sistema. Se encontró que al elevar la tensión, el peso del conductor necesario para transmitir una potencia dada, manteniendo constante las pérdidas, se reducía significativamente. Si a ello se suma que en el año 1881 Marcel Deprez anunció en la academia de Ciencias en París, que elevando el nivel de tensión se puede transmitir energía eléctrica de cualquier potencia a una gran distancia con pérdidas mínimas, la interconexión de sistemas distantes era ya prácticamente una realidad. Por este hecho, a Marcel Deprez se le considera como el precursor de la transmisión de energía eléctrica en alta tensión. En 1882 realizó el experimento para transmitir una potencia de 1,5 kW, a una distancia de 57 km, con una tensión de 2.000 Volts en CC. Paralelamente al desarrollo de los sistemas de 2 y tres hilos para la distribución de la energía eléctrica en CC. se comenzó a investigar la distribución en Corriente Alterna (CA). En 1881, Gaulard y Gibbs, patentaron un sistema de distribución serie en CA y éstos mismos ingleses, en 1883, desarrollaron el transformador que permitió elevar la tensión, con lo que las limitaciones de distancia, debido a las fuertes caídas de voltaje y pérdidas de energía asociadas que afectaban a la generación y distribución en CC, dejaron de tener relevancia y permitieron atender a una mayor cantidad de usuarios en forma simultánea. A ello se suma la invención en 1885 del generador de CA de potencial constante. A partir de esa fecha, el empleo de la energía eléctrica, su generación, transmisión y distribución, inicialmente en forma monofásica y posteriormente, a partir de 1891, en forma trifásica, permitieron su propagación por el mundo hasta llegar a ser hoy día la forma más frecuente de uso de la energía final. Por esta razón, el sistema de corriente alterna en generación y transmisión desplazó al de corriente continua, permitiendo transmitir grandes bloques de energía a distancias significativas. La superioridad de los motores de corriente

2 continua con respecto a los de corriente alterna en la tracción, han permitido que aún se mantengan sistemas de tracción de corriente continua, con tensiones de hasta 3.000 Volts. Hasta hace pocos años se mantenían en ciertos sectores de algunas ciudades, sistemas de distribución en corriente continua. Actualmente, cuando se requiere de corriente continua se prefiere hacer la conversión de alterna a continua, en el mismo punto de utilización de ésta. Los primeros sistemas de corriente alterna fueron monofásicos. En el año 1884 Gaulard transmitió en CA monofásica, en Turín (Italia), a través de una línea de 40 km de longitud. En el año 1886 W. Stanley en Great Barrington, Massachussets, instaló en los EE.UU. el primer sistema de distribución monofásico práctico, usando transformadores de 500/100 Volts. En 1887 entró en servicio un sistema de transmisión y distribución con corriente alterna en la ciudad de Lucerna (Suiza) y en 1888 en Londres. En 1883 Tesla inventó las corrientes polifásicas; en 1886 construyó un motor polifásico de inducción y en 1887 patentó en EEUU un sistema de transmisión trifásico. En 1891 se construyó en Alemania la primera línea de transmisión trifásica, con una longitud de 180 km a 12 kV. Los sistemas trifásicos se desarrollaron rápidamente y actualmente son de uso general, por las ventajas sobre los sistemas monofásicos que tienen, algunas de las cuales se enumeran a continuación: 1. En un sistema trifásico equilibrado la potencia instantánea es constante, en cambio, en un sistema monofásico es pulsante. 2. Para una misma potencia, un generador o motor trifásico es más pequeño (menor costo) que su correspondiente monofásico. 3. El peso total de los conductores de un sistema trifásico, en relación a uno monofásico, por el cual se transmite la misma potencia a igual distancia, resulta sustantivamente menor que en el caso del sistema monofásico. Otra de las características de la evolución que han sufrido los sistemas de distribución de energía, lo constituye la frecuencia del sistema. Inicialmente se usaron frecuencias bajas para disminuir las reactancias inductivas de las líneas y las pérdidas debido a las corrientes parásitas en las máquinas eléctricas. Posteriormente se fue incrementando la frecuencia y actualmente en los sistemas eléctricos de potencia se utilizan frecuencias de 50 Hz y 60 Hz, debido a que una frecuencia mayor permite utilizar circuitos magnéticos de menor sección para una misma potencia dada, lo que da como resultado aparatos de menor tamaño y menor costo. Desde el punto de vista de los niveles de tensión, ésta se ha ido elevando cada vez más, buscando un óptimo económico en la explotación de los Sistemas de Potencia, manifestado en la transmisión de mayores bloques de energía y en la disminución de las pérdidas de energía por efecto Joule en los conductores de la línea. Hasta el año 1917, los sistemas eléctricos operaban como sistemas aislados, transmitiendo energía solamente de un punto a otro a niveles de tensión relativamente bajos comparados con los actuales. Los niveles de tensión en la transmisión aumentaron rápidamente desde 3,3 kV utilizados en la línea de transmisión Willamette Portland en el año 1890, a 11 kV en el año 1896 usados para transmitir aproximadamente 10 MW desde Niágara Falls a Buffalo en Nueva York, para una distancia de 32 km. En ese mismo año se instaló en EEUU una línea de 25 kV. En el año 1903 entró en servicio una línea de 60 kV entre la planta hidroeléctrica de Necaxa y la ciudad de México, siendo este nivel de tensión el más elevado del mundo en aquel entonces. En el año 1913 los niveles de tensión en la transmisión aumentaron a 150 kV y en 1923 a 220 kV. En el año 1936 entró en servicio en EEUU una línea en doble circuito de 287 kV para transmitir 240 MW a una distancia de 428 km, desde la central de Hoover Dam, a través del desierto, hasta las cercanías de Los Angeles. En el año 1946 se inicia un programa de ensayo para diseñar una línea de 345 kV realizado por la American Electric Power (AEP). Esta línea se terminó de construir en el año 1953. Durante el mismo período la Swedish State Power Board de Suecia construyó una línea de 400 kV. En el año 1964 fue energizada la primera línea de transmisión de 500 kV en EEUU. Una de las razones más significativas para preferir este nivel de tensión sobre el de 345 kV, fue que el incremento de la tensión desde 230 kV a 345 kV, representaba una ganancia de solamente un 140 % de la potencia a transmitir, comparada con la ganancia del 400% al usar un nivel de tensión de 500 kV, que se analizará en mayor detalle en un capítulo posterior. En ese mismo año se inauguró en Canadá la central hidroeléctrica de Quebec con una línea de 603 km de longitud, operando a 735 kV. En 1969 la AEP pone en servicio una línea de 765 kV y en los años 80 se pone en servicio un sistema de transmisión de 1.100 kV en la Administración de Energía Bonneville (BPA). La tendencia a incrementar los niveles de tensión, es motivada principalmente con la intención de aumentar la capacidad de transmisión de la línea y a la vez reducir las pérdidas por unidad de potencia transmitida.

3 1.2. SISTEMAS DE TRANSMISION EN CORRIENTE CONTINUA EN ALTA TENSION (HVDC). Un sistema de transmisión en CC, considera las siguientes etapas: La energía eléctrica se genera en corriente alterna, la tensión se eleva al valor requerido mediante un transformador elevador, a continuación se rectifica para realizar la conversión a corriente continua y enviar el bloque de energía por la línea; en el extremo receptor se transforma mediante un inversor la corriente continua a corriente alterna, cuyo nivel de tensión se disminuye a través de un transformador reductor a un valor adecuado, para posteriormente inyectarla a los sistemas de CA. La figura siguiente, muestra un sistema de transmisión en CC. T/F Elevador

Línea de Transmisión

Rectificador

T/F Reductor Inversor

Carga

Figura 1.2: Esquema Típico de un Sistema de Transmisión en Corriente Continua en Alta Tensión. La primera instalación de este tipo entró en Servicio en el año 1954 en el continente europeo entre Suecia (Swedish Mainland) y la Isla de Gotland, a través de un cable submarino de 98 km, de longitud, transmitiendo 20 MW a 100 kV. A partir de ese año a la fecha existen en operación numerosos sistemas de transmisión de corriente continua en el mundo. En menos de treinta años, la potencia nominal en un sistema típico aumentó a 1.800 MW. Los niveles de tensión y las corrientes en la transmisión aumentaron en el mismo lapso de tiempo desde 100 kV a 1.066 kV ( 533 kV a tierra) y desde 200 a 2.000 Amperes, respectivamente. El uso de corriente alterna para el enlace submarino sueco tuvo grandes trastornos y finalmente no fue posible de operar en forma continua, porque la potencia reactiva de compensación requerida por el cable de transmisión no era factible de proporcionar. La eficacia de un tipo de válvula electrónica inventada por U. Lamm en Suecia durante la Segunda Guerra Mundial, hizo posible la primera transmisión submarina en corriente continua exitosa. Su operación confiable y económica justificó posteriormente conexiones entre Suecia y Dinamarca, entre Inglaterra y Francia, entre las principales islas de Nueva Zelandia y entre la isla de Cerdeña e Italia. La transmisión en corriente continua en alta tensión por vía terrestre se ha utilizado en Estados Unidos, Canadá, Inglaterra, Japón, Rusia, Zaire y entre Mozambique y Africa del Sur. En general, el uso de la corriente continua es factible cuando los ahorros en costo de una línea en corriente continua compensan los costos de las unidades convertidoras (Rectificador-Inversor). Para la misma potencia a transmitir, el costo por unidad de longitud de una línea en corriente continua es más bajo que el de una línea en corriente alterna. En la figura siguiente se muestran los costos comparativos de líneas aéreas en corriente continua y corriente alterna, en función de la distancia de transmisión. Costo Transmisión en CA

Distancia mínima comparable

( Break-even ) Transmisión en CC

325

650

975

1.300

1.525

Distancia en km.

Figura 1.3: Costo Comparativo en Líneas de Transmisión Aéreas en CC y CA.

4 1.2.1: Algunas Ventajas y desventajas de la Transmisión en HVDC: La transmisión en corriente continua requiere solamente de dos conductores por circuito, en lugar de los tres necesarios en la transmisión en corriente alterna. En consecuencia, existe un menor peso de los conductores en una línea de corriente continua que en una línea de corriente alterna, por ende, las torres pueden ser más pequeñas, con un costo de fabricación menor y de más fácil instalación. Para líneas de igual longitud e igual potencia a transmitir, las pérdidas en la línea son menores en corriente continua que en corriente alterna. Despreciando el efecto pelicular, las pérdidas en la línea de corriente alterna son un 33% más grande que las pérdidas en la línea de corriente continua. En caso de una falla monofásica en la línea de corriente continua los conductores continuarán funcionando a través del retorno por tierra lo que permite reparar la sección en falla sin dejar de transmitir potencia. El hecho de que cada conductor puede actuar como un circuito independiente es muy importante, ya que esto hace que las líneas en corriente continua sean más confiables. En transmisión submarina de una longitud superior a 32 km. En el caso de líneas de transmisión aérea de gran longitud y gran potencia a transmitir. En la interconexión de grandes sistemas eléctricos mediante enlaces de pequeña capacidad, donde pequeñas diferencias de frecuencia producirían serios problemas en el control de la potencia transferida. En la interconexión de dos sistemas de corriente alterna que tienen diferentes frecuencias de operación. En ciudades con sistemas de cables subterráneos donde las distancias involucradas son grandes. Las sobre tensiones de maniobra en líneas de corriente continua son menores que en líneas de corriente alterna. En líneas aéreas de corriente alterna se hacen intentos para limitar los valores máximos de las sobre tensiones a magnitudes de dos a tres veces el valor máximo de la tensión nominal, y a 1,7 veces para el caso de líneas en corriente continua. La radio interferencia y las pérdidas por efecto corona son menores en el caso de corriente continua que en el caso de corriente alterna. La resistencia de un conductor en corriente alterna es más grande que la resistencia de éste en corriente continua, debido al efecto pelicular. Por otra parte, un enlace de transmisión en corriente continua no presenta problemas de estabilidad. Al interconectar sistemas de corriente alterna por medio de un enlace de corriente continua, las corrientes de cortocircuito no se incrementarán tanto como si existiera un enlace de corriente alterna. Esto puede ahorrar requerimientos de condensadores sincrónicos en el sistema. La reactancia transiente de algunas plantas hidroeléctricas tiene valores por debajo de lo normal (para aumentar el límite de estabilidad), en este caso el costo de los generadores es más alto. Esto no se requeriría si se utiliza transmisión en corriente continua. Desde este punto de vista, una de las más importantes economías que se puede lograr al utilizar transmisión en corriente continua, es que la máquina motriz acoplada al alternador, no precisa fijar su velocidad para obtener 50 Hz ó 60 Hz, sino que podría escogerse otra velocidad diferente para optimizar económicamente la operación de la central. En corriente alterna la potencia reactiva que se produce por la capacidad paralelo de un cable conductor, excede largamente a la consumida por la inductancia serie. Esto se debe a que la impedancia de carga está por debajo de la impedancia característica, para evitar sobrecalentamiento de los conductores. Para un cable de 40 80 km, a 60 Hz, la corriente de carga es prácticamente igual a la corriente nominal. Una compensación shunt podría teóricamente solucionar este problema. Sin embargo, esto es difícil de implementar en aplicaciones con cables submarinos. Los cables para corriente continua no tienen tales limitaciones. Una línea en corriente continua en si misma no requiere de potencia reactiva. Los convertidores en ambos extremos de la línea absorben potencia reactiva desde el sistema de corriente alterna. Esto es independiente del largo de la línea, en contraste con el sistema de corriente alterna, donde el consumo de potencia reactiva varía casi linealmente con la longitud de la línea. Dentro de las desventajas más importantes, es la ausencia de interruptores de poder en CC, que representa una seria limitación para este tipo de transmisión, ya que en circuitos de corriente alterna, los interruptores de poder aprovechan la ventaja de los cruces por cero de la corriente, los que ocurren dos veces por ciclo. El arco no se restablece entre los contactos, porque el diseño del interruptor es tal, que la fuerza de interrupción de la trayectoria del arco entre los contactos permite su extinción. En el bloqueo de la corriente continua en líneas radiales, se realiza mediante el control de la grilla de los convertidores a válvulas. La producción de armónicos debido a la operación del convertidor, ocasiona problemas de interferencia en líneas telefónicas de audiofrecuencia. Esto obliga a poner filtros en ambos extremos de la línea de transmisión en corriente continua para suprimir estos armónicos. Finalmente, se debe consignar que en un sistema de corriente alterna la tensión del extremo receptor de una línea larga en vacío, es considerablemente más alta que la nominal. Este fenómeno, denominado efecto Ferranti, es una limitación en líneas de corriente alterna que no aparece en líneas de corriente continua. La figura siguiente muestra un típico sistema bipolar de transmisión en CC.

5 Id (+)

Vd

Vd

Id (-) Figura 1.4: Sistema Bipolar de Transmisión en CC. 1.3. LOS INICIOS EN CHILE. Solamente unos pocos años después de la aparición de las centrales de Holborn y de Pearl Street, en el año 1897, se puso en operación la primera central generadora chilena: la Central Hidroeléctrica de Chivilingo, ubicada 10 km al sur de Lota, con dos alternadores Siemens de 250 kVA cada uno, 400 Volts, 50 Hz, con una altura de la caída de agua de 110 m dotada con turbinas Pelton, fabricadas por Voith, que fue la primera planta generadora de América del Sur. Fue construida por la firma norteamericana Consolidated Company para la Compañía Carbonífera de Lota. La energía generada se transmitía por una línea trifásica en 10 kV, con una longitud de 10 km. El 1 de junio de 1900, se puso en servicio la primera central de servicio público propiamente tal en Santiago, en la esquina de las calles Mapocho con Almirante Barroso, con dos máquinas de 676 kW cada una, de CC. Se generaba en 500 Volts y se distribuía en 250 Volts. Ese mismo año, en Valparaíso, se puso en servicio la Central Térmica Aldunate, con dos unidades de CC, tipo locomóvil, que posteriormente, en el año 1904, se reemplazaron por turbogeneradores de 500 y 1.000 kW, cada uno. En 1905, se organizó la Compañía General de Electricidad Industrial, actual CGE, que puso en servicio una planta térmica en el camino de Lo Bravo, Ñuñoa, de 100 kW. La migración hacia la CA. se inició el año 1905 con la puesta en servicio de la central hidroeléctrica de El Sauce, en el embalse Campamento sobre el lago Peñuelas, próximo a Valparaíso, propiedad de la Cía. Alemana Trasatlántica de Electricidad, que contaba con un alternador de 1 MVA, 7 kV, 50 Hz, interconectada con la S/E Aldunate mediante una línea de unos 20 km a 7 kV. Esta misma empresa, puso en servicio la Central Hidroeléctrica Florida, cerca de Santiago con 4 generadores de 3 MVA cada uno, 50 Hz y 12 kV. Esta central se interconectó con la de Mapocho en Santiago mediante las líneas Florida-Victoria-Mapocho en 12 kV. Este sistema se amplió posteriormente con las subestaciones de Unión Americana, 1910 y Villavicencio, 1914, para posteriormente formar un anillo en torno al centro de Santiago en el año 1924. La Chile Exploration Company, que explotaba la mina de Chuquicamata, puso en servicio la Central Termoeléctrica de Tocopilla en 1915, con tres unidades Escher Wyss de 10 MVA cada una, 50 Hz y 5 kV, unida a la mina por una línea de transmisión a 110 kV, instalada solamente 5 años después de haberse utilizado esta tensión por primera vez. Desde allí en adelante comienza el empleo masivo de la electricidad en Chile, en forma aislada primeramente, para llegarse a interconexiones graduales del sistema eléctrico nacional en forma posterior. A continuación se muestran algunas de los sistemas eléctricos existentes en Chile, desde el año 1935, en que prácticamente solamente existían sistemas aislados. En la figura 1.5, se aprecian que existían esbozos de interconexiones en la segunda región entre Tocopilla y Chuquicamata y entre las Oficinas Salitreras María Elena, Coya Sur y Pedro de Valdivia. En la tercera región, entre Chañaral, Montandón y Potrerillos, en la Zona Central, uniendo la Región Metropolitana con la Quinta Región, contando con los aportes de las centrales Sauce, Florida, Maitenes, Queltehues y Las Vegas. En la Sexta Región, se interconectaban las centrales de Coya y Pangal con la mina de Sewell. Más al sur no había otra interconexión que la existente entre la Central de Chivilingo y Lota. Las restantes ciudades,

6 tenían generación local y en algunos casos sólo por ciertos períodos durante el día. La figura 1.6, muestra el sistema existente en la zona que va desde el límite norte hasta la Isla grande de Chiloé. A los dos sistemas interconectados presentes en el Norte Grande, se le agrega el del Norte Chico, con base en las Centrales hidroeléctrica de Los Molles, con una caída de 1.050 metros y termoeléctrica de Guayacán que permitían atender los requerimientos conjuntos de La Serena, Coquimbo, Ovalle y Punitaqui. El Sistema de la Zona Central, se extendió desde la Quinta Región por el Norte, hasta Talca, en la Séptima Región por el Sur. Los nuevos aportes a la generación, fueron: Laguna Verde, Los Quilos, Volcán y Sauzal. Siguiendo hacia el Sur, el Sistema de la Región del Bío Bío, sustentado por la Central Abanico, unía desde Chillán por el Norte, hasta Victoria por el Sur, con un ramal por la zona costera, que arrancando desde Concepción unía Coronel, Lota, Carampagne y Tres Pinos. Aparece ya por esta época, otro sistema que interconecta parte importante de la Décima Región. Con base en la Central Pilmaiquén, se unían, Valdivia por el Norte, hasta Puerto Montt por el Sur, atendiendo a Corral, La Unión, Osorno y Puerto Varas. La figura 1.7, muestra el sistema interconectado Norte Grande (SING), al año 1997, que abarca la primera y segunda regiones geográficas y las figuras 1.8 a 1.10, muestran los sistemas existentes en el país al año 1990. La figura 1.11, muestra la predicción realizada por ENDESA, a mediados de la década de los 70, del Sistema Eléctrico esperado para el año 2.000, que se ha cumplido aproximadamente.

7

Figura 1.5: Sistema Eléctrico Chileno en el año 1935

8

Figura 1.6: Sistema Eléctrico Chileno en el año 1954

9

. Figura 1.7: Sistema Interconectado Norte Grande.

10

Figura 1.8: Sistema Interconectado Central

11

Figura 1.9: Sistema de la Sexta Zona Eléctrica

12

Figura 1.10: Sistema de la Séptima Zona Eléctrica

14 1.4. CARACTERISTICAS GENERALES DE LOS SISTEMAS ELECTRICOS. Un sistema eléctrico, está constituido por centrales de generación de energía eléctrica, subestaciones, líneas de transmisión, líneas de distribución, gran diversidad de cargas eléctricas y una enorme variedad de equipos adicionales, con el objetivo que el suministro de energía eléctrica se realice con una calidad de servicio óptima. La demanda total de un sistema eléctrico, está formada por un gran número de cargas individuales de diferentes tipos (industrial, comercial, residencial); en general, una carga absorbe potencia activa y potencia reactiva, de modo que la potencia total suministrada por el sistema en cada instante es igual a la potencia total absorbida por las cargas, más las pérdidas del sistema. En el capítulo 6, se hace un estudio más detallado de las cargas. La potencia media total suministrada por el sistema varía en función del tiempo siguiendo una curva que puede predeterminarse con bastante aproximación y que depende del ritmo de las actividades humanas en la región servida por el sistema (conexión y desconexión de cargas individuales en forma aleatoria). En la figura 1.12 se representa una curva de este tipo, durante un período de 24 horas, lo que se denomina curva de carga diaria. El área bajo la curva representa la energía eléctrica provista por el sistema eléctrico durante ese período de tiempo. Potencia [MW]

0

4

Potencia Máxima Demandada Sobre el Sistema

8

12

16

20

24

Tiempo [Hrs.]

Figura 1.12: Curva de Demanda Diaria de un Sistema. La tabla siguiente muestra el uso de la energía eléctrica en Chile en el año 1996, según cifras de la Comisión Chilena de Energía, este consumo, porcentualmente, no difiere sustancialmente de lo que ocurre en otros países. Tabla Nº 1.1: CONSUMO SECTORIAL DE ENERGIA EN CHILE (Año 1996) Sector Industria y Minas Comercial Público y Residencial Transporte Centros de Transformación Total

Consumo [GWh] 18.442 8.184 200 1.225 28.051

Consumo [%] 65,75 29,18 0,71 4,36 100,00

1.4.1: Fuentes de Energía Eléctrica: La energía eléctrica proviene de la transformación de la energía existente en alguna de las siguientes fuentes: Hidroenergía, en que la transformación de la energía en este caso, se realiza por medio de las centrales hidráulicas. Eólica, en este caso se aprovecha la energía del viento. Combustibles fósiles, como carbón, petróleo, gas o nuclear, en que se obtiene energía térmica a partir de estos para accionar una turbina. Geotermia, en que se aprovecha la temperatura elevada de capas subterráneas, biomasa, en que se aprovechan residuos vegetales (forestales) y/o plantaciones con carácter energético y energía solar, que se puede emplear directamente mediante celdas fotovoltaicas o

15 bien para elevar la temperatura de algún líquido que, gasificado, accionará una turbina. - Hidroenergía: En este caso pueden existir diferentes tipos de centrales hidráulicas: De embalse, de pasada, mixtas y mareomotrices. Las primeras pueden almacenar el agua por períodos de tiempo largos (dependiendo de la capacidad del embalse) y generar cuando es necesario realizar aportes al sistema. Las de pasada deben generar permanentemente, pues en este caso el agua no se puede almacenar; las mixtas tienen un pequeño embalse que permite un período reducido de almacenamiento y finalmente las mareomotrices, que operan por diferencias de nivel entre la alta y baja marea. Las figuras siguientes muestran estos tipos de centrales hidráulicas. La figura 1.13, muestra una típica central de embalse chilena, la central de Rapel, que en la fotografía está descargando exceso de agua acumulada por sus vertederos. Esta central tiene una potencia instalada de 350 MW. La figura siguiente, muestra la Central Cipreses de 101,4 MW, ubicada en la cabecera de la cuenca del río Maule captando las aguas de la Laguna Invernada y la figura 1.15, muestra un esquema de operación de una central mareomotriz. De este último tipo la más conocida es La Rance ubicada en el estuario del río del mismo nombre, en las cercanías de Saint-Malo en Bretaña, Francia, con una potencia de 350 MW, que opera desde 1966, funcionando 2.000 horas a plena potencia y cuatro mil horas a potencia reducida. Otra central de este tipo es la de Kislaya, en Rusia de 400 kW, de carácter experimental.

Figura 1.13: Central de Embalse Típica: Rapel

16

Figura 1.14: Central Cipreses, Mostrando Parte del Patio de Alta Tensión

Figura 1.15: Esquema de una Central Mareomotriz - Centrales Térmicas: Entre estas están las de Vapor Convencional, que se muestra en la figura 1.16, donde el calor desprendido por la combustión de carbón, petróleo o gas, convierte el agua en vapor que acciona una turbina que va solidariamente unida al alternador. La figura 1.17, muestra una central de gas natural de Ciclo Combinado. Estas centrales trabajan con dos ciclos separados, uno opera con una turbina de gas y el otro con una turbina de vapor. De esta manera la producción global de electricidad se debe al aporte de los dos alternadores. El primero de ellos está movido por la turbina de gas cuyos gases de escape, de alta temperatura, se utilizan como fuente de energía del segundo ciclo, de vapor convencional, el que a su vez opera como una central de vapor clásica. Luego, las figuras 1.18 a 1.21, muestran centrales de fisión nuclear, cuyo principio de funcionamiento es similar a las centrales térmicas convencionales, con la diferencia que aquí la fuente de calor es la fisión de los átomos de un combustible nuclear. Entre estas centrales están las de agua a presión, de agua en

17 ebullición, enfriada por gas y con reactor reproductor rápido. El primer tipo, con Reactor de Agua a Presión, mostrado en la figura 1.17, es la más difundida en el mundo y fue desarrollada principalmente en los Estados Unidos y Rusia. Inicialmente el diseño de estos reactores, fue realizado por Westinghouse y posteriormente Kraftwerk Union y Framatome, desarrollaron modelos basados en estos mismos principios. En estos reactores, el agua es usada como moderador (es decir, el material que es empleado para reducir la energía de los neutrones) y como refrigerante. Su combustible es Uranio enriquecido, hasta un 4 %, en forma de óxido. El agua de refrigeración, que circula a gran presión lleva la energía térmica desprendida en el núcleo del reactor a un intercambiador de calor, donde se genera el vapor que acciona el grupo turbina generador.

1: Quemador 2: Serpentín 3: Chimenea 4: Turbina

5: Alternador 6: Bomba de Condensado 7: Condensador 8: Agua de Refrigeración

Figura 1.16: Central Térmica Convencional

Figura 1.17: Central de Ciclo Combinado con gas natural Los Reactores de Agua en Ebullición, figura 1.19, son ampliamente usados en el mundo. Utilizan como combustible uranio ligeramente enriquecido en forma de óxido. El agua, actúa como refrigerante y mode-

18 rador. En este tipo de reactores la ebullición del agua ligera tiene lugar en el interior del núcleo del reactor, en el que la presión es inferior a la del sistema anterior. El vapor producido se separa del caudal del agua refrigerante por medio de unos separadores y unos secadores y a continuación opera sobre la turbina. Los reactores de este tipo han sido diseñados por General Electric y construidos principalmente en Estados Unidos, Japón y Suiza.

1 2 3 4 5 6

Cuerpo del Reactor Combustible (Uranio enriquecido) Moderador (Grafito) Refrigerante (Agua a 42 atmósferas) Varillas de regulación Protección Biológica

7 8 9 10 11 12

Intercambiador de Calor Turbina de vapor Generador Condensador Bomba de recirculación de la turbina Bomba de recirculación del refrigerante

Figura 1.18: Reactor de Agua a Presión (PWR) Otro tipo de reactores, son los enfriados por gas (CO2), donde éste está en contacto directo con el material fisionable que es Uranio natural. El calor es transferido a un circuito de agua-vapor, que actúa como refrigerante secundario y cuyo salto térmico es aprovechado para sobrecalentar el agua vaporizándola y es este vapor el que acciona directamente la turbina, como se aprecia en la figura 1.21.

19

1 2 3 4 5

Cuerpo del Reactor Combustible (Uranio enriquecido) Moderador (Agua natural) Refrigerante (Agua natural) Varillas de regulación

6 7 8 9 10

Protección Biológica Turbina de vapor Generador Condensador Bomba de recirculación de la turbina

Figura 1.19: Reactor de Agua en Ebullición (BWR)

1. Núcleo 2. Barras de Control 3. Cambiador Sodio 4. Separador 5. vasija

Sodio

6. Turbina 7. Alternador 8. Bomba de Condensado 9. Condensador 10. Agua de Refrigeración

Figura 1.20: Reactor Reproductor Rápido

20

Figura 1.21: Reactor Enfriado por Gas (CGR) Fusión Nuclear: Tecnología no disponible en la actualidad, basada en la liberación de energía proveniente de la fusión de átomos ligeros que se obtiene a millones de grados de temperatura. El desafío de la fusión implica un doble reto: aumentar la velocidad de desplazamiento de las partículas y mantenerlas juntas, de manera que un número suficiente de ellas reaccione. Con ello se busca conseguir un gas sobrecalentado de manera que los electrones salgan despedidos de sus órbitas y en ese estado de disgregación de la materia, llamado plasma, las partículas cargadas puedan ser controladas por un campo magnético. En la actualidad la tecnología de la fusión se encamina fundamentalmente por dos vías: la magnética de los reactores llamados Tokamak , que en síntesis es un dispositivo toroidal, y los de Espejo , que es un dispositivo lineal, cuyo principal desarrollo se encuentra en los laboratorios de Estados Unidos y Rusia. La otra vía es la del confinamiento inercial, con intervención del láser. La energía ilimitada que los reactores de fusión generarían y la casi despreciable contaminación de sus deshechos radioactivos que se producirían, explican que los reactores de fusión sean el gran desafío de la ciencia actual y los enormes recursos que los países más desarrollados invierten en tales proyectos. La solución óptima sería el lograr una fusión fría , dado que el principal problema consiste en la actualidad en lograr durante un tiempo suficiente la elevada temperatura requerida, en condiciones controladas, para desencadenar el proceso. La figura 1.22, muestra un reactor de fusión, del tipo toroidal descrito anteriormente.

Figura 1.22: Reactor de Fusión Otro tipo de centrales térmicas, son las Geotérmicas, figura 1.23, en que básicamente se aprovecha la

21 temperatura de la tierra, en forma de una concentración de calor, producida por diversas razones, tales como reacciones exotérmicas, zonas volcánicas o yacimientos de minerales radioactivos. Esta concentración de calor, se puede aprovechar mediante una corriente de agua existente o inyectada, para la producción de energía útil. Hay dos clases de geotermia, de baja temperatura y de alta temperatura. La primera de ellas corresponde a yacimientos subterráneos de agua caliente, con temperaturas que en general no sobrepasan los 90 ºC y se encuentran a profundidades normalmente accesibles por sondeo. La geotermia de alta temperatura se presenta bajo cuatro modalidades, el vapor seco, el vapor húmedo, la roca seca caliente y los depósitos de geopresión. La primera de ellas es la de más fácil aprovechamiento y el ejemplo más antiguo de esta aplicación, corresponde a las instalaciones de Larderello y Monte Amiata con 420 MW en Italia, siendo la más importante la de San Francisco en USA con 900 MW. Existen otros aprovechamientos en México, e Islandia y sitios con alto potencial en Centro y Sur América. En Chile el yacimiento más conocido es el de El Tatio al interior de Antofagasta, que según prospecciones realizadas en su momento, podría producir algunos cientos de kW, aunque últimamente el proyecto más avanzado es el de Calabozo en la Laguna de El Maule que usará una nueva tecnología desarrollada en USA en los últimos años, que se conoce como "tubos de potencia". Esta nueva opción energética, aprovecha las mayores temperaturas que hay en el subsuelo terrestre para generar electricidad. A diferencia de la geotermia convencional, los "tubos de potencia" no necesitan agua o vapor, ya que para generar electricidad se instalan módulos y un generador bajo la superficie. Para ello, se requiere realizar perforaciones de 116 centímetros de diámetro, que lleguen a profundidades en que el calor esté sobre 105 ºC. Los prototipos que hay en Austin y Houston necesitaron 6 mil metros para alcanzar esas temperaturas. Ese calor se necesita para calentar los tubos de la caldera. Estos contienen aceites, que al gasificarse ejercen presión para poner en rotación una turbina, que está acoplada a un generador. Una vez que se realiza ese proceso, el gas que asciende es nuevamente condensado, permitiendo reutilizar el aceite en un nuevo ciclo. Mientras haya calor estas plantas están operativas el 100% del tiempo. Sólo se requieren seis horas y media, cada cinco años, para realizar las mantenciones. La figura 1.23 muestra una planta geotérmica convencional.

Figura 1.23: Planta Geotérmica convencional Finalmente, dentro de las centrales térmicas están las plantas OTEC (Ocean Thermal Energy Conversion) y las Termo solares. La figura 1.24, muestra un esquema básico de la operación de la primera de estas centrales. Estas obtienen la energía, mediante un ciclo termodinámico, aprovechando la diferencia de temperatura existente en el agua del mar a distintas profundidades. Las corrientes marinas templadas, provenientes del trópico, calientan un fluido térmico de bajo punto de ebullición (por ejemplo amoníaco) el que convertido en gas, acciona una turbina. A la salida de ésta, el amoníaco es condensado por una corriente de agua fría situada a una mayor profundidad.

22 Los costos de las componentes de la central, tuberías (pueden alcanzar entre 600 y 1.000 metros para tener el gradiente de temperatura adecuado entre los focos caliente y el frío), turbina y cambiadores de calor, son muy elevados lo que ha hecho que esta tecnología no se haya desarrollado hasta la fecha.

Figura 1.24: Esquema de una Planta OTEC Por último, las Centrales Termo solares, son similares a una planta térmica convencional, con la peculiaridad de que el calor empleado para producir el vapor que acciona el grupo turboalternador proviene de la radiación solar concentrada en un sistema receptor. Según la forma de concentrar la radiación solar, estas centrales pueden ser de dos tipos: De Colector Central y de Colector Distribuido. En el primer caso, la radiación solar se concentra en un receptor colocado en una torre mediante grandes espejos (helióstatos), que se orientan automáticamente siguiendo el curso del sol. Las centrales del segundo tipo, concentran la radiación solar mediante espejos parabólicos en tubos que llevan un fluido térmico, siguiendo la línea focal del colector. En general estas centrales requieren de un sistema de almacenamiento de calor para funcionar en horas nocturnas o en días nublados. En España, Almería, existe un centro de ensayo para este tipo de tecnología, en donde hay instaladas una central de colector central de 1 MW, instalada en 1982 y dos de 0,5 MW, instaladas en el año 1981, de las que una de ellas es de colector central y la otra de colector distribuido. La figura 1.25, muestra una central del primer tipo.

Figura 1.25: Central Termosolar de Colector Central - Energía Eólica: Convierte la energía del viento en energía eléctrica mediante una aeroturbina que hace

23 girar un alternador. La máquina aprovecha el flujo dinámico de duración cambiante y con desplazamiento horizontal del viento. La cantidad de energía obtenida es proporcional al cubo de la velocidad del viento, lo que muestra la importancia de este factor. El procedimiento es viable para una gama de vientos comprendidos entre los 5 y 20 m/s. Para velocidades inferiores a 5 m/s el aparato no funciona y por encima del límite superior debe detenerse para evitar averías, poniéndose en bandera. Las principales limitaciones de estas máquinas, se presentan por el límite impuesto a la eficiencia de ellas. En efecto el coeficiente de Betz, establece un límite teórico máximo inferior al 60 %, lo que obliga a que las aspas sean de grandes dimensiones para obtener potencias elevadas. En general, aunque el viento tiene un comportamiento muy aleatorio en cortos intervalos, en grandes períodos de tiempo es bastante predecible. Ello ha llevado a la construcción de importantes Granjas Eólicas, de las que las más conocidas son las de California en USA, cuyo aporte al sistema eléctrico es significativo. Sin embargo, siempre deben operar con el respaldo de un sistema, dado que la ausencia de viento impide la generación. En la actualidad la tecnología más difundida es la de rotor horizontal, por su madurez, sin embargo también se han desarrollado las máquinas de rotor vertical (del tipo Darrieus o variantes de éste con geometría variable). El inconveniente de estas máquinas es que carecen de suficiente torque de arranque, pero su ventaja en relación a las máquinas de rotor horizontal es que el generador está ubicado a ras del suelo, en lugar de estar en la cúspide de la torre como ocurre con aquellas. En USA, se han construido generadores experimentales de 2,5 MW y en Suecia de 3 MW con torre de 70 metros de altura. La figura 1.26a), muestra una máquina de rotor horizontal y la b) una de rotor Vertical.

a)

b)

Figura 1.26: Centrales Eólicas. a) Rotor Horizontal; b) Rotor Vertical - Energía Solar: El último tipo de energía aprovechable para generación de grandes potencias, puede

24 ser, a futuro, el denominado sistema fotovoltaico. El gran inconveniente que presenta en la actualidad es el bajo rendimiento de estos sistemas, del orden de un 12 %, lo que obliga a que los paneles que portan las células fotovoltaicas, deban ocupar enormes superficies para generar potencias significativas, por lo que actualmente, la tecnología está siendo empleada solamente para producir pequeñas potencias en lugares aislados que permiten atender radio estaciones, ayudas de navegación aérea, consumos domésticos, etc. El principio de funcionamiento de estos sistemas es la generación de corriente continua debido a la excitación que sufren los electrones de ciertos semiconductores como por ejemplo silicio, sulfuro de cadmio, fosfuro de indio, etc. debido a la incidencia de la radiación solar La base de la generación son las celdas fotovoltaicas, cuya corriente típica es del orden de los 0,2 A. a una tensión de 0,5 V. De este modo, para lograr potencias significativas, se deben realizar arreglos de grandes unidades conectadas entre sí, lo cual ha limitado su aplicación. La figura 1.27 muestra una aplicación de muy baja escala

. Figura 1.27: Sistema Fotovoltaico 1.4.2: Oferta de la Energía Eléctrica en Chile: Según cifras de la Comisión Nacional de Energía (CNE), el sector Eléctrico en Chile, año 2001, tenía la composición que se muestra en la tabla Nº 1.2: Tabla Nº 1.2: Composición de la Oferta del Sector Eléctrico en Chile al año 2001 Sistema

Potencia Bruta [MW] Hidroenergía

SING

Térmica

Total

13,390

3.437,550

3.450,940

4.025,800

2.548,900

6.574,700

AYSEN

4,060

13,050

17,110

MAGALLANES

0,000

64,500

64,500

ISLA DE PASCUA

0,000

2,775

2,775

4.043,250

6.066,775

10.110,025

SIC

TOTAL

Fuente: Comisión Nacional de Energía En cuanto a la disponibilidad de fuentes de energía primaria, los recursos hídricos y su ubicación se muestran en la tabla siguiente:

25 Tabla Nº 1.3: DISTRIBUCION GEOGRAFICA DEL POTENCIAL HIDROELECTRICO CHILENO POTENCIA [MW] ZONA

TOTAL VIABLE DE EXPLOTAR (Est.)

NORTE: I A IV REGIONES CENTRO SUR: V A X REGIONES AUSTRAL: XI Y XII REGIONES TOTAL PAIS

EN EXPLOTACION

% EXPLOTADO

POSIBLE DE EXPLOTAR

200

27

13,50%

173

14.430

4.009

27,78%

10.421

5.800

9

0,16%

5.791

20.430

4.045

19,80%

16.385

Fuente: Comisión Nacional de Energía Desde el punto de vista del abastecimiento de energéticos primarios, las cifras y predicciones de la CNE, señalan la siguiente composición para los años 1997, 2005 y 2015, expresados en porcentaje del total requerido: Tabla Nº 1.4: COMPOSICION ESPERADA DE LA OFERTA ENERGETICA EN CHILE AÑO 1997 2005 2015

GAS NATURAL 1% 28 % 24 %

HIDRO 59 % 41 % 44 %

INTERCONEXION 0% 3% 11 %

CARBON 29 % 19 %

PETROLEO 9% 7% 21 % (*)

OTROS 2% 2%

TOTAL 100 % 100 % 100 %

(*): Para el año 2015, se han agrupado las fuentes menos relevantes: carbón, petróleo y otros. Fuente: Comisión Nacional de Energía. 1.5. ASPECTOS BASICOS DE LAS LINEAS ELECTRICAS. En este apartado, se pretende sentar las bases conceptuales del curso de Líneas de Transmisión (Sistemas de Potencia I), entregando algunas definiciones y formalizando un lenguaje común a emplear durante el curso. 1.5.1: Objetivos y Clasificación de las Líneas Eléctricas: Los objetivos de las líneas como componentes de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP), se pueden resumir en: Transmitir la Energía Eléctrica (EE) desde las centrales de generación a los centros de consumo. Distribuir la EE a los consumos individuales Interconectar distintas centrales y/o subestaciones (S/E) entre si, para configurar un sistema más confiable y económico en su operación. No existe una clasificación normalizada para las líneas eléctricas, por lo que se establecerá una como la siguiente: a) Según su Objetivo: Desde este punto de vista, las líneas se clasifican en: -

-

Líneas de Transmisión: Transmiten la Energía Eléctrica (EE) desde las centrales de generación a Subestaciones (S/E) importantes; interconectan centrales o S/E. entre sí. Se caracterizan por transmitir grandes bloques de energía a tensiones elevadas. En Chile los niveles de tensión actualmente en uso son: 66; 110; 154; 220 y 500 kV. En otros países hay líneas de 750, 1100 y 1.750 kV (esta última de tipo experimental). Líneas de Distribución Primaria: Transmiten la EE desde S/E importantes a centros de consumo localizados, grandes ciudades o áreas geográficas específicas. Los valores de tensión usuales son: 12, 13, 2, 15 kV y 23 kV, este último nivel de tensión para distribución rural.

26 -

Líneas de Distribución Secundaria: Tienen por objeto proporcionar la EE a los usuarios que representan consumos pequeños. Las tensiones son 220 y 380 Volts.-

La figura 1.28 siguiente, muestra un diagrama unilineal de un SEP, con diferentes niveles de tensión de operación. Circuito A

13,2 kV

154/12 kV

12/0,38 kV

Consumos

13,2/154 kV

Circuito B

Alimentador de 12 kV Figura 1.28:

Diagrama Unilineal de un SEP, Mostrando los Diferentes Niveles de Tensión a los que Operan las Líneas Eléctricas.

b) Según su Forma Constructiva: De acuerdo a esta alternativa, las líneas se clasifican en: -

Líneas Aéreas: En ellas, los conductores, usualmente desnudos, van montados en estructuras convenientemente aisladas de las fases que conforman la línea por sistemas de aislación apropiados al nivel de tensión de operación de ésta. - Líneas Subterráneas: En este caso los conductores, adecuadamente aislados, van ubicados directamente bajo tierra o bien en ductos especiales. Ambos tipos de líneas se pueden emplear indistintamente en alta o baja tensión. Sin embargo, por razones de economía, se emplean preferentemente las líneas aéreas en alta tensión y subterráneas en media y baja tensión. La línea en mayor tensión subterránea existente en Chile es de 110 kV y alimenta el Metro de Santiago. c) Según su Tensión de Operación: La normativa eléctrica chilena define las líneas según su tensión de operación en: -

Líneas de Baja Tensión (BT): Son aquellas que operan a tensiones menores que 1.000 Volts. Líneas de Media tensión (MT): Las que operan a tensiones comprendidas entre 1 y 60 kV. Líneas de Alta Tensión (AT): Las que operan a tensiones comprendidas entre 60 y 220 kV. Líneas de Extra Alta Tensión (EAT): Las que operan a tensiones mayores de 220 kV.

d) Según su Modelo Eléctrico: Dependiendo del modelo empleado para representarlas, las líneas se clasifican en: -

Líneas Cortas: Son aquellas en que su tensión de operación es menor a 110 kV y su longitud es inferior a 50 km. Líneas de Mediana Longitud: Su tensión de operación es mayor o igual a 110 kV y su longitud está comprendida entre 50 y 200 km. Líneas de Gran Longitud: Su tensión de operación es mayor que 110 kV y su longitud es superior a 200 km.

1.5.2: Caracterización Topológica de los Sistemas Eléctricos: Desde el punto de vista topológico, los sistemas de potencia reciben diferentes denominaciones, dependiendo de la configuración que presentan. Se distinguen los sistemas radiales, en anillo y enmallados. El primero de ellos, se muestra en la figura 1.28. Se caracterizan porque en estos sistemas no existen caminos cerrados. Es decir, las líneas que arrancan de los alimentadores siguen caminos separados sin volver a encontrarse. Desde el punto de vista de la economía, son los más baratos, pero a la vez, desde el punto de vista técnico, ofrecen poca confiabilidad y son sensibles a fallas, que pueden desenergizar todo el alimentador.

27

Figura 1.29: Ejemplo de un Sistema Radial Los Sistemas en Anillo, al menos tienen un lazo, por lo cual mejoran los aspectos de confiabilidad, ya que en caso de alguna falla, parte del sistema se puede mantener operando. La figura 1.30, muestra un ejemplo de este tipo de sistemas.

Figura 1.30: Ejemplo de un Sistema en Anillo Finalmente están los Sistemas Enmallados, en que existen varios lazos dentro de él, por lo que la confiabilidad de este tipo de sistemas aumenta considerablemente en relación a los anteriores, pero también se incrementa su costo. La figura 1.31, muestra un ejemplo de sistema enmallado.

Figura 1.31: Ejemplo de un Sistema Enmallado

28 En la etapa de diseño de un SEP, deberá optarse por uno u otro tipo de sistema, dependiendo de numerosos factores, dentro de los cuales los principales lo representan la confiabilidad que debe tener el sistema y el factor económico. 1.6. CARACTERISTICAS DE ALGUNOS TIPOS DE CONDUCTORES. En general, las principales características de un buen conductor son: elevada conductividad, apropiada resistencia mecánica a la tracción y bajo costo. Adicionalmente en el caso de líneas aéreas, se requiere que sean de bajo peso por unidad de longitud. Los mejores conductores a temperatura ambiente son los metales y de entre éstos, el cobre y el aluminio puros o combinados con acero u otros materiales. De los conductores señalados, el acero tiene la mayor resistencia a la tracción, el cobre la mejor conductividad ( ) y el aluminio el menor peso, cuando se les compara en iguales condiciones de longitud, sección y temperatura de trabajo. En cuanto al cobre, existen tres clases comerciales referente a su resistencia mecánica; duro, semiduro y recocido. Los primeros se trefilan en frío, los segundos con un proceso de recocido antes de las últimas etapas de trefilación y los últimos se someten a un proceso de recocido después de las etapas finales de trefilación. Los fabricantes comerciales de conductores de cobre, le asignan nombres específicos a sus productos y entre los principales tipos empleados en la construcción de líneas se tienen: Conductores macizos, usualmente cilíndricos. Conductores cableados, formado por varios hilos convenientemente trenzados Conductores copperweldt, conductor cableado de cobre, con alma de acero Conductores copperweld-copper conductor cableado de cobre con alma de acero y cobre. En general los conductores macizos se emplean para secciones pequeñas, hasta 16 mm2 aproximadamente, y los cableados para secciones mayores. Los conductores de aluminio puro se fabrican tanto macizos como cableados. En cuanto a los conductores compuestos, el más utilizado es el ACSR. (Aluminium Cable Steel Reinforced) formado por hilos de aluminio, trenzados sobre un núcleo compuesto de hilos de acero. Existen otras denominaciones de fábrica para cables de aluminio, que dependen del tratamiento térmico que se le ha aplicado y tipo de aleación, como por ejemplo: ALDREY, que es una aleación de aluminio magnesio y hierro. La elección del conductor a emplear en la construcción de una línea, depende de varios factores, como por ejemplo ubicación geográfica, limitaciones eléctricas, mecánicas y térmicas y, por supuesto, el factor económico que usualmente es decisivo. 1.7. UNIDADES DE MEDIDA DE LOS CONDUCTORES ELECTRICOS. Para especificar un conductor, además del material de que está fabricado, se debe señalar su diámetro y/o sección. En los países en que se emplea el sistema inglés, el diámetro se especifica en pulgadas o milésimas de pulgada (mil) y el área de la sección transversal en pulg2 o más habitualmente en circular mils (CM). Estas unidades se definen como sigue: 1 Mil = 0,001 pulgada = 10-3 pulgada 1 CM = Area de un conductor cuyo diámetro es igual a 1 mil Entonces: 1 CM =

4

(10

3

pulg) 2

Por tanto: 1 mm2 = 1.973,5 CM.

4

10

6

(25,4001 mm) 2

0,5067

10

3

mm 2

2.000 CM para estimaciones prácticas.

Si el diámetro de un conductor se expresa en mils, su área, expresada en CM resulta igual a d2: A=

4

(d 10

3 2

)

4

10

6 2

d

Por lo cual, la sección de un conductor expresada en CM, resulta igual al cuadrado de su diámetro expresado en mils. En el sistema inglés, es muy utilizado el sistema AWG (American Wire Gage). Este sistema se define en

29 base a una serie de calibres, en el cual la razón entre diámetros consecutivos se mantiene constante. El primer calibre (mayor) se identifica como 4/0 y se le asigna un diámetro de 460 mils, y al calibre Nº 36, último de la serie (menor) se le asigna un diámetro de 5 mils, como se muestra en la tabla siguiente: Tabla Nº 1.5: CALIBRES AWG DE ALGUNOS CONDUCTORES DE COBRE Nº

Diámetro

0000 = 4/0

460/1 = 460

000 = 3/0

460/k

00 = 2/0

460/k2

1

460/k3

2

460/k4

..

..

..

..

36

460/k39 = 5

Esta razón k , entre diámetros consecutivos se calcula a partir de la relación entre los valores extremos: 460 5

460 460

K 39

92

K

39

92

1,1229

K 39 A su vez, la razón entre secciones consecutivas (correspondiente a diámetros sucesivos) será: A1 A2

4

d1 d1

4

2 2

k2

1,261

k

La tabla siguiente muestra algunas secciones y diámetros de conductores Tabla 1.6: SECCIONES Y DIAMETROS DE CONDUCTORES Calibre AWG

Sección en CM

4/0 3/0 2/0 1/0 1 2 3 4 5 6 7 8

211.600 167.860 133.100 105.500 83.690 66.370 52.630 41.740 33.100 26.250 20.820 16.510

Sección en mm2 107,2 85,1 67,4 53,5 42,4 33,6 26,7 21,1 16,8 13,3 10,5 8,4

Diámetro en mm. Calculado Tablas 11,68 13,30 10,41 11,80 9,27 10,50 8,25 9,40 7,35 8,34 6,54 6,54 5,83 5,83 5,19 5,19 4,62 4,62 4,12 4,11 3,66 3,66 3,26 3,26

31 CAPITULO 2: CALCULO DE LOS PARAMETROS DE LAS LINEAS ELECTRICAS. 2.1: DEFINICION CONCEPTUAL DE LOS PARAMETROS. En general, una línea, como componente de un SEP, está constituida por un sistema de conductores separados entre sí por distancias relativamente pequeñas, montados sobre estructuras, de las cuales están convenientemente aisladas y que los mantienen a una distancia adecuada del suelo. En condiciones de operación normal, cada conductor está sometido a una cierta tensión y circulan por ellos corrientes, que establecen campos eléctrico y magnético respectivamente en el espacio ubicado entre los conductores y en el primer caso, entre los conductores y tierra, generándose adicionalmente una pérdida de energía en forma de calor. La figura 2.1. muestra esquemáticamente el caso de una línea formada por dos conductores y recorrida por una cierta corriente instantánea, la disipación de energía que ocurre en la línea y los campos eléctrico y magnético asociados a ella.

i

i

B

E

B

B

B

E

Figura 2.1.

E

Campos Eléctrico y Magnético en una Línea de dos Conductores y la Disipación de Energía que Ocurre.

Esta figura permite visualizar en forma práctica tres de los cuatro parámetros, los relevantes en cualquier condición de operación, de las líneas eléctricas. - Parámetro Resistencia, R: Como la línea está formada por conductores físicos, tiene una resistencia eléctrica que es la principal causante de las pérdidas de energía, que en este caso, se manifiesta en forma de calor, por tanto, este parámetro es de capital importancia en los estudios económicos de transmisión de energía. - Parámetro Inductancia, L: Caracteriza el efecto del campo magnético que rodea a los conductores, el cual produce en ellos efectos de autoinducción e inducción mutua. El parámetro inductancia reunirá a ambos efectos en uno sólo y resulta ser clave en el diseño de las líneas de transmisión, ya que es dominante en relación a los otros parámetros de éstas. - Parámetro Capacidad, C: Representa el efecto del campo eléctrico existente entre los conductores y entre conductores y tierra. Circuitalmente este parámetro constituye un camino de fuga para las corrientes que circulan por los conductores. Como se verá en su oportunidad, las corrientes de fuga

32 dependen de la tensión de operación de la línea y de su longitud, por lo que tendrán importancia en las líneas de mediana y gran longitud.

- Parámetro Conductancia, G: Representa el efecto de las corrientes de fuga desde los conductores a tierra debido a la imperfección del sistema de aislación. Las corrientes de fuga, principalmente fluyen a través de las superficies de los aisladores que soportan a los conductores, cuyas propiedades aislantes varían decisivamente con el estado de sus superficies. En los cálculos normales se desprecia su efecto debido a su valor pequeño y a que no existen expresiones analíticas que permitan su evaluación. Cuando se requiere, las pérdidas debido a la conductancia, se determinan experimentalmente. Los parámetros R y L determinan la impedancia serie de la línea y los parámetros C y G su admitancia shunt o paralelo. En general los parámetros se expresan en unidades/unidad de longitud como se indica: R : [ m] o en /km] L : [H/m] o en [H/km] C : [F/m] o en [F/km] o más habitualmente en [ F/km] atendido al gran tamaño del Farad. G : [ /m] o en [ /km] Obs.: La unidad internacionalmente aceptada para

es el Siemens [S].

Finalmente debe señalarse que las líneas eléctricas de un SEP son en general trifásicas y, en condiciones normales, operan en régimen balanceado. En este caso se calculan los parámetros por fase que permiten reemplazar el circuito trifásico original, por una equivalente monofásico. En caso de operación en régimen desequilibrado, el problema se debe resolver directamente en cantidades de fase o bien en cantidades de secuencia, que se verán en un capítulo posterior. En los apartados que sigue, se calcularán los parámetros por fase de una línea eléctrica. 2.2: CALCULO DEL PARAMETRO RESISTENCIA. En general se distinguen dos tipos de Resistencia eléctrica: óhmica o de C.C. y efectiva o de C.A. La primera responde a la que presenta un conductor recorrido por una corriente continua y la segunda al caso que el conductor sea recorrido por una corriente alterna. Ambas están relacionadas por el denominado efecto pelicular, piel, skin o Kelvin, que depende fundamentalmente de la frecuencia y la permeabilidad magnética del material. La resistencia de un conductor es función de la temperatura, la frecuencia y de sus dimensiones físicas. Para una frecuencia determinada (o nula -C.C.-) la resistencia es una función alineal de la temperatura y se puede representar por una serie como la siguiente: Rt = R0 + a1t + a2 t2 + a3t3 + ...

(2.1)

Sin embargo, dentro del rango habitual de la temperatura de operación para los conductores (entre 0 ºC y 100 ºC, normalmente), se puede aproximar esta serie de potencias por una relación lineal, lo que equivale a considerar que no hay modificación de las dimensiones físicas del conductor. 2.2.1: Resistencia Ohmica (de C.C.): La expresión usual para el cálculo de la resistencia de un conductor de largo ; área de la sección transversal y de resistividad , está dada por: l R= [ (2.2) A En que usualmente las unidades en que están expresados son: l = [m] A = [mm2] =

mm 2 m

33 La resistividad, inversa de la conductividad, es propia de cada material y varía con la temperatura como se aprecia en la figura 2.2. t

t [ºC]

Figura 2.2. : Variación de

con la Temperatura.

Así se puede escribir:

(2.3) t = 0 + c t Donde: en ºC. t : Resistividad del conductor a la temperatura 0 : Resistividad del conductor a la temperatura de 0 ºC c : Pendiente de la recta, que representa la variación de la resistividad por cada grado de aumento de . Este valor es una constante positiva, independiente de la temperatura y propia de cada material. Para otros compuestos, diferente de los metales, puede ser negativa. A partir de esta constante, se define un coeficiente de temperatura tal que: c [ºC-1]: coeficiente de temperatura relativa a 0º . 0= 0

Este coeficiente depende del material y de la temperatura de referencia. Es positivo para los metales, negativo en aislantes en general y aproximadamente cero en ciertas aleaciones como manganina, advance, nicrom, constantan, etc. Dimensionalmente, sus unidades son recíprocas de la temperatura. Si se reemplaza en (2.3.), se tiene: t

=

0

+

0

0

t=

0 (1

+

(2.4)

0 t)

Y combinando esta expresión con (2.2): En que:

Rt = R0 (1 +

0t

(2.5)

)

Rt : Resistencia a la temperatura t ºC. R0 : Resistencia a la temperatura de 0 ºC.

Si se requiere calcular la resistencia a la temperatura t2 conocida la resistencia a una temperatura t1, distinta de 0 ºC. Se puede obtener una relación a partir de (2,5): Rt1 = R0 ( 1 + 0 t1) Rt2 = R0 ( 1 + 0 t2) Entonces, dividiendo miembro a miembro y despejando Rt2, se puede escribir: 1 o t2 Rt2 = R t1 1 o t1 Por otra parte, a veces el valor disponible es c t1 c t1 t1 = 0= t1 c t2 t2 =

1,

a temperatura t1 en lugar de

(2.6) 0,

entonces de (2.3):

34 Así:

t2

=

t1

Si se define:

1=

Entonces:

t2

ct1 + ct2 = c

=

t1 t1

+

t1 +

1

t1

c (t2

(t2

t1)

t1) [1 +

1

(t2

t1)]

(2.7)

Rt2 = Rt1 [1 +

1

(t2

t1)]

(2.8)

t2

=

t1

Por tanto, análogamente a (2.5):

De las relaciones (2.6) y (2.8): 1+

1(t2

Entonces se tiene:

t1) =

1 1

0t 2

0 t1

1

=

1

;

0 0

t1

1

1

(2.9 )

t1

0

Con el objeto de comparar las características eléctricas de los conductores, se ha definido la resistividad de un cobre patrón, normalizado, a 20 ºC de temperatura correspondiente a una muestra de cobre puro de un metro de longitud, un gramo de peso y densidad de 8,89 (gr/mm2). El valor de la resistividad de este cobre patrón es de: 0,0172414 [ /m/mm2] por lo cual su conductividad es de 58 [ /mm2/m]. Comercialmente los conductores se expresan en términos de la conductividad y no de la resistividad y, además, como un porcentaje de la correspondiente al cobre patrón, considerada igual a 100%. La tabla siguiente, muestra algunos conductores usuales y sus características eléctricas. Tabla 2.1: ALGUNAS CARACTERISTICAS DE CONDUCTORES Conductor: Cobre recocido Cobre duro, estirado en frío Aluminio duro, estirado en frío Acero

2

2

[ /mm /m] 100% 97% 62% 12,3%

[ /m/mm ] 0,017241 0,01772 0,02781 0,14017

0 a 0 ºC 0,00427 0,00414 0,00438 0,00471

1 a 20 ºC 0,003934 0,003823 0,004027 0,004305

Las tablas que se incluyen en las páginas siguientes muestran las características de diferentes tipos de conductores: cobre; aluminio; aleación de aluminio y ACSR. En particular se señalan la resistencia óhmica y efectiva, además de otras características que se emplearán posteriormente. 2.1.2: Resistencia Efectiva (de C.A.): La densidad de corriente solamente es uniforme en el caso que el conductor esté recorrido por C.C. En el caso de corriente alterna, a mayor frecuencia, la densidad de corriente se incrementa en la superficie, disminuyendo en la zona central del conductor, fenómeno que se conoce como efecto superficial, pelicular, skin, piel o Kelvin. Esto trae como consecuencia una disminución de la superficie útil del conductor y por tanto un aumento de la resistencia. Esta resistencia se denominará Resistencia efectiva (Re) y se determina normalmente en forma experimental o bien a partir de la resistencia óhmica. En el primer caso, se mide la potencia perdida en el conductor y la corriente que circula por él, tal que: Re =

Pp I 2e

(2.10)

35 Tabla Nº 2. 2: CARACTERÍSTICAS DE CONDUCTORES DE COBRE COMERCIAL Resistencia: 25 ºC

Nº AWG

/km 50 ºC

CC

50 Hz

50 Hz

= 97 %

Componentes de Conductor Xa Xa Reactancia Reactancia Serie: Paralelo: /km M km

---------

1000,00 950,00 900,00 850,00

61 61 61 61

29,30 28,50 27,80 27,00

4595 4365 4136 3905

20,41 19,41 18,37 17,37

1300 1260 1220 1170

0,0365 0,0384 0,0405 0,0429

0,0385 0,0405 0,0424 0,0448

0,0418 0,0440 0,0460 0,0486

0,2816 0,2835 0,2853 0,2868

0,2418 0,2433 0,2447 0,2464

---------

800,00 750,00 700,00 650,00

61 61 61 37

26,20 25,40 24,50 23,60

3676 3447 3216 2987

16,33 15,47 14,42 13,52

1130 1090 1040 990

0,0456 0,0486 0,0521 0,0561

0,0472 0,0501 0,0535 0,0576

0,0513 0,0546 0,0582 0,0626

0,2884 0,2909 0,2934 0,2959

0,2481 0,2499 0,2520 0,2542

---------

600,00 550,00 500,00 450,00

37 37 37 37

22,60 21,70 20,70 19,60

2758 2527 2298 2067

12,25 11,25 10,21 9,28

940 890 840 780

0,0608 0,0663 0,0729 0,0810

0,0620 0,0675 0,0738 0,0818

0,0675 0,0735 0,0805 0,0893

0,2984 0,3012 0,3040 0,3083

0,2564 0,2590 0,2616 0,2631

---------

450,00 400,00 350,00 300,00

19 19 19 19

19,60 18,50 17,30 16,00

2067 1838 1609 1378

9,00 7,96 7,08 6,12

780 730 670 610

0,0810 0,0912 0,1042 0,1215

0,0918 0,0918 0,1046 0,1219

0,0893 0,1002 0,1143 0,1330

0,3083 0,3120 0,3164 0,3207

0,2647 0,2682 0,2720 0,2763

------4/0

300,00 250,00 250,00 211,60

12 19 12 12

16,70 14,60 15,20 14,00

1378 1149 1149 972

5,96 5,10 5,06 4,30

610 540 540 490

0,1215 0,1458 0,1458 0,1723

0,1219 0,1460 0,1460 0,1725

0,1330 0,1597 0,1597 0,1883

0,3182 0,3269 0,3238 0,3288

0,2740 0,2817 0,2790 0,2838

4/0 3/0 2/0 1/0

211,60 167,80 133,10 105,50

7 7 7 7

13,30 11,80 10,50 9,40

972 771 616 485

4,15 3,34 2,69 2,16

480 420 360 310

0,1723 0,2173 0,2738 0,3455

0,1725 0,2173 0,2738 0,3455

0,1883 0,2374 0,2989 0,3765

0,3356 0,3425 0,3499 0,3574

0,2871 0,2938 0,3004 0,3071

1 1 2 2

83,69 83,69 66,37 66,37

7 3 7 3

8,34 9,14 7,41 8,12

384 381 305 302

1,73 1,64 1,38 1,32

270 270 230 240

0,4356 0,4340 0,5494 0,5450

0,4356 0,4340 0,5494 0,5450

0,4753 0,4704 0,5990 0,5934

0,3648 0,3630 0,3717 0,3704

0,3137 0,3083 0,3203 0,3151

2 3 3 3

66,37 52,63 52,63 52,63

1 7 3 1

6,54 6,60 7,24 5,83

299 242 240 237

1,36 1,10 1,07 1,11

220 200 200 190

0,5386 0,6928 0,6858 0,6792

0,5386 0,6928 0,6858 0,6792

0,5872 0,7556 0,7481 0,7407

0,3754 0,3791 0,3779 0,3829

0,3274 0,3270 0,3216 0,3341

4 4 5 5

41,74 41,74 33,10 33,10

3 1 3 1

6,45 5,19 5,74 4,62

190 188 151 149

0,85 0,89 0,68 0,72

180 170 150 140

0,8650 0,8562 1,0874 1,0790

0,8650 0,8562 1,0874 1,0790

0,9432 0,9339 1,1893 1,1775

0,3847 0,3897 0,3922 0,3972

0,3282 0,3409 0,3349 0,3475

6 6 7 8

26,25 26,25 20,82 16,51

3 1 1 1

5,10 4,11 3,66 3,26

120 118 94 74

0,55 0,58 0,47 0,37

130 120 110 90

1,3732 1,3620 1,7170 2,1650

1,3732 1,3620 1,7170 2,1650

1,4975 1,4851 1,8703 2,3612

0,3996 0,4046 0,4114 0,3673

0,3417 0,3540 0,3606 0,3673

(*): Para conductores a 75 ºC; ambiente a 25 ºC; suave brisa de 2,2 [km/hr]

36 Tabla Nº 2.3: CARACTERÍSTICAS DE CONDUCTORES DE ALUMINIO Resistencia: 25 ºC

= 62 % /km 50 ºC

CC

50 Hz

50 Hz

Componentes de Conductor Xa Xa Reactancia Reactancia Serie: Paralelo: /km M km

Jessamine Coreopsis Gladiolus Carnation

1750,0 1590,0 1510,5 1431,0

61 61 61 61

38,7 36,9 36,0 35,0

2446 2226 2116 2005

14,90 13,59 12,91 12,23

1550 1460 1410 1370

0,0326 0,0359 0,0378 0,0399

0,0346 0,0381 0,0399 0,0419

0,0378 0,0415 0,0435 0,0457

0,2618 0,2673 0,2702 0,2704

0,2260 0,2285 0,2298 0,2313

Columbine Narcissus Hawthorn Marigold

1351,5 1272,0 1192,5 1113,0

61 61 61 61

34,0 33,0 32,0 30,9

1893 1781 1670 1560

11,80 11,09 10,62 9,91

1320 1270 1220 1160

0,0423 0,0449 0,0479 0,0513

0,0442 0,0467 0,0496 0,0529

0,0482 0,0510 0,0542 0,0578

0,2725 0,2740 0,2762 0,2782

0,2331 0,2348 0,2367 0,2387

Larkspur 1033,5 Bluebell 1033,5 Goldenrod 954,0 Magnolia 954,0

61 37 61 37

29,8 29,8 28,6 28,6

1445 1445 1333 1333

8,28 8,84 7,65 8,16

1130 1130 1080 1080

0,0553 0,0553 0,0599 0,0599

0,0568 0,0568 0,0613 0,0613

0,0621 0,0621 0,0671 0,0671

0,2808 0,2813 0,2834 0,2839

0,2408 0,2408 0,2429 0,2431

Crocus Anemone Lilac Arbutus

874,5 874,5 795,0 795,0

61 37 61 37

27,3 27,3 26,1 26,0

1222 1222 1111 1111

7,87 7,47 6,50 6,94

1020 1020 960 960

0,0652 0,0652 0,0721 0,0721

0,0664 0,0664 0,0732 0,0732

0,0728 0,0728 0,0803 0,0803

0,2860 0,2864 0,2890 0,2896

0,2454 0,2456 0,2483 0,2483

Petunia Nasturtium Violet Orchid

750,0 715,5 715,5 636,0

37 61 37 37

25,3 24,8 24,7 23,3

1048 1000 1000 889

6,55 5,96 6,38 5,67

930 900 900 830

0,0765 0,0795 0,0795 0,0895

0,0776 0,0805 0,0805 0,0904

0,0852 0,0884 0,0884 0,0993

0,2909 0,2922 0,2927 0,2963

0,2497 0,2512 0,2514 0,2547

Mistletoe Dahlia Zinnia Syringa

556,5 556,5 500,0 477,0

37 19 19 37

21,8 21,8 20,6 20,2

774 774 696 664

4,46 4,76 4,28 3,90

760 760 710 690

0,1025 0,1025 0,1142 0,1199

0,1033 0,1033 0,1150 0,1206

0,1135 0,1135 0,1265 0,1325

0,3005 0,3014 0,3051 0,3057

0,2585 0,2587 0,2617 0,2630

Cosmos Canna Tulip Peony

477,0 397,5 336,4 300,0

19 19 19 19

20,1 18,4 16,9 16,0

664 553 467 417

4,08 3,47 3,00 2,67

690 610 550 510

0,1199 0,1435 0,1696 0,1910

0,1206 0,1325 0,1441 0,1584 0,1701 0,1870 0,1917 0,2107

0,3067 0,3117 0,3174 0,3211

0,2630 0,2682 0,2730 0,2764

Laurel Daisy Oxlip Phlox

266,8 266,8 211,6 167,8

19 7 7 7

15,1 14,9 13,3 11,8

369 369 293 232

2,18 2,28 1,81 1,44

475 475 410 350

0,2144 0,2144 0,2697 0,3405

0,2148 0,2148 0,2700 0,3407

0,2363 0,2363 0,2970 0,3748

0,3247 0,3282 0,3351 0,3430

0,2798 0,2803 0,2871 0,2938

Aster Poppy Pansy Iris

133,1 105,6 83,7 66,4

7 7 7 7

10,6 9,4 8,3 7,4

184 146 116 92

1,19 0,94 0,78 0,63

305 260 225 195

0,4294 0,5412 0,6823 0,8606

0,4296 0,5414 0,6824 0,8607

0,4726 0,5956 0,7508 0,9470

0,3502 0,3574 0,3646 0,3719

0,3002 0,3070 0,3135 0,3203

Lily Rose Peachbell

52,6 41,7 26,2

7 7 7

6,6 5,9 4,7

73 58 36

0,52 0,41 0,25

175 145 105

1,0855 1,0856 1,1944 1,3683 1,3684 1,5056 2,1773 2,1773 2,3956

0,3791 0,3866 0,4011

0,3268 0,3334 0,3467

(*): Para conductores a 75 ºC; ambiente a 25 ºC; suave brisa de 2,2 [km/hr]

37 Tabla Nº 2.4: CARACTERISTICAS DE CONDUCTORES DE ALEACION DE ALUMINIO Resistencia: 25 ºC

/km 50 ºC

CC

50 Hz

50 Hz

Componentes de Conductor Xa Xa Reactancia Reactancia Serie: Paralelo: /km M km

Tola Tincal Turret Tenet

1750,0 1700,0 1600,0 1500,0

61 61 61 61

38,7 38,2 37,0 35,8

2445 2375 2235 2095

19,10 18,51 17,46 17,33

1470 1450 1390 1340

0,0370 0,0382 0,0408 0,0434

0,0393 0,0405 0,0430 0,0458

0,0429 0,0442 0,0472 0,0499

0,2618 0,2644 0,2671 0,2692

0,2260 0,2265 0,2283 0,2302

Tasset Taper Taker Tetro

1400,0 1300,0 1250,0 1200,0

61 61 61 61

34,6 33,4 32,7 32,1

1955 1816 1746 1677

16,15 15,20 14,61 14,06

1280 1220 1190 1160

0,0464 0,0500 0,0520 0,0543

0,0487 0,0522 0,0540 0,0562

0,0531 0,0570 0,0591 0,0614

0,2713 0,2735 0,2749 0,2760

0,2321 0,2341 0,2354 0,2364

Spate 0Saker Greeley Solar

1100,0 1000,0 927,2 927,2

37 37 37 37

30,7 29,2 28,1 28,1

1537 1397 1295 1295

12,11 11,02 13,83 10,84

1100 1050 990 1000

0,0592 0,0651 0,0714 0,0701

0,0610 0,0669 0,0730 0,0717

0,0667 0,0731 0,0800 0,0785

0,2790 0,2822 0,2846 0,2846

0,2390 0,2418 0,2440 0,2440

Sora Flint Spar Sural

833,6 740,8 740,8 704,6

37 37 37 37

26,7 25,1 25,1 24,5

1165 1035 1035 984

9,71 11,07 8,75 8,44

940 860 870 840

0,0780 0,0895 0,0878 0,0924

0,0794 0,0908 0,0891 0,0936

0,0870 0,0997 0,0978 0,1027

0,2878 0,2917 0,2917 0,2932

0,2469 0,2505 0,2505 0,2519

Elgin Rune Ruble Darien

652,4 652,4 587,2 559,5

19 19 19 19

23,5 23,5 22,3 21,8

911 911 820 782

9,93 7,35 6,62 8,53

790 800 750 720

0,1017 0,0997 0,1109 0,1184

0,1027 0,1007 0,1120 0,1193

0,1128 0,1106 0,1230 0,1311

0,2966 0,2966 0,2999 0,3014

0,2543 0,2543 0,2573 0,2585

Remex Rex Cairo Ragout

559,5 503,6 465,4 465,4

19 19 19 19

21,8 20,7 19,9 19,9

782 703 650 650

6,31 5,67 7,08 5,53

730 680 640 640

0,1161 0,1293 0,1425 0,1398

0,1170 0,1286 0,1302 0,1431 0,1433 0,1575 0,1406 0,1545

0,3014 0,3046 0,3071 0,3071

0,2585 0,2615 0,2638 0,2638

Rede Canton Radian Radar

419,6 394,5 394,5 355,1

19 19 19 19

18,9 18,3 18,3 17,4

586 551 551 496

5,08 6,03 4,76 4,35

600 570 580 540

0,1550 0,1681 0,1648 0,1833

0,1558 0,1688 0,1655 0,1837

0,1710 0,1855 0,1819 0,2021

0,3103 0,3124 0,3124 0,3155

0,2667 0,2686 0,2686 0,2714

Butte Ramie Ratch Alliance

312,8 312,8 281,4 246,9

19 19 19 7

16,3 16,3 15,5 14,3

437 437 393 345

4,99 3,83 3,45 3,88

490 500 465 420

0,2119 0,2079 0,2313 0,2685

0,2125 0,2085 0,2317 0,2690

0,2336 0,2292 0,2549 0,2959

0,3196 0,3196 0,3228 0,3306

0,2752 0,2752 0,2781 0,2827

Kittle Amherst Kopeck Anaheim

246,9 195,7 195,7 155,4

7 7 7 7

14,3 12,8 12,8 11,4

345 273 273 217

2,87 3,08 2,28 2,44

425 365 365 315

0,2635 0,3389 0,3323 0,4277

0,2640 0,3393 0,3327 0,4280

0,2904 0,3732 0,3659 0,4708

0,3306 0,3375 0,3375 0,3448

0,2827 0,2890 0,2890 0,2956

Kayak Azusa Kibe Ames

155,4 123,3 123,3 77,5

7 7 7 7

11,4 10,1 10,1 8,0

217 172 172 108

1,94 2,02 1,56 1,27

315 270 275 200

0,4178 0,5363 0,5264 0,8554

0,4180 0,5365 0,5266 0,8555

0,4599 0,5903 0,5794 0,9413

0,3448 0,3524 0,3524 0,3671

0,2956 0,3026 0,3026 0,3159

Kench Alton Kaki Akron

77,5 48,7 48,7 30,6

7 7 7 7

8,0 6,4 6,4 5,0

108 68 68 43

1,01 0,80 0,65 0,50

205 150 150 110

0,8390 1,3621 1,3357 2,1681

0,8391 1,3622 1,3358 2,1681

0,9232 1,4987 1,4697 2,3855

0,3671 0,3811 0,3811 0,3966

0,3159 0,3287 0,3287 0,3428

(*): Para conductores a 75 ºC; ambiente a 25 ºC; suave brisa de 2,2 [km/hr]

38 Tabla Nº 2.5: CARACTERÍSTICAS DE CONDUCTORES DE ALUMINIO REFORZADO CON ACERO (ACSR) Resistencia: 25 ºC

/km 50 ºC

CC

50 Hz

50 Hz

Componentes de Conductor Xa Xa Reactancia Reactancia Serie: Paralelo: M km /km

Chukar Falkon Parrot Plover

1780,0 1590,0 1510,5 1431,0

84/19 54/19 54/19 54/19

40,7 39,2 38,2 37,2

3086 3028 2877 2725

24,31 25,45 24,18 22,86

1440 1350 1310 1260

0,0324 0,0365 0,0384 0,0405

0,0326 0,0367 0,0386 0,0407

0,0372 0,0419 0,0441 0,0465

0,2587 0,2605 0,2623 0,2636

0,2229 0,2250 0,2263 0,2281

Martin Pheasant Grackle Finch

1351,5 1272,0 1192,5 1113,0

54/19 54/19 54/19 54/19

36,2 35,4 34,0 32,8

2574 2422 2271 2120

21,60 20,32 19,55 18,24

1220 1170 1120 1070

0,0429 0,0456 0,0487 0,0521

0,0431 0,0458 0,0488 0,0523

0,0492 0,0522 0,0556 0,0595

0,2654 0,2673 0,2698 0,2716

0,2296 0,2313 0,2333 0,2352

Curlew Cardinal Canary Crane

1033,5 954,0 900,0 874,5

54/7 54/7 54/7 54/7

31,7 30,4 29,5 29,1

1979 1826 1723 1674

16,85 15,54 14,65 14,25

1020 990 960 940

0,0561 0,0608 0,0646 0,0665

0,0564 0,0610 0,0646 0,0665

0,0637 0,0695 0,0730 0,0757

0,2741 0,2766 0,2785 0,2791

0,2373 0,2396 0,2412 0,2421

Condor Drake Mallard Crow

795,0 795,0 795,0 715,5

54/7 26/7 30/19 54/7

27,8 28,1 29,0 26,3

1522 1624 1833 1370

12,95 14,18 17,44 11,95

880 890 880 820

0,0727 0,0727 0,0727 0,0814

0,0733 0,0727 0,0727 0,0814

0,0844 0,0800 0,0800 0,0915

0,2822 0,2810 0,2779 0,2853

0,2448 0,2439 0,2423 0,2477

Starling Redwing Gull Flamingo

715,5 715,5 666,6 666,6

26/7 30/19 54/7 24/7

26,7 27,4 25,4 25,4

1462 1648 1276 1277

12,75 15,69 11,14 10,77

830 820 790 790

0,0814 0,0814 0,0870 0,0870

0,0814 0,0814 0,0876 0,0876

0,0896 0,0896 0,0989 0,0989

0,2841 0,2816 0,2878 0,2882

0,2470 0,2454 0,2499 0,2500

Goose Grosbeak Egret Rook

636,0 636,0 636,0 636,0

54/7 26/7 30/19 24/7

24,8 25,2 25,9 24,8

1218 1299 1466 1219

10,73 11,34 14,33 10,27

760 770 760 760

0,0913 0,0913 0,0913 0,0913

0,0920 0,0913 0,0913 0,0913

0,1043 0,1005 0,1005 0,1005

0,2890 0,2884 0,2853 0,2897

0,2512 0,2504 0,2487 0,2514

Duck Teal Squab Peacock

605,0 605,0 605,0 605,0

54/7 30/19 26/7 24/7

24,2 25,2 24,5 24,2

1158 1397 1268 1159

10,21 13,63 10,95 9,80

730 730 740 740

0,0957 0,0960 0,0957 0,0957

0,0963 0,0965 0,0957 0,0963

0,1091 0,1075 0,1069 0,1075

0,2909 0,2871 0,2897 0,2912

0,2526 0,2500 0,2518 0,2527

Dove Eagle Parakeet Heron

556,5 556,5 556,5 500,0

26/7 30/7 24/7 30/7

23,6 24,2 23,2 23,0

1137 1293 1067 1162

10,19 12,36 9,00 11,09

700 700 700 680

0,1044 0,1044 0,1044 0,1162

0,1044 0,1044 0,1051 0,1162

0,1115 0,1115 0,1120 0,1280

0,2921 0,2897 0,2937 0,2928

0,2541 0,2526 0,2550 0,2556

Hawk Hen Flicker Ibis

477,0 477,0 477,0 397,5

26/7 30/7 24/7 26/7

21,8 22,4 21,5 19,9

975 1108 914 812

8,82 10,59 7,80 7,34

640 630 630 560

0,1218 0,1218 0,1218 0,1460

0,1218 0,1218 0,1218 0,1460

0,1342 0,1342 0,1342 0,1609

0,2971 0,2940 0,2987 0,3027

0,2585 0,2570 0,2595 0,2637

Lark Linnet Oriole Ostrich

397,5 336,4 336,4 300,0

30/7 26/7 30/7 26/7

20,4 18,3 18,8 17,3

923 687 782 613

9,06 6,38 7,74 5,73

560 510 510 470

0,1460 0,1727 0,1727 0,1932

0,1460 0,1727 0,1727 0,1932

0,1609 0,1901 0,1901 0,2125

0,2996 0,3083 0,3052 0,3120

0,2620 0,2684 0,2670 0,2718

Piper Partridge Penguin Pigeon

300,0 266,8 211,6 167,8

30/7 26/7 6/1 6/1

17,8 16,3 14,3 12,7

697 545 433 343

7,00 5,10 3,82 3,03

480 440 360 315

0,1932 0,2175 0,2745 0,3460

0,1932 0,2175 0,2745 0,3465

0,2125 0,2392 0,3015 0,3805

0,3089 0,3151 0,3755 0,3959

0,2703 0,2751 0,2828 0,2893

Quail Raven Robin Sparrow

133,1 105,5 83,7 66,4

6/1 6/1 6/1 6/1

11,3 10,1 9,0 8,0

272 216 171 136

2,43 1,94 1,59 1,27

270 235 205 180

0,4370 0,5500 0,6960 0,8550

0,4375 0,5500 0,6960 0,8550

0,4800 0,6050 0,7650 0,9400

0,4064 0,4145 0,4189 0,4190

0,2959 0,3026 0,3090 0,3160

(*): Para conductores a 75 ºC; ambiente a 25 ºC; suave brisa de 2,2 [km/hr]

39 Se define un coeficiente que relaciona las resistencias efectiva y óhmica que es función de la frecuencia, la permeabilidad y las dimensiones del conductor. Se tiene: k = Re/R

Re = k R

(2.11) 2

Ejemplo 2.1: Calcular la resistencia óhmica de un conductor de cobre estirado en frío de 33,63 mm de sección (66,37 MCM) a 25 ºC y 50 ºC; en las siguientes situaciones. Expresar los valores en [ /km]. a) El conductor es macizo b) El conductor es de 3 hilos c) El conductor es de 7 hilos Solución: Para cada uno de los conductores, se tendrá: a) Conductor macizo: 2 De la tabla 2.1: 20 ºC = 0,01772 [ /m/mm ] 3 0,01772 10 De (2.2): R 20 ºC = = 0,5269 [ /km] 33,63 -1 De (2.6) y de la misma tabla 2.1; con 0 = 0,00414 [ºC ] R25 ºC =

1 0,00414 25 1 0,00414 20

R 50 ºC =

1 0,00414 50 1 0,00414 20

0,5269 = 0,537 [ / km]

0,5269 = 0,5873 [

(*)

/km]

Nota: (*): Se pudo haber calculado con (2.8): Considerando: (t1=20 ºC

(*) 1=

0,003823 [ºC-1] )

b) Los conductores cableados, aunque tengan igual sección y longitud que uno macizo, presentan una mayor resistencia debido a que las hebras componentes van trenzadas, por lo que su longitud es mayor que la del cable mismo. En general, para representar este efecto, se suele considerar un incremento porcentual de la longitud y por ende de la resistencia, como el señalado: -

Para conductores de 3 hilos: aumento de 1% Para conductores de 7 hilos: aumento de 2% Para conductores de más de 11 hebras aumento de 3%

Usando este criterio se tiene: - Conductor de 3 hebras: R 25 ºC = 0,537*1,01 = 0,5424 [ /km] R 50 ºC = 0,5873 *1,01 = 0,5932 [ /km] - Conductor de 7 hebras: R 25 ºC = 0,537*1,02 = 0,5477 [ /km] R 50 ºC = 0,5873 *1,02 = 0,599 [ /km] Puede apreciarse que estos valores son prácticamente coincidentes con los valores dados por los fabricantes y contenidos en las tablas anteriores.

40 Ejemplo 2.2: Calcular la resistencia óhmica en [ /km] a 50 ºC de un conductor ACSR (54/7) formado por 54 hilos de aluminio y 7 de Acero 954 MCM de sección. Las hebras de aluminio y acero tienen el mismo diámetro de 3,38 mm. Solución: Los conductores de aluminio y acero están en paralelo y tienen resistencias distintas que se deben evaluar por separado, como se muestra a continuación: a): Resistencia de la sección de aluminio: 3,38 2 = 484,526 [mm2] 4 Resistencia a 20 ºC. De la tabla 2.1 y consideración anterior del inciso b) del problema anterior: 0,02781 10 3 1,03 R 20 ºC = = 0,0591 [ /km] 484,526

Area = A1 = 54

De (2.8): R 50 ºC = 0,0591(1 + 0,004027* 30) = 0,0663 [ /km]

(*)

b): Resistencia del alma de Acero: 3,38 2 = 62,8089 [mm2] 4 Resistencia a 20 ºC: 0,14017 10 3 1,02 R20ºC = = 2,2763 [ /km] 62,8089 A2 = 7

R50ºC = 2,2763 (1+ 0,004305*30) = 2,5703 [ /km]

(*)

Resistencia equivalente del conductor completo a 50ºC. 0,0663 2,5703 = 0,0646 [ /km] 0,0663 2,5703 (*) Se pudo evaluar usando la expresión (2.6) al igual que en el caso del ejemplo 2.1. R=

2.3: CALCULO DEL PARAMETRO INDUCTANCIA Y DE LA REACTANCIA INDUCTIVA. 2.3.1: Caso de un Sólo Conductor: Para establecer las consideraciones generales que permitan el cálculo de y XL , se considerará inicialmente el caso de un único conductor recorrido por una corriente. Instantánea . Su retorno ocurre por un conductor, tan alejado del primero, que su efecto sobre éste es despreciable. La figura siguiente ilustra esta situación:

i

e i

e

Figura 2.3: Flujos Interno y Externo Asociados a un Conductor Recorrido por una Corriente Instantánea . De acuerdo con la ley de Faraday-Henry, abreviadamente se puede escribir:

41 d di Ahora bien, si el flujo se establece en un medio lineal, de permeabilidad constante, se tendrá: L=

(2.12)

L=

(2.13) i El valor de , y por tanto el de la inductancia, depende, como en el caso de la figura anterior, del flujo interno i y del flujo exterior e que rodea al conductor. Por ello, para el cálculo de la inductancia total del conductor se evaluará el flujo enlazado interno i y su inductancia asociada Li y luego la componente debido al flujo enlazado externo e y su inductancia asociada Le . Finalmente como se ha supuesto un medio lineal, se cumple el principio de superposición y la inductancia total será la suma de ambas componentes. a): Cálculo del Flujo Enlazado Interno y su Inductancia Asociada: Considérese la figura siguiente para graficar la aplicación de la Ley de Ampere: dx x

C r

Figura 2.4: Corte del Conductor para el Cálculo del Flujo Interno. Si se aplica la ley de Ampere al contorno interior H d l = Hx 2 x = ix

Hx

de la fig. 2.4, se puede escribir:

ix 2 x

(2.14)

En que ix es la corriente instantánea que circula por la sección interna de radio x en el conductor. Si se considera una densidad de corriente uniforme en toda la sección transversal del conductor, se puede establecer la siguiente proporción: ix i

x2 r2

ix

x r

2

i

Si se reemplaza esta expresión en (2.14): x Hx = i [A/m] 2 r2 Además: x Bx = Hx = i [Web./A/m] r 2 r2 En que: : permeabilidad absoluta del vacío = 4 10-7 [Web./A/m] r: permeabilidad relativa del conductor [Adimensional] Por otro lado:

(2.15)

(2.16)

(2.17)

42 =B A

d

(2.18)

B dA

Por tanto, escogiendo un elemento de área tal que: dA = 1 dx d

x

= B dx = Bx dx =

x

r

2 r2

i dx

(2.19)

Este flujo elemental solamente enlaza a la corriente ix, de tal modo que el flujo interno enlazado d i, resulta igual a: d i=d Entonces:

r

i

d

0

De donde:

r i

0

2 r

0

r 2

xi

2

x r

Li =

x

ix i

0

dx

i

d

2 r i

r 4

x

x2

( 2.20)

r2

r

i x 3 dx 0

0 r

0

r

8 r4

i r4 - 0

0

8

r

i

H/m

8

(2.21)

b): Cálculo del Flujo Externo Enlazado: La figura siguiente, muestra el esquema para el cálculo del flujo externo. La intensidad magnética, H, a una distancia del centro del conductor, será i H d l Hy 2 y i Hy A/m 2 y Además: Con:

d B

e

= B dA

0

H

By

0

Hy

0

(2.22)

i 2 y

El elemento de área escogido es: dA = dy * 1 = dy 1 d y = By dA = o i dy 2 y

(2.23) Así se puede escribir:

i

dA l=1

y

r

p

dy D

Figura 2.5: Flujo Externo al Conductor El flujo externo que enlaza el conductor hasta un punto centro del conductor, será: D

d

e

Con lo que:

=d

e

d

e r

e

0i

2

D r

dy y

2

0

i Ln

D r

cualquiera ubicado a una distancia

, del

43 Le =

e

i

2

0

Ln

D r

H/m

(2.24)

D r

(2.25)

Finalmente la inductancia total, será: L= Li + Le =

0

8

r

2

0

Ln

De la expresión anterior, se observa que la inductancia depende de la ubicación del punto (distancia D). Si este punto se aleja hasta el infinito, la inductancia se hará también infinita. Por lo anterior la inductancia de un único conductor recorrido por una corriente instantánea , resulta indeterminada, lo que es consistente con el hecho que físicamente no es posible disponer de un único conductor recorrido por una corriente, sin que exista retorno para ella. Sin embargo, esta expresión será útil para los cálculos posteriores. 2.4: FLUJO ENLAZADO POR UN SISTEMA MULTICONDUCTOR. Consideremos una línea constituida por conductores, cilíndricos y paralelos entre sí, recorridos, cada uno de ellos por una cierta corriente instantánea, como se muestra en la figura siguiente: 2

i2 D2

D12

1 i1

D1k D1n

D1 k ik

Dk

D13 Dn

in

n

D3 3

i3

Figura 2.6: Línea Multiconductor. Como no existen otros conductores en el espacio, se tiene: n

k 1

ik

0

(2.26)

De esta manera, como el sistema es lineal, se calculará el flujo enlazado por el conductor , debido a su propia corriente y luego a las restantes n - 1, corrientes que circulan por los otros conductores. El flujo externo se evaluará hasta el punto que se aprecia en la figura anterior. Por tanto se empleará el principio de superposición. Se supondrá que inicialmente sólo existe corriente en el conductor 1 y que en los restantes conductores ésta es nula y evaluaremos la inductancia hasta el punto . De acuerdo con (2.25), se tiene: D 0 r 0 i1 i1 Ln 1 11 (p) 8 2 r1 Si ahora se considera que sólo circula corriente por el conductor 2, el flujo enlazado por el conductor , será:

44 D 0 i 2 Ln 2 2 D 12 Sucesivamente es posible evaluar el flujo enlazado por el conductor debido a la circulación de corriente en los restantes conductores. Particularmente el efecto de la circulación de corriente por el conductor n ésimo será: 12 (p )

Dn 2 D1n Así, el flujo total enlazado por el conductor , debido a la circulación de corriente en todos los conductores de ésta línea, incluido él mismo, será: 1n (p )

1 (p )

n

0

i n Ln

0

1k (p )

k 1

r

8

i1

0

2

i1 Ln

D1 r1

0

2

i 2 Ln

D2 D12

0

2

in Ln

Dn D 1n

(2.27)

Los dos primeros términos del segundo miembro se suelen presentar como: 0

8

r

i1

2

0

D1 r1

i1 Ln

2

0

i1 Ln e

Donde: RMG1 = r1 e

r

Ln

4

r

D1 r1

2

0

i1 Ln

D1 RMG1

(2.28)

[m]

4

Se denomina Radio Medio Geométrico del conductor, en este caso , y depende de la permeabilidad relativa del conductor. En conductores homogéneos, de material no magnético, r = 1; y entonces: 1

[m] RMG = r e 4 Esta expresión solamente es válida para conductores macizos. Bajo estas consideraciones la expresión (2.27), se puede reescribir como: 1 (p )

in

i1 Ln

D1 RMG1

0

i1 Ln

1 RMG1

2 2

De (2.26):

0

-

n 1 k 1

i 2 Ln

D2 D12

i n Ln

in -1 Ln 1 D 1n

D n-1 D1(n -1)

i1 Ln D1

i n Ln

Dn D1n

i n-1Ln D n-1

= i n Ln D n

ik

Por tanto, reemplazando in en el último término de la expresión anterior, se tiene: D D D 1 1 0 i1 Ln in Ln i1 Ln 1 i 2 Ln 2 i n-1 Ln n -1 1 (p) 2 RMG1 D1n Dn Dn Dn Haciendo tender p

D1 = D2 =......... = Dn-1 = Dn

Por tanto: 1 (p) p

1

2

0

i1 Ln

1 RMG1

i 2 Ln

1 D12

i k Ln

1 D1k

i n Ln

1 D1n

Si ahora se hace variar el índice de 1 a n, se tendrá el siguiente sistema de ecuaciones:

(2.29)

45

1

2

n

2 2

0

2

0

0

i1 Ln

i1 Ln

1 RMG1

1 D 21

i2 Ln

i 2 Ln

1 i1 Ln D n1

1 D12

1 RMG 2

1 i 2 Ln D n2

in Ln

1 D1n

i n Ln

1 D 2n

(2.30)

1 i n Ln RMGn

Que se puede escribir también en forma matricial como: 1

1 RMG1 1 Ln D 21

Ln

2

k

2

0

1 D12 1 Ln RMG 2

Ln

1 D k1

Ln

1 Dk 2

Ln

1 D n1

Ln

1 Dn2

n

1 D1k 1 Ln D 2k

Ln

Ln

Ln

1 RMGk

i1

1 D kn

ik

Ln

1 D nk

Ln

1 D1n 1 Ln D 2n Ln

Ln

1 RMGn

i2 (2.30a)

in

La ventaja que presentan estas expresiones generales, es que a partir de ellas, es posible calcular la inductancia de líneas de cualquier configuración. 2.4.1: Línea Monofásica de Dos Conductores: La figura siguiente muestra una línea monofásica: i1

i2 2 r2

1 r1 D

Figura 2.7: Línea Monofásica de dos Conductores con Disposición Horizontal. De (2.26):

i 1 + i2 = 0

i1 = - i2

Además: D12 = D21 = D De (2.30), y haciendo n =2, se puede escribir: 1

Con lo que:

2

0

i1 Ln

1 RMG1

i 2 Ln

1 D

2 L1

0

i1 Ln

1

i1

D RMG1

2

0

Ln

D RMG1

H/m

(2.31)

46 Análogamente: 2

2

0

i1 Ln

2

0

1 D

i 2 Ln

Ln

D RMG 2

Entonces: L2 Así:

i2

2

LT = L1 + L2 =

1 RMG 2

2

0

Ln

2

0

i 2 Ln

D RMG 2

D2 RMG1 RMG 2

H/m

(2.32)

Si en particular los conductores son idénticos (r1 = r2), los Radios Medios Geométricos también serán iguales, es decir: RMG1 = RMG2 = RMG; y por tanto: D LT = 0 10 3 Ln H/km RMG La reactancia inductiva será: XL = L; con lo cual: X L1

0

2

Y sí r1 = r2:

X LT

10 3

2 10

3

0

Ln

Ln

0

Ln Ln

2

X LT X LT

2

0

X L1

0

D RMG1

D RMG1

D2 RMG1RMG 2 2

D RMG1 RMG 2

10 3

Ln

D RMG

/m /km /m

(2.33)

/km

/km

2.4.2: Línea Trifásica de Disposición Equilátera: La figura siguiente muestra una línea trifásica de distribución equilátera: i3 3

Ds

Ds

i2

i1 1

Ds

2

Figura 2.8: Línea Trifásica de Disposición Equilátera (Simétrica) Por (2.26): i1 + i2 + i3 = 0; además de la figura D12 = D13 = D23 = Ds. Ahora, si en (2.30), se hace n = 3, se puede escribir:

47 1

2

0

i1 Ln

De donde:

1 RMG1

i 2 Ln

1 Ds

i 3 Ln

L1

2

Además: 2

3

2

0

i1 Ln

1 Ds

i 2 Ln

1 RMG 2

0

i1 Ln

1 Ds

i 2 Ln

1 Ds

2

0

Ln

1 Ds Ds RMG1

i 3 Ln

i 3 Ln

1 Ds

1 RMG 3

2

0

i1 Ln

1 RMG1

(i 2

i 3 ) Ln

1 Ds

2

0

i1 Ln

Ds RMG1

H/m

2

0

i 2 Ln

0

i 3 Ln

2

(2.34) Ds RMG 2

L2

Ds

L3

RMG 3

2

0

Ln

0

Ln

2

Ds RMG 2 Ds

RMG 3

H/m H/m

Si se cumple que r1 = r2 = r3 RMG1 = RMG2 = RMG3 = RMG L1 = L2 = L3 = L; De modo que: Ds Ds 0 L= 0 Ln /m/fase H/m XL Ln RMG RMG 2 2 (2.35) Ds Ds 0 H/km XL 10 3 Ln L= 0 10 3 Ln /km/fase 2 RMG 2 RMG En que como la línea tiene un solo conductor por fase, a estos valores es usual llamarlos inductancia y reactancia inductiva por fase . 2.4.3: Línea Trifásica con Transposiciones: La disposición equilátera de los conductores en una línea, es poco frecuente en la práctica por problemas constructivos. Lo habitual es que las líneas de alta tensión sean de disposición asimétrica. En estas condiciones, los flujos enlazados por cada conductor serán diferentes entre sí, por lo que la caída de tensión será distinta en cada fase y el sistema operará en condiciones desequilibradas, generando problemas de interferencia inductiva en líneas de comunicaciones adyacentes. Sin embargo, es posible determinar una inductancia para cada conductor, haciendo algunas aproximaciones razonables. Para evitar los trastornos señalados, se recurre al mecanismo de transposición que consiste en cambiar cíclicamente la posición que ocupan los conductores a lo largo de toda la línea, de modo de asegurarse que cada uno de los conductores ocupe las tres posiciones posibles durante un tercio o múltiplo de éste de la longitud total de la línea. La figura siguiente ilustra este mecanismo. I II III 2 1 3

1

2

l/3

3

1

l/3

2

3

l/3

l = largo total de la línea Figura 2.9: Línea Trifásica con Transposiciones Este mecanismo de transponer las líneas permite calcular un valor promedio del flujo enlazado por cada conductor, evaluándolo, parcialmente, en cada uno de los ciclos de transposición. Así, para el primer tramo, de (2.30) con n = 3, se tiene:

48 1 (I)

2

0

i1 Ln

1 RMG1

i 2 Ln

1 D12

i 3 Ln

1 D13

En el segundo tramo del ciclo de transposición, para el mismo conductor 1 1 1 0 i1 Ln i 2 Ln i 3 Ln 1 (II) 2 RMG1 D 23 D 21

, se tiene:

En el tercer tramo, para el mismo conductor , se puede escribir: 1 1 1 0 i1 Ln i 2 Ln i 3 Ln 1 (III) 2 RMG1 D 31 D 32

Entonces, el promedio del flujo enlazado por el conductor 1, será; 1 1 prom. 1 (I) 1 (II) 1 (III) 3 Reemplazando los valores del flujo enlazado para cada uno de los tres tramos, y considerando que la distancia entre conductores es un escalar, por tanto Dij = Dji; se tiene: 1 0 1 1 1 3i1 Ln I 2 Ln i 3 Ln 1prom. 32 RMG1 D12 D 23 D 31 D13 D 21D 32 1prom.

1 0 1 3i1Ln 32 RMG1

(i 2

Pero por (2.26): i1 +i2 + i3 = 0 expresión, se puede escribir: 1

prom.

2

0

i1 Ln

Por lo tanto:

i 3 ) Ln

i1 = -(i2 + i3). Por lo tanto, reemplazando (i2 + i3) en la última

1 1 1 - Ln RMG1 3 D12 D 13 D 23 1prom.

1 D 12 D13 D 23

2

0

i1 Ln

3

D12 D 13 D 23 RMG1

Weber/m

DMG H/m i1 2 RMG1 Donde se ha definido, Distancia Media Geométrica (DMG) entre conductores, como: L1

0

Ln

DMG

3

(2.36)

(2.37)

(2.38)

D12 D 13 D 23 [m]

Realizando el mismo análisis para los conductores 2 y 3, se encuentra que sí: r1 = r2 = r3 = r; entonces RMG1 = RMG2 = RMG3 = RMG; por tanto: L1 =L2 = L3 = L y con ello, la reactancia inductiva, será: XL

L

2

0

10 3 Ln

DMG RMG

/km

(2.39)

Ejemplo 2.3: Calcular la inductancia y reactancia inductiva de la línea que se muestra en la figura. Los conductores son macizos, de cobre Nº 2 AWG y la línea está convenientemente transpuesta. 1

2

0,7

3

0,7

Figura 2.10: Línea Trifásica de Disposición Horizontal del Ejemplo 2.3. Solución: De acuerdo con la tabla, el diámetro del conductor es de 6,54 mm. De donde su RMG, será

49 1

6,54 e 4 2,5467 mm 2 tanto su permeabilidad relativa r = 1. RMG = r e-1/4 =

2,5467 10 -3 m ; ya que el material es cobre, por

De la figura: D12 = D23 = 0,7 [m] D13 =2 * 0,7 =1,4 [m] Entonces, de (2.37): 3 0,7 2 1,4 10 7 10 3 Ln 2 2,5467 10 -3 L = 1,1695 [mH/km]

L=

4

2 10 - 4 Ln 346,3118 0,0011695 H/km

Con lo cual, la reactancia inductiva de la línea será: XL =

L 2

50 1,1695 10 -3

0,3674

/km

2.4.4: Concepto de Distancia Media Geométrica: En el cálculo de inductancias y capacidades de líneas, cuyas fases están formadas por varios conductores, resulta práctico emplear los conceptos de radio medio geométrico y Distancia Media Geométrica (DMG). - Distancia Media Geométrica de un punto a otros puntos: Se define la DMG de un punto a otros puntos. 1,2,....,n como la raíz n-ésima del producto de las distancias entre el punto y los restantes n puntos. Es decir: (2.40) DMG = n D D D 1

2

n

La DMG de un punto a una circunferencia, se tiene si los puntos están ubicados sobre ella y su número tiende a infinito. - Distancia Media Geométrica de un punto a una superficie: Si se divide la superficie en un gran número de elementos iguales y se calcula la DMG del punto a cada elemento de superficie, la DMG del punto a esos elementos de superficie está dado por (2.40). Si el número de elementos tiende a infinito, se tiene el concepto de DMG de un punto a una superficie; así : DMG

A la sup.

lim n D1 D 2

n

Dn

- Distancia Media Geométrica entre dos superficies: Supongamos dos superficies A1 dividida en m elementos y otra A2 en m elementos. La DMG entre ambas superficies, se define como la raíz mm -ésima de los mm productos de las distancias entre los elementos de A1 y A2, cuando el número de ellos tiende a infinito. La figura siguiente muestra algunas distancias entre elementos.

1

D12

D11 2

D21 D13

D22 D23 2

Figura 2.11: Algunas Distancias entre Elementos de dos Superficies.

50

DMG = lim m m'

1 mm'

m,m' i 1 i' 1

(2.41)

D ii'

- Distancia Media Geométrica propia de una superficie: Es el límite de la DMG entre todos los pares de elementos en que se ha dividido la superficie considerada, cuando el número de ellos tiende a infinito. Se demuestra que para una superficie circular de radio , su distancia media geométrica resulta igual a r e - 1/4 . Este valor coincide con la definición de RMG para un conductor cilíndrico de material homogéneo no magnético. Habitualmente, en el caso de conductores compuestos de varios hilos, la distancia media geométrica propia, se denomina Radio Medio Geométrico del conductor. 2.4.5: Cálculo de Inductancias y Reactancias Inductivas Empleando los Conceptos de RMG y DMG: En general los conductores de las líneas de transmisión no son macizos sino cableados, formados por varias hebras trenzadas y en consecuencia no tienen la misma inductancia que uno macizo del mismo diámetro. Por ello es necesario disponer de un método de cálculo que posteriormente se pueda aplicar a otras configuraciones de líneas. 2.4.5.1: Línea Monofásica Multifilar: Considérese una línea monofásica multifilar, como la que se muestra en la figura siguiente. El conductor a, de fase, se supone compuesto de n hebras idénticas entre sí y el b, de retorno, formado por m hilos iguales entre sí, pero que pueden ser distintos de los que forman el conductor a. Ambos conductores transportan la misma corriente instantánea .

ib = - i ia = i

Conductor a: n hilos

Conductor b:

hilos

Figura 2.12. Línea Monofásica Multifilar. Si se asume una distribución uniforme de corriente, cada hebra del conductor a, transportará una corriente i/n y cada uno de los hilos de b transportará una corriente i/m. Usando las ecuaciones (2.30), se tendrá para el hilo , perteneciente al conductor a, que el flujo enlazado por éste será: 1 1 1 i 1 1 1 0 i Ln Ln Ln - 0 Ln Ln Ln 1 2 n RMG1 D12 D1n 2 m D 11' D 12' D1m 2

0

i Ln

mD n

11' D12'

RMG1D12

D1m D 1n

2

0

i Ln

mD n

11'D 12'

D11D 12

D1m D1n

En que se ha denominado D11 = RMG1 Distancia Media Geométrica Propia del hilo

51 Con ello: L1 =

0

1

n Ln

mD

11' D12'

D1m

nD D i 2 D1n 11 12 n Análogamente, para una hebra cualquiera, se tendrá:

Lj =

j

0

n Ln

mD

j1' D j2 '

D jm

(2.42)

i 2 nD D D jn j1 j2 n Entonces, la inductancia promedio de cada hebra será n

L prom. =

j 1

Lj

(2.43)

n

Adicionalmente, como los n hilos del conductor dicho conductor, será:

, están conectados en paralelo, la inductancia total de

n

L prom. La = n

j 1

Lj

(2.44)

n2

Reemplazando en esta última expresión Lj, según (2.42) y teniendo en cuenta que todas las hebras del conductor cableado son iguales entre sí, (es decir r1 = r2 =... = rn; por lo cual RMG1 = ... = RMGn = Djj), se tiene: mD D D jm j1' j2' 1 n La = 0 Ln 2 nj1 nD D D jn j1 j2 La

2

0

Ln

mn D n2

RMG n D12

11'

D1n D 21

D1m

D j1'

D 2n

D j1

D jm D jn

D n1' D(n

1)1

D nm D (n

1)n D n1

D n( n

1)

En que se ha retornado a la definición de Radio Medio Geométrico. mn D D1m D j1' D jm D n1' D nm 11' 0 La Ln n 2 2 2 n 2 RMG D 12 D 12n D 223 D 22n D 34 D 23n D 2

(2.45)

(n 1)n

Si en esta expresión, se define como Distancia Media Geométrica entre los conductores DMGab =

mn

D11'

D 1m D 21'

D 2m

D n1'

Y al denominador, se le denomina RMG del conductor cableado cableado . Es decir: RMGa =

n2

2 RMGn D 12

D12n

D 2(n

1)n

D nm

y

: (2.46)

, o bien DMG propia del conductor (2.47)

La expresión (2.45), se puede escribir como: DMGab La = 0 Ln [H/m/conductor] 2 RMGa

(2.48)

Repitiendo el procedimiento para el conductor , se tendrá: DMG ab 0 Lb Ln [H/m/conductor] 2 RMGb

(2.49)

52 Finalmente la inductancia total será: DMG 2ab L = La + Lb = 0 Ln H/m 2 RMG a RMG b La reactancia inductiva a su vez, será: DMG ab 0 X La Ln /m/conduct or 2 RMG a XL

2

0

DMG 2ab Ln RMG a RMGb

(2.50)

(2.51)

/m

El RMG de los conductores comerciales, se encuentra en algunas tablas y en otras, se establece, en lugar de éste, la denominada componente de conductor , que está directamente ligada con el RMG, como se aprecia en las tablas 2.2 a 2.5 de este mismo capítulo. Mediante el empleo de (2.47), se puede encontrar el RMG de conductores cableados homogéneos, en forma aproximada. En caso de conductores ACSR, es posible obtener un valor aproximado del RMG, considerando solamente las hebras de aluminio. Ejemplo 2.4: Calcular el RMG de un conductor de cobre de 7 hebras de igual radio la figura siguiente: r 1

que se muestra en

2

6 7 5

3 4

Figura 2.13: Disposición de un Conductor Cableado de 7 Hebras. Solución: De acuerdo con (2.47), y llamando RMG1 al radio medio geométrico de cada hebra, se tiene: RMG

49

2 2 2 2 2 2 2 2 RMG17 D12 D13 D14 D 15 D16 D17 D 223 D 224 D 225 D 226 D 227 D 234 D 235 D 36 D 237 D 245 D 246 D 247 D 56 D 257 D 267

Como el conductor es de cobre; RMG1 = r e

1/4

r

= 1; por lo tanto el Radio Medio Geométrico de cada hebra será:

= 0,7788 r

Pero de la figura: D12 = D23 = D34 =D45 = D56 = D61 = D17 = D27 = D37 = D47 = D57 = D67 = 2 r D13 = D24 = D35 = D46 = D51 = D62 = 2 r D14 = D25 = D36 = 4 r Entonces: RMG =

49

3

(0,7788r ) 7 (2r ) 24 (2r 3 )12 ( 4r ) 6

49

3,56578916 10 16 r 49

2,1767 r

Si se considera el radio exterior del conductor, re, (que de acuerdo con la figura 2.13 es de 3 r), se puede establecer: RMG = 0,7256 re Donde, como ya se ha mencionado, re es el radio exterior del conductor. A modo de ilustración, para establecer algunas órdenes de magnitud, se han encontrado los siguientes valores de RMG para conductores de material homogéneo formado por distintos números de hebras, en función del r e.

53 Tabla Nº 2.6: FACTORES EMPIRICOS CONDUCTORES.

PARA

Conductores Homogéneos Tipo de Conductor RMG Macizo 0,7788 re 7 hebras 0,7256 re 19 hebras 0,7576 re 37 hebras 0,7682 re 61 hebras 0,7721 re 91 hebras 0,7738 re 127 hebras 0,7756 re

EL

CALCULO

DEL

RMG

DE

ALGUNOS

Conductores ACSR Tipo de Conductor RMG 30 hebras (2 capas) 0,8257 r e 26 hebras (2 capas) 0,8091 r e 52 hebras (2 capas) 0,8103 r e

Nota Importante: Como todo valor empírico, estos valores son aproximados y se usarán solamente mientras se encuentra una manera analítica de calcular el RMG de conductores cableados, a partir de las tablas de conductores, proporcionadas por los fabricantes. 2.4.6: Línea Trifásica en Doble Circuito con Transposiciones: Las líneas que tienen esta configuración están formados por dos circuitos independientes trifásicos, que van montados sobre la misma estructura (postación común) o bien que corren paralelamente a corta distancia con estructuras independientes (ruta común). En cualquiera de ambas alternativas, cada fase está formada por dos conductores que están conectados en los extremos de la línea. La figura siguiente muestra una configuración en postación común y una alternativa de transposición. Esta conexión permite, razonablemente, suponer que la corriente de cada fase, se reparte uniformemente y por tanto es posible aplicar el método de la DMG y RMG. Fase a

1

3

1

Fase b 2

1

Fase c 3

2

3

2

3 2

1

1 2 3

l/3

l/3

l/3

Figura: 2.14: Línea Trifásica en Doble Circuito con Transposición en Postación Común El proceso de cálculo es análogo al caso de un simple circuito y por tanto se evaluará el flujo enlazado por el conductor 1 en cada tramo y se encontrará su valor promedio, a continuación se repetirá para el conductor 1 , con la finalidad de encontrar, finalmente la inductancia de la fase . Se tiene: 1 1 1 1 1 1 0 i1 Ln i 2 Ln i 3 Ln i1' Ln i '2 Ln i '3 Ln 1 (I) 2 RMG1 D12 D 13 D11' D12' D13'

54 Para los tramos II y III, se tendrá: 1 (II)

2

1 (III)

0

2

i1 Ln

0

1 RMG 2

i 2 Ln

1 RMG 3

i 2 Ln

i1 Ln

1 D 23

i 3 Ln

1 D 21

i1' Ln

1 D 22'

i '2 Ln

1 D 31

i 3 Ln

1 D 32

i1' Ln

1 D 23'

i '3 Ln

1 D 21'

1 D 33'

i '2 Ln

1 D 31'

i '3 Ln

1 D 32'

En que nótese que se ha asociado el RMG, con la posición que ocupa el conductor en cada uno de los ciclos de transposición. Además, como los conductores que forman cada fase son iguales entre sí, se tendrá: ia 2 ib i2 = i 2 = 2 ic i3 =i 3 = 2 i1 = i 1 =

Y también: ia + ib + ic = 0

(2.52)

El flujo enlazado promedio será: 1 3

1prom. 1prom.

1 0 32

1 (I)

1 (III)

1 RMG1D11'

Ln

1 RMG 2 D 22'

1 D 13 D 21D 32

Ln

ic 1 D13' D 21' D 32' 2

Ln Ln

1 (II)

Ln

ia 1 RMG 3 D 33' 2

Ln

1 D12 D 23 D 31

Ln

ib 1 D12' D 23' D 31' 2

Análogamente para el conductor 1 , se tendrá en cada uno de los tres tramos: 1' (I)

2

1' (II)

0

2

1' (III)

i1 Ln

1 D1'1

i 2 Ln

1 D1'2

i 3 Ln

1 D1'3

i1' Ln

1 RMG1

i 2' Ln

1 D1'2'

i 3' Ln

1 D1'3'

0

i1 Ln

1 D 2'2

i 2 Ln

1 D 2'3

i 3 Ln

1 D 2'1

i1' Ln

1 RMG 2

i '2 Ln

1 D 2'3'

i '3 Ln

1 D 2'1'

0

i1 Ln

1 D 3'3

i 2 Ln

1 D 3'1

i 3 Ln

1 D 3'2

i1' Ln

1 RMG3

i '2 Ln

1 D 3'1'

i '3 Ln

1 D 3 '2 '

2

El promedio del flujo enlazado por el conductor 1 será: 1' prom.

1 0 32 Ln

Ln

1 RMG1D1'1

1 D1'3 D 2'1D 3'2

Ln

Ln

1 RMG 2 D 2'2 1

D 1'3' D 2'1' D 3'2'

Ln

ia 1 RMG3 D 3'3 2

Ln

1 D 1'2 D 2'3 D 3'1

ic 2

El flujo enlazado por cualquiera de los conductores de la fase 1 1 1prom 1' prom 2

, 1 ó 1 , será

Ln

1

D1'2' D 2'3' D 3'1'

ib 2

55 Reemplazando en esta relación las expresiones anteriores se puede escribir: 1 1 0 1 1 2 Ln i a Ln ib ic 1 2 43 RMG1D11' RMG 2 D 22' RMG3 D 33' D12 D 23 D 31 1 ib ic D12' D 23 'D 31' Pero como: Ib + ic = - ia Ln

1

Ln

1 ib D 1'2 D 2'3 D 3 '1

1 1 Ln 2 3 4 RMG 2 D 2 RMG 2 D 2 RMG 2 D 2 1 11' 2 22' 3 33' 0

4

2 RMG12 D 11'

4

ib

D12 D 23 D 31D12' D 23 ' D 31' D1'2 D 2'3 D 3'1D1'2' D 2 '3 ' D 3'1'

ic

ia

RMG de la fase

RMG1D 11'

4

RMG 22 D 222'

RMG 2 D 22'

RMG de la fase

RMGc =

4

2 RMG 23 D 33'

RMG 3 D 33'

RMG de la fase

(2.53)

DMGab = 4 D12 D12' D1'2 D1'2'

DMG entre fases

y

DMGac = 4 D13 D13' D1'3 D 1'3'

DMG entre fases

y

DMG entre fases

y

4

D1'2' D 2'3' D 3 '1'

1

Ln

RMGb =

DMGbc =

1

ic

Llamando: RMGa =

Ln

D 23 D 23' D 2'3 D 2'3'

(2.54)

Se tiene: 1

2

0

i a Ln

3

DMG ab DMG ac DMGbc 3

2

RMG a RMGb RMG c

0

i a Ln

DMG e RMG e

(2.55)

Donde: DMGe: Distancia Media Geométrica Equivalente y RMGe: Radio Medio Geométrico equivalente, definidos como: DMGe = 3 DMG ab DMG ac DMGbc (2.56) RMGe = 3 RMGa RMGb RMG c Finalmente:

DMG e 2 RMG e DMG e Ln RMG e

La = L1 = L =

0

0

Ln

X La X L1

0

0

Ln

DMG e RMG e

2 DMG e Ln RMG e

/m/fase (2.57)

/m/conduct or

Si se realiza un análisis similar para los conductores que forman las fases mismas expresiones anteriores.

y

, se encuentran las

Nótese que en el cálculo realizado, se ha considerado el efecto mutuo que aparece entre los conductores de los dos circuitos. Cuando las distancias son grandes entre ambos circuitos (ruta común), es usual despreciar este efecto de inducción mutua y en ese caso se calcula la inductancia como en el caso de un circuito simple con transposiciones y luego, para encontrar los valores por fase, obtenerlos como dos conductores en paralelo. Ejemplo 2.5: Calcular la reactancia inductiva por fase de la línea de transmisión que se muestra en la figura. La línea opera a 220 kV, 50 cps y tiene una longitud de 100 km. Los conductores son ACSR 954 MCM 54/7. La línea se supone transpuesta en todo su recorrido y es simétrica con respecto a la vertical. Las distancias están expresadas en metros.

56 Fase a

1 D11 = 10,82 [m] D12 = 6,74 [m] D23 = 6,74 [m] D12 = 12,75 [m] D13 = 17,29 [m]

Fase b

2

Fase c

5,41

3

Circuito A

Circuito B

Figura 2.15: Línea de Transmisión de Simetría Vertical en Doble Circuito del Ejemplo 2.5. Solución: De (2.57): XL = DMGe =

3

DMGab =

2

0

10 3 Ln

DMG e RMG e

/ km / fase

DMG abDMG ac DMGbc

4

4

D12 D12' D 1'2 D 1'2'

2 2 D12 D12 '

D12 D12'

D13 D13'

17,29 13,48

6,74 12,75

9,27 m

DMGbc = DMGab = 9,27 [m] DMGac = DMGe =

4 3

D13D13' D1'3 D1'3'

9,27 9,27 15,27

De (2.5 3): RMGa =

10,95

15,27 m

m

RMG1D11'

El radio medio geométrico, se obtendrá, por ahora, de la expresión empírica de la tabla 2.6, en tanto encontremos una expresión analítica para calcularlo. De acuerdo a lo allí indicado, para un conductor ACSR, 54 hebras el RMG = 0,8103 re. De la tabla de conductores ACSR, el Cardinal corresponde al de la línea del ejemplo, con un diámetro de 30,4 [mm], por lo cual su radio es de 15,2 [mm]. Entonces:

RMG = 0,8103 * 15,2 * 10-3 = 0,0123 [m]

Así, de la simetría de la línea, se tiene: RMGa = RMGb = RMGc = De (2.56):

RMGe =

De (2.57): XLa = X La

200

2

3

0

10

RMG1D11'

0,0123 10,82

0,3651 [m]

RMG a RMGb RMGc = 0,3651 [m] * 10 3 Ln

4

Ln

DMG e RMG e

10,95 0,3651

2

0,2137

50 4 2

10

/km/fase

7

10 3 Ln

10,95 0,3651

57 2.47: Línea Trifásica en Circuito Simple con un Haz de dos Conductores: La figura siguiente muestra una línea con estructura tipo portal, de dos conductores por fase:

1

2

s

3

s fase

fase

s fase

Figura 2.16. Línea trifásica con dos Conductores en Haz. Como la línea es similar al caso de una línea en doble circuito, se usarán las expresiones encontradas en el apartado anterior, con las particularizaciones del caso. Los conductores que constituyen el haz están fijados a la misma cadena de aisladores y conectados eléctricamente en paralelo en cada una de las estructuras. En general estas líneas operan en EAT (sobre 220 kV) y se asumirá que están transpuestas en la misma forma ya revisada. Entonces se tiene; de (2.54) 2 RMGa = 4 RMG 2 D11 RMG s ' Donde: RMG: Radio Medio Geométrico de los conductores.

Por la simetría de la línea: RMGa = RMGb = RMGc ; RMGe =

3

RMG a RMG b RMG c

De (2.54) DMGab =

4

3

RMGa

D12 D12' D1'2 D1'2'

Pero considerando que D

s

Entonces: DMGab = D DMGbc = D DMGac = 2 D Así: DMGe =

3

DMG ab DMGbc DMGac

4

3

(2.58)

Luego:

RMG s

(2.59)

D (D s) (D - s)D

(2.60)

D

(2.61)

3

s

2D 3

D

s

D

D3 2

Recordando que en el caso de una línea en doble circuito se tenía para la reactancia inductiva:

(2.62)

58 XL = L = 2 f L = 2 f XL

4

2

0

10

10 3 Ln 4

DMG e RMG e

/km/fase (2.63)

DMG e f Ln RMG e

/km/fase

Por tanto, para el caso de dos conductores por fase será: XL = 4

10

4

f Ln

DMGe

/km/fase

RMG s

(2.64)

En ésta, como en las anteriores relaciones encontradas para la inductancia como para la reactancia inductiva, tanto la DMGe, como el RMGe están expresados en las mismas unidades, metro en el caso del Sistema MKS Racionalizado. . 2.4.8. Tres Conductores por Fase: En este caso los subconductores están ubicados en el vértice de un triángulo equilátero como se muestra en la figura siguiente, separados entre sí una distancia . 1 s

s s Figura 2.17: Haz de Tres Conductores:

Si recordamos que según (2.47) el RMG está dado como: De acuerdo a la figura 2.17, se tiene: Así:

RMGe = XL = 4

9

3

RMG 3 s 6 4

10

f Ln

D 11 = D11 = D

RMG =

n2

2 2 2 RMG1n D12 ... D1n ... D (n -1) n

=s

RMG s 2 ; con lo cual, según (2.63)

DMG e

4

RMG e

10

4

f Ln

DMG e 3

/km/fase

RMG s 2

(2.65)

2.4.9: Cuatro Conductores por Fase: En este caso los conductores se ubican en los vértices de un cuadrado de lado . Como se muestra en la figura siguiente, donde análogamente el caso de tres conductores por fase, se tiene: D11 = D

=D

D11 = D

=s

=D

1

=s

s

1

2

s

XL = 4

10

4

16

RMG 4 s 8 (s 2 ) 4

f Ln

DMG e 4

RMGs 3 2

s

s

Figura 2.18: Haz de Cuatro Conductores

Entonces: RMGe =

s 2

4

RMGs 3 2 Reemplazando en (2.64): /km/fase

(2.66)

59 2.4.10: Uso de Tablas para el Cálculo de la Reactancia Inductiva: La reactancia inductiva por conductor de una línea monofásica o por fase de una línea trifásica de configuración simple, simétrica o asimétrica transpuesta, se puede escribir en general como: XL =

2

0

Ln

DMG RMG

/unidad de longitud

(2.67)

En que la unidad de longitud dependerá del sistema de medida empleado y debe ser consistente con el valor de la contante 0 Esta expresión se puede escribir también como: XL = Xa + Xd [

Donde : Xa = Xd =

2 2

(2.68)

unidad de longitud]

0

Ln

1 RMG

/unidad de longitud

0

Ln DMG

/unidad de longitud

(2.69)

-

Xa: Se interpreta como la reactancia por unidad de longitud, debida al flujo interno del conductor, hasta una distancia igual a la que se ha expresado el RMG. (Pié, cm, m, etc.) y depende de la frecuencia y del RMG del conductor y en algunas tablas se le denomina Componente de Conductor .

-

Xd: Representa la reactancia inductiva del conductor, debido al flujo externo, desde una distancia entre la unidad de medida del RMG y DMG hasta el valor de la DMG. Este término se conoce como factor de separación y depende de la frecuencia y distancia entre conductores.

En los desarrollos realizados anteriormente se ha empleado el sistema MKS racionalizado con la 3 salvedad de amplificar, la constante por 10 para expresar los resultados en [ /km] en lugar de [ /m]. Por tanto en general se ha expresado la reactancia inductiva como: DMG DMG 4 10 - 4 f Ln RMG RMG 2 Entonces los valores de Xa y Xd, serán respectivamente: XL

0

10 3 Ln

Xa = 4

10

4

f Ln

/km

Xd = 4

10

4

1 RMG

f Ln DMG

/km

/km

(2.70)

Los valores de Xa se encuentra en la tabla de características de los conductores y los valores de Xd, se encuentran en la tabla de componente de distancia o factor de separación. De (2.70): Se puede despejar el valor del RMG, tal que: 1 Ln RMG

Xa 4 f 10

4

RMG e

-

Xa 10 4 4 f

m

(2.71)

Nota: Esta será la expresión analítica para encontrar el RMG de los conductores. - Caso de dos Conductores por Fase: En el evento que la línea este formado por un haz de dos conductores. De ( 2.64): DMG e 1 1 1 1 XL = 4 10 4 f Ln 4 10 - 4 f Ln Ln Ln Ln DMG e 2 RMG 2 s RMG s 1 1 1 XL = 4 10 4 f Ln - Ln s Ln DMG e 2 RMG 2

60 XL =

1 1 Xa - Xs 2 2

Con:

Xd

/km/fase

1 RMG Xs = 4 f 10 -4 Ln s

/km

Xd = 4 f 10 -4 Ln DMG e

/km

Xa = 4 f 10 - 4 Ln

(2.72)

/km (2.73)

Así se puede escribir, análogamente a (2.72) 1 1 XL = Xa Xd - Xs /km/fase 2 2

(2.74)

- Caso de Tres Conductores por Fase: Esta situación, considera que cada una de las fases está formado por un haz de tres conductores, como se estableció en 2.4.8. De (2.65): XL = 4 f 10

XL =

4

Ln

1 Xa 3

DMG e 3

RMG s Xd -

2

4

4 f 10

2 Xs 3

1 1 2 Ln - Ln s Ln DMG e 3 RMG 3

/km/fase

(2.75)

- Cuatro Conductores por Fase: Esta situación se ilustró en el apartado 2.4.9. Así de (2.66): XL = 4 f 10 - 4 Ln

XL =

1 Xa 4

DMG e 4

RMG s 3

Xd -

2

4 f 10

3 Xs - 0,0054 4

4

1 1 3 1 Ln - Ln s - Ln 2 4 RMG 4 4

Ln DMG e

/km/fase

(2.76)

1 Ln 2 4 Nota: Si se conoce el valor de Xa en el sistema inglés y se trata de llevar este valor al sistema MKS racionalizado, con además un cambio de frecuencia desde f1 (60 cps) a f2 (50 cps) por ejemplo, se puede aplicar la relación: En que el valor constante:

XA = 0,6214

f2 f1

0,0054 = 4

Xa 0,00149 f 2

50 10 - 4

[ /km]

En general el valor de la reactancia inductiva para líneas de alta tensión, fluctúa entre 0,38 y 0,46 [ debido a la poca sensibilidad del factor logarítmico a la variación de magnitudes. En la página siguiente, Tabla 2.7, se muestra los valores de Xd calculados para distintas distancias:

(2.77) /km],

61 Tabla 2.7: COMPONENTE DE DISTANCIA Xd EN [ /km] PARA 50 cps.

Metros 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0 ---0,1447 -0,1011 -0,0756 -0,0576 -0,0436 -0,0321 -0,0224 -0,0140 -0,0066 0 0,0060 0,0115 0,0165 0,0211 0,0255 0,0295 0,0333 0,0369 0,0403

1 -0,2894 -0,1387 -0,0981 -0,0736 -0,0560 -0,0423 -0,0311 -0,0215 -0,0132 -0,0059 0,0006 0,0066 0,0120 0,0170 0,0216 0,0259 0,0299 0,0337 0,0373 0,0407

2 -0,2458 -0,1332 -0,0951 -0,0716 -0,0545 -0,0411 -0,0300 -0,0206 -0,0125 -0,0052 0,0012 0,0071 0,0125 0,0174 0,0220 0,0263 0,0303 0,0341 0,0376 0,0410

3 -0,2203 -0,1282 -0,0923 -0,0697 -0,0530 -0,0399 -0,0290 -0,0198 -0,0117 -0,0046 0,0019 0,0077 0,0130 0,0179 0,0225 0,0267 0,0307 0,0344 0,0380 0,0413

Centímetros 4 5 -0,2022 -0,1882 -0,1235 -0,1192 -0,0897 -0,0871 -0,0678 -0,0660 -0,0516 -0,0502 -0,0387 -0,0376 -0,0280 -0,0271 -0,0189 -0,0181 -0,0110 -0,0102 -0,0039 -0,0032 0,0025 0,0031 0,0082 0,0088 0,0135 0,0140 0,0184 0,0189 0,0229 0,0233 0,0271 0,0275 0,0311 0,0315 0,0348 0,0352 0,0383 0,0387 0,0416 0,0420

6 -0,1768 -0,1151 -0,0846 -0,0642 -0,0488 -0,0364 -0,0261 -0,0172 -0,0095 -0,0026 0,0037 0,0093 0,0145 0,0193 0,0238 0,0279 0,0318 0,0355 0,0390 0,0423

7 -0,1671 -0,1113 -0,0823 -0,0625 -0,0474 -0,0353 -0,0252 -0,0164 -0,0088 -0,0019 0,0043 0,0099 0,0150 0,0198 0,0242 0,0283 0,0322 0,0359 0,0393 0,0426

8 -0,1587 -0,1077 -0,0800 -0,0608 -0,0461 -0,0342 -0,0242 -0,0156 -0,0080 -0,0013 0,0048 0,0104 0,0155 0,0202 0,0246 0,0287 0,0326 0,0362 0,0397 0,0429

9 -0,1513 -0,1043 -0,0778 -0,0592 -0,0448 -0,0332 -0,0233 -0,0148 -0,0073 -0,0006 0,0054 0,0109 0,0160 0,0207 0,0251 0,0291 0,0330 0,0366 0,0400 0,0432

Metros 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0 21,0 22,0 23,0 24,0 25,0

0 0 0,0436 0,0690 0,0871 0,1011 0,1126 0,1223 0,1307 0,1381 0,1447 0,1507 0,1561 0,1612 0,1658 0,1702 0,1742 0,1780 0,1816 0,1850 0,1882 0,1913 0,1942 0,1970 0,1997 0,2022

10 0,0060 0,0466 0,0711 0,0887 0,1024 0,1136 0,1232 0,1314 0,1387 0,1453 0,1512 0,1567 0,1616 0,1663 0,1706 0,1746 0,1784 0,1820 0,1853 0,1885 0,1916 0,1945 0,1973 0,1999 0,2025

20 0,0115 0,0495 0,0731 0,0902 0,1036 0,1146 0,1240 0,1322 0,1394 0,1459 0,1518 0,1572 0,1621 0,1667 0,1710 0,1750 0,1788 0,1823 0,1857 0,1889 0,1919 0,1948 0,1976 0,2002 0,2027

30 0,0165 0,0523 0,0750 0,0916 0,1048 0,1156 0,1249 0,1330 0,1401 0,1465 0,1524 0,1577 0,1626 0,1671 0,1714 0,1754 0,1791 0,1826 0,1860 0,1892 0,1922 0,1951 0,1978 0,2005 0,2030

Centímetros 40 50 0,0211 0,0255 0,0550 0,0576 0,0769 0,0787 0,0931 0,0945 0,1060 0,1071 0,1166 0,1176 0,1258 0,1266 0,1337 0,1345 0,1408 0,1415 0,1471 0,1477 0,1529 0,1535 0,1582 0,1587 0,1631 0,1635 0,1676 0,1680 0,1718 0,1722 0,1758 0,1761 0,1795 0,1798 0,1830 0,1833 0,1863 0,1866 0,1895 0,1898 0,1925 0,1928 0,1953 0,1956 0,1981 0,1984 0,2007 0,2010 0,2032 0,2035

60 0,0295 0,0600 0,0805 0,0959 0,1082 0,1186 0,1274 0,1352 0,1421 0,1483 0,1540 0,1592 0,1640 0,1685 0,1726 0,1765 0,1802 0,1837 0,1870 0,1901 0,1931 0,1959 0,1986 0,2012 0,2037

70 0,0333 0,0624 0,0822 0,0972 0,1094 0,1195 0,1283 0,1359 0,1428 0,1489 0,1545 0,1597 0,1645 0,1689 0,1730 0,1769 0,1806 0,1840 0,1873 0,1904 0,1934 0,1962 0,1989 0,2015 0,2040

80 0,0369 0,0647 0,0839 0,0986 0,1104 0,1204 0,1291 0,1366 0,1434 0,1495 0,1551 0,1602 0,1649 0,1693 0,1734 0,1773 0,1809 0,1843 0,1876 0,1907 0,1936 0,1965 0,1992 0,2017 0,2042

90 0,0403 0,0669 0,0855 0,0999 0,1115 0,1214 0,1299 0,1374 0,1440 0,1501 0,1556 0,1607 0,1654 0,1697 0,1738 0,1776 0,1813 0,1847 0,1879 0,1910 0,1939 0,1967 0,1994 0,2020 0,2045

62 2.5. CALCULO DE CAPACIDADES Y REACTANCIAS CAPACITIVAS. Otro de los parámetros relevantes de las líneas de transmisión, es la reactancia capacitiva, que ofrece un camino de fuga a las corrientes que circulan por la línea y que es el parámetro dominante de la admitancia shunt. Para determinarla, es preciso evaluar primeramente la capacidad entre conductores. Recordemos que al aplicar una diferencia de potencial instantánea a dos conductores separados por una cierta distancia, éstos adquieren una carga +q(t) y -q(t). El valor absoluto de la carga dependerá de la diferencia de potencial v(t) y una constante de proporcionalidad , tal que: C=

q( t ) v( t )

(2.78)

Esta capacidad depende de las dimensiones y configuración geométrica de los cuerpos cargados, de la posición de ellos respecto a otros cuerpos conductores, de la naturaleza del medio que los separa, es decir del dieléctrico y de la distancia o posición relativa de un cuerpo con respecto al otro. Un condensador elemental está constituido por dos cuerpos, tales, que todas las líneas de fuerza comienzan en uno y terminan en el otro. Así se tiene una capacidad única y ambos cuerpos tienen la misma carga pero con signos distintos. Si se tiene un conjunto de cuerpos cargados, no existe una única capacidad y se tendrá un condensador compuesto y por tanto existirán capacidades parciales. Como ejemplo, considérese el conjunto de cuerpos cargados que se muestra en la figura siguiente:

a

+

+

+ + +

+

+ -

+ 1

+ + + +

+ -

-

2

+ + +

b + + + +

-

c

-

-

+ 3

+

+ +

Figura 2.19. Sistema de Cuerpos Cargados y Líneas de Fuerza. Si se emplea la definición de capacidad y expresión (2.78), se puede escribir: C12 = Donde:

q12 v1 v 2

C13

q13 v1 - v3

C 1n

q1n v1 - v n

(2.79)

q12 = qab: Carga en el sector superficial ab del conductor q13 = qbc: Carga en el sector superficial bc del conductor

En el caso de las líneas de transmisión, el concepto de capacidades parciales se puede apreciar en la figura siguiente:

63

+q1

2 -q2

1

C12

1

2

C10

Figura 2.20.

C20

+ + +

- -

Línea de dos Conductores en Presencia de Tierra y Capacidades Parciales que Presenta.

En este caso aparecen tres capacidades parciales: Entre los conductores y entre cada uno de ellos y tierra. Estas son: q q q12 C12 = C20 = 20 ; C10 = 10 ; v1 v 2 v1 v2 2.5.1: Cálculo de Capacidades de Líneas sin Considerar el Efecto de Tierra: Esto implica considerar nulos C10 y C20 en la figura 2.20. Es decir, se supone que los conductores están ubicados en un medio dieléctrico de extensión infinita, por tanto se calculará el potencial en un punto debido a la presencia de conductores cargados en su espacio cercano en relación a un origen arbitrario y que además, son cilíndricos. 2 q2 D2

D12

1 q1

d20

D1 k qk

D1n

Dk

D13 Dn

qn

n

Figura 2.21. Sistema de

D3 3

d10 dn0

d30

q3

O

Conductores Cargados.

Si se asume que no hay otros conductores cargados en las cercanías, se tiene: n k 1

qk

0

(2.80)

Además, la diferencia de potencial entre los puntos y debida a la presencia de un conductor cilíndrico cargado uniformemente con [Coulomb/m] y de extensión infinita, está dado como:

64 (vp Con

o=

8,85 * 10

- 12

vo)1 =

D1

E dl

2

d10

q1 0

Ln

d10 D1

(2.81)

[F/m] : constante de permitividad del vacío.

Asimismo, la presencia de los restantes conductores hará que: q2 d Ln 20 (vp-vo)2 2 0 D2 . . d qn (vp-vo)n Ln n0 2 0 Dn Finalmente, la diferencia de potencial entre los ptos. conductores cargados ubicados en ese espacio será: vp

v0 =

2

n

1

qk Ln

0 k 1

y

(2.82)

, debido a la presencia de los

dk 0 Dk

(2.83)

Esta expresión se puede reescribir como: vp - v0 =

2

n

1 0

k 1

qk Ln

1 Dk

2

n

1 0

k 1

(2.84)

qk Ln dk0

Se aprecia que el segundo término es constante para una elección fija del punto vp - v0 =

2

n

1 0

qk Ln

k 1

1 Dk

, por tanto:

Constante

Si se considera que el potencial del punto está referido al y que la constante se eliminará en cada cálculo de diferencia de potencialmente conductores, se tiene, finalmente: vp =

2

n

1 0

qk Ln

k 1

1 Dk

volts

(2.85)

Se debe recalcar que los conductores son cilíndricos, paralelos entre sí y uniformemente cargados en toda su superficie, lo que es razonable para líneas aéreas. 2.5.1.1: Línea Monofásica: Considérese una línea monofásica, como la que se muestra en la figura siguiente: p p

r1

D1

v1

D2 r2

q1

D Figura 2.22: Línea Monofásica de dos Conductores.

q2 v2

65 Aplicando la ecuación (2.85), el potencial en el punto vp =

2

q1 0

Ln

1 D1

2

q2 0

Ln

, será:

1 D2

(2.86)

Trasladando el punto a la superficie de cada uno de los conductores 1 y 2 y considerando que q1 + q2 = 0: q1 q1 1 1 D v1 = Ln - Ln Ln 2 0 r1 D 2 0 r1 v2 =

2

q2 0

Ln

1 1 - Ln r2 D

2

q2 0

Ln

D r2

2

q1 0

Ln

r2 D

Nótese que se ha considerado que como D >> ri ; se tiene D - r1 q1 q1 D D2 v1 v2 = Ln Ln 2 0 r1 r2 r1 r2 0

D

r2

D. Entonces: (2.87)

Así la capacidad de la línea será: C=

v1

q1

v2

0

D

Ln

(2.88)

F/m

(2.89)

m

(2.90)

r1 r 2

Si r1 = r2 = r, se puede escribir: C=

F/m

0

D Ln r

Y la reactancia capacitiva total de la línea será: D 1 1 1 Ln XC r C 2 fC 2 2 f 0

Recuérdese que o es la permitividad del vacío, de valor 8,85 x10 -12 [Coulomb/volt] en el Sistema MKS. En el caso de conductores cableados corresponde al radio exterior. Normalmente se expresa el valor de la capacidad por conductor, por lo que en (2.89), se ha determinado la capacidad total de la línea. Empleando el concepto de capacidades parciales, se puede representar como: 1

Cn

C = C12 2

1

n

Cn 2

Figura 2.23 Capacidades Parciales Equivalentes. En que el punto , es un punto de potencial cero y corresponde a la mitad de la distancia que separa a ambos conductores. Se tiene: Cn = 2 C =

2

0

D Ln r

F/m/conduc tor

Normalmente, atendiendo al gran tamaño del Farad, la capacidad se expresa en

(2.91)

F/km, por lo que:

66 Cn =

0

10 6

XCn =

2

2

2

D 10 -3 r Con lo que: Ln

4

10 9 D Ln r 0

1

9

10 f

0

Ln

D r

F/km/condu ctor

(2.92)

M km/conduct or

(2.93)

2.5.1.2: Línea Trifásica de Disposición Equilátera: La figura siguiente muestra esta disposición para una línea de transmisión: q3 p

D3

3

Ds

D2

D1

Ds

q2

q1 Ds

1

2

Figura 2.24: Línea Trifásica de Disposición Equilátera Se cumple que D12 = D13 = D23 = Ds ; r1 = r2 = r3 = r ; q1 + q2 + q3 = 0 De (2.85), se puede escribir: 1 1 1 vp = q1 Ln q 2 Ln 2 0 D1 D2 Trasladando el punto v1

2

1 0

q3 Ln

1 D3

a la superficie de cada conductor y considerando que D >> r.

q1 Ln

1 r

q 2 Ln

1 Ds

q3 Ln

1 Ds

2

1 0

q1 Ln

Ds r

Análogamente el potencial para los conductores 2 y 3, será: v2 v3

2 2

1 0

1

De allí, se tiene:

0

q1 Ln

1 Ds

q 2 Ln

1 1 q 3 Ln r Ds

q1 Ln

1 Ds

q 2 Ln

1 Ds

C1 = C2 = C3 = Cn =

2 Ln

q3 Ln

0

Ds r

1 r

F/m

2 2

1 0

1 0

q 2 Ln

Ds r

q3 Ln

Ds r

(2.94)

67 Esta capacidad corresponde a cada fase (conductor) con respecto a un punto de potencial cero, que en este caso, por la disposición de la línea está ubicado en el centro del triángulo equilátero, como se muestra en la figura siguiente. 3 C3 = Cn C1 = Cn

O

C2 = Cn

1

2

Figura 2.25: Diagrama de Capacidades Esta capacidad en la nomenclatura de USA, se llama capacidad al neutro y en Europa, capacidad de servicio . Se aprecia que (2.94) es idéntica a (2.91), por tanto si se expresa en [ F/km/fase], se tendrá (2.92) y la reactancia capacitiva estará dada por (2.93). 2.5.1.3: Línea Trifásica con Transposiciones: Asumiendo la línea convenientemente transpuesta como se muestra en la figura siguiente I

II

3

2

1

2

3

1

l/3

l/3

III

1

2

3

l/3

l = largo total de la línea Figura 2.26: Línea Trifásica con Transposiciones: Usando la expresión (2.85) y de la figura 2.26, se puede escribir: v1

v2 v3

2

2 2

1 0

1 0

1 0

q1 Ln

1 1 q 2 Ln r D 12

q1 Ln

1 D 21

q 2 Ln

1 1 q3 Ln r D 23

q1 Ln

1 D 31

q 2 Ln

1 D 32

q 3 Ln

1 D13

q 3 Ln

1 r

Este juego de ecuaciones se puede aplicar a cada tramo del ciclo de transposiciones. Sin embargo, se debe considerar que si se asume que la tensión permanece contante, el valor de las cargas debe variar

68 dada la diferente posición que tienen los conductores en cada tramo. Si se asume que lo que permanece constante son las cargas, variará el potencial. Esta última suposición es la que se hará y en ese caso el potencial del conductor en cada tramo será: 1 1 1 1 v 1 (I) q1 Ln q 2 Ln q3 Ln 2 0 r D12 D13 v 1 (II)

2

v 1 (III)

1

2

0

1 0

q1 Ln

1 1 q 2 Ln r D 23

q3 Ln

1 D 21

1 1 q 2 Ln r D 31

q3 Ln

1 D 32

q1 Ln

La tensión promedio en todo el ciclo de transposiciones será: 1 1 1 1 v1 v 1 (I) v 1 (II) v 1 (III) 3 q1 Ln (q 2 3 32 0 r v1 Entonces:

2

1 0

q1 Ln

3

D12D13D 23 r

1

2

q1

C1 =

2

q1 Ln

0 0

DMG Ln r

v1

q 3 ) Ln

1 D12 D13 D 23

DMG r

F/m

(2.95)

Si se repite el proceso para los otros 2 conductores, se comprueba que C1 = C2 = C3 = Cn, por tanto la capacidad por fase de la línea será: 2 0 Cn = F/m DMG Ln r (2.96) O bien: 2 0 10 9 Cn = F/km DMG Ln r Y la reactancia capacitiva será a su vez: DMG 1 1 XCn = Ln 2 2 f Cn 4 r 0 f XCn =

4

2

m

DMG Ln M km r f 10 9

1

0

(2.97)

2.5.14: Uso de Tablas: Para calcular la reactancia capacitiva y entrar directamente a las tablas, se puede escribir, en forma análoga al cálculo de la reactancia inductiva: Donde:

XCn = X a +X d 10

a= d=

4

10 4

2

2

9 0f

9 0f

Ln

[M

km]

1 M km r

Ln DMG M km

(2.98)

(2.99)

69 2.5.1.5: Cálculo de la Capacidad y Reactancia Capacitiva de Líneas Trifásicas en Doble Circuito: Es posible hacer un desarrollo igual al del caso de la inductancia y reactancia inductiva de líneas en doble circuito. La diferencia se presenta que en lugar de emplear el RMG de cada conductor, se emplea , radio exterior del conductor, dado que la carga eléctrica está distribuida en la periferia de éstos. En general la disposición de los conductores es asimétrica, por lo que se debe asumir que la línea está convenientemente transpuesta. Además se supone que las cargas por unidad de longitud se mantienen constantes en todo el ciclo de transposiciones y los conductores que forman una fase tienen igual carga por unidad de longitud. Fase

1 2

2

Fase Fase

3 Circuito A

Circuito B

Figura 2.27: Línea Trifásica en Doble Circuito En este caso se tiene:

10 9 DMG e Ln RMG e

2

Cn = La reactancia capacitiva será: XCn =

1 Cn

0

F/km

(2.100)

M km

(2.101)

DMG abDMGbc DMG ac

(2.102)

10 -9 4

2

0

Ln

f

DMG e RMG e

Donde: DMGe =

3

DMGab = 4 D 12D12' D1'2 D1'2'

DMG entre fases

y

DMGac = 4 D13 D 13'D 1'3 D 1'3'

DMG entre fases

y

DMGbc =

DMG entre fases

y

4

D 23 D 23' D 2'3 D 2'3'

(2.103)

y: RMGa =

Con lo que:

4

2 r12 D11'

r D11' RMG de la fase

RMGb =

4

r12 D 222'

r 2 D 22' RMG de la fase

RMGc =

4

r32 D 233'

r3 D 33' RMG de la fase

(2.104)

70 RMGe =

3

(2.105)

RMGa RMGb RMG c

2.5.1.6: Conductores Fasciculados: Se analizarán los casos de dos, tres y cuatro conductores por fase: - Dos conductores por Fase: Si se considera la línea mostrada en la figura 2.16. y considerando que la separación entre los conductores se designará por , se tiene D11 = s = D22 = D33 , de donde, para los Radios Medios Geométricos de cada fase se cumplirá que: RMG a = RMGb = RMGc = r s Entonces, reemplazando en la expresión (2.105) RMGe =

3

RMG 3a

rs

Reemplazando en (2.101), se tiene: DMG e 10 9 10 9 Ln XCn = 4 2 0f 4 2 0 f rs 1 X' a 2

X Cn En que:

4

9

10

2

9 0

M km

f

LnDMG e

M km

0

9

10

s=

2

4

Ln

f

0

Ln s

f

M km

M km 1 r

2

4

10

d=

1 X' s 2

X' d

a=

1 1 1 Ln - Ln s Ln DMG e 2 r 2

(2.106)

(2.107)

M km

- Caso de Tres Conductores por Fase: En este caso los subconductores están ubicados en los vértices de un triángulo equilátero de lado , como se muestra la figura 2.28. 1 s

s s

Figura 2.28: Haz de Tres Conductores por Fase Si en (2.101) se reemplaza la expresión del RMGe según (2.47); es decir, 2

2 RMGe = n RMG n D12

D12n

D (2n

1)n

El RMGe, en particular, resulta igual a: X Cn

10 4

2

9 0

f

Ln

DMG e 3

XCn = Con:

r s2 1 X' a 3

10 4

9

2

X' d

0

y considerando, según la figura 2.28 que: D11 = D11 = D RMGe =

9

r 3 s6

3

r s 2 ; por tanto,

1 1 2 Ln - Ln s Ln DMG e r 3 f 3 2 X' s 3

M km

=s

M km

(2.108)

(2.109)

71 a=

9

10 2

4

0 f -9

10

s=

2

4

10 -9

d=

2

4

Ln

f

0

0

f

1 r

M km

Ln s M km

(2.110)

Ln DMG e M km

- Cuatro Conductores por Fase: En este caso los conductores están en el vértice de un cuadrado de lado , como se indica en la figura siguiente: s

1 D11 = D D11 = D

=D =s

=D 2

1

=s

s

s 2

s

s Figura 2.29: Haz de Cuatro Conductores Reemplazando en (2.47), se tiene; RMGe =

16

r 4 s8

2 s

4

4

r s3 2

Introduciendo esta relación en (2.101) DMG e 10 10 9 XCn = Ln 2 2 4 3 4 0 f rs 2 4 X Cn

1 X' a 4

X' d -

3 X' s - 0,00496 4

Con: a= d=

10 4

2

9

f

10 4

2

f

M km

M km

Ln DMG e

M km

0

10 4

9

0

1 1 Ln Ln DMG e 4 r

1 r

2

4 0

s= 0,00496 =

10

9

2

9 0

9 0

f

f

Ln

M km (2.111)

(2.112)

Ln s

M km

Ln 2

M km

f

3 1 Ln s - Ln 2 4 4

En la página siguiente se muestra la tabla Nº 2.8, que incluye los valores calculados para X d y X s. Los valores de X a se obtienen directamente de la tabla de características de los conductores en la columna, componentes de conductor

72 Tabla 2.8: COMPONENTE DE DISTANCIA X d EN [M

km] PARA 50 cps.

Metros 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0 ---0,1318 -0,0921 -0,0689 -0,0525 -0,0397 -0,0292 -0,0204 -0,0128 -0,0060 0 0,0055 0,0104 0,0150 0,0193 0,0232 0,0269 0,0304 0,0336 0,0367

1 -0,2636 -0,1264 -0,0893 -0,0670 -0,0510 -0,0385 -0,0283 -0,0196 -0,0121 -0,0054 0,0006 0,0060 0,0109 0,0155 0,0197 0,0236 0,0273 0,0307 0,0340 0,0370

2 -0,2239 -0,1214 -0,0867 -0,0652 -0,0497 -0,0374 -0,0274 -0,0188 -0,0114 -0,0048 0,0011 0,0065 0,0114 0,0159 0,0201 0,0240 0,0276 0,0310 0,0343 0,0373

3 -0,2007 -0,1168 -0,0841 -0,0635 -0,0483 -0,0363 -0,0264 -0,0180 -0,0107 -0,0042 0,0017 0,0070 0,0119 0,0163 0,0205 0,0243 0,0280 0,0314 0,0346 0,0376

Centímetros 4 5 -0,1843 -0,1715 -0,1125 -0,1086 -0,0817 -0,0794 -0,0618 -0,0601 -0,0470 -0,0457 -0,0353 -0,0342 -0,0255 -0,0247 -0,0172 -0,0165 -0,0100 -0,0093 -0,0035 -0,0029 0,0022 0,0028 0,0075 0,0080 0,0123 0,0128 0,0168 0,0172 0,0209 0,0213 0,0247 0,0251 0,0283 0,0287 0,0317 0,0320 0,0349 0,0352 0,0379 0,0382

6 -0,1610 -0,1049 -0,0771 -0,0585 -0,0445 -0,0332 -0,0238 -0,0157 -0,0086 -0,0023 0,0033 0,0085 0,0132 0,0176 0,0217 0,0255 0,0290 0,0324 0,0355 0,0385

7 -0,1522 -0,1014 -0,0750 -0,0569 -0,0432 -0,0322 -0,0229 -0,0150 -0,0080 -0,0017 0,0039 0,0090 0,0137 0,0180 0,0221 0,0258 0,0294 0,0327 0,0358 0,0388

8 -0,1446 -0,0982 -0,0729 -0,0554 -0,0420 -0,0312 -0,0221 -0,0142 -0,0073 -0,0012 0,0044 0,0095 0,0141 0,0184 0,0224 0,0262 0,0297 0,0330 0,0361 0,0391

9 -0,1378 -0,0951 -0,0709 -0,0539 -0,0408 -0,0302 -0,0212 -0,0135 -0,0067 -0,0006 0,0049 0,0100 0,0146 0,0189 0,0228 0,0265 0,0300 0,0333 0,0364 0,0394

Metros 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0 21,0 22,0 23,0 24,0 25,0

0 0 0,0397 0,0629 0,0794 0,0921 0,1026 0,1114 0,1190 0,1258 0,1318 0,1373 0,1422 0,1468 0,1511 0,1550 0,1587 0,1622 0,1655 0,1686 0,1715 0,1743 0,1769 0,1795 0,1819 0,1843

10 0,0055 0,0425 0,0648 0,0808 0,0933 0,1035 0,1122 0,1197 0,1264 0,1324 0,1378 0,1427 0,1473 0,1515 0,1554 0,1591 0,1625 0,1658 0,1689 0,1718 0,1746 0,1772 0,1797 0,1822 0,1845

20 0,0104 0,0451 0,0666 0,0821 0,0944 0,1044 0,1130 0,1204 0,1270 0,1329 0,1383 0,1432 0,1477 0,1519 0,1558 0,1594 0,1629 0,1661 0,1691 0,1721 0,1748 0,1775 0,1800 0,1824 0,1847

30 0,0150 0,0477 0,0683 0,0835 0,0955 0,1054 0,1138 0,1211 0,1277 0,1335 0,1388 0,1437 0,1481 0,1523 0,1562 0,1598 0,1632 0,1664 0,1694 0,1723 0,1751 0,1777 0,1802 0,1826 0,1849

Centímetros 40 50 0,0193 0,0232 0,0501 0,0525 0,0701 0,0717 0,0848 0,0861 0,0965 0,0976 0,1063 0,1071 0,1146 0,1153 0,1218 0,1225 0,1283 0,1289 0,1341 0,1346 0,1393 0,1398 0,1441 0,1446 0,1486 0,1490 0,1527 0,1531 0,1565 0,1569 0,1601 0,1605 0,1635 0,1638 0,1667 0,1670 0,1697 0,1700 0,1726 0,1729 0,1754 0,1756 0,1780 0,1782 0,1805 0,1807 0,1829 0,1831 0,1852 0,1854

60 0,0269 0,0547 0,0733 0,0874 0,0986 0,1080 0,1161 0,1232 0,1295 0,1351 0,1403 0,1450 0,1494 0,1535 0,1573 0,1608 0,1642 0,1673 0,1703 0,1732 0,1759 0,1785 0,1810 0,1833 0,1856

70 0,0304 0,0569 0,0749 0,0886 0,0996 0,1089 0,1168 0,1238 0,1301 0,1357 0,1408 0,1455 0,1498 0,1539 0,1576 0,1612 0,1645 0,1676 0,1706 0,1735 0,1762 0,1787 0,1812 0,1836 0,1858

80 0,0336 0,0589 0,0764 0,0898 0,1006 0,1097 0,1176 0,1245 0,1307 0,1362 0,1413 0,1459 0,1502 0,1543 0,1580 0,1615 0,1648 0,1679 0,1709 0,1737 0,1764 0,1790 0,1814 0,1838 0,1861

90 0,0367 0,0609 0,0779 0,0910 0,1016 0,1106 0,1183 0,1251 0,1312 0,1367 0,1418 0,1464 0,1507 0,1546 0,1584 0,1618 0,1651 0,1682 0,1712 0,1740 0,1767 0,1792 0,1817 0,1840 0,1863

73 2.5.2: Cálculo de Capacidades de Líneas Considerando el Efecto de Tierra: Se considera en el caso de líneas que operan en Extra Alta Tensión (EAT), ya que la separación entre conductores es comparable a la existente entre conductores y tierra. Para el análisis se harán las siguientes consideraciones: -

La superficie de la tierra se considera un plano equipotencial de potencial cero y extensión infinita. La carga en la superficie de cada conductor se supone uniformemente distribuida. Los conductores se suponen ubicados a una altura constante sobre el plano de tierra, cilíndricos, paralelos entre sí y sus radios son mucho menores que las distancias entre conductores.

Se empleará el método de imágenes, en que a cada conductor le corresponde un conductor imagen ubicado a la misma distancia que el conductor real bajo el plano de tierra. Las cargas de los conductores imágenes son de igual magnitud y signo distinto que la de los conductores reales. Es decir: k

= - qk

Así el cálculo del potencial en un punto respecto a tierra, debido a la presencia de conductores cargados, se transforma en un problema de 2n conductores (los conductores reales y sus imágenes). q2 q1 1

2

D12

D2

D12

H1

D21

Dn

p

D1

n qn

Dk

k qk

D

D22

V=0 D11

D

D

H1

qk 1

q1 q2

Figura 2.30 Línea de

D n

Conductores y sus Imágenes Respectivas.

Bajo las condiciones estipuladas precedentemente, se cumple entonces que: n k 1

Según (2.85), el potencial en el punto

qk

q' k

será:

0

(2.113)

74 vp =

2

n

1

0 k 1

qk Ln

1 Dk

q' k Ln

1 Dk '

(2.114)

2.5.2.1: Línea Monofásica: Este caso, se considerará como una situación particular del caso general. En efecto, si se hace en (2.114), n = 2 y de acuerdo con la figura 2.30, se tiene: vp =

2

vp =

2

1 0

1 0

q1 Ln

1 D1

q2 Ln

q1 Ln

D1' D1

q 2 Ln

Trasladando el punto v1 =

2

v2 =

2

1 0

1 0

1 D2

q'1 Ln

1 D1'

q' 2 Ln

1 D 2'

D 2' D2

, sucesivamente a la superficie de los conductores 1 y 2, se tiene:

q1 Ln

2H1 r1

q 2 Ln

q1 Ln

D12' D12

q 2 Ln

D 12' D 12

2H 2 r2

Considerando que q1 = -q2 y que D12 = D12 (diagonales de un cuadrilátero simétrico), se tiene: v1

v2 =

2

q1 0

Ln

2H1D 12 D r - Ln 12' 2 r1 D12 ' 2 D12 H 2

2

q1 0

Ln

2 4H1H 2 D 12 2 r1 r2 D12 '

q1 0

Ln

2D12 H1H 2 D12 ' r1 r2

Por tanto; la capacidad total de la línea será: C=

v1

q1

v2

0

Ln

10 9

F/km

2 D12 H1 H 2

(2.115)

D12' r1 r2

Si en particular r1 = r2 = r ; H1 = H2 = H y D12 = D; Se tiene C=

10 9 2DH Ln D12' r 0

0

Ln

10 9 2 DH

r 4H 2

F/km

(2.116)

D2

Nótese que si H >> D, esta expresión es igual a la línea monofásica sin considerar el efecto de tierra. En términos de capacidades parciales serie C10 y C20. C12 1

C10

corresponde a la combinación en paralelo de C12 y la rama 2

C20

C = C12 +

C10 C 20 C10 C 20

75 Figura 2.31: Capacidades Parciales de la Línea Monofásica Análogamente al caso en que no se consideró el efecto de tierra: Cn =

2 Ln

10 9 2DH

0

F/km/condu ctor

(2.117)

r 4 H2 D 2 A su vez, la reactancia capacitiva: 10

9

Ln

2DH

M km/conduct or (2.118) 4 0 f r 4 H2 D 2 Considerando que la altura H no es constante, debido a la catenaria o parábola que describe el conductor entre las estructuras vecinas, se realiza la siguiente corrección empírica: XCn =

2

Hm = H

0,7 F

(2.119)

Donde H: Altura del conductor sobre tierra en la torre F: Flecha del conductor 2.5.2.2: Línea Trifásica con Transposiciones: La figura siguiente muestra la distribución de los conductores. 2 3 1 H1

H1

H2

H2

H3

H3

Figura 2.32. Línea Trifásica Asimétrica Asumiendo que la línea está convenientemente transpuesta, se pueden hacer las siguientes consideraciones: - La distancia D, se reemplaza por la DMG entre los conductores. - La altura H, por la altura media geométrica HMG; considere la corrección empírica señalada en (2.119) - En el caso que la línea esté formada por conductores fasciculados, se reemplaza r por RMG de los conductores que forman la fase. Así se tiene:

76 Cn =

X Cn

Ln

2 0 10 9 2 DMG HMG RMG

10 4

2

9 0

Ln

f

4 HMG 2

F/km/fase

(2.120)

DMG 2

2 DMG HMG RMG 4 HMG 2

DMG 2

M km/fase

(2.121)

En el caso de la figura anterior: HMG = DMG = RMG = r

3

H1H 2 H 3

3

m

D12 D13 D 23

m

(para el caso de un solo conductor por fase)

Dada la característica del término logarítmico, la variación de la capacidad es reducida y para líneas trifásicas aéreas la capacidad por fase, varía entre 0,008 [ F/Km/Fase] y 0,009 [ F/Km/fase]. 2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS. 2

2.1.

Determinar el área, en [ mm ], para los siguientes conductores: a) Nº 2 AWG, de 66,37 MCM, 7 hebras b) Nº 4 AWG, de 211,6 MCM, 12 hebras, 3 capas c) 250 MCM, 19 hebras

2.2.

Determine al radio de cada hebra de los mismos conductores del problema Nº 2.1

2.3.

Un conductor de aluminio está compuesto por 37 hilos, cada uno de los cuales tiene un diámetro de 0,333 cm. Calcular la resistencia óhmica en [ /km], a 75 ºC.

2.4.

El conductor Marigold, de 61 hebras, 1.113 MCM, tiene una resistencia óhmica de 0,0513 [ /km] a 25 ºC y una resistencia efectiva de 0,0578 [ /km] a 50 ºC. Verificar el valor de la resistencia óhmica dada por la tabla y calcular el valor del coeficiente de efecto superficial K = Ref/R

2.5.

Los datos de un cierto conductor de aluminio son 0,02828 mm2/m] a 20 ºC; -1 0,00438 (ºC) ; coeficiente de efecto superficial K = 1,1; diámetro, 15 [mm]. Calcular las resistencia óhmica y efectiva a 50 ºC en [ /km].

2.6.

Verifique que el valor de la resistencia óhmica para el conductor ACSR de 500 MCM, 30/7, Heron, es de 0,1162 [ /km]. Determine su diámetro y la sección en [mm2]. Calcule además el diámetro de cada una de las hebras, asumiendo que tanto las de aluminio como las de acero son idénticas.

2.7.

Un cable ACSR, tiene una resistencia efectiva de 0,66 [ /km] a 50 ºC. Se desea reemplazar la línea construida con este cable, por otra formada por dos conductores de cobre estirado en frío, ambos de igual sección y conectados en paralelo. Calcular la sección de cada conductor de cobre, de modo que la línea tenga la misma resistencia, en [ /km], que la original. Los valores medidos, para el cobre, ambos a 20 ºC, son: 0,01772 mm2/m] y 0,00382 (ºC)-1 .

2.8.

Calcular el RMG de los conductores que se muestran en la fig. siguiente, en función del radio cada una de las hebras, que es igual para todas ellas. a)

b) r

c) r

r

de

77 2.9.

El RMG de un conductor de 3 hebras iguales que se muestra en la figura siguiente, es de 0,05 [m]. Determinar el radio de cada uno de los hilos.

r

2.10. Una línea monofásica opera a 50 cps. y tiene una separación de tres metros entre conductores. El conductor y su retorno son de aluminio con 62 , macizos y su diámetro es de 0,412 [mm]. Calcular el valor de la inductancia y reactancia inductiva de la línea por conductor y total. 2.11. Una línea trifásica de disposición horizontal está compuesta por conductores de material no magnético, de tres hebras, con una separación entre las fases Dab = Dbc = 3,5 [m]. El radio de cada hilo es de 3 [mm]. Calcular el RMG y determinar la inductancia y reactancia inductiva por fase de la línea. 1

2.12. Una línea monofásica tiene las siguientes características: Conductor de fase, formado por dos cables, retorno, por uno sólo, todos de aluminio y de iguales características ( 62 266,8 MCM 7 hebras). Calcular la reactancia inductiva, en [ /km], de la línea, cuya configuración se muestra en la figura. Las distancias están expresadas en metros y el gráfico no está dibujado a escala.

1, 3,0 1,0 2

2.13. Una línea monofásica, tiene la disposición mostrada en la figura. La fase está formada por 3 conductores de 2 [mm] de diámetro y el retorno, por dos conductores de 4 [mm] de diámetro cada uno. Calcular la inductancia de la línea en [H/km]. Las distancias están expresadas en metros y todos los conductores son macizos.

F a s e

5 2

2

Retorno

2

2.14. Una línea trifásica de disposición equilátera, tiene una separación entre conductores de 2 metros entre ellos. Se ha decidido rediseñar la línea, empleando el mismo conductor, pero con disposición horizontal, tal que D13 = 2D12 = 2d23. ¿Cuál deberá ser la separación entre conductores adyacentes, para tener la misma inductancia que en el diseño original? 2.15. Una línea trifásica en simple circuito, convenientemente transpuesta, tiene la configuración mostrada en la figura y está operando a 50 cps. El diámetro de cada uno de los conductores, que son macizos, es de 5,83 [mm]. Evaluar la inductancia y reactancia inductiva por fase de la línea. Las distancias están expresadas en metros.

a 2

2 b

5

c

2.16. Determinar la reactancia inductiva de la línea en doble circuito, que opera a 50 cps. cuya disposición se muestra en la figura. La línea está convenientemente transpuesta y el conductor es de cobre 250 MCM y 12 hebras. a 5,0 m 3,0 m

b

7,5 m

4,5 m c

5,0 m

78

2.17. Calcular la reactancia inductiva en [ km/fase] y [ m/fase] de la línea, en doble circuito, que opera a 50 cps, con la disposición mostrada en la figura y que está formada por conductor ACSR Ostrich. a

b

c 1,8 m

1,8 m

1,8 m

1,8 m

1,8 m

2.18. Una línea trifásica en doble circuito es simétrica con respecto a la vertical y está construida con conductor Drake. La línea está convenientemente transpuesta y tiene la disposición que muestra la figura. Calcular la reactancia inductiva, si la línea opera a 50 Hz. a

6m

3m b 3m c 2.19. Calcular la reactancia inductiva de la línea con conductores fasciculados que se muestra en la figura. Los subconductores son ACSR 27/6 de 795 MCM. Las distancias están medidas en metros.

1

2

1

1 0,1

4

2 2

3

3

3

2.20. La línea de la figura está construida con 3 conductores por fase que forman un triángulo equilátero entre sí, con separación de 45 cm entre sub conductores. La línea está operando a 440 kV, 50 cps y está formada por conductores de Al 62 , 795 MCM, 37 hebras. Calcular L y XL. Verifique además que el radio de un sub conductor es de 13,1 mm. Fase a

12 m

8m

Fase b 9m Fase c

79

2.21. Calcule las reactancias inductiva y capacitiva para la línea fasciculada de la figura, cuyos cuatro subconductores están ubicados en los vértices de un cuadrado de lado 0,4 [m]. La línea opera a 500 kV, 50 cps y está formada por cables ACSR 27/6 de 795 MC 7,5 m

7,5 m

Fase a

Fase b

Fase c

2.22. Calcule la capacidad y reactancia capacitiva de las líneas correspondientes a los problemas 2.10 al 2.20. No considere para ellos la presencia del plano de tierra. 2.23. Calcule la capacidad y reactancia capacitiva de la línea del problema Nº 2.15 considerando la presencia del plano de tierra. Las distancias entre conductores y tierra son: Ha = 12 [m], Hb = Hc = 10 [m]. Flecha máxima 80 [cm]. 2.24. Calcule la capacidad y reactancia capacitiva de la línea del problema Nº 2.11, considerando la presencia del plano de tierra y en que la distancia a tierra de uno cualquiera de los conductores es de 12,56 [m] y la flecha máxima es de 0,8 [m] 2.25. Demuestre que para una línea trifásica con transposiciones y considerando el efecto del plano de tierra, la capacidad está dada como: C

Ln

2 0 2 HMG DMG RMG 4HMG

2

DMG

2

80 CAPITULO 3: LINEAS EN REGIMEN PERMANENTE EQUILIBRADO. 3.1: CONSIDERACIONES PRELIMINARES: Las características de operación más importantes de las líneas áreas, son las siguientes: - Seguridad de servicio - Regulación de tensión - Rendimiento El diseño de las líneas, tanto en los aspectos mecánicos como eléctricos deben satisfacer la primera característica. Los conductores y las estructuras se deben dimensionar para resistir las solicitaciones que el sistema eléctrico pueda imponerles en las peores condiciones atmosféricas que puedan preverse. La separación entre conductores, entre conductores y torres, entre conductores y tierra, deben ser las apropiadas a los niveles de tensión de operación de la línea. Los aisladores deben escogerse en cantidad y calidad, de manera que ofrezcan una alta seguridad, por lo que deben considerarse, entre otros factores, las condiciones atmosféricas, contaminación ambiental, resistencia mecánica, sobre tensiones internas (maniobras, fallas) y externas (descargas atmosféricas). La Regulación de Tensión, se define como el aumento de tensión en el extremo receptor de la línea cuando se desconecta el consumo de plena carga, permaneciendo constante la tensión del extremo transmisor y refiriendo esta diferencia a la tensión del extremo receptor a plena carga, es decir: Reg = En que

VRO VR VR

º /1

(3.1)

VR: Tensión del extremo receptor a plena carga VRO: Tensión del extremo receptor en vacío

La regulación depende de los parámetros de la línea y del factor de potencia de la carga. Una buena regulación implica que la resistencia y reactancia inductiva de la línea deben ser de magnitud reducida y mantener un adecuado factor de potencia en el consumo. El Rendimiento, se define como la relación entre la potencia efectiva suministrada al consumo y la potencia efectiva enviada desde el extremo transmisor. La diferencia entre ambas, se debe fundamentalmente a las pérdidas por efecto Joule y en menor medida a las producidas por las corrientes de fuga y efecto corona. Estas dos últimas sólo son significativas en líneas que operan a tensiones elevadas, en cambio las debido a efecto Joule están presente en todo tipo de líneas. Para mejorar el rendimiento se debe disminuir al máximo la resistencia lo que está limitado por el aumento del costo en conductor. La otra alternativa para lograr este mismo resultado, es aumentar la tensión de operación de la línea con lo cual las pérdidas disminuyen con el cuadrado de la tensión. 3.2.CIRCUITOS EQUIVALENTES. El estudio de la transmisión de potencia en C.A. por medio de líneas, hace necesario establecer circuitos equivalentes que dependen del tipo de línea y de sus condiciones de operación. Tanto las líneas monofásicas como trifásicas, se supondrán operando en régimen permanente sinusoidal y en el caso de las trifásicas, se considera que operan en condiciones equilibradas. Esto último implica que el consumo debe ser equilibrado, que los parámetros por fase sean iguales para las tres fases y que la tensión de alimentación sea balanceada, esto es las tres fases con igual tensión y desfasadas 120º entre sí. En estas condiciones la línea trifásica se puede representar por un circuito equivalente monofásico. Adicionalmente, todos los cálculos por fase de una línea trifásica son aplicables al caso de líneas monofásicas. La figura siguiente muestra la representación monofásica de una línea trifásica. En ella, R , L , C y G representan los parámetros por unidad de longitud.

81

dl

dl

L dl dl

L dl dl

dl

dl

L dl dl

dl

dl

dl l = longitud total de la línea Figura 3.1: Parámetros Distribuidos de una Línea Trifásica en Representación Monofásica. La conductancia G usualmente se desprecia, en atención a las consideraciones realizadas en el segundo capítulo, por lo que la rama shunt puede considerarse solamente capacitiva. El valor de las corrientes que fluyen por estas ramas se suma a la requerida por el consumo y será parte de la que la línea toma de la fuente de alimentación. Dependiendo de la longitud de las líneas y de su tensión de operación se pueden realizar simplificaciones importantes en el modelo, pero que garantizan una precisión razonable. De esta manera es posible clasificar las líneas en cortas, de mediana longitud y líneas largas. 3.2.1: Línea Corta: Se designan así, aquellas líneas cuya longitud es menor a 50 km y su tensión de operación es menor que 110 kV. En estas condiciones es posible despreciar los efectos de la capacidad distribuida y representar la resistencia e inductancia por parámetros concentrados. El circuito equivalente en régimen permanente sinusoidal, se muestra en la figura siguiente, con su correspondiente diagrama fasor. IR

IT

R

VT

XL VR

VT

O

C

IT

(a)

VR

R

IR

V XL I

A B

RI

I

90º -

R

(b)

Figura 3.2: (a): Circuito equivalente de una línea corta (b): Diagrama Fasor para un consumo inductivo. En la figura:

R = R l : Resistencia total de la línea XL = L = l : Reactancia inductiva total de la línea Z = R + jXL : Impedancia total de la línea I T IR I : Corriente de línea a) Relaciones Tensión, Corriente, Potencia: Directamente de la figura se tiene: VT (R j X L ) I VR V VR Con :

VR = VR / 0º : Tensión del extremo receptor, escogido como origen de fases.

(3.2)

82 : Tensión del extremo transmisor

V T = VT / IT

IR

I= I /

R

: Corriente del consumo que se ha supuesto inductivo

V : Fasor caída de tensión de la línea.

La potencia compleja suministrada por el extremo transmisor será: S T PT j Q T VT I T A su vez, la correspondiente al extremo receptor será SR

VR I R

PR

(3.3)

j QR

(3.4)

b) Regulación de Tensión: Según (3.1): Reg = O bien: Reg =

VRO

VR

VRO

VR

VR

VR

º /1

100

%

Si se desconecta el consumo de plena carga la corriente en la línea será nula, es decir I VR0 = VT Entonces: V VR Reg = T º /1 VR

Reg =

VT

VR

VR

V T - VR = VT

Así:

___

___

, pequeños, se puede escribir:

___

___

VR = OB - OC OA - OC

VT - VR = V = R I cos

R

(3.5)

100 %

Del diagrama fasorial, fig. 3.2 (b) y para ángulos ___

0, por tanto:

+ XLI cos (90º-

AB 0

R)

= RI cos

R

+ XL I sen

R

(3.6)

Que se define como caída de tensión en la línea. Para la regulación de tensión, se puede escribir: Reg =

R I cos

Además: PR = VR I cos

R

X L I sen VR R

I cos

R

º /1

R

PR VR

QR I sen R QR =VR I sen R VR Reemplazando (3.8) en (3.6), la caída de tensión en la línea será: R PR X L QR V = VT - VR VR Si se reemplaza 3.8 en (3.7), se puede escribir en forma alternativa para la regulación de tensión:

(3.7)

(3.8)

(3.9)

83 Reg = Además, de (3.9):

VR2

VR =

VT 2

R PR

X L QR

VR2

(3.10)

VTVR + (R PR + XL QR) = 0 ; por tanto: VT 2

2

R PR

XL QR

(3.11)

c) Rendimiento: El rendimiento se calcula de la forma clásica, es decir, la relación entre las potencias activa del extremo receptor, sobre la del extremo transmisor. Así se tiene: PR 100 % PT La potencia perdida en la línea se puede evaluar como: Pp = PT - PR = R I2 Con ello, el rendimiento o eficiencia de la línea se puede reescribir como: Pp 1100 % PT

(3.12) (3.13)

(3.14)

d) Capacidad de Transmisión de la Línea: Se define como la máxima potencia efectiva que la línea puede proporcionar al consumo (extremo receptor) para valores preestablecidos de tensiones en ambos extremos. Del diagrama fasorial de la figura (3.2) b) y de (3.4), se tiene: SR Definiendo: VT

PR

j QR

VR I R

VR

VT VR R j XL

VT / VR / 0º

VR Se tiene:

1 (VT VR /- - VR2) R - j XL O lo que es lo mismo: R j XL SR VT VR cos - j VT VR sen - VR2 R 2 X L2 Separando en partes real e imaginaria, se puede escribir: 1 PR = 2 R VT VR cos - R VR2 X L VT VR sen 2 R XL SR

QR =

1

X L VR2

(3.15)

X L VT VR cos - R VT VR sen R 2 X L2 , Para obtener el máximo de potencia a transferir desde la línea a la carga, se deriva con respecto a entonces: PR 1 R VT VR sen X L VT VR cos 0 2 R X L2 X R sen = XL cos tg = L (3.16) R

84 De esta relación se aprecia que PR será máxima, cuando el ángulo de desfase entre las tensiones del extremo transmisor y del receptor, sea igual al ángulo propio de la impedancia de la línea, usualmente designado como " , que se muestra en la figura siguiente en el triángulo de impedancias:

Z

Z sen

Z cos

XL

R

Figura 3.3: Triángulo de Impedancias de una Línea Corta. XL tg R De modo que se cumple que: tg

Es decir:

Z cos

=R

Z sen

= XL

R cos

R2

X L sen

X L2

(3.17)

VT VR

(3.18)

Reemplazando en (3.15) PR

R

2

1

X L2

R VR2

VT VR R 2

X L2

-

R

2

R

X L2

VR2

1 R2

X L2

Si R