• Author / Uploaded
• joan

Citation preview

CONJUNTOS I.- IDEA DE CONJUNTO Intuitivamente se entiende por conjunto a una agrupación, colección o reunión de objetos reales o ideales a los cuales se les denomina elementos del conjunto. A los conjuntos generalmente se les representa con letras mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus elementos separados por comas y encerrados por signos de agrupación (llaves, corchetes, etc.) Ejemplo: M = {2, 4,6, 8} S = {Los Alumnos de la Academia GALILEO} T = { *, +, 2,  , x } II. RELACIÓN DE PERTENENCIA Si un objeto es un elemento de un conjunto, se dice que pertenece () a este conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece () a dicho conjunto. La relación de pertenencia es una relación exclusiva de elemento a conjunto. Ejemplo: Dado el conjunto A = {3, {5}, {n, 2}, m}



mA

(

)



5A

(

)



8A

(

)



2A

(

)



{5} A

(

)



{n} A

(

)

III. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Determinar un conjunto es especificar o señalar, en forma precisa, quienes son los elementos que lo conforman. a) POR EXTENSIÓN O EN FORMA TABULAR: Es cuando se señala a cada uno de los elementos de un conjunto enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida. b) POR COMPRENSIÓN O EN FORMA CONSTRUCTIVA: Es cuando se mencionan una o más características comunes y exclusivas a los elementos del conjunto. ESQUEMA: { f ( x ) / x tiene cierta característica} donde: f ( x ) : Indica la forma del elemento del conjunto. x : Variable que cumple ciertas propiedades. Ejemplo: Determinar por extensión y comprensión las siguientes agrupaciones: Las Estaciones del año.

Los números pares positivos de dos cifras.



Los cuadrados de los números impares.

Por Extensión: 

{ Verano, Invierno, Otoño, Primavera}



{ 10 , 12 , 14 , 16 , . . . . . ,98 }



{ 12 , 32 , 52, . . . . . }

Por Comprensión: 

{X / X es una estación del año}



{2x/x  N  5  x  49}



{(2n-1)2/n  N}

NUMERO CARDINAL: El número cardinal de un conjunto "A", nos indica la cantidad de elementos que posee, y se denota por n(A).

EJEMPLOS: A ={Los planetas del sistema}

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:





n(P)= 9

D = {27, 47, 67, 87, ........4007}

n(D)=200

E = {a, a, a, 2, 2,{3,4},{2}}

n(E)=4

IV. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS a) Inclusión: Se dice que un conjunto A esta incluido en B, si todos los elementos de A son también elementos de B. Se denota: A  B Se lee: "A está incluido en B" "A está contenido en B" "A es subconjunto de B" Ejemplos: 1) G = {Las gallinas} A = {Los animales} G  A 2) M = {2, 5, a} N = {1, 2, 3, 5, a, b} P = {a, 2, b, 3, c, 1, 5, 6}  M  N  N  P entonces M  P 3) Dado el conjunto: S = {0,1,{2},3} Indicar verdadero (V) o falso (F)  {1}  S ( )  {2}  S ( ) 3  S ( )  {2,0}  S ( )  {{2}}  S ( ) b) Igualdad: Intuitivamente dos conjuntos A y B son iguales, cuando poseen los mismos elementos. Se denota: A = B Se define:

A=B A B  B A Ejemplo:

Sean los conjuntos: A = {1, 3, a, b} B = {a, 3, b , b, 1, 1,1} Como: A  B  B  A entonces A = B OBSERVACIÓN: Dos conjuntos diferentes A y B son comparables, cuando uno de los conjuntos está incluido en el otro, es decir

A BóB A c)Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes. EJEMPLO: Z+ = {1,2,3,4,5,......} Z– = {-1,-2,-3,-4,-5,......}  Z+ y Z - son disjuntos c)

Diferentes (  ) : Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no tiene el otro.

A B  A  B  B  A V. CLASES DE CONJUNTOS: a) Finito: Un conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos tiene fin en el tiempo. Ejemplo: W = {x /x es un continente} n(W) = 5 b) Infinito: Un conjunto es finito, si posee una cantidad ilimitada de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos no tiene fin en el tiempo. Ejemplo: A = {1, 4, 9, 16, 25, 36,....} N = {x  R / 2 < x < 3 }

Ejemplo: Para los conjuntos: P = {Los pavos} G = {Las gallinas} Los posibles conjuntos universales que contiene a los anteriores son: U1={los animales} U2={las aves} U3={los aves gallináceas} d) Conjunto de Conjuntos o Familia de Conjuntos: Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. R = { { 2 } , { 3 } , { 4 , 7 } , } e) Conjunto Potencia: Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia de A, al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Se denota: P(A)

P(A)={x/x  A} Ejemplo: Dado el conjunto: A = {1,3}  n(A) = 2

Subconjuntos de A

, { 1 }, { 3 }, { 1 , 3}  P(A) = { , { 1 } , { 3 } , { 1 , 3 } }  n [P(A)]=2 2 Observaciones: * Dado un conjunto "A" con n(A) elementos entonces:

#subconjuntos de A = n[P ( A)]= 2

n(A)

VI. CONJUNTOS ESPECIALES: a) Conjunto Vacío o Nulo: Es aquel conjunto que no tiene elementos. Se denota:  ó { } Ejemplo: V = {x  Z / 7 < x