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• Karolina Sanchez

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4.38. Si hay 10 preguntas de opción múltiple en un examen, cada una con tres posibles respuestas, ¿Cuántas diferentes secuencias de respuestas hay? Aplicando la regla de conteo 1: El número de Secuencias diferentes (𝑆𝑑 ) será: 𝑆𝑑 = 𝐾 𝑛 Dónde: • 𝐾=3 • 𝑛 = 10 Reemplazando tenemos entonces: 𝑆𝑑 = 310 = 𝟓𝟗𝟎𝟒𝟗 [𝑆𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ] 4.40. a)

Si se lanza al aire una moneda siete veces, ¿Cuántos resultados diferentes son posibles?

El número de resultados diferentes posibles (𝑆𝑑 ) será: 𝑆𝑑 = 𝐾 𝑛 Dónde: • 𝐾=2 • 𝑛=7 Reemplazando tenemos entonces: 𝑆𝑑 = 27 = 𝟏𝟐𝟖 [ 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ] b) Si se lanza un dado siete veces, ¿Cuántos resultados diferentes son posibles? De igual forma el número de resultados diferentes posibles (𝑆𝑑 ) será: 𝑆𝑑 = 𝐾 𝑛 Dónde Ahora: • 𝐾=6 • 𝑛=7 Reemplazando tenemos entonces: 𝑆𝑑 = 67 = 𝟐𝟕𝟗𝟗𝟑𝟔 [ 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ] c)

Discuta las diferencias en sus respuestas a los incisos a) y b).

Existe una diferencia de resultados posibles debido a que el número de estados de los 2 diferentes componentes (Moneda y Dado) es diferente, pero manteniendo el número de (n) eventos constante. En el primer caso se tienen solo 2 estados diferentes (Cara o cello), en cambio en el segundo componente, el dado se tienen 6 estados (Se tienen 6 diferentes formas de que caiga el dado, es decir con la cara 1, 2, 3, 4, 5, o 6). 4.44. En la Liga Mayor De Béisbol hay 5 equipos en la División Occidental de la Liga Nacional: Arizona, Los Ángeles, San Francisco, San Diego y Colorado. ¿Cuántos diferentes órdenes de terminar hay para estos 5 equipos? ¿Piensa que todos estos ordenes son igualmente posibles? Discuta su respuesta. El número de diferentes órdenes posibles (𝑆𝑜 ) será: 𝑆𝑜 = 𝑛! Dónde Ahora: • 𝑛=5 Reemplazando tenemos entonces:

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𝑆𝑜 = 5! = 𝟏𝟐𝟎 [𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ] Como no se considera primordial el orden en el que termine La Liga de Béisbol, se debe utilizar la regla de las permutaciones, es decir la regla de conteo 3. 4.47 El gran Premio Big Triple, en la pista de carreras local, consiste en elegir un orden correcto de llegada para los tres primeros caballos de novena carrera. Si hay 12 caballos inscritos en la novena carrera de hoy, ¿Cuántos resultados Big Triple habrá? El número de diferentes órdenes posibles pero considerando un orden correcto (𝑛𝑃𝑟) será: 𝑛𝑃𝑟 =

𝑛! (𝑛 − 𝑟)!

Dónde: • 𝑟=5 • 𝑛 = 12 Reemplazando tenemos entonces: 𝑛𝑃𝑟 =

12! = 𝟏𝟑𝟐𝟎 [𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ] (12 − 3)!

4.49 Un estudiante tiene siete libros que quisiera colocar en un estuche. Sin embargo en el solo caben cuatro libros sin importar el orden, ¿cuántas formas hay de colocar los 4 libros en el estuche? Debido a que no importa el orden del arreglo, el número de diferentes formas de colocar los libros (𝑛𝐶𝑟) será: 𝑛! 𝑛𝐶𝑟 = 𝑟! (𝑛 − 𝑟)! Dónde: • 𝑟=4 • 𝑛=7 Reemplazando tenemos entonces: 𝑛𝐶𝑟 =

7! = 𝟑𝟓[𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ] 4! (7 − 4)!

5.10. El 60% de los estadounidenses leen su contrato de trabajo, incluyendo las letras pequeñas (“Snapshots” usatoday.com, 20 de enero, 2004). Suponga que el número de empleados que leen cada una de las palabras de su contrato se puede modelas utilizándola Distribución Binomial. Considerando un grupo de cinco empleados, encuentre cuales la probabilidad de que: a) b) c) d)

Los cinco lean cada una de las palabras de su contrato. Al menos tres lean cada una de las palabras de su contrato. Menos de dos lean cada una de las palabras de su contrato. ¿Cuáles serían sus respuestas para los incisos a) a c)?, si la probabilidad de que un empleado lea cada una de las palabras de su contrato es de 0.80. La Distribución Binomial 𝑃(𝑟) será: 𝑃(𝑟) = Dónde: • • • a)

𝑛! ∗ 𝑝𝑟 ∗ (1 − 𝑝)𝑛−𝑟 𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

𝑛=5 𝑝 = 0,6 1 − 𝑝 = 0,4 La Probabilidad de que los cinco (𝐫 = 𝟓) lean cada una de las palabras de su contrato es entonces:

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𝑃(𝑟 = 5) =

5! 5! ∗ 0,65 ∗ (1 − 0,6)5−5 = ∗ 0,65 ∗ (1 − 0,6)0 5! (5 − 5)! 5! 𝑃(𝑟 = 5) = 0,65 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟕𝟕𝟔

b) La Probabilidad de que al menos tres (𝟑 ≤ 𝒓) lean cada una de las palabras de su contrato es entonces: 𝑃(𝑟 = 3) =

5! 5! ∗ 0,63 ∗ (1 − 0,6)5−3 = ∗ 0,63 ∗ (1 − 0,6)2 3! (5 − 3)! 3! ∗ 2! 𝑃(𝑟 = 3) = 𝟎, 𝟑𝟒𝟓𝟔

𝑃(𝑟 = 4) =

5! 5! ∗ 0,64 ∗ (1 − 0,6)5−4 = ∗ 0,64 ∗ (1 − 0,6)1 4! (5 − 4)! 4! ∗ 1! 𝑃(𝑟 = 4) = 𝟎, 𝟐𝟓𝟗𝟐

Finalmente la probabilidad de que al menos tres lean el contrato 𝑃(𝑟 ≥ 3) es: 𝑃(𝑟 ≥ 3) = 𝑃(𝑟 = 3) + 𝑃(𝑟 = 4) + 𝑃(𝑟 = 5) = 𝟎, 𝟑𝟒𝟓𝟔 + 𝟎, 𝟐𝟓𝟗𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟕𝟕𝟕𝟔 𝑃(𝑟 ≥ 3) = 𝟎, 𝟔𝟖𝟐𝟓𝟔 c)

La probabilidad de que menos (𝒓 ≤ 𝟐) de dos lean cada una de las palabras de su contrato es: 𝑃(𝑟 < 2) = 𝑃(𝑟 = 0) + 𝑃(𝑟 = 1)

Dónde: 𝑃(𝑟 = 0) =

5! 5! ∗ 0,60 ∗ (1 − 0,6)5−0 = ∗ 0,60 ∗ (1 − 0,6)5 0! (5 − 0)! 5! 𝑃(𝑟 = 0) = 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟐𝟒

𝑃(𝑟 = 1) =

5! 5! ∗ 0,61 ∗ (1 − 0,6)5−1 = ∗ 0,61 ∗ (1 − 0,6)4 1! (5 − 1)! 1! ∗ 4! 𝑃(𝑟 = 1) = 𝟎, 𝟎𝟕𝟔𝟖

Finalmente reemplazando estos datos, tenemos: 𝑃(𝑟 < 2) = 0,01024 + 0,0768 = 𝟎, 𝟎𝟖𝟕𝟎𝟒 d) ¿Cuáles serían sus respuestas para los incisos a) a c)?, si la probabilidad de que un empleado lea cada una de las palabras de su contrato es de 0.80. •

La Probabilidad de que los cinco (𝑟 = 5) lean cada una de las palabras de su contrato es entonces: 𝑃(𝑟 = 5) =

5! 5! ∗ 0,85 ∗ (1 − 0,8)5−5 = ∗ 0,85 ∗ (1 − 0,8)0 5! (5 − 5)! 5! 𝑃(𝑟 = 5) = 0,85 = 𝟎, 𝟑𝟐𝟕𝟔𝟖

•

La Probabilidad de que al menos tres (3 ≤ r) lean cada una de las palabras de su contrato es entonces: 𝑃(𝑟 = 3) =

5! 5! ∗ 0,83 ∗ (1 − 0,8)5−3 = ∗ 0,83 ∗ (1 − 0,8)2 3! (5 − 3)! 3! ∗ 2! 𝑃(𝑟 = 3) = 𝟎, 𝟐𝟎𝟒𝟖

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𝑃(𝑟 = 4) =

5! 5! ∗ 0,84 ∗ (1 − 0,8)5−4 = ∗ 0,84 ∗ (1 − 0,8)1 4! (5 − 4)! 4! ∗ 1! 𝑃(𝑟 = 4) = 𝟎, 𝟒𝟎𝟗𝟔

Finalmente la probabilidad de que al menos tres lean el contrato 𝑃(𝑟 ≥ 3) es: 𝑃(𝑟 ≥ 3) = 𝑃(𝑟 = 3) + 𝑃(𝑟 = 4) + 𝑃(𝑟 = 5) = 𝟎, 𝟐𝟎𝟒𝟖 + 𝟎, 𝟒𝟎𝟗𝟔 + 𝟎, 𝟑𝟐𝟕𝟔𝟖 𝑃(𝑟 ≥ 3) = 𝟎, 𝟗𝟒𝟐𝟎𝟖 •

La probabilidad de que menos (𝑟 ≤ 2) de dos lean cada una de las palabras de su contrato es: 𝑃(𝑟 < 2) = 𝑃(𝑟 = 0) + 𝑃(𝑟 = 1)

Dónde: 𝑃(𝑟 = 0) =

𝑃(𝑟 = 1) =

5! 5! ∗ 0,80 ∗ (1 − 0,8)5−0 = ∗ 0,80 ∗ (1 − 0,8)5 0! (5 − 0)! 5! 𝑃(𝑟 = 0) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟐

5! 5! ∗ 0,81 ∗ (1 − 0,8)5−1 = ∗ 0,81 ∗ (1 − 0,8)4 1! (5 − 1)! 1! ∗ 4! 𝑃(𝑟 = 1) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟒

Finalmente reemplazando estos datos, tenemos: 𝑃(𝑟 < 2) = 0,00032 + 0,0064 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟐 5.22. El gerente de control de calidad de Marilyn`s Cookies inspecciona un lote de galletas con chispas de chocolate que se acaban de preparar. Si el proceso de producción está bajo control, la media de chispas de chocolate por galleta es de 6.0 ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier galleta inspeccionada? a)

Se encuentren menos de cinco chispas?

b) Se encuentre exactamente cinco chispas? c)

Se encuentren cinco o más chispas?

d) Se encuentren cuatro o cinco chispas? La Distribución utilizada es la Poisson 𝑃(𝑟) será: 𝑃(𝑟) =

𝑒 −𝜆 𝜆𝑟 𝑟!

Dónde: • 𝜆=6 Luego: a) La probabilidad de que se encuentren menos de cinco chispas es: 𝑃(𝑟 < 5) = P(𝑟 = 0) + P(𝑟 = 1) + P(𝑟 = 2) + P(𝑟 = 3) + P(𝑟 = 4) Dónde: P(𝑟 = 0) =

𝑒 −6 60 = 0,00247875217 0!

P(𝑟 = 1) = P(𝑟 = 2) =

𝑒 −6 61 = 0,0148725 1!

𝑒 −6 62 = 0,04461753918 2!

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P(𝑟 = 3) =

𝑒 −6 63 = 0,0892350786 3!

P(𝑟 = 4) =

𝑒 −6 64 = 0,1338526175 4!

Finalmente reemplazando estos datos se tiene: P(𝑟 < 5) = 0,00247875217 + 0,0148725 + 0,04461753918 + 0,0892350786 + 0,1338526175 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟓𝟎𝟓𝟔𝟓 b) Se encuentre exactamente cinco chispas? 𝑒 −6 65 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟎𝟔𝟐𝟑 5!

P(𝑟 = 5) = c)

Se encuentren cinco o más chispas? P(𝑟 ≥ 5) = 1 − P(𝑟 < 5) = 1 − 0,2850565 = 𝟎, 𝟕𝟏𝟒𝟗𝟒𝟑𝟓

d) Se encuentren cuatro o cinco chispas? P(𝑟 = 4 o r = 5) = P(𝑟 = 4 ) + P(r = 5) = 0,1338526175 + 0,160623 = 𝟎, 𝟐𝟗𝟒𝟎𝟖𝟑 5.24. El Departamento den Transporte de EUA registra las estadísticas de las maletas por cada 1000 pasajeros. En 2003, Jet Blue tuvo 3,21 maletas maltratadas porcada 1000 pasajeros. ¿Cuál es la probabilidad de que, con los próximos 1000 pasajeros, jet Blue tenga: a) Ninguna maleta maltratada? e) Al menos un maleta maltratada? b) Al menos 2 maletas maltratadas c) Compare los resultados de los incisos a) a c) con los Delta en el problema 5.25, incisos a) a c). La Distribución utilizada es la Poisson 𝑃(𝑟) será: 𝑃(𝑟) =

𝑒 −𝜆 𝜆𝑟 𝑟!

Dónde: • 𝜆 = 3,21 Luego: a) La probabilidad de que ninguna maleta este maltratada es: 𝑃(𝑟 = 0) =

𝑒 −3,21 ∗ 3,210 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟎𝟑𝟓𝟔𝟔𝟏𝟑𝟐𝟕 0!

b) Al menos un maleta maltratada? 𝑃(𝑟 ≥ 1) 𝑃(𝑟 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑟 = 0) = 1 − 0,04035661327 = 𝟎, 𝟗𝟓𝟗𝟔𝟒𝟑𝟒 c)

Al menos 2 maletas maltratadas 𝑃(𝑟 ≥ 2) = 1 − [𝑃(𝑟 = 0) + 𝑃(𝑟 = 1)]

Dónde: 𝑃(𝑟 = 1) =

𝑒 −3,21 ∗ 3,211 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟗𝟓𝟒𝟒𝟕𝟑 1!

Donde finalmente reemplazando estos datos tenemos: 𝑃(𝑟 ≥ 2) = 1 − 0,04035661327 − 0,12954473 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟎𝟎𝟗𝟖𝟔𝟔

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d) Compare los resultados de los incisos a) a c) con los Delta en el problema 5.25, incisos a) a c). •

La probabilidad de que ninguna maleta este maltratada es: 𝑃(𝑟 = 0) =

•

𝑒 −3,84 ∗ 3,210 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟏𝟒𝟗𝟑𝟔 0!

Al menos un maleta maltratada? 𝑃(𝑟 ≥ 1) 𝑃(𝑟 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑟 = 0) = 1 − 0,0214936 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟖𝟓𝟎𝟔𝟒

•

Al menos 2 maletas maltratadas 𝑃(𝑟 ≥ 2) = 1 − [𝑃(𝑟 = 0) + 𝑃(𝑟 = 1)]

Dónde: 𝑃(𝑟 = 1) =

𝑒 −3,84 ∗ 3,211 = 𝟎, 𝟎𝟖𝟐𝟓𝟑𝟓𝟒 1!

Donde finalmente reemplazando estos datos tenemos: 𝑃(𝑟 ≥ 2) = 1 − 0,0214936 − 0,0825354 = 𝟎, 𝟖𝟗𝟓𝟗𝟗𝟕𝟏

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