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• Robert Todd

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UNIDAD II: Aplicaciones de la Integral definida SESIÓN 10: LONGITUD DE ARCO, CENTROIDE Y TRABAJO NIVEL 1: 01.

Calcule la longitud de arco de las siguientes

06.

la base es de 0,5m, está lleno de agua.

curvas en el intervalo dado: a)

6 y  x2 ;

0 x4

b)

y  x3/ 2 ;

1 x  4

2 3 c) y  x ; 3 d) 02.

Encuentre el trabajo efectuado al bombear el agua hasta el borde superior de dicho cilindro.

0  x 1

x5 1 y  3; 10 6 x

NIVEL 2:

1 x  2 07.

Dibuje la región limitada por las curvas y estime

visualmente

centroide.

Un cilindro de 1,2m de alto, cuyo radio de

Luego,

la

posición

Calcule la longitud de arco de las siguientes curvas en el intervalo dado:

del

encuentre

a)

las

coordenadas exactas del centroide. b)

a)

y  x2 , y  x

b)

y  x2 , y  0, x  2

c) x 

c) y  e , y  0, x  0, x  1 x

d) 03.

08.

1 y  , y  0, x  1, x  2 x

x 2 ln x  ; 2 x4 2 4 1 x y ( y  3); 0  y  9 3 y

y4 1  2; 16 2 y

3  x  2

Un cable eléctrico soportado por dos postes distantes entre 40metros adopta la

Si la longitud natural de un resorte es 0,6m

forma de una catenaria cuya ecuación es:

y si es necesaria una fuerza de 10 Newton

y  10(e 20  e

para

mantenerlo

estirado

x

0,02m,



x 20

) Calcular la longitud del

cable entre esos postes.

encuentre el trabajo hecho al estirar el resorte de su longitud natural a una longitud de 0.8m. 04.

Un resorte tiene una longitud natural de 14cm. Si una fuerza de 200 Newton se requiere para mantener el resorte estirado 0.02 m, ¿cuánto trabajo se realiza al estirar el resorte de su longitud natural hasta una longitud de 0.18 m?

05.

Encontrar el trabajo efectuado al alargar un

09.

Calcular la longitud de arco de la gráfica de

y  2  x2 ;

x   2, 2 

resorte 5cm, sabiendo que se necesita una fuerza de 10 Newton para alargarlo 1cm. 1

10.

11.

Hallar el centroide de la región acotada por

13.

14.

Un objeto parte del origen y se mueve

las gráficas de: x  2 y  y 2 , x  0

hacia arriba por el eje Y. al mismo tiempo,

Encuentre el centroide de la región limitada

un perseguidor parte del punto (1, 0) y se mueve siempre en dirección del objeto, la

x la parábola y  x3

por la recta: y  12.

18.

ecuación

Encontrar el centroide de la región limitada

de

la

trayectoria

es:

por la recta: y  x2/ 3 , y  0, x  8

1 ( x3  3 x  2) 3

Hallar el centroide de la región acotada por

recorrido el objeto en el momento de ser

las gráficas de: y  1  x 2 , x  0, x  2 y

alcanzado? Comprobar que el perseguidor

el eje Y.

recorre el doble.

Un depósito con forma de un cono circular

19.

¿Qué distancia ha

Un granero es de 100 pies de largo y 40

recto, está lleno de agua. Si la altura del

pies de ancho (ver figura). Una sección

tanque es de 100cm y el radio de la parte

transversal de la cubierta es la catenaria

superior es de 40cm, encuentre el trabajo

invertida. Encontrar el número de metros

hecho al:

cuadrados del techo en el granero.

a) Bombear el agua hasta el borde superior del depósito. b) Bombear el agua hasta una altura de 50cm por encima del borde superior del depósito. 15.

Un tanque esférico de 160cm de radio está lleno por su mitad de un aceite cuya densidad es de 800 kg/m3. Calcular el trabajo requerido para bombear el aceite a través de un orificio en la parte superior del tanque.

1981, tiene un tramo principal de cerca de 1400 metros. Cada una de sus torres tiene

Calcule la longitud de arco de las siguientes

una altura de aproximadamente 155

curvas en el intervalo dado:

metros.

a)

6 y 2  x( x  2)2 .

b)

y2 

x3 ; 2 x

 10  x  0,   3

Utilice estas dimensiones y la integral:

 e 1   ; a  x  b; a  b x  e 1 

c) y  ln  17.

Puente Colgante: El puente Humber, ubicada en el Reino Unido y se inauguró en

NIVEL 3: 16.

20.

Trace

la

x

curva

x 2/ 3  y 2/ 3  1

y

cuya calcule

empleando su simetría.

ecuación su

es

longitud

C  2

w

0

 4h 2  1   4  x 2 dx  w 

para aproximar la longitud de un cable de parábola a lo largo del tramo principal. 2

b) 21.

Hallar el centroide de la región acotada

realizado, ¿cuál es la profundidad del

por: y  x  4, y  2 x  x

agua que queda en el depósito?

2

22.

Después de 4 000 lb-pies de trabajo

2

Halle el centroide de la región limitada por las curvas:

y  sen x, y  cos x, x  0, x  23.

 4

Un depósito tiene la forma de un cono circular invertido de altura igual a 10 m y

24.

25.

Un tanque en forma de cono circular recto

radio de la base de 4 m. se llena con agua

invertido tiene un diámetro de 8 m en su

hasta alcanzar una altura de 8 m. calcule el

parte superior y una profundidad de 10 m.

trabajo que se requiere para vaciar el agua

Si el tanque se llena a una altura de 9 m

mediante bombeo por la parte superior del

con agua, calcule el trabajo efectuado al

depósito. (La densidad del agua es 1 000

bombear el agua hasta la parte superior del

kg/m.)

tanque.

Un depósito lleno con agua tiene la forma de un paraboloide de revolución como se muestra en la figura, es decir, su forma se obtiene al girar una parábola alrededor del eje vertical. a)

Si su altura es de 4 pies, el radio en lo alto es de 4 pies, determine el trabajo requerido para extraer por bombeo el agua del tanque.

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