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• Franz Leonard Nayyar

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CÁLCULO III FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Departamento de Física, Matemática y Estadística

Semana 01: sesión1 Dominio, rango y gráfica Equipo Facilitador:

Dr. Soria Quijaite Juan Jesús Mag. Sumire Qquenta David Mag. Chavarri Becerra Joel

Introducción

Mary Fairfax Greig Somerville

Somerville se interesó por el problema de crear modelos geométricos de funciones de varias variables. Su libro más conocido, The Mechanics of the Heavens, se publicó en 1831. La matemática y astrónoma Mary Fairfax Greig Somerville (1780-1872) nació un 26 de diciembre. Mentora de Ada Lovelace, tradujo y popularizó la Mécanique Céleste de PierreSimon Laplace en 1831. Entre sus muchas publicaciones en La conexión de las Ciencias Físicas (1834) intuyó la existencia de un planeta que altera la órbita de Urano – era Neptuno.

Revisemos nuestro sílabo

PRESENTACIÓN DEL CURSO Valores y buenas prácticas

1. 2. 3. 4. 5.

RESPETO COMUNICACIÓN PUNTUALIDAD ASISTENCIA RESPONSABILIDAD

TEMARIO

1. Dominio, rango y gráfica de funciones de varias variables.

RESULTADO DE APRENDIZAJE

Al finalizar la sesión de clase, el estudiante argumenta el dominio de las funciones de varias variables para interpretarlas en forma matemática mediante ejemplos prácticos de la vida cotidiana.

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Definición f : D  IR n  IR es

Una función real de n variables denotada por una regla de correspondencia que asigna a cada n-upla de números reales ( x1 ; x 2 ; x n ) de un conjunto D del espacio de IR n un único número real Z denotado por Z  f ( x1 ; x 2 ; x n ) Las variables x1 ; x 2 ; x n se denominan variables independientes de la función, mientras que Z se llama variable dependiente

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Dominio de una función

El dominio de la función f es el conjunto





D f  D  ( x1 ; x 2 ; x n )  IR n / z  IR  Z  f ( x1 ; x 2 ; x n )  IR n

Rango de una función El rango o recorrido de la función f es el conjunto R f  Z  IR /  ( x1 ; x 2 ; x n )  D  f ( x1 ; x 2 ; x n )  Z   IR

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Definición de función en dos variables

Si a cada par ordenado (x,y) de elementos de un cierto conjunto D le corresponde un número real f(x,y), decimos que f es una función de x y de y. El conjunto D es el dominio de f y el conjunto correspondiente de valores f(x,y) recibe el nombre de recorrido (Rango) de f. Dominio





D f  D  ( x, y )  IR 2 / z  IR  Z  f ( x, y )  IR 2

Rango R f  Z  IR /  ( x, y )  D

 f ( x, y )  Z   IR

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Representación del dominio y rango de una función z

Im(f)

y

x

Dom(f)

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Gráficas de función en dos variables

Definición Si f es una función de dos variables con dominio D, f : D  IR 2  IR entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x,y,z) en IR 3 tal que z=f(x,y) y (x;y) está en D=Dom(f). Es decir:





Graf ( f )  ( x, y, f ( x, y ))  IR 3 /( x, y )  Dom( f )

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Dominio de una función de dos variables N ( x, y ) f ( x, y )  Dada la función D ( x, y ) , su dominio está dado por Dom( f )  Dom( N )  Dom( D)  x, y   IR 2 / Q( x, y )  0 restricciones en el dominio para cada tipo de funciones

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Ejemplo 01: Determinar el dominio de la función de varias variables





Ln x 2  x  12 9  y 2 f ( x, y )  x3



Resolución

Existe la función, si y solo si se cumple:

x

2





 x  12 9  y 2  0  x 3  0

i) x 2  x  12 9  y 2   0 a.b  0  a  0  b  0   a  0  b  0 

x

2







 







 x  12  0  9  y 2  0  x 2  x  12  0  9  y 2  0

a)

b)



CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES y

a) x 2  x  12   0  9  y 2   0

x  4x  3  0   y 2



9  0

y=3

x  4x  3  0   y  3 y  3  0 -

+ -3

+

+ 4

x  ;3    4; 

y

y

-3

+ 3

y  3 ; 3  y=3

x

x 0

0 y=-3

x=-3

x=4

x=-3 0

x=4

y=-3

x

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES y

b) x 2  x  12   0  9  y 2   0

x  4x  3  0   y 2



9  0

x  4x  3  0   y  3 y  3  0 -

+ -3

+ 4

x  3 ; 4 

y

+

-3

y=3

+ 3

y  ;3    3;  y

x=-3

x=4 0

y=-3 y=3 x

x 0

0

y=-3 x=-3

x=4

x0

x

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES y

Dom(f) y=3

x=-3 0

Dom(f)

x=4

Dom(f)

x x

y=-3 Dom(f)

Dom( f ) 

x, y   IR /x 2

2







 







 x  12  0  9  y 2  0  x 2  x  12  0  9  y 2  0



CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Ejemplo 02: Determinar el dominio, rango y gráfica de la función de varias variables x2 y2 f ( x, y ) 

1

Resolución

Mira el vídeo de la resolución https://www.youtube.com/watch?v=xINOlYkyIls&t=469s

9



4

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Ejemplo 02: Determinar el dominio, rango y gráfica de la función de varias variables x2 y2 f ( x, y ) 

1

Resolución

9



4

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Manejo de herramientas tecnológicas Links de descarga https://geogebra.uptodown.com/windows/descargar

Graficador 3D online https://calculadorasonline.com/graficador-de-funciones-3d-graficador-3d/

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Ejemplo 03: Determinar el dominio de la función de varias variables f ( x, y , z ) 



x 2  y 2  z 2  4  Ln 9  x 2  y 2  z 2

Resolución

Mira el vídeo de la resolución https://youtu.be/b6oUPg4cSZA



CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Ejemplo 04: Determinar el dominio de la función de varias variables f ( x, y , z ) 

2  xy

1

x2 9



y2 4

 z2

Resolución

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Aplicación 01 Una lata de refresco se construye con un costado lateral de estaño y una tapa y fondo de aluminio. Dado que el costo es de 1.8 centavos por unidad cuadrada de la tapa, 1 centavo por unidad cuadrada del fondo y 2.3 centavos por unidad cuadrada del costado, determine la función de costo C ( r , h) donde r es el radio de la lata y h es su altura

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Aplicación 02 Acrosonic fabrica un sistema de estantes con altavoces que pueden comprarse completamente ensamblados o en kit. Las ecuaciones solicitadas que relacionan la unidad de precios, p y q, con las cantidades solicitadas semanalmente, x y y, de las versiones ensambladas y en kit del sistema de altavoces están dadas por

p  300  a. b. c. d.

1 1 1 3 x  y ; q  240  x  y 4 8 8 8

¿Cuál es la función del ingreso total semanal R(x, y)? ¿Cuál es el dominio de la función R? Determinar R(100;200) , R(250;320) Graficar la superficie R(x;y)

Resolución

Mira el vídeo de la resolución https://www.youtube.com/watch?v=A7D-ALc7-FM

REFLEXIONA ¿Por qué es importante las funciones de varias variables en la vida cotidiana?

¿Por qué es importante las funciones de varias variables en tu carrera profesional? ¿Cómo me ayudaría las funciones de varias variables en un proyecto de ingeniería?

EJERCICIO INDIVIDUAL

Resolveremos el siguiente ejercicio de manera individual 8 minutos!!

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO Hallar y representar gráficamente el dominio de las siguientes funciones

y 1 ) 1) f ( x, y )  Arcsen( x 2)

f ( x, y )  y  x  2

3) f ( x, y ) 



Log 2 x 2  y



y  x 4

4) f ( x, y )  LnxLn y  x 

5) f ( x, y )  6) f ( x, y ) 

 x  y   xy  2

2

x 24  2 x 2  3 y 2  4 z 2

7)



f ( x, y)  2 x 2  3 y 2  4 z 2  24  Ln 12  x 2  3 y 2  4 z 2

 x2  y2  2 2   f ( x , y )  Arcsen  Arc sec x  y 8)  2    2 2 f ( x , y )  Log ( 100  4 x  25 y ) 9) 2



10) f ( x, y )  e

x2  y 4

 Ln( x  y 3 )

2 2 11) f ( x, y )  x  y  4  Ln( x  2 y )

2 2 2 2 f ( x , y )  Ln ( xy  x  y  x y ) 12) Tan( )  Tan( ) 13) f ( ,  )  1  Tan( ).Tan( )





CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Aplicaciones 1) La Odyssey Travel Agency tiene un presupuesto mensual de publicidad de $20,000. La gerencia estima que si gastan x dólares en publicidad en periódico y y dólares en publicidad en televisión, los ingresos mensuales serán: f ( x, y )  30 x . y dólares. a) ¿Cuál será el ingreso mensual si Odyssey gasta $5,000 por mes en publicidad en periódico y $15,000 en publicidad de televisión? b) ¿Si Odyssey gasta $4,000 por mes en anuncios de periódico y $16,000 en anuncios de televisión? 1 4

3 4

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Aplicaciones 2) Country Workshop fabrica muebles para el hogar, tanto terminados como sin terminar. Las cantidades demandadas cada semana de sus pupitres con tapa corrediza requeridos en ambas versiones, terminadas y sin terminar, son x y y unidades cuando los precios unitarios correspondientes son p  200 

1 1 1 1 x y ; q  160  x y 5 10 10 4

dólares, respectivamente. a. ¿Cuál es la función de ingreso total semanal de R(x, y)? b. Encuentre el dominio de la función R. c. Para una función del ingreso total R(x, y), calcule R(100, 60) y R(60, 100) d. Graficar la función R(x,y)

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Aplicaciones 3) Weston Publishing publica una edición de lujo y una edición estándar de su diccionario en lengua inglesa. La gerencia de la empresa estima que el número diario de ejemplares demandado para la edición de lujo es x, y para la edición estándar es y, cuando los precios unitarios son p  20  0.005 x  0.001y ; q  15  0.001x  0.003 y dólares, respectivamente. a. ¿Cuál es la función de ingreso total semanal de R(x, y)? b. Encuentre el dominio de la función R. c. Para una función del ingreso total R(x, y), calcule R(8, 10) y R(6, 9) d. Graficar la función R(x,y)

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Aplicaciones 4) El volumen de cierta masa de gas está relacionado con su presión y 30.9 T temperatura por la fórmula V  P

donde el volumen V se mide en litros, la temperatura T en grados Kelvin (que se obtiene al añadir 273º a la temperatura en grados Celsius) y la presión P en milímetros de presión de mercurio. a. Encuentre el dominio de la función V. b. Calcule el volumen del gas a una temperatura y presión estándar, que es cuando, T = 273 K y P = 760 mm de mercurio. c. Hallar la gráfica de la función

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Aplicaciones 5) Una fórmula empírica de E. F. Dubois describe la superficie S de un cuerpo humano (en yardas cuadradas) para su peso W (en kilogramos) y su estatura H (en centímetros). La fórmula está dada por S  0.007184(W 0.425 )( H 0.725 )

es utilizada por los fisiólogos en estudios de metabolismo. a. a) Encuentre el dominio de la función S. b) ¿Cuál es el área de la superficie del cuerpo humano que pesa 70 kg y tiene una estatura de 178 cm? c) Hallar la gráfica de la función

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Aplicaciones 6) Un estudio sobre incendios premeditados para obtener beneficios fue llevado a cabo por civiles expertos y detectives policiacos designados por mayoría en una gran ciudad. Se encontró que el número de incendios sospechosos en esa ciudad en 2006 estaba estrechamente vinculado con la concentración de jóvenes en vivienda de protección pública de la ciudad y el nivel de reinversión en el área de hipotecas convencionales por 10 de los bancos más importantes. De hecho, el número de incendios se aproximaba estrechamente a la fórmula N ( x, y ) 

100 1000  0.03 x 2 y

5  0.2 y 

2

; 0  x  150 ;5  y  35

donde x denota el número de personas por región censada, y y denota el nivel de reinversión en el área en centavos de dólar depositados. Utilice la fórmula y calcule el número total de incendios sospechosos en los distritos de la ciudad donde la concentración de jóvenes de vivienda pública censada era de 100 por región y el nivel de reinversión era de 20 centavos por dólar depositados. Grafique.

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Aplicaciones 7) El pago mensual que amortiza un préstamo de A dólares en t años cuando la tasa de interés anual es r, compuesta mensualmente está dada por P  f ( A, r , t ) 

A.r 12 t   r   12 1  1    2   

a. ¿Cuál es el pago mensual para una hipoteca de $300,000 que será amortizada durante 30 años con una tasa de interés de 6% anual? ¿Y con una tasa de interés de 8% anual? b. Calcule el pago mensual de una hipoteca de $300,000 que será amortizada durante 20 años con una tasa de interés de 8% anual c. Grafica la función.

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Aplicaciones 8) Diseñadas por un comité internacional en 1989, las reglas para la nueva International America´s Cup Class (IACC) incluyen una fórmula que determina las dimensiones básicas de un yate. La fórmula L  1.25 S  9.803 D f ( L, S , D )  4; donde f ( L, S , D )  0.388

equilibra el balance promedio de longitud L (en metros), el promedio del área de la vela S (en metros cuadrados) y el desplazamiento D (en metros cúbicos). Todos los cambios en las dimensiones básicas son pactados. Por ejemplo, si desea escoger la velocidad aumentando el área de la vela, debe pagar por eso reduciendo la longitud o aumentando el desplazamiento, ya que ambas reducen la velocidad del yate. Demuestre que el yate A de longitud promedio de 20.95 m, área promedio de la vela de 277.3 m2 y el desplazamiento de 17.56 m3 y el yate más grande y pesado B con L = 21.87, S = 311.78 y D = 22.48 satisfacen la fórmula.

CÁLCULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Aplicaciones 9) En regiones donde el invierno es extremoso, el índice de temperatura de sensación se utiliza a menudo para representar la intensidad evidente del frío. Este índice W es una temperatura subjetiva que depende de la temperatura real T y de la rapidez del viento v. De este modo, W es una función de T y de v, y se escribe W = f (T, v). Los valores de W que reunió el National Weather Service de Estados Unidos y el Meteorological Service de Canadá, modelo la función:

W (T , v)  13.12  0.6215T  11.37v a) Determine los valores de W(5,60) ; W(-10,70) b) Graficar la función W c) ¿Para qué valor de v es W (-5, v) )=-15?

0.16

 0.3965T (v)

0.16

CIERRE

¿Qué hemos aprendido? 1.¿Determinar el dominio y rango de funciones de varias variables? 2. ¿Por qué es importante las gráficas de superficies? 3.¿Por qué es importante el uso del software geogebra y Matlab?