Descripción completa
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© 2010 Universidad Privada del Norte. Laureate International Universities Av. Del Ejército 920 – Urb. El Molino (+51)44-220062 www.upnorte.edu.pe © 2010 Santos Andrés Castillo Vargas / Percy Enrique Angulo Vilca / Sonia Mábel Huertas López / Augusto Isaac Morán Carril / Willy Antonio Olaya Vásquez / Juan Carlos Ponte Bejarano / Wilmer Pedro Chávez Sánchez / Zulema Santillán Orbegozo / Marciano Daniel Arteaga Blas / Karol Aide Malasquez Sagástegui / Francisco Javier Rodas Díaz.
Corrección:
ISBN: Depósito Legal:
Impreso en: Trujillo, diciembre del 2010
Matemática Básica Cero Santos Andrés Castillo Vargas / Percy Enrique Angulo Vilca / Sonia Mábel Huertas López / Augusto Isaac Morán Carril / Willy Antonio Olaya Vásquez / Juan Carlos Ponte Bejarano / Wilmer Pedro Chávez Sánchez / Zulema Santillán Orbegozo / Marciano Daniel Arteaga Blas / Karol Aide Malasquez Sagástegui / Francisco Javier Rodas Díaz.
A Dios, por ser nuestro creador, amparo y fortaleza cuando más lo necesitamos, y por hacer palpable su amor a través de cada uno de los que nos rodea. A nuestros padres, amigos, parejas y alumnos que, sin esperar nada a cambio, han sido pilares en nuestro camino. Ellos forman parte de este logro que nos abre puertas inimaginables en nuestro desarrollo profesional.
CONTENIDO PRESENTACIÓN CAPÍTULO
Proposición
1.1.
1.2.
1.3.
1 LÓGICA PROPOSICIONAL 2
1.1.1.
Caso de estudio: Un hecho policial
2
1.1.2.
Introducción a la Lógica
3
1.1.3.
Enunciados y proposiciones
3
1.1.4.
Tipos de proposiciones
5
1.1.5.
Conectores lógicos
6
1.1.6.
Tablas de verdad
7
1.1.7.
Traducciones verbales de los conectores lógicos
8
1.1.8.
Ejercicios resueltos
10
1.1.9.
Ejercicios propuestos
12
1.1.10.
Respuestas
15
Equivalencias e inferencias lógicas
16
1.2.1.
Equivalencias lógicas
16
1.2.2.
Inferencias lógicas
17
1.2.3.
Ejercicios resueltos
18
1.2.4.
Ejercicios propuestos
20
1.2.5.
Respuestas
22
Circuitos lógicos
23
1.3.1.
Circuitos Lógicos
23
1.3.2.
Ejercicios resueltos
23
1.3.3.
Ejercicios propuestos
24
1.3.4.
Respuestas
27
CAPÍTULO
2 ARITMÉTICA
Números reales
2.1.
28
2.1.1.
Caso de estudio: la importancia de los números
28
2.1.2.
La leyenda del ajedrez
30
2.2.
2.3.
2.1.3.
Conjunto de los números naturales
32
2.1.4.
Conjunto de los números enteros
32
2.1.5.
Conjunto de los números racionales
33
2.1.6.
Conjunto de los números irracionales
33
2.1.7.
Conjunto de los números reales
33
2.1.8.
Potenciación
35
2.1.9.
Radicación
37
2.1.10.
Número decimal
38
2.1.11.
Ejercicios resueltos
41
2.1.12.
Ejercicios propuestos
46
2.1.13.
Respuestas
53
Teoría de Conjuntos
55
2.2.1.
Caso de estudio 1: Las drogas y la Teoría de Conjuntos
55
2.2.2.
Caso de estudio 2: Jóvenes emigrantes
57
2.2.3.
Introducción a la Teoría de Conjuntos
58
2.2.4.
Idea de conjunto
59
2.2.5.
Relación de pertenencia
59
2.2.6.
Relación de inclusión
60
2.2.7.
Igualdad de conjuntos
60
2.2.8.
Determinación de conjuntos
60
2.2.9.
Cardinal de un conjunto
61
2.2.10.
Clases de conjuntos
61
2.2.11.
Operaciones con conjuntos
63
2.2.12.
Ejercicios resueltos
64
2.2.13.
Ejercicios propuestos
67
2.2.14.
Respuestas
74
Técnicas de conteo
75
2.3.1.
Caso de estudio 1: Elaboración de placas para autos
75
2.3.2.
Caso de estudio 2: Turismo en el Perú
76
2.3.3.
Factorial de un número natural
77
2.3.4.
Principios fundamentales de conteo
78
2.3.5.
Permutación
80
2.3.6.
Variación
82
2.3.7.
Combinación
83
2.4.
2.3.8.
Cuadro resumen
85
2.3.9.
Ejercicios resueltos
86
2.3.10.
Ejercicios propuestos
88
2.3.11.
Respuestas
92
Proporcionalidad
93
2.4.1.
Caso de estudio: Pago de impuestos
93
2.4.2.
Razón
95
2.4.3.
Proporción
96
2.4.4.
Magnitud y cantidad
98
2.4.5.
Relaciones entre magnitudes
98
2.4.6.
Propiedades de las magnitudes
99
2.4.7.
Regla de Tres Simple
100
2.4.8.
Regla de Tres Compuesta
100
2.4.9. 2.4.9
Ejercicios resueltos
101
2.4.10.
Ejercicios propuestos
103
Respuestas
106
2.4.11.
2.5.
2.6.
Porcentajes
107
2.5.1.
Caso de estudio 1: Promedio final
107
2.5.2.
Regla del Tanto por Ciento
108
2.5.3.
Porcentaje de Porcentaje
108
2.5.4.
Tanto por ciento de una cantidad
108
2.5.5.
Operaciones con porcentaje
109
2.5.6.
Relación de parte – todo
109
2.5.7.
Descuentos y aumentos sucesivos
109
2.5.8.
Venta de artículos
110
2.5.9.
Ejercicios resueltos
111
2.5.10.
Ejercicios propuestos
114
2.5.11.
Respuestas
117
Interés
118
2.6.1.
Orígenes del interés
118
2.6.2.
Caso de estudio 2: Compensación por Tiempo de Servicios – CTS 118
2.6.3.
Interés
121
2.6.4.
Ejercicios resueltos
125
2.6.5.
Ejercicios propuestos
129
2.6.6.
Respuestas
133
CAPÍTULO
3
ÁLGEBRA
Expresiones algebraicas
3.1. 3.1.1.
134
Caso de estudio: El efecto ecológico del calentamiento de la tierra 134
2.1.3 3.1.2.
Definición de las expresiones algebraicas
136
3.1.3.
Clasificación de las expresiones algebraicas
137
2.1.5. 3.1.4.
Término algebraico
138
2.1.4 3.1.6.
Grado de una expresión algebraica
138
3.1.6. 2.1.7
Semejanza de monomios
139
3.1.7. 2.1.8
Operaciones con expresiones algebraicas
140
3.1.9 3.1.8.
Teorema del Resto
147
3.1.9.
Ejercicios resueltos
148
3.1.10.
Ejercicios propuestos
152
3.1.11.
Respuestas
155
Productos notables
3.2.
157
3.2.1.
Caso de estudio: Poda de un terreno
157
3.2.2.
Productos notables más importantes
158
3.2.3.
Ejercicios resueltos
159
3.2.4.
Ejercicios propuestos
162
3.2.5.
Respuestas
165
Cocientes notables
3.3.
166
3.3.1.
Caso de estudio: Cálculos aritméticos sin usar calculadora
166
3.3.2.
Cocientes notables
166
3.3.3.
Expresión general de un cociente notable
167
3.3.4.
Criterio del término general
168
3.3.5.
Ejercicios resueltos
169
3.3.6.
Ejercicios propuestos
171
3.3.7.
Respuestas
174
Factorización
3.4.
175
3.4.1.
Caso de estudio: Costo de producción
175
3.4.2.
Definición de factorización
175
3.4.3.
Métodos de factorización
176
3.4.5.
Ejercicios resueltos
182
3.4.6.
Ejercicios propuestos
184
3.4.7.
Respuestas
187
3.5.
Simplificación de expresiones algebraicas
189
3.5.1.
Caso de estudio: Clave de la cerradura
189
3.5.2.
Definición de fracciones algebraicas
189
3.5.3.
Conjunto de valores admisibles
189
3.5.4.
Observaciones relativas al signo de las fracciones
190
3.5.5.
Fracciones equivalentes
190
3.5.6.
Principio de Transformación de Fracciones
190
3.5.7.
Regla de Simplificación
190
3.5.8.
Álgebra de las fracciones algebraicas
191
3.5.9.
Ejercicios resueltos
193
3.5.10.
Ejercicios propuestos
195
Respuestas
198
3.5.11.
Ecuaciones
3.6.
199
Historia de las ecuaciones
199
3.6.2.
Caso de estudio 1 : Grabación en calidad variable
200
3.6.3.
Caso de estudio 2: El mono y los cocos
201
3.6.4.
Ecuaciones
202
3.6.5.
Ecuaciones lineales o de primer grado con una incógnita
203
3.6.6.
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado con una incógnita 204 Ecuaciones polinómicas o de grado superior con una incógnita
3.6.1.
3.6.7.
206 3.6.8.
Ejercicios resueltos
208
3.6.9.
Ejercicios propuestos
215
3.6.10.
Respuestas
218
CAPÍTULO
4.1.
4.2.
4
GEOMETRÍA
Geometría Plana
219
4.1.1.
Caso de estudio: La circunferencia de la tierra
219
4.1.2.
Ángulo
220
4.1.3.
Polígonos
223
4.1.4.
Área de los polígonos regulares
227
4.1.5.
La circunferencia
227
4.1.6.
Ejercicios resueltos
228
4.1.7.
Ejercicios propuestos
232
4.1.8.
Respuestas
241
Geometría del Espacio
242
4.2.1.
Caso de estudio: Nueva presentación de envases tetra pak
4.2.2.
Algunas definiciones importantes
242 243
4.2.3.
Áreas y volumenes de los principales sólidos
244
4.2.4.
Ejercicios resueltos
247
4.2.5.
Ejercicios propuestos
251
4.2.6.
Respuestas
256
Bibliografía
257
AGRADECIMIENTO Queremos expresar nuestro aprecio a cada uno de los siguientes revisores, cuyas sugerencias han ayudado a mejorar esta obra. Lic. Wilmer Pedro Chávez Sánchez
Universidad Privada Del Norte Laureate International Universities
Lic. Hugo Vergara Lau
Universidad Privada Del Norte Laureate International Universities
Lic. Luis Eduardo García López
Universidad Privada Del Norte Laureate International Universities
Lic. Rocío Del Pilar Rojas Jara Lic. Hosny Lily Mendoza Alfaro
Queremos también expresar nuestro agradecimiento al diseñador de la portada: Alfieri Díaz Arias
Universidad Privada Del Norte Laureate International Universities
Joseph Sanchez Horna
PRESENTACIÓN Este libro ha sido preparado con la intención de enriquecer el material docente correspondiente a la asignatura de Matemática Básica Cero. Este curso es dictado a los ingresantes con la finalidad de completar los conocimientos matemáticos adquiridos en la educación secundaria. El presente trabajo texto está dividido con fines pedagógicos en 3 capítulos: Aritmética, Álgebra y Geometría, con los cuales se espera que el estudiante esté en condiciones de realizar con éxito sus estudios en las diferentes carreras profesionales que ofrece la Universidad Privada del Norte. Cada capítulo empieza con un caso de estudio que permite desarrollar el contenido teórico. Para una mayor comprensión de estos contenidos, el libro consta de una serie de ejercicios desarrollados con detalle. Los autores han queridos insistir en aquellos puntos en los que su experiencia como docentes les indica que se presentan mayores dificultades para el aprendizaje. El objetivo es que el texto sea útil para el estudio autónomo de los estudiantes de Matemática Básica Cero y sirva como una guía práctica dentro del proyecto de aprendizaje diseñado para el curso y el trabajo diario en las aulas.
Los autores
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
CAPÍTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
1.1. Proposición 1.1.1.
Caso de estudio: Un hecho policial
Era una noche de invierno en Trujillo y los ciudadanos regresaban a casa después de un día de trabajo. De pronto, el estruendo de un disparo proveniente de la avenida España quebró la noche. Pasado el desconcierto y el ulular de un patrullero, la gente supo que se había cometido un robo cuantioso de dinero en una farmacia de prestigioso nombre. «Los delincuentes huyeron en auto», dijo un testigo. Después, nada. Tras unas horas, la policía capturó a tres sospechosos: Pedro, Ángel y Juan. Ya en la comisaría y después del interrogatorio, la policía estaba segura que: a) Al menos unos de los tres sospechosos participó en el asalto. b) Juan participa en fechorías siempre en compañía de Pedro. c) Ángel no sabe manejar. ¿Cuál de los tres sospechosos participó en el asalto?
Solución
A continuación simbolizamos las siguientes proposiciones: p= Pedro participó en el robo. q= Ángel participó en el robo. r= Juan participó en el robo. La formalización de las tres pistas para poder encontrar al culpable es la siguiente: P1 :p q r P2 : r p r
p
P3 : q De la premisa tres se puede concluir, por la Ley de Adición, que Ángel no sabe manejar a menos que Pedro o Juan participen en el robo. P4 : q (p r )
Por lo tanto, usando equivalencias lógicas en las premisas P1, P2 y P4 se encontrará al culpable. Es decir: (p q r ) (r
p) ( q p r )
2
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
(p q r ) ( r p) ( q p r )
p [(q r )
r ( q r )]
p {[(q r ) p [(q
r ] ( q r )}
r ) ( q r )]
p {q [ r ( q r )]} p [q ( r p [(q p (0
q)]
q)
r]
r)
p 0
……………………………… Ley Condicional .…………………..……………… Ley Distributiva ……………………………… Ley Asociativa ……………………………… Ley de Absorción ……………………………… Ley Asociativa ……………………………… Ley de Absorción ……………………………… Ley Asociativa ……………………………… Ley del Complemento ……………………………… Identidad
p
En conclusión, Pedro participó en el robo.
1.1.2.
Introducción a la lógica
Cuando deseamos establecer una verdad o queremos convencer a alguien de que nuestra posición o nuestras ideas son las correctas, recurrimos a un razonamiento o presentamos una evidencia que respalde nuestras opiniones. Este razonamiento o evidencia presentados con el propósito de demostrar algo se conocen como lógica. El nombre de lógica deriva de la palabra griega “logos”, que tiene múltiples y diversas acepciones. Un griego lo podía emplear en diversos contextos y con diversas significaciones: proposición, definición, afirmación, argumento, razonamiento, facultad de razonar, juicio, buen sentido, razón de las cosas, motivo, causa, ley, etc. En tal sentido, podemos decir que la lógica es la ciencia que estudia el pensamiento humano, de tal manera que se puedan producir razonamientos correctos que tomen como base la estructura de nuestros pensamientos. La lógica formal es la ciencia que busca hallar los esquemas universales y válidos en todo momento, según los cuales suele y debe pensar el hombre para alcanzar la verdad. Leibniz dijo que «las leyes de la lógica no son sino las reglas del buen sentido puestas en orden y por escrito».
1.1.3.
Enunciados y proposiciones
Enunciado Es toda frase u oración que señala simplemente una idea. Según el uso del lenguaje, puede cumplir las siguientes funciones: 1. Directiva: Su objeto es dar órdenes o hacer pedidos. Se subdivide en: A.1. Interrogativa: Su propósito es averiguar algo. Ejemplos: ¿Qué hora es? ¿Cuándo es el examen de Matemática Básica Cero?
3
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
A.2. Imperativa o exhortativa: Origina o cumple una acción. Ejemplos: Levántate y sigue adelante, nunca mires atrás. Por favor, podría prestarme dinero. 2. Expresivo: Busca comunicar sentimientos, deseos o actitudes. Se clasifica en: B.1. Exclamativo o admirativo: Expresa emociones. Ejemplos: ¡Viva el Perú! ¡Hoy es un día maravilloso! B.2. Desiderativo: Señala deseos o anhelos. Ejemplos: Deseo ser un profesional de éxito. Ojalá no desapruebe el curso. 3. Informativo: Busca afirmar algo. Ejemplos: El calentamiento de la tierra produce desastres naturales. Toda materia posee masa. 4. Abierto: Cuando el valor de la incógnita o variable no satisface un único valor de verdad. Ejemplos: x + 4 > 15 (x+2)2 = 13 5. Los mitos, las leyendas y las fábulas Ejemplos: Manco Cápac y Mama Ocllo fueron enviados por el sol. Hay vida después de la muerte. 6. Los refranes Ejemplos: A quien madruga, Dios le ayuda. A veces es peor el remedio que la enfermedad. 7. Las valoraciones sobre la moral, la belleza y la justicia Ejemplos: Hoy es un día maravilloso. La sinceridad es lo más valioso de un hombre. 8. Los ueños Ejemplos: Ayer soñé que ingresé a UPN. Juan soñó que ganaba la lotería. Proposición Es aquel enunciado aseverativo (afirma algo) del cual se puede decir con respecto a una realidad que es verdadero o falso, pero no que tiene las dos condiciones a la vez. Ejemplos: Hay habitantes en el planeta Júpiter. Claudia es hermana de Carlos.
4
CAPÌTULO 1 LÓGICA PROPOSICIONAL No son proposiciones los hechos, los personajes literarios, los proverbios, los refranes, los enunciados interrogativos, las órdenes, las dudas y las súplicas.
Variables proposicionales Son las letras minúsculas p, q, r, … que se le asigna a cada proposición. Ejemplos:
p: Alan García aprobó el Tratado de Libre Comercio con Estados Unidos. q: Miles de pobladores son evacuados ante el desborde de la laguna San Luis de Lucma en Cajamarca.
Los valores de verdad de las proposiciones p y q pueden ser verdaderos o falsos.
1.1.4.
Tipos de proposiciones
Proposiciones simples o atómicas Son aquellas en las que aparece una afirmación o acción. Se caracterizan porque se expresan mediante oraciones que no utilizan conjunciones gramaticales ni el adverbio ―no.‖ Se dividen en: a) Predicativas: Son aquellas que atribuyen o describen algunas cualidades o circunstancias del sujeto en la proposición. Ejemplos: Carlos Max fue el creador del materialismo dialéctico. Aristóteles fue el autor de la obra ―Organón‖. b) Relacionales: Es la comparación un sujeto con otro mediante una relación de orden, espacio, parentesco, acción. Ejemplos: La Libertad está entre Lambayeque y Lima. Carlos es hermano menor de Víctor. 8>3 Proposiciones compuestas o moleculares Son aquellas que están constituidas por proporciones simples enlazadas entre sí con conjunciones gramaticales o afectadas por el adverbio ―no.‖ Ejemplos: No es el caso que los médicos salven vidas. Trujillo y Tacna son ciudades del norte del Perú. No vendré a la universidad hoy día a estudiar matemática.
5
CAPÌTULO 1 1.1.5.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Conectores lógicos
A partir de las proposiciones simples es posible generar proposiciones compuestas mediante símbolos llamados conectores lógicos. A continuación definimos cada uno de ellos:
NOMBRE DEL CONECTOR
SIMBOLO DEL CONECTOR
NEGADOR
NO
CONJUNTOR
Y
DISYUNTOR DÉBIL
O
DISYUNTOR FUERTE CONDICIONAL O IMPLICADOR REPLICADOR
O…O… SI … ENTONCES…
,
,
, &, ,
,
, ,
, ,
PORQUE
,
BICONDICIONAL
SÍ Y SÓLO SÍ
,
INALTERADOR O DAGA DE SHEFFER
NI … Y NI …
INCOMPATIBILIZADOR O BARRA DE NICOLD
NO … O NO …
/
Nota Negador interno: Se caracteriza por su carácter débil, solo acepta a la proposición simple más cercana y son solo tres: ―no‖, ―nunca‖, ―jamás.‖ Negador externo: Es de carácter más fuerte, generalmente se encuentra delante de la oración. Condición suficiente: Es la circunstancia que genera una consecuencia (causa o antecedente). Condición necesaria: Es el resultado motivado por una circunstancia anterior (efecto o consecuente).
CAUSA ANTECEDENTE COND. SUFICIENTE
EFECTO CONSECUENTE COND. NECESARIA
6
CAPÌTULO 1 1.1.6.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Tablas de verdad
A continuación se presenta un cuadro resumen de los valores de verdad de los conectores lógicos. Sean p y q las proposiciones simples. Entonces, la tabla de verdad tendrá 22 valores.
p q
–p
p
p
q
q
p
q
p
q
q
q
p
q
p q
p/q
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
Nota: El cálculo del número de valores de verdad que tiene una tabla se da mediante la siguiente fórmula: 2número de proposiciones simples La ubicación de los valores de verdad en la tabla es la siguiente: – Para la primera proposición p, se divide el total de valores de verdad de la tabla entre dos y se ubican los valores: mitad verdaderos (o unos) y luego la otra mitad falsos (o ceros). – Para la segunda proposición q, se divide el total de valores de verdad de la tabla entre cuatro y se ubican los valores: la cuarta parte verdaderos o unos, luego la cuarta parte falsos o ceros y así sucesivamente hasta completar la tabla. – Para la tercera proposición r, se divide el total de valores de verdad de la tabla entre ocho y se ubican los valores: la octava parte verdaderos, luego la octava parte falsos y así sucesivamente hasta completar la tabla. – Estos pasos se repiten, de acuerdo al número de proposiciones que tiene la tabla. Ejemplo: Supongamos que la tabla de verdad tiene tres proposiciones simples, entonces los valores de verdad que tiene la tabla son: p q r 1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
Número de valores de la tabla: 23 = 8
7
CAPÌTULO 1 1.1.7.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Traducciones verbales de los conectores lógicos
NEGADOR No p , No ocurre que p, No es cierto que p, No es verdad que p, No acaece que p, No siempre que p, No es que p, Nunca p, Nadie que sea p, Es absurdo que p, Es inconcebible que p, Es imposible que p, Es mentira p, Es inadmisible que p, Es negable que p, Es erróneo que p, Es incierto que p, Es incorrecto que p, Es objetable que p, Es falaz que p, En modo alguno que p, En forma alguna p, De ninguna forma se da p, Jamás p,
CONJUNTOR pyq p incluso q p pero q p aunque q p al igual que q p tal como q p tanto como q p también q p así como q p vemos que también q p al mismo tiempo que q p sin embargo q p es compatible con q p aún cuando q p del mismo modo q p de la misma manera q p no obstante q p empero q p así mismo q p a pesar que q p igualmente q p de la misma manera q Tanto p como, cuando q Siempre ambos p con q No sólo p sino también q Sin que p tampoco q Cierto que p lo mismo que q Simultáneamente p con q
DISJUNTOR INCLUYENTE
DISJUNTOR EXCLUYENTE
poq p a menos que q p salvo que q p y bien, o también q p excepto que q p o incluso q p o a la vez q p ya bien q p y/o q p o no es que q p o en todo caso q p alternativamente q A menos que p, q
Opoq O bien p o bien q p o solamente q p o únicamente q p o sólo q p no es equivalente a q p salvo que tan sólo q No es equivalente p con q Ya bien p ya bien q O siempre p o siempre q Sólo p sólo q Salvo que solamente p ocurre q En que ocurra p excluya q
AGREGAR a no ser
8
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
IMPLICADOR
REPLICADOR
Si p entonces q Apenas p inmediatamente q Siempre que p por consiguiente q Ya que p bien se ve que q Con tal que p es obvio que q Cuando p así pues q Toda vez que p en consecuencia q Dado p por eso q En cuanto p por tanto q Cada vez que p consiguientemente q Ya que p es evidente q De p derivamos q Como quiera que p por lo cual q En el caso de que p en tal sentido q Una condición necesaria para p es q ya que p por ende q Apenas p inmediatamente q Siempre que p y sólo si q En virtud de que p es evidente que q p es condición suficiente para q p sólo si q p sólo si cumple q p da lugar a q p es innecesario y q es insuficiente p implica q P luego q
Sólo si p, q Para p es suficiente q Únicamente si p entonces q El que p depende de q Es necesario p para q Si solamente p cada vez que q No es suficiente que p y no es necesario que q p porque q p siempre que q p puesto que q p dado que q p supone que q p pues q p en vista de que q p cada vez que q p es necesario para q p es insuficiente para q p es insuficiente y q es innecesaria p se sigue de q
BICONDICIONAL p si y sólo si q p siempre y cuando q p se define lógicamente como q p es equivalente, equivale q p por lo cual por la misma forma q p si de la misma forma q p es idéntica q p es igual (es igual, entonces) q p cada vez que y sólo si q p es equipolente a q p es condición necesaria y suficiente para q p siempre que y sólo cuando q p sea la misma que q p por lo cual y según lo cual q p cada una de las veces que y todas las veces que q p es la definición lógica de q Cuando y sólo cuando p luego q Sólo si p y sólo si q Sólo que p luego es porque q Siempre que p y siempre que q
9
CAPÌTULO 1 1.1.8.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Ejercicios resueltos
1. Identifique cual de las siguientes oraciones son proposiciones. Justifique su respuesta. a) Qué linda flor. b) Los chasquis fueron los mensajeros de los incas. c) Sobre la montaña Pacaritambo aparecieron los hermanos Ayar. d) Existen habitantes en el planeta Júpiter. Solución a) No es una proposición porque expresa un gusto. Lo lindo o bonito es relativo. b) Si es proposición, pues está comprobado por los historiadores. c) No es proposición, pues los hermanos Ayar es una leyenda de los Incas. d) Si es proposición, pues es una aseveración que puede ser comprobada si es verdadera o falsa. 2. Clasifique las siguientes proposiciones. a) Alianza Lima y Universitario jugarán hoy día, en el Estadio Nacional. b) Los gorilas y los chimpancés pertenecen a la misma familia. c) Kina Malpartida es la mejor boxeadora del mundo. d) Si Jonathan corre, transpira. e) La Matemática es una ciencia formal, así como la lógica también lo es. Solución a) Es una proposición compuesta porque se puede separar en dos proposiciones simples. Es decir: p: Alianza Lima jugará hoy día, en el Estadio Nacional. q: Universitario jurará hoy día, en el Estadio Nacional. Formalización:
p
q
b) Es una proposición simple, porque no se puede se parar en dos proposiciones. Es decir: p: Los gorilas pertenecen a la misma familia. q: Los chimpancés pertenecen a la misma familia. No tienen sentidos las oraciones por separado. c) Es una proposición simple. Tener cuidado con este tipo de proposiciones porque podemos confundirnos por la palabra ―la mejor‖. En este caso, Kina Malpartida fue reconocida la mejor boxeadora del mundo por un jurado calificador. d) Es una proposición compuesta porque tiene la forma de causa efecto. p: Jonathan corre q: Jonathan transpira Formalización:
p
q
3. Construya la tabla de verdad de las siguientes proposiciones. q) (r p) a) (p q) (r p) b) (p
10
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
Solución Los pasos para encontrar los valores de una tabla son: 1. 2. 3. 4.
Encuentre los valores de los negadores de cada proposición, si existe. Encuentre los valores de cada paréntesis. Encuentre los valores del negador externo, si existe. Finalmente, encuentre los valores de la matriz principal.
a) La tabla de verdad es la siguiente: p 1 1 1 1 0 0 0 0
q 1 1 0 0 1 1 0 0
r 1 0 1 0 1 0 1 0
[(
p
q )]
( r
1 1 0 0 0 0 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0 1
P )] 1 1 1 1 1 0 1 0
0 0 0 0 1 1 1 1
b) La tabla de verdad es la siguiente: p 1 1 1 1 0 0 0 0
q 1 1 0 0 1 1 0 0
4. Sabiendo que (p (p r) [(p q)
r 1 0 1 0 1 0 1 0
q 0 0 1 1 0 0 1 1
( p 1 1 1 1 0 0 1 1
q) ( r q]
)
( r 1 1 1 1 0 0 0 1
p
)
1 1 1 1 0 1 0 1
s) es falso, calcule el valor de verdad de la proposición
Solución De la fórmula lógica dada se obtienen los valores de verdad de cada proposición. Es decir: (p
q)
( r
(p
s)
q)
( r
0
0
s)
(p 1
0
q) 0
( r 1
0
0
s) 0
p= 1 q= 1 r=0 s=0
0 0
Luego, reemplace los valores de verdad de las proposiciones en la fórmula pedida. Es decir: (p
r)
1
0 0
[ (p
q)
1 1 1
q] 0
(p
r)
1
0 0
[(p
q)
1 1
0
1 0
11
q]
(p
r)
1
[ (p
0
q)
1 1
0
1
0
0 1
q]
CAPÌTULO 1 5.
LÓGICA PROPOSICIONAL
La proposición «Es falso que Carolina no sepa tocar el piano y que, además, no componga melodías, puesto que es egresada del Instituto Nacional de Cultura» se formaliza. Solución Se identifica las proposiciones simples y luego los conectores lógicos.
PROPOSICIONES
CONECTORES LÓGICOS
p: Carolina sabe tocar piano
: es falso que, no
q: Carolina sabe componer melodía
:y
r: Carolina es egresada del INC
1.1.9.
FORMALIZACIÓN
( p
q)
r
: puesto que
Ejercicios propuestos
Nivel 1 1. Identifique cuales de las siguientes oraciones son proposiciones. a) x y 12 si x 7, y 5 b) Lunes, 24 de diciembre c) Viena es la capital de Tokio. d) Penélope con su bolso de piel marrón y sus zapatos de tacón y su vestido de domingo. e) El 90% de los que han usado cocaína han muerto. f) sen(x y) sen(x) cos(y) sen(y) cos(x); x, y g) El cráneo consta de ocho huesos. h) Andrés prefiere el rostro de una muchacha a toda una pinacoteca nacional. i) Cada loco con su tema. j) En el 2007, el Fenómeno del Niño destruyó el aeropuerto Carlos Martínez de Pinillos. k) No me gusta estudiar. l) La calificación final dependerá del esfuerzo y la dedicación, no de qué tan bien le caes al profesor. m) Los profesionales peruanos son justos y amorosos. n) A menos que Juan corra, engordará. o) Quisiera ir a la guerra, pero no morir. p) Hoy soñé que un oso me besaba y me abrazaba. 2. Clasifique las siguientes proposiciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i)
No es verdad que haya un profesor calvo en la UPN. Es innegablemente falso que varios elementos químicos son gaseosos. El sodio, el oxígeno y el agua reaccionan para formar soda cáustica. 8>3. Si Willy ingresa a la UPN, entonces será profesional. Leonardo Da Vinci fue físico y pintor. O es tarde o está muy oscuro. Masa equivale a energía. No ocurre que todos los números son positivos.
12
CAPÌTULO 1 j) k) l) m) n) o) p)
LÓGICA PROPOSICIONAL
Esta noche iremos a la fiesta y no al cine. Cesar Vallejo y Vargas llosa son contemporáneos. El título Cien años de soledad es el más adecuado, puesto que narra la historia de una familia que a lo largo de un siglo vive sin amor. Dos y tres son primos entre sí. Los que compren diez discos tienen un derecho a un descuento del 10% o un vale por otro monto equivalente para otra compra. Trujillo está ubicado entre Chiclayo y Chimbote. Ni todo texto literario es ficcional, ni todo texto ficcional es literario.
3. Determina los valores de verdad de las siguientes proposiciones: a) (3 5 8) (5 3 4) b) (3 8 11) (7 4 1) c) (5 3 8) (1 7 6) (5 2 4) d) (4 6 9) Nivel 2 1. Exprese las siguientes proposiciones en el lenguaje simbólico: a) 16 es número par o, de lo contrario, es un número impar. b) Dado que los precios suben, luego la demanda baja. c) Cada vez que recibas un sueldo podrás salir a comprar. d) Las calles se están mojando porque está lloviendo. e) Podrías salir a comprar cada vez que recibas tu sueldo. f) Obtener ganancias es necesario para poder invertir. g) Es suficiente —para aprender la lección— estar bien motivado. h) Trabajar diariamente es suficiente para tener dinero. i) Es suficiente invertir para obtener ganancias. j) Hoy es sábado dado que ayer fue viernes. k) Sólo si existe oferta, habrá demanda. l) Los cuerpos se dilatan cuando y solo cuando están sometidos al calor. m) Juan tiene derecho a votar cuando y solo cuando está inscrito en el registro electoral. n) No es cierto que la democracia jamás podrá ser destruida. o) No es verdad que Perú tanto como Venezuela clasificaron al último mundial. p) No es el caso que llueva o haga viento cuando ha terminado el invierno. q) Diego no fuma si hace deporte y ahorra dinero si no fuma. r) Percy es un jugador de ajedrez porque y sólo porque domina la deducción lógica, sin embargo ha perdido el campeonato. s) Es imposible que Andrés cometiera el crimen a no ser que lo hizo por despecho. Sin embargo, nunca tuvo problemas con su esposa dado que ella fue una mujer inteligente. 2.
Construye la tabla de verdad de las siguientes proposiciones lógicas:
a) b) c) d) e)
p q (p q) p (p q ) (p q) ( q p) q ( p q) p q
f) g) h) i) j)
13
(p q) ( p ( p r) ( q (p q) r (p q) (p r) [(r p ) q]
q) p)
p
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
Nivel 3 1. Dados los valores de: p=0; q=0; r=1; s=1. Y las fórmulas: 1. (p q) 3. (p (r p) 2. ( r p ) ( q p) q) (r p) Los valores correspondientes de verdad son: a) 100 b) 001 c) 000 d) 110 e) 111 2. Dado el siguiente esquema ( q/ p) ( r s) verdadero, los valores de las variables son respectivamente: a) 1111 b)0000 c)1100 d) 0001 e)1110 3. Proposición: «La lógica es una ciencia formal, tiene aplicaciones prácticas, no obstante la lógica no estudia el contenido del pensamiento, tampoco estudia los valores». Se formaliza: s) s) a) (p q) ( r b) (p q) (r s ) c) (p q) ( r s) s) d) (p q) ( r e) (p q) ( r 4. Formalice: «Estar tranquilo es condición necesaria para rendir un buen examen. Pero saber es condición suficiente para ingresar». a) (p q) (r s) b) (p q) (r s) c) (p q) (r s) d) (p q) (r s) e) (p q) (r s) 5. Formalice: «Es mentira que la inflación sea un indicador de pobreza a menos que ésta sea equivalente a un indicador poblacional». a) p q b) (p v q) c) ( p v q) d) p (q v q) e) T.A. 6. Formalice: «Porque la luz tiene naturaleza dual, se transmite en el vacío. Sin embargo, el sonido no se transmite en el vacío porque tiene naturaleza ondulatoria». a) (p q) (–p r) b) (p q) (–r s) c) (p q) –(q r) d) (p q) (–r s) e) (p q) (–q r) 7. Formalice:« Las pirámides son reliquias históricas, joyas arquitectónicas a menos que también una de las siete maravillas del mundo. El Coloso de Rodas también es una de las siete maravillas del mundo, al igual que el faro de Alejandría. Por tanto, es imposible que los tres no sean joyas arquitectónicas». a) [(p q r) (s t)] ( p q r) b) [(p q r) (s t)] ( u) c) [(p q r) (s t)] ( q u v) d) [(p q r) (s t)] ( p) e) [(p q r) (s t)] ( p q r) 8. Se define las proposiciones: Además la proposición de ―p‖, ―q‖ y ―r‖. a) 101
b)111
p#q p q p q pv q [ (p # q) (q r)] es verdadera. Halle los valores de verdad c) 000
d) 110
e) 001
9. Si p(x): x2 = 16, q(x): x – 4 = 8, r(x): x2 – 4 > 5. Halle el valor de verdad de: a) {[p(1) p(3)] [ r(2) v p(3)] } q(4) b) [p(2) q(12) ] r(4) c) p(4) [r(5) v q(4) ] a) 000
b) 111
c) 101
d) 110
14
e) 001
CAPÌTULO 1 1.1.10.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Respuestas
Nivel 1 1.
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
SI NO SI NO SI SI SI SI NO SI NO SI
m) n) o) p) a) b) c) d) e) f) g) h)
2.
NO SI NO NO C C S S C C C S
i) j) k) l) m) n) o) p) a) b) c)
3.
C C S C S C S C 1 1 1
Nivel 2 1.
a) b) c) d)
p p
q q
p
q
e)
p
f) g) h) i) j)
p)
a) b) c) d)
0010 1100 1111 0101
(p q)
e) f)
1010 0101
g) h) i) j)
11111011 11101011 11100000 00111001
k) l) m) n)
p
q
p p
q q
q
o)
p
q
p)
p
q
p
q
p p
q q
q) r) s)
p q
( (p ( p
q)
q) (r
(p q) r (p q) ( r
2.
r p)
s)
Nivel 3 1. 2. 3.
C D C
4. 5. 6.
D B B
7. 8. 9.
15
C E E
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
1.2. Equivalencias e inferencias lógicas Equivalencias lógicas
1.2.1.
Definición: Dos esquemas proposicionales p y q se dice que son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en su matriz principal. Es decir: Si p
q entonces p ↔ q representa un esquema tautológico. y Si p ↔ q es un esquema tautológico entonces p q.
LEY DE DOBLE NEGACIÓN
LEY DEL CONDICIONAL p
( p) p
q
(p
LEY DE IDEMPOTENCIA p p p p
p (q r ) (p q) (p r ) p (q r ) (p q) (p r )
LEYES DE ABSORCIÓN
1 0 p p
p (p q) p p (p q) p p (p q) p q p (p q) p q
CONMUTATIVIDAD p p p
LEYES DE DISTRIBUCIÓN
p 1 p 0
1 0 1 0
LEYES DEL BICONDICIONAL
q q p q q p q q p
p p p p p
CONTRAPOSICIÓN p p
q q
q q
p p
p p
q q
q (p q) (q p) q ( p q) (p q) q (p q) ( p q) q (p q) q ( p q)
DISYUNTOR FUERTE p q ( p p q (p
LEYES DE MORGAN (p q) (p q)
q
(p q) r p (q r ) (p q) r p (q r )
LEY DE IDENTIDAD p p p p
q) p
LEYES DE ASOCIACIÓN
p p
LEY DEL COMPLEMENTO p p
p q
q) (p q) q)
EXPORTACIÓN (p q)
16
r p
(q
r)
CAPÌTULO 1 1.2.2.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Inferencias lógicas
Definición: Son estructuras de proposiciones donde a partir de una o más proposiciones llamadas premisas se obtiene otra proposición final llamada conclusión. Formalmente podemos expresarlas de dos formas: Esquema Lineal y Esquema Vertical. Esquema Lineal:
(p1 p2
pn )
C
Donde ―pi ‖ con i= 1,n son premisas y ―C‖ la conclusión. Esquema vertical: Esta formalización es la más recomendada para poder encontrar rápidamente la conclusión. Nótese que el conector que va a enlazar o unir siempre las premisas va a ser el conjuntor y, asimismo, la línea horizontal es el implicador, lo que nos induce a encontrar la conclusión. p1 p2 pn C
«Si la conclusión se deduce correctamente del conjunto de premisas, la inferencia es válida, o también se dice que el conjunto de premisas implica a la conclusión, o la conclusión es consecuencia lógica del conjunto de premisas; pero si la conclusión no se deduce correctamente del conjunto de premisas, simplemente la inferencia no es válida». A continuación estudiaremos las reglas de inferencias más importantes: SIMPLIFICACIÓN p q p q p
o
MODUS TOLLENDO TOLLENS(MTT) ( ,
q
p
ADICIÓN O NUEVO FACTOR p
p p
CONJUNCIÓN O ADJUNCIÓN p q
q p p
q
p
q q
p
MODUS PONENDO TOLLENS(MPT) ( )
MODUS PONENDO PONENS(MPP) p q p
q
Falacia
q
p q
( ,
p p
q q p
p NF
)
p q p
)
p
q
q q
p
q
p
p
MODUS TOLLENDO PONENS(TP)
Falacia
q
p q q
(
p q p
q q
q
17
,
)
p p
q q
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
SILOGISMO HIPOTÉTICO PURO
DILEMAS
p q
q r
p r
q p
p
r
r
q
p q r s p r
p r q
q s s
q s
p
r
CONSTRUCTIVO
1.2.3.
DESTRUCTIVO
Ejercicios resueltos
1. Simplifique: {[(p q)
q] [q
(p r )]}
(s
q)
Solución ([ ( p
q)
q ] [q
Ley de Absorción
( p r ) ])
(s
q)
(p
q)
Def.Implicador
[ q
( p r )])
(s
q)
Ley Asociativa
p
q
[ q
( p r )])
(s
q)
Ley de Absorción
(p
q)
(s
q)
Def. de Implicador
(p
q)
( s
q)
Morgan
( p
q)
( s
q)
Ley Asociativa
p
( q
s
q )
Ley del Complemento
( p
s ) 1)
Ley Asociativa, Identidad
1
2. Las pilas secas son celdas electroquímicas, aunque no son celdas fotoeléctricas. puede inferir:
Se
Solución PROPOSICIONES p: Las pilas secas son celdas electroquímicas.
ESQUEMA
p
q
q: Las pilas secas son celdas fotoeléctricas.
CONCLUSIÓN 1º: Las pilas secas son celdas electroquímicas. 2º: Las pilas secas no son celdas fotoeléctricas.
3. Dado el siguiente argumento: «Si estudio arduamente, apruebo el curso de Matemática Básica Cero; y si apruebo el curso de Matemática Básica Cero, entonces estudiaré Matemática Básica el próximo ciclo con el profesor Castillo»; se puede concluir:
18
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
Solución Se identifica las proposiciones simples y luego los conectores lógicos. PROPOSICIONES
ESQUEMA
CONCLUSIÓN
p: Estudio arduamente. q: Apruebo el curso matemática básica Cero.
de
r: Estudio matemática básica el próximo ciclo con el profesor Castillo. 4.
p q
q r
p
r
Si estudio arduamente entonces estudio matemática básica el próximo ciclo con el profesor Castillo.
Dado el siguiente argumento: «A menos que Percy no estudie, es un buen hijo. Y si juega fútbol, entonces es un buen deportista. Sin embargo, Percy estudia o juega fútbol»; se concluye que: Solución PROPOSICIONES
ESQUEMA
p: Percy estudia.
P1 : p
q: Percy es buen hijo. r: Percy juega fútbol. s: Percy es buen deportista.
q
CONCLUSIÓN p
q
P2 :
r
s
P3 :
p
r
q
s
Percy estudia o es buen deportista.
5. Use las identidades lógicas para obtener una conclusión de las siguientes premisas. 1. p q 2. q w 3. (r s) (s t ) 4. r Solución
1. 2.
p
q
q
w
3. (r t ) 4. r
(s p)
-------------5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
p
q
q p r s p w
w w t p
Definición de implicador en 1. Definición de implicador en 2. Silogismo Hipotético puro en 5 y 6. Adición en 4. Modus Ponendo Ponens en 3 y 8. Simplificación en 9. Modus Ponendo Ponens 7 y 9.
19
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
Ejercicios propuestos
1.2.4. Nivel 1
q? 1. ¿Cuál de las siguientes fórmulas es equivalente a: p a) p q b) (q p) c) q p d) (q p) Son ciertas: a) una b) dos c) tres d) cuatro 2. Halle por contraposición la fórmula equivalente a : a) q p b) q p c) q p
p q) equivale a: b) (p q) / ( e) N.A.
p q)
c) (p /
q
e) cinco
(p q) d) q p
3. ¿Cuál de las siguientes fórmulas lógicas equivale a: p q? 1. p q 2. (p q) 3. (p q) 4. q Son ciertas: a) 1,2,3 b) 2,3,4 c) 3,4,5 d) 2,4,5 4. La fórmula (p q) ( a) (p / q) / ( p / q) d) (p q) ( p q)
e) (p p)
e) N.A.
p 5.
(
p
q)
e) 1,2,4 q)
(
p/q)
5. Si Acuña es el alcalde de Trujillo, representa a Defensa Civil en esta ciudad. Es cierto que Acuña representa a Defensa Civil en Trujillo. La conclusión correcta es: a) Acuña es el alcalde de Trujillo. b) Acuña no es el alcalde de Trujillo. c) Acuña no representa a Defensa Civil. d) Acuña no sólo es el alcalde de Trujillo, sino que representa la defensa civil. e) Imposible, es una falacia formal. 6. Isabel irá a la playa dado que hace calor, lo cual se verifica. Podemos concluir que: a) No es innegable que Isabel irá a la playa. b) Isabel irá a la playa. c) Hace calor si y solo sí Isabel irá a la playa. d) De ninguna manera Isabel puede ir a la playa. e) Hace calor porque Isabel irá a la playa. Nivel 2 1. Simplifique las siguientes fórmulas lógicas: a) ( p b)
q)
[
(p
c) [(
p
d) [(
p
q q)
q) q)
q] (r q]
q r)] p
q
e) f) g) h)
[( p q) q] q [ p (q r)] [( p q) (p r)] [( q p) ( p q)] q [ (p q) (q p)] (p q)
2. La proposición El Perú no es un país democrático, sin embargo se rige por leyes constitucionales. Esta proposición es equivalente a: a) Es mentira, que ya que el Perú es un país democrático y evidentemente se regirá por leyes constitucionales. b) Es falso decir que si el Perú se rige por leyes constitucionales, es obvio que se trata de un país democrático. c) El Perú no se rige por leyes constitucionales, pues no es un país democrático. d) Falacia.
20
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
e) N.A. 3. La proposición «Es suficiente que llueva para salvar la cosecha» es equivalente a: a) Si no llueve, entonces se salva la cosecha. b) No es cierto que llueva y no se salva la cosecha. c) No es cierto que no llueva y se salve la cosecha. d) No llueve y no se salva la cosecha. e) N.A. 4. Un abogado dice a su patrocinado: «Si pides perdón, te absolverán. Si eres ofensivo, te condenarán. Pero pides perdón a menos que seas ofensivo‖. El abogado quiso decir: a) Es innegable que te absolverán, no obstante nadie te condenará. b) Te absolverán a menos que te condenarán. c) Si te absuelven, no te condenarán. d) Si no pides perdón, te condenarán. e) No pedirás perdón. Nivel 3 1. Si el neutrón tiene carga eléctrica neutra, es obvio que el electrón si tiene carga eléctrica. Sin embargo, el oxígeno es átomo, luego H2O2 es molécula. Asimismo es cierto que el neutrón tiene carga eléctrica neutra, excepto que átomo sea el oxígeno. En consecuencia: 1. Salvo que el H2O2 sea molécula, el electrón tiene carga eléctrica. 2. El electrón tiene carga eléctrica, o incluso el H2O2 es molécula. 3. Es innegable que el H2O2 es molécula, salvo que el electrón tenga carga eléctrica. 4. Si el H2O2 no es molécula, en consecuencia el electrón tiene carga eléctrica. 5. Es falso que el electrón no tenga carga eléctrica y el H2O2 no sea molécula. Son ciertas: a) Sólo 1,2 b) 3,4y5 c) Sólo 1y5 d) todas e) 1,2y4 2. No hay aprendizaje, a menos que haya enseñanza. Empero, no hay enseñanza excepto que incluso haya instrucción; por tanto: a) Si hay aprendizaje, hay instrucción. b) Al no haber instrucción, tampoco hay instrucción. c) Jamás hay aprendizaje, salvo que a la vez no haya instrucción. d) Es mentira que hay aprendizaje, sin embargo hay instrucción. e) Hay instrucción, así como no hay aprendizaje. 3. No hay ascetas a menos que haya estoicos. Si hay estoicos, por ende existen castos. En consecuencia: a) Hay castos, salvo que existan ascetas. b) Puesto que no hay ascetas se infiere que no existen castos. c) Es objetable que existan ascetas, pero no castos. d) Jamás habrá castos, salvo que hayan ascetas. e) N.A 4. «El uranio no sería rebuscado, excepto que fuese un mineral abundante. La plata no sería atrayente salvo que fuese refulgente, mas, es indefectible que el uranio no es rebuscado en consecuencia es atrayente la plata». No se concluye: a) Al no ser el uranio mineral abundante, la plata si es refulgente. b) Si la plata no es refulgente, el uranio es mineral abundante. c) Es inadmisible que el uranio sea falso, que es mineral abundante y la plata no sea refulgente.
21
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
d) Si la plata no es refulgente, es obvio que el uranio es mineral abundante. e) No sucede que la plata jamás sea refulgente, aún cuando el uranio sea un mineral abundante. 5. En modo alguno, el lógico razona y no deduce. En forma alguna, el empírico piensa, mas jamás actúa. Sin embargo, es mentira que el lógico nunca razona, aún cuando el empírico deje de pensar. De esto se infiere: a) El lógico razona y el empírico piensa. b) El lógico deduce, salvo que el empírico actúe. c) El empírico piensa, excepto que deje de pensar. d) El empírico actúa y el lógico razona. e) N.A 6. Sean las premisas: P1 : p , P2 : q Se infiere: a) q
b) t s
c) t
7. Sean las premisas: P1 : A
r , P3 : ( s
d)
s
B , P2 : B
Se infiere: a) C A b) A D
q) , P4 : t
c) A
s
D , P3 : C
p , P5 : r
e)
q
t s
D
d)
C
A
e)
C
B
8. De las Premisas: P1 : p (q r) P2 :
s
p
P3 : q
Se infiere: a) p q
b) p s
c) s
r
d)
s
r
e)
( r
s)
t
9. De las premisas: P1 : p q P2 :
q
Se infiere: a) p r 1.2.5. Nivel 1 1. 2. 3. 4. 5. 6.
b) p
r
c) s
r
d) s
e) (p s) r
r
Respuestas C D D B E B
Nivel 2 1
a) 1 b) q c) q d) p e) 1 f) 1 g) q h)q
2. 3. 4.
q
B B B
22
Nivel 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
D A C E B E D E B
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
1.3. Circuitos lógicos 1.3.1.
Circuitos lógicos
Definición: Dispositivos que permiten la representación de las fórmulas proposicionales de la lógica. Circuitos o conmutadores: Circuitos en serie: Representa fórmulas conjuntivas en las que los conmutadores está a continuación de otro. p
q
p q
Circuitos en paralelo: Representa fórmulas disyuntivas incluyentes en las que un conmutador está sobre otro. p
p q q
1.3.2.
Ejercicios resueltos
1. Formalice el siguiente circuito adjunto:
p
q p
q
r
Solución 1º
p q
2º p q
q
p p
p r
( p r)
q
r p r
q
q
3º p q
( p r) (p
23
q) [( p r)
q q]
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
2. Si el costo de cada llave en la instalación mostrada es de S/.10, reduciría el costo de la instalación si este circuito se simplificara? p
p
q r
¿en cuánto se
q r
p
q
Solución (NO SE ESTA RESPONDIENDO LA PREGUNTA) Reduce el sistema usando la equivalencia del circuito en paralelo. p q r
q
p r
p
(p q)
p
r
(
p
q r q)
q
Luego, reduce el circuito usando la equivalencia del circuito en serie. (p q) p
r
q
p (
r q)
(p q)
p q
p
r q)
r
(
Use absorción y luego circuito en paralelo. Es decir:
p q p q p
p
(r q)
(r q)
Finalmente use la ley de idempotencia y absorción y se tiene el circuito simplificado p
1.3.3.
q
Ejercicios propuestos
Nivel 1 1.
La proposición «Cada vez que trabajo, gano dinero; pero no ocurre que ni trabajo ni gano dinero» queda representada por: a)
p q
p q
24
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
p
p b) q
q
p
q
c)
q
q
p
d)
p 2.
q q
Represente mediante funciones booleanas los circuitos: q
a)
p p q
p
b)
p q
r
3. Construya el circuito lógico de las siguiente funciones booleanas: a) p → q b) p ∆ q c) [p →
(q r)]
Nivel 2 Simplifique y dé como respuesta la fórmula lógica equivalente de los siguientes circuitos: p q p 1.
p
p
q
p 2.
p
q
q
q
3.
p
p
p
q
p q
q
r p
25
CAPÌTULO 1 4. jjjjj
LÓGICA PROPOSICIONAL q
p
q
p
q p
q
q
p
p
Nivel 3 1. Simplifique los siguientes circuitos:
r
a)
q
q
p
r
r b)
q
p
q
q
p
q p
q
q
p
p
2. Una empresa localizada en Trujillo tiene una factura de luz mensual de s/. 3000. Su circuito es el siguiente:
q
p r r p
¿Cuánto ahorrará mensualmente con su equivalente mínimo? 3. Halle el circuito lógico más simple que represente a:
r s
s
r s
p
r
r
4. Sea M la proposición simplificada del circuito: r
p
q
q r
r
q
r
q
q
p p
q p
q
26
q
CAPÌTULO 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
y sea N la proposición simplificada del circuito correspondiente a [(p s) (p s)] [(p q) (p r)] . Simplifique N M, luego construya el circuito lógico que corresponda a la proposición simplificada. 5. Encuentre el circuito mínimo equivalente a: p
p
q
q
p
t
s p
q
q p
s
t
q
p
r
q r
Respuestas
1.3.4. Nivel 1 1. 2.
a)
C p (q
b)
(p q) [( p r )
q]
p
p
q
3. a)
p)
b) q
p
q
p c)
q
r
Nivel 2
Nivel 3
1.
p
1.
2.
p q p q p q
2. 3.
3. 4.
a) p q r b) p q 1800 s (r p )
q 4.
5.
p r
27
s
t
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
ARITMÉTICA
CAPÍTULO 2
2.1. Números reales 2.1.1.
Caso de estudio: La importancia de los números
Desde hace miles de años se utilizan los números para contar y ordenar los elementos de un conjunto de objetos. Ninguna sociedad puede sustraerse del uso de los números. Ellos están presentes en las diferentes etapas de nuestra vida, en el ejercicio de todo oficio, arte o profesión y ―de manera muy sofisticada― en la tecnología actual. Toda gran sociedad debe su grandeza a la comprensión numérica. Los antiguos egipcios, por ejemplo, desarrollaron una arquitectura de enormes pirámides, templos, obeliscos, esfinges, etc. Gracias a que tenían una buena comprensión numérica. Ellos definieron el año con 365 días y tres estaciones de cuatro meses cada una, con lo cual comprendieron la regularidad del río Nilo, su recurso más preciado. La numeración egipcia se representó con símbolos que conocemos como jeroglíficos numéricos egipcios.
En el imperio romano se utilizó el sistema de numeración que asignaba una letra para cierto valor numérico: Letra I V X L C D Valor 1 5 10 50 100 500
M 1000
Los romanos y los egipcios desconocían el cero; este fue introducido posteriormente por los hindúes y adoptado por los árabes, así que no existe ningún símbolo en los sistemas de numeración romana y egipcia que represente el valor cero. Se cree que la sociedad incaica administró eficientemente un territorio de dos millones de kilómetros cuadrados debido a que imitaba la sincronización de un mecanismo de relojería. O otras palabras, gracias a que comprendía los números. De lo contrario, ¿cómo sus pobladores podrían haber construido gigantescos complejos arquitectónicos con parámetros de exactitud e igualdad a lo largo de este vasto territorio sin tener alguna base de datos? Pablo Macera sosiene que el quipu es el elemento matriz de la cultura inca y que el control político se debió en parte a que a través de este podían llevar información numérica de los pueblos que controlaban. El quipu era un sistema de información que consistía en cuerdas anudadas. Fue empleado por los incas para administrar su imperio. Ellos registraban en estos instrumentos información censal, tributaria, de calendario, etc.
28
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
El sistema numérico de los quipus era de base decimal. La posición de los nudos de las unidades se registraba en la parte inferior, arriba iban las decenas, luego las centenas, etc. El cero era representado por la ausencia de nudos y los diferentes colores de las cuerdas indicaban diferentes objetos. Véase la siguiente figura.
Tomado de : http://sepiensa.org.mx/contenidos/historia_mu ndo/antigua/peru/quipus/quipus_1.htm
Quipu incaico Hace más de un siglo, Lord Kelvin dijo unas frases muy aleccionadoras sobre la importancia de los números: «Cuando se puede medir aquello de que se habla y expresarlo en números, se sabe algo de ello; pero cuando no se puede medir, cuando no se puede expresar numéricamente, el conocimiento que se tiene es de calidad débil y poco confiable». Esto vale tanto para la naturaleza como para la tecnología. Galileo Galilei demostró que la naturaleza está escrita en lenguaje matemático, lo que fue refrendado por Albert Einstein: «Lo más incomprensible del universo es que pueda ser comprendido en una fórmula matemática». Por otro lado, la tendencia contemporánea de administración entre ellas el balance
scorecard se basa en el siguiente principio: «No puedes controlar aquello que no
puedes medir y expresar en números». Por este motivo, hoy más que nunca toda opinión económica y comercial precisa de números. Las empresas se autoevalúan y evalúan a su personal practicándoles constantes mediciones, sobre las cuales se toman decisiones según las metas propuestas. Empezaremos el estudio de los números con la disciplina conocida como Aritmética, la cual es la más antigua y elemental rama de la Matemática utilizada en tareas cotidianas como contar y en los más avanzados cálculos científicos. La Aritmética estudia ciertas operaciones con los números y sus propiedades elementales. La palabra «aritmética» proviene del término de origen griego arithmos que quiere decir «número» y techne que significa «habilidad». La idea de número ha evolucionado y se ha sofisticado a lo largo de nuestra historia como respuesta a las necesidades de los cálculos o como consecuencia de la creatividad humana.
29
CAPÌTULO 2 2.1.2.
ARITMÉTICA
La Leyenda del ajedrez
La invención del ajedrez se atribuye a los hindúes, árabes, persas, egipcios, babilonios, chinos, griegos, romanos, judíos, araucanos, castellanos, irlandeses, italianos, galos, entre otros. Las lagunas históricas acerca de su origen contribuyeron al florecimiento de diversas leyendas; entre ellas, podemos destacar la del joven Lahur Sissa. Este personaje era un pobre y modesto
brahmán (miembro de una casta sacerdotal hindú que reconoce a Brahma como su Dios) que vivió hace muchos siglos en la provincia de Taligana, al norte de la India, en el continente asiático.
(Tomado de:http://cibergeek.com/jugar-ajedrez-online/) En aquellas lejanas tierras gobernaba un magnánimo rey llamado Iadava. Cierto día, las huestes del aventurero Varangul invadieron el reino, desatándose una cruenta guerra. Iadava, que era un excelente estratega, derrotó a sus enemigos en los campos de Dacsina, pero en el fragor de la lucha perdió a su hijo, el príncipe Aljamir. Este incidente lo abatió profundamente y se pasó los días subsiguientes encerrado en su palacio reproduciendo, en una gran caja de arena, las alternativas del combate donde perdió al único heredero de la dinastía. Los sacerdotes elevaban sus plegarias y de todas partes llegaban obsequios y diversiones para tratar de sacar al rey de su aflicción; mas todo parecía en vano. Algún tiempo después, un inesperado visitante llegó al palacio solicitando una audiencia con el rey. Al interrogársele sobre el motivo de su petición, el joven se identificó como Lahur Sissa y había viajado durante treinta días desde la aldea de Namir, para entregarle a su majestad un modesto presente que lo sacaría de su tristeza, le brindaría distracción y abriría en su corazón grandes alegrías. Iadava, al enterarse de las intenciones del desconocido, ordenó que lo hicieran pasar de inmediato. Sissa presentó al monarca un gran tablero dividido en 64 cuadrados y sobre éste colocó dos colecciones de diferentes piezas. Le enseñó pacientemente al rey, los ministros y los cortesanos de la corte la naturaleza del juego y las reglas fundamentales: Cada uno de los jugadores disponía de ocho piezas pequeñitas, llamadas peones. Representaban la infantería que avanza sobre el enemigo para dispersarlo. Secundando la acción de los peones iban los elefantes de guerra (las torres), representados por piezas mayores y más poderosas. La caballería, indispensable en el combate, aparecía igualmente en el juego, simbolizada por dos piezas que podían saltar como dos corceles sobre las otras, y para intensificar el ataque se incluían ―representando a los guerreros nobles y de prestigio― los dos visires (alfiles) del rey. Otra pieza dotada de amplios movimientos, más eficiente y poderosa que las demás, representaba el espíritu patriótico del pueblo y era llamada la reina (la dama). Completaba la colección una pieza que aislada vale poco, pero que amparada por las otras se tornaba muy fuerte: el rey.
30
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
En pocas horas el soberano comenzó a jugar fascinado por el nuevo pasatiempo, consiguiendo derrotar a varios miembros de su corte en partidas que se desenvolvían impecablemente sobre el tablero. En determinado momento el rey hizo notar, con gran sorpresa, que la posición de las piezas, por las combinaciones resultantes de diversos lances, parecía reproducir exactamente la batalla de Dacsina. Intervino entonces Sissa para decirle: ―Piensa que para el triunfo es imprescindible que sacrifiques a este visir (alfil), pero te has empeñado inútilmente, Señor, en defenderlo y conservarlo. Con esta aguda observación el monarca comprendió que, en cierta circunstancia, la muerte de un príncipe (su hijo) es una fatalidad que puede conducir a la libertad y la paz de un pueblo. ―Quiero recompensarte por este magnífico obsequio ―dijo el rey―. ―Mi mayor premio es haber recobrado la felicidad de Vuestra Majestad ―respondió Sissa―. ―Me asombra tu humildad y el desprecio por las cosas materiales, pero exijo que selecciones, sin demora, una retribución digna de tan valioso regalo. ¿Quieres una bolsa llena de oro?, ¿Deseas un arca llena de joyas? ¿Pensaste en poseer un Palacio? ¿Aspiras a la administración de una provincia? Aguardo tu respuesta, ya que mi palabra está ligada a una promesa. ―Aprecio vuestra generosidad, majestad, y como obediente súbdito me veo en la obligación de escoger; pero no deseo joyas, ni tierras, ni palacios. Deseo que me recompenses con granos de trigo, los cuales deberán ser colocados en el tablero, de la siguiente forma: un grano por la primera casilla, dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta y así duplicando sucesivamente hasta la última casilla. Iadava, al oír el extraño e ínfimo pedido del joven, lanzó una sonora carcajada y, tras burlarse de su modestia, ordenó que se le diera lo que había solicitado. Al cabo de algunas horas los algebristas más hábiles del reino le informaron al soberano que se necesitarían: 18 446 744 073 709 551 615 Dieciocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo. Los algebristas y geómetras más sabios concluyeron que la cantidad de trigo que debía entregarse a Lahur Sissa equivalía a una montaña que, teniendo como base la ciudad de Taligana, fuese 100 veces más alta que el Himalaya. La India entera, sembrados todos sus campos y destruidas todas sus ciudades, no bastaría para producir durante un siglo la cantidad de granos calculada. El rey y su corte quedaron estupefactos ante los cálculos estimados. Por primera vez el soberano de Taligana se veía en la imposibilidad de cumplir una promesa. Acto seguido, Sissa renunció públicamente a su pedido y llamó la atención del monarca con estas palabras: ―Los hombres más precavidos eluden, no sólo la apariencia engañosa de los números, sino también la falsa modestia de los ambiciosos. Infeliz de aquel que toma sobre sus hombros
31
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
los compromisos de honor por una deuda cuya magnitud no puede valorar por sus propios medios. Más previsor es el que mucho pondera y poco promete. Estas inesperadas y sabias palabras quedaron profundamente grabadas en el espíritu del rey. Olvidando la montaña de trigo que, sin querer, prometiera al joven brahmán, lo nombró su primer ministro. Cuenta la leyenda que Sissa orientó a su rey con sabios y prudentes consejos y, distrayéndolo con ingeniosas partidas de ajedrez, prestó los más grandes servicios a su pueblo. Cálculo de los granos de trigo En la siguiente tabla se presenta las primeras 5 casillas que incluyen los granos de trigo que les corresponden, los granos acumulados y una expresión matemática que la comprende. Casilla (n) 1 2 3 4 5
Número de granos en la casilla 1 = 20 2 = 21 4 = 22 8 = 23 16 = 24
Número de granos acumulado (N) 1 3 7 15 31
Expresión para el número de granos acumulado (N) 21-1 22-1 23-1 24-1 25-1
El número de granos por casilla es una potencia de base 2, cuyo exponente es el número de casilla menos la unidad (2n-1). El número de granos acumulados también es una potencia de base 2 cuyo exponente es el número de casilla, disminuido en la unidad (2n-1); lo que se podrá expresar como: … n … 64
2.1.3.
… 2n-1 …. 263
… 2n-1 … 64 2 -1
… N = 2n-1 … 18 446 744 073 709 551 615
Conjunto de los números naturales
Para definir formalmente el conjunto de los números naturales habitualmente a los axiomas de Peano:
se recurre
A.1. 0 es un número natural. A.2. Todo número natural tiene un sucesor. A.3. Si dos números naturales tienen el mismo sucesor, entonces son iguales. A.4. 0 no es el sucesor de ningún número natural. Entonces, se puede escribir que el conjunto de los números naturales está formado por los números 0, 1, 2, 3... Estos números se usan para contar los elementos de un conjunto finito.
32
CAPÌTULO 2 2.1.4.
ARITMÉTICA
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales y sus respectivos opuestos (negativos) y el cero; es decir: …-3, -2, 0, 1, 2, 3… . Se puede decir que el conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto de los números enteros, es decir: . 2.1.5.
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales
tiene como elementos a todo número que se
obtiene por la división de dos números enteros:
a , donde b b
0. Se puede decir que el
conjunto de los números enteros están incluidos en el conjunto de números racionales, es decir:
2.1.6.
Conjunto de los números irracionales
Al representar los números racionales en una línea recta (llamada recta numérica), puede parecer que se ha terminado con la clasificación de los números, pero eso no es así. Quedan muchos "huecos" por rellenar en dicha recta. Se trata de los números irracionales. El conjunto de los números irracionales está conformado por los números que no pueden expresarse como racionales. Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo. Ejemplos:
2 = 1.414213562… = 3.141592653… 3 = -1.732050807… e = 2.718281828… =
2.1.7.
1
5 2
= 1.618033988…
Conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales se define de manera intuitiva como el conjunto de números formados por los racionales y por los irracionales, es decir: =
.
A continuación, se tiene un modelo de la recta numérica real:
33
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Axiomas de los números reales. A)
La adición de los números reales goza de los siguientes axiomas: 1)
Conmutatividad a
2)
b
(1.1)
a,b
Asociatividad (a
3)
a;
b
b)
c
a
c) ;
(b
(1.2)
a,b,c
Elemento Neutro Existe un único número real, llamado cero o elemento neutro de la adición, denotado con 0, tal que: a
4)
a;
0
(1.3)
a
Inverso aditivo Para cada número real ―a‖, existe un único número real, opuesto o simétrico de ―a‖, denotado por ―–a‖, tal que: a
5)
(1.4)
0
Cancelación a
B)
( a)
c
b
c
a
(1.5)
b
La multiplicación de los números reales goza de los siguientes axiomas 1)
Conmutatividad ab
2)
Asociatividad (ab)c
3)
(1.6)
ba; a,b
(1.7)
a(bc); a,b, c
Elemento Neutro Existe un único número real, llamado uno o elemento neutro de la multiplicación, denotado con 1, tal que: a;
a.1
4)
(1.8)
a
Inverso multiplicativo Para cada número real a, existe un único número real, recíproco (inverso) de a, denotado por a 1 tal que: aa
5)
1; a
(0.9)
0
Distribución de la multiplicación con respecto de la adición. a(b
6)
1
c)
ab
(1.10)
ac ; a,b, c
Cancelación de la multiplicación. ac
bc
c
0
a
(1.11)
b
34
CAPÌTULO 2 7)
ARITMÉTICA
Si a, b son números reales entonces se cumple
8)
a0
0; a
ab
0
c
0
b
0
(1.13)
El opuesto aditivo –a de un número real, goza de las siguientes propiedades: a
a 1a
a
(1.14)
0
(1.15)
a
( a)
(1.16)
a
(a b) (ab)
(1.17)
( a) ( b)
( a)b
( a)( b)
C)
(1.12)
(1.18)
a( b)
(1.19)
ab
La división goza de las siguientes propiedades: a b ; c 0 a b c c a
b
a
c
b c
a
b
c
c
; c
0
0 a
b
c
c
a
c
ad bc
b
d
bd
a b
c d
ac ; b, d db
a b
c d
a b
a b
a b
d c
; b, d
(1.20) (1.21) (1.22) (1.23)
0
(1.24)
0
ad ; b, c, d bc
a ;b b
(1.25)
0
(1.26)
0
Ahora se dará algunas propiedades de la relación menor o menor igual de números reales. Es decir, para todo a, b se cumple: a
b
a
b
c
0 a
c
0
a a
a
b a b a
(1.27)
b
(1.28)
b
b
a b c c a.c b.c
(1.29)
b
a b c c a.c b.c
(1.30)
35
CAPÌTULO 2 2.1.8.
ARITMÉTICA
Potenciación
1) Definición: Es una operación matemática que se denota como an y que se lee " a elevado a n" e involucra dos números: la base a y el exponente n. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente: Cuando el exponente es un número natural, la potenciación corresponde a una multiplicación de varios factores iguales: el exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Exponente
an = a.a.a
a =P;n n veces
Base
Potencia
Cuando el exponente es un entero negativo -n, una potencia que tenga exponente negativo es el resultado de elevar la fracción inversa de la base 1/a al exponente positivo n.
a
n
1 a
n
;a
0
(1.31)
Cuando n=0 entonces se define: a0
1; a
(1.32)
0
La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales. Ejemplos: Usando el software Derive 6 se puede calcular: a) 2 2
2,665144142
b) 2
8,824977827
2) Propiedades de la potenciación Producto de potencias de bases iguales: aman
am n
(1.33)
Cociente de potencias de bases iguales: am an
am
n
;a
0
Potencia de un producto:
36
(1.34)
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA (ab)m
ambm
(1.35)
Potencia de un cociente: m
a
am
;b
bm
b
0
(1.36)
Potencia de una potencia: n
am
(1.37)
a mn
Exponente de exponente: m
np
am
2.1.9.
np
(1.38)
a
Radicación
1) Definición: Es la operación inversa de la potenciación. Suponga que le dan un número a y le piden calcular otro tal que multiplicado por sí mismo un número n de veces le da el número a. Es decir: Índice de la raíz
n
a
b
a
Radicando
bn
Raíz
2) Propiedades de la radicación Exponente fraccionario: 1
m
am ; a
a
1 am ;
Exponente fraccionario irreducible m an
0
a
(1.39)
,m impar
m : n
n m a ;a
(1.40)
0
Raíz de un producto: m
ab
m
a m b ; a,b
m
a m b ; a,b
0 ,m i m p a r
37
(1.41)
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Raíz de un cociente:
m
a b
m
a
m
b
m
a
m
b
;a
0,b
0
(1.42) ;a
,b
0 ,m i m p a r
Raíz de una raíz: m n
a
mn
a; a
mn
a; a
0 m,n i m p a r
(1.43)
Raíz de una potencia: m m n
a
m
2.1.10.
a a
n
;a
n
0
;a
(1.44) , m impar
Número decimal
1) Definición: Consta de una parte entera y una parte decimal; ambas están separadas por una coma. Es decir:
a,bcd...x Parte entera Parte decimal
Coma decimal Ejemplos: a) b) c)
7 5 7 6 3
= 1,4 =1,1666… = 0,428571428571…
7
2) Clases de números decimales Los números decimales se clasifican en exactos e inexactos. A. Números decimales exactos. Son aquellos que tienen finitas cifras decimales. Ejemplos: a) 1,3 se lee ―uno coma tres‖ o ―un entero tres décimos‖ b) 0,34 se lee ―cero coma treinta y cuatro‖ o ―34 centésimos‖ c) 3,787 se lee ―tres coma setecientos ochenta y siete‖ o ―3 enteros y 787 milésimos‖
38
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Nota: Una fracción irreducible genera un número decimal exacto si su denominador está formado por sólo potencias de 2 y 5, o ambas. Ejemplos: a) b)
3 5 7
0, 6 3, 5
2
19
c) 2
2
0, 95 5
Fracción generatriz 0, a bc
x
n cifras
a bc x 1000 0 n cifras
B. Números decimales inexactos. Son aquellos que tienen infinitas cifras decimales. Estos números a su vez se clasifican en: periódicos y no periódicos. B.1. Números decimales periódicos. Son puros o mixtos. B.1.1. Números decimales periódicos puros: Se llaman así porque la o las cifras de la parte decimal se repite infinitamente. A estas cifras se le llama periodo. Ejemplos: a) 0,2222222...
0,2
b) 3, 4 5 4 5 4 5 ...
3, 4 5 (periodo 45)
c) 0,3 2 1 3 2 1 3 2 1 ...
0,3 2 1
(periodo 2) (periodo 321)
Nota: Una fracción irreducible origina un número decimal periódico puro si su denominador es diferente de un múltiplo de 2 y/o múltiplo de 5. Ejemplos: 2 0,2 9 3 b) 0,27 11 1 c) 0,142857 7
a)
Fracción generatriz 0, a bc d...x n cifras
39
a bc d...x 999...9 n cifras
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
B.1.2. Números decimales periódicos mixtos: Se llaman así porque el periodo se inicia después de un grupo de cifras. Al grupo de cifras que no se repite se le llama parte no periódica. Ejemplos: a) 0,1233333...
0,123
b) 5,02454545...
5,0245
c) 2,02022222...
0,0202
Nota: Una fracción irreducible origina un número decimal periódico mixto si su denominador tiene potencias de 2 y/o 5 y, además, algún otro factor necesariamente diferente. Ejemplos: a)
7 30
b)
4 15
c)
5 12
7 2 3 5 4 3 5 5 2
2
3
0,23
0,26 0, 416
Fracción generatriz 0, ABC a bc n cifras m cifras
ABC a bc ABC 99 9 00 0 m cifras n cifras
B.2. Números decimales no periódicos Son todos aquellos números cuya parte decimal tiene infinitas cifras, aunque carecen de una parte que se repite. Ejemplos: = 3,1415926535897932384… e = 2,7182818284590452354… = 1,6180339887498948482… Estos números decimales reciben el nombre de números irracionales y no tienen una fracción generatriz.
40
CAPÌTULO 2 2.1.11.
ARITMÉTICA
Ejercicios resueltos
1. Efectúa las siguientes operaciones combinadas. a) E
2
15 8 3 18
3 12
3 4
Solución Primero reducir las expresiones a su mínima expresión. E
2 5
4 9
1 4
3 4
Luego, se efectúan las operaciones indicadas, de acuerdo al orden jerárquico, de izquierda a derecha. Es decir: E
4 9
10
1 4
3 9 = 10 4 4
1 4
3 4
90 4
1 4
3 4
Posteriormente, se efectúa la sustracción y la adición: 90 1 4
E
3 4
89 4
3 4
Finalmente: E
b) N
2
15 8 3 18
3 12
89 3 4
92 4
23
3 4
Solución Al igual que en el ejercicio anterior, primero se debe simplificar a su mínima expresión: 4 1 3 E 2 5 9 4 4 Primero se realiza la división, debido a que se debe respetar el orden jerárquico de las operaciones: E
2
1 5
4 9
1 4
3 4
8 45
1 4
3 4
Para operar las fracciones, extraer el m.c.m. de los denominadores, así se obtiene: E
32 45 135 180
41
122 180
61 90
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
2. Simplifique: M= (-2)0 + (-2)2 + (-2)4 + (-2)5 Solución Primero, ejecutar cada una de las potencias y luego operar las adiciones y sustracciones, es decir: M= 1 3 2 5 2 3
3. Efectúe: M
+ 4
+ 16 - 32 = -11
4 3 1 3 4 2 3 3 1 1 2 8 4
Solución Extrayendo el m.c.m. de cada factor y simplificando, se tiene: 9 8 3 2 6 4 20 9 6 3 2 6 8
M
4. Simplifique: M
1 1 1 2 6 12 1 1 5 18 6 18
=
17 6
5 4
17 6
1 8
5 =10 1 2
=
1 72 1 1 3 9
Solución Los denominadores de las fracciones en el numerador se pueden expresar como el producto de dos números consecutivos. Es decir:
1 M
1 2
1
1
1
2 3 3 4 1 1 5 1 18 6 18 3
1 9
8 9
Descomponer en el numerador y extraer el m.c.m. de los denominadores en el denominador, luego simplificar; es decir: 1 M
1 2
1 2
1 3
5. Halle el producto de: M
1 1 3 4 1 3 5 6 2 18
1 7
1 8
6 15 3 24 72 4 6 5 48 36 8
42
1 8
1 9
1 9 17 18
1
8 9 17 18
16 17
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Solución Al simplificar se obtiene: 6
M
4
1 5 3 24 7 2 3 3 2 9 = = 6 5 48 36 8 4 2 8 32
6. Halle el valor de la siguiente expresión: E
2
2
1
1
2
2 1
1 2
Solución Para operar, se inicia el proceso de abajo hacia arriba. Luego, se aplica el mínimo común múltiplo y el producto de extremos y medios y se tiene: 2 2 2 2 E= 2 =2 =2 =2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 2 2 2 2 1 3 3 3 1 2 2
2
=2
1
3 2
7. Simplifique: N
3k
3
4
2 = 2 5
=2
=
5
6 5
2
3k
2
3k
3k
1
3k
1
3k
Solución Para simplificar este tipo de ejercicios, primero se debe descomponer cada potencia, tanto del numerador como del denominador: N
3k 33
3k 32
3k 3 3k
3k 3 3k
Ahora, se factoriza el factor común tanto en el numerador como en el denominador y luego se simplifica. Es decir: N=
3 k (3 3
32
3 1 1)
3 k (3 1 1)
=
27
9
3 1
3 1
43
=
40 4
10
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
8. Efectúe: E
7
0 25
34
Solución El cero elevado a cualquier número real es cero. Es decir: 4
03 0 Además, todo número diferente de cero elevado al exponente cero es 1. Entonces, la expresión dada se reduce: 1
2 2 E = 7 = 7 = 49
9. Simplifique:
1 0 8 3 05
R
65 5 0 0 4
Solución Es preferible empezar con la descomposición prima de cada factor y cancelar los factores comunes del numerador y del denominador. R=
(2 5) 8
(2 3 5) 5
(2 3) 5
(2 2
10. Simplifique: M
53)4
2n
29 0
=
(2 8 (2 5
2n
2n 29 1
5 8 ) (2 5
35
3 5 ) (2 8
55)
5 12 )
=
213
35
513
13
5
12
2
3
5
luego
=5
29 1
2n 29 2
Solución Se trabaja con las propiedades de potencias de igual base y se buscan factores comunes que luego se cancelen entre sí. M=
11. Simplifique: N
2 n. 2 90.1 2 n. 2 90.2 4
3
2 n. 2 90.2 2 n. 2 90.2 2
=
2n .290 .(1 2) 2n .290 .(2 22 )
27 8
Solución Aplicando la propiedad de la raíz de un cociente se tiene: 3
N
4.
3
27 8
= 4
3 2
44
=
12 2
= 6
=
3 6
=
1 2
CAPÌTULO 2 6.
ARITMÉTICA
Efectúe: A
3 8
32
128
2
Solución Descomponer cada radicando y se obtiene:
A 3 22.2 Simplificar en cada raíz y se tiene: A
12. Efectúe: E
1 5
3
22 2
3.2 2
2
23 2
26.2
2 = (6
1
2
5 2
24.2
3
8 1) 2 = 3 2
1
1
3 8
4
2
Solución Primero se realizan las operaciones internas y luego se simplifica progresivamente:
E
3
1 25
3
5 25
1
2
2 5
3
1
1 5
3
3
1
8 3 1
3
52
13. Simplifique:
3
4
E
3
3
5
1 25 3
5 0
1
4 25 3
8
1 3
1
2
(5 2 ) 11
5
5 4.5 6.5 10
Solución En el primer sumando se simplifica los exponentes y los índices, mientras que en el segundo se aplica la propiedad de las potencias de bases iguales. E
=
4 3
= 5
12
25
5
52
1
54
11
6 10
=
12
24
5
24
5 22
20
= 52
5 2 = 25 + 25 = 50
14. Efectúe: E= (4,1818.....+ 0,2020.....) x 4,95 – 0,844.....
45
5 22 5 20
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Solución Pasando todos los decimales a fracción se tiene:
E
18 99
4
20 99
495 100
84 8 = 90
5
434 99
E
495 100
1
495 100
217
76 90
5 434 100
1
E=
4 99 18 20 99
76 90
20 10
1877 90
0,1 0, 2 0,3
15. Halle el valor de C, si C
0,9
0,01 0,02 0,03
0,09
Solución Escriba cada número decimal en fracción y se tiene: 1 2 3 9 1 2 3 9 9 1
9 2
9 3
90
90
90
C=
2.1.12.
9
9
=
9
1 2
=
3
90
9
10
90
Ejercicios propuestos
Nivel 1 1.
Efectúe: R= 3
6 5
2.
Efectúe: N=
1 3
(
3.
Efectúe: S=
10 7
4.
Efectúe: T=
5.
8 Efectúe: M= 1 ( 3)2 9
6.
1 Efectúe: E= 16
3
2 5
(
1 2
3 14 2 ) 7 6 15
1 7
1 ) 2
3 4
3 4
1 5
(8 12)( 3) 2 ( 2 5 6) 22
3
( 32
27
42 2 ) 1 2 3 4
3
3 2 2 3
1 = 10 1
3
46
84 8 90
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
7.
Efectúe: R= 3 8
8.
Efectúe: N= 4 3 5
23 135
36 1600
9.
Efectúe: H= 53 16
23 128
7 6 256
2 18
4 50
10. Halle el valor de las siguientes potencias: a)
1 36 2
1 0,125 3
b)
c) 32
11. Halle la fracción generatriz: a) 0,018 f)
1 4
d)
4 9
3 2
0,51919...
k)
4,186186...
b) 1,186
g)
3,55...
l)
3,004…
c) 0,2020...
h)
1,033...
m)
0,2366...
d) 0,123123...
i)
0,3622...
n)
0,1244...
e) 0,1844...
j)
0,198
o)
0,8181...
12. Efectúe los siguientes ejercicios: a)
A = 0,133...+ 0,6444... – 0,14333... 2 B = 0,06 + + 0,988... – 0,05 0,333... C = 5,1818... + 1,31515... – 0,0303... D = (1,033...) (0,344...) – 1,7272... + 0,199… E = 0,1414...+ 0,8181... – 3, 4141…
b) c) d) e)
p
13. Calcule el valor de: a)
81 14
b)
q r , si: p
82 15
c)
87 15
3
1 2
1 5
; q
d) 6
; r
e)
2
1 6
14. Calcule el valor de: M= –[ – (–41)+(24–37)]+[–(–13+18)+(29–15)] a) –19 b)–20 c)18 d) 19 e) 20 15. Si E a) 29
2 5
3 , calcule el valor de 5E 1 2 b) 20 c)30
16. Determine el valor de: P 1 a) 3 b) 3
(0, 4949...
c) 0,3
d) 18 0,1616...)
d) 6
e) 32 1
e)
1 6
17. Efectúe: E=(-2)2 + (-2)3 + (-2)4 + (-2)5 a) 20 b) –20 c) 22
d) –22
e) 25
18. Efectúe: E=(-3)0 + (-3)1 +(-3)2 + (-3)3 a) 20 b) –18 c) 18
d) –20
e) 21
d) 3 3 2
e) 6 3 2
19. El equivalente de a) 18
3
54 es:
b) 6 3 3
c) 3 3 16
47
1 6
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
20. ¿Cuál es el equivalente a a)
4
3
b) 3 4 3
27
0,7 5 4
21. El equivalente a a) 125
c)
4
d)
9
27
e) 3
6
1 2 5 es:
b) 75
c) 5
d) 25
e)
16
58
2 es: 5
22. El equivalente de 5 a) 2
3 ?
b)
c)
10
7
d)
2
2
e)
5 2
23. El equivalente de a) 24.
10
23
b) 12
Efectúe: E
es:
3
2
3
2 10
2
c)
15
a5
5
d) 2
e)
6
4
a 14 20
a) 25.
3
a
13
b)
60
a
31
c)
13
a
Determine el valor de A + B, si A = el intervalo 1;6
a) 2
b) 4
60
d) a
2A y B
c) 6
d) 8
9
6 e) a
6B , sabiendo que A y B están en
e) 10
Nivel 2 Resuelva los siguientes ejercicios y marque la alternativa correcta en cada caso siguiente: 1.
2 16
Simplifique: E
3 56
Simplifique: E
35 0
Simplifique: E
Efectúe: E=
65 0 1 01 0 0
2 15 0 1 45 0 b) 2
1
2 1
9 a) 14
e) 5
d) 8
e) 16
d) 8
e) 10
4 24
1 4 9 1 56 2 0 0 b) 12 c) 7
a) 1 5.
d) 4
4 26 7 0 4 5 0 2
Simplifique: E a) 4
4.
3 02 c) 3
52 7 6 1 0 5 4 b) 20 c) 12
a) 14 3.
8 03
1 54 1 4 9 b) 2
a) 1 2.
3 53
1
3 35 0 5 55 0 c) 3 3 1
27 b) 20
7 71 0 0 2 05 0 d) 8
e) 10
5 1
1 32
c) 12
d) 18
48
e) 8
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA 15 20
6.
Efectúe: E
22 23 25
2
a) 2
3
23
b) 4
Efectúe: E=
d) 10 2
4
8.
b) 30
Calcule: E
3
4
9
3
64
d) 44
e) 36
2
1
6
3
27
c) 32
0,5
e) 12
10
22
a) 54
64 8
c) 8 15 3 0
7.
3
4 a)
b) 5
2
c)
d)
2
3
e) 3
2 1
9.
1
9
Efectúe: E= a) 4
2
3
2
2
a) 1
7 2
d) 3
4
c)
e) 1
2
1
4 3
b) 2
2
35
c) 2
1
1 3 2
1
1
18
5
b) –1
10. Efectúe: E
3
1
1
d)
4
3
e)
4
4 3
1 4 2 9 27
11. Simplifique: E = 8 a) 4 b) –1 12. Si A
3
3
c) 2
d) 3
... y B
3
12
12
4 3 a) 5 3
13. Efectúe: E= a) 14-2
A
B
b) 5 2 4
1 3
b) 11
3
15
3
d) 4
c) 12-2
d) 3
c)
e) 3
3
1 16
14. Halle el valor de la siguiente expresión: E
e) 25 1
1
1
1
1
1 1
a)
9 5
... .
12
25veces
25veces
Halle: R =
e) 1
b)
6 8
c)
3
d)
8
5 8
49
1 2
e)
13 8
3
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA ( 23 )
15. Evalúe: E a) 64
0,5
2
( 0,53 )
b) –64
16. Efectúe: P= (11 a) 9
0,75
4
c) 63
d) 60
7
0,033033...) (0,1111... 0,037037...) 33 b) 27 c) 33 d) 90 e) 11
17. Simplifique la siguiente expresión: 0, 432432 0,0909 a) 9
e) -63
0,8181
407
2,75 0,3636 c) 40 d) 0
b) 37
546 e) 1
3
18. Determine el valor de la siguiente expresión: E
3a 5
0,75
7 3a
4 a)
9 19
b)
19. Reduce:
2 1
.7 5
7
a) 7 5
3 4 2
c) 2
.7 3
7 2 3 2 .7 2 b) 7
2
1 4
d)
3
2a
1 3
e)
4
2a
2
c) 7 4
d) 49
e) 7 6
20. Halle el área del círculo mostrado a continuación. 21 22 Usa la fórmula r 2 , donde: r m y 7 99 a) 22 m² b) 21 m² c) 14 m² d) 7 m²
r e) 1 m²
21. Halle el perímetro de la figura mostrada a continuación:
a) 4
2
2
b) 2 2
2
c) 4 2
1
2
1
d) 8
2
2 e) 2 4
2
1
22. Un tanque de petróleo tiene las siguientes dimensiones: la base tiene una longitud de 4 5 m, el ancho 2, 4 50 m y la altura 1 0 1 0 m. El volumen de dicho tanque en m 3 será: a) 1800
23. Halle
b) 2000
2M – N,
números positivos. a) 1 b) 2
c) 2100
dados: M c) 3
3
d) 4600
3
3... y N d) 4
e) 4800
5
5 e) 5
24. Siendo 32 cm² el área del círculo pequeño de la figura. Determinar el diámetro del círculo mayor en cm. a) 4 b) 12 2 c) 4 2 d) 16 2 e) 8
50
5...
2
siendo M y N
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
25. Dos cuadrados de 169 m² y 49 m² de área se juntan formando una ele (L). La medida M del perímetro de la figura formada es: a) 56 m b) 63 m c) 66 m d) 67 m e) 30 √2 m Nivel 3 Resuelva los siguientes ejercicios y marque la alternativa correcta en cada caso: 1.
¿Cuántas fracciones irreductibles con denominador 14 existen, de tal modo que sean 2 5 mayores que pero menores que ? 7 7 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2.
0, 9 1 6 6 6 Simplifique: w a) 2,87 b) 2,85
3.
4.
Halle x a) 10 Si
1 x
y , si 0, xy
0, yx
b) 11
3,6 6 6
c) 8,52
d) 2,58
e) 2,97
d) 13
e) 5
1, 4
c) 12
0,1z2y5x . ¿Cuántas cifras no periódicas genera
a) 1
b) 2
c) 3
x yz
d) 4
? e) 5
5.
¿Cuántos números de tres cifras existen tales que su cuadrado al dividirse entre 71 deja residuo 16? a) 11 b) 22 c) 23 d) 24 e) 26
6.
El número a bc de fg tiene cifras diferentes, además su raíz cuarta y su raíz quinta son exactas. Halle la diferencia de las raíces cuarta y quinta del número. a) 27 b) 26 c) 16 d) 17 e)7
7.
La diferencia de dos cuadrados perfectos de cuatro cifras cada uno es 5320 y la diferencia entre los complementos aritméticos de sus raíces cuadradas es 38. Halle la suma de las cifras del menor de los cuadrados. a) 7 b) 8 c) 9 d) 4 e) 1
8.
Sobre una caja cúbica de 512 000 cm3 se coloca otra similar de 8000 cm3. Halle el área total de la superficie externa del nuevo sólido en m². a) 4 b) 400 c) 758 d) 360 e) 3,36
9.
3 2 4 7 3 1 8 6
Calcule el valor de :
a) 4
10. Calcule
a) 4
b)3
20,1 20
1
b)3
7 6
2 1 3 3 2 3 1 1 5 2 4
c) 5
2 3
7 12 0,3 1,6
2 3 7
c) 5
925 351
d) 6 1 4 3
0,9
5 8
d) 6
51
e) 7
5 12
2 5
27 20 1 8
e) 7
2 13
21 25
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
1 2 3 1 los de 4 ; reste de esta suma la mitad de ; divide esta diferencia por el 2 3 5 5 1 1 5 resultado de sumar a los de , y el cociente multiplíquelo por el resultado de 3 4 4 1 1 sumar a la quinta parte de . Exprese este último producto en número decimal. 4 4 a) 1 b)3 c) 1,34 d) 1,36 e) 1,35
11. Sume a
3 4
12. Calcule el valor de:
a) 0,074
2 5 3 2
2
3 4
2
3 2
2 5
3 2 3 4
2 5
b) 0,063
c) 0,064
2
3 4
3 4
3 2
2 5
d) 0,067
2
3 2
2 5 2
2 5 3 4
3 2 2
e) 0,077
13. Calcule el valor de 1 1 3 3
0,3 1 6
0,0 3 1 3 3
8 9
0,1 2,5
2 6
a) 0,4
b) 1 10,5 16, 8
b) 2,5
a) 4
b)3
130 117
0,13
37 45
c) 5,2
2 3
2 5
5 13
e) 4 5 8
0,076923
117
3 2 2 0,09 8 5 0,5663 6 4 5
d) 3
0,25
2197 1,1
15. Calcule el valor de :
4
1 8
c) 2
0,15 0, 8
29 30
3 1,0 6
1
4
14. Calcule el valor
2 45
3
1
a) 0
5 9
3
1 4
c) 5
d) 3,6 2 7 3 5 1 0,2 9 1 2
8 9 1 6
d) 6
e) 1,7
9 39
1 0,63
e) 7
16. Aún tengo tanto como la mitad de lo que he perdido. De no haber perdido me hubiera sobrado tanto como lo que me falta hoy para comprar un par de zapatos de S/. 30 ¿Cuánto tenía inicialmente? a) 20 b) 45 c) 30 d) 40 e) 25 17. Yo tengo el triple de la mitad de lo que tú tienes, más 10 soles. Si tuvieras el doble de lo que tienes, tendrías 5 soles más de lo que tengo. ¿Cuánto me quedaría si comprara un artículo y gastara la cuarta parte de lo que no gastaría? a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 44
52
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
18. El costo de fabricación de un libro es ―a‖ soles, el cual se vende ganando tanto como se rebajó al momento de vender. De no haber rebajado, se hubiera ganado ―b‖ soles más de lo que costó. ¿Cuánto se rebajó? b a b a b b a a) b) c) d) e) 2 2 4 2 2 19. De dos velas de igual calidad una tiene 24 cm de longitud más que la otra. Se prenden ambas y se observa que 30 minutos antes de terminarse la menor, la longitud de la vela mayor es 4 veces la de la menor. ¿Cuál fue la longitud inicial de la vela mayor, si la menor duró 150 minutos en total? a) 50cm b) 58cm c) 60cm d) 64cm e) 67cm 20. Para un arreglo floral se dispone de 48 flores entre rosas y margaritas. Si disponemos las flores por parejas de rosas con margaritas, se observa que el número de margaritas que sobran es el menor que se puede disponer en cinco líneas de a 4. Halle el número de rosas. a) 14 b) 15 c) 18 d) 19 e) 13
2.1.13.
Respuestas
Nivel 1 39 10 67 12 69 20 8 3 35 12 19 8
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
20 2
8.
435
9.
16 ( 3 2 )
10.
a) 6 b) 0,5 c)
1 4
2 2
27 8 9 a) 500 593 b) 500 20 c) 99 41 d) 33 83 e) 450 257 f) 495 32 g) 9 31 h) 30 163 i) 450 99 j) 500 1394 k) 333
d) 11.
676 225 71 m) 300 28 n) 225 9 0) 11 571 a) 900 6299 b) 900 97 c) 15 81 d) 55 27 e) 11
l)
12.
13.
B
14.
A
15.
E
53
16.
A
17.
B
18.
D
19.
D
20.
A
21.
C
22.
B
23.
E
24.
B
25.
D
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA Nivel 2 1. B 2. E 3. C 4. A 5. E 6. B 7. D 8. D 9. D 10. C 11. C 12. A 13. E 14. E 15. A 16. D 17. E 18. B 19. A 20. C 21. C 22. E 23. A 24. D 25. C
Nivel 3 1. B 2. A 3. D 4. B 5. E 6. C 7. C 8. A 9. B 10. D 11. E 12. C 13. A 14. B 15. E 16. B 17. E 18. B 19. D 20. D
54
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
2.2. Teoría de Conjunto 2.2.1.
Caso de estudio I: Las drogas y la Teoría de Conjuntos «El 23 de mayo del 2003 el Dr. Ricardo López Murphy, candidato a la presidencia de Argentina, visitó la ciudad de Rosario.
Al ser entrevistado por varios periodistas, el candidato respondió preguntas sobre todos los temas: política, economía, educación, salud, defensa. La opinión de mucha gente es que éste era el candidato intelectualmente más lúcido y mejor preparado para el cargo al cual se postulaba. Sin embargo, la solvencia que venía mostrando (sobre todo en cuestiones económicas) se vio opacada cuando un periodista le preguntó: «¿Y qué harían ustedes, si llegaran al gobierno, con el problema de las drogas?». El candidato respondió sin vacilar: «Despenalizar el consumo y penalizar el tráfico». Tres 1) 2) 3)
cosas se deben aclarar: Su respuesta fue una frase hecha, muy trillada. La misma no mereció la repregunta de ninguno de los periodistas presentes. La nota no perdió ritmo como consecuencia de esa respuesta.
Estas observaciones son importantes porque revelan que: 1) Muchos piensan lo mismo que López Murphy. 2) Nadie advirtió la trampa que la respuesta encerraba. 3) Todos (entrevistadores y entrevistado) parecían más preocupados por mantener el ritmo de la nota que por lo que se estaba diciendo. Y la verdad es que la respuesta sorprendió como un detalle ―progresista‖ que provenía de alguien a quien se lo había calificado como partidario de la ―mano dura‖. Más allá de las cuestiones políticas, la propuesta de López Murphy proviene de un planteo incorrecto. ¿Cuál es el planteo incorrecto según usted? Solución Para mostrar cuál es el inconveniente se recurrirá a la Teoría de Conjuntos. Quienes concuerdan con la propuesta de López Murphy representan la situación del problema que plantean las drogas como se muestra en la figura 1.
Pero cualquiera que haya estudiado Teoría de Conjuntos sabe que ésta no es la disposición más general de dos conjuntos. La disposición más general es la que se muestra en la figura 2.
55
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Es decir, hay tres categorías: la de los que consumen, la de los que trafican y la de los que consumen y trafican. Esto es importante porque, desde el punto de vista del Derecho Penal, si uno dice: «Despenalizar el consumo y penalizar el tráfico», en realidad está diciendo: «Los consumidores al hospital y los traficantes a la cárcel». La pregunta que surge entonces es: «¿Y los que consumen y trafican adónde deben ir?». Si la ley se hace con el esquema de la figura 1, todo traficante preferirá que se lo trate como consumidor y los productores de drogas usarán a los consumidores como traficantes. Se debe legislar sobre la base del esquema de la figura 2. Es decir, lo que hay que discutir es qué se hace con quienes están en la intersección de los dos conjuntos. Con los otros es fácil ponerse de acuerdo. La propuesta de López Murphy hace referencia a los casos fáciles y elude el caso difícil. Por esto no sería injusto tildarla de demagógica: pone de su lado al interlocutor, pero no resuelve el problema. Las respuestas a la pregunta «¿Y los que consumen y trafican adónde deben ir?» serían las siguientes: Si se volvieron traficantes como consecuencia de la desesperación que les produce su adicción, enviarlos al hospital. Si se volvieron adictos cuando ya eran traficantes, enviarlos al hospital hasta que se curen y luego a la cárcel como castigo. Lógicamente, esta propuesta es opinable desde el momento que fija una posición. Lo que nadie podrá decir es que se trata de una propuesta demagógica» . Creo que hemos asistido al nacimiento de una disciplina entre el Derecho Penal y la Matemática Podríamos llamarla “Derecho Penal Matemático”
Tomado de: http://www.luventicus.org/articulos/03R008/index.html
56
CAPÌTULO 2
2.2.2.
ARITMÉTICA
Caso de estudio II: Jóvenes emigrantes En la actualidad, emigran prácticamente de todas las clases sociales y grupos culturales del Perú. Sin embargo, la mayor concentración de migrantes se encuentra en los jóvenes de clase media. La migración internacional posee una dinámica diversa y compleja. No hay teoría única que explique este fenómeno. Para explicar sus causas se requiere en realidad de diversos niveles de análisis complementados entre sí.
La primera causa que explica la migración de peruanos al extranjero es la inestabilidad e inseguridad que se vive en el país. Luego está la insatisfacción, puesto que los peruanos perciben que sus ingresos y necesidades no mejoran en lo más mínimo. Migrar hacia un país con mejor distribución de ingresos se convierte así en un incentivo. Los ciudadanos comparan el ingreso nacional per cápita y los salarios del Perú con el que tienen los ciudadanos del país a donde quiren ir, entonces esto se convierte en un factor determinante. En conclusión, la migración es un reflejo de la desconfianza que los peruanos poseen hacia su propio país, ya que éste no les brinda las oportunidades necesarias para subsistir y poder salir adelante. Por tal motivo, van en búsqueda de nuevos horizontes que los ayudan a superarse económica y socialmente. Además, muchos de ellos optan por quedarse definitivamente en el país elegido, para luego establecer una familia. En los últimos meses se ha realizado un estudio de investigación donde se pregunta a los jóvenes si tienen la intención de viajar y las razones por las cuales viajarían. Con estos resultados, el Gobierno piensa plantear estrategias para retener a esots jóvenes emigrantes. Los resultados del estudio son los siguientes: ¿Viajarías al extranjero? Intención SÍ NO
Estudiantes 938 62
% 93,8% 6,2%
Fuente: STATPERÚ. ¿Cuáles son las razones por la cual Ud. Viajaría al extranjero? Razones Estudio y vacaciones Trabajo Sólo trabajo y estudios Sólo vacaciones Trabajo y vacaciones Estudio, trabajo y vacaciones Fuente: STATPERÚ.
57
Estudiantes 75 733 212 89 206 16
CAPÌTULO 2 En 1) 2) 3) 4)
ARITMÉTICA
base a los resultados del estudio responder a las siguientes preguntas: ¿Qué porcentaje del total de jóvenes desea viajar por estudio? ¿Qué porcentaje del total de jóvenes desea viajar sólo por estudio? ¿Qué porcentaje del total de jóvenes desea viajar sólo por trabajo? ¿Qué porcentaje del total de jóvenes desea viajar sólo por trabajo y vacaciones?
Solución Primero, representamos las razones que tienen los jóvenes mediante los conjuntos: estudiar (E), trabajar (T) y vacaciones (V). Señalamos a continuación la cantidad de elementos correspondientes a cada región, según los datos dados. También podemos deducir los elementos de las regiones comunes interpretando y restando en cada caso. Hay que tener en cuenta el término ―sólo‖, el cual es excluyente.
E
T 212
x z
16
y w
89
62
V Para a) b) c) d)
calcular los valores de x, y, z y w utilizamos los datos dados en el cuadro anterior: z 16 75 z 59 w 16 206 w 90 y w 16 212 733 y 190 228 733 y 315 x y z w 212 16 89 62 1000 x 315 59 190 379 1000 x 57
Ahora que se sabe el cardinal de todas las regiones se responde las preguntas. 1) 2) 3) 4)
344 jóvenes desean viajar por estudios. Esto equivale al 34,4 %. 57 jóvenes desean viajar sólo por estudios. Esto equivale al 5,7 %. 315 jóvenes desean viajar sólo por trabajo. Esto equivale al 31,5%. 190 jóvenes desean viajar sólo por trabajo y vacaciones. Esto equivale al 19%.
2.2.3.
Introducción a la Teoría de Conjuntos
El origen de este concepto se debe al matemático alemán George Cantor, quien dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los fundamentales en Matemática, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente en todas las ramas de las matemáticas puras o aplicadas. George Cantor
58
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
En su forma explícita, los principios y terminologías de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas, y para explicar conceptos abstractos como el infinito. Surgió de la necesidad de darle rigurosidad lógica a las discusiones matemáticas con el fin de eliminar la ambigüedad del lenguaje cotidiano.
2.2.4.
Idea de conjunto
Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de una misma clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados elementos del conjunto. Ejemplos: El conjunto formado por los alumnos del octavo ciclo de la carrera de Administración de la UPN-Trujillo
Las estrellas del firmamento en un viaje planetario
Notación: Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota con letras mayúsculas: A, B, C,…; sus elementos se separan con punto y coma. Ejemplos: El conjunto de las vocales se puede escribir así: V={a; e; i; o; u} El conjunto de planetas del sistema solar: S = {Mercurio; Venus; Tierra; Marte; Júpiter; Saturno; Urano; Neptuno}.
2.2.5.
Relación de pertenencia
La relación de pertenencia se da entre elemento y conjunto. Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo . Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo .
Ejemplos:
59
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Sea A = {1; 5; 9; 13}, se puede afirmar que: 1 A Se lee: 1 pertenece al conjunto A. 1 A 5 A Se lee: 5 pertenece al conjunto A. 7 A Se lee: 7 no pertenece al conjunto A. 12 A Se lee: 12 no pertenece al conjunto A.
2.2.6.
Relación de inclusión
Un conjunto A está incluido en otro conjunto B; sí y sólo si todo elemento de A es también elemento de B. Se denota A B y se lee: A está incluido en B, A es subconjunto de B, A está contenido en B, A es parte de B. Ejemplo: Sean dos conjuntos: A = {1; 5} y B = {1; 5; 9; 13}; entonces se afirma que A está incluido en B: A B Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. Ejemplo: A = {1; 5} y C = {2; 4; 6} son disjuntos.
2.2.7.
Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos. Simbólicamente: A B A B B A Ejemplo: Sean A {x / x2 9} y B {x / (x 3)(x 3) 0} dos conjuntos. Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 ó -3; es decir: A = {-3; 3} y B = {-3; 3}; por lo tanto A=B.
2.2.8.
Determinación de conjuntos
Los conjuntos pueden ser determinados por extensión o por comprensión. A)
Por Extensión. Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplos: A = {1; 2; 3; 4; 5} Se lee: A es el conjunto formado por los cinco primeros números naturales.
60
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
B = {m; u; r; c; i; e; l; a; g; o} Se lee: B es el conjunto formado por las letras de la palabra murciélago. B)
Por Comprensión. Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad o condición que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Ejemplos: A
x / x e s u n n ú m e ro n a tu ra l m e n or qu e 10
Se lee: A es el conjunto formado por las x tal que x es un número natural menor que 10. B {x / x es par 0 x 7} Se lee: B es el conjunto formado por los números enteros pares tal que se encuentran entre cero y catorce.
2.2.9.
Cardinal de un conjunto
El cardinal de un conjunto A es el número de elementos que tiene dicho conjunto. Las notaciones que normalmente se usan para indicar el cardinal de un conjunto es: n(A) o Card(A) Ejemplos: Conjunto
2.2.10.
Cardinal
A={1;2;3;5;7;11;13;17;19}
Card(A)=9
F={66;77;88;99}
Card(F)=4
H={9;16;25;36;49;64}
Card(H)=6
G={Luna}
Card(G)=1
Clases de conjuntos
Según el número de elementos (según su cardinal), los conjuntos pueden dividirse en: Conjunto vacío. Es un conjunto que no tiene elementos. Generalmente se le representa por los símbolos: o { }. Ejemplo:
M = {números mayores que 9 y menores que 5}
Conjunto unitario. Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplo: F
x / 2x
6
0
Conjunto finito. Es el conjunto con un número limitado de elementos.
61
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Ejemplo: E = {x / x es un número impar positivo menor que 10} Conjunto infinito. Es el conjunto con un número ilimitado de elementos. Ejemplo: S = { x / x es un número par } Conjunto universal. Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra U. Ejemplo: El universo o conjunto universal de todos los números es el conjunto de los números complejos.
A
La forma clásica de representar un conjunto cualquiera A y su conjunto universal es la siguiente:
U
Conjunto potencia. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado por P(A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Ejemplo: Sea A
{1; 2; 3} ; entonces P(A)
, 1 , 2 , 3 , 1;2 , 1;3 , 2;3 ; 1;2;3 .
Se incluye como subconjuntos tanto los llamados impropios, subconjuntos propiamente dichos).
y A, como los propios (los
El cardinal del conjunto potencia de A es:
Card[P(A)] 2Card(A) Ejemplos: a)
En el ejemplo anterior Card(A)=3, entonces Card[P(A)] = 23 = 8
b)
Si el conjunto potencia de A tiene 64 elementos entonces cuántos elementos tiene el conjunto A.
lución
So
Por dato,
2n(A) = 64 = 26
Card(A) = 6
El número de elementos del conjunto A es 6.
62
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
2.2.11. Operaciones con conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Definición
Representación gráfica
Unión. La unión de A y B, escrito A B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B (sin repetir ninguno). A
B
x/x
A
A A
B
x/x
A
x
A
x/x
A
x
A'
x/x
U x
x/x
A
B
x
A
B
B
A
A’ U
A
A
A B
A
B
B
Conjuntos disjuntos. Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío; es decir, no tienen elementos comunes. A
B
A
Diferencia simétrica. La diferencia simétrica entre A y B, escrita A B, está formada por todos los elementos de A que no son de B, junto con los elementos de B que no son de A. A B
B
B
Complemento. El complemento de un conjunto A, escrito A = A’, es el conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto universal, pero no pertenecen al conjunto A.
A
B A
Diferencia. La diferencia entre los conjuntos A y B, escrito A B, es el conjunto de todos los elemento de A que no pertenecen a B. A B
B
x B
Intersección. La intersección de A y B, escrito A B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez. A
B
B
63
A
B
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
2.2.12. Ejercicios resueltos 1.
Expresar el conjunto A
{x
/ x3
2x2
x 2
0} por extensión.
Solución Resolviendo la ecuación x3
Por lo tanto: A 2.
2x2
x 2 0 se tiene: (x+2)(x+1)(x–1)=0 x–2; x=–1; x=1
{ 2; 1; 1}
Dado el conjunto A {x a) 3 A b) 2 A
/ 7x 43} . Indicar lo incorrecto. c) 6 A d) 7 A e) 5
A
Solución Primero se expresa el conjunto A por extensión, así se tiene: A
{1;2;3;4;5;6}
Por lo tanto, la alternativa es ―d‖, ya que: 7 3.
A
Halle la suma de los elementos del conjunto A
{x / 7x
2x 100; x
}
Solución Primero se expresa el conjunto A por extensión, para esto se resuelve la inecuación: 7x 2x 100 de esto se tiene: x 20 Entonces el conjunto es: A = {1;2;3;4;…;18;19;20} Utilizando la fórmula que suma los ―n‖ primeros números naturales ( S
n(n 1) ) se 2
tiene: 1+2+3+…+20= 210 4.
Halle los valores de x e y si los conjuntos A y B son iguales. Respetar el orden de los elementos. A = {6;8;14} y B = {3+x;8;2y–4} Solución Si el conjunto A es igual al conjunto B, entonces tienen los mismos elementos, es decir: 6=3+x 14 = 2y – 4, De lo cual se obtiene: x = 3 ; y =9
64
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
5. Se puede formar un conjunto con los números obtenidos al lanzar dos dados, es decir: U = {2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12} A continuación formamos los siguientes subconjuntos del conjunto U: A = {3;4;7;11;12}
B = {3;5;8;10;12}
C = {6;9;10;11;12}
a) Representar en un diagrama el universo y los conjuntos A, B y C. b) Halle los siguientes conjuntos A B , A B , A B , B C , C ' , A B , (A B) C , (A B) ' , (A B C) ' , A ' C , (A C) ' , P(A B) c) Halle el cardinal de los siguientes conjuntos P(A) , P(A B) , P(A B) , P(A C) , A C , (A B C) , (A B C) ' , (A B) C Solución a) Representemos los elementos de los conjuntos antes mencionados en el siguiente diagrama:
A
.7 .3 .5 .4 .8 .12 .11 .10 .6 .9 C
B
.2 U
b) Los elementos de los conjuntos pedidos son: A A A B C' A
B {3;12} B {3;4;5;7;8;10;11;12} B {4;7;11} C {10;12} {2;3;4;5;7;8} B {4;5;7;8;10;11}
(A B) C {10;11;12} (A B) ' {2;6;9} (A B C) ' {2} A ' C {2;5;8} (A C) ' {2;5;8;11;12} P(A B) { ;{3};{12};{3;12}}
c) El cardinal de los conjuntos dados son Card P(A)
25
Card P(A B) 22 Card (A B) 6 Card P(A C)
6.
Card (A B) 3 Card (A B C) 10 Card (A B C) ' 1
32
26
4
Ca rd (A
64
B)
C
3
En una encuesta de preferencia de los artículos X, Y, Z; 20 prefieren los tres artículos; 43 prefieren X y Y; 40 prefieren X y Z; 57 prefieren sólo X; 143 prefieren Y; 75 prefieren sólo Z; y 69 prefieren sólo Y. a) ¿Cuántos prefieren sólo X y Y? b) ¿Cuántos prefieren sólo Y y Z? c) ¿Cuántos son los encuestados?
65
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Solución Primero, representamos los tres conjuntos de preferencias de manera general, señalamos a continuación la cantidad de elementos correspondientes a cada región, según los datos dados. También podemos deducir los elementos de las regiones comunes interpretando y restando en cada caso. Hay que tener en cuenta el término ―sólo‖, el cual es excluyente.
Y
X 23
57 20
69
20
?
75 Z
U
Para calcular los elementos m (que prefieren solo Y y Z), utilizamos el cardinal de Y y los cardinales de sus partes (subconjuntos), esto es: n(Y) = 23 + 69 + 20 + m 143 = 112+m Luego: m=13 Ahora que sabemos el cardinal de todas las regiones respondemos las preguntas. a) 23 personas prefieren sólo X y Y. b) 31 personas prefieren sólo Y y Z. c) Se encuestaron a 295 personas (suma de los elementos de todas las regiones). 7.
De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de sociología y 53 no siguen el curso de filosofía. Si 27 alumnos no siguen filosofía ni sociología, ¿cuántos alumnos llevan sólo uno de tales cursos? Solución
Datos: x + z + 49 = 100 y + z + 53 = 100 Sumando (1) y (2):
x+z=51 y+z = 47
(1) (2)
x + y + z + z = 98 100 –27 + z = 9 implica
Pero: x + y +25 = 100 – 27 Por lo tanto,
x + y = 48
66
z=25
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
2.2.13. Ejercicios propuestos Nivel 1 1.
Establezca si cada una de las siguientes oraciones determinan un conjunto. 1) Las mujeres más hermosas de Trujillo. 2) El hombre más chistoso del Perú. 3) Los habitantes de la Luna. 4) Los números pares menores a 1000. a) VFVF b) VFVV c) FFVV d) VVFF e) N.A.
2.
Diga cual de las siguientes expresiones son verdaderas o falsas si: A {4; 6; 8; 10; 12} B = {2; 4; 8; 10} C = {4; 10; 12; 14} 1) 4 A 2) 8 B 3) 4 C 4) 8 B 5) 10 A a) VVFFF b) FFVVF c) VVFVV d) FFVVV e) N.A.
3.
De las siguientes expresiones determine cual de ellas es falsa: 1){2; 5; 3} = {3; 5; 2} 2) {4} {{4}; 5} 3) {3} a) VVF b) VVV c) FVF d) FFV
4.
Dado A={2; 4; 6; 8}, halle el valor de verdad de: P(A) 3) 6 2 A 2) 4
4) 8
A
a) VVVF 5.
b) FVFV
c) FFFV
5) 1;2
A
a) 2
7.
P(A)
d) FFVF
e) FVVV
Si A = 1; 2; {3}; {1; 3}}. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? A 1) 3 A 2) 1 1;3 3) 3 4) 1;3
6.
{2; 3; 4} e) N.A.
b) 3
6) 2
A
c) 4
P(A)
d) 5
e) N.A.
Halle los valores de x e y si los conjunto A y B son iguales. ¡Error! Marcador no definido. a) 2 y 6,5 b) 2 y 6 c) 3 y 6 d) 4 y 6,5 x2 / x
B
Dado los conjuntos A = {9; 16; 25; 36} y
e) 3 y 6
2
x
7
¿Ay B son iguales? 8.
Determine por comprensión el conjunto E = { 9 ; 99 ; 999 ; 9999 ; 99999} x 6 x 5 a) 10x 1 / x b) 10x 9 / x c) 10x
9.
1
1/x
x
5
d) 10x
1
1/x
x
5
e) N.A.
Dado el conjunto A = {2; 6; 12; 20; 30; 42; 56}, determine el conjunto dado por comprensión. a) x 2 1 / x
x
c) x(x 1) / x e) x 2
x/x
7 x
x
8
b) x 2
x/x
x
6
d) x 2
x/x
0
x
8
10. Determine por extensión el siguiente conjunto:
67
8
CAPÌTULO 2 I
an / n
ARITMÉTICA an
2
an
1
2an ;a0
a) I={1; 2; 4; 8; 16; 32; ....} c) I={1; 2; 4; 10; 18; 32; ....}
1;a1
2
b) I={1; 3; 5; 8; 16; 32; ....} d) I={1; 2; 8; 16; 32; 64; ....}
11. Determine por extensión el siguiente conjunto: I
e) N.A.
2x 1 / x
3
x
7
6x
x
40
a)I={1; 3; 7; 9} b) I={7; 9; 11; 15} c) I={5; 7; 9; 11} d) I={7; 9; 11; 13} e) N.A. 12. Halle la suma de los elementos del conjunto F a)108
b) 28
c) 78
2/x
d) 98
13. Determine por extensión al conjunto F sus elementos. a)–20 b) –21
3x
e) 89
3x 1 / x
c) –19
, 4
d) –18
x
2 y halle la suma de
e) N.A.
14. Determine por extensión e indique el número de elementos del conjunto x 1 B /x ,7 x 17 3 a)6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 15. Carla cuida de manera responsable su salud, pero a ella le gusta cierto tipo de chocolates en barra, cada uno de los cuales contiene 220 calorías. A fin de quemar las calorías sobrantes, Carla participa en sus actividades favoritas por periodos de una hora y nunca repite una en un mismo día. Actividad
Símbolo
Vóleibol Golf Remo Natación Carreras
v g r n c
Calorías quemadas por hora 160 260 340 410 680
a) El lunes, Carla tiene tiempo para no más de dos actividades. Haga una lista de todos los conjuntos posibles de actividades con las quemaría al menos el número de calorías obtenidas de tres barras de chocolate. b) Suponga que Carla tiene tiempo para tres horas de actividad el sábado. Haga una lista de todos los conjuntos de actividades con las que quemaría al menos el número de calorías de cinco barras de chocolate Nivel 2 1.
Dé el valor de verdad de: I. A B A B B II. A B A B III. A B A B A a) VFV b) VVV c) FFF
d) VFF
e) FFV
2.
Sean A y B dos conjuntos no disjuntos. Si Card(A) Card(A B) 13 , calcule el número de subconjuntos de A B . a)8 b) 7 c) 4 d) 64 e) 12
3.
De dos conjuntos A y B se conoce:
68
7,
Card(B)
9,
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Card(A) 4a 3; Card(B) Calcule card(A B) . a) 8a °) 7a °) 4a
2b 1; Card(A
°) 6a
B)
a b 1
°e) 2a
4.
°ean A y B dos conjuntos diferentes del nulo o vacío, además el card [P(A) ] card (B) card (A) 3 , determine el valor de card [P(B) ] . a)2456 b) 2012 c) 4012 d) 2048 e) 2047
5.
A es un conjunto de 8n elementos, B es un conjunto de 5n elementos que tienen 2n-1 elementos comunes. Si card (A B) card (B A) 12 , ¿cuál es el cardinal del conjunto potencia de ( A B) . a)244 b) 128 c) 401 d) 204 e) 202
6.
El diagrama muestra los cardinales de todas las regiones; en base a esta información, determine los cardinales siguientes: 1. card [(A B) C] 2. card [C B] 3. card [(A (B C)) '] a) 1, 2, 5
b) 1, 2, 8
c) 4, 0, 1
d) 2, 0, 4
256 . Si
e) 2, 1, 2
7.
En un salón de clase, se preguntó a los alumnos sus preferencias por Matemática y Lenguaje. El resultado fue el siguiente: a 25 alumnos le gusta la Matemática, a 30 Lenguaje y a 15 solamente uno de los cursos. Si 5 alumnos no mostraron interés por los cursos, ¿a cuántos alumnos se encuestó? a)20 b) 12 c) 40 d) 28 e) 29
8.
De 100 personas encuestadas, 40 sólo trabajan, 48 no estudian y 45 no trabajan. ¿Cuántas person étchtudian y trabajan? a)20 b) 15 c) 40 d) 16 e) 22
9.
De 50 alumnos, 30 estudian Matemática y 25 Historia. Además, 21 estudian Matemática e Historia. ¿Cuántos alumnos no estudian ni Matemática ni Historia? a)14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 21
10. En una entidad internacional trabajan 36 personas, de las cuales 6 hablan solo inglés y español; 10 hablan solo francés y español; 8 hablan inglés, francés y español. Si todos hablan español: 1) ¿Cuántas personas solo hablan español? 2) ¿Cuántas personas hablan inglés? 3) ¿Cuántas personas hablan francés? a) 12, 14, 19 b) 15, 14, 12 c) 16, 12, 15 d) 17, 12, 15 e) 12, 14 18 11. De un total de 320 consumidores de pollos a la brasa: 12 no consumen ket étchup135 no consumen mostaza. 20 no consumen ni mostaza ni ket étchup¿Cuántas personas consumen ambas salsas? a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80 12. De un grupo de 80 personas se sabe que 30 de ellas no estudian ni trabajan; 20 personas estudian y 6 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan solo una de las dos actividades? a)44 b) 42 c) 41 d) 45 e) 49 13. En las competencias internas de la UPN se ha abierto un campeonato de triatlón, atletismo (A), ciclismo (C) y natación (N). Los participantes pueden inscribirse en una, dos o en las tres ramas deportivas. Si al cierre de las inscripciones se registraron las
69
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
siguientes listas: A: 13, C: 15, N: 13, A y C: 5, A y N: 4, N y C: 7, ¿cuántas personas se inscribieron en total? a)24 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31
A, N y C: 3,
14. De 200 alumnos, 105 se inscriben en Aritmética, 115 en Álgebra y 75 en Geometría; 65 en Álgebra y Aritmética; 35 en Aritmética y Geometría; 30 en Álgebra y Geometría; y 20 en los tres cursos. ¿Cuántos no se han inscrito en ningún curso? a)14 b) 21 c) 15 d) 30 e) 19 15. En una ciudad a la 1/4¼rte de la población no le gusta la carne ni el pescado, a 1/2½la carne y a la 5/12 el pescado. ¿A qué fracción de la población le gusta la carne y el pescado? a)1/4¼) 2/3 c) 1/5 d) 3/2 e) 1/6 16. En una población, el 50% toma leche y el 40% come carne. Los que comen carne y toman leche son el 54%, ¿cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne? a)12% b) 20% c) 28% d) 30% e) 24% 17. En un colegio el 50% de los alumnos aprobó Física; el 42%, Química; y el 56% uno y sólo uno de los dos cursos. Además, 432 aprobaron Física y Química. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio? a)2400 b) 2800 c) 2900 d) 3000 e) 3100 18. En un instituto de idiomas donde se dan clases de inglés, alemán y francés se observa que de los que estudian alemán, ninguno estudia francés. De los 15 que estudian alemán, 3 estudian inglés; de los 15 que estudian francés, 4 estudian inglés; además, la mitad de los que estudian inglés estudian a su vez otro idioma. ¿Cuántos alumnos estudian en dicho instituto? a)28 b) 74 c) 79 d) 97 e) 38 19. En una reunión de la Cancillería de la República se encuentran invitados que hablan hasta 4 idiomas: español (E), inglés (I), francés (F) y portugués (P). Todos los 70 invitados hablan español y 7 hablan los 4 idiomas; además, n(I F)=19; n(I P)=15; n(sólo I)=13; n(sólo F)=8; n(sólo P)=6 y n(sólo E)=7. 1) ¿Cuántos hablan español y otro idioma? 2) ¿Cuántos hablan español y dos idiomas más? 3) ¿Cuántos no hablan inglés? a) 63; 29; 30 b) 65; 24; 22 c) 66; 32; 25 d) 37; 32; 45 e) 32; 24; 28 20. A la biblioteca de la UPN asisten 50 estudiantes, de los cuales 20 solicitaron libros de Filosofía; 21 de Matemática; 19 de Inglés. Además, 9 leen libros de Matemática e Inglés; 3 leen solo Inglés; 4 solo leen libros de Matemática; y 3 leen los tres libros. 1. ¿Cuántos leen solo Filosofía? 2. ¿Cuántos no leen ninguno de estos tres libros? a) 1; 17 b) 2; 16 c) 2; 17 d) 2;18 e) 1; 18 21. De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fábrica A, 33 en la fábrica B, 40 en la fábrica C y 7 están contratados en las tres fábricas. ¿Cuántas personas trabajan en dos de estas fábricas solamente? a)28 b) 22 c) 12 d) 18 e) 38 22. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron Aritmética y 6 Literatura; 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso. Hay 16 hombres en total; 5 aprobaron los 2 cursos y 11 aprobaron sólo Aritmética. ¿Cuántas mujeres aprobaron solo Literatura? a)2 b)3 c) 1 d) 5 e) 6
70
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
23. Una máquina dibuja en una pantalla figuras a partir de instrucciones de operaciones entre conjuntos. La máquina conoce dos dibujos: El dibujo A
Si se le da la instrucción ( A B) , la máquina dibuja:
El dibujo B
¿Qué órdenes debe dársele a la máquina para que dibuje las siguientes figuras? a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
24. Sombrea la parte que representa cada operación: (B C) A (A C) B A
B
A
B' C
B
C
A
B
C
C
25. Si A es todo el círculo y las partes sombreadas de color verde son B, C, D, E (ver figura) respectivamente, indique cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas. A
A B
A
C A E
a) C
E
B
b) C
D
A
c)B
C
E
d)B
C
C
e) C ' B
E
D f)B C E 26. Considere el conjunto universal U y tres subconjuntos del mismo: A, B y C, de acuerdo a la siguiente figura: U
A
B
71
C
CAPÌTULO 2 Dibuje: a) (A B) C
ARITMÉTICA
b) A
(B C ') c) (A
C)
B'
d) A ' (B
C)
Nivel 3 1.
De un grupo de 200 personas, se determina que 80 eran mudos, 70 cantantes y 90 ciegos. De estos últimos, los mudos eran tantos como los cantantes. Si los que no son cantantes ni mudos ni ciegos son 20, ¿cuántos sólo cantan? a)40 b) 28 c) 29 d) 30 e) 39
2.
A una reunión donde asistieron 50 personas, 5 mujeres tienen 17años, 14 no tienen 19 años y 16 mujeres tienen 17 años. En tanto 10 hombres no tienen ni 17 ni 19 años. ¿Cuántos hombres tienen 17 ó 19 años? a)21 b) 18 c) 29 d) 19 e) 39
3.
En un microbús viajan 41 pasajeros entre los cuales se observa que: 21personas están sentadas. Hay 16 mujeres en total. De los que están parados, 10 son hombres que no fuman. De las 12 mujeres sentadas, 8 no fuman. ¿Cuántos hombres que están parados no cuidan su salud, si hay 6 mujeres que fuman? a) 5 b)3 c) 1 d) 2 e) 6
4.
En una oficina, 20 empleados conversan en voz baja para no despertar a los 10 que duermen; 18 están echados, 3 de ellos duermen y 5 conversan en voz baja. Si en total hay 50 empleados, ¿de cuántos se puede decir ―quizás están trabajando? a)7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
5.
En una encuesta realizada a 100 personas, todos los hombres tenían más de 20 años. En en el grupo hay 50 mujeres y 60 personas de más de 20 años. En el grupo hay también 25 mujeres casadas, 15 personas casadas con más de 20 años y 10 mujeres casadas con más de 20 años. Determinar la cantidad de hombres solteros. a)35 b) 40 c) 45 d) 50 e) 55
6.
De 90 artistas, se sabe que 12 bailan, cantan y declaman; hay 56 que bailan, 49 que declaman y 25 que bailan. Además, todos los que cantan saben bailar y 8 no bailan, no cantan y no declaman. ¿Cuántos bailan y declaman pero no cantan? a)8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
7.
De una muestra recogida a 200 secretarias, 40 eran rubias, 50 eran morenas y 90 tenían ojos azules. De estas últimas, 65 no son rubias y 60 no son morenas. ¿Cuántas no eran rubias ni morenas ni tenían ojos azules? a)35 b) 110 c) 90 d) 105 e) 75
8.
En un hospital general del distrito federal de México fueron internados 60 personas que presentaron sintomatología de influenza AH1N1, de las cuales se sabe que: 15 son mujeres mexicanas, 19 mujeres no son mexicanas, 17 mujeres no son sudamericanas y 10 hombres no son ni mexicanos ni sudamericanos. ¿Cuántos hombres mexicanos y sudamericanos fueron internados? a)22 b)12 c) 16 d) 24 e) 18
9.
En la Universidad Privada del Norte se dictan tres cursos generales: Matemática, Lengua e Inglés. En la carrera de Psicología, hay 24 cachimbos inscritos en Inglés, en Lengua 18 y en Matemática 20. ¿Cuántos alumnos se inscribieron en los tres cursos, si 13 se han inscrito en más de un curso y 34 en uno solo? a)2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
72
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
10. Sean los conjuntos: A
a,b, c, d, e, f
y B
m, a, d, f,p, q, t . Si w es el número de
subconjuntos propios del conjunto A, que son disjuntos con el conjunto B; además p es el número de subconjuntos no vacíos del conjunto B, que son disjuntos con el conjunto A; halle entonces w p . a)22
b)23
c) 20
d) 24
e) 18
11. Sean los conjuntos A,B y C diferentes del conjunto vacío, tal que: A B C U card(B P(C)
A)
card [A (B
C)]
5
P(A)
card (A
B)
4
card (U) 17 Halle card (C B) a) 7
b) 4
c) 3
d) 8
e) 10
12. En un salón de clase, de matemática básica cero de la UNP-T, hay 45 alumnos de los cuales 15 son mujeres. 40 alumnos piden prestado el libro de matemática básica cero a la biblioteca y 8 mujeres compran el libro. ¿Cuántos hombres compraron el libro de matemática básica cero, si se supone que todos los alumnos tienen el libro? a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 13. Considera el conjunto A
;2003 . ¿Cuántos subconjuntos tiene A tales que
1;2;3;
la suma de sus elementos sea 2 007 000? a)0 b) 8 c) 5
d) 4
e) 10
14. Se dice que un conjunto es aritmetical si tiene exactamente tres elementos y uno de ellos es igual al promedio aritmético de los otros dos. ¿Cuál es el menor entero positivo tal que el conjunto 1,2,3, ,n tiene, al menos, 2004 subconjuntos aritmeticales? a)53
b) 100
c) 91
d) 92
e) 98
15. De un grupo de 80 personas: Toos los hombres tienen más de 22 años. Hay 49 mujeres en el grupo y 25 son casadas. 16 personas casadas tienen más de 22 años. Hay 10 mujeres casadas con más de 22 años de edad. 60 personas tienen más de 22 años. ¿Cuántas mujeres solteras no son mayores de 22 años? a) 5 b) 10 c) 11 d) 12
e) 18
16. En una reunión se observa que 40 mujeres son inglesas; 37 hombres son franceses; 28 ingleses son casados; 45 franceses son solteros. Hay, además, 42 hombres casados. Si 18 mujeres inglesas son solteras; entonces el número de mujeres francesas solteras es: a)64 b) 57 c) 52 d) 49 e) 44
2.2.14. Respuestas
1.
Nivel 1 C
1.
A
Nivel 2 18.
73
Nivel 3 C
1.
A
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15
15.
A B C B A SI C D A D D B E
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
A E D B A C B C E E A B C E C A
19. 20. 21. 22. 23 24 25 26
24.
b) A B f) A '
a) A
c) B A g) (A B) '
b) A
D E D C D E C A B C E D C A E
B
a) V
b) V a)
c) F
d) A B h) (A B)
B
A
C d) V b)
e) F
(A
B) '
c)
C
26.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
a) {g; n}; {r; n}; {c; v}; {c; r}; {c; n}; {c} b) {v; g; c}; {v; r; c}; {v; n; c}; {g; n; c}; {r; n; c}
23. a) A B e) B '
25.
A C B A
C
f) V c)
d)
74
B
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
2.3. Técnicas de conteo 2.3.1.
Caso de estudio I: Elaboración de placas para autos
Debido a la falta de trabajo en Trujillo, el número de taxis y colectivos se ha incrementado. El jefe de Transportes de esta ciudad desea diseñar placas nuevas para los 20 100 autos que circulan por sus calles, para lo cual a propuesto crear el código correspondiente con 6 caracteres, de los cuales los 2 primeros deben ser letras: desde la A hasta la C, y los 4 siguientes, números: desde el 1 hasta el 7. También ha indicado que ninguno de los caracteres, ya sea letra o número, debe ser repetido. a) ¿Es posible obtener el número de placas requeridas con las condiciones dadas? b) En el caso que tu respuesta sea no, ¿qué recomiendas hacer para que se logre obtener el número de placas pedidas? Solución El conjunto de letras a considerar: N={A,B,C} El conjuntos con los dígitos a considerar: M={1;2;3;4;5;6;7} Este problema práctico es una aplicación del principio de la multiplicación. Es decir: A
B
1
3 2
2
3 4
7 6 5 4
Explicación: Para colocar una letra en el primer casillero hay 3 posibilidades. Para colocar una letra en el segundo casillero hay 2 posibilidades, puesto que ya se usó una letra en el primer casillero. Para colocar un número en el tercer casillero hay 7 posibilidades. Para colocar un número en el cuarto casillero hay 6 posibilidades, puesto que ya se uso un número para el tercer casillero. Este razonamiento continúa hasta el último casillero. Por último, se multiplican estos números y se obtiene el resultado Entonces, el número total de ordenaciones es 5040. Por lo tanto, la respuesta es: a) No, usando el principio de la multiplicación nos damos cuenta que sólo se podrían obtener 5040 placas, lo cual indica que no alcanzaría para todos los autos. b) La sugerencia es aumentar letras y dígitos hasta lograr obtener el número de placas pedidas. Es decir, considerar las letras desde la A hasta la D y los dígitos desde el 1 hasta el 8. Si con esto no se llega al número pedido, se tendrá que seguir aumentando hasta conseguirlo. A
B
4 3
1
2
3 4
8 7 6 5
Al multiplicar se tiene 20 160. Por lo tanto, incrementando una letra y un dígito se cubre el número de placas pedido.
75
CAPÌTULO 2
2.3.2.
ARITMÉTICA
Caso de estudio II: Turismo en el Perú
«Doscientos treinta y seis mil novecientos cuarenta y cinco (230 945) pasajeros nacionales y extranjeros transitaron en el Perú del 1 al 30 de Julio del 2009, según informó la Dirección General de Migraciones y Naturalización. Dicha instancia registró la documentación de pasajeros que ingresaron por los controles migratorios a nivel nacional, estableciendo que de dicha suma 139 mil 554 eran turistas que eligieron al Perú como destino de vacaciones. Siete mil doscientos noventa (7290) son peruanos que residen en el extranjero y que llegaron al país por turismo y para disfrutar el fervor patriótico de las fiestas de julio. Los turistas extranjeros eran de diferentes partes del mundo. Esta lista estuvo encabezada por ciudadanos estadounidenses, quienes sumaron 36 570 y llegaron al Perú en el mes de julio. Tras los estadounidenses, figuran los ecuatorianos: 8 503 turistas. La lista la completan: 7548 franceses, 6456 brasileros, 7422 argentinos 7303 chilenos, 6838 españoles, 5607 colombianos, 5002 británicos, 4491 bolivianos y 4 122 bolivianos, entre otros. Este año 2009 retornaron miles de peruanos residentes en el extranjero para disfrutar de nuestras coloridas Fiestas Patrias; la gran mayoría eligió como destino la ciudad de Lima para apreciar de cerca la festividad». (Tomado de: http://www.notiviajeros.com/category/notiviajeros/page/117/) El Perú es un país muy atractivo tanto en su cultura como en su historia; posee más de 100 000 lugares arqueológicos y es por este motivo muy visitado por turistas de casi todo el mundo. Algunos de los lugares más visitados por los turistas son:
Chan Chan- Trujillo
Silla del Inca-Cajamarca
Machu Picchu Cusco
Cristo de Yungay Huaraz
Catedral de Lima
76
Cañón del Colca Arequipa
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Supongamos que dos amigos sólo pueden visitar 1 lugar de los 6 que se mencionan. Uno dice al otro: «Ve tú a comprar los pasajes, pero elige 3 lugares y luego decide a qué lugar irá cada uno». ¿De cuántas maneras diferentes podrá comprar los pasajes?. Si analizamos la pregunta nos damos cuenta que el amigo tendrá primero que seleccionar los lugares que se va a visitar y luego decidir a que lugar tendrá que ir cada uno. Es decir: Primera elección: Para que sea más fácil la selección, asignemos letras a los lugares: Cerrito Santa Polonia = A Chan Chan = B Machu Picchu = C Monasterio de Santa Catalina = D Catedral de Lima = E La Alpaca = F ABC ABD ABE ABF
ACD ACE ACF ADE
ADF AEF BCD BCE
BCF BDE BDF BEF
CDE CDF CEF DEF
Hay 20 maneras de seleccionar 3 lugares de 6. Elija el lugar a visitar y, según esto, compre los pasajes. Supongamos que tiene la primera elección: A , B y C. Las maneras diferentes de comprar pasaje son: AA, AB, AC, BB, BC y CC. AA, BB y CC, significa que ambos van al mismo lugar AB, AC y BC, significa que van a lugares diferentes. Este suceso se repite 20 veces, por lo tanto las maneras diferentes de comprar los pasajes son: 20 x 6 = 120 Los dos casos presentados nos indican que a menudo en nuestra vida diaria estamos contando las formas en las que se puede realizar una determinada tarea. La Aritmética tiene una rama que se encarga de determinar las veces que ocurre un determinado evento. Esa rama se llama Técnicas de Conteo. Antes de desarrollar el tema de técnicas de conteo es necesario recordar la definición de un factorial de un número natural y algunas de sus propiedades.
2.3.3.
Factorial de un número natural
Factorial de un número ―n‖ es el producto de los ―n‖ primeros números naturales. Notación: n! 1 2 3
(n 1) n,
Definición por convención 0! = 1
77
n
N
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Propiedades de los factoriales 1. 2.
El factorial de un número entero negativo no existe. El factorial de un número entero positivo es igual al producto del número con el factorial del número que le antecede. Es decir: n! = n (n – 1)! n! = n (n – 1) (n – 2) (n – 3)! Factorial de ―uno‖ es ―uno‖, es decir: 1! = 1 Si a! = b! , entonces: a = b
3. 4.
Precaución En factoriales se debe tener encuenta lo siguiente: (a b)! a! b!;a 1 b 1 (a b)! a! b!;a 0;1 b 0;1 a a! ( )! ;a 1 b 0;1 b b! ( a)! a! Ejemplo: 6! 7! 8! Si A = ; 6! 7!
B=
71! ; 69! 70!
C=
34! 35! . Calcule A x B x C 36!
Solución Aplicando las propiedades estudiadas y reduciendo términos se tiene: 64 6! 6!x7 6!x7x8 6!(1 7 56) A= = 8 6! 6!x7 6!(1 7) 8 B=
69!x70x71 69!(1 70)
70x71 71
70
C=
34!(1 35) 34!x35x36
36 35x36
1 35
Luego:
A B C = 8 70
2.3.4.
1 35
16
Principios fundamentales de conteo
Para determinar las veces que ocurre un determinado evento, haremos uso de las técnicas de conteo, que serán de gran ayuda en estos casos. Principio de Adición Si un evento ―A‖ ocurre de ―m‖ maneras diferentes y otro evento ―B‖ ocurre de ―n‖ maneras diferentes, entonces el evento A o B ―es decir no simultáneamente― ocurre de ―m+n‖ maneras diferentes.
78
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Observación: Este principio se aplica cuando los eventos son mutuamente excluyentes. Es decir, ocurre el evento ―A‖ o el evento ―B‖, pero no ambos a la vez; este principio se puede generalizar para más de dos eventos Ejemplos: a) Pedro desea viajar de Trujillo a Lima y tiene a su disposición tres líneas aéreas y 7 líneas terrestres ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje Pedro? Solución Por el Principio de Adición, tenemos: 3 + 7 = 10 maneras distintas. b) Jenny desea comprar un libro de Matemática Básica que se vende en 5 ―ferias de libros‖ y en 3 librerías diferentes del Centro Histórico de Trujillo. ¿De cuántas maneras puede obtener el libro? Solución Usando el Principio de Adición, se tiene: 5 + 3 = 8. Es decir, se tiene 8 maneras diferentes de comprar el libro. Principio de Multiplicación. (Teorema Fundamental del Análisis Combinatorio) Si un evento ―A‖ ocurre de ―m‖ maneras y para cada una de estas otro evento ―B‖ ocurre de ―n‖ maneras, entonces el evento ―A‖ seguido de ―B‖ ocurre de ―m ∙ n‖ maneras. Observación: En este principio la ocurrencia es uno a continuación del otro; es decir, ocurre el evento ―A‖ y luego ocurre el evento ―B‖. Este principio se puede generalizar para más de dos eventos Ejemplos: a) María tiene tres pantalones diferentes y siete blusas distintas. ¿De cuántas maneras distintas se puede vestir María? Solución Usando el principio de multiplicación, tenemos: 3 x 7 = 21 maneras diferentes de vestirse. b) Julio puede viajar de Trujillo a Chimbote de 2 formas y de Chimbote a Lima de 3 formas ¿De cuántas maneras distintas puede ir de Trujillo a Lima pasando por Chimbote y sin retroceder? Solución Usando el principio de multiplicación, tenemos: 2 x
79
3 = 6 maneras diferentes
CAPÌTULO 2
2.3.5.
ARITMÉTICA
Permutación
Es un arreglo u ordenación que se pueden formar con todos los elementos disponibles de un conjunto. La característica principal es que importa el orden de sus elementos. Existen las siguientes permutaciones: lineales y circulares. A) PERMUTACIONES LINEALES Son cuando las ordenaciones se dan en línea recta. Pueden ser sin repetición y con repetición. PERMUTACIONES LINEALES SIN REPETICIÓN Se da cuando todos sus elementos considerados son diferentes sigue:
Pm
m!
m
y se calcula como
0
Ejemplos: a) ¿Cuántas ordenaciones pueden formarse con los elementos del conjunto A={a, b, c}? Solución abc
acb
Usando fórmula se tiene: P3
bca
3!
bac
cab
3.2.1
cba
6 formas.
b) ¿De cuántas maneras pueden sentarse cuatro personas en cuatro asientos uno a continuación de otro? Solución Tenemos 4 asientos y 4 personas. Se trata de una permutación, ya que se toman todos los elementos e importa el orden en que se sientan. Es decir: P4
4!
4.3.2.1
24
PERMUTACIONES LINEALES CON REPETICIÓN Se da cuando no todos los elementos considerados son diferentes. Se calcula mediante la siguiente fórmula: n Px ,x ,x , 1 2 3
xm
n! x1 !.x 2 !.
.x m !
Donde,
Pxn
1 ,x2 ,...,xm
número total de permutaciones que es posible obtener con n objetos,
entre los que hay una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de objetos de un segundo tipo,...… y una cantidad xm de objetos del tipo m. n x1 + x2 + … + xm
80
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Ejemplo: ¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3? a) 260 b) 270 c) 280 d) 290 e) 300 Solución Identificando: x1 = 3 pues el 1 se repite 3 veces x2 = 4 pues el 3 se repite 4 veces Usando la fórmula se tiene: P8 3;4
8! 3!.4!
8 7 6 5 4! 3 2 1 4!
280
B) PERMUTACIONES CIRCULARES Es un arreglo o conjunto de ordenaciones alrededor de un objeto. La fórmula para calcular el número de ordenaciones es:
PC (n)
(n 1)!;
n
Donde n es el número de elementos que intervienen. Ejemplos: ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa? Solución
PC (5)
(5 1)! 4! 24
¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 personas alrededor de una mesa, de tal manera que dos de ellos siempre estén juntos? Solución Existen dos casos
EN GENERAL:
AB
BA
F
C
F
C
E
D
E
D
PC (5)
4!
+
PC (5)
Si hay m elementos y n siempre están juntos y se desea ordenar alrededor de un objeto, entonces el número total de ordenaciones se calcula de la siguiente manera: Pn x PC(m–1) = n!(m–2)!
Por lo tanto, en nuestro ejemplo el total de ordenaciones es:
4!
P2 x PC(5) = 2!(5–1)! =48
Luego, el total de ordenaciones = 4!+4! = 48
81
CAPÌTULO 2
2.3.6.
ARITMÉTICA
Variación
Una variación es una permutación en donde sólo intervienen n elementos de los m elementos que se han considerado. n es menor que m Existen dos tipos de variaciones: A) VARIACIÓN SIN REPETICIÓN Se da cuando todos sus elementos son diferentes y se calcula mediante la siguiente fórmula. m!
Vnm
(m
n)!
; 0
n
m
Donde: m es el total de elementos que intervienen n es el número de elementos que se toman para ser ordenados Ejemplos: a) Joel tiene tres balones de fútbol diferentes. ¿De cuántas formas diferentes se podrán alinear ordenándolos de dos en dos? Solución Sean los balones de fútbol: Ordenándolos de dos en do, tenemos seis formas diferentes:
1º forma 2º forma 3º forma Usando la fórmula obtenemos: V23
4º forma 3! (3 2)!
5º forma
3.2.1 1
6º forma
6
b) Cuatro alumnos se matriculan en la UPN, que dispone de siete aulas. ¿De cuántas maneras se les puede distribuir de modo que siempre ocupen aulas diferentes? Solución En este problema encontramos una variación, porque lo que más importa es el orden de los alumnos en cada aula. Entonces, usando la fórmula resulta: V47
7! (7 4)!
7.6.5.4.3! 3!
840
B) VARIACIÓN CON REPETICIÓN Se da cuando uno o más de sus elementos se repiten. Se calcula con la siguiente fórmula:
Vnm
mn ; n m
82
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Donde: m es el número total de elementos n es el número de elementos que se considera para ser ordenados Ejemplo: ¿Cuántos números diferentes se pueden formar con los elementos del conjunto w 1;2;3; 4 tomados de 2 en 2? Solución Los números pueden ser: 12 13 14 23 24 34 21 31 41 32 42 43 11 22 33 44 Si aplicamos la fórmula tenemos:
V24
2.3.7.
42
16
Combinación
Es una selección o agrupación de elementos que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. Su característica principal es que no interesa el orden en que se agrupan sus elementos. Existen dos tipos de combinaciones. A) COMBINACIÓN SIN REPETICIÓN Se da cuando de ―m‖ elementos diferentes se forma grupos de ―n‖ elementos diferentes. El número de combinaciones se calcula mediante la siguiente fórmula: Cm n
m! ; (m n)!n!
0
n
m
Ejemplos: a) Dado el conjunto A = {a, b, c, d}, encuentre el número de variaciones y el número de combinaciones de los elementos de ―A‖ tomados de 3 en 3. Solución Variaciones
Combinacione s
a bc,
a c b,
ba c,
bc a,
c a b,
c ba
6
a bc
1
a bd,
a db,
ba d,
bda,
da b,
dba
6
a bd
1
a c d, bc d,
a dc, bdc,
c a d, c bd,
c da, c db,
da c, dbc,
dc a dc b
6 6
acd bc d
1 1
Total de variaciones: V34
4! (4 3)!
24
Total de combinaciones: 4! 4 (4 3)!3! Notemos que cada combinación tiene seis variaciones, es decir 3! . 4 C3
83
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
b) Se organiza un triangular entre los equipos de fútbol Universitario de Deportes, Sporting Cristal y Alianza Lima. ¿Cuántos partidos diferentes se pueden jugar en una sola rueda? Solución
U vs SC Los partidos serían:
U vs
AL
SC vs
AL
Entonces habrá: C32
3! (3 2)!2!
3 partidos diferentes
c) ¿Cuántos grupos de 4 personas se pueden formar de un total de 6 personas? Solución 6!
6
C4
(6
4) ! 4 !
15
Propiedades 1.
Cm m
1
2.
Cm 0
1
3.
C1m
m
4.
Cm n
m Cm
5.
Cm n
m m 1 C n n 1
6.
Cm n
Cm n 1
7.
Cm 0
C1m
Cnm 11 Cm 2
Cm m
2m
n
Ejemplos: 1. Calcule el valor de x en: 20 C18
20 C19
Cxx
19
Solución Usando las propiedades 4 y 6 se tiene: 21 C19
Comparando resulta:
x C19
x = 21
2. De un grupo de 6 hombres y 4 mujeres se desea formar comisiones, de tal manera que en cada comisión exista por lo menos una mujer y tres hombres. ¿Cuántas comisiones en total se podrán formar?
84
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Solución Según el enunciado se tiene: = C14 C36
Total de comisiones
= (C14
C24 C36
C24
C34
C34 C36
C44 C36
C44 )C36
6! = (24 1)C36 = ( 24 1) = 300 (6 3)! 3!
B)
COMBINACIÓN CON REPETICIÓN Este tipo de combinación es un caso especial y, generalmente, ocurre en los casos de gustos o preferencias. Ejemplo: Suponga que la Universidad Privada del Norte necesita libros de Aritmética (A), Geometría (G) y Trigonometría (T) para su biblioteca, entonces le pide a sus profesores Wilmer y Percy que cada uno compre un libro. De este modo, la Universidad tendrá los siguientes libros en su biblioteca: AA
AG
AT
GA
GG
GT
TT
Como se observa, existen libros repetidos, esto porque los profesores coincidieron en su preferencia por un libro. Por lo tanto, el enunciado general para estos problemas es: «Se tiene objetos o elementos de m tipos diferente. ¿Cuántas combinaciones de n objetos se pueden formar tomados de m elementos si se permite la repetición de elementos?» Para calcular las combinaciones con repetición (CR) se usa la siguiente fórmula: CR m n
2.3.8.
Cm n
n 1
(m n 1)! (m 1)! n!
Cuadro resumen PERMUTACIÓN
VARIACIÓN
COMBINACIÓN
Sí
Sí
No
Sí
No
Se da en algunos casos
Influye el orden de colocación de los elementos en la agrupación Intervienen todos los elementos Fórmula sin repetición
Pm
Fórmula con repetición
n Px ,x ,x , 1 2 3
Fórmula circular
PC (n)
m! xm
m
Vnm
0 n!
x1 !.x 2 !.
(n 1)!;
m! (m n)!
Vnm
.x m !
n
85
mn
Cm n CR m n
m! (m n)!n! (m n 1)! (m 1)! n!
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
2.3.9. Ejercicios resueltos 1. ¿Cuántos números pares de tres cifras pueden ser formados usando las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 si estas pueden repetirse? Slución Para ser número par debe terminar en cero o cifra par; además, la primera cifra nunca será cero. Entonces, por el principio de la multiplicación tenemos: 6x7 x4 = 24x7=168 6
7
4
2. Diez amigos desean ordenarse linealmente para tomarse una foto. Si entre ellos hay una pareja de enamorados que no desea separarse, ¿de cuántas maneras pueden ordenarse? Solución La pareja se debe considerar como si fuese una sola persona, entonces se tendrá permutación de 9, pero a la vez la pareja puede conmutar. Por lo tanto, el número total de ordenaciones es: 2! 9!
9!x2! = 2x9!. 3. En un simposio organizado por la Municipalidad de Lima, participan 4 alcaldes del Cono Norte y 3 alcaldes del Cono Sur, los cuales están ubicados en una mesa rectangular frente al público asistente. ¿De cuántas maneras pueden disponerse los alcaldes si los elementos de un mismo cono no pueden estar separados? Solución Como los alcaldes del mismo cono no se pueden separar, entonces el número de ordenaciones es permutación de 2, a la vez en cada grupo el número de ordenaciones es de permutación de 4 y permutación de 3 respectivamente. Por lo tanto, el número de ordenaciones totales es:
4!
2! x 4! x 3! = 288
3!
2!
4.
Alrededor de una mesa circular de 6 asientos se ubican 2 mujeres y 3 hombres. ¿De cuántas formas podrán ubicarse si un asiento vacío debe quedar entre las dos mujeres?
86
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Slución Si el asiento vacío debe estar siempre entre las dos mujeres, entonces alrededor de la mesa sólo se considera 4 asientos ordenables en tanto las dos mujeres pueden conmutar. Por lo tanto, el número total de ordenaciones circulares es:
vacío
2! PC(4) x 2! = 3! x 2! = 12
5. Se desea colocar 11 fichas en un tablero recto, disponiéndose para tal efecto de 2 verdes, 2 azules, 4 anaranjadas, 1 amarilla, 1 roja y 1 negra. ¿Cuántas ordenaciones diferentes se podrán lograr si se desea que las dos verdes estén siempre juntas y que la ficha roja esté siempre en medio de la amarilla y la negra? Slución Si se agrupa las 2 fichas verdes y las fichas amarilla, roja y negra según el enunciado, se tendrá 8 fichas para aplicar permutación con repetición. Además, en el grupo de las fichas verdes se aplica permutación con repetición. En en el grupo de las fichas amarilla, roja y negra sólo hay 2 ordenaciones, pues la ficha roja siempre estará en el centro. Por lo tanto, se tiene:
2
P22 8 P2;3
8 P22 x 2 x P2;3 =
2! 8! = 1680 2 2! 2! 4!
6. Con los dígitos 1, 2, 3, 5 y 7 ¿cuántos números de cuatro cifras, mayores que 5000, se pueden formar? Solución Los números que se pueden formar admiten cifras repetidas e importa el orden; entonces estamos en el caso de variación con repetición. Gráficamente se tiene:
7.
5 5
3
2
V5 3
3
2 x 53 = 2 x 125 = 250
Cuatro personas entran a un colectivo en el que hay 7 asientos disponibles. ¿De cuántas maneras pueden sentarse?
87
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Slución En este caso se trata de una variación sin repetición, pues importa el orden y una persona no se puede sentar en dos asientos a la vez. Es decir: 7! 7 6 5 4 3! = 840 V47 (7 4)! 3! 8. En una tienda hay 6 camisas y 5 pantalones que me gustan. Si decido comprar 3 camisas y 2 pantalones, ¿de cuántas maneras diferentes puedo escoger las prendas que me gustan? Slución En este caso no importa el orden en que se haga la compra. Para las camisas es combinación de 6 en 3 y para los pantalones combinación de 5 en 2, luego se multiplica. Es decir: C63
C52
6! 5! = 200 (6 3)! 3! (5 2)! 2!
9. De un grupo de 8 hombres y 7 mujeres ¿cuántos grupos mixtos de 7 personas se puede formar sabiendo que en cada grupo hay 4 varones y el resto son damas? Slución En este caso no importa el orden. El número total de grupos mixtos es: C84
C73
(8
8! 7! = 2450 4)! 4! (7 3)! 3!
10. Si de 10 artículos 6 de ellos son defectuosos, ¿de cuántas maneras se puede escoger 3 artículos, de tal modo que entre ellos haya por lo menos 2 defectuosos? Slución En este caso no importa el orden entonces el número total de artículos que se pueden escoger es: C14
C26
C04
C36
4
6! 6! = 80 1 (6 2)! 2! (6 3)! 3!
2.3.10. Ejercicios propuestos Nivel 1 1.
Una persona desea viajar de Trujillo a Tacna y dispone de 4 líneas aéreas, 3 terrestres y 2 rutas marítimas. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar este viaje? a)3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
2.
Ana tiene 3 blusas diferentes, 4 faldas también diferentes y 2 pares de zapatos, rojos y azules ¿De cuántas maneras se puede vestir Ana? a)24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32
88
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
3.
Un producto es armado en 3 etapas, disponiéndose para la primera 3 líneas de armado; para la segunda, 5 líneas; y para la tercera, 4 líneas. ¿De cuántas maneras distintas puede armarse el producto? a)24 b) 48 c) 60 d) 25 e) 30
4.
De una ciudad A a una ciudad B hay 6 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje de ida y vuelta si en el regreso no podemos elegir el camino de ida? a)12 b) 42 c) 25 d) 36 e) 30
5.
Simplifique: N a)17
6.
17! 18! 19! 17! 18! b) 18 c) 19
d) 20
e) 21
83! 40! 41! x 81! 82! 42! b) 2 c) 3
d) 4
e) 5
Simplifique: R = a)1
7.
El jefe de personal de un restaurante planea un banquete y no puede decidirse cómo acomodar a los seis invitados especiales en la mesa de honor. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar las seis sillas en un lado de la mesa? a)700 b) 620 c) 720 d) 500 e) 520
8.
Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado. a)60 b) 70 c) 28 d) 20 e) 30
9.
¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos plátanos, cuatro cerezos y tres chirimoyas? a)1 270 b) 1 260 c) 1 280 d)1 290 e) 3 000
10. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas alrededor de una fogata? a)5 255 b) 5 256 c) 5 040 d) 5 253 e) n.a. 11. ¿Cuántos números de tres dígitos que no se repiten pueden escribirse con los dígitos del conjunto {3, 4, 5, 6, 7, 8}? a)90 b) 100 c) 80 d) 110 e) 120 12. Un ladrón quiere abrir una caja fuerte cuya clave consta de 3 dígitos. Él sabe que los dígitos posibles son 1, 3, 5 y 7. ¿Cuál es el mayor número de ―ordenaciones‖ erradas que podría intentar? a)63 b) 64 c) 65 d) 60 e) n. a. 13. ¿De cuántas maneras se puede elegir al presidente, vicepresidente, secretario y tesorero de una organización de 20 miembros? a)116 280 b) 122 680 c) 135 640 d) 140 210 e) 4 845 14. De entre 12 miembros de un club se va a elegir, en votación secreta, cuatro directivos: un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero. Los 12 postulantes a los cargos son elegibles para cualquiera de ellos. Determine cuántos grupos de cuatro miembros pueden ser elegidos. a)11 881 b) 12 000 c) 13 500 d) 14 400 e) 11 880 15. En un salón de clase hay 20 alumnos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden formar comisiones de 4 alumnos? a)255 b) 4 845 c) 254 d) 253 e) n. a. 16. Se tiene 20 preguntas de Matemática. Si se desea elaborar un examen de 15 preguntas, ¿cuántos exámenes diferentes se pueden hacer? a)15 090 b) 15 100 c) 15 504 d) 15 110 e) 15 120
89
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
17. Ruth quiere comprar 10 libros diferentes, pero sólo tiene dinero para cuatro. ¿De cuántas maneras puede hacer su selección? a)300 b) 200 c) 150 d) 210 e) 250 18. Todos los miembros de un club de fútbol desean ir a un evento este fin de semana, pero sólo a 10 de ellos se les permitirá asistir. ¿De cuántas maneras se puede elegir a los 10 afortunados si hay un total de 48 miembros? a)63 024 560 b) 63 201 254 c) 63 502 634 d) 64 215 400 e) 6 540 715 896 19. En un restaurante se venden 6 tipos de platos y Carlos desea ordenar 4 platos (para él y sus tres amigas). ¿De cuántas maneras diferentes puede hacerlo? a)15 b) 25 c) 124 d) 126 e) 127 20. Las universidades en Trujillo son UPN, UPT, UCV, UPAO, UNT y UAP. ¿De cuántas maneras diferentes pueden elegir 3 personas 3 universidades trujillanas para continuar sus estudios? a)56 b) 50 c) 54 d) 46 e) 20 Nivel 2 1.
Calcule el valor de n, si a)5
b) 9
(n 6)!(n 4)! (n 5)! (n 4)! c) 13
12!
d) 6
e) 7
2.
Halle el valor de ―n‖ en : [ ( n ! +¡2 ) ! -¡4–] ! =¡20 ! ¡)2 b) 3 c) 4 d) 1
3.
Anita tiene 6 blusas y 5 minifaldas de colores distintos. ¿De cuántas maneras diferentes puede lucir ambas prendas a la vez si la blusa azul y la minifalda blanca las usa siempre juntas, y la minifalda roja con la blusa negra nunca las usa juntas? a)20 b) 25 c) 36 d) 100 e) 64
4.
Cuántas palabras diferentes de cuatro letras ―no es necesario que tengan sentido― se puede formar con las letras de la palabra LOVE, de modo que la letra V esté siempre antes de la E. a)6 b) 8 c) 10 d) 4 e) 16
5.
Un grupo de 5 amigos se van de paseo en un auto que tiene 2 asientos adelante y 3 atrás. ¿De cuántas formas se podrán ubicar si sólo 2 de ellos saben manejar? a)10 b) 48 c) 16 d) 24 e) 120
6.
¿Cuántas ordenaciones lineales distintas pueden formarse con todas las letras de la palabra FERMAT, de tal manera que comiencen y terminen en consonantes? a)240 b) 720 c) 288 d) 420 e) 320
7.
Calcule el número de ordenaciones distintas que pueden realizarse con las letras de la palabra SOCIOLOGICAL, de tal forma que las vocales estén todas juntas. a)54 000 b) 58 950 c) 65 400 d) 72 400 e) 75 600
8.
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes existen en el sistema de base 7? a)2 480 b) 3 280 c) 6 350 d) 2 160 e) n. a
9.
¿Cuántos números pares de 3 dígitos se puede formar con los números 1, 2, 5, 6, 7, 8 y 9 si cada uno de estos puede emplearse una sola vez? a)90 b) 60 c) 50 d) 40 e) 80
e) 5
10. Un cuerpo legislativo está integrado por 19 personas en el que 8 representan al partido rojo, 7 al partido azul y 4 al partido blanco. ¿Cuántas juntas de 5 miembros se pueden integrar si 4 de sus miembros deben ser del partido azul? a)300 b) 320 c) 420 d) 400 e) 480
90
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
11. Una tejedora de alfombras ha decidido utilizar siete colores compatibles en su nueva línea de productos, sin embargo al tejer una alfombra solo puede utilizar cinco colores. En su publicidad desea indicar el número de los distintos arreglos de colores que están a la venta. ¿Cuántas alfombras diferentes puede ofrecer la tejedora si los colores no se pueden repetir en una alfombra? a)21 b) 2 520 c) 20 d) 2 540 e) 30 12. Calcule el número total de ordenaciones diferentes que se pueden formar a la vez con todas las letras de la palabra KATTII, de manera que las vocales iguales estén juntas. a)60 b) 50 c) 40 d) 30 e) 20 13. El número de combinaciones de ―x‖ elementos, tomados de 4 en 4, está en la relación ½ con el número de variaciones de los mismos elementos, tomados de 2 en 2. Halle el valor de ―x‖. a)10 b) 12 c) 5 d) 6 e) 8 14. Se tiene una línea de producción con trece operarios. El gerente de producción desea reducir el número de estos con la finalidad de disminuir los costos de producción. Según un estudio de balance de líneas, se determinó que el número límite para el manejo adecuado de dicha línea es de 11 trabajadores. ¿Cuántos días se necesitarán como máximo para encontrar el grupo ideal si cada grupo debe ser evaluado en un día de trabajo? a)78 b) 80 c) 100 d) 70 e) 60 15. Un mozo debe servir 10 vasos diferentes de cerveza y gaseosa en una mesa donde hay 6 caballeros y 4 damas. Los vasos de cerveza son para los caballeros y los de gaseosa para las damas. ¿Calcule la cantidad de maneras diferentes en que el mozo pueda realizar la distribución? a)205 b) 450 c) 210 d) 178 e) 189 Nivel 3 1.
Halle el valor de "n"―e‖: 1(1!)+2(2!)+3(3!)+...+n(n!) =5 039. a)6 b) 7 c) 8 d) 9
2.
De 6 hombres y 4 mujeres se van a formar comités mixtos de 5 personas. ¿De cuántas maneras pueden formarse si en cada comité hay como mínimo 2 mujeres? a)200 b) 150 c) 120 d) 186 e) 190
3.
En una comunidad se desea formar una delegación de 5 miembros con 9 ingenieros y 7 médicos. ¿De cuántas maneras puede formarse la delegación de modo que incluya siempre a 2 ingenieros? a)4 032 b) 4 320 c) 4 350 d) 4 000 e) 4 800
4.
De 6 números positivos y 5 números negativos, se escogen 4 números al azar y se multiplican. Calcule el número de formas que se pueden multiplicar, de tal manera que el producto sea positivo. a)170 b) 120 c) 150 d) 171 e) 180
5.
¿De cuántas maneras pueden colocarse en un estante 6 libros diferentes de Aritmética y 2 diferentes de Álgebra si un libro de Álgebra debe ir siempre al final? Deben seleccionarse de 10 libros de Aritmética y 4 de Álgebra. a)17 640 b) 12 700 800 c) 17 550 800 d) 17 561 e) 17 680 500
6.
Hugo tiene en una bolsa 8 naranjas y 6 plátanos. Él quiere regalar a su amiga Norma 4 plátanos y, por lo mucho 2 naranjas. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacerlo? a)650 b) 170 c) 550 d) 555 e) 170
91
e) 10
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
7.
La selección de básquet de Trujillo está conformada por 15 muchachas. ¿De cuántas maneras se puede conformar el equipo de 5 si se sabe que 3 de ellas se niegan a jugar en el mismo equipo? a)1 300 b) 1 320 c) 1 350 d) 1 400 e) 1 485
8.
Juan dispone de 8 libros grandes diferentes y 6 libros chicos diferentes. ¿De cuántas maneras puede colocar en un estante los libros en grupos de 5 ―3 grandes y dos chicos— si los grandes y los chicos siempre deben estar juntos? a)20 160 b) 13 210 c) 13 050 d) 10 000 e) 10 080
9.
Un niño observa en su mesa que hay 5 naranjas y 6 manzanas; además, el debe tomar al menos dos frutas distintas y, a lo más, 2 naranjas. Calcule de cuántas maneras lo puede hacer. a)343 b) 701 c) 5040 d) 435 e) 945
10. Ocho delegados, entre ellos una mujer, deben sentarse alrededor de una mesa circular que tiene disponible cinco asientos. La cantidad de maneras distintas en que pueden sentarse asegurando siempre que la mujer esté sentada entre dos hombres es: a)56 b) 168 c) 96 d) 560 e) 840
2.3.10. Respuestas Nivel 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
D A C E C B C A B C E A A E B C D E D A
Nivel 2 1. E 2. A 3. A 4. A 5. B 6. C 7. E 8. D 9. A 10. C 11. B 12. A 13. D 14. A 15. C
92
Nivel 3 1. A 2. D 3. A 4. A 5. B 6. D 7. E 8. A 9. E 10. E
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
2.4. Proporcionalidad 2.4.1.
Caso de estudio: Pago de impuestos
Una empresa trujillana, debido a razones particulares, decidió pagar el impuesto a la renta en forma inversamente proporcional a los gastos reportados por sus socios, incentivándolos de esta manera a que puedan declararlos a tiempo y con el sustento correspondiente. A continuación, se presenta en forma muy resumida el monto total que la empresa tuvo que pagar a la Sunat: S/. 127 729.89. UTILIDAD ANTES DE IMPUESTOS Y PARTICIPACIONES PARTICIPACION DE UTILIDADES A LOSTRABAJADORES (5%) UTILIDAD ANTES DE IMPUESTOS IMPUESTO A LA RENTA (30%) MENOS PAGOS A CUENTA DEL IMP. RTA. IMPUESTO A PAGAR AL 31/12/2007
910 –45 864 –259 131
041,72 502,09 539,64 361,89 632,00
–127 729,89
Los socios de la empresa son propietarios de buses, algunos de los cuales tienen varias unidades. En el siguiente cuadro se presentan los gastos realizados por unidad. El desafío fue efectuar el reparto inversamente proporcional a cada uno de los gastos sustentados por unidad (bus). Nº DE BUS
PLACAS
Nº DE BUS
PLACAS
GASTOS
01
UD 3475
27453,09072
19
UE 1622
113660,4091
02
UD 3543
112123,93
20
VG 3729
89843,09
03
UD 2736
72723,97347
21
UD 3123
112865,6796
GASTOS
04
UD 3191
84463,59
22
UD 2140
142616,79
05
UO 9930
78087,42347
23
UD 2908
135513,3856
06
UQ 3396
80195,04
24
UD 2780
96450,20749
07
UD 3698
79957,3208
25
UO 9818
150042,8058
08
UQ 9137
134211,0895
26
UD 2578
122284,9651
09
UD 3512
109482,9768
27
UD 3879
96828,54
10
UD 3458
134269,8415
28
UD 0502
103618,51
11
UZ 1731
125993,3056
29
UD 0878
34050,662
12
UD 3745
122913,3903
30
UD 2059
101682,699
13
UD 3102
145961,421
31
UQ 9058
76824,30088
14
UD 3614
48767,32807
32
UA 1110
122115,678
15
UO 8815
133656,3191
33
UJ 1470
95985,40089
16
UD 3517
108976,441
34
UD 8970
81990,25434
17
UO 7019
67415,83108
35
UD 3519
71393,50515
18
UD 2921
54329,39932
Con la ayuda de Microsoft Excel calcule la cantidad asumida (por cada bus) como parte del pago a la SUNAT.
93
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Solución Antes de utilizar Excel, es necesario recordar, con fines didácticos, un ejemplo de un reparto proporcional práctico con cantidades pequeñas. Luego utilizaremos la misma lógica para poder resolver el caso anteriormente planteado. CASO ILUSTRATIVO: Se reparte 1000 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 5, es decir:
k 2
k 3
k 5
1000
15k 10k 30
6k
1000
31k 30
1000
k
30000 31
AHORA REVISEMOS EL CASO PLANTEADO INGRESANDO LOS DATOS EN EXCEL: C D E Nº DE BUS
PLACAS
GASTOS
RENTA
01
UD3475
27453,09072
127703,81
2,8879E+169
11.304,96
02
UD3543
112123,93
127703,81
7,071E+168
2.767,97
03
UD 2736
72723,97347
127703,81
1,0902E+169
4.267,59
04
UD3191
84463,59
127703,81
9,3866E+168
3.674,44
05
UO 9930
78087,42347
127703,81
1,0153E+169
3.974,47
06
UQ3396
80195,04
127703,81
9,8863E+168
3.870,02
07
UD3698
79957,3208
127703,81
9,9156E+168
3.881,52
08
UQ9137
134211,0895
127703,81
5,9073E+168
2.312,45
09
UD3512
109482,9768
127703,81
7,2416E+168
2.834,74
10
UD3458
134269,8415
127703,81
5,9047E+168
2.311,44
11
UZ1731
125993,3056
127703,81
6,2926E+168
2.463,27
12
UD3745
122913,3903
127703,81
6,4503E+168
2.525,00
13
UD3102
145961,421
127703,81
5,4318E+168
2.126,29
14
UD 3614
48767,32807
127703,81
1,6257E+169
6.364,02
15
UO8815
133656,3191
127703,81
5,9318E+168
2.322,05
16
UD 3517
108976,441
127703,81
7,2752E+168
2.847,92
17
UO7019
67415,83108
127703,81
1,176E+169
4.603,61
18
UD2921
54329,39932
127703,81
1,4593E+169
5.712,49
19
UE1622
113660,4091
127703,81
6,9754E+168
2.730,56
20
VG3729
89843,09
127703,81
8,8246E+168
3.454,42
21
UD 3123
112865,6796
127703,81
7,0245E+168
2.749,78
22
UD2140
142616,79
127703,81
5,5592E+168
2.176,15
23
UD2908
135513,3856
127703,81
5,8506E+168
2.290,22
24
UD2780
96450,20749
127703,81
8,2201E+168
3.217,79
25
UO9818
150042,8058
127703,81
5,284E+168
2.068,45
26
UD2578
122284,9651
127703,81
6,4834E+168
2.537,97
27
UD3879
96828,54
127703,81
8,188E+168
3.205,21
28
UD0502
103618,51
127703,81
7,6514E+168
2.995,18
29
UD0878
34050,662
127703,81
2,3284E+169
9.114,54
30
UD2059
101682,699
127703,81
7,7971E+168
3.052,20
31
UQ9058
76824,30088
127703,81
1,032E+169
4.039,82
32
UA1110
122115,678
127703,81
6,4924E+168
2.541,49
33
UJ1470
95985,40089
127703,81
8,2599E+168
3.233,37
94
Ak
MONTO A PAGAR
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
34
UD 8970
81990,25434
127703,81
9,6698E+168
3.785,28
35
UD 3519
71393,50515
127703,81
1,1105E+169
4.347,12 127.703,81
RENTA
127703,81
PRODUCTO
7,9283E+173
NxProducto
1,0125E+179
Suma Ak =
3,2623E+170
k=
310356128,3
PRODUCTO = PRODUCTO (C56:C90) Este producto representa la multiplicación o producto de todos los gastos cuyo resultado sería equivalente al mínimo común múltiplo de dichas cantidades. En el ejemplo ilustrativo fue 30, es decir 2x3x5. Después, ese producto obtenido se dividirá entre cada uno de los gastos por bus (resultados en la columna Ak) y cada uno de estos resultados se multiplicarán por 1 y se sumará para obtener el valor final del numerador (en el ejemplo 31 k) . Se continúa con la lógica equivalente al ejemplo del reparto proporcional dado y, por último, se obtienen las cantidades repartidas proporcionalmente a los gastos.
2.4.2. Razón Se denomina razón a la comparación entre dos cantidades mediante las operaciones de sustracción o división. 1.
Razón aritmética. Es la comparación entre dos cantidades homogéneas mediante la sustracción. a–b=r Elementos Antecedente: a Consecuente: b Ejemplo:
2.
58m – 48m = 10m
Razón geométrica. Es la comparación entre dos cantidades homogéneas mediante la división. a k b Elementos Antecedente: a Consecuente: b
95
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Ejemplo: 40km 8h
5km / h
Serie de razones geométricas equivalentes Es llamado así al conjunto de razones geométricas que, en común, van a tener un mismo valor. a1 a2 a3 an ...... k b1 b2 b3 bn En donde se cumplen las siguientes relaciones: a)
a1 b1
a2 b2
b)
a1 x a2 x a3 x......x an b1 x b2 x b3 x......x bn
c)
a1 a1
b1 b1
a3 b3
a2 a2
..... an ..... bn
b2 b2
k kn
a3 a3
b3 b3
......
an an
bn bn
k 1 k 1
Serie de razones geométricas continuas equivalentes Es aquella en la que se cumple que el valor de la razón geométrica formada por el primer antecedente y el último consecuente. Tiene como valor a la constante de proporcionalidad elevado al número de razones que tiene la serie. Es de la forma: a1 a2 a3 an ...... k a2 a3 a4 an 1 En la que se cumple que: a1 an 1
kn
2.4.3. Proporción Dados los cuatro números ordinales a, b, c y d, si el valor de la razón entre las dos primeras es igual al valor de la razón entre las dos restantes, entonces las cuatro cantidades forman una proporción. 1.
Proporción aritmética. Llamada también equidiferencia: es decir, la equivalencia de dos razones aritméticas: NOTACIÓN: a–b=c–d Propiedad En toda proporción aritmética la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios. a+d=b+c
96
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
a) Proporción aritmética discreta. Es aquella en la que sus cuatro términos son diferentes: a–b=c–d Donde: a, b, c y d son llamadas cuartas diferenciales. b) Proporción aritmética continua. Es aquella en la que sus términos medios son iguales. a – b = b –d Donde: a y d son llamadas terceras diferenciale s
b= 2.
a d se llama media diferencial o media ar itmética 2
Proporción geométrica. Llamada también equicociente: equivalencia de dos razones geométricas: NOTACIÓN: a b
c d
Propiedad En toda proporción geométrica el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios. axd=bxc a) Proporción geométrica discreta. Es aquella en le que sus cuatro términos son diferentes a c b d Donde: a; b; c y d son llamadas cuartas proporcionales. b) Proporción geométrica continua. Es aquella en la que sus términos medios son iguales. a b b d Donde: a y d s on l l a m a da s te rc e ra s proporc i on a l e s b= a d s e l l a m a m e di a proporc i on a l
Propiedades de las proporciones a) Dada la proporción: a b
c d
k Implica
97
a c b d
a c b d
k
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
b) Dada la proporción:
a b
c d
k Implica
a b b a b a b
c
d
k 1
d c d c d
k 1 k 1
2.4.4. Magnitud y cantidad MAGNITUD Es todo aquello susceptible de ser medido. Por ejemplo: la longitud, el volumen, el área, etc. CANTIDAD Es el resultado de medir la intensidad de una magnitud. También se dice que es un estado particular de la magnitud; por ejemplo: 25m/s, 5horas, 30cm, etc. Ejemplos:
2.4.5
Magnitud
Cantidad
Longitud
75cm
Volumen
30litros
Número de días
25 días
Número de obreros
43 obreros
Cantidad de obra
700m3
Relaciones entre magnitudes
1. Magnitudes directamente proporcionales (D. P.) Se llaman así porque el cociente de sus valores correspondientes es una cantidad constante. A es D.P. a
A B
B
k
Ejemplo: La longitud de la circunferencia y su diámetro son cantidades directamente proporcionales.
98
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Magnitudes
Longitud circunferencia
Valores
de
C1 = 2 r1 d1 = 2r1
Diámetro Luego: 2.
C1 d1
C2 d2
C2 = 2 r2 d2 = 2r2
C3 = 2 r3 d3 = 2r3
C3 d3
Magnitudes inversamente proporcionales (I. P.) Se llaman inversamente proporcionales cuando el producto de sus valores correspondientes es una cantidad constante. A I.P. B
A B
K
Ejemplo: El número de obreros y el tiempo en que se realiza una obra son magnitudes inversamente proporcionales.
Magnitudes
Valores
Obreros
15
5
1
Tiempo
120hrs
360hrs
1800hrs
Luego: 15 x 120 = 5 x 360 = 1x 1800 = k
2.4.6. Propiedades de las magnitudes 1. Si una cantidad A es D. P. o I. P. con otra B, entonces B será D. P. o I. P. respectivamente, con la magnitud A. 2. Si una magnitud ―A‖ es I. P. con otra B, entonces A es D. P. a la inversa de B; es decir: A A B k k 1 B 3. Si una magnitud A es D. P. con otra B y también con C, entonces A será D. P. al producto (B C); es decir: A k B C 4. Si una magnitud A es I. P. con otra B y también con C, entonces A será inversamente proporcional al producto B C; es decir: A
(B
C) = k
99
CAPÌTULO 2 5.
ARITMÉTICA
Si una magnitud A es D. P. con B y A es I. P. con C, entonces: A es D. P. con B/C; es decir: A C k B
2.4.7. Regla de Tres Simple En la regla de tres simple intervienen tres cantidades conocidas (datos) y una cantidad desconocida (incógnita). Esta regla puede a su vez ser directa o inversa, en tanto las magnitudes sean directa o inversamente proporcionales. 1.
Regla de tres simple directa: Cuando intervienen cantidades directamente proporcionales.
2.
Regla de tres simple inversa: Cuando intervienen cantidades inversamente proporcionales.
2.4.8. Regla de Tres Compuesta Una regla de tres es compuesta cuando se le da una serie de “ n” valores correspondientes a “n” magnitudes y una segunda serie de “ n – 1” valores correspondientes a las magnitudes ya mencionadas. El objeto de la regla compuesta es determinar el valor desconocido de la segunda serie de valores. Ejemplo: Veinte obreros construyen 3 zanjas de 18 km. de Largo c/u empleando 27 días en esa labor. Determinar el tiempo que tardarán 15 obreros para construir 4 zanjas en iguales condiciones a lo largo de 36 km. Solución Una forma práctica de resolver este tipo de problemas es aplicando la “Ley de signos”, que no es más que la consecuencia práctica de magnitudes proporcionales. La ley consiste en lo siguiente: Se colocan los valores correspondientes a cada magnitud y también se ubica la variable que será calculada. En la magnitud que tiene la variable se ubica el signo positivo al dato numérico y luego se compara con cada una de las otras magnitudes. Si son magnitudes directamentes proporcionales los signos que se ubican en la magnitud comparadas es de la siguiente forma: DP
A a( ) x
B b( ) c( )
Si son magnitudes inversamente proporcionales los signos que se ubican en la magnitud comparada es de la siguiente forma:
100
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA IP
A a( ) x
B b( ) c( )
El valor de la incógnita viene dado por una fracción cuyo numerador es el producto de todas las cantidades afectadas de signo (+) y cuyo denominador es el producto de las cantidades afectadas designo (-) en todos los problemas sin excepción. Planteado nuestro problema tenemos: Obreros 20(+) 15(–)
Zanjas 3(–) 4(+)
km. 18(–) 36(+) x
Días 27(+) X
20 4 36 27 15 3 18
96 días
2.4.9. Ejercicios resueltos 1. Dos números son entre sí como 5 es a 4. Además, la suma de dichos números es 54. Calcule los valores de a y b. Solución Sean los números: a = 5k y b= 4k, entonces 9k = 54. Esto quiere decir que k=6. Por lo tanto, los números son: a= 30 y b = 24 2. La suma de tres números es 36 y están en la razón 2:3:4. Calcule los números.
Solución
Sean los números: a = 2k ; b= 3k y c= 4k, entonces 9k = 36. Esto quiere decir que k=4. Por lo tanto, los números son: a= 8 ; b = 12 y c= 16 3. Si A es I. P. con B y D. P. con C cuando A = 5, B = 4 y C = 2, halle el valor de C cuando A= 6 y B = 9. Solución A B C 5 4 2
k Reemplazando los valores dados en la expresión: 6 9 C
entonces :
C
5, 4
4. La temperatura en grados centígrados en un aula es D. P a la raíz cuadrada del número de alumnos presentes. En un determinado momento, la temperatura es de 24º cuando están presentes 36 alumnos. ¿Cuál será la temperatura cuando ingresen 28 alumnos más?
101
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Solución Sea C la temperatura en grados centígrados y N el número de alumnos: C K Por datos tenemos: C es D. P. N entonces: N 24
Si C = 24 y N = 36 entonces k
24 6
36
4
Ahora para N = 36 + 28 = 64, la temperatura será:
C 64
4
C
8 4
32o
5. Una rueda A de 90 dientes engrana con otra B de 60 dientes fija al eje de B . Hay otra rueda C de 20 dientes que engrana con otra D de 45 dientes. ¿Cuántas vueltas dará D, si A da 60 rev/min? Soución C 20 A
D 45
B 90
Si están engranado:
60
(# dientes) (#vueltas) = Cte A y B: 90
Pero:
60 = 60
VB
VB = 90 rev/min
VC = VB = 90 rev/min C y D: 20
90 = 45
VD
VD = 40 rev/min
Notas: Cuando dos ruedas engranan se cumple: (#dientes) I. P (Velocidad) Cuando dos ruedas tienen eje común se cumple que sus velocidades serán iguales 6. Cierta cantidad de leche que contiene 20% de agua cuesta s/. 40 ¿Cuánto costará la misma cantidad de leche si su contenido de agua fuera del 25%? Solución
80 75
40 x
x
75 40 80
37,5 Soles
102
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
7. Un automóvil tarda 8 horas en recorrer un trayecto yendo a 90km/h ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60km/h? Solución
1º Método: 90 60
x 8
x
90.8 60
Horas
12
2º Método: Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se multiplican los datos y se divide entre el otro dato; este cociente es el valor de la incógnita. 90 8 x 12 Horas 60 8. ¿Qué rendimiento deben tener 6 obreros que en 20 días, trabajando 9h/d han hecho 30m3 de una obra cuya dificultad es como 3 si para hacer 20 m3 de la misma obra de 5 como dificultad se emplean 8 personas de 60% de rendimiento durante 15 días de 8h/d? Solución Otra forma práctica es identificar el tipo de magnitudes que intervienen. Para nuestro problema tenemos: #Obreros 8 Supuesta Pregunta
Rendimiento 60 %
20 (I)
x%
6 (I)
Despeje: x%
# Días # h/d Volumen 8 20 15
60%
8 15 6 20
8 9
30 20
9 (I)
3 5
30 (D)
Dificultad 5 3 (D)
48 cada uno
2.4.10 Ejercicios propuestos . NIVEL 1 1.
La razón aritmética de dos números es 12. Si uno de ellos es el cuádruplo del otro, halle la suma de dichos números. a)18 b) 20 c) 24 d) 30 e) 32
2.
José y Juan tienen S/. 700 entre ambos. Lo que tiene José es a lo que tiene Juan como 4 es a 3. ¿Cuánto tiene José? a)S/. 400 b) S/. 300 c) S/. 1000 d) S/. 100 e) S/. 600
3.
Los ángulos de un triángulo son entre sí como los números 4, 7 y 9. Halle al menor de los ángulos.
103
CAPÌTULO 2 a)20° b) 24°
ARITMÉTICA c) 28°
d) 32°
e) 36°
4.
Si A y B son dos magnitudes directamente proporcionales, entonces si A=90, B=30, halle B cuando A=21. a)63 b) 7 c) 3 d) 42 e) 10,5
5.
Si A y B son dos magnitudes inversamente proporcionales, entonces si A=40, B=30, halle A cuando B=15. a)20 b) 80 c) 4 d) 40 e) 16
6.
Si ―A‖ varía a razón directa a ―B‖ e inversamente al cuadrado de ―C‖. Cuando A=10, entonces B=4 y C=14. Halle A cuando B=16 y C=7. a)180 b) 160 c) 154 d) 140 e) 120
7.
Un hombre tarda 12 días en colocar 11520 ladrillos. ¿Cuántos ladrillos podrá colocar en 17 días? a)16000 b) 15500 c) 16320 d) 18200 e) 16230
8.
Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 2 m de lado en 3 días. ¿Cuántos días se demorará en sembrar otro terreno cuadrado de 4 m de lado? a)6 b) 12 c) 18 d) 10 e) 3
9.
La razón entre dos números es 3/5. Determine la diferencia entre ellos, sabiendo que su suma es 72. a)9 b) 12 c) 16 d) 18 e) 24
10. Dos números están en la razón de 3 es a 2. Si la suma de dichos números excede a la diferencia de los mismos en 80, halle el mayor de los números. a)45 b) 60 c) 75 d) 90 e) 120 11. La razón geométrica entre la suma y la diferencia de dos números es 5/3. Si la suma del mayor con el triple del menor es 14, halle la suma de los cuadrados de los números. a)68 b) 72 c) 76 d) 80 e) 100 NIVEL 2 1.
A una fiesta asistieron 140 personas, entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas, ¿cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta? a)2/3 b) 4/5 c) 1/3 d) 3/4¾) 5/3
2.
En un salón hay 40 varones y 30 mujeres. ¿Cuántas parejas deben retirarse para que los varones que quedan sean a las mujeres que quedan como 7 es a 5? a)4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10
3.
En una serie de 3 razones geométricas equivalentes y continuas el primer antecedente es 64 veces el último consecuente. Halle el valor de la constante de proporcionalidad. a)1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
4.
La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 4, 1 y 15. ¿Cuál es el mayor de los números? a)4 b) 10 c) 14 d) 15 e) 16
5.
El gasto de una persona es D. P a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo mensual es de S/. 1200 ahorra S/. 200. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de S/. 1300? a)S/.1400 b) S/.1134 c) S/.1500 d) S/.1620 e) S/.1560
104
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
6.
Con una cierta cantidad de gasolina un camión sólo puede correr 60 km con 2 toneladas de carga. ¿Cuántos km podrá recorrer dicho camión con la misma cantidad de gasolina si lleva una carga de 10 toneladas? a)30 b) 15 c) 12 d) 32 e) 28
7.
A es D. P a a)6
8.
El cuadrado de A varía proporcionalmente al cubo de B, cuando A=3, B=4. Halle el 3 valor de B cuando A= . 3 a)1 b) 3 c) 2/3 d) 1/3 e) 4/3
9.
Una rueda de 80 dientes engrana con otra de 15 dientes, la que está montada sobre el mismo eje que una tercera rueda. ¿Cuántas vueltas dará esta última rueda cuando la primera ha dado 60 vueltas? a)300 b) 320 c) 350 d) 400 e) 480
B e I. P a C2, cuando A=10, B=25 y C=4. Halle A cuando B=64 y C=8. b) 8 c) 4 d) 12 e) 10
10. Una rueda ―A‖ de 80 dientes engrana con otra rueda B de 50 dientes. Fija el eje ―B‖, hay otra rueda C de 15 dientes que en engrana con una rueda ―D‖ de 40 dientes. Si ―A‖ da 150 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda ―D‖? a)60 b) 80 c) 90 d) 120 e) 30 11. En 15 días, 16 obreros han hecho la mitad de una obra que les fue encomendado. Si entonces se retiran 4 obreros, ¿en cuántos días terminarán lo que falta de la obra los obreros restantes? a)5 b) 45 c) 30 d) 20 e) 33 12. Se sabe que un obrero A es 30 % más eficiente que B y B se demora 46 días en hacer una obra. ¿En cuántos días harán juntos dicha obra? a)10 días b) 12 días c) 18 días d) 20 días e) 28 días NIVEL 3 1.
Dos trenes, A y B, marchan con velocidades que están en la relación ¾. A recorre 210 Km en 7 horas. ¿Cuánto recorrerá B en 5 horas y 20 minutos? 1 1 1 1 1 a) 213 b) 231 c) 213 d) 235 e) 213 7 5 3 3 3
2.
Un depósito tiene 5 conductos de desagüe de igual diámetro. Abiertos tres de ellos, se vacía el depósito en 5 horas y 20 minutos. Abiertos los cinco, ¿en cuánto tiempo se vaciará? a)3h12m b) 3h25m c) 3h20m d) 2h25m e) 1h30m
3.
5 trabajadores demoran 14 días trabajando 10 h/d en sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado. ¿Cuántos trabajadores se necesitan para sembrar otro terreno cuadrado de 40 m de lado trabajando 7 h/d durante 20 días? a)20 b) 21 c) 18 d) 24 e) 22
4.
En 8 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Si se retiran 6 obreros, ¿cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra? a)12 b) 16 c) 24 d) 32 e) 8
5.
Quince obreros pueden hacer 30 carpetas en 18 días. ¿Cuántos días demorarán 10 obreros de doble eficiencia en hacer 40 carpetas si la dificultad es la tercera parte de la anterior? a)12 b) 10 c) 15 d) 6 e) 8
105
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
6.
Una obra puede ser hecha por 8 hombres en 16 días trabajando 10 h/d. Si antes de empezar la obra, 4 de ellos aumentan su rendimiento en 50%, ¿cuántos días de 8 h/d de trabajo demoran en realizar la obra? a)3 b) 7 c) 8 d) 2 e) 16
7.
Ocho obreros pueden hacer una obra en 10 días. Inician el trabajo y al final del quinto día se retiran 2 obreros. Los restantes trabajan juntos durante x días, al final de los cuales se retiran 4 obreros más. Halle x si se sabe que los obreros que quedaron terminaron la obra y la entregaron con un atraso de 7 días. a)5 b) 8 c) 4 d) 6 e) 10
8.
Dos personas tienen concedidas pensiones en razón directa a la raíz cuadrada del número de años de servicio. El servicio de la primera excede a la segunda en 4 1 años 4
y las pensiones están en la relación de 9 a 8. ¿Cuánto tiempo ha servido la segunda? a)8 años b) 16 años c) 24 años d) 12 años e) 18 años 9.
Un muchacho da 100 pasos en un minuto, y un hombre 3 pasos en 2 segundos. El primero avanza en cada paso 70 cm, y el segundo 90 cm. ¿Cuánto tardará el hombre en hacer un recorrido de 5670 m? a)1h10m b) 1h12m c) 1h21m d) 1h20m e) n.a.
10. Para la construcción de una cerca de 84 m de longitud, 3 m de altura y 0,60 m. de espesor se hizo un presupuesto de 10 854 soles. Al ejecutar la obra, se rebajó la altura en un metro; se disminuyó el espesor en 10 cm y la longitud en 2 m. ¿Qué ahorro se obtuvo? a)4840,42 b) 4841,57 c) 5886,42 d) 4843,56 e) 4967,57
2.4.10.
Respuestas Nivel 1
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Nivel 2 B A E B B B C B D B A
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
Nivel 3 A B C B E C C E B C D D
106
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
C A A B D E C B A E
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
2.5. Porcentajes 2.5.1.
Caso de estudio: Promedio final
En una prestigiosa universidad el sistema de evaluación es el siguiente: se considera 7 evaluaciones, de las cuales 5, que denominaremos t1 , t 2 , t 3 , t 4 y t 5 tienen un peso correspondiente a 10%, 15%, 20%, 25% y 30% respectivamente. Estas integran la nota de evaluación continua (T) cuyo peso en la nota final es del 60%. Adicional a estas 5 evaluaciones, existen dos más: Examen de Medio Ciclo (EM) y Examen Final (EF) con un peso del 20% cada una en la nota final. Si el alumno Andrés saliera desaprobado, tiene el derecho a una evaluación más cuya nota sustituirá a cualquiera de las 7 notas mencionadas. Si la nota aprobatoria mínima fuera 11.5, podrías ayudar a Andrés quien está indignado y pensando cuánto tendrá que sacar en la evaluación sustitutoria para aprobar el curso a partir de las notas que presenta la siguiente tabla:
t1
t2
t3
t4
t5
12
13
12
02
12
EM 08
EF 11
Considerar lo siguiente: Para obtener la nota de evaluación continua (T) se ―redondean‖ los decimales. Para sacar la nota final se toman en cuenta 3 notas: T, EM, EF con sus respectivos pesos. En la nota final que muestra el sistema también se ―redondean‖ los decimales. Solución Veamos primero cuanto de promedio tiene: T= 0.1(t1 )+0.15(t 2 )+0.2(t 3 )+0.25(t 4 )+0.3(t 5 ) T=0.1(12)+0.15(13)+0.2(12)+0.25(2)+0.3(12) Entonces:
T= 9.6500 T =10 (redondeado)
Luego sacamos el promedio final: Promedio final = 0.2 (EM)+0.6(T)+0.2(EF) Promedio final = 0.2 (8)+0.6(10)+0.2(11) Promedio final = 9.8 Promedio final = 10 (redondeado) En el sustitutorio tendría que sacar 10, para que reemplace al t 4 y obtenga así un promedio final de 12 (―redondeado‖).
107
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
2.5.2. Regla del Tanto por Ciento Nos indica una relación entre una parte y la unidad que ha sido dividida en 100 partes iguales. Es decir:
Unidad
1 100
1 100
1 100
1 100
100 partes iguales Luego: 1 parte 2 partes 3 partes 100 partes Se observa que:
1 100 2 100 3 100 100 100
1% =
= 1% (uno por ciento) = 2% (dos por ciento) = 3 % (tres por ciento) = 100% (cien por ciento) 1 100
. 100% =
a%=
a 100
100 =1 100
2.5.3. Porcentaje de porcentaje El a% del b% de c% a b . .c% 100 100
abc % 10000
El 20% del 10% de 40% es: 20 10 . 100 100
. 40% =
8 % = 0,8% 10
2.5.4. Tanto por ciento de una cantidad El a% de x es:
a x 100
108
1 100
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
El 20% de 30 es: 20 (30) = 6 100
El 60% del 10% de 500 es =
60 10 (500) = 30 . 100 100
2.5.5. Operaciones con porcentajes a%x b%x
(a b)%x
x + a% x =
100% x + a% x = (100+a)% x 1
x – a % x = (100- a )% x
n% menos = (100 – n)% n% mas = (100 + n)%
2.5.6. Relación parte – todo Parte 100% Todo ¿Qué porcentaje de ―A‖ es ―B―?
B 100% A
Ejemplo:
En un salón de clase de 40 alumnos, el 70% son hombres y el resto mujeres. ¿Qué porcentaje de la población hombres representan las mujeres? Solución N° personas: 40 = 40
70 40 100 12
28 (hombre s) (muje re s)
Luego: 12 . 100% 28
42.86%
2.5.7. Descuentos y aumentos sucesivos AUMENTOS SUCESIVOS (A) ¿A qué aumento único equivalen los aumentos sucesivos del r1 %,r2 %,r3 %,...,rn % ? Sea A el aumento único, por fórmula se tiene:
109
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA A=
(100 rn ) (100 rn-1 ) ...(100 r2 ) (100 r1) 100n-1
100 %
Ejemplo: ¿Cuál es el aumento único equivalente a los aumentos sucesivos del 10%, 20%, 25%, y 30%? De la fórmula se obtiene: (100 10) (100 20) (100 25) (100 30) A= 100 % 1 0 03 A=
(110)(120)(125)(130) 100x100x100
100 %
A=114.5% DESCUENTOS SUCESIVOS (D) ¿A qué descuento único equivalen los descuentos sucesivos del r1 %,r2 %,r3 %,...,rn % ? Si D representa el descuento único, entonces: D= 100
(100 r1 ) (100 r2 ) ...(100 rn-1) (100 rn) 1 0 0n-1
%
Ejemplo: ¿Cuál es el descuento único equivalente a los descuentos sucesivos del 10%, 20%, 25% y 3%? De la fórmula se obtiene: (100 10) (100 20) (100 25) (100 3) A= 100 % 1 0 03 A= 100
(90)(80)(75) (97) % 100x100x100
A=47.62%
2.5.8. Venta de artículos 1)
p v : Representa el precio de venta p c :Precio de compra
G : Ganancia De esto: pv 2)
pc
G
Si hay gastos extras ( ge ) desde la compra hasta la venta.
pv
pc
G+ge
110
CAPÌTULO 2 También:
ARITMÉTICA Ganancia = I n gre s o - G a s to s n e ta
3) Si fijamos precio a un artículo de venta.
pv
pF -D
pF : Precio fijado D : Descuento
4) Se compra un artículo con un descuento.
pC
pL +D
p C : Precio de compra
pL : Precio de lista D : Descuento Ejemplo: ¿A qué precio se debe vender lo que ha costado S/. 27 200 si desea ganar el 18% del costo? Por fórmula: pv pc G y G =18% p c (dato) Luego, reemplazando los valores se tiene:
pv
pc
18%pc
118%pc
118 (27 200) 100
32 096
2.5.9. Ejercicios resueltos 1. El área de un rectángulo se disminuye en un 30% y resulta 350 cm2. ¿Cuál era el área original? Solución Sea x el área original, se reduce en 30% x , el área final será 70% x , o sea: 70 70% x =350 quedando x 350 , entonces x 500 cm2. 100 2. Después de una de sus batallas, Napoleón observó que el 5% de sus soldados habían muerto y el 20% de los que quedaron vivos estaban heridos, quedaban 608 sanos. ¿Cuántos soldados habían muerto? Solución Sea T: la cantidad total de soldados. Entonces, el número de muertos es 5%T y el número de vivos es 95%T. Del 95% de vivos el número de heridos es 20%(95%T) y el número de sanos es 80%(95%T). Por dato el número de sanos es 608, entonces 80 95 80%(95%T)=608, es decir: x T=608 de donde T=800. 100 100 El número de muertos es 5%(800)=40
111
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
3. En un salón de clases el número de varones es el 80% del total de las mujeres. Si el 75% de los varones de este salón se van de paseo con el 40% de las mujeres, ¿qué porcentaje de los hombres que se quedaron constituyen el 10% de las mujeres que no fueron de paseo? Slución N ° m u je re s = 100
Al pa s e o: 40% ( 100) = 40 N o fu e ro n : 60% ( 100) = 60
N ° h om bre s = 80% ( 100)
Al pa s e o: 75% ( 80) = 60 N o fu e ron : 25% ( 80) = 20
Sea x% de los hombres que se quedaron igual al 10% de las mujeres que no fueron de paseo. x%(20)=10%(60)
x%=30%
4. Mary compró un radio de segunda y después de hacerlo reparar lo vendió con una ganacia del 40% sobre el costo. Más tarde, después de revisar sus gastos en la reparación, se dio cuenta de que realmente había ganado sólo el 30% . Sabiendo que vendió el radio en S/. 588, ¿cuánto gastó Mary en la reparación? Solución Pv=588 G=40%Pc ………………………………………………………(I) Bn=30%Pc ……………………………………………………….(II) Pv = Pc + G 588 = Pc + 40%Pc Además:
588 = 140%Pc
Pc = 420
G = Bn + Gtos. 40%Pc = 30% Pc + Gtos. Gastos = 10% Pc = 10%(420) = S/. 42
5. El precio de un artículo se aumenta en S/. 40 y luego se vende con una ganancia del 20 % sobre el costo. ¿Qué porcentaje del precio de venta se ganó? Solución Sabemos que:
Pv = Pc + G …………………. (1)
Por dato se tiene:
G = 20% Pc = 40
Pc= S/. 200
Luego, en (1) se tiene:
Pv = 200 + 40 Pv=S/. 240 Sea la ganancia el x% del precio de venta, entonces: G=x%Pv
x%(240) = 40
x=16,6
112
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
6. Un televisor se vende con una ganancia del 40% sobre el costo. Si se hubiese hecho un descuento del 10% sobre el precio de venta, se habría ganado S/. 520. Halle el precio de costo del televisor. Solución Graficando
Pc
Ganancia
40%Pc
S/. 520 Ganancia
10%(140%Pc) Rebaja
Si se rebaja 10%, se venderá al 90% del 140%Pc, o: De la figura: 520 + 10%140%Pc = 40%pc 520 + 14%Pc = 40%Pc
26%Pc=520
Pc=2 000
7. Arturo compró una calculadora, luego la vendió con un recargo sobre el precio original del 30%. Al momento de venderla a su amiga Carmen, le hizo una rebaja del 30% y pensó que con esta rebaja volvía al precio original, sin embargo quedó perjudicado con S/. 54. ¿A qué precio la vendió? Solución
30% Pc
Pc
Recargo
Graficando Pv De la figura:
Perjuicio 30%(30%Pc)
Rebaja
Pv = 70%(130%Pc) =91%Pc,
Es decir, hay un perjuicio del 9% Pc Entonces: Perjuicio = 54 = 9%Pc
Pc=S/. 600
Por lo tanto la vendió al precio de: Pv = 91%(600) = S/. 546 8. Se va a rifar una computadora cuyo costo es de S/. 5040 nuevos soles y con este fin se imprimirán 300 boletos, de los cuales se piensa vender el 80%. ¿Cuál debe ser el valor de cada boleto si se piensa obtener una ganancia que sea igual al 30% del monto que se recaudará? Slución La cantidad de boletos que se piensa vender es: 80% (300) = 240 Sea P la cantidad recaudada por la venta de los 240 boletos, entonces según el enunciado se tiene:
113
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA P = 5040 + 30%P
70%P = 5040
P = 7200
Por lo tanto, el precio de cada boleto es: 7200 240
30
9. Si a un número se le hacen tres aumentos sucesivos del 10%, 20% y 30% luego tres descuentos sucesivos también del 10%, 20% y 30%, ¿Cómo varía el número? Solución Denote por A al aumento y por D al descuento, entonces según el enunciado se tiene 3er A
( 70%
80%
90% )( 130%
3er D
2doD
1er D
2do A
120%
1er A
110% )
86, 486%
Por lo tanto la variación es: 100% – 86,486% = 13,513% 10. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar a 300 litros de alcohol con una concentración del 40% para que esta se reduzca al 30%? Solución Supóngase que agregamos ―x‖ litros. A. Antes de agregar: Mezcla : 30 lts
Alcohol : 40%(30) = 12 lts
Agua : 60%(30) = 18 lts
Concentración: 40%
B. Después de agregar: Mezcla : (30+x) lts
Alcohol: 12 lts
Agua : (18+x) = 18 lts
Concentración: 30%
Como la nueva concentración es 30%, entonces: (alcohol) = 30% (mezcla) 12 = 30% (30 + x)
2.5.10.
Ejercicios propuestos
Nivel 1 1.
¿Cuál es el 26% de 480?
2.
Encuentra el 10,5% de 28.
3.
¿Qué porcentaje de 30 es 45?
4.
¿150 es el 25% de qué número?
5.
¿Qué porcentaje de 28 es 0,392?
114
x = 10 lts.
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
6.
Se observó que en una granja el número de patos, conejos y pavos estaba en relación con los números 4, 5 y 6. ¿Qué porcentaje del total son pavos?
7.
Se observó que en una granja el número de patos, conejos y pavos están en la relación de los números 4, 5 y 6. ¿Qué porcentaje del total son pavos?
8.
En una reunión el 40% del total de personas son hombres. Si se retira la mitad de estos. ¿Cuál es el nuevo porcentaje de hombres?
9.
El 20% menos de A es igual a 2% más de B si A + B = 546. Halle A – B.
10.
Si el 65% de ―N‖ es igual al 106% de (N - 1–3). ¿Qué porcentaje de N representa 53?
11.
En una reunión, el 70% del número de mujeres es igual al 50% del número de hombres. ¿Qué porcentaje del total son mujeres?
En 12. una granja el 30% de los animales son pollos, el 45% patos y el resto gallinas. Si se venden la mitad de los pollos, el 4/9 de los patos y el 3/5 de las gallinas, ¿qué porcentaje del nuevo total son patos. ¿Q 13. ué porcentaje del cuádruplo de la mitad del 60% de un número es el 30% del 20% de los 2/5 del número?
vel 2
Ni
1.
Si la base de un rectángulo se aumenta en 25% y el área no varía, ¿en qué porcentaje disminuye entonces la altura? a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 25
2.
La edad de A es el 30% de la de B. Si hace 5 años la diferencia de sus edades era de 14 años, determine qué porcentaje de la edad de B representará la edad de A dentro de 20 años. a) 58 b) 60 c) 62 d) 65 e) 66
3. Al inicio de 1994, una población tenía 10 000 habitantes. El consumo de agua por persona y por hora era de 10 litros. La población crece a un ritmo del 20% anual. Determine el lado de la base cuadrada de un reservorio de 6 metros de altura capaz de satisfacer la demanda diaria de la población al inicio de 1998. a)18.8 b) 20.8 c) 22.8 d) 28.8 e) 28.9 4.
En cierta universidad particular se decide rebajar las pensiones de enseñanza a los estudiantes de menores recursos económicos en un 20% y aumentar en un 30% al resto. Con esta política, el monto total de las pensiones queda rebajado en un 10%. ¿Qué porcentaje de la pensión total representa la pensión pagada por los estudiantes de menores recursos. a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 95
115
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
5. Un comerciante vende la quinta parte de su mercadería con una ganancia del 8%, luego vende otro tanto con un 13% de utilidad y el resto con un porcentaje gracias al cual se puede decir que ni ha ganado ni ha perdido. ¿Cuál fue dicho porcentaje? 6% b) 7% c) 8% d) 9% e) 10% 6. Un artefacto ha sido vendido por un comerciante en 470 soles, operación en la que ha perdido una cantidad equivalente al 11% del precio de venta más el 6% del precio de costo. ¿Cuánto le costó dicho artefacto? a) 500 b) 555 c) 559 d) 650 e) 700 7. Una persona compró 200 objetos ―A‖ y después los revendió con una ganancia del 10%. Con el importe de la venta, compró 80 objetos ―B‖ y a continuación los vendió con una ganancia del 15%. Con el importe, compró 828 objetos ―C‖ al precio de 88 la docena. ¿Cuánto le costó cada objeto ―A‖? a)24 b) 22 c) 18 d) 20 e) 25 8. Una mercancía ha sido comprada y revendida por 4 comerciantes. Los dos primeros han obtenido un beneficio del 15% cada uno y los dos últimos el 10% de pérdida cada uno. ¿Cuánto pagaron por ella los primeros si los dos últimos la vendieron en 42 849 soles? a) 40 000 b) 36 000 c) 44 440 d) 48 000 e) 49 000 9. El valor total de un artículo es S/. 36 más el 10 % . ¿Cuál es su valor total? a)32 b) 28 c) 40 d) 44 e) 46 10. En una industria se han fabricado 1000 productos, el 60% de ellos a través de la máquina ―A‖ y el resto a través de la máquina ―B‖. Si se sabe que el 5% de lo fabricado por ―A‖ es defectuoso y el 4% por ―B‖ también lo es, ¿cuántos de los 1000 productos son defectuosos? a)30 b) 36 c) 46 d) 44 e) 55 11. En la venta de un reloj gané tanto como rebajé (el 20% del costo). ¿Cuánto pensaba ganar sin rebajar si el reloj me costó 60 soles más de lo que gané? a)S/. 30 b) S/. 50 c) S/. 40 d) S/. 42 e) S/. 36 12. Una casa comercial ofrece un descuento del 20% sobre el valor real de cada uno de sus artículos. Uno de estos tiene un costo de S/. 3120. ¿Qué precio tendrá en dicha casa comercial este artículo si se desean ganar el 10%? a)S/.4 000 b) S/.4 200 c) S/.5 000 d) S/.4 850 e) S/.4 290 Nivel 3 1.
Gasté el 60% de lo que no gasté. ¿Cuánto tenía sabiendo que no gasté S/. 120 más de lo gasté? a)180 b) 240 c) 360 d) 480 e) 490
2.
Una fábrica redujo en un 20% el precio de venta de sus artículos. ¿En qué porcentajes aumentaron sus ventas, si se sabe que sus ingresos aumentaron en un 20%? a) 30% b) 60% c) 50% d) 80% e) 90%
3.
Un comerciante vende un objeto ―A‖ al mismo precio con el que se adquiere el objeto ―B‖. Si ―A‖ se vende con una ganancia del 20% del costo y ―B‖ se compra con un descuento del 20% sobre un precio establecido, ¿cuánto costó ―A‖ si el precio establecido de ―B‖ es superior en S/. 100 al precio de ―A‖? a) 180 b) 200 c) 240 d) 360 e) 270
116
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
4.
Se sabe que una tela de calidad ―x‖ se encoge después de lavada: 20% en el largo y 10% en el ancho. Después de que esto ocurre, la tela se vende a S/.50 el metro cuadrado con una ganancia del 20% sobre el costo. ¿Cuánto costó cada metro cuadrado de tela? a)16 b) 20 c) 24 d) 30 e) 35
5.
Un boxeador ha decidido retirarse cuando llegue al 90% de triunfos en su carrera. Si ha boxeado 100 veces y obtenido 85 triunfos, ¿cuál es el número mínimo de peleas ganadas adicionales necesarias para que el boxeador se pueda retirar? a)10 b) 48 c) 50 d) 40 e) 55
6.
José y Rubén invitaron un almuerzo a Cristina por su cumpleaños. José cubrió el 40% de los gastos y Rubén el resto. Al almuerzo asistieron los 3. Otro día, en agradecimiento y en recompensa a los gastos que habían realizado, Cristina les regaló un reloj valorizado en S/.300. Si José quería quedarse con el reloj, ¿cuánto dinero tenía que darle a Rubén? a)120 b) 180 c) 150 d) 240 e) 245
7.
Un comerciante compra mercadería por S/.400 y vende luego el 20% de esta con una pérdida del 10%. ¿Qué tanto por ciento debe ganar en el resto de la mercadería para recuperar lo perdido y ganar además el 30%? a) 40% b) 35% c) 30% d) 15% e) 20%
8.
Un recipiente ―A‖ contiene 250cc de alcohol al 64% y otro recipiente ―B‖ con 200 cc de alcohol al 80%. ¿Cuántos cc de agua tendríamos que agregar a cada recipiente de modo que al final haya igual cantidad de mezcla y una concentración de 40% en cada recipiente? a) 100,150 b) 150,200 c) 200,250 d) 250,300 e) 255,350
9.
Andrés compró con una rebaja del 25% un lote de artículos cuyo precio de lista era S/.3000. Luego, vendió todos los artículos de la siguiente forma: primero el 20% con una ganancia de 5 soles por artículo; en segundo lugar, el 30% con una pérdida de 2 soles por artículo; y finalmente, lo restante con una ganancia de 4 soles por artículo. Si como producto final de esta venta Andrés ganó 720 nuevos soles, ¿a qué precio compró cada artículo? a) S/. 8 b) S/. 10 c) S/. 3 d) S/. 20 e) S/. 25
10. Un carpintero se comprometió a construir 250 mesas iguales. En las 30 primeras, perdió el 20% de su importe ajustado. Por esto, estimuló a sus obreros y ganó en las mesas restantes el 40%, así que decidió después entregar una gratificación de S/. 100 a los operarios. Finalmente, obtuvo un beneficio del 32% de la cantidad estipulada ¿Cuál es el precio de cada mesa? a) S/.10 b) S/.20 c) S/.40 d) S/.50 e) S/.80
2.5.11.
Respuestas Nivel 1
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Nivel 2 124.8 2.94 150% 600 1.4% 40% 25% 66
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Nivel 3 B D D C B B A A
117
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
D E B D C D A B
CAPÌTULO 2 9. 10. 11. 12.
ARITMÉTICA 16.6% 41.6% 50% 2%
9. 10. 11. 12.
C C A E
9. 10.
A D
2.6. Interés 2.6.1.
Orígenes del interés
De igual forma que los impuestos, el interés aparece en los primeros registros de la historia humana. Su existencia se revela en Babilonia en el año 2000 a. C. En los primeros casos, el interés se pagó en forma de dinero por el uso de grano u otras mercancías tomadas en préstamo; también se pagó en forma de grano u otros bienes. Muchas prácticas de interés actuales se derivan de las primeras costumbres en el préstamo y reembolso de grano y otros cultivo La historia también revela que la idea de interés llegó a establecerse tan bien que en el año 575 d. C existió una empresa de banqueros internacionales, con oficina matriz en Babilonia. Los ingresos de la empresa derivaban de las altas tasas de interés que cobraban por el uso de su dinero para financiar un comercio internacional. En la primera historia registrada, las típicas tasas de interés anual sobre préstamos de dinero oscilaban entre 6% y el 25%, aunque en algunos casos se permitieron tasas legalmente sancionadas del 40%. El cobro de tasas de interés exorbitantes sobre préstamos se llamó usura, y la prohibición de ésta se encuentra en la Biblia (véase Éxodo 22:21-27). Durante la Edad Media se proscribió la recaudación de interés sobre préstamos con base en las escrituras. No obstante, en 1536 Juan Calvino estableció la teoría protestante de la usura y rebatió la idea de que el interés era ilegítimo. En consecuencia, la recaudación del interés volvió a ser una parte esencial y legal de hacer negocios. A la larga, la publicación de tablas de interés llegó a estar disponible para el público.
2.6.2.
El Ábaco de babilonia
Caso de estudio: Compensación por Tiempo de Servicios – CTS
La Compensación por Tiempo de Servicios (CTS) es un beneficio que tiene como propósito fundamental prever y proteger el riesgo que origina el cese de una relación laboral y la consecuente pérdida de ingresos en la vida de una persona y su familia. En la relación que se produce con motivo de la CTS participan, por regla general, tres partes: el empleador, obligado a realizar los depósitos; la entidad financiera, obligada a guardar los depósitos; y el trabajador, quien será el beneficiario.
118
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Este beneficio se devenga desde el primer mes de iniciado el vínculo laboral y se deposita semestralmente durante los primeros quince (15) días en los meses de mayo y noviembre, en la empresa depositaria elegida por el trabajador y, a elección de éste, en moneda nacional o extranjera. Las empresas depositarias pueden ser consideradas las empresas bancarias, las financieras, las cooperativas de ahorro y crédito autorizadas a captar recursos del público, las cajas rurales de ahorro y crédito y las cajas municipales de ahorro y crédito. Los depósitos de CTS, incluidos sus intereses, son intangibles e inembargables hasta el 50%, salvo por alimentos, y el trabajador sólo podrá efectuar retiros parciales de libre disponibilidad con cargo a su CTS e intereses acumulados hasta el 50% de los mismos. El resto del depósito no será retirado por el trabajador hasta su cese de labores en la empresa. ¿Cómo calcular los intereses de un depósito CTS? Considere el caso de un empleado al que le hacen su primer depósito en una caja rural con las siguientes características: Moneda del depósito: soles. Saldo el 01/11/2008: S/ 3,000 El monto de interés se abona mensualmente. Capitalización mensual; es decir, el interés se suma al capital cada fin de mes. Las tasas del depósito (tasa de interés): Tasa Efectiva Anual (TEA) están dadas por: Moneda nacional 12% TEA
Moneda extranjera 6% TEA
Se considera el cálculo de la TEA a 360 días. Comisiones y gastos: ninguna. Retiro el 01/11/2008: S/ 500 Fecha de cese: 01/03/2009 (120 días después del retiro) Se considera que el trabajador no efectuó ningún otro retiro hasta la fecha del cese. Para determinar el monto que retirará el trabajador en la fecha del cese se usará la siguientefórmula para el cálculo del interés: I
D
1
TEA
n 360
1
Donde: I : Interés. D: Depósito. n: Plazo del depósito en días. Según lo planteado en el caso se manejan los siguientes datos de referencia: - TEA=12% - Depósito intangible: S/. 1500 - Depósito disponible (50%): S/. 1500 Los intereses se calcularán por partes: 1.
- Retiro del disponible: S/. 500 - Saldo del disponible: S/. 1000 - Plazo: 120 días (Fecha del cese)
Interés del intangible:
119
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Deacuerdo a la fórmula de interés se tiene: I
1,500
1 0.12
120 360
1
I=57,75 Nuevos soles. A fin de cada mes:
Monto = saldo + interés
Como la capitalización es mensual, entonces:
Mes 1 2 3
Saldo 1500 1514,23 1528,60
Días 30 30 30
TEA 12% 12% 12%
Interés/Mes 14,23 14,37 14,50
4
1543,11
30
12%
14,64
TOTAL
57.,75
2. Interés del saldo sisponible: Aqí: D=1000 es el saldo disponible. I I
1,000
1 0.12
120 360
1
38.5 Nu e vos S ol e s .
Entonces, el interés total del saldo disponible es S/. 38.5. Mientras que el abono mensual es:
Mes 1 2 3
Saldo 1000 1009,49 1019,07
Días 30 30 30
TEA 12% 12% 12%
Interés/Mes 9,49 9,58 9,67
4
1028,74
30
12%
9,76
TOTAL
38,50
3. Cancelación: Por tanto en la fecha del cese el trabajador retirará: CAPITAL INTANGIBLE DISPONIBLE(SALDO) Sub-total TOTAL
INTERÉS 1500 57,75 1000 38,5 2500 96,25 2596
120
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Por tanto, el trabajador puede disponer de un beneficio de S/.2596 por Compensación por Tiempo de Servicios como forma de proteger al trabajador y su familia de las contingencias del cese.
2.6.3. Interés 1. Definición: Se denomina interés o rédito a la suma (ganancia) que produce un capital prestado durante cierto tiempo y según una tasa fijada (en porcentaje). 2. Elementos de la regla de interés: Ta 2.1. sa (r%): Señala que tanto por ciento del capital se obtiene como ganancia de un periodo de tiempo. Ejemplos: 5% mensual, significa que por cada mes se gana 5% del capital. 4% trimestral, significa que por cada trimestre se gana 4% del capital. 10% anual, significa que por cada año se gana 10 % del capital. Nota: 1. Cuando no se especifica el periodo de tiempo referido a una tasa de interés se asume que la tasa es anual. Ejmplo:
25% anual = 25%
2. Tasas equivalentes: En caso que el interés no esté en forma anual, se aplicarán las siguientes conversiones: % % % % %
mensual x 12 bimestral x6 trimestral x4 cuatrimestral x 3 semestral x2
= = = = =
% % % % %
anual anual anual anual anual
2.2. Tiempo (t): Periodo durante el cual el capital permanece impuesto a ciertas condiciones. Paa calcular el interés se considerará el mes y año comercial, donde: 1 1 1 1
mes comercial tiene 30 días. año comercial tienen 360 días. año común tiene 365 días. año bisiesto tiene 366 días.
2.3. Monto (M): Suma de capital e interés que genera este en un periodo determinado.
121
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA M=C+I
3. Clases de interés El interés puede ser simple o compuesto. Se llama simple, cuando los intereses son retirados, permaneciendo el capital constante durante todo el tiempo de préstamo. El interés se llama compuesto, cuando los intereses no se retiran, sino se van acumulando al capital primitivo formando nuevos capitales. Entonces, se dice que los intereses se capitalizan. 3.1. Interés simple: Es una operación que tiene por objeto calcular el interés o rédito que produce un capital prestado a una tasa y durante un tiempo determinado. El interés simple es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto el monto del interés es calculado sobre la misma base. Interés simple es también la ganancia sólo del capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo durante todo el período de transacción comercial. Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que estos son cobrados o pagados. Fórmula del interés simple El interés que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial, al tiempo que dure la inversión y a la tasa de interés:
I C r% t
I
C r t 100
―t‖ en años
I
C r t 1200
―t‖ en meses
I
C r t 36000
―t‖ en días
Donde r% es la tasa de Interés anual y t en años.
Por ejemplo, Miguel tiene 100 soles y desea depositarlos en un banco, el cual le ofrece un interés anual del 6%; es decir, al cabo de un año el banco le devuelve 100 soles más el 6% de 100 (6 soles de interés), luego le devuelve 106 soles. A Miguel le ha gustado esta operación y vuelve a realizarla con los 100 soles, ya que decide gastarse los 6 soles ganados de interés. Entonces, tras dos años se encontraría de nuevo con 106 soles. Dos años después, ha pasado de 100 soles a 112, ya que le ha
122
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
añadido 6 cada año a los 100 primeros. Si esto se hiciera durante varios años, se podría resumir en la siguiente tabla: Año Capital total
0
1
2
3
4
100
106
112
118
124
3.2. Interés compuesto Cuando el interés no se retira sino que pasa a formar parte del capital, se dice que los intereses se capitalizan. Los problemas de interés compuesto son de cálculo logarítmico, por lo que su solución es algebraica. Supongamos ahora que María realiza la misma operación que Miguel el primer año, transcurrido el cual tendrá 106 soles. María decide, al igual que su novio, volver a depositar en el banco el dinero, pero ella no deposita sólo los 100 soles, sino que añade el interés conseguido. La situación sería que el 6% en el segundo año se debe calcular sobre 106 soles, y este interés sería de: 106
6 100
6.36 soles
Al final del segundo año, María tendría 112,36 soles y, si continuásemos el proceso, calculando siempre el 6% sobre el capital obtenido el año anterior, los primeros años quedarían reflejados en la siguiente tabla: Año Capital total
0
1
100
106
2 112. 36
3 119. 10
4 126. 25
La diferencia entre los dos tipos de interés es evidente: en el primer caso, los intereses no se acumulan al capital, pero en el segundo sí lo hacen, siendo este más beneficioso para la parte que aporta el dinero. El proceso que consiste en sumar al capital inicial el interés correspondiente al tiempo que dura la inversión o el préstamo se le llama capitalización. En nuestros dos ejemplos, tras cuatro años, el proceso de capitalización ha dado dos cantidades distintas que se han obtenido mediante las llamadas leyes financieras de capitalización simple y compuesta, respectivamente. Habitualmente, el interés compuesto o la llamada ley financiera de capitalización compuesta es la que se utiliza en los préstamos. La razón es evidente: porque si el banco nos prestase 5000 soles es más beneficioso para ellos que el interés que tengamos pactado sea un interés compuesto, ya que se acumularían más intereses a lo largo del tiempo. Fórmula del interés compuesto Sea un capital invertido durante n años a una tasa de interés compuesto por cada año. Durante el primer año, el capital C produce un interés de: I1 C i
123
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
El capital final al primer año será: C1 C I1
C C i
C(1 i)
Después del segundo año, el capital C1 produce un interés:
I2 C1 i El capital final al segundo año será: C2 y así sucesivamente.
C1
C(1 i) C(i i2 )
I2
C(i i2 )
C(1 i)i
C(1 2i i2 )
C(1 i)2
Por inducción, al cabo de n años el capital inicial C invertido en la modalidad de interés compuesto se convertirá en un capital final dado por la fórmula:
C(1 i)n
Cn
La tasa de interés i se obtiene despejando en la fórmula de Cn Cn 1 C Aunque las fórmulas de interés compuesto se han deducido para una tasa de interés anual durante años, todo sigue siendo válido si los períodos de reinversión son semestres, trimestres, etc.; no es necesario convertir estos en años. n
i
Puesto que el interés generado es la diferencia entre el capital final y el inicial, se obtiene:
I
Cn
C
C(1 i)n
C
C[(1 i)n 1]
Por tanto, se dirá: Interés Compuesto (lc): Es el interés ganado por un principal C a la tasa de interés i durante n intervalos de acumulación.
IC
C (1 i)n 1
Tasas de interés compuesto: Es la tasa de interés simple a la cual se calcula el interés correspondiente a cada intervalo de acumulación. Tasa nominal (j): Es una tasa de interés simple que no puede ser aplicada directamente sino que debe ser transformada a una tasa efectiva. Las tasas nominales siempre deben ir acompañadas de su forma de capitalización. Por ejemplo, una tasa nominal anual del 20% que se capitaliza mensualmente. Tasa de interés efectiva (i): Es la tasa de interés compuesto que describe la acumulación real de los intereses de una operación financiera dada.
124
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Para calcular una tasa efectiva i se puede multiplicar o dividir una tasa nominal j por un factor m de proporcionalidad. Por ejemplo se tiene una tasa nominal del 20% que se capitaliza mensualmente, entonces la tasa efectiva mensual es de:
TEM
0,20 12
0,017
i.
Tasa de interés equivalente (ieq): Las tasas de interés efectivas pueden convertirse de un periodo a otro; es decir, se puede calcular sus tasas de interés efectivas equivalentes. En otras palabras, toda tasa de interés efectiva de un periodo de capitalización tiene su tasa de interés efectiva equivalente en otro periodo de capitalización. Para realizar esta conversión no se multiplica ni divide por ningún factor de conversión, sino que se debe aplicar:
Se relacionan (1 i)
1 ieq
H f
En las mismas unidades
Se relacionan
Donde: i =Tasa de interés efectiva. j Tasa equivalente, obtenida de ieq m la tasa nominal j. j= Tasa nominal. H=Horizonte de tiempo de la operación financiera. f =Periodo de capitalización
2.6.4. Ejercicios resueltos 1.
Calcule a cuánto asciende el interés producido por un capital de 25 000 soles invertido durante 4 años a una tasa del 6% anual. Solución Del enunciado se tiene: C= S/. 25 000 r%= 6% anual 25000 6 4 Luego: I 100
6000
El interés es de 6 000 soles. 2.
Calcule el interés simple producido por 30 000 soles durante 90 días a una tasa de interés anual de 5%. Solución Como el tiempo se indica en días, entonces el interés es: 30 000 5 90 I 375 36 000 El interés generado es de 375 soles.
125
CAPÌTULO 2 3.
ARITMÉTICA
Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro 970 soles por concepto de intereses. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2% anual. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año? Solución Despejando C de la fórmula
C 2 1 100
970
Se obtiene que C
970 0,02
48 500
El saldo medio ha sido de 48 500 soles. 4.
Un préstamo de 20 000 soles se convierte al cabo de un año en 22 400 soles. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada? Solución Los intereses han ascendido a: 22 400 20 000 2400 C r% 1 Y despejando r se obtiene: 2400 r 0,12 20000 La tasa de interés es del 12%.
5.
Un capital de S/. 300 000 invertido a una tasa de interés del 8% durante un cierto tiempo ha generado unos intereses de S/.12 000. ¿Cuánto tiempo ha estado depositado ese dinero? Solución Aplicando la fórmula, se tiene que: 12000
y despejando: t
300000 8 t 100
12 000 300 000 0,08
0,5
Por lo que el tiempo que ha estado invertido es de 0.5 años, es decir, 6 meses. 6.
Averiguar a cuánto asciende un capital de 1 200 000 soles al cabo de 5 años y a una tasa de interés compuesto anual del 8%. Solución Aplicando directamente la fórmula de Cn: C5 =1 200 000(1+0,08)5 =1 200 000 x 1,4693280 = 1 763 193,6 El capital de S/. 1 200 000 se convertirá en S/. 1 763 193,6
126
CAPÌTULO 2 7.
ARITMÉTICA
Calcule la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de S / .1500 000 para que al cabo de 4 años se haya convertido en S/. 2 360 279. Solución Se tiene:
n=4, C= 1 500 000, C4 = 2 360 279
y por consiguiente: i
4
2 360 279 1 500 000
1
4 1,5735193
1
0,1199999
La tasa de interés ha sido del 12%. 8.
El banco Falabella ofrece una tasa del interés capitalizable mensualmente de 2,65%. Si un cliente financia un crédito hipotecario de S/. 30 000 durante 5 años sin amortizaciones, determine el monto que el cliente acumula para cancelar al final de dicho periodo. Solución Como el capital es: C=S/. 30 000, la tasa de interés capitalizable mensualmente es: i%=2,65%; además en un año se capitaliza 12 veces, por tanto en 5 años se habrá capitalizado 60 veces, entonces aplicando: n
Monto Final = C(1+i) . Remplazando los datos en esta fórmula se obtiene: 60
Monto Final = 30 000(1+0,0265) Monto Final = 144 098,174
Por lo tanto, el cliente deberá cancelar al final de los 5 años la suma de: S/. 144 098,2. 9.
Determine la tasa efectiva anual, si la tasa efectiva mensual (TEM) es del 4%. Solución Aplicando la fórmula se tiene: (1 i)
1 0,04
12 1
1,601
i
1,601 1
0,601
TEA
Si para el ejercicio anterior, el capital impuesto fuese de S/. 450 con una capitalización mensual entonces el monto generado sería: C12
450 1 0,04
12 1
720, 46
Monto Final
10. El ejercicio 1 puede ser planteado de manera inversa, es decir: ¿cuál será la tasa efectiva mensual, si la tasa efectiva anual es de 60,1%?
127
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Solución Para este caso la fórmula quedaría expresada como: (1 TEM)
1 TEA
1 12
Reemplazando los datos, se tiene: (1
TEM)
1 12
1 0,601
1,03999
Despejando: TEM
0,03999
0,04
Por lo tanto: TEM=4% 11. Si se tiene una tasa efectiva anual del 20%, indique la tasa efectiva semestral. Solución Aplicando la fórmula se tiene: (1 0,02)
1
TES
2 1
TES
0,095
0,1
La TES=10% 12. Si se tiene una tasa nominal anual del 15% capitalizable trimestralmente, determine la tasa efectiva anual. Solución Como se tiene una tasa nominal se debe llevar primero a una tasa efectiva, para lo cual se debe dividir 15% entre 4 porque una año tiene 4 trimestres (periodos de capitalización) y luego transformarla a una tasa efectiva anual, es decir:
(1 TEA)
0,15 1 4
4 1
TEA
0,158
13. Determine la tasa de interés compuesto anual que es equivalente al 10.5 con capitalización semestral. Solución En este caso, se tiene que comparar dos capitalizaciones compuestas pero con periodos distintos de capitalización.
(1 i1 )
(1 i2 )2
Donde i2 =0.105, entonces:
(1 i1 ) Luego, i1
(1 0,105)2
0,221 .
Es decir la tasa anual es de 22,1%.
128
1,221 .
CAPÌTULO 2 14.
ARITMÉTICA
Si se tiene una tasa de interés del 15% compuesta anualmente, señale la tasa equivalente de capitalización cuatrimestral. Solución El interés compuesto cuatrimestral: (1 i1 ) El interés compuesto anual: (1
1 0,15) 3 .
Igualando: 1
(1 i1 )
(1 0,15) 3
Despejando, se tiene: 1
i1
Luego i1
(1 0,15) 3
1
0,048 .
Es decir, la tasa equivalente de capitalización cuatrimestral es de 4,8%.
2.6.5. Ejercicios propuestos NIVEL 1 1.
¿A cuánto asciende el interés que paga un banco si depositamos S/. 12 000 durante dos años a una tasa de interés del 16 %? a) 3 840 b) 3 842 c) 4 840 d) 5 580 e) 4 020
2.
Determine el monto que produce S/. 20 000 al 10% anual durante 3 años. a) 22 000 b) 23 000 c) 24 000 d) 25 000 e) 26 000
3.
Halle el tiempo que estuvo colocado un capital de S/. 15 200 que al 7 % produjo un interés de S/. 6 384. a) 2 años b) 3 años c) 4 años d) 5 años e) 6 años
4.
¿En qué tiempo S/. 4000, invertidos al 3% anual simple, producen S/. 1000 en intereses? a) 100 b) 300 c) 400 d) 500 e) 600
5.
Si Mario pagó $2300,75 en la fecha de vencimiento de un préstamo por 15 meses al 7,5% de interés simple, ¿de cuánto fue el préstamo? a) 2 103,54 b) 3 103,54 c) 4 103,54 d) 2 103,45 e) 3 103,4
6.
Si se necesita tomar un préstamo por 2 años de $3000, ¿cuál de las siguientes tasas de interés conviene? a) 9% computado mensualmente b) 8,5% computado semanalmente
7.
Determine el tiempo que tomaría triplicarse a $3 000 al 10% anualmente. a) 25 años b) 18 años c) 20 años d) 35 años e) 6 años
8.
¿Cuál es el interés que produce S/. 108 000 al 5% anual en 2 años 1 mes y 10 días? a) 11 400 b) 12 000 c) 14 050 d) 15 100 e) 16 280
129
CAPÌTULO 2 9.
ARITMÉTICA
¿A qué tasa de interés la suma de S/. 30 000 llegará a un monto de S/. 31 200 colocada a interés simple en 10 meses? a) 42% b) 43% c) 48% d) 49% e) 46%
10. Determine el valor futuro generado por $ 20 850 al 5% compuesto trimestralmente durante 6 años. a) 27 092 b) 28 092,27 c) 26 092,8 d) 32 054,9 e) 31 054 11. Una persona pide prestada la cantidad de $ 800. Cinco años después devuelve $ 1020. Determine la tasa de interés nominal anual que se le aplicó, si el interés es: a) Simple b) Capitalizado anualmente c) Capitalizado trimestralmente d) Compuesto mensualmente 12. Una letra de $17 000 que vence en 10 años es ofrecida por $10 000. Si el dinero está depositado al 6% efectivo anual, ¿cuál será la utilidad o pérdida que se puede producir en la compra de la letra? a) $ –507,29 b) $ 507,29 c) $ 587,29 d) $ 354,9 e) $ 31,549 13. ¿Cuánto años tardará una suma de dinero en quintuplicarse si el interés a que está invertida es el 6% nominal anual compuesto cada cuatro meses? a) 17,29 b) 25,29 c) 7,29 d) 27,09 e) 31,5 14. Un capital de $ 10 000 se acumula durante 30 años. El interés durante los primeros 10 años es del 5% efectivo. Durante los 10 años siguientes, el 6%; y los últimos 10 años ,del 7%. ¿Qué capital tendrá al finalizar el tiempo? a) 34 127,29 b) 32 425,29 c) 12 567,29 d) 270 339,4 e) 57 383,83 NIVEL 2 1.
Determine el interés que genera $ 8726 al 4,5% compuesto mensualmente durante 20 meses. a) 678 b) 578 c) 478 d) 378 e) 778
2.
¿Cuál es el capital que impuesto al 8% trimestral ha producido en 6 meses S/. 1696 menos que si el capital hubiera sido impuesto al 16% cuatrimestral durante 150 días? a)44 200 b) 41 200 c) 42 400 d) 44 400 e) 46 300
3.
Un comerciante que deberá entregar dentro de 4 años una cantidad de S/. 23 400, quiere saber de qué capital ha de disponer hoy si espera del mismo un rendimiento del 4,25% anual a interés simple. a) 20 000 b) 22 200 c) 22 400 d) 20 200 e) 21 200
4.
Halle el monto a los 4 años si $ 5000 se invierten al 7% anual capitalizable mensualmente. a) 6 612,72 b) 6 410 c) 6 640,8 d) 6 610,27 e) 6 600
5.
Una suma de S/. 39 984 se ha dividido en dos partes, la primera impuesta al 9% durante 3 años ha producido igual interés que la segunda, impuesta al 4% durante 6 años. ¿Cuáles son las partes? a) 18 816 y 21 168 b) 18 681 y 20 168 c) 18 826 y 20 168 d) 14 400 y 21186 e) 16 861 y 20 186
130
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
6.
Un prestamista da los 3/7 de su capital al 6% y el resto al 5%, y resulta un interés anual de S/. 2 500. Indique cuál es la suma impuesta al 6%. a) 1 749,2 b) 1 973,7 c) 2 187,5 d) 1 834,3 e) 1 635,1
7.
El 1 de enero del 2008 se depositó al 5% de interés compuesto anual la suma de S/ 40 000. Al final del año 2010, ¿qué cantidad se obtendrá? a) 46 350 b) 46 503 c) 46 030 d) 46 300 e) 46 305
8.
La suma de tres capitales es S/. 59 800. Colocado a interés simple durante 4 años se convierten, respectivamente en S/. 15 300, S/. 28 800 y S/. 24 960. Determine la tasa de interés y el menor de los capitales. a) 18 000 y 4% b) 20 750 y 6% c) 15 000 y 5% d) 14 000 y 6% e) 20 000 y 5%
9.
Una máquina pesada que cuesta S/. 62 500 se desvaloriza uniformemente a razón de 3 500 nuevos soles al año. Una empresa que desea comprarlo deposita S/. 36 000 al 5% de interés simple. ¿Dentro de cuánto tiempo podrá adquirir la máquina? a) 6 años b) 5 años c) 4 años d) 3 años e) 7 años
10. Determine el capital que un cliente del banco CrediBanc deposita al 4% anual capitalizable trimestralmente por medio año y que origina un monto de S/. 20 402 . a) 60 000 b) 50 000 c) 40 000 d) 30 000 e) 20 000 NIVEL 3 1.
Un prestamista entrega la suma de S/. 5 800 al 10% de interés mensual sobre el saldo deudor de cada mes. El primer y segundo mes no se amortiza nada, el tercer y el cuarto mes se amortiza una cantidad igual a C soles. ¿Cuánto debe ser C para que la deuda se cancele al cuarto mes? a) 6 045,1 b) 5 354,5 c) 4 043,7 d) 3 098,6 e) 2 341,8
2.
Un capital de S/. 20 000 estuvo impuesto cierto número de años, meses y días. Por los años se cobró 5% anual, por los meses 4% y por los días 3%. Determine la utilidad producida por dicho capital sabiendo que, si se hubiera tenido impuesto durante todo el tiempo al 5%, habría producido S/ 2540 más que si se hubiera colocado todo el tiempo al 3%. a) 6 276,6 b) 4 354,5 c) 7 043,7 d) 9 098,2 e) 8 341,4
3.
Una empresa deposita un monto de S/. 2 000 en la cuenta de CTS de un trabajador. La Ley dispone que el 50% del depósito corresponde al monto intangible y el 50% restante al monto disponible. El día del depósito el trabajador retira S/. 500. Su cese se efectúa 120 días después, tiempo en el cual el trabajador no efectúa ningún retiro. ¿Cuál es el monto que retirará en el momento de su cese? a)1 557,78 b) 1 557,72 c) 1 557,75 d) 1 557,73 e) 1 557,74
4.
Si el banco Falabella ofrece por campaña navideña lo mostrado en el siguiente anuncio: APROVECHA ESTA EXCELENTE TASA Y DALE LO MEJOR A LOS TUYOS
2
,65%
TIEM
El dinero ya es tuyo,
Sólo ven a nuestros centros financieros con tu CMR y DNI vigente y retira tu dinero al instante.
131
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
Indique: ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual?. Además, si usted recibiera un préstamo de 2 500 nuevos soles y no efectuó ninguna amortización, ¿cuál es el monto que debería cancelar al finalizar el mes de mayo? a) 35,6% y S/. 3 540.82 b) 36,87% y S/. 2 849.28 c) 32,40% y S/. 2500,64 d) 25,4% y S/. 2 889.1 e) 47,74% y S/. 4 855.74 5.
Una persona deposita cierta cantidad de dinero al 10% de interés compuesto, capitalizable anualmente, durante 4 años. Al retirar dicho monto observa que hubiera obtenido S/. 655,9 más si lo depositaba a interés simple, que le pagaban 7% trimestral en el mismo tiempo. Determine la ganancia. a) 6 045,1 b) 5 354,5 c) 4 043,7 d) 3 098,6 e) 2 341,8
6.
¿Qué es más conveniente: invertir en una empresa productora de espárrago que asegura duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros en el Banco Falabella que ofrece el 5% capitalizable trimestralmente?
7.
Un padre decide repartir el interés que produce su capital de S/. 360 000 al cabo de un año 3 meses y 21 días a una tasa del 41% anual, entre sus cuatro hijos proporcionalmente a sus edades, las cuales son los primeros 4 números primos de dos cifras. Calcule cuánto le toca al mayor de los hermanos. a) 80 030 b) 80 040 c) 80 050 d) 80 070 e) 80 060
8.
Un padre, al nacimiento de su hijo, deposita en una institución financiera la cantidad de $ 5 000. La institución le abona el 2% nominal anual compuesto trimestralmente. Cinco años más tarde, nace una niña y entonces divide el monto del depósito en dos partes: una de 3/10 para el hijo y el resto para la hija. ¿Qué cantidad tendrá cada uno cuando cumplan 21 años? a) 5 879,48 y 2 280,55 b) 80 030 y 80 040 c) 80 050 y 2 280,55 d) 5 879,48 y 80 070 e) 80 060 y 5 879,48
9.
Una compañía de seguros, al morir uno de sus asegurados y de acuerdo con un contrato, tiene que pagar a las hijas de este igual cantidad cuando lleguen a la mayoría de edad. El importe de la cantidad asegurada que debe pagar la compañía por la muerte de su asegurado es de $ 100 000. El interés que abona la empresa aseguradora el tiempo que el dinero se encuentre en su poder es del 2% nominal anual compuesto semestralmente. A la muerte del asegurado, sus hijas tiene las edades de 16 y 18 años respectivamente. Si cumplen la mayoría de edad a los 21 años, ¿qué cantidad recibirá cada una? a) 5 879,48 b) 80 031 c) 2 280,55 d) 80 170 e) 54 132,11
10. Usted compra una póliza de vida con un valor de $ 25 000 y paga por ella una prima única de $ 15 000. Si usted no se muere antes, la compañía le pagará dentro de 20 años la cantidad de $ 25 000. ¿A qué interés nominal anual compuesto semestralmente debe invertir la empresa aseguradora su capital, para realizar una utilidad de $2.000 en la póliza, si los gastos son de $500? a) 5,88% b) 8,31% c) 3,06% d) 8,01% e) 5,41%
132
CAPÌTULO 2
ARITMÉTICA
11. ¿Cuál será el monto final acumulado en una cuenta que paga el 29% anual compuesto mensualmente si usted realiza depósitos anuales de Bs. 100.000 al final de cada uno de los próximos tres años? Usted abre hoy la cuenta con la misma cantidad. a) 646 793,588 b) 646 793,106 c) 646 783,105 d) 646 873,106 e) 646 793,206
2.6.6. Respuestas Nivel 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
a) c) d) e)
Nivel 2 A E E A A B C A C B 5,5% 4,979% 4,889% 4,869% A D E
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10
Nivel 3 A C A D A B E C B E
133
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
C A C B C Esparraguerra D A E C B
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
CAPÍTULO 3
3.1. Expresiones algebraicas 3.1.1.
Caso de estudio: El Efecto ecológico del calentamiento de la Tierra
El calentamiento global es un fenómeno complejo en el que las temperaturas globales promedio del planeta se están incrementando con una tendencia positiva. Sus impactos a gran escala son difíciles de predecir con certeza. Sin embargo, cada año los científicos tienen más información sobre la forma en que el calentamiento global está afectando al planeta. Un posible efecto de este calentamiento es el derretimiento de los casquetes polares, lo que aumenta el nivel del mar produciendo inundaciones costeras en los litorales de diferentes países y el trastorno de hábitats como los arrecifes de coral y las praderas alpinas que podrían llevar a la extinción muchas especies vegetales y animales. La preocupación es tan grande que en 1992, más de 150 naciones firmaron un tratado destinado a reducir la emisión de gases que, según se afirma, agravan los efectos del calentamiento global.
http://cambioclimatologico2008.wordpress.com/2008/11/
http://educasitios2008.educ.ar/aula124/efecto-invernadero/
Una causa del calentamiento de la tierra es el llamado efecto invernadero. El smog y la contaminación en la atmósfera crean una capa en la parte superior de la atmósfera que funcionan como una campana de cristal.
134
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
El calor del sol golpea la superficie de la tierra y rebota, pero tiende a no abandonar la superficie debido a la capa de cubrimiento originada por la contaminación. Algunas fuentes de contaminación son los gases emitidos por automotores y la deforestación.
Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Observe los datos que aparecen en la tabla derecha donde se relaciona los años con la temperatura promedio del planeta. A continuación se examinan los datos y se desarrollará una gráfica para hallar algunos modelos y efectuar unas predicciones. Para hallar un modelo matemático del calentamiento terráqueo, en primer lugar se representan gráficamente los datos de temperatura y se busca un patrón.
1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Temperatura Promedio de la Tierra (en ºF) 58.91º 58.62º 59.29º 59.16º 59.25º 59.50º 59.70º 59.13º 59.52º 59.20º 59.20º 59.29º 59.58º 59.63º 59.45º 59.85º 59.74º 59.23º 59.36º 59.56º 62.30º 62.00º 62.46º
Temperatura de la Tierra 63
61 60 59 58 57
AÑOS
135
19 97
19 95
19 93
19 91
19 89
19 87
19 85
19 83
19 81
19 79
19 77
56
19 75
Temperatura (en ºF)
62
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Si se observa la gráfica anterior y se intenta determinar un modelo, se aprecia un comportamiento cíclico, pero hay una tendencia general hacia un incremento. De hecho, si se traza una recta con base a los datos, tal como se muestra en la gráfica, se observa que la recta parece tener una pendiente positiva con tendencia a incrementarse.
Temperatura de la Tierra 63
Temperatura (en ºF)
62 61 60 59 58 57
19 97
19 95
19 93
19 91
19 89
19 87
19 85
19 83
19 81
19 79
19 77
19 75
56
AÑOS
1.
Modelo lineal a. Determine un polinomio lineal de la forma P(x)=ax+b, que ajuste los datos de la temperatura de la tierra versus los años. b. Represente gráficamente el polinomio lineal. c. Utilice el polinomio para predecir la temperatura promedio de la tierra en los años 1999, 2000 y 2050. d. Utilice el polinomio para predecir cuándo la temperatura promedio de la tierra alcanzará 70º y 80º.
2.
Modelo cuadrático Considere los datos para hallar un polinomio cuadrático de la forma y=ax2+bx+c, que ajuste los datos. b. Utilice el polinomio cuadrático para predecir la temperatura promedio de la tierra en los años 1999, 2000 y 2050. c. Utilice el polinomio cuadrático para predecir cuándo la temperatura promedio de la tierra alcanzará 70º y 80º. a.
3.1.2. Definición de las expresiones algebraicas Es una combinación de constantes y variables en cantidades finitas donde sólo intervienen las seis operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación; además los exponentes no contienen variables. Ejemplos: -8x3 y2 z ; x2 - x +1;
2x
4y z
,
4x 2
136
5
3x 2 y
7 y2 x3 z 3x y 7
3
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Nota: Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se denomina expresión no algebraica o trascendente. Ejemplos: 2x , log x2 ; 1 + x + x2 + x3 + … ; sen(x) + y Es decir, las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas no son expresiones algebraicas.
3.1.3. Clasificación de las expresiones algebraicas A. Según la naturaleza de sus exponentes: Se tiene 1.1. Expresión algebraica racional(E.A.R): Es aquella que se caracteriza por tener exponentes enteros o no contener letras en su cantidad subradical. Ejemplo:
3 x 3y
1
x 5y
5
z
12 xyz
Las expresiones algebraicas racionales se subdividen en: 1.1.1. Expresión algebraica racional entera (E.A.R.E.): Es aquella expresión que se caracteriza porque sus exponentes son enteros positivos o no tiene letras en su denominador. A este tipo de expresiones se denominada
polinomios. Ejemplo:
3 x 3y 2
x 5 y 3z
x 7 y 2z 9
1.1.2. Expresión algebraica racional fraccionaria (E.A.R.F.): Es aquella expresión que se caracteriza porque sus exponentes enteros son negativos o tiene letras en su denominador. Ejemplo: x
3
y2
y3 xz
3
x 7 y 2z 9
1.2. Expresión algebraica irracional (E.A.I.): Es aquella que se caracteriza porque tiene exponentes fraccionarios. Ejemplo:
1
x 3 y 2 ; x 3 y 3z ; x 7
3
y 2z 7
B. Según el número de términos: a. Para las EARF o EAI se indica el número de términos, por ejemplo:
x 3y 2 x
3 2
y
EAI de un término y3 xz
3
2 y
EARF de tres términos
137
CAPÌTULO 3 b.
ÁLGEBRA
Las EARE se subdividen en: Monomio
Un término
Binomio
Dos términos
Trinomio
Tres términos Polinomio
3.1.4. Término algebraico Es una expresión algebraica que no está separada por los signos ni de adición ni de sustracción. Ejemplos: 3abc, –4x 2 y 3 z PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO Todo término algebraico tiene como partes bien diferenciadas el coeficiente y la parte de las variables, también denominada parte literal. Ejemplo: Exponentes Signo
5 x 7y
2
Coeficiente Parte Literal
3.1.5. Grado de una expresión algebraica El grado es una característica de las expresiones algebraicas racionales enteras, que viene dado por el exponente de sus variables, debe debe ser un número entero positivo. El grado puede ser relativo (respecto a una sola variable) o absoluto (respecto a todas las variables) CASOS: A) MONOMIO Es la mínima expresión algebraica racional entera que tiene un solo término algebraico. Grado de un monomio
138
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Grado relativo (G.R.): Está dado por el exponente de la variable referida en dicho monomio. Ejemplo: Dado el monomio M(x, El grado relativo de x: El grado relativo de y: El grado relativo de z:
y, z)= –4x 2 y 3 z, se tiene G.R.(x)= 2 G.R.(y)= 3 G.R.(z)= 1
Grado absoluto (G.A.): Está dado por la suma de los exponentes de todas las variables. Ejemplo: El grado absoluto:
M(x, y, z)=–4x 2 y 3 z G.A.= 2 + 3 + 1 = 6
B) POLINOMIO Es una expresión algebraica racional entera. Ejemplo: P(x, y, z)
5x 3 y 2
3 y 5z 6
2x y z
Grado de un polinomio Grado relativo (G.R.): Está dado por el mayor exponente de la variable en referencia en todos los términos del polinomio. Ejemplo: P(x, y, z)
5x 3 y 2
3 y 5z 6
Término
5x 3 y 2
G.R.(x) G.R.(y) G.R.(z)
3 2 0
2x y z
3 y 5z 6
0 5 6
2x y z
1 1 1
Mayor Exp. 3 5 6
Luego: G.R.(x)=3, G.R.(y)=5 y G.R.(z)=6. Grado absoluto (G.A.): Está dado por el mayor grado absoluto de todos sus términos. Ejemplo: P(x, y, z)
5x 3 y 2 GA 5
Por tanto, el grado absoluto:
3 y 5z 6
2xyz
GA 11
GA 3
G.A.=5+6 = 11
3.1.6. Semejanza de monomios Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Ejemplo:
3abc y 5abc, 4x 2 y 3 z y 10x 2 y 3 z
139
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.1.7. Operaciones con expresiones algebraicas A. Adición y sustracción La adición y sustracción de varios monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la suma o diferencia de coeficientes. Ejemplo:
7 x + 4 x = (7 + 4) x = 11 x 5 x y2 − 3 x y2 = (5 − 3) x y2 = 2 x y2
Nota: 1. Dos o más monomios no semejantes no se pueden sumar ni restar. Por ejemplo, los monomios 3x2z y 7yx2 no se pueden sumar ni restar. Por tanto: La suma será: 3 x2 z + 7 y x2 La diferencia será: 3 x2 z − 7 y x2 2. La suma o diferencia de varios monomios no semejantes es un polinomio formado por dichos monomios. Algunos ejemplos de sumas y diferencias de monomios son: 8xy 2 + 2xy 2 = 10xy 2 8x 4 − 3x 4 + 5x 4 = 10x 4 7x − 3x + 4x 2 = 4x + 4x 2 6x 2 z − 3zx 2 + xy = 3x 2 z + xy B. Multiplicación de expresiones algebraicas racionales enteras B.1. Multiplicación de monomios El producto de monomios es otro monomio que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes y, como parte literal, la expresión que resulta de realizar todas las multiplicaciones de potencias de igual base. Ejemplos:
(3xz)(4x2z) ( 5x2y3 )(6xy2 )(2x3 )
(3)(4)(xx2 )(zz) 12x3z2 ( 5)(6)(2)(x2xx3 )(y3y2 )
60x 6y5
B.2. Multiplicación de un polinomio por un monomio Partiendo del polinomio: P(x) M(x)
3x
2
5x 5
7x 4
5x 3
se tiene la siguiente multiplicación:
P(x) .M(x)
(5x 5
7x 4
P(x) .M(x)
15x 7
21x 6
5x 3
3x 2
15x 5
8x
9x 4
4) (3x 2 ) 24 x 3
B.3. Multiplicación de dos polinomios
140
12x 2
3x 2
8x
4 y del monomio:
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Dados dos polinomios P(x) y Q(x) de grados n y m respectivamente, se tiene que el grado del polinomio producto P(x) Q(x) es n + m. Ejemplo: P(x) Q(x)
2x 3 3x 2
P(x) Q(x)
5x 2 x
6x
3
4
6x 5
13x 4
31x 3
23x 2
27x
12
B.4. División algebraica Es la operación que consiste en obtener una expresión llamada cociente y otro residuo de dos expresiones dadas llamadas dividendo y divisor Divisor
Dividendo
D(x) d(x) r(x) q(x) Cociente
Residuo
Propiedades 1. En toda división, el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor. 2. En toda división entera, el grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor. 3. En toda división, el grado del divisor es mayor que el grado del resto. 4. En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor disminuido en, uno. 5. En el caso de polinomios homogéneos, el grado del resto es mayor que el grado del divisor. 6. En el caso de polinomios homogéneos no se cumple la propiedad número 4. Casos de división a) DIVISIÓN DE MONOMIOS Para dividir dos monomios se divide los coeficientes y la parte literal y se tiene en cuenta la división de potencias de bases iguales. Ejemplos: 1.
24x 4 y 2 z 3 8xy
24 x 4 y 2 3 . . .z 8 x y
3x 4 1 .y 2 1 .z 3
141
0
3x 3 y z 3
CAPÌTULO 3 2.
3.
ÁLGEBRA
15x 3 y 4 z 2
3x y 2 z
2 2
5x y z 21x 2 y 5
7x
1
y4
7y 4
(no es monomio, dado que una de las variables tiene x 3x 3 y un exponente negativo, lo que produce una EARF). b)
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO
En general, la división de un polinomio entre un monomio será posible cuando todos los términos del polinomio sean divisibles por el monomio. Ejemplos: 12x 2 yz
8xy 2
2xy
5x 2
2x
12x 2 yz
8xy 2
2xy
2xy
6xz
Si se puede realizar la división.
4y
No se puede realizar la división, ya que el segundo término y el tercer término del numerador no se pueden dividir entre xy.
1
xy c) DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Para dividir dos polinomios se puede utilizar los siguientes métodos Método Normal, Tradicional o Clásico: Para dividir por este método se debe de seguir los siguientes pasos: a) Los polinomios deben estar completos y ordenados, generalmente en forma decreciente. Si se da el caso que uno de los polinomios no está completo, se completa con ceros. b) Se escribe en línea horizontal uno a continuación del otro utilizando el signo de la división aritmética. c) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer término del cociente. d) Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan a restar con los correspondientes términos del dividendo. e) Se baja el siguiente término (o términos según corresponda) y se repite el paso anterior hasta obtener en el residuo un polinomio de grado menor al grado del divisor. Ejemplo: Dividir P(x)
3x 4
2x 3
4x 2
2x
3 entre Q(x)
142
x2
2x
1
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Solución Aplicando los pasos antes mencionados se tiene:
÷ 3x 4
2x 3
4x 2
3x 4
6x3
3x2
4x 3 4x3
7x 2 8x2
2x
3
x2 2x 1 3x 2 4x 15
2x 4x
15x 2 6x 3 15x2 30x 15 36x 12 Donde: r(x) = 36x
12 (Resto) y q(x) = 3x 2
4x
15 (cociente)
Método de Horner Este método se aplica para polinomios de cualquier grado, pero generalmente cuando el grado del divisor es dos o mayor a dos. Este método trabaja con los coeficientes de los polinomios dados. Para dividir por este método se debe de seguir los siguientes pasos: a) Los polinomios deben estar completos y ordenados en forma decreciente. b) Se escriben los coeficientes con su propio signo en una fila. c) Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos, con su propio signo; y los restantes, con signos cambiados. d) El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor y se obtiene así el primer término del cociente. e) Se multiplica este término del cociente sólo con los términos del divisor a los cuales se cambió el signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila y corriendo un lugar hacia la derecha. f) Se suma los coeficientes de la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para luego dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener así el segundo término del cociente. g) Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se les cambió el signo, colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha. h) Se continúa este procedimiento hasta obtener el término debajo del último término del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y el resto. i) Para obtener los coeficientes del resto se observa el grado del divisor y se cuenta los coeficientes de derecha a izquierda, según indique el grado.
143
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA ESQUEMA GENERAL NºColum.= Grado-Divisor
Primer coeficiente
Coeficientes del dividendo
Coeficientes del divisor con signo cambiado Coeficientes del cociente
Coeficientes del resto
LINEA DIVISORA Ejemplo: Dividir: P(x)
15x 7
6x 6
25x 5
9x 4
7x 2
3x 4
4 entre Q(x)
5x 2
2x
1
Solución Siguiendo los pasos indicados anteriormente se tiene:
3 15 0 5 2 1 5
6 6 0
2
0 25 25 0
0
9 9 10 10 0 3
coeficientes del cociente
q(x) = 5x3 + 2x2 – 3
0 5 4 0 0 1
7
0
4
2 0 15
0 6
3
6
6
1
coeficientes del resto
r(x) = x3 – 6x2 + 6x +1
Método de Paolo Ruffini Se utiliza para dividir polinomios cuyo divisor es un binomio de primer grado de la forma: (ax+ b) También podría ser cualquier otro divisor que pueda ser llevado o transformado en la forma antes mencionada.
144
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Pasos a seguir: 1. El polinomio dividendo debe ser completo y ordenado, generalmente en forma decreciente. 2. Se escribe los coeficientes del dividendo en línea horizontal. 3. Se iguala a cero el divisor y se despeja la variable x. Es decir: x
b a
;a
0
4. El número obtenido en el paso 3 se ubica a la izquierda. 5. El primer coeficiente del dividendo es el primer coeficiente del cociente. Este número se multiplica con el número obtenido en el paso 3 y se ubica en la segunda fila, debajo del segundo coeficiente del dividendo. 6. Se suma la segunda columna y el resultado se multiplica con el número obtenido en el paso 3, y se ubica debajo del tercer coeficiente del dividendo y así, sucesivamente, hasta llegar al término independiente del dividendo. 7. El resto de la división se obtiene al sumar la última columna. ESQUEMA GENERAL
Coeficientes de dividendo b a
Coeficientes del cociente
Resto
LINEA DIVISORA
Ejemplo 1 Dividir 5x4 - 20x2 -x + 3 entre x + 2 Solución Ordenando y completando el polinomio dividendo se tiene: 5x4 + 0x3 - 20x2 – x + 3 entre x + 2 Igualando el divisor a cero se tiene: x + 2 = 0 entonces: x = - 2.
145
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Siguiendo los pasos indicados se tiene:
0
–20
–1
3
– –10
20
0
2
–10
0
–1
5
5 –2 5
Coeficientes del cociente
Resto
Finalmente se obtiene: Q = 5x3 – 10x2 - 1
y
R = 5
Observación: Si el divisor es de la forma (ax + b) con a 1, entonces después de dividir por el Método de Ruffini a los coeficientes del cociente se debe de dividir entre ―a‖ para obtener el cociente correcto.
Ejemplo 2 Dividir 8x4 +2x3 +3x2 –13x + 8 entre 4x –1 Solución Los polinomios están ordenados y completos con respecto a la variable x, entonces se iguala el divisor a cero obteniendo x = ¼. Así aplicando el Método de Ruffini para dividir se tiene: 8
2
3
–13
2
1
1
–3
8
4
4
–12
5
2
1
1
–3
1 4
8
4 Resto
Coeficientes verdaderos del cociente
Finalmente se obtiene: Q = 2x2 + x2 +x -3
y
R=5
146
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Observación: Si el divisor es de la forma (axn + b ), para proceder a dividir por el Método de Ruffini todos los exponentes de la variable en el dividendo deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor. Luego de verificar esto, se procede como en los ejemplos anteriores.
Ejemplo 3 Dividir 3x8 – 28x4 – 5x2 + 4 entre x2 + 3 Solución Los exponentes del polinomio dividendo 8, 4, 2 y 0 son múltiplos de 2, entonces es posible aplicar el Método de Ruffini, para lo que se descompone el polinomio y se completa en la forma siguiente: 3x8 – 28x4 – 5x2 + 4 =3(x2)4 +0(x2)3– 28(x2)2– 5(x2)+ 4 Aplicando el Método de Ruffini:
x2 +3= 0
3
x2 = -3
0
-28
-5
4
-9
27
3
6
-2
10
3 -9
-1
El grado del cociente es: 8 – 2 = 6, los exponentes de la variable en el cociente disminuyen de dos en dos. Finalmente se obtiene: Q = 3x6 – 9x4 – x2 – 2
y
R = 10
3.1.8. Teorema del Resto El Teorema del Resto se aplica para determinar el resto sin necesidad de efectuar la división. El resto R de la división de un polinomio P(x) por un binomio de forma (x + a) es el valor numérico del dividendo al sustituir "x" por el opuesto de "a" (es decir, x=−a). Ejemplo: Halle el resto que se obtiene al dividir P(x)
3x 3
5x 2
3x
20 entre Q(x)=x– 2.
Solución Del denominador se tiene x=2, entonces el resto es el valor numérico. P(2)= 3 (2)3 – 5(2)2 +3(2) – 20 = 3 (8) – 5 (4) + 3 (2) – 20 = – 10
147
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Por lo tanto, el residuo es: –10. Nota: Para las operaciones con expresiones algebraicas es necesario tener presente la Teoría de Exponentes.
3.1.9. Ejercicios resueltos 1.
Cuál debe de ser el valor de ―m‖ para que el polinomio P(x) = x3 + m(a–1)x2 + a2(mx + a – 1) sea divisible por (x + a); a 0. Solución Por el teorema del resto se tiene: P(–a) = (–a)3 + m(a–1)(–a)2 + a2(m(–a) + a –1) = 0 –a3 +a3m – a2m – a3m + a3 – a2 = 0
2.
Si se tiene el Método de Ruffini:
4 . 6
.
m=–1
.
8
-4 . -15 .
.
.
.
. 16
Entonces, la suma de coeficientes del cociente es: Solución Completando el cuadro se tiene: Primer caso 4 . 6 –1
-4 . -15 4 .
Segundo caso
.
4 –5 6 –1
.
-4
.
7
8 . 16
8
9 –15 8
4 –9 15 –8 16 Por lo tanto, la suma de los coeficientes del cociente es: 4 – 9 + 15 – 8 = 2
148
CAPÌTULO 3 3.
ÁLGEBRA
Completar el siguiente esquema de Horner 1 a 3 -20 p
-7
3
1
f
b 4
c d
7 -4
5
e
-16 10
y dar el valor de la expresión: M = a + b + c + d + e + f: Solución Completando el cuadro: 1 7 3 -20 –1
-7 21
3
4
1
f
–12 –5 15
7 -4
5
p=–1; c=–12; e = 15; f = –5
-16 10
Por lo tanto: 4.
a=7; b = 21; d = –5; f+15 = 10
1 7 3 -20 1 f –1 -7 21 3 4 –12 –5 15 7 -4 5 -16 10
M = a + b + c + d + e + f = 21
Halle el resto de la siguiente división: x(x
2)2
4)(x
x2
4x 1
Solución Multiplicando y desarrollando el binomio al cuadrado en el numerador se tiene: (x 2
4x)(x 2 x
2
4x
4)
4x 1
Ahora, aplicando el teorema del resto se tiene: x2 – 4x +1 = 0
x2 – 4x = –1
Luego, reemplazando este valor en el numerador se tiene el resto de la división: R = (x2 – 4x)(x2 – 4x + 4) = (–1) (–1 + 4) = –3 5.
Halle un polinomio de segundo grado cuyo coeficiente de ―x‖ y término independiente son iguales. Si P (1 ) = 7 y P( 2 ) = 18. Dar como respuesta el coeficiente de x2. Solución Sea el polinomio de segundo grado: P(x) = ax2 + bx +b Entonces se cumple:
149
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
P(1) = 7
7 = a +b + b
P(2) = 18
18 = 4a + 2b +b
7 = a + 2b
…. (1)
18 = 4a + 3b
…. (2)
Multiplicando por –3 a la ecuación (1) y por 2 a la ecuación (2) se tiene: 3a 6b 8a 6b
21 36
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se obtiene: a=3yb=2 Por lo tanto, el coeficiente de x2 es 3. 6.
Sean los polinomios P (x) y Q (x) tal que: P (x+3)=3x –5 y P(Q(x)) = 6x+4 . Calcule: P (-1) + Q (1) Solución Haciendo el cambio de variable y = x+3 entonces x = y –3. Entonces, el polinomio P(x+3) es: P(y) = 3(y–3) – 5 = 3y –14 Por otro lado, P(Q(x)) = 6x + 4
3Q(x)– 14 = 6x +4
Q(x) = 2x + 6
Por lo tanto: P(–1) + Q(1) = 3(–1) –14 + 2(1) + 6 = –9 7.
Halle el grado de los polinomios P (x ) y Q ( x ) sabiendo que el grado de
P3 (x).Q(x) es 17 y el grado de
P2 (x).Q3 (x) , es 23.
Solución Considerando que: Grado(P(x)) = m y Grado(Q(x)) = n Entonces: Grado( P3 (x).Q(x) ) = 3m + n = 17
(1)
Grado( P2 (x).Q3 (x) ) = 2m + 3n = 23
(2)
Multiplicando por –3 a la ecuación (1) y luego sumando con la ecuación (2) se tiene: m=4 Luego reemplazando el valor de m en la ecuación (1) se tiene: n=5 Por lo tanto, los grados son 4 y 5. 8.
¿Cuánto se debe aumentar al coeficiente de ―x‖ en: P(x) = 3x4 – 2 + x – x3 para que al dividir P(x) entre (x + 1) el residuo sea 16?
150
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Solución Ordenando el polinomio se tiene: P(x) = 3x4– x3+ x– 2 Sea el nuevo polinomio P(x) = 3x4– x3+(1+a) x– 2, tal que deja por residuo 16 cuando se divide por (x+1). Entonces, aplicando el teorema del resto se tiene: 16 = 3(–1)4 – (–1)3 + (1+a)(–1) –2 16 = 3+1 –1 – a –2 a= –15 Por lo tanto, se debe aumentar al coeficiente –15 al coeficiente de x. 9.
Si un polinomio completo de segundo grado se divide entre (x – 1), se obtiene un resto de 7; si se divide entre (x + 2), da un resto de 28; y si se divide entre (x – 3) da un resto de 23. ¿Cuál será el resto si se divide entre (x + 1)? Solución Sea el polinomio completo de segundo grado: P(x) = ax2 + bx c
Entonces: P(x) entre (x–1)
P(1) = 7
a+b+c
P(x) entre (x+2)
P(–2) = 28
4a – 2b + c = 28
---- (2)
P(x) entre (x–3)
P(3) = 23
9a + 3b + c = 23
---- (3)
(2) – (1):
a–b=7
------- (4)
(3) – (1):
4a + b = 8
------- (5)
(4) + (5):
5a = 15
a=3
Reemplazando el valor de a en la ecuación (4) se tiene: b = –4 Reemplazando el valor de a y b en la ecuación (1) se tiene: c=8 Entonces el polinomio es: P(x) = 3x2 – 4x + 8 Por lo tanto: P(–1) = 3(–1)2 – 4(–1) + 8 = 15.
151
=7
---- (1)
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.1.10. Ejercicios propuestos Nivel 1 1.
Clasifique las siguientes expresiones algebraicas: 5 x2 a) f) 2(x 3x b) x 3 c)
2x
3
y
z3
2
3y
e) 17x 5 y
1
x 2y
61xy 4
7
x2
79
h)
3
i)
xx
j) x e
5 xy
3
(3x)
1
x
4 y
x
x6 y3
y3
179 y
4 1 4
1
3
5
Indique si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. 1 1 a) 2x 3x 2 c) 2x 3x 2 2 x b) 3x 2(x
3.
5
1
1 2
g) 2x
2xy
d) 4x
2.
x
1 2
x2
5x y z 2
3)
4)2
d) (3x
4)x
2 3
4
Determine el grado y coeficiente principal de los siguientes polinomios. Ordénelos según las potencias decrecientes. a) 4x 3 1 3x 2 b)
x5 2
c)
x6
d)
2x
3x 3
(x
4)
2x 2 3 (4 x
3
x 3)
2
2
3
4.
Dados los polinomios: P(x) 4x x 2 ; Q(x) x x 1 y R(x) a) P(x) + Q(x) b) P(x) + R(x) c) Q(x)R(x) P(x) Q(x) d) P(x)Q(x) e) f) R (x) R (x)
5.
Dados
S(x) a) 6.
los
siguientes
polinomios:
P(x)
x2 1 ;
Q(x)
2x 1 , halle:
x 1;
R(x)
(x 1)2 , halle:
P(x) Q(x)
b) P(x) +
R (x) S(x)
c)
Calcule el valor numérico de P(x) =
P(x)
d)
R (x) x 2
3x
P(x) -Q(x) R(x) + S(x) 4x 2
5x 3
Q 2 (x)-R(x)
e) 2x 3
P(x) 4
5 4
siguientes valores: a) x = 1 7.
(x 1)2 ;
b) x = -1
c) x =
Halle el cociente C(x) y el residuo R dividiendo a) P(x)
x3 2x2 1 x ; Q(x)
x 1
152
2
3 P(x)
Q(x)
d) x = -3 .
para los
CAPÌTULO 3
8.
9.
ÁLGEBRA
b) P(x)
x4 2
c) P(x)
x 4 10x3
d) P(x)
3x6
e) P(x)
20x 4
x 2 1; Q(x)
x
2
6x2 5x 5; Q(x)
2x5 15x 4
x3 6x2
7x3 3x2
2x 1
6x 7; Q(x)
8x 2; Q(x)
3x 2
4x 1
Señale si P(x) es divisible por Q(x). a) P(x)
2x2
b) P(x)
x4
x 1; Q(x)
a2x2
x 1
x a; Q(x)
x a
c) P(x)
2x2
d) P(x)
x4
x 1; Q(x)
a2x2
x 2
x a; Q(x)
x a
Calcule k para que: a) P(x) b) P(x) c) P(x) d) P(x)
x8 kx 4 1 sea divisible por Q(x) 2
( kx 4) sea divisible por Q(x) x
4
x
4
3x
x 1
x k
3
kx 1 sea divisible por Q(x)
2
1 sea divisible por Q(x)
2x
x
2
x k
Nivel 2 1.
Halle el resto en: a) –1
2.
Indique el resto en:
x
x4
m 1 c) 1
x2
x
x
2
1
c) 1
b) 91
m
d) 2
2x 3
c) 92
e) –2
2 d) 2
e) –2
6x 40 - 3 x 30
7x 20 - 6 x 10
x
10
d) 93
5
-2 e) 94
Divida por el Método de Horner y dé como respuesta la suma de los coeficientes del polinomio cociente.
20x5 17x 4 2x3 11x2 2x 2 entre Q(x) b) 10 c) 9 d) 11
4x2
x 1 e) 5
Divida por el Método de Horner y dé como respuesta el término independiente del polinomio cociente.
P(x) 18x6 12x5 15x 4 a) 3 b) 0 6.
mx
Cuál es el residuo que resulta de dividir
P(x) a) 6 5.
m 2x 2
b) 0
a) 90 4.
2x 3
b) 0
a) –1 3.
x4
6x3 15x2 c) 9
8x 4 entre Q(x) 3x2 d) 1 e) 4
2x 1 .
Divida por el Método de Horner y dé como respuesta la suma de los coeficientes del polinomio residuo. P(x) = 2x 5 a) 2
4x 6x 7 b) 1
x2
2 6x 4 c) 4
x 6 entre Q(x) d) 3
153
x3 2x 1 3x 4 . e) 6
CAPÌTULO 3 7.
ÁLGEBRA
Determine k sabiendo que el resto de la división entre P(x) y Q(x) es 30.
P(x) a) –
3x3 kx2
25 2
b)
x 2 , Q(x) 25 2
x
2.
c) 14
d) 25
e) 0
8.
Determine a y b sabiendo que el polinomio (6x2 ax b) dividido por (3x 2) da cociente ( 2x 1) y con resto 0. a) 7; 2 b) –7 ; 2 c) –7; 4 d) 2; 5 e) 5; 6
9.
Determine h en ( 3 2x2 a) 17 b) 12
hx ) , de tal modo que al dividirlo por ( x 5 ) de resto 142. c) 14 d) 19 e) 15
10. Sean P(x) 2x 4 hx 2 y Q(x) x 1 , calcule h para que P(x) sea divisible por Q(x). a) –7 b) –4 c) –1 d) 1 e) 5 11. ¿Para qué valores de a la división de ( x2 a) 5 b) 4 c) 1
3x 2a) por ( x 2 ) da resto 4? d) 2 e) 3
Nivel 3 1.
Halle los valores de a y b, tal que: ( x 4 ( x 1) . a) –1 y –2 b) –1 y 4 c) 1 y 2 x5
x4
7x 3
x3
x2
ax b) sea divisible por ( x 1) y
d) –1 y 2 x2
e) 3 y 5
kx
2.
Dada la expresión: S(x) =
3.
Obtenga las raíces restantes y factorice el polinomio:
2
x 1 Halle aplicando sucesivamente el Método de Ruffini para el valor de k de modo que la división sea exacta. a) 6 b) 1 c) 2 d) 5 e) 7
P(x) x5 3x 4 x3 11x2 12x 4 , sabiendo que 2 y –2 son raíces. a) 1;–1;0 b) 1;1;1 c) 0;0;1 d) 1;3;5 e) n.a. 4.
Si GR(x) = a, GR(y) = b; calcule el GA de: x a 1y b 4 M(x , y) = x 4 b y 7 3a a) 3 b) 2 c) 4 d) 6
e) 5
5.
Halle el valor de n, para que el grado de (2xn 2 y)3 sea 18. a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6
6.
Sea el monomio P(x, y,z) 24xmynzp , calcule su grado absoluto si se sabe que: GA GR(x) 32 ; GA GR(y) 28 ; GA GR(z) 38 . a) 73 b) 70 c) 40 d) 45 e) 49
7.
Halle P(x) si es un polinomio de segundo grado, tal que: P(x) P(x 1) a) x 2
x
b)
x2
x
c) x 2
x
d) x
154
e) x 2 1
2x ; P(0)=0
CAPÌTULO 3 8.
Determine un polinomio de segundo grado cuyo coeficiente principal sea la unidad, tal que: P(x 1) P(x 1) 4x 4 ; P(0)=3. a) x 2 d)
9.
ÁLGEBRA
x
2x 2
3
2x
b) x 2
2x
3
2
2x
3
e) x
3
a) 3
1) ( x 2
(x
Calcule el resto de dividir:
c) x 2
1) ( x 4 + 1 ) ( x 8 x
b) x–1
2
b) 209
c) 0
x2
3
1)
x 1 d) 1
c) 4
10. Calcule el residuo de la siguiente división: (x 2)(x 4)(x 6)(x a) 219
2x
e) 5 8) 12
2x 15 d) –209
x 4 ax 3 bx 2 11. Si el polinomio P(x) = (x 1)(x 1)(x 2) , calcule el valor de (a+b+c)3. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
e) –219
cx
1
es
divisible
e) 4
3.1.11 Respuestas . 1.
a) E.A.R.F. e) E.A.R.E i) Trascendente
b) E.A.I f) E.A.R.E j) Trascendente
c) E.A.R.F. g) E.A.I
d) E.A.I. h) E.A.R.F.
2.
a) Si
b) Si
c) No
d) No
3.
a) 3; 4
b) 6; 1
c) 3; 3
d) 3;
4.
a) x
3
4x 2 1 2 x 1 b) 4x c) 2x 4 d) 4 x
5
x3 x
2x 2
4
6x
e) Cociente: 2x f) Cociente:
x
2
2
3x
3
5x
1 2 x
2
,
4
1 3x
2
Residuo:
5 8
, Residuo:
5 2
3 8
5. a) x–1 b) c) d) e)
x(x
1)(x 2 +3x+4) (x+1) 2
2
1 x 1 (x 1)(x-2)
2(x 2 +1) 4x (x
1)(x-1)
155
1 2
por
CAPÌTULO 3 6.
a) b) c) d)
7.
ÁLGEBRA
35 12 145
12 245
972 503 4
2 a) C(x)= x
b) C(x) =
x
3
2
c) C(x) = 2x 3 d) C(x) = x 5 e) C(x) = 5x 3 8. 9.
a) Si
x;
R= –2
x2 4x 2
5x 3
6;
R = 11
x
3;
R= –2
3x 2
3x 2
b) Si
a) 2
3x
2;
R= 3
2
R= 0
c) No b)
d) No c)
2
39
d)
2
Nivel 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1
Nivel 3 A C D A E D A B D B E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
156
A A B D A E B C D E A
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.2. Productos notables 3.2.1.
Caso de estudio: Poda de un terreno
El jardinero de la Universidad Privada del Norte corta el césped de los bordes del jardín principal de la Universidad en la misma magnitud. El resto del jardín permanece intacto para que sirva como hábitat de pájaros y otros pequeños animales. El jardinero desconoce la longitud del terreno, pero conoce que el terreno es cuadrado, aunque ignora el área del césped que corta. Un día, decide averiguar el área de la parte podada y consulta a un profesor del Departamento de Ciencias. El profesor realiza una representación geométrica del problema (figura 1) y mediante cálculos elementales establece que el área de la parte podada es:
b
2
(b
2x) . 2
¿Explique cómo dedujo el área de la parte podada el profesor del departamento de Ciencias?
b
x Figura 1 Para hallar el producto de polinomios o de otras expresiones algebraicas, se usa frecuentemente la propiedad distributiva. Ciertos tipos de productos se pueden aprender fácilmente sin necesidad de aplicar ésta propiedad. Estos productos reciben el nombre de productos especiales o productos notables. Los productos notables son el resultado de multiplicaciones indicadas, que se determinan sin necesidad de efectuar la multiplicación y el resultado puede ser escrito por simple inspección.
157
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.1.3. Productos notables más importantes Los productos notables más importantes son: 1.
Binomio al cuadrado:
(a b)
a
2
2.
(a b)
2
(a b)
a
3a b
(a b)
a
b
3
3
3ab
2
3
b
2
b
3
(a b)(a
3
b
a
3a b
(a b)
a
b
3
3
3
3ab
2
3
3
2
b
3
3ab(a b)
(a b)(a b)
2
b)
a
2
(a b)
2
(a b)
2(a
4
(a b)
(a b)
8ab(a
b
3
(a b)(a
3
ab
2
b) 2
2
b)
2
4
(a b)
2
(a b)
2
2
4ab
b)
2
2
Identidades de Steven:
(x
a)(x
b)
(x
a)(x
b)(x
x
(a b)x
2
c)
d)
x
acx
ab
(a b
3
c)x
(ab
2
ac
bc)x
abc
(ad bc)x bd
2
Identidades de Argand:
(a
a 1)(a
a 1)
(a
ab
2
2
2
b )(a 2
a
a
4
ab
2
b)
1
a
ab
2(ab
ac
2
4
2
2
b
4
Trinomio al cuadrado:
(a b 9.
(a b)
Identidades de Legendre:
2
8.
ab
2
(ax b)(cx 7.
2
Suma y diferencia de cubos:
a
6.
2ab b
2
Diferencia de cuadrados: 2
5.
3
3ab(a b)
3
a 4.
a
2
Binomio al cubo: 3
3.
2ab b
2
c)
a
2
b
2
c
2
2
bc)
Identidades de Lagrange:
(a
2
b )(x
2
(a
2
b
2
2
2
y) 2
c )(x
(ax
y
2
2
by)
(ay
2
z ) 2
bx)
(ax
by
(bz
cy)
2
cz)
2
(ay
bx)
2
(az
cx)
2
2
10. Trinomio al cubo:
(a b
c)
a
b
(a b
c)
a
b
3
3
3
3
3
c
3
3(a b)(a c)(b
3
c
3
3a (b 2
c)
158
c)
3b (a c) 2
3c (a b) 2
6abc
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.2.3. Ejercicios resueltos 1.
Si m
m
m
12
1
2
2 , halle:
2
1
3m
6
Solución Dando común denominador, se tiene:
m
4
1
m
m
2
2
4
2
m
2
1
m
0
2
m
12
Reemplazando:
2.
Si: a
2
2m
1
m
2m
4
1 , además: m
6
1
1 1 3(1)
3m
6
1
3
2
2
2
1
1
0
y
m
12
1
2 3
y b
3
1
8
3
, entonces halle: a
3
b
2
2
8
Solución Hallando a2: 2
a
2
2
3
2
2
a
2
2
3
2
2
3
1
2
1
2
2
3
1
3
2 Entonces: a Hallando b2:
2 2
1
1
3 3
2
2 3
4
2( 3
2
3
2
3
2
3
2)
3
2
3
2 2
b
2
3
8
3
3
b
2
3
8 2
Reducir: w
2
3
8 3
1
1
8
8
3
3 8
4 8 3
9 8
1 3
8
4(3 3
8) 8
4 a
3.
8
1
8
1
2 3
ncesi: b
2 2
1
2
b
2
2
4
6
(x 3)(x 1) (x 4)(x 2) 2x2 .
Solución Desarrollando los productos de binomios:
w
(x 3)(x 1) (x 4)(x 2) 2x2
w w
2x 2 11 2x 2 11
(x2
2x 3) (x2 2x 8) 2x 2
159
8
4 Ento
CAPÌTULO 3 4.
Si: x
ÁLGEBRA
y
3
1 , entonces halle: x2
xy
y2 .
Solución
y)2
Usando binomio al cuadrado: (x
32
Reemplazando los datos: Por lo tanto: x2 5.
Si x
x
y2
x2
y2
2xy
2(1) y2
7
3 , entonces halle: x 2
1
x2
2
x
.
Solución Elevando al cuadrado la condición dada y desarrollando se tiene: x
x
1
2
3
2
x2
1
2xx
2
x
x2
3
2
x
2
3
Por lo tanto: x2
6.
Si x2
y2
3
3
7 1 xy
3
49
2
x
5
7 1 , entonces halle: P
(x
y)4
(x y)4
Solución En el consecuente se tiene: P
(x P
y)4
(x y)4
y)2
(x
2
2
y)2
(x
Desarrollando la diferencia de cuadrados: P
y)2
(x
(x
y)2
(x
y)2
(x
y)2
Usando identidades de Legendre:
P
2(x2
y2 )(4xy)
8xy(x2
y2 )
Reemplazando: P
8( 3 7
1) ( 3 4 9
3
7
1)
Obteniendo una suma de cubos:
P Por lo tanto:
7.
Si x 1
y
1
8(3 7
P
4(x
y)
1
3
13 )
64
, entonces halle el valor de: E = xy 3
2(x
y)
Solución De la condición suficiente se tiene: x 1 y 1 4(x 1 1 4 x y 4 (x y)2 4xy x y x y xy x y
x2
2xy
y2
0
(x y)2
0
x
y
160
y)
x2
1
2xy
y2
4xy
1
.
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Por lo tanto: E
8.
3
xx
Siempre que: x 3 1
2(x
x)
1
2
x
(4x)
1
x
(x 1)3
1 por consiguiente halle: C
0; x
1
x 4
1
3 4x (x 1)3 . x
x2
Solución De la hipótesis se tiene una suma de cubos: x 3 1 La suma de cubos es equivalente: (x 1)(x Por condición se descarta x
Además: C 9.
Si x
y
3
2
x (x x ) 3
x
( 1)(1)
3
y
x 1)
(x 1) x
3
(x 1) x
2
x
0
1 y se obtiene: x 1
Reemplazando en la conclusión: C 3
2
0
x 3
1
x3
x 1 0
1
x
2
x 1 0
2
(x 2 )3 x
2
(x 2 )3 x
x4
1
2 , halle el valor de 4xy(x2
3y2 )(3x2
y2 ) .
Solución Elevando al cubo:
3x2y 3xy2
y3
3
(x y)3 (3 2)3 x3 3x2y 3xy2 Sumando ambos miembros se tiene:
y3
2
(x
y)3
(3 3)3
x3
2x3 6xy2 5 2x(x2 3y2 ) Restando ambos miembros se tiene:
5
(1)
2y3 6x2y 1 2y(y2 3x2 ) 1 Multiplicando (1) con (2), se tiene:
(2)
4xy(x2
10. Si
xy x2
3y2 )(y2
3x2 )
5
3 , entonces simplificar: S 3
y2
x y
4
Solución Se tiene:
xy x2
y2
Racionalizando:
x2
y2 xy
Elevando al cuadrado: x y
2
2
y x
x2
3 3
2
3
y2 xy x y
3
x y x y
y x 2
3 3 y x
2
3 y x
3 2
2
1
161
y x
4
x5
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Nuevamente, se eleva al cuadrado: Por lo tanto: S
4
x y
4
y x
1
1
3.2.4. Ejercicios propuestos Nivel 1 1.
Halla el valor numérico de: a) 6
2.
3.
4.
3
a b a) 5
6. 7.
el
(x
y)
2
2
2
2)(x
1
3)
d) x
3
5)(x 2
c) 7
e) 1296
3) se obtiene:
2
e) 0
9
7)
2
(x
9x
(b
E = x
c) 2x
4 . Halle el valor de: a
3
d)
a
17)
2
e) 9
c)
2
(a c)
d) 8
4xy , halle el valor de:
b) 76
1) 1 , para x = 36
4
d) 5
(a b)
b) x
a
9)(x
c) 0 de:
1)(x
2
d) 236
6x
4)(x
7. b) 6
x 2
Si: a a) 72
(x
3
b)-5 valor
c
2
Si: (x a)
3)
b) 2x c) (x
Halle
1)(x
c) 36
2
Simplificar: E a) -9
2
5.
b)6
Al simplificar 2(x a) x
(x 1)(x
16
9
(a b
2
c) , 2
Si:
e) 9
y
9
x 3
xy x y 5 e)
x 2
3
c) 80
d) 92
e) 24
Determinar una expresión polinomial para calcular el área total de la figura: x
3
x 2
a) x2+3x 8.
b) x2+2x
c) x2+5x
d) x2+5
e) x2+3
Determine una expresión polinomial para calcular el área de la parte sombreada de la figura:
2x x
x+4
2x+3 a) 2x2+11x +12
b) 2x2
c) 3x+7
162
d) 11x+12
e) 7
CAPÌTULO 3 9.
ÁLGEBRA
El volumen de la siguiente caja es 2x3+4x2+2x. Halle ―w‖ en términos de ―x‖. x w x
a) x +1 b) x2
1 w
10. Si w
2x+2 x2
c) x
w
2 , entonces halle el valor de:
a)-1
e) x2+x+1
d) x +1
b)1
12
2
3w
c)0
8
d)2
e)-2
11. Halle el producto de los valores de ―b‖ que hagan de 4x2+bx+9 un trinomio cuadrado perfecto. a) –169 b) –100 c) 81 d) –36 e) –144 12. La fórmula para calcular el área de un cuadrado es A= s2, donde ―s‖ es la longitud de un lado. Si el área del cuadrado que se indica en la parte inferior es:
A(x)=25x2–30x+9 S(x)
Halle s(x) a) 5x +3
b) 5x+9
c) 5x-9
d) 5x-3
e) 25x-3
Nivel 2 1.
3
Efectuar:
2n
a) 0 2.
x;y
Si
R
0
talque:
y )
(x
2
y )
(x
2
y )
(x
2
y )
2 2
b) 0
n
Si : x a) -2 Si x
2
a)
5
x
n
2 n
5
x
3
y
3
y
3
x
3
54 e) 8
2.
Halle
el
valor
numérico
2 2
2 2
c) 1
c) 0
0 , entonces halle: P
b) 2 5
2
d) 6
d) 4
n 5 , halle el valor de: x b) 1
3x
2n
c) 4
2
2 2
3
54
(x
a) -1
4.
2
b) 2
C
3.
2 n
c) 0
x
e) ½
n
d) 2
x(x 1)(x d) 5
163
e) N.A.
2)(x e) 7
3) 2 5
de:
CAPÌTULO 3 5.
ÁLGEBRA
a) 2(1
6.
Si xy
x)
yx
1
2
x
1 (x
2
x
2
1) c) (1 x )
6
3x
n
y
x
c) 17
n
1 a
Si: a
1 Si x a) 10
x 10. Si y
a) 2009
1)(x
6
1)
6
x ) e) N.A. 6
2
x y e) 18
x z
z y
3
y z
3
z x
x
y 2z
d) 7
e) N.A.
d) -3
e) N.A.
1
1 halle, a
12
a c) 3 12
3 , entonces halle: C b) 12
y x
(x
2
d) 16
c) 3
b) -2
x
1)
2n
Si: (x + y + 2z) = 8(x + y) z. Calcule: E b) 2
x
2
d) 3(1
6
2. Calcule: M
1
1) (x
2
a) 2
9.
2
b) 12
a) 0 8.
1
b) 2(x
6
a) 10 7.
x
Simplificar:
x
c) 16
x
1 x
1 x
d) 17
x y
2 , entonces halle: W b) 4018
1 x
1 x
x
2009
c) 0
y x
x
,
x
0
e) 20 2009
d) 1
e) 2
Nivel 3 1.
Si
x y
a)1
y x
b) 2
c) 4
Halle el valor numérico de C a) 1
b) 2
Si x
a b e y a b
a)-1
b) -2
3
3.
4.
Halle el valor de: S
a) 1
b) 4
3b )
2
b(3a
a
a
,
x
y
0
e) N.A.
1
, si: x d) 6
a 1a 1
a
a
e) N.A.
2
2
b ) 2
, entonces halle: H
c) 2
2n 2
x.y
2
1 x x a a 1 c) 4
a(a
y
d) 7 a
2.
x
62 , entonces halle el valor de P
1 3
(4x10x82x
d) 50
) 0,5
xy
x
e) 1 2 n
22
n fa c tore s
c) 9
d) 27
164
e) 81
y
0
3
CAPÌTULO 3 5.
Si:
1 x
ÁLGEBRA
1 y
a
z
1
(x
numérico de: W a) 11 6.
a )(y
2
2
(x
son
3
a )(z
2
y) (y
2
2
x)
2
c) 33
los
lados
0 ; entonces halle el valor
a)
2
z) (z
2
b) 22
a,b, c
Si
a , donde: x, y, z, a
xyz
1
2
d) 44
de
un
triángulo
e) 1 y
si
además
se
cumple:
a ( a b c) b (a b c) c (a b c) 3abc , entonces: ( a b c)(a b c)(a b c) es menor que: a a) ab b) ac c) bc d) abc e) b 2
7.
2
u;p;n
Si
(up) up H
2
(pn)
pn (u
p
8.
2
49
n)
(p
3
p
3
n
Halle
u)
3
el
el
siguiente
valor
sistema:
numérico
(n
3
d) -6
1 2
R
p)
c) -12
1 1
u
e) 9
1
3
2
1
2
3
c) 143
144 d) 12
0 y satisface el siguiente sistema: u
b) 6
2
p 2
2
n
2
u
3
p 3
c) 1/2
3
n
143 e) 11
upn
0
u p
n
1
. Halle el valor
3
d) 1/6
e) 1/3
3.2.5. Respuestas
Nivel 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
de:
upn
3
b) -24
numérico de: C a) 2
.
n
3
b) 144
Si u;p;n
satisface
7 u
Reducir: W
y
0
(nu)
nu
a) 1 9.
R
2
a) 42
2
Nivel 2 B C A C A B C D A B E D
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nivel 3 D C B D A C C E E E
165
1 2 3 4 5 6 7 8 9
B A E E E D D E D
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.3. Cocientes notables 3.3.1.
Caso de estudio: Cálculos aritméticos sin usar calculadora
El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar una cosa con otra en un pensamiento o discurso. En muchas ocasiones, se necesita hacer uso de una calculadora, sin embargo existen ciertas operaciones que nos ayudaría a realizar estos cálculos sin necesidad de ella. Como por ejemplo: ¿Cuál es el cociente que resulta al dividir
2
9
1 7
?
¿Cuales son los factores que al multiplicarse resulta: 330 - 215?
3.3.2. Cocientes notables n
Los cocientes notables son resultados de divisiones de la forma:
x x
n
a a
n
. Para
que la división sea un cociente notable, esta debe ser exacta y el desarrollo de estos cocientes se pueda escribir fácilmente sin necesidad de efectuar la división. Se presentan tres casos de cocientes notables: Primer caso n
n
x x
a a
x
n 1
x
n 2
a
...
n 2
n 1
xa
a
"n" par o impar
,
Segundo caso n
n
x x
a a
x
n 1
x
n 2
a
n 2
...
xa
...
xa
n 1
a
,
"n"
impar
Tercer caso n
n
x x
a a
x
n 1
x
n 2
a
n 2
n 1
a
,
"n"
par
Observaciones: n
x El cociente x
n
a no origina un cociente notable (su división no es exacta). a
El dividendo y el divisor deben ser binomios o cualquier otra expresión que se reduzca a ellos. Las bases están indicadas en el divisor y deben repetirse en el dividendo. Los exponentes que afectan a las bases en el dividendo deben ser iguales y nos indicarán el número de términos que tendrá en su expresión el cociente notable. Los divisores de la forma x – a generan un desarrollo en donde los signos son todos positivos.
166
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Los divisores de la forma x + a generan un desarrollo en donde los signos están en alternados: +, -, +, El primer término del cociente notable se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, así se obtiene: xn-1 A partir del segundo término del desarrollo, el exponente de la primera base disminuye de 1 en1, mientras que aparece la segunda, cuyos exponentes aumentan de 1 en 1 (hasta n-1). El desarrollo es un polinomio homogéneo. El cociente notable tiene ―n‖ términos.
3.3.3. Expresión general de un cociente notable
x
m
a
p
q
r
m q
p n r x a Donde: n = Número de términos del cociente. m, p, q, r m,p,q,r genera un cociente notable si y sólo si:
.
n
Ejemplos:
b b
5
1)
a a
b b
4
2)
a a
5
4
3)
ab 4
0
ab 3
1
ab 2
2
ab 1
3
ab
ab
0
ab
1
ab
2
ab
3
a
3
2
1
0
0
a
4
ab
4
ab
3
ab
3
ab
2
2
b
2
x
21
x
3
a
35
x
a
x
5
x
x
21
x 4)
3
7
3
a
3
6
3
a
5
4
a
21
x
Solución
b
3
3
x
Halle el desarrollo del cociente notable originado por:
ab
2
35
a
3
5
7
a
5
x
3
5
a
5
1
x
3
4
a
5
2
x
3
3
3
a
5
x
3
2
a
5
4
x
3
1
a
5
35
a
5
x
18
x a 15
5
x a
xa
12 10
xa
9 15
6
20
xa 3
25
a
x
24
a
Halle el desarrollo del cociente notable originado por:
x
4
30
18
a
3
Solución
x
24
x 5)
4
a
18
a
3
x
20
x a 16
3
x a 12
6
Halle el valor de ―w‖ si la división
xa 8
x
9
5w 3
x
w 1
xa
4 12
a
15
5(w 6)
a
w 2
a
167
origina un cociente notable.
5
a
5
6
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Solución Si origina un cociente notable, entonces:
Entonces:
5w 3 w 1
(5w 5w
2
5(w 6) w 2
número natural
3)(w
5(w
2)
13w
5w
6
Simplificando
w
6)(w 1) 25w
2
30
3
3.3.4. Criterio del término general n
x En el cociente notable: x
n
a a
x
n 1
x
1
n 2
a ...
2
T
...
...
n 2
xa
k ...
(n-1)
n 1
a
n
el término que ocupa el lugar ―k‖ en su desarrollo es:
Tk =
(signo)
x n-k a k-1
El signo del término buscado dependerá de acuerdo al caso que corresponda. Ejemplos 1) Halle el octavo término del desarrollo del C.N. :
x
60
x
5
y
72
y
6
Solución Transformando el cociente se tiene:
x
12
5
x
y y
5
6
12
6
Donde el número de términos: n= 12 y el valor de: k=8. Entonces: T8 = - (x5)12 - 8 (y6)8-1 = - x20y42 2) Si el grado del octavo término del C.N.
x
n
x
3
1
es 12, halle el número de términos.
1
Solución n 8 n 3 3 (1)8 1 El número de términos es: . Entonces: T8 (x ) 3 Por datos se tiene: n – 24 = 12 n = 36 36 Por lo tanto, el número de términos es: 12 3
168
xn
24
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.3.5. Ejercicios resueltos 1.
Sin hacer uso de una calculadora, determinar que 129 es divisor de 2 097 153 Solución Se expresa ambos números como un cociente: 2 0 9 7 1 5 3 22 1 1 (27 )3 13 129 27 1 27 1 Se observa que es un caso de cociente notable. Por lo tanto: 129 es divisor de 2 097 153.
2.
Halle el residuo que se obtiene al dividir:
(a 1)2n a2
an
a 1
si n es par.
Solución Sea: w
(a 1)2n
an
(a 1)2n
an
a2 a 1 (a 1)2 a Como n es par, entonces w es un cociente notable. Por lo tanto, el residuo es 0 .
3.
Determinar si la siguiente división P
x 25 y10
w20 C35
x5 y 2
es un C.N.
w 4 C7
Solución Para que sea un C.N. se tiene cumplir la siguiente igualdad: 25 10 20 35 5 5 2 4 7 Como todas las igualdades son iguales a 5 , entonces P es un cociente notable. 4.
a4 0
Sea el C.N.:
b1 0
a4
b
, halle el penúltimo término.
Solución Por ser un C.N. se cumple:
40 4
10 1
Entonces el penúltimo término es: T9 5.
Halle el número de términos del C.N.
10 términos. (a4 )10
9 9 1
a4b8
b
a17 ,5
b8 ,75
a0 ,5
b0 ,25
Solución Se tiene:
17,5
b
0,5
b
a
a
8, 75
0, 25
175 10
a
b
875 100
a
35 2
b
35 4
1
1
1
1
a2
b4
a2
b4
Por lo tanto, el número de términos es: 35
169
a
35
a
4
b
4
b
35
CAPÌTULO 3 6.
ÁLGEBRA am
Halle el tercer término en el siguiente C.N.
b5m
a2
8
b9
Solución
m 5m 8 2 9 5m 8 9n
Por ser un C.N. se cumple: Entonces: m 10n 8 9n Luego:
2n n 8
a16
b72
a2
b9
(a2 )8
7.
(b9 )8
a2
(a2 )8
Por lo tanto, T3 (x 1) x independiente.
La división
1
n términos.
b9
3
(b9 )3
1
a10b18
se puede desarrollar como un cociente notable. Halle el término
Solución Dando la forma de un C.N.:
(x 1) x
1
(x 1) 1 (x 1) 1
Desarrollando el C.N.:
(x 1) 1 (x 1) 1
1
(x 1)
2
(x 1)
Donde el número de términos del C.N. es del C.N. es: 1
(0 1)
2
(0 1)
3
(x 1)
(x 1)2
(x 1) 1
y el término independiente del desarrollo
(0 1)
3
(0 1) 1
.
té r m in os
8.
Halle el cociente notable que dio origen al desarrollo de la expresión: a8w
a6w
a4w
a2w
1
Solución Las únicas bases que aparecen en el desarrollo son a y 1 . Además los exponentes de a disminuyen 2w . Como en el desarrollo son todos positivos, se tiene el siguiente C.N. a
1
2w
a
Donde:
a 2w
a
a8w
Luego el cociente es:
1
a8w
a2w a8w
a a10w
1
2w
1
a
a4w
a10w
a8w
Sea el C.N. Por ser un C.N. se cumple: Sea Tk el término de grado 101.
a6w
a2w
1
1 0w
a6w
180 9
a4w
80 4
170
a2w
1
20 términos.
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Entonces:
(a9 )20
(b4 )k 1 a180 El grado absoluto de Tk 101 Tk
k
9k 4k 4
b
180 9k 4k 4 101 176 5k 101 k 15 Por lo tanto, el lugar es: 15 k
1 a2
9.
Halle el término independiente de a , en el C.N. generado por:
T10
b9
k
k
bk
b 1 a2
, si:
.
Solución Se tiene: 1 a2
k
b
bk
a
1 a2
k
b a
bk
b
b
Donde: T10
a
k
b
k (10 k) (10 k) 1
b
b9
k
a
b
2k 10
0
a
b
2k 10 9 k
b
2k 10 9 k
b
Entonces:
Por lo tanto, T10
T5
k
k
5
b4 que es término independiente de a.
3.3.6. Ejercicios propuestos Nivel 1 1.
Desarrolle los siguientes cocientes notables:
x x
4
a) e)
x
12
x
1 1
3
3
20
3 3
i)
b) f)
5
6
2
3
12
x 25 5
729x y - 512z 9xy - 8z
x
625 3
5 4 36x
6x
9
g)
27m 125n 3m 5n 3
2
6
(a+b) - 49m 2
3
(a+b) -7m
171
8a
12
4
256 4
4
j)
81a 3a
c)
d) 3
h)
729
2a 9 3 3 18 343a - 10 b 4
7a - 10b
6
CAPÌTULO 3 2.
ÁLGEBRA
Dado el C.N.
x
x
a) 96 3.
y
n
7
, determine el valor de ―m + n‖ sabiendo que tiene 8 términos. c) 76
d) 114
x
Halle el valor de ―m‖ para que sea C. N.: b) 4
8m
x
c) 6
e) N. A.
y y
8
40
4
d) 8
e) 10
Halle el valor de ―n‖ y el número de términos de los siguientes C. N. : a) 100, 20
5.
5
y
b) 54
a) 2 4.
m
b) 150, 30
El desarrollo del C. N.: a) 14
x
c) 250, 50
R
x
3
b) -14
y
S
y
4
d) 350, 70
x
y
210
x
y
3
n
5
e) 400, 80
tiene 14 términos. Halle el valor de (R - S)
c) 98
d) -98
e) 0
Nivel 2 9
1.
Calcule:
10 1 , usando cocientes notables. 999
a) 1101011 2.
b) 1001001
c) 1011011
51 119
m n
ab
m n
3
a) a12b8m-16n-20
85
7
5
b) a25b35m–25n–10
34
2
c) (a3 b7m5n2)5 n
Halle el tercer término del desarrollo del C. N.: a) a10b16
4.
b) -a10b18
c) a30b18
b) -x21y5
En el C.N. generado por:
x
2n
x
2
x
3n
x
3
b
a
2
4n 5
y
4n 6
n 4
y
n 5
x
c) x22y6
a
d) a15a6
x
Calcule el cuarto término del C. N. a) x21y6
5.
b
d) -x10y6
9
e) a32b20
e) -x21y6
, calcule la suma de valores para n
a) 12
,m
x
5m 10
y
5m 50
2n 9
y
2n 5
x
32
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
La suma de todos los exponentes de las variables del desarrollo de a) 2 400
33 , tal que
e) 64
Halle el número de términos que tendrá el C.N. generado por:
m,n
7.
d) (a4 b6m5n3)5 e) N. A.
5n 18
existen 13 términos enteros en su desarrollo. a) 90 b) 94 c) 96 d) 86 6.
e) N.A.
Halle el cociente de dividir el T5 entre el T10 del siguiente desarrollo:
a b
3.
d) 1110001
b) 2 500
c) 2 600
d) 2 700
172
e) N.A.
x
100
y
100
x
y
4
4
es:
;
CAPÌTULO 3 8.
ÁLGEBRA
x
El cociente
x
términos. a) 4 9.
2n
y
2n
1
y
3
m
3
m
1
tiene como segundo término x16 y8 . Halle el número de
b) 5
c) 6
d) 7
e) N.A.
¿Cuántos términos enteros tiene el desarrollo del cociente notable: a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
16 3 4
8 2
3
2
4
?
e) 2
Nivel 3 1.
Halle el valor de ―w‖ en el C. N. desarrollo es xy a) 4
5
b) 5
2y .
w
(x
w
2y) y , si el penúltimo término de su x y
6
c) 6
d) 7
e) N.A.
d) 7
e) 11
2.
Si W=1110-1, entonces W es divisible por: a) 1 000 b) 10 000 c) 10
3.
El grado del término del lugar ―k‖ en el desarrollo del C. N.
x
105
x
5
y y
63
es 8 unidades
3
mayor que el término que ocupa el mismo lugar, pero contando a partir de la derecha. Halle ―k‖. a) 10 b) 7 c) 8 d) 9 e) N.A. 4.
Halle el término independiente del C. N. b) 100x2100
a) 100 5.
6.
c) 100x299
2) x
100
2
100
d) 100x2199
Halle la suma de los coeficientes del cociente: x 2x a) 2500 b) 3500 c) 2000 d) 500 100
Si el C. N. originado al dividir: a) 71
b) 51
x
9m
x
2n
Si N 2 a) 129
8.
Halle el resto de la división:
x
a) 5
c) 3
P
861
a) 803
50
n
(803)
b) 1879
n
(464)
2
e) N.A.
4m
tiene ―k‖ términos, halle ―k‖. d) 19
2
1 (x 1)
8n
c) 65
b) 4 n
y
e) N.A.
e) N.A.
1 , entonces un divisor de N es: b) 128
(2903)
y
c) 2
7.
9.
(x
d) 8
2n
x
1
n
e) N.A
1
x
d) 2
1 x e) 0
n
(261) es divisible por:
c) 1987
d) 1897
173
e) N.A.
2
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.3.7. Respuestas Nivel 1 01 02 03 04 05
Nivel 2 E E D B
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nivel 3 B C C E C D A A E
174
1 2 3 4 5 6 7 8 9
D C D C A E A E D
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.4. Factorización 3.4.1.
Caso de estudio: Costo de producción
Valles del Inca es una empresa agro-industrial peruana líder en fabricación de conservas vegetales. Actualmente exporta a diferentes países de Europa, Oceanía y Asia. Durante sus inicios ha presentado inconvenientes con los costos de producción, dado que no ha llevado un control profundo en cuanto a la cantidad de toneladas producidas. Hace un mes, en el área de Logística, se ha elaborado un modelo para pronosticar y controlar aquellos costos. A continuación se muestra el modelo obtenido. y
500
1 0 0 0x (x 2
Donde:
1)
y: Costo de producción. x: Cantidad de toneladas producidas.
El modelo ha sido de mucha utilidad, sin embargo aún se tiene la necesidad de saber qué cantidad de toneladas producidas es la necesaria para tener un costo de producción de 800 mil soles. ¿A partir de que cantidad producida los costos tienden a disminuir?, ¿en qué cantidad se estabilizan?, ¿qué herramientas matemáticas te permitirían resolver los problemas planteados?
3.4.2. Definición de factorización Factorización es un proceso algebraico que permite transformar una expresión algebraica racional y entera en otra equivalente que sea igual al producto de sus factores primos racionales y enteros. Ejemplo Factorizar en
la siguiente expresión: 5x2
2y2
Solución
5x2
2y2
( 5x
2y)( 5x
2y)
Nota: Indicar el campo en el cual se va a factorizar la expresión algebraica; es decir, que los coeficientes de los factores primos pertenecen al campo. Cuando no indiquemos el campo de factorización se debe asumir que es en el campo de los números reales.
175
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.4.3. Métodos de factorización 1. Factor común Se aplica cuando en todos los términos del polinomio se repite el mismo factor, el cual se denomina factor común. Regla: Para factorizar, se extrae a cada término del polinomio el factor común (o mcd). Si este tuviese diferentes exponentes, se elige el menor de ellos. Ejemplos 1. Factorizar en
: 36x 2 12x 3 18x
Solución El máximo común divisor de 36, 12 y 18 es 6, por lo tanto:
36x2 12x3 18x 2. Factorizar en
: a2
6x(2x2
6x 3)
ab
bc
ac
Solución Agrupando
a2
ab ac bc
(a2
2
ab ac bc
a(a b) c(a b)
2
ab ac bc
(a b)(a c)
a a
ab) (ac bc)
Nota: La factorizaciòn concluye cuando todos los términos obtenidos sean primos entre sí. 2.
Factorización De Expresiones Notables Se utiliza cuando se reconocen los polinomio en estudio.
productos notables como la estructura del
CASO I: Diferencia de cuadrados Se denomina a toda expresión de la forma x2n
y2m
Equivalencia:
x2n
y2m
(xn
ym)(xn
ym )
Regla Semántica: Diferencia de cuadrados =(Diferencia de las raíces cuadras) (suma de las raíces cuadradas)
176
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Ejemplos 1.
Factorice: x 4 y 4
a6b6
Solución De acuerdo a la regla semántica. Raíces cuadradas:
x4 y4
x2 y2
a6b6
a3b3
x4 y4
a6b6
Por tanto:
2.
(x2 y2
Factorice en los enteros : 16(4x 2
a3b3 )(x2 y2
a3b3 )
81b2)a2 9(4x 2 81b 2)b 4
Solución Se extrae primero el factor común:
16(4x2
81b2 )a2
9(4x2
81b2 )b4
(4x2
81b2 )(16a2
9b4 )
Cada factor es una diferencia de cuadrados, por tanto:
1 6(4x2
8 1b2 )a2
9(4x2
8 1b2 )b4
(2x
9b) (2x
9b) (4a
3b) (4a
3b)
CASO II: Trinomio cuadrado perfecto Se denomina a toda expresión de la forma x2m 2xmyn y2n en la cual el primero y el tercer término son cuadrados perfectos y el segundo término es el doble del producto de las raíces del primero y el tercer término. Equivalencia:
x2m
2xmyn
y2n
(xm
yn )2
Regla semántica:
Trinomio cuadrado perfecto =
suma de las raíces cuadradas de los términos
2
cuadrados perfectos
Ejemplo Factorice en
: 6 4x 4
1 6 0x2y 4
1 0 0x 8
Solución Se trata de un cuadrado perfecto, pues 1 6 0x2y 4 es el doble del producto de las raíces cuadradas de 6 4x 4 y 1 0 0x 8 . De acuerdo a la regla semántica:
6 4x 4
1 6 0x2y 4
1 0 0x8
177
(8x2
1 0x 4 )2
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
CASO III: Suma o diferencia de cubos Se denomina a toda expresión de la forma x3
x3
Equivalencia:
y3
(x
y) (x2
y3
x3
y3
y2 )
x
Regla semántica: suma o diferencia de Suma o diferencia de = los cubos de "x " y "y " las raíces cúbicas de x3 y y 3
cociente notable de la suma o diferencia de los cubos x 3 ; y 3
Ejemplos 1.
: x3
Factorice en
64
Solución Se trata de una diferencia de cubos, pues raíz cúbica de x3 es x y raíz cúbica de 64 es 4. De acuerdo a la regla semántica:
x3 2.
64
x3
43
: x1 2
Factorice en
4) (x2
(x
4x
42 )
(x
4) (x2
4x
1 6)
y9
Solución
x1 2
y9
[ (x 4 )3
(y3 )3 ]
(x 4
y3 ) (x8
x 4 y3
y6 )
CASO IV: Suma o diferencia de potencias de igual exponente Se denomina a toda expresión de la forma:
xn Equivalencia:
xn
yn
yn
y) (xn
(x
xn 1
yn
xn 2y
xn 3y2
yn 1 )
Regla semántica: Suma o diferencia de la n-ésima suma o diferencia de las raíces = potencia de "x " y "y " enésimas de x n y y n
cociente notable de la suma o diferencia de las potencias x n ; y n
Ejemplos 1.
Factorice en
: x5
y5
Solución De acuerdo a la regla semántica:
x5
y5
(x
y) (x 4
x 3y
178
x2y2
x y3
y4 )
CAPÌTULO 3 2.
ÁLGEBRA : x8
Factorice en
y1 2
Solución
x8 3.
y1 2
(x2 )4
(y3 )4
(x2
y3 ) (x6
x 4y3
x 2y 6
y9)
Factorización de trinomios de segundo grado: Se factoriza polinomios de la forma a x 2n
b xn
c
Nota: Los polinomios de segundo grado cuyo discriminante sea menor que cero no se pueden factorizar en los reales. Es decir: a x2
bx
c no es factorizable en
si y sólo sí
b2
4a c
0
CASO I: Método del aspa Regla: Se descompone el término principal e independiente. Se realizan las combinaciones binarias en aspas, de modo que se verifique el tercer término. Ejemplo Factorice en
: x2
1 0x
9
Solución
x2 x x
10x
9 9 1
9x x
x2
10x
9
(x
9)(x 1)
10x CASO II: Método de completar cuadrados Sea el polonomio a factorizar: ax 2n
bx n
c
Regla: A) Factorizar el coeficiente de x 2n a todo el trinomio. Es decir: b n c a x 2n x a a B) En el trinomio factorizado, agregar y quitar el cuadrado de la división del coeficiente de x n entre 2. Es decir: a x 2n
b n x a
b 2a
2
179
b 2a
2
c a
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
C) Asociamos para formar el trinomio cuadrado perfecto y luego la diferencia de cuadrados. Es decir: a
x 2n
b n x a
2
b 2a
b 2a
2
c a
xn
a
2
b 2a
b2
2
4ac 4a2
D) Finalmente se factoriza usando la diferencia de cuadrados. Es decir:
ax 2n
b2
b 2a
a xn
bxn
a xn
c
4ac 2a
xn
b2 4ac 2a
b
b2
b 2a
4ac 2a
b
xn
b2 4ac 2a
Ejemplos: 1.
Factorice en
: x2
8x 14
Solución
x2 8x 14 Por tanto,
x2
42
8x
x2 2.
Factorice en
: 2x 2
42 14
8x 14
(x
(x 4
4)2
2
(x
2)(x 4
4)2
2
2
2)
8x 1
Solución 2x 2
2x
2
2x 2
2 x2
4x
8x 1
2 (x
2
8x 1
2 x
8x 1
2) 2
1 2
9 2 3 2
x
2 x2
4x
2 (x
2
2
2)
22
1 2
22
3
2
2
3 2
Por tanto,
2x2 4.
8x 1 ( 2x 2 2 3)( 2x 2 2 3)
Método De Los Divisores Binómicos: Un divisor binomio del polinomio P(x) una expresión de la forma x b ; donde b
anxn
an 1xn
1
an 2xn
di v i s o re s de a0 di v i s o re s de an
180
2
a1x a0 es
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Regla: Se calcula los posibles valores de b y usando el Método de Ruffini se comprueba si alguno anula al polinomio; por ejemplo: si se anula para: x 2 (x 2) es factor. Si x 3 (x 3) es factor. Al polinomio dado, se le divide entre el factor o factores binomios obtenidos en el primer paso. El cociente de esta división es el otro factor del polinomio. Ejemplos: 1.
Factorice en
: x3
6x 2
12x
7
Solución Posibles valores de b
1; 7 1
6 12 1 5
7 7
1
5
0
1
7
( 5)2 4(1)(7) 25 28 3 0 entonces el cociente es un polinomio de segundo grado que no se factoriza en los reales.
Finalmente: x3 2.
Factorice en
6x2 12x 7
: 4x 4
4x 3
(x 1)(x2 5x 7)
x2
4x
3
Solución Posibles valores de b
3; 4;
1 2;
4 1 2
4 2 2 3 2
1 4 1
4
3
2 3
2
3
6 4
6
0
3
2
3
3 0
3
cociente real
2
0 2
0
2 1
0 1
cociente real
Por tanto,
4x 4 5.
4x3
x2
4x 3
(x2 1)(2x 1)(2x 3)
Método de los artificios
Regla:
Se aplica cuando los métodos anteriores no son fáciles de aplicar. Se sugiere que si: Aparecen exponentes pares, se trate de formar un trinomio cuadrado perfecto. Si aparecen exponentes impares, se trate de formar una suma o diferencia de cubos.
181
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Ejemplo: Factorice en
: x5
x 1
Solución Como hay exponentes impares, se busca suma o diferencia de cubos. Si a x 5 se factoriza x 2 aparece x 3 . Artificio: sumar y restar x 2
x5
x 1 x2
x2
x5
x2
(x2
x2 (x 1)(x2
x2 (x3 1) (x2
x 1)
x 1) (x2
(x2
x 1)
x 1)
x 1)(x3
x2 1)
Por tanto:
x5
x 1 (x2
x 1)(x3
x2 1)
3.4.5. Ejercicios resueltos 1.
Al factorizar en el polinomio P(x) x6 4x5 2x 4 12x3 23x2 16x 4 se obtiene un factor que se repite varias veces. ¿Cuántas veces se repite? Solución Factorizando usando el método de divisores binómicos se tiene: Posibles ceros: 1, 2, 4 Para x 1 ,
P(1) Por Ruffini. 1 1 1 1
1 1 1 1 1
(1)6 -4 1 -3 1 -2 1 -1 1 0
4(1)5
2(1) 4 12(1)3 23(1) 2 16(1) 4
2 -3 -1 -2 -3 -1 -4 0 -4
12 -1 11 -3 8 -4 4 -4 0
-23 11 -12 8 -4 4 0
16 -12 4 -4 0
-4 4 0
Del último cociente,
Q(x)
x2
4
(x 2)(x 2)
Finalmente,
P(x) (x 1)4 (x 2)(x 2) Luego, el factor (x 1) se repite 4 veces 2.
Encuentre la suma de los coeficientes de los factores de:
M(x,y)
28xy 44y 2 35x 23y 40
182
0
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Solución El polinomio
28xy 44y2
M(x, y)
35x 23y 40
se puede escribir
(7)(4)xy 4(11)y2
M(x, y)
(7)(5)x 55y 32y 40
agrupando M(x, y)
(7)(4)xy
(4)(11)y 2
(7)(5)x
(5)(11)y
(8) (4)y
8(5)
el factor común M(x, y) 7x(4y 5) 11y(4y 5) 8(y 5) M(x, y) (4y 5)(7x 11y 8)
Finalmente: 4+5+7-11+8=13 3.
La expresión ( x 3)( x 2)( x 1) x 3 admite ser descompuesta en dos factores cuadráticos, ¿cuál de ellos posee menor valor numérico para cualquier valor de x? Solución (x
3) (x
2) (x 1)x
3
x(x
3) (x
2) (x 1) 3
(x 2
3x) (x 2
3x
2) 3
Haciendo el cambio de variable y x2 3x se tiene (x2
3x)(x2
3x 2) 3
y(y 2) 3
y2
2y 3
(y 3)(y 1)
Regresando a la viable original se tiene: (x 3)(x 2)(x 1)x 3
(x2 3x 3)(x2 3x 1)
Finalmente, se observa que el factor que posee menor valor numérico para todo x es: x2
4.
3x 1
Factorice M(x, y)
xm
n
ym
n
(xy)m (xy)n y dar como respuesta el número de
factores primos. Solución Agrupando los términos señalados y sacando sus factores comunes tenemos: M(x, y)
xm
n
ym
n
(xy)m
(xy)n
Factor común:
M(x, y)
xm(xn
ym) yn (ym
Finalmente, el número de factores primos es 2
183
xn )
(xn
ym)(xm
yn )
CAPÌTULO 3 5.
ÁLGEBRA
Factorice en
x10
P(x)
2x6
x2 1 y obtenga la suma de los coeficientes de sus
factores de igual grado. Solución Escribiendo
P(x)
x10
2x6
x2 1
como
(x10
P(x)
x6
x2 ) (x6 1)
Entonces: x 2 (x 8
P(x)
x4
1) (x 2 1) (x 4
x2
1)
Arga n d
2
4
x2 1)(x 4
P(x)
x (x
P(x)
(x 4
x2 1)[x2 (x 4
P(x)
(x 4
x2
1) (x 6
x4
x2 1) (x2 1)(x 4
x2 1)
x2 1) (x2 1)] 2x 2 1)
Arga n d
P(x)
(x2
x 1)(x2
x 1)(x6
x4
2x2 1)
Luego, se tiene dos factores del mismo grado y la suma de los coeficientes es: 1+1+1+1-1+1=4.
3.4.6. Ejercicios propuestos Nivel 1 1.
Factorice en
los polinomios siguientes usando el método del factor común:
a) xy xz xw c) mn pn mr pr
2.
b) a2 a b a c bc d) (a b)(x y z) (a b)(x 2y 2z)
e) x32y29z26
x30 y32z28
Factorice en
los polinomios usando el método de las expresiones notables:
a) x 4
y2
c) 25a2
40b2
65a b
x34 y30z25 f) (a3b4
a4b3 )(a5b6
b) a24b21
c 48d15
d) a2
x2
z2
2(ax bz)
(a2
x2
y2 )2
b2
e) 49(36x2 144b2 )a12 25(36x2 144b2 )b8 f) 4a2x2 g) x1 5 i) a8 k) x 4 5 3.
b8
j) x7
y7 5
Factorice en a) x 2 d) x2
h) a3 3
y5
2 2x
2 3x
a6b5 )(a6b8
l ) x1 2
a8b6 )
b4 5
y7 y1 5
los siguientes polinomios usando el método del aspa: 120
9
b) 8x 2 2x 3 e) x2 6 3 x 1 5
184
c) 1 2x 2 1 9x 1 0 f) x2 4 3 x 1 5
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
g) x2 4.
5 3x
Factorice en 2 a) x
x
2 e) x
2x
3x 5
h) 2x2
18
1 5
i) x 2
5x 6
1 9
completando cuadrados:
1 1
b) x 2
x
f) 4x 2
1 2x
2 c) x
1
g) 3x2
1
d) x 2
1 2
x
9x
6x
h) 2 x2
20
1
5x
6
Nivel 2 1.
Factorice en 6 a) x
2.
2 8x 3b9
Factorice en a) x c) x
3
3
2x
2
4x
2
1 5x
g) x
4
3
3x 2x
2
a) x c) x
x
2
1 5x
g) x i) x
4
5
x
c2
3x 2
6
4
4x
3
4
3
d) x 24
2
1 9x
3
5
3x
x3
4y
2
b(2a
2
f) x 30 6x
2x
k) 2 5a2
45
j) x
2x
5
5x
5
4x
d) x
z
2x
3 6b2
x
f) 4 8x 4 y
b)
h) x3 2
x2
13
2
4b c
x
h) x
1 b) x 6
4 8
4
x2 )2
4 4(x 4
x2 )
4x
12
3x 5x
4
4x
2
2x
4
2
2x
24
1 4x
2
3
2 7x
4
3
9 4x
3x 2
9
1 7 6x
480
usando el método de los artificios las expresiones:
6
4x y
e) a2
4 c) (x
4
b) x 3
1 0x
Factorice en 7
5x 4
2
1 5x
4
8 b) x
usando método de divisores binómicos: x
e) x 5
2 7b1 8
x
4
i) x 3.
los siguientes polinomios:
2x 8
x
x2
x
1
5
y
2x 1
j) (a b c 2)2
6 0a b
l) x3
x
2x
4 0x3
6x y
y3
y3
1
6
(a b c 1)2 5(a b c 1)
y
Nivel 3 1.
La suma de los factores primos de a(b c)2 b(c a) 2a b b) 0 c) 2a 2b 2c
2.
Señale un factor primo que se repite luego de factorizar:
E
(a2 1) (a2
a) 4a 1 3.
(a2
3)
b) 3a 1
(4a 1) )
c) 2a 1
d) a 1
e) a 2
Indique la expresión que no corresponde como factor de:
x 4 y 4z 3
x 3y 5z 3
x 2y 5z 4
b) x y2
a) x 4.
2) (a2
a)2 c(a b)2 4a bc será: d) 2a 2c e) 2a
x 3y 4 z 4 c) z(x
y)
d) y(x
z)
e) y
z
Señale el factor primo de mayor multiplicidad con coeficientes enteros de:
a1 0
a2 b 8
a) a 4
b4
a8 b2
b1 0
b) a 2
b2
c) (a2
b2 ) 2
185
d) a b
e) a b
84
CAPÌTULO 3 5.
6.
Factorice: P primos. a) 1
8.
9.
8(a b c) 3 b) 2
(a b) 3
(b c) 3
c) 3
(a c) 3 . Indicar el número de factores
d) 4
e) 5
Señale el polinomio primitivo mónico que se encuentra en: 5(x 1) 2 a) x
7.
ÁLGEBRA
3
c) x 2
b) x 1
x
Factorice en el polinomio: P 9a 2 coeficientes de un factor primo. a) 1 b) 2 c) 3
1
a) 2x 2
x
el polinomio: f(x)
d) 5
3 b) 2x 2
3x 1 c) 3x 2
e) 7
d) 2(a b)
13x 3
11. Factorice en el polinomio: f(x) x 4 factores primos lineales. a) 2x 3 b) 2x 3 c) 7x 2
8x 3
12. Factorice en el polinomio: f(x) 2x 4 de mayor multiplicidad. a) x 1 b) x 2 c) 2x 1
9x 3
13. Factorice en el polinomio: P(x) del factor primo de mayor grado. a) 2 b) 3 c) 4 14. Factorice en primos. a) 4(x 1)
el polinomio: P(x) b) 2(x 1)
x3
14x 2
d) x
3x 2
5x
2
c) 3(x 1)
7x 2
7x
d) 3x
186
5x 1 indique un factor
2x
7x
d) 2x 1
1
e) 6x 2
3x
1
2 y señale la suma de los e) 2x 1
9x
2 y señale el factor primo e) x 1
3 y señale la suma de coeficientes
d) 5
2x 3
e) 3
11x 2
16x 2
e) 4(a 2c)
5) 13 . Señale la suma de los
1 d) 6x 2
2x
3
4ab 4b2 12bc 6ac 9c2 calcule la
8a 2
6x 4
x
2b c2 c 4bc . Halle la suma de
Factorice en el polinomio: (x 1) (x 2) (x 2) (x términos independientes de los factores primos. a) 8 b) 11 c) 8 d) 11
10. Al factorizar en primo.
e) x 2
d) 3x 1
3a 4b2
Luego de factorizar en el polinomio: E suma de sus factores primos. a) 9a b) 6a c) 2(a b)
2 0(x 1) 2
e) 6
2 y señale la suma de los factores 4
e) 4x
3
CAPÌTULO 3
3.4.7
ÁLGEBRA
Respuestas
Nivel 1 1.
a) x(y z w) c) (m p)(n r)
b) (a b)(a c) d) (a b)(2x y z)
e) x30 y29z25 (x 4 y
x2z y3z3 )
f) a14b14 (a b)2 (a2
b2 )
2. a) (x2
y)(x2
y)
b) (a8b7 c16d5 )(a16b14 a8b7c16d5 c) (5a 8b)(5a 5b) d) (x z a b)(x z a b)
c32d10 )
e) 36(x 2b)(x 2b)(7a6 5b4 )(7a6 5b4 ) f) (x y a)(x y a)(x y a)(x y a) g) (x3
y)(x12
x 9 y x6 y2
h) (a11 b15 )(a22
a11b15
i ) (a b)(a b)(a2 j) (x
3.
y)(x6
y13 )(x36
l) (x 4
y5 )(x8
b4 )
x 3y 3
x27 y13
x 4 y5
y4 )
b30 )
b2 )(a4
x5 y x 4 y 2
k) (x9
x 3y 3
x2y 4
x18y26
xy5
x9y39
y6 ) y52 )
y10 )
a) (x 10)(x 12)
b) (2x 1)(4x 3)
c) (x 2)(2x 5)
d) (x
e) (x
3) (x
5 3)
g) (x
3) (x
6 3)
3) (x 5 3) f) (x 1 h) (2x 1)(5x 1) 5
i)
1 (3x 2)(6x 1) 18
3) (x
3 3)
4. a) (x
5 1 )(x 2
5 1 ) 2
b) (x
c) (x
3 1 )(x 2
3 1 ) 2
d) (x
e) (x
2 1) (x
2 1)
f) 4(x
g) 3(x
321 6
9
)(x
321 6
9
)
h) 2(x
187
5 1 )(x 2 2 2
3) (x
10 3 )(x 2 73 5 )(x 4
5 1 ) 2 2 2
3)
10 3 ) 2 73 5 ) 4
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Nivel 2 1. a. (x b3 ) (x 3b3 ) (x2
3b3x 9b6 ) (x 2
b. (x 1) (x 1) (x2 1) (x2 c.
(x 1) (x 1) (x
2
2) (x
2) (x2
2)
2
6)
2
7) (x
b3x b6 )
2. a) (x 1) (x 1) (x
2)
b) (x
d) (x 1) (x 1) (x 2)2
c) (x 1) (x
2) (x 3)
e) (x 1) (x
2) (x
3) (x
g) (x 1) (x
2) (x
3) (x 5)
i) (x 3) (x 5) (x3
2) (x 2) (x 3)
4)
f) (x 2) (x 3) (x 2
4)
h) (x 1) (x 1)2 (x 3)2 j) (x 2) (x
3)
3x
3) (x
4) (x 5)
3. 2 a) (x
x 1) (x5
g) (x2
x 1)
3 x 1) (x3 x 1) b) (x c) (x 2y z) (x 2y z)
y) (x2
h) (x
xy
2b c2x 2b2c 4 )
y2 1)
i) (x2 x 1) (x3 x 1) j) (a b c) (2a 2b 2c 1 1)
6 x 1) (x7 x 1) d) (x e) (a b c) (a b c)
f) (2x 1) (6x y 5) (4x2
2b c2x 2b2c4 ) (x2
k) (5a 6b)2
2x 1)
l) (x
y) (x2
xy
y2x 1)
Nivel 3 01 02 03 04 05
C D E B C
06 07 08 09 10
A C B C C
188
11 12 13 14
B A E A
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.5. Simplificación de expresiones algebraicas Caso de estudio: Clave de la cerradura
3.5.1.
Un profesor ofrece de premio un libro al alumno que descubra la clave, de 3 dígitos, que abre la cerradura de un portafolio. El profesor les informa a los alumnos que para descubrir la clave que abre al portafolio tendrán que hallar los términos independientes de las siguientes expresiones en el orden que se les indica. A
x2
3x 10 , x 5
B
x2 1 x 1
x2
6x 9 x 3
1 x
2
2x
3
,
C
3x 2 x
3x x2
¿Qué operaciones sugiere usted que deben realizar los alumnos a fin de hallar los términos independientes? ¿Por qué? ¿Cuál es el número clave para abrir el portafolio?
3.5.2. Definición de fracción algebraica Una fracción algebraica es la razón denominador no puede tener grado cero.
indicada de dos polinomios, de los cuales el
Ejemplos: P(x) Q(x)
R(x)
x2
7x 4 ; x 2x 3
R
3 2 ;
x 2 y xy 2 ; x y x y 2x 5 no es fracción algebraica 121
3.5.3. Conjunto de valores admisibles (CVA) Es el conjunto de valores que toman las variables y que hacen posible que el denominador no sea nulo y, por lo tanto, que la fracción algebraica esté bien definida. Ejemplo: Halle el C.V.A. de la siguiente fracción: F(x)
4x 2x 3
8 7x 2
Solución Por definición x
x / 2x
3
0
7x
2
0
C.V.A.
189
3 2 ; 2 7
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.5.4. Observaciones relativas al signo de las fracciones a)
El signo positivo o negativo de la fracción la afecta totalmente y el comportamiento es análogo al de un signo de agrupación. Ejemplo: z
b)
2x y 3w
z
2x 3w
y 3w
Una fracción será de signo positivo cuando ambos términos sean de igual signo, y negativo cuando ambos sean de signos diferentes. Ejemplo: 5x 1 3 x
5x 1 x 3
3.5.5. Fracciones equivalentes Dos fracciones algebraicas son equivalentes cuando adoptan los mismos valores comunes para un C.V.A. común. Ejemplo: x2 1 y Q(x) (x 1)(x 5)
Sean P(x)
Son equivalentes para x
x 1 x 5
1, 5
3.5.6. Principio de transformación de fracciones Si se multiplican o dividen los términos de una fracción algebraica por una expresión racional algebraica no nula, se obtendrá una fracción algebraica equivalente. Ejemplo: x3 1
Sea F(x) G(x)
H(x)
x4
x4
x
x5
x
x2 (x
2
1
entonces para
1 son equivalentes a:
, pues se multiplicó por x a F(x)
x 1 1)(x 1)
, pues se dividió por ( x 1 ) a F(x)
3.5.7. Regla de simplificación Simplificar una fracción algebraica es transformarla en otra equivalente, cuyos términos no tengan factores comunes. Para esto se realiza los siguientes pasos: Factorizar los términos de la fracción. Suprimir los términos de la fracción dividiéndolos por su mcd.
190
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Ejemplo: x 1
Simplifique E
x
2
2x
3
Solución x 1 x2
2x
x 1 (x 1)(x 3)
3
Por tanto:
1 x
3
; x
1,3
1
E
x
3
3.5.8. Álgebra de las fracciones algebraicas Caso I: Adición y sustracción de fracciones algebraicas Para sumar o restar fracciones algebraicas es necesario obtener un denominador común. Ejemplo: x2
Simplifique: M
x
2
8x 15
x2
x
x
2
2
5x
6
4
3) 2)
(x 1)(x 2) (x 2)(x 2)
x2
6x
8
2
4x
4
x
Solución M
(x (x
5)(x 3)(x
M
x 5 x 2
x 1 x 2
x 4 x 2
(x (x
2)(x 2)(x
4) 2)
(x 5) (x 1) (x x 2
4)
x 2 x 2
Por tanto: M 1 Caso II: Multiplicación de fracciones algebraicas La multiplicación de fracciones algebraicas equivale a otra fracción algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador el producto de los denominadores. Ejemplo: Simplifique la siguiente expresión: T
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1 4x
Solución Resolviendo los factores: T
(x 1)2 (x 1)2 (x 1)(x 1)
x 1 4x
191
4x (x 1)(x 1)
x 1 4x
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
T
4x(x 1) 4x(x 1)(x 1)
1 x 1
1
Por tanto: T
x 1
Caso III: División de fracciones algebraicas El cociente de dos fracciones algebraicas es aquella que resulta de multiplicar la fracción dividendo por la recíproca de la fracción divisor. Ejemplo: b2 2a
Efectúe a
a2 b2 a b
a
2a2b b3 a b
b
1 1
a b
Solución Operando en los factores:
b2 2a
a 2
a 3
2a b b a b
a2 b2 a b b
=
1
2a2 b2 2a
a2
ab a2 a b
2a2 b2 2a
b(a b) a b
b2
2a2b b3 a b
b
b a b
;
a b
1
De acuerdo con la división:
a
b2 2a
a
2a2b b3 a b
a2 b2 a b b
1
=
a b 2
b(2a
2
b )
a b 2a
a b
1
Caso IV: Potenciación de fracciones algebraicas Para ejecutar la potenciación de fracciones algebraicas se ejecutan las potenciaciones de los términos de la fracción. Ejemplo:
Ejecute:
2a4b5
5
3d6 e11
192
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Solución 5
4 5
2a b
3d6 e11
2a4b5
5
32a20b25
5
3d6 e11
243d30 e55
SOLUCIÓN DEL CASO DE ESTUDIO Un profesor ofrece de premio un portafolio al alumno que descubra la clave de 3 dígitos que abre la cerradura. Para esto, propone a sus alumnos los siguientes tres ejercicios: A
x2
3x 10 x 5
x2 1 x 1
B
x2
6x 9 x 3
1 x2
2x
C
3
3x 2 x
3x x2
Para hacerse acreedores del premio, los alumnos deberán hallar los términos independientes de los resultados de A , B, C respectivamente, con los cuales se abre el portafolio. ¿Cuál es el número clave para abrir el maletín? Solución Simplificando las expresiones previa factorización: A
B
x2
3x 10 x 5
(x 5)(x 2) x 5
(x 1)(x 1) x 1
(x
x
3)(x 3) x 3
2;
(x
1 3)(x 1)
1;
3x(x 1) x(x 1)
C
3
Los términos independientes de A,B,C son 2, 1, 3 respectivamente. Por tanto, la clave del maletín es 213.
3.5.9. Ejercicios resueltos 1.
Halle el C.V.A. de la siguiente fracción: F(x)
5 2x y
8 2x
3y
2 5
Solución C.V.A. = (x, y) / x, y
2x
y
0; 2x
3y
0
Por tanto:
2.
Simplifique: F
C.V.A. = (x, y) /x, y
y
21x 31x
31 x
21 xy 31 xy
y ; 31x y
2x; 2x y
3y
(0,0)
0
Solución Factorizando los términos de la fracción: 21(x 1) y(x 1) (x 1)(21 y) F ; x 31(x 1) y(x 1) (x 1)(31 y)
193
1, y
31
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Por tanto: 21 31
F
3.
Efectúe: G
a2 2
a
1
a 1 2a 2
1
a 1 2a 2
y y
4a 2
a
1
Solución G
a2 1 (a 1)(a 1)
a 1 2(a 1)
a 1 2(a 1)
4a (a 1)(a 1)
El mínimo común múltiplo será: 2(a 1)(a 1)
Expresando la suma en forma homogénea: 2 (a 1)2 (a 1)2 2(a 1)(a 1) Usando identidad de Legendre se tiene: G
Por tanto: G
4.
Efectúe:
2a2
G
2a2 2 4a 8a 2(a 1)(a 1)
G
2a2 4a 2 2(a 1)(a 1)
2(a2 2a 1) 2(a 1)(a 1)
8a
(a 1)(a 1) (a 1)(a 1)
a 1 a 1
a 1 a 1
a2 b2 2ab
1
a b a b
a b a b
ab a2
b2
Solución Resolver los factores: a2
2ab b2 2ab
(a b)2 (a b)2 (a b)(a b)
2(a b)2 (a2
ab a2
b2
b2 )ab
2ab(a b)(a b)(a2
=
a b a b
194
b2 )
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.5.10 Ejercicios propuestos . Nivel 1 Factorice y simplifique cada una de las siguientes expresiones e indique el C.V.A. 5x 4y 3z 3z 5x 4y
1.
(x
2.
(5
x)(x
4
256
b
3.
5)(x
b
2
2
7) 8x
6.
7)
7.
16 5
32y 243x 2y 3x
4.
5.
4x 2
20x
24
6 10x
4x 2
x3
5x
2x 2 2
x x4
x
6
4x 3 x
3
6
x2
6x
2
16x 12 11x
6
5
Opere y simplifique las siguientes fracciones algebraicas. 5
8.
5x
45
5x 2
9.
x
20 2x 18
2
5x x
2
30 5x
13.
6
1 x2
14.
1 x2 x2
4x 7 x 3
11.
5x
2x 1
1 x2
10.
12.
2x x
2
3
5x 10
9
x
2
5x
15.
6
Nivel 2 Efectúe las siguientes operaciones: 1.
2.
3.
4.
2x 2 x
3x
2
2
4x 2 2
x
2
2x
a2 b2 2ab
1
a b a b
m2
2m 1 2
m x2
1
2ax x2
a2
a2
x
3
5x
3
a b a b
ab 2
a
b2
m 1 m 1 x 2x
a 2a
195
3x x
2
a2 2
a
x2
2x
1 1
2m2 2
m
3
8
2x
2
2
1
x
a 1 2a 2
16
3
x
9
a 1 2a 2
1 x
5x x 1
4a 2
a
3 2
x
2
m 1 m 1 m m 1
2x
4
1
CAPÌTULO 3 5.
6.
7.
8.
ÁLGEBRA
3x 2
x
2
x2
x
2
2x 2 x
2x 2
7x 12
x
b2 2a
a
3x 3
4
9x
2
3x 2
a b a b
a b a b
6
x 2 10x
8
x 1 3
a2 b2 a b
a
7x
2
2a2b b3 b a
a b a b
a
1 b a
1
a b a b
Realizar las siguientes operaciones combinadas:
9.
4x2
9y2
x2
10.
2x x2
12.
3x
2x 2
2 2
x
2
5x x
3 2
4
a b
(a b)
x
6
9x 9 x 12
2
x
4 10x 15y
x
2
x
11.
5 8x 12y
2x 3y
b a
2
a b
4
x2
x 1 5x 6
b a
2
2
a b
2
b a
2
2
4x 3 x 3
x2 1
13.
5x
2 3
5x
5x
2 2
2 2
5x
5x
2 1
2
14.
1 (a2 a) (a 1) a (1 a) (a 1)
15.
1
x4
1 x
1 x
(x 1)
a2 1 a 1
1 2
x
1
1 x
1 x
196
(a b) 0,25
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Nivel 3 Resuelve los siguientes problemas: 1.
Una manada de lobos atacó en varias oportunidades una granja de pollos. Averigüe cuántos pollos se comieron o llevaron si sólo sobraron 3 vivos. En las dos primeras incursiones se llevaron o comieron la mitad en cada oportunidad; en la tercera y cuarta incursión, la tercera parte cada vez; y en la quinta y sexta ocasión la cuarta parte y los 11/12 de los que sobrevivían respectivamente.
2.
En una máquina de escribir mecánica se puede preparar una nómina en 120 horas; pero digitando la misma nómina en una computadora personal se llega a 80 horas. ¿En cuánto tiempo se prepara toda la nómina si se trabaja simultáneamente en ambas?
3.
Un muro de 1000 m2 puede ser pintado a mano por Juan en 120 horas. El mismo muro puede ser pintado con una máquina por Antonio en 20 horas. ¿Qué tiempo demoran en pintar de un solo color dicha pared y de qué color será toda vez que el primero usa color azul y el segundo crema?
4.
Carlos puede recoger suficientes manzanas para llenar 1 2 barril en 10 horas, José 5 barriles en 150 horas, mientras que Roy llena un barril en 60 horas. ¿En cuánto tiempo pueden completa 8 1 2 barriles trabajando simultáneamente?
5.
Una recompensa de 5 millones de soles es repartida por la Policía Nacional, en partes
6.
iguales, entre x 3 personas. Teniendo como referencia que x es número natural mayor que cero, encontre cuánto recibe cada persona que colaboró con la justicia. 2 x 3 4 Tres grupos de militares, signados con los códigos de seguridad y , , 2 x 1 x 1 x 1 realizan labores de apoyo en la construcción de carreteras. Al sumar sus códigos y simplificarlos se obtiene un cociente. Si el grupo de militares forma un rectángulo al alinearse, el número de filas y columnas corresponden al denominador y numerador del cociente, respectivamente. Calcule el número de militares del batallón.
7.
Un número de dos cifras satisface las siguientes condiciones: el número dividido entre el doble de la cifra de las unidades es igual al cociente del cuadrado de la suma de 2 más la cifra de las decenas, entre la suma de 4 más la cifra de las unidades. Además, la cifra de la decenas excede a la de las unidades en 2. Encuentre dicho número.
8.
El digito de las decenas de un número de dos cifras excede al de las unidades en 2. Si el número se divide por la suma de sus dígitos, el cociente es 6 y el residuo es 2. Encuentre el número.
197
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.5.11 Respuestas . Nivel 1 1
-1
1
2
1 x 1
2
b2
3 4
5
81x 4 24xy
16
54x 3y 3
16y
36x 2 y 2
4
2(2 x) 2x 1
Demoran 24 horas y el color será crema
4
1 2
4
85 horas
5
5 000 000( x 3) x 9 soles
6
x2 1
7
64
8
86
1
6
7
x
2
7
8
11 x 9
8
9
5
9
11
1 x 5x 11 x 3
5 a 1 a 1 2x 9
12 13 14 15
x2
2x 2
(x 1)(3x x 3 x 3 x 1 a b 2a
a2 b2 2ab 1 2x 3y
10
x 1 x 3
11
16(a b)
12
1 35 8 1 1 a
13 4
48 horas
3
x
2
2
429
1
5
2
1
Nivel 3 Se comieron pollos
3
6
10
Nivel 2 4x 3 x 3 a b a b
14 15 16
x2
x 1 1 1 x
198
4)
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
3.6. Ecuaciones 3.6.1.
Historia de las ecuaciones
«Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa y a la ciencia de hacerlo: Álgebra. La cosa era la incógnita. La primera traducción fue hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval, los matemáticos españoles llamaron a la cosa X. Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad; a situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la ecuación general de tercer grado ax 3
bx 2
cx
d
0
requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad. Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento, en Italia. Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportación había consistido solamente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora, finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos no habían tenido éxito en conquistar fueron resueltas. Y esto sucedió en el siglo XVI, un siglo antes de la invención de nuevas ramas de las matemáticas: Geometría Analítica y Cálculo Diferencial e Integral que afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua. Después de esto, no hubo matemático importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y más alto grado en forma análoga a los italianos; es decir, encontrando una fórmula general o, como se dice actualmente, resolverlas por radicales. El famoso matemático francés Lagrange en su gran trabajo Reflexiones sobre la solución de ecuaciones algebraicas publicado en 1770-1771 (con más de 200 páginas), examina críticamente todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas hasta su época y demostró que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores. Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, más de dos siglos y medio habían pasado y nadie durante este gran intervalo había dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales, esto es, de encontrar fórmulas que envuelven sólo operaciones de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y raíces con exponentes enteros positivos, los cuales pueden expresar la solución de una ecuación en términos de los coeficientes, fórmulas similares a aquélla por la que se había resuelto la ecuación de segundo grado en la antigüedad y a aquéllas encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Una fórmula general para las ecuaciones está muy lejos de existir y aún en los casos particulares en que existe, es de poca utilidad práctica a causa de las operaciones sumamente complicadas que se tienen que hacer. Actualmente, las computadoras facilitan todo ese trabajo. En vista de lo anterior, los matemáticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente diferentes, que son: En el problema de la existencia de raíces (soluciones). En el problema de saber algo acerca de las soluciones sólo trabajando con sus coeficientes. En el cálculo aproximado de las raíces o soluciones de una ecuación» (Tomado de http://hydra.dgsca.unam.mx/color/files/mariog/histecua.htm )
199
CAPÌTULO 3
3.6.2.
ÁLGEBRA
Caso de Estudio I: GRABACIÓN EN CALIDAD VARIABLE
«En la actualidad, por el gran avance económico del país, usted pasa más tiempo en el trabajo que en casa y, lógicamente, ya no puede ver algunos documentales, series y entre otros programas televisivos que le interesan. Entonces, si usted tiene una grabadora de video ha visto la necesidad de grabar dichos documentales, series y otros programas de televisión para verlos después» En formato VHS puede seleccionar la velocidad de grabación estándar SP, larga duración LP o extendida EP. El formato SP es el de mayor velocidad y proporciona la mejor calidad de grabación; LP es de una velocidad más lenta y proporciona una menor calidad; y EP es el de velocidad más lenta y de calidad más baja de grabación. Con la cinta de video común T-120, el tiempo máximo de grabación en SP es de 2 horas; en LP de 4 horas; y en EP 6 horas. En el siguiente análisis, se supone que estos tiempos de grabación son exactos y que la cantidad de cinta utilizada cambia uniformemente con el tiempo de grabación. Si desea grabar una película cuya duración no es más de 2 horas, es obvio que SP puede utilizarse para obtener la mejor calidad. Sin embargo, para grabar una película de 3.5 horas en una sola cinta T-200, usar sólo la velocidad SP provocaría que la cinta se llenase 1.5 horas antes de que la película terminara. Puede salvar este inconveniente si utiliza SP junto con otro formato de velocidad, asegurándose de maximizar el tiempo en SP». (Tomado del libro de Ernest F. Haeussler, JR / Richard S. Paul / Richard J. Wood ) Por ejemplo, se puede empezar a grabar en LP y completar en SP. Obviamente, su problema será determinar cuándo debe realizarse el cambio a SP. Sea el tiempo, en horas, que LP es utilizado, entonces 3,5 t horas de película serán grabadas en SP. Como la velocidad en el modo LP es de 1/ 4 de cinta por hora y en SP es de 1/ 2 cinta por hora, la parte de la cinta utilizada en LP es t / 4 y la parte en SP es (3,5 t) / 2 . La suma de estas fracciones debe ser 1, ya que la cinta debe usarse por completo. Por tanto, necesita resolver una ecuación lineal. t 3,5 t 4 2
1
t 2(3,5 t) 7 t t
4
4 3
Por tanto, debe grabar en LP durante 3 horas y después cambiar a SP la restante 3,5 t 3,5 3 0,5 hora. Esto significa que sólo un séptimo de la película se grabará con la mejor calidad. En lugar de restringirse a una película de 3,5 horas, puede generalizar el problema anterior para grabar una película de h horas, donde 2 h 4 . Esta situación da t h t 1 cuya solución es t 2h 4 4
2
200
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Así mismo, puede parecerle que no existe demasiada diferencia entre las cantidades de grabación en LP y EP. Si desea iniciar en EP y terminar con SP, puede manejar una película de longitud h, en donde 2 h 6 . sea t el tiempo, en horas, que EP es utilizada. Entonces: t 6
h t 2
1
t 3(h t) 3t 3h
6
6
3h 6 2t 3 t h 3 2
Por ejemplo, con una película de 3,5 horas grabaría en EP durante t 1,5(3,5) 3 2,25 horas y después en SP durante t 3,5 2,25 1,25 horas. Esto demuestra que al utilizar EP en lugar de LP, se tendrá 45 minutos más de calidad de grabación en SP. Como un segundo ejemplo, considere una grabación de una película de 5 horas y 20 minutos. Aquí h=16/3 horas, de modo que utilizaría EP durante t 3 16 2 3
3
5
Horas y SP para el resto de la película. Tomado de: ―Matemáticas para Administración y Economía‖ de Ernest F. Haeussler, JR/ Richard S. Paul/ Richard J. Wood
3.6.3. Caso de estudio II: El mono y los cocos «Tres hombres y un mono naufragaron en una isla desierta. Los tres hombres pasaron el primer día recogiendo cocos para comer. Al llegar la noche, amontonaron los cocos todos juntos y después se fueron a dormir. Pero cuando todos estaban dormidos, uno de los hombres se despertó y se levantó. Fue a la pila de cocos y pensó que no había ningún problema en tomar su parte en ese momento. Así que dividió los cocos en tres partes, comprobando que sobraba un coco. Le dio el coco que sobraba al mono, tomó su parte, juntó las otras dos partes de modo que quedara una sola pila y tras ello se fue a dormir. Poco más tarde, otro de los hombres se despertó e hizo exactamente lo mismo que el anterior. De nuevo, al dividir la pila en tres partes, le sobraba un coco, que entregó al mono. Finalmente, el tercer hombre también hizo lo mismo: repartió la pila de cocos en tres montones, tomó su parte y comprobó que sobraba un coco, que entregó al mono. Por la mañana, todos se acercaron a la reducida pila de cocos, la dividieron en tres partes, comprobando que sobraba un coco que, de común acuerdo, entregaron al mono, y cada uno de ellos tomó su parte. ¿Cuál es el menor número de cocos que podía tener la pila original? » (Tomado de http://abelgalois.blogspot.com/2006/09/cocos-en-una-isla-desierta.html ) Solución Sea N el menor número de cocos que podía tener la pila original. Según los datos del problema se construye el siguiente cuadro:
201
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Número de repartos 1º 2º 3º 4º
La cantidad a repartir N=3x+1 2x=3y+1 2y=3z+1 2z=3w+1
Lleva x el primero y el segundo z el tercero w cada uno
Queda para repartirse 2x 2y 2z 0
Lleva el mono 1 1 1 1
Por otro lado, se sabe que la cantidad total es igual a la cantidad que lleva cada hombre más la cantidad que lleva el mono. Es decir: N = (x+w) +( y+w) + (z+w) + 4
(1)
Del gráfico se tiene:
2x
3y 1
2y
3z 1
2z
3w 1
x y z
3w 1 2 9w 5 4 3w 1 8
(2) ( 3) (4 )
Reemplace (2), (3) y (4) en (1) y se tiene: 3w 1 9w 5 3w 1 N 3w 4 2 4 8 81w 65 (80w 64) w 1 N 10w 8 8 8
w 1 8
Por dato del problema, N es entero positivo y debe ser el menor valor. Entonces se concluye que: w=7 Luego, reemplazando el valor de x en las ecuaciones (2), (3) y (4) se tiene: x=26; y = 17; z=11 Por lo tanto, el número de cocos que había inicialmente en la pila es: N = 26 + 17 + 11 + 3(7) + 4 = 79.
3.6.4. Ecuaciones Se denomina ecuación a la igualdad de dos expresiones algebraicas cuya solución o raíz es aquel valor de la incógnita o variable que sustituida en la ecuación verifica la igualdad. Ejemplo: 4x 1 2
2
5x
3 2
Donde x 1 es la solución de la ecuación.
202
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Las ecuaciones se clasifican en: 1.
Ecuaciones compatibles determinadas: Son las ecuaciones que tienen un número finito de soluciones. Ejemplo: x3
2.
6
7
Conjunto solución
→
3,1, 2
Ecuaciones Compatibles indeterminadas: Son las ecuaciones que tienen un número infinito de soluciones. Ejemplo: x2 x x 1
3.
x
2x
Tiene infinita soluciones
→
Ecuaciones incompatibles o absurdas: Son las ecuaciones que no tienen solución. Ejemplo:
x 2
x 1
→
No tiene solución.
3.6.5. Ecuaciones lineales o de primer grado con una incógnita Para resolver una ecuación se debe aplicar las propiedades de las operaciones como la propiedad aditiva, la propiedad multiplicativa y la propiedad de la transposición de términos. Después de simplificar nos queda la forma: ax b 0 , donde a y b son los coeficientes. La solución es: x
b a b a
Si a
0, b
0, se tendrá: x
Si a
0, b
0, se tendrá: x
Si a
0, b
0, es una ecuación compatible indeterminada.
Si a
0, b
0, no hay solución o es una ecuación incompatible o absurda.
0
Ejemplo: Resuelve:
x2
6x
10
x2
8x
17
x x
3 4
2
Solución
203
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Desarrollando la potencia:
x2
6x 10
x2
6x
x2
8x 17
x2
8x 16
x2
6x
Haciendo cambio de variables:
a;
9
x2
8x
b
Se tiene: a 10 a 9 b 17 b 16 (a 10)(b 16) (a 9)(b 17) ab 16a 10b 160 ab 17a 9b 153 Transponiendo y simplificando se tiene:
10b 9b 16a 17a 153 160
b a
7
Reemplazando los valores de a y b se tiene:
x2
8x
x2
6x
7
1 2
x
3.6.6. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado con una incógnita Es un tipo de ecuación particular en la que la variable o incógnita está elevada al cuadrado. En su forma más general se puede decir que: ax 2 bx c 0 es una ecuación cuadrática, donde los coeficientes a, b y c son números reales cualesquiera, con a 0 . En estas ecuaciones, la variable x no se despeja con facilidad, por lo que se requiere de diferentes procedimientos para halle la solución. El procedimiento más sencillo consiste en realizar una factorización de la ecuación general: ax 2 bx c 0 usando el método del aspa simple hasta que la x quede despejada. Otra forma de encontrar la solución de una ecuación de segundo grado es a través de la llamada fórmula general: x
b
b2 4a c 2a
La fórmula produce dos respuestas: una con el signo + y otra con el signo – Tipos de soluciones: reales e imaginarias Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones: Dos raíces reales distintas. Una raíz real (que vendrían a ser dos raíces iguales). Dos raíces imaginarias distintas.
204
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Si el valor del discriminante b2 soluciones reales (dos raíces).
4a c resulta positivo, entonces la ecuación tendrá dos
Si el valor del discriminante resulta cero, entonces la ecuación tendrá una sola solución (una raíz). Si el valor de b2 4a c es negativo, entonces la raíz cuadrada es imaginaria, generando dos raíces imaginarias. Método 1: Resuelva 5x 2
13x
6
0
Solución Se identifican los coeficientes, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, en forma decreciente (de grado mayor a menor). Con esta condición se tiene: a 5; b 13; c 6 y se aplica la fórmula:
13
x
132 4( 5)(6) 2( 5)
13
169 ( 120) 10
13
289 10
13 17 10
Hay dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra el signo –. Llámense x1 y x2 a las dos soluciones, que serán:
x1
13 17 10
2 ;x 5 2
13 17 10
3
Ambos valores de x satisfacen la ecuación; es decir, al sustituir x por los valores obtenidos producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verificación o comprobación. Probando con x 3 , resulta: esperaba en el segundo miembro.
5(3)2 13(3) 6
Lo mismo sucederá si se comprueba con x
45 39 6
0
tal como se
2 . 5
Método 2: Resuelva 6x
x2
9
Solución En este caso, la ecuación no está ordenada según el formato ax 2 bx c 0 ; por lo tanto, deben hacerse los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma deseada: x2
6x
9
0 . Ahora, se identifican los coeficientes: a fórmula general:
205
1; b
6; c
9 y se aplica la
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
62 4( 1)( 9) 2( 1)
6
x
6
36 36 2
3
Obsérvese que el discriminante b2 4a c es igual a cero, por lo que se producen dos raíces iguales a 3; es decir, x1 x 2 3 . Sustituyendo los valores en la ecuación original, se comprueba que: 6(3) (3)2
18 9
9.
Método 3: Resuelva x2
6x 13
Solución Nuevamente hay que ordenar para obtener: x 2 6x 13 0 , identificando los coeficentes: a 1; b 6; c 13 . Aplicando la fórmula general se tiene:
x
( 6)
( 6)2 2(1)
4(1)(13)
6
36 52 2
6
16 2
El discriminante es negativo y no existe raíz cuadrada de un número negativo. Por lo tanto, este es un resultado que pertenece a los números complejos:
x
6 4i 2
3 2i
3.6.7. Ecuaciones polinómicas o de grado superior con una incógnita Su solución se basa en el siguiente criterio de divisibilidad: ―Si un polinomio P(x) se anula para x a , entonces uno de los factores será: (x a) ‖. Los posibles valores que anulan a un polinomio son los divisores del término independiente del polinomio y los que resultan de la división de estos divisores con el coeficiente del término de mayor grado. Para calcular el cociente en cada división se emplea el Método de Ruffini, que consiste en trazar dos rayas que se intersecan: una vertical y otra horizontal. Encima de la raya horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo, y encima de la raya horizontal y a la izquierda de la vertical se coloca aquel valor de ―x‖ que anule al divisor. Ejemplo: Resuelva x3
6x 2
3x 10
Solución Se hace P(x)
x3
6x2
3x 10
206
0
CAPÌTULO 3 a) b)
ÁLGEBRA
Rango de valores:
1; 2; 5; 1 0
Aquellos divisores del término independiente, –10. Ceros del polinomio: Se inicia con los valores más pequeños del rango de valores y tomando sólo los valores que eliminan al polinomio: Para x 1 P(1) 13 6(1)2 3(1) 10 0 Esto implica que R P(1) 0 R P(1) 0 (R es el resto, recuerde el Teorema del Resto) y, por lo tanto, x 1 es divisor exacto; es decir, se puede escribir: P(x) (x 1)Q(x)
c)
Cálculo del cociente Q(x) : Usando a RUFFINI: 1
6
1
3
1 1
7
–10
7
10
10
0
R
Q(x) Es decir Q(x) x2 7x 10 , que factorizando nuevamente por el Método de Ruffini o por el método de aspa aimple se puede escribir como: Q(x) (x 2)(x 5) Finalmente: P(x) (x 1)(x 2)(x 5) Observe que los valores de x que anulan al polinomio son 1, –2 y –5, que están comprendidos en el rango de valores y que vienen a ser las soluciones de la ecuación. Por lo tanto, el conjunto solución es: C.S.
5; 2;1
Ejemplo: Resuelva 2x 4
21x 3
72x 2
91x
30
0
Solución Considerando P(x) a)
2x 4
Rango de valores:
21x3
72x2
91x 30
1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30;
1 3 5 15 ; ; ; 2 2 2 2
Como todos los términos del polinomio son positivos, los únicos valores de x pueden anularlo son valores negativos. b)
Ceros del polinomio:
P( 1)
2( 1)4
21( 1)3
72( 1)2
91( 1) 30
8
P( 2)
2( 2)4
21( 2)3 72( 2)2
91( 2) 30
0
207
0 (no se considera)
que
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Luego P(x) es divisible por (x 2)
P( 3)
2( 3)4
21( 3)3
72( 3)2
91( 3) 30
0
Luego P(x) es divisible por (x 3) Por ser el polinomio de cuarto grado, basta con encontrar dos de sus ceros. Así, se puede escribir: P(x) (x 2)(x 3)Q(x) c)
Cálculo del cociente:
x2
Puesto que (x 2)(x 3) de Ruffini: 2x4 2x 0x
4
21 x 3 4
10 x 11 x
3
11 x
3
5x 6 , usemos la división clásica en lugar del Método
72 x 2
3
2x
2
60 x 55 x 3
x2
30
2
12 x
0x
91 x
5x 2
6
11 x
5
91 x
2
66 x
5x 2 5x
25 x
2
0
30
25 x
30
+ 0 + 0
Es decir Q(x) 2x2 11x 5 , que se puede factorizar por aspa simple como: Q(x) (2x 1)(x 5) Por lo tanto: P(x) (x 2)(x 3)(2x 1)(x 5) Observe que los valores de x que anulan al polinomio son –2, –3, –1/2 y –5, que están comprendidos en el rango de valores y que vienen a ser las soluciones de la ecuación. Por lo tanto, el conjunto solución es: C.S.
2; 3;
1 ; 5 2
3.6.8. Ejercicios resueltos 1.
Resuelva: x 2 10x
21
0
Solución Factorizando el primer miembro por aspa simple: x
3 x
7
0
Se iguala cada factor a cero y se obtiene el conjunto solución: 2.
Resuelva la siguiente ecuación: 2 x 1
x
9
Solución
208
3 x 1
8
C.S.
{ 3; 7}
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Se aplica la propiedad distributiva y se tiene: 2x 2 x 9
3x 3 8
Se reduce los términos semejantes en cada uno de los miembros y se tiene:
x 7
3x 5
Agrupando las ―equis‖ en el segundo miembro y los números en el primero
7 5
3x x
se reduce nuevamente términos en cada miembro y se despeja la incógnita: 2
3.
2 2
2x
Resuelva la siguiente ecuación: x 3
2
x
1
x
x 1 x 2
3x
Solución Multiplicando los dos factores lineales se obtiene:
x2
x2
6x 9
x 2
3x
Introduciéndole signo negativo se tiene: x2
6x
9
x2
x
2
3x
Simplificando el término cuadrático y despejando la variable x resulta: 11 4
x
4.
Resuelva la siguiente ecuación: 2x
3 3x
5
x 1 6x
5
Solución Multiplicando en ambos lados los factores lineales se tiene: 6x 2
10x
9x 15
6x 2
5x
6x
5
Reduciendo términos semejantes y pasando todos los términos cuadráticos y lineales al primer lado y los términos independientes al segundo lado se obtiene:
6x2
x
6x2
x
15 5
Simplificando los términos cuadráticos y despejando la variable x, se concluye:
x 5.
Resuelvala siguiente ecuación: x
4 x
5 3
8
x 12
8
Solución Efectuando el producto se tiene: x2
Se pasa el 8 al primer miembro:
209
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA x2
x
20
0
Factorizando el primer miembro por aspa simple se obtiene: x
5 x
4
0
Se iguala cada factor a cero se obtiene el conjunto solución: C.S.
6.
{ 5;4} x2
Resuelva la siguiente ecuación: x 8 x 2
5
x 5 x 1
Solución Reduciendo y pasando todo al primer miembro: x2
x2
6x 16 x2
x2
5
16
6x
5
0
Se factoriza el primer miembro: x
4 x
4
0
Se iguala a cero cada factor y se obtiene el conjunto solución: C.S.
7.
{ 4;4}
Resuelva la siguiente ecuación: 3x 2 10x 5
0
Solución Comparando la ecuación dada 3x 2 10x 5 obtiene que: a
3; b
10; c
0 , con la forma ax 2
bx
5
b2 2a
b
Reemplazando estos valores en la fórmula general: x
4ac
Se obtiene:
x
10
10
2
4 3 5
10
40
2 3
6
10 2 10 6
El conjunto solución de la ecuación es: C.S.
8.
Resuelva la siguiente ecuación:
{
x 3 x 2
5 3
10 5 ;
x 1 x 5
Solución
210
4
10 3
}
5
10 3
c
0 ; se
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
En primer lugar, se reduce la ecuación hasta llevarla a la forma: ax 2
Es decir: x 3 x 1 x 2 x 5 x 3 x 5
x2
4
M.C.M. x
2x 15 x 2
2x 2
2x 2
x 17
11x
23
4 x
4 x2
x 2 12x
c
0
x 2 x 5
2 x 1
4x 2
bx
2 x
5
3x 10
40
0
Multiplicando ambos miembros por –1 se tiene: 2x 2
Comparando con la forma ax 2
11x
23
0
0 ; se tiene que:
bx
c
a
2; b
11; c
23
Reemplazando estos valores en la fórmula general: b2 2a
b
x
4ac
Se obtiene:
x
112 4(2)( 23) 2(2)
11
11
305 4
El conjunto solución de la ecuación es: C.S.
9.
Resuelva la siguiente ecuación:
11
{
305 4
10
17
3
2
x
x
1
11
;
305 4
}
8 x
Solución Se da denominador común, siendo este x 3 . Multiplicando cada término de la ecuación por el común denominador, es decir x 3 10 x3
x3
17 x2
x3
1 x3
8 3 x x
y simplificando y pasando todos los términos al primer lado se obtiene: 1x 3
8x 2
17x 10
0
Los posibles valores que anulan a dicha ecuación son las raíces de la ecuación, para hallar dichos valores se efectúa de la siguiente manera:
211
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Divisores de 10:
1;
Divisores de 1:
2;
5; 10
1
1 2 5 10 ; ; ; 1 1 1 1
Los posibles valores serán:
1;
Los únicos valores que anulan a la ecuación 1x 3 x
1; x
2; x
2;
8x 2
5; 10
17x 10
0 son:
5
Ahora se aplica el Método de Ruffini cuando: x 1
8 1
17 7
10 10
1
7
10
0
1
Luego, el cociente es: 1x 2
1
7x 10
Se aplica el método de Ruffini cuando: x
2
1
7 2
10 10
1
5
0
2
Luego, el cociente es: 1x 5 Se aplica el Método de Ruffini cuando: x
5
1
5 5
5
1
El conjunto solución de la ecuación C.S.
0
10
17
3
2
x
x
{ 1;
2;
10. Halle el conjunto solución de la ecuación: 6
8 es: x
1
5 x
5}
30 x2
25x
6
x4
Solución Se da denominador común, siendo este x 4 . Multiplicando cada término de la ecuación por el común denominador, o sea x 4 6 x4
5 4 x x
30 x
2
x4
25x x
6x 4
5x 3
30x 2
25x
6
6x 4
5x 3
30x 2
25x
6
6
4
x 4 y simplificando se obtiene:
0
Los valores que anulan a dicha ecuación son las raíces de la ecuación. Para hallar dichos valores se efectúa se de la siguiente manera:
212
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
Divisores de 6:
1;
2;
3;
6
Divisores de 6:
1;
2;
3;
6
Los posibles valores son:
1 1 1 ; ; ; 2 3 6
1;
2 ; 3
2;
3;
Los únicos valores que anulan a la ecuación 6x 4 x
1; x
1 / 2; x
3; x
3 ; 2
5x 3
6 30x 2
25x
6
0 son:
2/3
Ahora, se aplica el Método de Ruffini cuando: x
1
6
5 6
30 11
25 19
6 6
6
11
19
6
0
1
Luego, el cociente es: 6x 3
11x 2
19x
6
Ahora, se aplica el Método de Ruffini cuando: x 6 1/2
6
1/2
11 3
19 7
6 6
14
12
0
Luego, el cociente es: 6x 2
14x 12
Se aplica el Método de Ruffini cuando: x 6
14 18
12 12
6
4
0
3
Luego, el cociente es:
3
6x 4
Se aplica el Método de Ruffini cuando: x
2/3
6
4 4
2/3
6
El conjunto solución de la ecuación 6 C.S.
11.
5 x
{ 1;
0 30 x
2
1 ; 3; 2
25x x
4
6
es:
2 } 3
El ingreso mensual total de una guardería por concepto del cuidado de x niños está dado por I 450x y sus costos mensuales totales C 380x 3 500 . ¿Cuántos niños necesitan inscribirse mensualmente para alcanzar el punto de equilibrio? Solución
213
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
El punto de equilibrio se alcanza cuando el ingreso es igual al costo; es decir: 450x 450x – 380x
= 380x + 3500 = 3500
70x = 3500 x
= 50
Por lo tanto, se deben de inscribir 50 niños para que la guardería no pierda ni gane. 12. Sonia y Carlos desean comprar una casa, de manera que han decidido ahorrar cada uno la quinta parte de sus salarios. Sonia trabaja en una empresa y gana 25 nuevos soles por hora y recibe un ingreso adicional de 120 nuevos soles por semana de asesoría. Carlos trabaja en una fábrica y gana 35 nuevos soles la hora. ¿Cuántas horas debe trabajar cada uno de ellos cada semana para ahorrar 564 nuevos soles? Solución Supongamos que ambos trabajan x horas por semana. Entonces, el ingreso semanal de cada uno es: S = 25x + 120; C = 35x Cada uno debe ahorrar la quinta parte; es decir: S 5 25x 120 5
C = 564 5
35x = 564 5
5x 24 7x = 564 12x = 540 x = 45 Por lo tanto, si desean ahorrar 564 soles semanales tendrán que trabajar 45 horas semanales cada uno. 13. Una compañía manufacturera fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $ 20 000 , determine: a) b) c) d)
La ecuación que represente el ingreso. La ecuación que determina el costo total. La ecuación que determina la utilidad total. ¿Cuál sería la utilidad si se vende 8550 artículos?
Solución Sea x la cantidad que se fabrica y se vende a) Ingreso = (Precio de venta)( Cantidad vendida) I(x) = 20x b) Costo total = costo fijo + costo variable
214
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA C(x) = 20 000 + 15x
c) Utilidad = Ingreso total – costo total U(x) = 20x –(20 000 + 15x) = 5x – 20 000 d) U(850) = 5(8550) – 20 000 = 42 750 – 20 000 = 22 750
3.6.9. Ejercicios propuestos NIVEL 1 Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
2x + 3= x + 6 4x–10=2x+12 9x + 9 + 3x = 25 300x – 250 = 150x + 750 17x-3x = 5x +18 2,5x+0,5x=1,5x+4,5 9y–19+y=21 x+ 2x + 9 – 4x = 5x –9
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
2y + 3y – 4 = 5y + 6y – 16 75z – 150 = 80z – 300 3,3x + 2,7x – 4,6 =7,4 2y – 3y + 4y – 5 = 6y – 7y + 15 4x + 6 – 2x = x – 6 + 24 15y – (3 – (4y + 4) – 57) = 2 – y (2y–(3y–4)+5y–6)+10y=12(y–1)+ 36 4t – (12t – 24) + 38t – 38 = 0
Resuelva las siguientes ecuaciones: 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.
x2 – 4x = 0 2p2 = 3p 2x2 + 5x – 6 = 0 x3 – 4x2 – 5x = 0 x3 + 2x2 – x – 2 = 0 x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0 (x – 4)2 = 2x2 – 32
24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
(2x – 3)2 = (x + 3)2 – 24 (3x – 3)2 + 40 = (x + 7)2 + 256 x4 – 5x2 + 6 = 0 (3x + 1)2 = 4(x + 2)2 x3 – 4x2 + x + 6 = 0 x3 – 111x + 110 = 0 x3 – x2 – 66x + 216 = 0
NIVEL 2 Resuelva los siguientes problemas: 1. Halle un número sabiendo que aumentado en 28 equivale al triple de su valor. a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 2. Halle dos números sabiendo que uno excede al otro en 8 unidades y que el menor es 25 unidades menos que el doble del mayor. Dar como respuesta el producto de los números. a) 153 b) 9 c) 17 d) 162 e) 18 3.
El producto de 2 números consecutivos es 462. Determine los números positivos. a) –21; –22 b) 21; 22 c) 11; 42 d) 14; 33 e) n.a.
4.
Se tienen dos números: el mayor excede al menor en 20 unidades. Si al menor se le aumenta sus 3/4, resultaría lo mismo que la mitad del mayor. ¿Cuáles son esos números? a) 2; 22 b) 20; 40 c) 11; 31 d) 10; 30 e) 8 ; 28
215
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
5.
La suma de tres números enteros consecutivos es 41 unidades más que el número menor. Halle el mayor de los tres números. a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22
6.
Si se multiplica el menor y el mayor de tres números pares consecutivos, se obtiene un número que es 36 unidades menos que el producto del mayor y el segundo número de los tres mencionados. Halle la suma de dichos números. a) 36 b) 42 c) 48 d) 54 e) 60
7.
Si al triple de la edad que tenía Alfredo hace 20 años se le resta su edad actual, se obtiene la edad que tendrá dentro de 5 años. ¿Cuál es su edad? a) 65 años b) 50 años c) 60 años d) 55 años e) 70 años
8.
Pedro dice: ―Gasté los 2/7 de lo que tenía y S/. 20 más, quedándome con la quinta parte de lo que tenía y S/. 16 más‖. ¿Cuánto tenía Pedro? a) S/. 65 b) S/. 50 c) S/. 60 d) S/. 55 e) S/. 70
9.
Una persona depositó en un banco S/. 1480. Su depósito consistió en 60 billetes, algunos de 10 nuevos soles y el resto de cincuenta nuevos soles. ¿Cuántos billetes de mayor denominación depositó? a) 22 b) 38 c) 20 d) 40 e) 33
10. Halle el mayor valor de ―m‖ para el cual las raíces de la ecuación cuadrática x2 + 2(m+2)x + 9m = 0 sean iguales. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Si una raíz de la ecuación: x2 + (3 45)x 5 = 0 es el inverso aditivo de la otra y 2 una raíz de la ecuación: 12x – (6 1)x – 4(1 + ) = 0 es el inverso multiplicativo de la otra, formar la ecuación cuadrática cuyas raíces son: + 5 y 1. a) x2+10x–75 b) x2–15x–100 2 c) x –10x+75 d) x2+10x+75 e) x2+15x+100 12. Calcule el valor de ―p‖ en la ecuación: 6x2 – (3p+4)x + 4p – 10 = 0, sabiendo que 1 1 19 admite por raíces a x1 y x2, y además se cumple: . x1 x 2 10 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 NIVEL 3 Resolver los siguientes problemas de aplicación: 1.
Un fabricante puede vender cierto producto en S/. 115 la unidad. El costo total consiste de un costo fijo indirecto de S/. 5 600 más los costos de producción de S/. 45 la unidad. ¿Cuántas unidades debe de vender el fabricante para no perder ni ganar? a) 50 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
2.
Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $ 2,50 y el de mano de obra es de $ 4,00 ; el gasto general sin importar el volumen de ventas es de $ 5 000. Si el precio para un mayorista es de $ 7,40 por unidad, determinar el número de unidades que deben ser vendidos para que la compañía obtenga una utilidad de $3100. a) 1 000 b) 2 000 c) 3 000 d) 9 000 e) 5 000
3.
Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir cada unidad de A es de S/. 5 más que el de B. Los costos de producción de A y B son S/. 2700 y S/. 1500
216
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
respectivamente, y se producen 30 unidades más de A que de B. ¿Cuántas unidades de cada producción se fabrican? Dar como respuesta la mayor cantidad. a) 150 y 180 b) 70 y 100 c) 60 y 90 d) 90 y 120 e) 100 y 130 4.
Un determinado producto tiene como precio de venta por unidad p 300 20x soles. Determinar el número de unidades que se deben producir para obtener un ingreso mensual de S/. 27 000. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
5.
Suponga que los clientes comprarán unidades de un producto si el precio es de 80 q nuevos soles cada uno. ¿Cuántas unidades deben venderse para que el ingreso 4 por ventas sea de 400 nuevos soles? a) 50 b) 40 c) 30 d) 20 e) 10
6.
El margen de utilidad de una empresa es su ingreso neto dividido entre sus ventas totales. El margen de utilidad en cierta empresa aumentó en 0,02 respecto al año pasado. cuando vendió su producto en $ 3,00 por unidad y tuvo un ingreso neto de $ 4 500. Este año incrementó su precio en $ 0,50 por unidad, vendió 2 000 más y tuvo un ingreso neto de $ 7 140. La empresa nunca ha tenido un margen de utilidad mayor o igual que 0,15. ¿Cuántas unidades vendió entre el año pasado y este año? a) 32 000 b) 15 000 c) 10 000 d) 17 000 e) 12 000
7.
Una compañía de maquinaria tiene un plan de incentivos para sus agentes de ventas. La comisión por cada máquina que un agente venda es S/. 40. La comisión de cada máquina vendida se incrementará en S/. 0,04 si se vende un exceso de 600 unidades. Por ejemplo, la comisión sobre cada una de las 602 máquinas vendidas será de S/. 40,08. ¿Cuántas máquinas debe vender un agente para obtener un ingreso de S/. 30 800? a) 900 b) 1 000 c) 700 d) 800 e) 1 010
8.
Hace seis meses, una compañía de inversiones tenía una cartera de S/. 3 100 000 , que consistía en acciones de primera y acciones atractivas. Desde entonces, el valor de la inversión en acciones de primera aumentó en 0,1; mientras que el valor de las acciones atractivas disminuyó en 0,1. El valor actual de la cartera es S/. 3 240 000. ¿Cuál es el valor actual de la inversión en acciones de primera? a) 850 000 b) 100 000 c) 700 000 d) 1 250 000 e) 2 250 000
9.
El total de área territorial de las cuatro poblaciones de: Gibraltar, Nauru, Bermudas y la Isla Norfolk es de 116 km2. El área territorial de Gibraltar es 1/3 del área de Nauru. El área de la Isla Norfolk es 5/3 del área de Nauru. El área de Bermudas es 10 km2 menos que tres veces el área de Nauru. Determine el área de Nauru. a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
10. El plan de pago Tasa Preferencial de la compañía telefónica AT&T (en los EE.UU.) requiere que el cliente pague una cuota mensual de $3.95 y luego 6.9 centavos por minuto por cualquier llamada de larga distancia realizada. El plan de Servicio Básico de la misma compañía no tiene un pago mensual, pero el cliente paga 18 centavos por minuto por cualquier llamada de larga distancia realizada. Determine el número de minutos que un cliente necesitaría dedicar a llamadas de larga distancia para que el costo de los dos planes sean iguales. a) 35,57 b) 35,58 c) 35,59 d) 35,6 e) 35,61 11. Como beneficio complementario para sus empleados, una compañía estableció un plan de cuidado de la vista. Bajo este plan, cada año la compañia paga los primeros $ 35 de los gastos del cuidado de la vista y el 80% de todos los gastos adicionales de ese tipo,
217
CAPÌTULO 3
ÁLGEBRA
hasta cubrir un total máximo de $ 100. Determinar los gastos anuales totales en cuidado de la vista cubiertos por este programa para un empleado. a) $ 115,10 b) $ 117,20 c) $ 120,80 d) $ 150,35 e) $ 116,25
3.6.9. Respuestas Nivel 1 1. 2.
11. 12.
2 5
21. 22.
-2; -1; 1 -2; 2; 3
13.
12
23.
-12 ; 4
24.
2; 4
5.
3 11 4 3 20 3 2
25.
-4 ; 8
6.
3
16.
7.
4
17.
8.
3
18.
9.
2
19.
10.
30
20.
3. 4.
14 5 13 7 15 0; 4 3 0; 2
14. 15.
5
4 -1; 0; 5
Nivel 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
73
B A B E D C A E A D B E
26.
3;
2;
2; 3
27.
-1; 3
28.
-1; 2; 3
29.
-11; 1; 10
30.
-9; 6; 4
Nivel 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
218
A C D A C B A C E A C E
CAPÌTULO 4
GEOMETRÍA
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 4
4.1. Geometría Plana 4.1.1.
Caso de estudio: La circunferencia de la Tierra
Eratóstenes nació en Cyrene en el año 276 A.C. Fue astrónomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Padecía ceguera Fue discípulo de Aristón de Quios, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco, y amigo de Arquimedes. Aproximadamente en el año 255 A.C. fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría. Murió de hambre por su propia voluntad en 194 A.C. en Alejandría. Destacó por ser uno de los primeros científicos de la Edad Antigua que utilizó el método experimental. La creencia común en la astronomía de esos tiempos aseguraba que la tierra era un cuerpo plano. Eratóstenes estaba convencido que ésta tenía forma esférica; idea que motivó la realización de su trabajo. Los conocimientos con los que contaba eran el cálculo trigonométrico y nociones de latitud y longitud establecidas por el geómetra Dicearte. Para demostrarlo, pensó que si se clavaba dos estacas verticalmente sobre el mismo meridiano, a varios kilómetros de distancia entre sí, por la curvatura de la tierra arrojaría sombras distintas a la misma hora. Eratóstenes sabía que en Siena y Egipto, durante el solsticio de verano los objetos no arrojaban sombra alguna, por lo que supuso que la ciudad se hallaba situada en la línea del trópico. Basado en datos previos, asumió que Alejandría, más al norte, en la costa del Mediterráneo, se encontraba en la misma longitud de Siena (realmente están separadas 30). El mismo día del solsticio midió la sombra de la estaca en Alejandría y encontró que el cenit de Siena distaba 7,20 del de Alejandría. Después, calculo la distancia entre las dos ciudades (en realidad no se sabe con seguridad como obtuvo esta distancia. Algunas versiones señalan que el dato provino de un libro de Geografía, otros de los reportes de las caravanas comerciales o de un grupo de soldados al los que mando a caminar de una ciudad a otra). De esta forma determinó la diferencia de latitud (distancia de un punto de la tierra al Ecuador). Al conocer el arco de circunferencia así como el ángulo central de la misma, obtuvo el resultado de la circunferencia completa, de esta manera era posible conocer la longitud de la circunferencia de la tierra. Eratóstenes concluyó que la circunferencia medía aproximadamente 40 000 km (255 000 estadios). Las mediciones recientes reportan la distancia de 40 008 km; lo que le dio un margen de error del 1%.
AS = 5 000 estadios 7º 5 000 estadios luego : 360º
ALEJANDRÍA
255 000 estadios
7º
SIENA 7º ECUADOR
219
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
La geometría trata sobre la medición y las propiedades de puntos, líneas, ángulos, planos y sólidos, así como de las relaciones que guardan entre sí. A continuación veremos algunas definiciones y propiedades.
4.1.2. Ángulo Porción de plano determinada por dos rayos con origen común y no colineales. El punto de intersección se conoce como vértice del ángulo. B
OA y OB = Rayos O = Vértice se lee ―medida del ángulo AOB‖
Ángulo AOB O
A
Unidades de medición de los ángulos Las unidades comunes para medir los ángulos son: el grado sexagesimal, centesimales y el radián. El grado sexagesimal (S): Unidad de medida cuyo símbolo es º. Hay 360º en una vuelta completa; es decir: 1 vuelta = 360º El Grado centesimal (C): Unidad de medida cuyo símbolo es g. Hay 400g en una vuelta completa; es decir: 1 vuelta = 400g El radián (R): Un radián es un ángulo cuya medida es igual a la de un arco de longitud r (radio) de la circunferencia que lo contiene. Por consiguiente hay 2π radianes en una vuelta completa; es decir: 1 vuelta = 2
rad
Por lo tanto, una fórmula que relaciona a los tres sistemas de medidas es: S 180
C 200
R
Los ángulos se pueden dividir en diferentes tipos tomando como base los grados que tienen. Clasificación de los ángulos A.
Por su ,edida: Según su medida, un ángulo puede ser: A.1. Ángulo recto:: Es aquel ángulo cuya medida es 90º. A.2. Ángulo obtuso:: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90º pero menor que 180º.
220
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
A.3. Ángulo agudo:: Es aquel ángulo cuya medida es menor que 90º pero mayor que 0º. A.4. Ángulo llano: Es aquel ángulo cuya medida es 180º.
Ángulo Recto B.
Ángulo Obtuso
Ángulo Agudo
Ángulo Llano
Por su posición: Dos ángulos adyacentes tienen el mismo vértice, un lado común y los otros en regiones distintas a dicho lado común. Tres o más ángulos son consecutivos si cada uno es adyacente con su inmediato. Dos ángulos opuestos por el vértice tienen sus lados que son pares de rayos opuestos. Se demuestra que miden igual.
β
β Ángulos Consecutivos
Ángulos Adyacentes C.
Opuestos por el Vértice
Por su relación: C.1. Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90º. C.2. Ángulos son suplementarios: medidas suman 180º.
Dos ángulos son suplementarios si sus
La Bisectriz. Es aquel rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Se dice que la bisectriz biseca al ángulo. En la figura OM biseca el ángulo m∡AOB. m∡AOM = m∡MOB = m
AOB 2
B M α
O
α
A
Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante a ellas Si las rectas L y F son paralelas y P es una secante a ellas, tendremos las relaciones entre pares de ángulos:
221
CAPÌTULO 3 A)
GEOMETRÍA
Ángulos alternos: Ubicados a uno y al otro lado de la secante, en su intersección con cada paralela; tienen igual medida. Pueden ser:
Alternos internos: c = f; d = e Alternos externos: a = g; b = h
B)
Ángulos correspondientes: Los que tienen sus lados dirigidos en un mismo sentido. Miden igual: a = e; b = f; c = h; d = g
C)
Ángulos conjugados: Ubicados a un mismo lado de la recta secante y en su intersección con cada paralela. Son suplementarios.
Conjugados internos: c + e = 180º; Conjugados externos: a + h= 180º;
a
h
b L
d
c e
d + f = 180º b + g = 180º
f g
F
P Propiedades auxiliares: 1.
Para ángulos consecutivos como los de la figura:
c d
b
x
y a
w z
a + b + c + d = 180º 2.
Si M y L son dos rectas paralelas, entonces:
x +y + z + w = 360º
M x y
= x+y+z z
N
222
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
4.1.3. Polígonos Un polígono es una figura plana y cerrada formada por tres o más segmentos de línea unidos en sus extremos. Estas figuras pueden dividirse en dos grupos: Polígonos regulares: Son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos congruentes. Además, todo polígono regular está inscrito en una circunferencia. Por ejemplo: 135º 135º
60º
60º
60º
90º
90º
135º
135º
90º
90º
135º
135º
135º 135º
Triángulo
Cuadrado
Octógono
Polígono irregular: Son aquellos que no tienen todos sus lados y ángulos iguales. Ejemplo:
Pentágono
Cuadrilátero
Triángulo
TRIÁNGULO Es un polígono cerrado que consta de tres lados y tres ángulos. Lados: AB, BC y AC Ángulos interiores: , Ángulo exterior: Vértices: A, B y C Área: A
base altura 2
B
y
AC BH 2
A
H
C
Los triángulos se clasifican: Por sus lados: a) Escaleno:: Tiene sus tres lados diferentes y sus tres ángulos interiores no son congruentes. b) Isósceles: Tiene dos lados congruentes y los ángulos opuestos a estos lados también son congruentes. c) Equilátero: Tiene sus tres lados congruentes y tres ángulos miden 60º.
223
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
60º
60º
60º
Equilátero
Isósceles
Escaleno Por sus ángulos:
a) Acutángulo:: Tiene sus tres ángulos agudos. b) Obtusángulo:: Tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos. El lado opuesto al ángulo obtuso es de mayor longitud. c) Rectángulo:: Tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. Para calcular cuánto mide la hipotenusa se aplica el Teorema de Pitágoras. Teorema de Pitágoras: Hipotenusa
c2
a2
b2
Cateto
c
Se aplica a los triángulos rectángulos. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.
b Cateto
a
Ejemplo: Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 4 unidades de longitud. Halle la longitud de la hipotenusa. Solución Por el teorema de Pitágoras se obtiene: c2
a2
b2
c2
42
52
c
41
Algunos triángulos rectángulos notables Se denomina así a aquellos triángulos en los que son conocidas las medidas de los ángulos agudos y las relaciones entre las longitudes de los lados.
30º
45º
2k
2k k
45º k
53º
3k
5k
3k
60º
37º
k
4k
15º
16º 25k
24k
74º 7k
224
( 3
1 )k
2 2k
75º ( 3
1 )k
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
Propiedades básicas 1.
La medida de los ángulos interiores suman 180º.
β+ α
β
2.
+ α = 180º
Cada ángulo exterior mide igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a dicho ángulo.
β+
=α
α
β
CUADRILÁTEROS Es un polígono cerrado que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los cuadriláteros pueden ser cóncavos o convexos.
Convexo
Cóncavo
360º
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS A)
TRAPECIO Es un polígono de cuatro lados, dos de ellos paralelos pero de tamaños distintos.
B M
C
P
Q
N
Elementos a) Bases: BC y AD ( son paralelos) b) Altura: BH c) Mediana: MN (es paralela a las bases) MN
A
H
BC
AD 2
D d) Segmento que une los puntos medios de las diagonales: PQ
AD BC 2
Área: A
Base mayor Base menor 2
altura
225
AD
BC 2
BH
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
CLASES DE TRAPECIO 1.
Trapecio Escaleno
B)
2. Trapecio Isósceles
3. Trapecio Rectángulo
PARALELOGRAMO Es un polígono cerrado de cuatro lados; sus lados paralelos son congruentes.
Características
B
C
a) AD / / BC y AD BC b) AB / / CD y AB CD c) AO OC y BO OD d) A C y B D
O A
D
H
e) AC BD
Área: A
base altura
f)
AD BH
m A
m B
180º
m D m C
180º
CLASES DE PARALELOGRAMOS 1.
Romboide o 2. Rombo o Losange paralelogramo D
3. Rectángulo
A
A
h
O
D
A
C
B
O
4. Cuadrado
b
C
B
a
A L
C
B
D B
Área
Área A
AD h
A
Área A
AC BD 2
L
D L
L
C
Área a b
A
L2
Perímetro de polígonos regulares Como en los polígonos regulares todos los lados son iguales obtendremos las siguientes fórmulas: Asigenemos c = lado del polígono Triángulo equilátero: perímetro = 3c Cuadrado: perímetro = 4c Pentágono: perímetro = 5c
226
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
4.1.4. Área de los polígonos regulares Consideremos diversos polígonos regulares como un triángulo equilátero, un cuadrado, un hexágono regular o un octógono regular. Todos ellos tienen un centro definido; si unimos dicho centro con los vértices de cada uno de los polígonos, se descompondrán en tantos triángulos como lados tiene.
a c
Todos los triángulos resultantes de la descomposición son iguales y tienen como base un lado c, y su altura es el apotema del polígono a. El área de estos triángulos será: Área de cada triángulo
lado apotema 2
c a 2
Por lo tanto, el área del polígono regular será el resultado de multiplicar esta área por el número de triángulos que se han formado. n lado apotema n c a 2 2 n c Como nxc también es el perímetro del polígono, entonces es la mitad del 2 Área de un polígono regular de n lados
perímetro o semiperímetro, por lo que podemos afirmar que: Área del polígono regular
a semiperimetro
4.1.5. La circunferencia Es una línea curva cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad de equidistar de otro punto llamado centro. El término equidistar significa que están a la misma distancia. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo. Los principales elementos de una circunferencia son:
RADIO:: Es el segmento que une el punto centro con cualquier punto de la circunferencia. El radio permite nombrar a la circunferencia y lo identificamos con la letra r.
DIÁMETRO:: Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro. El diámetro equivale a la medida de dos radios.
CUERDA:: Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
ARCO:: Es una parte o subconjunto de la circunferencia limitada por dos puntos de ella.
227
CAPÌTULO 3
a)
ÁREA DEL CÍRCULO: Ao
b)
GEOMETRÍA
R2
R
ÁREA DE SECTOR CIRCULAR: R2 360º
ASC
R R
4.1.6. Ejercicios resueltos 1.
La diferencia de 2 ángulos complementarios es 400. Halle el suplemento del ángulo mayor. Solución Incógnita: x Su complemento: 90
x
Entonces:
x
(90
2x x
x)
40
40
90
65
El ángulo mayor es: 650, entonces su suplemento será: 1800 – 650 = 1150 2.
Dos rectas al cortarse forman 4 ángulos, dos de ellos están en relación de 4 a 11. ¿Cuánto miden los ángulos? Solución C
Del grafico: m
AOB
m BOC 180º 4x 11x
180º
15x
180º
x
11x
B 4x A
12
228
O
D
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
De donde: m AOB 11x 11(12) 132º m BOC
3.
4x
4(12)
48º
El área de un cuadrado es 256 m2. ¿Cuál es el área de otro cuadrado cuyo lado es igual a la diagonal del primero? Solución Del grafico se tiene que L es el lado del cuadrado pequeño. Entonces del enunciado tenemos que: L2 L
L
256 16
Diagonal de cuadrado pequeño: D
L
D
D
L 2
Sustituyendo el valor de L se tiene: D
16 2
Luego, Acuadrado
D2
Entonces: Acuadrado
(16 2)2
512m2
Por tanto, el área del cuadrado mayor es 512 m2 . 4.
Halle el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 2 m y uno de sus catetos es el triple del otro. Solución Incógnita: A Considerando el gráfico y por el Teorema de Pitágoras tenemos que: x 2 (3x)2 (10 2)2 10x 2
200
x2
20
Entonces: A
10 2 m
3x
x (3x)(x) 2
3x 2 2
3(20) 2
30
El área del triangulo rectángulo es: 30 m2 5.
El lado AB del cuadrado ABCD mide 12 cm. Sobre el lado CD se construye un triángulo equilátero CDE. Halle el área del triángulo ADE. Solución Según los datos se construye el siguiente gráfico. Si se traza la altura del triángulo rectángulo, vemos que divide al lado CD en en dos partes iguales. h= 6 Por lo tanto: Área =
12 6 = 36 cm2 2
229
B
12
C 12
12
12 12
A
12
D
E h
CAPÌTULO 3 6.
GEOMETRÍA
¿Cuál es el resultado de sumar el valor numérico de un ángulo en el sistema sexagesimal más su valor en el sistema centesimal si en el sistema radial es
4
radianes? Solución rad 4 R
Sea el ángulo: Usemos S
S 180
C 200
180
en el sistema sexagesimal y centesimal:
45º
4 200
C
para hallar
50g
4
Luego: 45 + 50 = 95 7.
Un arco gótico está formado por dos arcos de circunferencia unidos, siendo cada uno de ellos igual a la sexta parte de la circunferencia. El centro de cada uno está en el extremo opuesto de la anchura del arco, como indica la figura, por lo que uniendo los tres puntos de los dos arcos se forma un triángulo equilátero. ¿Cuál es el área de un arco gótico de 6 metros de ancho? Solución Se Observa:
A1
A3
A total
2A1
A2
y
A1
Luego: A sc
Asc
A1
A2
R2 360
A3 A2
60 (6)2 360
6m
6
Además el A 2 es la región formada por un triángulo equilátero de lado 6m, entonces: A2
L2 3 4
A1
A sc
Entonces:
62 3 4
A2
6
9 3
9 3
Por tanto: A total
8.
2A1
A2
2(6
9 3)
9 3)
12
9 3
Un círculo está inscrito en un triángulo equilátero. ¿Cuál es la razón entre el área de ese círculo y el área del triángulo que lo circunscribe? Solución Del gráfico y usando el triángulo notable se obtiene R: R
L
L
L
2 3 R
Entonces
30º L/2
230
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
A0
L2 3
A
4
9.
L
)2 2 3 L2 3
(
R2
3 9
3 3
4
B
El triángulo ABC es equilátero y M, N y P son puntos medios de AB,BC y AC respectivamente; los puntos R, Q y S son los
Q
M
puntos medios de PM,MN y NP respectivamente. ¿ Qué fracción representa el área de le región sombreada del área total?. A
R
S P
Solución Se Observa: Luego:
A ABC
A ABC
16A MQR y
A sombreada
Entonces:
4A MNP A MNP ;
A total
4A MQR
A sombreada
3A MQR 16A MQR
3A MQR
3 16
Por tanto, el área sombreada representa los
3 del área total. 16
10. Halle el área de la zona sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide a. B
C
A
D
Solución Del gráfico adjunto se observa: A1
ASC R2
A1 A1
A
4 a2
B bh 2
a2
a2
4
2
C A1
2a2 4
A
Luego: Asombreada Asombreada Asombreada
a2
2
4a2
A cuadrado a2
2A1
2a2 4
a2 2
231
D
N
C
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
4.1.7. Ejercicios propuestos Nivel 1 1.
Dos ángulos A y B de un triángulo miden /3 rad y 40°, respectivamente. Exprese la medida del tercer ángulo mayor en grados sexagesimales. a) 80° b) 99° c) 97° d) 98° e) 90º
2.
Si la suma de dos ángulos es 80° y su diferencia es 10°, halle el mayor ángulo en radianes. a)
5
rad
b)
3
c)
rad
4
rad
d)
5
rad
e) N.A
3.
Se tienen los ángulos AOB, BOC y COD, donde: m∡AOC=62º, m∡BOD=56º y m∡AOD=81º. Halle m∡BOC a) 28º b)17º c)37º d)47º e)31
4.
AOB y BOC, son dos ángulos suplementarios OP , bisectriz del ángulo AOB. Halle m∡BOC, si m∡POC = 112º a) 56º b)54º c)48º d)44º e)46º
5.
En la figura adjunta, halle el valor de x.
3x
2a
4a
2x
5a
a) 20º 6.
c)34º
d)24º
e)15º
En la figura determine el valor del ángulo 8, si se sabe que:
a) 58° 7.
b)28º
b) 48°
c) 72°
d)80°
e) 60º
Si L1 // L2. Calcule el valor ― ‖ 2
L1
6 13
a) 20º
b)10º
c)30º
L2
d)35º
232
e)15º
CAPÌTULO 3 8.
GEOMETRÍA
Los ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si el menor mide expresar el ángulo mayor en grados sexagesimales. a) 80º b)90º c)75º d)100º
9.
4
rad,
e) 105º
Los tres lados de un triángulo están en la razón de 1 : 3 : 5. El perímetro del triángulo es 72 cm. Encuentra la longitud del lado menor. a) 12cm b)8cm c)9cm d)14cm e)24cm
10. Cuánto mide el ángulo x si el triángulo es isósceles. a) 110º b)120º c)130º d)115º e) 100º
A
50º
X B
C
11. ¿Cuál es la expresión con que se calcula la diferencia entre las áreas del cuadrado grande y las áreas de los cuadrados pequeños? a) b) c) d) e)
a2 a2 a2 4a 2
b2 4b2 2b2 b2
b a
a–b
12. Calcule el área sombreada si el área del cuadrado ABCD es 50m2. a) b) c) d) e)
100 m2 25 m2 50 m2 40 m2 60cm2
A
B
D
C
13. El área del rectángulo es de 20 cm2. Halle el área del triángulo sombreado. a) 10 cm2 b) 15 cm2 c) 16 cm2 d) 18 cm2 e) 20 cm2 14. El cuadrado mostrado tiene 4 cm. de lado, halle el área sombreada. a) b) c) d) e)
16 cm2 4 cm2 9 cm2 8 cm2 10 cm2
233
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
15. La figura consiste de 5 cuadrados. El área total de la figura es 180 m2 ¿Cuál es su perímetro en metros? a) b) c) d) e)
36 m 45 m 72 m 90 m 84 m
16. En la figura: AB = 7 y AD = DC = 4 halle el perímetro y su área. a) b) c) d) e)
35 y 22 16 y 11 18 y 11 20 y 22 22 y 20
C
D
A
B
17. Calcule el área sombreada si se conoce que los terrenos que lo limitan son cuadrados. a) b) c) d) e)
30 m² 50 m² 60 m² 120 m² 70 m2
18. Si el polígono ABCD es un cuadrado cuya lado mide 4m y isósceles. El valor de la región no sombreada es: a) b) c) d) e)
14 m² 12 m² 4 m² 6 m² 10 m2
19. Calcule el área de la región sombreada: a) b) c) d) e)
13,76 14,76 15 13,36 15,5
4
234
el triángulo ABE
es
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
Nivel 2 1.
En la figura, si m // n. calcule el valor de x. a) b) c) d) e)
6xº
10º 20º 30º 40º 45º
2xº
m
n
xº
2.
Sobre un plano se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, además OP y OQ son bisectrices de los ángulos AOB y COD respectivamente.
Si m∡POQ = 80º y m∡AOB – m∡COD=20º, calcule la m∡AOC. a) 90º b)100º c)110º d)120º e) 105º 3.
Dados los rayos consecutivos OA, OB, OC, OD, tal que m∡AOD = 114º y la mitad de la medida del ángulo formado por el rayo OD y la bisectriz OW del ángulo BOC es 16º. Calcule la m∡AOW. a) 80º b)82º c)85º d)90º e) 84º
4.
Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que: 7(m∡AOC)=5( m∡COD) y 5(m∡BOD) – 7(m∡AOB) = 120º. Determine la m∡BOC. a) 5º b)15º c)10º d)40º e) 25º
5.
Se quiere proteger una piscina de forma circular de 20m de diámetro con una cerca cuadrada cuyo perímetro sea el doble de la longitud de la circunferencia de la piscina (ver figura) ¿Cuál es la longitud de un lado de la cerca? a) 10 b) 5 c) 20 d) 40 e) 50
6.
Calcule en radianes el ángulo que forman las agujas de un reloj cuando marcan las 5 p.m. a) /6rad b) 7 /6rad c) /6rad d) 5 /6rad e) N.A.
7.
¿Cuál es el área de un círculo sabiendo que una circunferencia tangente al que pasa por su centro tiene un área de 9 centímetros cuadrados? a) b) c) d) e)
12cm2 24cm2 36 cm2 9 cm2 36 cm2
R r
235
CAPÌTULO 3 8.
Siendo 32 cm² el área del círculo pequeño de la figura, determine el diámetro del círculo mayor. a) b) c) d) e)
9.
GEOMETRÍA
4 cm 12 √2 cm 4√2 cm 16√2 cm 8√2 cm
Determinar el área del rectángulo ABCD y el ángulo AEB de la figura: a) b) c) d) e)
50 y 90 50 y 120 25 3 y 120 25√2 y 120 N.A.
10. Calcule la región sombreada:
3
3
3
3 3
3 a)
18 3 9 2
b)
18 3 3 2
c)
20 3 9 2
d)
20 3 3 2
11. Calcule el área la región sombreada si el área del cuadrado es 80 m2. a) b) c) d) e)
50 y 90 50 y 120 25 3 y 120 25√2 y 120 N.A.
a) 15cm2
b) 20cm2
c) 30 cm2
12. Calcule el área de la región sombreada: a
d) 40cm2
e) 10cm2
a
a 2a a
a)
4a 2 cm 2 2
b)
3a 2 cm 2 2
c)
5a 2 cm 2 2
d)
236
a2 cm 2 e) a2 2
e) N.A
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
13. Calcule el área de la región sombreada:
B 4
4 6
4
4
A a)
18 3 16 2
b)
28 3 16 3
4 c)
C
4
48 3 16 3
d)
20 3 3 2
e) N.A
14. El pie cuadrado de aluminio cuesta aproximadamente 80 soles. ¿Cuánto se gastará en cubrir la parte sombreada? a) b) c) d) e)
17600 16600 18600 17000 17500
6 10 16 pp
15. Si ―R‖ es el radio del círculo grande y ―r ‖ el radio del círculo pequeño, ¿cuánto debe medir ― r ‖ para que el área del círculo pequeño sea igual al área sombreada?
a) R
b) R
3
2
c) R
d) R 3 2
e) R 3 4
16. Calcule el área del cuadrado ABCD, si el área del cuadrado PNQA mide 12 cm2 y el área del cuadrado RCSN mide 3 cm2. a) 27cm2 b) 24cm2 c) 39 cm2 d) 18cm2 e) 20m2 17. Calcule el perímetro del cuadrado MNPQ si ABCD es un cuadrado de 100 cm2 de área y si M, N, P y Q son puntos medios.
a) 20 2
b) 50
c) 20 5
d) 40 2
237
e) 5 2
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
Nivel 3 1.
Sean los ángulos consecutivos AOB y BOC. Se trazan OM y ON , bisectrices de ángulos AOB y BOC respectivamente. Calcule m∡AOC, si: m∡AON=55º y m∡MOC=68º. a) 123º b) 61,5º c) 69º d) 82º e) N.A
2.
En la figura: m∡AOB=32º y m∡COD=36º. Calcule m∡POQ, siendo OP bisectriz del ángulo AOD y OQ bisectriz del BOD.
A
B C D
O a) 16º 3.
b)34º
c)24º
d)28º
e)N.A
En la figura: m // n., calcule el valor de x m
140º - 2x n 90º + 3x
a) 15º 4.
b)10º
c)20º
d)25º
e)5º
En la figura: FB // DE, calcule el valor de x H B
150º - 2a
F
x 10º + 8a
C
160º - a D
a) 44º
b) 52º
c) 56º
E
d) 8º
238
e) N.A
CAPÌTULO 3 5.
GEOMETRÍA
En la figura: BE = ED = BC, halle m∡DBC = x.
E
B x
50º
10º
A a) 10º 6.
c)30º
d)5º
e)15º
5 2 a 24
b)
10 2 a 24
c)
15 2 a 24
d)
2 2 a 24
e) N.A.
En el gráfico se tiene una circunferencia cuyo radio mide 12 cm, en la cual se inscrito cuatro circunferencias iguales. Calcule el área de la región sombreada.
a) 8.
C
Calcule el área de la región sombreada :
a) 7.
b)20º
D
144(8 3 11) 2
b) 144 (8 2
11)
c) 24(8 3 11) d) 24(8 3 11) 2
han
e) N.A.
2
AOB es un sector circular, tal que m∡AOB = 30º. Calcule el área de la región sombreada, si el semicírculo de centro M tiene área K. B
M O
a)
k 2
b)
k 3
A
c)
3k 2
d)
239
k 4
e) N.A.
CAPÌTULO 3 9.
GEOMETRÍA
Calcule el área de la región sombreada.
a
a 1 b) a 2 2
a) a 2
1 c) a 2 5
d)
2 2 a 5
e) N.A.
10. Un enamorado de la geometría para el día de San Valentín construyó un corazón geométrico con un triángulo equilátero y dos círculos iguales. Comenzó con el triángulo, como indica la figura, que tenía 3cm. de lado. En los vértices A y B colocó dos círculos, de manera tangente a los lados y entre sí. El problema consiste en averiguar el radio de estos círculos para que puedan formar con el triángulo el corazón geométrico. A B A
3
B
C
a)
3 2
3
cm
b)
2 3
2
cm
c)
3 3
cm
2
d)
2 2
3
cm
e) N.A.
11. En la figura adjunta, ABCD y EFGH son cuadrados y ―O‖ centro de EFGH. Calcule el área de la región sombreada. B
C
E F A
O
H
4u
G
a) 4u2
b)2u2
c) 1u2
d) 5u2
e) N.A.
12. Si AB = BC = AE, calcule el área de la región sombreada.. B
A
C 6m D
E
a) 2(3 3
)
b) 3(3 3
)
c) 3 3
d) 3(3 2
240
)
e) N.A.
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
13. Calcule el área de La región sombreada. R
R
a) 2 R 2 (2 5
2
2)
b) R 2 (2 5
d) 2 R (2 3
2
2)
e) N.A
2
4.1.8.
2
2)
c) R2 (4 4
Respuestas Nivel 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Nivel 2 A C C D B C B C B D B C A D C D A B A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Nivel 3 B A B C A D C D C A B B C A B A A
241
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D A B A B A B A D A A B C
2 2 )
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
4.2. Geometría del espacio 4.2.1.
Caso de estudio: Nueva presentación de envases de tetra pack
«El Grupo AJE lanzó la nueva campaña Pulpín y Pulpmanía pensando en los engreídos de la casa. Pulpín, el néctar con más pulpa de fruta, trae su presentación de tetra pak con alegres y coloridos modelos de autos de carrera. A través de la Pulpmanía, los niños podrán canjear sus pistas de carreras en los principales puntos de venta a nivel nacional. Así, los niños disfrutarán de su néctar favorito con un animado juego para la casa y el colegio. Pulpín viene en tres deliciosos sabores: durazno, manzana y surtido, y es ideal para la lonchera. Por seguridad y practicidad, es el preferido de las amas de casa y de los niños, motivo por el cual lidera hoy el mercado de néctares infantiles en el formato de 150 ml., en envases de tetra pak. En el primer semestre del año, Pulp representó el 31,1% del mercado de néctares a nivel nacional (según Latin Panel), siendo una de las marcas más importantes de esta categoría. El grupo AJE produce néctares en Perú, México y Ecuador, utilizando la pulpa de fruta de los productores agrarios de Ancash, Lima, Piura, Cajamarca e Ica, generando empleo en el campo y contribuyendo a una mejor alimentación infantil y al crecimiento de la economía nacional. El Pulpin, como es llamado a la presentación de 150 ml viene en un empaque de forma piramidal. Es un envase único y divertido que a primera vista le encanta a los niños, muy práctico para colocar en la lonchera. Asimismo, gracias a su forma, el empaque utiliza un mínimo de material y genera ventajas a nivel económico y ambiental, ―Es un empaque conveniente para beber con facilidad pues contiene la cantidad justa para un niño en edad preescolar‖, dicen los especialistas. La forma piramidal del nuevo envase solo se basa en un sachet común, el cual solo se ha modificado el cierre de uno de sus extremos, el cual presenta una rotación de noventa grados, con ello se ahorra tiempo y material para su fabricación. Así también para la obtención de las dimensiones del envase, que inicialmente es un molde plano, se consideró el volumen establecido y ahorro de material». (Tomado de http://www.peru.com/finanzas/idocs2/2008/9/9/detalledocumento_535118.asp ) Si varía el tamaño del envase, ¿cómo podríamos calcular el área lateral y el volumen?
242
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
Respuesta: Es sencillo, pues al abrir cuidadosamente un envase nos damos cuenta que la figura proviene de un cilindro
Por lo tanto, si el tamaño varia sólo se debe de usar las formulas para calcular área lateral y volumen de un cilindro.
4.2.2. Algunas definiciones importantes ESPACIO Es el ambiente que nos rodea. Es el lugar que contiene a todos los objetos que existen. CUERPO GEOMÉTRICO Es una porción del espacio cuando está totalmente limitado. ÁREA O SUPERFICIE Es el lugar que limita al cuerpo del resto del espacio. POLIEDRO Es un sólido geométrico completamente limitado por polígonos. Un poliedro tiene un mínimo de 4 caras. Poliedros irregulares: Cuando sus caras son polígonos irregulares y no todos sus ángulos son iguales. Poliedros regulares: Cuando todas sus caras son polígonos regulares y todos sus ángulos son iguales. PRISMA Es el poliedro (cerrado o abierto) comprendido entre dos polígonos iguales y paralelos cuyas caras laterales son paralelogramos. Prisma recto: Cuando las caras laterales son perpendiculares a las bases. Prisma oblicuo: Cuando las caras laterales son oblicuas a la bases. Prisma regular: Es un prisma recto cuya base es un polígono regular. Prisma irregular: Es un prisma recto cuya base es un polígono irregular.
243
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
4.2.3. Áreas y volúmenes de los principales sólidos 1.
PRISMA RECTO En todo prisma recto las caras laterales son rectángulos. Área lateral = Perímetro de la base por su altura AL = (a + b + c)h Área total
h Volumen
c a
2.
AT = AL + 2 Abase V = Abase x h
b
PRISMA OBLÍCUO
Área lateral = (Perímetro de SR) por la arista AL = (m + n + l)a
a
Donde “a” es la arista
n
Sección Recta (SR)
l
Área total
h
m
AT = AL + 2 Abase Volumen
V = ASR x a = Abase x h 3.
PARALELEPÍPEDO RECTO (Ortoedro) Es un cuerpo geométrico limitado por seis caras rectangulares, siendo las caras paralelas iguales. El volumen del paralelepípedo recto se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes a un vértice. Área Lateral AL = 2c(a + b) Área Total
c
AT = 2(ab+ac+bc) Volumen V = abc
b a Propiedad
En un paralelepípedo recto. Si las áreas de las tres caras diferentes son A1, A2 y A3, entonces el volumen V se calcula:
V
A1 A2 A3
244
CAPÌTULO 3 4.
GEOMETRÍA
CUBO Es un paralelepípedo cuyas caras son cuadrados. También se puede decir que es un cuerpo geométrico limitado por seis cuadrados. Área lateral
Arista: Es la intersección de las caras.
Área Total AT = 6L2
L
Vértice: Es la intersección de las aristas.
5.
AL = 4L2
L
Volumen
L
V = L3
PIRÁMIDE REGULAR Una pirámide es regular si su base es un polígono regular, sus aristas laterales son congruentes y sus caras laterales son triángulos con un vértice en común.
O
Área Lateral AL = Pbase x OT Área Total
A
AT = AL + Abase
C
B
D
G
Volumen
T V=
E OT := Apotema OG := Altura de la pirámide Pbase := Semiperímetro de la base 6.
1 Abase x OG 3
CILINDRO RECTO Un cilindro recto es el sólido generado por la rotación completa de un rectángulo alrededor de uno de sus lados, como muestra la figura adjunta. Área lateral
r
AL = 2Pbase x h
h
Área total AT = AL + 2Abase Volumen V = Abase x h =
h:= altura del cilindro recto r:= radio de la base del cilindro recto 2Pbase = perímetro de la base = 2 r
Abase =
245
r2
r2
h
CAPÌTULO 3 7.
GEOMETRÍA
CONO RECTO Es el sólido que se obtiene al rotar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos, como se muestra en la figura adjunta. Área Lateral AL = Pbase x g = x r x g Área Total
g
AT = AL + Abase =
h
r(g r)
Volumen
r V=
1 Abase x h = 3
r2 h 3
Pbase = semiperímetro de la base g:= generatriz del cono recto h:= altura del cono recto r:= radio de la base del cono recto 8.
ESFERA Es el sólido que se obtiene al rotar un semicírculo alrededor de su diámetro, como se muestra en la figura adjunta. Área Volumen
R B
AE =4 R2 V=
O
4 R3 3
Área y volumen de una zona esférica El área de una zona esférica es igual al producto de la longitud de la circunferencia maxima de la esfera por su respectiva altura.
AZE = 2 Rh
R O
a b
VZE
h
h3 6
246
h(a2 b2 ) 2
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
Volumen de un sector esférico El volumen de un sector esférico es igual a dos tercios del área del círculo de la correspondiente esfera multiplicado por la proyeccion del sector sobre el diametro. 2 VSE R2 h 3
a
R O
a
R
h
Volumen de un anillo esférico El volumen de un anillo esférico es igual a un sexto del producto del círculo que tuviera por radio la cuerda del segmento multiplicada por la proyección de esta misma cuerda sobre el eje de revoución. VAE
A
R O
h
R B
1 (AB)2 h 6
4.2.4. Ejercicios resueltos 1.
Un prisma recto tiene por base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 cm. y 16 cm. respectivamente. Halle el área lateral, área total y el volumen del prisma si su arista lateral mide 40 cm. Solución Primero, calculamos la hipotenusa: c = 122 162
20
Ahora se puede calcular lo que piden:
Área lateral AL = (a + b + c)h 40
AL = (12 + 16 + 20)40 = 1920 cm2 Área total AT = 1920 + 2 (
12
16
12 16 ) = 2112 cm2 2
Volumen V = 96 x 40 = 3840 cm3
2.
La sección recta de prisma oblicuo es un trapecio rectangular cuyas bases miden 40m y 80m, y cuya altura es igual a 30m. Calcule el área total del prisma si se sabe que su arista lateral mide 60m y su altura 30m.
247
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
Solución Recordar que el área del trapecio es:
base mayor + base menor 2
altura
Entonces:
Volumen V = ASR x a = Abase x h 40 80 30 60 = Abase x 30 2
60m
Abase = 3600 m2
40m 30m
50m 80m
30m
Área Total AT = AL + 2 Abase AT = (50+30+80+40)60 + 2(3600) AT = 19 200 m2 3.
Calcule el área lateral, total y volumen del paralelepípedo cuya base es cuadrada con área 16cm2 y su altura es el doble de la arista de la base. Solución Según los datos tenemos: 16 cm2 = x2 implica x = 4
AL = 2(8cm)(4cm + 4cm) = 128 cm2 2x 16 cm2
V = 4x4x8 = 128 cm3
x
x 4.
AT = 2(4x4cm2 + 4x8cm2 + 4x8cm2 ) =160cm2
Las aristas que concurren en los vértices de un ortoedro miden 12, 15 y 18 cm. Halle la longitud de la diagonal. Solución Usando el Teorema de Pitágoras dos veces se tiene:
y2 = 152 + 182 x2 = 122 + y2
x y
12 15 5.
x2 = 122 + 152 + 182 =693 18 x = 3 77
Calcule el área lateral, total y volumen del cubo cuya arista mide 3 cm. Solución
V = 4x4x8 = 128 cm3
Aplicando las fórmulas se tiene: AL = 4(3)2 = 36 cm2 ; AT = 6(3)2 = 54 cm2 ; V = (3)3 = 27 cm3
248
CAPÌTULO 3 6.
GEOMETRÍA
Halle el volumen de una pirámide regular cuya base es un triángulo equilátero de 16 cm de lado y la altura de la pirámide mide 27 cm. Solución
Área de la base Abase =
27cm
16cm
Volumen
16cm
V=(
16cm 7.
L2 3 (16)2 3 = =64 3 cm2 4 4
1 x 64 3 x 27)cm3 = 576 3 cm3 3
En una pirámide regular de base cuadrada de lado L, las caras laterales forman un ángulo de 60º con el plano de la base ¿Cuál es el volumen de la pirámide? Solución Construyamos la pirámide según el enunciado
L 60º
60º
2L L
2L
3 L
L
ºEntonces el volumen es: V
8.
(2L)2 (L 3 ) = V 3
El área lateral de un cilindro circular recto es 192 área total y el volumen.
2L3 3 3
y su altura mide 24 cm. Calcule el
Solución
Área Lateral 192 h=24cm r
9.
= 2 r ( 24) r = 4cm
Área Total AT = 192 + 2 (42 ) = 224 cm2 Volumen V = (42 ) (24) = 3842 cm3
La longitud de la base de un cono recto circular es 37,68cm y una generatriz de 18cm. 3,14 Halle el área lateral, el área total y el volumen. Considerar
249
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
Solución
Longitud de la base = 2 x r 37,68 = 2(3,14)r r = 6 cm Por Pitágoras tenemos: h = 182 62
=16,97cm
g = 18 cm h
Área lateral AL =
r
37,68 2 18 = 18,84 x 18 =339,12 cm 2
Área total AT = 18,84 x 18 + 36(3.14) =452,16 cm2 Volumen V=
1 (3,14 x 62) (12 2 ) = 639,42 cm3 3
10. Halle el área de la superficie de una esfera que pasa por los vértices de un cubo cuya área total mide 512 cm2. Solución AT cubo = 6a2
512 = 6a2
a=
16 3 cm 3
Diámetro de la esfera =Diagonal del cubo 2R = a 3 =
16 3 3
a 3
R = 16 cm
a a
Entonces, el área de la esfera es: AE = 4 (16)2 = 1024
O
R
cm2
11. Calcule el volumen del casquete:
18cm
40º Solución VCasquete
1 4 (183 ) 1 1 4 (183 ) = 2 3 9 2 3 3 VCasquete 1 4 (18 ) 1 (1 ) = 3456 cm3 = 2 3 9
250
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
4.2.5. Ejercicios propuestos Nivel 1 1.
La arista lateral de una pirámide regular hexagonal es de 30 m y el lado de la base es de 18 m. Halle el volumen de la pirámide. a) 3888 3 cm3 b) 3788 3 cm3 c) 3878 3 cm3 d) 3887 3 cm3 e) N.A.
2.
Calcule el área de la esfera que circunscribe a un cubo, si el área total del cubo inscrito es igual a 60m2. a) 20 m2
b) 30 m2
c) 30 m2
d) 25 m2
e) 27 m2
3.
El área total de un cubo es 2 400 cm2. Halle su volumen. a) 2000 cm3 b) 3000 cm3 c) 4000 cm3 d) 8000 cm3
4.
El área lateral de una pirámide cuadrangular regular es 1 000 cm2, si el apotema de la pirámide es 25 cm. Encuentre la medida dell lado de la base. a) 20 cm b) 30 cm c) 40 cm d) 80 cm e) 70 cm
5.
El volumen de un paralelepípedo es 504 cm3. Si sus dimensiones son tres números enteros consecutivos, halle la dimensión mayor. a) 7 cm b) 8 cm c) 9 cm d) 6 cm e) 5 cm
6.
Al girar un rectángulo de 20 m2 de área sobre uno de sus lados genera un cilindro. Halle el área lateral del cilindro. a) 30 m2 b) 40 m2 c) 50 m2 d) 60 m2 e) 70 m2
7.
La altura de un cono es el doble del radio de su base; si la generatriz del cono mide 45 cm, calcule el volumen del cono en cm3 a) 2430 b) 2431 c) 2432 d) 2433 e) 2434
8.
Una pirámide regular de base cuadrada tiene una altura de 1,2 m y cada arista lateral tiene 1,3 m. Halle la proyección de una arista lateral sobre la base de la pirámide. a) 0.6 m b) 0.5 m c) 0.4 m d) 0.8 m e) 0.7 m
9.
Calcule el volumen de la pirámide triangular que se muestra en la figura adjunta. a) 20 cm3 b) 30 cm3 6cm c) 40 cm3 10cm 45º d) 10 cm3 e) 50 cm3
e) 7000 cm3
10. Calcule el volumen del sólido recto al cual le falta una rebanada de 90º. a) 321 6 cm b) 322 c) 323 12 cm d) 324 e) 325
251
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
11. En el cubo mostrado halle el área de la región sombreada.
a
a2 2 a) 2
a2 2 b) 3
a2 2 c) 4
a2 3 d) 2
a2 3 e) 4
12. Una esfera se encuentra inscrita en un cubo de 64 cm3. Calcule el volumen de la esfera. a)
34 cm3 3
b)
32 cm3 3
c)
32 cm3 4
d)
35 cm3 3
e)
35 cm3 2
13. Se tiene una pirámide hexagonal regular cuya base está inscrita en una circunferencia de 6 m de radio; si su altura mide 6 m, calcule la suma de sus aristas laterales. a) 36 2
b) 38 2
c) 40 2
d) 34 2
e) 35 2
14. ¿Cuántos metros cúbicos de hormigón se necesitan para construir una escalera maciza como la mostrada en la figura? 2m 3m 0,3m 0,3m 0,3m
a) 8.22 m3
b) 8.28 m3
c) 4.28 m3
0,2m
0,2m
0,2m
0,3m
d) 5.24 m3
e) 7.22 m3
15. Una esfera hueca tiene 2 cm de espesor y su diámetro exterior es de 80 cm. Calcule el área de la superficie interior en cm2 a)2400 b) 3400 c) 4400 d) 5776 e) 5006 Nivel 2 1.
En la figura adjunta se muestra una esfera inscrita en un cono. Calcule el volumen de la esfera. a) 38 10cm b) 37 c) 36 d) 20 12cm e) 17
2.
La relación entre los volúmenes de dos esferas concéntricas es 8. Halle la relación entre sus áreas. a) 4 b) 5 c) 3 d) 8 e) 7
252
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
3.
Un prisma recto tiene por base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 15 cm. y 20 cm. respectivamente. Calcule el volumen del prisma si su arista lateral mide 40 cm. a) 2000 cm3 b) 6000 cm3 c) 4000 cm3 d) 1000 cm3 e) 5000 cm3
4.
Determine el volumen que resulta al quitarle a una esfera de diámetro 30 cm un cono circular recto con base en el plano que pasa en el centro de la esfera y tiene su vértice en la superficie esférica. a) 103
cm3
b) 113
cm3
c) 143
cm3
d) 153
cm3
e) 12
5.
3
cm
Calcule el volumen del sólido que está formado por un cilindro, una semiesfera y un cono, como se muestra en la figura.
13 r 3 4 14 r 3 c) 3 13 r 3 e) 3 a)
6.
15cm
3
13 r 3 5 16 r 3 d) 3
r
b)
3r
2r
¿Cuántos galones de agua puede contener la piscina que tiene la forma del prisma que se muestra? (Un pie cúbico de agua es aproximadamente 7.5 galones.). 30 pies 14 pies
4 pies
16 pies 13 pies
a) 72 467 gal. b) 43 460 gal. c) 61 400 gal. d) 62 467 gal. e) 40 200 gal. 7.
Halle el área de una esfera sabiendo que un círculo máximo de la misma tiene 15 cm2 de área. a) 60 cm2 b) 40 cm2 c) 50 cm2 d) 45cm2 e) 55cm2
8.
La base de un prisma oblicuo es un triángulo rectángulo ABC recto en B, tal que AB=24cm y BC = 32cm. La arista lateral que parte del vértice A mide 85cm y se proyecta sobre la base según la dirección AB ; si la proyección de esta arista sobre la base mide 40cm, calcule el área de la sección recta en cm2 a) 424,23 b) 338,82 c) 249,50 d) 453,63 e) 552,24
9.
El área lateral de una pirámide hexagonal regular es de 48 m². Calcule el lado de la base, si el apotema de la pirámide es igual al cuádruplo del radio de la circunferencia circunscrita a la base. a) 1.5 m b) 3.5 m c) 3 m d) 2.5 m e) 2 m
10. El volumen de una pirámide regular de base cuadrada de 16 cm de lado es 1280 cm3. Determine el área total de la pirámide. a) 800 cm2 b) 600 cm2 c) 700 cm2 d) 400 cm2 e) 900 cm2
253
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
11. ¿Cuál es el volumen de una pirámide regular de base cuadrada de 10 cm de lado si sus caras laterales son triángulos equiláteros? 500 500 400 250 a) b) c) d) 3 cm3 2 cm3 2 cm3 2 cm3 e) N.A. 3 3 3 3 12. Calcule el volumen de una pirámide cuadrangular regular de 28 cm 2 de área lateral, si sus aristas laterales forman un ángulo de 60º con el plano de la base.
2 3 c m3 3 7 3 d) c m3 3
a)
5 3 c m3 3 5 3 e) c m3 4
b)
c)
4 3 c m3 3
60º
13. Encuentre el volumen de una pirámide regular de base cuadrangular cuyas caras laterales son triángulos equiláteros; el perímetro de la base es 12 3 u . 60º
27 3 5 27 3 d) 2
a)
27 6 4 27 2 e) 3
b)
c)
27 6 2
60º 60º
14. Si en una pirámide regular hexagonal el área lateral es el doble del área de la base y el radio de la circunferencia circunscrita a la base mide 4 m, determine el volumen de dicha pirámide.
a) 45 3 m3
b) 38 3 m 3
d) 48 3 m3
e) 58 3 m 3
c) 47 3 m3
4m
15. Un recipiente rectangular cerrado de 6 cm por 12 cm por 15 cm está asentado sobre su cara más chica y está lleno de agua hasta 5 cm debajo del borde superior. ¿A cuántos centímetros a partir del fondo llegará el agua si el recipiente se sitúa sobre su cara más grande?
a) 3 cm
b) 4 cm
c) 5 cm
d) 6 cm
254
e) 7 cm
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
Nivel 3 1.
El radio de una esfera vale 5 u y la altura de un cilindro recto inscrito mide 6 u. ¿Cuál es la relación de volúmenes entre el cilindro y la esfera?
a) 2.
b)
72 135
c)
62 125
d)
92 125
e)
72 125
Encuentre la relación existente entre los volúmenes de un cubo y la esfera inscrita, tal como se muestra en la figura.
a) 3.
72 115
4
b)
5
c)
6
d)
7
e)
8
Un joven escultor tiene como trabajo hacer en madera el siguiente sólido. Si se debe hacer una muestra en centímetros, ¿cuántos cm3 de madera poseerá la escultura? a) 169,3 u3
4u
b) 170,3 u3 c) 172,3 u3
4u
d) 173,3 u3 e) 174,3 u3
2u
4u 10u
4.
Se tiene un prisma recto de altura igual a 8 u. cuya base es un polígono regular de 3 u. de lado. Si el ángulo diedro formado por 2 caras laterales del prisma mide 120º, calcule el área total del prisma. a) 144 + 27 3
5.
c) 144 + 26 3
d) 144 + 26 2
e) N.A.
Las bases de un prisma recto son cuadrados y las aristas laterales miden la misma longitud que las diagonales de los cuadrados. Halle en que relación están el área lateral y el área total. a)
6.
b) 144 + 27 2
8
2 7
b)
8 2 2 7
c)
8
2 6
d)
8
2 5
e) N.A.
Calcule el volumen de un prisma oblicuo triangular ABC, A’B’C’, sabiendo que el área de la cara ACC’A’ es de 40m2 y la distancia de la arista BB’ a la cara anterior es de 5m. a) 120m3 b) 110m3 c) 100m3 d) 90m3 e) N.A.
255
CAPÌTULO 3
GEOMETRÍA
7.
Calcule el volumen de un cilindro recto, si su área total es 200m2 y la media armónica entre el radio de la base y su altura es 20. a) 10 000 m3 b) 100 m3 c) 500 m3 d) 1000 m3 e) N.A.
8.
Calcule el área lateral de un cilindro de revolución conociendo que la diferencia de los cuadrados de la generatriz y el diámetro de la base es 64. Además FG 15 a) 32 c) 28
9.
F
4.
15
b) 30
15
d) 26
15
G e) 24
15
Calcule el volumen de un cono equilátero inscrito en una esfera de radio ―R‖. a)
3
R3 8
b)
3
R3 18
c)
R3 6
d)
R3 7
e) N.A.
10. Se considera el círculo mayor de una esfera como base y se construye un cono circular recto cuyo volumen equivale a la mitad del volumen de la esfera. Calcule el área de la zona esférica de 2 bases que se determina si el radio de la esfera mide 5 m. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
4.2.6. Respuestas Nivel 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Nivel 2 A C D A C B A B D D A B A B D
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Nivel 3 C A B D E E A B E A B A C D B
256
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
E C D A B C D A A E
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