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FACULTAD DE INGENIERIA MATEMÁTICA BÁSICA CERO UNIDAD III: GEOMETRIA SEMANA 13: SOLIDOS GEOMETRICOS

SOLUCIONARIO

Visita el video-clase en el canal TuCiencia. 1. Encuentra el volumen de un cono circular recto si su área total es 32π cm 2 y su altura mide 6cm Solución

AT   .r ( g  r )  32

r ( g  r )  32 gr 

32 ....( I ) r

g 2  62  r 2 Por otro lado:

g 2  r 2  36 ( g  r )( g  r )  36...( II )

g.  r 

36 r....( I ) 32 Reemplazando (I) en (II) obtenemos;

g r 

9 r....( III ) 8

32 9  r. r 8 16r 2  256  9r 2 2r 

25r 2  256 16 r 5 Luego restando (I) y (III) obtenemos;

1

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

1  256  V    .6 3  25  V  64,307cm 3

2. El área lateral de un cilindro circular recto es 192 cm 2 y su altura mide 24 cm. Calcule el área total y el volumen.

Solución: Área Lateral

h=24cm r

192  = 2  r ( 24) r = 4cm

Área Total 2 AT = 192  + 2 (4 ) = 224  cm2 Volumen 2 V = (4 ) (24) = 3842  cm3

3. Calcule el área de la esfera que circunscribe a un cubo, si el área total del cubo inscrito es igual a 60 m2

Solución

Acubo  60m 2 a

2r a

6a 2  60  a  10

a

Para hallar el radio: 2

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

30 2

2r  a 3  2r  10 3 

r

Para hallar el área de la esfera:

 Ae  4  Ae  4r 2  

30 2

2











Ae  4

30  4

Ae  30

4. El radio de una esfera vale 5u y la altura de un cilindro recto inscrito mide 6u. ¿Cuál es la relación de volúmenes entre el cilindro y la esfera? Solución 2 3

x

1.

Trazamos una diagonal en la esfera que intercepte el cilindro para calcular el radio del cilindro.

2.

Por Pitágoras se calcula el radio del cilindro.

5

x  5 2  32  4

3. Ahora, calculemos el volumen del cilindro y de la esfera respectivamente.

VC  r 2 h  42 (6)   96 Ve 

4 3 4 500 R  (53 )   3 3 3

5. Calcular el volumen de hormigón que se ha necesitado para hacer este túnel: Solución:

1 1 Volumen  .. .5 2.20  . .4 2.20 2 2 Volumen  250  160 Volumen  90m 3

6. Se desea pintar la parte exterior de un reservorio en forma cilíndrica con 4,5m de radio y 8m de altura. Aproximadamente ¿Cuántos litros de pintura se necesitan si cada litro cubre una superficie de 2m 2?

ÁreaLateral  2  4,5.8m 2  226,2m 2 Solución: 3

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

226,2m 2 N  Litros de p int ura   113litros (aproximad.) 2m 2

8 m 4 , 5 m 7. La longitud de la base de un cono recto circular es 37,68cm y una generatriz de 18cm. Halle el área lateral, el área total y el volumen. Considerar =3.14.

l base  2r  37.68 37.68 2.(3.14) r6 r

A L   .6.18  339.12cm 2 AT   .6(18  6)  452.16cm 2 calculamos h aplicando el teorema de pitagoras 13 2  6 2  h 2 h  11.53cm luego :

 .3 2.(11, 53) v  108.61 cm 3 3

Solución:

4

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

g=13cm

√2

8. Si el área lateral de un cono de revolución es igual a

veces el area de la

base. Calcule el ángulo que forma la generatriz con la altura. Solución:

ÁreaLateral  2 Area de la base

 .r.g  2 .r 2 . r 1     45 g 2

h

g

 g

9. La superficie total de un cono recto es 200π m 2 y el producto de su generatriz y el radio es 136m2. Calcule el volumen del cono. Solución: 5

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

AT  200   .r.(r  g ) 200   .r 2  rg Calculamos la altura :

200   .r 2  136

64   .r 2 h 2  17 2  8 2 r 8 h  15 g.r  136  g  17 Luego : 64 .15 V  1004.8m 3 3

10.Halle el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2m y de altura.

Solución: A  4.(3,14).12  12.57 m 2 4 v  .(3.14).12  4.19m 3 3 1m

11.

Hallar el área de una esfera de radio igual a 2 m.

A  4.(3,14).2 2  50.24m 2

6

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

12.Calcular el área del circulo resultante de cortar una esfera de 35cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es 21cm

Calculamos lel radio : 35 2  212  r 2 Luego A   .28 2  2461,76cmr3=35 21

7

Solución:

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