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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL CP - SITEMAS DIGITALES LABORATORIO DE SISTEMAS DIGITALES Nombre: Jairo Fernández

Grupo: 11

PRÁCTICA N°5 1. Tema DEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE 2. Objetivos: 2.1. Comprobar en forma práctica algunos de los teoremas del algebra de Boole y aplicar el principio de dualidad. 2.2. Analizar las compuertas básicas y su universalidad. 3. Trabajo preparatorio 3.1. Demostrar los siguientes teoremas de álgebra de Boole y sus duales: combinación, Morgan, redundancia, absorción y consenso.  Combinación: P. D: 𝑋. 𝑌 + 𝑋. 𝑌̅ = 𝑋 𝑋. 𝑌 + 𝑋. 𝑌̅ 𝑋. (𝑌 + 𝑌̅ ) 𝑋 ̅=𝑿 ∴ 𝑿. 𝒀 + 𝑿. 𝒀 P. D:

P2. Distributiva P3. Complemento

(𝑋 + 𝑌). (𝑋 + 𝑌̅ ) = 𝑋 (𝑋 + 𝑌). (𝑋 + 𝑌̅ ) P1 ̅ ̅ (𝑋. 𝑋 + 𝑌. 𝑋 + 𝑋. 𝑌 + 𝑌. 𝑌) P2. Distributiva 𝑋 + 𝑌. 𝑋 + 𝑋. 𝑌̅ P3. Idempotencia, Complemento ̅ 𝑋(1 + 𝑌 + 𝑌) P4. Distributiva 𝑋(1) P5. Elemento Nulo 𝑋 P6. Identidad ̅ ∴ (𝑿 + 𝒀). (𝑿 + 𝒀) = 𝑿



Morgan: P. D:

̅̅̅̅̅ 𝑋. 𝑌 = 𝑋̅ + 𝑌̅

Demostración Tabular: X Y 0 0 0 1 1 0 1 1

𝑋̅ 1 1 0 0

P. D: Demostración Tabular:

X 0 0 1 1 

Redundancia: P. D:

Y 0 1 0 1

𝑋̅ 𝑌̅ 1 1 1 0 0 1 0 0

𝑌̅ 1 0 1 0

̅̅̅̅̅ 𝑋. 𝑌 𝑋̅ + 𝑌̅ 1 1 1 1 1 1 0 0 ̅+𝒀 ̅ ∴ ̅̅̅̅̅ 𝑿. 𝒀 = 𝑿 ̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑋 + 𝑌 ) = 𝑋̅ . 𝑌̅

̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑋 + 𝑌) 𝑋̅. 𝑌̅ 1 1 0 0 0 0 0 0 ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ∴ (𝑿 + 𝒀) = 𝑿. 𝒀 𝑋 + 𝑋̅. 𝑌 = 𝑋 + 𝑌

𝑋+𝑌 P1 (𝑋 + 𝑌). 1 P2. Identidad (𝑋 + 𝑌). (𝑋 + 𝑋̅) P3. Complemento ̅ ̅ 𝑋. 𝑋 + 𝑋. 𝑌 + 𝑋. 𝑋 + 𝑋. 𝑌 P4. Distributiva 𝑋 + 𝑋. 𝑌 + 0 + 𝑋̅. 𝑌 P5. Idempotencia, Complemento 𝑋(1 + 𝑌) + 𝑋̅. 𝑌 P6. Distributiva 𝑋(1) + 𝑋̅. 𝑌 P7. Complemento Nulo 𝑋 + 𝑋̅. 𝑌 P8. Identidad ̅ ∴ 𝑿 + 𝑿. 𝒀 = 𝑿 + 𝒀 P. D:



Absorción: P. D:

𝑋. (𝑋̅ + 𝑌) = 𝑋. 𝑌 𝑋. 𝑌 𝑋. 𝑌 + 0 (𝑋. 𝑌) + (𝑋. 𝑋̅) 𝑋. (𝑋̅ + 𝑌) ̅ + 𝒀) = 𝑿. 𝒀 ∴ 𝑿. (𝑿 𝑋 + 𝑋. 𝑌 = 𝑋 𝑋 + 𝑋. 𝑌 𝑋(1 + 𝑌) 𝑋(1) 𝑋 ∴ 𝑿 + 𝑿. 𝒀 = 𝑿

P1 P2. Identidad P3. Complemento P4. Distributiva

P1 P2. Distributiva P3. Elemento Nulo P4. Identidad

P. D:



𝑋. (𝑋 + 𝑌) = 𝑋 𝑋. (𝑋 + 𝑌) 𝑋. 𝑋 + 𝑋. 𝑌 𝑋 + 𝑋. 𝑌 𝑋(1 + 𝑌) 𝑋(1) 𝑋 ∴ 𝐗. (𝐗 + 𝐘) = 𝐗

P1 P2. Distributiva P3. Idempotencia P4. Distributiva P5. Elemento Nulo P6. Identidad

Consenso: P. D: 𝑋. 𝑌 + 𝑌. 𝑍 + 𝑋̅. 𝑍 = 𝑋. 𝑌 + 𝑋̅. 𝑍 ̅ 𝑋. 𝑌 + 𝑋. 𝑍 P1 (𝑋. 𝑌 + 𝑋̅. 𝑍)((𝑋. 𝑌 + 𝑋̅. 𝑍) + 𝑌. 𝑍) P2. Absorción ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 𝑋. 𝑋. 𝑌. 𝑌 + 𝑋. 𝑋. 𝑌. 𝑍 + 𝑋. 𝑌. 𝑌. 𝑍 + 𝑋. 𝑋. 𝑌. 𝑍 + 𝑋. 𝑋. 𝑍. 𝑍 + 𝑋. 𝑌. 𝑍. 𝑍 P3. Distributiva ̅ 𝑍 + 𝑋̅. 𝑌. 𝑍 𝑋. 𝑌 + 𝑋. 𝑌. 𝑍 + 𝑋. P4. Idempotencia, Complemento 𝑋. 𝑌 + 𝑍(𝑋. 𝑌 + 𝑋̅ + 𝑋̅) P5. Distributiva 𝑋. 𝑌 + 𝑍(𝑋. 𝑌 + 𝑋̅) P6. Idempotencia ̅ 𝑋. 𝑌 + 𝑍(𝑋 + 𝑌) P7. Redundancia 𝑥𝑋. 𝑌 + 𝑌. 𝑍 + 𝑋̅. 𝑍 P8. Distributiva ̅ ̅ ∴ 𝑿. 𝒀 + 𝒀. 𝒁 + 𝑿. 𝒁 = 𝑿. 𝒀 + 𝑿. 𝒁 (𝑋 + 𝑌)(𝑋 + 𝑍)(𝑋̅ + 𝑍) = (𝑋 + 𝑌)(𝑋̅ + 𝑍) P. D: (𝑋 + 𝑌)(𝑋 + 𝑍)(𝑋̅ + 𝑍) P1 ̅ ̅ (𝑋. 𝑋 + 𝑌. 𝑋 + 𝑋. 𝑍 + 𝑌. 𝑍)(𝑋 + 𝑍) P2. Distributiva 𝑋. 𝑌. 𝑍 + 𝑋. 𝑍. 𝑍 + 𝑋̅. 𝑌. 𝑌 + 𝑋̅ . 𝑌. 𝑍 + 𝑌. 𝑌. 𝑍 + 𝑌. 𝑍. 𝑍 P3. Distributiva ̅ ̅ 𝑋. 𝑌. 𝑍 + 𝑋. 𝑍 + 𝑋. 𝑌 + 𝑋. 𝑌. 𝑍 + 𝑌. 𝑍 + 𝑌. 𝑍 P4. Idempotencia, Complemento 𝑌. 𝑍(𝑋 + 𝑋̅) + 𝑋. 𝑍 + 𝑋̅. 𝑌 + 𝑌. 𝑍 P5. Distributiva 𝑌. 𝑍 + 𝐴. 𝑍 + 𝑋̅. 𝑌 P6. Complemento (𝑋. 𝑋̅) + 𝑌. 𝑍 + 𝐴. 𝑍 + 𝑋̅. 𝑌 P7. Complemento ̅ ̅ 𝑋(𝑋 + 𝑍) + 𝑌(𝑋 + 𝑍) P8. Distributiva (𝑋̅ + 𝑍)(𝑋 + 𝑌) P9. Distributiva ̅ ̅ + 𝒁) ∴ (𝑿 + 𝒀)(𝑿 + 𝒁)(𝑿 + 𝒁) = (𝑿 + 𝒀)(𝑿

3.2.

Dadas las funciones:

  

Simplifique y exprese la función resultante con compuertas A-O-N. Simplifique y exprese la función resultante solo con compuertas NOR. Simplifique y exprese la función resultante solo con compuertas NAND.

a)

̅̅̅̅̅̅̅). (𝑿 ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅. 𝒀 ̅ )+X.Y ((𝑿⨁𝒀 + 𝒀)) + (𝑿

X

Y

Z

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

b)

̅̅̅̅ ̅𝑺 ̅𝑹 + 𝑨 ̅ 𝑺𝑹 + 𝑨𝑺 ̅𝑹 + 𝑨 ̅𝑺 ̅𝑹 ̅ 𝑨𝑺𝑹 + 𝑨𝑺𝑹 + 𝑨

1

A

S

R

Z

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

c)

̅̅̅̅̅̅̅ (𝒑 ̅+𝒒 ̅). (𝒒 ̅) +𝒑

d)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅). 𝒒] + 𝒑 [(𝒑 +𝒒

X

Y

Z

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

e)

X

Y

Z

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

̅̅̅̅ ̅𝑩 ̅ 𝑪𝑫 + ̅ ̅ 𝑪𝑫 + 𝑨 ̅ 𝑩𝑪𝑫 ̅̅̅̅ + 𝑨𝑩𝑪𝑫 ̅̅̅̅ 𝑨𝑩𝑪𝑫 + 𝑨𝑩𝑪𝑫 + 𝑨 𝑨𝑩𝑪 + 𝑨𝑩

A

B

C

D

Z

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

Referencias [1]C. Novillo, Sistemas Digitales, Quito: Escuela Politécnica Nacional, 2010. [2] R. Tocci, Sistemas Digitales. Principios y Aplicaciones, México: Pearson , 2007.