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• Santiago Navarrete

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SECCIÓN 4.10 Ley Uniforme 2. Realice el ejercicio anterior considerando que 𝑿~𝓤[−𝟑, 𝟐]. a) Pr(X = 0) Pr(X = 0) =

1 1 = 2 − (−3) 5

Pues 0𝜖[−3,2] b) Pr(X < 0) 1 1 0 3 Pr(X < 0) = ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥| = 5 −2 5 −2 5 0

c) Pr(|X| < 1) 1 1 1 2 𝑑𝑥 = 𝑥| = 5 −1 5 −1 5 1

Pr(|X| < 1) = Pr(−1 < 𝑋 < 1) = ∫ d) Pr(|X| > 0.5)

1 1 0,5 1 4 Pr(|X| > 0.5) = 1 − Pr(−0,5 < 𝑋 < 0,5) = 1 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥| =1− = 5 −0,5 5 5 −0,5 5 0,5

1

e) Halle un valor de t tal que Pr(X > 𝑡) = 3 1 1 2 2 𝑡 1 1 Pr(X < t) = ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥| = − = ⇒ 𝑡 = 5 𝑡 5 5 3 3 𝑡 5 2

4. Los autobuses de cierta línea salen con horario estricto cada cinco minutos. Halle la probabilidad de que un pasajero que llega a la parada tenga que esperar al autobús menos de tres minutos. Sea X “tiempo de espera hasta llegada de bus” 𝑋~𝒰[0,5] 3

Pr(X < 3) = ∫ 0

1 1 3 3 𝑑𝑥 = 𝑥| = 5 5 0 5

6. Supóngase que Ia velocidad de los autos en un sector de una carretera sigue una ley uniforme entre 60 Km/h y 120 km/h. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto: a) tenga una velocidad de 80 km/h?; 𝑋~𝒰[60,120] Pr(X = 80) =

1 1 = 120 − (80) 60

Pues 80𝜖[60,120] b) tenga una velocidad menor que 95 km/h?;

95

Pr(X < 95) = ∫ 60

1 1 95 7 𝑑𝑥 = 𝑥| = 60 60 60 12

c) tenga una velocidad menor que 70 km/h o mayor que 100 km/h? 1 1 70 1 Pr(X < 70) = ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥| = 60 60 6 60 60 70

8. Una llamada telefónica llegó a un conmutador en un tiempo, al azar, dentro de un periodo de un minuto. El conmutador estuvo ocupado durante 15 segundos en ese minuto. Calcule la probabilidad de que la llamada haya llegado mientras el conmutador no estuvo ocupado. 𝑋~𝒰[0,60] 60

Pr(X > 15) = ∫ 15

1 1 60 3 𝑑𝑥 = 𝑥| = 60 60 15 4

10. En una práctica de precisión aérea se deja caer una bomba a lo largo de una línea de un kilómetro de longitud. El blanco se encuentra en el punto medio de la línea. El blanco se destruirá si la bomba cae a una distancia menor que setenta y cinco metros del centro. Calcule la probabilidad de que el blanco se destruya si la bomba cae al azar a lo largo de la línea. 𝑋~𝒰[0,1000] 575

Pr(425 < 𝑋 < 575) = ∫ 425

575 1 1 3 𝑑𝑥 = 𝑥| = 1000 1000 425 20

Ley exponencial 12. Se prueban dos elementos que trabajan independientemente. El tiempo de trabajo del primer elemento tiene distribución 𝓔(𝟎. 𝟎𝟐) y el segundo elemento 𝓔(𝟎. 𝟎𝟓). Halle la probabilidad de que en el tiempo de duración t =6 horas: 𝑓(𝑥) = {

0, 𝜆𝑒 , −𝜆𝑥

0, 𝐹(𝑥) = { −𝜆𝑥 1−𝑒 ,

a) ambos elementos fallen;

b) ambos elementos no fallen;

𝑥 −1,27) 1 − Φ(−1,27) = 0,898 e) 𝑃𝑟(0,47 < 𝑍 < 1,08) Φ(0,47) − Φ(1,08) = 0,8599 − 0,6808 = 0,1791 f) 𝑃𝑟(|𝑍| < 1,39) Φ(−1,39) − Φ(1,39) = 0,9177 − 0,0823 = 0,8354 g) 𝑃𝑟(𝑍 > 𝑧𝑖 ) = 0,06 1 − Φ(𝑧𝑖 ) = 0,06 ⟹ Φ(𝑧𝑖 ) = 0,94 ⟹ 𝑧𝑖 = 1,55 h) 𝑃𝑟(−0,93 < 𝑍 < 𝑧𝑖 ) = 0,7235 Φ(𝑧𝑖 ) − Φ(−0,93 ) = 0,7235 ⇒ Φ(𝑧𝑖 ) = 0,7235 + 0,1762 ⇒ Φ(𝑧𝑖 ) = 0,8497 zi = 1,28 26. Se tiene una variable aleatoria Y con media 5 y varianza 16. 𝑓(𝑥) =

1 √2𝜋𝜎

𝑒

−

(𝑥−𝑢)2 2𝜎 2

a) Determine su función de densidad. 𝑓(𝑥) =

1 √2𝜋4

𝑒−

(𝑥−5)2 32

b) Halle las probabilidades: Pr(Y < 6), Pr(Y > 4) y Pr(|Y| < 3) 6−5 Pr(Y < 6) = Φ ( ) = Φ(0,25) = 0,5987 4 Pr(Y > 4) = 1 − Pr(Y ≤ 4) = 1 − Φ (

4−5 ) = 1 − Φ(−0,25) = 0,9798 4

3−5 −3 − 5 Pr(|Y| < 3) = Pr(−3 < y < 3) = Φ ( ) − Φ( ) = Φ(−0,5) − Φ(−2) 4 4 = 0,3085 − 0,228 = 0,2857 28. Se experimenta con un medicamento que produce variación en el peso de las personas que lo toman. Pruebas de laboratorio han demostrado que al cabo de un mes la variación del peso sigue una distribución gaussiana de media 2 kg y desviación estándar 1.25 kg. Determine la probabilidad de que una persona: a) haya aumentado al menos 1 kg; 1−2 Pr(Y > 1) = 1 − Pr(Y ≤ 1) = 1 − Φ ( ) = 1 − Φ(−0,8) = 0,788 1,25

b) haya rebajado de peso 0−2 Pr(Y < 0) = Φ ( ) = Φ(−1,6) = 0,0548 1,25 c) haya aumentado menos de 3 kg. Pr(0 < y < 3) = Φ (

0−2 3−2 ) − Φ( ) = Φ(0,8) − Φ(−1,6) = 0,733 1,25 1,25

30. La Cruz Roja ha determinado que tiempo necesario para que una de sus ambulancias llegue al sitio donde hay una emergencia se distribuye según una variable normal de media 17 minutos y desviación estándar 3 minutos. a) Calcule la probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido 12 min y 21 min. 21 − 17 12 − 17 Pr(12 < Y < 21) = Φ ( ) − Φ( ) = Φ(1,33) − Φ(−0,1515) 3 3 = 0,9082 − 4404 = 0,4678 b) ¿Para qué valor del tiempo t, la probabilidad de que la ambulancia emplee más de t minutos en llegar es del 5%? Pr(Y > t) = 1 − Pr(Y ≤ 𝑡) = 1 − Φ (

𝑡 − 17 ) = 0,05 3

𝑡 − 17 ⇒ Φ( ) = 0,95 3 ⇒

𝑡 − 17 = 1,64 3

𝑡 = 3(1,64) + 17 𝑡 = 21,92 32. Se aplicó una prueba de fluidez a 500 alumnos de Educación Básica. Se supone que las puntuaciones obtenidas se distribuyen según una normal de media 80 y desviación estándar 12. 𝜎 = 12 𝜇 = 80 a) ¿Qué puntuación separará el 25% de los alumnos con mayor fluidez verbal? Pr(Y > p) = 1 − Pr(Y ≤ 𝑝) = 1 − Φ (

𝑝 − 80 ) = 0,25 12

𝑝 − 80 ⇒ Φ( ) = 0,75 12 ⇒

𝑝 − 80 = 0,67 12

𝑝 = 12(0,67) + 80 𝑝 = 88,04 b) ¿A partir de qué puntuación se encuentra el 45% de los alumnos con mayor fluidez verbal?

Pr(Y > p) = 1 − Pr(Y ≤ 𝑝) = 1 − Φ (

𝑝 − 80 ) = 0,45 12

𝑝 − 80 ⇒ Φ( ) = 0,55 12 ⇒

𝑝 − 80 = 0,12 12

𝑝 = 12(0,12) + 80 𝑝 = 81,44 c) ¿Cuántos alumnos tienen una fluidez menor que 76 puntos? 76 − 80 Pr(Y < 76) = Φ ( ) = Φ(−0,333) = 0,3707 12 100% 500 37,07% 𝑥 = 185,35 135 alumnos tienen una fluidez menor que 76 puntos 34. Se llama cociente intelectual (C.I.) al cociente entre la edad mental y la edad real. Se sabe que Ia ley de distribución del C.I. es normal con media 0.95 y desviación estándar 0.22. En una población con 2600 personas se desea saber: 𝜎 = 0,22 𝜇 = 0,95 a) ¿Cuántas tendrán un C.I. superior a 1,3? 1,3 − 0,95 Pr(X > 1,3) = 1 − Pr(X ≤ 1,3) = 1 − Φ ( ) = 1 − Φ(1,5909) = 0,0559 0,22 100% 2600 5,59% 𝑥 = 145,34 145 tendrán un C.I. superior a 1,3 b) ¿Cuántas tendrán un C.I. inferior a 0,7?; 0,7 − 0,95 Pr(X < 0,7) = Φ ( ) = Φ(−0,81814) = 0,20755 0,22 100% 2600 20,75% 𝑥 540 tendrán un C.I. inferior a 0,7 c) ¿Cuántas tendrán un C.I. entre 0,8 y 1,15? Pr(0,8 < X < 1,15) = Φ (

1,15 − 0,95 0,8 − 0,95 )−Φ( ) = Φ(0,9091) − Φ(−6818) 0,22 0,22 = 0,5703 100% 2600 57,03% 𝑥

1483 tendrán un C.I. entre 0,8 y 1,15

36. La estatura de la población masculina está normalmente distribuida con 𝝁 = 𝟏𝟔𝟕𝒄𝒎 y 𝝈 = 𝟑𝒄𝒎. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre tenga una estatura: (i) mayor que 167 cm?; 167 − 167 Pr(X > 167) = 1 − Pr(X ≤ 167) = 1 − Φ ( ) = 1 − Φ(0) = 1 − 0,5 = 0,5 3 (ii) mayor que 170 cm?; 170 − 167 Pr(X > 170) = 1 − Pr(X ≤ 170) = 1 − Φ ( ) = 1 − Φ(1) 3 = 1 − 0,8493 = 0,1507 (iii) entre 161 y 173 cm? 173 − 167 161 − 167 Pr(161 < X < 173) = Φ ( ) − Φ( ) = Φ(2) − Φ(−2) 3 3 = 0,9712 − 0,0228 = 0,9544 b) En una muestra aleatoria de cuatro hombres, ¿cuál es la probabilidad que: (i) todos tengan estatura mayor que 170 cm? 170 − 167 Pr(X > 170) = 1 − Pr(X ≤ 170) = 1 − Φ ( ) = 1 − Φ(1) 3 = 1 − 0,8493 = 0,1507 Pr(𝑌 = 4) = (0,1507)4 = 5,1576 × 10−4 (ii) dos tengan estatura menor que la media (y dos mayor que Ia media)? 𝑃𝑟(𝑌 = 2) = 𝐶42 (0,5)4 = 0,375 38. La estatura de la población masculina y femenina siguen leyes de distribución normal. La masculina tiene 𝝁𝟏 = 𝟏, 𝟔𝟕m y 𝝈𝟏 = 𝟏𝟐cm y la femenina 𝝁𝟐 = 𝟏, 𝟓𝟖m y 𝝈𝟐 = 𝟏𝟎cm. Se tiene una pareja en la cual el varón mide 1,70cm y la mujer 1,60m. Comparativamente ¿Cuál de los dos es más alto respecto a los miembros de su sexo? MASCULINA 𝜇1 = 1,67m 𝜎1 = 0,12m 1,70 − 1,67 Pr(X < 170) = Φ ( ) = Φ(0,25) = 0,5987 0,12 FEMENINA 𝜇2 = 1,58m 𝜎2 = 0,10m

Pr(X < 170) = Φ (

1,60 − 1,58 ) = Φ(0,5) = 0,6915 0,1

Dado que en la población masculina la probabilidad de que midan menos de 1,70 cm es de 0,5987 y en la población femenina la probabilidad de que midan menos de 1,60 cm es de 0,6915 podemos decir que la mujer es más alta respecto a los miembros de su sexo. 40. Los tiempos de Ia primera avería de una máquina de cierta marca tienen distribución gaussiana con un promedio de 1500 horas de uso y desviación estándar de 200 horas. a) ¿Qué fracción de esas máquinas fallarán antes de 1000 horas?; Pr(X < 1000) = Φ (

1000 − 1500 31 ) = Φ(−2,5) = 0,0062 = 200 5000

b) ¿Cuál debe ser el tiempo de garantía que deba dar el fabricante si desea que solo se presente el 5% de las averías dentro del tiempo de garantía? Pr(X < t) = 0,05 𝑡 − 1500 ⇒ Φ( ) = 0,05 200 ⇒ ⇒

𝑡 − 1500 = −1,695 200 𝑡 = 1171

El tiempo de garantía que deba dar el fabricante si desea que solo se presente el 5% de las averías dentro del tiempo de garantía debe ser de 1171 horas aproximadamente. 42. En el grupo étnico A, la estatura de las personas (en cm) sigue una distribución, 𝑵(𝟏𝟔𝟓; 𝟐𝟓); en el grupo étnico B sigue una 𝑵(𝟏𝟕𝟎; 𝟐𝟓) y en el grupo C una 𝐍(𝟏𝟕𝟓; 𝟐𝟓). Los tres grupos étnicos son muy numerosos. a) Si elegimos una persona del grupo A, ¿cuál es la probabilidad de que mida más de 160 cm 160 − 165 Pr(X > 160) = 1 − Pr(X ≤ 160) = 1 − Φ ( ) = 1 − Φ(−1) 5 = 1 − 0,1587 = 0,8413 b) Si elegimos 10 personas al azar del grupo étnico A, independientemente unas de otras, ¿cuál es la probabilidad de que 5 de ellas midan más de 160 cm?; Pr(X > 160) = 0,8413 𝑦={

1, 0,

𝑠𝑖 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑑𝑒𝑛 160 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜

5 (0,8413)5 (1 𝑃𝑟(𝑌 = 5) = 𝐶10 − 0,8413)5

= 0,01069 c) En una ciudad, el 50% de Ia población pertenece a la etnia A, el 20 % pertenece a la B y el30% restante a la C. Si elegimos una persona al azar en esta ciudad y mide más de 172cm, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo étnico C?; GRUPO A

172 − 165 Pr(X > 172) = 1 − Pr(X ≤ 172) = 1 − Φ ( ) = 1 − Φ(1,4) 5 = 1 − 0,9192 = 0,0808 GRUPO B 172 − 170 Pr(X > 172) = 1 − Pr(X ≤ 172) = 1 − Φ ( ) = 1 − Φ(0,4) 5 = 1 − 0,6554 = 0,3446 GRUPO C 172 − 175 Pr(X > 172) = 1 − Pr(X ≤ 172) = 1 − Φ ( ) = 1 − Φ(−0,6) 5 = 1 − 0,2743 = 0,7257 Sea el evento D “mide más de 172” Pr(𝐷) = 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐷) + 𝑃𝑟(𝐵 ∩ 𝐷) + 𝑃𝑟(𝐶 ∩ 𝐷) = 0,5 × 0,0808 + 0,2 × 0,3446 + 0,3 × 0,7257 = 0,32703 𝑃𝑟(𝐶|𝐷) =

𝑃𝑟(𝐶 ∩ 𝐷) = 0,665718 𝑃𝑟𝐷

d) Si elegimos 10 personas al azar del grupo B, independientemente unas de otras, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 5 midan más de 172 cm? 172 − 170 Pr(X > 172) = 1 − Pr(X ≤ 172) = 1 − Φ ( ) = 1 − Φ(0,4) 5 = 1 − 0,6554 = 0,3446

5 (0,3446)5 (1 𝑃𝑟(𝐵 = 5) = 𝐶10 − 0,3446)5 = 0,2367

44. La anchura, en mm, de una población de coleópteros sigue una distribución 𝑵(𝛍; 𝛔𝟐 ). Se estima que el 77% de la población mide menos de 12 mm y que el 84% mide más de 7 mm. Halle los parámetros de Ia ley. Pr(X < 12) = Φ (

12 − 𝜇 ) = 0,77 = Φ(0,74) 𝜎

Pr(X > 7) = 1 − Φ (

7−𝜇 ) = 0,84 𝜎

Basta resolver el sistema de ecuaciones {

0,74𝜎 + 𝜇 = 12 −0,99𝜎 + 𝜇 = 7

De donde 𝜎 = 2,89 ≈ 3 y 𝜇 = 9,86 ≈ 10