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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIER´IA - FIEE ´ A LA F´ISICA DEL ESTADO SOLIDO ´ INTRODUCCION - FI904 Por: Nelson Villegas 27 de diciembre de 2019

Seminario 3, 2019-2 Problema 1 Un mes´ on π 0 es una particula inestable producto de las colisiones entre part´ıculas de alta energ´ıa. Su energ´ıa en reposo es de aproximadamente 135 M eV , y tiene una existencia con un tiempo de vida promedio de solo 8, 70 × 10−17 s antes de decaer, formando dos rayos gamma. Utilizando el principio de incertidumbre, estime la incertidumbre fraccionaria ∆m/m en la determinaci´on de su masa.

Soluci´ on:

Problema 2 Un fastidioso mosquito de 1, 5 mg est´ a zumbando cerca de usted mientras estudia f´ısica, en su habitaci´ on, la cual mide 5, 0 m de ancho y 2, 5 m de alto. Decide aniquilar de un golpe al insecto cuando ´este se aproxima a usted pero sabe que necesita estimar la rapidez del insecto para darle un golpe certero. a) ¿Cu´ al es la incertidumbre m´ axima en la posici´on horizontal del mosquito? b) ¿Qu´e l´ımite impone el principio de incertidumbre de Heisenberg a su capacidad de conocer la velocidad horizontal de este mosquito? ¿Dicha limitaci´on es un impedimento serio en su intento por aniquilarlo?

Soluci´ on:

Problema 3 La part´ıcula A se describe con la funci´ on de onda ψ(x, y, z). La particula B se describe con la funci´on de onda ψ(x, y, z)exp(i∆φ) siendo φ una constante real. ¿C´omo se compara la probabilidad de encontrar la particula A dentro del volumen dV en torno a cierto punto en el espacio, con la probabilidad de encontrar la particula B dentro de ese mismo volumen?

Soluci´ on:

Problema 4 Una particula en movimiento en una dimensi´on (el eje x) se describe por la funci´on de onda ( −bx Ae , x>0 ψ(x) bx Ae , x 0 y el eje x apunta hac´ıa la derecha. 1

a) Determine A de manera que se normalice la funci´on de onda. b) Grafique la funci´ on de onda. c) Calcule la probabilidad de encontrar esta part´ıcula en cada una de las siguientes regiones: i) entre x = 0 y x = 0, 5 m, ii) entre x = −0, 5 m y x = 0 (¿puede usted adivinar primero la respuesta observando la gr´afica de la funci´ on de onda?), iii) entre x = 0, 50 m y x = 1, 00 m.

Soluci´ on: Pregunta a, usando la condici´ on de normalizaci´on y considerando que A > 0: Z

∞

Ψ∗ Ψdx = 1,

Z

0

Integramos por intervalos :

−∞

A2 e2bx dx +

−∞

→

−A2 −2bx ∞ 2A2 A2 e )|0 = =1 ( e2bx )|0−∞ + ( 2b 2b 2b

∞

Z

A2 e−2bx dx = 1

0

→

√ A=

b=

√

2

Pregunta b, graficamos reemplazando los valores de b y A:

Pregunta c: Probabilidad de que la part´ıcula este entre x = 0 y x = 0,5 m: Z 0,5 Z 0,5 A2 A2 −A2 −2bx 0,5 e )|0 = − e−b + Ψ∗ Ψdx → A2 e−2bx dx = ( 2b 2b 2b 0 0 Z 0,5 −1 −1 1 Ψ∗ Ψdx = e + = 0,316 2 2 0 Probabilidad de que la part´ıcula este entre x = −0,5 y x = 0 m: Z 0 Z 0 A2 A2 A2 2b Ψ∗ Ψdx → A2 e2bx dx = ( e2bx )|0−0,5 = − e 2b 2b 2b −0,5 −0,5 Z 0 1 1 Ψ∗ Ψdx = − e−1 = 0,316 2 2 −0,5 Probabilidad de que la part´ıcula este entre x = 0,5 y x = 1,0 m: Z 1,0 Z 1,0 −A2 −2bx 1,0 A2 A2 −b Ψ∗ Ψdx → A2 e−2bx dx = ( e )|0,5 = − e−2b + e 2b 2b 2b 0,5 0,5 Z 1,0 1 1 Ψ∗ Ψdx = − e−2 + e−1 = 0,116 2 2 0,5 2

Problema 5 Sean ψ1 y ψ2 dos soluciones de la ecuaci´ on de Schr¨odinger unidimensional, con la misma energ´ıa E. Demuestre que ψ = Bψ1 + Cψ2 tambi´en es una soluci´ on con energ´ıa E, para cualquier valor de las constantes B y C.

Soluci´ on:

Problema 6 Sean ψ1 y ψ2 dos soluciones de la ecuaci´ on de Schr¨odinger unidimensional con energ´ıas E1 y E2, respectivamente, donde E1 6= E2. ¿Es ψ = Aψ1 + Bψ2 , donde A y B son constantes distintas de cero, una soluci´on a la ecuaci´ on de Schr¨ odinger unidimensional? Explique su respuesta

Soluci´ on:

Problema 7 Considere, en un modelo unidimensional, una particula libre [V (x) ≡ 0], cuya funci´on de onda en el instante t = 0 es: +∞ √ Z 2 a2 a e− 4 (k−k0 ) eikx dx ψ(x, 0) = 3/4 (2π) −∞

Este paquete de onda es obtenido por la superposici´on de ondas planas eikx con coeficientes de funciones gaussianas centradas en k = k0 . En el instante la densidad de probabilidad de la particula. R ∞ t =20, determine √ (Sugerencia: Usar la siguiente integral −∞ e−ξ dξ = π)

Soluci´ on: Hacemos cambio de variable : k − k0 = z,

→

dk = dz,

→

k = z + k0

Reemplazamos, nos queda : √

a ψ(x, 0) = (2π)3/4

+∞ Z 2 a2 e− 4 (z) eizx eik0 x dz −∞

Retiramos e

ik0 x

de la integral y formamos un binomio cuadrado en la potencia de e: √

a ik0 x ψ(x, 0) = e (2π)3/4

+∞ Z a2 2 e− 4 z +izx dz =

√

a ik0 x e (2π)3/4

−∞

+∞ Z iaz x 2 x2 e( 2 + a ) − a2 dz

−∞

x2

Retiramos e− a2 de la integral y hacemos un nuevo cambio de variable : iaz + √

x2 a ψ(x, 0) = (eik0 x e− a2 ) 3/4 (2π)

x = iw, a

→

dz =

dw a

+∞ x2 √ √ Z 2 a π eik0 x e− a2 −w2 dw ik0 x − x 2 e = (e e a ) = a a (2π)3/4 (2π)3/4 a1/2

−∞

Por definici´ on la densidad de probabilidad es el cuadrado del m´odulo de la funcion de onda ψ: x2

2

|ψ|

→

x2

2x2

e(−i)k0 x e− a2 eik0 x e− a2 e− a2 )( )= |ψ| = ( 3/4 1/2 3/4 1/2 (2π) a (2π) a (2π)3/2 a 2

3

Problema 8 Considere una particula movi´endose en un potencial  x 0), x>0 a) Escriba la soluci´ on general de la ecuaci´ on de Schr¨odinger para las regiones I, II y III. Asumiendo una soluci´ on con energia E < V b) Escriba las funciones de onda considerando las condiciones en las interfaces entre 1 y lly entre ll y III. c) Escriba las condiciones de frontera de la funci´on de onda y para x → ∞ d) Use las respuestas a)-c) para obtener la ecuaci´on algebraica que debe satisfacerse para estados de energ´ıa E.

Soluci´ on: a) ϕ para las regiones I, II y III: • Regi´ on I, intervalo −∞ < x < 0: Como el potencial es V (x) = ∞, simplemente la particula no puede estar aqu´ı: ϕI = 0 • Regi´ on II, intervalo 0 ≤ x ≤ L, donde V (x) = 0, reemplazando la ecuaci´on de Schr¨odinger: −

}2 d2 ϕ + (0)ϕ = Eϕ 2m dx2

→

d2 ϕ 2mE + 2 ϕ=0 dx2 }

Resolviendo ´esta u ´ltima ED: ikx

ϕII = Ae

−ikx

+ Be

,

√ 2mE k= }

• Regi´ on III, Para el intervalo L < x < ∞, donde V (x) = V , y V > E, reemplazando la ecuaci´ on de Schr¨ odinger: −

}2 d2 ϕ + V ϕ = Eϕ 2m dx2

→

d2 ϕ 2m(V − E) − ϕ=0 dx2 }2

Resolviendo esta u ´ltima ED, con E0 > E: p k1 x

ϕIII = Ce

−k1 x

+ De

,

k1 =

2m(V − E) }

Aqu´ı debemos tener presente de los postulados de la mecanica cu´antica que las funciones de onda de una part´ıcula son finitas y convergentes en el infinito, por ellos el termino Cek1 x debe eliminarse, ya que es una funci´ on exponencial creciente, ´osea, C = 0. Obteniendo finalmente: p 2m(V − E) −k1 x ϕIII = De , k1 = } b) Resolviendo las condiciones de frontera de ϕ:

4

• Entre la regi´ on I y II, ´ osea en x = 0: ϕI (0− ) = ϕII (0+ )

→

0=A+B

→

A = −B √

→ ϕII = Aeikx − Ae−ikx → ϕII = 2Ai sin(kx),

k=

2mE }

• Entre la regi´ on II y III, ´ osea en x = L: ϕII (L− ) = ϕIII (L+ )

2Ai sin(kL) = De−k1 L → D = 2Ai sin(kL)ek1 L p √ 2m(V − E) 2mE = 2Ai sin(kL)ek1 L e−k1 x , k= y k1 = } }

→ ϕIII

→

• Resumiendo quedar´ıan: ϕI = 0,

ϕII = 2Ai sin(kx) √ 2mE donde : k= }

ϕIII = 2Ai sin(kL)ek1 L e−k1 x p 2m(V − E) ∧ k1 = }

∧

c) Condiciones de frontera de ϕ cuando x → −∞ y x → ∞ : • Cuando x → −∞; trabajamos con ϕI (−∞ < x < 0), y evaluamos el l´ımite de ϕI cuando x → −∞ l´ım (ϕI ) = l´ım (0) = 0

x→−∞

x→∞

• Cuando x → ∞; trabajamos con ϕIII (L < x < ∞), y evaluamos el l´ımite de ϕIII cuando x → ∞ : l´ım (ϕIII ) = l´ım (2Ai sin(kL)ek1 L e−k1 x ) = 0

x→∞

x→∞

d) Estados de energ´ıa: • Intervalo −∞ < x < 0, dado que ϕI = 0; simplemento no existe ning´ un estado de energ´ıa: E1 = 0 • Intervalo 0 ≤ x ≤ L, existe ϕII , despejamos de k la energ´ıa: √ 2mE k 2 ~2 k= → E= } 2m • Intervalo 0 < x < L, existe ϕIII , despejamos de k1 la energ´ıa: p 2m(V − E) k 2 ~2 k1 = → E=V − 1 } 2m

Problema 9 Para una part´ıcula de masa m y energ´ıa E (E > U0 ) que se mueve en el eje X, desde −∞, en un potencial escal´ on (U = 0, x < 0; U = U0 , x > 0), halle los coeficientes de reflexi´on y de transmisi´on.

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Soluci´ on: En este probema utilizaremos la ecuaci´ on de Schr¨odinger en una dimensi´on (la gr´afica y la pregunta as´ı lo sugieren) e independiente del tiempo, (para hacerla temporal s´olo bastar´ıa multiplicar a todas las funciones de onda halladas, por la misma funci´ on de tiempo, por ejemplo γt = γ0 e−wt ). Ecuaci´ on de Schr¨ odinger 1-D independiente del tiempo: −

h2 2 ∇ ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m

Escribimos todo en funci´ on de x y haciendo V (x) = U , Entonces la ecuaci´on que usaremos ser´a: −

}2 d2 ψ + U ψ = Eψ 2m dx2

...

(α)

Graficamos el la energ´ıa potencial en regiones. Seg´ un la pregunta nos dicen:

• Para el intervalo −∞ < x < 0, donde U = 0, y Sea ϕI nuestra funci´on de onda: Reemplazando la ecuaci´ on de Schr¨odinger (α): −

}2 d2 ϕ + (0)ϕ = Eϕ 2m dx2

→

d2 ϕ 2mE + 2 ϕ=0 dx2 }

,

√ 2mE k= }

Resolviendo ´esta u ´ltima ED: ikx

ϕI = Ae

−ikx

+ Be

• Para el intervalo 0 < x < ∞, donde U = U0 , y Sea ϕII nuestra funci´on de onda: Reemplazando la ecuaci´ on de Schr¨odinger (α): −

}2 d2 ϕ + U0 ϕ = Eϕ 2m dx2

→

d2 ϕ 2m(E − U0 ) + ϕ=0 dx2 }2

Resolviendo esta u ´ltima ED considerando E > U0 : p ik1 x

ϕII = Ce

−ik1 x

+ De

,

k1 =

2m(E − U0 ) }

El t´ermino De−ik1 x debe eliminarse, ya que no existe reflexi´on de ϕII porque ´esta incidiendo desde la izquierda (−∞) (el problema lo ´ındica), ´osea D = 0. Obteniendo finalmente: p 2m(E − E0 ) ik1 x ϕII = Ce , k1 = }

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Coeficiente de reflexi´ on (R) y transmisi´on (T ) para el caso,E > E0 :

Sabemos que R y T se definen as´ı: R=

vr |ϕr | vi |ϕi |

2

∧

2

T =

vt |ϕt | vi |ϕi |

2

2

Como nos piden tanto R y T del caso, E > E0 : ◦ Para haller R usamos ϕI y para haller T ser´a ϕII : √ ikx

ϕI = Ae

+ Be

2

−ikx

,

k=

w ∗ k (ϕr ϕr ) w ∗ k (ϕi ϕi )

2mE }

B∗B B ∗ eikx Be−ikx = 2 A∗ eikx Ae−ikx A∗ A vi |ϕi | p 2m(E − E0 ) −ik1 x ϕII = De , k1 = } w ∗ 2 ∗ ik vt |ϕr | k1 C ∗ C k1 C e 1 x Ce−ik1 x k1 (ϕt ϕt ) T = → R = = = w 2 ∗ k A∗ eikx Ae−ikx k A∗ A vi |ϕi | k (ϕi ϕi ) R=

vr |ϕr |

→

R=

=

(1)

(2)

Condicines de frontera para ϕ : ◦ Frontera de ϕ en x=0: ϕI (0− ) = ϕII (0+ )

→

A+B =C

(3)

Aik − Bik = Cik1

(4)

2Ak k + k1

(5)

◦ Frontera de ϕ0 en x=0: ϕ0I (0− ) = ϕ0II (0+ )

→

Combinando (3) y (4): B=

A(k − k1 ) k + k1

∧

C=

Reemplazando (5) en (1) y (2): B∗B R= ∗ = A A

A∗ (k−k1 ) A(k−k1 ) k+k1 k+k1 A∗ A

k1 D ∗ D k1 T = = k A∗ A k

2A∗ k 2Ak k+k1 k+k1 A∗ A

Nota: Se comprueba que R + T = 1

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=

(k − k1 )2 ⇒ (k + k1 )2

R=

(k − k1 )2 (k + k1 )2

=

4kk1 ⇒ (k + k1 )2

T =

4kk1 (k + k1 )2

Problema 10 Se tiene una caja de ancho L, pero centrada en x = 0, por lo que va de x = −L/2 a x = +L/2. Observe que esta caja es sim´etrica con respecto a x = 0. a) Considere posible las funciones de onda de la forma ψ(x) = A sin(kx) y aplique las condiciones de frontera en los l´ımites de la pared para obtener los niveles de energ´ıa permitidos. b) Otro conjunto posible de funciones de onda son funciones de la forma ψ(x) = A cos(kx). Aplique las condiciones de frontera en la pared para obtener los valores permitidos de la energ´ıa. c) Compare las energ´ıas obtenidas en los incisos a) y b) y explique sus resultados.

Soluci´ on:

Problema 11 Para una particula de masa m y energ´ıa E en una caja de potencial c´ ubica de lado 00 a00 , determine los vectores de onda correspondientes a los diferentes estados del cuarto nivel de energ´ıa.

Soluci´ on:

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